// 来源：漢籍リポジトリ（Kanseki Repository）
// 条目：《律历渊源》
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// 补注：《律历渊源》总一百卷，凡三部：历象考成四十二卷、律吕正义五卷、数理精蕴五十三卷。本件含第一部《历象考成》与第三部《数理精蕴》，合九十五卷；第二部《律吕正义》暂未取得，待补。
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◆ 《御製歷象考成》（KR3f0018）
## 御製律厯淵源序
御製律厯淵源序
粵稽前古堯有羲和之咨舜有后䕫之命周有商高之訪逮及厯代史書莫不志律厯備數度用以敬天授民格神和人行於邦國而周於鄉閭典至重也我皇考聖祖仁皇帝生知好學天縱多能萬幾之暇留心律厯算法積數十年博考繁賾搜抉奧微叅伍錯綜一以貫之爰指授莊親王等率同詞臣於大内蒙養齋編纂毎日進呈親加改正彙輯成書總一百卷名爲律厯淵源凡爲三部區其編次一曰厯象考成其編有二上編曰揆天察紀論本體之象以明理也下編曰明時正度密致用之術列立成之表以著法也一曰律呂正義其編有三上編曰正律審音所以定尺考度求律本也下編曰和聲定樂所以因律製器審八音也續編曰協均度曲所以窮五聲二變相和相應之源也一曰數理精藴其編有二上編曰立綱明體所以解周髀探河洛闡幾何明比例下編曰分條致用以線面體括九章極於借衰割圜求體變化於比例規比例數借根方諸法蓋表數備矣洪惟我國家聲靈逺届文軌大同自極西歐羅巴諸國專精世業各獻其技於閶闔之下典籍圖表燦然畢具我皇考兼綜而裁定之故凡古法之歲乆失傳擇焉而不精與西洋之侏〔？〕詰屈語焉而不詳者咸皆條理分明本末昭晰其精當詳悉雖專門名家莫能窺萬一所謂惟聖者能之豈不信歟夫理與數合符而不離得其數則理不外焉此圖書所以開易範之先也以線體例絲管之别以弧角求經緯之度若此類者皆數法之精而律厯之要斯在故三書相爲表裏齊七政正五音而必通乎九章之義所由試之而不忒用之而有效也書成纂修諸臣請序而傳之恭惟聖學高深豈易鑽仰顧朕夙承庭訓於此書之大指微義提命殷勤歲月斯乆尊其所聞敬効一詞之贊葢是書也豈惟皇考手澤之存實稽古準今集其大成高出前代垂千萬世不易之法將欲協時正日同律度量衡求之是書則可以建天地而不悖俟聖人而不惑矣雍正元年十月朔敬書
## 總目
欽定四庫全書 子部六
御製厯象考成總目 天文算法類一(推歩之屬)上編十六卷下編十卷表十六卷(臣)等謹案御製厯象考成四十二卷康熙五十二年聖祖仁皇帝御定律厯淵源之第一部也按推歩之術古法無徵所可考者漢太初術以下至明大統術而已自利瑪竇入中國測驗漸宻而辨爭亦遂日起終明之世朝議堅守門户訖未嘗用也國朝聲教覃敷極西諸國皆累譯而至其術愈推愈精又與崇禎新法算法圖表不合而作新法算書時歐邏巴人自秘其學立説復深隠不可觧
## 提要
聖祖仁皇帝乃
特命諸臣詳考法原定著此書分上下二編上編曰揆天察紀下編曰明時正度集中西之大同建天地而不悖精微廣大殊非管蠡之見所能測今據其可以仰窺者與新法算書互校如黄道斜交赤道而出其内外其相距之度即二至太陽距赤道之緯度新法算書用西人第谷所測定為二十三度三十一分三十秒今則累測夏至午正太陽髙度得黄赤大距為二十三度二十九分三十秒較第谷所測度 少二分葢黄赤二道由逺而近其所以古多今少漸次移易之故非巧算所能及故當隨時宻測以合天行者也又時差之根其故有二一因太陽之實行而時刻為之進退葢以髙卑為加減之限也一因赤道之升度而時刻為之消長葢以分至為加減之限也新法算書合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分則宫度引數必不能相同合立一表歳乆必不可用今分為二表加減二次而於法為宻矣又新法算書推算日食三差以黄平象限為本然三差並生於太隂而太隂之經緯度為白道經緯度當以白平象限為本太隂在此度即無東西差而南北差最大與髙下差等若在此度以東則差而早宜有減差在此度以西則差而遲宜有加差其加減有時而與黄平象限同有時而與黄平象限異故定交角有反其加減之用也又厯来算術定月食初虧復圓方位東西南北主黄道之經緯而言非謂地平經緯之東西南北也惟月實行之度在初宫六宫望時又為子正則黄道經緯之東西南北與地平經度合否則黄道升降有邪正而加時距午有逺近両經緯迴然各别所推之東西南北必不與地平之方位相符今實指其在月體之上下左右為衆目所共睹較舊法更為親切又新法算書言五星古圖以地為心新圖以日為心然第谷推步均數惟火星以日為心若以地為心立算其得數亦與之同知第谷乃虚立巧算之法而五星本天實皆以地為心葢金水二星以日為心者乃其本輪非本天也土木火三星以日為心者乃次輪上星行距日之跡亦非本天也至若弧三角之法新法算書所載圖説殊多龎雜而正〔？〕又遺黄赤互求之法今以正〔？〕約之為對邊對角及垂〔？〕矢較三比例則周天經緯皆可互求而操之有要矣此皆訂正新法算書之大端其餘與新法算書相同者亦推衍精宻無差累黍洵乎大聖人之制作萬世無出其範圍者矣乾隆四十九年六月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 職名
雍正二年五月十七日奉㫖開載纂修編校諸臣職名承㫖纂修和 碩 莊 親 王(臣)允 祿和 碩 誠 親 王(臣)允 祉彚編日講官起居注詹事府少詹事兼翰林院侍講學士加一級(臣)何國宗翰 林 院 編 修(臣)梅㲄成分校原任湖南巡撫都察院右副都御史(臣)魏廷珍翰 林 院 編 修(臣)王蘭生原 進 士(臣)方 苞考測會 考 府 郎 中(臣)成 徳㕘 領(臣)阿齊圖原 任 吏 部 員 外 郎(臣)顧 琮工 部 員 外 郎 加 一 級(臣)照 海食員外郎俸欽天監五 官 正(臣)明安圖兵 部 主 事 加 一 級(臣)平 安福 建 汀 州 府 知 府(臣)何國棟江 西 袁 州 府 知 府(臣)李 英翰 林 院 筆 帖 式 加 一 級(臣)豐盛額校算兵部郎中兼管欽天監左監副事加二級(臣)何國柱刑 部 員 外 郎(臣)倫大理欽 天 監 左 監 副(臣)四 格内 閣 中 書(臣)黄 茂欽 天 監 博 士 加 一 級(臣)潘汝瑛山 東 莒 州 知 州(臣)陳永年廣 東 西 寧 縣 知 縣(臣)薩 海京 衛 武 學 教 授(臣)胡 振舉 人 揀 選 知 縣(臣)髙 澤㑹 考 府 筆 帖 式(臣)傅明安吏 部 筆 帖 式(臣)戴嵩安候 補 筆 帖 式(臣)黑 都生 員(臣)秦 宁生 員(臣)五徳寳䕶 軍(臣)楊 格校錄翰 林 院 侍 讀(臣)呉孝登翰 林 院 侍 講(臣)留 保刑 部 郎 中 加 一 級(臣)朱 崧户 部 主 事(臣)黒 赫禮 部 主 事(臣)穆繼倫刑 部 主 事(臣)玉 羾工 部 主 事 加 一 級(臣)色合立户 部 司 庫 加 一 級(臣)穆成格工 部 司 庫(臣)伍大夀行 人 司 行 人 加 一 級(臣)顧陳垿湖 廣 黄 州 府 同 知(臣)郎 瀚江 南 通 州 知 州 加 一 級(臣)白暎棠河 南 孟 津 縣 知 縣 加 一 級(臣)陳永貞監 生 候 選 州 同 知(臣)張嘉論生 員(臣)焦繼謨
## 上編卷一
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷一厯理總論天象地體厯元黄赤道經緯度歲差天象虞書堯典曰欽若昊天厯象日月星辰楚詞天問曰圜則九重孰營度之後世厯家謂天有十二重非天實有如許重數蓋言日月星辰運轉於天各有所行之道即楚詞所謂圜也欲明諸圜之理必詳諸圜之動欲考諸圜之動必以至静不動者準之然後得其盈縮蓋天道静專者也天行動直者也至静者自有一天與地相為表裏故羣動者運於其間而不息若無至静者以驗至動則聖人亦無所成其能矣人恒在地面測天而七政之行無不可得者正為以静驗動故也十二重天最外者為至静不動次為宗動南北極赤道所由分也次為南北歲差次為東西歲差此二重天其動甚微厯家姑置之而不論焉次為三垣二十八宿經星行焉次為填星所行次為歲星所行次為熒惑所行次則太陽所行黄道是也次為太白所行次為辰星所行最内者則太隂所行白道是也要以去地之逺近而為諸天之内外然所以知去地之逺近者則又從諸曜之掩食及行度之遲疾而得之蓋凡為所掩食者必在上而掩之食之者必在下月體能蔽日光而日為之食是日逺月近之徵也月能掩食五星而月與五星又能掩食恒星是五星髙於月而卑於恒星也五星又能互相掩食是五星各有逺近也又宗動天以渾灝之氣挈諸天左旋其行甚速故近宗動天者左旋速而右移之度遲漸遠宗動天則左旋較遲而右移之度轉速今右移之度惟恒星最遲土木次之火又次之日金水較速而月最速是又以次而近之證也是故恒星與宗動相較而歲差生焉太陽與恒星相㑹而歲實生焉黄道與赤道出入而節氣生焉太陽與太隂循環而朔朢盈虚生焉黄道與白道交錯而薄蝕生焉五星與太陽離合而遲速順逆生焉地心與諸圜之心不同而盈縮生焉厯代專家多方測量立法布算積久愈詳已得其大體其間或有豪芒之差諸説不無同異者蓋因儀器仰測穹蒼失之纎微年久則著雖有聖人莫能預定惟立窮源竟委之法隨時實測取其精密附近之數折中用之每數十年而一修正斯為治厯之通術而古聖欽若之道庶可復於今日矣地體欲明天道之流行先達地球之圓體日月星辰每日出入平地一次而天下大地必非同時出入居東方者先見居西方者後見東西相去萬八千里則東方人見日為午正者西方人見日為夘正也周天三百六十度每度當地上二百里是故推驗大地經緯度分皆與天應測緯度者用午正日晷或測南北二極測經度則必於月蝕取之蓋月蝕與日蝕異日之食限分數隨地不同月之食限分數天下皆同但入限有晝夜人有見不見耳此處食甚於子者處其東三十度必食甚於丑處其西三十度必食甚於亥是故相去九十度則此見食於子而彼見食於酉相去百八十度則此見食於子而彼當食於午雖食而不可見矣設如午酉子卯為日天甲乙丙丁為地球日在午人居甲者日正在其天頂得午時人居丙者日却在其天頂對衝而得子時東去甲九十度居丁者得酉時而西去甲九十度居乙者又得卯時矣夫居甲丙者以酉乙丁卯為地平而居乙丁者則又以午甲丙子為地平蓋大地皆以日到天頂為午正也是故測東西之經度者兩地同測月食虧復時刻或相約於同夜測月與某星同經度分為其時刻分秒相隔一時則東西相去六千里如測南北之緯度則於兩地測北極出地之度所差一度即相去二百里此皆地球圓體之明驗也厯元治厯者必有起算之端是謂厯元其法有二一則逺溯古初冬至七曜齊元之日為元自漢太初以來諸厯所用之積年是也一則截算為元若元授時厯以至元辛巳天正冬至為元今時憲厯以崇禎元年戊辰天正冬至為元是也二者雖同為起算之端然積年實不如截算之簡易也夫所謂七曜齊元者乃溯上古冬至之時歲月日時皆㑹甲子日月如合璧五星如聨珠是以為造厯之元使果有此雖萬世遵用可矣而廿一史所載諸家厯元無一同者是其所用積年之久近皆非有所承受但以巧算取之而已當其立法之初亦必有所驗於近測遂援之以立術於是溯而上之至於數千萬年之逺庶幾各曜之躔次可以齊同然既欲其上合厯元又欲其不違近測竒零分秒之數決不能齊勢不能不稍為遷就以求其巧合其始也據近測以求積年其既也且將因積年而改近測矣杜預云治厯者當順天以求合不當為合以驗天積年之法是為合以驗天也安得為立法之盡善乎若夫截算之法不用積年虚率而一以實測為憑誠為順天求合之道治厯者所當取法也今定康熙二十三年甲子天正冬至次日壬申子正初刻為厯元(即康熙二十二年十一月初五日子正初刻)七政皆從此起算其應用諸數皆係實測庶數有可徵而理有所據矣黄赤道天包地外圜轉不息南北兩極為運行之樞紐地居天中體圓而静人環地面以居隨其所至適見天體之半中華之地面近北故北極常現南極常隠平分兩極之中横帶天腰者為赤道赤道距天頂之度即北極出地之度也赤道以北為内為隂以南為外為陽斜交赤道而半出其南半出其北者為黄道乃太陽一歲所躔之軌迹也黄赤道相交之兩界為春秋分距赤道南二十三度半為冬至距赤道北二十三度半為夏至七政所行之道紛然不齊惟恃黄赤二道以為推測之本蓋太陽循黄道東行而出入於赤道之南北太隂與五星各循本道東行而又出入於黄道之南北故弦赤二道之位定則晝夜永短寒暑進退以及晦朔弦朢薄蝕朓朒皆從此可稽矣經緯度恒星七政各有經緯度蓋天周弧線縱横交加即如布帛之經緯然故以東西為經南北為緯然有在天之經緯有隨地之經緯在天則為赤道為黄道隨地則為地平赤道均分三百六十度平分之為半周各一百八十度四分之為象限各九十度六分之為紀限各六十度十二分之為宮為時各三十度是為赤經從經度出弧線與赤道十字相交各引長之㑹於南北極皆成全圜亦分為三百六十度兩極相距各一百八十度兩極距赤道俱九十度是為赤緯依緯度作圜與赤道平行名距等圏此圏大小不一距赤道近則大距赤道逺則小其度亦三百六十俱與赤道之度相應也赤道之用有動有静動者隨天左旋與黄道相交日躔之南北於是乎限静者太虚之位亘古不移晝夜之時刻於是乎紀焉黄道之宮度並如赤道其與赤道相交之兩㸃為春秋分相距皆半周平分兩交之中為冬夏至距兩交各一象限六分象限為節氣各十五度是為黄經從經度出弧線與黄道十字相交各引長之周於天體即成全圜其各圜相湊之處不在赤道之南北兩極而别有其樞心是為黄極黄極之距赤極即兩道相距之度其距黄道亦皆九十度是為黄緯而月與五星出入黄道之南北者悉於是而辨焉故凡南北圏過赤道極者必與赤道成直角而不能與黄道成直角其過黄道極者亦必與黄道成直角而不能與赤道成直角惟過黄赤兩極之圈其過黄赤道也必當冬夏二至之度所以並成直角名為極至交圈又若赤道度為主而以黄道度準之則互形大小何也渾圓之體當腰之度最寛漸近兩端則漸狹(距等圏之度也)二至時黄道以腰度當赤道距等圏之度故黄道一度當赤道一度有餘二分時兩道雖皆腰度然赤道平而黄道斜故黄道一度當赤道一度不足也此所謂同升之差而七政升降之斜正伏見之先後皆由是而推焉至於地平經緯則以各人所居之天頂為極蓋人所居之地不同故天頂各異而經緯從而變也地在天中體圓而小隨人所立凡目力所極適得大圓之一半則地雖圓而與平體無異故謂之地平乃諸曜出沒之界晝夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之為四方(子午卯酉)各相距九十度二十四分之為二十四向各十五度是為地平經從經度出弧線上㑹於天頂並皆九十度(從地平下至天頂之衝亦九十度)是為地平緯又名髙弧髙弧從地平正午上㑹天頂者其全圜必過赤道南北兩極名為子午圏乃諸曜出入地平適中之界而北極之髙下晷影之長短中星之推移皆由是而測焉是故經緯相求黄赤互變因黄赤而求地平或因地平而求黄赤乃厯象之要務推測之所取準也歲差歲差者太陽每歲與恒星相距之分也如今年冬至太陽躔某宿度至明年冬至時不能復躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之覺至晉虞喜始知之因立歲差法厯代治厯者宗焉而所定之數各家不同喜以五十年差一度劉宋何承天以百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋劉焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋楊忠輔以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒約之得每年差五十二秒半元郭守敬因之較諸家為密今新法實測晷影驗之中星得七十年有餘而差一度每年差五十一秒此所差之數在古法為冬至西移之度新法為恒星東行之度徵之天象恒星原有動移則新法之理長也(詳恒星厯理)御製厯象考成上編卷一
## 上編卷二
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷二弧三角形上弧三角形總論弧三角形綱領弧三角形凡例正弧三角形論正弧三角形圖說正弧三角形八線勾股比例圖說正弧三角形用次形圖說正弧三角形邊角相求法正弧三角形設例七則弧三角形總論弧三角形者球面弧線所成也古厯家有黄赤相準之率大約就渾儀度之僅得大概未能形諸算術惟元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率視古為密但其法用三乘方取數甚難自西人利瑪竇湯若望等翻譯厯書始有曲線三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相應之八線弧與弧相交即線與線相遇而勾股比例生焉於是乎有黄道可以知赤道有赤道可以知黄道有經可以知緯有緯可以知經厯象之法至此而備勾股之用至此而極矣弧三角形綱領凡弧三角形皆在球面球面之腰圍一線謂之大圈如甲乙丙丁為子午規戊己為赤道庚辛為黄道壬乙癸丁為地平規如此之類皆為大圈其周度皆相等故可以相為比例凡圈皆有極極距圈皆九十度如赤道則有南北極黄道則有黄極若圈不相等則為距等圈如子丑二圈其四圍之距大圈皆相等而與大圈平行雖亦為三百六十度其分則小於大圈距大圈愈逺距極愈近則其圈愈小至極一㸃而止不能與大圈為比例故弧三角形之角度邊度皆大圈之度也凡兩弧相交所成角相距皆半周一百八十度名其角度則必取其兩弧各足象限九十度其對角之弧即為本角之度如甲乙丙丁為黄道甲戊丙己為赤道甲丙二處相交相距各半周一百八十度即如春秋分試於甲丙弧之各平分九十度處作丁己乙戊垂弧(凡言垂弧皆曲)(線畫圖於平面不能顯出故作虚線以别之)則丁己弧為甲丁己三角形之甲角度亦為丙丁己三角形之丙角度其乙戊弧為甲乙戊三角形之甲角度亦為丙乙戊三角形之丙角度即如冬夏至之大距為春秋分之角度葢甲丙為極則丁己乙戊為腰圈所謂大圈者是也凡弧三角形之三弧不足九十度者必引長至九十度其對角之弧方為本角之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足九十度則将甲乙弧引長至丁甲丙弧引長至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即甲角之度也又将乙甲弧引長至己乙丙弧引長至庚作己庚弧其己庚弧之度即乙角之度也又将丙甲弧引長至辛丙乙弧引長至壬作辛壬弧其辛壬弧之度即丙角之度也凡弧三角形其角適足九十度者為直角為正弧三角形甲圖是也大於九十度者為鈍角不及九十度者為鋭角俱為斜弧三角形乙圖丙圖是也因三邊皆弧故與直線三角形不同直線三角形有一直角或一鈍角餘二角必銳弧三角形則有一直角二銳角者如丁形有一直角二鈍角者如戊形有一直角一鈍角一銳角者如己形有二直角一銳角者如庚形有二直角一鈍角者如辛形有三角俱直者如壬形有一鈍角二銳角者如癸形有三角俱鈍者如子形有一銳角二鈍角者如丑形而弧三角之形勢大概盡於此數端矣弧三角形凡例一直線三角形之三角相加成一百八十度弧三角形之三角相加最小者亦必大於一百八十度但不得滿五百四十度(因其有三鈍角每一鈍角不得滿一百八十度故三鈍角)(不得滿五百四十度)一直線三角形知兩角即知其所餘一角弧三角形雖知兩角其餘一角非算不知一直線三角形之邊小則咫尺大則千百萬里實有尺度之可量弧三角形之邊俱係弧度必在半周一百八十度之内但合三邊不得滿三百六十度(葢三百六十度則成全圜而不得成角矣)一直線三角形之八線惟用於角弧三角形之八線并用於邊角之八線與邊之八線相求仍以勾股為比例也一直線三角形兩形之三邊各相等者為相等形兩形之三角各相等者為同式形弧三角形則但有相等形而無同式形葢以兩形之三角同其三邊必各相同也一直線三角形可以三邊求角不可以三角求邊而弧三角形既可以三邊求角又可以三角求邊一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其餘理與直線三角形同一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件可求其餘理與直線三角形同一斜弧三角形作垂弧分為兩正弧三角形與直線三角形作中垂線之理同一弧三角形所知之三件有弧角相對者即用弧角為比例理與直線三角形同一正弧三角形弧角不相對者則用次形法一斜弧三角形知三邊求角者用總較法知三角求邊者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用總較法一斜弧三角形知兩邊一角而角在兩邊之間者用總較法或用垂弧法知兩角一邊而邊在兩角之間者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用總較法或用垂弧法正弧三角形論正弧三角形必有一直角者葢因南北二極為赤道之樞紐皆距赤道九十度故凡過南北二極經圈與赤道相交所成之角俱為直角其相當之弧皆九十度又凡有一圈即有兩極其過兩極經圈與本圈相交亦必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相對者用弧角之八線所成勾股為比例而弧角不相對者則用次形盖以弧角之八線所成勾股比例不生於本形而生於次形而次形者乃以本形與象限相減之餘度所成故用本形之餘弦餘切即用次形之正弦正切也其法可易弧為角易角為弧(若斜弧三角形可易大形為小形易大邊為小)(邊易鈍角成銳角)邊與角雖不相對可易為相對且知三角即可以求邊其理實一以貫之也今以黄道赤道與過極經圈所成之三角形設例而正弧三角形比例推算之法無不統於是矣正弧三角形圖說(設黄赤大距二十三度三十分)如甲乙丙丁為赤道甲戊丙己為黄道相交於甲丙甲為春分丙為秋分戊為夏至己為冬至庚為北極辛為南極庚戊乙辛己丁為二極二至交圈戊至乙己至丁俱二十三度三十分為黄赤大距今作庚壬癸辛為過南北二極經圈與黄道交於壬與赤道交於癸成甲癸壬正弧三角形甲為黄道赤道交角當戊乙弧二十三度三十分癸為直角葢庚辛二極即赤道之極皆距赤道九十度故凡過南北極經圈與赤道所成之角皆為直角其相當之弧皆九十度又如子丑為黄道兩極若從子丑二處作子寅卯丑過黄極經圈與黄道交於卯與赤道交於寅成甲寅卯正弧三角形則卯亦為直角葢子丑為黄道兩極皆距黄道九十度故凡過黄極經圈與黄道所成之角皆為直角其相當之弧皆九十度由此推之凡有一圈必有兩極其過兩極圈與本圈相交必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形可知矣正弧三角形八線勾股比例圖說(設黄道四十五度)甲為黄道赤道交角甲乙為黄道四十五度甲丙為赤道同升度乙丙為黄赤距度成甲乙丙正弧三角形甲丁甲戊皆象限丁戊為黄赤大距二十三度三十分即甲角度己為北極庚為南極己丁庚壬為二極二至交圈甲為春分丁為夏至辛為秋分壬為冬至癸為地心己乙丙庚為過南北二極經圈其甲乙丙三角形之八線各成相當比例之勾股形丁子為甲角之正弦子癸為甲角之餘弦丑戊為甲角之正切丑癸為甲角之正割戊癸丁癸皆為半徑成丑戊癸及丁子癸同式兩勾股形乙寅為乙丙距緯弧之正弦乙卯為甲乙黄道弧之正弦将兩正弦之寅卯二處作虚線聨之成乙寅卯勾股形(兩正弦之末立於各半徑寅卯)(二處而寅卯二處皆未抵於弧界故不得為正弦今)(以虚線聨之者為眀勾股之理也)辰丙為乙丙距緯弧之正切丙己為甲丙赤道弧之正弦将正切正弦之辰巳二處作虚線聨之成辰丙巳勾股形午甲為甲乙黄道弧之正切未甲為甲丙赤道弧之正切将兩正切之午未二處作虚線聨之成午未甲勾股形此三勾股形與前二勾股形皆為同式形夫甲癸辛原係一線如将甲癸辛平視之則甲癸辛合成一㸃而辛癸卯己甲五角皆合為一角甲戊象限亦成一直線而戊癸半徑寅卯聨線丙己正弦未甲正切亦皆合為一線矣赤道既平置則黄道斜倚従辛視之甲丁象限亦成一直線而丁癸半徑乙卯正弦辰巳聨線午甲正切亦皆合為一線矣夫五勾股形既同角而各股皆合為赤道之一線各弦皆合為黄道之一線則各勾必皆與赤道徑線相交成直角而自将平行故皆為相當比例之勾股形而可以互相比例也正弧三角形用次形圖說如甲乙丙形可易為乙己丁次形葢甲戊甲丁己丙己戊四弧皆象限九十度於甲丁象限弧内減去甲乙弧餘乙丁弧即次形之乙丁邊於己丙象限弧内減去乙丙弧餘己乙弧即次形之己乙邊於己戊象限弧内減去丁戊弧(即甲角度)餘己丁弧即次形之己丁邊於甲戊象限弧内減去甲丙弧餘丙戊弧即次形之己角度是次形之三邊一角即本形三邊一角之餘度而用弦形之餘弦餘切實即用次形之正弦正切也弦次形之丁角為直角與本形之丙角等乙為交角其度又等故算乙己丁形即得甲乙丙形也又甲乙丙形可易為己庚辛次形葢庚丁為象限弧與己戊等則庚己與丁戊等(丁戊即甲角度)故本形之甲角即次形之庚己邊乙辛壬庚乙壬皆為象限弧與甲丁等則壬丁即與甲乙等故本形之甲乙邊即次形之庚角(庚壬與庚丁俱象限故壬丁弧為庚)(角度)乙壬與乙辛既皆為象限則辛壬弧即乙角之度故象限内減去乙角之辛壬弧餘即次形之庚辛邊丙戊弧即己角之度故於甲戊象限弧内減去甲丙弧餘丙戊弧即次形之己角又次形之辛角為直角與本形之丙角等次形之辛己邊與本形之乙丙邊等(辛乙與己丙等故辛己與乙丙等)故算己庚辛形亦得甲乙丙形也正弧三角形邊角相求法正弧三角形邊角相求錯綜變換共三十則用黄赤交角所生八線勾股比例者九用黄道交極圏角所生八線勾股比例者亦九用次形者十二依題比類列目於前按法循序設問於後以便觀覽有直角有黄赤交角有黄道求距緯(第一)有直角有黄赤交角有黄道求赤道(并見第一)有直角有黄赤交角有黄道求黄道交極圏角(并見第一)有直角有黄赤交角有赤道求距緯(第二)有直角有黄赤交角有赤道求黄道(并見第二)有直角有黄赤交角有赤道求黄道交極圏角(并見第二)有直角有黄赤交角有距緯求黄道(第三)有直角有黄赤交角有距緯求赤道(并見第三)有直角有黄赤交角有距緯求黄道交極圏角(并見第三)有直角有黄道有赤道求黄赤交角(第四)有直角有黄道有赤道求距緯(并見第四)有直角有黄道有赤道求黄道交極圏角(并見第四)有直角有黄道有距緯求黄赤交角(第五)有直角有黄道有距緯求赤道(并見第五)有直角有黄道有距緯求黄道交極圏角(并見第五)有直角有赤道有距緯求黄赤交角(第六)有直角有赤道有距緯求黄道(并見第六)有直角有赤道有距緯求黄道交極圏角(并見第六)有直角有黄道交極圏角有黄道求赤道(與第一之)(理同)有直角有黄道交極圏角有黄道求距緯(與第一之)(理同)有直角有黄道交極圏角有黄道求黄赤交角(與第一之理同)有直角有黄道交極圏角有距緯求赤道(與第二之)(理同)有直角有黄道交極圏角有距緯求黄道(與第二之)(理同)有直角有黄道交極圏角有距緯求黄赤交角(與第二之理同)有直角有黄道交極圏角有赤道求黄道(與第三之)(理同)有直角有黄道交極圏角有赤道求距緯(與第三之)(理同)有直角有黄道交極圏角有赤道求黄赤交角(與第三之理同)有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求黄道(第七)有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求赤道(并見第七)有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求距緯(并見第七)設如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度求距緯度及赤道度併黄道交極圏角各㡬何(第一)甲乙丙正弧三角形甲為黄赤交角丙為直角甲乙為黄道弧求乙丙距緯弧則以丙直角為對所知之角其正弦即半徑一千萬為一率甲角二十三度三十分為對所求之角其正弦三百九十八萬七千四百九十一為二率甲乙弧四十五度為所知之邊其正弦七百零七萬一千零六十八為三率求得四率二百八十一萬九千五百八十二為乙丙弧之正弦檢表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距緯弧之度也如圖丁癸為半徑丁子為甲角之正弦乙卯為甲乙弧之正弦乙寅為乙丙弧之正弦丁子癸勾股形與乙寅卯勾股形為同式形故以丁癸與丁子之比同於乙卯與乙寅之比也求甲丙赤道度則以半徑一千萬為一率甲角二十三度三十分之餘弦九百一十七萬零六百零一為二率甲乙弧四十五度之正切一千萬為三率仍得四率九百一十七萬零六百零一為甲丙弧之正切檢表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如圖丁癸為半徑子癸為甲角之餘弦午甲為甲乙弧之正切未甲為甲丙弧之正切丁子癸勾股形與午未甲勾股形為同式形故以丁癸與子癸之比同於午甲與未甲之比也求黄道交極圈之乙角則用次形法以甲乙弧四十五度之餘弦七百零七萬一千零六十八為一率甲角二十三度三十分之餘切二千二百九十九萬八千四百二十五為二率半徑一千萬為三率求得四率三千二百五十二萬四千六百八十三為乙角之正切檢表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交極圈之乙角度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之丁乙弧之正弦為丁子而甲角之餘切即乙己丁次形之己丁弧之正切為丑丁又乙角之正切亦即乙己丁次形之乙角之正切為寅壬而丑丁子勾股形與寅壬癸勾股形為同式形故以丁子與丑丁之比同於壬癸與寅壬之比也此法用乙己丁次形有丁乙邊(甲乙餘弧)己丁邊(甲角餘弧)及丁直角求乙角即與有赤道有距緯求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角丁乙即如赤道己乙即如黄道己丁即如距緯其八線所成之勾股皆由乙角而生故其相當之比例皆同也設如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度三十一分二十二秒求距緯度及黄道度併黄道交極圈角各㡬何(第二)甲乙丙正弧三角形甲為黄赤交角丙為直角甲丙為赤道弧求乙丙距緯弧則以半徑一千萬為一率甲角二十三度三十分之正切四百三十四萬八千一百二十四為二率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正弦六百七十五萬八千八百二十一為三率求得四率二百九十三萬八千八百一十九為乙丙弧之正切檢表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距緯弧之度也如圖戊癸為半徑丑戊為甲角之正切丙己為甲丙弧之正弦辰丙為乙丙弧之正切丑戊癸勾股形與辰丙己勾股形為同式形故以戊癸與丑戊之比同於丙已與辰丙之比也求甲乙黄道度則以甲角二十三度三十分之餘弦九百一十七萬零六百零一為一率半徑一千萬為二率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正切九百一十七萬零六百零一為三率仍得四率一千萬為甲乙弧之正切檢表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如圖子癸為甲角之餘弦丁癸為半徑未甲為甲丙弧之正切午甲為甲乙弧之正切丁子癸勾股形與午未甲勾股形為同式形故以子癸與丁癸之比同於未甲與午甲之比也求黄道交極圈之乙角則用次形法以半徑一千萬為一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秘之餘弦七百三十七萬零九十八為二率甲角二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率二百九十三萬八千八百二十為乙角之餘弦檢表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交極圈之乙角度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為己庚辛葢甲丙弧之餘弦即己庚辛次形之己角之正弦為卯辰而甲角之正弦亦即己庚辛次形之己庚弧之正弦為庚己又乙角之餘弦即己庚辛次形之庚辛弧之正弦為庚午而庚午巳勾股形與卯辰癸勾股形為同式形故卯癸與卯辰之比同於庚己與庚午之比也此法用己庚辛次形有己角(甲丙餘弧)己庚邊(與甲角等)及辛直角求庚辛邊(乙角餘弧)即與有黄赤交角有黄道求距緯之理同葢己角即如黄赤交角己庚即如黄道己辛即如赤道庚辛即如距緯其八線所成之勾股皆由己角而生故其相當之比例皆同也設如黄赤交角二十三度三十分距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄道度及赤道度併黄道交極圈角各㡬何(第三)甲乙丙正弧三角形甲為黄赤交角丙為直角乙丙為距緯弧求甲乙黄道弧則以甲角二十三度三十分為對所知之角其正弦三百九十八萬七千四百九十一為一率丙直角為對所求之角其正弦即半徑一千萬為二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秘為所知之邊其正弦二百八十一萬九千五百八十二為三率求得四率七百零七萬一千零六十八為甲乙弧之正弦檢表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如圖丁子為甲角之正弦丁癸為半徑乙寅為乙丙弧之正弦乙卯為甲乙弧之正弦丁子癸勾股形與乙寅卯勾股形為同式形故丁子與丁癸之比同於乙寅與乙卯之比也求甲丙赤道度則以甲角二十三度三十分之正切四百三十四萬八千一百二十四為一率半徑一千萬為二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之正切二百九十三萬八千八百一十九為三率求得四率六百七十五萬八千八百二十一為甲丙弧之正弦檢表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如圖丑戊為甲角之正切戊癸為半徑辰丙為乙丙弧之正切丙己為甲丙弧之正弦丑戊癸勾股形與辰丙己勾股形為同式形故丑戊與戊癸之丙同於辰丙與丙己之比也求黄道交極圈之乙角則用次形法以乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之餘弦九百五十九萬四千二百六十七為一率甲角二十三度三十分之餘弦九百一十七萬零六百零一為二率半徑一千萬為三率求得四率九百五十五萬八千四百一十七為乙角之正弦檢表得七十二度五十四分三十四秘即黄道交極圈之乙角度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之己乙弧之正弦為己未而甲角之餘弦即乙己丁次形之己丁弧之正弦為巳申又乙角之正弦亦即乙己丁次形之乙角之正弦為辛酉而巳申未勾股形與辛酉癸勾股形為同式形故巳未與巳申之比同於辛癸與辛酉之比也設如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分二十二秒求黄赤交角及距緯度併黄道交極圈角各幾何(第四)甲乙丙正弧三角形丙為直角甲乙為黄道弧甲丙為赤道弧求黄赤相交之甲角則以甲乙弧四十五度之正切一千萬為一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正切九百一十七萬零六百零一為二率半徑一千萬為三率仍得四率九百一十七萬零六百零一為甲角之餘弦檢表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如圖午甲為甲乙弧之正切未甲為甲丙弧之正切丁癸為半徑子癸為甲角之餘弦午未甲勾股形與丁子癸勾股形為同式形故午甲與未甲之比同於丁癸與子癸之比也求乙丙距緯度則用次形法以甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之餘弦七百三十七萬零九十八為一率半徑一千萬為二率甲乙弧四十五度之餘弦七百零七萬一千零六十八為三率求得四率九百五十九萬四千二百六十六為乙丙弧之餘弦檢表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距緯弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢甲丙弧之餘弦即乙己丁次形之己角之正弦為丙辰而甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦為乙子又乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦為乙未而丙辰癸勾股形與乙子未勾股形為同式形故丙辰與丙癸之比同於乙子與乙未之比也此法用乙己丁次形有己角(甲丙餘弧)乙丁邊(甲乙餘弧)及丁直角求乙己邊(乙丙餘弧)即與有黄赤交角有距緯求黄道之理同葢己角即如黄赤交角己乙即如黄道己丁即如赤道乙丁即如距緯其八線所成之勾股皆由己角而生故其相當之比例皆同也求黄道交極圈之乙角則以甲乙弧四十五度為對所知之邊其正弦七百零七萬一千零六十八為一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒為對所求之邊其正弦六百七十五萬八千八百二十一為二率丙直角九十度為所知之角其正弦即半徑一千萬為三率求得四率九百五十五萬八千四百一十六為乙角之正弦檢表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交極圈之乙角度也如圖甲申為甲乙弧之正弦甲酉為甲丙弧之正弦戌癸為半徑戌亥為乙角之正弦甲酉申勾股形與戌亥癸勾股形為同式形故甲申與甲酉之比同於戌癸與戌亥之比也此與有黄道有距緯求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角甲乙為黄道乙丙即如赤道甲丙即如距緯其八線所成之勾股皆由乙角而生故其相當之比例皆同也設如黄道弧四十五度距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及赤道度併黄道交極圈角各㡬何(第五)甲乙丙正弧三角形丙為直角甲乙為黄道弧乙丙為距緯弧求黄赤相交之甲角則以甲乙弧四十五度為對所知之邊其正弦七百零七萬一千零六十八為一率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒為對所求之邊其正弦二百八十一萬九千五百八十二為二率丙直角九十度為所知之角其正弦即半徑一千萬為三率求得四率三百九十八萬七千四百九十一為甲角之正弦檢表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如圖乙卯為甲乙弧之正弦乙寅為乙丙弧之正弦丁癸為半徑丁子為甲角之正弦乙寅卯勾股形與丁子癸勾股形為同式形故乙卯與乙寅之比同於丁癸與丁子之比也求甲丙赤道度則用次形法以乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之餘弦九百五十九萬四千二百六十七為一率甲乙弧四十五度之餘弦七百零七萬一千零六十八為二率半徑一千萬為三率求得四率七百三十七萬零一百一十三為甲丙弧之餘弦檢表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦為乙未而甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦為乙子又甲丙弧之餘弦即乙己丁次形之己角之正弦為丙辰而乙子未勾股形與丙辰癸勾股形為同式形故乙未與乙子之比同於丙癸與丙辰之比也求黄道交極圈之乙角則與前第四問有黄道有赤道求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角甲乙為黄道乙丙即如赤道其勾股比例同也設如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄道度併黄道交極圈角各㡬何(第六)甲乙丙正弧三角形丙為直角甲丙為赤道弧乙丙為距緯弧求黄赤相交之甲角則以甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正弦六百七十五萬八千八百二十一為一率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之正切二百九十三萬八千八百一十九為二率半徑一千萬為三率求得四率四百三十四萬八千一百零九為甲角之正切檢表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如圖丙己為甲丙弧之正弦辰丙為乙丙弧之正切戊癸為半徑丑戊為甲角之正切辰丙己勾股形與丑戊癸勾股形為同式形故丙己與辰丙之比同於戊癸與丑戊之比也求甲乙黄道度則用次形法以半徑一千萬為一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之餘弦七百三十七萬零九十八為二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之餘弦九百五十九萬四千二百六十七為三率求得四率七百零七萬一千零六十八為甲乙弧之餘弦檢表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢甲丙弧之餘弦即乙己丁次形之己角之正弦為丙辰而乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦為乙未又甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦為乙子而丙辰癸勾股形與乙子未勾股形為同式形故丙癸與丙辰之比同於乙未與乙子之比也求黄道交極圈之乙角則與求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角乙丙即如赤道甲丙即如距緯其勾股比例同也設如黄赤交角二十三度三十分黄道交極圈角七十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度併距緯度各㡬何(第七)甲乙丙正弧三角形甲為黄赤交角丙為直角乙為黄道交極圈角求甲乙黄道弧則用次形法以乙角七十二度五十四分三十四秒之正切三千二百五十二萬四千六百八十三為一率半徑一千萬為二率甲角二十三度三十分之餘切二千二百九十九萬八千四百二十五為三率求得四率七百零七萬一千零六十八為甲乙弧之餘弦檢表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢乙角之正切亦即乙己丁次形之乙角之正切為寅壬而甲角之餘切即乙己丁次形之丁己弧之正切為丑丁又甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之丁乙弧之正弦為丁子而寅壬癸勾股形與丑丁子勾股形為同式形故寅壬與壬癸之比同於丑丁與丁子之比也求甲丙赤道弧亦用次形法以甲角二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為一率乙角七十二度五十四分三十四秒之餘弦二百九十三萬八千八百二十為二率半徑一千萬為三率求得四率七百三十七萬零九十八為甲丙弧之餘弦檢表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為己庚辛葢甲角之正弦亦即己庚辛次形之庚己弧之正弦為庚己而乙角之餘弦即己庚辛次形之庚辛弧之正弦為庚午又甲丙弧之餘弦即己庚辛次形之己角之正弦為卯辰而庚午己勾股形與卯辰癸勾股形為同式形故庚己與庚午之比同於卯癸與卯辰之比也求乙丙距緯弧亦用次形法以乙角七十二度五十四分三十四秒之正弦九百五十五萬八千四百一十七為一率半徑一千萬為二率甲角二十三度三十分之餘弦九百一十七萬零六百零一為三率求得四率九百五十九萬四千二百六十七為乙丙弧之餘弦檢表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距緯弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢乙角之正弦亦即乙己丁次形之乙角之正弦為辛酉而甲角之餘弦即乙己丁次形之己丁弧之正弦為巳申又乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之己乙弧之正弦為己未而辛酉癸勾股形與巳申未勾股形為同式形故辛酉與辛癸之比同於巳申與巳未之比也御製厯象考成上編卷二
## 上編卷三
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷三弧三角形下斜弧三角形論斜弧三角形邊角比例法斜弧三角形作垂弧法斜弧三角形用總較法(次形法附)斜弧三角形設例八則斜弧三角形論弧三角之有斜弧形猶直線三角之有銳鈍形也但直線三角之銳鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱銳或三角俱鈍或兩銳一鈍或兩鈍一銳其三邊或俱大過於九十度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參錯成形為類甚多而新法算書所載推算之法抑復繁雜難稽葢三角三邊各有八線但線與線之比例相當即可相求是故或同步一星或同推一數而所用之法彼此互異遂使學者莫知所從兹約以三法求之無論角之銳鈍邊之大小並視先所知之三件為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角(或求角而無對角之邊或求邊而無對邊之角)則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角(或三邊求)(角或有兩邊一角而角在所知兩邊之間或三角求邊或有兩角一邊而邊在所知兩角之間)則用總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降出沒經緯之縱橫交加無不可推測而知矣斜弧三角形邊角比例法凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角者則用邊角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求丙角則乙丙為對所知之邊甲為所知之角甲乙為對所求之邊乃以對所知之乙丙邊正弦與對所求之甲乙邊正弦之比同於所知之甲角正弦與所求之丙角正弦之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊邊而求戊己邊則己角為對所知之角丁戊為所知之邊丁為對所求之角乃以對所知之己角正弦與對所求之丁角正弦之比同於所知之丁戊邊正弦與所求之戊己邊正弦之比也斜弧三角形作垂弧法凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角者則用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求乙角及甲丙邊乃自乙角作乙丁垂弧於形内分為甲乙丁丙乙丁兩正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分邊及乙分角葢此形有甲角有甲乙邊有丁直角以丁角正弦(即半徑)與甲角正弦之比同於甲乙邊正弦與乙丁垂弧正弦之比而得乙丁垂弧以半徑與甲角餘弦之比同於甲乙邊正切與甲丁邊正切之比而得甲丁分邊以甲乙邊正弦與甲丁邊正弦之比同於丁角正弦(即半徑)與乙分角正弦之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分邊葢此形有乙丙邊有乙丁垂弧有丁直角以乙丙邊正切與乙丁垂弧正切之比同於半徑與乙分角餘弦之比而得乙分角以丁角正弦(即半徑)與乙分角正弦之比同於乙丙邊正弦與丁丙邊正弦之比而得丁丙分邊既得兩分角並之即乙角得兩分邊並之即甲丙邊也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚邊而求戊庚邊及己角乃自己角作己辛垂弧於形外將戊庚弧引長至辛作戊己辛庚己辛兩正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚邊及己虚角葢此形有庚外角有己庚邊有辛直角以辛角正弦(即半徑)與庚角正弦之比同於己庚邊正弦與己辛垂弧正弦之比而得己辛垂弧以半徑與庚角餘弦之比同於己庚邊正切與庚辛虚邊正切之比而得庚辛虛邊以己庚邊正弦與庚辛邊正弦之比同於辛角正弦(即半徑)與己虚角正弦之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛總邊及己總角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切與半徑之比同於己辛垂弧正切與戊辛邊弦弦之比而得戊辛總邊以己辛垂弧正弦與戊辛邊正弦之比同於戊角正弦與己角弦弦之比而得己總角既得戊辛總邊内減去庚辛虚邊即戊庚邊得己總角内減去己虚角即己角也斜弧三角形用總較法凡斜弧三角形知三邊求角者則用總較法以角傍之兩邊相加為總弧相減為較弧各取其餘弦相加減(總弧較弧俱不過象限或俱過象限則兩餘弦)(相減若一過象限一不過象限則兩餘弦相加其或)(過二象限者與過一象限同過三象限者與不過象)(限同)折半為中數又以對邊之矢與較弧之矢相減餘為矢較乃以中數與矢較為比同於半徑與所求角之正矢之比也如知兩邊一角而角在兩邊之間者以半徑與所知角之正矢為比同於中數與矢較之比既得矢較與較弧之矢相加即得對邊之矢也如甲乙丙斜弧三角形有三邊求甲角則以甲角傍之甲乙甲丙二邊相加得乙丁(甲丙甲戊甲丁三弧同為丁戊距等圈所截故)(其度相等)為總弧其正弦為丁己餘弦為己庚甲乙與甲丙相減餘乙戊為較弧其正弦為戊辛餘弦為辛庚兩餘弦相加得己辛(乙丁總弧)(過象限乙戊較弧不過象限其兩餘弦在圜心之兩)(邊故相加)折半得辛壬與癸子等為中數乙丙對邊與乙丑等(乙丙與乙丑兩弧同為丑寅距等圈所截)(故其度相等)其正弦為丑卯餘弦為卯庚正矢為乙卯以乙卯與乙戊較弧之正矢乙辛相減餘辛卯與辰巳等為矢較戊辰巳與戊癸子為同式兩勾股形故癸子與辰巳之比同於戊子與戊巳之比也又午庚為半徑戊子為距等圈之半徑午未與戊己兩段同為甲丙申大圈所分則戊子與戊己之比原同於午庚與午未之比是以中數癸子與矢較辰巳之比即同於半徑午庚與甲角正矢午未之比也以午未與午庚半徑相減餘未庚為甲角之餘弦檢表即得甲角所當午申弧之度也若先有甲角及甲乙甲丙二邊求乙丙對邊則以半徑午庚與甲角正矢午未之比即同於中數癸子與矢較辰巳之比既得辰巳與辛卯等與乙戊較弧之正矢乙辛相加得乙卯為乙丙對邊之正矢也如有甲乙甲丙乙丙三邊求乙角則以乙角傍甲乙乙丙二邊相加得甲丁(乙丙乙丁乙戊三弧同為)(戊丁距等圈所截故其度相等)為總弧其正弦為丁己餘弦為己庚甲乙與乙丙相減餘甲戊為較弧其正弦為戊辛餘弦為辛庚兩餘弦相減餘辛己(甲丁總弧甲戊較弧皆不過象限其兩餘)(弦同在圜心之一邊故相減)折半得辛壬與癸子等為中數甲丙對邊與甲丑等(甲丙與甲丑兩弧同)(為寅丑距等圈所截故其度相等)其正弦為丑卯餘弦為卯庚正矢為甲卯以甲卯與甲戊較弧之正矢甲辛相減餘辛卯與辰巳等為矢較戊癸子與戊辰巳為同式兩勾股形故癸子與辰巳之比同於戊子與戊巳之比也又午庚為半徑戊子為距等圈之半徑戊巳與午未兩段同為乙丙申大圈所分則戊子與戊巳之比原同於午庚與午未之比是以中數癸子與矢較辰巳之比即同於半徑午庚與乙角大矢午未之比也(凡鈍)(角所用諸線皆與外角同惟矢則有正矢大矢之别)(如庚未為乙銳角所當申酉弧之餘弦亦為乙鈍角)(所當午申弧之餘弦檢表銳角即得本角度鈍角與)(半周相減亦即得本角度而未酉為乙銳角之正矢)(乃於酉庚半徑内減庚未餘弦午未為乙鈍角之大)(矢乃於午庚半徑加庚未餘弦也此正矢大矢之别)(過弧亦然)於午未大矢内減午庚半徑餘庚未為乙角之餘弦檢表得乙外角度與半周相減餘即乙鈍角之度也若先有乙鈍角及甲乙乙丙二邊求甲丙對邊則以半徑午庚與乙角大矢午未之比即同於中數癸子與矢較辰巳之比既得辰巳與辛卯等與甲戊較弧之正矢甲辛相加得甲卯為甲丙對邊之正矢也斜弧三角形知三角求邊者則用次形法如甲乙丙形可易為丁戊己次形葢甲角之度當庚辛弧而庚辛與己戊等(庚己與辛戊皆象限故庚)(辛與己戊等)故本形之甲角即次形之己戊邊乙外角之度當壬癸弧而壬癸與己丁等(壬己與癸丁皆象限故壬癸與己丁等)故本形之乙外角即次形之己丁邊丙角之度當子丑弧而子丑與戊丁等(子戊)(與丑丁皆象限故子丑與戊丁等)故本形之丙角即次形之戊丁邊是本形之三角即次形之三邊也又次形丁角之度當癸丑弧而癸丑與乙丙等(丙丑與乙癸皆象限故癸丑與乙丙等)故次形之丁角即本形之乙丙邊戊外角之度當辛子弧而辛子與甲丙等(丙子與甲)(辛皆象限故辛子與甲丙等)故次形之戊外角即本形之甲丙邊己角之度當庚壬弧而庚壬與甲乙等(乙壬與甲庚皆象限故庚)(壬與甲乙等)故次形之己角即本形之甲乙邊是本形之三邊即次形之三角也故用丁己戊次形仍用總較法算之求得次形之三角即得本形之三邊也如有乙角丙角及乙丙邊而求甲角亦用丁戊己次形有己丁邊戊丁邊及丁角仍用總較法算之求得己戊邊即甲角也設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求太陽距赤道緯度幾何甲乙丙三角形甲為北極乙為天頂丙為太陽乙丁戊己為子午經圏乙丙癸戊為地平經圏丁己為地平庚辛為赤道庚壬為申正初刻距午正赤道六十度即甲角丙癸為太陽髙三十二度(即地平緯度一名髙弧)與乙癸象限相減餘太陽距天頂五十八度即乙丙邊丁癸為地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒與丁己半周相減餘癸己九十八度一十七分一十二秒即乙角丙壬為太陽距赤道緯度與甲壬象限相減餘甲丙邊為太陽距北極度故用甲乙丙三角形有甲乙二角及乙丙邊求甲丙邊以甲角六十度為對所知之角其正弦八百六十六萬零二百五十四為一率乙角九十八度一十七分一十二秒為對所求之角其正弦九百八十九萬五千五百九十三為二率乙丙五十八度為所知之邊其正弦八百四十八萬零四百八十一為三率求得四率九百六十九萬零一百七十六為所求甲丙邊之正弦檢表得七十五度四十二分零一秒即甲丙弧之度與九十度相減餘一十四度一十七分五十九秒即太陽距赤道北之緯度也此法用邊角相比例與直線三角形同但直線三角形以角之正弦與邊相比(見數理精)(藴第十七卷)此以角之正弦與邊之正弦相比其比例之理一也又以正弧之理明之試將甲乙弧引長至丁自丙角作丙丁垂弧則成甲丁丙乙丁丙兩正弧三角形先求乙丁丙形丁角正弦(即半徑)為一率乙角正弦為二率乙丙正弦為三率丙丁正弦為四率此第一比例也次求甲丁丙形甲角正弦為一率丁角正弦(即半徑)為二率丙丁正弦為三率甲丙正弦為四率此第二比例也然第二比例之二率三率即第一比例之一率四率而二率三率相乘與一率四率相乘之數等故用第一比例之二率三率而用第二比例之一率即得第二比例之四率此有對角求對邊之法也設如太陽距赤道北一十四度一十七分五十九秒測得髙弧三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求係何時刻甲乙丙三角形甲為北極乙為天頂丙為太陽丙壬為太陽距赤道北一十四度一十七分五十九秒甲丙即為太陽距北極七十五度四十二分零一秒丙癸為太陽髙三十二度乙丙即為太陽距天頂五十八度丁癸為地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒癸己為九十八度一十七分一十二秒即乙角庚壬為太陽距午正赤道度即甲角故用甲乙丙三角形有乙角及甲丙乙丙二邊求甲角以甲丙七十五度四十二分零一秒為對所知之邊其正弦九百六十九萬零一百七十六為一率乙丙五十八度為對所求之邊其正弦八百四十八萬零四百八十一為二率乙角九十八度一十七分一十二秒為所知之角其正弦九百八十九萬五千五百九十三為三率求得四率八百六十六萬零二百五十四為所求甲角之正弦檢表得六十度即甲角度以六十度變得二時從午正初刻後計之(因偏西故為午正後)為申正初刻也此有對邊求對角之法也設如北極出地四十度申正初刻測得太陽髙三十二度求太陽距赤道緯度及地平經度各幾何甲乙丙三角形甲為北極乙為天頂丙為太陽甲己為北極出地四十度甲乙即為北極距天頂五十度庚壬為申正初刻距午正赤道六十度即甲角丙癸為太陽髙三十二度乙丙即為太陽距天頂五十八度丙壬為太陽距赤道緯度甲丙為其餘丁癸為地平經度即乙角之外角(甲乙)(丙形之乙角當癸己弧其癸乙丁外角即當丁癸弧)故用甲乙丙三角形有甲角及甲乙乙丙二邊求甲丙邊及乙角乃自乙角作乙丁垂弧分為甲乙丁丙乙丁兩正弧三角形先求甲乙丁形以丁角正弦即半徑一千萬為一率甲角六十度之正弦八百六十六萬零二百五十四為二率甲乙五十度之正弦七百六十六萬零四百四十四為三率求得四率六百六十三萬四千一百三十九為乙丁弧之正弦檢表得四十一度三十三分三十九秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤交角有黃道求距緯之法)(葢甲角即如黄赤交角甲乙即如黃道甲丁即如赤)(道乙丁即如距緯)又以半徑一千萬為一率甲角六十度之餘弦五百萬為二率甲乙五十度之正切一千一百九十一萬七千五百三十六為三率求得四率五百九十五萬八千七百六十八為甲丁弧之正切檢表得三十度四十七分二十三秒即甲丁弧之度也(此即)(正弧三角形有黃赤交角有黃道求赤道之法)又以甲乙五十度之正弦七百六十六萬零四百四十四為一率甲丁三十度四十七分二十三秒之正弦五百一十一萬八千八百八十八為二率丁角正弦即半徑一千萬為三率求得四率六百六十八萬二千二百三十四為乙分角之正弦檢表得四十一度五十五分四十八秒即乙分角之度也(此即正弧三角形有黃道)(有赤道求黃道交極圏角之法)次求乙丙丁形以乙丁四十一度三十三分三十九秒之餘弦七百四十八萬二千五百二十六為一率乙丙五十八度之餘弦五百二十九萬九千一百九十三為二率半徑一千萬為三率求得四率七百零八萬二千零九十一為丙丁弧之餘弦檢表得四十四度五十四分三十八秒即丙丁弧之度也(此即正弧三角形有黃道有距緯求)(赤道之法葢丙角即如黃赤交角乙丙即如黃道丙)(丁即如赤道乙丁即如距緯)又以乙丙五十八度之正弦八百四十八萬零四百八十一為一率丙丁四十四度五十四分三十八秒之正弦七百零六萬零二十七為二率丁角正弦即半徑一千萬為三率求得四率八百三十二萬五千零三十為乙分角之正弦檢表得五十六度二十一分二十四秒即乙分角之度也(此即正弧)(三角形有黃道有距緯求黄赤交角之法葢乙分角)(即如黃赤交角乙丙即如黃道乙丁即如赤道丙丁)(即如距緯)乃以甲丁丙丁相併得甲丙七十五度四十二分零一秒即太陽距北極度與九十度相減餘一十四度一十七分五十九秒即太陽距赤道北之緯度(如甲丙大於九十度則減去九十度餘為太陽距赤)(道南之緯度)以兩乙分角相併得九十八度一十七分一十二秒與一百八十度相減餘八十一度四十二分四十八秒即太陽距午正偏西之地平經度也此作垂弧於形内之法也設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求北極出地度幾何甲乙丙三角形甲為北極乙為天頂丙為太陽丙癸為太陽髙三十二度乙丙即為太陽距天頂五十八度庚壬為申正初刻距午正赤道六十度即甲角丁癸為地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒即乙角之外角甲己為北極出地度甲乙為其餘故用甲乙丙三角形有甲乙二角及乙丙邊求甲乙邊乃自丙角作丙丁垂弧補成甲丙丁乙丙丁兩正弧三角形先求乙丙丁形以丁角正弦即半徑一千萬為一率乙角九十八度一十七分一十二秒之正弦九百八十九萬五千五百九十三為二率乙丙五十八度之正弦八百四十八萬零四百八十一為三率求得四率八百三十九萬一千九百三十九為丙丁弧之正弦檢表得五十七度零三分一十八秒即丙丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤)(交角有黃道求距緯之法葢乙角即如黃赤交角乙)(丙即如黃道乙丁即如赤道丙丁即如距緯)又以半徑一千萬為一率乙角九十八度一十七分一十二秒之餘弦一百四十四萬一千二百六十為二率乙丙五十八度之正切一千六百萬零三千三百四十五為三率求得四率二百三十萬六千四百九十八為乙丁弧之正切檢表得一十二度五十九分一十七秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤交角有黃道求赤道)(之法)次求甲丙丁形以甲角六十度之正切一千七百三十二萬零五百零八為一率半徑一千萬為二率丙丁五十七度零三分一十八秒之正切一千五百四十三萬一千零五十九為三率求得四率八百九十萬九千一百二十六為甲丁弧之正弦檢表得六十二度五十九分一十七秒即甲丁弧之度也(此即正弧)(三角形有黃赤交角有距緯求赤道之法葢甲角即)(如黃赤交角甲丙即如黃道甲丁即如赤道丙丁即)(如距緯)乃以甲丁與乙丁相減餘甲乙五十度即北極距天頂又與九十度相減餘四十度即北極出地度也(若求丙角則求得丙總角與丙虚角相減即得)此作垂弧於形外之法也設如大角星黃道緯北三十一度零三分赤道緯北二十度五十八分四十七秒黃極赤極(即北極)相距二十三度三十分求黃道經度赤道經度各幾何甲乙丙三角形甲為赤極(即北極)乙為黃極甲乙相距二十三度三十分丙為大角星丁戊為黃道己庚為赤道丙辛為黃道緯北三十一度零三分乙丙即為星距黃極五十八度五十七分丙壬為赤道緯北二十度五十八分四十七秒甲丙即為星距赤極六十九度零一分一十三秒丁辛為星距夏至後黃道經度即乙角己壬為星距夏至後赤道經度即甲角之外角故用甲乙丙三角形有甲乙甲丙乙丙三邊求甲乙二角先求乙角則以夾乙角之甲乙邊二十三度三十分與乙丙邊五十八度五十七分相加得八十二度二十七分為總弧其餘弦一百三十一萬三千九百一十三又以甲乙乙丙兩邊相減餘三十五度二十七分為較弧其餘弦八百一十四萬六千二百二十兩餘弦相減(總弧較弧)(俱不過象限或俱過象限則兩餘弦相減若一過象)(限一不過象限則兩餘弦相加其或過二象限者與)(過一象限同過三象限者與不過象限同)餘六百八十三萬二千三百零七折半得三百四十一萬六千一百五十四為中數為一率以對乙角之甲丙邊六十九度零一分一十三秒之正矢六百四十一萬九千六百二十五(餘弦與半)(徑相減得矢度)與較弧三十五度二十七分之正矢一百八十五萬三千七百八十相減餘四百五十六萬五千八百四十五為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率一千三百三十六萬五千四百五十四為乙角之大矢(凡矢度過於半徑者為大矢其)(角即為鈍角)内減半徑一千萬餘三百三十六萬五千四百五十四為乙角之餘弦檢表得七十度二十分與半周相減餘一百零九度四十分為乙角度即星距夏至後黃道經度自夏至未宫初度逆計之為卯宫一十九度四十分也如圖甲乙與乙丙相加得甲癸為總弧(乙丙乙癸乙子三弧同為癸子距等)(圈所截故其度相等)其正弦為癸丑餘弦為丑寅甲乙與乙丙相減餘甲子為較弧其正弦為子卯餘弦為卯寅以丑寅與卯寅兩餘弦相減餘卯丑折半得卯辰與巳午等為中數又對乙角之甲丙邊與甲未等其正弦為未申餘弦為申寅正矢為甲申以甲申與甲子較弧之正矢甲卯相減餘卯申與酉戌等為矢較遂成子酉戌與子巳午同式兩勾股形故巳午與酉戌之比必同於子午與子戌之比也又丁寅為半徑子午為距等圈之半徑子戌與丁亥兩段同為乙丙辛黃道經圈之所分則子午與子戌之比原同於丁寅與丁亥之比是以中數己午與矢較酉戌之比即同於半徑丁寅與乙角大矢丁亥之比也既得丁亥大矢内減丁寅半徑餘寅亥即乙外角之餘弦檢表得乙外角所當辛戊弧之度復與半周相減即得乙角所當丁辛弧之度也既得乙角則以對邊對角之法求之即得甲角度矣如先求甲角則以夾甲角之甲乙邊二十三度三十分與甲丙邊六十九度零一分一十三秒相加得九十二度三十一分一十三秒為總弧其餘弦四十三萬九千七百二十九又以甲乙甲丙兩邊相減餘四十五度三十一分一十三秒為較弧其餘弦七百萬零六千五百六十八兩餘弦相加(總弧過象限較弧不過象限故兩餘)(弦相加)得七百四十四萬六千二百九十七折半得三百七十二萬三千一百四十八為中數為一率以對甲角之乙丙邊五十八度五十七分之正矢四百八十四萬二千一百四十一與較弧四十五度三十一分一十三秒之正矢二百九十九萬三千四百三十二相減餘一百八十四萬八千七百零九為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率四百九十六萬五千四百四十五為甲角之正矢與半徑一千萬相減餘五百零三萬四千五百五十五為甲角之餘弦檢表得五十九度四十六分一十六秒即甲角度與半周相減餘一百二十度一十三分四十四秒即星距夏至後赤道經度自夏至未宫初度逆計之為卯宫初度一十三分四十四秒也如圖甲乙與甲丙相加得乙癸為總弧其正弦為癸子餘弦為子丑甲乙與甲丙相減餘乙寅為較弧其正弦為寅卯餘弦為卯丑兩餘弦相加得卯子(因兩餘弦在圜心之兩邊故相加)折半得卯辰與巳午等為中數又對甲角之乙丙邊與乙未等其正弦為未申餘弦為申丑正矢為乙申以乙申與乙寅較弧之正矢乙卯相減餘卯申與酉戌等為矢較遂成寅巳午與寅酉戌同式兩勾股形故巳午與酉戌之比同於寅午與寅戌之比又庚丑為半徑寅午為距等圈之半徑寅戌與庚亥兩段同為甲丙壬赤道經圈之所分則寅午與寅戌之比原同於庚丑與庚亥之比是以巳午中數與矢較酉戌之比即同於半徑庚丑與甲角正矢庚亥之比也既得庚亥正矢與庚丑半徑相減餘亥丑即甲角之餘弦檢表即得甲角所當庚壬弧之度也既得甲角則以對邊對角之法求之亦即得乙角度矣此三邊求角之法也設如大角星黃道經度距夏至一百零九度四十分赤道經度距夏至一百二十度一十三分四十四秒黃赤兩過極經圈交角二十三度四十二分四十五秒求黃道緯度赤道緯度各幾何甲乙丙三角形甲為赤極(即北極)乙為黃極甲乙為兩極距度丙為大角星丁戊為黃道己庚為赤道丁辛為黃道經度距夏至一百零九度四十分即乙角己壬為赤道經度距夏至一百二十度一十三分四十四秒即甲角之外角丙角為甲壬乙辛兩經圏交角二十三度四十二分四十五秒丙辛為黃道北緯度乙丙為其餘丙壬為赤道北緯度甲丙為其餘故用甲乙丙三角形有甲乙丙三角求乙丙甲丙二邊乃用次形法先求乙丙邊將甲乙丙形易為癸子丑次形葢本形之甲角即次形之子丑邊(甲角當庚壬弧與子丑等)本形乙角之外角即次形之癸丑邊(乙角之外角當戊辛弧與癸丑等)本形之丙角即次形之癸子邊(丙角當寅卯弧與癸子等)本形之甲乙邊即次形之丑角(丁己)(弧與甲乙等即丑角度)本形之乙丙邊即次形之癸角(辛寅弧與乙丙)(等即癸角度)本形之甲丙邊即次形子角之外角(壬卯弧與甲丙)(等即子銳角度為癸子丑形子鈍角之外角)故用癸子丑三角形有三邊求癸角(即乙丙邊)以夾癸角之癸子邊(即丙角)二十三度四十二分四十五秒與癸丑邊(即乙外角)七十度二十分相加得九十四度零二分四十五秒為總弧其餘弦七十萬五千五百四十四又以癸子癸丑兩邊相減餘四十六度三十七分一十五秒為較弧其餘弦六百八十六萬八千二百三十二兩餘弦相加(總弧過象限較弧不)(過象限故兩餘弦相加)得七百五十七萬三千七百七十六折半得三百七十八萬六千八百八十八為中數為一率以對癸角之子丑邊(即甲)(角)五十九度四十六分一十六秒之正矢四百九十六萬五千四百四十五與較弧四十六度三十七分一十五秒之正矢三百一十三萬一千七百六十八相減餘一百八十三萬三千六百七十七為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率四百八十四萬二千一百七十四為癸角之正矢與半徑一千萬相減餘五百一十五萬七千八百二十六為癸角之餘弦檢表得五十八度五十七分即癸角度亦即乙丙邊度與象限相減餘三十一度零三分即黃道北之緯度也既得乙丙邊則以對邊對角之法求之即得甲丙邊矣如先求甲丙邊則用癸子丑次形求子角(子角之外角當壬卯)(弧與甲丙等)以夾子角之子丑邊(即甲角)五十九度四十六分一十六秒與癸子邊(即丙)(角)二十三度四十二分四十五秒相加得八十三度二十九分零一秒為總弧其餘弦一百一十三萬四千八百七十四又以子丑癸子兩邊相減餘三十六度零三分三十一秒為較弧其餘弦八百零八萬四千一百五十二兩餘弦相減(總弧較弧俱不過象限故兩餘弦相減)餘六百九十四萬九千二百七十八折半得三百四十七萬四千六百三十九為中數為一率以對子角之癸丑邊(即乙外角)七十度二十分之正矢六百六十三萬四千五百二十五與較弧三十六度零三分三十一秒之正矢一百九十一萬五千八百四十八相減餘四百七十一萬八千六百七十七為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率一千三百五十八萬零三百三十七為子角之大矢内減半徑一千萬餘三百五十八萬零三百三十七為子角之餘弦檢表得六十九度零一分一十三秒即子角之外角度亦即甲丙邊度與象限相減餘二十度五十八分四十七秒即赤道北之緯度也既得甲丙邊則以對邊對角之法求之亦即得乙丙邊矣此三角求邊之法也設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分黃道南緯度二度三十七分黄極赤極相距二十三度三十分求赤道經度緯度各幾何甲乙丙三角形甲為赤極(即北極)乙為黃極甲乙相距二十三度三十分丙為土星丁戊為赤道己庚為黃道己辛為黃道經度距夏至一百二十二度二十九分即乙角丙辛為黃道南緯度二度三十七分乙丙為星距黃極九十二度三十七分丙壬為赤道南緯度甲丙即星距北極度丁壬為距夏至赤道經度即甲角之外角故用甲乙丙三角形有乙角及甲乙乙丙二邊求甲丙邊及甲角先求甲丙邊以半徑一千萬為一率乙角一百二十二度二十九分之大矢一千五百三十七萬零五百四十二為二率以夾乙角之甲乙邊二十三度三十分與乙丙邊九十二度三十七分相加得一百一十六度零七分為總弧其餘弦四百四十萬二千零四又以甲乙乙丙兩邊相減餘六十九度零七分為較弧其餘弦三百五十六萬四千六百六十二兩餘弦相加(總弧過象限較弧不過象限故兩餘弦相)(加)得七百九十六萬六千六百六十六折半得三百九十八萬三千三百三十三為中數為三率求得四率六百一十二萬二千五百九十九為矢較與較弧六十九度零七分之正矢六百四十三萬五千三百三十八相加得一千二百五十五萬七千九百三十七為甲丙對邊之大矢(凡矢)(度過於半徑者為大矢其弧即為過弧)内減半徑一千萬餘二百五十五萬七千九百三十七為甲丙邊之餘弦檢表得七十五度一十分四十六秒與半周相減餘一百零四度四十九分一十四秒即甲丙邊之度内減九十度餘一十四度四十九分一十四秒為赤道南之緯度也如圖己癸為半徑己子為甲角之大矢甲乙與乙丙相加(乙丙與乙丑乙卯皆相等)得甲丑為總弧其正弦為丑寅餘弦為寅癸甲乙與乙丙相減餘甲卯為較弧其正弦為卯辰餘弦為辰癸兩餘弦相加得辰寅折半得辰巳與午未等為中數又對乙角之甲丙邊與甲申等其正弦為申酉餘弦為酉癸大矢為甲酉以甲酉與甲卯較弧之正矢甲辰相減餘辰酉與戌亥等為矢較遂成卯午未與卯戌亥同式兩勾股形而卯未與卯亥之比同於午未與戌亥之比又卯未為丑卯距等圈之半徑卯亥與巳子兩段同為乙辛丙黃道經圈之所分則卯未與卯亥之比原同於己癸與己子之比是以半徑己癸與乙角大矢己子之比即同於中數午未與矢較戌亥之比也既得戌亥矢較與甲卯較弧之正矢甲辰相加得甲酉即為甲丙弧之大矢内減甲癸半徑餘酉癸為甲丙弧之餘弦亦即丙乾弧之餘弦檢表得丙乾弧之度故與半周相減始為甲丙弧之度也次求甲角則以甲丙弧一百零四度四十九分一十四秒之正弦九百六十六萬七千三百一十六為一率乙丙弧九十二度三十七分之正弦九百九十八萬九千五百七十三為二率乙角一百二十二度二十九分之正弦八百四十三萬五千四百七十七為三率求得四率八百七十一萬六千六百七十一為甲角之正弦檢表得六十度三十九分一十秒即甲角之度與半周相減餘一百一十九度二十分五十秒即星距夏至赤道經度自夏至未宫初度逆計之為辰宫二十九度二十分五十秒也又法將乙丙弧引長至丁自甲作甲丁垂弧補成甲丁乙甲丁丙兩正弧三角形先求甲丁乙形以丁角正弦即半徑一千萬為一率乙外角五十七度三十一分之正弦八百四十三萬五千四百七十七為二率甲乙弧二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率三百三十六萬三千六百三十八為甲丁弧之正弦檢表得一十九度三十九分二十秒即甲丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤)(交角有黃道求距緯之法)又以半徑一千萬為一率乙外角五十七度三十一分之餘弦五百三十七萬零五百四十二為二率甲乙二十三度三十分之正切四百三十四萬八千一百二十四為三率求得四率二百三十三萬五千一百七十八為乙丁弧之正切檢表得一十三度零八分三十八秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角)(形有黄赤交角有黃道求赤道之法)次求甲丁丙形以半徑一千萬為一率乙丙弧九十二度三十七分與乙丁弧一十三度零八分三十八秒相加得丙丁弧一百零五度四十五分三十八秒其餘弦二百七十一萬六千一百七十八為二率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之餘弦九百四十一萬七千三百一十八為三率求得四率二百五十五萬七千九百一十一為甲丙弧之餘弦檢表得七十五度一十分四十六秒與半周相減餘一百零四度四十九分一十四秒即甲丙邊之度也(此即正弧三角形有赤道有距緯求)(黃道之法)既得甲丙邊則以對邊對角之法求之即得甲角矣此兩邊夾一角之法也設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分赤道經度辰宫二十九度二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五十秒黃極赤極相距二十三度三十分求黃道緯度赤道緯度各幾何甲乙丙三角形甲為赤極(即北極)乙為黃極甲乙相距二十三度三十分丙為土星丁戊為赤道己庚為黃道己辛為黃道經度距夏至一百二十二度二十九分即乙角丁壬為赤道經度距夏至一百一十九度二十分五十秒即甲角之外角丙辛為黃道南緯度乙丙為星距黃極度丙壬為赤道南緯度甲丙為星距赤極度故用甲乙丙三角形有甲乙二角及甲乙邊求甲丙乙丙二邊乃用次形法先求丙角將甲乙丙形易為癸子丑次形葢本形之甲角即次形之子丑邊(甲角當壬戊弧與子丑等)本形乙角之外角即次形之癸丑邊(乙外角當辛庚弧與癸丑等)本形之丙角即次形之癸子邊(丙角)(當寅卯弧與癸子等)本形之甲乙邊即次形之丑角(丁己與甲乙等即丑)(角度)本形之乙丙邊與半周相減之餘度即次形癸角之外角(乙丙邊與半周相減餘丙辰與卯辛)(等即辛癸卯角為癸子丑形癸角之外角葢卯丙與)(辛辰皆象限各減辛丙故卯辛與丙辰等)本形之甲丙邊與半周相減之餘度即次形之子角(甲丙邊與)(半周相減餘丙巳與寅壬等即子角度葢寅丙與壬)(巳皆象限各減壬丙故壬寅與丙巳等)故用癸子丑三角形有丑角及癸丑子丑二邊求癸子邊(即丙角)以半徑一千萬為一率丑角二十三度三十分之正矢八十二萬九千三百九十九為二率以癸丑邊(即乙外角)五十七度三十一分與子丑邊(即甲角)六十度三十九分一十秒相加得一百一十八度一十分一十秒為總弧其餘弦四百七十二萬零八百零七又以癸丑子丑兩邊相減餘三度零八分一十秒為較弧其餘弦九百九十八萬五千零二十四兩餘弦相加得一千四百七十萬五千八百三十一折半得七百三十五萬二千九百一十五為中數為三率求得四率六十萬九千八百五十為矢較與較弧三度零八分一十秒之正矢一萬四千九百七十六相加得六十二萬四千八百二十六為癸子對邊之正矢與半徑一千萬相減餘九百三十七萬五千一百七十四為癸子對邊之餘弦檢表得二十度二十一分四十一秒為癸子邊之度亦即丙角度也次求乙丙邊則以丙角之正弦三百四十七萬九千三百八十七為一率甲角六十度三十九分一十秒之正弦八百七十一萬六千六百五十七為二率甲乙邊二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率九百九十八萬九千五百七十三為乙丙邊之正弦檢表得八十七度二十三分與半周相減餘九十二度三十七分即乙丙邊之度内減九十度餘二度三十七分即星距黃道南之緯度也次求甲丙邊以丙角之正弦三百四十七萬九千三百八十七為一率乙角一百二十二度二十九分之正弦八百四十三萬五千四百七十七為二率仍以甲乙邊之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率九百六十六萬七千三百三十一為甲丙邊之正弦檢表得七十五度一十分四十六秒與半周相減餘一百零四度四十九分一十四秒即甲丙邊之度内減九十度餘一十四度四十九分一十四秒即星距赤道南之緯度也又法將乙丙弧引長至丁自甲作甲丁垂弧補成甲丁乙甲丁丙兩正弧三角形先求甲丁乙形以丁角正弦即半徑一千萬為一率乙外角五十七度三十一分之正弦八百四十三萬五千四百七十七為二率甲乙弧二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率三百三十六萬三千六百三十八為甲丁弧之正弦檢表得一十九度三十九分二十秒即甲丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤)(交角有黃道求距緯之法)又以甲乙弧二十三度三十分之正切四百三十四萬八千一百二十四為一率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之正切三百五十七萬一千七百五十二為二率半徑一千萬為三率求得四率八百二十一萬四千四百六十七為甲虚角之餘弦檢表得三十四度四十六分一十二秒即甲虚角之度也(此即正弧三角形有黃道有赤道求)(黃赤交角之法)次求甲丁丙形以丙甲乙角六十度三十九分一十秒與甲虚角三十四度四十六分一十二秒相加得九十五度二十五分二十二秒為丙甲丁角乃以其餘弦九十四萬五千零六十四為一率半徑一千萬為二率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之正切三百五十七萬一千七百五十二為三率求得四率三千七百七十九萬三千七百五十七為甲丙弧之正切檢表得七十五度一十分四十六秒與半周相減餘一百零四度四十九分一十四秒即甲丙邊之度也(此即正弧三角形有黃赤)(交角有赤道求黄道之法)既得甲丙邊則以對邊對角之法求之即得乙丙邊矣此兩角夾一邊之法也御製〔？〕象考成上編卷三
## 上編卷四
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷四日躔歴理南北眞線北極髙度地半徑差黄赤距緯清蒙氣差測歲實以定平行本天髙卑為盈縮之原求兩心差及最髙最髙行及本輪均輪半徑求盈縮差時差(原名日差)曚影刻分晝夜永短節氣時刻南北眞線辨方定位厯象首務盖必先定南北然後可以候中星歩日躔然南北之大勢雖若昜知而立線定向必豪釐不失乃得其眞即用指南針亦有所偏向不可為準其所偏向又隨地不同故欲得南北之眞線者必以測量星日為主法於春秋分日植表於案令極平取日影自午前至午後視表末影所至隨作㸃為識次聯諸㸃成一直線即東西線取東西線之正中作垂線即南北線也或不拘何日植表取影自午前至午後視表末影所至隨作㸃為識次取與表心最近之一㸃為午正表影乃太陽出地平最髙之度依此㸃向表心作直線即南北線也又法用方案令極平作圜數層植表於圜心以取日影凡影圜上者皆作㸃識之乃視午前午後兩㸃同在一圜上者作直線聯之即東西線取東西線之正中向圜心作垂線即南北線也又法植表取日影别用儀噐測得午前日軌髙度作㸃於影末又測得午後日軌髙度與午前等亦作㸃於影末乃以兩㸃作直線聯之即東西線取東西線之正中向表作垂線即南北線也又法於冬至日前後用儀噐測勾陳第五星初昏時此星在北極之西候其漸轉而西至不復西而止至五更後此星在北極之東候其漸轉而東至不復東而止兩表視線之正中即南北線也葢勾陳第五星冬至日酉時在極西卯時在極東他星則離極右逺故止取此星可以得東西之準他時非不可測但或日永夜短卯酉二時星不可見故必於冬至日前後測之也又法取恒星之大者用兩儀噐測之一測其髙度一測其地平經度視此星在東時測其髙度若干隨測其地平經度俟此星轉而西測其髙度與在東時等者復測其地平經度此兩經度之正中即南北線此法與前同然不拘冬至他日皆可用較前法為簡便也北極髙度北極為天之樞紐居其所而不移其出地有髙下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之進退晝夜之永短因之而各異焉盖厯法以日躔出入赤道之度定諸節氣而北極出地之度即赤道距天頂之度倘推測不精髙度差至一分則春秋分必差一時而冬夏至必差一二日日躔既差則月離五星之經緯無不謬矣故測北極出地之髙下最宜精宻不容或略也授時厯測得京師北極出地四十度七十五分以周天三百六十度每度六十分約之為四十度零九分五十一秒新法算書京師北極出地三十九度五十五分今測得暢春園北極出地三十九度五十九分三十秒法於冬至日前後用儀器測勾陳大星出地之度酉時此星在北極之上候其漸轉而髙至不復髙而止為最髙之度卯時此星在北極之下候其漸轉而低至不復低而止為最低之度乃以所測最高最低之度折中取之即北極出地之度也盖北極無星其髙低不可得而見故取星之環繞北極上下者測之惟勾陳大星冬至酉時在最髙卯時在最低可以得髙低之準也又法取恒星之大者測其最髙為若干度若此星為赤道以南之星則以其距赤道之緯與其髙相加得若干即赤道之髙度若此星為赤道以北之星則以其距赤道之緯與其髙相減得若干即赤道之髙度既得赤道之髙與一象限九十度相減餘若干即北極出地之度也此法較之前法為少煩盖因赤道南北之星距赤道之緯俱係測得北極之髙度而後可得而恒星有歲差其緯度亦有増損然存此法與前法參互考騐可也地半徑差凡求七曜出地之髙度必用測量乃測量所得之數與推歩所得之數徃徃不合蓋推歩所得者七曜距地心之髙度而測量所得者七曜距地面之髙度也距地心之髙度為眞髙距地面之髙度為視髙人在地面不在地心故視髙必小於眞髙以有地半徑之差也(或有大於眞髙者則清蒙氣所為也)盖七曜恒星雖皆麗於天而其髙下又各不等惟恒星天為最髙其距地最逺地半徑甚㣲故無視髙眞髙之差若夫七曜諸天則皆有地半徑差今欲求太陽之眞髙必先得地半徑差欲求地半徑差必先得地半徑與日天半徑之比例今随時測太陽之髙度求得地半徑與日天半徑之比例最髙為一與一千一百六十二最卑為一與一千一百二十一比舊定地半徑與日天半徑之比例最髙少二十二最卑多二十一盖太陽髙卑之故由於兩心差然最髙之髙於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非兩心差之全數而止及其半(詳見本輪均輪半徑篇)舊表日天半徑乃依兩心差全數所定故最髙較實測則多最卑較實測必少也如圖甲為地心乙為地面甲乙為地半徑乙丙為地平丁戊己為太陽天庚辛壬癸為恒星天戊為太陽人從地面乙測之對恒星天於壬其視髙為壬乙丙角若從地心甲計之則見太陽於戊者對恒星天於辛其真髙為辛甲癸角此兩髙之差為乙戊甲角即地半徑之差然又時時不同者其故有二一太陽距地平近其差角大漸髙則漸小一太陽在本天上又有髙卑髙則距地心逺其差角小卑則距地心近其差角大(如戊甲線其長短時時不同其所以)(逺近之故詳見於後)今約為最髙與中距及最卑三限(太陽本天髙卑)(細推之每日不同然用以求差角所差甚㣲故止用)(三限)於夏至春秋分冬至時各以所測地面上太陽之髙度求太陽距地心之戊甲線(太陽夏至前後行最髙限春秋分前後行)(中距限冬至前後行最卑限故於三時測之)康熙五十四年乙未五月二十九日甲子午正(夏至後八)(日也以本日太陽躔本天之最髙為距地心之最逺)在暢春園測得太陽髙七十三度一十六分零二十三㣲同時於廣東廣州府測得太陽髙九十度零六分二十一秒四十八㣲以之立法甲為地心乙為暢春園地面庚為天頂子為廣州府地面丑為天頂戊為太陽寅為赤道寅庚弧三十九度五十九分三十秒為暢春園赤道距天頂之度寅丑弧二十三度一十分為廣州府赤道距天頂之度(赤道距天頂數俱係實測所得)以兩處赤道距天頂度相減餘一十六度四十九分三十秒為庚丑弧即庚甲丑角以暢春園髙度與一象限相減餘一十六度四十三分五十九秒三十七㣲為庚乙戊角於廣州府髙度内減去一象限餘六分二十一秒四十八㣲即戊子丑角(戊在天頂丑北)先用乙甲子三角形此形有甲角一十六度四十九分三十秒又有乙甲及子甲邊俱地半徑命為一千萬乃以甲角折半之正弦倍之得二九二五九七七為乙子邊又以甲角與半周相減餘數半之得八十一度三十五分一十五秒為乙角亦即子角次用乙戊子三角形此形有乙子邊二九二五九七七有戊乙子角八十一度四十分四十五秒二十三秒(半周内減去甲乙子角又減去)(庚乙戊角餘即戊乙子角)有戊子乙角九十八度一十八分二十三秒一十二㣲(半周内減去甲子乙)(角又減去戊子丑角餘即戊子乙角)即有乙戊子角五十一秒二十五㣲求得戊子邊一一六一三二二三八三九次用戊子甲三角形此形有戊子邊有子甲邊(地平徑一千萬)有戊子甲之外角六分二十一秒四十八㣲(即戊子丑角)求得戊甲邊一一六二二六四二五一二為太陽在本天最髙時距地心之逺以地半徑較之其比例如一與一千一百六十二也(乙甲一千)(萬與一一六二二六四二五一二之比同於一與一)(千一百六十二有餘之比)末用乙戊甲三角形乙甲邊為一戊甲邊為一一六二戊乙甲之外角一十六度四十三分五十九秒三十七㣲(即庚乙戊)(角)求得乙戊甲角五十一秒零五㣲為最髙限太陽髙七十三度一十六分之地半徑差以加暢春園視髙七十三度一十六分零二十三㣲得七十三度一十六分五十一秒二十八㣲為暢春園太陽之眞髙也於乙戊子角五十一秒二十五㣲内減去乙戊甲角五十一秒零五㣲餘二十㣲為甲戊子角乃最髙限太陽髙九十度零六分二十一秒之地半徑差(即八)(十九度五十三分三十九秒之地半徑差)以減廣州府視髙九十度零六分二十一秒四十八㣲(視髙)(過九十度故減)得九十度零六分二十一秒二十八㣲為廣州府太陽之眞髙也又康熙五十五年丙申三月初五日丙申午正(春分後八)(日也以本日太陽躔本天之中距為距地心之適中)在暢春園測得太陽髙五十三度零三分三十八秒一十㣲同時於廣東廣州府測得太陽髙六十九度五十四分零八秒三十八㣲減去緯差一十四秒餘六十九度五十三分五十四秒三十八㣲(測得廣州府子午線)(在京師之西三度三十三分其午正時乃京師午正)(初刻十四分也夫太陽距緯度夏至時每日止差四)(十餘秒其一刻所差甚㣲可不論若春分時每日差)(至二十四分則十四分時可差一十四秒又春分後)(太陽自卑而髙緯度既差一十四秒則午正之髙度)(亦多一十四秒故必於所測之度減去緯差始為與)(京師子午相當地面之髙度也此即東西里差詳後)(節氣時刻篇)以之立法庚為暢春園天頂丑為廣州府天頂戊為太陽寅為赤道乙甲子三角形之三邊三角俱與前圖等以暢春園髙度與一象限相減餘三十六度五十六分二十一秒五十㣲為庚乙戊角以廣州府髙度與一象限相減餘二十度零六分零五秒二十二㣲為戊子丑角先用乙戊子三角形此形有乙子邊二九二五九七七有戊乙子角六十一度二十八分二十三秒一十㣲(半周内減去甲乙子角又減去庚乙戊角餘即戊乙)(子角)有戊子乙角一百一十八度三十分五十秒二十二㣲(半周内減去甲子乙角加入戊子丑角即)(戊子乙角)即有乙戊子角四十六秒二十八㣲求得戊子邊一一四一○三一○二九九次用戊子甲三角形此形有戊子邊有子甲邊(地半徑一千萬)有戊子甲之外角二十度零六分零五秒二十二㣲(即戊子丑角)求得戊甲邊一一四二一八六七七三○為太陽在本天中距時距地心之逺以地半徑較之其比例如一與一千一百四十二也末用乙戊甲三角形乙甲邊為一戊甲邊為一一四二戊乙甲之外角三十六度五十六分二十一秒五十㣲(即庚乙戊)(角)求得乙戊甲角一分四十八秒三十二㣲為中距限太陽髙五十三度零三分三十八秒之地半徑差以加暢春園視髙五十三度零三分三十八秒一十㣲得五十三度零五分二十六秒四十二㣲為暢春園太陽之眞髙也於乙戊甲角一分四十八秒三十二㣲内減去乙戊子角四十六秒二十八㣲餘一分零二秒零四㣲為子戊甲角乃中距限太陽髙六十九度五十四分零八秒之地半徑差以加廣州府視髙六十九度五十四分零八秒三十八㣲得六十九度五十五分一十秒四十二㣲為廣州府太陽之眞高也今若以最髙太陽距地心一一六二與中距太陽距地心一一四二相減餘二○為兩限距地心之較則最卑限太陽距地心之逺為一一二二然中距太陽距地心如弦本天半徑如股(圖見後求盈縮差篇)其距最髙之差應少距最卑之差應多故最卑限太陽距地心當不足一一二二欲以實測求之奈冬至後太陽躔本天最卑時髙弧僅二十六度餘蒙氣差甚大難得其眞今以太陽最髙與本天半徑比例數一○一七九二○八(見交食厯理求日月距地與地半徑)(之比例篇)與地半徑比例數一一六二之比即同於太陽最卑與本天半徑比例數九八二○七九二與地半徑比例數一一二一之比是為最卑限太陽距地心之逺也既得三限距地心之逺即各用為一邉(即戊甲)地半徑為一邊(即乙甲為一)太陽出地逐度之髙(即戊㸃)與象限相加為一角(即甲乙戊角)成戊乙甲三角形求得乙戊甲角為三限太陽自地平至天頂逐度之地半徑差以列表黃赤距緯黃道斜交赤道而出其内外其相距最逺之度即二至太陽距赤道之緯度古今所測不同授時厯測得二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分約之為二十三度三十三分三十二秒新法厯書用西人第谷所測為二十三度三十一分三十秒今自康熙五十三年以来於暢春園累測夏至午正太陽髙度得視髙七十三度二十九分十餘秒加地半徑差五十秒得實髙七十三度三十分減去本處之赤道髙五十度零三十秒餘二十三度二十九分三十秒為黃道赤道相距最逺之率因用正弧三角形法推得日躔黃道每度每分之距緯以立表如圖甲乙為黃道一象限甲丙為赤道一象限甲為春分乙為夏至乙丙為大距二十三度二十九分三十秒即甲角之度設丁㸃為立夏距甲春分四十五度求丁戊距緯若干則用甲丁戊正弧三角形此形有甲角乙丙大距度二十三度二十九分三十秒有甲丁黄道四十五度有戊直角九十度今以戊直角九十度之正弦一千萬與甲角乙丙大距度二十三度二十九分三十秒之正弦三九八六一五七之比即同於甲丁黄道四十五度之正弦七○七一○六八與丁戊距緯一十六度二十二分一十七秒之正弦二八一八六三九之比也既得立夏之距緯度則立春立秋立冬之距緯度亦同按法於甲乙一象限内逐度逐分求其距緯則其餘三象限之距緯度亦得矣清䝉氣差清蒙氣差從古未聞明萬厯間西人第谷始發之其言曰清蒙氣者地中遊氣時時上騰其質輕㣲不能隔礙人目却能映小為大升卑為髙故日月在地平上比於中天則大星座在地平上比於中天則廣此映小為大也定望時地在日月之間人在地面無兩見之理而恒得兩見或日未西没而已見月食於東日已東出而尚見月食於西此升卑為髙也又曰清蒙之氣有厚薄有髙下氣盛則厚而髙氣㣲則薄而下而升像之髙下亦因之而殊其所以有厚薄有髙下者地勢殊也若海或江湖水氣多則清蒙氣必厚且髙也故欲定七政之緯宜先定本地之清蒙差第谷言其國北極出地五十五度有竒測得地平上最大之差三十四分自地平以上其差漸少至四十五度其差五秒更髙則無差矣此即新法厯書所用之表也近日西人又言於北極出地四十八度地方測得太陽髙四十五度時蒙氣差尚有一分餘自地平至天頂皆有蒙氣差即此觀之益見蒙氣差之隨地不同而第谷之言為不妄矣今述其測量推算之法於左使觀者知蒙氣差表之所自立云假如太陽髙一十度三十四分四十二秒距正午八十三度(地平經度)於時日躔降婁宫三度三十六分距赤道北一度二十六分如圖甲為地心乙為天頂丙為太陽丁為北極乙戊為子午規乙丙己為髙弧丙己為太陽實髙弧庚己為視髙弧今用丁乙丙斜弧三角形此形有北極距天頂之丁乙弧五十度零三十秒有太陽距北極之丁丙弧八十八度三十四分(以距)(緯一度二十六分減象限九十度得之)有丁乙丙角九十七度(己乙戊角八十)(三度為太陽距正午之度與半周相減即得丁乙丙)(角)求太陽實距天頂之乙丙弧法以乙丙弧引長從丁作丁辛垂弧兩弧相交於心為直角遂成丁辛乙丁辛丙兩正弧三角形先用丁辛乙正弧三角形以半徑一千萬與乙角八十三度之正弦九九二五四六二之比同於乙丁弧五十度零三十秒之正弦七六六一三七九與丁辛弧之正弦七六○四二七三之比得丁辛弧四十九度三十分零七秒又以半徑一千萬與乙角八十三度之餘弦一二一八六九三之比同於乙丁弧五十度零三十秒之正切一一九二一○五六與乙辛弧之正切一四五二八一一之比得乙辛弧八度一十五分五十八秒次用丁辛丙正弧三角形以丁丙弧八十八度三十四分之正弦九九九六八七一與丁辛弧四十九度三十分零七秒之正弦七六○四二七三之比同於半徑一千萬與丙角正弦七六○六六五三之比得丙角四十九度三十一分二十二秒又以丙角四十九度三十一分二十二秒之正切一一七一七九二七與半徑一千萬之比同於丁辛弧四十九度三十分零七秒之正切一一七○九三○二與辛丙弧之正弦九九九二六三九之比得辛丙弧八十七度四十八分零五秒於辛丙弧内減去乙辛弧八度一十五分五十八秒餘乙丙弧七十九度三十二分零七秒為太陽實距天頂之度以乙丙弧與乙己弧九十度相減餘丙己弧一十度二十七分五十三秒為太陽之實髙乃以實髙與視髙一十度三十四分四十二秒相減餘六分四十九秒加地半徑差二分五十七秒得九分四十六秒為地平上一十度三十五分之蒙氣差按法求得逐度之差數以立表測歲實以定平行太陽之實行每日不同歩日躔者必以平行為根而求平行之法則在於定歲實歲實者太陽循黃道右旋一周而復於原界之日時也(或自今年冬至至明年冬至或自今年春)(分至明年春分)古厯定太陽每日所行為一度故周天為三百六十五度四分度之一其後漸覺後天以為歲實太强自漢以来每次修厯必有所減以合當時實測故每日之平行雖定為一度而天周與歲實訖無定率也今法定天周為三百六十度故太陽每日之行不及一度其分秒之進退視歲實之消長得歲實即得毎日之平行矣數歲以来於二分二至遣人各省分測得歲實為三百六十五日五時三刻三分四十五秒(即三百六十五日十分日之二分四二一八七五)乃置天周三百六十度為實以歲實三百六十五日五時三刻三分四十五秒為法實如法而一得太陽每日平行五十九分零八秒一十九㣲四十九纎五十九忽三十九芒(即十)(分度之九分八五六四七三六五八)既得太陽每日之平行遞加之得十日百日之平行遞析之得每時每分之平行以立表(毎日二十四時毎時六十分)測歲實之法古人皆測冬至然冬至之時刻難定不如用春秋分時得數為眞葢冬至時黃道與赤道平行其緯度一日所差不過數十秒儀噐無從分别春秋分黃道與赤道斜交其緯度一日差二十四分其差易見且求平行須用平行歲實而測量止能得視行惟二分時去中距不逺其平行實行之差甚㣲可以不計况冬至時太陽之地平緯度少清蒙之氣甚大古来歲實難得確準此其故也康熙五十四年乙未二月十六日癸未午正於暢春園測得太陽髙五十度零三十二秒三十五㣲加地半徑差一分五十六秒零五㣲得實髙五十度零二分二十八秒四十㣲與赤道髙五十度零三十秒相減餘一分五十八秒四十㣲為太陽在赤道北之緯度即知春分時刻在午正前也如圖甲為春分乙為太陽丙為赤道乙丁為午正太陽實髙丙丁為赤道髙乙丙為太陽距赤道北緯度用甲乙丙正弧三角形此形有甲角大距度二十三度二十九分三十秒有丙直角有乙丙緯度一分五十八秒四十㣲求甲乙弧為太陽過春分之經度法用甲角正弦三九八六一五七與丙直角正弦一千萬之比同於乙丙弧正弦五七五三與甲乙弧正弦一四四三三之比得甲乙弧四分五十七秒四十三㣲用變時法以一日之平行五十九分零八秒二十㣲為一率(二分時太陽之實行)(與平行相近故即用平行為一率若他節氣須用本)(日之實行為一率)二十四時化為一千四百四十分為二率甲乙弧四分五十七秒四十三㣲為三率得四率一百二十分四十九秒一十二㣲以每時六十分収之得二時零四十九秒一十二㣲為春分距午正前之時即已初三刻一十四分一十秒四十八㣲春分也康熙五十五年丙申二月二十七日戊子午正於暢春園測得太陽髙四十九度五十四分四十九秒五十一㣲加地半徑差一分五十六秒一十七㣲得實髙四十九度五十六分四十六秒零八㣲與赤道髙五十度零三十秒相減餘三分四十三秒五十二㣲為太陽在赤道南之緯度即知春分時刻在午正後也依法用甲乙丙正弧三角形求得乙甲弧九分二十一秒三十九㣲為太陽未到春分之經度變時得三時四十七分五十五秒四十八㣲為春分距午正後之時即申初三刻二分五十五秒四十八㣲春分也乃總計兩春分相距得三百六十五日五時三刻三分四十五秒即為歲實本天髙卑為盈縮之原太陽行天每歲一周萬古不忒宜其每日平行而無有盈縮乃徵之目下實測則春分至秋分行天半周而厯日多秋分至春分行天半周而厯日少其在本天所行之度原均而人居地上所見時日不同今即其不平行之數求其所以然之故則惟有本天髙卑之説能盡之本天髙卑之法有二一為不同心天一為本輪立名雖異而理則同故髙卑之距盈縮之度皆不謀而合焉不同心天之法盖以天包地外以地為心太陽本天亦包乎地外而不以地為心因其有兩心之差而髙卑判焉如圖甲為地心乙丙丁戊為黄道己為太陽本天心庚辛壬癸為太陽本天其癸庚辛大半周逺於地為髙辛壬癸小半周近於地為卑戊為春分丙為秋分乙為夏至丁為冬至自春分厯夏至以至秋分太陽自癸厯庚以至辛行本天之大半周故厯日多而自地心甲立算其自戊厯乙以至丙止行黄道之半周故為行縮自秋分厯冬至以至春分太陽自辛厯壬以至癸行本天之小半周故厯日少而自地心甲立算其自丙厯丁以至戊亦行黄道之半周故為行盈夫日在本天原自平行因自地心甲立算而不以太陽本天心已立算遂有髙卑盈縮之異故髙卑為盈縮之原而兩心之差又髙卑之所由生也本輪之法盖以本天與地同心而本天之周又有一本輪本輪心循本天周向東而行日在本輪之周向西而行兩行之度相等(輪心)(東行太陽西行二者亦有㣲差然積至周歲纔差一)(分雖謂相等可也)太陽在本輪之下半周去地近為卑則順輪心行故見其速於平行在本輪之上半周去地逺為髙則背輪心行故見其遲於平行在本輪之左右去地不逺不近為髙卑適中故名中距其行與平行等如圖甲為地心即本天心乙丙丁戊為本天其本輪循本天東行由丁向戊而乙而丙而復於丁為平行度(即經度)太陽循本輪西行由下而左而上而右而復於下(本輪以近地心為下逺地心為上)為自行度(名引數)如本輪心在丁則太陽在本輪之下如辛去地心甲最近是為最卑本輪心在乙則太陽在本輪之上如己去地心甲最逺是為最髙最髙最卑之㸃皆對本輪心與地心成一直線其平行實行同度故為盈縮起算之端如本輪心由丁向戊太陽由本輪下向左順輪心行能益東行之度故較平行度為盈至半象限後所益漸少迨輪心行一象限至戊太陽亦行輪周一象限至壬即無所益而復於平行是為中距然而積盈之多正在中距盖平行至戊而太陽在壬從地心甲立算則太陽當本天之子子戊弧以本輪之半徑為正切為盈差之極大也從中距而後太陽行本輪之上半周背輪心行故實行漸縮然因有積盈之度方以次漸消其實行仍在平行前迨行滿一象限至最髙為極縮而積盈之度始消盡無餘其實行與平行乃合為一線故自最卑至最髙半周俱為盈厯也如本輪心由乙向丙太陽由本輪上向右背輪心行能損東行之度故較平行度為縮至半象限後所損漸少迨輪心行一象限至丙太陽亦行輪周一象限至庚即無所損而復於平行是為中距然而積縮之多亦在中距盖平行至丙而太陽在庚從地心甲立算則太陽當本天之丑丑丙弧亦以本輪之半徑為正切為縮差之極大也從中距而後太陽行本輪之下半周順輪心行故實行漸盈然因有積縮之度方以次相補其實行仍在平行後迨行滿一象限至最卑為極盈而積縮之度始補足無缺其實行與平行乃合為一線故自最髙至最卑半周俱為縮厯也此本輪之法於盈縮之理最為顯著然謂與不同心天之理同何也試於本輪上己庚辛壬諸㸃聨為一圜此圜必不以甲為心而以癸為心遂成不同心天之形其癸甲兩心之差即本輪之半徑故求得兩心之差而本輪之徑自見明於本輪之故而盈縮之理益彰然則其理相通其用相輔並存其説實可以參稽而互證也求兩心差及最髙新法厯書用春分秋分立夏三節氣相距日時推得兩心差為三五八四一六最髙在夏至後五度三十分然而未詳何年月日永年表載康熙丁酉年最卑在冬至後七度四十三分四十九秒今以丁酉年實測節氣時刻依法推算得兩心差為三五八九七七最卑在冬至後八度三十八分二十五秒五十五㣲皆與原數不合葢今之春分秋分立夏皆不正當最髙最卑中距之度用兩心差以推其時刻與實測不合則用實測之時刻以推兩心差亦必與原數不合而最髙最卑所在亦必不合矣因思太陽在最髙最卑二㸃平行與實行合為一線本天與黄道皆平分為兩半周太陽厯半周歲而適行半周天其度分即髙卑所在自最卑厯周歲四分之一至中距應行九十度其實行之過於九十度者即積盈之度自最髙厯周歲四分之一至中距亦應行九十度其實行之不及九十度者即積縮之度檢其正切即兩心差之數也今以丁酉年逐日實測日躔度分求得最髙過夏至最卑過冬至各七度四十四分三十六秒四十八㣲又自太陽過最髙之日分加周歲四分之一求其時刻之實行不及中距二度零三分零九秒四十㣲檢其正切得三五八四一六皆與歴書所載相合是故用兩心差之全數以推盈縮維中距與實測合最髙前後兩象限則失之小最卑前後兩象限則失之大所以又用均輪以消息其數方與實測相符今於其相合者得最髙及兩心差所自来於其不相合者得本輪均輪所由設推算之法并述於左用實測最髙最卑中距求兩心差及最髙所在如康熙五十六年丁酉二至後暢春園逐日測午正太陽髙度求其經度用實行推得五月二十一日甲戌辰正一刻零四十秒四十五㣲交未宫七度五月二十二日乙亥已初一刻一十四分五十七秒二十七㣲交未宫八度十一月二十七日丁丑子正一刻一十二分五十七秒四十一㣲交丑宫七度本日夜子初三刻一十二分二十七秒四十七㣲交丑宫八度夫未宫七度至丑宫七度厯一百八十二日一十六時一十二分一十六秒五十六㣲大於半周歲一時一十七分五十四秒二十六㣲而未宫八度至丑宫八度厯一百八十二日一十四時二十七分三十秒二十㣲小於半周歲二十六分五十二秒一十㣲乃以此兩數立法以求最髙所在如圖甲為地心即宗動天心乙丙丁戊為黃道與宗動天相應(同以甲為心也)乙為夏至丙為秋分丁為冬至戊為春分又設己㸃為心作庚辛壬癸圈為不同心天庚為最髙當黄道之子壬為最卑當黃道之丑則寅夘為其中距(距最髙子最卑丑各)(九十度)過巳甲兩心作庚丑線則平分本天與黃道各為兩半周故厯半周歲一百八十二日一十四時五十四分二十二秒三十㣲適行半周天一百八十度若夫夏至乙則在最髙前有加差時刻早冬至丁則在最卑前有減差時刻遲故夏至至冬至大於半周歲而秋分丙在最髙後有減差時刻遲春分戊在最卑後有加差時刻早故秋分至春分小於半周歲今未宫七度至丑宫七度大於半周歲未宫八度至丑宫八度小於半周歲即知未宫七度在最髙前如辰未宫八度在最髙後如巳丑宫七度在最卑前如午丑宫八度在最卑後如未今以大於半周歲之一時一十七分五十四秒二十六㣲與小於半周歲之二十六分五十二秒一十㣲相併得一時四十四分四十六秒三十六㣲與辰巳或午未一度之比同於大於半周歲之一時一十七分五十四秒二十六㣲與辰子或午丑四十四分三十六秒四十八㣲之比而得辰子或午丑與乙辰或丁午之七度相加得乙子或丁丑七度四十四分三十六秒四十八㣲即最髙過夏至最卑過冬至之度亦即中距過春秋分之度也(丙寅弧夘戊弧皆與乙子弧相等)此所得之數比永年表丁酉年前冬至最卑度多四十七秒比戊戌年前冬至最卑度少一十五秒葢最髙每歲行六十一秒今合最髙最卑取數立算則其所得為中距過秋分之度較之丁酉年前冬至固應差四分之三較之戊戌年前冬至固應差四分之一是所測與永年表合矣又用比例法求得本年五月二十二日乙亥寅初初刻一分三十七秒四十五㣲過最髙加周歲四分之一九十一日七時二十七分一十一秒一十五㣲得秋分後丙午日巳正一刻一十三分四十九秒過中距在黃道應從最髙子行九十度至寅為辰宫七度四十四分三十六秒四十八㣲而在本天則從最髙庚行九十度至辛當黃道之申今以實測求其經度在辰宫五度四十一分二十七秒零八㣲(即申㸃之度)不及中距二度零三分零九秒四十㣲即申寅弧當辛甲寅角與甲辛巳角等檢其正切得三五八四一六為已甲兩心差(亦即本輪半徑)與厯書所載同用實測春分秋分立夏求兩心差及最髙所在如康熙五十六年丁酉暢春園測得春分為二月初八日癸巳亥初二刻六分四十七秒立夏為三月二十四日己夘亥正二刻一分三十六秒秋分為八月十九日庚子申初二刻四分零三秒則春分距立夏得四十六日三刻九分四十九秒以毎日平行五十九分零八秒二十㣲乘之得平行度四十五度二十二分三十八秒一十六㣲春分距秋分得一百八十六日七十一刻一十二分一十六秒以每日平行五十九分零八秒二十㣲乗之得平行度一百八十四度零四分零三秒五十八㣲如圖甲為地心乙丙丁戊為黃道戊為春分己為夏至丙為秋分庚為冬至辛為立夏戊辛弧四十五度又以壬㸃為心作子丑寅夘圈為不同心天春分時太陽在子實度在戊立夏時太陽在癸實度在辛子癸弧四十五度二十二分三十八秒一十六㣲為平行度秋分時太陽在寅實度在丙子癸丑寅弧一百八十四度零四分零三秒五十八㣲為平行度於是過壬甲兩心作丑丁線則丑為最髙當黃道之乙卯為最卑當黃道之丁今命丑壬半徑為一千萬求壬甲兩心差得丑壬半徑之若干分並求辛甲乙角為最髙距立夏之度乃以子癸丑寅弧一百八十四度零四分零三秒五十八㣲與全周相減餘一百七十五度五十五分五十六秒零二㣲為寅辰卯子弧又甲辰子三角形其子甲辛外角為四十五度(當辛弧也)戊則子甲辰角必一百三十五度而辰角為癸子弧相對界角必為癸子弧之一半得二十二度四十一分一十九秒零八㣲則子角必為二十二度一十八分四十秒五十二㣲倍之得四十四度三十七分二十一秒四十四㣲為寅辰弧(因與)(子界角相當故)與寅辰夘子弧相減餘一百三十一度一十八分三十四秒一十八㣲為子卯辰弧檢其通弦得一八二二一五六二為子辰邊用三角形邊角相求法求得甲辰邊九七八二九九八又以癸子弧與子卯辰弧相加得一百七十六度四十一分一十二秒三十四㣲為癸子卯辰弧半之得八十八度二十分三十六秒一十七㣲檢其餘弦得二八九○八九即壬巳其正弦得九九九五八二○即辰巳内減甲辰餘二一二八二二即巳甲乃用壬巳甲勾股形求得壬甲弦三五八九七七為兩心差比厯書所載多一千萬分之五百六十一又用邊角相求法求得甲角五十三度三十八分二十五秒五十五㣲為最髙乙距立夏辛之度内減立夏距夏至四十五度得最髙過夏至後八度三十八分二十五秒五十五㣲比永年表多五十四分三十六秒五十五㣲葢目今春分秋分立夏皆不正當最髙最卑中距之度故太陽之自最卑至中距自中距至最髙其行度必有不同所以用實測節氣推兩心差及最髙所在皆不相合是故歴家於本輪半徑(即兩心差)分設一均輪以消息四象限之行分而後與實測相符此均輪之法所由立也最髙行及本輪均輪半徑太陽之行因去地有髙卑遂生盈縮故最髙最卑之㸃即極盈極縮之度而為起算之端但此髙卑之㸃不定在冬夏至而有行分且最髙之髙於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非兩心差之全數而止及其半歴家殫精推測因悟太陽本天之周有本輪而本輪之周又有均輪乃以兩心差三十五萬八千四百一十六四分之取其三分得二十六萬八千八百一十二為本輪半徑取其一分得八萬九千六百零四為均輪半徑而後髙卑之數盈縮之行始與實測相符焉然髙卑之所以有行分者何也葢縁本輪心之行㣲速於均輪心之行本輪心循本天東行已滿一周而均輪心循本輪西轉尚未滿一周其本輪心與均輪心兩行之差即最髙之行分也但其行分甚㣲積久始著康熙永年表戊午年測得最髙在夏至後七度零四分零四秒至丁酉年則最髙在夏至後七度四十三分四十九秒約毎年東行一分一秒一十㣲(即本輪心毎歲之行速於均輪心每歲之行一分一秒一十㣲也)如圖甲為地心即本天心乙丙丁戊為本天本天之周載本輪心本輪之周又載均輪心本輪心循本天東行由丁而戊而乙而丙而復於丁為經度(每日平行五十)(九分零八秒二十㣲)均輪心循本輪西行由下而左而上而右而復於下其行度㣲不及於本輪名曰引數(每日行五十九)(分零八秒零九㣲有餘)太陽則循均輪周東行由最近而最逺(逺近皆以距本輪心言)而復於最近其行倍於均輪心(均輪心行一度)(太陽在輪周行二度)癸甲為兩心差本輪半徑為癸甲四分之三均輪半徑為癸甲四分之一最卑時本輪心在本天之丁均輪心在本輪之辛(本輪下點)太陽則在均輪之辰(均輪近點)居兩輪心之間從地心甲計之成一直線故無平行實行之差辰丁為兩心差之半辰甲為太陽距地心之逺其卑於甲丁本天半徑者即辰丁兩心差之半也本輪心由丁行九十度至戊為中距均輪心由本輪之下㸃行九十度至壬(本輪左㸃)太陽則由均輪之近㸃行一百八十度至已(均輪逺㸃)從地心甲立算則太陽當本天之子子戊弧為積盈之度(即子甲戊角)其正切已戊為本輪與均輪兩半徑相併之數與癸甲兩心差等最髙時本輪心在本天之乙(由戊行九十度至乙)均輪心在本輪之已(由本輪左㸃行)(九十度至上㸃)太陽則在均輪之寅(由均輪之逺㸃行一百八十度至近㸃)居兩輪心之間從地心甲計之成一直線故亦無平行實行之差(中距時所積之盈度至此消盡)(而合於平行)寅乙為兩心差之半寅甲為太陽距地心之逺其髙於乙甲本天半徑者即寅乙兩心差之半也本輪心由乙行九十度至丙為中距均輪心由本輪之上㸃行九十度至庚(本輪)(右㸃)太陽則由均輪之近㸃行一百八十度至夘(均輪逺㸃)從地心甲立算則太陽當本天之丑丑丙弧為積縮之度(即丑甲丙角)其正切夘丙為本輪與均輪兩半徑相併之數與癸甲兩心差等夫子戊弧與丑丙弧既皆以兩心差為正切故其度等但子戊為積盈之度(在最)(卑至最髙之半周故也)其平行戊在後實行子在前故子戊弧為加差以加於平行而得實行也(由最卑至最髙之半周皆平行在後)(實行在前故皆為加差也)丑丙弧為積縮之度(在最髙至最卑之半周故也)其平行丙在前實行丑在後故丑丙弧為減差以減於平行而得實行也(由最髙至最卑)(之半周皆平行在前實行在後故皆為減差也)本輪心復由丙行九十度至丁則均輪心復至辛太陽復至辰其積縮之度俱已補足而平行實行復合為一線矣然使兩輪心之行度皆等而無秒忽之不同則最髙卑必常與冬夏至同度(據今最髙所在而上溯之得元世祖至元)(初年最髙卑正與冬夏至同度其前此則在至前也)因兩輪心之行每年相差一分餘積久至今已差七度四十餘分而最髙即在夏至後七度四十餘分矣如圖未為冬至午為夏至本輪心由冬至未行一百七十九度餘将至午而均輪心纔至本輪之申未至上㸃七度有餘(均輪行每年不及本)(輪行一分餘積之遂差七度餘也)而太陽必尚在均輪近㸃之東十四度餘然從地心甲計之則太陽已當本天之午為夏至矣迨均輪心行至上㸃時本輪心復行七度餘至乙而兩輪心始與地心參直太陽亦至寅㸃在兩輪心之間其距地最逺是為最髙而以日躔計之已在夏至後七度餘最卑之在冬至後理亦如之故曰兩輪心行度之差即最髙卑之行分也求盈縮差盈縮差即今所用之均數自最卑至最髙六宫為盈厯為加差自最髙至最卑六宫為縮厯為減差最卑前三宫與後三宫相當最髙前三宫亦與後三宫相當其差數皆相等故止求得最卑後六宫之差數而最髙後六宫之差數視此但加減不同耳(如最卑前三十度與)(最卑後三十度其差數必等但在最卑前者為減差在最卑後者為加差也)授時厯最大之盈縮差為二度四○一四以周天三百六十度每度六十分約之得二度二十二分今推得最大之差為二度零三分一十一秒(即二度零百分度之五分三一)如圖甲為地心即本天心乙丙為本天之一弧今命乙甲半徑為一千萬丁戊已為本輪則丁乙半徑為二十六萬八千八百一十二丁為上㸃已為下㸃(距地)(心近為下㸃距地心逺為上㸃)庚辛壬為均輪而庚己半徑為八萬九千六百零四庚為最近壬為最逺(逺近皆以距本輪心言)假如本輪心乙在本天之最卑則均輪心在本輪之下㸃已而太陽在均輪之近㸃庚是為初宫初度從地心甲計之太陽在兩輪心之間成一直線無平行實行之差無均數也如本輪心乙在本天之最髙則均輪心在本輪之上㸃丁而太陽在均輪之近㸃庚是為六宫初度從地心甲計之太陽亦在兩輪心之間成一直線無平行實行之差亦無均數也如本輪心乙距最卑後一象限為三宫初度則均輪心從本輪下㸃已行一象限至癸而太陽則從均輪近㸃庚行半周至逺㸃壬從地心甲計之太陽當本天之子乙子弧為實行盈於平行之度乃用乙甲壬直角三角形乙為直角乙壬為兩輪半徑相併之數三十五萬八千四百一十六乙甲為本天半徑一千萬則乙子弧即甲角之度而乙壬為其正切檢表得二度零三分零九秒四十㣲為甲角即乙子弧乃太陽中距時之均數是為加差以加於平行而得實行(實行者太陽實在之行度)若本輪心乙距最卑前一象限為九宫初度則均輪心從本輪下㸃已行三象限至丑而太陽從均輪近㸃庚行一周復自庚行半周至逺㸃壬從地心甲計之太陽當本天之寅寅乙弧與乙子弧等亦為太陽中距時之均數但為實行縮於平行之度是為減差以減於平行而得實行也如本輪心乙距最卑後三十度為一宫初度則均輪心從本輪下㸃已行三十度至夘而太陽則從均輪近㸃庚行六十度至辰從地心甲計之太陽當本天之巳乙巳弧為實行盈於平行之度乃先用乙午庚直角三角形此形有午直角有乙角三十度(即己夘弧)則庚角必六十度有乙庚邊一七九二○八(即乙夘半徑之三分)(之二)求得午庚邊八九六○四乙午邉一五五一九九乃置乙甲本天半徑一千萬減去乙午一五五一九九得午甲九八四四八○一又倍午庚得午辰一七九二○八(庚辰壬三角形與乙午庚三角形之邊角俱相等盖庚為)(交角辰角立於圜界之一半為直角與午角等則壬角必與乙角等是三角俱)(等也庚壬為均輪全徑與乙庚等則辰庚必與午庚等故倍午庚即得午辰也)於是用午甲辰直角三角形求得甲角一度零二分三十四秒一十八㣲即乙巳弧是為加差以加於平行而得實行若本輪心乙在最卑前三十度是為十一宫初度則均輪心從本輪下㸃已行三百三十度至未而太陽則從均輪近㸃庚行一周復行三百度至申從地心甲計之太陽當本天之酉酉乙弧與乙巳弧等但為實行縮於平行之度是為減差以減於平行而得實行也用此法求得最卑後一象限之加差即得最卑前一象限之減差如本輪心乙距最髙前四十度為四宫二十度則均輪心從本輪下㸃已行一百四十度至戌而太陽則從均輪近㸃庚行二百八十度至亥從地心甲計之太陽當本天之子乙子弧為實行盈於平行之度乃先用乙丑庚直角三角形此行形丑直角有乙角四十度(即丁戌弧)則庚角必五十度有乙庚邊一七九二○八(即乙戌半徑之三分之二)求得丑庚邊一一五一九三丑乙邊一三七二八一乃置乙甲本天半徑一千萬加丑乙一三七二八一得丑甲一○一三七二八一又倍丑庚得丑亥二三○三八六於是用丑甲亥直角三角形求得甲角一度一十八分零六秒五十三㣲即乙子弧是為加差以加於平行而得實行若本輪心乙距最髙後四十度是為七宫一十度則均輪心從本輪下㸃已行二百二十度至寅而太陽則從均輪近㸃庚行一周復行八十度至夘從地心甲計之太陽當本天之辰辰乙弧與乙子弧等但為實行縮於平行之度是為減差以減於平行而得實行也用此法求得最髙前一象限之加差即得最髙後一象限之減差時差(原名日差)時差者平時與用時相較之時分也推歩所得者為平時測量所得者為用時(用時即視時也)二者常不相合其故有二一因太陽之實行而時刻為之進退盖以髙卑為加減之限也一因赤道之升度而時刻為之消長盖以分至為加減之限也新法厯書合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分則宫度引數必不能相同若合立一表歲久即不可用今仍分作二表加減兩次庶於法為宻也如圖甲為地心乙為本輪心冬至後本輪心平行一百一十八度餘至乙太陽從本輪最卑自行一百一十一度餘至丙從地心甲作實行線至丙割黃道於丁丁乙弧即平行實行之差設推得某日申正太陽平行乙未到酉宫尚一度餘因行盈厯實行大於平行故平行乙雖未至酉宫而實行丁巳交酉宫若以平行乙所臨之時刻為交宫之時刻則為申正太陽入酉宫是為平時然平行乙雖臨於申正而太陽丙實在其東一度餘(即丁乙弧)故必以此一度餘變時約得五分為時差以減申正得申初三刻十分大陽入酉宫是為用時也又如夏至後本輪心平行六十一度餘至乙太陽從本輪最髙自行五十四度餘至丙從地心甲作實行線至丙割黃道於丁丁乙弧為平行實行之差設推得某日辰正太陽平行乙巳入巳宫一度餘因行縮厯實行小於平行故平行乙雖入巳宫一度餘而實行丁方交巳宫初度若以平行乙所臨之時刻為交宫之時刻則為辰正太陽入巳宫是為平時然平行乙雖臨於辰正而太陽丙實在其西一度餘故必以此一度餘變時約得五分為時差以加辰正得辰正初刻五分太陽入巳宫是為用時也準此論之凡最卑後半周實行皆大於平行則用時在平時東其時差宜減最髙後半周實行皆小於平行則用時在平時西其時差宜加此以最髙卑為時差加減之限黃道上事也然時刻以赤道為主黃道上之用時猶非赤道上之用時何也黃道與赤道斜交二分之後黃道如弦赤道如股(從赤極出線至赤道成直角勾股形)故黃道一度赤道一度不足赤道度少則時刻増矣(右旋度少則左旋度多故時刻増)二至之後黃道以腰圍大圈之度當赤道距等小圈之度故黃道一度赤道一度有餘赤道度多則時刻減矣(右旋)(度多則左旋度少故時刻減)如圖甲為北極乙戊丙為赤道乙丁丙為黃道乙為春分丙為秋分丁為夏至春分後太陽實行四十五度至已赤道上與已相等之度為庚庚距乙亦四十五度與已相當之度為辛辛庚弧為赤道少於黃道之度得二度二十九分是為升度差如推得太陽本日實行距春分四十五度而即以四十五度之㸃當某位為某時者是以赤道之庚㸃命時也(如庚㸃當午位即為午時)而實度之辛㸃實在其西故必以辛庚升度差變時為時差以加於平時得用時(如庚㸃當)(午正末即午正末為平時以時差加之得辛㸃在未)(初為用時秋分後與春分後同)又如夏至後太陽實行四十五度至已赤道上與已相等之度為庚庚距戊為四十五度與巳相當之度為辛庚辛弧為赤道多於黃道之度得二度二十九分是為升度差如推得太陽本日實行距夏至四十五度而即以四十五度之㸃當某位為某時者是以赤道之庚㸃命時也(如庚㸃當午位即為午時)而實度之辛㸃實在其東故必以庚辛升度差變時為時差以減於平時得用時(如庚㸃當午初即午初為平時以時差減之得辛㸃)(在已正為用時冬至後與夏至後同)準此論之凡分後兩象限用時皆在平時西其時差宜加至後兩象限用時皆在平時東其時差宜減此以分至為時差加減之限赤道上事也是二者一以髙卑為加減之限一以分至為加減之限若以太陽實行宫度求得赤道同升度與平行宫度相減餘度變時為時差逐度立表以加減平時而得用時是合兩次加減為一次加減然而宫度引數又因逐年最髙卑有行分不能相同合立一表慮歲久不可用故仍分作二表一以太陽均數變時用引數查之一以升度差變時用實行查之依法加減兩次庶平時與用時相較之分可得其眞數也曚影刻分曚影者古所謂晨昏分也太陽未出之先已入之後距地平一十八度皆有光故以一十八度為曚影限然北極出地有髙下太陽距赤道有南北故曚影刻分隨時隨地不同其隨時不同者二分之刻分少二至之刻分多也隨地不同者愈北則刻分愈多愈南則刻分愈少也若夫北極出地五十度則夏至之夜半猶有光愈髙則漸不夜矣南至赤道下則二分之刻分極少而二至之刻分相等赤道以南反是如圖甲為天頂乙丙為地平丁戊為地平下一十八度曚影限(乙丁及丙戊皆一十八度)已為北極庚為南極辛壬為赤道癸子為夏至距等圈丑寅為冬至距等圈二分時日行辛壬赤道出入於卯交曚影限於辰則日在卯辰弧地平上皆有光故以卯辰為曚引之刻分也若冬至時日行丑寅距等圈出入於已交曚厯限於午則日在巳午弧地平上皆有光故以巳午為曚影之刻分而巳午與赤道相當之弧為未申其度多於卯辰故冬至之刻分多於二分也夏至時日行癸子距等圈出入於酉交曚影限於戌則日在酉戌弧地平上皆有光故以酉戌為曚影之刻分而酉戌與赤道相當之弧為亥乾其度更多於未申故夏至之刻分不惟多於二分而更多於冬至也夫冬至相當之未申弧度多於二分相當之卯辰弧度其故易知若夏至相當之亥乾弧度多於冬至相當之未申弧度其故則難知葢未申亥乾二分皆係與赤道相當之正弦非弧度也正弦之數近圜心則疎疎則所當之度少近圜周則宻宻則所當之度多試於赤道上之未申亥乾四㸃各作垂線引至圜周其割圜周之㸃為坎艮震巽而坎艮弧為未申弧相當之度(未卯為坎己弧)(之正弦卯申為已艮弧之正弦以未卯與卯申相加)(成未申以坎已與巳艮相加成坎艮故坎艮弧為未)(申相當之度)震巽弧為亥乾弧相當之度(卯乾為巳巽弧之正弦夘亥為)(巳震弧之正弦以卯乾與卯亥相減餘亥乾以已巽)(與已震相減餘震巽故震巽弧為亥乾相當之度)以震巽弧與坎艮弧相較則度之多少自見矣如求二分之曚影刻分則用甲巳辰斜弧三角形求巳角為赤道之辛夘辰弧此形有甲巳邊五十度零五分為北極距天頂之度(以京師北)(極出地三十九度五十五分立法)有已辰邊九十度有甲辰邊一百零八度用三邊求角法求得巳角一百一十三度四十五分三十六秒即辛卯辰弧變時得六時六刻五分(每度變時之四分)内減去半晝分辛夘六時(即日出夘至午正辛或午)(正辛至日入卯之時刻也)餘卯辰六刻五分為二分時之曚影刻分也如求冬至之曚影刻分則用甲巳午斜弧三角形求巳角為赤道之辛未申弧此形有甲巳邊五十度零五分為北極距天頂之度有巳午邊一百一十三度二十九分三十秒(巳申)(象限九十度加申午距緯二十三度二十九分三十)(秒)有甲午邊一百零八度用三邊求角法求得已角九十四度二十分零六秒即辛未申弧變時得六時一刻二分内減去半晝分辛未四時二刻五分(即日出巳)(至午正丑或午正丑至日入巳之時刻也)餘未申六刻一十二分為冬至時之曚影刻分也如求夏至之曚影刻分則用甲巳戌斜弧三角形求巳角為赤道之辛亥乾弧此形有甲巳邊五十度零五分為北極距天頂之度有巳戌邊六十六度三十分三十秒(已乾象限九十度内減去戌乾距緯二十三度)(二十九分三十秒)有甲戌弧一百零八度用三邊求角法求得巳角一百四十三度二十三分零五秒即辛亥乾弧變時得九時二刻五分内減去半晝分辛亥七時一刻一十分(即日出酉至午正癸或午)(正癸至日入酉之時刻也)餘亥乾八刻九分為夏至時之曚影刻分也其餘各節氣皆倣此推之晝夜永短晝夜由於日之出入因人所居有南北故見日之出入早晚隨時各異而晝夜之永短生焉中土居赤道之北赤道斜倚於天頂之南南極入地北極出地故惟春秋分見日出入於卯酉而晝夜平分若秋分以後則出入於卯酉之南隨天左旋之度地平上者少地平下者多故晝短夜永春分以後則出入於卯酉之北隨天左旋之度地平上者多地平下者少故晝永夜短所居之地愈北則永短之差愈多(廣州府北極出地二)(十三度一十分夏晝冬夜各五十三刻一十一分夏夜冬晝各四十二刻零四分其較一十一刻零七分京)(師北極出地三十九度五十五分夏晝冬夜各五十九刻零五分夏夜冬晝各三十六刻一十分其較二)(十二刻一十分北極愈髙其較愈多)及至北極之下則赤道當地平夏則有晝而無夜冬則有夜而無晝葢以半年為晝半年為夜矣所居之地愈南則永短之差漸少以至於赤道之下則兩極當地平而晝夜常均並無永短盖一歲中為四時者各二矣(以日當天頂為夏日去天頂逺為冬赤道既當)(天頂而太陽一歲必兩躔赤道是兩夏也一躔天頂南二十三度餘一躔天頂北二十三度餘是兩冬也春秋)(亦如之)晝夜永短以南北而異若東西雖相去千萬里苟南北極之髙度同則晝夜之永短亦同故謂之南北里差亦名地平緯差其推歩之法以本地北極出地髙度為主求得各節氣日出入時刻即得晝夜時刻也如圖甲乙丙為子午䂓甲丙為地平丁為北極丁丙三十九度五十五分為京師北極之髙戊為卯正酉正之位巳戊庚為赤道春秋分太陽正當赤道日出於戊為卯正中於巳為午正復入於戊為酉正地平上戊巳之度與地平下戊庚之度等故晝夜平分各四十八刻辛為夏至辛壬癸為赤道距等圈(古名晝長規)即夏至太陽隨天西轉一周之軌壬當卯正酉正之位子為冬至子丑寅為赤道距等圈(古名晝短規)即冬至太陽隨天西轉一周之軌丑當卯正酉正之位夏至日出於辰在卯正前壬辰為日出距卯正之弧與赤道之戊巳度等中於辛為午正復入於辰在酉正後地平上辰辛之度多於地平下辰癸之度故晝永夜短冬至日出於未在卯正後未丑為日出距卯正之弧與赤道之申戊度等亦即與夏至日出距卯正之戊己度等中於子為午正復入於未在酉正前地平上未子之度少於地平下未寅之度故晝短夜永冬至時地平上未子之度與夏至時地平下辰癸之度等冬至時地平下未寅之度與夏至時地平上辰辛之度等故冬之夜同於夏之晝冬之晝同於夏之夜也今求戊巳之度以丁戊半徑一千萬與丁丙北極髙三十九度五十五分之正切丁戌八三六六二四二之比即同於辰巳距緯弧二十三度二十九分三十秒之正切巳亥四三四六三九五與戊巳弧之正弦三六三六二九九之比(渾圓從外視之則弧與正弦俱合為一線)得戊巳二十一度一十九分二十四秒(戌丁戊三角形與亥巳戊三角形為)(同式形其巳角與丁角同為直角戌角與戊角為平)(行線上交錯之角必等故相當之邊皆可為比例)變時得五刻一十分在夏至時為卯前酉後分以減卯正得日出寅正二刻五分以加酉正得日入戌初一刻一十分復倍卯前分得一十一刻五分與四十八刻相加得五十九刻五分為晝刻與四十八刻相減得三十六刻一十分為夜刻也在冬至時為卯後酉前分以加卯正得日出辰初一刻一十分以減酉正得日入申正二刻五分復倍卯後分得一十一刻五分與四十八刻相減得三十六刻一十分為晝刻與四十八刻相加得五十九刻五分為夜刻也其餘節氣各用其距緯之正切為比例即得日出入距卯酉之弧但自春分至秋分半歲日出皆在卯前日入皆在酉後其變時加減並與夏至同自秋分至春分半歲日出皆在卯後日入皆在酉前其變時加減並與冬至同各省各國並依此法推之節氣時刻古厯節氣之日時有二其一取周歲之日(三百六十五日有竒)二十四分之得一十五日有餘為節為氣其日相等以之頒厯授時置閏成歲(置閏之法以無中氣者為閏月)名為恒氣言其各節氣之日皆一定而不易且歲歲有常也其一取周天之度(古三百六十五度四分度之一)二十四分之得一十五度有餘為節為氣其度相等以歩躔離推朓朒名為定氣言以日躔之度為定而不問日時之多寡也(因日行有盈縮故各節氣度數雖等而日時不等)今頒厯亦用定氣(以日躔右旋一)(十五度為一氣)故冬至至小寒止一十四日有餘夏至至小暑則一十六日不足且每年不同葢有加減可推務求宻合於天行也然一歲之中同一節氣而京師各省時刻不同者此則東西之里差亦名地平經差而非天行之故盖地體渾圎與天相應而人居地面各以所見日中為午正今以京師為主在京師東者見日出入皆早其日中必在京師午正之前在京師西者見日出入皆遲其日中必在京師午正之後故東方節氣遲者非日躔之縮乃其見日早也西方節氣早者非日躔之盈乃其見日遲也其時刻之差視偏度之多寡每偏一度得時之四分偏東者加偏西者減要以京師西之節氣時刻加減之即得各省之節氣時刻御製厯象考成上編卷四
## 上編卷五
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷五月離歴理太隂各種行度太隂平行度太隂本輪遲疾四限三月食推本輪半徑及最髙晦朔弦朢太隂四輪總論求初均數求二三均數兩月食定交周黄白大距度及交均視差隱見遲疾太隂各種行度太隂行度共有九種而隨天西轉之行不與焉一曰平行葢太隂之本天帶一本輪本輪心循本天自西而東每日平行一十三度有竒二十七日有餘而行天一周即白道經度也二曰自行葢本輪心循白道行自西而東(即平行經度)太隂復依本輪周行自東而西每日亦行一十三度有竒㣲不及本輪心行而與本輪心之行順逆參錯人目視之遂生遲疾故名自行以别之授時厯名為轉周滿一周為轉終其所生之遲疾差名為初均數也三曰均輪行西人第谷言用一本輪以齊太隂之行往往與實測未合因將本輪半徑三分之存其二分為均輪半徑用其一分為均輪半徑均輪循本輪用行自東而西(即自行轉周度)太隂復依均輪周行自西而東每日行二十六度有竒為輪心行之倍度(均輪心行一度月行均輪周二度也)其所生之遲疾差即今所用之初均數也四曰次輪行葢用本輪均輪推得遲疾之最大差為四度有竒於朔朢時測之其數恰合而於上下弦時測之則不合其大差至七度有竒故厯家又於均輪之周復設一輪循均輪周行命為次輪次輪心自西而東太隂復依次輪周亦自西而東每日行二十四度有竒為本輪心距太陽行之倍度(本輪心距太陽行一度月行次輪周二度也)名為倍離倍離所生之遲疾差名為次均數也五曰次均輪行葢有初均次均以步朔朢以定兩弦則既合矣而於兩弦前後測之又多不合故新法厯書復有二三均數表之加減也細考其表中所列誠皆實測之數但總合二三均數加減之而為一表耳爰思次輪之上必更有一輪以消息乎次均之數今命之曰次均輪其心循次輪周自西而東行倍離之度而太隂則循此輪之周自東而西亦行倍離之度用其所生之差以加減次均數即與太隂兩弦前後所行恰合也六曰交行葢太隂行白道出入於黄道之内外大距五度有竒其自黄道南過黄道北之㸃名曰正交(即如春分自赤道南過赤道北)自黄道北過黄道南之㸃名曰中交(即如秋分自赤道北過赤道南)每交之終不能復依原次而不及一度有餘逐日計之退行三分有餘命為兩交左旋之度(自東而西也)亦名羅計行度也(正交曰羅㬋中交曰計都)七曰最髙行最髙者本輪之上半最逺地心之處而最髙行者平行與自行相較之分也均輪心從最高左旋㣲不及於平行每日六分有竒即命為最髙左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行於每日平行度内減去太陽之行為每日太隂距太陽行二十九日有竒而復與日㑹是為朔䇿九曰距交行以每日平行度與每日交行相加得每日太隂距交度二十七日有竒而行交一周名為交周也要之太隂之去地甚近其行最著諸小輪之設雖無象可見而實有數可稽葢藉以推步度數期與實測相符而已至於大象寥廓其或然或不然則非智計之所能及也太隂平行度測太隂平行之法須用兩月食計其前後相距若干日時及月行天若干周用其度分為實中積日時為法除之即得每日平行之率葢月之視差甚大惟月食為月入闇虛無地心地面之殊又食甚時正與太陽衝故將太陽之經度加半周即太隂之經度其得數為真也然所用兩月食亦須詳審葢闇虚與月體有小大之分而行度有遲疾之異必須擇各率均齊之兩月食方可用也其擇之之法第一取兩食時之太陽距地等斯闇虚之大小相等(太陽距地逺則影粗而長太陽距地近則影細而短詳交食)第二取兩食時之太隂距地等斯月體之大小等而入影之粗細亦等(闇虚為尖圓體近地粗漸逺地漸細以至於無故太隂距地近則當闇虚之粗處太隂距地逺則當)(闇虚之細處詳交食)第三取兩食時之自行度等斯入轉之遲疾等而過影之時刻必等考之史志所書月食並無時刻分秒及躔離度數即西人交食考亦不載月轉遲疾無憑取用今依新法厯書載西人依巴谷法定為三百四十五平年(平年者三百六十五日無餘分)又八十二日四刻(每日九十六刻)或一十二萬六千零七日四刻為兩月食各率齊同之距於時㑹朢轉終皆復其始計其中積凡為㑹朢者四千二百六十七為轉終者四千五百七十三置中積一十二萬六千零七日四刻為實會朢數四千二百六十七為法除之得㑹朢策(即朔䇿)二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒(即二十九日零)(十分日之五分三○五九三授時厯同)乃以周天三百六十度為實㑹朢策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒為法除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒(即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授時厯作一十二度三十六分八十七秒五十微以)(周天三百六十度每度六十分約之得一十二度一十一分二十七秋二十七微)為每日太隂平行距太陽之度加太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒(即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授時厯作一十三度三十六分八十七秒五十)(微以周天三百六十度每度六十分約之得一十三度一十分三十五秒二十四㣲)為每日太隂平行經度(即白道經度)又置中積一十二萬六千零七日四刻為實以轉終數四千五百七十三為法除之得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十㣲三十纖四十三忽一十二芒(即二十七日零十分日之五分五四五六八授時厯作二十七日五五四六)為轉終分乃以天周三百六十度為實以轉終分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纖四十三忽一十二芒為法除之得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纖一十九忽一十六芒(即一十三度零百分)(度之六分四九八四三六一二一)為每日太隂自行度又以每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十三芒與每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纖一十九忽一十六芒相減餘六分四十一秒零四微三十八纖五十四忽五十七芒(即十分度之一分一一四一○四一○一七)為每日月孛之平行既得以上各種行度每日之平行遞加之得十日百日之平行遞析之得每時每分之平行以立表(毎日二十四時每時六十分)太隂本輪遲疾四限太隂之輪有四而本輪乃遲疾四限之所由生其餘皆所以消息遲疾之數故本輪為步月離之主如圖甲為地心即本天心乙丙丁戊為白道即太陰之本天己庚辛壬為本輪其心循白道右旋每日行一十三度一十分百奇自乙而丙而丁而戊而復至乙是為平行徑度太隂循本輪左旋每日行一十三度零三分有奇自己而庚而辛而壬而復至己是為自行度(一名轉周一名引數)太隂在本輪之己為最高(即月孛)在本輪之辛為最卑最髙最卑之㸃皆對本輪心與地心成一直線故平行實行同度為遲疾起算之端如太隂由己向庚為遲初限以其背輪心行能損右旋之度故較平行度為遲至半象限後所損漸少迨行滿一象限至庚則無所損然而積遲之多正在於庚葢平行在乙而太隂在庚從地心甲計之太陰當本天之癸癸乙弧以本輪半徑庚乙為正切為遲差之極大也從庚向辛為遲末限太隂行本輪之下半周順輪心行其實行漸疾然因有積遲之度方以次相補其實行仍在平行後迨行滿一象限至辛為極疾而積遲之度始補足無缺實行與平行乃合為一線故自最髙至最卑半周為遲厯也如太隂由辛向壬為疾初限以其順輪心行能益右旋之度故較平行度為疾至半象限後所益漸少迨行滿一象限至壬則無所益然而積疾之多正在於壬蓋平行在乙而太隂在壬從地心甲計之太隂當本天之子子乙弧以本輪半徑壬乙為正切為疾差之極大也從壬向己為疾末限太隂行本輪之上半周背輪心行其實行漸遲然因有積疾之度方以次相消其實行仍在平行前迨行滿一象限至己為極遲而積疾之度始消盡無餘實行與平行復合為一線故自最卑至最髙半周為疾厯也三月食推本輪半徑及最髙太隂初均數生於本輪半徑本輪半徑不定則實行不可得而定新法厯書載西人多録某用漢陽嘉永和間三次月食推得本輪半徑為本天半徑十萬分之八千七百零六月過最髙三百一十四度一十七分(陽嘉二年三月)(朢)西人歌白泥用明正徳嘉靖間三次月食推得本輪半徑為本天半徑十萬分之八千六百零四月過最髙一百八十三度五十一分(正徳六年九月朢)迨後西人第谷定本輪半徑為本天半徑十萬分之八千七百月離表定崇禎戊辰年天正冬至次日子正月過最髙二百零五度三十二分一十六秒交日表定崇禎戊辰年首朔(即年)(前十二月朔)月過最髙三十七度三十四分三十四秒其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六時二十六分四十六秒以交日表所定首朔月過最髙之度推其年天正冬至次日子正月過最髙之度應得二百零五度四十二分四十九秒比月離表所定多一十分三十三秒又察其正交行度兩表差至二十餘分今以交食表推步月食其時刻之早晚食分之淺深俱與天行頗合故月過最髙之度宜以交食表為凖但用目下三月食推本輪半徑或微大或微小皆不能合八千七百之數葢用本輪以推實朢惟自行當三宮九宮初度之一㸃方合而目下所測月食其自行皆不正當三宮九宮初度之數用本輪半徑以推實朢既與實測不合則用實測之實朢以推本輪半徑亦必與原數不合因假設三月食以明其法如左設如第一食日躔鶉首宮七度三十五分四十七秒五十三微月離星紀宮七度三十五分四十七秒五十三微月行遲末限之初在本輪右半周之中如甲第二食日躔夀星宮初度月離降婁宮初度月行遲初限將半在本輪右半周之上如乙第三食日躔星紀宮二度五十四分零二秒四十九微月離鶉首宮二度五十四分零二秒四十九微月行疾末限之初在本輪左半周之中如丙第一食距第二食一千一百八十日二十二時一十四分零四秒實行相距八十二度二十四分一十二秒零七微(即星紀宮丁㸃距降婁宮戊㸃)(之度於第二次月離度内減去第一次月離度即得)平行相距八十度二十一分一十秒(即星紀宫已㸃距降婁宫庚㸃)(之度以每日平行與距日相乘減去全周即得)平行小於實行二度零三分零二秒零七微自行相距三百零八度四十七分零七秒二十七微(以每日自行與距日)(相乘減去全周即得)第二食距第三食一千九百一十八日二十三時零五分五十七秒實行相距九十二度五十四分零二秒四十九微(即降)(婁宮戊㸃距鶉首宮辛㸃之度)平行相距八十五度零二十五秒(即降)(婁宮庚㸃距實沈宮壬㸃之度)平行小於實行七度五十三分三十七秒四十九微自行相距二百三十一度一十二分五十二秒三十三微乃以三月食自行相距度列於一本輪之上立法算之如圖癸為地心即本天心丁戊己辛為本天之一弧己為本輪心從丁向戊右旋為平行度月體從本輪最高子向乙左旋為自行度第一食月在甲本天平行度在己實行度在丁從甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙即第一食距第二食之自行度第二食月在乙本天平行度在己實行度在戊丁戊弧二度零三分零二秒零七微即第一食距第二食平行實行之差從乙行二百三十一度一十二分五十二秒三十三微至丙即第二食距第三食之自行度第三食月在丙本天平行度在己實行度在辛戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微即第二食距第三食平行實行之差乙癸線割本輪於丑從丑㸃作丑甲丑丙二線又作甲丙線即成丑丙癸丑甲癸丑甲丙三三角形乃用此三三角形求本天半徑與本輪半徑之比例先用丑丙癸三角形求丑丙邊此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微(以乙丑丙弧二百三十一)(度一十二分五十二秒三十三㣲折半即得葢乙子丙弧為丑界角之倍度折)(半得丑外角與半周相減得丑内角以乙丑丙弧折半得數亦同故乙丑丙弧)(亦即丑角之倍度)有癸角七度五十三分三十七秒四十九微(即戊辛弧之度)即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微設丑癸邊為一○○○○○○○求得丑丙邊一六四六九八六次用丑甲癸三角形求丑甲邊此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微(以甲)(丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七㣲折半即得葢乙甲弧為丑)(界角之倍度折半得丑外角與半周相減得丑内角以甲丑丙乙弧折半得數)(亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度)有癸角二度零三分零二秒零七微(即丁戊弧之度)即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微設丑癸邊為一○○○○○○○求得丑甲邊八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度(以癸丑丙角與)(癸丑甲角相加得二百七十度與三百六十度相減即得)有丑丙邊一六四六九八六有丑甲邊八九五三一六求得丙角二十八度三十一分四十四秒倍之得五十七度零三分二十八秒為甲丑弧以甲丑弧與乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加得一百零八度一十六分二十秒三十三微為乙丑弧於是以本輪半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則乙丑弧之通弦為一六二○八二三六丑丙弧之通弦為一七五七一五三○乃用比例法變先設之丑癸邊為同比例數以先得之丑丙邊一六四六九八六與先設之丑癸邊一○○○○○○○之比即同於今所察之丑丙通弦一七五七一五三○與今所求之丑癸邊之比而得丑癸邊一○六六八九○○六又以乙丑通弦一六二○八二三六折半得八一○四一一八為寅丑與丑癸一○六六八九○○六相加得一一四七九三一二四為寅癸又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微折半得五十四度零八分一十秒一十六微其餘弦五八五八六○六為寅巳成巳寅癸勾股形乃用勾股求弦法求得巳癸弦一一四九四二五二七為本天半徑即得本天半徑與本輪半徑之比例為一一四九四二五二七與一○○○○○○○若設本天半徑為一○○○○○○○則得本輪半徑為八七○○○○求大陰距最髙之度則用巳寅癸直角三角形求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微得一百四十一度一十二分五十二秒四十六微與半周相減餘三十八度四十七分零七秒一十四微為子乙弧即第二次月食月距最髙之度也晦朔弦朢太隂之晦朔弦朢雖無闗於自行之遲疾而自行之遲疾實由於朔朢兩弦而得知其二十七日有奇而一周者太陰之自行也其二十九日半強而與太陽相㑹者朔策也其間猶有朢與上下兩弦之分焉葢太隂之體賴太陽而生光其向太陽之面恒明背太陽之面恒晦而其行則甚速於太陽當其與太陽相會之時人在地上正見其背故謂之朔朔後漸逺太陽人可漸見其面其光漸長至距朔七日有奇其距太陽九十度人可見其半面太陽在後太隂在前其光向西其魄向東故名上弦上弦以後距太陽愈逺其光漸滿至一百八十度正與太陽相朢人居其間正見其面故謂之朢自朢以後又漸近太陽人不能正見其面其光漸虧其魄漸生至距朢七日有奇其距太陽亦九十度則又止見其半面太陽在前太隂在後其光向東其魄向西故名下弦下弦以後距太陽愈近其光漸消至復與太陽相會其光全晦復為朔矣如圖甲為地面乙為太陽丙丁戊己皆為太隂如太隂在丙與太陽正會為朔其光向乙從甲視之止見其背故全晦也離太陽而前距九十度至丁為上弦從甲視之見其半面故半明半晦也至距太陽一百八十度至戊正與太陽相朢從甲視之正見其面故全明也及離太陽而後距九十度至己為下弦從甲視之又止見其半面故亦半明半晦也及至於丙而與太陽復㑹則又全晦而為朔矣太隂四輪總論太隂行度用四輪推之而四輪之法皆係實測而得非意設也西人第谷以前步月離惟用本輪次輪葢因朔朢之行有遲疾故知其有本輪而兩弦之行不同於朔朢故知其有次輪其法次輪與本輪兩周相切太隂行於次輪之上朔朢時太隂正當兩周相切之㸃故云朔朢時太隂循本輪周行而兩弦時太隂則從兩周相切之㸃行次輪半周距本輪心最逺故次輪全徑為兩弦時大於朔朢時平行實行之極大差第谷遵其法用之因不能密合太隂之行故於本輪上復加一均輪且因兩弦前後之行又不同於兩弦故又加一次均輪葢用本輪推朔朢時平行實行之極大差為本輪半徑得四度五十八分有餘而徴之實測惟自行三宮九宫初度之一㸃為合在最髙前後兩象限則失之小在最卑前後兩象限則失之大故第谷將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑取其一分為均輪半徑用求平行實行之差為初均數乃密合於天至於兩弦時平行實行之極大差七度二十五分有餘雖為新本輪半徑并均輪半徑仍加次輪全徑之數然即舊本輪半徑與次輪全徑相併之數也其次均輪行於次輪即如初均輪之行於本輪但所行之度不同耳(初均輪行為引數之度次均輪行為倍離之度)第谷以次輪設於地心又設不同心之天其心循次輪周行而本輪心則循不同心天行初均輪則循本輪周行夫用不同心天與用小輪理本相通但兩法合講殊覺紛紜不如専用一法觀之為便至於兩弦前後有二三均數之加減而不言其由次均輪而生今並悉其根源増一負均輪圈移初均輪心使行於此則次輪心即行於初均輪而次均輪心亦得行於次輪葢負均輪圏半徑乃新本輪半徑加一次輪半徑之分朔朢時太隂在次輪之最近㸃又在次均輪之下㸃而次均輪心又必常在次輪周故朔朢時止用初均輪不用次輪及次均輪也兩弦時太隂在次輪之最逺㸃又在次均輪之上㸃而次均輪心亦必在次輪之最逺㸃故兩弦時止用次輪不用次均輪也至於朔朢前後及兩弦前後太隂在次輪之逺近二㸃之間又在次均輪之上下二㸃之間而次均輪心亦不在次輪之逺近二㸃故有次輪與次均輪之相差而或加或減也要之本輪者推本天之髙卑均輪者所以消息本輪之行度次輪者定朔朢兩弦之逺近次均輪者又所以分别朔朢兩弦前後之加減故本輪行度合初均輪之倍引而生初均數分髙卑左右而為朔朢之加減差也次輪行度合次均輪之倍離而生二三均數分逺近上下而為兩弦及兩弦前後之加減差也是故非騐諸實測無以知四輪之妙而明於四輪之用則於太隂遲疾之故思過半矣西人第谷以前所用本輪次輪法如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為本輪戊為最髙庚為最卑辛為次輪心辛壬為負次輪之圈己為次輪最近癸為次輪最逺如次輪周在本輪最髙後六十度相切於己朔朢時太隂在己從地心甲作己甲實行線割本天於子子丙弧為平行實行之差故用丙甲己三角形求得甲角即子丙弧為本輪所生初均數也上下弦時太隂則從次輪之巳㸃厯丑至癸從地心甲作癸甲實行線割本天於寅寅丙弧為平行實行之差故用丙甲癸三角形求得甲角即寅丙弧為本輪所生初均及次輪所生次均之共數也(子丙弧為初均寅子)(弧為次均)第谷用此法求得均數徵之實測在最髙前後兩象限其數失之小在最卑前後兩象限其數失之大故將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑取其一分為均輪半徑將次輪設於地心又設不同心之天其心循次輪周行而本輪心則循不同心天行均輪心循本輪周行如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為舊本輪辛壬癸為新本輪辛丙半徑為戊丙半徑三分之二戊子丑為均輪戊辛半徑為戊丙半徑三分之一本輪心循本天右旋均輪心循本輪左旋甲寅卯辰為次輪本天心循甲寅卯辰右旋半月一周朔朢時本天心與地心同在甲兩弦時本天心在卯離地心極逺總之朔朢以外本天心俱離甲㸃本天皆為不同心之天矣又第谷添設初均輪新法所推均數與本輪舊法所生均數最大之差有九分五十餘秒在最高前後兩象限為大最卑前後兩象限為小如舊法太隂距最髙戊後六十度在已則丙甲巳角為初均數若新法則均輪心距最髙辛後六十度在壬太隂則距均輪之近㸃丑行一百二十度至子而丙甲子角為初均數比舊法初均數丙甲巳角大一已甲子角其在最髙前之均數亦如之又如舊法太隂距最卑庚後六十度在已則丙甲已角為初均數若新法則均輪心距最卑癸後六十度在壬太隂則距均輪之近㸃丑行一百二十度至子而丙甲子角為初均數比舊法初均數丙甲已角小一子甲已角其在最卑前之均數亦如之然第谷所増均輪法極有理而所設不同心天與小輪合用則不便於觀今將次輪置於均輪之周其心循均輪周右旋又將次輪半徑與新本輪半徑相加為半徑作負均輪之圈均輪心則循負均輪圈左旋又増一次均輪以明二三均數之根用此法求各均數皆與第谷之法無異依第谷所添初均輪並新増次均輪合本輪次輪共為一圖如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為舊本輪辛壬癸為新本輪巳子丑為原均輪寅卯為新増負均輪之圈其半徑為次輪半徑與新本輪半徑相加之數乃移均輪心於負均輪圈卯作辰巳午均輪與巳子丑原均輪等辰為逺㸃午為近㸃用均輪心行負均輪圈寅卯弧之倍度(即本輪周辛壬弧之倍度)從均輪近點午數至巳以巳為心作未申子次輪其未子全徑與均輪辰午全徑平行未為逺㸃子為近㸃又以次輪周近㸃子為心作酉戌亥次均輪酉為上㸃戌為下㸃如均輪心循負均輪圈從最髙寅厯卯左旋則次輪心循均輪周從最近午厯巳右旋行均輪心距最髙之倍度次均輪心又循次輪周從最近子厯申右旋行太隂距太陽之倍度太陰則循次均輪周從最下戌厯亥左旋亦行距太陽之倍度朔朢時太隂必在次均輪之最下戌次均輪心必在次輪周之最近子(即次輪周與巳子丑原均輪周相切之㸃)從地心甲作子甲實行線即成丙甲子三角形其甲角為初均數葢朔朢時太隂雖在次均輪之周然必在下㸃而次均輪心又必在次輪周與均輪周相切之㸃故求朔朢時之初均數止用均輪不用次輪也(太隂在次)(均輪之戌㸃雖在子㸃之下然俱在實行線上其經度無異也)兩弦時次均輪心從次輪周之最近子行至最逺未太陰從次均輪周之最下戌行至最上酉從地心甲作酉甲實行線成子甲未三角形其甲角為二均數葢兩弦時太隂必在次均輪周之上㸃而次均輪心又必在次輪周之逺㸃故兩弦時止用次輪求二均數不用次均輪也(太隂)(在次均輪周之酉點雖高於未點然俱在實行線上其經度無異也)如在朔朢之後兩弦之前次均輪心從次輪周之最近子行至申太隂從次均輪周之最下戌行至亥從地心甲至次均輪之最上酉作酉甲過心線復從地心甲至次均輪之太隂所在亥作亥甲實行線則成子甲申與亥甲申兩三角形其子甲申角為二均數亥甲申角為三均數兩角相減餘子甲亥角為二三均數也如在朔朢之前兩弦之後次均輪心從次輪周之最近子厯最逺未行至申太隂從次均輪周之最下戌厯最上酉行至亥從地心甲至次均輪之最上酉作酉甲過心線復從地心甲至次均輪之太隂所在亥作亥甲實行線則成子甲申與申甲亥兩三角形其子甲申角為二均數申甲亥角為三均數兩角相加得子甲亥角為二三均數也求初均數及二三均數法俱見後求初均數太隂之行因遲疾而生加減差朔望用之者名為初均數自最髙至最卑六宫為遲厯為減差自最卑至最髙六宫為疾厯為加差葢因最髙前三宫與後三宫相當最卑前三宫與後三宫相當其差數皆相等故求得最髙後六宫之差數而最卑後六宫之差數視此但加減不同耳(如最髙前三十度與最髙後三十度其差數必等但在最髙前者為加差最髙後者為減差也)授時厯名為遲疾差其最大者為五度四二九三四四以周天三百六十度每度六十分約之得五度二十一分零五秒朔朢兩弦同用今求得最大之差四度五十八分二十七秒(即四度零十分度之九分七四二)惟朔朢為然名之初均數者所以别於朔朢以外之二三均數也如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為五十八萬戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為二十九萬辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行一十三度一十分三十五秒即白道經度均輪心循本輪左旋自戊而已而庚每日行一十三度零三分五十四秒即自行引數太隂則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行二十六度零七分四十八秒為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則太隂在均輪之最近癸從地心甲計之成一直線無平行實行之差故自行初宫初度無均數也如均輪心從本輪最髙戊向己行一百八十度至最卑庚為六宫初度則太隂從均輪最近癸厯壬辛行一周復至癸從地心甲計之亦成一直線無平行實行之差故自行六宫初度亦無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則太隂從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子弧之倍度)從地心甲計之太隂當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙本輪半徑之半二十九萬(於子丙半徑五十八萬内)(減去子癸半徑二十九萬即得)求得癸卯邊一十四萬五千卯丙邊二十五萬一千一百四十七以卯丙邊與丙甲半徑一千萬相加得一千零二十五萬一千一百四十七為卯甲邊以癸卯邊三因之得四十三萬五千為丑卯邊(辛丑癸三角形與丙卯癸三角形為同式)(形葢癸為交角丑角立於圜界之一半為直角與卯角等則辛角必與丙角等)(是三角俱等也辛癸為均輪全徑為癸丙之二倍則丑癸亦必為癸卯之二倍)(故三因癸卯即得丑卯也)於是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒即寅丙弧為太隂自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角即求得丑甲邊為太隂距地心數存之為後求二均之用)(餘倣此)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宮初度則太隂從均輪最近癸行一周復自最近癸厯辛行三百度至己(癸巳弧為戊辰弧之倍度)從地心甲計之太隂當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之數是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫)(初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫)(初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行九十二度至未為三宫二度則太隂從均輪最近癸歴辛行一百八十四度至申從地心甲計之太隂當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角八十八度則癸角必二度癸丙邊為二十九萬求得癸戌邊二十八萬九千八百二十三丙戌邊一萬零一百二十一以丙戌邊與丙甲邊相減餘九百九十八萬九千八百七十九為戌甲邊以癸戌邊三因之得八十六萬九千四百六十九為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角四度五十八分二十七秒即酉丙弧為太隂自行三宫二度之初均數是為極大之減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯庚行二百六十八度至亥為八宫二十八度則太隂從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百七十六度至子從地心甲計之太隂當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫二十八度之初均數與三宫二度等但為實行過於平行之數是為極大之加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求二三均數太隂之加減差朔朢以外用者名為二均三均數其二均數之生於次輪全徑與三均數之生於次均輪半徑亦猶初均數之生於本輪及均輪半徑也故欲求二均三均之數必先定次輪及次均輪之徑而欲定次輪及次均輪之徑又須先測二均及三均之數也厯家於上下弦當自行三宫或九宫時累測之(惟此時太隂距本輪心甚逺平行視)(行之差極大)其極大之均數得七度二十五分四十六秒查其切線得一百三十萬四千内減去本輪均輪兩半徑之共數八十七萬餘四十三萬四千半之得二十一萬七千即次輪之半徑也於兩弦及朔朢之間(約太隂距太陽四十)(五度時)當自行三宮或九宫時累測之其均數常與推算不合差至四十一分零二秒是即次均輪所生之三均數也依法求其半徑得一十一萬七千五百既定次輪與次均輪之半徑乃逐度求其二均三均之數復用三均數以加減乎二均數是為二三均數用以推步月離乃與測驗脗合矣如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑戊丙己為本輪全徑戊為最髙己為最卑庚丙辛為負均輪圈全徑(省曰負圈)庚為最髙辛為最卑壬庚癸為均輪全徑壬為最逺癸為最近子癸丑為次輪全徑子為最逺丑為最近寅丑卯為次均輪全徑寅為最上卯為最下本輪心從本天冬至度右旋(本天上與黄道冬至相對之度也)為經度均輪心從負圈最髙左旋(即同本輪最髙)為引數(即自行度)次輪心從均輪最近右旋為倍引數次均輪心從次輪最近右旋行倍離之度(即太隂距太陽之倍度)太隂從次均輪最下左旋亦行倍離之度如均輪心在負圈最髙庚為自行初宫初度則次輪心在均輪之最近癸又當朔朢時則次均輪心在次輪之最近丑太隂在次均輪之最下卯從地心甲計之同在一直線即平行實行合而為一故無均數之加減也如均輪心在負圈最卑辛為自行六宫初度則次輪心在均輪之最近癸又當朔朢時則次均輪心在次輪之最近丑太隂在次均輪之最下卯從地心甲計之亦同在一直線即平行實行合而為一故亦無均數之加減也如均輪心從最髙庚行九十度至辰為自行三宫初度次輪心則從均輪最近癸行一百八十度至最逺壬朔朢時次均輪心常在次輪周之最近丑太隂常在次均輪周之最下卯從地心甲計之仍見太隂在丑(太隂雖在丑點之下因在一直線故視之如在)(一處也)其實行不及平行之度為丙甲丑角四度五十八分二十秒即初均數其切線丑丙八十七萬即本輪均輪兩半徑之共數也兩弦時次均輪心常在次輪周之最逺子太隂常在次均輪周之最上寅從地心甲計之仍見太隂在子(太隂雖在子點之上因在一直線故視之如在一處也)其實行不及平行之度為丙甲子角七度二十五分四十五秒内減初均數丙甲丑角四度五十八分二十秒餘二度二十七分二十五秒即丑甲子角命為二均數丙甲子角之切線子丙得一百三十萬四千内減丑丙本輪均輪兩半徑八十七萬餘丑子線四十三萬四千是為次輪之全徑也此初均數為減差二均數亦為減差葢朔朢之實行丑點在平行丙點之後(本輪心丙循本天右旋故以左為前右為後凡言前後者皆倣)(此)而兩弦時之實行子點仍在丑點之後故於平行内減去初均數丙甲丑角即得朔朢時之實行復減去二均數丑甲子角始得兩弦時之實行也若均輪心從最髙行二百七十度至辰為自行九宫初度次輪心則從均輪最近癸行一周復行一百八十度至最逺壬而當兩弦之時則初均數丙甲丑角與二均數丑甲子角皆與三宫初度之數相等但實行俱在平行之前故俱為加差以加於平行而得實行也如均輪心從最髙庚行九十度至辰為自行三宫初度次輪心從均輪之最近癸行一百八十度至最逺壬時當朔與上弦之間或朢與下弦之間次均輪心從次輪最近丑行九十度至巳太隂則從次均輪最下卯行九十度至午其丙甲丑角四度五十八分二十秒為初均數丑甲邊一千零三萬七千七百七十四為次輪最近點距地心之數(求丑甲邊法見)(前求初均數篇)乃用丑甲己三角形求二均數此形有丑甲邊一千零三萬七千七百七十四有丑己邊三十萬六千八百八十四(即次輪九十度之通弦以半徑一千萬為一率九十度之通弦一千)(四百一十四萬二千一百三十六為二率次輪半徑二十一萬七千為三率求)(得四率三十萬六千八百八十四即次輪九十度之通弦)有丑角四十九度五十八分二十秒(丙甲丑直角形以丙直角)(與甲角相加得九十四度五十八分二十秒為壬丑甲角内減去壬丑己角四)(十五度餘四十九度五十八分二十秒為巳丑甲角)求得丑甲巳角一度二十二分零五秒與初均數丙甲丑角四度五十八分二十秒相加得丙甲巳角六度二十分二十五秒為實行不及平行之度然太隂不在巳而在午於時測得實行不及平行之度為五度三十九分二十三秒相差四十一分零二秒即丙甲巳角大於丙甲午角之午甲巳角命為三均數乃用午甲巳直角三角形求次均輪之半徑此形有巳甲邊九百八十四萬二千六百二十二(用丑巳甲三角形求之而得)有己直角有甲角四十一分零二秒求得己午邊一十一萬七千五百是為次均輪之半徑也此初均數為減差二均數亦為減差而三均數轉為加差故於二均數内減去三均數餘四十一分零三秒即丑甲午角為二三均數仍為減差(凡二均與三均加減異者相減為二三均)(數仍從大數如二均大於三均則從二均三均大於二均則從三均)葢次輪之最近丑點在平行丙點之後次均輪心巳點又在最近丑點之後而太隂午點却在次均輪心巳點之前故以二均與三均相減餘丑甲午角為二三均數於平行内減去初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲午角始得本時之實行也若均輪心從最髙庚行二百七十度至辰為自行九宫初度次輪心從均輪最近癸行一周復行一百八十度至最逺壬而當上弦與朢之間或下弦與朔之間則初均數丙甲丑角及二三均數丑甲午角皆與三宫初度之數相等但實行俱在平行之前故俱為加差以加於平行而得實行也如均輪心從最髙庚行一百二十度至未為自行四宫初宫次輪心從均輪最近癸行二百四十度至申此時若太隂距太陽一百一十度為上弦後一日餘則次均輪心從次輪最近丑行二百二十度至酉太隂亦從次均輪最下卯行二百二十度至戌其丙甲丑角四度二十二分一十九秒為初均數丑甲邊九百八十八萬三千七百六十為次輪最近點距地心之數乃用丑甲酉三角形求二均數此形有丑甲邊九百八十八萬三千七百六十有丑酉邊四十萬七千八百二十七(次輪丑酉弧一百四十度之通弦)有丑角八十四度二十二分一十九秒(丙甲亥三)(角形以甲丙兩角相併與亥外角等丑申子次輪全徑原與癸未壬均輪全徑)(平行則申丑亥角與丑亥丙角為平行線内兩尖交錯之角其度必等故以丙)(甲亥角四度二十二分一十九秒與甲丙亥角六十度相加得六十四度二十)(二分一十九秒即為申丑亥角又酉丑子為界角對酉子弧四十度則酉丑子)(角必二十度與申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒即為酉丑甲)(角)求得丑甲酉角二度二十一分四十秒為二均數又求得酉甲邊九百八十五萬一千五百九十五復用酉甲戌三角形求三均數此形有酉甲邊九百八十五萬一千五百九十五有酉戌邊一十一萬七千五百(次均輪半徑)有酉角一百四十度(即次均輪戌卯弧)求得酉甲戌角二十六分零七秒為三均數也此二均三均並為減差故以二均與三均相加得二度四十七分四十七秒為二三均數仍為減差(凡二均與三均加減同者相加為二三均數餘倣此)葢次輪之最近丑點與次均輪心酉點俱在平行丙點之後而太隂戌點又在次均輪心酉點之後故以二均與三均相加得丑甲戌角為二三均數於平行内減去初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲戌角始得本時之實行也若均輪心從最髙庚行二百四十度至未為自行八宫初度次輪心從均輪最近癸行一周復行一百二十度至申而太隂距太陽七十度為上弦前一日餘則次均輪心從次輪最近丑行一百四十度至酉太隂亦從次均輪最下卯行一百四十度至戌其初均數丙甲丑角及二三均數丑甲戌角皆與四宫初度之數相等但實行俱在平行之前故俱為加差以加於平行而得實行也如均輪心合朔時在本輪之辰距最卑辛十五度餘則次輪心在均輪之己距均輪最近癸三十一度餘次均輪心則在次輪最近丑太隂在次均輪最下卯迨朔後一日餘本輪心從本天合朔後行十六度至丙則均輪心亦從本輪辰行十五度餘至最卑辛為自行六宫初度次輪心亦從均輪己行三十一度餘至最近癸次均輪心從次輪最近丑行三十二度至午太隂亦從次均輪最下卯行三十二度至未則無初均數乃用癸甲午三角形求二均數此形有癸甲邊九百四十九萬三千(於丙甲半徑一千萬内減去負)(圈半徑丙辛七十九萬七千餘辛甲九百二十萬三千最加均輪半徑癸辛二)(十九萬即得)有癸午邊二十一萬七千有癸角一百四十八度求得癸甲午角四十分五十一秒為二均數又求得午甲邊九百六十七萬七千五百零七復用午甲未三角形求三均數此形有午甲邊九百六十七萬七千五百零七有午未邊一十一萬七千五百有午角三十二度求得午甲未角二十二分二十一秒為三均數也此二均三均並為加差以二均與三均相加得一度零三分一十二秒為二三均數仍為加差葢次輪之最近丑點與平行内點在一直線上平行即實行故無初均數而次均輪心午點在平行丙點之前太隂未點又在午點之前故以二均與三均相加得丙甲未角為二三均數以加於平行即得本時之實行也若均輪心在最卑辛而太隂距太陽三百四十四度為朔前一日餘則二三均數丙甲未角與朔後一日餘之數相等但實行在平行後故為減差以減於平行而得實行也如均輪心過最卑辛行五十度至午為自行七宫二十度則次輪心從均輪最近癸行一百度至未而太陰距太陽一百三十五度為朢前三日餘則次均輪心從次輪最近丑行二百七十度至申太隂亦從次均輪最下卯行二百七十度至酉其丙甲丑角三度五十三分零六秒為初均數丑甲邊九百八十三萬六千一百九十五為次輪最近點距地心之數乃用丑甲申三角形求二均數此形有丑甲邊九百八十三萬六千一百九十五有丑申邊三十萬六千八百八十四(次輪丑申弧九十度之通弦)有丑角八度五十三分零六秒(丙甲戌三角形以丙甲兩角相併與戌外角等)(丑未子次輪全徑原與癸午壬均輪全徑平行則丙戌丑角與戌丑未角為平)(行線内兩尖交錯之角其度必等故以丙甲戌角三度五十三分零六秒與甲)(丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒為戌丑未角内減去未丑)(申角四十五度餘八度五十三分零六秒為申丑甲角也)求得丑甲申角一十七分零六秒為二均數又求得申甲邊九百五十二萬八千九百二十復用申甲酉三角形求三均數此形有申甲邊九百五十二萬八千九百二十有申酉邊一十一萬七千五百有申角九十度求得申甲酉角四十二分二十三秒為三均數也此初均數為加差二均數亦為加差而三均數轉為減差故於三均數内減去二均數餘二十五分一十七秒為二三均數轉為減差(三均)(大於二均故從三均)葢次輪之最近丑點與次均輪心申點俱在平行丙點之前而太隂酉點却在次輪最近丑點之後故以二均與三均相減餘丑甲酉角為二三均數於平行外加初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲酉角始得本時之實行也若均輪心未至最卑辛五十度在午為自行四宫十度而太隂距太陽二百二十五度為朢後三日餘其初均數丙甲丑角及二三均數丑甲酉角皆與七宫二十度之數相等但初均數為減差二三均數為加差以初均數減於平行復以二三均數加之而得實行也如均輪心從最卑辛行一百二十度至辰為自行十宫初度則次輪心從均輪最近癸行二百四十度至己而太隂距太陽三百二十度為下弦後四日則次均輪心從次輪最近丑行一周復行二百八十度至午太隂亦從次均輪最下卯行一周復行二百八十度至未其丙甲丑角四度一十四分五十一秒為初均數丑甲邊一千零一十七萬二千九百四十一為次輪最近點距地心之數乃用丑甲午三角形求二均數此形有丑甲邊一千零一十七萬二千九百四十一有丑午邊二十七萬八千九百七十(次輪丑午弧八十度之通弦)有丑角七十四度一十四分五十一秒(丙申甲三角形以丙甲兩角相併與申外)(角等丑巳子次輪全徑原與癸辰壬均輪全徑平行則己丑甲角與壬申丑角)(為平行線之内外角其度必等故以申丙甲角一百二十度與丙甲申角四度)(一十四分五十一秒相加得一百二十四度一十四分五十一秒即為己丑甲)(角内減去己丑午角五十度餘七十四度一十四分五十一秒為午丑甲角也)求得丑甲午角一度三十一分二十三秒為二均數又求得午甲邊一千零一十萬一千六百一十七復用午甲未三角形求三均數此形有午甲邊一千零一十萬一千六百一十七有午未邊一十一萬七千五百有午角八十度求得午甲未角三十九分二十七秒為三均數也此初均數二均數俱為加差而三均數為減差故於二均數内減去三均數餘五十一分五十六秒為二三均數仍為加差葢次輪之最近丑點與次均輪心午點俱在平行丙點之前而太隂未點却在次均輪心午點之後故以二均與三均相減餘丑甲未角為二三均數於平行外加初均數丙甲丑角復加二三均數丑甲未角即得本時之實行也若均輪心在最髙庚後六十度為自行二宫初度而太隂距太陽二百二十度為下弦前四日其初均數丙甲丑角及二三均數丑甲未角加與十宮初度之數相等但實行在平行之後故俱為減差以減於平行而得實行也兩月食定交周白道與黄道斜交月行天一周必兩次過交而交無定處每一交之中退天一度有餘故每日太隂距交行度常多於每日平行經度其較即為每日交行度測法亦擇用兩月食其兩食必須太陽之距最髙等太隂之自行度等食分等食在陽厯或在隂厯亦等(黄道南為陽厯黄道北為)(隂厯)乃可推月行若干交周而復於故處西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒為朔策五千四百五十八交周五千九百二十三因定太隂每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒(即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三)與每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十三芒相減餘三分一十秒三十八微二十四纖(即百分度之五)(分二九五五五五五五一授時厯作百分度之五分二三六以周天三百六十度約之得百分度之五分一六)(○七)為兩交每日左旋之度也今擇用兩月食以明其法如左第一食順治十三年丙申十一月庚申朢子正後一十八時四十四分一十五秒月食一十五分四十七秒在陽厯日躔星紀宫一十度三十九分在最卑後三度四十九分於時月自行為三宫二十七度四十六分第二食康熙十三年甲寅十二月丙午朢子正後三時二十三分二十六秒月食一十五分五十秒在陽厯日躔星紀宫二十一度五十二分在最卑後一十四度二十一分於時月自行為三宫二十五度二十四分(兩次月食太陽距最髙差)(一十度餘然地景之大小無異月自行差二度半食分差三秒所差甚微俱可勿論)以上兩次月食相距中積二百二十三月乃用朔策定數五千四百五十八為一率交終定數五千九百二十三為二率(此二)(數依巴谷所定)二百二十三月為三率得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一可收作二百四十二(差千分之一可以不論)為兩次月食相距之交終數又以兩次月食相距中積六千五百八十五日零八時三十九分一十秒與每日太隂平行經度相乗以交終數二百四十二除之得一百二十九萬零八百一十二秒小餘八七九五九八為每一交行度與周天一百二十九萬六千秒相減餘五千一百八十七秒小餘一二○四○二為每一交退行度又以交終數除兩次月食相距中積日分得二十七日二一二二三三為交周日分乃以交周日分除每一交退行度得三分一十秒三十七微為兩交每日退行度與每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微相加得一十三度一十三分四十五秒三十八微為太隂每日距交行度比舊數止少一微今仍用舊數各以日數乘之得十日百日之行度以時分除之得每時每分之行度以立表黄白大距度及交均白道與黄道相距之緯曰大距度而交均者乃兩交平行與自行之差是二者常相因也葢相距之度時少時多而自行之度有遲有疾故必測得距度極多極少之數而後交行之遲疾可推測大距之法推得月離黄道鶉首宫初度又在黄道北(月在黄道北則近天頂而地半徑差最㣲可以勿論)而距交適足九十度時俟至子午線上測之得地平髙度乃於髙度内減去赤道髙及黄赤距緯度其餘即為黄白大距度也厯家用此法測得朔朢時之大距為四度五十八分三十秒(即四度零十分度之九分七五)上下弦時之大距為五度一十七分三十秒(即五度零十分度之二分九一六授時厯無分朔朢兩弦皆六)(度以周天三百六十度每度六十分約之得五度五十四分三十九秒)既得二數乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均以立表如圖甲為黄極乙丙丁戊為黄道用朔朢與上下弦兩距度相加折半得五度零八分為黄白大距之中數取中數為半徑如己甲作己庚辛壬圈為白極繞黄極本輪又取兩距度之較數一十九分折半得九分三十秒為半徑如己癸作癸子丑寅圈為負白極均輪其心循己庚辛壬本輪左旋(從己向庚)每日行三分一十秒有餘白極則循癸子丑寅均輪左旋(從癸向子)行倍離之度半月一周如癸子丑寅均輪心在己朔朢時白極在癸白道交黄道於丙於戊其卯乙弧為大距四度五十八分三十秒與癸甲弧等上下弦時白極在丑白道亦交黄道於丙於戊其辰乙弧為大距五度一十七分三十秒與丑甲弧等如癸子丑寅均輪心從本輪己行至庚朔朢時白極在癸白道交黄道於乙於丁其卯丙弧為大距四度五十八分三十秒與癸甲弧等上下弦時白極在丑白道亦交黄道於乙於丁其辰丙弧為大距五度一十七分三十秒與丑甲弧等惟朔朢與上下弦時白極俱在丑甲線上平行自行相合故無交均數如白極從癸向子交行漸遲至子距癸九十度為朔與上弦之間或朢與下弦之間其行極遲白道交黄道於巳於午其未申弧為大距與子甲弧等(子甲)(為白極距黄極之弧故與未申大距弧等)於是用子甲己正弧三角形求子甲弧此形有己甲弧五度零八分有己子弧九分三十秒有己直角九十度(當癸子弧)求得子甲弧五度零八分零九秒與未申弧等為黄白大距又求得甲角一度四十六分零八秒為交均即自行遲於平行極大之差從子向丑則遲行之度漸減至丑而合於平行矣如白極從丑向寅交行漸疾至寅距丑九十度為上弦與朢之間或下弦與朔之間其行極疾己甲寅角亦一度四十六分零八秒寅甲兩極距弧亦與子甲等從寅向癸則疾行之度漸減至癸而又合於平行矣要之從癸向子至丑為前半周所求之諸甲角俱為減差以減交之平行而得交之實行從丑向寅至癸為後半周諸甲角之度皆以前半周等但俱為加差以加交之平行而得交之實行故用弧三角形法以己庚辛壬圈之半徑五度零八分及癸子丑寅圈之半徑九分三十秒為常用之兩邊以極距癸點之逐度為角得弧三角形一百八十求得各對角之弧為兩極大距(如子甲之類)近黄極之角為交均在前半周為減差後半周為加差而大距及交均之表全矣至於有大距之數而求逐度之小距度與日躔求黄赤距緯之法同視差太隂之視差有四一為蒙氣差能升卑為髙其理與數皆與太陽同一為髙下差(即地半徑差)生於地之半徑能變髙為下其理亦與太陽同而數則過之葢太陽本天半徑與地半徑之比例為千餘分之一而太隂本天半徑與地半徑之此例為五六十分之一故其差角迥别不可同論也又有東西差(即經度差)南北差(即緯度差)皆由髙下差而生算交食用之詳載交食本篇兹不具論如圖甲為地心乙為地面甲乙為地半徑乙丙為地平丁戊己為太隂本天庚辛壬癸為恒星天戊為太隂人從地面乙測之對恒星天於壬其視髙為壬乙丙角若從地心甲計之則見太隂於戊者對恒心天於辛其真髙為辛甲癸角此兩髙之差為乙戊甲角即髙下差然亦時時不同者一因太隂距地平近則差角大漸髙則漸小一因太隂在本天最髙則差角小在本天最卑則差角大與日躔之理同今亦約為最髙最卑中距三限於朢時及兩弦各以所測地面上太隂之髙度求太隂距地心之甲戊線(朢時測中距兩弦時)(測最髙及最卑葢月自行在中距朢時次均輪心在)(次輪之最近月在次均輪之最下微小於本天若兩)(弦時則次均輪心在次輪之最逺已在本天之外月)(又在次均輪之最上未免太過於本天故於朢時測)(中距也又月自行在最髙兩弦時月距地心比朢時)(髙一次輪全徑又髙一次均輪全徑故於此時測最)(髙月自行在最卑兩弦時月距地心北朢時卑一次)(輪全徑又髙一次均輪全徑猶在朢時月體之下故)(於此時測最卑也)如暢春園測得太隂髙六十二度四十分五十一秒四十三微同時於廣東廣州府測得太隂高七十九度四十七分二十六秒一十二微(廣東子午線在京師西三度三十三)(分然髙下差甚微可勿論)於時月自行三宫初度月距日一百八十度(即朢時)以之立法甲為地心乙為京師地面庚為天頂子為廣州府地面丑為天頂戊為太隂寅為赤道寅庚弧三十九度五十九分三十秒為暢春園赤道距天頂之度寅丑弧二十三度一十分為廣州府赤道距天頂之度以兩處赤道距天頂度相減餘一十六度四十九分三十秒為庚丑弧即庚甲丑角以暢春園髙度與一象限相減餘二十七度一十九分零八秒一十七微為庚乙戊角以廣州府髙度與一象限相減餘一十度一十二分三十三秒四十八微為丑子戊角先用乙甲子三角形此形有甲角一十六度四十九分三十秒又有乙甲及子甲俱地半徑命為一千萬乃以甲角折半之正弦倍之得二九二五九七七為乙子邊又以甲角與半周相減餘數半之得八十一度三十五分一十五秒為乙角亦即子角次用乙戊子三角形此形有乙子邊二九二五九七七有戊乙子角七十一度零五分三十六秒四十三微(以庚乙戊角與子乙甲角相加得一百零)(八度五十四分二十三秒一十七微以減半周即得)有戊子乙角一百零八度三十七分一十八秒四十八微(於半周内減去乙子甲角八十一度三十)(五分一十五秒加入戊子丑角一十度一十二分三)(十三秒四十八微即得)即有乙戊子角一十七分零四秒二十九微求得戊乙邊五五八二六五二五四末用戊乙甲三角形此形有乙甲地半徑一千萬有戊乙邊五五八二六五二五四有戊乙甲角一百五十二度四十分五十一秒四十三微(於半周内減去庚乙戊角二十七度一十九分零八)(秒一十七微即得)求得乙戊甲角二十七分四十九秒零四微為中距限太隂髙六十二度四十分五十一秒四十三微之髙下差求得戊甲邊五六七一七一三三四為太隂在本天中距時距地心之逺以地半徑較之其比例為一千萬與五億六千七百一十七萬一千三百三十四若命地半徑為一則月距地心為五十六又百分之七十二也乃依此法於月自行初宫初度月距日九十度時(即上)(下弦)測之求得甲乙線與戊甲線之比例為一與六十一又百分之九十八即月在本天最髙距地心最逺之數又於月自行六宫初度月距日九十度時測之求得甲乙線與戊甲線之比例為一與五十三又百分之七十一即月在本天最卑距地心最近之數於是自最近五十三至最逺六十二之十數逐度求其髙下差以立表隠見遲疾合朔之後恒以三日月見於西方故尚書註月之三日為哉生明然有朔後二日即見者更有晦日之晨月見東方朔日之夕月見西方者唐厯家遂為進朔之法致日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故葢月之隠見遲疾固有一定之理可按數而推殆因乎天行由於地度無庸轉移遷就也至於漢魏厯家未明盈縮遲疾之差以平朔著厯故有晦而月見西方朔而月見東方者此則推步之疎不可以隠見遲疾論也隠見之遲疾其故有三今並詳於後一因黄赤道之升降有斜正也葢春分前後各三宫(由星紀至實沈六宫)黄道斜升而正降月離此六宫則朔後疾見秋分前後各三宫(由鶉首至)(析木六宫)黄道正升而斜降月離此六宫則朔後遲見如上二圖前圖日躔降婁初度月離降婁一十五度為正降日入時月在地平上髙一十四度餘即可見葢入地遲而見早也後圖日躔夀星初度月離夀星一十五度為斜降日入時月在地平上髙六度餘即不可見葢入地疾而見遲也若晦前月離正升六宫則隠遲斜升六宫則隠早其理亦同一因月距黄緯有南北也葢月距黄道北則朔後見早距黄道南則朔後見遲如圖日躔降婁初度月離降婁一十五度而月距黄道北則月距地平之度多入地遲而見早月距黄道南則月距地平之度少入地疾而見遲也若晦前距黄道北則隠遲距黄道南則隠早其理亦同一因月視行之度有遲疾也葢月視行為遲厯則朔後見遲晦前隠遲視行為疾厯則朔後見早晦前隠早也夫月離正降宮度距日一十五度即可見以每日平行一十二度有竒計之則朔後一日有餘即見生明於西是故合朔如在甲日亥子之間月離正升宮度距黄道北而又行遲厯則甲日太陽未出亦見東方月離正降宫度距黄道北而又行疾歴則乙日太陽已入亦見西方矣御製歴象考成上編卷五
## 上編卷六
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷六交食厯理一(日食月食合)交食總論朔望有平實之殊朔望用時求日月距地與地半徑之比例日月視徑求日月實徑與地徑之比例地影半徑交食總論太隂及於黄白二道之交因生薄蝕故名交食然白道出入黄道南北太隂每月必兩次過交而或食或否何也月追及於日而無距度為朔距日一百八十度為望此皆為東西同經其入交也正當黄道而無緯度是為南北同緯雖入交而非朔望則同緯而不同經當朔望而不入交則同經而不同緯皆無食必經緯同度而後有食也盖合朔時月在日與地之間人目仰觀與日月一線參直則月掩蔽日光即為日食望時地在日與月之間亦一線參直地蔽日光而生闇影其體尖圓是為闇虚月入其中則為月食也按日為陽精星月皆借光焉月去日逺去人近合朔之頃特能下蔽人目而不能上侵日體故食分時刻南北迥殊東西異視也若夫月食則月入闇虚純為晦魄故九有同觀但時刻有先後耳至於推步之法日食須用髙下南北東西三差委曲詳密而月食惟論入影之先後淺深無諸視差之繁故先總論交食之理次論月食乃及日食因日食立法較難故後論加詳焉如圖合朔時月在地與日之間人在地面居甲者見月全掩日居乙者見月掩日之半居丙者但見日月兩周相切而不相掩故日食隨地不同乃月蔽人日不見日光而日體初無異也如地在日月之間日大地小地向日之面為晝背日之面則生尖影人在影中不見日光為夜望時月入影中而不能借日光全為晦魄故月食為普天同視也朔望有平實之殊日月相㑹為朔相對為望而朔望又有平實之殊平朔望者日月之平行度相㑹相對也實朔望者日月之實行度相㑹相對也故平朔望與實朔望相距之時刻以兩實行相距之度為準盖兩實行相距之度以兩均數相加減而得而兩朔望相距之時刻則以兩實行相距之度變為時刻以加減平朔望而得實朔望故兩實行相距無定度則兩朔望相距亦無定時也如圖甲為地心即日月本天心乙為月本輪心丙為日本輪心(日月止用本輪者因明平實之)(理取其易於辨析也)兩輪心俱在甲乙丙及甲乙丁直線上為平朔望而丙為黄道上平朔之度丁為黄道上平望之度如日在本輪之戊月在本輪之己或在本輪之庚俱在甲己戊辛及甲庚壬直線上則為實朔望而辛為黄道上實朔之度壬為黄道上實望之度也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚則日之實行度在辛相對之度在壬而辛丙及壬丁皆為加均乃實行過於平行之度月之實行度朔在癸望在子而癸丙及子丁皆為減均乃實行不及平行之度故以辛丙加均與癸丙減均相併得癸辛弧為兩實行相距之度亦即實朔距平朔之度以壬丁加均與子丁減均相併得子壬弧為兩實行相距之度亦即實望距平望之度也此日為加均月為減均故日實行在月實行之前為實朔望在平朔望之後必計月得若干時分而後行過癸辛弧及子壬弧始能與日相㑹相對故以癸辛弧及子壬弧變為時分以加平朔望而得實朔望也若日為減均月為加均則日實行在月實行之後而實朔望在平朔望之前即以實行相距之時分減平朔望而得實朔望其理亦同也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚則日之實行度在辛相對之度在壬而辛丙及壬丁皆為減均乃實行不及平行之度月之實行度朔在癸望在子而癸丙及子丁亦皆為減均乃實行不及平行之度故以辛丙減均與癸丙減均相減餘辛癸弧為兩實行相距之度亦即實朔距平朔之度以壬丁減均與子丁減均相減餘壬子弧為兩實行相距之度亦即實望距平望之度也此日之減均大於月之減均故日實行在月實行之後而實朔望在平朔望之前必計月己行過與日相㑹相對若干時分為辛癸弧及壬子弧故以辛癸弧及壬子弧變為時分以減平朔望而得實朔望也若日之減均小於月之減均則日實行在月實行之前而實朔望在平朔望之後即以實行相距之時分加平朔望而得實朔望其理亦同也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚則日之實行度在辛相對之度在壬而辛丙及壬丁皆為加均乃實行過於平行之度月之實行度朔在癸望在子而癸丙及子丁亦皆為加均乃實行過於平行之度故以辛丙加均與癸丙加均相減餘辛癸弧為兩實行相距之度亦即實朔距平朔之度也以壬丁加均與子丁加均相減餘壬子弧為兩實行相距之度亦即實望距平望之度也此日之加均大於月之加均故日實行在月實行之前而實朔望在平朔望之後必計月得若干時分而後行過辛癸弧及壬子弧始能與日相㑹相對故以辛癸弧及壬子弧變為時分以加平朔望而得實朔望也若日之加均小於月之加均則日實行在月實行之後而實朔望在平朔望之前即以實行相距之時分減平朔望而得實朔望其理亦同也朔望用時太陽與太隂實行相㑹相對為實朔望但實朔望之時刻按諸測驗猶有數分之差(或早或遲差至一刻)以其猶非用時也盖實朔望固兩曜實㑹實對之度而推算時刻則仍以平行所臨之位為時皆依黄道而定今推平行與實行既有盈縮差則時刻亦有增減又時刻以赤道為主而黄道赤道既有升度差則時刻亦有進退故必以本時太陽均數與升度差俱變為時分以加減實朔望之時刻為朔望用時乃與測驗脗合此即日躔時差加減之理也求日月距地與地半徑之比例太陽太隂距地之逺近日躔月離地半徑差篇言之詳矣顧求地半徑差止用最髙最卑中距三限而交食之日月視徑以及影徑影差則逐度不同且太隂在最髙兩弦尤髙太陰在最卑兩弦尤卑交食在朔望其髙卑皆不及兩弦故欲求日月逐度之髙必先定最髙最卑中距之距地心線今依日月諸輪之行求得太陽在最髙距地心一○一七九二○八(本半) (天徑)(加本輪半徑減均輪半徑)其與地半徑之比例為一與一千一百六十二(詳日躔厯理)中距距地心一○○○六四二一(求均)(數時並求太陽距地心之邉即得)其與地半徑之比例為一與一千一百四十二最卑距地心九八二○七九二(本天半徑減本)(輪半徑加均輪半徑)其與地半徑之比例為一與一千一百二十一太陰在最髙朔望時距地心一○一七二五○○(本天半徑加負圏半徑減均輪半徑又減次輪半徑又減次均輪半徑即得俱詳月離二三均數圖)其與地半徑之比例為一與五十八又百分之一十六中距朔望時距地心九九二○二七三(求初均數時並求太)(陰距地心之邉内減次均輪半徑即得盖朔望時無二三均但距地心少次均輪半徑耳)其與地半徑之比例為一與五十六又百分之七十二(詳月離地)(半徑差篇最髙最卑皆以此為比例)最卑朔望時距地心九五九二五○○(本天半徑減負圏半徑加均輪半徑又加次輪半徑減次均輪半徑即得)其與地半徑之比例為一與五十四又百分之八十四如求太陽在最髙前後四十度距地心與地半徑之比例則以太陽最髙距地心一○一七九二○八為一率一千一百六十二為二率太陽在最髙前後四十度之距地心線一○一三九八九八為三率得四率一千一百五十七即當時日距地與地半徑之比例也求月距地之法倣此日月視徑日月之徑為食分淺深之原所關甚大但人目所見者非實徑乃視徑也實徑為一定之數而視徑則隨時不同盖凡物逺則見小近則見大日月之行有髙卑其去地之逺近逐日不同故其視徑之小大亦不等數年以來精推實測得太陽最髙之徑為二十九分五十九秒最卑之徑為三十一分零五秒比舊定日徑最髙少一秒最卑多五秒朔望時太陰最髙之徑為三十一分四十七秒最卑之徑為三十三分四十二秒比舊定月徑最髙多一分一十七秒最卑少五十八秒而以日月髙卑比例推算今數為密兹将測算之術詳著於篇測太陽徑一法用正表倒表各取日中之影求其髙度兩髙度之較即太陽之徑也盖正表之影乃太陽上邊之光射及表之上邉其所得為太陽上邊距地平之髙度倒表之影乃太陽下邊之光射及表之下邊其所得為太陽下邉距地平之髙度故兩髙度之較即太陽之徑也一法用儀器測得太陽午正之髙度復用正表測影亦求其髙度兩髙度之較即太陽之半徑也盖儀器所得者太陽中心之度表影所得者太陽上邊之度故兩髙度相較即得太陽之半徑也一法用中表正表各取日中之影求其髙度兩髙度之較即太陽之半徑也盖中表係横梁上下皆空太陽上邊之光射横梁之下面太陽下邊之光射横梁之上面其所生之影必當太陽之中心故以中表所測之髙度與正表所得太陽上邊之髙度相較即得半徑也一法治一暗室令甚黝黒於室頂上開小圓孔(徑一寸或)(半寸)以透日光孔面頂平不可欹側室内置平案孔中心懸垂線至案中線正午時日光射於案上必成撱圓形爰従案上對垂線處量至撱圓形之前後兩界垂線至前界加孔之半徑為前影垂線至後界減去孔之半徑為後影乃以垂線(即孔距案面)為一率前後影各為二率半徑一千萬為三率得四率並查八線表之餘切線得前後影之兩髙度相減之較即太陽之全徑也盖太陽上邊之光従孔南界射入至案為撱圓形之前界與正表之理同太陽下邊之光従孔北界射入至案為撱圓形之後界與倒表之理同故兩髙度之較即為太陽之徑也至於前後影必加減孔之半徑者因量影時俱對孔之中心起算然前影則自孔之南界入在中心之前而後影則自孔之北界入在中心之後較之中心並差一半徑故必須加減半徑而後立算也測太陰徑一法春秋分望時用版或墻為表以其西界當正午線人在表北依不動之處候太隂之西周切於正午線看時辰表是何時刻俟太陰體過完其東周纔離正午線復看時辰表是何時刻乃計太陰過正午線共得㡬何時刻以時刻變度(每時之四分為一度)内減本時分之太陰行度餘即太陰之徑也一法兩人各用儀器候太陰當正午時同時並測一測其上弧髙度一測其下弧髙度兩髙度之較即太隂之徑也一法用附近恒星以紀限儀測其距太陰左右兩弧之度其兩距度之較即太陰之徑也以上諸法逐時測量即得太陽太陰自髙及卑之各半徑以立表又法不用逐時測量止測得最髙最卑時之兩半徑相減用其較數與本輪之矢度為比例即可得髙卑間之各半徑數也如太陽最髙之徑為二十九分五十九秒最卑之徑為三十一分零五秒相差一分零六秒化為六十六秒今求距髙卑前後六十度之視徑則命本輪徑為二千萬為一率六十度之矢五百萬為二率徑差六十六秒為三率得四率一十六秒半以加最髙之徑二十九分五十九秒得三十分一十五秒半為最髙前後六十度之視徑以減最卑之徑三十一分零五秒得三十分四十八秒半為最卑前後六十度之視徑也太陰之法並同求日月實徑與地徑之比例日月地三體各有大小之比例日最大地次之月最小新法厯書載日徑為地徑之五倍有餘月徑為地徑之百分之二十七强今依其法用日月髙卑兩限各數推之所得實徑之數日徑為地徑之五倍又百分之七月徑為地徑之百分之二十七弱皆與舊數大致相符足徵其説之有據而非誣也凡明暗兩體相對明體施光暗體受之其背即生黑影若兩體同大則其影成平行長圓柱形其徑與原體相同其長至於無窮而無盡也如甲圖然若明體小暗體大則其影漸大成圓墩形其徑雖與原體相同其長至於無窮其底之大亦無窮也如乙圖然惟明體大暗體小則其影漸小成尖圓體其徑與原體等其下漸小而盡成鋭角如丙圖然使日小於地或與地等則地所生之影宜如甲乙兩圖其長無窮今地影不能掩熒惑何况嵗星以上諸星是地影之長有盡必如丙圖而日之大於地也其理明矣又凡人目視物近則見大逺則見小如丁戊與己庚兩物同大人目視之成兩三角形丁戊近目其兩腰短故底之對角大己庚逺目其兩腰長故底之對角小若去人目有逺近而視之若等則逺者必大近者必小今仰觀日月其徑畧等而日去地甚逺月去地甚近則月必小於日也可知矣夫地徑小於日而地影之徑又漸小於地月過地影則食食時月入影中多厯時刻而後生光則月必小於地影月既小於地影則其必小於地也又何疑焉求日實徑之法如圖甲為地心乙為日心甲乙為兩心相距乙甲丙角為日視半徑角乙丙為日半徑用甲乙丙直角三角形此形有丙直角有甲角十四分五十九秒三十微為日在最髙之視半徑有乙甲邊一千一百六十二為日在最髙距地心之數求得乙丙五又百分之七為日實半徑即為地半徑之五倍又百分之七也求月實徑之法倣此地影半徑太陽照地而生地影太陰過影而生薄蝕凡食分之淺深食時之乆暫皆視地影半徑之大小其所係固非輕也但地影半徑之大小隨時變易其故有二一緣太陽距地有逺近距地逺者影巨而長距地近者影細而短此由太陽而變易者也一緣地影為尖圓體近地麤而逺地細太陰行最卑距地近則過影之麤處其徑大行最髙距地逺則過影之細處其徑小此由太陰而變易者也今依太陽在最髙所生之大影為率而以太陰従髙及卑各距地心之地半徑數求其相當之影半徑為影半徑表復求得太陽従髙及卑所生之各影各求其太陰在中距所當之影半徑俱與太陽在最髙所生之大影相較餘為影差列於本表之下用時以太陰引數宫度查得影半徑復以太陽引數宫度查得影差以減影半徑即得所求之地影實半徑也如圖甲為地球乙丙皆為太陽乙為最髙丙為最卑太陽従最髙乙發光則地影長大為丁己戊従最卑丙發光則地影短小為丁庚戊太陰遇丁己戊大影而在最髙辛則其所當之影徑如辛壬在最卑癸則其所當之影徑如癸子若太陰遇丁庚戊小影而在最髙辛則其所當之影徑如丑寅在最卑癸則其所當之影徑如卯辰其兩半徑之較為辛丑與癸卯是所謂影差也求地影半徑有二法一用推算一用測量而推算所得之數比測量所得之數常多數分盖因太陽光大能侵削地影故也如甲為地球乙丙丙丁為太陽實半徑従乙丁作兩線切地球戊己兩邊而交於庚則成戊庚己影然太陽光芒常溢於原體之外如辛壬従辛壬作兩線切地球戊己兩邊而交於癸則成戊癸己影而小於戊庚己影論其實則推算之數為真欲合仰觀則測量之數為準故地影表所列之數皆小於推算之數也推算之法命地半徑甲己為一百分則太陽實半徑丙丁為五百零七分(太陽實徑)(為地徑之五倍又百分之七今以地半徑為一百分則太陽實半徑為五百零)(七分)以甲己與丙丁相減餘丙子四百零七乃以丙子四百零七為一率太陽在最髙距地心之丙甲一十一萬六千二百(即地半徑之一千一百六十二倍)為二率甲己地半徑一百為三率得四率甲庚二萬八千五百五十為地影之長盖丙子甲勾股形與甲己庚勾股形為同式形故其相當各界皆可為比例也既得甲庚地影之長乃求得甲庚己角一十二分零二秒又於甲庚地影之長内減去太陰在中距朔望時距地心之甲丑五千六百七十二(即地半徑之五十六倍又百分之七十二)餘二萬二千八百七十八為丑庚於是用丑庚寅直角三角形求得丑寅八十有餘又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒為太陰在中距時所過地影之半徑查地影半徑表為四十四分四十三秒多三分五十一秒測量之法如康熈五十六年丁酉八月十七日月食其實引為二宫三度四十一分零三秒距地心五十七地半徑零百分之四十一測得緯度在黄道北三十六分一十八秒月半徑為一十六分一十秒食分為二十三分三十秒乃以黄道緯度三十六分一十八秒求得白道緯度三十六分二十六秒為食甚距緯與食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒内減月半徑一十六分一十秒餘四十三分四十六秒為地影半徑查地影半徑表為四十三分五十四秒相差八秒乃本時太陽之影差也(表數乃太陽在最髙之影今太陽在八宫故差八秒)如圖子丑寅為黄道卯辰己為白道卯子寅己為地影午丑為地影半徑未申酉為月未辰為月半徑月行白道従卯至辰距地影心丑最近是為食甚午酉即為食分辰戌為黄道緯度辰丑即白道緯度用辰丑戌正弧三角形此形有辰角與黄白交角等有戌直角有辰戌邊求得辰丑為食甚距緯以午酉食分與辰丑距緯相加成亥丑内減與月半徑未辰相等之亥午餘午丑即為地影之半徑也推算所得之數既大於測量所得之數則太陽光大之能侵削地影可知矣然不得太陽之光分雖逐時測量又有影差雜於其内則地影之大小終不能得其真今立法以太陰在中距之地影半徑四十四分四十三秒為準(前測月食實引二宫)(三度近中距而其影畧與表合故以中距之地影為準)求太陽之光分命地半徑甲巳為一百分則太陰在中距朔望時距地心之甲丑為五千六百七十二丑甲寅角即為四十四分四十三秒用甲丑寅直角三角形求得丑寅為七十三小餘七八甲寅為五千六百七十二小餘四八又用甲巳寅直角三角形(巳為直角)求得巳甲寅角為八十八度五十九分二十四秒於象限内減去巳甲寅角又減去丑甲寅角餘一十五分五十三秒為卯甲己角乃用卯甲己直角三角形(已為直角)求得甲卯為一百又千分之一甲卯内減去與丑寅相等之甲辰餘二十六小餘二二一為辰卯於是以卯辰寅勾股形(辰寅與甲丑等)與卯甲庚勾股形為比例得甲庚二萬一千六百三十二即地影之長又以甲己庚勾股形與丙丁庚勾股形為比例得丙丁六百三十七即太陽之光分為地半徑之六倍又百分之三十七也既得丙丁太陽之光分又得甲庚地影之長乃於甲庚内減太陰在最髙距地心之甲巳五千八百一十六餘己庚一萬五千八百一十六以甲卯庚勾股形與巳午庚勾股形為比例得巳午七十三小餘一一又用甲巳午直角三角形求得甲角四十三分一十三秒為太陰在最髙所過地影之半徑於甲庚内減太陰在最卑距地心之甲未五千四百八十四餘未庚一萬六千一百四十八以甲卯庚勾股形與未申庚勾股形為比例得未申七十四小餘六五又用甲未申直角三角形求得甲角四十六分四十八秒為太陰在最卑所過地影之半徑比舊表最髙多一十三秒最卑少一十二秒盖舊表固由實測要亦準於太隂之髙卑今測太陰之在最髙較舊數為稍卑故月徑大而影徑亦大太陰之在最卑較舊數為稍髙故月徑小而影徑亦小然月徑約以三十分為十分影徑差一十二秒食分止差四秒固不失為密合况影徑隨月徑而大小尤不致舛謬也於是以隨時太陰距地心之地半徑數各與地影之長相減以求得地影之半徑線又各求其相當之角即得太陰隨時之影半徑以立表求影差之法用太陽在最髙所生之長影求得太陰在中距時所當之影半徑四十四分四十三秒為率而以太陽在最卑所生之短影亦求得太陰在中距所當之影半徑為四十四分零八秒相差三十五秒為太陽最髙最卑兩限之影差其餘影差俱依此例推之御製厯象考成上編卷六
## 上編卷七
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷七交食厯理二(専論月食)太隂食根月食分秒月食五限時刻見食先後定月食方位繪月食圖太陰食限食限者推太陰交周度距交若干為入食限之始也太陰半徑與地影半徑相切即入食之限故以兩半徑相併之數當黄白兩道之距緯度而求其相當之經度得距交一十一度一十六分四十五秒為必食之限距交一十二度一十六分五十五秒為可食之限盖必食者無不食可食者或食或不食也二者皆實望之限若論平望其限尤寛得距交一十四度五十四分即為有食之限矣解之如左地影半徑最小者四十二分三十八秒太陰半徑最小者一十五分五十三秒三十微相併得五十八分三十一秒三十微黄白距緯度在此數以内者月必食以此數當距緯求其經度則用黄白大距四度五十八分三十秒之正切與半徑為比例即得一十一度一十六分四十五秒為必食之限如圖甲乙為黄道甲丙為白道甲為二道之交乙為地影心丙為月心兩周相切於丁乙丁丙為兩半徑之共數若距度在此數以内則月周侵入地影内而見食故用甲乙丙正弧三角形求甲丙交周度距交若干此形有丙直角有甲角黄白大距度四度五十八分三十秒有乙丙兩半徑相併五十八分三十一秒三十微今以甲角正切與半徑之比同於乙丙距緯正切與甲丙經度正弦之比而得一十一度一十六分四十五秒為甲丙距交之度也地影半徑最大者四十六分四十八秒太陰半徑最大者一十六分五十一秒相併得一度零三分三十九秒黄白距緯度在此數以内者月可食以此數當距緯按前法求經度得一十二度一十六分五十五秒為可食之限其或不食者何也盖必兩半徑俱最大而後得食若有一半徑畧小即兩周不得相切而不食矣平望之限又寛於實望之限而為一十四度五十四分何也盖太陽最大之均數二度零三分一十一秒太陰最大之均數四度五十八分二十七秒相併得七度零一分三十八秒為兩實行相距最逺之度如圖甲為地心乙為黄道上平望之點日之實行正對之度在丙乙丙弧為二度零三分一十一秒月之實行度在丁丁乙弧為四度五十八分二十七秒兩實行相併得丁丙弧七度零一分三十八秒為日實行正對之點與月實行相距之度迨月實行逐及於日實行正對之丙則曰正對之點又行三十一分餘至戊月更行至戊則日正對之點又行二分餘至己月必又行至己方為實望共計乙己弧得二度三十七分有餘為實望距平望之數以此數與實望之限相加得一十四度五十四分乃為平望之食限也月食分秒月食分數之淺深視黄白距緯之多少距緯愈少太陰心與地影心相去愈近則太陰入影愈深故用太陰半徑地影半徑相併而與距緯相較併徑大於距緯之較即為月食之分若併徑小於距緯則月不食若太陰恰當交點而無距緯則併徑全為食分為月食之最深也但太陰與地影之半徑分秒皆係弧度而論食分則以太陰全徑直線計之其法命太陰全徑為十分以太陰視徑分秒與併徑距緯之較之比(無距緯者即以併徑為比)同於太陰全徑與食分之比也如圖甲乙為黄道丙乙為白道乙為二道之交丙甲丁戊己庚皆為黄白距度辛甲壬戊癸庚子乙皆為地影半徑丙丑丁寅己卯乙辰皆為太陰半徑如太陰心在丙地影心在甲丙丑辛甲兩半徑相併小於丙甲距緯則太陰不入於影故不食也如太陰心在丁地影心在戊丁寅壬戊兩半徑相併大於丁戊距緯其較為壬寅即太陰入影之分也又如太陰心在己地影心在庚己卯癸庚兩半徑相併大於巳庚距緯其較為癸夘與太陰全徑相等即太陰入影之分此為月食十分盖月體全入影中纔食既而即生光也又太陰恰當交點全無距緯太陰心地影心相㑹於乙即以子乙乙辰兩半徑相併為太陰入影之分月食遇此其食分為最深也設太陰在最髙其視半徑一十五分五十三秒三十微地影半徑四十三分一十三秒相併得五十九分零六秒三十微乃以太陰視徑三十一分四十七秒為一率併徑五十九分零六秒三十微為二率太陰全徑十分為三率得四率一十八分三十七秒為月食之最大分也月食五限時刻月食五限一曰食甚乃月入影最深之限也一曰初虧月将入影兩周初切也一曰食既月全入影其光盡掩也是二者在食甚前一曰生光月将出影其光初吐也一曰復圓月全出影兩周方離也是二者在食甚後月食十分以上者有五限十分以下者止三限無食既與生光也其時刻之多寡則由於入影之淺深過影之遲速盖距緯有寛狹寛則入影淺而時刻少狹則入影深而時刻多又月與影之半徑各有小大月大影小則過影速而時刻少月小影大則過影遲而時刻多抑且自行有遲疾遲則出影遲疾則出影速故雖距緯同半徑同而自行不同即時刻亦不同也其食甚前後各限相距之時刻恒等而食甚又非實望之時所差雖微而理則實異夫地影之心即太陽正對之點地影心距交之黄道經度與月心距交之白道經度等是為東西同經即為實望然月心與影心斜距猶逺惟従白極出弧線過影心至白道與白道成直角月心臨此直角之點乃為食甚盖惟此時月心與影心相距甚近食分最深也如圖甲乙為黄道甲丙為白道甲為交點丙為實望之度丁戊己庚為地影乙為影心甲乙與甲丙等辛壬癸子丑為五限月心所在辛為初虧戊為初虧之點壬為食既丁為食既之點癸為食甚癸乙為食甚距緯較丙乙為近此線引長必過白極故與白道成直角子為生光庚為生光之點丑為復圓己為復圓之點癸丙為食甚距實望之弧辛癸為初虧距食甚之弧與復圓距食甚之癸丑弧等壬癸為食既距食甚之弧與生光距食甚之癸子弧等故求得食甚前兩限距食甚之時刻以減食甚時刻得食甚前兩限之時刻以加食甚時刻得食甚後兩限之時刻也若以丙為食甚則丙乙之距大於癸乙必非入影最深之處而前後各限之距俱不相等矣推食甚時刻求癸丙弧法用乙甲癸正弧三角形此形有癸直角有甲角有甲乙黄道度與甲丙交周度等求得甲癸以甲癸與甲丙相減得癸丙乃用變時法以一時之月實行與一時之比同於癸丙度分與食分之比即得時之若干分秒而行癸丙弧為食甚距實望之時分加減實望時刻即得食甚之時刻矣推初虧復圓時刻用辛乙癸正弧三角形此形有癸直角有癸乙弧有辛戊月半徑與戊乙影半徑相加之辛乙弧求得辛癸為初虧距食甚之弧亦用一時之月實行比例得時分以減食甚時刻得初虧時刻以加食甚時刻得復圓時刻也推食既生光時刻用壬乙癸正弧三角形此形有癸直角有癸乙弧有丁壬月半徑與丁乙影半徑相減之壬乙弧求得壬癸為食既距食甚之弧亦用一時之月實行比例得時分以減食甚時刻得食既時刻以加食甚時刻得生光時刻也見食先後月食深淺分數天下皆同而虧復各限時刻不同者非月入影有先後乃人居地面有東西也盖日之所之為時隨人所居各以見日出入為東西日中為南為子午而平分時刻故其地同居一子午線者雖南北懸殊(北極出地髙下不同)而時刻不異若東西易地雖北極同髙而西方見食必先東方見食必後也凡東西差一度則時差四分今以京師為主視各省之子午線在京師東者以時差加在京師西者以時差減皆加減京師各限時刻為各省各限時刻也是故欲定各省之時刻必先定各省之子午線而欲定各省之子午線非分測各省之月食其道無由也定月食方位厯來厯書定月食初虧復圓方位距緯在黄道北初虧東南復圓西南在黄道南初虧東北復圓西北食八分以上則初虧正東復圓正西此東西南北主黄道之經緯言非謂地平經度之東西南北也惟月實行之度在初宫六宫初度望時又為子正則黄道經緯之東西南北與地平經度合否則黄道升降有斜正而加時距午有逺近故兩經緯迥然各别而所推之東西南北必不與地平之方位相符不如實指其在月體之上下左右為衆目所共覩乃為親切也其法従天頂作髙弧過月心至地平即分月體為左右兩半周乂平分為上下兩象限即成左上左下右上右下四象限而黄道在地平上之半周亦平分為東西兩象限乃於初虧復圓二限各求其黄道交髙弧之角若月當黄道無距緯而交角滿九十度則初虧正左復圓正右在黄道西象限而交角在四十五度以上初虧左稍偏上復圓右稍偏下交角在四十五度以下初虧上稍偏左復圓下稍偏右在黄道東象限者反是若月在交前後有距緯則又須求得緯差角與髙弧交角相加減為定交角然後可定其上下左右也加減之法月距黄道北而在西象限初虧為加復圓為減在東象限初虧為減復圓為加月距黄道南者反是乃視定交角為相加者在九十度以内則虧復之上下左右如前論若過九十度為鈍角則易象限之上下又或定交角為相減者而交角内減去差角則虧復之上下左右如前論若差角内減去交角則易象限之左右也求黄道髙弧交角如圖甲乙丙為子午規甲為天頂乙丙為地平甲丁戊為髙弧己庚辛為黄道壬庚癸為赤道庚為春分子為北極子丑丁為過極經圏丁庚為月距春分黄道度丑庚為月距春分赤道度壬丑為月距正午赤道度(即食)(甚時太陽距子正赤道度)壬庚為春分距正午赤道度月實行度在丁求黄道與髙弧相交之丁角先用庚辛癸斜弧三角形求黄道交地平之辛角此形有庚角為春分角有癸角為赤道髙減半周之餘有庚癸春分距地平弧為春分距正午之餘求得辛角為黄道交地平之角并求得庚辛弧為黄道距地平之邊乃以丁庚月距春分度與庚辛弧相加得丁辛弧因用丁辛戊正弧三角形求丁角此形有丁辛弧有辛角有戊直角即求得丁角為黄道與髙弧相交之角也緯差角者初虧復圓時月與地影兩心相距之線與黄道相交之角也如圖甲乙丙為黄道丁戊巳為白道乙為地影心庚戊辛皆為月心乙戊為距緯即食其時兩心相距之數乙庚為併徑即初虧時兩心相距之數壬庚為距緯乙辛亦併徑為復圓時兩心相距之數癸辛為距緯如月適當黄道無距緯則初虧復圓時兩心相距之線與甲乙丙黄道相合而無差角矣因有緯度故乙庚兩心相距之線與甲乙丙黄道相離即成甲乙庚角乙戊之距愈寛其差角愈大也法以乙庚併徑之正弦與初虧距緯壬庚之正弦為比同於半徑一千萬與乙角之正弦為比即初虧之緯差角也又以乙辛併徑之正弦與復圓距緯癸辛之正弦為比同於半徑一千萬與乙角之正弦為比即復圓之緯差角也月正當交點無距緯則無緯差角如圖甲乙丙為黄道一象限庚為初虧月心辛為復圓月心如在黄道西象限則黄道左昂右低而甲乙丑或丙乙卯交角在四十五度以上故初虧子點在月體之左稍偏上復圓寅點在月體之右稍偏下也(如交角在四十五度以下則初虧為)(上稍偏左復圓為下稍偏右)若在黄道東象限則黄道左低右昂而甲乙卯或丙乙丑交角在四十五度以下故初虧子點在月體之下稍偏左復圓寅點在月體之上稍偏右也(如交角在四十五度以上則初虧為)(左稍偏下復圓為右稍偏上)如月距黄道之南而在黄道東象限如圖甲乙卯或丙乙丑為黄道交髙弧之角庚乙甲為初虧緯差角辛乙丙為復圓緯差角因月距黄道之南初虧時宜以庚乙甲緯差角與甲乙卯交角相加得卯乙庚為定交角在四十五度以上故初虧子點在月體之左稍偏下復圓時須以辛乙丙緯差角與丙乙丑交角相減餘丑乙辛為定交角在四十五度以下故復圓寅點在月體之上稍偏右也若在黄道西象限則初虧之緯差角為減復圓之緯差角為加與此相反如月距黄道之北而在黄道東象限如圖甲乙卯或丙乙丑為黄道交髙弧之角庚乙甲為初虧緯差角辛乙丙為復圓緯差角因月距黄道之北初虧時宜以庚乙甲緯差角與甲乙卯交角相減餘卯乙庚為定交角在四十五度以下故初虧子點在月體之下稍偏左復圓時須以辛乙内緯差角與内乙丑交角相加得丑乙辛為定交角在四十五度以上故復圓寅點在月體之右稍偏上也若在黄道西象限則初虧之緯差角為加復圓之緯差角為減與此相反繪月食圖凡繪月食圖先作横豎二線直角相交横線當黄道豎線當黄道經圈用地影半徑為度於中心作圜以象闇虚又以月半徑與地影半徑相減用其餘數為度作内虚圈為食既生光之限又以兩半徑相併為度作外虚圈為初虧復圓之限次視實交周在初宫十一宫於外虚圈上周黄經線右取黄白大距五度作識實交周在五宫六宫於外虚圈上周黄經線左取黄白大距五度作識乃自所識作線過圜心至外虚圈下周即為白道經圈於此線上自圜心取食其距緯度作識即食甚時月心所在従此作横線與白道經圈相交成直角即為白道而白道割外虚圈右周之點乃初虧時月心所在割内虚圈右周之點乃食既時月心所在割内虚圈左周之點乃生光時月心所在割外虚圈左周之點乃復圓時月心所在也末以五限月心所到之點為心月半徑為度作各小圜以象月體即初虧食既食甚生光復圓之象俱備矣如圖甲乙豎線如黄道經圈丙丁横線如黄道戊己庚圈為地影甲丙乙丁外虚圈為初虧復圓之限其丙辛半徑為月與地影兩半徑相併之數壬癸内虚圈為食既生光之限其癸辛半徑為月與地影兩半徑相較之數設實交周五宫或六宫則於外虚圈上周甲乙經線之左取黄白大距五度如子従子作線過圜心辛至下周丑為白道經圈於子丑白道經圈上自圜心辛向上取食甚距緯度如寅辛此寅點即食甚時月心所在也(此以實交)(周五宫為例其緯在北故自圜心辛向上取寅點若)(實交周是六宫其緯在南則自圜心辛向下取寅點)乃従寅取直角作卯辰線與子丑白道經圈相交即為白道而白道割外虚圈右周卯點為初虧限割内虚圈右周巳點為食既限割内虚圈左周午點為生光限割外虚圈左周辰點為復圓限於卯巳寅午辰五點各為心月半徑為度作圜以象月體即見月心在卯其周正切闇虚而光将缺是為初虧月心至巳其體全入闇虚而光盡掩是為食既月心至寅其體深入闇虚兩心相距甚近是為食甚月心至午其體将出闇虚而光初吐是為生光月心至辰其體全出闇虚而光纔滿是爲復圓也御製歴象考成上編卷七
## 上編卷八
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷八交食厯理三太陽食限日食三限時刻黄平象限白象限之同異日食三差求黄平象限及黄道髙弧交角并太陽髙弧求白平象限及白道髙弧交角并太陰髙弧求東西南北差求日食食甚用時食甚交周食甚實緯求日食食甚真時及食甚視緯求日食初虧復圓用時求日食初虧復圓真時日食分秒定日食方位繪日食圖太陽食限日食之限不同於月食月食惟以太陰地影兩視半徑相併之數當黄白二道之距緯推距交之經度即為食限日食因有南北差其視緯度隨地隨時不同故太陽太陰兩視半徑不能定食限也夫最大之南北差一度零一分太陽最大之視半徑一十五分三十二秒三十微太陰最大之視半徑一十六分五十一秒兩視半徑相併得三十二分二十三秒三十微與南北差一度零一分相加得一度三十三分二十三秒三十微為視緯度以推距交經度得一十八度一十五分一十三秒為可食之限太陽最小之視半徑一十四分五十九秒三十微太陰最小之視半徑一十五分五十三秒三十微兩視半徑相併得三十分五十三秒與南北差一度零一分相加得一度三十一分五十三秒為視緯度以推距交經度得一十七度五十六分五十六秒為必食之限然在黄道北者必食在黄道南者或食或不食在黄道北者亦非普天之下皆見食但必有見食之地耳葢視差因地里之南北而殊而視緯又因實緯之南北而異故食限不可一槩而論也今以北極髙一十六度至四十六度之地而定食限則太陰距黄道北平朔之限得二十度五十二分實朔之限得一十八度一十五分太陰距黄道南平朔之限得八度五十一分實朔之限得六度一十四分要之視差之故多端食限不過得其大槩欲定食之有無必按法求得本地本時視緯度與太陽太陰兩視半徑相較若兩視半徑相併之數大於視緯者為有食小於視緯者為不食也如圖甲乙為黄道丙丁為白道戊為實交巳庚為視白道辛為視交太陽從甲乙黄道行太陰實循丙丁白道行因髙下差變髙為下遂生南北差視之如循巳庚行也如太陽在壬太陰距黄道北在癸距戊交約一十八度去太陽甚逺因視差之故見太陰在子巳與太陽兩周相切故北緯以距交一十八度為有食之始也如太陽在丑太陰距黄道南在寅距戊交約六度雖無視差己與太陽兩周相切故南緯以距交六度為有食之始也至於平朔之限又寛於實朔者因實朔距平朔之行度約二度三十七分故以此數與實朔之限相加乃為平朔之限與太陰食限之理同日食三限時刻日食止有三限一曰初虧一曰食甚一曰復圓而無食既生光葢太陽太陰之視徑畧相等食甚之最大者不過食既方食甚即生光故止求三限時刻三限時刻維何曰用時曰近時曰真時此三者雖為三限所同而三限之中尤以食甚為本故今發眀三限時刻先詳食甚時刻次及初虧而復圓如之食甚之理大槩與月食同但月食以太陰實經度當最近地影心之㸃為食甚故以實朢交周求得食甚交周相減為交周升度差以月實行比例得時分加減實望用時即得食甚時刻而無用時近時真時之名日食因有東西差(詳後日食三差篇)必以太陰視經度當最近太陽之㸃為食甚其實經度與視經度既不同而實行與視行又不同故先以實朔交周求得食甚交周相減為交周升度差以月實行比例得時分加減實朔用時為食甚用時(詳後求食甚用時篇)次以食甚用時求得東西差(詳後求東西南北差篇)仍以月實行比例得時分加減食甚用時為食甚近時又以食甚近時求得東西差與用時東西差相較得視行然後以視行與用時東西差比例得時分加減食甚用時方為食甚真時(詳後求食甚真)(時篇)是則食甚用時者乃在天實行日月相掩最深之時刻食甚真時者乃人目所見日月相掩最深之時刻而食甚近時者所以定視行以求用時與真時相距之時分者也夫食甚既有用時近時真時則初虧復圓亦必有用時近時真時乃今求日食初虧復圓用時則不以初虧復圓距食甚之時分加減食甚用時而以初虧復圓距食甚之時分加減食甚真時為初虧復圓用時(詳後求初虧復圓用時篇)次以初虧復圓用時求得東西差與食甚之東西差相較得視行乃以視行與初虧復圓距食甚之度比例得時分加減食甚真時即為初虧復圓真時(詳後求初虧復圓真時篇)然而不用近時者葢為近時所以求視行今食甚巳有東西差則與初虧復圓東西差相較即可以得視行故不必又求近時也要之求日食三限時刻必先求食甚真時而欲求食甚真時必先求食甚用時有食甚用時然後可以知三差之大小而三限時刻皆由此次第生焉此日食所以異於月食也如圖甲乙為黄道甲丙為白道甲為交㸃丁為太陽戊為太陰甲巳為實朔交周與甲丁等故巳㸃為實朔用時之度然丁巳相距猶逺試自白極過太陽丁作丁戊垂弧與白道成直角則丁戊之距必近於丁巳故戊㸃為食甚用時之度甲戊為食甚交周丁戊為食甚實緯戊巳為交周升度差以一小時之月實行與戊巳交周升度差相比得時分加減巳㸃實朔用時得戊㸃為食甚用時(此太陰在兩交後由甲向丙故甲巳度多甲戊度少)(應減戊巳距時若太陰在兩交前由丙向甲則丙巳)(度少丙戊度多應加戊巳距時)既得食甚用時如戊則自用時求近時今太陰實經度雖在戊因有東西差而用時之視經度却在庚則尚在食甚前故求得庚戊東西差以一小時之月實行相比得時分加於戊點食甚用時得辛點為食甚近時(庚戊與戊)(辛等)若使辛點近時之東西差與戊點用時之東西差等則實經度在辛視經度即在戊而近時即為真時又何用求真時然近時實經度雖在辛而近時之東西差復不同於用時之東西差故近時之視經度却又在壬則仍在食甚前夫食甚用時因東西差而見太陰在庚食甚近時又因東西差而見太陰在壬是自戊點食甚用時至辛點食甚近時止見太陰行庚壬之分故以庚壬視行與戊辛弧所變時分之比即同於庚戊東西差與戊癸弧所變時分之比加於戊點食甚用時得癸點為食甚真時葢食甚真時之東西差如戊癸必使太陰實經度在癸而視經度乃在戊方為人目所見日月相掩最深之時刻也(此太陰視經度)(在實經度西故加東西差所變時分若太陰視經度)(在實經度東則減東西差所變時分詳下二篇)又如子為初虧限太陰所在丑為復圓限太陰所在丁子丁丑皆太陽太陰兩視半徑相併之數今命丁戊為食甚視緯(丁戊原係食甚實緯)(今借為食甚視緯以明其理)用正弧三角形求得子戊或戊丑為初虧復圓距食甚之弧(子弧)(與弧丑等)以一小時之月實行相比得時分即初虧復圓距食甚之時分今求初虧復圓用時論理當於戊點食甚用時内減子戊弧所變時分得子點為初虧用時然後求初虧近時及真時但丁戊既為食甚真時之視緯則求初虧用時即於食甚真時内減初虧距食甚之時分得數為密故於癸點食甚真時内減與子戊弧相等之寅癸弧所變時分得寅點為初虧用時因初虧用時之東西差不同於食甚真時之東西差其視經度却在夘則己過初虧後夫食甚真時因東西差而見太陰在戊初虧用時又因東西差而見太陰在夘是自寅點初虧用時至癸點食甚真時止見太陰行夘戊之分故夘戊即為視行而不必又求初虧近時以夘戊視行與寅癸弧所變時分之比即同於子戊初虧距食甚之度與辰癸弧所變時分之比於癸點食甚真時内減之得辰點為初虧真時葢初虧真時之東西差如辰子必使太陰實經度在辰而視經度乃在子方為人目所見日月兩周初切之時刻也復圓時刻倣此但與食甚時刻加減相反黄平象限白平象限之同異新法厯書推算日食三差以黄平象限為本(黄平象限乃黄)(道在地平上半周折中之處東西距地平各一象限故名黄平象限又名九十度限)今按三差並生於太陰而太陰之經緯度為白道經緯度用白道較之用黄道為密(詳見下日食三差篇)故今推算日食三差以白平象限為本(白平象限即白道在地平上半周折中之處東西距地平亦各一象)(限)然求白平象限諸數必由黄平象限諸數而得不合論之不見其同異不分論之不得其疎密今将黄平象限白平象限之同異詳具圖說如左如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極(即北極)戊巳庚為赤道按黄赤大距二十三度二十九分三十秒作辛壬負黄極圈任取癸點為黄極則子丑為黄道自黄極癸過天頂甲作癸甲子寅過黄極經圈則子點為黄平象限夘為黄道出地平之點辰為黄道入地平之點子夘子辰皆九十度黄道與赤道交於巳午己為春分午為秋分宗動天左旋惟赤極丁點不動自赤極丁過天頂甲之經圈即子午圈故赤道地平上半周折中之戊點常在正午若黄極則隨天左旋一曰繞赤極一周惟黄極正當赤極之上如辛或正當赤極之下如壬則黄赤大距當正午自黄極過天頂甲之黄道經圈即與子午圈合故黄平象限亦在正午今黄極癸在赤極西半周則自黄極癸過天頂甲所作之癸甲子寅經圈其南半周必在子午圈之東故黄平象限子點即在正午東出地夘點在赤道北入地辰點在赤道南春分後未點當正午而子未即黄平象限距正午東之度子寅即黄平象限距地平之髙也若黄極癸在赤極東半周則自黄極癸過天頂甲所作之癸甲子寅經圈其南半周必在子午圈之西故黄平象限子點即在正午西出地夘點在赤道南入地辰點在赤道北秋分前申點當正午而申子即黄平象限距正午西之度子寅即黄平象限距地平之髙也夫黄極隨天左旋一日既繞赤極一周則白極隨天左旋一日亦繞黄極一周今按朔望時黄白大距四度五十八分三十秒作酉戌負白極圈任取亥點為白極則乾坎為白道自白極亥過天頂甲作亥甲乾艮過白極經圈則乾點為白平象限震為白道出地平之點巽為白道入地平之點乾震乾巽皆九十度白道與黄道交於離坤離為正交坤為中交惟白極正當黄極之上如酉或正當黄極之下如戌則黄白大距當黄平象限自白極過天頂甲之白道經圈即與黄道經圈合故白平象限與黄平象限同度今白極亥在黄極西半周則自白極亥過天頂甲所作之亥甲乾艮經圈其南半周必在黄道經圈之東故白平象限乾點即在黄平象限東出地震點在黄道北入地巽點在黄道南正交後兊點當黄平象限而乾兊即白平象限距黄平象限東之度乾艮即白平象限距地平之髙也設太陰在乾兊之間則所當黄道度為限東視經度差而東其時刻宜減而白道度實為限西視經度差而西其時刻則宜加也若白極亥在黄極東半周則自白極亥過天頂甲所作之亥甲乾艮經圈其南半周必在黄道經圈之西故白平象限乾點即在黄平象限西出地震點在黄道南入地巽點在黄道北中交後亢點當黄平象限而乾亢即白平象限距黄平象限西之度乾艮即白平象限距地平之髙也設太陰在乾亢之間則所當黄道度為限西視經度差而西其時刻宜加而白道度實為限東視經度差而東其時刻則宜減也又白平象限距地平之乾艮弧髙於黄平象限距地平之子寅弧則白道直而昻黄道斜而低白道髙弧交角必小於黄道髙弧交角如白平象限距地平之乾艮弧低於黄平象限距地平之子寅弧則白道斜而低黄道直而昻白道髙弧交角必大於黄道髙弧交角也按京師赤極髙四十度弱黄平象限最髙者七十三度餘最低者二十六度餘白平象限最髙者七十八度餘最低者二十一度餘黄平象限距正午偏至二十四度餘白平象限距黄平象限偏至十度餘地愈近南赤極愈低則限距地平愈髙而所偏之度愈少地愈近北赤極愈髙則限距地平愈低而所偏之度愈多也日食三差推歩日食較之推歩月食為甚難者以有三差也三差維何一曰髙下差(即地半徑差)一曰東西差(新法厯書為太陰黄)(道經差今定為太陰白道經差)一曰南北差(新法厯書為太陰黄道緯差今定為太陰白道)(緯差)然東西差南北差又皆由髙下差而生其故何也葢食甚用時以地心立算人自地面視之遂有地半徑差而太陽地半徑差恒小太陰地半徑差恒大於太陰地半徑差内減太陽地半徑差始為太陰髙下差髙下差既變真髙為視髙故經度之東西緯度之南北亦皆因之而變也新法厯書求東西南北差以黄平象限為本者葢以太陰在黄平象限東者視經度恒差而東太陰在黄平象限西者視經度恒差而西差而東者時刻宜減差而西者時刻宜加故日食之早晚必徵之東西差而後可定也北極出地二十三度半以上者黄平象限恒在天頂南太陰之視緯度恒差而南北極出地二十三度半以下者黄平象限有時在天頂北太陰之視緯度即差而北差而南者實緯在南則加在北則減差而北者實緯在南則減在北則加故日食之淺深必徵之南北差而後可定也其法自黄極作兩經圏一過真髙一過視髙兩經圏所截黄道度即實經度與視經度之較是為東西差兩經圏之較即實緯度與視緯度之較是為南北差三差相交成正弧三角形直角恒對髙下差黄道髙弧交角恒對南北差餘角恒對東西差惟太陰正當黄平象限則黄道經圏過天頂與髙弧合真髙視髙同在一經圏上故髙下差即南北差而無東西差黄平象限正當天頂則黄道與髙弧合真髙視髙同在黄道上故髙下差即東西差而無南北差過此距黄平象限愈近交角愈大則南北差大而東西差小距黄平象限愈逺交角愈小則南北差小而東西差大故必先求黄平象限及黄道髙弧交角而後東西南北差可次第求焉今按太陰之經度為白道經度食甚實緯又與白道成直角則東西差乃白道之經差非黄道之經差也南北差乃白道之緯差非黄道之緯差也三差相交成正弧三角形亦白道與白道經圏及髙弧所成之三角形非黄道與黄道經圏及髙弧所成之三角形也夫白道與黄道斜交則白平象限之與黄平象限白道髙弧交角之與黄道髙弧交角亦皆有不同新法厯書因日食近兩交黄白二道相距不逺故止用黄道為省算究之必用白道方為密合故今求東西南北差以白平象限為本然白平象限以黄平象限為根而白道髙弧交角又以黄道髙弧交角為據知太陰距黄平象限東西及黄道髙弧交角則可知太陰距白平象限東西及白道髙弧交角矣如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為赤極戊己為負黄極圏戊為黄極庚辛為黄道壬為黄平象限距地平辛九十度癸子為負白極圏癸為白極丑寅為白道夘為白平象限距地平寅亦九十度凡日食求三差必自天頂甲過太陰所在至地平辰作甲辰髙弧即髙下差所由生也設食甚用時太陽在己太陰實髙亦在巳視髙在午巳午為髙下差以黄道論之自黄極戊作兩經圈一至實髙巳一至視髙午截黄道於未兩經度之較為巳未即東西差兩經圈之較為未午即南北差此時太陰實經度巳㸃在黄平象限壬㸃之西視經度未㸃更差而西自人視之尚在食甚前故時刻應加而遲又太陰實髙在巳正當黄道視髙在午在黄道南故距緯應加而逺三差相交成巳午未正弧三角形未為直角對巳午髙下差未巳午角為黄道髙弧交角對未午南北差巳午未角為黄道交髙弧之餘角對巳未東西差故知未巳午角及巳午弧即可求巳未弧及未午弧也今以白道而論則應自白極癸作兩經圈一至實髙巳一至視髙午截白道於申則巳申為東西差申午為南北差此時太陰實經度巳㸃在白平象限夘㸃之西而視經度申㸃亦更差而西太陰實髙在己正當黄道視髙在午亦在黄道南其東西差南北差之加減並與黄道同但三差相交却成巳午申正弧三角形申為直角對巳午髙下差申巳午角為白道髙弧交角對申午南北差巳午申角為白道交髙弧之餘角對巳申東西差此申巳午交角小於未巳午交角故申午南北差小於未午南北差而巳午申餘角大於巳午未餘角故巳申東西差大於巳未東西差以此推食甚之時刻較之用黄道者必稍遲而食甚之距緯較之用黄道者必稍近故必知申巳午角及巳午弧然後可求巳申弧及申午弧也設食甚用時太陽在巳太陰實髙在午午巳為實緯在黄道北(午為直角)視髙在未午未為髙下差以黄道論之太陰正當黄平象限壬午未髙下差即南北差而無東西差故食甚用時即食甚真時今以白道而論則太陰午㸃尚在白平象限夘㸃之西自白極癸作兩經圈一至實髙午一至視髙未截白道於申則申午為東西差申未為南北差自人視之尚在食甚前其時刻應加而遲待太陰由午行至酉則實髙在酉視髙在戌自白極癸至視髙戌作經圈截白道於午截黄道於巳必過日月兩心其視經度正當食甚用時午㸃故太陰行至酉㸃之時刻方為食甚真時而酉午為真時東西差午戌為真時南北差於午戌真時南北差内減午巳實緯餘巳戌為視緯在黄道南也(實緯在黄道北應減南北差因南北差大於實)(緯故於南北差内反減實緯餘即為視緯)此時東西差差三分餘則食甚差至半刻而初虧復圓亦必皆差半刻彼以黄道論者太陽在巳太陰在未固不得為食甚真時而午未髙下差即南北差與午巳實緯亦非一線故不得相減為視緯也若設食甚用時為太陰與太陽黄道同度而食甚實緯為與黄道成直角食甚用時太陽在壬太陰實髙在午午壬為實緯(壬為直角)視髙在未午未髙下差即南北差而無東西差則食甚用時即為食甚真時於午未南北差内減午壬實緯餘午未為視緯然以白道而論則應自白極癸過太陽壬作經圈截白道於戌戌壬為白道緯度(戌為直角)而戌壬近於午壬則太隂在戌為食甚用時而在午非食甚用時也待太陰由戌行至亥則實髙在亥視髙在申自白極癸至視髙申作經圈亦截白道於戌而截黄道於壬必過日月兩心其視經度正當食甚用時戌㸃故亥戌為東西差戌申為南北差於戌申南北差内減戌壬實緯餘壬申為視緯而壬申亦近於壬未則太陰在亥為食甚真時而在午非食甚真時也總之日月相距最近為食甚而近莫近於白道成直角故南北差亦必於白道成直角方可以定視緯又太陰在白平象限西則白道之勢東髙西下髙下差既變髙為下則俟太陰過用時之東其軌漸髙距日漸近故必用白平象限方可以定真時在限東者倣此又設赤極丁出地二十三度黄極戊當地平則庚辛黄道與髙弧合而黄平象限即在天頂丑寅白道在天頂南白平象限夘在正午之西食甚用時太陽在辰太陰實髙在巳巳辰為實緯在黄道北(巳為直角)視髙在午巳午為髙下差以黄道論之自黄極戊作兩經圈一過實髙巳截黄道於未一過視髙午截黄道於申未申畧與巳午等午申畧與巳未等故巳午髙下差即同於未申東西差而無南北差待太陰實經度當黄道之酉則視經度當黄道之辰與太陽同度而太陰行至酉㸃之時刻即為食甚真時然以白道而論則應自白極癸作兩經圈一過實髙巳一過視髙午截白道於戌則巳戌為東西差小於未申東西差戌午為南北差在白道南待太陰由巳行至亥則實髙在亥視髙在乾自白極癸至視髙乾作經圈截白道於巳截黄道於辰必過日月兩心其視經度正當食甚用時巳㸃故太陰行至亥㸃之時刻即為食甚真時而亥巳為真時東西差巳乾為真時南北差於巳乾真時南北差内減巳辰實緯餘辰乾為視緯在黄道南此白道亥巳東西差小於黄道酉辰東西差則時刻必差而早然東西差所差猶少而白道巳乾南北差較之黄道無南北差者則所差甚多此南北差差至三分則食分差一分故新法厯書又以亥巳為距時交周以加於實朔交周為定交周巳過中交坎㸃之後求得酉亥為實緯在黄道南因以黄道立算無南北差即以酉亥實緯為視緯亦畧與辰乾視緯等此乃借補之法今以白道立算故即用巳辰為實緯而不用距時交周也求黄平象限及黄道髙弧交角并太陽髙弧東西南北二差生於髙下差而髙下差生於太陽太隂髙弧今求東西南北二差雖用白道然必先求黄平象限及黄道髙弧交角而求髙下差又止求太陽髙弧葢因合朔時太陰與太陽同度其髙弧畧等也夫黄道與赤道斜交赤道之髙度隨地不同故黄平象限及黄道髙弧交角並太陽髙弧亦隨地不同今求黄平象限所該諸數必按本地本時太陽距正午赤道度求得正午黄道經度及黄赤相距緯度併黄道與子午圈相交之角然後可推黄平象限距午東西與距地平之髙及黄道髙弧交角並太陽髙弧也設太陽實行在春分後一十五度為三宫一十五度食甚用時為申正初刻求黄平象限諸數如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極丁丙為京師赤極髙三十九度五十五分戊己庚為赤道戊乙為京師赤道髙五十度零五分辛為黄極壬癸子丑為黄道己為春分丑為交西地平之㸃壬為黄平象限距丑九十度癸為正午壬癸為黄平象限距正午之度壬寅為黄平象限距地平之度即丑角度子為太陽實行黄道經度子巳為距春分後一十五度子壬為太陽距黄平象限之度子夘為太陽髙弧丑子夘角為黄道髙弧交角辰為申正初刻戊辰為申正距午正六十度辰巳為赤道同升度一十三度四十八分二十三秒與戊辰距午正六十度相加得戊巳七十三度四十八分二十三秒為本時正午距春分赤道經度先用癸己戊正弧三角形求癸巳本時正午距春分黄道經度及癸戊本時正午黄赤相距緯度并黄道與子午圈相交之癸角此形有戊直角有己角為黄赤交角二十三度二十九分三十秒有戊己弧七十三度四十八分二十三秒求得癸己弧七十五度零五分一十秒(用戊己弧察二躔黄赤升度表亦得)即知正午癸㸃距春分後二宫一十五度零五分一十秒為黄道之五宫一十五度零五分一十秒也又求得癸角八十三度三十七分零四秒(用癸己弧察日躔黄道赤經交)(角表亦得)又求得癸戊本時正午黄赤距度二十二度三十九分一十九秒(用癸己弧察黄)(赤距度表亦得)與戊乙赤道髙五十度零五分相加得癸乙弧七十二度四十四分一十九秒為正午黄道距地平之度次用癸乙丑正弧三角形求丑角及癸丑弧此形有乙直角(甲乙為子午圈與地)(平成直角)有癸角八十三度三十七分零四秒有癸乙弧七十二度四十四分一十九秒求得丑角七十二度五十分五十六秒(卿壬寅弧)為黄平象限距地平之度又求得癸丑弧八十八度零一分一十八秒與壬丑弧九十度相減餘壬癸弧一度五十八分四十二秒為黄平象限距正午東之度以壬癸弧一度五十八分四十二秒與本時正午癸㸃黄道五宫一十五度零五分一十秒相加得五宫一十七度零三分五十二秒即黄平象限壬㸃之度内減太陽實行子㸃黄道經度三宫一十五度餘六十二度零三分五十二秒即壬子弧為太陽距黄平象限西之度也於是用丑子夘正弧三角形求子角為黄道髙弧交角及子夘弧為太陽髙弧此形有夘直角有丑角七十二度五十分五十六秒(即黄平象限距地平)(之髙)有子丑弧二十七度五十六分零八秒(即太陽距黄平象限)(壬子弧之餘)求得子角一十九度一十五分一十九秒即黄道髙弧交角又求得子夘弧二十六度三十五分三十秒即太陽髙弧也又隨時求太陽髙弧法春秋分日太陽在赤道上無距緯者則以半徑一千萬為一率本地赤道髙度之正弦為二率各時刻距午正赤道經度之餘弦為三率所得四率即本日各時刻太陽髙弧之正弦也如圖甲乙丙為子午圈甲為天頂乙丁丙為地平戊為北極戊丙為京師北極髙三十九度五十五分己丁庚為赤道己乙為京師赤道髙五十度零五分即春秋分午正太陽之髙己辛為赤道髙度之正弦如求春秋分日巳正太陽之髙則從天頂甲過巳正作甲巳壬髙弧其巳壬即巳正髙弧己癸為己正髙弧之正弦己距午正己三十度己己為距午正三十度之矢己丁為距午正三十度之餘弦(即距夘正六十度之正弦)即成己丁辛己丁癸同式兩勾股形故以己丁半徑與己辛赤道髙五十度零五分之正弦之比即同於己丁距午正三十度之餘弦與己癸己正髙弧之正弦之比而得己癸髙弧之正弦檢表得己壬髙弧即春秋分日己正太陽之髙也葢春秋分日太陽循己丁赤道行從丁出地平為夘正漸髙距丁三十度為辰正(毎一時當赤道三十度毎一刻當赤道三度四十五)(分)距丁六十度為己正距丁九十度至己為午正又漸低距己三十度為未正距己六十度為申正距己九十度復從丁入地平為酉正故春分日與秋分日逐時之髙弧皆等而午前各時與午後各時之髙弧亦等也春秋分前後太陽不在赤道上有距緯則以本時距緯與赤道髙度相加減各取其正弦相加折半為中數相減折半為夘酉髙弧之正弦乃以半徑一千萬為一率各時刻距午正赤道經度之餘弦為二率中數為三率所得四率為加減差加夘酉髙弧正弦得距赤道北各節氣逐日時刻太陽髙弧之正弦減夘酉髙弧正弦得距赤道南各節氣逐日時刻太陽髙弧之正弦若加減差小於夘酉髙弧正弦即為太陽在地平下無髙度也如圖甲乙丙為子午圈甲為天頂乙丁丙為地平戊為北極戊丙為京師北極髙三十九度五十五分己丁庚為赤道己乙為京師赤道髙五十度零五分自春分至夏至以及秋分太陽行赤道北辛巳即黄赤大距二十三度二十九分三十秒凡自春分以後太陽距赤道北者皆如之辛壬為夏至距等圈故夏至日太陽行辛壬線從癸出地平自秋分至冬至以及春分太陽行赤道南己子亦即黄赤大距二十三度二十九分三十秒凡自秋分以後太陽距赤道南者皆如之子丑為冬至距等圈故冬至日太陽行子丑線從寅出地平求夏至冬至太陽午正前後各時通用之數則以夏至距緯辛己弧與赤道髙己乙弧相加得辛乙弧七十三度三十四分三十秒即夏至午正太陽之髙其正弦辛夘以冬至距緯己子弧與赤道髙己乙弧相減餘子乙弧二十六度三十五分三十秒與丙壬弧等即冬至午正太陽之髙其正弦子辰與壬午等兩正弦相加得辛未半之得辛申為中數兩正弦相減餘酉夘半之得申夘(或以中數辛申與正弦辛夘相減即得申)(夘或以中數申未與正弦夘未相減亦同)為夘酉正弦葢戌為夏至日夘正酉正太陽所在戌亥為其髙弧之正弦却與申夘等故申夘為夘酉之正弦也今求夏至日巳正太陽之髙巳乾為髙弧其正弦巳坎巳距午正辛三十度辛巳為距午正三十度之矢與己艮矢相當巳戌為距午正三十度之餘弦與艮丁相當(辛戌距等圈半徑與己丁赤道)(半徑平行故其分線皆為相當比例)遂成辛申戌巳震戌同式兩勾股形今以辛戌距等圈半徑與巳戌距等圈餘弦之比即如辛申中數與巳震加減差之比因辛戌距等圈半徑與巳戌距等圈餘弦之比原同於己丁半徑與艮丁餘弦之比則己丁半徑與艮丁餘弦之比亦必同於辛申中數與巳震加減差之比矣故以己丁半徑為一率艮丁距午正三十度之餘弦為二率辛申中數為三率得四率巳震為加減差與夘酉正弦震坎相加(震坎與申夘等)得巳坎為巳乾髙弧之正弦檢表得巳乾髙弧即夏至日巳正太陽之髙也(未正之髙弧同)如求冬至日己正太陽之髙巽離為髙弧其正弦巽坤巽距午正子三十度子巽為距午正三十度之矢與兊壬等則兊角亦與巽坤等而壬午又原與子辰等今以壬午與兊角各引長加一夘酉正弦申夘分得壬亢與兊氐其壬亢戌勾股形必與辛申戌勾股形相等(辛戌與戌壬同為距等圈半徑其分既等則所)(餘二邊亦必等)而兊氐戌勾股形亦必與巳震戌勾股形相等故巳震加減差即與兊氐等於兊氐内減去與申夘相等之氐角餘兊角與巽坤等為巽離髙弧之正弦檢表得巽離髙弧即冬至日己正太陽之髙也(未正)(之髙弧同)其冬夏至前後各節氣並以距赤道南北緯度如法求之如立夏在赤道北立冬在赤道南其距緯相等則其加減之數皆同用故求得加減差以加夘酉髙弧正弦得立夏日各時刻太陽髙弧之正弦以減夘酉髙弧正弦得立冬日各時刻太陽髙弧之正弦至於立秋在赤道北與立夏距赤道之緯度等其各時刻太陽之髙弧必等而立春在赤道南與立冬距赤道之緯度等其各時刻太陽之髙弧亦等故用一比例可得四節氣各時刻太陽之髙弧也又隨時求太陽髙弧用斜弧三角形法設如秋分後二十五日太陽距赤道南一十度求巳初初刻太陽髙弧若干則以太陽距北極為一邊北極距天頂為一邊巳初距午正赤道經度為一角用知兩邊一角而角在兩邊之間求對邊之法求得對邊為太陽距天頂之弧與一象限相減餘即太陽距地平之髙弧也如圖甲乙丙為子午圈甲為天頂乙丙為地平丁為北極戊己為赤道戊為午正赤道南一十度如庚庚辛為距赤道一十度之距等圈己初距午正赤道經度為四十五度赤道上四十五度為戊壬從北極丁出經圈過赤道壬㸃至庚辛距等圈癸㸃即本日己初太陽所在壬癸為距緯一十度從天頂甲過太陽所在癸至地平子作甲癸子髙弧即成丁甲癸斜弧三角形此形有丁角四十五度(當戊壬弧)有丁甲邊北極距天頂五十度零五分有丁癸邊太陽距北極一百度求得甲癸邊六十四度五十九分四十八秒為太陽距天頂與甲子象限九十度相減餘癸子二十五度零一十二秒即此日巳初初刻太陽距地平之髙弧也求白平象限及白道髙弧交角并太陰髙弧求白平象限及白道髙弧交角并太陰髙弧雖由黄平象限及黄道髙弧交角并太陽髙弧而得然而用弧三角細推之止用黄平象限用捷法加減之止用黄道髙弧交角細推之法食甚用時不在兩交㸃者得數為密而立表則甚繁葢白道之交於黄道即如黄道之交於赤道黄平象限既因赤道之髙度而隨地不同則白平象限亦必因黄道之髙度而隨時不同也加減之法食甚用時不在兩交㸃者得數少差而入算則甚簡葢食限距交不過一十六度食限距緯不過一度太陰正當黄道者其數本同太陰雖不正當黄道者而得數亦畧相等也要之細推之法為眀其理加減之法為便於用今按法列圖如左設食甚用時太陽距黄平象限西六十二度零三分五十二秒黄平象限距地平七十二度五十分五十六秒太陽髙弧二十六度三十五分三十秒黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒太陰適當正交無緯度求白平象限諸數如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極戊為黄極己庚為黄道辛為黄平象限壬為白極癸子為白道丑為白平象限食甚用時太陽在寅辛寅為太陽距黄平象限西六十二度零三分五十二秒寅庚為其餘辛夘為黄平象限距地平七十二度五十分五十六秒即庚角度寅辰為太陽髙弧二十六度三十五分三十秒庚寅辰角為黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒太陰適當正交亦在寅丑寅為太陰距白平象限西之度寅子為其餘丑己為白平象限距地平之度即子角度寅辰亦即太陰髙弧子寅辰角為白道髙弧交角先用庚寅子斜弧三角形求子角(乃白平象限距地平髙之丑子己角之外角)及寅子弧(乃太陰距白平象限丑寅弧之餘)此形有庚角七十二度五十分五十六秒有寅角為黄白交角四度五十八分三十秒有寅庚弧二十七度五十六分零八秒(乃太陽距)(黄平象限辛寅弧之餘)求得子角一百零二度四十六分零二秒與半周相減餘七十七度一十三分五十八秒即丑子巳角為白平象限距地平之髙又求得寅子弧二十七度一十九分一十六秒與九十度相減餘六十二度四十分四十四秒即丑寅弧為太陰距白平象限西之度次應用子寅辰正弧三角形求寅角為白道髙弧交角及寅辰弧為太陰髙弧然子寅辰角即庚寅辰黄道髙弧交角内減庚寅子黄白交角之餘(庚寅子角即朔望時黄白大距)故止於庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒内減庚寅子黄白交角四度五十八分三十秒餘子寅辰角一十四度一十六分四十九秒即白道髙弧交角又太陰適當正交與太陽同度太陽髙弧即太陰髙弧故凡太陰適當正交無緯度者即如此加減並不用細推也又此所得白道髙弧交角既小於黄道髙弧交角即知太陰距黄平象限近距白平象限逺在黄平象限辛㸃西者必更在白平象限丑㸃之西而黄道髙弧交角足減黄白交角即知白平象限雖髙於黄平象限猶未與髙弧合仍在天頂南也設食甚用時太陽仍在寅而太陰過正交後如午食甚交周過正交後五度五十八分三十九秒如午未(食甚交周白道度也)實朔交周過正交後六度如寅未(實朔交周黄道)(度也)則午申為太陰髙弧子午申角為白道髙弧交角先用庚未子斜弧三角形求子角(乃白平象限距地平髙之丑子巳角)(之外角)及未子弧(為與午未相加即太)(陰距白平象限之餘也)此形有庚角七十二度五十分五十六秒有未角為黄白交角四度五十八分三十秒有未庚弧二十一度五十六分零八秒(庚寅為太陽距黄平象限之餘二十)(七度五十六分零八秒減寅未實朔交周過正交六)(度餘二十一度五十六分零八秒即未庚)求得子角一百零二度三十一分四十一秒與半周相減餘七十七度二十八分一十九秒即丑子巳角為白平象限距地平之髙又求得未子弧二十一度二十六分五十三秒與午未食甚交周過正交五度五十八分三十九秒相加得午子弧二十七度二十五分三十二秒與九十度相減餘六十二度三十四分二十八秒即丑午弧為太陰距白平象限西之度次用子午申正弧三角形求午角為白道髙弧交角及午申弧為太陰髙弧此形有申直角有子角七十七度二十八分一十九秒有午子弧二十七度二十五分三十二秒求得子午申角一十四度零三分一十六秒即白道髙弧交角又求得午申弧二十六度四十三分一十二秒即太陰髙弧也捷法不用求白平象限先求白道髙弧交角自午作午酉距等圈與寅庚平行而午申亦畧與寅辰平行則酉午申角畧與庚寅辰角等(庚寅辰角即黄道髙弧交角)酉午子角畧與庚未子角等(庚未)(子角即黄白交角)故於庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒内減去庚未子黄白交角四度五十八分三十秒餘一十四度一十六分四十九秒即如酉午申角内減去酉午子角餘子午申角為白道髙弧交角也較細推所得之數多一十三分三十三秒而太陰亦仍在白平象限西白平象限亦仍在天頂南又午申太陰髙弧亦畧與寅辰太陽髙弧等故即命太陰髙弧為二十六度三十五分三十秒較細推所得之數少七分四十二秒然用此二數求三差髙下差僅多一秒東西差僅少二秒南北差僅多一十二秒而時刻食分皆不過差數秒可以不計且立算甚簡捷可省白平象限立表之繁也凡太陰距黄平象限西而在正交前後則白道入地平之子㸃必在黄道南太陰由未向午入陰厯白道交弧交角皆小於黄道髙弧交角故凡太陰距黄平象限西而在正交前後者皆於黄道髙弧交角内減黄白交角餘即為白道髙弧交角若太陰距黄平象限東而在中交前後則白道南地平之子㸃必在黄道南太陰由午向未入陽厯白道髙弧交角亦小於黄道髙弧交角故凡太陰距黄平象限東而在中交前後者亦於黄道髙弧交角内減黄白交角餘為白道髙弧交角也設食甚用時太陽仍在寅而太陰適當中交無緯度求白平象限諸數則先用庚寅子斜弧三角形求子角(即白平象限距地平之髙)及寅子弧(乃太陰距白平象限丑寅弧之餘)此形有庚角一百零七度零九分零四秒(乃黄平象限距地平髙之辛庚夘角)(之外角)有寅角為黄白交角四度五十八分三十秒有寅庚弧二十七度五十六分零八秒(乃太陽距黄平象限辛寅弧之)(餘)求得子角六十八度二十七分二十秒即丑子巳角為白平象限距地平之髙又求得寅子弧二十八度四十六分零二秒與九十度相減餘六十一度一十三分五十八秒即丑寅弧為太陰距白平象限西之度次應用子寅辰正弧三角形求寅角為白道髙弧交角及寅辰弧為太陰髙弧然子寅辰角即庚寅辰黄道髙弧交角加庚寅子黄白交角之數故以庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒與庚寅子黄白交角四度五十八分三十秒相加得子寅辰角二十四度一十三分四十九秒即白道髙弧交角又太陰適當中交與太陽同度太陽髙弧即太陰髙弧故凡太陰適當中交無緯度者即如此加減並不用細推也又此所得白道髙弧交角雖大於黄道髙弧交角而猶未滿九十度即知太陰雖距黄平象限逺距白平象限近而猶未至白平象限亦仍在白平象限丑㸃之西而白道髙弧交角既大於黄道髙弧交角即知白平象限低於黄平象限更在天頂南也設食甚用時太陽仍在寅而太陰過中交後如午食甚交周過中交後五度五十八分三十九秒如午未(食甚交周白道度也)實朔交周過中交後六度如寅未(實朔交周黄道)(度也)則午申為太陰髙弧子午申角為白道髙弧交角先用庚未子斜弧三角形求子角(即白平象限距地平之髙)及未子弧(為與午未相加即太陰距白平象限之餘)(也)此形有庚角一百零七度零九分零四秒(乃黄平象限距)(地平髙之辛庚夘角之外角)有未角為黄白交角四度五十八分三十秒有未庚弧二十一度五十六分零八秒(庚寅為太)(陽距黄平象限之餘二十七度五十六分零八秒減)(寅未實朔交周過中交六度餘二十一度五十六分)(零八秒即未庚)求得子角六十八度三十八分一十一秒即丑子巳角為白平象限距地平之髙又求得未子弧二十二度三十六分零七秒與午未食甚交周過中交五度五十八分三十九秒相加得午子弧二十八度三十四分四十六秒與九十度相減餘六十一度二十五分一十四秒即丑午弧為太陰距白平象限西之度次用子午申正弧三角形求午角為白道髙弧交角及午申弧為太陰髙弧此形有申直角有子角六十八度三十八分一十一秒有午子弧二十八度三十四分四十六秒求得子午申角二十四度二十四分四十秒即白道髙弧交角又求得午申弧二十六度二十二分四十三秒即太陰髙弧也捷法不用求白平象限先求白道髙弧交角自午作午酉距等圈與寅庚平行而午申亦畧與寅辰平行則酉午申角畧與庚寅辰角等(庚寅辰角即黄道髙弧交角)酉午子角畧與庚未子角等(庚未)(子角即黄白交角)故以庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒與庚未子黄白交角四度五十八分三十秒相加得二十四度一十三分四十九秒即如酉午申角加酉午子角得子午申角為白道髙弧交角也較細推所得之數少一十分五十一秒而太陰亦仍在白平象限西白平象限亦仍在天頂南又午申太陰髙弧亦畧與寅辰太陽髙弧等故即命太陰髙弧為二十六度三十五分三十秒較細推所得之數多一十二分四十七秒然用以求三差所差亦甚㣲可以不計凡太陰距黄平象限西而在中交前後則白道入地平之子㸃必在黄道北太陰由未向午入陽厯白道髙弧交角皆大於黄道髙弧交角故凡太陰距黄平象限西而在中交前後者皆以黄道髙弧交角如黄白交角即為白道髙弧交角若太陰距黄平象限東而在正交前後則白道出地平之子㸃必在黄道北太陰由午向未入陰厯白道髙弧交角亦大於黄道髙弧交角故太陰距黄平象限東而在正交前後者亦以黄道髙弧交角加黄白交角為白道髙弧交角也設食甚用時太陽距黄平象限西五度黄平象限距地平二十七度零五分零九秒太陽髙弧二十六度五十八分二十八秒黄道髙弧交角八十七度二十六分五十二秒太陰食甚交周過中交後六度三十六分三十七秒實朔交周過中交後六度三十八分零七秒求白平象限諸數如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極戊為黄極己庚為黄道辛為黄平象限壬為白極癸子為白道丑為白平象限食甚用時太陽在寅辛寅為太陽距黄平象限西五度寅庚為其餘辛夘為黄平象限距地平二十七度零五分零九秒即庚角度寅辰為太陽髙弧二十六度五十八分二十八秒庚寅辰角為黄道髙弧交角八十七度二十六分五十二秒太陰過中交後在巳巳午為食甚交周過中交後六度三十六分三十七秒(食甚交周白道度也)寅午為實朔交周過中交後六度三十八分零七秒(實朔交周)(黄道度也)丑未為白平象限距地平之度即子角度己申為太陰髙弧子己申角為白道髙弧交角先用庚午子斜弧三角形求子角及午子弧此形有庚角一百五十二度五十四分五十一秒(乃黄平象限距地平髙之辛庚夘角之外)(角)有午角為黄白交角四度五十八分三十秒有午庚弧七十八度二十一分五十三秒(寅庚為太陽距黄平象限之餘)(八十五度減寅午實朔交周過中交六度三十八分)(零七秒餘七十八度二十一分五十三秒即午庚)求得子角二十六度三十分即丑未弧為白平象限距地平之髙又求得午子弧八十八度一十分與己午食甚交周過中交後六度三十六分三十七秒相加得己子弧九十四度四十六分三十七秒内減九十度餘四度四十六分三十七秒即丑巳弧為太陰距白平象限東之度次用子巳申正弧三角形求巳角為白道髙弧交角及巳申弧為太陰髙弧此形有申直角有子角二十六度三十分有巳子弧九十四度四十六分三十七秒求得巳角九十二度二十二分三十二秒即白道髙弧交角又求得己申弧二十六度二十四分零三秒即太陰髙弧也捷法自巳作巳酉距等圈與寅庚平行而巳申亦畧與寅辰平行則酉巳申角畧與庚寅辰角等(庚寅辰角即黄)(道髙弧交角)酉巳子角畧與庚午子角等(庚午子角即黄白交角)故以庚寅辰黄道髙弧交角八十七度二十六分五十三秒與子午庚黄白交角四度五十八分三十秒相加得九十二度二十五分二十三秒即如酉巳申角加酉巳子角得子巳申角為白道髙弧交角也此所得白道髙弧交角過九十度即知太陰過白平象限丑㸃之東又寅辰太陽髙弧畧與巳申太陰髙弧等故即命太陰髙弧為二十六度五十八分二十八秒也此太陰距黄平象限西而在中交前後應以黄道髙弧交角加黄白交角為白道髙弧交角因加過九十度即知太陰過白平象限東若黄道髙弧交角加黄白交角適足九十度即知太陰正當白平象限而無距度凡黄道髙弧交角加黄白交角適足九十度或過九十度者倣此設赤極二十三度以下(為使)(黄平象限近天頂白平象限過天頂北也)食甚用時太陽距黄平象限西四十度黄平象限距地平八十七度五十五分太陽髙弧四十九度五十七分一十八分黄道髙弧交角三度一十四分零六秒太陰適當正交無緯度求白平象限諸數如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極戊為黄極己庚為黄道己即為黄平象限辛為白極壬癸為白道壬即為白平象限食甚用時太陽在子己子為太陽距黄平象限西四十度子庚為其餘己丑為黄平象限距地平八十七度五十五分即庚角度子寅為太陽髙弧四十九度五十七分一十八秒庚子寅角為黄道髙弧交角三度一十四分零六秒太陰適當正交亦在子壬子為太陰距白平象限西之度子癸為其餘壬夘為白平象限距地平之度即癸角度子寅亦即太陰髙弧癸子寅角為白道髙弧交角先用庚子癸斜弧三角形求癸角(乃白平象限距地平髙之壬癸夘角)(之外角)及子癸弧(乃太陰距白平象限)(壬子弧之餘)此形有庚角八十七度五十五分有子角為黄白交角四度五十八分三十秒有子庚弧五十度(乃太陽距黄平象限己子弧之餘)求得癸角八十八度五十二分二十七秒與半周相減餘九十一度零七分三十三秒即壬癸夘角為白平象限距地平之髙因其過於九十度故知白平象限在天頂北又求得子癸弧四十九度五十八分零五秒與九十度相減餘四十度零一分五十五秒即壬子弧為太陰距白平象限西之度次應用子寅癸正弧三角形求子角為白道髙弧交角及子寅弧為太陰髙弧然癸子寅角即庚子癸黄白交角内減庚子寅黄道髙弧交角之餘故止於庚子癸黄白交角四度五十八分三十秒内減庚子寅黄道髙弧交角三度一十四分零六秒餘癸子寅角一度四十四分二十四秒即白道髙弧交角又太陰適當正交與太陽同度太陽髙弧即太陰髙弧也此太陰距黄平象限西而當正交入陰厯應於黄道髙弧交角内減黄白交角餘為白道髙弧交角因黄道髙弧交角小於黄白交角不足減故於黄白交角内反減黄道髙弧交角即知髙弧在黄白二道之間而白平象限在天頂北凡黄道髙弧交角不足減黄白交角者倣此以上諸圖皆以黄平象限在天頂南設例若黄平象限在天頂北則加減反是求東西南北差求東西南北二差以白道髙弧交角及髙下差為比例葢三差相交成正弧三角形直角恒對髙下差交角恒對南北差餘角恒對東西差故以半徑與交角餘弦之比即同於髙下差正切與東西差正切之比而半徑與交角正弦之比即同於髙下差正弦與南北差正弦之比也然交角雖有九十度而東西南北差止用四十五度前後互為消長其數相當亦如割圜八線四十五度前後互相為正餘也設如白道髙弧交角二十五度二十五分髙下差四十五分五十七秒求東西南北差如圖甲為天頂甲乙丙丁為過白極經圈乙丙為地平丁為白極戊己為白道甲庚為髙弧太陰實髙在辛視髙在壬己辛庚角為白道髙弧交角二十五度二十五分辛壬為髙下差四十五分五十七秒自白極丁至視髙壬作經圈截白道於癸辛癸為東西差壬癸為南北差乃用辛壬癸正弧三角形求辛癸壬癸二弧此形有癸直角有辛角二十五度二十五分有辛壬弧四十五分五十七秒求得辛癸弧四十一分三十秒為東西差又求得壬癸弧一十九分四十三秒為南北差也總之二差之大小由於髙下差如髙下差大則二差俱大髙下差小則二差俱小而二差之互為消長則由於交角如同一髙下差而交角大於餘角則東西差小而南北差大餘角大於交角則東西差大而南北差小故設交角九十度東西南北差止用四十五度前後可以互用如四十度之東西差即五十度之南北差四十度之南北差即五十度之東西差也求日食食甚用時食甚交周食甚實緯食甚用時者太陰實行與太陽實行白道同度之時刻食甚交周者食甚用時太陰距交之白道經度而食甚實緯者食甚用時太陰距太陽之白道緯度也太陽距交之黄道經度與太陰距交之白道經度等是為東西同經即為實朔其距交之度為實朔交周然此時太陽與太陰相距猶逺惟自白極過太陽作經圈與白道成直角太陰實經行至此直角之㸃則與太陽相距最近是為食甚用時其距交之經度為食甚交周其相距之緯度即食甚實緯法以太陽距交黄道度(即實朔交周)求其相當之白道度即為食甚交周求其距緯即為食甚實緯以食甚交周與實朔交周相減餘為交周升度差以一小時月實行相比得時分加減實朔用時即為食甚用時既有用時則可以東西差求近時與真時既有實緯則可以南北差求視緯故日食之時刻分秒雖不以用時與實緯而定而實以用時與實緯為入算之本也設實朔用時為申正一刻九分四十七秒實朔交周過正交後一十二度一小時月實行為三十三分求食甚用時及食甚交周食甚實緯如圖甲乙為黄道甲丙為白道甲為正交甲戊為實朔交周過正交後一十二度與甲丁等戊㸃為實朔用時之度己㸃為食甚用時之度甲己為食甚交周丁己為食甚實緯乃用甲丁己正弧三角形求甲己丁己二弧此形有己直角有甲角為黄白交角四度五十八分三十秒有甲丁弧一十二度與甲戊實朔交周等求得甲己弧一十一度五十七分二十二秒為食甚交周又求得丁己弧一度零一分五十九秒為食甚實緯以甲己食甚交周與甲戊實朔交周相減餘戊己二分三十八秒為交周升度差乃以一小時月實行三十三分與一小時六十分之比即同於戊己交周升度差二分三十八秒與食甚距實朔四分四十七秒之比而得戊己交周升度差所變時分因於實朔用時申正一刻九分四十七秒内減四分四十七秒得申正一刻五分即食甚用時也此食甚在兩交後太陰由甲向丙而甲戊實朔交周度多甲己食甚交周度少故於戊㸃實朔用時減戊己交周升度差所變時分為食甚用時若食甚在兩交前太陰由丙向甲而丙戊實朔交周度少丙己食甚交周度多則於戊㸃實朔用時加戊己交周升度差所變時分為食甚用時也求日食食甚真時及食甚視緯日食食甚時刻必以東西差加減用時方為真時而東西差之時分最為難定葢太陰因視差之故其行度時時不同若以實行比例加減用時而其時又有東西差必不與用時之東西差相等自人視之或在食甚前或在食甚後猶非食甚真時也故欲定東西差之時分必以視行為比例其法以一小時月實行與一小時之比即同於用時東西差與近時距分之比以加減食甚用時為食甚近時(太陰在白平象限西則加在白平象)(限東則減)又以近時求得東西差與用時之東西差相較得差分以加減用時東西差為食甚視行(用時之東西差小近)(時之東西差大則以差分減用時之東西差大近時之東西差小則以差分加或以用時之東西差倍之)(減近時之東西差所得亦同)乃以食甚視行與近時距分之比即同於用時東西差與真時距分之比以加減食甚用時即為食甚真時也既得食甚真時則以真時求得南北差與食甚實緯相加減即得食甚視緯矣(白平象限)(在天頂南者實緯在黄道南則加南北差而視緯仍為南實緯在黄道北則減南北差而視緯仍為北若)(實緯不足減南北差則反減而視緯即變為南白平象限在天頂北者反是)設食甚用時為申正一刻五分而在白平象限西其東西差三分五十一秒一小時月實行為三十三分求食甚真時及食甚視緯如圖甲為天頂甲乙丙丁為過白極經圈乙丙為地平丁為白極戊己為白道戊為白平象限甲庚為髙弧食甚用時太陰在辛人從地面視之却見太陰在壬當白道之癸尚在食甚辛㸃之西三分五十一秒故辛癸為東西差夫太陰實經度在辛視經度既在癸待太陰行過辛㸃三分五十一秒時而實經度在子則視經度必應在辛故以一小時月實行三十三分計之行辛癸弧三分五十一秒須得時之七分則行子辛弧三分五十一秒亦須得時之七分是為近時距分因於食甚用時申正一刻五分内加七分得申正一刻十二分是為近時也然近時既遲於用時其時亦必有東西差乃以近時復推得東西差為四分五十一秒如子丑大於子辛弧一分然則依用時之東西差辛癸計之太陰在子視之應在辛而依近時之東西差子丑計之則太陰在子者視之必應在丑仍在食甚辛㸃之西一分如辛丑是自食甚用時至食甚近時止見太陰行丑癸之度故以辛丑為差分以減用時之東西差辛癸三分五十一秒餘丑癸二分五十一秒為視行夫行丑癸弧二分五十一秒既須時之七分則行辛癸弧三分五十一秒必須時之九分二十七秒矣故以九分二十七秒為真時距分以加食甚用時得申正一刻十四分二十七秒為食甚真時也葢食甚用時實經度在辛視經度在癸而食甚近時實經度在子視經度在丑則食甚真時實經度必更在子㸃之東如寅人從地面視之却見太陰在夘其視經度正當食甚白道之辛故太陰行至寅㸃方為食甚真時乃以真時推得辛夘南北差為太陰白道緯差以加減白道實緯即為太陰距太陽之視緯也求日食初虧復圓用時欲求初虧復圓距食甚之時刻必先求初虧復圓距食甚之弧度其法以視緯為一邊以太陽太陰兩視半徑相併為一邊以視緯交白道之角為直角用正弧三角形求得初虧距食甚之弧亦即復圓距食甚之弧其理與月食同但月食初虧復圓距食甚之弧度等而時刻亦等日食因視差之故常變實行為視行其初虧復圓距食甚之弧度雖等而時刻則不等然不等者視行也而相等者實行也非先以實行求其相等之時刻無以求東西差而得視行故以一小時月實行與一小時之比即同於初虧復圓距食甚之度與初虧復圓距食甚時分之比以減食甚真時為初虧用時以加食甚真時為復圓用時既有初虧復圓用時則可以求初虧復圓真時故日食初虧復圓時刻雖不以用時為定而實以用時為入算之本也設食甚真時為申初初刻七分食甚視緯二十分太陽視半徑一十五分太陰視半徑一十六分一小時月實行為三十三分求初虧復圓用時如圖甲乙為黄道甲丙為白道丁為太陽丁戊為食甚視緯二十分食甚時大陰視經在戊初虧時太陰視經在己復圓時太陰視經在庚丁辛與丁壬皆太陽視半徑一十五分己辛與庚壬皆太陰視半徑一十六分丁己與丁庚皆併徑三十一分己戊為初虧距食甚之弧戊庚為復圓距食甚之弧其度相等故用丁戊己正弧三角形求己戊弧此形有戊直角有丁戊弧二十分有丁己弧三十一分求得己戊弧二十三分四十一秒為初虧距食甚之度亦即復圓距食甚之度也但己戊與戊庚之度雖等而大陰行此度之時刻則不等故先以一小時月實行三十三分與一小時六十分之比即同於己戊或戊庚二十三分四十一秒與初虧復圓距食甚時分四十四分二十四秒之比而得己戊或戊庚所變時分因於食甚真時申初初刻七分内減四十四分二十四秒得未正一刻七分三十六秒即初虧用時於食甚真時申初初刻七分加四十四分二十四秒得申初三刻六分二十四秒即復圓用時也求日食初虧復圓真時日食初虧復圓真時即以初虧復圓用時求之而得與求食甚真時又用近時者不同葢食甚己有東西差則可相較得視行以為比例也其法以初虧復圓兩用時各按法求其東西差同限者以其東西差與食甚之東西差相減為差分以加減初虧復圓距食甚之度為初虧復圓時視行異限者以其東西差與食甚之東西差相併為差分以減初虧復圓距食甚之度為初虧復圓時視行(初虧與食甚同在白平象限東而初虧東西差大於)(食甚東西差則以初虧差分減初虧東西差小於食甚東西差則以初虧差分加若初虧與食甚同在白)(平象限西則加減反是復圓與食甚同在白平象限東而復圓東西差大於食甚東西差則以復圓差分)(加復圓東西差小於食甚東西差則以復圓差分減若復圓與食甚同在白平象限西則加減反是若初)(虧在限東食甚在限西或食甚在限東復圓在限西則俱以差分減)乃以初虧視行與初虧用時距食甚時分之比即同於初虧距食甚之度與初虧真時距食甚時分之比以減食甚真時即為初虧真時以復圓視行與復圓用時距食甚時分之比即同於復圓距食甚之度與復圓真時距食甚時分之比以加食甚真時即為復圓真時也設食甚真時為申初初刻七分而在白平象限西其東西差一十八分五十四秒初虧距食甚之弧為二十三分四十一秒比例得時分四十四分二十四秒初虧用時為未正一刻七分三十六秒求初虧真時如圖甲為天頂甲乙丙丁為過白極經圈乙丙為地平丁為白極戊己為白道戊為白平象限甲庚為髙弧食甚真時太陰在辛人從地面視之却見太陰在壬當白道之癸正當食甚之㸃辛癸為食甚東西差一十八分五十四秒子為初虧子癸為初虧距食甚之弧二十三分四十一秒夫太陰行過食甚癸㸃一十八分五十四秒時而實經度在辛視經度既在癸則太陰行過初虧子㸃一十八分五十四秒時而實經度在丑視經度必應在子是故丑子與辛癸等丑辛亦與子癸等丑㸃即為初虧用時然初虧在食甚前其時亦必有東西差乃以初虧用時復推得東西差為一十二分零二秒如丑寅小於丑子弧六分五十二秒然則依食甚之東西差辛癸計之太陰在丑視之應在子而依初虧之東西差丑寅計之則太陰在丑者視之必應在寅己過初虧子㸃之東六分五十二秒如子寅是自初虧用時至食甚真時止見太陰行寅癸之度故以子寅為差分以減初虧距食甚之子癸二十三分四十一秒餘寅癸一十六分四十九秒為視行夫行寅癸弧一十六分四十九秒既須時之四十四分二十四秒則行子癸弧二十三分四十一秒必須時之一時零二分五十秒矣故以一時零二分五十秒為初虧距時以減食甚真時得未正初刻四分一十秒為初虧真時葢食甚真時實經度在辛視經度在癸而初虧用時實經度在丑視經度在寅則初虧真時實經度必更在丑㸃之西如夘人從地面視之却見太陰在辰其視經度正當初虧白道之子故太陰行至夘㸃方為初虧真時也復圓真時倣此日食分秒日食分秒以太陽與太陰兩視半徑相併内減食甚視緯餘為兩體相掩之分乃命太陽視徑為十分以視經度分與十分之比即同於減餘度分與十分中幾分之比而得食分為太陽視徑十分中之幾分也或食甚視緯大於併徑則兩周不相切為不食食甚視緯僅與併徑等則兩周相切而不相掩亦為不食或太陰正當黄道而無食甚視緯即以併徑為食分兩心相掩是為全食若遇太陰視徑小於太陽視徑則四周露光名為金環食也如圖甲乙丙為黄道丁戊己為白道乙為太陽心戊為太陰心乙戊為視緯庚辛為太陽視徑壬癸為太陰視徑乙癸為兩視半徑相併之數内減乙戊視緯餘戊癸與壬辛等為太陰掩太陽之分以太陽全徑庚辛作十分計之則壬辛得五分有餘為食分也又如庚辛為太陽視徑壬癸為太陰視徑乙戊為視緯與乙辛壬戊兩視半徑相併之數等則太陰與太陽兩周相切而不相掩其視緯大於併徑者則愈不相掩矣又如太陰視經度正在兩道之交而無緯度則太陰心與太陽心相合於乙全掩太陽之光是為全食或太陰之視徑壬癸小於太陽之視徑庚辛則大陽四周露光如金環也定日食方位厯來厯書定日食初虧復圓方位月在黄道北初虧西北復圓東北月在黄道南初虧西南復圓東南食八分以上初虧正西復圓正東此東西南北主黄道之經緯言與人目所見地平經度之東西南北頗不相合故今亦如月食之法定初虧復圓之㸃在日體之上下左右乃於仰觀為親切也其法亦從天頂作髙弧過日心至地平即分日體為左右兩半周又平分為上下兩象限即成左上左下右上右下四象限乃視月距黄道之南北距黄平象限之東西及交角之大小而初虧復圓之㸃可定矣如月在黄道上無緯度又在黄平象限上而交角滿九十度則初虧正右復圓正左在黄平象限西而交角在四十五度以上則初虧右稍偏下復圓左稍偏上交角在四十五度以下則初虧下稍偏右復圓上稍偏左在黄平象限東者反是若月在交前後有距緯則必求緯差角與交角相加減為定交角然後可定其上下左右也如圖甲乙丙為黄道一象限丁乙戊為髙弧乙為日心因在黄平象限西故黄道左昻右低己為日食初虧之月心庚為日食復圓之月心月心正在黄道上無距緯而甲乙戊或丙乙丁交角在四十五度以下其初虧辛㸃在日體之下稍偏右復圓壬㸃在日體之上稍偏左也若日在黄平象限東則黄道左低右昻而甲乙丁或丙乙戊交角在四十五度以上故初虧辛㸃在日體之右稍偏上復圓壬㸃在日體之左稍偏下也如日在黄平象限西而月在黄道北則初虧以己乙甲緯差角與甲乙戊交角相加得己乙戊為定交角在四十五度以上故初虧辛㸃在日體之右稍偏下復圓以庚乙丙緯差角與丙乙丁交角相減餘庚乙丁為定交角在四十五度以下故復圓壬㸃在日體之上稍偏左也若日在黄平象限東則初虧之緯差角為減復圓之緯差角為加與此相反(求緯差角與加減之法並)(同月食)如日在黄平象限西而月在黄道南則初虧以己乙甲緯差角與甲乙戊交角相減餘己乙戊為定交角在四十五度以下故初虧辛㸃在日體之下稍偏右復圓以庚乙丙緯差角與丙乙丁交角相加得庚乙丁為定交角在四十五度以上故復圓壬㸃在日體之左稍偏上也若日在黄平象限東則初虧之緯差角為加復圓之緯差角為減與此相反繪日食圖凡繪日食圖先作横竪二線直角相交横線當黄道竪線當黄道經圈用日半徑為度於中心作圜以當日體又以日月兩半徑相併為度作虚圈為初虧復圓之限次視實交周係初宫十一宫則於虚圈上周黄經線右取黄白大距五度作識實交周係五宫六宫則於虚圈上周黄經線左取黄白大距五度作識乃自所識作線過圜心至虚圈下周即為白道經圈於此線上自圜心取食甚視緯度作識即食甚時月心所在從此作横線與白道經圈相交成直角即為白道而白道與虚圈右周相割之㸃即初虧時月心所在白道與虚圈左周相割之㸃即復圓時月心所在也末以初虧食甚復圓三㸃各為心月半徑為度各作一圜以當月體即初虧食甚復圓之象宛然在目矣如圖甲乙竪線如黄道經圈丙丁横線如黄道戊巳庚圈如日體甲丙乙丁虚圈為初虧復圓之限其半徑丙辛為日月兩半徑之共數設實交周初宫或十一宫則於虚圈上周甲乙經線之右取黄白大距五度如甲壬從壬作線過圜心辛至下周癸為白道經圈於壬癸白道經圈上自圜心辛向下取食甚視緯度如辛子此子㸃即食甚時月心所在也(此以實交周十一宫)(為例其緯在南故自圜心辛向下取子㸃若實交周)(是初宫其緯在北則自圜心辛向上取子㸃)乃從子取直角作丑寅線與壬癸白道經圈相交即為白道而白道割虚圈右周丑㸃為初虧限割左周寅㸃為復圓限以丑子寅三㸃各為心月半徑為度作圜以象月體即見月心至丑其周切日日體將缺是為初虧從丑至子掩日最大是為食甚從子至寅月已離日日光全滿是為復圓也御製厯象考成上編卷八
## 上編卷九
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷九五星厯理一(五星合論)五星總論五星本天皆以地為心五星衝伏留退俱生於次輪五星次輪之上下兩弧皆非平分五星總論五星行度有平行有自行有距日行太槩與太隂同推歩之法或用兩心差或用小輪或用均輪於本天心或用均輪於本天周其法雖别而理實同月離論之已詳然五星之行雖相似而細較之亦有不同以平行言之土木火各有平行為一類而金水即以太陽之平行為平行是為一類以自行言之土木火金之次輪心皆行倍引數為一類而水星之次輪心則行三倍引數是獨為一類以次輪之大小言之土木金水之次輪半徑皆有定數為一類而火星之次輪在本天最髙則大最卑則小又視太陽在最髙則大最卑則小是獨為一類以次輪之行度言之土木火皆行距日度為一類而金水自有行度又為一類以緯行言之土木火皆有本天與黄道相交以生緯度次輪斜交本天其面又與黄道平行能加減其緯度為一類而金水之本天即為黄道本無緯度因次輪斜交黄道以生緯度又為一類以伏見言之土木火皆有合有衝為一類而金水則有合有退合而無衝是又為一類也如圖甲為地心乙丙丁為本天之一弧(金水本天即為黄道)丙為本輪心戊丙已為本輪全徑戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚為最逺(去本輪心逺也)辛為最近(去本)(輪心近也)壬庚癸為次輪全徑(土木火原名嵗輪金水原)(名伏見輪今俱名次輪從一例)壬為最逺(去地心逺也)癸為最近(去地心近也)本輪心從本天冬至度右旋為平行經度均輪心從本輪最髙左旋為自行引數土木火金四星之次輪心從均輪最近右旋為倍引數獨水星之次輪心從均輪最逺右旋為三倍引數五星皆從次輪最逺右旋在土木火三星為本輪心距日度惟金水二星各有行度因其本輪即以日為心故無距日之度也又土木火三星之次輪皆斜立於本道半周在本道北半周在本道南其壬庚癸全徑恒與黄道之徑平行金水二星之次輪亦斜立於黄道半周在黄道北半周在黄道南其壬庚癸全徑却不與黄道之徑平行故金水雖行黄道而亦有緯度也又星與日與地參直而日在星與地之間則星為日掩是為合伏如地在星與日之間則星與日相距半周天正相對照如月之望是為衝如星在日與地之間則星正當日之下如月之朔此時星必在次輪下半退行故為退伏在土木火三星能距日半周天故有合有衝而無退合金水二星之本輪以日為心常繞日行不能與日相距半周天故止有合有退合而無衝也五星本天皆以地為心新法厯書言五星古圖以地為心新圖以日為心及觀西人第谷推歩均數土木金水四星仍以地為心惟火星以日為心嘗推火星亦以地為心立算其得數與彼相同乃知第谷之推歩火星不過虚立巧算之法非真謂火星天獨以日為心也然則新法厯書之新圖五星皆以日為心者何也盖金水二星以日為心者乃其本輪非本天也土木火三星以日為心者乃次輪上星行距日之跡亦非本天也土木火三星之次輪半徑最大與日天半徑畧等星距次輪最逺之度又與次輪心距日之度等以星行距日之跡觀之即成大圜而為繞日之形其理與日躔連本輪行度成不同心天者相似然星之自行又有髙卑其距日不無逺近謂其成繞日之形則可謂其成不同心天則不可也雖厯家巧算之術以次輪設於本天與以次輪設於地心成不同心天者理本相通然必次輪半徑與日距地半徑等方可以日為心作不同心天立算今土木二星之次輪半徑有定數而日距地則有髙卑火星次輪半徑雖有太陽髙卑差而又有本天髙卑差終與日距地半徑不等則與其設次輪於地心不如設次輪於本天之為便也由是觀之五星之本天皆以地為心可知矣新法厯書又言舊説有謂七政之左旋非七政之行乃地自西徂東日行一周治厯之家以為非理故無取焉而近日又有復理其説者殆欲以地之東行而齊諸曜之各行耳究之諸曜之行終不能齊何若以一静而驗諸動之易明乎古圖五星各有本天重重包裹土木火三星常在日上名為上三星金水常在日下名為下二星今考五星惟土木二星常在日上火金水三星能在日上亦能在日下則重重包裹之説特其大槩耳此古圖不如新圖之密也新圖五星皆以日為心土木二星圈甚大包日天之外故常在日上火星圈亦大但不能包日天而割入日天之内故有時在日之下金水二星圈甚小不惟不能包日天併不能包地故不能衝日然金水之本天即日天此圍日者乃其本輪也土木火亦各有本天此圍日者乃次輪上星行距日之迹也下圖詳之土木二星之本天大次輪小(土星次輪半徑為本天半徑十分之一強木星)(次輪半徑為本天半徑十分之二弱)如圖甲為地心乙丙為日本天丁戊為星本天己庚與辛壬皆為次輪如日在乙次輪心在丁星在己日行至丙星亦行至庚庚丙之相距與己乙之相距等也或日在丙次輪心在戊星在壬日行至乙星亦行至辛辛乙之相距與壬丙之相距等也星之距日既隨在皆相等則連其軌迹即成圍日之形矣試用己乙之距為半徑作圈即成己辛圈為星行軌迹所到而以乙日為心或用庚丙之距為半徑作圈即成庚壬圈亦為星行軌迹所到而亦以丙日為心也雖各星自行亦有髙卑其距日不無逺近之差要不能改其圍日之大致耳火星之本天小於土木二星之本天而次輪則大(火星)(次輪半徑為本天半徑十分之六強)如圖甲為地心乙丙為日本天丁戊為星本天己庚與辛壬皆為次輪己辛圈以乙日為心庚壬圈以丙日為心皆為次輪上星行軌迹所到悉與土木二星同但其次輪甚大割入日天之内星行至此即在日之下也五星衝伏留退俱生於次輪五星之有本輪次輪俱與太陰同太隂之朔望皆在次輪故五星之衝伏亦在次輪然太隂止有遲疾而五星則有留退何也盖太隂之平行甚疾而輪甚小(太隂平行毎日一十三度餘合計本輪次輪之最大均數止七度餘)當其在輪周退行之時但能稍減其平行之度故止見其遲而不見其退若五星之平行甚遲其本輪雖小而次輪則甚大(五星平行毎日不足一度而次均之大者至五十餘度)當其在輪之上弧則見其順行在輪之下弧則見其退行在輪之左右則見其留而不行也以土木火三星論之如圖甲為地心乙丙為太陽本天丁戊為土星本天(以土星為)(例木火同理)俱以甲為心己庚為本輪以丁為心辛壬為均輪以己為心癸子為次輪以壬為心太陽在乙本輪心在丁無距日度星在次輪之最逺癸自地心甲計之日在星與地之間成一直線星伏而不見為合伏設太陽在丑本輪心丁距日九十餘度則星從合伏癸亦行九十餘度至寅自地心甲計之星自上而下成一直線不見其行為前留(或曰順留)設太陽在丙本輪心丁距日半周則星從合伏癸亦行半周至最近子自地心甲計之地在星與日之間成一直線為衝設太陽在夘本輪心丁距日二百六十餘度則星從合伏癸亦行二百六十餘度至辰自地心甲計之星自下而上成一直線不見其行為後留(或曰退留)迨太陽復至乙與本輪心丁參直而星亦復至最逺癸又為合伏矣凡星在辰癸寅上弧則順輪心行自西而東故其行為順為疾星在寅子辰下弧則逆輪心行自東而西故其行為退為遲也以金水二星論之如圖甲為地心乙丙為太陽本天即金星本天(水星之理與金星同)亦以甲為心丁戊為本輪以乙太陽為心己庚為均輪以戊為心辛壬為次輪以庚為心太陽在乙星在次輪之最逺辛在太陽之上自地心甲計之成一直線星伏而不見為順合星在次輪之最近壬在太陽之下自地心甲計之亦成一直線星伏而不見為退合星從最逺辛行一百三十餘度至癸自地心甲計之星自上而下成一直線不見其行為前留星從最近壬行四十餘度至子自地心甲計之星自下而上成一直線不見其行為後留凡星行子辛癸上弧為順為疾行癸壬子下弧為退為遲與土木火三星同也五星次輪之上下兩弧皆非平分五星皆以兩留際分次輪為上下兩弧星行上弧為順為疾星行下弧為退為遲然此兩弧皆非平分上弧常多下弧常少而五星又各不同如土星上弧一百九十二度有餘下弧一百六十七度有餘木星上弧二百度有餘下弧一百五十九度有餘火星上弧或二百八九十度下弧或七八十度金星上弧二百七十度下弧九十度水星上弧二百二十二度下弧一百三十八度其所以參差不齊者盖因五星距地各有逺近而次輪又各有大小也自地心作兩視線至次輪周與次輪半徑成直角則此兩視線即為下半弧之切線其切輪周之㸃為留際即上下兩弧所由分而上弧之度必多於下弧但輪小而距地逺者其上下兩弧相差不甚逺如土木二星是也若輪大而近於地則上弧愈多下弧愈少如火金水三星是也又五星自行各有髙卑其上下兩弧之分亦有増減要之知輪心距地之逺近與輪徑之大小則上下兩弧之多少皆可得而推矣如圖甲為地心乙為次輪心乙丙乙丁皆次輪辛徑從甲作甲丙甲丁兩視線至次輪周與次輪半徑乙丙乙丁成直角則甲丙即為丙戊下半弧之切線甲丁即為丁戊下半弧之切線而乙甲丙與乙甲丁成相等之兩直角三角形此乙甲丙三角形之丙角既為直角九十度則乙角必不足九十度而所對之丙戊弧亦必不足九十度丙戊下半弧既不足九十度則兩半弧相合之丙戊丁弧亦必不足一百八十度此下弧之所以常少於上弧也又第一圖輪小而乙甲之距逺則兩視線長故甲角小而乙角大乙角大則所對之丙戊與戊丁兩弧亦大此丙戊丁下弧雖小於丙己丁上弧而猶不甚相逺也如第二圖輪大而乙甲之距近則兩視線短故甲角増而乙角減乙角減則所對之丙戊與戊丁兩弧亦從之而減此丙戊丁下弧所以愈少丙己丁上弧所以愈多也是故欲求各星次輪下弧之度以次輪心距地心之乙甲線與次輪半徑乙丙或乙丁之比同於半徑一千萬與乙角餘弦之比而得乙角度即丙戊弧或丁戊弧倍之得丙戊丁下弧之度為星退行之共度也御製厯象考成上編卷九
## 上編卷十
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十五星厯理二(専論土星)土星平行度用土星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙求初均數求次均數土星平行度測土星平行之法用前後兩測取其距恒星之度分等(恒星有嵗差毎年五十一秒測時須加入計之)距太陽之逺近左右亦等乃計其前後相距中積若干日時及星行滿次輪若干周即可得其毎日平行之率盖兩測距恒星之度既等則其行滿一周天而復於故處而距太陽之逺近左右又等則兩測之遲疾加減俱等而次輪之行亦滿全周而復其故處也新法厯書載古測定五十九平年又十六日十分日之三或二萬一千五百五十一日又十分日之三土星行次輪五十七周(即㑹日五)(十七次衝日亦五十七次)置中積二萬一千五百五十一日又十分日之三為實星行次輪周數五十七為法除之得周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十八微四十一纎一十六忽四十八芒(即三百七十八日零百分日之)(九分二九八二□時厯作三百七十八日○九一六)乃以毎周三百六十度為實周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十八微四十一纎一十六忽四十八芒為法除之得五十七分零七秒四十三微四十一纎四十四忽三十三芒為毎日土星距太陽之行(即土星在次輪周毎日之行一名嵗)行與毎日太陽平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒相減餘二分零三十六微零八纎零七忽零六芒為毎日土星平行經度(即本)(輪心毎日之行)既得毎日之平行用乘法可得毎年毎月之平行用除法可得毎時毎分之平行以立表用土星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙土星之初均數生於本輪半徑而求本輪半徑須用三次衝日與月離用三月食同盖星衝日之時星在次輪最近㸃無次均數故測諸星本輪半徑者必俟此時也新法厯書載西人多録某於漢順帝時用土星三次衝日推得兩心差為本天半徑十萬分之一萬一千七百七十二用其四分之三為本輪半徑四分之一為均輪半徑最髙在大火宫二十三度(永建二年)(丁夘)後因其數與天行不合又改兩心差為本天半徑十萬分之一萬一千二百七十七至明正徳間西人歌白泥復用三測推得兩心差為本天半徑十萬分之一萬二千最髙在析木宫二十七度三十五分(正徳)(九年甲戌)相距一千三百八十七年而兩次所測最髙相差三十四度三十五分乃以三十四度三十五分為實一千三百八十七年為法除之得毎年最髙行一分二十九秒四十六微萬厯間西人第谷又測得兩心差為本天半徑十萬分之一萬一千六百二十八後又定兩心差為本天半徑千萬分之一百一十六萬二千本輪半徑為本天半徑千萬分之八十六萬五千五百八十七(此四分之三小比三分之二大)均輪半徑為本天半徑千萬分之二十九萬六千四百一十三(比四分之一大)(比三分之一小)最髙在析木宫二十六度二十分二十七秒(萬厯十八年庚寅)毎年最髙行一分二十秒一十二微用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左假如第一次衝日日躔娵訾宫一度零三分二十七秒土星在鶉尾宫一度零三分二十七秒如甲第二次衝日日躔娵訾宫二十一度四十七分三十九秒土星在鶉尾宫二十一度四十七分三十九秒如乙第三次衝日日躔降婁宫一十六度五十一分二十八秒土星在夀星宫一十六度五十一分二十八秒如丙第一次衝日距第二次衝日一萬一千三百四十三日五時三十六分其實行相距二十度四十四分一十二秒(即鶉尾宫甲點距乙點之度亦即甲)(丁乙角於第二次實行度内減去第一次實行度即)(得)其平行相距一十九度五十九分五十四秒(以毎日平)(行度與距日相乗減去全周即得)第二次衝日距第三次衝日七百五十五日二十時三十一分其實行相距二十五度零三分四十九秒(即鶉尾宫乙點)(距夀星宫丙點之度亦即乙丁丙角於第三次實行)(度内減去第二次實行度即得)其平行相距二十五度一十九分一十六秒乃用不同心圈立法算之任取戊點為心作己庚辛壬不同心圈則辛庚弧即第一次距第二次之平行度一十九度五十九分五十四秒庚巳〔？〕即第二次距第三次之平行度二十五度一十九分一十六秒爰從戊點過地心丁至圜周二界作一線為最髙線戊丁即兩心差又引丙丁線至壬自壬至甲丁乙丁二線所割庚辛二點作壬庚壬辛二線自庚至辛又作庚辛線即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半徑與兩心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛邊此形有壬角二十二度三十九分三十五秒(壬為界角當辛巳弧以辛庚庚)(巳兩弧相加折半即得)有丁角一百三十四度一十一分五十九秒(即甲丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬辛邊一八二四二六三九次用壬丁庚三角形求壬庚邊此形有壬角一十二度三十九分三十八秒(以庚巳弧折半即得)有丁角一百五十四度五十六分一十一秒(即乙丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬庚邊一九七二二九五四末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛邊一八二四二六三九有壬庚邉一九七二二九五四有壬角九度五十九分五十七秒(以辛壬丁角與庚壬丁角相減即得)求得庚角六十度五十八分四十秒倍之得一百二十一度五十七分二十秒為辛壬弧與辛巳弧四十五度一十九分一十秒相加得一百六十七度一十六分三十秒為己辛壬弧於是以本天半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則辛壬弧之通弦為一七四八八六三二己壬弧之通弦為一九八七六八一三乃用比例法變先設之丁壬邊為同比例數以先得之辛壬邊一八二四二六三九與先設之丁壬一○○○○○○○之比即同於今所察之辛壬通弦一七四八八六三二與今所求之丁壬邊之比而得丁壬邊九五八六六七九又平分己辛壬弧於癸作戊癸線平分己壬通弦於子得子壬九九三八四○七内減去丁壬九五八六六七九餘子丁三五一七二八又以己癸弧八十三度三十八分一十五秒與九十度相減餘六度二十一分四十五秒為戊巳子角(戊巳子為直角三角)(形戊角當己癸〔？〕故己角為己癸〔？〕減象限之餘)察其正弦得一一○八一八五為戊子乃用戊子丁勾股形以戊子為股子丁為勾求得戊丁弦一一六二六六三為兩心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三邊有子直角求得丁角七十二度二十三分二十八秒即第三次衝日土星距最髙丑點之度也求初均數土星之初均數授時厯名為盈縮差其盈差最大者八度二五五二三八二一縮差最大者六度二七九○四七一四以周天三百六十度毎度六十分約之盈差得八度零八分一十一秒四十一微縮差得六度一十一分一十九秒三十八微衝合以外各段同用新法厯書最大之初均數為六度三十八分一十九秒零六微(即六度零十分度之六分三八六三三)惟星正當衝合之時止用此均數加減若在衝合前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為八十六萬五千五百八十七戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為二十九萬六千四百一十三辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁毎日行二分有餘即土星經度均輪心循本輪左旋自戊而已而庚毎日亦行二分有餘(微不及經度之行毎年少一分二十秒一十二)(微)即自行引數次輪心則循均輪右旋自癸而壬而辛毎日行四分有餘為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最近癸或均輪心從本輪最髙戊向已行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最近癸厯壬辛行一周復至癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子〔？〕之倍度)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸夘直角三角形求癸夘夘丙二邉此形有夘直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙邊五十六萬九千一百七十四(本輪半徑内減去均)(輪半徑之數)求得癸夘邊二十八萬四千五百八十七夘丙邊四十九萬二千九百一十九以夘丙與丙甲本天半徑一千萬相加得一千零四十九萬二千九百一十九為夘甲邊以癸夘邊與丑癸通弦二十九萬六千四百一十三相加(即均)(輪丑癸弧六十度之通弦故與均輪半徑等若非六十度則用比例法以半徑)(一千萬為一率均輪丑癸弧折半察正弦為二率均輪子癸半徑為三率得四)(率倍之即丑癸通弦也)得五十八萬一千為丑夘邊於是用甲丑夘直角三角形求得甲角三度一十分零九秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角即求得丑甲邉為次)(輪心距地心之數存之為後求次均之用)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自最近癸厯壬辛行三百度至已從地心甲計之當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百二十度至未為四宫初度則次輪心從均輪最近癸厯壬辛行二百四十度至申從地心甲計之當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角六十度則癸角必三十度癸丙邊為五十六萬九千一百七十四求得癸戌邊四十九萬二千九百一十九丙戌邊二十八萬四千五百八十七以丙戌邊與丙甲本天半徑一千萬相減餘九百七十一萬五千四百一十三為戌甲邊以癸戌邊與申癸通弦五十一萬三千四百零二相加(即均輪申癸〔？〕一百二十度之通弦)得一百萬零六千三百二十一為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角五度五十四分四十九秒即酉丙弧為自行四宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向已厯庚行二百四十度至亥為八宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百二十度至子從地心甲計之當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫初度之初均數與四宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫)(初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫)(初度至八宫末度)求次均數土星與太陽衝合之後即有次均其數生於次輪盖星衝太陽之時在次輪之最近合伏之時在次輪之最逺與次輪心及地心參直故求初均數即以次輪心立算而無次均自衝合而外星行次輪周之左右其次輪周星體所在即次均數也新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑十萬分之一萬零八百三十三其後西人第谷又改為本天半徑千萬分之一百零四萬二千六百今從之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為八十六萬五千五百八十七戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為二十九萬六千四百一十三庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬辛癸為次輪全徑壬辛半徑為一百零四萬二千六百壬為最逺癸為最近(此逺近以距地心言)本輪心從本天冬至度右旋(本天上與黄道冬至相對之度)為經度均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自行度)次輪心從均輪最近辛右旋為倍引數星從次輪最逺壬右旋行距日之度(即本輪心距太陽之度)如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最近辛合伏之時星在次輪之最逺壬衝太陽之時星在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減若衝合以後則星在次輪周之左右(衝太陽之後在次輪之右合伏之後在次輪之左)而次均生矣如均輪心從最髙戊行三十度至子為自行一宫初度次輪心則從均輪最近辛行六十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角三度一十分零九秒(即寅)(丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬厯癸行三百度至夘從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲夘三角形求甲角(即辰寅〔？〕)此形有丑角一百二十度(於壬癸夘弧三百度内減去壬)(癸半周餘癸夘〔？〕即丑角度)有夘丑半徑一百零四萬二千六百有丑甲邊一千零五十萬八千九百九十一(求丑甲邉法見前求初均數篇)求得甲角四度五十四分一十八秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙〔？〕三度一十分零九秒相加得辰丙弧八度零四分二十七秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行三百三十度至己為自行十一宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行三百度至午星從次輪最逺壬行六十度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相加之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行實行之差及星距太陽之度以推次輪半徑)(亦用丑甲夘三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百二十度至子為自行四宫初度次輪心則從均輪最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角五度五十四分四十九秒(即寅丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬行四十五度至夘從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲夘三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角一百三十五度(於半周内減去壬夘弧四十五度餘夘癸弧即丑角度)有夘丑半徑一百零四萬二千六百有丑甲邊九百七十六萬七千三百九十二求得甲角四度零五十二秒即寅辰弧為次均數與初均數寅丙弧五度五十四分四十九秒相減(因初均寅點在平行丙點之後而次均辰)(點在寅點之前故相减)餘辰丙弧一度五十三分五十七秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行二百四十度至己為自行八宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行一百二十度至午星從次輪最逺壬厯癸行三百一十五度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相減所餘之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也御製厯象考成上編卷十
## 上編卷十一
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷十一五星厯理三(專論木星)木星平行度用木星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙求初均數求次均數木星平行度測木星平行之法亦用前後兩測與土星同新法厯書載古測定七十一平年又十二日千分日之六百一十七或二萬五千九百二十七日又千分日之六百一十七木星行次輪六十五周(即㑹日六十五次衝日亦六十五次)置中積二萬五千九百二十七日又千分日之六百一十七為實星行次輪周數六十五為法除之得周率三百九十八日八十五刻一分二十六秒一十五微二十一纖三十六忽(即三百九十八日零十分日之八分八六四一五授時歴同數)乃以毎周三百六十度為實周率三百九十八日八十五刻一分二十六秒一十五微二十一纖三十六忽為法除之得五十四分零九秒零二微四十二纖四十七忽三十二芒為每日木星距太陽之行(即木星在次輪周毎日之行一名嵗行)與毎日太陽平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒相減餘四分五十九秒一十七微零七纖零四忽零七芒為每日木星平行經度(即本輪心毎日之行)既得每日之平行用乘法可得每年毎月之平行用除法可得毎時每分之平行以立表用木星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙測木星本輪半徑法與土星同新法厯書載西人多録某於漢順帝時推得兩心差為本天半徑十萬分之八千九百零二用其四分之三為本輪半徑四分之一為均輪半徑最髙在鶉尾宫一十一度(陽嘉二年癸酉)後因其數與天行不合又改兩心差為本天半徑十萬分之九千一百七十至明正徳間西人歌白泥復推得兩心差為本天半徑十萬分之一萬一千九百三十最髙在壽星宫六度二十分(嘉靖八年己丑)相距一千三百九十六年而兩次所推最髙相差二十五度二十分因知毎年最髙行一分零五秒二十微萬厯間西人第谷又測得兩心差為本天半徑十萬分之九千五百四十後又定兩心差為本天半徑千萬分之九十五萬三千三百本輪半徑為本天半徑千萬分之七十萬五千三百二十(比四分之三小比三分之二大)均輪半徑為本天半徑千萬分之二十四萬七千九百八十(比四)(分之一大比三分之一小)最髙在壽星宫八度四十分(萬厯二十八年庚子)每年最髙行五十七秒五十二微用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左假如第一次衝日日躔鶉尾宫七度三十一分四十九秒木星在娵訾宫七度三十一分四十九秒如甲第二次衝日日躔大火宫二十度五十六分木星在大梁宫二十度五十六分如乙第三次衝日日躔析木宫二十五度五十二分二十七秒木星在實沈宫二十五度五十二分二十七秒如丙第一次衝日距第二次衝日八百零四日一十五時三十五分其實行相距七十三度二十四分一十一秒(即娵訾宫甲點距大梁宫乙點之度亦即甲丁)(乙角於第二次實行度内減去第一次實行度即得)其平行相距六十六度五十三分二十秒(以毎日平行度與距)(日相乘即得)第二次衝日距第三次衝日三百九十九日一十四時四十四分其實行相距三十四度五十六分二十七秒(即大梁宫乙點距實沈宫)(丙點之度亦即乙丁丙角於第三次實行度内減去)(第二次實行度即得)其平行相距三十三度一十三分零八秒乃用不同心圈立法算之任取戊點為心作己庚辛壬不同心圈則辛庚弧即第一次距第二次之平行度六十六度五十三分二十秒庚己弧即第二次距第三次之平行度三十三度一十三分零八秒爰從戊點過地心丁至圜周二界作一線為最髙線戊丁即兩心差又引丙丁線至壬自壬至甲丁乙丁二線所割庚辛二點作壬庚壬辛二線自庚至辛又作庚辛線即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半徑與兩心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛邊此形有壬角五十度零三分一十四秒(壬為界角當辛)(己弧以辛庚庚己兩弧相加折半即得)有丁角七十一度三十九分二十二秒(即甲丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬辛邊一一一五七四三六次用壬丁庚三角形求壬庚邊此形有壬角一十六度三十六分三十四秒(以庚巳弧折半即得)有丁角一百四十五度零三分三十三秒(即乙丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬庚邊一八二一○○九一末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛邊一一一五七四三六有壬庚邊一八二一○○九一有壬角三十三度二十六分四十秒(以辛壬丁角與庚壬丁角相減即得)求得庚角三十四度三十八分二十八秒倍之得六十九度一十六分五十六秒為辛壬弧與辛巳弧一百度零六分二十八秒相加得一百六十九度二十三分二十四秒為己辛壬弧於是以本天半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則辛壬弧之通弦為一一三六八六八二己壬弧之通弦為一九九一四三三二乃用比例法變先設之丁壬邊為同比例數以先得之辛壬邊一一一五七四三六與先設之丁壬一○○○○○○○之比即同於今所察之辛壬通弦一一三六八六八二與今所求之丁壬邊之比而得丁壬邊一○一八九三三二又平分己辛壬弧於癸作戊癸線平分己壬通弦於子得子壬九九五七一六六與丁壬一○一八九三三二相減餘子丁二三二一六六又以壬癸弧八十四度四十一分四十二秒與九十度相減餘五度一十八分一十八秒為戊壬子角(戊壬子為直角三角形戊角當壬癸弧故壬角為壬)(癸弧減象限之餘)察其正弦得九二四五七五為戊子乃用戊子丁勾股形以戊子為股子丁為勾求得戊丁弦九五三二七八為兩心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三邊有子直角求得丁角七十五度五十四分一十五秒與半周相減餘一百零四度零五分四十五秒為戊丁巳角即第三次衝日木星距最髙丑㸃之度也求初均數木星之初均數授時厯名為盈縮差止用一表不分盈縮其最大者五度九九二九八○二八以周天三百六十度每度六十分約之得五度五十四分二十四秒三十七微衝合以外各段同用新法歴書最大之初均數為五度二十七分零三秒五十四微(即五度零)(十分度之四分五一○八三三)惟星正當衝合之時止用此均數加減若在衝合前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為七十萬五千三百二十戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為二十四萬七千九百八十辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行四分五十九秒有餘即木星經度均輪心循本輪左旋自戊而已而庚每日亦行四分五十九秒有餘(微不及經度之行每)(年少五十七秒五十二微)即自行引數次輪心則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行九分五十八秒有餘為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最近癸或均輪心從本輪最髙戊向已行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最近癸厯壬辛行一周復至癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子弧之倍度)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙邊四十五萬七千三百四十一(本輪半徑内減去均)(輪半徑之數)求得癸卯邊二十二萬八千六百七十一卯丙邊三十九萬六千零六十九以卯丙邊與丙甲本天半徑一千萬相加得一千零三十九萬六千零六十九為卯甲邊以癸卯邊與丑癸通弦二十四萬七千九百八十相加(即均輪丑癸弧)(六十度之通弦故與均輪半徑等若非六十度則用比例法以半徑一千萬為)(一率均輪丑癸弧折半查正弦為二率均輪子癸半徑為三率得四率倍之即)(丑癸通弦也)得四十七萬六十六百五十一為丑卯邊於是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度三十七分三十秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角)(即求得丑甲邊為次輪心距地心之數存之為後求坎均之用)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自最近癸厯壬辛行三百度至已從地心甲計之當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百二十度至未為四宫初度則次輪心從均輪最近癸厯壬辛行二百四十度至申從地心甲計之當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角六十度則癸角必三十度癸丙邊為四十五萬七千三百四十一求得癸戌邊三十九萬六千零六十九丙戌邊二十二萬八千六百七十一以丙戌邊與丙甲本天半徑一千萬相減餘九百七十七萬一千二百二十九為戌甲邊以癸戌邊與申癸通弦四十二萬九千五百一十四相加(即均輪申癸弧一百二十度之通弦)得八十二萬五千五百八十三為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角四度四十九分四十六秒即酉丙弧為自行四宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥為八宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百二十度至子從地心甲計之當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫初度之初均數與四宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫)(初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫)(初度至八宫末度)求次均數木星與太陽衝合之後即有次均其數生於次輪蓋星衝太陽之時在次輪之最近合伏之時在次輪之最逺與次輪心及地心參直故求初均數即以次輪心立算而無次均自衝合而外星行次輪周之左右其次輪周星體所在即次均數也新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑十萬分之一萬九千一百九十四其後西人第谷又改為本天半徑千萬分之一百九十二萬九千四百八十今從之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為七十萬五千三百二十戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為二十四萬七千九百八十庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬辛癸為次輪全徑壬辛半徑為一百九十二萬九千四百八十壬為最逺癸為最近(此逺近以距地心言)本輪心從本天冬至度右旋(本天上與黄道冬至相對之度)為經度均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自行度)次輪心從均輪最近辛右旋為倍引數星從次輪最逺壬右旋行距日之度(即本輪心距太陽之度)如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最近辛合伏之時星在次輪之最逺壬衝太陽之時星在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減若衝合以後則星在次輪周之左右(衝太陽之後在次輪之右合伏之後在次輪之左)而次均生矣如均輪心從最髙戊行三十度至子為自行一宫初度次輪心則從均輪最近辛行六十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角二度三十七分三十秒(即寅丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬厯癸行三百度至卯從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲卯三角形求甲角(即辰寅弧)此形有丑角一百二十度(於壬癸卯弧三百度内減)(去壬癸半周餘癸卯弧即丑角度)有卯丑半徑一百九十二萬九千四百八十有丑甲邊一千零四十萬六千九百八十九(求丑甲邊法見前求)(初均數篇)求得甲角八度二十一分三十三秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙弧二度三十七分三十秒相加得辰丙弧一十度五十九分零三秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行三百三十度至己為自行十一宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行三百度至午星從次輪最逺壬行六十度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相加之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行貫行之差及)(星距太陽之度以推次輪半徑亦用丑甲卯三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百二十度至子為自行四宫初度次輪心則從均輪最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角四度四十九分四十六秒(即寅丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬行四十五度至卯從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲卯三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角一百三十五度(於半周内減去壬卯弧四十五度餘卯癸弧即丑角度)有卯丑半徑一百九十二萬九千四百八十有丑甲邊九百八十萬六千一百四十四求得甲角六度五十七分四十九秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙弧四度四十九分四十六秒相減(因初均寅㸃在)(平行丙㸃之後而次均辰㸃在寅㸃之前故相減)餘辰丙弧二度零八分零三秒為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行二百四十度至己為自行八宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行一百二十度至午星從次輪最逺壬厯癸行三百一十五度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相減所餘之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也御製厯象考成上編卷十一
## 上編卷十二
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十二五星厯理四(專論火星)火星平行度用火星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙求初均數求次均數火星平行度測火星平行之法亦用前後兩測與土木二星同新法厯書載古測定七十九平年又二十二日千分日之八百八十三或二萬八千八百五十七日又千分日之八百八十三火星行次輪三十七周(即會日三十七次衝日亦三十七次)置中積二萬八千八百五十七日又千分日之八百八十三為實星行次輪周數三十七為法除之得周率七百七十九日九十刻七分三十六秒二十七微零四纖一十九忽一十二芒(即七百七十九日零十分日之九分四二七八三授時厯作七百七十九)(日九二九)乃以每周三百六十度為實周率七百七十九日九十刻七分三十六秒二十七微零四纖一十九忽一十二芒為法除之得二十七分四十一秒三十九微三十七纖四十三忽五十五芒為每日火星距太陽之行(即火星在次輪周每日之行一名嵗行)與每日太陽平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒相減餘三十一分二十六秒四十微一十二纖零七忽四十四芒為每日火星平行經度(即本輪心每日之行)既得每日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得每時每分之平行以立表用火星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙測火星本輪半徑法與土木二星同新法厯書載西人多録某於漢順帝時推得兩心差為本天半徑十萬分之二萬一千八百六十一用其四分之三為本輪半徑四分之一為均輪半徑最髙在鶉首宫二十五度二十九分(永和四年己卯)後因其數與天行不合又改兩心差為本天半徑十萬分之二萬分至明正徳間西人歌白泥復推得兩心差為本天半徑十萬分之一萬九千六百最髙在鶉火宫二十七度零一分(嘉靖)(二年癸未)相距一千三百八十四年而兩次所推最髙相差三十一度三十二分因知每年最髙行一分二十二秒零一微萬厯間西人第谷又測得兩心差為本天半徑千萬分之一百八十五萬五千本輪半徑為一百四十八萬四千(兩心差之五分之四)均輪半徑為三十七萬一千(兩心差之五分之一)最髙在鶉火宫二十八度五十九分二十四秒(萬厯二十八年庚子)每年最髙行一分零七秒用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左假如第一次衝日日躔元枵宫一十八度五十八分三十八秒火星在鶉火宫一十八度五十八分三十八秒如甲第二次衝日日躔娵訾宫二十三度二十二分火星在鶉尾宫二十三度二十二分如乙第三次衝日日躔大梁宫一度火星在大火宫一度如丙第一次衝日距第二次衝日七百六十四日一十二時三十二分其實行相距三十四度二十三分二十二秒(即鶉火宫甲㸃距鶉尾宫乙㸃之度亦即)(甲丁乙角於第二次實行度内減去第一次實行度)(即得)其平行相距四十度三十九分二十五秒(以每日平行度)(與距日相乘減去全周即得)第二次衝日距第三次衝日七百六十八日一十八時其實行相距三十七度三十八分(即鶉尾宫乙㸃距大火宫丙㸃之度亦即乙丁丙角)(於第三次實行度内減去第二次實行度即得)其平行相距四十二度五十二分三十五秒乃用不同心圈立法算之任取戊㸃為心作己庚辛壬不同心圈則辛庚弧即第一次距第二次之平行度四十度三十九分二十五秒庚巳弧即第二次距第三次之平行度四十二度五十二分三十五秒爰從戊㸃過地心丁至圜周二界作一線為最髙線戊丁即兩心差又引丙丁線至壬自壬至甲丁乙丁二線所割庚辛二㸃作壬辛壬庚二線自庚至辛又作庚辛線即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半徑與兩心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛邊此形有壬角四十一度四十六分(壬為界角當辛巳弧以辛庚庚巳兩弧相)(加折半即得)有丁角一百零七度五十八分三十八秒(即甲)(丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬辛邊一八八七七六二○次用壬丁庚三角形求壬庚邊此形有壬角二十一度二十六分一十七秒三十微(以庚巳弧折半即得)有丁角一百四十二度二十二分(即乙丁丙)(角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬庚邊二一八九二六○九末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛邊一八八七七六二○有壬庚邊二一八九二六○九有壬角二十度一十九分四十二秒三十微(以辛壬丁角與庚壬丁角相減即得)求得庚角五十七度二十五分一十五秒倍之得一百一十四度五十分三十秒為辛壬弧與辛巳弧八十三度三十二分相加得一百九十八度二十二分三十秒為己辛壬弧於是以本天半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則辛壬弧之通弦為一六八五二九六五己壬弧之通弦為一九七四三四二二乃用比例法變先設之丁壬邊為同比例數以先得之辛壬邊一八八七七六二○與先設之丁壬邊一○○○○○○○之比即同於今所察之辛壬通弦一六八五二九六五與今所求之丁壬邊之比而得丁壬邊八九二七四八四又平分己壬弧於癸作戊癸線平分己壬通弦於子得子壬九八七一七一一内減去丁壬八九二七四八四餘子丁九四四二二七又以己癸弧八十度四十八分四十五秒(以己辛壬弧與全周相減所餘折半即得)與九十度相減餘九度一十一分一十五秒為戊己子角(戊己子為宜角三角形戊角當己癸弧故己角)(為己癸弧減象限之餘)察其正弦得一五九六六五八為戊子乃用戊子丁勾股形以戊子為股子丁為勾求得戊丁弦一八五四九六一為兩心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三邊有子直角求得丁角五十九度二十四分零三秒即第三次衝日火星距最髙丑㸃之度也求初均數火星之初均數授時厯名為盈縮差止用一表不分盈縮其最大者二十五度六一九七七九七一以周天三百六十度每度六十分約之得二十五度一十五分零五秒三十微衝合以外各段同用新法厯書最大之初均數為一十度三十四分二十秒(即一十度零十)(分度之五分七六六六)惟星正當衝合之時止用此均數加減若在衝合前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為一百四十八萬四千戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為三十七萬一千辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行三十一分二十六秒有餘即火星經度均輪心循本輪左旋自戊而己而庚每日亦行三十一分二十六秒有餘(微不及經度之行每年少)(一分零七秒)即自行引數次輪心則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行一度零二分五十二秒有餘為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最近癸或均輪心從本輪最髙戊向已行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最近癸厯壬辛行一周復至癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子弧之倍度)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙邊一百一十一萬三千(本輪半徑内減去均輪半徑之數)求得癸卯邊五十五萬六千五百卯丙邊九十六萬三千八百八十六以卯丙邊與丙甲本天半徑一千萬相加得一千零九十六萬三千八百八十六為卯甲邊以癸卯邊與丑癸通弦三十七萬一千相加(即均輪丑癸弧六十度之通弦故與均輪半徑等若非六)(十度則用比例法以半徑一千萬為一率均輪丑癸弧折半查正弦為二率均)(輪子癸半徑為三率得四率倍之即丑癸通弦也)得九十二萬七千五百為丑卯邊於是用甲丑卯直角三角形求得甲角四度五十分零八秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角即求得丑甲邊為次輪心距地心之數存之為後求次均之用)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自最近癸歴壬辛行三百度至巳從地心甲計之當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百二十度至未為四宫初度則次輪心從均輪最近癸厯壬辛行二百四十度至申從地心甲計之當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角六十度則癸角必三十度癸丙邊為一百一十一萬三千求得癸戌邊九十六萬三千八百八十六丙戌邊五十五萬六千五百以丙戌邊與丙甲本天半徑一千萬相減餘九百四十四萬三千五百為戌甲邊以癸戌邊與申癸通弦六十四萬二千五百九十相加(即均)(輪申癸弧二百四十度之通弦)得一百六十萬零六千四百七十六為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角九度三十九分一十六秒即酉丙弧為自行四宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥為八宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百二十度至子從地心甲計之當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫初度之初均數與四宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求次均數火星之次均數生於次輪與土木二星同但其次輪半徑有本天髙卑之差又有太陽髙卑之差髙則半徑大卑則半徑小無一定之數此則火星之所獨異也新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑十萬分之六萬五千八百以推次均數不合天行其後西人第谷等累年密測方知次輪半徑有髙卑之不同其法於太陽火星同在最卑時測得次輪最小之半徑為本天半徑千萬分之六百三十萬二千七百五十又於太陽在最卑火星在最髙時測得次輪半徑為本天半徑千萬分之六百五十六萬一千二百五十與最小之半徑相較餘二十五萬八千五百此本天髙卑之大差也又於火星在最卑太陽在最髙時測得次輪半徑為本天半徑千萬分之六百五十三萬七千七百五十與最小之半徑相較餘二十三萬五千此太陽髙卑之大差也既得此兩髙卑之差則次輪由髙及卑之各半徑皆可以比例而得之矣如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為一百四十八萬四千戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為三十七萬一千庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬辛癸為次輪全徑壬辛半徑之數隨時不同壬為最逺癸為最近(此逺近以距地心言)本輪心從本天冬至度右旋為經度均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自行度)次輪心從均輪最近辛右旋為倍引數星從次輪最逺壬右旋行距日之度(即本)(輪心距太陽之度)如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最近辛合伏之時星在次輪之最逺壬衝太陽之時星在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減若衝合以後星在次輪之左右而次均生矣如均輪心從最髙戊行三十度至子為自行一宫初度次輪心則從均輪最近辛行六十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角四度五十分零八秒(即寅)(丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬厯癸行三百度至卯從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲卯三角形求甲角(即辰寅弧)此形有丑角一百二十度(於壬)(癸卯弧三百度内減去壬癸半周餘癸卯弧即丑角)(度)本時太陽在最髙後六十度火星均輪心在最髙後三十度卯丑次輪半徑為六百七十二萬零一百八十四(於最小半徑六百三十萬零二千七)(百五十内加本天髙卑差二十四萬一千一百八十)(四又加太陽髙卑差一十七萬六千二百五十即得)(求差之法見後)有丑甲邊一千一百萬零三千零四十九(求丑)(甲邊法見前求初均數篇)求得甲角二十二度零三分二十七秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙弧四度五十分零八秒相加得辰丙弧二十六度五十三分三十五秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行三百三十度至己為自行十一宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行三百度至午星從次輪最逺壬行六十度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相加之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行實行之差及星距太陽度以推次輪半)(徑亦用丑甲卯三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百二十度至子為自行四宫初度次輪心則從均輪最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角九度三十九分一十六秒(即寅丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬行一百四十度至卯從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲卯三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角四十度(於半周内減去壬卯弧一)(百四十度餘卯癸弧即丑角度)本時太陽在最髙前三十度火星均輪心在最卑前六十度卯丑次輪半徑為六百五十八萬六千六百三十三(於最)(小半徑六百三十萬零二千七百五十内加本天髙)(卑差六萬四千六百二十五又加太陽髙卑差二十)(一萬九千二百五十八即得)有丑甲邊九百五十七萬九千一百六十九求得甲角四十三度零二分三十二秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙弧九度三十九分一十六秒相減餘辰丙弧三十三度二十三分一十六秒為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行二百四十度至己為自行八宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行一百二十度至午星從次輪最逺壬厯癸行二百二十度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相減所餘之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也求火星髙卑差法命火星本輪全徑為二千萬為一率本天髙卑大差二十五萬八千五百為二率火星自行距最卑之正矢為三率(火星自行距最卑過象限則為大矢以半徑與)(餘弦相加即得)得四率為所求本天髙卑差又以太陽本輪全徑為二千萬為一率太陽髙卑大差二十三萬五千為二率太陽自行距最卑之正矢為三率(太陽自行距最)(卑過象限則為大矢以半徑與餘弦相加即得)得四率為所求太陽髙卑差乃以次輪最小之半徑六百三十萬二千七百五十加所求本天髙卑差及太陽髙卑差即為本時次輪半徑也御製厯象考成上編卷十二
## 上編卷十三
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷十三五星歴理五(專論金星)金星平行度用金星距太陽前後極遠度求最髙及本輪均輪半徑求初均數求次均數金星平行度金星之平行經度(即本輪心行度)即太陽之平行經度蓋金星之本輪心即太陽之本輪心故其行度同也至其在次輪周每日之平行亦用前後兩測與土木二星同新法厯書載古測定七平年又三百六十四日千分日之六百六十七或二千九百一十九日又千分日之六百六十七金星行次輪五周(即會日五次退合亦五次)置中積二千九百一十九日又千分日之六百六十七為實星行次輪周數五為法除之得周率五百八十三日八十九刻九分零五秒四十五微三十六纖(即五百八十三日零十分日之九分三三四授時歴)(作五百八十三日九○二六)乃以每周三百六十度為實周率五百八十三日八十九刻九分零五秒四十五微三十六纖為法除之得三十六分五十九秒二十五微五十二纖一十六忽四十四芒為每日金星在次輪周之平行(一名)(伏見行)既得每日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得每時每分之平行以立表用金星距太陽前後極逺度求最髙及本輪均輪半徑測金星兩心差之法與土木火三星不同蓋土木火三星各有平行能與太陽衝故測三次衝日之度即可得兩心差及最髙所在金星即以太陽之平行為平行星繞太陽旋轉不得與太陽衝故必測其距太陽極逺之度先得最髙所在而後得兩心差其本輪均輪之半徑方可次第定焉其法於金星辰見時逐日測之取其距太陽極逺之度(星自合伏後距太陽漸逺至極逺又復漸)(近故須逐日測之方得其極逺之度也)夕見時亦逐日測之取其距太陽極逺之度但星距太陽極逺之度亦時時不同蓋本天有髙卑平行(即輪心)近最髙則距地逺而角小平行近最卑則距地近而角大必擇晨夕極逺度之相等者(如晨測距太陽四十七度夕測亦距四十七度)則其兩平行距髙卑左右之度亦等爰以兩平行所當宫度相加折半即最髙最卑線所當宫度然猶未能定其孰為最髙孰為最卑也乃再擇晨見時或夕見時距太陽極逺之度以相較若平行所當宫度近最髙其相距極逺之度較小近最卑其相距極逺之度較大既得最髙而兩心差可得矣(法見後)新法厯書載西人多録某於漢順帝陽嘉三年甲戌測得最髙在大梁宫二十五度兩心差為本天半徑十萬分之二千一百三十取其四分之三為本輪半徑四分之一為均輪半徑因其數與天行不合又改兩心差為本天半徑十萬分之四千一百四十八逮後西人第谷又於明萬厯十三年乙酉測得最髙在實沈宫二十九度一十六分三十九秒每年最髙行一分二十二秒五十七微定兩心差為本天半徑千萬分之三十二萬零八百一十四本輪半徑為二十三萬一千九百六十二(比四分之三小比三)(分之二大)均輪半徑為八萬八千八百五十二(比四分之一大比三)(分之一小)用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左求最髙之法用晨夕兩測取其平行實行之大差相等者用之假如第一次晨測得金星實行在娵訾宫八度二十三分四十七秒如甲太陽平行在降婁宫二十二度一十六分即金星之平行如乙甲乙弧四十三度五十二分一十三秒為平行實行之大差第二次夕測得金星實行在夀星宫二十五度三十分一十三秒如丙太陽平行在鶉尾宫一十一度三十八分即金星之平行如丁丁丙弧亦四十三度五十二分一十三秒為平行實行之大差兩測平行實行之大差既等則最髙最卑線必在兩平行宫度之中試取乙丁兩平行相距之弧折半於戊從戊過地心己至庚作戊庚線即為最髙最卑線而不同心天之心必在此線之上乃於戊庚線上任取辛點為心作壬癸子丑不同心天復從辛點作壬辛丑辛兩線與乙己丁巳平行即以壬丑兩點各為心作兩次輪切己甲線於寅切己丙線於卯第一次晨測時次輪心循不同心天行至壬以太陽平行計之當恒星天之乙(乙距戊之度與壬距辰之度等)故乙點為平行星循次輪周行至寅從地心己計之當恒星天之甲故甲點為實行甲乙相距之四十三度五十二分一十三秒即癸己寅角第二次夕測時次輪心循不同心天行至丑以太陽平行計之當恒星天之丁(丁距戊之度與丑距辰之度等)故丁點為平行星循次輪周行至卯從地心已計之當恒星天之丙故丙點為實行丁丙相距之四十三度五十二分一十三秒即子己卯角此癸己寅及子己卯兩角之大小因平行距最髙之逺近而殊蓋平行距最髙近則不同心天距地心之線長而角小平行距最髙逺則不同心天距地心之線短而角大也今兩已角既相等則癸巳與子巳距地心之兩線必等而乙點與丁點距最髙之度亦必等故以乙點之降婁宫二十二度一十六分與丁點之鶉尾宫一十一度三十八分相加折半得鶉首宫一度五十七分如戊其衝為星紀宫一度五十七分如庚得戊庚為最髙最卑之線也欲定其孰為最髙須再測之假如再用晨測得金星實行在星紀宫一十四度一十八分三十三秒如已太陽平行在娵訾宫初度如午巳午弧四十五度四十一分二十七秒為平行實行之大差試從辛點作辛未線與己午平行即以未點為心作次輪切己巳線於申次輪心循不同心天行至未以太陽平行計之當恒星天之午故午點為平行星循次輪周行至申從地心己計之當恒星天之已故已點為實行已午相距之四十五度四十一分二十七秒即酉己申角此前所測癸己寅角多一度四十九分一十四秒夫先測之平行乙點距鶉首宫戊點近而平行實行之差少是近最髙而差角小也後測之平行午點距鶉首宫戊點逺而平行實行之差多是逺最髙而差角大也然則鶉首宫戊點為最髙而星紀宫庚點為最卑可知矣求兩心差之法亦用兩測擇其平行度一當最髙一當最卑而距太陽極逺者用之假如太陽平行在鶉首宫一度五十七分正當金星最髙之點如戊於時測得金星實行為鶉火宫一十六度二十二分四十五秒如甲其平行實行之差為四十四度二十五分四十五秒即甲巳戊角又於太陽平行在星紀宫一度五十七分亦正當金星最卑之點如庚於時測得金星實行為大火宫一十三度四十分零四秒如乙其平行實行之差為四十八度一十六分五十六秒即乙己庚角乃以戊點為心切己甲線於丙庚點為心切己乙線於丁各作一金星次輪又從戊點至丙庚點至丁作兩半徑即成己丙戊己丁庚兩直角三角形用己丙戊直角三角形求戊己邊此形有丙直角有己角四十四度二十五分四十五秒命戊丙半徑為一○○○○○○○求得戊巳邊一四二八五一六三又用己丁庚直角三角形求己庚邊此形有丁直角有己角四十八度一十六分五十六秒命庚丁半徑為一○○○○○○○求得己庚邊一三三九七○七五以戊己與己庚相加得戊庚二七六八二二三八為本天全徑半之得戊辛或辛庚一三八四一一一九為本天半徑辛庚半徑内減去己庚一三三九七○七五餘辛巳四四四○四四為兩心差乃用比例法變先所得之本天半徑為同比例數以先所得之本天半徑一三八四一一一九與先所得之兩心差四四四○四四之比即同於今所設之本天半徑一○○○○○○○與今所得之兩心差之比而得三二○八一五為兩心差也求初均數金星之初均數授時歴亦名盈縮差止用一表不分盈縮其最大者二度一三六三二一三八以周天三百六十度每度六十分約之得二度零九分二十二秒零六微新法厯書最大之初均數為一度五十分一十五秒四十㣲(即一度零十分度之八分三七六八五二)惟星在次輪周之行度正當最逺最近二點之時止用此均數加減若在最逺最近前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為二十三萬一千九百六十二戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為八萬八千八百五十二辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心)(近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行五十九分零八秒有餘(與太陽之平行)(同)即金星經度均輪心循本輪左旋自戊而己而庚每日亦行五十九分零八秒有餘(微不及於經度之行每年少一分二十二秒五十七微)即自行引數次輪心則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行一度五十八分一十六秒有餘為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最近癸或均輪心從本輪最髙戊向己行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最近癸歴壬辛行一周復至癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子弧之倍度)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙邊一十四萬三十一百一十(本輪半徑内減去均輪半)(徑之數)求得癸卯邊七萬一千五百五十五卯丙邊一十二萬三千九百三十七以卯丙邊與丙甲本天半徑一千萬相加得一千零一十二萬三千九百三十七為卯甲邊以癸卯邊與丑癸通弦八萬八千八百五十二相加(即均輪丑癸弧六十度之)(通弦故與均輪半徑等若非六十度則用比例法以半徑一千萬為一率均輪)(丑癸弧折半察正弦為二率均輪子癸半徑為三率得四率倍之即丑癸通弦)(也)得一十六萬零四百零七為丑卯邊於是用甲丑卯直角三角形求得甲角五十四分三十秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角即求得丑甲邊為次輪心距地)(心之數存之為後求次均之用)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自最近癸厯壬辛行三百度至已從地心甲計之當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度)(至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度)(至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百二十度至未為四宫初度則次輪心從均輪最近癸厯壬辛行二百四十度至申從地心甲計之當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角六十度則癸角必三十度癸丙邊為一十四萬三千一百一十求得癸戌邊一十二萬三千九百三十七丙戌邊七萬一千五百五十五以丙戌邊與丙甲本天半徑一千萬相減餘九百九十二萬八千四百四十五為戌甲邊以癸戌邊與申癸通弦一十五萬三千八百九十六相加(即均輪申癸弧一百二十度之通弦)得二十七萬七千八百三十三為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角一度三十六分一十一秒即酉丙弧為自行四宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥為八宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百二十度至子從地心甲計之當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫初度之初均數與四宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫初度至五)(宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫初度至八)(宫末度)求次均數金星之次均數亦生於次輪但星在次輪周之行度土木火三星皆自最逺起算金星則自平逺起算蓋土木火三星之次輪徑線與地心參直其次輪周之最逺㸃有分定星在次輪周又行距日度最逺即為合伏最近即為退衝故從最逺起算金星之次輪徑線不與地心參直而與本輪髙卑線平行(從地心過本輪心之)(線)其徑線逺地心之端為平逺近地心之端為平近理與太陰次輪徑線與均輪徑線平行者同蓋太陰次輪之逺近以距本輪心言則與均輪徑線平行金星次輪之逺近以距地心言則與髙卑線平行故最逺㸃無定分而平逺㸃有定分又金星之本輪即以太陽本輪心為心星在次輪周自行伏見度其合伏退合亦不定在逺近二㸃故從平逺起算惟次輪心正當髙卑線上(即均輪心在最髙或最卑時)則平逺㸃與最逺㸃合最髙後半周則平逺差而東最卑後半周則平逺差而西此兩逺㸃之差即初均數然求次均數之法必以最逺㸃為起算之端故均輪心在最髙後半周初均數為減者則於伏見度内加初均數為星距次輪最逺之度(因其差而東也)均輪心在最卑後半周初均數為加者則於伏見度減去初均數為星距次輪最逺之度(因其差而西也)是金星在次輪周之行度雖自平逺起算而求次均數之法仍自最逺起算也新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑千萬分之七百五十萬九千八百其後西人第谷又改為本天半徑千萬分之七百二十二萬四千八百五十今從之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為二十三萬一千九百六十二戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為八萬八千八百五十二庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬辛癸為次輪全徑壬辛半徑為七百二十二萬四千八百五十壬為最逺癸為最近(此逺)(近以距地心言)因均輪心在最髙故平逺點與最逺點合而壬亦即為平逺癸亦即為平近本輪心從本天冬至度右旋為經度(即太陽平行度)均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自行度)次輪心從均輪最近辛右旋為倍引數星從次輪平逺點右旋行伏見度如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最近辛星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減過此二點則星在次輪周之左右而次均生矣如均輪心從最髙戊行六十度至子為自行二宫初度次輪心則從均輪最近辛行一百二十度至丑從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角一度三十四分四十九秒(即寅丙弧)為初均數卯為平逺辰為平近壬為最逺癸為最近其平逺距最逺之卯丑壬角亦一度三十四分四十九秒(即壬)(卯弧)與初均數丙甲寅角等如星從平逺卯行三百五十八度二十五分一十一秒正當最逺壬或從平逺卯行一百七十八度二十五分一十一秒正當最近癸則與次輪心丑同在一直線而無次均數若星從次輪平逺卯厯辰行三百二十度至已則於卯癸辰巳弧三百二十度加壬卯弧一度三十四分四十九秒(即初均數)得壬卯癸辰巳弧三百二十一度三十四分四十九秒為星距次輪最逺之度從地心甲計之當本天之午其寅甲午角即次均數乃用丑甲巳三角形求甲角(即午寅弧)此形有丑角一百四十一度三十四分四十九秒(於壬卯癸辰巳弧内減去)(壬卯癸半周即得)有己丑半徑七百二十二萬四千八百五十有丑甲邊一千零七萬五千三百八十七(求丑甲邊法見)(前求初均數篇)求得甲角一十五度五十五分二十七秒即午寅弧為次均數與初均數寅丙弧一度三十四分四十九秒相加(因初均寅點在平行)(丙點之後而次均午點又在寅點之後故相加)得午丙弧一十七度三十分一十六秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行三百度至未為自行十宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行二百四十度至申星從次輪平逺卯行四十度至酉則初均數丙甲戌角與丙甲寅角等次均數戌甲亥角與寅甲午角等兩角相加之丙甲亥角亦與丙甲午角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行實行之差及伏見度以推次)(輪半徑亦用丑甲巳三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百二十度至子為自行四宫初度次輪心則從均輪最近辛行二百四十度至丑從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角一度三十六分一十一秒(即寅丙弧)為初均數卯為平逺辰為平近壬為最逺癸為最近其平逺距最逺之卯丑壬角亦一度三十六分一十一秒(即壬卯弧)與初均數丙甲寅角等如星從平逺卯行三百五十八度二十三分四十九秒正當最逺壬或從平逺卯行一百七十八度二十三分四十九秒正當最近癸則與次輪心丑同在一直線而無次均數若星從次輪平逺卯行七十度至已則於卯巳弧七十度加壬卯弧一度三十六分一十一秒(即初均數)得壬卯巳弧七十一度三十六分一十一秒為星距次輪最逺之度從地心甲計之當本天之午其寅甲午角即次均數乃用丑甲巳三角形求甲角(即寅午弧)此形有丑角一百零八度二十三分四十九秒(於壬卯巳癸半周内減去壬卯)(巳弧即得)有己丑半徑七百二十二萬四千八百五十有丑甲邊九百九十三萬一千五百一十求得甲角二十九度一十八分三十六秒即午寅弧為次均數與初均數寅丙弧一度三十六分一十一秒相減(因初均寅)(點在平行丙點之後而次均午點在平行丙點之前)(故相減)餘丙午弧二十七度四十二分二十五秒為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也若均輪心從最髙戊歴巳行二百四十度至未為自行八宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行一百二十度至申星從次輪平逺卯行二百九十度至酉則初均數丙甲戌角與丙甲寅角等次均數戌甲亥角與寅甲午角等兩角相減所餘之丙甲亥角亦與丙甲午角等但為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也御製歴象考成上編卷十三
## 上編卷十四
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十四五星厯理六(專論水星)水星平行度用水星距太陽前後極逺度求最髙及本輪均輪半徑求初均數求次均數水星平行度水星之平行經度(即本輪心行度)亦即太陽之平行經度其在次輪周每日之平行亦用前後兩測與金星同新法厯書載古測定四十六平年又十二日十分日之四或一萬六千八百零二日又十分日之四水星行次輪一百四十五周(即會日一百四十五次退合亦一百四十五次)置中積一萬六千八百零二日又十分日之四為實星行次輪周數一百四十五為法除之得周率一百一十五日八十四刻五分一十二秒五十一微一十五纖五十忽二十四芒(即一百一)(十五日零十分日之八分七八六二授時歴作一百一十五日八七六○) 乃以每周三百六十度為實周率一十一十五日八十四刻五分一十二秒五十一微一十五纖五十忽二十四芒為法除之得三度零六分二十四秒零六微五十九纖二十九忽二十二芒為每日水星在次輪周之平行(一名伏見行)既得毎日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得毎時每分之平行以立表用水星距太陽前後極逺度求最髙及本輪均輪半徑測水星兩心差之法與金星同蓋其行旋繞太陽不得與太陽衝故亦須測其距太陽前後極逺之度先得最髙所在而後得兩心差也新法厯書載西人多録某於漢順帝永和三年戊寅測得最髙在壽星宫一十度一十五分兩心差為本天半徑十萬分之九千四百零七取其六分之五為本輪半徑六分之一為均輪半徑逮後西人第谷又於明萬厯十三年乙酉測得最髙在析木宫初度一十分一十七秒每年最髙行一分四十五秒一十四微定兩心差為本天半徑千萬分之六十八萬二千一百五十五本輪半徑為五十六萬七千五百二十三(比六分之五微小)均輪半徑為一十一萬四千六百三十二(比六分之一微大)用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左求最髙之法用晨夕兩測取其平行實行之大差相等者用之假如第一次晨測得水星實行在壽星宫一十度一十五分一十四秒如甲太陽平行在壽星宫二十九度三十二分即水星之平行如乙甲乙弧一十九度一十六分四十六秒為平行實行之大差第二次夕測得水星實行在星紀宫二十七度一十二分四十六秒如丙太陽平行在星紀宫七度五十六分即水星之平行如丁丁丙弧亦一十九度一十六分四十六秒為平行實行之大差兩測平行實行之大差既等則最髙最卑線必在兩平行宫度之中試取乙丁兩平行相距之弧折半於戊從戊過地心己至庚作戊庚線即為最髙最卑線而不同心天之心必在此線之上乃於戊庚線上任取辛點為心作壬癸子丑不同心天復從辛點作壬辛丑辛兩線與乙巳丁巳平行即以壬丑兩點各為心作兩次輪切己甲線於寅切己丙線於卯第一次晨測時次輪心循不同心天行至壬以太陽平行計之當恒星天之乙(乙距戊之度與壬距辰之度等)故乙點為平行星循次輪周行至寅從地心己計之當恒星天之甲故甲點為實行甲乙相距之一十九度一十六分四十六秒即癸巳寅角第二次夕測時次輪心循不同心天行至丑以太陽平行計之當恒星天之丁(丁距戊之度與丑距辰之度等)故丁點為平行星循次輪周行至卯從地心己計之當恒星天之丙故丙點為實行丁丙相距之一十九度一十六分四十六秒即子己卯角此癸巳寅及子己卯兩角之大小因平行距最髙之逺近而殊盖平行距最髙近則不同心天距地心之線長而角小平行距最髙逺則不同心天距地心之線短而角大也今兩已角既相等則癸巳與子巳距地心之兩線必等而乙點與丁點距最髙之度亦必等故以乙點之夀星宫二十九度三十二分與丁點之星紀宫七度五十六分相加折半得析木宫三度四十四分如戊其衝為實沈宫三度四十四分如庚得戊庚為最髙最卑之線也欲定其孰為最髙須再測之假如再用晨測得水星實行在鶉首宫一十六度四十二分五十四秒如已太陽平行在鶉火宫六度三十分如午巳午弧一十九度四十七分零六秒為平行實行之大差試從辛點作辛未線與巳午平行即以未點為心作次輪切己巳線於申次輪心循不同心天行至未以太陽平行計之當恒星天之午故午點為平行星循次輪周行至申從地心己計之當恒星天之巳故巳點為實行巳午相距之一十九度四十七分零六秒即酉己申角比前所測癸巳寅角多三十分二十秒夫先測之平行乙點距析木宫戊點近而平行實行之差少是近最髙而差角小也後測之平行午點距析木宫戊點逺而平行實行之差多是逺最髙而差角大也然則析木宫戊點為最髙而實沈宫庚點為最卑可知矣求兩心差之法亦用兩測擇其平行度一當最髙一當最卑而距太陽極逺者用之假如太陽平行在析木宫三度正當水星最髙之點如戊於時測得水星實行為析木宫二十三度四十八分三十二秒如甲其平行實行之差為二十度四十八分三十二秒即甲巳戊角又於太陽平行在實沈宫三度亦正當水星最卑之點如庚於時測得水星實行為大梁宫八度五十八分如乙其平行實行之差為二十四度零二分即乙己庚角乃以戊點為心切己甲線於丙庚點為心切己乙線於丁各作一水星次輪又從戊點至丙庚點至丁作兩半徑即成己丙戊己丁庚兩直角三角形用己丙戊直角三角形求戊己邊此形有丙直角有己角二十度四十八分三十二秒命戊丙半徑為一○○○○○○○求得戊巳邊二八一四九○三二又用己丁庚直角三角形求己庚邊此形有丁直角有己角二十四度零二分命庚丁半徑為一○○○○○○○求得己庚邊二四五五三八五○以戊己與己庚相加得戊庚五二七○二八八二為本天全徑半之得戊辛或辛庚二六三五一四四一為本天半徑辛庚半徑内減去己庚三四五五三八五○餘辛巳一七九七五九一為兩心差乃用比例法變先所得之本天半徑為同比例數以先所得之本天半徑二六三五一四四一與先所得之兩心差一七九七五九一之比即同於今所設之本天半徑一○○○○○○○與今所得之兩心差之比而得六八二一六○為兩心差也求初均數水星之初均數授時厯亦名盈縮差止用一表不分盈縮其最大者二度二八六一四八四七以周天三百六十度每度六十分約之得二度一十五分一十一秒五十一微新法厯書最大之初均數為三度三十四分二十秒二十三微(即三度零十分度之五分七二三二八七)惟星在次輪周之行度正當最逺最近二點之時止用此均數加減若在最逺最近前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為五十六萬七千五百二十三戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為一十一萬四千六百三十二辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行五十九分零八秒有餘(與太)(陽之平行同)即水星經度均輪心循本輪左旋自戊而己而庚每月亦行五十九分零八秒有餘(微不及於經度之行每年少一分四十五秒一十四)(微)即自行引數次輪心則循均輪右旋自辛而壬而癸每日行二度五十七分有餘為三倍引數也(土木火金四星之次輪心皆起均輪)(最近行倍引數惟水星則起均輪最逺行三倍引數)如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最逺辛或均輪心從本輪最髙戊向己行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最逺辛歴壬癸行一周至辛復自辛歴壬行半周至最近癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最逺辛行九十度至丑(辛丑弧為戊子弧之三倍)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙子丑三角形求丙角及丑丙邊此形有子角九十度(當丑癸弧)有子丙本輪半徑五十六萬七千五百二十三有丑子均輪半徑一十一萬四千六百三十二求得丙角一十一度二十五分一十秒丑丙邊五十七萬八千九百八十五以丙角一十一度二十五分一十秒與子丙庚角一百五十度相加(當子庚弧為自行度減半周之餘)得丑丙庚角一百六十一度二十五分一十秒於是用丑丙甲三角形求甲角此形有丙角一百六十一度二十五分一十秒有丑丙邊五十七萬八千九百八十五有丙甲本天半徑一千萬求得甲角一度零七秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求)(得初均角即求得丑甲邊為次輪心距地心之數存之為後求次均之用)若均輪心從最髙戊向己歴庚行三百三十度至卯為十一宫初度則次輪心從均輪最逺辛行二周復自最逺辛歴壬癸行二百七十度至辰從地心甲計之當本天之己巳丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百三十五度至午為四宫一十五度則次輪心從均輪最逺辛歴壬癸行一周復行四十五度至未從地心甲計之當本天之申申丙弧為實行不及平行之度乃用丙午未三角形求丙角及丙未邊此形有午角一百三十五度(當癸未弧)有丙午本輪半徑五十六萬七千五百二十三有午未均輪半徑一十一萬四千六百三十二求得丙角七度零七分二十五秒丙未邊六十五萬三千六百三十四以丙角七度零七分二十五秒與午丙庚角四十五度相加(當午庚弧為自行度減半周之餘)得未丙庚角五十二度零七分二十五秒於是用未丙甲三角形求甲角此形有丙角五十二度零七分二十五秒有丙未邊六十五萬三千六百三十四有丙甲本天半徑一千萬求得甲角三度零四分三十六秒即申丙弧為自行四宫一十五度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向已歴庚行二百二十五度至酉為七宫一十五度則次輪心從均輪最逺辛行一周復自辛歴壬癸行三百一十五度至戌從地心甲計之當本天之亥亥丙弧與申丙弧等故自行七宫一十五度之初均數與四宫一十五度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求次均數求水星次均數之理與金星同新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑十萬分之三萬五千七百二十其後西人第谷又改為本天半徑千萬分之三百八十五萬今從之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為五十六萬七千五百二十三戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為一十一萬四千六百三十二庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬庚癸為次輪全徑壬庚半徑為三百八十五萬壬為最逺癸為最近(此逺近以距地心言)因均輪心在最髙故平逺點與最逺點合而壬亦即為平逺癸亦即為平近本輪心從本天冬至度右旋為經度(即太陽平行度)均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自)(行度)次輪心從均輪最逺庚右旋為三倍引數星從次輪平遠點右旋行伏見度如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最逺庚星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減過此二點則星在次輪周之左右而次均生矣如均輪心從最髙戊行六十度至子為自行二宫初度次輪心則從均輪最逺庚行一百八十度至辛從地心甲計之當本天之丑其丙甲丑角二度一十一分四十七秒(即丑丙弧)為初均數寅為平逺卯為平近壬為最逺癸為最近其平逺距最逺之寅辛壬角亦二度一十一分四十七秒(即壬)(寅弧)與初均數丙甲丑角等加星從平逺寅行三百五十七度四十八分一十三秒正當最逺壬或從平逺寅行一百七十七度四十八分一十三秒正當最近癸則與次輪心辛同在一直線而無次均數若星從次輪平逺寅歴卯行三百三十度至辰則於寅癸卯辰弧三百三十度加壬寅弧二度一十一分四十七秒(即初均數)得壬寅癸卯辰弧三百三十二度一十一分四十七秒為星距次輪最逺之度從地心甲計之當本天之己其丑甲巳角即次均數乃用辛甲辰三角形求甲角(即己丑弧)此形有辛角一百五十二度一十一分四十七秒(於壬寅癸卯辰弧内減去)(壬寅癸半周即得)有辰辛半徑三百八十五萬有辛甲邊一千零二十三萬三千九百六十五(求辛甲邊法見前求初均數篇)求得甲角七度三十分零二秒即己丑弧為次均數與初均數丑丙弧二度一十一分四十七秒相加(因初均丑)(點在平行丙點之後而次均己點又在丑點之後故)(相加)得己丙弧九度四十一分四十九秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊歴己行三百度至午為自行十宫初度次輪心則從均輪最逺庚行二周復行一百八十度至辛星從次輪平逺寅行三十度至未則初均數丙甲申角與丙甲丑角等次均數申甲酉角與丑甲巳角等兩角相加之丙甲酉角亦與丙甲巳角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行實行之差及伏見度以)(推次輪半徑亦用辛甲辰三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百一十度至子為自行三宫二十度次輪心則從均輪最逺庚行三百三十度至丑從地心甲計之當本天之辰其丙甲辰角三度三十四分二十六秒(即辰丙弧)為初均數寅為平逺卯為平近壬為最逺癸為最近其平逺距最逺之寅丑壬角亦三度三十四分二十六秒(即壬寅弧)與初均數丙甲辰角等如星從平逺寅行三百五十六度二十五分三十四秒正當最逺壬或從平逺寅行一百七十六度二十五分三十四秒正當最近癸則與次輪心丑同在一直線而無次均數若星從次輪平逺寅行二百度至巳則於寅癸卯巳弧二百度加壬寅弧三度三十四分二十六秒(即初均數)得壬寅癸卯巳弧二百零三度三十四分二十六秒為星距次輪最逺之度從地心甲計之當本天之午其辰甲午角即次均數乃用丑甲巳三角形求甲角(即午辰弧)此形有丑角二十三度三十四分二十六秒(於壬)(寅癸卯巳弧内減去壬寅癸半周即得)有己丑半徑三百八十五萬有丑甲邊九百七十三萬七千零一十九求得甲角一十三度五十五分四十四秒即午辰弧為次均數與初均數辰丙弧三度三十四分二十六秒相加得午丙弧一十七度三十分一十秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊歴己行二百五十度至未為自行八宫十度次輪心則從均輪最遠庚行二周復行三十度至申星從次輪平遠寅行一百六十度至酉則初均數丙甲戌角與丙甲辰角等次均數戌甲亥角與辰甲午角等兩角相加之丙甲亥角亦與丙甲午角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也御製厯象考成上編卷十四
## 上編卷十五
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十五五星厯理七(五星合論)五星交周土木火三星緯度金水二星緯度五星伏見五星視差五星交周五星交周名義雖與太隂同而其行之順逆實相反也(太隂之交逆行五星之交順行)然而本道與黄道交周土木火三星有之而金水二星則無何也土木火三星各有本道與黄道斜交其自黄道南過黄道北之㸃亦為正交自黄道北過黄道南之㸃亦為中交自交而後便生距度此本道與黄道相距所生之緯度也若夫金水二星則皆以黄道為本道因無二道之交㸃故亦無二道相距之緯度也其所以又有緯度者由於次輪之面不與本道平行星行次輪周凡離本道者皆生緯度此又非獨金水二星為然即土木火三星亦然也是故土木火三星本道與黄道相交之兩㸃仍名之曰交周自兩交㸃過地心作徑線名之曰交線自兩交之中過地心作徑線名之曰大距線其次輪面之東西徑線恒當本道之平面而與交線平行者曰樞線次輪面之南北徑線恒與本道斜交而與黄道平行者曰次輪大距線其樞線之兩端恒與本道相當遂成兩交㸃今名之曰次交㸃而金水二星次輪面之東西徑線亦曰樞線南北徑線亦曰次輪大距線其樞線之兩端亦與本道(卽黄道)相當今亦名之曰次交㸃而與樞線平行之本道徑線仍名之曰交線交線之兩端仍名之曰交周(金水二星本無交周因次輪最逺距次輪)(兩交㸃之度即次輪心距交線兩端之度故仍名曰交周)又土木火三星之次輪面不與本道平行而金水二星之次輪面亦不與本道平行此五星之所同次輪心行至本道之兩交㸃則樞線與交線合次輪心行至本道兩交之中星又行至次輪兩交㸃之中則緯度極大故五星之交周㸃即緯度起算之端也新法厯書載崇禎元年戊辰土星正交在鶉首宫二十度四十一分五十二秒中交在星紀宫二十度四十一分五十二秒每年交行四十一秒五十三微本天與黄道相交之角為二度三十一分木星正交在鶉首宫七度零九分零八秒中交在星紀宫七度零九分零八秒每年交行一十三秒三十六微本天與黄道相交之角為一度一十九分四十秒火星正交在大梁宫一十七度零二分二十九秒中交在大火宫一十七度零二分二十九秒每年交行五十二秒五十七微本天與黄道相交之角為一度五十分金星正交恒距最髙一十六度在實沈宫一十四度一十六分零六秒中交在析木宫一十四度一十六分零六秒每年交行一分二十二秒五十七微水星正交恒與最卑同在實沈宫一度二十五分四十二秒(舊作中交)中交在析木宫一度二十五分四十二秒(舊作正交)每年交行一分四十五秒一十四微至於金水二星之次輪面與黄道相交之角則未載其數今按其緯度表推之金星次輪面交黄道之角為三度二十九分水星次輪心在正交當黄道北之角為五度零五分一十秒當黄道南之角為六度三十一分零二秒次輪心在中交當黄道北之角為六度一十六分五十秒當黄道南之角為四度五十五分三十二秒次輪心在兩交之中當黄道南北之角皆五度四十分夫五星之次輪面斜交本道其交角宜相等而輪心南北之角為交錯之角其度尤宜相等惟水星獨不等或因水星近日逼於陽光低昻不定亦未可知然其體甚微且不數見於其應見時謹候之隨見即𨼆無從測騐以得其確準也土木火三星交周如甲為地心乙丙丁戊為黄道乙巳丁庚為星本道丙巳戊庚為過二極經圏星本道之乙巳丁半周在黄道北丁庚乙半周在黄道南乙為正交丁為中交己丙與戊庚為大距當乙丁二交角土星為二度三十一分木星為一度一十九分四十秒火星為一度五十分乙丁為交線己庚為大距線辛壬癸子為次輪其面與本道斜交(本道上有本輪均輪而次)(輪心在均輪周然本輪均輪皆與本道成一平面自)(地心作視線與本道參直故止将次輪畫於本道以)(便觀覽)而與黄道平行辛壬癸半周在本道南(低於本道之下)癸子辛半周在本道北(昻於)(本道之上)其辛癸徑線恒當本道之平面而與乙丁交線平行今名之曰樞線樞線之辛癸兩端自地心甲視之恒當本道故與本道成兩交點今名之曰次交點辛為次輪正交癸為次輪中交其壬子徑線恒與本道面斜交(壬子線本在兩交之中因與本)(道斜交非平行面故作旁視之形以顯交角)若與本道面平行作丑寅線則壬己丑及寅巳子諸角即次輪面與本道面斜交之角與二道之交角等其壬子二點距本道最大故壬子線今名之曰次輪大距線次輪心在本道乙丁兩交點則無本道距黄道之緯度次輪心在己或在庚則本道距黄道之緯度極大星在次輪辛癸兩交點則無星距本道之緯度星在壬或在子則星距本道之緯度極大然星距次輪兩交之度實由次輪心距木道兩交之度而知盖土木火三星行次輪周皆自合伏起算(即次輪最逺)而合伏距次輪正交之度即與次輪心距本道正交之度等試自地心過次輪心作夘辰逺近線夘為合伏時星當本道視線點辰為退衝時星當本道視線點次輪心行至本道正交乙則合伏所當本道視線夘點與次輪正交辛點合次輪心行至本道中交丁則合伏所當本道視線夘點與次輪中交癸點合次輪心行至本道大距己距正交乙九十度則合伏所當本道視線夘點距次輪正交辛點亦九十度次輪心行至本道大距庚距中交丁九十度則合伏所當本道視線夘點距次輪中交癸點亦九十度若次輪心距本道正交乙行四十五度至己則合伏所當本道視線夘點距次輪正交辛點亦四十五度是知次輪心距本道正交之度即合伏距次輪正交之度以星距合伏之度與次輪心距本道正交之度相加即得星距次輪正交之度故本道之乙丁兩交點為緯度起算之端也金水二星交周如甲為地心乙丙丁戊為星本道即黄道丙戊為過黄極經圈本道與黄道既為一體故無二道之交亦無相距之緯辛壬癸子為次輪與黄道斜交辛壬癸半周在黄道北(昻於黄道之上)癸子辛半周在黄道南(低於黄道之下)其辛癸徑線恒當黄道之平面任次輪心在黄道之何處其辛癸徑線皆相為平行今亦名之曰樞線樞線之辛癸兩端自地心甲視之恒當黄道故與黄道成兩交點今亦名之曰次交點辛為次輪正交癸為次輪中交(因辛點為自黄道南過黄道北之點故名正交)(癸點為自黄道北過黄道南之點故名中交與土木)(火三星之本道兩交點相應與次交點相反)其壬子徑線恒與黄道面斜交(壬子線本在兩交之中因與黄道斜交非平行)(面故作旁視之形以顯交角)若與黄道面平行作丑寅線則丑丙壬及寅丙子諸角即次輪面與黄道面斜交之角其壬子二點距黄道最大故壬子線今亦名之曰次輪大距線星在次輪辛癸兩交點則無星距黄道之緯度星在壬或在子則星距黄道之緯度極大然金水二星行次輪周自平逺起算而求次均與緯度皆自最逺起算其距次交點之度無由而知故與樞線平行作乙丁徑線亦名曰交線又自地心過次輪心作夘辰逺近線夘為最逺時星當本道視線點辰為最近時星當本道視線點次輪心行至交線乙則最逺所當本道視線夘點與次輪正交辛點合次輪心行至交線丁則最逺所當本道視線夘點與次輪中交癸點合次輪心距交線乙行九十度至丙則最逺所當本道視線夘點距次輪正交辛點亦九十度次輪心距交線丁行九十度至戊則最逺所當本道視線夘點距次輪中交癸點亦九十度若次輪心距交線乙行四十五度至己則最逺所當本道視線夘點距次輪正交辛點亦四十五度故乙點亦命為正交下點亦命為中交丙戊二點亦命為大距所以紀次輪最逺距次交點之度而為緯度起算之端其實無本道之交周點也土木火三星緯度土木火三星緯度之原有四一由本道與黄道斜交本輪心循本道右旋均輪次輪亦隨之而右旋次輪心雖不在本道然當本道之平面自地心計之與在本道等若次輪心適當二道之交則無緯度距交漸逺則緯度漸大今名之曰初緯乃初經度所當本道距黄道之緯度即次輪心距黄道之緯度也一由星循次輪周行其經度既因次均數之加減而不同於初經則緯度亦不同於初緯今名之曰實緯乃實經度所當本道距黄道之緯度也一由次輪面與本道斜交而與黄道平行半周在本道南半周在本道北又生緯度今名之曰次緯乃星距本道之緯度也一由緯度之角生於地心而次緯之角却生於次輪心必求得次緯當地心之角與實緯相加減方為星距黄道之緯度(實緯在黄道北而次緯又在本道北或實緯在黄道南而次緯又在本道南則)(相加若實緯在黄道北而次緯却在本道南實緯在黄道南而次緯却在本道北則相減)今名之曰視緯乃自地心作視線所得之真緯度也然如此立法則甚繁且實緯與黄道成直角而次緯却與本道成直角亦難於加減入算况次輪面與黄道平行星距地心之逺近雖不等而距黄道之逺近必與次輪心距黄道之逺近等夫既有次輪心距黄道之弧即可得星距黄道之邊再有星距地心之邊即可得視緯之角又不必以實緯與次緯相加減而得之也故今立法惟以次輪心距本道正交之度(初經度内減正交度)(即得)求得初緯即以次輪心距地心線與初緯之正弦為比例而得星距黄道線又以星距合伏之度(即次輪最)(逺)用三角形法求得星當黄道視線㸃距地心之逺與星距黄道線為比例而得視緯度要之初緯度小星在合伏前後則距地心逺而視緯度愈小初緯度大星又在退衝前後則距地心近而視緯度愈大也新法厯書載西人第谷測得次輪心在兩交之中星又在次輪最近其視緯極大(兩交之中為二道之大距次輪心在此其初緯)(極大星又在次輪最近其距地心之線極短故視緯尤大)土星北緯為二度四十八分南緯為二度四十九分木星北緯為一度三十八分南緯為一度四十分火星北緯為四度三十一分南緯為六度四十七分(本輪有髙卑則次輪心距地有逺近逺則緯小近則)(緯大因次輪心在本道之北半周當最髙南半周當最卑故南緯大於北緯也)如圖甲為地心乙丙丁戊為黄道乙巳丁庚為星本道丙巳戊庚為過二極經圈星本道之乙巳丁半周在黄道北丁庚乙半周在黄道南乙為正交丁為中交辛壬癸子為次輪次輪心所當宫度為初經度如次輪心行至正交乙或中交丁則無初緯度次輪心距本道正交乙行九十度至己或距本道中交丁行九十度至庚則己丙或庚戊為初緯度即大距度若次輪心距本道正交乙行四十五度至己則己年為初緯度當己甲午角其法以乙巳九十度之正弦與己丙大距度正弦之比即同於乙巳距交四十五度之正弦與巳午距緯度正弦之比也(此即正弧三角形有黄赤交角)(有黄道求距緯之法盖乙角即如黄赤交角乙巳即)(如黄道乙午即如赤道己午即如距緯也)又如次輪心距本道正交乙行九十度至己星行至次輪中交癸當本道之未則未為實經度未申為實緯度當未甲申角其法亦以丁巳九十度之正弦與己丙大距度正弦之比即同於丁未距交度之正弦與未申距緯度正弦之比也(與求初緯法同)又如次輪心距本道正交乙行九十度至己星合伏時所當本道視線夘距次輪正交辛亦九十度其實經度仍當本道之己則己甲丙角為初緯度(即己丙大距度)亦即實緯度然次輪面與本道斜交自地心計之星雖與夘辰逺近線參直而星實在壬低於夘點之下壬巳夘角為次緯度壬酉線為星距本道視線之逺其當地心之角為己甲壬角與實緯己甲丙角相減餘壬甲丙角乃為視緯度也又如次輪心距本道正交乙行九十度至己星退衝時則當本道視線辰其實經度仍當本道之己則己甲丙角為初緯度(即己丙大)(距度)亦即實緯度然次輪面與本道斜交自地心計之星雖與夘辰逺近線參直而星實在子昻於辰點之上子己辰角為次緯度子戌線為星距本道視線之逺其當地心之角為子甲巳角與實緯己甲丙角相加得子甲丙角乃為視緯度也今立求視緯法先求初緯即求視緯而不用求實緯及次緯焉盖次輪面與黄道平行星距黄道視線之逺近必與次輪心距黄道之逺近等如次輪心行至本道正交乙或中交丁其壬子次輪大距線正當黄道自地心視之則辛壬癸子次輪面與壬子次輪大距線合任星在次輪周之何處無初緯亦無視緯如次輪心行至本道大距己或本道大距庚其壬子次輪大距線與丙戊黄道徑線平行而辛壬癸子次輪面亦與壬子大距線平行任星在次輪周之何處其距黄道視線之逺近皆與輪心距黄道之逺近等惟求得星當黄道視線點距地心之逺與星距黄道之逺近為比例即得視緯之角其法甚便也如次輪心距本道正交乙行九十度至己則己甲丙角為初緯(即己丙大距度)星在合伏壬求視緯則以本天半徑與初緯己丙弧正弦之比即同於己甲次輪心距地心與己亥之比(求次輪心距地)(心見前求初均數篇)而得己亥與壬乾等為星距黄道視線之逺又以本天半徑與初緯己丙弧餘弦之比即同於己甲次輪心距地心與亥甲之比而得亥甲其乾亥一段即與壬巳次輪半徑等以乾亥與亥甲相加得乾甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以乾甲與壬乾之比即同於半徑全數與壬甲乾角正切之比而得壬甲乾角為星在合伏壬之視緯度也如星在退衝子則星距黄道視線之逺為子坎仍與己亥等而亥坎亦與己子次輪半徑等以亥坎與亥甲相減餘坎甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以坎甲與子坎之比即同於半徑全數與子甲坎角正切之比而得子甲坎角為星在退衝子之視緯度也如次輪心距本道正交乙行九十度至己則己甲丙角為初緯(即己丙大距度)星距合伏壬行六十度至艮其距黄道視線之逺為艮震與己亥等今所求之視緯即艮甲震角艮甲為星距地心之逺震甲為星當黄道視線點距地心之逺艮巽為艮壬弧六十度之正弦與震離等巽己為艮壬弧六十度之餘弦與離亥等而㢲離亦與己亥等故以半徑全數與六十度正弦之比即同於艮己次輪半徑與艮巽次輪六十度正弦之比而得艮巽又以半徑全數與六十度餘弦之比即同於艮己次輪半徑與巽己次輪六十度餘弦之比而得巽己又以半徑全數與初緯己丙弧餘弦之比即同於己甲次輪心距地心與亥甲之比而得亥甲其離亥一段原與巽己等以離亥與亥甲相加得離甲乃用震離甲勾股形求震甲離甲為股震離為勾求得震甲弦為星當黄道視線點距地心之逺於是以震甲與艮震之比即同於半徑全數與艮甲震角正切之比而得艮甲震角為星距合伏六十度艮之視緯度也如次輪心距本道正交乙行四十五度至己則先求得己甲午角為初緯(即己午距)(緯度)又與甲午黄道徑線平行作坤兌線即知合伏時星在坤低於夘辰逺近線之下退衝時星在兌昻於夘辰逺近線之上如星在合伏坤則以本天半徑與初緯己午弧正弦之比即同於己甲次輪心距地心與己亥之比而得己亥與坤乾等為星距黄道視線之逺又以本天半徑與初緯己午弧餘弦之比即同於己甲次輪心距地心與亥甲之比而得亥甲其乾亥一段即與坤己次輪半徑等以乾亥與亥甲相加得乾甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以乾甲與坤乾之比即同於半徑全數與坤甲乾角正切之比而得坤甲乾角為星在合伏坤之視緯度也如星在退衝兌則星距黄道視線之逺為兌坎仍與己亥等而亥坎亦與巳兌次輪半徑等以亥坎與亥甲相減餘坎甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以坎甲與兌坎之比即同於半徑全數與兌甲坎角正切之比而得兌甲坎角為星在退衝兌之視緯度也如次輪心距本道正交乙行四十五度至己則己甲午角為初緯星過退衝兌行七十度至艮其距黄道視線之逺為艮震與己亥等今所求之視緯即艮甲震角艮甲為星距地心之逺震甲為星當黄道視線點距地心之逺艮巽為艮兌弧七十度之正弦與震離等巽己為艮兌弧七十度之餘弦與離亥等而巽離亦與己亥等故以半徑全數與七十度正弦之比即同於艮己次輪半徑與艮巽次輪七十度正弦之比而得艮巽又以半徑全數與七十度餘弦之比即同於艮己次輪半徑與巽己次輪七十度餘弦之比而得巽己又以半徑全數與初緯己午弧餘弦之比即同於己甲次輪心距地心與亥甲之比而得亥甲其離亥一段原與巽己等以離亥與亥甲相減餘離甲乃用震離甲勾股形求震甲離甲為股震離為勾求得震甲弦為星當黄道視線點距地心之逺於是以震甲與艮震之比即同於半徑全數與艮甲震角正切之比而得艮甲震角為星過退衝七十度艮之視緯度也又求合伏退衝視緯㨗法不用求星距黄道視線及星當黄道視線點距地心之逺即以初緯度與次輪心距地心及次輪半徑為三角形算之如次輪心在本道大距己星在合伏壬求視緯則用壬巳甲三角形此形有己甲次輪心距地心有壬巳次輪半徑有己角為初緯壬巳夘角之外角(壬巳夘角與己甲丙角等)求得甲壬己角與壬甲丙角等即星在合伏壬之視緯度也如星在退衝子求視緯則用子巳甲三角形此形有己甲次輪心距地心有己子次輪半徑有己角為初緯角(子巳甲角與己甲丙角等)求得己子甲角與半周相減餘甲子丑角與子甲丙角等即星在退衝子之視緯度也金水二星緯度金水二星緯度生於次輪本無初緯實緯盖因其本道即黄道本輪心循黄道右旋均輪次輪亦隨之而右旋次輪心雖不在黄道然當黄道之平面自地心計之與在黄道等故無初緯星循次輪周行其實行所當本道經度亦即黄道度故無實緯也其次輪與黄道斜交半周在南半周在北乃生緯度今亦名之曰次緯次緯當地心之角即星距黄道之緯度今亦名之曰視緯今立法先以星距次輪正交之度(以星距次)(輪最逺度與次輪心距黄道正交度相加即得)求得次緯即以次輪半徑與次緯之正弦為比例而得星距黄道線又以星距次輪最逺之度用三角形法求得星當黄道視線點距地心之逺與星距黄道線為比例而得視緯度要之次緯度小星在最逺前後則距地心逺而視緯度愈小次緯度大星又在最近前後則距地心近而視緯度愈大也新法厯書載西人第谷測得次輪心在兩交之中星在次輪最近其緯度極大(次輪心在兩交之中則最近即)(次輪之大距故緯度極大)金星為九度零二分水星為三度三十三分(金水二星本道之交點皆近最髙則兩交之中皆近中距故次輪心距地心之逺近皆等而南)(北之緯度亦等)如圖甲為地心乙丙丁戊為星本道即黄道丙戊為過黄極經圈辛壬癸子為次輪次輪心所當宫度為初經度即黄道度故無初緯度也如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星行至次輪正交辛當本道之己則己為實經度亦即黄道度故亦無實緯度也又如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星在次輪最逺時所當本道視線夘距次輪正交辛亦九十度然次輪面與本道斜交自地心計之星雖與夘辰逺近線參直而星實在壬昻於夘點之上壬丙夘角為次緯度壬午線為星距黄道視線之逺其當地心之角為壬甲午角即視緯度也又如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星在次輪最近時則當本道視線辰然次輪面與本道斜交自地心計之星雖與夘辰逺近線參直而星實在子低於辰點之下子丙辰角為次緯度子未線為星距黄道視線之逺其當地心之角為子甲未角即視緯度也今立求視緯法先求次緯如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星在次輪最逺壬則次輪面與本道斜交之壬丙夘角即次緯以半徑全數與壬丙夘角正弦之比即同於壬丙次輪半徑與壬午之比而得壬午為星距黄道視線之逺又以半徑全數與壬丙夘角餘弦之比即同於壬丙次輪半徑與午丙之比而得午丙與丙甲次輪心距地心相加得午甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以午甲與壬午之比即同於半徑全數與壬甲午角正切之比而得壬甲午角即星在次輪最逺壬之視緯度也如星在次輪最近子則次輪面與本道斜交之子丙辰角為次緯以半徑全數與子丙辰角正弦之比即同於子丙次輪半徑與子未之比而得子未為星距黄道視線之逺又以半徑全數與子丙辰角餘弦之比即同於子丙次輪半徑與未丙之比而得未丙與丙甲次輪心距地心相減餘未甲為星當黄道視線點距地心之逺仍以未甲與子未之比即同於半徑全數與子甲未角正切之比而得子甲未角為星在次輪最近子之視緯度也如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星距次輪最逺壬行三十度至申則以星距最逺壬申弧三十度與最逺距次輪正交辛壬弧九十度相加(辛壬弧與乙丙)(弧等)得辛申弧一百二十度為星距次輪正交度與半周相減餘申癸弧六十度為星距次輪中交度先求次緯以半徑全數與次輪面斜交本道之壬丙夘角正弦之比即同於距交申癸弧之正弦與次緯申丙酉角正弦之比而得申丙酉角為次緯度復以半徑全數與次緯申丙酉角正弦之比即同於申丙次輪半徑與申酉之比而得申酉為星距黄道視線之逺今所求之視緯即申甲酉角申甲為星距地心之逺酉甲為星當黄道視線點距地心之逺申戌為壬申弧三十度之正弦與酉亥等戌丙為壬申弧三十度之餘弦而戌亥亦與申酉等故以半徑全數與三十度正弦之比即同於申丙次輪半徑與申戌次輪三十度正弦之比而得申戌又以半徑全數與三十度餘弦之比即同於申丙次輪半徑與戌丙次輪三十度餘弦之比而得戌丙又以半徑全數與次輪逺近線斜交本道逺近線之壬丙夘角餘弦之比(因次輪最逺距)(次交點九十度故次輪面與本道斜交之壬丙夘角)(亦即為次輪逺近線斜交本道逺近線之角過此則)(先求次輪逺近線斜交本道逺近線之角詳見後)即同於戌丙與亥丙之比而得亥丙與丙甲次輪心距地心相加得亥甲乃用酉亥甲勾股形求酉甲亥甲為股酉亥為勾求得酉甲弦為星當黄道視線點距地心之逺於是以酉甲與申酉之比即同於半徑全數與申甲酉角正切之比而得申甲酉角為星距次輪最逺三十度申之視緯度也如次輪心距本道正交乙行一百五十度至乾則次輪最逺所當本道視線夘點距次輪正交辛亦一百五十度而距次輪中交癸即三十度然次輪面與本道斜交最逺時星在坎昻於夘辰逺近線之上最近時星在艮低於夘辰逺近線之下如星在最逺坎則先以半徑全數與次輪面斜交本道之壬乾丑角正弦之比即同於最逺距交坎癸弧之正弦與最逺距黄道視線之正弦之比而得坎乾夘角為次輪逺近線與本道逺近線斜交之角即次緯度以半徑全數與坎乾夘角正弦之比即同於坎乾次輪半徑與坎震之比而得坎震為星距黄道視線之逺又以半徑全數與坎乾夘角餘弦之比即同於坎乾次輪半徑與震乾之比而得震乾與乾甲次輪心距地心相加得震甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以震甲與坎震之比即同於半徑全數與坎甲震角正切之比而得坎甲震角即星在次輪最逺坎之視緯度也如星在次輪最近艮則次輪逺近線與本道逺近線斜交之艮乾辰角即次緯度以半徑全數與艮乾辰角正弦之比即同於艮乾次輪半徑與艮巽之比而得艮巽為星距黄道視線之逺又以半徑全數與艮乾辰角餘弦之比即同於艮乾次輪半徑與巽乾之比而得巽乾與乾甲次輪心距地心相減餘巽甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以巽甲與艮巽之比即同於半徑全數與艮甲巽角正切之比而得艮甲巽角為星在次輪最近艮之視緯度也如次輪心距本道正交乙行一百五十度至乾星距次輪最逺坎行一百五十五度過最近艮一十五度至離則以星距最逺坎艮離弧一百九十五度與最逺距次輪正交辛壬坎弧一百五十度相加(辛壬坎弧與乙丙乾弧等)得三百四十五度為星距次輪正交度而距次輪正交前即一十五度先求次緯以半徑全數與次輪面斜交本道之子乾寅角正弦之比即同於距交離辛弧之正弦與次緯離乾坤角正弦之比而得離乾坤角為次緯度復以半徑全數與次緯離乾坤角正弦之比即同於離乾次輪半徑與離坤之比而得離坤為星距黄道視線之逺今所求之視緯即離甲坤角離甲為星距地心之逺坤甲為星當黄道視線㸃距地心之逺離兌為艮離弧一十五度之正弦畧與坤亥等兌乾為艮離弧一十五度之餘弦而離坤亦畧與兌亥等故以半徑全數與一十五度正弦之比即同於離乾次輪半徑與離兌次輪一十五度正弦之比而得離兌又以半徑全數與一十五度餘弦之比即同於離乾次輪半徑與兌乾次輪一十五度餘弦之比而得兌乾又以半徑全數與次輪逺近線斜交本道逺近線之艮乾辰角餘弦之比即同於兌乾與亥乾之比而得亥乾與乾甲次輪心距地心相減餘亥甲乃用坤亥甲勾股形求坤甲亥甲為股坤亥為勾求得坤甲弦為星當黄道視線㸃距地心之逺於是以坤甲與離坤之比即同於半徑全數與離甲坤角正切之比而得離甲坤角為距次輪最逺一百九十五度離之視緯度也又求最逺最近視緯㨗法不用求星距黄道視線及星當黄道視線㸃距地心之逺即以次緯度與次輪心距地心及次輪半徑為三角形算之如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星在次輪最逺壬求視緯則用壬丙甲三角形此形有丙甲次輪心距地心有壬丙次輪半徑有丙角為次緯壬丙夘角之外角求得丙甲壬角即星在次輪最逺壬之視緯度也如星在次輪最近子求視緯則用子丙甲三角形此形有丙甲次輪心距地心有丙子次輪半徑有丙角為次緯角求得子甲丙角即星在次輪最近子之視緯度也五星伏見五星近太陽則伏逺太陽則見而伏見遲速之故有三一由星體之大小一由黄道之斜正一由緯度之南北如星體大黄道正升正降緯度在北則速見遲伏星體小黄道斜升斜降緯度在南則遲見速伏要皆視太陽在地平下之度為準新法厯書載西人多錄某測得金星當地平太陽在地平下五度即可見木星水星當地平太陽在地平下一十度方可見土星當地平太陽在地平下一十一度方可見火星當地平太陽在地平下一十一度三十分方可見盖五星之體金星最大木水二星次之土星又次之火星最小星體大則太陽在地平下之度少即可見星體小則太陽在地平下之度多方可見夫太陽在地平下之度既不等則五星距太陽之度亦不等而伏見之遲速因之不等以此定為伏見之限加以黄道經緯度推之則五星在黄道之何宫度距太陽若干度則見若干度則伏皆可得而知矣如圖甲乙丙丁為過黄極經圈甲為天頂乙丁為地平戊為黄極己庚辛為黄道庚為星當地平又正當黄道無緯度壬為太陽癸壬為太陽距地平之度即伏見之限如庚為金星則癸壬為五度庚為木星水星則癸壬為一十度庚為土星則癸壬為一十一度庚為火星則癸壬為一十一度三十分既知癸壬伏見限度則用庚癸壬正弧三角形此形有癸壬弧有癸直角有庚角為黄道交地平之角(知庚㸃為黄道之某宫某度即)(可求黄道與地平相交之角法詳交食厯理求黄平)(象限篇)求得庚壬弧即星在黄道上距太陽伏見之限星距太陽之黄道度大於庚壬弧則見小於庚壬弧則伏癸壬弧五星既各不等則庚壬弧亦不等此因星體之大小而為伏見之遲速者也又癸壬伏見限五星各有定數而庚角則時時不同設黄道斜升斜降如子丑則庚角小庚角小則庚壬弧轉大設黄道正升正降如寅夘則庚角大庚角大則庚壬弧轉小此因黄道之斜正而為伏見之遲速者也又設星在黄道北如辰其距緯為辰庚其經度仍在庚正當地平而星己在地平之上則庚壬弧不足以定伏見之限試作辰己距等圈交地平於己從黄極戊過己作經圈截黄道於午則午壬弧為星距太陽伏見之限乃用庚巳午正弧三角形此形有午直角有庚角為黄道交地平之角有己午距緯與辰庚等求得庚午弧與庚壬弧相減餘午壬弧為伏見之限盖星在辰其距太陽之黄道度大於午壬弧則見小於午壬弧則伏也設星在黄道南如未其距緯為庚未其經度仍在庚正當地平而星尚在地平之下則庚壬弧亦不足以定伏見之限試作未申距等圈交地平於申從黄極戊至申作經圈截黄道於酉則酉壬弧為星距太陽伏見之限乃用庚申酉正弧三角形此形有酉直角有庚角為黄道交地平之角有酉申距緯與庚未等求得酉庚弧與庚壬弧相加得酉壬弧為伏見之限盖星在未其距太陽之黄道度大於酉壬弧則見小於酉壬弧則伏也此因緯度之南北而為伏見之遲速者也五星視差五星視差生於地半徑其測算之法並與太陽太隂同土木二星距地極逺地半徑與本天半徑之比例土星為一與一萬零九百五十三木星為一與五千九百一十八其最大之視差俱不滿一分可以不計火星在最髙之比例為一與三千一百二十三其最大之視差為一分六秒在中距之比例為一與一千七百四十四其最大之視差為一分五十八秒在最卑之比例為一與四百一十其最大之視差為八分二十三秒金星在最髙之比例為一與一千九百八十三其最大之視差為一分四十四秒在中距與太陽同在最卑之比例為一與三百零一其最大之視差為一十一分二十五秒水星在最髙之此例為一與一千六百三十三其最大之視差為二分零六秒在中距與太陽同在最卑之北例為一與六百五十一其最大之視差為五分一十七秒盖五星距地之逺近不等故視差之大小亦不等今亦約為最髙中距最卑三限用火金水三星距地心與地半徑之比例數逐度各求地半徑差以立表御製歴象考成上編卷十五
## 上編卷十六
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十六恒星厯理恒星總論恒星東行測恒星法三恒星比測考經度推恒星赤道經緯度七政宿度中星時刻恒星出入地平恒星總論恒星之名見於春秋而四仲中星及斗牽牛織女參昴箕畢大火農祥龍尾鳥帑天駟天黿之屬散見於尚書易詩左傳國語至周禮春官馮相氏掌二十八星之位而禮記月令太戴禮夏小正稍具諸星見伏之節葢古者敬天勤民因時出政皆以星為紀秦炬之後羲和舊術無復可稽其傳者惟史記天官書而所載簡畧後漢張衡云中外之官常明者百有二十四可名者三百二十為星二千五百而其書不傳至三國時太史令陳卓始列巫咸甘石三家所著星圖總二百八十三官一千四百六十四星隋丹元子作步天歌叙三垣二十八宿共一千四百六十七星為觀象之津梁然尚未有各星經緯度數自唐宋而後諸厯家以儀象考測始有各星入宿去極度數視古加密矣新法厯書恒星圖表共星一千二百六十六分為六等第一等星一十七第二等星五十七第三等星一百八十五第四等星三百八十九第五等星三百二十三第六等星二百九十五外無名不入等者四百五十九康熙壬子年欽天監新修儀象志恒星亦分六等而其數又與新法厯書微異第一等星一十六第二等星六十八第三等星一百零八第四等星五百一十二第五等星三百四十二第六等星七百三十二總計一千八百七十八葢觀星者以目之所能辨因其形體聨綴成象而命之名其微茫昬暗者多不可考故各家星官之學有古少而今多者亦有古多而今少者而惟列宿及諸大星則中外如一轍也今擇其近黄道諸星及星體之大者為推凌犯中星之用其黄道經緯則依儀象志加嵗差推算為厯元康熙二十三年甲子黄道經緯度云恒星東行恒星行即古嵗差也古厯俱謂恒星不動而黄道西移今謂黄道不動而恒星東行葢使恒星不動而黄道西移則恒星之黄道經緯度宜毎嵗不同而赤道經緯度宜終古不變今測恒星之黄道經度毎嵗東行而緯度不變至於赤道經度則逐嵗不同而緯度尤甚自星紀至鶉首六宮星在赤道南者緯度古多而今漸少在赤道北者緯度古少而今漸多自鶉首至星紀六宫星在赤道南者緯度古少而今漸多在赤道北者緯度古多而今漸少凡距赤道二十三度半以内之星在赤道北者皆可以過赤道南在赤道南者亦可以過赤道北則恒星循黄道東行而非黄道之西移明矣新法厯書載西人第谷以前恒星東行之數或云百年而行一度或云七十餘年而行一度或云六十餘年而行一度隨時修改訖無定數與古厯累改嵗差之意同迨至第谷殫精推測方定恒星毎嵗東行五十一秒約七十年有餘而行一度而元郭守敬所定亦為近之至今一百四十餘年驗之於天雖無差忒但星行微渺必厯多年其差乃見然則第谷所定之數亦未可泥為定率惟隨時測驗依天行以推其數可也測恒星法恒星東行既依黄道則測定一年之黄道經緯度而逐年之黄道經緯度皆視此矣然欲測諸恒星必以一星作距而欲測黄道經緯度必以赤道經緯度為宗葢諸曜隨天左旋惟赤極不動其經緯既與黄道相當又與地平相應時刻之早晚於是乎紀太陽之躔次於是乎辨非赤道則黄道無從而稽也其法擇恒星之大者測其方中時刻及正午髙弧乃以本時太陽赤道經度與太陽距午正赤道經度相加即星之赤道經度又以正午髙弧與赤道髙度相減即星之赤道緯度既得赤道經緯度則用弧三角法推得黄道經緯度既得一星之黄赤經緯度即以此一星作距或用黄道赤道諸儀測其相距之經緯或用地平象限諸儀測其偏度及髙弧而諸星之黄赤經緯度皆可得矣要之測恒星之法先測一星為準而此星經度必取定於太陽倘於時刻差四分則於天行差一度故須㕘互考驗方得密合或用太陰及太白比測者然皆有視差不如用太陽之確準也設如亥初初刻測得大角星方中正午髙弧七十度四十九分四十秒本時太陽赤道經度為實沈宫一十五度四十九分一十秒求大角星黄赤經緯度如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為北極戊巳為赤道庚辛為黄道壬為大角星當赤道之戊戊乙為京師赤道髙五十度零五分壬乙為星髙弧七十度四十九分四十秒癸為太陽當赤道之子戊子為亥初初刻距午正赤道經度以亥初初刻距午正之九小時變作一百三十五度自子㸃實沈宫一十五度四十九分一十秒計之得戊㸃為大火宫初度四十九分一十秒即大角星赤道經度又以壬乙七十度四十九分四十秒與戊乙五十度零五分相減餘壬戊二十度四十四分四十秒即大角星距赤道北緯度乃用弧三角法推之即得大角星黄道經度為夀星宫二十度二十二分三十秒緯度距黄道北三十一度零三分也(法與斜弧三角形設例第七則同)設如以大角星作距用黄道儀測心宿第二星如圖甲乙為南北極丙丁為黄極軸甲丙乙丁為過二極經圈戊巳為地平庚辛為黄道庚為冬至辛為夏至壬為黄道心壬癸為黄道心緯表子㸃為夀星宫二十度二十二分三十秒即大角星黄道經度丑㸃為其對衝即降婁宫二十度二十二分三十秒於丑㸃安表耳對丙丁黄極軸見大角星如寅當黄道之子同時於丙卯丁辰黄道經圈辰㸃安表耳對壬癸緯表見心宿第二星如卯當黄道之己乃視己㸃為析木宫五度五十五分三十秒即心宿第二星黄道經度又視辰午四度二十七分與卯巳等即心宿第二星距黄道南之緯度也設如用赤道儀測之如圖甲乙為赤極軸甲丙乙丁為子午圈丙丁為地平戊巳為赤道庚為赤道心庚辛為赤道心緯表壬為心宿第二星正到子午圈上於癸㸃安表耳對庚辛緯表見心宿第二星當赤道之戊距赤道如戊壬同時以甲子乙丑經圈對大角星寅則當赤道之子乃視子戊相距三十二度二十分五十秒與大角星赤道經度大火宫初度四十九分一十秒相加(因在距星東故加若)(在距星西則減)得析木宫三度一十分即心宿第二星赤道經度又視戊壬二十五度四十三分二十秒即心宿第二星距赤道南之緯度既得赤道經緯度用弧三角法推之亦得心宿第二星黄道經度為析木宫五度五十五分三十秒緯度在黄道南四度二十七分也又隨時測恒星法設如子正初刻用地平儀測得室宿第一星地平經度偏西六十一度三十四分五十秒同時用象限儀測得髙弧五十二度五十三分四十五秒本時太陽赤道經度為夀星宫初度五十二分三十六秒正午赤道經度為降婁宫初度五十二分三十六秒求室宿第一星黄赤經緯度如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為北極戊巳為赤道庚為室宿第一星當赤道之辛乙壬為地平經度偏西六十一度三十四分五十秒即壬甲乙角庚壬為髙弧五十二度五十三分四十五秒庚辛為赤道北緯度即丁庚之餘戊辛為距午正赤道經度即丁角乃用甲丁庚斜弧三角形求丁庚弧及丁角此形有甲丁弧五十度零五分為京師北極距天頂之度有甲庚弧三十七度零六分一十五秒為庚壬之餘有甲角一百一十八度二十五分一十秒為壬甲乙角之外角求得丁庚弧七十六度一十六分一十四秒與丁辛九十度相減餘庚辛一十三度四十三分四十六秒即室宿第一星距赤道北緯度又求得丁角三十度當戊辛弧即距午正赤道經度與戊㸃降婁宫初度五十二分三十六秒相減(因星在午西故)(減若星在午東則加)得辛㸃為娵訾宫初度五十二分三十六秒即室宿第一星赤道經度既有赤道經緯度則用弧三角法推之即得室宿第一星黄道經度為娵訾宫一十九度三十九分三十秒緯度在黄道北一十九度二十六分也此法或用月食時刻或用中星時刻隨時測量不必方中其所得太陽距正午赤道經度較準而所得之地平經緯度亦簡而易用距星測他星倣此三恒星比測考經度前用太陽經度推測各星經度尚恐所測未準又用左右兩星比測中一星以考驗之彼此分秒相符方為密合如原測得參宿第一星赤道經度實沈宫一十九度三十分南河第二星赤道經度鶉首宫一十八度零二分星宿第一星赤道經度鶉火宫一十八度三十一分今用赤道儀先測得參宿第一星與南河第二星相距二十八度三十二分以加參宿第一星赤道經度實沈宫一十九度三十分得南河第二星赤道經度為鶉首宫一十八度零二分又測得南河第二星與星宿第一星相距三十度二十九分以減星宿第一星赤道經度鶉火宫一十八度三十一分亦得南河第二星赤道經度為鶉首宫一十八度零二分彼此參互考驗其數相同方知其不誤也推恒星赤道經緯度恒星赤道經緯度逐嵗不同難以列表儀象志用加分算法固簡捷而理則未精葢二分之後黄道度多赤道度少二至之後黄道度少赤道度多恒星既依黄道東行則升度差亦有増減况黄道與赤道斜交夏至後赤道北之星漸差而近冬至後赤道北之星漸差而逺緯度既差則經度亦必有差今立法以厯元甲子年各星黄道經度加嵗差分得本年各星黄道經度然後用弧三角法推本年各星赤道經緯度設例如左設厯元甲子年河鼓第二星黄道經度為星紀宫二十七度一十分黄道北緯度二十九度二十二分求赤道經緯度如圖甲為赤極乙為黄極甲乙相距二十三度二十九分三十秒丙丁為赤道戊己為黄道戊為冬至己為夏至庚為河鼓第二星當黄道之辛當赤道之壬戊辛為黄道經度距冬至二十七度一十分即戊乙辛角庚辛為星距黄道北二十九度二十二分丙壬為距冬至赤道經度即丙甲壬角庚壬為赤道北緯度即甲庚之餘故用甲乙庚斜弧三角形求甲庚弧及甲角此形有甲乙邊二十三度二十九分三十秒有乙角一百五十二度五十分為戊乙辛角之外角有乙庚弧六十度三十八分為庚辛之餘求得甲庚弧八十一度五十四分五十六秒與九十度相減餘八度零五分零四秒即赤道北緯度又求得甲角二十三度四十一分五十八秒即距冬至赤道經度為星紀宫二十三度四十一分五十八秒也若用加分算依儀象志内載康熙十一年壬子河鼓第二星赤道經度為星紀宫二十三度三十七分緯度在赤道北八度九分自癸丑年起算每年經度加四十六秒一十二微緯度加七秒四十八微至康熙二十三年甲子計十二年經度應加九分一十四秒二十四微緯度應加一分三十三秒三十六微則甲子年河鼓第二星赤道經度為星紀宮二十三度四十六分一十四秒二十四微緯度在赤道北八度一十分三十三秒三十六微較細推所得之數經度多四分一十六秒二十四微緯度多五分二十九秒三十六微十二年之間雖所差無多然而積久則著也七政宿度日月五星皆有宿度古以十二宫定於二十八宿故宿度逐嵗不同者經度亦因而不同今以二十八宿厯於十二宫故宿度逐嵗有差而經度終古不變其法以嵗差五十一秒按嵗積之與各宿第一星黄道經度相加為本年黄道宿鈐乃於七政黄道經度内減去相當黄道宿度餘即七政黄道宿度葢七政恒星皆宗黄道故宿度亦以黄道推也至於日月交食則并用赤道宿因其闗於天行最著故於推算獨詳然各宿赤道經緯度逐嵗不同須按推恒星赤道經度法求得本年各宿第一星赤道經度為本年赤道宿鈐乃於太陽太陰赤道經度内減去相當赤道宿度餘即太陽太陰赤道宿度若夫測量中星每以大星作距儀象志載康熙壬子年二十八宿距星及諸大星赤道經緯度并每嵗經緯加減分為求赤道宿度及測量中星之用其加減分所差無多而各星赤道經緯度則以渾儀比測與推算多不合今用弧三角法推得厯元甲子年二十八宿及諸大星赤道經緯度并每嵗經緯加減分附恒星黄道經緯度表後以為推步之捷徑云中星時刻厯法最重中星有中星可以知時刻有時刻亦可以知中星中星與時刻相符則恒星之經度可稽太陽之躔次可驗而太陰與五星皆於是取徵焉中星求時刻者以中星赤道經度(即本時正午赤道經度)與本日太陽赤道經度相減餘數變時自午正後起算即得時刻時刻求中星者以本時太陽赤道經度與本時太陽距午正後赤道經度相加即得本時正午赤道經度視本年某星赤道經度與正午赤道經度相合即為某星方中若星之赤道經度小於正午赤道經度即為某星偏西大於正午赤道經度即為某星偏東也設心宿第二星康熙六十年赤道經度為析木宫三度一十分夏至日太陽赤道經度為鶉首宫初度求其方中之時刻如圖甲乙丙丁為子午圈乙丁為地平戊為北極甲丙為赤道己庚為黄道辛為心宿第二星當赤道之甲為析木宫三度一十分即正午赤道經度壬為太陽當赤道之癸為鶉首宫初度則於正午甲㸃析木宫三度一十分内減癸㸃太陽赤道經度鶉首宫初度餘甲癸弧五宫三度一十分變時得十小時一十二分四十秒自甲㸃午正初刻起算得亥正初刻一十二分四十秒即心宿第二星方中之時刻也如以時刻求中星則以本時太陽距正午十小時一十二分四十秒變赤道度得五宫三度一十分與本時太陽赤道經度鶉首宫初度相加得析木宫三度一十分為本時正午赤道經度與本年心宿第二星赤道經度相合即為心宿第二星方中也設本日心宿第二星偏西二度十五分求時刻則赤道經度偏西如甲子乃以子甲二度五十分與甲㸃析木宫三度一十分相加(因偏)(西故加若偏東則減)得子㸃為析木宫六度即正午赤道經度内減癸㸃太陽赤道經度鶉首宫初度餘子癸弧五宫六度變時得十小時二十四分自子㸃午正初刻起算得亥正一刻九分即心宿第二星偏西二度五十分之時刻也如以時刻求中星則以本時太陽距正午十小時二十四分變赤道度得五宫六度與本時太陽赤道經度鶉首宫初度相加得析木宫六度為本時正午赤道經度内減本年心宿第二星赤道經度析木宮三度一十分(取本年恒星赤道經度相近者用之)餘二度五十分即為心宿第二星偏西二度五十分也恒星出入地平恒星隨宗動天東出西入旋轉有常因節氣有冬夏晝夜有永短人居有南北故所見恒星出入地平之時刻因時各異隨地不同也夫逐時皆有出入地平之恒星逐星皆有出入地平之時刻可以測候而得亦可以推步而知其法用本地北極髙度及本星赤道經緯度求得本星與赤道同出入地平之度乃與本時太陽赤道經度相減即得本星出入地平之時刻也設如京師北極髙三十九度五十五分角宿第一星康熙六十年赤道經度為夀星宫一十七度四十分距赤道南緯度九度三十九分一十秒清明時太陽赤道經度為降婁宫一十五度求其出入地平之時刻則先求本星與赤道同出入地平之度如圖甲乙丙丁為子午圈乙丁為地平戊為北極戊丁為京師北極髙三十九度五十五分甲丙為赤道甲乙為京師赤道髙五十度零五分己為赤道出入地平之度即卯正酉正之位庚為角宿第一星當赤道之辛為夀星宫一十七度四十分庚辛為距赤道南緯度九度三十九分一十秒辛巳為星出入地平在卯後酉前分(星在赤道南為卯後酉前分星在赤道北)(為卯前酉後分與太陽出入地平之理同)乃用已辛庚正弧三角形求辛巳弧此形有辛直角有已角五十度零五分有庚辛弧九度三十九分一十秒求得辛巳弧八度一十分五十一秒以辛巳弧與辛㸃夀星宫一十七度四十分相加得夀星宫二十五度五十分五十一秒為星出地平時卯正赤道度(因辛)(巳弧為卯後分故加若為卯前分則減)又以辛巳弧與辛㸃夀星宫一十七度四十分相減得夀星宫九度二十九分零九秒為星入地平時酉正赤道度(因辛巳弧為酉前分故減若為酉後分則)(加)既得星出入地平時卯正酉正赤道度則於星出地平時卯正赤道度夀星宫二十五度五十分五十一秒内減本日太陽赤道經度降婁宫一十五度(不及)(減者加十二宫減之)餘六宫一十度五十分五十一秒變時得一十二小時四十三分二十三秒自卯正後計之為酉正二刻十三分二十三秒即角宿第一星出地平之時刻又於星入地平時酉正赤道度夀星宫九度二十九分零九秒内減本日太陽赤道經度降婁宫一十五度餘五宫二十四度二十九分零九秒變時得一十一小時三十七分五十七秒自酉正後計之為卯初二刻七分五十七秒即角宿第一星入地平之時刻也御製歴象考成上編卷十六
## 下編目錄
欽定四庫全書御製厯象考成下編目錄明時正度卷一日躔厯法卷二月離厯法卷三月食厯法卷四日食厯法卷五土星厯法卷六木星厯法卷七火星厯法卷八金星厯法卷九水星厯法卷十恒星厯法
## 下編卷一
欽定四庫全書卸製厯象考成下編卷一日躔厯法推日躔用數推日躔法用表推日躔法推節氣時刻法推節氣用時法推各省節氣時刻法推日出入晝夜時刻法定氣推平氣法平氣推定氣法平氣日率推日躔用數康熈二十三年甲子天正冬至為厯元(天正冬至者嵗前冬至即)(癸亥年十一月冬至也)周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒葢七政諸行自度以下皆以六十)(遞析須將度分皆化為秒數微纎忽芒則以六十與一百為比例收為秒之小餘然後便於入算故)(周天度數亦化為秒數則諸曜之行方與天行相應也)周日一萬分(一日二十四時刻則為九十六分則為一千四百四十秒則為八萬六千四百)(法各不同故將一日命為一萬分然後便於入算如有時刻欲通為分數則以一千四百四十分為)(一率所有時刻化分為二率一萬分為三率求得四率即所通之分數如有分數求時刻則以一萬)(分為一率所有之分數為二率一千四百四十分為三率求得四率即時刻之分數乃以六十分收)(為一時十五分收為一刻不滿十五者為分自單位以下則以一百與六十為比例得秒再比例得)(微命時之法初時為子正一時為丑初二時為丑正三時為寅初四時為寅正以次順數二十三時)(為夜子初滿二十四時則去之復為次日子正也)周嵗三百六十五日二四二一八七五(周嵗三百六十五日五時)(三刻三分四十五秒將時刻分秒用周日一萬分通之得二千四百二十一分小餘八七五即嵗實)(也)紀法六十(紀法者自甲子至癸亥之日數其法初日起甲子一日為乙丑二日為丙寅以次順)(數十日為甲戌二十日為甲申三十日為甲午四十日為甲辰五十日為甲寅至五十九日為癸亥)(滿六十日則去之復為甲子即旬周也)宿法二十八(宿法者自角至軫之宿數其法初日起角一日為亢以次順數至二十七日為)(軫滿二十八日則去之復為角也)太陰每日平行三千五百四十八秒小餘三三○五一六九(太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒以秒法)(通之即得)最卑每嵗平行六十一秒小餘一六六六六(最卑每嵗平行)(一分零二秒一十微以秒法通之即得)最卑每日平行十分秒之一又六七四六九(最卑每嵗平行)(六十一秒小餘一六六六六以用嵗三百六十五日二四二一八七五除之即得如以微纎命之則)(為一十微零二纎五十三忽一十八芒)太陽本天半徑一千萬太陽本輪半徑二十六萬八千八百一十二太陽均輪半徑八萬九千六百零四氣應七日六五六三七四九二六(氣應者厯元甲子年天正平冬至距)(甲子日子正初刻之日分乃辛未日申初三刻也葢自甲子日子正初刻起算至庚午日夜子初三)(刻末共得七日又自辛未日子正初刻至申初三刻以周日一萬分計之得六千五百六十三分小)(餘七四九二六乃當時平氣之應上考往古則減下推將來則加皆以此為根也○按康熙五十六)(年丁酉二月乙未夜子初初刻一分零七秒零三微太陽本輪心交戌宫初度為平春分以紀法初)(日起甲子周日一萬分命之得三十一日九千五百九十一分小餘○九三○一加六十日減周嵗)(四分之一九十一日三千一百零五分小餘四六八七五得初日六千四百八十五分小餘六二四)(二六為丁酉年天正平冬至自丁酉年上朔至甲子年共三十四年減一年餘三十三年為積年與)(周嵗三百六十五日二四二一八七五相乗得一萬二千零五十二日九九二一八七五為中積分)(減丁酉年天正平冬至初日六四八五六二四二六餘一萬二千零五十二日三四三六二五 七)(四為通積分其日滿紀法六十去之餘五十二日三四三六二五○七四轉與紀法六十相減餘七)(日六五六三七四九二六即甲子年天正平冬至氣應也)宿應五日六五六三七四九二六(宿應者厯元甲子年天正平冬至距)(角宿值日子正初刻之日分乃尾宿值日申初三刻也宿止論日不論分今並帶分數者葢子正為)(二日之交前後雖差數分即差一日亦必差一宿故宿應亦帶分數從子正起算也)最卑應七度一十分一十一秒一十微(最卑應者厯元甲子年天)(正平冬至次日子正初刻最卑過冬至之度分也葢厯元甲子年天正平冬至太陽本輪心正躔丑)(宫初度而均輪心未及本輪最卑㸃七度餘太陽未及均輪最近㸃一十四度餘必待本輪心行過)(冬至七度餘而均輪心方行到本輪最卑㸃太陽方行到均輪最近㸃平行以實行乃合為一線而)(為盈縮起算之端故此七度餘為當時最卑過冬至之應上考往古則減最卑每嵗之行下推將來)(則加最卑每嵗之行推本年則加最卑每日之行皆以此為根也○按康熙五十六年丁酉測得中)(距過秋分七度四十四分三十六秒四十八微其年秋分後丙午日己正一刻一十三分四十九秒)(太陽過中距距天正冬至次日乙丑子正初刻計二百八十一日四千三百六十六分小餘七八以)(此日分與最卑每日行十分秒之一又六七四六九相乗得四十七秒零八微為自冬至次日子正)(初刻至過中距之最卑行度與中距過秋分之度相減餘七度四十三分四十九秒四十微為丁酉)(年天正冬至次日子正初刻最卑過冬至之度又丁酉距厯元甲子積三十三年以三十三年與最)(卑每嵗平行六十一秒小餘一六六六六相乗得三十三分三十八秒三十微為自甲子年至丁酉)(年之最卑行度與丁酉年最卑過冬至七度四十三分四十九秒四十微相減餘七度一十分一十)(一秒一十微即甲子年天正冬至次日子正初刻最卑過冬至之度分也)推日躔法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年(積年者乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之年數因本年)(初交天正冬至尚在嵗前故減一年如甲子至癸亥計六十年而癸亥初交天正冬至止五十九年也下)(推將來則順推上考往古則逆溯其法皆同)求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分(中積分者乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之日分故以積年)(與周嵗日分相乗即得也)求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分(通積分者)(乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至前甲子日子正初刻之日分故下推將來則置中積分)(加氣應上考往古則置中積分減氣應也)求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分自初日甲子起算得天正冬至干支以一千四百四十分通其小餘得天正冬至時分秒(天正)(冬至者乃所求本年天正冬至距冬至前甲子日子正初刻之日分故置通積分滿紀法去之餘為天正)(冬至日分若上考往古則其所餘為距冬至後甲子日子正初刻之日分故轉與紀法六十相減方為天)(正冬至日分也)求年根以周日一萬分為一率太陽每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九為二率以天正冬至分(不用)(日)與周日一萬分相減餘為三率求得四率為秒以分收之得年根(年根者乃所求本年天正冬至次日子正初刻太陽距冬至之平行經度)(也天正冬至分乃冬至距本日子正初刻後之分數與周日一萬分相減餘為冬至距次日子正初刻前)(之分數故與每日之平行為比例得次日子正初刻太陽距冬至之平行經度也)求紀日以天正冬至干支加一日得紀日(紀日者乃所求本年天正冬至次日)(之干支也既有天正冬至干支可以不用紀日因用表推算起於年根而不用天正冬至若無紀日則無)(以定干支且日數自紀日干支起初日故並用之)求值宿置中積分加宿應五日六五六三七四九二六為通積宿其日滿宿法二十八去之外加一日為值宿日分上考往古則置中積分減宿應為通積宿其日滿宿法二十八去之餘數轉與宿法二十八相減外加一日為值宿日分自初日角宿起算得值宿(求值宿與求天)(正冬至之理同但天正冬至乃冬至本日之干支而值宿乃冬至次日之宿故外加一日)求日數自天正冬至次日距所求本日共若干日與太陽每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乘得數為秒以官度分收之得日數(日數者乃所求本日子正初刻距天)(正冬至次日子正初刻之平行經度也年根從天正冬至次日子正初刻起算故從天正冬至次日起初)(日至所求本日得若干日與每日太陽平行相乗得若干日之平行經度也)求平行以年根與日數相加得平行(平行者乃所求本日子正初刻太陽距冬至之)(平行經度也年根為天正冬至次日子正初刻距冬至之行度日數為本日子正初刻距冬至次日子正)(初刻之行度故相加得本日子正初刻距冬至之行度也)求最卑平行以積年與最卑每嵗平行六十一秒一六六六六相乘得積年之行又以日數與最卑每日平行十分秒之一又六七四六六相乘得日數之行兩數相併與最卑應七度一十分一十一秒一十微相加得最卑平行上考往古則置最卑應減積年之行加日數之行得最卑平行(最卑平行者乃所求本日子正初刻最卑距冬至之行度也下推將來置)(最卑應加積年之行上考往古置最卑應減積年之行則得本年天正冬至次日子正初刻最卑距冬至)(之行度而所求本日又距天正冬至後若干日故下推將來上考往古皆加日數之行得本日子正初刻)(最卑距冬至之行度也)求引數置平行減最卑平行得引數(引數者乃所求本日子正初刻均輪心過本輪)(最卑之行度也平行乃本輪心之行度自冬至起初宫引數乃均輪心之行度自最卑起初宫故置本日)(平行減本日最卑平行得引數也)求均數均輪心自本輪最卑左旋(自東而西)行引數度太陽自均輪最近㸃右旋(自西而東)行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為均數(法詳日躔厯理盈縮差篇)引數初宫至五宫為加六宫至十一宫為減(均數者平行與實行之差卑也引數初宫至五宫在最)(後實行過於平行故加六宫至十一宫在最髙後實行不及平行故減)求實行置平行加減均數得實行(實行者乃所求本日子正初刻太陽實在之行度也)(平行乃本輪心之行度而太陽實在均輪之周其加減差即均數故以均數加減平行得實行也)求宿度以積年與嵗差五十一秒相乘得數與厯元甲子年黄道宿鈐相加得所求本年黄道宿鈐察實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為某宿度分(宿度)(者乃所求本日子正初刻太陽所躔之黄道宿度也實行自冬至起算宿度自各宿初度起算故於實行内減)(本年黄道宿鈐某宿度餘為太陽躔某宿之度也)用表推日躔法(用表推日躔法年根紀日值宿日數最卑均數各檢本表其餘與前法同葢用乗除而得者則用表)(以省算若用加減而得者則已無可省如平行引數實行是也有必不能用表者如宿鈐嵗嵗不同)(難以預為立表須隨時加嵗差以立算是也今並逐條開列以便於用月離交食五星並倣此)求年根用日躔太陽年根表察本年距冬至分秒(三十微進一秒下倣)(此)得年根察本年最卑度分秒得本年最卑行并察紀日值宿(紀日值宿今推日躔俱不逐日開載葢一嵗之日躔推算既畢然後以紀日起干支)(以值宿值日若設某節某干支求日躔則自紀日干支起初日以定日數日數既定不復用紀日故不必)(逐日開載也然為作厯所必需故並詳於此)求日數用日躔太陽周嵗平行表察本日平行宫度分秒得日數并察本日最卑行分秒得日數最卑行求平行以年根與日數相加得平得求最卑平行以本年最卑行與日數最卑行相加得最卑平行求引數置平行減最卑平行得引數求均數用日躔太陽均數表以引數宫度分察其所對之度分秒得均數并記加減號求實行置平行加減均數得實行求宿度以積年與嵗差五十一秒相乘得數與厯元甲子年黄道宿鈐相加得本年黄道宿鈐察實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為某宿度分推節氣時刻法日躔丑宫初度為冬至丑宫一十五度為小寒子宫初度為大寒子宫一十五度為立春亥宫初度為雨水亥宫一十五度為驚蟄戌宫初度為春分戌宫一十五度為清明酉宫初度為穀雨酉宫一十五度為立夏申宫初度為小滿申宫一十五度為芒種未宫初度為夏至未宫一十五度為小暑午宫初度為大暑午宫一十五度為立秋己宫初度為處暑己宫一十五度為白露辰宫初度為秋分辰宫一十五度為寒露卯宫初度為霜降卯宫一十五度為立冬寅宫初度為小雪寅宫一十五度為大雪皆以子正日躔未交節氣宮度者為交節氣本日已過節氣宫度者為交節氣次日(本日子正未交次日子正已過則交節氣必在本日子正後次日子正前)(故未交為本日已過為次日)推時刻之法以本日實行與次日實行相減為一率一千四百四十分為二率本日實行與節氣宫度相減餘為三率(如推立春則以本日實行與一宫一十五度相)(減餘倣此)求得四率為距子正後之分數葢以一日之行度與一日之分數為比同於距節氣之度與距子正之分數為比也乃以六十分收為一小時十五分收為一刻得節氣時刻如本日實行適當節氣宫度而無餘分則交節氣即為本日子正初刻推節氣用時法以交節氣本日均數變時(一度變為四分十五分變為一分十五秒變為一秒)得均數時差均數為減者則時差為加均數為加者則時差為減(天左旋日右旋故加減相反)又以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為二率本節氣黄道度之正切線為三率求得四率為赤道之正切線檢表得赤道度與黄道度相減餘數變時得升度時差二分後為加二至後為減(二分後黄道度)(多赤道度少故加二至後黄道度少赤道度多故減)乃以兩時差加減節氣時刻得節氣用時(詳日躔厯理時差篇)如用表則以引數宫度察日躔均數時差表得均數時差以節氣宫度察日躔升度時差表得升度時差依兩時差加減號加減節氣時刻得節氣用時推各省節氣時刻法各省節氣時刻皆以京師為主視各省東西之偏度加減之(詳日躔厯理節氣時刻篇)盛京偏東七度一十五分則加二十九分(毎一度當四分)浙江偏東三度四十一分二十四秒則加一十四分四十六秒福建偏東二度五十九分則加一十一分五十六秒江南偏東二度一十八分則加九分一十二秒山東偏東二度一十五分則加九分江西偏西三十七分則減二分二十八秒河南偏西一度五十六分則減七分四十四秒湖廣偏西二度一十七分則減九分零八秒廣東偏西三度三十三分一十五秒則減一十四分一十三秒山西偏西三度五十七分四十二秒則減一十五分五十一秒廣西偏西六度一十四分四十秒則減二十四分五十九秒陜西偏西七度三十三分四十秒則減三十分一十五秒貴州偏西九度五十二分四十秒則減三十九分三十一秒四川偏西一十二度一十六分則減四十九分零四秒雲南偏西一十三度三十七分則減五十四分二十八秒朝鮮偏東一十度三十分則加四十二分(各省偏度俱依地圖經度所定今測日影以求其節氣時)(刻及月食早晚驗之皆與地圖合)推日出入晝夜時刻法推日出入晝夜時刻法以半徑一千萬為一率北極髙度之正切線為二率本日距緯度之正切線為三率求得四率為卯酉前後赤道度之正弦檢表得日出入在卯酉前後赤道度乃以一度變為四分十五分變為一分春分前秋分後為夘後酉前分以加夘正為日出時刻以減酉正為日入時刻春分後秋分前為卯前酉後分以減卯正為日出時刻以加酉正為日入時刻自日出至日入為晝刻與九十六刻相減餘為夜刻(冬至前與冬至後之距緯同則晝夜時刻亦同夏至前後與冬至前後之距緯)(亦同而南北各異則晝夜時刻相反故求得冬至後一象限之時刻即得餘三象限之時刻)各省日出入晝夜時刻俱以本處之北極髙度立算京師北極髙三十九度五十五分盛京北極髙四十一度五十一分山西北極髙三十七度五十三分三十秒朝鮮北極髙三十七度三十九分一十五秒山東北極髙三十六度四十五分二十四秒河南北極髙三十四度五十二分二十六秒陜西北極髙三十四度一十六分江南北極髙三十二度零四分四川北極髙三十度四十一分湖廣北極髙三十度三十四分四十八秒浙江北極髙三十度一十八分二十秒江西北極髙二十八度三十七分一十二秒貴州北極髙二十六度三十分二十秒福建北極髙二十六度零二分二十四秒廣西北極髙二十五度一十三分零七秒雲南北極髙二十五度零六分廣東北極髙二十三度一十分(各省北極髙度俱係實測所得)定氣推平氣法康熙五十六年丁酉二月初八日癸己亥初一刻一十三分二十九秒四十一微日躔戌宫初度為定春分用時(測法見日躔厯理測嵗實以定平行篇)求平春分日時先以本年天正冬至次日子正初刻最卑過冬至七度四十三分四十九秒四十微與平春分距冬至九十一日之最卑行一十五秒一十四微相加(平春分距冬至為周嵗四分之)(一因最卑每日之行甚微故止用九十一日)得七度四十四分零四秒五十四微為平春分之最卑行與平春分之平行九十度相減餘八十二度一十五分五十五秒零六微為平春分之引數求其均數得二度零二分二十秒與平春分之平行九十度相加(春分時實行在平行前故加)得九十二度零二分二十秒為平春分之實行又以所得均數與平春分之平行九十度相減餘八十七度五十七分四十秒為平春分前虚設之平行(定春分在平春分前故設於平)(春分前求之)減平春分之最卑行七度四十四分零四秒五十四微(春分時近中距均數逐度之差甚微故雖在平春分前仍可用平春分之最卑行)餘八十度一十三分三十五秒零六微為平春分前虚設之引數求其均數得二度零一分四十四秒四十四微與平春分前虚設之平行相加得八十九度五十九分二十四秒四十四微為平春分前虚設之實行乃以兩實行相減餘二度零二分五十五秒一十六微為一率兩平行相距之二度零二分二十秒為二率又為三率(兩平行相距即平春分之均數亦即定春分距平春分之實行度)求得四率二度零一分四十四秒五十四微為平春分距定春分之平行即定春分之均數又以太陽毎日之平行三千五百四十八秒三三○五一六九為一率周日一萬分為二率平春分距定春分之平行二度零一分四十四秒五十四微化秒為三率求得四率二日五百八十六分八四七七一為平春分距定春分之日分於是以所測定春分用時亥初一刻一十三分二十九秒四十一微加均數時差八分七秒(即定春分之均數變時也春分時用時在平時東以平時求用時則減均數時差今以用時求平時)(故加均數時差無升度時差者春分日當赤道故也)得亥初二刻六分三十六秒四十一微為定春分平時以紀法初日起甲子周日一萬分計之得二十九日(癸巳日也)九千零四分二四五三為定春分之日分加平春分距定春分之二日五百八十六分八四七七一得三十一日九千五百九十一分○九三○一為平春分之日分以紀法初日起甲子周日二十四時計之得乙未日夜子初初刻一分零七秒零三微即平春分日時也如圖甲乙為本天之一弧定春分平行在丙實行在丁平春分平行在丁實行在戊今測得平行在丙㸃之日時而求平行在丁㸃之日時必求得丙丁之分然後可以入算但丙丁之度無由而知故先於平行在丁㸃時求其均數為丁戊則戊㸃即為平春分之實行又設己丁與丁戊等己㸃為平春分前虚設之平行求其均數得己庚則庚㸃即為平春分前虚設之實行兩實行相距為庚戊夫兩實行相距如庚戊則兩平行相距如己丁今定春分與平春分兩實行相距如丁戊則兩平行相距如丙丁故以庚戊與己丁之比同於丁戊與丙丁之比(丁戊與己丁等)而得丙丁之分既得丙丁之分則以太陽一日之平行與一日之比即同於丙丁之分與平春分距定春分日分之比與所測平行在丙㸃之日分相加即得平行在丁㸃之日分矣平氣推定氣法以本年天正冬至日分各加平氣日率減一日各得平氣距天正冬至次日子正初刻日分又置平氣宫度減本日最卑行餘為本日引數按法求得本日均數乃以太陽毎日平行三千五百四十八秒三三○五一六九為一率周日一萬分為二率本日均數為三率求得四率與平氣距天正冬至次日子正初刻之日分相加減(均數為加者則減均數為減者則加)又加本年紀日之數滿紀法六十去之各得定氣干支以一千四百四十分通其小餘各得定氣時分秒如推月日則用日食推實朔法推得逐月實朔乃自本月實朔干支計之各得定氣月日(平氣推定氣即古厯步氣朔求次氣之法葢平氣者乃平行交節氣日分)(因有加減之差故定氣有進退也其加減與均數相反者實行為加則交節早故減實行相減則交節遲)(故加)平氣日率小寒一十五日二一八四二四四大寒三十日四三六八四八九立春四十五日六五五二七三四雨水六十日八七三六九七九驚蟄七十六日○九二一二二三春分九十一日三一○五四六八清明一百零六日五二八九七一三榖雨一百二十一日七四七三九五八立夏一百三十六日九六五八二○三小滿一百五十二日一八四二四四七芒種一百六十七日四○二六六九二夏至一百八十二日六二一○九三七小暑一百九十七日八三九五一八二大暑二百一十三日○五七九四二七立秋二百二十八日二七六三六七一處暑二百四十三日四九四七九一六白露二百五十八日七一三二一六一立秋二百七十三日九三一六四○六寒露二百八十九日一五○○六五一霜降三百零四日三六八四八九五立冬三百一十九日五八六九一四○小雪三百三十四日八○五三三八五大雪三百五十日○二三七六三○冬至三百六十五日二四二一八七五御製厯象考成下編卷一
## 下編卷二
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷二月離厯法推月離用數推月離法用表推月離法推合朔弦望法推交宫時刻法推正升斜升横升法推太陰出入時刻法推月離用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十太陰每日平行四萬七千四百三十五秒小餘○二一一七七(太陰毎日平行一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十)(三芒以秒法通之即得)太陰一小時平行一千九百七十六秒小餘四五九二一五七(置每日太陰平行以二十四除之即得)月孛毎日平行四百零一秒小餘○七七四七七(月孛)(毎日平行六分四十一秒零四微三十八纎五十四忽五十七芒以秒法通之即得)正交毎日平行一百九十秒小餘六四(正交毎日平行三分一十)(秒三十八微二十四纎以秒法通之即得)太陰本天半徑一千萬太陰本輪半徑五十八萬太陰均輪半徑二十九萬太陰負圏半徑七十九萬七千次輪半徑二十一萬七千次均輪半徑一十一萬七千五百朔望黄白大距四度五十八分三十秒兩弦黄白大距五度一十七分三十秒黄白大距中數五度零八分(以朔望大距與兩弦大距相加折半即得)黄白大距半較九分三十秒(以朔望大距與兩弦大距相減折半即得)氣應七日六五六三七四九二六太陰平行應一宫零八度四十分五十七秒一十六微(太陰平行應者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻太陰本輪心距冬至之平行經度也太)(陽自冬至起算躔丑宫初度故以冬至為應太陰亦自冬至起算而不必躔丑宫初度故以冬至次)(日子正初刻為應上考往古則減太陰平行下推將來則加太陰平行皆以此為根也)月孛應三宫零四度四十九分五十四秒零九微(月孛)(應者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻最髙過冬至之度分也太陽自最卑起算故以最卑為)(應太陰自最髙起算故以月孛為應上考往古則減月孛平行下推將來則加月孛平行皆以此為)(根也)正交應六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微(正交應者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻正交過冬至之度分也葢黄道與白道斜交)(自黄道南過黄道北之㸃為正交自黄道北過黄道南之㸃為中交每日退行三分有餘故有當時)(正交之應上考往古則加正交平行下推將來則減正交平行皆以此為根也○按康熙六十年辛)(丑十一月十五日壬寅夜子初三刻一十三分零五秒五十六微平望距本年天正冬至次日丙戌)(子正初刻為三百七十六日九九八六八○一其十時太陰平行過冬至六宫一十一度五十七分五)(三秒五十微月孛過冬至六宫二十二度二十六分零五十一微正交過冬至六宫一十一度三十)(七分一十七秒四十九微自辛丑年上溯至甲子年共三十八年減一年餘三十七年為積年與周)(嵗三百六十五日二四二一八七五相乗得一萬三千五百二十一日六一七三一二四二六為中)(積分加厯元甲子年氣應分六五六三七四九二六減辛丑年天正冬至分六一七三一二四二六)(得一萬三千五百一十四日為積日又加辛丑年十一月平望距本年天正冬至次日子正初刻三)(百七十六日九九八六八○一得一萬三千八百九十日九九八六八○一為平望距厯元日分乃)(以平望距厯元日分與太陰毎日平行四萬七千四百三十五秒○二一一七七相乗滿周天去之)(餘五宫三度一十六分五十六秒三十四微與辛丑年十一月平望太陰過冬至六宫一十一度五)(十七分五十三秒五十微相減餘一宫零八度四十分五十七秒一十六微即甲子年太陰平行應)(也又以平望距厯元日分與月孛毎日平行四百零一秒○七七四七七相乗滿周天去之餘三宫)(一十七度三十六分零六秒四十二微與辛丑年十一月平望月孛過冬至六宫二十二度二十六)(分零五十一微相減餘三宫零四度四十九分五十四秒零九微即甲子年月孛應也又以平望距)(厯元日分與正交毎日平行一百九十秒六四相乘滿周天去之餘一十五度三十六分一十九秒)(五十九微與辛丑年十一月平望正交過冬至六宫一十一度三十七分一十七秒四十九微相加)(得六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微即甲子年正交應也)推月離法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日(積日者厯元甲子年)(天正冬至距所求本年天正冬至之日數也中積分加氣應分則得厯元甲子年天正冬至子正初刻至)(本年天正冬至之日分故減本年天正冬至分即得厯元甲子年天正冬至子正初刻至本年天正冬至)(子正初刻之日數也上考往古反是○日躔自天正冬至起算故止用天正冬至不用積日月離自天正)(冬至次日子正初刻起算故必兼用積日其餘皆與日躔同)求太陰年根以積日與太陰毎日平行四萬七千四百三十五秒○二一一七七相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日太陰平行加太陰平行應一宫零八度四十分五十七秒一十五微得太陰年根上考往古則置太陰平行應減積日太陰平行得太陰年根(太陰年根者乃所求本年天正冬至次日子正初刻太陰距冬至之平行經度也以積日與太陰毎日平)(行相乗則得厯元甲子年天正冬至距本年天正冬至之太陰平行故上考往古則減下推將來則加即)(得本年天正冬至次日子正初刻太陰過冬至之平行經度也下倣此)求月孛年根以積日與月孛每日平行四百零一秒○七七四七七相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日月孛平行加月孛應三宫零四度四十九分五十四秒零七微得月孛年根上考往古則置月孛應減積日月孛平行得月孛年根求正交年根以積日與正交毎日平行一百九十秒六四相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日正交平行與正交應六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微相減(正交應不足減者加十二宫減之)得正交年根上考往古則置正交應加積日正交平行得正交年根(太陰本輪)(與月孛皆順行帷正交逆行故上考反加下推反減)求太陰日數以所設日數與太陰每日平行四萬七千四百三十五秒○二一一七七相乘得數為秒以宫度分收之得太陰日數求月孛日數以所設日數與月孛毎日平行四百零一秒○七七四七七相乘得數為秒以宫度分收之得月孛日數求正交日數以所設日數與正交毎日平行一百九十秒六四相乘得數為秒以度分收之得正交日數求太陰平行以太陰年根與太陰日數相加(滿十二宫去之)得太陰平行求月孛平行以月孛年根與月孛日數相加(滿十二宫去之)得月孛平行求正交平行置正交年根減正交日數(不足減者加十二宫減之)得正交平行(正交逆行故於年根内減日數餘皆與日躔同)求均數時差以本日太陽均數變時得均數時差(一度變為四分十五分變為一)(分十五秒變為一秒)均數為加者則為減均數為減者則為加求升度時差以本日太陽黄道經度與本日太陽赤道經度相減餘數變時得升度時差二分後為加二至後為減求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求時差行以三千六百秒為一率一小時太陰平行一千九百七十六秒四五九二一五七為二率時差總化秒為三率求得四率為秒以分收之得時差行時差總為加者則為減時差總為減者則為加求用時太陰平行置太陰平行加減時差行得用時太陰平行(太陰平行獨求)(用時者因太陰行度甚疾必加減時差行方為子正初刻之平行度其餘諸平行所差甚微可以不計也)(其加減與時差總相反者時差加而遲則用時子正差而早故減時差減而早則用時子正差而遲故加)求引數置用時太陰平行減月孛平行得引數(引數者乃所求本日子正)(初刻均輪心過本輪最髙之行度也太陽自最卑起算故置平行減最卑行太陰自最髙起算故置平行)(減月孛行也)求初均數均輪心自本輪最髙左旋(自東而西)行引數度太陰自均輪最近㸃右旋(自西而東)行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳月離厯理求初均數篇)引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求太陰距地心之邊為求二均之用(初均數者平行與初實行之差也太陰有二三均數故以初别之加)(減與日躔相反者自最髙起算故也)求初實行置用時太陰平行加減初均數得初實行(太陰有二三均數雖)(加減初均數不能即得實行故亦以初别之)求月距日次引置初實行減本日太陽實行得月距日次引(月距日者太陰)(距太陽之度也初實行自冬至起算月距日自太陽起算故置初實行減太陽實行得月距日名曰次引)(者以其為次輪周之行度也)求二均數均輪心自負圏最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度次均輪心自次輪最近㸃右旋(次輪徑與均輪徑平行其近本輪心之一㸃為最近㸃)行月距日之倍度用三角形法以次輪最近㸃距地心線為一邊(即求初均)(數時所得太陰距地心之邊)次輪月距日倍度之通弦為一邊(半徑)(一千萬為一率月距日正弦為二率次輪半徑二十一萬七千為三率求得四率倍之即通弦)以初均數與均輪心距最卑之度相加(引數與半周相減即均輪心距最卑)(之度)又加減月距日距象限度為所夾之角(月距日與象限相減)(為月距日距象限度如月距日過二象限則減去二象限餘數又與象限相減為月距日距象限度其加)(減之法初均數為減者月距日過一象限或過三象限則加不過象限或過二象限則減初均數為加者)(月距日過一象限或過三象限則減不過象限或過二象限則加若初均數與均輪心距最卑相加之度)(不足減月距日距象限度則轉減餘為所夾之角若相減無餘則無角即無二均數若相加過半周則與)(全周相減餘為所夾之角若相加適足半周則無角亦無二均數若月距日為初度或一百八十度則無)(月距日倍度之通弦亦無二均數)求得地心對通弦之角為二均數如無初均數者則以次輪心距地心線為一邊次輪半徑為一邊月距日倍度為所夾之角(過半周者與全周相減用)(其餘在最髙為所夾之内角在最卑為所夾之外角)求得地心對次輪半徑之角為二均數定加減之法以初均數與均輪心距最卑之度相加為次輪最近㸃距地心線與次輪徑所夾之角此角如不及九十度則倍之與半周相減餘為加減限初均數為減者月距日倍度在此限内則二均數反為加初均數為加者月距日倍度與全周相減餘數在此限内則二均數反為減此角如過九十度則與半周相減餘數倍之又與半周相減餘為加減限初均數為減者月距日倍度與全周相減餘數在此限内則二均數反為加初均數為加者月距日倍度在此限内則二均數反為減若不在限内或其角適足九十度則初均數為加者二均數亦為加初均數為減者二均數亦為減隨求次均輪心距地心之邊為求三均之用(二均數者次輪所生也前以本輪均輪求初均數而太陰)(實在次均輪之周次均輪心又在次輪之周故又求次均輪心距次輪最近㸃當地心之角為二均數也)(○前求初均數以均輪為在本輪周太陰為在均輪周此求二均數以均輪為在負圏周次輪為在均輪)(周二者似異實同葢本輪半徑加次輪半徑為負圏半徑則均輪心去本輪心亦逺一次輪半徑然次輪)(心在均輪周之行度即前所用太陰在均輪周之行度而次輪徑與均輪徑平行則次輪最近㸃去次輪)(心必近一次輪半徑故前所求太陰㸃即此所求次輪最近㸃前所求太陰距地心線即此所用次輪最)(近㸃距地心線也至於定加減之法乃求次輪最近㸃距地心線割次輪周為加減之限次均輪心在此)(限内初均數為減者次均輪心在次輪最近㸃之前初均數為加者次均輪心在次輪最近㸃之後故其)(加減與初均數相反也詳月離厯理求二三均數篇)求三均數太陰自次均輪下㸃左旋行月距日之倍度用三角形法以次均輪心距地心線為一邊(即求二均數時所得次輪心距)(地心之邊)次均輪半徑一十一萬七千五百為一邊月距日倍度為所夾之角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次均輪半徑之角為三均數月距日倍度不及半周為加過半周為減(三均數者次均輪所生也月距日倍度不及半周太陰在輪心前故加月)(距日倍度過半周太陰在輪心後故減如倍月距日為初度則無二均數亦無三均數如倍月距日為一)(百八十度則有二均數無三均數)求二三均數二均數與三均數同為加者則相加為二三均數仍為加同為減者亦相加為二三均數仍為減一為加一為減者則相減為二三均數加數大為加減數大為減求白道實行置初實行加減二三均數得白道實行(白道實行者太陰在白道)(之實行度也論其理當置初實行加減二均數又加減三均數得白道實行今既合二均數與三均數為)(二三均數故合兩次加減為一次加減也)求黄白大距及交均白道極自交均輪最近㸃左旋行月距日之倍度用弧三角法以黄白大距中數五度零八分為一邊黄白大距半較九分三十秒為一邊月距日倍度為所夾之角(過半周者與全周相減用其餘)求得對邊為黄白大距並求得近黄極之角為交均月距日倍度不及半周交均為減月距日倍度過半周交均為加(黄白大距者乃所求本日黄白)(二道之交角交均者正交平行與正交實行之差也葢太陰黄道經緯度並生於距交而黄白交角時時)(不同交行又有加減故必先求兩極相距之度為黄白大距又求白道極與交均輪心之差為交均然後)(太陰之黄道經緯度可推也月距日倍度不及半周者白道極逆輪心行故減月距日倍度過半周者白)(道極順輪心行故加詳月離厯理求黄白大距及交均篇)求正交實行置正交平行加減交均得正交實行(正交實行者白道與黄道相交)(之實行也交均雖以白道極立算然極差則交亦差故置正交平行加減交均得正交實行也)求中交實行置正交實行加減六宫得中交實行(中交者正交之對衝故正交實)(行不及六宫者加六宫過六宫者減六宫得中交實行也)求距交實行置白道實行減正交實行得距交實行(距交實行者太陰距正交)(之實行也白道實行自冬至起算距交實行自正交起算故置白道實行減正交實行得太陰距正交之)(實行也)求升度差以半徑一千萬為一率黄白大距之餘弦為二率距交實行之正切線為三率(距交過一象限則與半周相減用其餘過二象限則)(減去二象限用其餘過三象限則與全周相減用其餘)求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與距交實行相減餘為升度差距交實行不過象限為減過象限為加過二象限為減過三象限為加(升度差者白道與黄道之差也月五星並宗黄道而白道與黄道有)(差故先求其差乃可求黄道度也距交不及象限或過二象限皆白道度多黄道度少故減距交過一象)(限或過三象限皆白道度少黄道度多故加)求黄道實行置白道實行加減升度差得黄道實行(黄道實行者太陰所當黄)(道經度也太陰本行白道加減黄白二道之差則得相當黄道度矣)求黄道緯度以半徑一千萬為一率黄白大距之正弦為二率距交實行之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得黄道緯度距交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南(黄道緯度者太陰距黄道南北之緯度也太陰過正交入)(陰厯故距正交不及半周者皆在黄道北太隂過中交入陽厯故距正交過半周者皆在黄道南)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度求月孛宿度月孛平行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為月孛宿度求正交宿度正交實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為正交宿度求中交宿度中交實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為中交宿度用表推月離法求諸年根用月離太陰年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進)(一秒下倣此)得太陰年根察本年月孛宫度分秒得月孛年根察本年正交宫度分秒得正交年根求諸日數用月離太陰周嵗平行表察本日平行宫度分秒得太陰日數察本日月孛宫度分秒得月孛日數察本日正交度分秒得正交日數求太陰平行以太陰年根與太陰日數相加得太陰平行求月孛平行以月孛年根與月孛日數相加得月孛平行求正交平行置正交年根減正交日數得正交平行求均數時差用日躔均數時差表以本日太陽引數宫度察其所對之分秒得均數時差并記加減號求升度時差用日躔升度時差表以本日太陽黄道經度察其所對之分秒得升度時差并記加減號求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求時差行用月離周日平行表以時差總之時分秒各察其與平行相對之數而併之得時差行時差總為加者則為減時差總為減者則為加求用時太陰平行置太陰平行加減時差行得用時太陰平行求引數置用時太陰平行減月孛平行得引數求初均數用月離太陰初均數表以引數宫度分察其所對之度分秒得初均數并記加減號求初實行置用時太陰平行加減初均數得初實行求月距日次引置初實行減本日太陽實行得月距日次引求二三均數用月離太陰二三均數表以引數宫度及月距日次引宫度察其所對之度分秒得二三均數并記加減號(太陰二三均數表乃合二均數與三均數加減所定故用表推算止求二三均數不必先求二均數)(與三均數也)求白道實行置初實行加減二三均數得白道實行求黄白大距及交均用月離交均距限表以月距日次引宫度察其與距限相對之度分秒得黄白大距察其與交均相對之分秒得交均并記交均加減號求正交實行置正交平行加減交均得正交實行求中交實行置正交實行加減六宫(不及六宫則加六宫過六宫則減六宫)得中交實行求距交實行置白道實行減正交實行得距交實行求升度差用月離黄白升度差表以距交實行宫度察其所對之度分秒得升度差并記加減號求黄道實行置白道實行加減升度差得黄道實行求黄道緯度用月離黄白距度表以距交實行宫度按黄白大距相近者察其所對之度分秒得黄道緯度并記南北號求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度求月孛宿度月孛平行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為月孛宿度求正交宿度正交實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為正交宿度求中交宿度中交實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為中交宿度推合朔弦望法太陰實行與太陽實行同宫同度為合朔限距三宫為上弦限距六宫為望限距九宫為下弦限(詳月離厯理晦)(朔弦望篇)皆以太陰未及限度為本日已過限度為次日(如太陰未及太陽為合朔本日已過太陽為合朔次日太陰距太陽未及九十度為上弦本日已過九十)(度為上弦次日之類)求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以本日太陰實行與次日太陰實行相減餘為太陰一日之實行乃於太陰一日之實行内減太陽一日之實行餘為一率一千四百四十分為二率本日太陽實行加限度(合朔同宫同度無可加上弦加三宫朢加六宫下弦加九宫)減本日太陽實行餘為三率求得四率為距子正之分數葢以太陰距太陽一日之實行與一日之分數為比同於本日子正太陰距合朔弦望度分與距子正之分數為比也乃以六十分收為一小時十五分收為一刻得合朔弦望時刻如本日太陰實行與太陽實行適當合朔弦望限度而無相距度分則合朔弦望即為本日子正初刻推交宫時刻法太陰未過宫為交宫本日已過宫為交宫次日求時刻之法以本日太陰實行與次日太陰實行相減餘為一率一千四百四十分為二率本日太陰實行度(不用宫)與三十度相減餘為三率求得四率為距子正之分數葢以太陰一日之實行與一日之分數為比同於本日子正太陰距某宫初度之度分與距子正之分數為比也乃以六十分收為一時十五分收為一刻得交宫時刻如本日太陰實行適當某宫初度而無餘分則交宫即為本日子正初刻推正升斜升横升法合朔日太陰實行自子宫一十五度至酉宫一十五度為正升自酉宫一十五度至未宫初度自丑宫初度至子宫一十五度為斜升自未宫初度至寅宫一十五度為横升自寅宫一十五度至丑宫初度亦為斜升(月離厯理隠見遲疾篇言春分前後各三宫黄道斜升而正降秋分前後各三宫黄道正升而)(斜降乃以東方出地為升西方入地為降所以明太陰隠見之遲疾也此所謂升乃指西方地平方上之)(黄道升度所以定生明之方向也葢太陰在戌宫初度當黄道之春分入地平時夏至在正午距地平七)(十三度餘西方地平上之黄道㡬與地平經圈等故為正升春分前四十五度為子宫一十五度當黄道)(之立春春分後四十五度為酉宫一十五度當黄道之立夏立春入地平則立夏在正午立夏入地平則)(立秋在正午距地平皆六十六度餘西方地平上之黄道猶未斜倚故自子宫一十五度至酉宫一十五)(度皆為正升也立夏後四十五度為未宫初度當黄道之夏至立春前四十五度為丑宫初度當黄道之)(冬至夏至入地平則秋分在正午冬至入地平則春分在正午皆距地平五十度餘西方地平上之黄道)(即成斜倚故自酉宫一十五度至未宫初度自丑宫初度至子宫一十五度皆為斜升也太陰在辰宫初)(度當黄道之秋分入地平時冬至在正午距地平不過二十六度餘西方地平上之黄道斜倚已甚㡬與)(地平緯圏等故為横升秋分前九十度為未宫初度當黄道之夏至入地平時秋分在正午距地平五十)(度餘然夏至在赤道之極北入地平時緯度雖髙而經度横亘故亦為横升秋分後九十度為丑宫初度)(當黄道之冬至入地平時春分在正午距地平亦五十度餘然冬至在赤道之極南入地平時緯度既髙)(而經度復短不得為横升故自未宫初度至寅宫一十五度為横升自寅宫一十五度至丑宫初度復為)(斜升也正升時月體背正西而向正東斜升時月體背西北而向東南横升時月體背正北而向正南皆)(以黄道方向為定太陰雖行白道然相距不過五度且黄白道之交無定在其緯度常與經度不合故以)(黄道定之則終古不易也)推太陰出入時刻法用正弧三角形法以本日太陽黄道經度求其相當赤道經度又用斜弧三角形法以本日太陰距黄極度為一邊(太陰在黄道北則以黄道緯度與九十度相減在黄道南則以黄道緯度與九十度)(相加得太陰距黄極度)黄極距赤極(即北極)二十三度二十九分三十秒為一邉本日太陰距冬至黄道經度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得對邊為太陰距赤極度過九十度者減九十度餘為赤道南緯度不及九十度者與九十度相減餘為赤道北緯度并求得近赤極之角為太陰距冬至赤道經度(與恒星厯理推恒星赤道經緯度之)(法同)乃以半徑一千萬為一率北極髙度之正切線為二率太陰赤道緯度之正切線為三率求得四率為夘酉前後赤道度之正弦檢表得太陰出入在卯酉前後赤道度太陰在赤道北出在卯正前入在酉正後太陰在赤道南出在卯正後入在酉正前(赤道出地為卯)(正入地為酉正乃太陰所臨時刻之方位非太陽所臨之時刻也與日躔厯理晝夜永短法同)爰於太陰赤道經度内減太陽赤道經度(不足減者加十二宫減之)餘為太陰距太陽赤道度又加減太陰出地在卯正前後赤道度(前減後加)得數變時(一度變為四分)自卯正後計之得何時刻再加本時太陰行度所變之時刻(約一小時行三十分)(變為時之二分)即太陰出地時太陽所臨之時刻又以太陰距太陽赤道度加減太陰入地在酉正前後赤道度(前減後加)得數變時自酉正後計之得何時刻再加本時太陰行度所變之時刻即太陰入地時太陽所臨之時刻葢時刻以太陽為定故推得太陽所臨之時刻即太陰出入之時刻也御製歴象考成下編卷二
## 下編卷三
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷三月食厯法推月食用數推月食法用表推月食法推各省月食法推月食帶食法定朢推平朢法推月食用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十朔策二十九日五三○五九三(朔策者平朔相距之日分也其數二十九)(日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纖四十三忽一十二芒以周日一萬分通之得二十九)(日五千三百零五分小餘九三)朢策一十四日七六五二九六五(朢策者平朢距平朔之日分也以朔)(策折半即得)太陽平行朔策一十萬四千七百八十四秒小餘三○四三二四(以太陽每日平行與朔策日分相乘即得以度分秒微收之得二十九度)(零六分二十四秒一十八微)太陽引數朔策一十萬四千七百七十九秒小餘三五八八六五(太陽引數者太陽均輪心在本輪周之行度也以太陽每日平行與最卑)(每日平行相減餘為太陽引數毎日之平行與朔策日分相乘即得以度分秒微收之得二十九度)(零六分一十九秒二十二微)太隂引數朔策九萬二千九百四十秒小餘二四八五九(太隂引數者太隂均輪心在本輪周之行度也以太隂每日平行與月孛每日平行相減)(餘為太隂引數每日之平行與朔策日分相乗滿周天去之即得以度分秒微收之得二十五度四)(十九分零一十五微)太隂交周朔策一十一萬零四百一十四秒小餘○一六五七四(太隂交周者太隂距正交之行度也以太隂毎日平行與正交毎日平行)(相加得太隂交周每日之平行與朔策日分相乘滿周天去之即得以宫度分秒微收之得一宫零)(四十分一十四秒零一微)太陽平行朢策一十四度三十三分一十二秒零九微太陽引數朢策一十四度三十三分零九秒四十一微太隂引數朢策六宫一十二度五十四分三十秒零七微太隂交周朢策六宫一十五度二十分零七秒(各以每日)(平行與朢策日分相乘以宫度分秒微收之即得)一小時太陽平行一百四十七秒小餘八四七一○四九一小時太陽引數一百四十七秒小餘八四○一二七一小時太隂引數一千九百五十九秒小餘七四七六五四二一小時太隂交周一千九百八十四秒小餘四○二五四九(各置毎日平行以二十四除之即得)一小時月距日平行一千八百二十八秒小餘六一二一一○八(月距日者太隂距太陽之行度也以太陽毎日平行與太隂每日平行相)(減餘為月距日每日之平行以二十四除之即得)太陽本天半徑一千萬太陽本輪半徑二十六萬八千八百一十二太陽均輪半徑九千六百零四太隂本天半徑一千萬太隂本輪半徑五十八萬太隂均輪半徑二十九萬太隂次均輪半徑一十一萬七千五百太陽光分半徑六百三十七(太陽光分半徑為地半徑之六倍又百分之三)(十七今推月食命地半徑為一百分故太陽光分半徑即為六百三十七也)太隂實半徑二十七(太隂實半徑為地半徑百分之二十七今推月食命地半徑為)(一百分故太隂實半徑即為二十七也)太陽最髙距地一千零一十七萬九千二百零八與地半徑之比例為一十一萬六千二百(太陽最髙距地與地)(半徑之比例為一千一百六十二今推月食命地半徑為一百分故與地半徑之比例即為一十一)(萬六千二百也)太隂最髙距地一千零一十七萬二千五百與地半徑之比例為五千八百一十六(太隂最髙距地與地半徑之比例為)(五十八又百分之一十六今推月食命地半徑為一百分故與地半徑之比例即為五千八百一十)(六也)黄赤大距二十三度二十九分三十秒黄白大距四度五十八分三十秒氣應七日六五六三七四九二六紀日八朔應二十六日三八五二六六六(朔應者厯元甲子年首朔距天正冬)(至次日子正初刻之日分也諸曜皆自天正冬至起筭故以天正冬至為應交食則自合朔起算故)(以首朔為應上考往古則於積日内加朔應日分下推將來則於積日内減朔應日分皆以此為根)(也○按康熙六十年辛丑十一月十五日壬寅夜子初三刻一十三分零五秒五十六微平望距本)(年天正冬至次日子正初刻為三百七十六日九千九百八十六分小餘八○一減一朢策一十四)(日七六五二九六五又減十二月朔策三百五十四日三六七一一六餘七日八六六二六七六為)(辛丑年天正冬至後第一平朔距天正冬至次日子正初刻之日分即辛丑年首朔之應又自辛丑)(年天正冬至次日子正初刻上溯至甲子年天正冬正次日子正初刻得積日一萬三千五百一十)(四加辛丑年首朔應七日八六六二六七六得一萬三千五百二十一日八六六二六七六為通朔)(即辛丑年首朔距甲子年天正冬至次日子正初刻之日分以朔策二十九日五三○五九三除之)(得四百五十七朔餘二十六日三八五二六六六為甲子年首朔距天正冬至次日子正初刻之日)(分即甲子年朔應也)首朔太陽平行應初宫二十六度二十分四十二秒五十七微(首朔太陽平行應者厯元甲子年首朔太陽本輪心距冬至之平行經度也合)(朔日月同度故不用太隂)首朔太陽引數應初宫一十九度一十分二十七秒二十一微(首朔太陽引數應者厯元甲子年首朔太陽均輪心距本輪最卑之行度也引)(數起於最卑行而太陽平行實行之差則專生於引數故不用最卑應而用引數應也)首朔太隂引數應九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微(首朔太隂引數應者厯元甲子年首朔太隂均輪心距本輪最髙之行度)(也引數起於月孛行而太隂平行實行之差則專生於引數故不用月孛應而用引數應也)首朔太隂交周應六宫初度三十分五十五秒一十四微(首朔太隂交周應者厯元甲子年首朔太隂距正交之行度也交周起於正交行而太隂)(入食限則專生於距交故不用正交應而用交周應也○按康熙六十年辛丑十一月平朢太陽平)(行初宫一十一度五十七分五十三秒五十微自厯元甲子年首朔至辛丑年十一月平朢計四百)(六十九朔策一望策乃於辛丑年十一月平朢太陽平行内減四百六十九朔策一朢策之太陽平)(行三十七周天外又十一宫一十五度三十七分一十秒五十三微餘初宫二十六度二十分四十)(二秒五十七微即甲子年首朔太陽平行應也又辛丑年十一月平朢太陽引數初宫零四度零八)(分五十六秒二十微減四百六十九朔策一朢策之太陽引數三十七周天外又十一宫一十四度)(五十八分二十八秒五十九微餘初宫一十九度一十分二十七秒二十一微即甲子年首朔太陽)(引數應也又辛丑年十一月平朢太隂引數十一宫一十九度三十一分五十二秒五十九微減四)(百六十九朔策一朢策之太隂引數五百零三周天外又二宫零五十七分二十六秒四十三微餘)(九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微即甲子年首朔太隂引數應也又辛丑年十一月平)(朢太隂交周平行初宫初度二十分三十六秒零一微減四百六十九朔策一朢策之交周平行五)(百零八周天外又五宫二十九度四十九分四十秒四十七微餘六宫初度三十分五十五秒一十)(四微即甲子年首朔太隂交周應也)推月食法推首朔諸平行及入交(推首朔諸平行及入交為月食入算之首葢本年逐月太陽太隂之行度必以首朔為根有首朔之)(日分然後可以求平望之日分有首朔諸平行然後可以求平朢諸平行至於入交乃當食之月數)(太隂每嵗兩次入交閏月之嵗或三次入交其不入交之月不必算也月食必在朢不用首望而用)(首朔者以天正冬至或在十一月朢前或在十一月朢後不若首朔之定為年前十二月朔也)求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求紀日以天正冬至日數加一日得紀日求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求通朔置積日減朔應二十六日三八五二六六六得通朔上考往古則置積日加朔應得通朔(通朔者乃所求本年天正冬至)(次日子正初刻距歴元甲子年首朔之日分也積日原為本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之日)(數故下推將來則於積日内減朔應上考往古則於積日内加朔應得通朔也)求積朔及首朔置通朔以朔策二十九日五三○五九三除之得數加一為積朔餘數與朔策相減為首朔上考往古則置通朔以朔策除之得數為積朔餘數為首朔(積朔者厯)(元甲子年首朔距所求本年首朔之月數而首朔者本年天正冬至後第一朔距本年天正冬至次日子)(正初刻之日分也下推將來以朔策除通朔得數為厯元甲子年首朔距本年天正冬至前一朔之月數)(故加一月為積朔其餘數亦為本年天正冬至次日子正初刻距前一朔之日分故與朔策相減方為首)(朔日分若上考往古則以朔策除通朔得數即厯元甲子年首朔距本年首朔之月數故即為積朔其餘)(數亦即本年首朔距本年天正冬至次日子正初刻之日分故亦即為首朔也)求首朔太陽平行以積朔與太陽平行朔䇿一十萬四千七百八十四秒三○四三二四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太陽平行加首朔太陽平行應初宫二十六度二十分四十二秒五十七微得首朔太陽平行上考往古則置首朔太陽平行應減積朔太陽平行得首朔太陽平行(首朔太陽平行者乃所求本年首朔太陽本輪心距)(冬至之平行經度也以積朔與太陽平行朔策相乘則得厯元甲子年首朔距本年首朔之太陽平行度)(故下推將來則置太陽平行應加積朔之太陽平行上考往古則置太陽平行應減積朔之太陽平行而)(得本年首朔之太陽平行也)求首朔太陽引數以積朔與太陽引數朔䇿一十萬四千七百七十九秒三五八八六五相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太陽引數加首數太陽引數應初宫一十九度一十分二十七秒二十一微得首朔太陽引數上考徃古則置首朔太陽引數應減積朔太陽引數得首朔太陽引數(首朔太陽引數者乃所求本年首朔太陽均輪心距)(本輪最卑之自行度也餘與太陽平行同)求首朔太隂引數以積朔與太隂引數朔策九萬二千九百四十秒二四八五九相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太隂引數加首朔太隂引數應九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微得首朔太隂引數上考往古則置首朔太隂引數應減積朔太隂引數得首朔太隂引數(首朔太隂引數者乃所求本年首朔太隂均輪心距本輪最髙)(之自行度也餘與太陽平行同)求首朔太隂交周以積朔與太隂交周朔䇿一十一萬零四百一十四秒○一六五七四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太隂交周加首朔太隂交周應六宫初度三十分五十五秒一十四微得首朔太隂交周上考往古則置首朔太隂交周應減積朔太隂交周得首朔太隂交周(首朔太隂交周者乃所求本年首朔太隂本輪心距正交之度)(也餘與太陽平行同)求逐月朢太隂交周置本年首朔太隂交周加太隂交周朢䇿六宫一十五度二十分零七秒再以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒零一微遞加十三次得逐月朢太隂交周(逐月朢太隂交周者乃所求本年逐年平朢太隂本輪心距正交之行度也以首朔太隂交周)(加太隂交周朢䇿則得年前十二月平望之太隂交周故遞加太隂交周朔策則得本年逐月平朢之太)(隂交周也遞加十三次者其年或有閏月則十二月為第十三月也)求太隂入交月數逐月朢太隂交周自初宫初度至初宫一十四度五十四分自五宫一十五度零六分至六宫一十四度五十四分自十一宫一十五度零六分至十一宫三十度皆為太隂入交第幾月入交即第幾月有食(太隂)(距交前後可食之限一十四度五十四分故逐月朢太隂交周在此限以内者為入交詳交食厯理太隂)(食限篇)推平朢諸平行第一(推平朢諸平行為月食第一段蓋既知本月入交矣必求本月平朢之日分然後可以求實朢必求)(平朢諸平行然後可以求實行太陽平行者所以定太陽之經度而太隂之經度即在其對衝太陽)(太隂引數者所以定本輪周之自行度為求均數之用也其不求平望太隂交周者因求入交月數)(已得本月平朢太隂交周若知入交月數則不求逐月朢太隂交周及入交即以入交月數與太隂)(交周朔策一十一萬零四百一十四秒○一六五七四相乘得數加太隂交周朢䇿六宫一十五度)(二十分零七秒與本年首朔太隂交周相加即平望太隂交周也)求平朢以太隂入交月數與朔䇿二十九日五三○五九三相乘得數加朢策一十四日七六五二九六五與本年首朔日分相加再加紀日滿紀法六十去之得平朢自初日甲子起算得平朢干支以周日一千四百四十分通其小餘得平朢時分秒(平朢者本月太隂本輪心與太隂本)(輪心相對之日時也以入交月數與朔䇿相乘加朢策日分則得平朢距首朔之日分與首朔日分相加)(則得平朢距天正冬至次日子正初刻之日分又加紀日則得平朢距冬至前甲子日子正初刻之日分)(故滿紀法六十去之自初日甲子起算得平朢干支以一千四百四十分通其小餘得平朢時分也)求平望太陽平行以太隂入交月數與太陽平行朔䇿一十萬四千七百八十四秒三○四三二四相乘得數加太陽平行朢䇿一十四度三十三分一十二秒零九微與本年首朔太陽平行相加得平朢太陽平行求平朢太陽引數以太隂入交月數與太陽引數朔䇿一十萬四千七百七十九秒三五八八六五相乘得數加太陽引數朢䇿一十四度三十三分零九秒四十一微與本年首朔太陽引數相加得平朢太陽引數求平朢太隂引數以太隂入交月數與太隂引數朔䇿九萬二千九百四十秒二四八五九相乘得數加太隂引數朢䇿六宫一十二度五十四分三十秒零七微與本年首朔太隂引數相加得平朢太隂引數推日月相距第二(推日月相距為月食第二段蓋平朢固兩本輪心相對矣而日月皆有均數因生距弧既有距弧則)(必有距時也若兩均加減同度分亦同則無距弧亦無距時而平朢即實朢詳交食厯理朔朢有平)(實之殊篇)求太陽均數以平朢太陽引數依日躔求均數法算之得太陽均數引數初宫至五宫為加六宫至十一宫為減求太隂均數以平朢太隂引數依月離求初均數法筭之得太隂均數引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加求距弧太陽太隂兩均數同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧(距弧者日月相距之弧也兩均)(同為加或同為減者則相距為兩均之較故相減得距弧兩均一為加一為減者則相距為兩均之和故)(相加得距弧)求距時以一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八為一厯三千六百秒為二厯距弧化秒為三厯(一度化六十分一分化六十秒)求得四厯為秒以時分收之得距時太陽太隂兩均數同為加者大陽加均大則距時為加太陽加均小則距時為減同為減者太陽減均大則距時為減太陽減均小則距時為加一為加一為減者太陽為加均則距時為加太陽為減均則距時為減(距時者日月相距之時分也太陽均數為加太隂均數為減或同為加而太陽加均)(大或同為減而太陽減均小皆太陽在前太隂在後月未及與日相對故距時為加太陽均數為減太隂)(均數為加或同為加均而太陽加均小或同為減圴而太陽減均大皆太隂在前太陽在後月已過與日)(相對故距時為減)推實引第三(推實引為月食第三段葢日月既有距時則此相距之時分内亦必有引數之自行故又以距時求)(得引弧以加減平朢之引數為實引數也)求太陽引弧以三千六百秒為一率一小時太陽引數一百四十七秒八四○一七二為二率距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太陽引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太隂引弧以三千六百秒為一厯一小時太隂引數一千九百五十九秒七四七六五四二為二厯距時化秒為三厯求得四厯為秒以度分收之得太隂引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太陽實引置平朢太陽引數加減太陽引弧得太陽實引求太隂實引置平朢太隂引數加減太隂引弧得太隂實引推實朢第四(推實朢為月食第四段前求日月相距以得距時似可以加減平朢而為實朢矣然此相距之時分)(内引數既有微差則均數亦有微差而距弧與距時亦必有微差故又以實引推實均以求實距弧)(而得實距時然後加減平朢為實朢也)求太陽實均以太陽實引依日纒求均數法算之得太陽實均實引初宫至五宫為加六宫至十一宫為減随求太陽距地心之邊為求太陽距地之用求太隂實均以太隂實引依月離求初均數法算之得太隂實均實引初宫至五宫為減六宫至十一宫為加随求太隂距地心之邊為求太隂距地之用求實距弧太陽太隂兩實均同為加或同為減者則相減得實距弧一為加一為減者則相加得實距弧求實距時以一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八為一厯三千六百秒為二率實距弧化秒為三厯求得四厯為秒以時分收之得實距時定加減之法與距時同求實朢置平朢加減實距時得實朢加滿二十四時則實朢進一日不足減者借一日作二十四時則實朢退一日推實交周第五(推實交周為月食第五段蓋實朢與食甚尚有微差而距緯與距交亦有進退故又求實朢時太隂)(距正交之實行度然後時刻之早晚距緯之逺近食分之淺深皆可次第推也)求交周距弧以三千六百秒為一率一小時太隂交周一千九百八十四秒四○二五四九為二厯實距時化秒為三率求得四厯為秒以度分收之得交周距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減(交周距弧者平朢距實朢)(太陰交周之行度也蓋平朢與實朢既有距時則此相距之時分内太陰又有距交行故又以實距時求)(交周距弧也)求實朢平交周置平朢太陰交周加減交周距弧得實朢平交周(實朢)(平交周者實朢時太隂本輪心距正交之平行度也平朢太隂交周為平朢時太隂本輪心距正交之度)(加減交周距弧即為實朢時太隂本輪心距正交之度因其為本輪心行故仍名之曰平也)求實朢實交周置實朢平交周加減太隂實均得實朢實交周自初宫初度至初宫一十二度一十六分五十五秒自五宫一十七度四十三分零五秒至六宫一十二度一十六分五十五秒自十一宫一十七度四十三分零五秒至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算(實朢實交周者實朢時太隂距正交之實行度也實朢平交周為太)(隂本輪心距正交之度而太陰實行又有加減之差故加減太隂實均為實交周也其入限宫度乃太隂)(距交必食之限詳交食厯理太陰食限篇)推太陽實經第六(推太陽實經為月食第六段盖月食之時刻由於太陽而太陽之時刻定於赤道故求太陽實經所)(以為求時差之用也)求太陽距弧以三千六百秒為一率一小時太陽平行一百四十七秒八四七一○四九為二率實距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太陽距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減(太陽距弧者平朢距實朢太陽)(本輪心之行度也與交周距弧之理同)求實朢太陽平行置平朢太陽平行加減太陽距弧得實朢太陽平行(與實朢平交周之理同)求太陽黄道經度置實朢太陽平行加減太陽實均得太陽黄道經度(與實朢實交周之理同)求太陽赤道經度以半徑一千萬為一厯黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為二厯太陽距春秋分黄道經度之正切線為三厯(太陽黄道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫)(者與九宫相減過九宫者減九宫得太陽距春秋分黄道經度)求得四厯為赤道經度之正切線檢表得太陽距春秋分赤道經度以冬至起初宫命之得太陽赤道經度推實朢用時第七(推實朢用時為月食第七段葢實朢固為日月相對之時刻而驗諸實測猶有㣲差因有時差也故)(加減二時差之總為實朢用時)求均數時差以太陽實均變時得均數時差(一度變為四分十五分變為一分十五秒)(變為一秒)實均為加者則為減實均為減者則為加求升度時差以太陽黄道經度與太陽赤道經度相減餘數變時得升度時差二分後為加二至後為減求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減(時差之理詳日躔厯理時差及交食厯理朔朢用時篇其加減為時差總者合両次加減為一次加)(減也)求實朢用時置實朢加減時差總得實朢用時距日出後日入前九刻以内者可以見食九刻以外者則全在晝即不必算(分晝夜之法以一小時月距日實行二十七分四十三秒為一率六十分為二率最大月半徑)(與最大影半徑相併得一度零三分三十九秒為三率求得四率一百三十八分收作九刻實朢在日出)(後九刻以内日出前可見初虧實朢在日入前九刻以内日入後可見復圓若九刻以外雖食分最大時)(刻最久亦不見食矣故不必筭)推食甚距緯食甚時刻第八(推食甚距緯食甚時刻為月食第八段蓋實朢用時固日月相對之時刻矣然太隂與地影斜距猶)(逺故求其白道緯度為距緯以辨相掩之淺深求其白道經差為交周升度差以定距時之早晚然)(後加減實朢用時為食甚時刻也詳交食厯理月食五限時刻篇)求食甚距緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率實朢實交周之正弦為三率求得四率為食甚距緯之正弦檢表得食甚距緯實交周初宫五宫為北六宫十一宫為南(食甚距緯者食甚時太隂距地)(影心之白道緯度也月離求緯度乃黄道之緯度與黄道成直角此所求之距緯乃白道之緯度與白道)(成直角夫求白道緯度應以黄道立筭今用實朢實交周者葢交食推朔朢以白道當黄道太隂白道經)(度與太陽黄道經度相同為朔相對為朢與月離用黄道經度推朔朢者不同故實朢時地影心距交之)(黄道經度與太隂距交之白道經度等用白道即用黄道也至於南北則以黄道為主實交周初宫至五)(宫為正交後入隂厯在黄道北六宫至十一宫為中交後入陽厯在黄道南月食方位所由定也)求食甚交周以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之餘弦為二率實朢實交周之正切線為三率求得四率為食甚交周之正切線檢表得食甚交周(食甚交周者食甚時太隂距正交之白道經度也葢實交周為實朢時太隂距正交之白道經度與地影)(心距正交之黄道經度等故用實朢實交周為地影心距交之黄道度求其相當之白道度為食甚時太)(隂距交之白道經度也)求交周升度差以食甚交周與實朢實交周相減得交周升度差(交周)(升度差者食甚時太隂交周與實朢時太隂交周之差也故相減得交周升度差)求月距日實行以一小時太隂引數與太隂實引相加依月離求初均數法算之為後均數與太隂實均相加減(實均與後均同)(為加或同為減者則相減一為加一為減者則相加)得數與一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八相加減(實均)(與後均同為加者後均加數大則加後均加數小則减同為減者後均減數大則減後均減數小則加一)(為加一為減者後均加則加後均減則減)得月距日實行(月距日實行者一小時月距日)(之實行度也葢初虧在食甚前復圓在食甚後其均數皆以漸而差故設食甚後一小時之引數求其均)(數與實均相較以得食甚後一小時月距日之實行則食甚前一小時之實行視此矣以此一小時月距)(日之實行與一小時為比例然後各相距之時刻可以得其真也)求食甚距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率交周升度差化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時實朢實交周五宫十一宫為加初宫六宫為減(食甚距時者食甚與實朢用時相距之時分也蓋食甚時太隂距交之白道度與實朢時太隂)(距交之白道度既有微差則食甚之時分與實朢用時之時分亦有微差故以一小時月距日實行與一)(小時之比同於交周升度差與食甚距時之比也定加減之法實朢實交周五宫十一宫在交前黄道度)(少白道度多故加初宫六宫在交後黄道度多白道度少故減)求食甚時刻置實朢用時加減食甚距時得食甚時刻自初時起子正一時為丑初以次順數至二十三時為夜子初每十五分收為一刻不足一刻者為零分推食分第九(推食分為月食第九段葢食分之多寡由於相掩之淺深相掩之淺深由於視徑之大小視徑之大)(小又由於距地之逺近故先求得距地數以得視徑及相掩之分數然後比例而得食分也)求太陽距地以太陽最髙距地一千零一十七萬九千二百零八為一率地半徑比例數一十一萬六千二百為二率太陽距地心之邊為三率求得四率即太陽距地(太陽)(距地者月食時太陽距地心與地半徑之比例數也)求太隂距地以太隂最髙距地一千零一十七萬二千五百為一率地半徑比例數五千八百一十六為二率太隂距地心之邊内減次均輪半徑一十一萬七千五百餘為三率求得四率即太隂距地(太隂距地者月食時太隂距地心與地半)(徑之比例數也太隂距地心之邉又減次均輪半徑者因朢時太隂在次均輪下㸃故也)求太隂半徑以太隂距地為一率太隂實半徑二十七為二率半徑一千萬為三率求得四率為太隂半徑之正弦檢表得太隂半徑求地影半徑以太陽光分半徑六百三十七内減地半徑一百餘五百三十七為一率太陽距地為二率地半徑一百為三率求得四率為地影之長又以地影之長為一率地半徑一百為二率半徑一千萬為三率求得四率為地影角之正弦檢表得地影角又以半徑一千萬為一率地影角之正切線為二率地影之長内減太隂距地餘為三率求得四率為太隂所當地影之濶乃以太隂距地為一率地影之濶為二率半徑一千萬為三率求得四率為地影半徑之正切線檢表得地影半徑(詳交食厯理地影半徑篇)求併徑以太隂半徑與地影半徑相加得併徑求食分以太隂半徑倍之為一率十分為二率併徑内減食甚距緯餘為三率求得四率即食分推初虧復圓時刻第十(推初虧復圓時刻為月食第十段葢初虧時太隂與地影兩周初相切復圓時太隂與地影兩周初)(相離故以兩半徑相加為兩心相距之度以此斜距之度求其白道度則得距弧以距弧比例得距)(時與食甚時刻相加減即得初虧復圓時刻矣詳交食厯理月食五限時刻篇)求初虧復圓距弧以食甚距緯之餘弦為一率併徑之餘弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為初虧復圓距弧之餘弦檢表得初虧復圓距弧(初虧復圓距弧者初虧距食甚或食甚距復圓之行)(度也與正弧三角形有黄道有距緯求赤道之法同)求初虧復圓距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧時刻置食甚時刻減初虧復圓距時得初虧時刻不足減者加二十四時減之初虧即在前一日命時之法與食甚同求復圓時刻置食甚時刻加初虧復圓距時得復圓時刻加滿二十四時去之復圓即在次日命時之法與食甚同推食既生光時刻第十一(推食既生光時刻為月食第十一段葢食既時太隂全入影中生光時太隂方出影外故以兩半徑)(相減為兩心相距之度以此斜距之度求其白道度則得距弧以距弧比例得距時與食甚時刻相)(加減即得食既生光時刻矣詳交食厯理月食五限時刻篇)求食既生光距弧以食甚距緯之餘弦為一率地影半徑内減太隂半徑餘為徑較檢其餘弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為食既生光距弧之餘弦檢表得食既生光距弧(如徑較小於距緯則月食必在十分以内即無食既生光)求食既生光距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率食既生光距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得食既生光距時求食既時刻置食甚時刻減食既生光距時得食既時刻不足減者加二十四時減之食既即在前一日命時之法與食甚同求生光時刻置食甚時刻加食既生光距時得生光時刻加滿二十四時去之生光即在次日命時之法與食甚同推太隂經緯宿度第十二(推太隂經緯宿度為月食第十二段所以騐諸實測也)求黄白升度差以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之餘弦為二率食甚交周之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與食甚交周相減餘為黄白升度差食甚距時加者亦為加食甚距時減者亦為減(與月離厯法求升度差同)求大隂黄道經度置太陽黄道經度加減六宫(過六宫者減六宫不及六宫者加六宫)再加減食甚距弧又加減黄白升度差得太隂黄道經度(太隂黄道經度者食甚時太隂黄道經度也求實朢時既以白道當黄道則以實朢太陽黄道經度)(加減六宫即得實朢太隂白道經度再加減食甚距弧即得食甚太隂白道經度故又加減黄白升度差)(方為食甚時太隂黄道經度也)求太隂黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察太隂黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為太隂黄道宿度求太隂黄道緯度以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率食甚交周之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得太隂黄道緯度食甚交周初宫五宫為北六宫十一宫為南(與月離求黄道緯度之法同)求太隂赤道經度赤道緯度以太隂距黄極度為一邊(太隂在黄道北則以黄道緯度與九十度相減在黄)(道南則以黄道緯度與九十度相加得太隂距黄極度)黄極距赤極二十三度二十九分三十秒為一邊太隂距冬至黄道經度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)用斜弧三角形知兩邊一角而角在兩邊之間求對邊之法求得對邊為太隂距赤極度過九十度者減九十度餘為赤道南緯度不及九十度者與九十度相減餘為赤道北緯度又求得近赤極之角為太隂距冬至赤道經度(與恒星厯)(理推恒星赤道經緯度之法同)求太隂赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿鈐察太隂赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為太隂赤道宿度推月食方位及食限總時(推月食方位及食限總時亦以騐諸實測盖方位雖無闗於行度而實有合於仰觀仰觀既合則黄)(道之出入白道之交錯皆有明徵矣總時既有闗於遲疾又以騐諸久暫久暫既騐則併徑之大小)(食分之淺深皆有確據矣)求春秋分距地平赤道度以食甚時刻變赤道度(每時之四分變作一度每時之一分變作十五分毎時之)(一秒變作十五秒)又於太陽赤道經度内減三宫(不足減者加十二宫)(減之)餘為太陽距春分赤道度兩數相加(加滿全周去之)為春分距子正赤道度過半周者減半周餘為春分距正午西赤道度不及半周者與半周相減餘為春分距正午東赤道度距正午西過九十度者與半周相減餘為秋分距正午東赤道度距正午東過九十度者與半周相減餘為秋分距正午西赤道度以春秋分距正午東西赤道度與九十度相減餘為春秋分距地平赤道度(春秋分為黄赤二道之交求得春秋分距地平赤道度則春秋分距地平黄道)(度與黄道地平交角皆可推矣然欲求春秋分距地平赤道度必先求春秋分距正午赤道度而欲求春)(秋分距正午赤道度必先求太陽距春分與距子正赤道度葢太陽赤道度起於冬至右旋時刻赤道度)(起於子正左旋故必於太陽赤道經度内減去三宫餘為太陽距春分赤道度與時刻赤道度相加為春)(分距子正赤道度知春分距子正赤道度即知春分距正午前後赤道度或秋分距正午前後赤道度既)(得春秋分距正午赤道度而正午距地平又恒為九十度故以春秋分距正午赤道度與九十度相減得)(春秋分距地平赤道度也)求黄道地平交角以春秋分距地平赤道度為所知之一邊黄赤交角二十三度二十九分三十秒及赤道地平交角(春分在正)(午西秋分在正午東用對赤道髙弧之角如京師為五十度零五分春分在正午東秋分在正午西則以)(赤道高弧與半周相減用其餘如京師為一百二十九度五十五分)為所知之兩角用斜弧三角形知兩角一邊而邊在兩角之間求對角之法求得對角春分在正午東秋分在正午西者則求得之角即為黄道地平交角春分在正午西秋分在正午東者則以求得之角與半周相減餘為黄道地平交角(黄道地平交角者黄道與地平南半周相交之角即黄平象限距地平之髙也春分)(在正午東秋分在正午西則地平黄道在赤道北故求得對赤道之角即黄道與地平南半周相交之角)(春分在正午西秋分在正午東則地平黄道在赤道南故求得對赤道之角為黄道與地平北半周相交)(之交必與半周相減方為黄道與地平南相交之角也)求春秋分距地平黄道度以黄道地平交角之正弦為一率赤道地平交角之正弦為二率春秋分距地平赤道度之正弦為三率求得四率為春秋分距地平黄道度之正弦檢表得春秋分距地平黄道度求太隂距春秋分黄道度春分在地平上者(或在正午前或在正午後皆為在地平上)以太隂黄道經度與三宫相減餘為太隂距春分黄道度秋分在地平上者以太隂黄道經度與九宫相減餘為太隂距秋分黄道度春秋分宫度大於太隂宫度為距春秋分前春秋分宫度小於太隂宫度為距春秋分後求太隂距地平黄道度春秋分在正午西者太隂在春秋分後則以太隂距春秋分黄道度與春秋分距地平黄道度相加太隂在春秋分前則以太隂距春秋分黄道度與春秋分距地平黄道度相減得太隂距地平黄道度春秋分在正午東者太隂在春秋分後則以太隂距春秋分黄道度與春秋分距地平黄道度相減太隂在春秋分前則以太隂距春秋分黄道度與春秋分距地平黄道度相加得太隂距地平黄道度求太隂距限春秋分在正午西者太隂距地平黄道度不及九十度為限西過九十度為限東春秋分在正午東者太隂距地平黄道度不及九十度為限東過九十度為限西求黄道髙弧交角以太隂距地平黄道度之餘弦為一率半徑一千萬為二率黄道地平交角之餘切線為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得黄道髙弧交角(此以上即日食求黄平象限及黄道髙弧交角之理因月食未論及黄平象限故用春秋分距地平及太)(隂距地平黄道度立算以從簡易詳交食厯理定月食方位篇與日食求黄平象限諸法可以參看)求初虧交周置食甚交周減初虧復圓距弧得初虧交周求復圓交周置食甚交周加初虧復圓距弧得復圓交周求初虧距緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率初虧交周之正弦為三率求得四率為初虧距緯之正弦檢表得初虧距緯初虧交周初宫五宫為緯北六宫十一宫為緯南求復圓距緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率復圓交周之正弦為三率求得四率為復圓距緯之正弦檢表得復圓距緯復圓交周初宫五宫為緯北六宫十一宫為緯南求初虧緯差角以併徑之正弦為一率初虧距緯之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為初虧緯差角之正弦檢表得初虧緯差角求復圓緯差角以併徑之正弦為一率復圓距緯之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為復圓緯差角之正弦檢表得復圓緯差角求初虧定交角太隂在限東者初虧緯南則以初虧緯差角與黄道髙弧交角相加初虧緯北則以初虧緯差角與黄道髙弧交角相減得初虧定交角太隂在限西者初虧緯南則以初虧緯差角與黄道髙弧交角相減初虧緯北則以初虧緯差角與黄道髙弧交角相加得初虧定交角如初虧無距緯則無初虧緯差角而黄道髙弧交角即初虧定交角求復圓定交角太隂在限東者復圓緯南則以復圓緯差角與黄道髙弧交角相減復圓緯北則以復圓緯差角與黄道髙弧交角相加得復圓定交角太隂在限西者復圓緯南則以復圓緯差角與黄道髙弧交角相加復圓緯北則以復圓緯差角與黄道髙弧交角相減得復圓定交角如復圓無距緯則無復圓緯差角而黄道髙弧交角即復圓定交角求初虧方位太隂在限東者初虧定交角在四十五度以内為下偏左在四十五度以外為左偏下適足九十度為正左過九十度為左偏上太隂在限西者初虧定交角在四十五度以内為上偏左在四十五度以外為左偏上適足九十度亦為正左過九十度為左偏下求復圓方位太隂在限東者復圓定交角在四十五度以内為上偏右在四十五度以外為右偏上適足九十度為正右過九十度為右偏下太隂在限西者復圓定交角在四十五度以内為下偏右在四十五度以外為右偏下適足九十度亦為正右過九十度為右偏上(京師)(北極髙四十度故月食方位皆以黄平象限在天頂南而定若北極髙二十三度以下黄平象限有時在)(天頂北則月食方位之左右與此相反)求食限總時以初虧復圓距時倍之得食限總時(食限總時者初虧至復圓之時)(刻也初虧距食甚與食甚距復圓其時分恒相等故以初虧復圓距時倍之即得食限總時也)用表推月食法推入交求首朔太隂交周用交食首朔諸根表察本年太隂交周宫度分秒(三十)(微進一秒下倣此)得首朔太隂交周求逐月朢太隂交周用交食朔朢䇿表察正月太隂交周朢䇿宫度分秒與首朔太隂交周相加得正月朢太隂交周以下遞加交周朔䇿一宫零四十分一十四秒得逐月朢太隂交周求入交月數逐月朢太隂交周自初宫初度至初宫一十四度五十四分自五宫一十五度零六分至六宫一十四度五十四分自十一宫一十五度零六分至十一宫三十度皆為太隂入交第㡬月入交即第㡬月有食推平朢諸平行第一求首朔諸根用交食首朔諸根表察本年首朔日時分秒得首朔根察本年太陽平行宫度分秒得太陽平行根察本年太陽引數宫度分秒得太陽引數根察本年太隂引數宫度分秒得太陰引數根察本年太隂交周宫度分秒得太隂交周根并察紀日求諸朢䇿用交食朔朢䇿表察本月朢䇿日時分秒得朢䇿察本月太陽平行朢䇿宫度分秒得太陽平行朢䇿察本月太陽引數朢䇿宫度分秒得太陽引數朢䇿察本月太隂引數朢䇿宫度分秒得太陰引數朢䇿察本月太陰交周朢䇿宫度分秒得太陰交周朢䇿求平朢以首朔根紀日朢䇿三數相加其日滿紀法六十去之得平朢自初日甲子起算得平朢干支自初時起子正一時為丑初以次順數至二十三時為夜子初每十五分收為一刻不足一刻者為零分得平望時分秒求平朢太陽平行以太陽平行根與太陽平行朢䇿相加得平望太陽平行求平望太陽引數以太陽引數根與太陽引數朢䇿相加得平望太陽引數求平望太隂引數以太隂引數根與太隂引數望䇿相加得平望太隂引數求平望太隂交周以太隂交周根與太隂交周望䇿相加得平望太隂交周推日月相距第二求太陽均數用日躔太陽均數表以平朢太陽引數宫度分察其所對之度分秒得太陽均數并記加減號求太隂均數用月離太隂初均數表以平望太隂引數宫度分察其所對之度分秒得太隂均數并記加減號求距弧太陽太隂兩均數同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧求距時用交食周日諸平行表以距弧度分秒察月距日相當之數取其所對之時分秒得距時凡太陽太隂兩均數同為加者太陽加均大則距時為加太陽加均小則距時為減同為減者太陽減均大則距時為減太陽減均小則距時為加一為加一為減者太陽為加均則距時為加太陽為減均則距時為減推實引第三求太陽引弧用交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太陽平行相對之數而併之得太陽引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減(太陽每日之最卑行不過十分秒之一則)(太陽引數畧與太陽平行同故求太陽引弧即用太陽平行也)求太隂引弧用交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太隂引數相對之數而併之得太隂引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太陽實引置平望太陽引數加減太陽引弧得太陽實引求太隂實引置平望太隂引數加減太隂引弧得太隂實引推實望第四求太陽實均用日躔太陽均數表以太陽實引宫度分察其所對之度分秒得太陽實均并記加減號求太隂實均用月離太隂初均數表以太隂實引宫度分察其所對之度分秒得太隂實均并記加減號求實距弧太陽太隂兩實均同為加或同為減者則相減得實距弧一為加一為減者則相加得實距弧求實距時用交食周日諸平行表以實距弧度分秒察月距日相當之數取其所對之時分秒得實距時定加減之法與距時同求實望置平望加減實距時得實望加滿二十四時則實望進一日不足減者借一日作二十四時則實望退一日推實交周第五求交周距弧用交食周日諸平行表以實距時之時分秒各察其與太隂交周相對之數而併之得交周距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實望平交周置平望太隂交周加減交周距弧得實望平交周求實望實交周置實望平交周加減太隂實均得實望實交周自初宫初度至初宫一十二度一十六分五十五秒自五宮一十七度四十三分零五秒至六宫一十二度一十六分五十五秒自十一宮一十七度四十三分零五秒至十一宮三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算推太陽實經第六求太陽距弧用交食周日諸平行表以實距時之時分秒各察其與太陽平行相對之數而併之得太陽距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實望太陽平行置平望太陽平行加減太陽距弧得實望太陽平行求太陽黄道經度置實望太陽平行加減太陽實均得太陽黄道經度求太陽赤道經度用日躔黄赤升度表以太陽黄道經度察其所對之赤道宫度分秒得太陽赤道經度推實望用時第七求均數時差用日躔均數時差表以太陽實引宮度察其所對之分秒得均數時差并記加減號求升度時差用日躔升度時差表以太陽黄道經度察其所對之分秒得升度時差并記加減號求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實望用時置實望加減時差總得實望用時距日出後日入前九刻以内者可以見食九刻以外者則全在畫即不必算推食甚距緯食甚時刻第八求食甚距緯用交食黄白距度表以實望實交周宫度分察其所對之度分秒得食甚距緯并記南北號(交食黄白距度表乃以白)(道經度求黄道緯度與黄道成直角若以黄道經度察表則其所得為白道緯度與白道成直角今實望)(實交周宫度與地影心距交之黄道度等故察表即得白道緯度而為食甚之距緯也)求交周升度差用月離黄白升度差表以實望實交周宫度察其所對之分秒得交周升度差并記加減號(月離黄白升度差表乃以)(白道經度求黄道升度差若以黄道經度察表則其所得為白道升度差今實望實交周與地影心距交)(之黄道度等故察表即得交周白道升度差也)求食甚交周實望實交周加減交周升度差得食甚交周(前法先得食甚)(交周而後相減得交周升度差此用表法先得交周升度差而後相減得食甚交周其理一也)求月距日實行用交食月距日實行表以太隂實引宫度察其所對之分秒得月距日實行求食甚距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率交周升度差化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時交周升度差為加者亦為加交周升度差為減者亦為減求食甚時刻置實望用時加減食甚距時得食甚時刻命時之法與平望同推食分第九求太隂半徑用交食視半徑表以太隂實引宫度察其與月半徑相對之分秒得太隂半徑求地影半徑用交食視半徑表以太隂實引宫度察其與影半徑相對之分秒得地影半徑求影差用交食視半徑表以太陽實引宫度察其與影差相對之分秒得影差求實影半徑置地影半徑減影差得實影半徑(地影半徑表乃以太陽在最髙所生)(之大影立算若太陽不在最髙者其影皆有微差故以太陽引數宫度察得影差以減地影半徑方為實)(影半徑不用求日月距地者因以引數察表則距地之髙卑已在其中也)求併徑以太隂半徑與實影半徑相加得併徑求食分以太隂半徑倍之為一率十分為二率併徑内減食甚距緯餘為三率求得四率即食分推初虧復圓時刻第十求初虧復圓距弧用交食月行表以併徑分及食甚距緯分察其所對之分秒得初虧復圓距弧求初虧復圓距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧時刻置食甚時刻減初虧復圓距時得初虧時刻不足減者加二十四時減之初虧即在前一日命時之法與平望同求復圓時刻置食甚時刻加初虧復圓距時得復圓時刻加滿二十四時去之復圓即在次日命時之法與平望同推食既生光時刻第十一求食既生光距弧用交食月行表以實影半徑内減太隂半徑之餘分及食甚距緯分察其所對之分秒得食既生光距弧求食既生光距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率食既生光距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得食既生光距時求食既時刻置食甚時刻減食既生光距時得食既時刻不足減者加二十四時減之食既即在前一日命時之法與平望同求生光時刻置食甚時刻加食既生光距時得生光時刻加滿二十四時去之生光即在次日命時之法與平望同推太隂經緯宿度第十二求黄白升度差用月離黄白升度差表以食甚交周宫度察其所對之分秒得黄白升度差并記加減號求太隂黄道經度置太陽黄道經度加減六宫(過六宫者減六宫不及六宫者加六宫)再加減交周升度差又加減黄白升度差得太隂黄道經度求太隂黄道緯度用交食黄白距度表以食甚交周宫度分察其所對之度分秒得太隂黄道緯度求太隂黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察太隂黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為太隂黄道宿度求太隂赤道經度用黄赤經緯互推表以太隂黄道經度及太隂黄道緯度察其所對之宫度分秒得太隂赤道經度求太隂赤道緯度用黄赤經緯互推表以太隂黄道經度及太隂黄道緯度察其所對之度分秒得太隂赤道緯度求太隂赤道宿度依恆星歴理求得本年赤道宿鈐察太隂赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為太隂赤道宿度推月食方位及食限總時求春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以食甚時刻加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距正午後時分兩數相加(加滿二十)(四時去之用其餘)得春分距午時分(春分距午時分者食甚時春分距正午後赤道)(度所變之時分也不用度數而用時分者為與食甚時刻相應也前法以距地平上立算或春分在地平)(上或秋分在地平上故求春分或秋分距地平赤道度此用表法以距正午後立算或在地平上或在地)(平下皆自春分起數故止求春分距午時分也)求月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數為黄平象限宫度與太隂黄道經度相減餘為月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度太於黄平象限宫度者為限東小於黄平象限宫度者為限西(月距限者太隂距黄)(平象限之度分也宫數之次皆自西而東故太隂黄道經度大於黄平象限宫度者為限東小於黄平象)(限宫度者為限西也)求限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以春分距正午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得限距地髙求黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以月距限及限距地髙之度察其所對之度分秒得黄道髙弧交角求初虧交周置食甚交周減初虧復圓距弧得初虧交周求復圓交周置食甚交周加初虧復圓距弧得復圓交周求初虧距緯用交食黄白距度表以初虧交周宫度察其所對之度分秒得初虧距緯并記南北號求復圓距緯用交食黄白距度表以復圓交周宫度察其所對之度分秒得復圓距緯并記南北號求初虧緯差角用交食緯差角表以併徑分及初虧距緯分察其所對之度分得初虧緯差角求復圓緯差角用交食緯差角表以併徑分及復圓距緯分察其所對之度分得復圓緯差角以下求定交角及方位并食限總時皆與前法同推各省月食法求各省月食時刻以京師月食時刻按各省東西偏度加減之(與推各省節氣)(時刻加減法同)得各省月食時刻求各省月食方位以各省赤道髙度及各省食甚時刻依京師推月食方位法算之得各省月食方位推月食帶食法求帶食距時以本日日出或日入時分與食甚時分相減餘為帶食距時(帶食距時者太隂出入地平距食甚之時刻也月食日月相對則日出時刻即月入時刻)(日入時刻即月出時刻故初虧或食甚在日入前者為帶食出地食甚或復圓在日出後者為帶食入地)(帶食出地者則以日入時分與食甚時分相減餘為帶食距時帶食入地者則以日出時分與食甚時分)(相減餘為帶食距時各省帶食以各省日出入時刻及各省食甚時刻算之)求帶食距弧以三千六百秒為一率一小時月距日實行化秒為二率(即推月食所用月距日實行也)帶食距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得帶食距弧(帶食距弧者太隂出入地平距食甚)(之行度也初虧復圓以距弧求距時帶食以距時求距弧其理同也)求帶食兩心相距以半徑一千萬為一率帶食距弧之餘切線為二率食甚距緯之餘弦為三率求得四率為兩心相距之餘切線檢表得帶食兩心相距(帶食兩心相距者帶食時太隂心與地影)(心相距之度也初虧復圓以併徑斜距之度與距緯求距弧之白道度帶食以距弧之白道度與距緯求)(兩心斜距之度其理同也)求帶食分秒以太隂半徑倍之為一率十分為二率併徑内減帶食兩心相距餘為三率求得四率即帶食分秒(帶食分秒)(者太隂出入地平時與地影相掩之分數為太隂全徑十分中之幾分也食甚兩心相距即距緯故於併)(徑内減距緯為三率帶食則於併徑内減帶食兩心相距為三率其理同也)定望推平望法康熙六十年辛丑十一月十五日壬寅望月食初虧戌正初刻十二分二十四秒零四微食甚亥正一刻四分零一秒零六微復圓十六日子正一刻十分三十八秒零八微食甚時太陽赤道經度初宫一十三度零六分零九秒一十六微太陽平行過冬至一十一度五十三分四十九秒四十一微(自厯元甲子年天正冬至次日)(子正初刻至本日食甚時刻計一萬三千八百九十日九二九八七三八與太陽每日平行相乗加厯元)(甲子年天正冬至次曰子正初刻太陽平行遇冬至二十分一十九秒一十八微即得)太陽引數過最卑四度零四分五十二秒一十二微(以食甚距厯元)(日分與最卑每日平行相乗加厯元甲子年最卑應得數與食甚太陽平行相減即得)太隂引數過最髙十一宫一十八度三十七分五十六秒四十四微(自崇禎戊辰年首朔至本日食甚時刻計三萬四千三百二十九日二四五五五六二與)(太隂每日自行相乗加崇禎戊辰年首朔太隂遇最髙一宮零七度三十四分三十四秒即得)太陽實均加八分五十六秒五十四微太隂實均加五十六分四十三秒四十四微太隂半徑一十五分五十七秒五十七微地影半徑四十二分三十九秒五十二微一小時月距日實行二十七分四十五秒四十四微推得初虧復圓距弧五十八分三十五秒一十九微食甚距緯在黄道北二分一十二秒三十八微食甚交周為初宫初度二十五分二十二秒五十六微實望實交周為初宫初度二十五分二十八秒三十九微交周升度差五秒四十三微食甚距時減一十二秒二十二微則實望用時為亥正一刻四分一十三秒二十八微均數時差減三十五秒四十八微升度時差減四分一十二秒四十二微則實望為亥正一刻九分零一秒五十八微實距時減一時三十四分零三秒五十八微則平望為夜子初三刻一十三分零五秒五十六微以食甚時刻與平望時刻相減得平望在食甚後一時三十九分零四秒五十微乃以食甚距平望時分之太陽平行四分零四秒零九微與食甚太陽平行相加得平望太陽平行為初宫一十一度五十七分五十三秒五十微加六宫得平望太隂平行為六宫一十一度五十七分五十三秒五十微以食甚距平望之太陽引數四分零四秒零八微與食甚太陽引數相加得平望太陽引數過最卑四度零八分五十六秒二十微以食甚距平望之太隂引數五十三分五十六秒一十五微與食甚太隂引數相加得平望太隂引數過最髙十一宫一十九度三十一分五十二秒五十九微又以實距時一時三十四分零三秒五十八微求得交周距弧五十一分五十一秒零六微與實望實交周相加(因平望求)(實望為減則實望求平望為加)得實望平交周初宫一度一十八分一十九秒四十五微減太隂實均五十六分四十三秒四十四微得平望交周初宫初度二十分三十六秒零一微又置平望太隂平行減平望交周得平望正交過冬至六宫一十一度三十七分一十七秒四十九微置平望太隂平行減平望太隂引數得平望月孛過冬至六宫二十二度二十六分零五十一微御製厯象考成下編卷三
## 下編卷四
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷四日食厯法推日食用數推日食法用表推日食法推各省日食法推日食帶食法推日食用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十朔策二十九日五三○五九三太陽平行朔策一十萬四千七百八十四秒小餘三○四三二四太陽引數朔策一十萬四千七百七十九秒小餘三五八八六五太隂引數朔策九萬二千九百四十秒小餘二四八五九太隂交周朔䇿一十一萬零四百一十四秒小餘○一六五七四一小時太陽平行一百四十七秒小餘八四七一○四九一小時太陽引數一百四十七秒小餘八四○一二七一小時太隂引數一千九百五十九秒小餘七四七六五四二一小時太隂交周一千九百八十四秒小餘四○二五四九一小時月距日平行一千八百二十八秒小餘六一二一一○八太陽本天半徑一千萬太陽本輪半徑二十六萬八千八百一十二太陽均輪半徑八萬九千六百零四太隂本天半徑一千萬太隂本輪半徑五十八萬太隂均輪半徑二十九萬太隂次均輪半徑一十一萬七千五百太陽實半徑五百零七(太陽實半徑為地半徑之五倍又百分之七今推日食命)(地半徑為一百分故太陽實半徑即為五百零七也)太隂實半徑二十七太陽最髙距地一千零一十七萬九千二百零八與地半徑之比例為一十一萬六千二百太隂最髙距地一千零一十七萬二千五百與地半徑之比例為五千八百一十六黄赤大距二十三度二十九分三十秒黄白大距四度五十八分三十秒氣應七日六五六三七四九二六紀日八朔應二十六日三八五二六六六首朔太陽平行應初宫二十六度二十分四十二秒五十七微首朔太陽引數應初宫一十九度一十分二十七秒二十一微首朔太隂引數應九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微首朔太隂交周應六宫初度三十分五十五秒一十四微推日食法推首朔諸平行及入交(推首朔諸平行及入交為日食入算之首其理與月食同但日食在朔故皆不用朢䇿)求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求紀日以天正冬至日數加一日得紀日求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求通朔置積日減朔應二十六日三八五二六六六得通朔上考往古則置積日加朔應得通朔求積朔及首朔置通朔以朔䇿二十九日五三○五九三除之得數加一為積朔餘數與朔䇿相減為首朔上考往古則置通朔以朔䇿除之得數為積朔餘數為首數求首朔太陽平行以積朔與太陽平行朔䇿一十萬四千七百八十四秒三○四三二四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太陽平行加首朔太陽平行應初宫二十六度二十分四十二秒五十七微得首朔太陽平行上考往古則置首朔太陽平行應減積朔太陽平行得首朔太陽平行求首朔太陽引數以積朔與太陽引數朔策一十萬四千七百七十九秒三五八八六五相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太陽引數加首朔太陽引數應初宫一十九度一十分二十七秒二十一微得首朔太陽引數上考往古則置首朔太陽引數應減積朔太陽引數得首朔太陽引數求首朔太隂引數以積朔與太隂引數朔䇿九萬二千九百四十秒二四八五九相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太隂引數加首朔太隂引數應九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微得首朔太隂引數上考往古則置首朔太隂引數應減積朔太隂引數得首朔太隂引數求首朔太隂交周以積朔與太隂交周朔策一十一萬零四百一十四秒○一六五七四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太隂交周加首朔太隂交周應六宫初度三十分五十五秒一十四微得首朔太隂交周上考往古則置首朔太隂交周應減積朔太隂交周得首朔太隂交周求逐月朔太隂交周置本年首朔太隂交周以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒零一微遞加十三次得逐月朔太隂交周求太隂入交月數逐月朔太隂交周自初宫初度至初宫二十度五十二分自五宫九度零八分至六宫八度五十一分自十一宫二十一度零九分至十一宫三十度皆為太隂入交第幾月入交即第幾月有食(太隂距正交後中交前在黄道)(北可食之限二十度五十二分太隂距中交後正交前在黄道南可食之限八度五十一分故逐月朔太)(隂交周在此限以内者為入交詳交食厯理太陽食限篇)推平朔諸平行第一(推平朔諸平行為日食第一段其理亦與月食同)求平朔以太隂入交月數與朔䇿二十九日五三○五九三相乘得數與本年首朔日分相加再加紀日滿紀法六十去之得平朔自初日甲子起算得平朔干支以周日一千四百四十分通其小餘得平朔時分秒求平朔太陽平行以太隂入交月數與太陽平行朔䇿一十萬四千七百八十四秒三○四三二四相乘得數與本年首朔太陽平行相加得平朔太陽平行求平朔太陽引數以太隂入交月數與太陽引數朔䇿一十萬四千七百七十九秒三五八八六五相乘得數與本年首朔太陽引數相加得平朔太陽引數求平朔太隂引數以太隂入交月數與太隂引數朔䇿九萬二千九百四十秒二四八五九相乘得數與本年首朔太隂引數相加得平朔太隂引數推日月相距第二(推日月相距為日食第二段其理亦與月食同若兩均加減同度分亦同則無距弧亦無距時而平)(朔即實朔詳交食厯理朔朢有平實之殊篇)求太陽均數以平朔太陽引數依日躔求均數法算之得太陽均數引數初宫至五宫為加六宫至十一宫為減求太隂均數以平朔太隂引數依月離求初均數法算之得太隂均數引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加求距弧太陽太隂兩均數同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧求距時以一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八為一率三千六百秒為二率距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得距時太陽太隂兩均數同為加者太陽加均大則距時為加太陽加均小則距時為減同為減者太陽減均大則距時為減太陽減均小則距時為加一為加一為減者太陽為加均則距時為加太陽為減均則距時為減推實引第三(推實引為日食第三段其理亦與月食同)求太陽引弧以三千六百秒為一率一小時太陽引數一百四十七秒八四○一七二為二率距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太陽引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太隂引弧以三千六百秒為一率一小時太隂引數一千九百五十九秒七四七六五四二為二率距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太隂引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太陽實引置平朔太陽引數加減太陽引弧得太陽實引求太隂實引置平朔太隂引數加減太隂引弧得太隂實引推實朔第四(推實朔為日食第四段其理亦與月食同)求太陽實均以太陽實引依日躔求均數法算之得太陽實均實引初宫至五宫為加六宫至十一宫為減隨求太陽距地心之邊為求太陽距地之用求太隂實均以太隂實引依月離求初均數法算之得太隂實均實引初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求太隂距地心之邊為求太隂距地之用求實距弧太陽太隂兩實均同為加或同為減者則相減得實距弧一為加一為減者則相加得實距弧求實距時以一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八為一率三千六百秒為二率實距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得實距時定加減之法與距時同求實朔置平朔加減實距時得實朔加滿二十四時則實朔進一日不足減者借一日作二十四時則實朔退一日推實交周第五(推實交周為日食第五段其理亦與月食同)求交周距弧以三千六百秒為一率一小時太隂交周一千九百八十四秒四○二五四九為二率實距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得交周距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實朔平交周置平朔太隂交周加減交周距弧得實朔平交周求實朔實交周置實朔平交周加減太隂實均得實朔實交周自初宫初度至初宫一十八度一十五分自五宫一十一度四十五分至六宫六度一十四分自十一宫二十三度四十六分至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算(入限宫度乃實朔距交可食之限詳交食厯理)(太陽食限篇)推太陽實經第六(推太陽實經為日食第六段後求黄平象限皆以太陽經度為根非但為求時差之用而己餘與月)(食同)求太陽距弧以三千六百秒為一率一小時太陽平行一百四十七秒八四七一○四九為二率實距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太陽距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實朔太陽平行置平朔太陽平行加減太陽距弧得實朔太陽平行求太陽黄道經度置實朔太陽平行加減太陽實均得太陽黄道經度求太陽赤道經度以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為二率太陽距春秋分黄道經度之正切線為三率(太陽黄道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫)(者與九宫相減過九宫者減九宫得太陽距春秋分黄道經度)求得四率為赤道經度之正切線檢表得太陽距春秋分赤道經度以冬至起初宫命之得太陽赤道經度推實朔用時第七(推食朔用時為日食第七段其理亦與月食同)求均數時差以太陽實均變時得均數時差(一度變為四分十五分變為一分十五秒)(變為一秒)實均為加者則為減實均為減者則為加求升度時差以太陽黄道經度與太陽赤道經度相減餘數變時得升度時差二分後為加二至後為減求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實朔用時置實朔加減時差總得實朔用時距日出前日入後五刻以内者可以見食五刻以外者則全在夜即不必算(分晝夜之法以一小時月距日實行二十七分四十三秒為一率六十分為二率最大日半徑)(與最大月半徑相併得三十二分二十三秒三十微為三率求得四率七十分收作五刻實朔在日入後)(五刻以内日入前可見初虧實朔在日出前五刻以内日出後可見復圓若五刻以外雖食分最大時刻)(最久亦不見食矣故不必算)推食甚實緯食甚用時第八(推食甚實緯食甚用時為日食第八段詳交食厯理日食三限時刻及求日食食甚用時食甚交周)(食甚實緯篇)求食甚實緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率實朔實交周之正弦為三率求得四率為食甚實緯之正弦檢表得食甚實緯實交周初宫五宫為北六宫十一宫為南求食甚交周以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之餘弦為二率實朔實交周之正切線為三率求得四率為食甚交周之正切線檢表得食甚交周求交周升度差以食甚交周與實朔實交周相減得交周升度差求月距日實行以一小時太隂引數與太隂實引相加依月離求初均數法算之為後均數與太隂實均相加減(實均與後均同)(為加或同為減者則相減一為加一為減者則相加)得數與一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八相加減(實均)(與後均同為加者後均加數大則加後均加數小則減同為減者後均減數大則減後均減數小則加一)(為加一為減者後均加則加後均減則減)得月距日實行求食甚距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率交周升度差化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時食甚交周五宫十一宫為加初宫六宫為減求食甚用時置實朔用時加減食甚距時食甚用時推食甚近時第九(推食甚近時為日食第九段詳交食厯理求食甚真時及食甚視緯篇)求用時春分距午赤道度以太陽赤道經度減三宫(不足減者加十二宫減之)為太陽距春分後赤道度又以食甚用時變赤道度(一小時變為十五度一分)(變為十五分一秒變為十五秒)加減半周(不及半周則加半周過半周則減半周)為太陽距正午後赤道度兩數相加(加滿全周去之用其餘)得用時春分距午赤道度(用時春分距午赤道度專以距午後立算蓋太陽赤道度自西而東)(時刻赤道度自東而西時刻既以距午後起算則太陽在正午之西太陽又以距春分後起算則春分更)(在太陽之西故兩數相加得春分距午後赤道度也後倣此)求用時春秋分距午赤道度用時春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度(用時春秋分距午赤道度專以地平上立算不論距)(午東西如春分距午不過象限則春分仍在地平上故其度數即為春分距午西赤道度過一象限則春)(分在地平下而在子正前春分既在子正前則秋分必在午正前故與半周相減餘為秋分距午東赤道)(度也他倣此)求用時春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率用時春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得用時春秋分距午黄道度求用時正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率用時春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得用時正午黄赤距緯求用時黄道與子午圈交角以用時春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率用時春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得用時黄道與子午圏交角求用時正午黄道宫度春分在午西者以用時春秋分距午黄道度加三宫秋分在午西者以用時春秋分距午黄道度加九宫春分在午東者以用時春秋分距午黄道度與三宫相減秋分在午東者以用時春秋分距午黄道度與九宫相減得用時正午黄道宫度(春分在午西則正午黄道當春分後)(故加春分距冬至之三宫仍自冬至初宫起算得用時正午黄道宫度也他倣此)求用時正午黄道髙用時正午黄道宫度三宫至八宫則以用時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加用時正午黄道宫度九宫至二宫則以用時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得用時正午黄道髙(正午黄道宫度三宫至八宫則在春分後秋分前距赤道北故加九宫至二宫則在秋分後春)(分前距赤道南故減)求用時黄平象限距午度分以用時黄道與子午圏交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率用時正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為用時黄平象限距午度分求用時黄平象限宫度用時正午黄道宫度初宫至五宫則以用時黄平象限距午度分與用時正午黄道宫度相加用時正午黄道宫度六宫至十一宫則以用時黄平象限距午度分與用時正午黄道宫度相減得用時黄平象限宫度(正午黄道宫度初宫至五宫則冬至後宫度當正午而黄極在子午圈之西黄平象限必在子)(午圈之東故加正午黄道宫度六宫至十一宫則夏至後宫度當正午而黄極在子午圈之東黄平象限)(必在子午圈之西故減用時正午黄道髙過九十度者加減反是)求用時月距限以太陽黄道經度與用時黄平象限宫度相減餘為月距限度(有一宫作三十度)太陽黄道經度大於用時黄平象限宫度者為限東小於用時黄平象限宫度者為限西求用時限距地髙以半徑一千萬為一率用時黄道與子午圏交角之正弦為二率用時正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得用時限距地髙求用時太隂髙弧以半徑一千萬為一率用時限距地髙之正弦為二率用時月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得用時太隂髙弧求用時黄道髙弧交角以用時月距限之正弦為一率用時限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得用時黄道髙弧交角(以上)(並詳交食厯理求黄平象限及黄道髙弧交角并太陽髙弧篇)求用時白道髙弧交角置用時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫用時月距限東則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫用時月距限東則減月距限西則加)得用時白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為用時白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北(詳交食厯理求白平象限及白道髙弧交角并太隂髙弧篇)求太陽距地以太陽最髙距地一千零一十七萬九千二百零八為一率地半徑比例數一十一萬六千二百為二率太陽距地心之邊為三率求得四率即太陽距地求太隂距地以太隂最髙距地一千零一十七萬二千五百為一率地半徑比例數五千八百一十六為二率太隂距地心之邊内減次均輪半徑一十一萬七千五百餘為三率求得四率即太隂距地求用時髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊用時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊用時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為用時髙下差(日食時太陽與太隂同度其髙弧畧等故借用)(之其求髙下差之理詳日躔月離地半徑差及交食厯理日食三差篇)求用時東西差以半徑一千萬為一率用時白道髙弧交角之餘弦為二率用時髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得用時東西差(詳交食厯理求東西南北)(差篇)求近時距分以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率用時東西差化秒為三率求得四率為秒以時分收之得近時距分用時月距限西為加月距限東為減(以用)(時白道髙弧交角變限不變限為定)求食甚近時置食甚用時加減近時距分得食甚近時推食甚真時第十(推食甚真時為日食第十段蓋近時既與用時不同則近時之東西差亦必與用時不同故又以近)(時春分距午赤道度求近時東西差以定視行惟於太陽距春分後赤道度與太陽距地太隂距地)(仍用前數者因用時與近時之太陽行度所差甚微其距地之差可以不計太隂行度雖或差至數)(十分而太隂距地之闗於髙下差者亦相去不逺故仍用前數)求近時春分距午赤道度以食甚近時變赤道度加減半周(不及半周則加半周過半周則減半)(周)與太陽距春分後赤道度相加(太陽距春分後赤道度即前求用時)(春分距午赤道度條内所得之數)得近時春分距午赤道度(加滿全周去之)(用其餘)求近時春秋分距午赤道度近時春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度求近時春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率近時春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得近時春秋分距午黄道度求近時正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率近時春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得近時正午黄赤距緯求近時黄道與子午圏交角以近時春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率近時春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得近時黄道與子午圏交角求近時正午黄道宫度春分在午西者以近時春秋分距午黄道度加三宫秋分在午西者以近時春秋分距午黄道度加九宫春分在午東者以近時春秋分距午黄道度與三宫相減秋分在午東者以近時春秋分距午黄道度與九宫相減得近時正午黄道宫度求近時正午黄道髙近時正午黄道宫度三宫至八宫則以近時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加近時正午黄道宫度九宫至二宫則以近時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得近時正午黄道髙求近時黄平象限距午度分以近時黄道與子午圏交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率近時正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為近時黄平象限距午度分求近時黄平象限宫度近時正午黄道宫度初宫至五宫則以近時黄平象限距午度分與近時正午黄道宫度相加近時正午黄道宫度六宫至十一宫則以近時黄平象限距午度分與近時正午黄道宫度相減得近時黄平象限宫度(近時正午黄道髙過九十度者加減反是)求近時月距限置太陽黄道經度加減用時東西差(近時距分加者亦為加近時距)(分減者亦為減)得近時太隂黄道經度與近時黄平象限宫度相減餘為近時月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於近時黄平象限宫度為距限東小於近時黄平象限宫度為距限西(用時太隂與太陽同度故即以太陽黄道經度與用時黄)(平象限宫度相減為用時月距限度既因東西差而變用時為近時則太陽在限西者太隂實在太陽之)(東太陽在限東者太隂實在太陽之西故加減用時東西差為近時太隂黄道經度以此求太隂髙弧及)(黄道髙弧交角得數又為親切也)求近時限距地髙以半徑一千萬為一率近時黄道與子午圏交角之正弦為二率近時正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得近時限距地髙求近時太隂髙弧以半徑一千萬為一率近時限距地髙之正弦為二率近時月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得近時太隂髙弧求近時黄道髙弧交角以近時月距限之正弦為一率近時限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得近時黄道髙弧交角求近時白道髙弧交角置近時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(加減與用時白道髙弧交角同)得近時白道髙弧交角求近時髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊近時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊近時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為近時髙下差求近時東西差以半徑一千萬為一率近時白道髙弧交角之餘弦為二率近時髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得近時東西差求食甚視行以用時東西差倍之減近時東西差餘為食甚視行求真時距分以食甚視行化秒為一率近時距分化秒為二率用時東西差化秒為三率求得四率為秒以時分收之得真時距分加減號與近時距分同求食甚真時置食甚用時加減真時距分得食甚真時推食分第十一(推食分為日食第十一段詳交食厯理求食甚真時及食甚視緯并日食分秒篇)求真時春分距午赤道度以食甚真時變赤道度加減半周(不反半周則加半周過半周則減半)(周)與太陽距春分後赤道度相加得真時距午赤道度(加滿全用去之用其餘)求真時春秋分距午赤道度真時春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度求真時春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率真時春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得真時春秋分距午黄道度求真時正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率真時春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得真時正午黄赤距緯求真時黄道與子午圏交角以真時春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率真時春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得真時黄道與子午圏交角求真時正午黄道宫度春分距午西者以真時春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以真時春秋分距午黄道度加九宫春分距午東者以真時春秋分距午黄道度與三宫相減秋分距午東者以真時春秋分距午黄道度與九宫相減得真時正午黄道宫度求真時正午黄道髙真時正午黄道宫度三宫至八宫則以真時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加真時正午黄道宫度九宫至二宫則以真時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得真時正午黄道髙求真時黄平象限距午度分以真時黄道與子午圈交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率真時正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為真時黄平象限距午度分求真時黄平象限宫度真時正午黄道宫度初宫至五宫則以真時黄平象限距午度分與真時正午黄道宫度相加真時正午黄道宫度六宫至十一宫則以真時黄平象限距午度分與真時正午黄道宫度相減得真時黄平象限宫度(真時正午黄道髙過九十度者加減反是)求真時月距限置太陽黄道經度加減近時東西差(真時距分加者亦為加真時距)(分減者亦為減)得真時太隂黄道經度與真時黄平象限宫度相減餘為真時月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於真時黄平象限宫度為距限東小於真時黄平象限宫度為距限西求真時限距地髙以半徑一千萬為一率真時黄道與子午圏交角之正弦為二率真時正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得真時限距地髙求真時太隂髙弧以半徑一千萬為一率真時限距地髙之正弦為二率真時月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得真時太隂髙弧求真時黄道髙弧交角以真時月距限之正弦為一率真時限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得真時黄道髙弧交角求真時白道髙弧交角置真時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(加減與用時白道髙弧交角同)得真時白道髙弧交角求真時髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊真時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊真時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為真時髙下差求真時東西差以半徑一千萬為一率真時白道髙弧交角之餘弦為二率真時髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得真時東西差求真時南北差以半徑一千萬為一率真時白道髙弧交角之正弦為二率真時髙下差之正弦為三率求得四率為南北差之正弦檢表得真時南北差求食甚視緯置食甚實緯加減真時南北差得食甚視緯白平象限在天頂南者實緯在黄道南則加而視緯仍為南實緯在黄道北則減而視緯仍為北若實緯在黄道北而南北差大於實緯則反減而視緯即變為南白平象限在天頂北者實緯在黄道北則加而視緯仍為北實緯在黄道南則減而視緯仍為南若實緯在黄道南而南北差大於實緯則反減而視緯即變為北求太陽半徑以太陽距地為一率太陽實半徑五百零七為二率半徑一千萬為三率求得四率為太陽半徑之正弦檢表得太陽半徑求太隂半徑以太隂距地為一率太隂實半徑二十七為二率半徑一千萬為三率求得四率為太隂半徑之正弦檢表得太隂半徑求併徑以太陽半徑與太隂半徑相加得併徑求食分以太陽半徑倍之為一率十分為二率併徑内減食甚視緯餘為三率求得四率即食分推初虧真時第十二(推初虧真時為日食第十二段詳交食厯理求初虧復圓用時及求初虧復圓真時篇)求初虧復圓距弧以食甚視緯之餘弦為一率併徑之餘弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為初虧復圓距弧之餘弦檢表得初虧復圓距弧求初虧復圓距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧用時置食甚真時減初虧復圓距時得初虧用時求初虧春分距午赤道度以初虧用時變赤道度加減半周(不及半周則加半周過半周則減半)(周)與太陽距春分後赤道度相加得初虧春分距午赤道度(加滿全周去之用其餘)求初虧春秋分距午赤道度初虧春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度求初虧春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率初虧春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得初虧春秋分距午黄道度求初虧正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率初虧春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得初虧正午黄赤距緯求初虧黄道與子午圏交角以初虧春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率初虧春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得初虧黄道與子午圏交角求初虧正午黄道宫度春分距午西者以初虧春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以初虧春秋分距午黄道度加九宫春分距午東者以初虧春秋分距午黄道度與三宫相減秋分距午東者以初虧春秋分距午黄道度與九宫相減得初虧正午黄道宫度求初虧正午黄道髙初虧正午黄道宫度三宫至八宫則以初虧正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加初虧正午黄道宫度九宫至二宫則以初虧正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得初虧正午黄道髙求初虧黄平象限距午度分以初虧黄道與子午圏交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率初虧正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為初虧黄平象限距午度分求初虧黄平象限宫度初虧正午黄道宫度初宫至五宫則以初虧黄平象限距午度分與初虧正午黄道宫度相加初虧正午黄道宫度六宫至十一宫則以初虧黄平象限距午度分與初虧正午黄道宫度相減得初虧黄平象限宫度(初虧正午黄道髙過九十度者加減反是)求初虧月距限置太陽黄道經度減初虧復圓距弧又加減真時東西差(真時距分加者亦為加真時距分減者亦為減)得初虧太隂黄道經度與初虧黄平象限宫度相減餘為初虧月距限度太隂黄道經度大於初虧黄平象限宫度為距限東小於初虧黄平象限宫度為距限西求初虧限距地髙以半徑一千萬為一率初虧黄道與子午圏交角之正弦為二率初虧正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得初虧限距地髙求初虧太隂髙弧以半徑一千萬為一率初虧限距地髙之正弦為二率初虧月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得初虧太隂髙弧求初虧黄道髙弧交角以初虧月距限之正弦為一率初虧限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得初虧黄道髙弧交角求初虧白道髙弧交角置初虧黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫初虧月距限宫則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫初虧月距限東則減月距限西則加)得初虧白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為初虧白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求初虧髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊初虧太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊初虧太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為初虧髙下差求初虧東西差以半徑一千萬為一率初虧白道髙弧交角之餘弦為二率初虧髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得初虧東西差求初虧南北差以半徑一千萬為一率初虧白道髙弧交角之正弦為二率初虧髙下差之正弦為三率求得四率為南北差之正弦檢表得初虧南北差求初虧視行初虧與食甚同在限東或同在限西者以初虧東西差與真時東西差相減為差分以加減初虧復圓距弧(初虧與食甚同在白平象限東初虧東西差大則以差分減初虧東西差小則以差分加初虧與食)(甚同在白平象限西初虧東西差大則以差分加初虧東西差小則以差分減)得初虧視行初虧在限東食甚在限西者以初虧東西差與食甚東西差相併為差分以減初虧復圓距弧得初虧視行求初虧距分以初虧視行化秒為一率初虧復圓距時化秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧距分求初虧真時置食甚真時減初虧距分得初虧真時推復圓真時第十三(推復圓真時為日食第十三段其理與初虧同)求復圓用時置食甚真時加初虧復圓距時得復圓用時求復圓春分距午赤道度以復圓用時變赤道度加減半周(不及半周則加半周過半周則減半)(周)與太陽距春分後赤道度相加得復圓春分距午赤道度(加滿全周去之用其餘)求復圓春秋分距午赤道度復圓春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度求復圓春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率復圓春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得復圓春秋分距午黄道度求復圓正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率復圓春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得復圓正午黄赤距緯求復圓黄道與子午圏交角以復圓春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率復圓春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得復圓黄道與子午圏交角求復圓正午黄道宫度春分距午西者以復圓春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以復圓春秋分距午黄道度加九宫春分距午東者以復圓春秋分距午黄道度與三宫相減秋分距午東者以復圓春秋分距午黄道度與九宫相減得復圓正午黄道宫度求復圓正午黄道髙復圓正午黄道宫度三宫至八宫則以復圓正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加復圓正午黄道宫度九宫至二宫則以復圓正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得復圓正午黄道髙求復圓黄平象限距午度分以復圓黄道與子午圏交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率復圓正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為復圓黄平象限距午度分求復圓黄平象限宫度復圓正午黄道宫度初宫至五宫則以復圓黄平象限距午度分與復圓正午黄道宫度相加復圓正午黄道宫度六宫至十一宫則以復圓黄平象限距午度分與復圓正午黄道宫度相減得復圓黄平象限宫度(復圓正午黄道髙過九十度者加減反是)求復圓月距限置太陽黄道經度加初虧復圓距弧又加減真時東西差(真時距分加者亦為加真時距分減者亦為減)得復圓太隂黄道經度與復圓黄平象限宫度相減餘為復圓月距限度太隂黄道經度大於復圓黄平象限宫度為距限東小於復圓黄平象限宫度為距限西求復圓限距地髙以半徑一千萬為一率復圓黄道與子午圏交角之正弦為二率復圓正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得復圓限距地髙求復圓太隂髙弧以半徑一千萬為一率復圓限距地髙之正弦為二率復圓月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得復圓太隂髙弧求復圓黄道髙弧交角以復圓月距限之正弦為一率復圓限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得復圓黄道髙弧交角求復圓白道髙弧交角置復圓黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫復圓月距限東則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫復圓月距限東則減月距限西則加)得復圓白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為復圓白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求復圓髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊復圓太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊復圓太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為復圓髙下差求復圓東西差以半徑一千萬為一率復圓白道髙弧交角之餘弦為二率復圓髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得復圓東西差求復圓南北差以半徑一千萬為一率復圓白道髙弧交角之正弦為二率復圓髙下差之正弦為三率求得四率為南北差之正弦檢表得復圓南北差求復圓視行復圓與食甚同在限東或同在限西者以復圓東西差與真時東西差相減為差分以加減初虧復圓距弧(復圓與食甚同在白平象限東復圓東西差大則以差分加復圓東西差小則以差分減復圓與食)(甚同在白平象限西復圓東西差大則以差分減復圓東西差小則以差分加)得復圓視行食甚在限東復圓在限西者以復圓東西差與食甚東西差相併為差分以減初虧復圓距弧得復圓視行求復圓距分以復圓視行化秒為一率初虧復圓距時化秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得復圓距分求復圓真時置食甚真時加復圓距分得復圓真時推太陽宿度第十四(推太陽宿度為日食第十四段其理與月食同)求太陽黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈴察太陽黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為太陽黄道宿度求太陽赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿鈐察太陽赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為太陽赤道宿度推日食方位及食限總時(推日食方位及食限總時其理亦與月食同但日食有視差故以視緯立算且初虧復圓各有黄道)(髙弧交角故各用本交角為更密耳)求初虧交周置食甚交周減初虧復圓距弧得初虧交周求復圓交周置食甚交周加初虧復圓距弧得復圓交周求初虧實緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率初虧交周之正弦為三率求得四率為初虧實緯之正弦檢表得初虧實緯初虧交周初宫五宫為北六宫十一宫為南求初虧視緯置初虧實緯加減初虧南北差得初虧視緯(加減之法與食)(甚視緯同)求復圓實緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率復圓交周之正弦為三率求得四率為復圓實緯之正弦檢表得復圓實緯復圓交周初宫五宫為北六宫十一宫為南求復圓視緯置復圓實緯加減復圓南北差得復圓視緯(加減之法亦與)(食甚視緯同)求初虧緯差角以併徑之正弦為一率初虧視緯之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為初虧緯差角之正弦檢表得初虧緯差角求復圓緯差角以併徑之正弦為一率復圓視緯之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為復圓緯差角之正弦檢表得復圓緯差角求初虧定交角初虧月距限東者初虧視緯在南則以初虧緯差角與初虧黄道髙弧交角相加初虧視緯在北則以初虧緯差角與初虧黄道髙弧交角相減得初虧定交角初虧月距限西者初虧視緯在南則以初虧緯差角與初虧黄道髙弧交角相減初虧視緯在北則以初虧緯差角與初虧黄道髙弧交角相加得初虧定交角如初虧無視緯則無初虧緯差角而初虧黄道髙弧交角即初虧定交角求復圓定交角復圓月距限東者復圓視緯在南則以復圓緯差角與復圓黄道髙弧交角相減復圓視緯在北則以復圓緯差角與復圓黄道髙弧交角相加得復圓定交角復圓月距限西者復圓視緯在南則以復圓緯差角與復圓黄道髙弧交角相加復圓視緯在北則以復圓緯差角與復圓黄道髙弧交角相減得復圓定交角如復圓無視緯則無復圓緯差角而復圓黄道髙弧交角即復圓定交角求初虧方位初虧月距限東者初虧定交角在四十五度以内為上偏右在四十五度以外為右偏上適足九十度為正右過九十度為右偏下初虧月距限西者初虧定交角在四十五度以内為下偏右在四十五度以外為右偏下適足九十度亦為正右過九十度為右偏上求復圓方位復圓月距限東者復圓定交角在四十五度以内為下偏左在四十五度以外為左偏下適足九十度為正左過九十度為左偏上復圓月距限西者復圓定交角在四十五度以内為上偏左在四十五度以外為左偏上適足九十度亦為正左過九十度為左偏下(京師北極髙四十度故日食方位皆以黄平象限在天頂南而定若北極髙二十三度以下黄平象)(限有時在天頂北則日食方位之左右與此相反)求食限總時以初虧距分與復圓距分相加得食限總時用表推日食法推入交求首朔太隂交周用交食首朔諸根表察本年太隂交周宫度分秒(三十)(微進一秒下倣此)得首朔太隂交周求逐月朔太隂交周置本年首朔太隂交周以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒遞加十三次得逐月朔太隂交周求入交月數逐月朔太隂交周自初宫初度至初宫二十度一十二分自五宫九度四十八分至六宫八度五十分自十一宫二十一度一十分至十一宫三十度皆為太隂入交第幾月入交即第幾月有食推平朔諸平行第一求首朔諸根用交食首朔諸根表察本年首朔日時分秒得首朔根察本年太陽平行宫度分秒得太陽平行根察本年太陽引數宫度分秒得太陽引數根察本年太隂引數宫度分秒得太隂引數根察本年太隂交周宫度分秒得太隂交周根并察紀日求諸朔䇿用交食朔望䇿表察本月朔䇿日時分秒得朔䇿察本月太陽平行朔䇿宫度分秒得太陽平行朔䇿察本月太陽引數朔䇿宫度分秒得太陽引數朔䇿察本月太隂引數朔䇿宫度分秒得太隂引數朔䇿察本月太隂交周朔䇿宫度分秒得太隂交周朔䇿求平朔以首朔根紀日朔䇿三數相加滿紀法六十去之得平朔自初日甲子起算得平朔干支自初時起子正一時為丑初以次順數至二十三時為夜子初每十五分收為一刻不足一刻者為零分得平朔時分秒求平朔太陽平行以太陽平行根與太陽平行朔䇿相加得平朔太陽平行求平朔太陽引數以太陽引數根與太陽引數朔策相加得平朔太陽引數求平朔太隂引數以太隂引數根與太隂引數朔䇿相加得平朔太隂引數求平朔太隂交周以太隂交周根與太隂交周朔䇿相加得平朔太隂交周推日月相距第二求太陽均數用日躔太陽均數表以平朔太陽引數宫度分察其所對之度分秒得太陽均數并記加減號求太隂均數用月離太隂初均數表以平朔太隂引數宫度分察其所對之度分秒得太隂均數并記加減號求距弧太陽太隂兩均數同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧求距時用交食周日諸平行表以距弧度分秒察月距日相當之數取其所對之時分秒得距時凡太陽太隂兩均數同為加者太陽加均大則距時為加太陽加均小則距時為減同為減者太陽減均大則距時為減太陽減均小則距時為加一為加一為減者太陽為加均則距時為加太陽為減均則距時為減推實引第三求太陽引弧用交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太陽平行相對之數而併之得太陽引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太隂引弧周交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太隂引數相對之數而併之得太隂引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太陽實引置平朔太陽引數加減太陽引弧得太陽實引求太隂實引置平朔太隂引數加減太隂引弧得太隂實引推實朔第四求太陽實均用日躔太陽均數表以太陽實引宫度分察其所對之度分秒得太陽實均并記加減號求太隂實均用月離太隂初均數表以太隂實引宫度分察其所對之度分秒得太隂實均并記加減號求實距弧太陽太隂兩實均同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧求實距時用交食周日諸平行表以實距弧度分秒察月距日相當之數取其所對之時分秒得實距時定加減之法與距時同求實朔置平朔加減實距時得實朔加滿二十四時則實朔進一日不足減者借一日作二十四時則實朔退一日推實交周第五求交周距弧周交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太隂交周相對之數而併之得交周距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實朔平交周置平朔太隂交周加減交周距弧得實朔平交周求實朔實交周置實朔平交周加減太隂實均得實朔實交周自初宫初度至初宫一十七度三十五分自五宫一十二度二十五分至六宫六度一十三分自十一宫二十三度四十七分至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算推太陽實經第六求太陽距弧用交食周日諸平行表以實距時之時分秒各察其與太陽平行相對之數而併之得太陽距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實朔太陽平行置平朔太陽平行加減太陽距弧得實朔太陽平行求太陽黄道經度置實朔太陽平行加減太陽實均得太陽黄道經度求太陽赤道經度用日躔黄赤升度表以太陽黄道經度察其所對之赤道宫度分秒得太陽赤道經度推實朔用時第七求均數時差用日躔均數時差表以太陽實引宫度察其所對之分秒得均數時差并記加減號求升度時差用日躔升度時差表以太陽黄道經度察其所對之分秒得升度時差并記加減號求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實朔用時置實朔加減時差總得實朔用時距日出前日入後五刻以内者可以見食五刻以外者則全在夜即不必算推食甚實緯食甚用時第八求食甚實緯用交食黄白距度表以實朔實交周宫度分察其所對之度分秒得食甚實緯并記南北號求交周升度差用月離黄白升度表以實朔實交周宫度察其所對之分秒得交周升度差并記加減號求食甚交周置實朔實交周加減交周升度差得食甚交周求月距日實行用交食月距日實行表以太隂實引宫度察其所對之分秒得月距日實行求食甚距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率交周升度差化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時交周升度差加者亦為加交周升度差減者亦為減求食甚用時置實朔用時加減食甚距時得食甚用時推食甚近時第九求用時春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以食甚用時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)得用時春分距午時分(春分距午時分者即春分距午赤道度所)(變之時分也與月食方位求春分距午時分之理同)求用時月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以用時春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得用時黄平象限宫度與太陽黄道經度相減餘為用時月距限度(有一宫作三十度)太陽黄道經度大於用時黄平象限宫度者為限東小於用時黄平象限宫度者為限西求用時限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以用時春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得用時限距地髙求用時太隂髙弧用交食太陽髙弧表以用時月距限及用時限距地髙之度察其所對之度分秒得用時太隂髙弧(合朔日月)(同度故太陽髙弧即太隂髙弧)求用時黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以用時月距限及用時限距地髙之度察其所對之度分秒得用時黄道髙弧交角求用時白道髙弧交角置用時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫用時月距限東則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫用時月距限東則減月距限西則加)得用時白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為用時白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求太隂距地用交食視半徑表以太隂實引宫度察其與月距地相對之數得太隂距地(太隂距地為求太隂地半徑差至於太陽太隂視半徑己)(以實引列表故不求太陽距地也)求用時髙下差用日躔太陽地半徑差表以用時太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以用時太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為用時髙下差求用時東西差用交食東西南北差表以用時白道髙弧交角及用時髙下差察其與東西差所對之數得用時東西差求近時距分以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率用時東西差化秒為三率求得四率為秒以時分收之得近時距分用時月距限西為加月距西東為減(以用)(時白道髙弧交角變限不變限為定)求食甚近時置食甚用時加減近時距分得食甚近時推食甚真時第十求近時春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以食甚近時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)得近時春分距午時分求近時月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以近時春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得近時黄平象限宫度又置太陽黄道經度加減用時東西差(近時距分加者亦為加近時距分減者亦為減)得近時太隂黄道經度兩數相減餘為近時距限限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於近時黄平象限宫度者為限東小於近時黄平象限宫度者為限西求近時限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以近時春分距分時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得近時限距地髙求近時太隂髙弧用交食太陽髙弧表以近時月距限及近時限距地髙之度察其所對之度分秒得近時太隂髙弧求近時黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以近時月距限及近時限距地髙之度察其所對之度分秒得近時黄道髙弧交角求近時白道髙弧交角置近時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(加減與用時白道髙弧交角同)得近時白道髙弧交角求近時髙下差用日躔太陽地半徑差表以近時太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以近時太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為近時髙下差求近時東西差用交食東西南北差表以近時白道髙弧交角及近時髙下差察其與東西差所對之數得近時東西差求食甚視行以用時東西差倍之減近時東西差餘為食甚視行求真時距分以食甚視行化秒為一率近時距分化秒為二率用時東西差化秒為三率求得四率為秒以時分收之得真時距分加減號與近時距分同求食甚真時置食甚用時加減真時距分得食甚真時推食分第十一求真時春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以食甚真時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)求真時月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以真時春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得真時黄平象限宫度又置太陽黄道經度加減近時東西差(真時距分加者亦為加真時距分減者亦為減)得真時太隂黄道經度兩數相減餘為真時月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於真時黄平象限宫度者為限東小於真時黄平象限宫度者為限西求真時限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以真時春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得真時限距地髙求真時太隂髙弧用交食太陽髙弧表以真時月距限及真時限距地髙之度察其所對之度分秒得真時太隂髙弧求真時黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以真時月距限及真時限距地髙之度察其所對之度分秒得真時黄道髙弧交角求真時白道髙弧交角置用時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(加減與用時白道髙弧交角同)得真時白道髙弧交角求真時髙下差用日躔太陽地半徑差表以真時太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以真時太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為真時髙下差求真時東西差用交食東西南北差表以真時白道髙弧交角及真時髙下差察其與東西差所對之數得真時東西差求真時南北差用交食東西南北差表以真時白道髙弧交角及真時髙下差察其與南北差所對之數得真時南北差求食甚視緯置食甚實緯加減真時南北差得食甚視緯白平象限在天頂南者實緯在黄道南則加而視緯仍為南實緯在黄道北則減而視緯仍為北若實緯在黄道北而南北差大於實緯則反減而視緯即變為南白平象限在天頂北者實緯在黄道北則加而視緯仍為北實緯在黄道南則減而視緯仍為南若實緯在黄道南而南北差大於實緯則反減而視緯即變為北求太陽半徑用交食視半徑表以太陽實引宫度察其與日半徑相對之分秒得太陽半徑求太隂半徑用交食視半徑表以太隂實引宫度察其與月半徑相對之分秒得太隂半徑求併徑以太陽半徑與太隂半徑相加得併徑求食甚以太陽半徑倍之為一率十分為二率併徑内減食甚視緯餘為三率求得四率即食分推初虧真時第十二求初虧復圓距弧用交食月行表以併徑分及食甚視緯分察其所對之分秒得初虧復圓距弧求初虧復圓距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧用時置食甚真時減初虧復圓距時得初虧用時求初虧春分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以初虧用時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)得初虧春分距午時分求初虧月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以初虧春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得初虧黄平象限宫度又置太陽黄道經度減初虧復圓距弧復加減真時東西差(真時距分加者亦為加真時距)(分減者亦為減)得初虧太隂黄道經度兩數相減餘為初虧月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於初虧黄平象限宫度者為限東小於初虧黄平象限宫度者為限西求初虧限距地髙周交食北極髙四十度黄平象限表以初虧春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得初虧限距地髙求初虧太隂髙弧用交食太陽髙弧表以初虧月距限及初虧限距地髙之度察其所對之度分秒得初虧太隂髙弧求初虧黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以初虧月距限及初虧限距地髙之度察其所對之度分秒得初虧黄道髙弧交角求初虧白道髙弧交角置初虧黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫初虧月距限東則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫初虧月距限東則減月距限西則加)得初虧白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為初虧白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求初虧髙下差用日躔太陽地半徑差表以初虧太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以初虧太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為初虧髙下差求初虧東西差用交食東西南北差表以初虧白道髙弧交角及初虧髙下差察其與東西差所對之數得初虧東西差求初虧南北差用交食東西南北差表以初虧白道髙弧交角及初虧髙下差察其與南北差所對之數得初虧南北差求初虧視行初虧與食甚同在限東或同在限西者以初虧東西差與食甚東西差相減為差分以加減初虧復圓距弧(初虧與食甚同在白平象限東初虧東西差大則以差分減初虧東西差小則以差分加初虧與食)(甚同在白平象限西初虧東西差大則以差分加初虧東西差小則以差分減)得初虧視行初虧在限東食甚在限西者以初虧東西差與食甚東西差相併為差分以減初虧復圓距弧得初虧視行求初虧距分以初虧視行化秒為一率初虧復圓距時化秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧距分求初虧真時置食甚真時減初虧距分得初虧真時推復圓真時第十三求復圓用時置食甚真時加初虧復圓距時得復圓用時求復圓春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分义以復圓用時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)得復圓春分距午時分求復圓月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以復圓春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得復圓黄平象限宫度又置太陽黄道經度加初虧復圓距弧復加減真時東西差(真時距分加者亦為加真時距)(分減者亦為減)得復圓太隂黄道經度兩數相減餘為復圓月距限度(有一宫作三十度)太陽黄道經度大於復圓黄平象限宫度者為限東小於復圓黄平象限宫度者為限西求復圓限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以復圓春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得復圓限距地髙求復圓太隂髙弧用交食太陽髙弧表以復圓月距限及復圓限距地髙之度察其所對之度分秒得復圓太隂髙弧求復圓黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以復圓月距限及復圓限距地髙之度察其所對之度分秒得復圓黄道髙弧交角求復圓白道髙弧交角置復圓黄道髙弧交角加減黄白道角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫復圓月距限東則加月距限西則減食交周為為五宫六)(宫復圓月距限東則減月距限西則加)得復圓白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為復圓白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求復圓髙下差用日躔太陽地半徑差表以復圓太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以復圓太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為復圓髙下差求復圓東西差用交食東西南北差表以復圓白道髙弧交角及復圓髙下差察其與東西差所對之數得復圓東西差求復圓南北差用交食東西南北差表以復圓白道髙弧交角及復圓髙下差察其與南北差所對之數得復圓南北差求復圓視行復圓與食甚同在限東或同在限西者以復圓東西差與食甚東西差相減為差分以加減初虧復圓距弧(復圓以食甚同在白平象限東復圓東西差大則以差分加復圓東西差小則以差分減復圓與食)(甚同在白平象限西復圓東西差大則以差分減復圓東西差小則以差分加)得復圓視行食甚在限東復圓在限西者以復圓東西差與食甚東西差相併為差分以減初虧復圓距弧得復圓視行求復圓距分以復圓視行化秒為一率初虧復圓距時化秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得復圓距分求復圓真時置食甚真時加復圓距分得復圓真時推太陽宿度第十四求太陽黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察太陽黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘即為太陽黄道宿度求太陽赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿鈐察太陽赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘即為太陽赤道宿度推日食方位及食限總時求初虧交周置食甚交周減初虧復圓距弧得初虧交周求復圓交周置食甚交周加初虧復圓距弧得復圓交周求初虧實緯用交食黄白距度表以初虧交周宫度察其所對之度分秒得初虧實緯并記南北號求初虧視緯置初虧實緯加減初虧南北差得初虧視緯(加減之法與食)(甚視緯同)求復圓實緯用交食黄白距度表以復圓交周宫度察其所對之度分秒得復圓實緯并記南北號求復圓視緯置復圓實緯加減復圓南北差得復圓視緯(加減之法亦與)(食甚視緯同)求初虧緯差角用交食緯差角表以併徑分及初虧視緯分察其所對之度分得初虧緯差角求復圓緯差角用交食緯差角表以併徑分及復圓視緯分察其所對之度分得復圓緯差角以下求定交角及方位并食限總時皆與前法同推各省日食法求各省日食時刻分秒以京師食甚用時按各省東西偏度加減之(與推各省節氣)(時刻加減法同)得各省食甚用時乃以各省食甚用時按各省北極髙度依京師推近時真時食分及初虧復圓真時法算之得各省日食時刻分秒求各省日食方位以各省黄道髙弧交角及各省初虧復圓視緯依京師推日食方位法算之得各省日食方位推日食帶食法求帶食距時以本日日出或日入時分與食甚真時相減餘為帶食距時(帶食距時者太陽出入地平距食甚之時刻也初虧或食甚在日出前者為帶食出地食)(甚或復圓在日入後者為帶食入地帶食出地者則以日出時分與食甚真時相減餘為帶食距時帶食)(入地者則以日入時分與食甚真時相減餘為帶食距時各省帶食以各省日出入時刻及各省食甚真)(時算之)求帶食距弧以初虧復圓距時化秒為一率初虧復圓視行化秒為二率(帶食在食甚前用初虧視行帶食在食甚後用復圓視行)帶食距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得帶食距弧(帶食)(距弧者太陽出入地平距食甚之行度也初虧復圓以視行與距時比例得距分帶食以距時與視行比)(例得距弧其理同也)求帶食兩心相距以半徑一千萬為一率帶食距弧之餘切線為二率食甚視緯之餘弦為三率求得四率為兩心相距之餘切線檢表得帶食兩心相距(帶食兩心相距者帶食時太隂心與太陽)(心相距之度也初虧復圓以併徑斜距之度與視緯求距弧之白道度帶食以距弧之白道度與視緯求)(兩心斜距之度其理同也)求帶食分秒以太陽半徑倍之為一率十分為二率併徑内減帶食兩心相距餘為三率求得四率即帶食分秒(帶食分秒)(者太陽出入地平時與太隂相掩之分數為太陽全徑十分中之幾分也食甚兩心相距即視緯故於併)(徑内减視緯為三率帶食則於併徑内減帶食兩心相距為三率其理同也)御製歴象考成下編卷四
## 下編卷五
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷五土星厯法推土星用數推土星法用表推土星法推土星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周歲三百六十五日二四二一八七五紀法六十土星每日平行一百二十秒小餘六○二二五五一(土星每日平行二分零三十六微零八纎零七忽零六芒以秒法通之即得)土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三(土星最髙每歲平行一分二十秒一十二微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得最髙)(每日平行一十三微一十纎二十九忽二十一芒以秒法通之即得)土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八(土星正交每嵗平行四十一秒五十三微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得正交每)(日平行六微五十二纎四十九忽一十九芒以秒法通之即得)土星本天半徑一千萬土星本輪半徑八十六萬五千五百八十七土星均輪半徑二十九萬六千四百一十三土星次輪半徑一百零四萬二千六百土星本道與黄道交角二度三十一分氣應七日六五六三七四九二六土星平行應七宫二十三度一十九分四十四秒五十五微土星最髙應十一宫二十八度二十六分零六秒零五微土星正交應六宮二十一度二十分五十七秒二十四微(按新法厯書載崇禎元年戊辰土星平行距冬至八宫二十八度零八分二十七秒最髙)(距冬至十一宮二十七度一十一分一十五秒正交距冬至六宮二十度四十一分五十二秒自崇)(禎戊辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日積二萬零四百五十三日以積日各與每)(日平行相乗得數各與崇禎戊辰年諸應相加即厯元甲子年諸應也)推土星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周歲三百六十五日二四二一八七五相乗得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天至冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求土星年根以積日與土星每日平行一百二十秒六○二二五五一相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日土星平行加土星平行應七宫二十三度一十九分四十四秒五十五微得土星年根上考往古則置土星平行應減積日土星平行得土星年根求最髙年根以積日與土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三相乘得數為積日最髙平行加土星最髙應十一宫二十八度二十六分零六秒零五微得最髙年根上考往古則置土星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求正交年根以積日與土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八相乘得數為積日正交平行加土星正交應六宫二十一度二十分五十七秒二十四微得正交年根上考往古則置土星正交應減積日正交平行得正交年根求土星日數以所設日數與土星每日平行一百二十秒六○二二五五一相乘得數為秒以度分收之得土星日數求最髙日數以所設日數與土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三相乘得數為秒以分收之得最髙日數求正交日數以所設日數與土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八相乘得正交日數求土星平行以土星年根與土星日數相加得土星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置土星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理二求初均數篇)引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置土星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引(月離厯法求月)(距日次引置初實行減本日太陽實行此求星距日次引置本日太陽實行減初實行蓋太陰之行速於)(太陽合朔後太陰差而東故置太陰經度減太陽經度餘為距日度星行遲於太陽合伏後星差而西故)(置太陽經度減星經度餘為距日度也)求次均數星自次輪最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑一百零四萬二千六百為一邊星距日度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數星距日初宫至五宮為加六宫至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求本道實行置初實行加減次均數得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行(距交實行者次輪心距正交之)(度故置初實行減正交平行得距交實行也)求升度差以半徑一千萬為一率本道與黄道交角二度三十一分之餘弦為二率距交實行之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與距交實行相減餘為升度差距交實行不過象限為減過象限為加過二象限為減過三象限為加求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求初緯以半徑一千萬為一率本道與黄道交角二度三十一分之正弦為二率距交實行之正弦為三率求得四率為初緯之正弦檢表得初緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率初緯之正弦為二率次輪心距地心線為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯距交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南(星距地心線原以本道立筭而次輪面却與黄道平)(行則星距地心線在合伏前後必差而近在退衝前後必差而逺故五星厯理求緯度篇内又求星當黄)(道視線㸃距地心之逺與星距黄道線為比例然用以求視緯所差甚微可以不計故即用星距地心線)(與星距黄道線比例為省算也木火金水四星倣此)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推土星法求諸年根用土星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進一秒下倣)(此)得土星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求諸日數用土星周歲平行表察本日平行度分秒得土星日數察本日最髙行分秒得最髙日數察本日正交行秒微得正交日數求土星平行以土星年根與土星日數相加得土星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置土星平行減最髙平行得引數求初均及中分用土星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其與中分所對之分秒得中分并記初均加減號(初均者即本輪均輪所生之加減差而中分者則次輪心距地心與最髙)(距地心之較為六十分中之幾分也蓋次輪心在最髙則距地心逺次輪心在最卑則距地心近故以土)(星次輪心在最高距地心之一○五六九一七四與土星次輪心在最卑距地心之九四三○八二六相)(減餘一一三八三四八乃以一一三八三四八與六十分之比即同於今所得次輪心距地心之邊與最)(髙距地心相減之數與六十分中幾分之比也○前法求初均數時即求次輪心距地心之邊此求初均)(數時則求次輪心距地心與最髙距地心之較因表中所列次均乃以次輪心在最髙立算故先求中分)(以為比例實次均之用也木金水三星倣此)求初實行置土星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求次均及較分用土星均數表以星距日次引宫度分察其與次均所對之度分秒得次均察其與較分所對之分秒得較分并記次均加減號(次均者次輪心在最髙所生之加減差而較分者則次輪)(心在最髙與次輪心在最卑所生加減差之較也蓋次輪心在最髙則距地心逺而次均角小次輪心在)(最卑則距地心近而次均角大故設次輪心在最髙又設次輪心在最卑求其兩次均之較以為比例實)(次均之用也木金水三星倣此)求實次均以三千六百秒為一率較分化秒為二率中分化秒為三率求得四率為秒以分收之為加差與次均相加得實次均加減號與次均同(實次均者即星在次輪周實行之次均也)(因表中所列次均以次輪心在最髙立算故名實次均以别之蓋次輪心在最卑所生之次均旣大於次)(輪心在最髙所生之次均則自最髙至最卑其遞加之差必畧相等今最髙距地心與最卑距地心之較)(旣命為六十分則以六十分與較分之比即同於中分與加差之比故以加差與次輪心在最髙所生之)(次均相加得實次均也)求本道實行置初實行加減實次均得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差用土星升度差表以距交實行宫度察其所對之分秒得升度差并記加減號求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求星距黄道線用土星距黄道表以距交實行宫度察其所對之數得星距黄道線并記南北號求星距地心線用土星距地表以星距日次引宫度察其所對之數得星距地心線求視緯以星距地心線為一率星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯(星距黄道線當以次輪心距地心線與初緯之正弦為比例今表中所列星距黄道線即初緯之正弦而)(星距地心線亦以次輪心在中距立算故其比例仍同也)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度御製厯象考成下編卷五
## 下編卷六
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷六木星厯法推木星用數推木星法用表推木星法推木星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十木星每日平行二百九十九秒小餘二八五二九六八(木星每日平行四分五十九秒一十七微零七纎零四忽零七芒以秒法通之即得)木星最髙每日平行十分秒之一又五八四三三(木星)(最髙每嵗平行五十七秒五十一微五十九纎五十八忽一十九芒以周嵗三百六十五日二四二)(一入七五除之得最髙每日平行九微三十纎二十一忽四十芒以秒法通之即得)木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七(木星正交每嵗平行一十三秒三十五微五十九纎五十九忽五十八芒以周嵗三百六十五日二)(四二一八七五除之得正交每日平行二微一十四纖零二忽五十三芒以秒法通之卽得)木星本天半徑一千萬木星本輪半徑七十萬五千三百二十木星均輪半徑二十四萬七千九百八十木星次輪半徑一百九十二萬九千四百八十木星本道與黄道交角一度一十九分四十秒氣應七日六五六三七四九二六木星平行應八宫零九度一十三分一十三秒一十一微木星最髙應九宫零九度五十一分五十九秒二十七微木星正交應六宮零七度二十一分四十九秒三十五微(按新法厯書載崇禎元年戊辰木星平行距冬至十一宫一十八度五十一分五十一秒)(最髙距冬至九宫零八度五十七分五十九秒正交距冬至六宫零七度零九分零八秒自崇禎戊)(辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日積二萬零四百五十三日以積日各與每日平)(行相乘得數各與崇禎戊辰年諸應相加即厯元甲子年諸應也)推木星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求木星年根以積日與木星每日平行二百九十九秒二八五二九六八相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日木星平行加木星平行應八宫零九度一十三分一十三秒一十一微得木星年根上考往古則置木星平行應減積日木星平行得木星年根求最髙年根以積日與木星最髙每日平行十分秒之一又五八四三三相乘得數為積日最髙平行加木星最髙應九宫零九度五十一分五十九秒二十七微得最髙年根上考往古則置木星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求正交年根以積日與木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七相乘得數為積日正交平行加木星正交應六宫零七度二十一分四十九秒三十五微得正交年根上考往古則置木星正交應減積日正交平行得正交年根求木星日數以所設日數與木星每日平行二百九十九秒二八五二九六八相乘得數為秒以宫度分收之得木星日數求最髙日數以所設日數與木星最髙每日平行十分之一一又五八四三三相乗得最髙日數求正交日數以所設日數與木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七相乘得正交日數求木星平行以木星年根與木星日數相加得木星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置木星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理三求初均數篇)引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置木星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求次均數星自次輪最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑一百九十二萬九千四百八十為一邊星距日度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數星距日初宫至五宫為加六宫至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求本道實行置初實行加減次均數得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差以半徑一千萬為一率本道與黄道交角一度一十九分四十秒之餘弦為二率距交實行之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與距交實行相減餘為升度差距交實行不過象限為減過象限為加過二象限為減過三象限為加求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求初緯以半徑一千萬為一率本道與黄道交角一度一十九分四十秒之正弦為二率距交實行之正弦為三率求得四率為初緯之正弦檢表得初緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率初緯之正弦為二率次輪心距地心線為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯距交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宮為黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推木星法求諸年根用木星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進一秒下倣)(此)得木星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求諸日數用木星周嵗平行表察本日平行宫度分秒得木星日數察本日最髙行秒微得最髙日數察本日正交行秒微得正交日數求木星平行以木星年根與木星日數相加得木星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置木星平行減最髙平行得引數求初均及中分用木星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其與中分所對之分秒得中分并記初均加減號求初實行置木星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求次均及較分用木星均數表以星距日次引宫度分察其與次均所對之度分秒得次均察其與較分所對之度分秒得較分并記次均加減號求實次均以三千六百秒為一率較分化秒為二率中分化秒為三率求得四率為秒以度分收之為加差與次均相加得實次均加減號與次均同求本道實行置初實行加減實次均得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差用木星升度差表以距交實行官度察其所對之分秒得升度差并記加減號求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求星距黄道線用木星距黄道表以距交實行官度察其所對之數得星距黄道線并記南北號求星距地心線用木星距地表以星距日次引宫度察其所對之數得星距地心線求視緯以星距地心線為一率星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度御製厯象考成下編卷六
## 下編卷七
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷七火星厯法推火星用數推火星法用表推火星法推火星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十火星每日平行一千八百八十六秒小餘六七○○三五八(火星每日平行三十一分二十六秒四十微一十二纎零七忽四十四芒以秒法通)(之即得)火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九(火星最髙每嵗平行一分零七秒以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得最髙每日平行)(一十一微零二十三忽以秒法通之即得)火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三(火星正交每嵗平行五十二秒五十七微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得正交每)(日平行八微四十一纎五十四忽零一芒以秒法通之即得)火星本天半徑一千萬火星本輪半徑一百四十八萬四千火星均輪半徑三十七萬一千火星最小次輪半徑六百三十萬二千七百五十本天髙卑大差二十五萬八千五百太陽髙卑大差二十三萬五千火星本道與黄道交角一度五十分氣應七日六五六三七四九二六火星平行應二宫一十三度三十九分五十二秒一十五微火星最髙應八宫初度三十三分一十一秒五十四微火星正交應四宫一十七度五十一分五十四秒零七微(按新法厯書載崇禎元年戊辰火星平行距冬至五宫零四度四十五分三十秒最髙距)(冬至七宫二十九度三十分四十秒正交距冬至四宫一十七度零二分二十九秒自崇禎戊辰年)(天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日積二萬零四百五十三日以積日各與每日平行相)(乘得數各與崇禎戊辰年諸應相加即厯元甲子年諸應也)推火星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求火星年根以積日與火星每日平行一千八百八十六秒六七○○三五八相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日火星平行加火星平行應二宫一十三度三十九分五十二秒一十五微得火星年根上考往古則置火星平行應減積日火星平行得火星年根求最髙年根以積日與火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九相乘得數為積日最髙平行加火星最髙應八宫初度三十三分一十一秒五十四微得最髙年根上考往古則置火星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求正交年根以積日與火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三相乘得數為積日正交平行加火星正交應四宫一十七度五十一分五十四秒零七微得正交年根上考往古則置火星正交應減積日正交平行得正交年根求火星日數以所設日數與火星每日平行一千八百八十六秒六七○○三五八相乘得數為秒以官度分收之得火星日數求最髙日數以所設日數與火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九相乘得數為秒以分收之得最髙日數求正交日數以所設日數與火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三相乘得正交日數求火星平行以火星年根與火星日數相加得火星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置火星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理四求初均數篇)引數初官至五宫為減六宫至十一宫為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置火星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求本天髙卑差以火星本輪全徑命為二千萬為一率本天髙卑大差二十五萬八千五百為二率火星均輪心距最卑之正矢為三率(引數與半周相減即均輪心距最卑之度其距最卑過九十度則為□矢)(以半徑與餘弦相加即得)求得四率即本天髙卑差求太陽髙卑差以太陽本輪半徑命為二千萬為一率太陽髙卑大差二十三萬五千為二率本日太陽引數之正矢為三率(引數過半周者與全周相減用其餘)求得四率即太陽髙卑差求次輪半徑置火星最小次輪半徑六百三十萬二千七百五十加本天髙卑差又加太陽髙卑差得次輪半徑(火星次輪)(半徑時時不同故須加本天髙卑差及太陽髙卑差詳五星厯理四求次均數篇)求次均數星自次輪最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑為一邊星距日度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數星距日初宫至五宫為加六宫至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求本道實行置初實行加減次均數得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差以半徑一千萬為一率本道與黄道交角一度五十分之餘弦為二率距交實行之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與距交實行相減餘為升度差距交實行不過象限為減過象限為加過二象限為減過三象限為加求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求初緯以半徑一千萬為一率本道與黄道交角一度五十分之正弦為二率距交實行之正弦為三率求得四率為初緯之正弦檢表得初緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率初緯之正弦為二率次輪心距地心線為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯距交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推火星法求諸年根用火星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進一秒下倣)(此)得火星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求諸日數用火星周嵗平行表察本日平行宫度分秒得火星日數察本日最髙行分秒得最髙日數察本日正交行秒微得正交日數求火星平行以火星年根與火星日數相加得火星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置火星平行減最髙平行得引數求初均及次輪心距地用火星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其所對之次輪心距地數得次輪心距地并記初均加減號(次輪心距地者即次輪心距地心之邊蓋火星次輪)(半徑時時不同則次均數亦時時不同須用三角形推算故先求次輪心距地心之邊為求次均之用也)(其獨不用中分者因次均數時時不同不能以中分比例而得故表不列次均亦即不用中分也)求本天次輪半徑用火星均數表以引數宫度分察其所對之次輪半徑本數得本天次輪半徑(本天次輪半徑者乃火星最小次輪半徑加本天髙)(卑差之數故以引數察表則本天髙卑差已加在其中也)求太陽髙卑差用火星均數表以本日太陽引數宫度分加減六宫(不及六宮則加六宮過六宫則減六宫)察其所對之太陽髙卑差數即太陽髙卑差(太陽引數加減六宫者因火星自最髙起算太陽自最卑起算故加減六宫方)(與表相應)求次輪實半徑置本天次輪半徑加太陽髙卑差得次輪實半徑(次輪)(實半徑者即本日次輪半徑因先有本天次輪半徑故以實别之)求初實行置火星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求半外角星距日次引不過半周者折半得半外角星距日次引過半周者與全周相減餘數折半得半外角求半較角以次輪實半徑與次輪心距地數相加為一率相減為二率半外角之正切線為三率求得四率為半較角之正切線檢表得半較角求次均數置半外角減半較角得次均數星距日初宫至五宫為加六宫至十一宫為減求本道實行置初實行加減次均數得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差用火星升度差表以距交實行宫度察其所對之分秒得升度差并記加減號求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求星距黄道線用火星距黄道表以距交實行宫度察其所對之數得星距黄道線并記南北號求星距地心線以次均數之正弦為一率次輪實半徑為二率星距日次引之正弦為三率(星距日次引過半周者減半周用其餘)求得四率即星距地心線(火星次輪半徑旣時時不同則星距地亦時時不同故不能列表而)(用三角形比例求之也)求視緯以星距地心線為一率星距黄道線為二率次輪心距地為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯(前法以半徑為一率初緯正弦為二率次輪心距地心線為三率求得四率為星距黄道線此第一比例)(也又以星距地心線為一率星距黄道線為二率半徑為三率求得四率為視緯正弦此第二比例也因)(第一比例之一率四率即第二比例之二率三率一率四率相乗原與二率三率相乗之數等而表中所)(列星距黄道線又即初緯之正弦故即用第一比例之二率三率而用第二比例之一率即得第二比例)(之四率也)求黄道宿度依日纏求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度御製厯象考成下編卷七
## 下編卷八
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷八金星厯法推金星用數推金星法用表推金星法推金星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十金星每日平行三千五百四十八秒小餘三三○五一六九(與太陽平行同)金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五(金星最髙每嵗平行一分二十二秒五十七微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得最)(髙每日平行一十三微三十七纎三十五忽四十芒以秒法通之即得)金星伏見每日平行二千二百一十九秒小餘四三一一八八六(金星伏見每日平行三十六分五十九秒二十五微五十二纎一十六忽)(四十四芒以秒法通之即得)金星本天半徑一千萬金星本輪半徑二十三萬一千九百六十二金星均輪半徑八萬八千八百五十二金星次輪半徑七百二十二萬四千八百五十金星次輪面與黄道交角三度二十九分氣應七日六五六三七四九二六金星平行應二十分一十九秒一十八微(與厯元甲子年天正)(冬至次日子正初刻太陽平行度同)金星最髙應六宫零一度三十三分三十一秒零四微金星伏見應初宫一十八度三十八分一十三秒零六微(按新法厯書載崇禎元年戊辰金星最髙距冬至六宫初度一十六分零六秒伏見行距)(次輪平逺初宫零九度一十一分零七秒自崇禎戊辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至)(次日積二萬零四百五十三日以積日各與每日平行相乗得數各與崇禎戊辰年諸應相加即厯)(元甲子年諸應也)推金星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求金星年根以積日與金星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日金星平行加金星平行應二十分一十九秒一十八微得金星年根上考往古則置金星平行應減積日金星平行得金星年根求最髙年根以積日與金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五相乘得數為積日最髙平行加金星最髙應六宫零一度三十三分三十一秒零四微得最髙年根上考往古則置金星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求伏見年根以積日與金星伏見每日平行二千二百一十九秒四三一一八八六相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日伏見平行加金星伏見應初宫一十八度三十八分一十三秒零六微得伏見年根上考往古則置金星伏見應減積日伏見平行得伏見年根求金星日數以所設日數與金星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗得數為秒以官度分收之得金星日數求最髙日數以所設日數與金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五相乘得數為秒以分收之得最髙日數求伏見日數以所設日數與金星伏見每日平行二千二百一十九秒四三一一八八六相乘得數為秒以宫度分收之得伏見日數求金星平行以金星年根與金星日數相加得金星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求伏見平行以伏見年根與伏見日數相加得伏見平行求正交平行置最髙平行減一十六度得正交平行(金星正交恒距最髙前一)(十六度故置最髙平行減一十六度得正交平行也)求引數置金星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理五求初均數篇)引數初宫至五官為減六宫至十一宮為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置金星平行加減初均數得初實行求伏見實行置伏見平行加減初均數得伏見實行初均為減者則加初均為加者則減(伏見平行為星距次輪平逺之度伏見實行為星距次輪)(最逺之度其相差之較即初均數而加減相反詳五星厯理五求次均數篇)求次均數星自次輪最逺㸃右旋行伏見實行度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑七百二十二萬四千八百五十為一邊伏見實行度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數伏見實行初宫至五宫為加六宮至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求黄道實行置初實行加減次均數得黄道實行(金水二星本道即黄道故置初)(實行加減次均數即黄道實行無升度差也)求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求距次交實行以伏見實行與距交實行相加(加滿全周去之用其餘)得距次交實行(距次交實行者星距次輪正交之度也伏見實行為星距次輪最逺之度而次輪最逺距)(次輪正交之度與次輪心距本道正交之度等故相加得距次交實行也詳五星厯理七五星交周及金)(水二星緯度篇)求次緯以半徑一千萬為一率次輪面與黄道交角三度二十九分之正弦為二率距次交實行之正弦為三率求得四率為次緯之正弦檢表得次緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率次緯之正弦為二率次輪半徑七百二十二萬四千八百五十為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯距次交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推金星法求諸年根用金星年根表察本年距冬至分秒(三十微進一秒下倣此)得金星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年伏見行宫度分秒得伏見年根求諸日數用金星周嵗平行表察本日平行宫度分秒得金星日數察本日最髙行分秒得最髙日數察本日伏見行宫度分秒得伏見日數求金星平行以金星年根與金星日數相加得金星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求伏見平行以伏見年根與伏見日數相加得伏見平行求正交平行置最髙平行減一十六度得正交平行求引數置金星平行減最髙平行得引數求初均及中分用金星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其與中分所對之分秒得中分并記初均加減號求初實行置金星平行加減初均數得初實行求伏見實行置伏見平行加減初均數得伏見實行初均為減者則加初均為加者則減求次均及較分用金星均數表以伏見實行宫度分察其與次均所對之度分秒(三十度進一官)得次均察其與較分所對之度分秒得較分并記次均加減號求實次均以三千六百秒為一率較分化秒為二率中分化秒為三率求得四率為秒以度分收之為加差與次均相加得實次均加減號與次均同求黄道實行置初實行加減實次均得黄道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求距次交實行以伏見實行與距交實行相加(加滿全周去之用其餘)得距次交實行求星距黄道線用金星距黄道表以距次交實行宫度察其所對之數得星距黄道線并記南北號求星距地用金星距地表以伏見實行宫度察其與星距地所對之數得星距地求距地差用金星距地表以引數宫度察其與距地差所對之數得距地差求星距地用數置星距地減距地差得星距地用數(星距地用數者求視緯所用星)(距地心之數也表中所列星距地數乃設次輪心在最髙所得星距地心之邊而次輪心距地心實有髙)(卑則是距地心之差亦與次輪心距地心之差等故以引數宫度求得次輪心距地心之邊與最髙距地)(心相減餘為距地差於星距地數内減之方為星實距地之數也○土木二星星距黄道線即初緯之正)(弦而星距地心線亦以次輪心在中距立算故其比例同金水二星星距黄道線乃以次輪半徑與次緯)(正弦比例之數原無闗於本天之髙卑而星距地心線又以次輪心在最髙立算故減距地差為星距地)(用數其比例乃相當也)求視緯以星距地用數為一率星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度御製厯象考成下編卷八
## 下編卷九
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷九水星厯法推水星用數推水星法用表推水星法(附推五星伏見及交宮同度法)推水星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十水星每日平行三千五百四十八秒小餘三三○五一六九(與太陽平行同)水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三(水星最髙每嵗平行一分四十五秒一十四微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得最)(髙每日平行一十七微一十七纎一十三忽四十六芒以秒法通之即得)水星伏見每日平行一萬一千一百八十四秒小餘一一六五二四八(水星㐲見每日平行三度零六分二十四秒零六微五十九纎)(二十九忽二十二芒以秒法通之即得)水星本天半徑一千萬水星本輪半徑五十六萬七千五百二十三水星均輪半徑一十一萬四千六百三十二水星次輪半徑三百八十五萬水星次輪心在大距與黄道交角五度四十分水星次輪心在正交當黄道北交角五度零五分一十秒其與大距交角較三十四分五十秒水星次輪心在中交當黄道北交角六度一十六分五十秒其與大距交角較三十六分五十秒水星次輪心在正交當黄道南交角六度三十一分零二秒其與大距交角較五十一分零二秒水星次輪心在中交當黄道南交角四度五十五分三十二秒其與大距交角較四十四分二十八秒氣應七日六五六三七四九二六水星平行應二十分一十九秒一十八微(與厯元甲子年天正)(冬至次日子正初刻太陽平行度同)水星最髙應十一宫零三度零三分五十四秒五十四微水星伏見應十宫零一度一十三分一十一秒一十七微(按新法厯書載崇禎元年戊辰水星最髙距冬至十一宫零一度二十五分四十二秒伏)(見行距次輪平逺三宫二十九度五十四分一十六秒自崇禎戊辰年天正冬至次日至厯元甲子)(年天正冬至次日積二萬零四百五十三日以積日各與每日平行相乗得數各與崇禎戊辰年諸)(應相加即厯元甲子年諸應也)推水星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周歲三百六十五日二四二一八七五相乗得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求水星年根以積日與水星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日水星平行加水星平行應二十分一十九秒一十八微得水星年根上考往古則置水星平行應減積日水星平行得水星年根求最髙年根以積日與水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三相乗得數為積日最髙平行加水星最髙應十一宫零三度零三分五十四秒五十四微得最髙年根上考往古則置水星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求伏見年根以積日與水星伏見每日平行一萬一千一百八十四秒一一六五二四八相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日伏見平行加水星伏見應十宫零一度一十三分一十一秒一十七微得伏見年根上考往古則置水星伏見應減積日伏見平行得伏見年根求水星日數以所設日數與水星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗得數為秒以宫度分收之得水星日數求最髙日數以所設日數與水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三相乗得數為秒以分收之得最髙日數求伏見日數以所設日數與水星伏見每日平行一萬一千一百八十四秒一一六五二四八相乗得數為秒以宫度分收之得伏見日數求水星平行以水星年根與水星日數相加得水星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求伏見平行以伏見年根與伏見日數相加得伏見平行求引數置水星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最逺㸃右旋行三倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理六求初均數篇)引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置水星平行加減初均數得初實行求伏見實行置伏見平行加減初均數得伏見實行初均為減者則加初均為加者則減求次均數星自次輪最逺㸃右旋行伏見實行度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑三百八十五萬為一邊伏見實行度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數伏見實行初宫至五宫為加六宫至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求黄道實行置初實行加減次均數得黄道實行求距交實行置初實行減最髙平行加減六宫得距交實行(水星正交)(恒與最卑同則最髙平行即中交平行故置初實行減最髙平行又加減六宫方為距正交實行也)求距次交實行以伏見實行與距交實行相加(加滿全周去之用其餘)得距次交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南求交角距交實行九宫至二宫星在黄道北交角為五度零五分一十秒星在黄道南交角為六度三十一分零二秒(距交實行九宫至二宫為次輪心在正交前後故其交角用次輪心在正交當黄道南北交角)距交實行三宮至八宫星在黄道北交角為六度一十六分五十秒星在黄道南交角為四度五十五分三十二秒(距交實行三宮至八宫為次輪心在中交前後故其交角用次輪心在中交當黄道)(南北交角)求交角差以半徑一千萬為一率大距交角較化秒為二率(距交)(實行九宫至二宫星在黄道北大距交角較為二千零九十秒星在黄道南大距交角較為三千零六十)(二秒距交實行三宫至八宫星在黄道北大距交角較為二千二百一十秒星在黄道南大距交角較為)(二千六百六十八秒)距交實行之正弦為三率求得四率即交角差距交實行九宫至二宫星在黄道北為加星在黄道南為減距交實行三宫至八宫星在黄道北為減星在黄道南為加求實交角置交角加減交角差得實交角(實交角者本日星在次輪周所當次輪面)(與黄道斜交之角也蓋水星次輪面與黄道斜交惟次輪心在大距其南北交角皆為五度四十分此外則)(黄道南與黄道北不同而正交與中交又不同次輪心在正交其黄道北交角最小距正交漸逺則交角)(漸大而黄道南交角最大距正交漸逺則交角漸小交次輪心在中交其黄道北交角最大距中交漸逺則)(角漸小而黄道南交角最小距中交漸逺則交角漸大故先以次輪心距正交前後或距中交前後及星)(在黄道南北定其交角然後加減交角差方為實交角也)求次緯以半徑一千萬為一率實交角之正弦為二率距次交實行之正弦為三率求得四率為次緯之正弦檢表得次緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率次緯之正弦為二率次輪半徑三百八十五萬為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推水星法求諸年根用水星年根表察本年距冬至分秒(三十微進一秒下倣此)得水星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年伏見行宫度分秒得伏見年根求諸日數用水星周嵗平行表察本日平行宫度分秒得水星日數察本日最髙行分秒得最髙日數察本日伏見行宫度分秒得伏見日數求水星平行以水星年根與水星日數相加得水星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求伏見平行以伏見年根與伏見日數相加得伏見平行求引數置水星平行減最髙平行得引數求初均及中分用水星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其與中分所對之分秒得中分并記初均加減號求初實行置水星平行加減初均數得初實行求伏見實行置伏見平行加減初均數得伏見實行初均為減者則加初均為加者則減求次均及較分用水星均數表以伏見實行宫度分察其與次均所對之度分秒得次均察其與較分所對之度分秒得較分并記次均加減號求實次均以三千六百秒為一率較分化秒為二率中分化秒為三率求得四率為秒以度分收之為加差與次均相加得實次均加減號與次均同求黄道實行置初實行加減實次均得黄道實行求距交實行置初實行減最髙平行加減六宫得距交實行求距次交實行以伏見實行與距交實行相加(加滿全周去之用其餘)得距次交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南求實交角用水星距限表以距交實行宫度按黄道南北察其所對之度分秒得實交角(水星距限表乃以交角差加減交角而得故用表推)(算即求實交角不用先求交角與交角差也)求星距黄道線用水星距黄道表以距次交實行宫度按實交角相近者察其所對之數得星距黄道線求星距地用水星距地表以伏見實行宫度察其與星距地所對之數得星距地求距地差用水星距地表以引數宫度察其與距地差所對之數得距地差求星距地用數置星距地減距地差得星距地用數求視緯以星距地用數為一率星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度推五星伏見及交宫同度法求土木火三星合伏時刻土木火三星黄道實行與太陽實行同宫同度為合伏皆以太陽實行未及星實行為合伏本日已過星實行為合伏次日求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以本日星實行與次日星實行相減餘為星一日之實行乃於太陽一日之實行内減星一日之實行餘為一率一千四百四十分為二率本日星實行内減本日太陽實行餘為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得合伏時刻(與月離求合朔之理同)求土木火三星退衝時刻土木火三星黄道實行與太陽實行相距六宫為退衝(亦名與太陽衝)皆以相距未及六宫為退衝本日已過六宫為退衝次日求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以次日星實行與本日星實行相減餘為星一日之實行乃以太陽一日之實行與星一日之實行相加為一率(太陽)(順行星逆行則相距為兩實行之和故相加為一率)一千四百四十分為二率本日星實行加六宫減本日太陽實行餘為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得退衝時刻求土木火三星晨夕伏見段目土木火三星合㐲後距日漸逺為晨見東方順行(土木)(火三星合伏後漸差而西日出前即可見故為晨見東方其行度在次輪上半周故恒為順行)順行漸遲遲而忽退為留退初(古名前留亦名順留因其順而忽留故曰順留因其)(留而初退故曰留退初)距日半周為退衝退衝之次日為夕見(退衝之後日入時可見日出時不見故曰夕見不曰夕見西方者因初夕見時星尚在東方也)退行漸遲遲而忽順為留順初(古名後留亦名退留因其退而忽留故曰退留因其)(留而初順故曰留順初)順行漸疾復近合伏為夕不見求土木火三星晨夕伏見限度土星限為一十一度木星限為一十度火星限為一十一度三十分合伏前後某日太陽實行與本星實行相距近此限度即以本日本星實行宫度察五星伏見距日黄道度表取其與本星相對之數為距日黄道度又以本日本星實行宫度察五星伏見距日加減差表取其與本星緯度相對之數為距日加減差乃以距日加減差與距日黄道度相加減(緯南則加緯北)(則減)得伏見限度合伏前某日太陽實行與星實行相距近此限度即為某日夕不見合伏後某日近此限度即為某日晨見(土星當地平太陽在地平下一十一度即可見木星當地平太陽在)(地平下一十度即可見火星當地平太陽在地平下一十一度三十分即可見此乃地平緯度因星之經)(緯逐日不同難以逐日推算故以地平緯度當黄道經度察表為省算也餘詳五星衝伏留退俱生於次)(輪及五星伏見篇)求金水二星合伏時刻金水二星黄道實行與太陽同宫同度為合伏皆以星實行未及太陽實行為合伏本日已過太陽實行為合伏次日求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以本日星實行與次日星實行相減餘為星一日之實行乃於星一日之實行内減太陽一日之實行餘為一率一千四百四十分為二率本日太陽實行内減星實行餘為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得合伏時刻(金水二星行度合伏時速於太陽故與土木火三星相反而其理則同也)求金水二星合退伏時刻金水二星退行與太陽實行同宫同度為合退伏(亦名)(退合)皆以太陽實行未及星實行為合退伏本日已過星實行為合退伏次日求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以次日星實行與本日星實行相減餘為星一日之實行乃以太陽一日之實行與星一日之實行相加為一率一千四百四十分為二率本日星實行内減本日太陽實行餘為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得合退伏時刻求金水二星晨夕伏見段目金水二星合伏後距日漸逺為夕見西方順行(金水二星)(合伏後漸差而東日入後即可見故曰夕見西方其行度在次輪上半周故恒為順行)順行漸遲遲而忽退為留退初退行漸近太陽為夕不見復與太陽同度為合退伏自是又漸逺太陽為晨見東方退行(金水二星合退伏後漸差而西日出前即可見故曰晨見東方其行度在次輪下半周故)(恒為退行)退行漸遲遲而忽順為留順初順行漸疾復近合伏為晨不見求金水二星晨夕伏見限度金星限為五度水星限為一十度合伏前後或合退伏前後某日太陽實行與本星實行相距近此限度即以某日本星實行宫度察五星伏見距日黄道度表取其與本星相對之數為距日黄道度又以本日本星實行宫度察五星伏見距日加減差表取其與本星緯度相對之數為距日加減差乃以距日加減差與距日黄道度相加減(緯南則加緯北則減)得伏見限度合伏前某日太陽實行與星實行相距近此限度即為某日晨不見合伏後某日近此限度即為某日夕見合退伏前某日近此限度即為某日夕不見合退伏後某日近此限度即為某日晨見求五星交宫時刻以本星一日之實行為一率一千四百四十分為二率本星實行距某宫初度之度分為三率(順行者以本日實行)(與三十度相減逆行者即用本日實行)求得四率為距子正之分數以時刻收之得交宫時刻(與太陰交宮之理同但太陰皆順行五星或有逆行耳)求五星同度時刻以兩星一日之實行相加減為一率(兩星皆順行或皆逆行者則相)(減一順一逆者則相加)一千四百四十分為二率兩星相距為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得同度時刻(與求合伏及退合之理同)御製厯象考成下編卷九
## 下編卷十
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷十恒星厯法推中星法推中星時刻法推凌犯法推凌犯視差法推中星法(推中星及中星時刻亦可用三角形法推筭但求太陽赤道經度已詳日食厯法求恒星赤道經度)(已詳恒星厯理而本年諸恒星赤道經度又須逐一推定然後可以求某星方中及偏東偏西之度)(數故立法用表以從簡易)求本時太陽黄道經度以一千四百四十分為一率本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為二率以所設時刻化分為三率求得四率與本日太陽實行相加得本時太陽黄道經度求本時太陽赤道經度用日躔黄赤升度表以本時太陽黄道經度察其所對之赤道宫度分秒得本時太陽赤道經度求本時太陽距午後赤道經度以所設時刻變赤道度(一小時變為十五度一分變為十五分一秒變為十五秒)加減半周(不及半周則加半周過半周則減半周)得本時太陽距午後赤道經度求本時正午赤道經度以本時太陽赤道經度與本時太陽距午後赤道經度相加(加滿全周去之用其餘)得本時正午赤道經度求中星用恒星赤道經緯度表察各星赤道經度又用恒星赤道經緯度嵗差表察各星經度嵗差與各星經度相加減為本年各星赤道經度乃察本年某星赤道經度與本時正午赤道經度相同即為某星方中如經度不相同則察其相近者與本時正午赤道經度相減餘為偏東偏西之度凡星之赤道經度大於正午赤道經度者為偏東小於正午赤道經度者為偏西推中星時刻法求星赤道經度用恒星赤道經緯度表察本星赤道經度又用赤道經緯度嵗差表察本星經度嵗差按嵗積之與本星赤道經度相加減得星赤道經度(或用恒星黄道經緯度表察本星黄)(道經度自厯元甲子起算每年加嵗差五十一秒求得本年本星黄道經度又用黄赤經緯互推表以本)(年黄道經度及黄道緯度察其所對之赤道宫度分亦得星之赤道經度如黄道經緯度俱有零分者用)(中比例三次求之)求太陽赤道經度用日躔黄赤升度表以本日太陽黄道經度察其所對之赤道宫度分秒得太陽赤道經度求太陽距午後赤道經度星赤道經度内減太陽赤道經度(不及減者加十二宫減之)餘為太陽距午後赤道經度求中星時刻以太陽距午後赤道經度加減半周(不及半周者加半周過半周者)(減半周)變時自子正初刻起算得中星時刻(推中星用本時太陽)(赤道度而推中星時刻則用子正太陽赤道度因無時刻可設故即用子正耳又太陽每日東行一度變)(時約得四分雖有微差亦不甚逺若必欲按本時太陽赤道度立筭則於所得中星時刻内每一小時減十)(秒則一日二十四時即減四分於理更密)推凌犯法求凌犯入限太陰凌犯恒星以本日太陰經度與次日太陰經度察本年凌犯恒星經緯度表某星在此限内為凌犯入限復察其間各星緯度如太陰緯與星緯同在黄道北者太陰緯多為太陰在上太陰緯少為太陰在下太陰緯與星緯同在黄道南者太陰緯多為太陰在下太陰緯少為太陰在上一緯北一緯南者太陰緯北為太陰在上太緯緯南為太陰在下(近天頂為上近地平)(為下)太陰在上者相距二度以内取用太陰在下者相距一度以内取用(太陰有地半徑差常變髙為卑太陰在上者雖相距二度或因地半)(徑差而相距一度故於二度以内取用若太陰在下者雖相距一度而加以地半徑差則相距益逺故止)(於一度以内取用也)兩緯相距十七分以内為凌十八分以外為犯(逼近為凌畧逺為犯)兩緯相同為掩太陰凌犯五星以本日太陰經度在星前次日太陰經度在星後為凌犯入限餘與凌犯恒星同五星凌犯恒星無論在上在下皆於相距一度以内取用(五星地半徑差甚小故皆於一度以内取用)兩緯相距三分以内為凌四分以外為犯(五星光小故三分以内方為凌四分以外即為犯)兩緯相同為掩餘與太陰凌犯恒星同五星自相凌犯以行速者為凌犯之星以行遲者為受凌犯之星如兩星行度相同而一順行一逆行者則以順行者為凌犯之星逆行者為受凌犯之星皆以本日此星經度在彼星前次日此星經度在彼星後為凌犯入限餘與五星凌犯恒星同求日行度太陰凌犯恒星以本日太陰經度與次日太陰經度相減得日行度(日行度者乃太陰與恒星一日相距之行度因恒星之行甚遲有似不動)(故止以太陰之行度為日行度也)太陰凌犯五星以本日太陰經度與次日太陰經度相減餘為太陰一日之行度又以本日星經度與次日星經度相減餘為星一日之行度星順行者則以兩數相減得日行度(與交食月距日之理同)星逆行者則以兩數相加得日行度(與交食距交之理同)五星凌犯恒星以本日星經度與次日星經度相減得日行度(與太陰犯恒星之理同)五星自相凌犯以本日此星經度與次日此星經度相減餘為此星一日之行度又以本日彼星經度與次日彼星經度相減餘為彼星一日之行度兩星俱順行或俱逆行者則以兩數相減得日行度兩星一順行一逆行者則以兩數相加得日行度(與太陰犯五星之理)(同)求相距度太陰凌犯恒星以本日太陰經度與恒星經度相減得相距度太陰凌犯五星以本日太陰經度與本日星經度相減得相距度五星凌犯恒星以本日星經度與恒星經度相減得相距度五星自相凌犯以本日兩星經度相減得相距度求凌犯時刻以日行度化分為一率一千四百四十分為二率相距度化分為三率求得四率為分以時刻收之得凌犯時刻推凌犯視差法(凡太陰凌犯諸星夜所可見者則復推視差以求其凖與日食三差之理同其推之之法亦可用三)(角形立算因其理已詳日食故立法用表以從簡易其推可見不可見之法則以太陰出入時刻法)(求之或用天球比算亦得大槩至於五星凌犯恒星及五星自相凌犯其視差甚微可以不計不必)(復推矣)求本時太陽黄道度以一千四百四十分為一率本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為二率凌犯時刻化分為三率求得四率與本日太陽實行相加得本時太陽黄道度求春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以本時太陽黄道度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以凌犯時刻加減十二時(不及十二時則加十)(二時過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十)(四時去之用其餘)得春分距午時分(春分距午時分者即本時春分距午後之時分)(也與日食春分距午時分之理同)求黄平象限宫度用交食北極髙四十度黄平象限表以春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得黄平象限宫度(日食推黄平象限宫度與月距限同在一條凌犯視差有專用黄平)(象限宫度之處故另列一條以便於用)求月距限以黄平象限宫度與星經度相減餘為月距限度(凌犯)(時太陰與星同度故以星經度與黄平象限宫度相減餘即為月距限度)星經度大於黄平象限宫度為限東小於黄平象限宫度為限西求限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得限距地髙求正交經度依月離厯法推得本時正交實行得正交經度求限距交黄平象限宫度内減正交經度(不足減者加十二宫減之)餘為限距交求限距緯用月離黄白距度表以限距交宫度按本日月離黄白大距相近限内察其所對之度分秒得限距緯并記南北號求白道髙度置限距地髙加減限距緯(北加南減)得白道髙度(白道髙度者黄)(平象限上白道距地平之髙度雖黄白距緯與地平髙弧不同然數度之間相去不逺故先求得黄平象)(限距交之度以求其距緯乃與限距地髙相加減即為白平象限距地平之髙雖黄平象限與白平象限)(經度亦自不同而白平象限之髙與當黄平象限處畧相等且以求白道髙弧交角所差無多故借用以)(從簡易)求太陰髙弧用交食太陽髙〔？〕表以月距限及白道髙度察其所對之度分秒(八表以白道髙度當限距地髙)得太陰髙〔？〕求白道髙〔？〕交角用交食黄道髙〔？〕交角表以月距限及白道髙度察其所對之度分秒(入表以白道髙度當限距地髙)得白道髙〔？〕交角(黄道髙〔？〕交角表以月距限及限距地髙立算今旣以白道髙度當限距地髙故所得即為白道髙〔？〕交)(角)求太陰引數依月離厯法求得本時太陰平引得太陰引數求太陰距地用交食視半徑表以太陰引數宫度察其與月距地相對之數得太陰距地求髙下差用月離太陰地半徑差表以太陰髙〔？〕按太陰距地限察其所對之數得髙下差(恒星無視差故太陰地半徑差即髙下差若太)(陰凌犯火金水諸星則各用本星地半徑差表以太陰髙〔？〕按本星引數宫限察得本星地半徑差與太)(陰地半徑差相減即髙下差與日食髙下差之理同)求東西差及南北差用交食東西南北差表以白道髙〔？〕交角及髙下差察其與東西差所對之數得東西差隨察其與南北差所對之數得南北差求太陰距交星經度内減正交經度(不足減者加十二宫減之)得太陰距交(凌犯)(時太陰與星同度故於星經度内減正交經度即得太陰距交)求太陰實緯用月離黄白距度表以太陰距交宫度按本日月離黄白大距相近限内察其所對之度分秒得太陰實緯并記南北號求太陰視緯置太陰實緯加減南北差得太陰視緯實緯在黄道南則加南北差而視緯仍為南實緯在黄道北則減南北差而視緯仍為北若實緯在黄道北而南北差大於實緯則反減而視緯即變為南求太陰距星視緯與星緯同在黄道南或同在黄道北者則相減得太陰距星一在黄道南一在黄道北者則相加得太陰距星相距一度以内者用相距一度以外者不用定太陰在上在下之法與取凌犯入限同求太陰實行用月離太陰實行表以太陰引數宫度察其所對之分秒得太陰實行求視時距分以太陰實行化秒為一率三千六百秒為二率東西差化秒為三率求得四率為秒以分收之得視時距分太陰距限西為加太陰距限東為減求凌犯視時置凌犯時刻加減視時距分得凌犯視時御製厯象考成下編卷十
## 表[目録]
欽定四庫全書御製厯象考成表卷一日躔表卷二月離表一卷三月離表二卷四月離表三卷五交食表一卷六交食表二卷七交食表三卷八交食表四卷九土星表卷十木星表卷十一火星表卷十二金星表卷十三水星表卷十四恒星表卷十五黄赤經緯互推表上卷十六黄赤經緯互推表下
## 表卷一
欽定四庫全書御製歴象考成表卷一日躔表太陽年根表太陽周嵗平行表太陽周日平行表太陽均數表黄赤距度表黄赤升度表黄道赤經交角表升度時差表均數時差表太陽地半徑差表清蒙氣差表太陽實行表太陽年根表太陽年根表以距冬至及最卑逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正太陽平行距丑宫初度之分秒也(求逐年距)(冬至法以周日一萬分為一率太陽每日平行三千五百四十八秒小餘三三○五一六九為二率以厯元甲)(子年天正冬至氣應分數六千五百六十三分小餘七四九二六與周日一萬分相減餘三千四百三十六分)(小餘二五○七四為三率求得四率一千二百一十九秒小餘二九五三三六四收作二十分一十九秒一十)(七微四十三纖一十二忽四十芒為厯元甲子年距冬至之數此後用加法以本年距冬至之數加三百六十)(五日之太陽平行三百五十九度四十五分四十秒三十八微一十九纖一十二忽二十四芒滿三百六十度)(減之餘為次年距冬至之數而本年即為三百六十五日是為平年如相加不滿三百六十度則再加一日之)(太陽平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒然後減三百六十度餘為次年距冬至)(之數而本年即為三百六十六日是為閏年又捷法以本年距冬至之數減三百六十五日之太陽平行度與)(全周之較一十四分一十九秒二十一微四十纖四十七忽三十六芒即得次年距冬至之數而本年即為平)(年若不足減則以本年距冬至之數加三百六十六日之太陽平行度與全周之較四十四分四十八秒五十)(八微零九纖零四忽零三芒即得次年距冬至之數而本年即為閏年按法求得逐年距冬至之數滿三十纖)(以上者進作一微不足三十纖者可以去之後倣此)最卑者乃逐年天正冬至次日子正最卑過丑宫初度之度分也(求逐年最卑法厯元甲子年天正冬)(至最卑應七度一十分一十一秒一十微即厯元甲子年最卑過冬至之數此後用加法如本年為平年則加)(三百六十五日之最卑行一分零一秒零七微三十四纖一十五忽五十八芒即得次年最卑過冬至之數如)(本年為閏年則加三百六十六日之最卑行一分零一秒一十七微三十七纖零九忽一十六芒即得次年最)(卑過冬至之數)後列紀日值宿者乃逐年天正冬至次日之干支并所值之宿也(求逐年紀日及值宿法厯元甲子年天正冬至氣應七日為辛未次日為)(壬申即厯元甲子年紀日此後用加法如本年為平年則自本年紀日干支順數加五日即得次年紀日干支)(如本年為閏年則自本年紀日干支順數加六日即得次年紀日干支盖紀法以六十為率三百六十日則紀)(法滿六周故平年加五日閏年加六日也又厯元甲子年天正冬至宿應五日為尾宿次日為箕宿即厯元甲)(子年值宿此後用加法如本年為平年則自本年值宿順數加一宿即得次年值宿本年為閏年則自本年值)(宿順數加二宿即得次年值宿盖宿法以二十八為率三百六十四日則宿法滿一十三周故平年加一宿閏)(年加二宿也)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自歴元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為八分一十八秒三十二微其最卑為七度四十八分五十五秒二十八微其紀日為辛夘其值宿為張宿也太陽周嵗平行表太陽周嵗平行表以太陽平行及最卑行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃太陽本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒累加之即得逐日)(平行之各數)最卑行者乃太陽本天自一日至三百六十六日之最卑行各數也(最卑每日行一十微零二纖五十三忽一十八芒累加之即得逐日)(最卑行之各數)用表之法如求冬至後九十二日之太陽平行及最卑行則察本表日數九十二所對各數錄之其平行為三宫零四十分四十六秒二十四微即九十二日太陽平行之共數其最卑行為一十五秒二十四微即九十二日最卑行之共數也太陽周日平行表太陽周日平行表以一日内之時分秒遞降列之蓋時刻之分秒與度數之分秒皆以六十遞析(一日二十四時每時六十)(分每分六十秒)故太陽一時之平行與一分或一秒之平行皆同數不過遞降一位耳如太陽一時行二分有餘一分行二秒有餘一秒行二微有餘其平行之數同為二而為分為秒為微則遞降也表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則太陽逐時逐分逐秒之平行數也(太陽每日之平行用二十四時除之得二分二十七秒五)(十微四十九纖三十四忽四十芒是為一時之平行累加之為逐時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降)(一位時之平行為度分秒微分之平行為分秒微纖秒之平行為秒微纖忽)至於最卑每日止行一十微有餘則時分所行甚少故周日平行表不列最卑行用表之法如求一十二時四十二分五十一秒之太陽平行則察本表一十二時所對之數為二十九分三十四秒一十微四十二分所對之數為一分四十三秒二十九微三十四纖五十一秒所對之數為二秒零五微四十纖一十二忽合計三數得三十一分一十九秒四十五微一十四纖一十二忽即所求之太陽平行也太陽均數表太陽均數表按最卑最髙分順逆列之引數初宫至五宫為最卑後列於上引數六宫至十一宫為最髙後列於下前後列引數度分分順逆以别加減中列逐宫逐度之均數太陽引數在上六宫者用順度其號為加太陽引數在下六宫者用逆度其號為減用表之法以引數之宫對引數之度分其縱横相遇即所求之均數也表以十分為率若引數有零分者按中比例法求之設太陽引數為二宫五度一十二分求其均數則以二宫五度一十分所對之數一度五十二分三十七秒與下層五度二十分所對之數一度五十二分四十六秒相減餘九秒為一十分之較乃以引數一十分為一率較數九秒為二率設數二分為三率求得四率一秒小餘八收作二秒與二宫五度一十分之均數一度五十二分三十七秒相加(因二十分之均數大於一十分之均數故)(相加反是則相減也)得一度五十二分三十九秒為所求之均數其號為加即為加均也黄赤距度表黄赤距度表按二分二至分順逆列之二分後之各宫列於上降婁大梁實沈三宫係春分後為北緯夀星大火析木三宫係秋分後為南緯其數同二至後之各宫列於下鶉首鶉火鶉尾三宫係夏至後為北緯星紀元枵娵訾三宫係冬至後為南緯其數同太陽實行在上六宫者用順度太陽實行在下六宫者用逆度用表之法以實行之宫對實行之度分其縱横相遇即所求之距度也表以十分為率若實行有零分者按中比例法求之設太陽實行在黄道大火宫二十一度一十五分求黄赤距度則以大火宫二十一度一十分所對之數一十八度零五分二十四秒與下層二十一度二十分所對之數一十八度零八分零二秒相減餘二分三十八秒為一十分之較乃以一十分為一率較數二分三十八秒化作一百五十八秒為二率設數五分為三率求得四率七十九秒收作一分一十九秒與大火宫二十一度一十分之距度一十八度零五分二十四秒相加(因二十分之距度火於一十分之距度故相加反是則相減也)得一十八度零六分四十三秒為所求之距度也黄赤升度表黄赤升度表黄道宫度與赤道宫度並列之皆自冬至星紀宫起初宫(即○宫)元枵宫為一宫以太陽經度為次用宫數不用宫名者太陽當交宫之際惟二分二至黄赤同度其餘恒不同宫故用宫數以便列表用表之法以太陽實行察黄道宫度其所對之赤道宫度即所求之赤道升度也表以逐度為率若實行有零分者按中比例法求之設太陽實行在黄道降婁宫五度二十四分求赤道升度自星紀宫起初宫計之為三宫五度二十四分則以黄道三宫五度所對之數三宫四度三十五分一十五秒與下層三宫六度所對之數三宫五度三十分二十一秒相減餘五十五分零六秒為一度之較乃以一度化作六十分為一率較數五十五分零六秒化作三千三百零六秒為二率設數二十四分為三率求得四率一千三百二十二秒收作二十二分零二秒與三宫五度之赤道度三宫四度三十五分一十五秒相加得三宫四度五十七分一十七秒為所求之赤道升度也黄道赤經交角表黄道赤經交角表(黄道赤經交角乃黄道與過赤極經圏相交之角即正弧三角形所謂黄)(道交極圏角也)亦按二分二至分順逆列之二分後之各宫列於上二至後之各宫列於下太陽實行在上六宫者用順度太陽實行在下六宫者用逆度用表之法以實行之宫對實行之度其縦横相遇即所求之交角也設太陽實行在黄道實沈宫五度求黄道赤經交角則察實沈宫五度所對之數為七十九度三十五分三十秒即所求之交角也(實沈宫在上故用順度)若實行有零分者亦按中比例法求之升度時差表升度時差表亦按二分二至分順逆列之二分後六宫列於上二至後六宫列於下前後列黄道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之升度時差即赤道升度與黄道相差度分所變時刻之分秒(每一度變時之四分每十五分變時之一分每)(十五秒變時之一秒)太陽實行在上六宫者用順度其號為加太陽實行在下六宫者用逆度其號為減用表之法以實行之宫對實行之度其縦横相遇即所求之升度時差也設太陽實行在黄道大梁宫八度求升度時差則察大梁宫八度所對之數為九分三十一秒即所求之升度時差其號為加即為加差也(大梁宫在上故)(用順度)若實行有零分者亦按中比例法求之均數時差表均數時差表亦按最卑最髙分順逆列之最卑後六宫列於上最髙後六宫列於下前後列引數度分順逆以别加減中列逐宫逐度之均數時差即均數度分所變時刻之分秒(每一度變時之四分每一十五分變時之一分每一十五秒變時之一秒)太陽引數在上六宫者用順度其號為減太陽引數在下六宫者用逆度其號為加用表之法以引數之宫對引數之度其縦横相遇即所求之均數時差也設太陽引數為十一宫二十五度求均數時差則察十一宫二十五度所對之數為四十四秒即所求之均數時差其號為加即為加差也(十一宫在下故)(用逆度)若引數有零分者亦按中比例法求之太陽地半徑差表太陽地半徑差表分最髙中距最卑三限列之其前列實髙度(太陽引數自四宫一十五度至七宫一十五度為最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆為中距限自十宫一十五度至一宫一十五度為最卑限)表内分秒即三限實髙度所生之地半徑差也用表之法如夏至後太陽引數當最髙限推得午正太陽實髙七十三度求地半徑差則察最髙限實髙七十三度所對之數為五十一秒即所求之地半徑差與實髙七十三度相減餘七十二度五十九分零九秒為本日午正太陽之視髙也如先測得午正太陽視髙七十二度五十九分零九秒則以地半徑差五十一秒與視髙相加得七十三度為本日午正太陽之實髙也盖實髙乃地心之度視髙乃地面之度實髙所生之地半徑差與視髙所生之地半徑差應有不同然所差甚微故本表雖以實髙求視髙而視髙求實髙亦可同用髙度有零分者亦按中比例法求之清䝉氣差表清䝉氣差表分兩段列之第一段自初度至二十二度第二段自二十三度至四十五度皆地平之髙度其所對之數則逐度之蒙氣差也用表之法如測得七政或恒星髙四十度求蒙氣差則察四十度所對之數為一十秒即所求之䝉氣差與視髙四十度相減餘三十九度五十九分五十秒為實髙如先推得實髙三十九度五十九分五十秒則以䝉氣差一十秒與實髙相加得四十度為視髙也髙度有零分者亦按中比例法求之太陽實行表太陽實行表亦按最卑最髙分順逆列之最卑後六宫列於上最髙後六宫列於下前後列引數度中列逐宫逐度之太陽實行(太陽實行者太陽一小時之實行也本輪心之行度為平行一小時恒為)(二分二十七秒五十一微而實行則有盈縮盖因均數時時不同故實行亦不同也求法以一度為一率逐度)(均數之較為二率太陽一小時之引數為三率求得四率為一小時均數之較與太陽一小時之平行相加減)(即得太陽逐宫逐度一小時之實行其加減之法均數為加者本度加均小次度加均大則加本度加均大次)(度加均小則減均數為減者本度減均小次度減均大則減本度減均大次度減均小則加)太陽引數在上六宫者用順度太陽引數在下六宫者用逆度用表之法以引數之宫對引數之度縱横相遇即所求之實行也設太陽引數為一宫二十五度求實行則察一宫二十五度所對之數為二分三十一秒即所求之實行也(一宫在上故用順度)引數有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度實行所差甚微故也御製厯象考成表卷一
## 表卷二
欽定四庫全書御製厯象考成表卷二月離表一太陰年根表太陰周歳平行表太陰周日平行表太陰初均表交均距限表黄白距度表黄白升度差表太陰地半徑差表太陰實行表太陰年根表太陰年根表以距冬至及月孛行正交行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正太陰平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至太陰平行應一宫零八度四十分五十七秒一十六微即厯元)(甲子年太陰平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之太陰平行十三周天外又)(四宫零九度二十三分零二秒四十三微四十六纖三十四忽四十一芒滿全周去之餘為次年距冬至之數)(如本年為閏年則加三百六十六日之太陰平行十三周天外又四宫二十二度三十三分三十七秒四十五)(微零二纖四十八忽五十四芒滿全周去之餘為次年距冬至之數滿三十纖以上者進作一微不足三十纖)(者去之後倣此)月孛行者乃逐年天正冬至次日子正最髙過冬至之宫度也(求逐年月孛行法厯元甲子年天正冬至月孛應三宫零四度四十九分五十)(四秒零九微即厯元甲子年月孛過冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之月孛行一)(宫一十度三十九分五十三秒一十六微四十四纖四十六忽零五芒即得次年月孛過冬至之數如本年為)(閏年則加三百六十六日之月孛行一宫一十度四十六分三十四秒二十一微二十三纖四十一忽零二芒)(即得次年月孛過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲子年天正冬至正交應六宫二十七)(度一十三分三十七秒四十八微即厯元甲子年正交過冬至之數此後用減法如本年為平年則減三百六)(十五日之正交行一十九度一十九分四十三秒三十六微即得次年正交過冬至之數如本年為閏年則減)(三百六十六日之正交行一十九度二十二分五十四秒一十四微二十四纖即得次年正交過冬至之數)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為一宫零三度五十一分五十六秒一十一微其月孛行為六宫二十一度零五分四十八秒二十七微其正交行為六宫一十二度一十五分二十五秒一十五微也太陰周歳平行表太陰周歳平行表以太陰平行及月孛行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃太陰本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(太陰每日平行一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十)(三芒累加之即得逐日平行之各數)月孛行者乃太陰本天自一日至三百六十六日之最髙行各數也(最髙每日行六分四十一秒零四微三十八纖)(五十四忽五十七芒累加之即得逐日月孛行之各數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各數也(正交每日退行三分一十秒三十八微二十四)(纖累加之即得逐日正交行之各數)用表之法如求冬至後二十五日之太陰平行及月孛行正交行則察本表日數二十五所對各數錄之其平行為十宫二十九度二十四分三十五秒三十二微即二十五日太陰平行之共數其月孛行為二度四十七分零六秒五十六微即二十五日月孛行之共數其正交行為一度一十九分二十六秒即二十五日正交行之共數也太陰周日平行表太陰周日平行表以一日内之時分秒遞降列之盖時刻之分秒與度數之分秒皆以六十遞析(一日二十四時每時六十)(分每分六十秒)故太陰一時之平行與一分或一秒之平行皆同數不過遞降一位耳如太陰一時行三十二分有餘一分行三十二秒有餘一秒行三十二微有餘其平行之數同為三十二而為分為秒為微則遞降也表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則太陰逐時逐分逐秒之各平行數也(太陰每日)(之平行用二十四時除之得三十二分五十六秒二十七微三十三纖一十忽三十五芒是為一時之平行累)(加之為逐時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為度分秒微分之平行為分秒微纖秒)(之平行為秒微纖忽月孛行與正交行皆倣此)用表之法如求五時三十六分四十八秒之太陰平行及月孛行正交行則察本表太陰平行五時所對之數為二度四十四分四十二秒一十八微三十六分所對之數為一十九分四十五秒五十二微三十二纖四十八秒所對之數為二十六秒二十一微一十纖零三忽合計三數得三度零四分五十四秒三十一微四十二纖零三忽即所求之太陰平行也月孛行五時所對之數為一分二十三秒三十三微三十六分所對之數為一十秒零一微三十七纖四十八秒所對之數為一十三微二十二纖零九忽合計三數得一分三十三秒四十七微五十九纖零九忽即所求之月孛行也正交行五時所對之數為三十九秒四十三微三十六分所對之數為四秒四十五微五十八纖四十八秒所對之數為六微二十一纖一十七忽合計三數得四十四秒三十五微一十九纖一十七忽即所求之正交行也太陰初均表太陰初均表按最髙最卑分順逆列之引數初宫至五宫為最髙後列於上引數六宫至十一宫為最卑後列於下前後列引數度分分順逆以别加減中列逐宫逐度之初均數太陰引數在上六宫者用順度其號為減太陰引數在下六宫者用逆度其號為加用表之法以引數之宫對引數之度分其縱横相遇即所求之初均數也表以十分為率若引數有零分者按中比例法求之設太陰引數為一宫三度四十六分求其初均數則以一宫三度四十分所對之數二度四十一分四十六秒與下層三度五十分所對之數二度四十二分二十九秒相減餘四十三秒為一十分之較乃以引數一十分為一率較數四十三秒為二率設數六分為三率求得四率二十五秒小餘八收作二十六秒與一宫三度四十分之初均數二度四十一分四十六秒相加(因五十分之初均數大於四十分之初均數故相加反是則相減也)得二度四十二分一十二秒為所求之初均數其號為減即為減均也交均距限表交均距限表按朔朢兩弦分順逆列之朔朢後之各宫列於上月距日初宫至二宫為朔後六宫至八宫為朢後其數同兩弦後之各宫列於下月距日三宫至五宫為上弦後九宫至十一宫為下弦後其數同月距日次引在上六宫者用順度交均之號為減月距日次引在下六宫者用逆度交均之號為加用表之法以月距日次引之宫對月距日次引之度其縦横相遇即所求之交均及距限也表以逐度為率若月距日次引有零分者交均則按中比例法求之距限則取相近者用之(不足三十分者去之滿三十分以上則進作一度察表)設月距日次引六宫八度一十五分求交均及距限則以六宫八度所對之交均三十分一十秒與下層九度所對之交均三十三分四十八秒相減餘三分三十八秒為一度之較乃以一度化六十分為一率較數化二百一十八秒為二率設數一十五分為三率求得四率五十四秒小餘五收作五十五秒與八度之交均三十分一十秒相加(因九度之交均大於八度之交均故相加反是則相減也)得三十一分零五秒為所求之交均其號為減即為減均又察六宫八度所對之距限四度五十八分五十三秒即所求之距限也(因八度一十五分與八度近與九度逺故即用八度之數)黄白距度表黄白距度表按兩交前後分順逆列之兩交後之各宫列於上初宫至二宫係正交後為北緯六宫至八宫係中交後為南緯其數同兩交前之各宫列於下三宫至五宫係中交前為北緯九宫至十一宫係正交前為南緯其數同太隂距交實行在上六宫者用順度太陰距交實行在下六宫者用逆度用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縦横相遇即所求之距度也表分六限依距限相近者取用(黄白大距逐日不同故以朔朢時黄白大距四度五十八分三十秒與兩弦時黄白大距五度一十七分三十)(秒均分為六限各求其距緯列表每限大距相差三分有餘夫大距止差三分則距緯所差甚微可以不計故)(依距限相近者取用也)設距限為五度太陰距交實行為一宫五度求黄白距度則察大距四度五十八分三十秒黄白距度表(為與距限五度相近)一宫五度所對之數為二度五十一分零四秒即所求之黄白距度也若距交實行有零分者亦按中比例法求之黄白升度差表黄白升度差表亦按兩交前後分順逆列之兩交後六宫列於上兩交前六宫列於下前後列距交白道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之黄白升度差太陰距交實行在上六宫者用順度其號為減太陰距交實行在下六宫者用逆度其號為加用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之升度差也設太陰距交實行為二宫六度求黄白升度差則察二宫六度所對之數為四分五十秒即所求之黄白升度差其號為減是為減差也若距交實行有零分者亦按中比例法求之太陰地半徑差表太陰地半徑差表按太陰距地與地半徑比例數分十限列之(自距地五十三地半徑至距地六十二地半徑)表内度分秒即各限實髙度所生之地半徑差也用表之法如太陰距地五十三地半徑推得太陰實髙二十六度求地半徑差則察太陰距地五十三地半徑表實髙二十六度所對之數為五十八分四十七秒即所求之地半徑差與實髙二十六度相減餘二十五度零一分一十三秒為本時太陰之視髙也如先測得太陰視髙二十五度零一分一十三秒則以地半徑差五十八分四十七秒與視髙相加得二十六度為本時太陰之實髙也若髙度有零分者按中比例法求之太陰實行表太隂實行表亦按最髙最卑分順逆列之最髙後六宫列於上最卑後六宫列於下前後列引數度中列逐宫逐度之太陰實行(太陰實行者太陰一小時之實行也本輪心之行度為平行一小時恒為)(三十二分五十六秒二十八微而實行則有遲疾葢因均數時時不同故實行亦不同也其理與太陽實行同)太陰引數在上六宫者用順度太陰引數在下六宫者用逆度用表之法以引數之宫對引數之度其縦横相遇即所求之實行也設太陰引數為初宫二十四度求實行則察初宫二十四度所對之數為三十分二十五秒即所求之實行也(初宫在上故用順度)引數有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度實行所差甚微故也御製厯象考成表卷二
## 表卷三上
欽定四庫全書製厯象考成表卷三上月離表二二三均數表上太隂二三均數表太隂二三均數表按引數及月距日分順逆列之引數初宫至五宫依次順列於前六宫至十一宫依次逆列於後月距日宫度亦分順逆列於上下(引數初宫至五宫用上宫度六)(宫至十一宫用下宫度)中列逐宫逐度之二三均數其曲折界線乃加減所由分順度為減者遇界線則為上加下減順度為加者遇界線則為上減下加逆度為加者遇界線則為上加下減逆度為減者遇界線則為上減下加用表之法以太隂引數之宫度對月距日之宫度其縱横相遇即所求之二三均數也(凡月距日滿六宫者即減去六宫用其餘數)表以逐度為率若引數與月距日皆有零分者則用中比例三次求之設太隂引數一宫五度二十分月距日四宫一度一十五分求二三均數則以引數一宫五度與月距日四宫一度所對之數三十五分五十七秒與下層引數一宫六度與月距日四宫一度所對之數三十七分五十五秒相減餘一分五十八秒為引數一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分五十八秒化作一百一十八秒為二率設數二十分為三率求得四率三十九秒與引數一宫五度所對之數三十五分五十七秒相加(因六度之數大於五度之數故相加反是則相減也)得三十六分三十六秒為引數一宫五度二十分月距日四宫一度之二三均數又以引數一宫五度與月距日四宫二度所對之數三十四分二十八秒與下層引數一宫六度與月距日四宫二度所對之數三十六分二十四秒相減餘一分五十六秒為引數一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分五十六秒化作一百一十六秒為二率設數二十分為三率求得四率三十八秒與引數一宫五度所對之數三十四分二十八秒相加得三十五分零六秒為引數一宫五度二十分月距日四宫二度之二三均數復以比例所得兩二三均數相減餘一分三十秒即月距日一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分三十秒化作九十秒為二率設數一十五分為三率求得四率二十三秒與比例所得月距日四宫一度之二三均數三十六分三十六秒相減(因二度之數小於一度之數故相減反是則相加也)餘三十六分一十三秒為所求引數一宫五度二十分月距日四宫一度一十五分之二三均數其號為減即為減均也 又設太隂引數初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度四十分求二三均數則以引數初宫一十三度與月距日三宫二十五度所對之數六秒與下層引數初宫一十四度與月距日三宫二十五度所對之數二分零五秒相減餘一分五十九秒為引數一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分五十九秒化作一百一十九秒為二率設數一十五分為三率求得四率三十秒與引數初宫一十三度所對之數六秒相加得三十六秒為引數初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度之二三均數是為減均又以引數初宫一十三度與月距日三宫二十六度所對之數五十八秒與下層引數初宫一十四度與月距日三宫二十六度所對之數一分相加得一分五十八秒為引數一度之較(因上)(層為加下層為減則其較為兩均之和故相加為引數一度之較)乃以一度化作六十分為一率較數一分五十八秒化作一百一十八秒為二率設數一十五分為三率求得四率三十秒與引數初宫一十三度所對之數五十八秒相減餘二十八秒為引數初宫一十三度月距日三宫二十六度之二三均數是為加均(因上層為加下層為減其所加之數漸小故相減餘為加均若不足減則於四)(率内反減之餘即為減均或上層為減下層為加其所減之數漸小亦相減餘為減均若不足減亦於四率内)(反減之餘即為加均)復以比例所得兩二三均數相加(因比例所得兩均數)(一為加一為減故相加若同號則相減)得一分零四秒即月距日一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分零四秒化作六十四秒為二率設數四十分為三率求得四率四十三秒反減去比例所得月距日三宫二十五度之二三均數三十六秒餘七秒為所求引數初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度四十分之二三均數即為加均也(因前數為減後數為加其所減之數漸小應相減餘為減均今不足減故於四率内)(反減之餘即為加均或前數為加後數為減其所加之數漸小亦相減餘為加均若不足減則於四率内反減)(之餘即為減均也察逆度上下前後反是)御製厯象考成表卷三上
## 表卷三中
欽定四庫全書御製厯象考成表卷三中月離表二二三均數表上御製厯象考成表卷三中
## 表卷三下
欽定四庫全書御製厯象考成表卷三下月離表二三均數表御製厯象考成表卷三下
## 表卷四上
欽定四庫全書御製厯象考成表卷四上月離表三二三均數表下御製厯象考成表卷四上
## 表卷四中
欽定四庫全書御製厯象考成表卷四中月離表三二三均數表下之二御製厯象考成表卷四中
## 表卷四下
欽定四庫全書御製厯象考成表卷四下月離表三二三均數表下之三御製厯象考成表卷四下
## 表卷五
欽定四庫全書御製厯象考成表卷五交食表一首朔諸根表朔朢策表周日諸平行表月距日實行表黃白距度表視半徑表交食月行表首朔諸根表首朔諸根表以首朔及太陽平行太陽引數太隂引數太隂交周逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名首朔者乃逐年天正冬至後第一平朔距冬至次日子正之日時也(求逐年首朔法厯元甲子年朔應二十六日零九時一十四分)(四十七秒零二微零三纖即厯元甲子年首朔之數此後用加法以本年首朔之數加十二朔策三百五十四)(日零八時四十八分三十八秒四十九微二十一纖如本年為平年則減去三百六十五日餘為次年首朔之)(數如本年為閏年則減去三百六十六日餘為次年首朔之數若不足減則再加一朔策二十九日一十二時)(四十四分零三秒一十四微零七纖然後減之而本年即為有閏月也滿三十纖以上者進作一微不足三十)(纖者去之後倣此)太陽平行者乃逐年首朔太陽平行距丑宮初度之度分也(求逐年太陽平行法厯元甲子年首朔太陽平行應初宮二十六度二十分四)(十二秒五十六㣲三十四纖即厯元甲子年首朔太陽平行過冬至之數此後用加法如本年無閏月則加十)(二朔策之太陽平行十一宮一十九度一十六分五十一秒三十九微零八纖滿全周去之即得次年首朔太)(陽平行過冬至之數如本年有閏月則加十三朔策之太陽平行一周天外又一十八度二十三分一十五秒)(五十七微二十二纖即得次年首朔太陽平行過冬至之數)太陽引數者乃逐年首朔太陽自行距最卑之宮度也(求逐年太陽引數法厯元甲子年首朔太陽引)(數應初宮一十九度一十分二十七秒二十一微二十四纖即厯元甲子年首朔太陽自行過最卑之數此後)(用加法如本年無閏月則加十二朔策之太陽引數十一宮一十九度一十五分五十二秒一十八微二十三)(纖即得次年首朔太陽自行過最卑之數如本年有閏月則加十三朔策之太陽引數本輪一周外又一十八)(度二十二分一十一秒三十九微五十五纖即得次年首朔太陽自行過最卑之數)太隂引數者乃逐年首朔太隂自行距最髙之宮度也(求逐年太隂引數法厯元)(甲子年首朔太隂引數應九宮一十八度三十四分二十六秒一十六㣲二十二纖即厯元甲子年首朔太隂)(自行過最髙之數此後用加法如本年無閏月則加十二朔策之太隂引數本輪十二周外又十宮零九度四)(十八分零二秒五十八㣲五十九纖即得次年首朔太隂自行過最髙之數如本年有閏月則加十三朔策之)(太隂引數本輪十三周外又十一宮零五度三十七分零三秒一十三微五十四纖即得次年首朔太隂自行)(過最髙之數)太隂交周者乃逐年首朔太隂平行距正交之宮度也(求逐年太隂交周法厯元甲子年首朔太隂交周應六宮零三十分五十五秒一十四微一十)(六纖即厯元甲子年首朔太隂平行過正交之數此後用加法如本年無閏月則加十二朔策之太隂交周十)(三周天外又八度零二分四十八秒一十一㣲五十六纖即得次年首朔太隂平行過正交之數如本年有閏)(月則加十三朔策之太隂交周十四周天外又一宮零八度四十三分零二秒一十二㣲五十纖即得次年首)(朔太隂平行過正交之數)後列紀日値宿者乃逐年天正冬至次日之干支并所値之宿也(與日躔表同但日躔表所列者為干支與宿之名此所列者為)(干支與宿之數干支以初日為甲子一日為乙丑宿以初日為角一日為亢俱依次順數之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之首朔諸根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數録之其首朔為二十六日一十八時二十分零八秒其太陽平行為二十六度三十一分零五秒五十九微其太陽引數為初宮一十八度四十二分零六秒零一微其太隂引數為六宮零二度二十六分二十三秒零六微其太隂交周為六宮一十五度四十分四十三秒其紀日為二十七其値宿為二十五也朔朢策表朔朢策表以朔策朢策及太陽平行太陽引數太隂引數太隂交周逐月列之前用月數者自一月至十三月之月數也表名朔策者乃逐月平朔距首朔之日時(求逐)(月朔策法以朔策二十九日一十二時四十四分零三秒一十四微零七纖累加之即得逐月朔策)朢策者乃逐月平朢距首朔之日時也(求逐月朢策法以朢策一十四日一十八)(時二十二分零一秒三十七微零四纖與逐月朔策相加即得逐月朢策)太陽平行朔策者乃逐月平朔距首朔之太陽平行(求逐月太陽平行朔策法以太陽平行朔)(策二十九度零六分二十四秒一十八微一十六纖累加之即得逐月太陽平行朔策)太陽平行朢策者乃逐月平朢距首朔之太陽平行也(求逐月太陽平行朢)(策法以太陽平行朢策一十四度三十三分一十二秒零九微零八纖與逐月太陽平行朔策相加即得逐月)(太陽平行朢策)太陽引數太隂引數太隂交周皆倣此用表之法如求首朔後第五月之朔策則察本表月數五所對各朔策之數録之其朔策為一百四十七日一十五時四十分一十六秒其太陽平行朔策為四宮二十五度三十二分零一秒三十一微其太陽引數朔策為四宮二十五度三十一分三十六秒四十八微其太隂引數朔策為四宮零九度零五分零一秒一十五微其太隂交周朔策為五宮零三度二十一分一十秒零五微即所求首朔後第五月各朔策之數也求朢策倣此周日諸平行表周日諸平行表以一日内之時分秒遞降列之其法與日躔月離周日平行表同表名太陽平行者即逐時逐分逐秒之太陽平行也月距日者乃逐時逐分逐秒之太隂平行内減去太陽平行之數也太隂引數者乃逐時逐分逐秒之太隂自行也太隂交周者乃逐時逐分逐秒之交周平行也用表之法如求五時一十二分二十四秒之太陽平行則察五時所對之太陽平行為一十二分一十九秒一十二分所對之太陽平行為二十九秒三十四微二十四秒所對之太陽平行為五十九微零八纖合計三數得一十二分四十九秒三十三微零八纖即所求之太陽平行也又或有太陽平行一十二分四十九秒三十三微零八纖求時分秒則察太陽平行表内與一十二分四十九秒相近畧小之數為一十二分一十九秒其所對為五時乃以一十二分一十九秒與設數相減餘三十秒三十三微零八纖又察太陽平行表内與三十秒三十三微相近畧小之數為二十九秒三十四微其所對為一十二分又以二十九秒三十四微與餘數相減餘五十九微零八纖復察太陽平行表内與五十九微零八纖相近畧小之數餘數恰合其所對為二十四秒合計三次所得五時一十二分二十四秒即所求之時分秒也餘倣此月距日實行表月距日實行表亦按最髙最卑分順逆列之最髙後六宮列於上最卑後六宮列於下前後列引數度中列逐宮逐度之月距日實行(月距日實行者一小時月距日之實行也本輪心之行度為平)(行一小時恆為三十二分五十六秒二十八微内減太陽一小時之平行二分二十七秒五十一微餘三十分)(二十八秒三十七微為一小時月距日之平行然平行雖同而實行則有遲疾因有均數之加減故也求法與)(太陽實行同)太隂引數在上六宮者用順度太隂引數在下六宮者用逆度用表之法以引數之宮對引數之度其縱横相遇即所求之月距日實行也設太隂引數為初宮二十四度求月距日實行則察初宮二十四度所對之數為二十七分五十七秒即所求之月距日實行也(初宮在上故用順度)若引數有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度實行所差甚微故也黃白距度表黃白距度表按兩交前後分順逆列之兩交後之各宮列於上初宮至二宮係正交後為北緯六宮至八宮係中交後為南緯其數同兩交前之各宮列於下三宮至五宮係中交前為北緯九宮至十一宮係正交前為南緯其數同太隂交周在上六宮者用順度太隂交周在下六宮者用逆度(此即月離黃白距度表六分之一乃朔朢時之大距專為交食之用故以)(十分遞析較月離加詳焉)用表之法以交周之宮對交周之度分其縱橫相遇即所求之距度也表以十分為率若交周有零分者按中比例法求之設太隂交周初宮三度二十五分求黃白距度則以交周初宮三度二十分所對之數一十七分二十秒與下層三十分所對之數一十八分一十二秒相減餘五十二秒為一十分之較乃以一十分為一率較數五十二秒為二率設數五分為三率求得四率二十六秒與初宮三度二十分之距度一十七分二十秒相加得一十七分四十六秒即所求之黃白距度也視半徑表視半徑表按引數宮度分順逆列之初宮至五宮依次順列於前六宮至十一宮依次逆列於後表名日半徑者乃太陽自最卑至最髙逐度之半徑分秒也月半徑者乃太隂自最髙至最卑逐度之半徑分秒也月距地者乃太隂朔朢時自最髙至最卑距地之逺與地半徑比例之數也(太隂兩弦時距地最逺為地半徑之六十二倍有餘距地最近為地半徑之五十三)(倍有餘表為交食而作故止列朔朢時距地之數)影半徑者乃太陽在最髙所生之地影太隂自最髙至最卑所當影半徑之分秒也影差者乃太陽自最卑至最髙逐度所生之地影與太陽在最髙所生之地影相差之數也用表之法設太陽引數初宮五度太隂引數十一宮一十五度求各視半徑數則察太陽引數初宮五度與日半徑所對之數為一十五分三十二秒即所求之日半徑其與影差所對之數為三十五秒即所求之影差又察太隂引數十一宮一十五度與月半徑所對之數為一十五分五十四秒即所求之月半徑其與月距地所對之數為五十八倍又百分之一十二即所求之月距地其與影半徑所對之數為四十三分一十六秒即所求之影半徑也交食月行表交食月行表以兩徑和較及食甚距緯縱橫列之食甚距緯列於前兩徑和較列於上(兩徑和者太陽與太隂或太隂與地影兩半徑)(之和兩徑較者太隂與地影兩半徑之較日食惟用兩徑和月食十分以上兼用兩徑較)中列逐分初虧至食甚或食既至食甚之月行分秒(初虧至食甚與食甚至復)(圓同食既至食甚與食甚至生光同)其有空格者蓋兩徑之和大於距緯方有食小於距緯或僅與距緯等則不食即無月行分秒矣用表之法以兩徑和較之分對食甚距緯之分其縱橫相遇即所求之月行分秒如太陽太隂兩半徑之和三十二分食甚距緯一十二分求初虧至食甚之月行分秒則察兩徑和較三十二分與食甚距緯一十二分所對之數為二十九分四十秒即所求初虧至食甚之月行分秒又如太隂地影兩半徑之較三十分食甚距緯五分求食既至食甚之月行分秒則察兩徑和較三十分與食甚距緯五分所對之數為二十九分三十五秒即食既至食甚之月行分秒若距緯及兩徑和較皆有零秒者用中比例三次求之御製厯象考成表卷五
## 表卷六上
欽定四庫全書御製厯象考成表卷六上交食表二黄平象限表上(自北極髙十六度度至北極髙二十二)黄平象限表黄平象限表自北極髙一十六度至北極髙四十六度按正午黄道宫度逐叚列之(三宫初度為春分故表從三宫初度起)表名春分距午者乃春分距午赤道度所變之時分秒也(每一)(度變時之四分每十五分變時之一分每十五秒變時之一秒春分距午宫度愈逺則所變時分愈多不因北)(極髙下而殊也)黄平象限者乃本時黄平象限之宫度也限距地髙者乃本時黄平象限距地平之髙度也其過天頂之南北則以界線分之蓋中國地面在赤道北黄道恒在天頂南自北極髙一十六度至北極髙二十三度正午黄道近夏至則黄道過天頂北夏至後復過天頂南故界線所分即南北差之加減所由辨也用表之法設京師北極髙四十度太陽黄道經度三宫一十五度合朔距午後二時零三分求春分距午時分及黄平象限宫度并限距地髙則察本表正午黄道三宫一十五度與春分距午相對之數為五十五分一十四秒與合朔距午後二時零三分相加得二時五十八分一十四秒為所求春分距午時分乃以二時五十八分一十四秒察春分距午時分相近者得二時五十八分零六秒其與黄平象限相對之數為四宫二十三度五十三分四十四秒即所求之黄平象限宫度其與限距地髙相對之數為六十七度五十七分零四秒即所求之限距地髙也御製厯象考成表卷六上
## 表卷六下
欽定四庫全書御製厯象考成表卷六下交食表二黄平象限表上之二(自北極高二十三度至北極高三十度)御製厯象考成表卷六下
## 表卷七上
欽定四庫全書御製厯象考成表卷七上交食表三黄平象限表下(自北極高三十一度至北極高三十八度)御製厯象考成表卷七上
## 表卷七下
欽定四庫全書御製厯象考成表卷七下交食表三之二黄平象限表下之二(自北極高三十九度至北極高四十六度)御製厯象考成表卷七下
## 表卷八
欽定四庫全書御製厯象考成表卷八交食表四黄道髙弧交角表太陽髙弧表東西南北差表緯差角表黄道髙弧交角表黄道髙弧交角表以日距限及限距地髙縱横列之日距限自一度至九十度分三段列於前(每段三十度)限距地髙自二十度至八十九度分七段列於上(每段一十度)中列逐度之黄道髙弧交角用表之法以日距限之度對限距地髙之度其縱横相遇即所求之黄道髙弧交角也設日距限三十度限距地髙二十五度求黄道髙弧交角則察日距限三十度與限距地髙二十五度所對之數為七十六度五十二分三十二秒即所求之黄道髙弧交角也若日距限及限距地髙皆有零分者用中比例三次求之太陽髙弧表太陽髙弧表亦以日距限及限距地髙縱横列之日距限自一度至九十度分三段列於前(每段三十度)限距地髙自二十度至八十九度分七段列於上(每段一十度)中列逐度之太陽髙弧用表之法以日距限之度對限距地髙之度其縱横相遇即所求之太陽髙弧也設日距限六十一度限距地髙二十五度求太陽髙弧則察日距限六十一度與限距地髙二十五度所對之數為一十一度四十九分二十三秒即所求之太陽髙弧也若日距限及限距地髙皆有零分者亦用中比例三次求之東西南北差表東西南北差表以交角及髙下差分順逆列之交角自一度至四十五度順列於前自四十五度至八十九度逆列於後中按髙下差分數列逐度東西南北差之分秒順度用上東西南北差逆度用下東西南北差用表之法以髙下差之分對交角之度其縱横相遇即所求之東西南北差也設髙下差三分交角二十五度求東西南北差則察髙下差三分與交角二十五度所對之東西差為二分四十三秒即所求之東西差其南北差為一分一十六秒即所求之南北差也(交角為順度故用上)(東西南北差)若髙下差及交角皆有零分秒者用中比例三次求之緯差角表緯差角表以并徑及距緯縱横列之并徑自三十一分至六十四分列於前視緯自一分至六十四分列於上(太陽最小之半徑一十四分五十九秒三十微太陰最小之半徑一十五分五十三秒三十微兩半徑相并得)(三十分五十三秒太陰最大之半徑一十六分五十一秒地影最大之半徑四十六分四十八秒兩半徑相并)(得六十三分三十九秒故并徑自三十一分起至六十四分止)中列逐分之緯差角用表之法以并徑之分對距緯之分其縱横相遇即所求之緯差角也設并徑三十四分距緯三分求緯差角則察并徑三十四分與距緯三分所對之數為五度零三分四十四秒即所求之緯差角也若并徑及距緯有零秒者滿三十秒以上則進作一分不用中比例因逐分之緯差角雖有數度之差而定交食方位所差甚微故也御製厯象考成表卷八
## 表卷九
欽定四庫全書御製厯象考成表卷九土星表土星年根表土星周歲平行表土星周日平行表土星均數表土星升度差表土星距黄道表土星距地表土星年根表土星年根表以距冬至及最高行正交行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正土星平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至土星平行應七宫二十三度一十九分四十四秒五十五)(微即厯元甲子年土星平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之土星平行一十)(二度一十三分三十九秒四十九微二十三纖一十一忽三十芒即得次年距冬至之數如本年為閏年則加)(三百六十六日之土星平行一十二度一十五分四十秒二十五微三十一纖一十八忽三十六芒即得次年)(距冬至之數加滿十二宫者去之滿三十纖以上者進作一微不足三十纖者去之後倣此)最高行者乃逐年天正冬至次日子正最高過冬至之宫度也(求逐年最高行法厯元甲子年天正冬至最高應十一宫二十八度二十六分零六秒零五微即厯元甲子年)(最高過冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之最高行一分二十秒零八微四十八纖)(三十二忽四十五芒即得次年最高過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之最高行一分二十秒)(二十一微五十九纖零二忽零六芒即得次年最高過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲)(子年天正冬至正交應六宫二十一度二十分五十七秒二十四微即厯元甲子年正交過冬至之數此後用)(加法如本年為平年則加三百六十五日之正交行四十一秒五十一微二十纖零五十七芒即得次年正交)(過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之正交行四十一秒五十八微一十二纖五十忽一十四芒)(即得次年正交過冬至之數)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數録之其距冬至為十一宫零八度一十七分零三秒三十七微其最高行為十一宫二十九度一十六分五十三秒三十八微其正交行為六宫二十一度四十七分二十八秒五十七微也土星周歲平行表土星周歲平行表以土星平行及最高行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃土星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(土星每日平行二分零三十六微零八纖零七忽零六芒累加之即得逐日平)(行之各數)最高行者乃土星本天自一日至三百六十六日之最高行各數也(最高每日行一十三微一十纖二十九忽二十一芒累加之即得逐日最)(高行之各數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各數也(正交每日行六微五十二纖四十九忽一十九芒累加之即得逐日正交行之各數)用表之法如求冬至後二十八日之土星平行及最高行正交行則察本表日數二十八所對各數録之其平行為五十六分一十六秒五十二微即二十八日土星平行之共數其最高行為六秒零九微即二十八日最高行之共數其正交行為三秒一十三微即二十八日正交行之共數也土星周日平行表土星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則土星逐時逐分逐秒之平行數也(土星每日)(之平行用二十四時除之得五秒零一微三十纖二十忽一十八芒是為一時之平行累加之為逐時之平行)(逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為分秒微分之平行為秒微纖秒之平行為微纖忽)用表之法如求一十六時二十五分三十六秒之土星平行則察本表一十六時所對之數為一分二十秒二十四微二十五分所對之數為二秒零五微三十八纖三十六秒所對之數為三微零五十四忽合計三數得一分二十二秒三十二微三十八纖五十四忽即所求之土星平行也土星均數表土星均數表以引數宫度求初均及中分以星距日次引宫度求次均及較分初宫至五宫依次順列於前六宫至十一宫依次逆列於後表名初均者乃土星本輪均輪所生之均數順度為減逆度為加中分者則逐宫逐度次輪心距地心與最高距地心之較為六十分中之㡬分也(求中分之法以土星次輪心在最髙距地心之一○五六九一七四與土星次輪心在最)(卑距地心之九四三○八二六相減餘一一三八三四八為一率六十分為二率逐宫逐度次輪心距地心與)(最高距地心相減餘為三率求得四率即逐宫逐度之中分也求次輪心距地心之法詳厯理求初均數篇)次均者乃次輪心在最高土星行次輪周逐宫逐度之次均數順度為加逆度為減較分者則次輪心在最卑逐宫逐度之次均與次輪心在最高逐宫逐度之次均相較之數也(求較分之法設次輪心在最卑求得逐宫逐度之次均數與次輪心在最高逐宫逐)(度之次均數相減即得)用表之法設土星引數為初宫四度一十分求初均及中分則察初宫四度一十分與初均所對之數為二十七分二十八秒其號為減即所求之初均其與中分所對之數為三秒即所求之中分也(初宫在上故用順度)又設星距日次引為十一宫二十五度求次均及較分則察十一宫二十五度與次均所對之數為二十六分五十五秒其號為減即所求之次均其與較分所對之數為二分五十五秒即所求之較分也(十一宫在下故用逆度)若引數或星距日次引有零分者按中比例法求之土星升度差表土星升度差表按兩交前後分順逆列之兩交後六宫列於上兩交前六宫列於下前後列距交本道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之升度差土星距交實行在上六宫者用順度其號為減土星距交實行在下六宫者用逆度其號為加用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之升度差也設土星距交實行為一宫八度求升度差則察一宫八度所對之數為一分三十七秒即所求之升度差其號為減是為減差也若距交實行有零分者亦按中比例法求之土星距黄道表土星距黄道表亦按兩交前後分順逆列之兩交後之各宫列於上初宫至二宫係正交後在黄道北六宫至八宫係中交後在黄道南其數同兩交前之各宫列於下三宫至五宫係中交前在黄道北九宫至十一宫係正交前在黄道南其數同前後列距交本道度中列逐宫逐度之星距黄道數(即次輪心距黄道之數)土星距交實行在上六宫者用順度土星距交實行在下六宫者用逆度用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之星距黄道線也設土星距交實行為初宫五度求星距黄道線則察初宫五度所對之數為三八二七○即所求之土星距黄道線也若距交實行有零分者亦按中比例法求之土星距地表土星距地表按星距日次引宫度分順逆列之初宫至五宫列於上六宫至十一宫列於下前後列星距日次引度中列逐宫逐度之星距地數(星距地者乃次輪心在中距土星行次輪)(周逐宫逐度之距地心線)土星距日次引在上六宫者用順度土星距日次引在下六宫者用逆度用表之法以星距日次引之宫對星距日次引之度其縱横相遇即所求之星距地心線也設土星距日次引為初宫一十二度求星距地心線則察初宫一十二度所對之數為一一○二一九四八即所求之星距地心線也若星距日次引有零分者亦按中比例法求之御製厯象考成表卷九
## 表卷十
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十木星表木星年根表木星周嵗平行表木星周日平行表木星均數表木星升度差表木星距黄道表木星距地表木星年根表木星年根表以距冬至及最高行正交行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正木星平行距丑宮初度之宮度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至木星平行應八宮零九度一十三分一十三秒一十一微)(即厯元甲子年木星平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之木星平行一宮零)(二十分三十九秒零八微零二忽三十五芒即得次年距冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之木)(星平行一宮零二十五分三十八秒二十五微零七纖零六忽四十二芒即得次年距冬至之數加滿十二宮)(者去之滿三十纎以上者進作一微不足三十纎者去之後倣此)最高行者乃逐年天正冬至次日子正最高過冬至之宮度也(求逐年最高行法厯元甲)(子年天正冬至最高應九宮零九度五十一分五十九秒二十七微即厯元甲子年最高過冬至之數此後用)(加法如本年為平年則加三百六十五日之最高行五十七秒四十九微四十一纎五十忽一十七芒即得次)(年最高過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之最高行五十七秒五十九微一十二纎一十一忽)(五十七芒即得次年最高過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宮度也(求逐年正交行法厯元甲子年天正冬至正交應六)(宮零七度二十一分四十九秒三十五微即厯元甲子年正交過冬至之數此後用加法如本年為平年則加)(三百六十五日之正交行一十三秒三十五微二十七纎三十二忽零五芒即得次年正交過冬至之數如本)(年為閏年則加三百六十六日之正交行一十三秒三十七微四十一纎三十四忽五十八芒即得次年正交)(過冬至之數)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為十宮二十三度零二分五十三秒四十九微其最高行為九宮一十度二十八分三十八秒二十微其正交行為六宮零七度三十分二十六秒二十二微也木星周歳平行表木星周歳平行表以木星平行及最高行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃木星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(木星每日平行四分五十九秒一十七微零七纎零四忽零七芒累加之即得)(逐日平行之各數)最高行者乃木星本天自一日至三百六十六日之最高行各數也(最高每日行九微三十纎二十一忽四十芒累加之即得逐日)(最高行之各數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各數也(正交每日行二微一十四纎零二忽五十三芒累加之即得逐日正交行之各數)用表之法如求冬至後二十六日之木星平行及最高行正交行則察本表日數二十六所對各數錄之其平行為二度零九分四十一秒二十五微即二十六日木星平行之共數其最高行為四秒零七微即二十六日最高行之共數其正交行為五十八微即二十六日正交行之共數也木星周日平行表木星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則木星逐時逐分逐秒之平行數也(木星每日)(之平行用二十四時除之得一十二秒二十八微一十二纎四十七忽四十芒是為一時之平行累加之為逐)(時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為分秒微分之平行為秒微纎秒之平行為微纎)(忽)用表之法如求一十五時二十四分三十六秒之木星平行則察本表一十五時所對之數為三分零七秒零三微二十四分所對之數為四秒五十九微一十七纎三十六秒所對之數為七微二十八纎五十六忽合計三數得三分一十二秒零九微四十五纎五十六忽即所求之木星平行也木星均數表木星均數表以引數宮度求初均及中分以星距日次引宮度求次均及較分初宮至五宮依次順列於前六宮至十一宮依次逆列於後表名初均者乃木星本輪均輪所生之均數順度為減逆度為加中分者則逐宮逐度次輪心距地心與最高距地心之較為六十分中之幾分也(求中分之法以木星次輪心在最高距地心之一○四五七三四○與木星次輪心在最)(卑距地心之九五四二六六○相減餘九一四六八○為一率六十分為二率逐宮逐度次輪心距地心與最)(高距地心相減餘為三率求得四率即逐宮逐度之中分也求次輪心距地心之法詳厯理求初均數篇)次均者乃次輪心在最高木星行次輪周逐宮逐度之次均數順度為加逆度為減較分者則次輪心在最卑逐宮逐度之次均與次輪心在最高逐宮逐度之次均相較之數也(求較分之法與土星同)用表之法設木星引數為初宮四度一十分求初均及中分則察初宮四度一十分與初均所對之數為二十二分四十七秒其號為減即所求之初均其與中分所對之數為四秒即所求之中分也(初宮在上故用順度)又設星距日次引為一宮五度二十分求次均及較分則察一宮五度二十分與次均所對之數為五度一十七分五十六秒其號為加即所求之次均其與較分所對之數為二十五分五十九秒即所求之較分也(一宮在上故用順度)若引數或星距日次引有零分者按中比例法求之木星升度差表木星升度差表按兩交前後分順逆列之兩交後六宮列於上兩交前六宮列於下前後列距交本道度分順逆以别加減中列逐宮逐度之升度差木星距交實行在上六宮者用順度其號為減木星距交實行在下六宮者用逆度其號為加用表之法以距交實行之宮對距交實行之度其縱横相遇即所求之升度差也設木星距交實行為一宮一十五度求升度差則察一宮一十五度所對之數為二十八秒即所求之升度差其號為減是為減差也若距交實行有零分者亦按中比例法求之木星距黄道表木星距黄道表亦按兩交前後分順逆列之兩交後之各宮列於上初宮至二宮係正交後在黄道北六宮至八宮係中交後在黄道南其數同兩交前之各宮列於下三宮至五宮係中交前在黄道北九宮至十一宮係正交前在黄道南其數同前後列距交本道度中列逐宮逐度之星距黄道數(即次輪心距黄道之數)木星距交實行在上六宮者用順度木星距交實行在下六宮者用逆度用表之法以距交實行之宮對距交實行之度其縱横相遇即所求之星距黄道線也設木星距交實行為初宮八度求星距黄道線則察初宮八度所對之數為三二二四九即所求之木星距黄道線也若距交實行有零分者亦按中比例法求之木星距地表木星距地表按星距日次引宮度分順逆列之初宮至五宮列於上六宮至十一宮列於下前後列星距日次引度中列逐宮逐度之星距地數(星距地者乃次輪心在中距木星行次輪)(周逐宮逐度之距地心線)木星距日次引在上六宮者用順度木星距日次引在下六宮者用逆度用表之法以星距日次引之宮對星距日次引之度其縱横相遇即所求之星距地心線也設木星距日次引為初宮一十六度求星距地心線則察初宮一十六度所對之數為一一八六六六五九即所求之星距地心線也若星距日次引有零分者亦按中比例法求之御製厯象考成表卷十
## 表卷十一
欽定四庫全書御製厯象考成表巻十一火星表火星年根表火星周嵗平行表火星周日平行表火星均數表火星升度差表火星距黄道表火星地半徑差表火星年根表火星年根表以距冬至及最髙行正交行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正火星平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至火星平行應二宫一十三度三十九分五十二秒一十五)(微即厯元甲子年火星平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之火星平行六宫)(一十一度一十七分一十四秒三十三微四十七纖零二忽四十芒即得次年距冬至之數如本年為閏年則)(加三百六十六日之火星平行六宫一十一度四十八分四十一秒一十三微五十九纖一十忽二十四芒即)(得次年距冬至之數加滿十二宫者去之滿三十纖以上者進作一微不足三十纖者去之後倣此)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最髙過冬至之宫度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最髙應八宫零三十三分一十一秒五十四微即厯元甲子年)(最髙過冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之最髙行一分零六秒五十七微一十九)(纖五十六忽二十八芒即得次年最髙過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之最髙行一分零七)(秒零八微二十纖一十九忽二十八芒即得次年最髙過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲)(子年天正冬至正交應四宫一十七度五十一分五十四秒零七微即厯元甲子年正交過冬至之數此後用)(加法如本年為平年則加三百六十五日之正交行五十二秒五十四微五十三纖三十六忽零八芒即得次)(年正交過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之正交五十三秒零三微三十五纖三十忽零九芒)(卽得次年正交過冬至之數)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數録之其距冬至為四宫二十七度一十八分零五秒四十微其最髙行為八宫零一度一十五分三十七秒五十一微其正交行為四宫一十八度二十五分二十六秒一十一微也火星周嵗平行表火星周嵗平行表以火星平行及最髙行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃火星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(火星每日平行三十一分二十六秒四十微一十二纖零七忽四十四芒累加)(之即得逐日平行之各數)最髙行者乃火星本天自一日至三百六十六日之最髙行各數也(最髙每日行一十一微零二十三忽累加之即得逐日最)(髙行之各數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各數也(正交每日行八微四十一纎五十四忽零一芒累加之即得逐日正交行之各數)用表之法如求冬至後三十一日之火星平行及最髙行正交行則察本表日數三十一所對之數録之其平行為一十六度一十四分四十六秒四十六微即三十一日火星平行之共數其最髙行為五秒四十一微即三十一日最髙行之共數其正交行為四秒三十微即三十一日正交行之共數也火星周日平行表火星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則火星逐時逐分逐秒之平行數也(火星每日)(之平行用二十四時除之得一分一十八秒三十六微四十纖三十忽一十九芒是為一時之平行累加之為)(逐時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為度分秒微分之平行為分秒微纖秒之平行)(為秒微纖忽)用表之法如求一十八時三十二分四十五秒之火星平行則察本表一十八時所對之數為二十三分三十五秒三十二分所對之數為四十一秒五十五微三十四纖四十五秒所對之數為五十八微五十七纖三十忽合計三數得二十四分一十七秒五十四微三十一纖三十忽即所求之火星平行也火星均數表火星均數表按引數宫度分順逆列之初宫至五宫依次順列於前六宫至十一宫依次逆列於後表名初均者火星本輪均輪所生之均數也順度為減逆度為加次輪心距地數者乃次輪心自最髙至最卑逐宫逐度距地心之數也次輪半徑本數者乃火星最小次輪半徑與逐宫逐度本天髙卑差相加之數也(火星次輪半徑在本天最)(髙則大在本天最卑則小故以逐宫逐度之本天髙卑差與最小次輪半徑相加為次輪半徑本數)太陽髙卑差數者乃太陽髙卑所生火星次輪半徑之差數也(火星次輪半徑太陽在最髙時則大太陽在最卑時則小故以太陽引數求其逐宫逐度之差為太陽髙)(卑差數)用表之法以引數之宫對引數之度分其縱横相遇即所求之數也設火星引數為初宫四度五十分求初均及次輪心距地本天次輪半徑則察初宫四度五十分與初均所對之數為四十八分二十二秒其號為減即所求之初均其所對之次輪心距地數為一一一一○一二六即所求之次輪心距地其所對之次輪半徑本數為六五六○七八八即所求之本天次輪半徑也又設太陽引數為七宫二十度求太陽髙卑差則以太陽引數減六宫得一宫二十度(太陽引數過六宫者減六宫不及六宫者加六宫因)(太陽引數初宫起最卑此表初宫起最髙故也)察其所對之太陽髙卑差數為一九三○二八即所求之太陽髙卑差也若引數有零分者亦按中比例法求之火星升度差表火星升度差表按兩交前後分順逆列之兩交後六宫列於上兩交前六宫列於下前後列距交本道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之升度差火星距交實行在上六宫者用順度其號為減火星距交實行在下六宫者用逆度其號為加用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之升度差也設火星距交實行為一宫二十四度求升度差則察一宫二十四度所對之數為五十秒即所求之升度差其號為減是為減差也若距交實行有零分者亦按中比例法求之火星距黄道表火星距黄道表亦按兩交前後分順逆列之兩交後之各宫列於上初宫至二宫係正交後在黄道北六宫至八宫係中交後在黄道南其數同兩交前之各宫列於下三宫至五宫係中交前在黄道北九宫至十一宫係正交前在黄道南其數同前後列距交本道度中列逐宫逐度之星距黄道數(即次輪心距黄道之數)火星距交實行在上六宫者用順度火星距交實行在下六宫者用逆度用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之星距黄道線也設火星距交實行為初宫一十二度求星距黄道線則察初宫一十二度所對之數為六六五一六即所求之火星距黄道線也若距交實行有零分者亦按中比例法求之火星地半徑差表火星地半徑差表分最髙中距最卑三限列之其前列實髙度(火星引數自十宫一十五度至一宫一十五度為最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆為中距限自四宫一十五度至七宫一十五度為最卑限)表内分秒即三限實髙度所生之地半徑差也用表之法如火星引數當最髙限推得實髙五十三度求地半徑差則察最髙限實髙五十三度所對之數為四十秒即所求之地半徑差與實髙五十三度相減餘五十二度五十九分二十秒為本時火星之視髙也如先測得火星視髙五十二度五十九分二十秒則以地半徑差四十秒與視髙相加得五十三度為本時火星之實髙也髙度有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度地半徑差所差甚微故也御製厯象考成表巻十一
## 表卷十二
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十二金星表金星年根表金星周歲平行表金星周日平行表金星均數表金星距黄道表金星距地表金星地半徑差表金星年根表金星年根表以距冬至及最髙行伏見行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正金星平行距丑宮初度之分秒也(金星平行與太陽平行同)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最高過冬至之宮度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最高應六宮零)(一度三十三分三十一秒零四微即厯元甲子年最高過冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六)(十五日之最高行一分二十二秒五十三微四十一纖五十九忽三十三芒即得次年最高過冬至之數如本)(年為閏年則加三百六十六日之最高行一分二十三秒零七微一十九纎三十五忽一十三芒即得次年最)(高過冬至之數滿三十纖以上者進作一微不足三十纖者去之後倣此)伏見行者乃逐年天正冬至次日子正金星距次輪平逺之宮度也(求逐年伏)(見行法厯元甲子年天正冬至伏見應一十八度三十八分一十三秒零六微即厯元甲子年伏見行距平逺)(之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之伏見行七宮一十五度零一分三十二秒二十三微)(零一纎四十七忽四十芒即得次年伏見行距平逺之數如本年為閏年則加三百六十六日之伏見行七宮)(一十五度三十八分三十一秒四十八微五十四纖零四忽二十四芒即得次年伏見行距平逺之數加滿十)(二宮者去之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為八分一十八秒三十二微其最高行為六宮零二度二十六分零三秒零八微其伏見行為九宮二十五度零九分三十八秒三十四微也金星周歲平行表金星周歲平行表以金星平行及最髙行伏見行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃金星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也最髙行者乃金星本天自一日至三百六十六日之最髙行各數也(最髙每日行一十三微三十七纖三十五忽四十芒)(累加之即得逐日最髙行之各數)伏見行者乃自一日至三百六十六日金星行次輪之各數也(伏見每日行三十六分五十九秒二十五微五十二纖一)(十六忽四十四芒累加之即得逐日伏見行之各數)用表之法如求冬至後二十八日之金星平行及最髙行伏見行則察本表日數二十八所對各數錄之其平行為二十七度三十五分五十三秒一十五微即二十八日金星平行之共數其最髙行為六秒二十二微即二十八日最髙行之共數其伏見行為一十七度一十五分四十四秒零四微即二十八日伏見行之共數也金星周日平行表金星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩段並與太陽平行同用表之法如求一十六時一十六分二十四秒之金星平行則察本表一十六時所對之數為二十四分三十九秒三十七微一十六分所對之數為二十四秒三十九微三十七纖二十四秒所對之數為三十六微五十九纖二十六忽合計三數得二十五分零四秒五十三微三十六纖二十六忽即所求之金星平行也金星均數表金星均數表以引數宮度求初均及中分以伏見實行宮度求次均及較分初宮至五宮依次順列於前六宮至十一宮依次逆列於後表名初均者乃金星本輪均輪所生之均數順度為減逆度為加中分者則逐宮逐度次輪心距地心與最髙距地心之較為六十分中之幾分也(求中分之法以金星次輪心在最髙距地心之一○一四三一一○與金星次輪心在最卑距)(地心之九八五六八九○相減餘二八六二二○為一率六十分為二率逐宮逐度次輪心距地心與最髙距)(地心相減餘為三率求得四率即逐宮逐度之中分也求次輪心距地心之法詳厯理求初均數篇)次均者乃次輪心當最髙金星行次輪周逐宮逐度之次均數順度為加逆度為減較分者則次輪心在最卑逐宮逐度之次均與次輪心在最髙逐宮逐度之次均相較之數也(求較分之法與土星同)用表之法設金星引數為初宮一十一度二十分求初均及中分則察初宮一十一度二十分與初均所對之數為二十一分二十二秒其號為減即所求之初均其與中分所對之數為三十二秒即所求之中分也(初宮在上)(故用順度)又設伏見實行為二宮五度三十分求次均及較分則察二宮五度三十分與次均所對之數為二十六度三十四分五十三秒其號為加即所求之次均其與較分所對之數為三十分三十秒即所求之較分也(二宮)(在上故用順度)若引數或伏見實行有零分者按中比例法求之金星距黃道表金星距黄道表按次輪兩交前後分順逆列之兩交後之各宮列於上初宮至二宮係正交後在黃道北六宮至八宮係中交後在黃道南其數同兩交前之各宮列於下三宮至五宮係中交前在黃道北九宮至十一宮係正交前在黃道南其數同前後列距次交實行度中列逐宮逐度之星距黃道數(即次輪半徑與次緯正弦相比例之數)金星距次交實行在上六宮者用順度金星距次交實行在下六宮者用逆度用表之法以距次交實行之宮對距次交實行之度其縱橫相遇即所求之星距黃道線也設金星距次交實行為初宮一十六度求星距黃道線則察初宮一十六度所對之數為一二○九九六即所求之金星距黃道線也若距次交實行有零分者亦按中比例法求之金星距地表金星距地表以伏見實行宮度求星距地以引數宮度求距地差初宮至五宮列於上六宮至十一宮列於下前列順度後列逆度中列逐宮逐度之星距地及距地差(星距地者次輪心在最髙金星行次輪周逐宮逐度之距地心線距地差者乃金星次輪心自最髙至最)(卑逐宮逐度之距地心線與最高距地心線之較也)宮在上者用順度宮在下者用逆度用表之法設伏見實行為一宮二十度求星距地則察一宮二十度與星距地所對之數為一五七八八九一四即所求之星距地也又設金星引數為初宮一十八度求距地差則察初宮一十八度與距地差所對之數為六五一九即所求之距地差也若伏見實行或引數有零分者亦按中比例法求之金星地半徑差表金星地半徑差表分最高中距最卑三限列之其前列實高度(金星引數自十宮一十五度至一宮一十五度為最高限自一宮一十五度至四宮一十五度)(自七宮一十五度至十宮一十五度皆為中距限自四宮一十五度至七宮一十五度為最卑限)表内分秒即三限實高所生之地半徑差也用表之法如金星引數當中距限推得實高三十九度求地半徑差則察中距限實高三十九度所對之數為二分二十秒即所求之地半徑差與實高三十九度相減餘三十八度五十七分四十秒為本時金星之視高也如先測得金星視高三十八度五十七分四十秒則以地半徑差二分二十秒與視高相加得三十九度為本時金星之實高也高度有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度地半徑差所差甚微故也御製厯象考成表卷十二
## 表卷十三
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十三水星表水星年根表水星周嵗平行表水星周日平行表水星均數表水星距限表水星距黄道表水星距地表水星地半徑差表五星伏見距日黄道度表(附)五星伏見距日加減差表(附)水星年根表水星年根表以距冬至及最髙行伏見行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正水星平行距丑宫初度之分秒也(水星平行亦與太陽平行同)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最髙過冬至之宫度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最髙應十)(一宫零三度零三分五十四秒五十四㣲即厯元甲子年最髙過冬至之數此後用加法如本年為平年則加)(三百六十五日之最髙行一分四十五秒零九㣲四十八纎四十六忽五十六芒即得次年最髙過冬至之數)(如本年為閏年則加三百六十六日之最髙行一分四十五秒二十七微零六纎零四十二芒即得次年最髙)(過冬至之數滿三十纎以上者進作一㣲不足三十纎者去之後倣此)伏見行者乃逐年天正冬至次日子正水星距次輪平逺之宫度也(求逐年伏)(見行法厯元甲子年天正冬至伏見應十宫零一度一十三分一十一秒一十七㣲即厯元甲子年伏見行距)(平逺之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之伏見行三周又一宮二十三度五十六分四十)(二秒三十一㣲五十三纎三十八忽五十芒即得次年伏見行距平逺之數如本年為閏年則加三百六十六)(日之伏見行三周又一宫二十七度零三分零六秒三十八㣲五十三纎零八忽一十二芒即得次年伏見行)(距平逺之數加滿十二宫者去之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為八分一十八秒三十二㣲其最髙行為十一宫零四度一十分三十三秒四十三微其伏見行為七宫零九度零五分四十四秒三十二㣲也水星周嵗平行表水星周嵗平行表以水星平行及最髙行伏見行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃水星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也最髙行者乃水星本天自一日至三百六十六日之最髙行各數也(最髙每日行一十七㣲一十七纎一十三忽四十六)(芒累加之即得逐日最髙行之各數)伏見行者乃自一日至三百六十六日水星行次輪之各數也(伏見行每日行三度零六分二十四秒零六㣲五十九纎)(二十九忽二十二芒累加之即得逐日伏見行之各數)用表之法如求冬至後二十九日之水星平行及最髙行伏見行則察本表日數二十九所對各數錄之其平行為二十八度三十五分零一秒三十五㣲即二十九日水星平行之共數其最髙行為八秒二十一㣲即二十九日最髙行之共數其伏見行為三宫零五分三十九秒二十三㣲即二十九日伏見行之共數也水星周日平行表水星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩叚並與太陽平行同用表之法如求一十八時二十分三十二秒之水星平行則察本表一十八時所對之數為二度一十九分四十八秒零五㣲二十分所對之數為二分三十五秒二十㣲零六纎三十二秒所對之數為四秒零八㣲三十二纎零九忽合計三數得二度二十二分二十七秒三十三㣲三十八纎零九忽即所求之水星平行也水星均數表水星均數表以引數宫度求初均及中分以伏見實行宫度求次均及較分初宫至五宫依次順列於前六宫至十一宫依次逆列於後表名初均者乃水星本輪均輪所生之均數順度為減逆度為加中分者則逐宫逐度次輪心距地心與最髙距地心之較為六十分中之幾分也(求中分之法以水星次輪心在最髙距地心之一○六八二一五五與水星次輪心在最卑距)(地心之九五四七一○九相減餘一一三五○四六為一率六十分為二率逐宫逐度次輪心距地心與最髙)(距地心相減餘為三率求得四率即逐宫逐度之中分也求次輪心距地心之法詳厯理求初均數篇)次均者乃次輪心當最髙水星行次輪周逐宫逐度之次均數順度為加逆度為減較分者則次輪心在最卑逐宫逐度之次均與次輪心在最髙逐宫逐度之次均相較之數也(求較分之法與土星同)用表之法設水星引數為初宫一十一度二十分求初均及中分則察初宫一十一度二十分與初均所對之數為二十一分四十三秒其號為減即所求之初均其與中分所對之數為一分零三秒即所求之中分也(初宫)(在上故用順度)又設伏見實行為二宫五度三十分求次均及較分則察二宫五度三十分與次均所對之數為一十五度五十五分二十七秒其號為加即所求之次均其與較分所對之數為一度三十一分四十秒即所求之較分也(二宫在上故用順度)若引數或伏見實行有零分者按中比例法求之水星距限表水星距限表按正交中交分順逆列之初宫至五宫為正交後列於上六宫至十一宫為中交後列於下水星距交實行在上六宫者用順度在下六宫者用逆度用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縦横相遇即所求之距限也表分南北兩限依星在黄道之南北取用(水星次輪面與黄道相交之角南北不同故分列兩表)設水星距交實行一宫二十二度星在黄道北則察黄道北距限表一宫二十二度所對之數為五度三十二分三十七秒即所求之距限也距交實行有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度交角所差甚㣲故也水星距黄道表水星距黄道表按次輪兩交前後分順逆列之兩交後之各宫列於上初宫至二宫係正交後在黄道北六宫至八宫係中交後在黄道南其數同兩交前之各宫列於下三宫至五宫係中交前在黄道北九宫至十一宫係正交前在黄道南其數同前後列距次交實行度中列逐宫逐度之星距黄道數(即次輪半徑與次緯正弦相比例之數)水星距次交實行在上六宫者用順度水星距次交實行在下六宫者用逆度用表之法以距次交實行之宫對距次交實行之度其縦横相遇即所求之星距黄道線也表分二十限依實交角相近者取用(水星次輪面與黄道相交之角逐度不同故以最小之交角四度五十五)(分三十二秒與最大之交角六度三十一分零二秒均分為二十限各求其星距黄道數列表每限交角相差)(五分夫交角止差五分則星距黄道數所差甚㣲可以不計故依實交角相近者取用也)設實交角五度零一分水星距次交實行為初宫二十二度求星距黄道線則察交角五度星距黄道表(為與實交角五度零一分相近)初宫二十二度所對之數為一二五六九九即所求之水星距黄道線也若距次交實行有零分者亦按中比例法求之水星距地表水星距地表以伏見實行宫度求星距地以引數宫度求距地差初宫至五宫列於上六宫至十一宫列於下前列順度後列逆度中列逐宫逐度之星距地及距地差(星距地者次輪心在最髙水星行次輪周逐宫逐度之距地心線距地差者乃水星次輪心自最髙至最)(卑逐宫逐度之距地心線與最髙距地心線之較也)宫在上者用順度宫在下者用逆度用表之法設水星伏見實行為初宫二十四度求星距地則察初宫二十四度與星距地所對之數為一四二八五三○六即所求之星距地也又設水星引數為一宫二十六度求距地差則察一宫二十六度與距地差所對之數為四○一二七八即所求之距地差也若伏見實行或引數有零分者亦按中比例法求之水星地半徑差表水星地半徑差表分最髙中距最卑三限列之其前列實髙度(水星引數自十宫一十五度至一宫一十五度為最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆為中距限自四宫一十五度至七宫一十五度為最卑限)表内分秒即三限實髙所生之地半徑差也用表之法如水星引數當最卑限推得實髙一十九度求地半徑差則察最卑限實髙一十九度所對之數為五分即所求之地半徑差與實髙一十九度相減餘一十八度五十五分為本時水星之視髙也如先測得水星視髙一十八度五十五分則以地半徑差五分與視髙相加得一十九度為本時水星之實髙也髙度有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度地半徑差所差甚㣲故也五星伏見距日黄道度表五星伏見距日黄道度表以星之黄道宫度按晨夕列之初宫至二宫六宫至八宫列於上三宫至五宫九宫至十一宫列於下前後分順逆列星之黄道度中列各星之距日黄道度分宫在上者用順度宫在下者用逆度用表之法求晨見晨不見用晨宫求夕見夕不見用夕宫設土星當晨見限度其黄道經度為初宫一十二度求距日黄道度則察晨初宫一十二度與土星所對之數為一十七度一十一分即所求之距日黄道度也星經度有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度距日黄道度所差甚㣲故也五星伏見距日加減差表五星伏見距日加減差表亦以星之黄道宫度按晨夕列之初宫至二宫六宫至八宫列於上三宫至五宫九宫至十一宫列於下前後分順逆列星之黄道度中列各星黄道南北自一度至八度之距日加減差宫在上者用順度宫在下者用逆度南緯為加北緯為減用表之法求晨見晨不見用晨宫求夕見夕不見用夕宫設土星當夕不見限度其黄道經度為六宫二十四度緯度在黄道北二度求距日加減差則察夕六宫二十四度與緯二度所對之數為二度四十三分即所求之距日加減差其緯度在北即為減差也星經度有零分者滿三十分以上則進作一度緯度有零分者用中比例求之御製歴象考成表卷十三
## 表卷十四
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十四恒星表恒星黄道經緯度表恒星赤道經緯度表恒星赤道經緯度歲差表凌犯恒星黄道經緯度表恒星黄道經緯度表恒星黃道經緯度表以厯元康熙二十三年甲子之黃道經緯度列之上列星名次列黃道經度次列黃道緯度下列星等用表之法設康熙甲子年日躔黃道初宮八度求黃道宿度則察恒星黃道經緯度表斗宿第一星黃道經度為初宮五度五十分(取相近畧小者用)與日躔黃道經度相減餘二度一十分即太陽入斗宿二度一十分也若求厯元後各年之黃道宿度則以所求之年距厯元若干年與歲差五十一秒相乘得數加於各宿黃道經度然後與諸曜黃道經度相減餘即為諸曜黃道宿度也恒星赤道經緯度表恒星赤道經緯度表亦以厯元康熙二十三年甲子之赤道經緯度列之上列星名次列赤道經度次列赤道緯度下列星等用表之法設康熙甲子年月離赤道一宮二度四十分求赤道宿度則察恒星赤道經度表牛宿第一星赤道經度為一宮初度五十一分(取相近畧小者用)與月離赤道經度相減餘一度四十九分即太陰入牛宿一度四十九分也若求厯元後各年之赤道宿度則以所求之年距厯元若干年與各星每年赤道歲差之數相乘(察赤道歲)(差表)得數加於各星赤道經度然後與諸曜赤道經度相減餘即為諸曜赤道宿度也恒星赤道經緯度歲差表恒星赤道經緯度歲差表以各星每年應加減之數列之上列星名次列經度歲差次列緯度歲差用表之法設康熙六十一年壬寅求斗宿第一星赤道經緯度則以壬寅年距厯元甲子年三十八年與斗宿經度歲差加五十七秒零八微相乘得三十六分一十一秒零四微即赤道經度應加之數與厯元甲子年斗宿第一星赤道經度初宮六度三十三分相加得初宮七度零九分一十一秒零四微即所求壬寅年斗宿第一星之赤道經度也又以三十八年與斗宿一星緯度歲差減二秒二十五微相乘得一分三十一秒五十微即赤道緯度應減之數與厯元甲子年斗宿第一星赤道緯度南二十七度一十二分相減餘二十七度一十分二十八秒一十微即所求壬寅年斗宿第一星之赤道南緯度也凌犯恒星黃道經緯度表凌犯恒星黃道經緯度表取黃道南北十度以内之恒星黃道經緯度列之葢七政出入黃道不過十度故列十度以内之恒星為取凌犯之用其經度皆以厯元康熙二十三年甲子為定若求厯元後各年之凌犯須依法每年加歲差五十一秒推之用表之法設本日太陰黃道經度申宮八度二十分次日太陰黃道經度申宮二十度三十一分緯度在黃道南二度一十分則察本表内自參旗第一星黃道經度五宮九度零三分起至天關星黃道經度五宮二十度二十二分止皆為本日太陰所經厯之星乃察其間各星緯度惟天高第一星緯度在黃道南一度五十分與太陰緯度相減餘二十分即為本日太陰犯天高第一星太陰在下相離二十分(太陰在星之南故為下)又天關星緯度在黄道南二度一十四分與太陰緯度相減餘四分即為本日太陰凌天關星太陰在上四分也(太陰在星之北故為上)其餘諸星雖與太陰有經度相同之時(求時刻詳本法)而緯度之南北相去甚遠不得相凌犯矣御製厯象考成表卷十四
## 表卷十五
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十五黄赤經緯互推表上黄道緯北初度至十度黄赤經緯互推表黄赤經緯互推表以黄道經度與赤道經緯度按黄道緯度之南北逐段列之黄道北初度與黄道南初度皆正當黄道無距緯其赤道經度即黄赤升度其赤道緯度即黄赤距緯而距黄道南北有緯度者則赤道經緯逐度不同故以黄道北與黄道南分為上下二卷自黄道北初度至黄道北十度自黄道南初度至黄道南十度又各分為十段(月五星距黄道皆在十度以内)中列相當之赤道經緯度分用表之法按黄道緯度之南北察黄道經度其所對之數即所求之赤道經緯度也表以逐度為率若經緯度俱有零分者用中比例三次求之設黄道經度初宮一十二度二十分黄道北緯度一度二十四分求其相當之赤道經緯度則察本表黄道經度初宮一十二度與黄道緯北一度所對之赤道經度為一十二度五十七分零六秒與下層黄道經度初宮一十三度與黄道緯北一度所對之赤道經度一十四度零一分三十秒相減餘一度零四分二十四秒為黄經一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一度零四分二十四秒化作三千八百六十四秒為二率設數二十分為三率求得四率一千二百八十八秒收作二十一分二十八秒與初宮一十二度所對之赤道經度一十二度五十七分零六秒相加(因十三度之數大於十二度之數故相加反是則相減也)得一十三度一十八分三十四秒為黄道經度初宮一十二度二十分黄道緯北一度之赤道經度又察黄道經度初宮一十二度與黄道緯北二度所對之赤道經度為一十二度五十一分二十二秒與下層黄道經度初宮一十三度與黄道緯北二度所對之赤道經度一十三度五十五分一十七秒相減餘一度零三分五十五秒為黄經一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一度零三分五十五秒化作三千八百三十五秒為二率設數二十分為三率求得四率一千二百七十八秒收作二十一分一十八秒與初宮一十二度所對之赤道經度一十二度五十一分二十二秒相加得一十三度一十二分四十秒為黄道經度初宮一十二度二十分黄道緯北二度之赤道經度復以比例所得之兩赤道經度相減餘五分五十四秒為黄緯一度之較乃以一度化作六十分為一率較數五分五十四秒化作三百五十四秒為二率設數二十四分為三率求得四率一百四十二秒收作二分二十二秒與緯北一度之赤道經度一十三度一十八分三十四秒相減(因二度之數小於一度之數故)(相減反是則相加也)餘一十三度一十六分一十二秒即所求黄道經度初宮一十二度二十分黄道緯北一度二十四分相當之赤道經度也求赤道緯度倣此御製厯象考成表卷十五
## 表卷十六
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十六黄赤經緯互推表下黄道緯南初度至十度御製厯象考成表卷十六◆ 《御製數理精薀》（KR3f0048）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
御製數理精藴 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案御製數理精藴五十三卷康熈五十二年聖祖仁皇帝御定律厯淵源之第二部也上編五卷曰立綱明體其别有五曰數理本源曰河圖曰洛書曰周髀經解曰㡬何原本曰算法原本下編四十卷曰分條致用其别亦有五曰首部曰線部曰靣部曰體部曰末部又表八卷其别有四曰八線表曰對數闡㣲表曰對數表曰八線對數表皆通貫中西之異同而辨訂古今之長短如舊傳方程分二色為一法三色為一法四色五色以上為一法頭緒紛然所立假如僅可施之本例而不可移之他處至于正負加減法實並分母諸例率皆謬誤今則約之為和數較數和較兼用和較交變四例而和數不分正負較數任以一色為正即以相當之一色為負皆以異名相併同名相減實足正舊法之訛誤又割圓術古以徑一圍三為周徑之率宋祖沖之用圓容六邊起算元趙友欽用圓容四邉起算皆屢求勾股得徑一者周三一四一五九六二五泰西法亦同其率古今周率之宻無逾于此而舊所傳弧矢諸術周徑皆用古率又弧弦弦背互求諸術立法極為疏舛今則以六宗三要二簡法求得一象限内弦矢割切正餘八線立為一表洵極勾股弧矢之變又㡬何原本止于測面七卷以下徐光啟李之藻後無譯之者新法算書往往有雜引之處讀者未之能詳且理分中末線但有求作之法而莫知所用今則求得各等靣體及球内容外切各等靣體之積至十二等靣及二十等靣之體皆以理分中末線為之比例足以補測量全義量體諸率之簡畧至末部借根方法即古人天元一之術唐宋諸算家咸用之至眀而失傳是以顧應祥唐順之于元李冶測圓海鏡一書所立天元一皆茫然不觧今則具明其加減乗除之例而後根與平方以下諸乗方之多少者咸得其開法與古所云𢃄縱立方三乗方諸變同歸一揆且線靣體一以貫之而本法所不能求者皆可以借根而得至為精妙他若對數表以假數求真數比例規解以量代算皆西法之迥異於中法者咸為疏通證明繪圖立表粲然畢備寔為從古未有之書雖専門名家未能窺髙深于萬一也乾隆四十六年九月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 上編卷一
欽定四庫全書御製數理精蘊上編卷一數理本原河圖洛書周髀經解數理本原粤稽上古河出圖洛出書八卦是生九疇是敘數學亦於是乎肇焉盖圖書應天地之瑞因聖人而始出數學窮萬物之理自聖人而得明也昔黄帝命𨽻首作算九章之義已啟堯命羲和治厯敬授人時而歲功已成周官以六藝教士數居其一周髀商高之説可考也秦漢而後代不乏人如洛下閎張衡劉焯祖冲之之徒各有著述唐宋設明經算學科其書頒在學宮令博士弟子肄習是知算數之學實格物致知之要務也故論其數設為幾何之分而立相求之法加減乘除凡多寡輕重貴賤盈朒無遺數也論其理設為幾何之形而明所以立算之故比例分合凡方圓大小逺近高深無遺理也溯其本原加減實出於河圖乘除殆出於洛書一奇一偶對待相資遞加遞減而繁衍不窮焉奇偶各分縱横相配互乘互除而變通不滯焉徵其實用測天地之高深審日月之交會察四時之節候較晝夜之短長以至協律度同量衡通食貨便營作皆賴之以為統紀焉今匯集成編以類相從提㸃線面體以為綱分和較順逆以為目法無論巨細惟擇其善者由淺以及深執簡以御繁使理與數協務有裨於天下國家以傳於億萬世云爾易繫辭曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天數五地數五五位相得而各有合朱子曰河圖以五生數統五成數而同處其方葢揭其全以示人而道其常數之體也考其數始於一中於五終於十陽奇隂偶而數之加減由是生焉自一而二自二而三自三而四自四而五皆遞加一以相生自五復加一而成六六加一而七七加一而八八加一而九九加一而十十則仍歸於一故至十而天地之數全矣天數陽也地數陰也言天地即所以言陰陽也五位相得而各有合以五行之序而定位也邵子曰天之陽在南而陰在北地之陰在南而陽在北故河圖之數一陽位於北二陰位於南其即五行質具於地之義而言之歟今以陰陽相生之數論之一為陽天一生水而位北一加一為二為陰地二生火而位南二加一為三為陽天三生木而位東三加一為四為陰地四生金而位西四加一為五為陽天五生土而位中至五而五行之數已周此生數之極也自一至五則五又為一體矣於是以五為中數而復加一則為六六陰也因五中數與一相加故與一同位而屬之水焉六加一為七以中數五計之實加二故與二同位而屬之火焉七加一為八以中數五計之實加三故與三同位而屬之木焉八加一為九以中數五計之實加四故與四同位而屬之金焉九加一為十以中數五計之復加五故與五同位而屬之土焉至十而五行之數再周天地之數已備此成數之極也以陰陽運行之序論之以五生數統十成數位居於中而奇數則始於北一次東三次南七次西九偶數則始於南二次西四次北六次東八此數之陰與陰陽與陽各從其類者也以奇偶相得之數論之一與六合二與七合三與八合四與九合五與十合此又奇偶相得而各有合者也邵子謂圓者河圖之數又曰厯紀之數其肇於此然則所謂數者即一陰一陽一奇一偶循環無間表裡相維百千萬億總由此推之以成其變化河圖者豈非天地自然生成之數也哉洛書之數戴九履一左三右七二四為肩八六為足五居其中朱子謂以五奇數統四偶數而各居其所葢主於陽以統陰而肇其變數之用也邵子曰數學雖多乘除盡之矣夫洛書者數之源也乘除之所以生也易説卦傳曰參天兩地而倚數三天數也二地數也天地相合而萬物育焉一者太極之體其數不行故數行於二三起於三以三參之則三九七一之數生焉起於二以二兩之則二四八六之數生焉其序列之位則天居四正取以陽統陰之義地居四維取以陰從陽之義其三九七一乘數則旋而左除數則返而右也其二四八六乘數則旋而右除數則返而左也二三相合而為五五則無對居中者立其體也二五相合而為十十仍歸一洛書不用者藏其用也是故三始於東方發生之地而位於左自東而南三而三之是為九故戴九自南而西九而三之為二十七去成數餘七故右七自西而北七而三之為二十一去成數餘一故履一奇數左旋以三參之即天道左行之説也如轉而右行以三除之仍復其原數焉二立於西南二陰始生之地而位於右肩自西南而東南二而二之是為四位於左肩自東南而東北四而二之為八位於左足自東北而西北八而二之為十六去十餘六位於右足偶數右旋以二兩之即地道右行之説也如轉而左行以二除之仍復其原數焉此乘除之數見於運行者如此若以對待者觀之一與九對一為數之始九為數之終互乘互除其數不變也二與八對二八互乘俱得十六二除十六得八八除十六仍得二此二與八之相倚也三與七對三七互乘皆二十一三除二十一得七七除二十一仍得三此三與七之相倚也四與六對四六互乘皆二十四四除二十四得六六除二十四仍得四此四與六之相倚也至五為二三之合天地之交陰陽之會位於洛書之中以建人極配上下而為三才故斜直四圍皆得十五合之得四十有五為九五之數要之運行者其序也對待者其位也進退循環縱横交錯總不外於乘除故曰乘除之本原自洛書生也周髀經解數學之失傳乆矣漢晉以來所存幾如一綫其後祖冲之郭守敬輩殫心象數立宻率消長之法以為習算入門之規然其法以有盡度無盡止言天行未及地體是以測之有變更度之多盈縮葢有未盡之餘蘊也明萬厯間西洋人始入中土其中一二習算數者如利瑪竇穆尼閣等著為幾何原本同文算指諸書大體雖具實未闡明理數之精微及我朝定鼎以來遠人慕化至者漸多有湯若望南懷仁安多閔明我相繼治理厯法間明算學而度數之理漸加詳備然詢其所自皆云本中土所流傳粤稽古聖堯之欽明舜之濬哲厯象授時閏餘定歲璿璣玉衡以齊七政推歩之學孰大於是至於三代盛時聲教四訖重譯向風則書籍流傳於海外者殆不一矣周末疇人子弟失官分散嗣經秦火中原之典章既多缺佚而海外之支流反得眞傳此西學之所以有本也古算書存者獨有周髀周公商高問答其本文也榮方陳子以下所推衍也而漢張衡蔡邕以為術數雖存考驗天狀多所違失按榮方陳子始言晷度衡邕所疑或在於是若周髀本文辭簡而意該理精而用博實言數者所不能外其圓方矩度之規推測分合之用莫不與西法相為表裏然則商高一篇誠成周六藝之遺文而非後人所能假託也舊註義多舛訛今悉詳正弁於算書之首以明數學之宗使學者知中外本無二理焉爾昔者周公問於商高曰竊聞乎大夫善數也請問古者包犧立周天厯度周天厯度者分周天三百六十度為推求厯日之用也按通鑑載包犧作甲厯天干地支相配六甲一轉天度一周年以是紀而歲功成月以是紀而朔望定晝夜以是紀而時日分易大傳言包犧仰以觀於天文俯以察於地理其觀察之時必有度數以紀其法象則厯度始於包犧無疑矣夫天不可階而升地不可將尺寸而度請問數從安出天之高明地之博厚非人力所能及其厯度之數不知從何而得也商高曰數之法出於圓方萬物之象不出圓方萬象之數不離圓方河圖者方之象也洛書者圓之象也太極者圓之體奇也四象者方之體偶也奇數天也偶數地也有天地而萬物於是乎生有圓方而萬象於是乎定有奇偶而萬數於是乎立矣圓出於方以數而論出於圓方以圓方而論則圓出於方葢方易度而圓難測方有盡而圓無盡故推圓者以方度之以有盡而度無盡也是以圓周内弦外切屢求勾股為無數多邊形以切近圓界將合而為一而圓周始得故曰圓出於方也方出於矩孟子曰不以規矩不能成方圓夫規所以成圓而矩所以成方也故凡方形必出於二矩相合如矩之二股均者合之即為正方矩之二股一大一小者合之則為長方葢因矩之為形其角直其線正所以能成方體此又直内方外之理故曰方出於矩也矩出於九九八十一度圓方者遞歸於矩而矩之形總不外乎二數相乘九九者數之終而一一乃數之始言九九而不及他數者以九九之内他數俱該也是以一一為一二二為四三三為九四四為一十六五五為二十五六六為三十六七七為四十九八八為六十四九九為八十一乃矩之二股均平所成之正方也一二為二一三為三一四為四一五為五一六為六一七為七一八為八一九為九形雖未方而其理猶存也二三為六二四為八二五一十二六一十二二七一十四二八一十六二九一十八三四一十二三五一十五三六一十八三七二十一三八二十四三九二十七四五二十四六二十四四七二十八四八三十二四九三十六五六三十五七三十五五八四十五九四十五六七四十二六八四十八六九五十四七八五十六七九六十三八九七十二乃矩之一股小一股大所成之長方也至於一百之類雖為正方乃十之相乘十則仍歸於一也又如八十四九十六之類乃六七四十二六八四十八之倍不得自立為數之本又或十一十三十七十九之類十一為二五一十之奇十三為二六一十二之奇十七為四四一十六之奇不得成正方亦不得成長方故不入九九之數也是以九九之數為方之本而方之形必合以矩故曰矩出於九九八十一也故折矩以為勾廣三股修四徑隅五前言圓方之形此言勾股生成之正數也以二矩合之既為方形今以一矩折之則為一方之兩邊是以折矩之橫者為勾之廣折矩之縱者為股之長於勾股之末以科弦連之是為徑隅徑直也隅角也言自兩角相對直連之也勾之廣必三股之修必四而徑隅始得五此乃自然生成之正分也易曰參天兩地而倚數天數一參之則為三地數二兩之則為四三二合之則為五此又勾三股四弦五之正義也既方其外半其一矩此言勾股之面積也勾股以弦連之不得為方形必再合一矩乃為一長方所謂方其外者言弦之外復加一矩以成方也勾三股四相乘得一十有二即為兩矩合成之數半之得六乃勾股之面積所謂半其一矩者也環而共盤得成三四五此言勾股弦相和之數也環而共盤者環繞盤旋於勾股弦之周圍得成三四五共之為一十有二乃三數相和之總數也兩矩共長二十有五是為積矩此言勾股相求之法也兩矩者勾與股也其所以相求者以勾股弦各面積彼此加減以立法也勾三自乘為九股四自乘為一十有六合而計之為二十有五是勾股各自乘之積相併而與弦自乘之積等故曰積矩也弦之自乘積内減勾自乘之積得股自乘之積弦之自乘積内減股自乘之積得勾自乘之積故為勾股弦相求之法也故禹之所以治天下者此數之所由生也言禹之平成之功昭垂萬古揆厥所以奏績者必藉勾股以審高下始得順水之性而告厥成功也然則禹之所以治水者非此勾股之數所由生乎周公曰大哉言數請問用矩之道商高曰平矩以正繩此言用矩立法必以正且直也平矩以正繩有兩義平置其矩使矩之角直以此直角之一股或横或平(横以度遠平以度高)復自一股引繩以度其分則此分為我所知故以所知推所不知此繩引長時必使與直角對正不論其分之幾何引之亦必令直方能得測度之準故為平矩以正繩又平者均平整齊之謂用矩之道矩之角正(即直角之説也)然後二股得直以之測高測遠乃得度其大小之分此矩既正而所測之度亦正矣孟子曰規矩準繩以為方圓平直繩者即準之之意規矩所以度圓方而準繩所以考平直故準之以平繩之以直始得立法之精微故曰平矩以正繩也偃矩以望高此用矩測高之法也偃者仰也仰矩方可測高矩之一股植立在前一股定平在下然後比例推之葢平股與立股之比即所知之遠與所測之高之比也故仰測之而得高覆矩以測深此用矩測深之法也覆者俯也俯矩方可測深矩之一股立者在前一股平者在上平股與立股之比即所知之遠與所測之深之比也故俯測之而得深臥矩以知遠此用矩測遠之法也臥者平也平矩方可測逺以矩之一股為橫向内一股為縱向前是以橫與縱之比即所知之度與所求之遠之比也故平測之而得遠環矩以為圓此用矩為圓之法也以矩之一端為樞一端旋轉為圓則成一圜環矩者即旋規之説也合矩以為方此用矩為方之法也矩二股也兩矩相合乃成一方即前方出於矩之説也方屬地圓屬天天圓地方前言用矩以測高深廣遠復用矩以為圓方此以圓方屬之天地者非以形體言葢以陰陽動靜之理言也樂記云著不息者天也著不動者地也不息故運而不積圓之象也不動故靜而有常方之理也且圓之數無盡而方之數有盡天不可階而升測天者恆於地上度之是仍以方度圓也凡數之不盡者必奇數之可盡者必偶是以陽為奇陰為偶此方圓之理數所以屬乎天地也方數為典以方出圓典則也言圓之數奇零不盡不可為則故惟方數可為典則以方出圓者以方之形度圓之分從方數中生出圓數即前圓出於方之説也如圓徑求積則以徑自乘之為正方形而以方率圓率比例推之即得圓積是皆以方出圓之理也笠以寫天天青黑地黃赤天數之為笠也青黑為表丹黄為裏以象天地之位此即儀象以表天地之形色也笠形圓故以象天寫象也青黑天之色黃赤地之色天數之為笠形則以青黑為表丹黃為裏以象天地之位葢取天包地之象也是故知地者智知天者聖智出於勾勾出於矩夫矩之於數其裁制萬物惟所為耳天地之高深廣遠非聖智不能知然聖智非由理之自然亦不能無所憑藉而知也故明勾股之數即可以知地而為智知地之數即可因地以知天而為聖矣故曰智出於勾也然勾股之形又賴矩以成故矩為勾股之本而天地之高深廣遠皆賴矩以測况萬物之大小巨細豈能外於矩之度分乎故矩之於數其裁制萬物惟其所為而無不可也周公曰善哉以周公之聖而與之曰善哉則其得數之本立法之妙可謂至矣至是而周髀之義盡矣御製數理精蘊上編卷一
## 上編卷二
欽定四庫全書御製數理精蘊上編卷二幾何原本一幾何原本二幾何原本三幾何原本四幾何原本五幾何原本一第一凡論數度必始於一點自點引之而為線自線廣之而為面自而積之而為體是名三大綱是以有長而無闊者謂之線有長與闊而無厚者謂之面長與闊厚俱全者謂之體惟點無長闊厚薄其間不能容分不可以數度然線之兩端即點而線面體皆由此生點雖不入於數實為衆數之本第二線有直曲兩種其二線之一端相合一端漸離必成一角二線若俱直者謂之直線角一線直一線曲者謂之不等線角二線俱曲者謂之曲線角第三凡角之大小皆在於角空之寛狹出角之二線即如規之兩股漸漸張去自然開寛是以命角不論線之長短止看角之大小如丙角兩線雖長其開股之空狹遂為小角若丁角兩線雖短其開股之空寛遂成大角矣第四凡命角必用三字為記如甲乙丙三角形指甲角則云乙甲丙角指乙角則云甲乙丙角指丙角則云甲丙乙角是也亦有單舉一字者則其所舉之一字即是所指之角也(如單言甲角乙角丙角之類)第五凡有一線以此線之一端為樞復以此線之一端為界旋轉一周即成一圜如甲乙一線以甲端為樞乙端為界旋轉復至乙處即成乙丙丁戊之圜此圜線謂之圜界圜界内所積之面度謂之圜面第六凡圜界不拘長短其分界之所即為弧線如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱為弧線因其形似弧故名之第七凡圜自一界過圜心至相對之界畫一直線將一圜為兩平分則為圜徑如乙丙丁戊之圜以甲為心自圜界乙處過甲心至丁或自圜界丙處過甲心至戊畫乙甲丁及丙甲戊線皆為圜徑也第八凡自圜心至圜界作幾何線皆謂之輻線其度俱相等因平分全徑之半故又謂之半徑線第九凡圜界皆以所對之角而命其弧而角又以所對之弧而命其度葢角度俱在圜界而圜界為角度之規也如乙角為心甲丙為界則乙角相對之界即甲丙弧而甲丙弧即乙角之度也第十凡角相對之弧得圜界四分之一者此角必直故謂之直角如甲丁丙戊之圜甲乙丙之徑自中心乙至圜界丁畫一半徑將半圜界又分為兩平分則成甲乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界四分之一則此二角為直角也若自丁界過乙心至圜界戊處畫一直線又成丁乙戊之徑復得甲乙戊丙乙戊兩相等之直角矣故凡畫一直線交於别線其所成之角若直此線謂之垂線葢因平分圜界為四其四弧相對之四角必相等而皆為直角則其二徑相交必互為垂線可知矣第十一凡角相對之弧不足圜界四分之一者謂之鋭角若過四分之一者謂之鈍角故自圜徑中心復畫一輻線而不平分半圜之界則成一鋭角一鈍角如甲己丙庚之圜於甲乙丙之徑自乙心至甲己丙之半圜界不兩平分於丁處畫一輻線遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一鈍角再將丁乙線引於相對圜界戊處畫一丁乙戊徑線復成甲乙戊一鋭角丙乙戊一鈍角合前二角總為四角矣故凡二角兩尖相對謂之對角二角兩尖相並謂之並角如甲乙戊丙乙丁二角之兩尖相對即謂之對角丙乙戊甲乙丁二角之兩尖亦相對故亦謂之對角也如丙乙戊甲乙戊之二角兩尖相並而同出一線則謂之並角矣第十二凡一圜内設兩角此一角相對之弧與彼一角相對之弧其限若等則此二角之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙丁角相對之丙丁弧甲乙戊角相對之甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊角其度亦相等也第十三凡有一圜其徑線之中心作相並之二角此二角之度必與二直角等如甲丙丁之圜自丁乙丙徑線之中心作甲乙丙甲乙丁之相並二角此二角之度必與二直角相等也第十四凡一直線交於他直線其所成之二角或為二直角或與二直角等如丙乙丁直線上畫一甲乙直線至於乙處即成甲乙丙甲乙丁之二直角也又或於丙乙丁直線上畫一戊乙直線亦至乙處復成丙乙戊一鋭角丁乙戊一鈍角此二角必與二直角相等也再申明之以乙為心丙為界旋轉畫一圜則丙乙丁線為圜之徑線必將圜界平分為兩平分矣此丙乙丁徑線之中心所畫之甲乙線又將半圜界平分為兩平分則此二角各相對之弧皆為一圜界四分之一而各為一直角可知矣又如戊乙線將半圜界雖不兩平分而成一鋭角一鈍角然所成二角仍在丙乙丁徑線所限半圜界度為全圜界四分之二故與二直角相等也第十五凡自一心畫為衆線其所成之角雖多止與四直角相等如自甲心至乙至丙至丁至戊至已畫衆輻線雖成衆角其各角所函之度必與四直角等葢因甲㸃為心衆輻線皆立一圜之界故衆角所對之弧總不越一圜之全度前言一圜之界僅有四直角之弧線兹角雖多亦未嘗出一圜之界故曰衆角雖多止與四直角等也第十六凡兩直線相交所成二對角之度必俱相等如甲乙丙丁二線交於戊處成甲戊丁丙戊乙之二對角斯二角之度必俱相等今以二線相交之處為心旋轉畫一全圜則甲乙丙丁二線俱為此圜之徑線矣惟其俱為徑線故將一圜為兩平分而甲戊乙之徑線為甲丙乙之半圜界丙戊丁之徑線為丙甲丁之半圜界因兩半圜界俱係全圜徑線故相交成對角其度必等兹將甲丙乙之半圜界減去甲丙弧即餘丙乙弧丙甲丁之半圜界亦減去丙甲弧又餘甲丁弧凡兩相等之弧減去一段相等之弧所餘之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半圜之界内減去甲丙丙甲同體之弧則所餘丙乙甲丁相對之弧亦必相等矣此二弧之度既俱相等則所對之甲戊丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣其餘甲戊丙丁戊乙亦與甲戊丁丙戊乙同理故其所對之角度亦必相等也第十七凡大小圜界俱定為三百六十度而一度定為六十分一分定為六十秒一秒定為六十㣲一㣲定為六十纖夫圜界定為三百六十度者取其數無竒零便於布算即徴之經傳亦皆符合也(易曰凡三)(百有六十當期之日邵子曰三百六十中分之得一百八十為二至二分相去)(之數)度下皆以六十起數者以三百六十乃六六所成以六十度之可得整數也凡有度之圜界可度角分之大小如甲乙丙角欲求其度則以有度之圜心置於乙角察乙丙乙甲之相離可以容圜界之幾度如容九十度即是甲乙丙直角(何以知為直角因九十度為全圜三百六十度之四分之一前言凡角得)(圜界四分之一者為直角故知其為直角也)若過九十度者為丁乙丙鈍角不足九十度者為丙乙戊鋭角觀此三角之度其餘可類推矣第十八凡二線之間寛狹相離之分俱等則此二線謂之平行線也第十九欲求平行線之間相距幾何則自上一線不拘何處至下一線畫二縱線則此二線為相距度分也如甲乙丙丁二線平行自上線甲乙二處至下線丙丁二處畫二縱線則此二線為相等線其度必等然則甲乙丙丁相對之間其相距之遠近不已見耶第二十平行二線雖引至於無窮其端必不能相合葢二線相離之度各處逺近俱為相等故也如甲乙丙丁平行二線隨意引於戊己又自戊至己畫一縱線其度亦等於甲丙乙丁二縱線故曰平行線雖引至於無窮其端終不能相合也第二十一凡平行二線或縱或斜畫一直線交加於上則平行線上所成之二角必俱相等如甲乙丙丁二平行線上畫一庚辛斜線其甲乙線之庚戊乙角丙丁線之戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大於戊己丁角則戊乙線必離於庚戊線而向丙丁線甲乙丙丁二線不平行矣若甲乙丙丁二線毫無偏斜又得庚辛直線相交成二角則此二角必然相等矣第二十二凡平行二線上畫一斜線則成八角此八角度有相等者必是對角或内外角如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其兩尖相對謂之對角庚戊乙戊己丁二角其度亦相等因其在平行二線之内外故謂之内外角甲戊己戊己丁二角其度亦相等因其俱在平行二線之内而立斜線之左右故又謂之相對錯角又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因其立一線之界謂之並角庚戊甲丁己辛二角其度亦相等因其俱在平行二線之外故謂之外角乙戊己丙己戊二角其度亦相等因其又俱在平行二線之内故又謂之内角總之二平行線上交以斜線所成八角必兩兩相等也第二十三平行線上一邊之二内角或一邊之二外角與二直角相等如丁己戊角與丙己戊角為並角則此二並角與二直角等前第十四節云凡一直線交於他直線所成二角必與二直角相等則此二角同出於一直線為並角故亦與二直角等矣又如甲戊庚庚戊乙雖為外角而亦為並角此二並角亦與二直角等也他如甲戊己乙戊己二並角丙己辛丁己辛二並角亦與二直角等也第二十四有平行二線復與一線相平行者此三線互相為平行線也如甲乙丙丁二線之間有戊己線與之平行則甲乙丙丁戊己三線互相為平行線也照前第二十一節在此三線上畫一庚辛壬斜線則所成之庚辛二角必相等而辛壬二角亦必等也三線之與斜線相交所成之角既各相等則三線互為平行可知矣幾何原本二第一凡各種界所成俱謂之形其直界所成者為直界形曲界所成者為曲界形凡直界所成各形未有少於三角形界者故三角形為諸形之首第二凡三角形一角直者為直角三角形一角鈍者為鈍角三角形三角俱鋭者為鋭角三角形第三凡三角形其三邊線度等者為等邊三角形兩邊線度等者為兩等邊三角形三邊線度俱不等者為不等邊三角形第四凡三角形之三角度相併必與二直角度等如甲乙丙三角形自乙角與甲丙線平行畫一乙丁線則成丙乙丁角與丙角為二尖交錯之二角其度必相等(見首卷第二十二節)而甲角與甲乙丁角為甲丙乙丁二平行線内一邊之二内角與二直角等(見首卷第二十三節)今於甲乙丁直角内減丙乙丁角所餘為甲乙丙角丙乙丁角既與丙角度等則甲乙丙丙乙丁合成之一直角與甲角之一直角非二直角之度耶第五凡三角形自一界線引長成一外角此外角度與三角形内所有之二鋭角等如甲乙丙三角形自甲乙線引長至丁所成之丙乙丁角即為外角其度與三角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙三角形之三角度併之原與二直角等(如本卷第四節云)而甲丁直線與丙乙直線相交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦與二直角等(如首卷第十四節云)則此内外二角所併之度與三 形内三角所併之度亦必相等今於内外角所併之二直角内減去甲乙丙角則所餘之丙乙丁一外角度與甲角丙角所併之度為相等可知矣第六凡兩三角形其兩邊線之度相等二線所合之角又等則二形底線之度必等二形之式亦等其底線之二角亦皆等也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊二線甲乙丁己二線又互相等則乙丙戊己之二底線必等其二形之三角式亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦相等若將二形之甲角丁角相合則甲丙丁戊二線甲乙丁己二線各度必等因其俱等故丙乙線之二角與戊己線之二角俱恰相符而無偏側矣若謂乙丙底與戊己底不符必是戊己線上斜於庚或下斜於辛不成直線形矣第七兩三角形其三邊線之度若等則三角之度亦必相等而此形内所函之分亦俱等也如甲乙丙丁戊己兩三角形之甲乙線丁戊線甲丙線丁己線乙丙線戊己線兩兩相等則甲角與丁角乙角與戊角丙角與己角必各相等而甲乙丙三界所函之分丁戊己三界所函之分亦俱相等葢因此兩三角形之各線俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也第八凡兩三角形有一線相等其相等線左右所生之二角又相等則其他線他角俱相等而二形之分亦相等也如甲乙丙丁戊己兩三角形之甲乙線丁戊線若等而此二線左邊所成之甲角丁角右邊所成之乙角戊角亦相等則甲丙線度與丁己線度等丙乙線度與己戊線度等而丙角與己角亦等甲丙乙形所函之分與丁己戊形所函之分自然相等矣若將甲乙線與丁戊線相較再將甲角與丁角乙角與戊角相較此二線二角之度必俱相符此二線二角既俱相符其他線他角亦必各相符矣若謂一線不符則相等之角亦必不符必其一線斜出或一線偏入以致各角俱不相等角既不相等而形式亦必不同矣第九三角形之兩邊線若等其底線之兩角度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙乙兩邊線之度等則其甲丙底線之甲角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平分於丁處自丁至乙角畫一直線遂成甲乙丁丙乙丁兩三角形此兩形之甲乙線與丙乙線既相等而甲丙底線平分之甲丁丙丁線度亦等則乙丁為兩三角形所共用之各一邊線然則此兩三角形之各三邊線度必俱相等可知矣三角形之三線既各相等則其各角之度亦必相等因其各角之度相等故甲角丙角之度亦必等也第十有兩邊相等之三角形自上角至底線畫一直線將底線為兩平分則此線為上角之平分線又為底線之垂線也如甲乙丙乙兩邊線度相等之甲乙丙三角形自上角乙至底線丁畫一直線將甲丙底線為兩平分則為乙角之平分線又為甲丙底線之垂線也葢乙丁線將乙甲丙三角形平分為甲乙丁丙乙丁兩三角形此兩三角形之各界線度必各相等而各角之度又俱相等則甲乙丁角丙乙丁角將乙角為兩平分矣而甲丁乙角丙丁乙角又為相等之兩直角因其為兩直角故乙丁線為平分甲丙底線之垂線也第十一凡三角形内長界所對之角必大短界所對之角必小如甲乙丙三角形之乙丙界長於甲丙界故其相對之甲角大於乙角而甲乙界短於甲丙界故其所對之丙角小於乙角也試依甲丙界度截乙丙於丁復自甲至丁作甲丁線即成甲丙丁兩界相等之三角形夫甲丙丁丙兩界度既相等則甲丁丙丁甲丙兩角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分則乙甲丙角必大於甲丁丙角矣然此甲丁丙角為甲乙丁小三角形之外角與小三角形内之甲乙二角相併之度等(見本卷第五節)既與甲乙二角之度等則大於乙角可知矣夫甲丁丙角既大於乙角則乙甲丙角必更大於乙角矣丙角之小於乙角其理亦同第十二凡三角形内必有二鋭角葢三角形之三角併之與二直角等(見本卷第四節)如甲乙丙三角形之乙角為直角則所餘甲角丙角併之始與乙角相等二角併之僅與一直角等則此二角獨較之必小於直角矣故此甲丙二角為鋭角也又如丁戊己三角形之戊角為鈍角則所餘之丁角己角愈小於直角而為鋭角矣第十三凡自一㸃至一横線畫衆線而衆線内有一垂線必短於他線而他線與垂線相離愈逺則愈長也如自甲㸃至乙丙線畫甲乙甲丁甲戊幾線此内甲乙為垂線較之甲丁甲戊線則其度最短而甲戊線與甲乙線相離既遠於甲丁故更長於甲丁線也葢甲乙為垂線則乙角必為直角(見首卷第十節)而甲乙丁三角形内丁角甲角必俱為鋭角而小於乙角矣因乙角大於丁角故此乙角相對之甲丁線必長於丁角相對之甲乙線又甲丁戊外角原與甲乙丁乙甲丁二内角相併之度等(見本卷第五節)則此甲丁戊一外角必大於甲乙丁一内角矣甲丁戊之外角既大於甲乙丁之内角則甲丁戊角相對之甲戊線必長於甲乙丁角相對之甲丁線可知矣第十四凡三角形將二界線相併必長於所餘之一界線如甲乙丙三角形將甲乙甲丙二界線併之則長於所餘之乙丙界線也試以丙甲線引之至丁作丁甲線與甲乙等則丁丙線為甲丙甲乙二界線之共度矣復自丁至乙作丁乙線成乙甲丁兩界相等之三角形其丁乙甲角與丁角等(見本卷第九節)則丁乙丙角必大於丁角夫丁乙丙角既大於丁角則其所對之丁丙線必長於丁角相對之乙丙線可知矣(見本卷第十一節)幾何原本三第一凡四邊線函四角者其形有五四邊線度等而角度亦等者為正方形四角直而兩邊線短兩邊線長者為長方形四邊線度等而角度不等者為等邊斜方形兩邊線長兩邊線短而角度又不等者為兩等邊斜方形以上四形俱自平行線出如四邊線不等亦不平行而四角度又不等者為不等邊斜方形第二凡四平行線所成方形其所函之角成兩對角必兩兩相等如甲乙丙丁平行線方形其甲角度丙角度等而乙角度丁角度亦等若以丙丁線引長至戊作一線成一丁外角與甲角為二尖交錯之角其度相等(見首卷第二十二節)而丁外角與丙角又為一邊之内外角其度亦等(見首)(卷第二十二節)夫甲丁二角既等丁丙二角又等則甲角與丙角必自相等而丁乙兩對角之相等不言可知矣第三凡平行四邊形自一角至相對之角作一對角線必平分四邊形為兩三角形如甲丙乙丁四邊形作甲乙對角線即成丙甲乙丁甲乙兩相等三角形葢此四邊形之丙丁二角為對角其度必等(見本卷第二節)而對角線所分之丙甲乙丁乙甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱為二尖交錯之角其度又兩兩相等(見首卷第二十二節)夫此兩三角形原自一四邊形而分各角又俱相等則其所函之分必等而四邊形平分為兩平分無疑矣第四凡平行線所成方形其兩兩平行線度俱相等如甲丙乙丁四邊形之丙甲線與乙丁線度等丙乙線與甲丁線度等此即如前節作一對角線成兩三角形而兩形之各角必俱相等則丙甲乙丁二線丙乙甲丁二線俱為各相等角所對之線其度亦必相等矣(見二卷第八節)第五平行線方形内兩對角線其相交處必平分二線之正中如甲乙丙丁二線相交於戊則所成甲戊戊乙二線丙戊戊丁二線俱等葢因丙戊乙甲戊丁兩三角形之丙乙甲丁二線為平行線其度等(見本卷第四節)而丙乙戊丁甲戊二角乙丙戊甲丁戊二角皆為平行線内相對之錯角其度俱等(見首卷第二十二節)夫丙乙甲丁二線既等各相對之錯角又等則丙乙戊丁甲戊二等角相對之戊丙戊丁二線度與甲丁戊乙丙戊二等角相對之戊甲戊乙二線度必皆相等可知矣(見二)(卷第八節)第六凡平行線方形内於對角線上或縱或横正中截開即將此形為兩平分如甲丙乙丁之方形其甲乙對角線上畫一戊己線於庚處截開則平分甲丙乙丁方形為丙戊己乙一段甲戊己丁一段此二段内之戊甲庚己乙庚兩三角形之甲庚乙庚二線相等而戊甲庚己乙庚之兩角又為平行線内二尖交錯之角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相對之角其度又等則此兩三角形度亦必相等又如甲乙對角線將甲丙乙丁方形為兩平分則其甲丙乙甲丁乙兩三角形度必等將此兩相等之三角形以戊己線截開於甲丙乙形内減甲戊庚於甲丁乙形内減乙己庚則所餘之甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所分各形既俱兩兩相等則甲丙乙丁之方形為戊己線所截自為兩平分可知矣第七凡四邊形於對角線不拘何處復作相交二平行線即成四四邊形設如甲丙乙丁四邊形於對角線之戊處復作一壬戊己一辛戊庚相交之二平行線即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四邊形此四形中之甲戊戊乙二形為對角線上所成之形丙戊戊丁二形為對角線旁所成之形此對角線旁所成兩形必俱相等如丙壬戊庚戊辛丁己兩形之分是己葢甲丙乙丁之全形因甲乙對角線平分為兩平分所成之甲丙乙甲丁乙兩大三角形之分必等其對角線上所成之一小方形復為甲戊對角線平分為兩平分成甲庚戊甲己戊兩小三角形此兩小三角形之分亦必等而對角線上所成之一大方形又為戊乙對角線平分為兩平分成戊壬乙戊辛乙兩中三角形此兩中三角形之分亦必等今將甲丙乙甲丁乙兩大三角形内減去甲庚戊甲己戊之兩相等小三角形再減去戊壬乙戊辛乙之兩相等中三角形所餘對角線旁所成之丙壬戊庚戊辛丁己兩四邊形此兩四邊形自然相等矣第八凡兩平行線内同底所成之四邊形其面積必等如甲己乙辛兩平行線内於乙丙底作甲乙丙丁一長方四邊形戊乙丙己一斜方四邉形此兩形雖不同而所容之分必相等何也試以兩三角形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一三角形此兩三角形之甲乙丁丙二線等甲戊丁己二線亦等(甲丁戊己二線俱與乙丙平行)(而度分相等若於甲丁戊己二線各加一丁戊線即成甲戊丁己線其度自然)(相等)而戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙平行線一邊之内外角其度又等則此兩三角形自然相等可知矣今於兩三角形内各減去丁戊庚則所餘之甲乙庚丁戊庚丙己二形之分必等復於此二形内毎加一庚乙丙形則成甲乙丙丁戊乙丙己之兩四邊形其面積必然相等也第九兩平行線内無論作幾四邊形其底度若等則面積必俱等如甲乙丙丁二平行線内作甲丙己戊庚辛丁乙兩平行線四邊形其丙己辛丁兩底度相等則其積亦等試自丙己底至庚乙畫二直線即成一庚丙己乙斜四邊形此斜四邊形既與甲丙己戊四邊形同出於丙己之底即同前節两形面積俱等矣至於庚辛丁乙與庚丙己乙又同出於庚乙之底故此两形面積亦俱等觀此兩兩相等則甲丙己戊庚辛丁乙兩形之面積相等明矣第十凡兩平行線内同底所成之各種三角形其面積俱等如甲乙丙丁兩平行線内於丙丁底作甲丙丁一三角形己丙丁一三角形此兩三角形之面積必等何也自丁至戊作一直線與甲丙平行再自丁至乙作一直線與己丙平行即成甲丙丁戊己丙丁乙兩四邊形此二形既同出於丙丁底其面積相等而甲丙丁己丙丁兩三角形為平分兩四邊形之一半其面積亦必相等矣第十一兩平行線内無論作幾三角形其底度若等其面積亦俱等如甲乙丙丁二平行線内作甲丙戊庚戊己兩三角形其丙戊戊己兩底度相等故其面積亦等今自戊至辛作一直線與甲丙平行又自己至乙作一直線與庚戊平行即同前節成面積相等之兩四邊形而此甲丙戊庚戊己兩三角形為面積相等兩四邉形之各一半則此两三角形之面積必等可知矣第十二凡有幾三角形其底若俱在一直線而各底相對之角又共遇於一處則其衆三角形必在二平行線之間如甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直線上而各底相對之角又皆遇於甲處則此四三角形俱同在庚辛壬癸二平行線之間矣第十三凡等邊等角各形内五邊者為五角形六邊者為六角形邊愈多角愈多者俱隨其邊與角而名之焉第十四多邊多角形自角至心作線凡有幾界即成幾三角形設如辛七邊形自心至邉七角作七線即成七三角形而此各三角形之分俱相等也第十五欲知衆邊形各邊角之度將邊數加一倍得數減四其所餘之數即為各邊角度也如辛七邉形以七邊數加一倍共為十四十四内減四所餘之十即為十直角數為此七邊形之各邊角之總度也何也假如辛形自心至七角作七線成七三角形凡三角形之三角與二直角等(見二卷第四節)則此七三角形之各三角度共與十四直角等其七三角形之辛心所有之七角又與四直角等(見首卷第十五)(節)若將十四直角内減四直角乃餘十直角則此十直角與衆邊形之各邊角之總度相等可知矣幾何原本四第一凡有直線切於圜界而不與圜界相交者謂之切線如甲乙丙線切於丁圜乙界其線雖自甲過乙至丙而與圜界不出入相交此甲乙丙線即為圜之切線也又如一圜與一圜界相切而不相交則謂之切圜假如戊圜與己圜於庚界相切二界總未相交故又謂之切圜也第二凡一直線横分圜之兩界謂之弦線其所分圜界之一段謂之弧此弧與弦相交所成之二角謂之弧分角如甲丙線横分甲乙丙丁圜界於甲丙則甲丙線為弦其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆謂之弧而甲丙弦與甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即謂之弧分之角焉第三凡自一圜弦線之兩頭復作二直線相遇於圜界之一處其所成之角謂之圜分内角又謂之弧分相對之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙弦線之兩頭各作一直線於甲處相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角與乙丁丙弧相對故又為弧分相對之界角也第四凡一圜有二輻線截弧之一段所成之三角形謂之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二輻線所成之甲丙乙三角形即為分圜面形也第五凡自圜之輻線之末與圜界相切作一垂線則此垂線與輻線之末在圜界僅一㸃相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙輻線於乙末作一丙乙垂線則此丙乙垂線與甲乙輻線俱在圜界乙處之一㸃相切而此垂線之丁等處俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁線此線必長於甲乙輻線(如二卷第十三節云)因其長於輻線必出於圜界之外此甲戊丁線既出於圜界之外則丙乙線全在圜外可知矣第六圜弦線上自圜心作一垂線則將弦線為兩平分如乙丙弦自圜心甲至弦線丁作一垂線必將乙丙弦為兩平分成乙丁丁丙二段若自甲心至弦線乙丙二末作二輻線成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二線為一圜之輻線其度必等此二輻線既等則甲乙丙三角形内甲丁垂線所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若將垂線引長至弧界戊作線則又將乙丙弧界為兩平分矣第七凡自圜外一處至圜界兩邊作二切線此二線之度必等如自圜外甲至圜界乙丙兩邊作甲乙甲丙二切線此二線之度相等今於圜心丁至圜界乙丙二切線之末作二輻線則此二輻線為甲乙甲丙之垂線矣(如本卷第五節云)因其為垂線則甲乙丁甲丙丁之二角必同為直角(見首卷第十節)再自丙至乙作一弦線即成丁乙丙甲乙丙兩三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二線同為圜之輻線其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内減去丁乙丙丁丙乙二角則所餘之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等則甲乙甲丙二切線為等角傍之兩界線自然相等無疑矣第八凡圜内兩弦線若等其分圜弧面之積必等自心至兩弦所作垂線亦必等如甲圜之丙乙丁戊二弦之度若等則所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面積必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二弦各作甲壬甲辛垂線其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二弦之末各作輻線即成甲丙乙甲丁戊兩三角形此兩三角形之各界線必兩兩相等則此兩三角形内相等線所對之角亦必相等(見二)(卷第七節)角既相等則等角相對弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等(見首卷第十二節)丙己乙丁庚戊二弧線既等丙乙丁戊二弦線又等則丁庚戊壬之弧面積與丙己乙辛之弧面積自然相符矣又甲辛甲壬二垂線將丙乙丁戊二弦為兩平分則丙辛乙辛丁壬戊壬之四線亦俱等三角形之各界線既兩兩相等而三角形内各角又兩兩相等則平分丙乙丁戊二弦之甲辛甲壬之度自然相等矣第九凡弦線之所屬有三種一為弧之切線一為弧之割線一為弧之弦線欲取弧界各角之度用此三線求之必得也如甲圜之甲乙輻線于乙末作丙乙垂線復自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂線丁分作甲丁線又從圜界戊至甲乙輻線作戊己垂線則成三種線此三線内丁乙線為乙戊弧之切線甲丁線為乙戊弧之割線戊己線為乙戊弧之正弦凡欲得各角弧界之度必於此三種線取之如欲取乙甲戊角相對弧度則自與甲角相對乙戊弧之丁乙切線取之或自乙戊弧之甲丁割線取之或自乙戊弧之戊己正弦取之皆得乙戊弧之度數焉第十一圜界内任於圜界一段至圜心作二線至圜界作二線即成二角在圜心者為心角在圜界者為界角設如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二線仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二線成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角為心角甲丁乙角為界角也第十一圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二線所成之式又分為三種有界角心角同用一線者有界角心角不同用一線者有界角二線跨心角二線者總之此三種心角皆大於界角一倍如有三圖圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二線圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二線則第一圗之甲丁乙界角之乙丁線同立於甲丙乙心角之乙丙線上而甲丙乙心角為甲丙丁三角形之外角與甲丁丙丙甲丁二内角等(見二卷第五節)其甲丙丙丁二線又為一圜之輻線其度亦等此二線既等則甲丁丙丙甲丁二角亦必等(見二卷第九節)今甲丙乙之外角既與甲丁丙丙甲丁二内角等則甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣如第二圖甲丁乙界角之乙丁線不同立于甲丙乙心角之乙丙線上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直線之外則自丁角過圜之丙心至對界作一丁丙戊全徑線即成甲丙戊一大心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角即如第一圖必倍於甲丁戊大界角而乙丙戊小心角亦必倍於乙丁戊小界角於甲丙戊大心角内減去乙丙戊小心角甲丁戊大界角内減去乙丁戊小界角則所餘之甲丙乙心角必大於所餘之甲丁乙界角一倍矣如第三圖甲丁乙界角之二線正跨於甲丙乙心角二線之上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直線之間則自丁角過圜之丙心至對界作丁丙戊全徑線即成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁戊二界角此甲丙戊心角必倍於甲丁戊界角乙丙戊心角亦必倍於乙丁戊界角以甲丙戊乙丙戊二心角併之乃甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界角併之乃甲丁乙一界角今所分之二心角既各倍於所分之界角則此所併之甲丙乙心角必倍於所併之甲丁乙界角矣第十二凡自圜之弧線一段任作相切界角幾何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自甲乙弧線一段至圜界丙丁作相切之甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必俱相等試自圜之戊心至圜界甲乙作二輻線即成甲戊乙一心角此甲戊乙之心角與甲丙乙乙丁甲界角俱同一圜弧線之一段則心角必倍於界角然則甲丙乙乙丁甲二界角既俱為甲戊乙心角之一半則此二角之度必等可知矣第十三凡圜内心角所對弧線之度比界角所對弧線之度少一半則二角之度必等如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲丁戊一界角而甲乙丙心角相對甲丙弧線之度比甲丁戊界角相對甲戊弧線之度少一半則甲乙丙心角之度必與甲丁戊界角之度相等試自丁角過圜之乙心至對界作丁乙己全徑線復自乙心至戊界作乙戊半徑線即成甲乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二界角其甲乙己心角必倍於甲丁己界角而己乙戊心角亦必倍於己丁戊界角今以甲乙己己乙戊二心角相併甲丁己己丁戊二界角亦相併則甲乙己己乙戊二心角所併之度必倍於甲丁己己丁戊二界角所併之度矣是以甲丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心角所併之一半夫甲丙弧線既為甲戊弧線之一半而甲乙丙角又為甲乙己己乙戊二心角所併之一半則甲乙丙心角度必與甲丁戊界角之度相等矣第十四凡圜内界角立於圜界之半者必為直角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立於甲丁丙圜界之正一半則此甲乙丙角必然為直角也自甲丁丙之半圜於丁界為兩平分復自丁界至圜心戊作丁戊輻線即成甲戊丁角其相對之甲丁弧為圜界四分之一既為圜界四分之一則必為直角(如首卷第十節云)夫心角相對弧線若為界角相對弧線之一半其二角之度相等矣(如本卷第十三節云)今甲戊丁心角相對之甲丁弧線既為甲乙丙界角相對之甲丁丙弧線之一半則甲戊丁心角度必與甲乙丙界角度相等且甲丁弧線既為圜界四分之一而甲丁丙弧線又為圜界之正一半則甲戊丁心角為直角而甲乙丙界角亦必為直角矣第十五凡圜内界角其所對之弧過於圜界之半者必為鈍角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相對之甲戊丙弧大於圜界之一半故其相對之甲乙丙角為鈍角也試將甲戊丙弧平分於戊為甲戊戊丙兩段復自圜心丁至甲戊作二輻線即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分既大於半圜則此甲戊弧線一段亦大於圜之四分之一矣故此甲戊弧線相對之甲丁戊心角必為鈍角(見首卷第十一節)夫心角相對之弧線比界角相對之弧線少一半則二角之度必相等(如本卷第十三)(節云)今甲丁戊心角相對之甲戊弧線正為甲乙丙界角相對甲戊丙弧線之一半則甲乙丙界角自然與甲丁戊心角等矣夫甲丁戊心角既為鈍角則甲乙丙界角亦必為鈍角矣第十六凡圜内界角其所對之弧不及圜界之半者必為鋭角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相對之甲戊丙弧小於圜界之一半故其相對之甲乙丙角為鋭角也試將甲戊丙弧平分於戊為甲戊戊丙兩段復自圜心丁至甲戊作二輻線即成甲丁戊一心角此心角所對之甲戊弧線既不足圜界四分之一則此甲丁戊心角必為鋭角矣(見首卷第十一節)此甲丁戊心角所對之弧比之甲乙丙界角所對之弧為一半則此二角之度必等夫甲丁戊心角既為鋭角則甲乙丙界角亦必為鋭角矣第十七凡函圜各界形之各線與圜界相切而不相交則謂之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界線俱在庚圜界之丁己戊三處相切而不相交故謂之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界線俱在戊圜界之己庚辛壬四處相切而不相交則謂之函圜切界四邊形觀此二圖則知函圜各界形必大於所函圜界形之分矣第十八凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出則謂之圜内所函各邊形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱與丁圜界相抵而不曾割出即謂之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱與戊圜界相抵而不割出則謂之圜内所函四邊形觀此二圖則知函於圜界各界形必小於圜界形之分矣第十九凡等邊衆界形或函圜或函於圜其界數愈多愈與圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三邊比之六角形之六邊則六角形之六邉與圜界相近矣設有十二角形之十二邊比此六角形之六邊則十二角之十二邊又與圜界為近若有二十四角之二十四邊則又更近於十二角之十二邊矣葢函衆界形之度必大於所函之衆界形度(見本卷第十七十八兩節)今甲圜既函等邊六角形自大於六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大於三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其邊愈多者其度愈大故與圜界愈近也又如復有一函圜等邊四角形内又作一函圜等邊八角形此四角形既函八角形必大於八角形可知矣若於八角形内復作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉數愈多則與所函之圜界度愈近矣苟設一函於圜界之多邉形為幾十萬邉(設函於圜界之)(多邉形一自六邉起算一自四邉起算)復設一函圜界之多邉形亦為幾十萬邉(設函圜界之多邉形亦一自六)(邉起算一自四邉起算)使此函圜之多邉形自外與圜界相比而函於圜界之多邉形自内與圜界相比則此二多邊形之每邊直界線將與圜界曲線合而為一故圜界曲線可得直線之度而多邉形之直線亦可得為圜界度也第二十函圜切界等邊形其所函圜之輻線度與一直角三角形之小邊之度等而等邉形之衆界共度又與三角形之大邊之度等則三角形之面積與等邊形之面積等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙輻線與辛壬癸直角三角形之辛壬小邉線度等而五角形之丙丁戊己庚五邉線共度又與三角形之壬癸大邉線度等則此辛壬癸三角形面積必與丙丁戊己庚等邉五角形面積等也何以見之若自五邊形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五線即分成甲丙丁類五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸線度既與五角形之五邉共度等今將壬癸線平分五分以所分之每分為底依前所分五三角形式作甲壬丙類五正式三角形復自所分丙丁戊己四處俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四線遂分辛壬癸一三角形為辛壬丙類五斜式三角形再自甲壬丙類五三角形之甲角至底各作一甲乙垂線俱與圜之輻線等則甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣於是復自辛壬癸三角形之辛角與五甲角相切作一辛子線與壬癸為平行線則此平行線内同底所成之各種三角形之面積必俱相等矣(見三卷第十節)葢辛壬丙甲壬丙兩三角形為同底辛丙丁甲丙丁兩三角形為同底辛丁戊甲丁戊兩三角形為同底辛戊己甲戊己兩三角形為同底辛己癸甲己癸兩三角形為同底故其面積俱相等也且辛壬丙三角形與甲壬丙三角形既俱相等則辛壬丙之類五斜式三角形之面積即如甲壬丙之類五正式三角形之面積矣其所分各形之面積俱等則其全形之面積自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面積與丙丁戊己庚等邉五角形之面積相等也第二十一圜界内函等邊衆界形其圜心至衆界所作中垂線與一直角三角形之小邉之度等而等邊衆界形之衆界共度又與直角三角形之大邊之度等則此三角形之面積與等邊衆界形之面積等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至衆界所作甲辛垂線與壬癸子直角三角形之壬癸小邉線度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉線共度又與三角形之癸子大邉線度等則此壬子癸三角形面積必與乙丙丁戊己庚等邉六角形面積等也若依前節法將六邉形分為六三角形復以三角形之癸子界照六邉形度分為六分又照六邊形所分六三角形作六正式三角形復自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五處作五斜線成六斜式三角形此兩式三角形同底又同在二平行線内則其面積必兩兩相等此兩式六三角形之垂線既與壬癸子直角三角形之壬癸小邉線度等而兩式六三角形之底線共度又與壬子癸直角三角形之癸子大邉線度等則壬癸子直角三角形之面積必與乙丙丁戊己庚等邉六角形之面積相等矣第二十二凡圜形之輻線與一直角三角形之小邊線度等而圜之周界與三角形之大邉線度等則此直角三角形之面積與圜形之面積相等如有一甲圜形其甲乙輻線與丙丁戊直角三角形之丙丁小邉線度等而甲圜形之乙周界又與丙丁戊三角形之丁戊大邉線度等則此丙丁戊三角形之面積即與甲圜形之面積相等也何以見之甲圜之輻線與三角形之小邉等者即如等邉衆界形之中垂線與三角形之小邉等也甲圜之周界與三角形之大邉等者即如等邉衆界形之各界共度與三角形之大邉等也若夫函圜衆界形相等之三角形其小邊雖與圜之輻線等其大邉則長於圜之周線故其積分亦大於圜之積分而函於圜衆界形相等之三角形其小邉既短於圜之輻線而大邊亦短於圜之周線故其積分亦小於圜之積分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小邊既與圜之輻線等面三角形之大邉又與圜之周線等則其積分與圜形之積分相等無疑矣然圜周界曲線也等邉衆界形之界度直線也觀之似難於相通者如以圜之内外各設多邉衆界形分為千萬邉(如本卷第十九節云)則逼圜界最近將合而為一乃依所分之段為千萬正式三角形此千萬正式三角形之中垂線亦將與圜之輻線合而為一而千萬邉共界度既與圜周合而為一則圜周之曲線亦變而為直線矣夫千萬邉正式三角形之中垂線既成圜之輻線則與丙丁戊三角形之小邊等而千萬邉正式三角形之底界共度又成圜之周度則又與丙丁戊三角形之大邊度等矣復自丙丁戊三角形之丙角至千萬正式三角形之底界各作千萬斜式三角形以比正式三角形因其㡳同其分自相等故千萬斜式三角形之共積比之千萬正式三角形之共積千萬正式三角形之共積比之丙丁戊一直角三角形之面積丙丁戊直角三角形之面積比之甲圜形之面積俱相等也第二十三有一圜形又一衆界形此圜界度若與彼衆界總度等則圜形之面積必大於衆界形之面積也如甲乙丙丁圜形之周界與戊己庚辛等邊四角形之四邉總度等則圜形之面積必大於等邉四角形之面積矣前言凡圜形之輻線與一直角三角形之小邉線度等而圜之周界與三角形之大邉線度等則三角形之面積與圜形之面積相等矣今試以甲乙丙丁圜形周界為三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬輻線為三角形之小邉作一子丑寅直角三角形則三角形之丑寅大邉線度亦與戊己庚辛四角形之四邉總度等而三角形之子丑小邉線度雖與圜形甲壬輻線等却比四角形之自壬心至癸邉所作垂線為長若將三角形之子丑小邉線照四角形之壬癸垂線度截開則分子丑線於卯復自卯至寅作一斜弦即成卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三角形之分與戊己庚辛四角形相等也此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之則卯丑寅形必小於子丑寅形今甲乙丙丁圜形之面積既與子丑寅三角形之面積等而戊己庚辛四角形之面積又與卯丑寅三角形之面積等則戊己庚辛四角形之面積必小於甲乙丙丁圜形之面積可知矣觀此凡界度相等之形圜界所函之分比衆界所函之分必大而衆界所函之分與圜界所函之分同者則衆界之總度復比圜界度大也㡬何原本五第一平面之上所立直線無少偏倚其各邊所生之角必俱直則謂之平面上所立垂線也如甲乙之平面正立一丙丁線不偏不倚此即為平面上所立之垂線矣第二凡兩平面相對其所立衆垂線度俱各相等則此相對之平面謂之平行面也如甲乙丙丁二平面間所有戊己衆垂線之度俱相等此甲乙丙丁二平面即為平行面矣第三平面上復立一平面無少偏倚其兩邊所成之角必皆為直角則謂之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面無偏無倚兩邊亦俱成直角此即為平面上所立之直面矣第四凡各面相合其每面之角所合處復成一種體角則謂之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者為各瓣相併所成之厚角也如甲圖四面為四瓣相併所生之厚角乙圖五面為五瓣相併所生之厚角是己第五凡各面相併所成之厚角如將各面計之則其衆角所合之分必不足於四直角度也如甲圖五面合成之厚角若將其五面展開使平作乙丙丁戊己平面之五瓣復以甲為心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相離處不能滿甲圜之周界矣因其不滿於圜之周界故比四直角為不足也或以四直角分强欲作一厚角則其瓣過於大必不能成平面所合之厚角矣第六凡等邊三面所合厚角其三面内之兩面角倂之必大於一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角將乙甲丙丙甲丁二面倂之必大於一直角度矣依前節法將甲厚角展開使平雖不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而併之則較之一直角度為大焉何以見之夫三面展開其所離之虛分仍有三面之分以三面之實分合三面之虛分則為六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角則三角必得二直角三角既得二直角則二角相倂必大於一直角可知矣第七凡平面二線交處作一垂線正立而無偏倚此線任在平面各處俱為垂線如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二線相交己處作一戊己垂線正立而不偏倚則此戊己線任在甲乙丙丁平面上某一處俱為垂線也假使戊己垂線不能正立而有所偏倚則如壬己線近於辛而離於庚矣壬己線既近於辛而離於庚則偏向於丁丙而逺於甲乙而壬己丁壬己丙之二角為鋭角壬己甲壬己乙之二角為鈍角矣戊己既如壬己則不得謂之甲丙丁乙二線相交處正立之垂線矣第八衆線交處立一垂線其各角若俱直此所交各線必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三線相交處立一戊己垂線其與衆線相接各角若俱直則此相交之三線必在一平面也夫衆線之相交固在平面而垂線之所立正所以考面或一角不直則不得謂之平面矣第九平面上若立二垂線必互為平行線如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂線則此二線互為平行線也試自辛過己至壬作一辛壬線則戊己庚辛二垂線所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何處所生之角俱是直角(見本卷首)(節)故戊己壬庚辛己二角俱為直角而相等也且此二角又為二線與一線相交所成之内外角其度既等則戊己庚辛二線必為平行線矣(如首卷第二十一節)第十有二線與一垂線平行雖不在平面之一界此三線亦互相為平行線也如甲乙丙丁二線俱與戊己一垂線平行不立於一直線上雖不居平面之一界此三線亦必互為平行線也試於甲乙丙丁戊己三線之末作一庚辛平面此平面上之戊己線為垂線其四圍平面所生之各角俱是直角矣復自乙過己自丁過己作相交二線則成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱為平行線一邉之内外角俱為相等角矣(見首卷第二十一節)而甲乙己丙丁己二角亦俱為直角夫甲乙丙丁二線在庚辛平面上所生之角皆直又皆與戊己垂線所生之角等則甲乙丙丁二線亦皆得為垂線其與戊己線為互相平行之三線可知矣第十一相對二平面之間横一直線此線在二平面上所生角若俱直則此相對二面互相為平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之間横一戊己直線此戊己線末所抵處其四圍俱成直角則此二平面互相為平行面矣試將此二平面之戊己横線所抵之處作甲乙庚辛相交二線丙丁壬癸相交二線則戊己横線於二平面各界所生之角俱為直角如甲乙丙丁二線與戊己横線相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交錯之角相等故甲乙丙丁相當之二線為平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交錯之角亦相等故庚辛壬癸相當二線亦為平行矣相對二平面之上所有之相當各二線既俱同為平行線則相對之二平面自然互為平行面矣第十二有二平行面橫交一面其相交處所生二線必平行如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交處所生二線亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交處所生二縫既在甲乙丙丁二平面之上自然與甲乙丙丁二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各線同為平行線且又在戊己一平面内其分自然相對故此二平面與一平面相交之縫線亦得為平行也第十三凡各種面内所積之實為體而皆因其面以名之焉如全體不成角度止現圓之圓面則謂之圓體甲乙圖是也全體各面俱平各邊相等所成各角又等則謂之平面正方體丙丁圖是也全體各面雖平體長而面成兩式其相對各面仍兩兩相等相對各邊則又平行角又相等此謂之平行長方體戊己圖是也體有曲平兩面相雜而不成等邊等面則謂之底平半圓體庚辛圖是也全體相對之各面不平行上下兩面平行則謂之上下面平行體壬癸圖是也體圓而上下面俱平則謂之長圓體子圖是也底為平面其各面俱合於一角而成厚角則謂之尖瓣體底三角者謂之三瓣尖體底四角者謂之四瓣尖體底衆角者謂之衆瓣尖體如丑寅卯三圖是也又或底面圓而漸鋭成形則謂之尖圓體辰圖是也第十四凡圓體長圓體尖圓體俱生於圜面故其外皮面積亦生於圜界一旋轉之度分耳如取甲乙丙丁之圓形則以甲乙徑線為樞心將甲丙乙半圓作轉式旋轉復還於原處即成甲丙乙丁一圓形體如取甲乙戊己平行面之長圓形則以甲乙中線為樞心將丙丁線界作轉式旋轉復還於原處即成甲乙戊己一長圓體如取甲丙丁平底尖圓形則以甲乙中線為樞心將甲丁邉線作轉式旋轉復還於原處即成甲乙丙丁一尖圓體矣第十五凡各體形其各面平行相當則相對兩邊面積俱相等如甲乙丙丁之正方體其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面俱各平行故相對二面之積自兩兩相等也第十六凡體面式不一而積等者為積數相等之體面式既同而體積又等者爲面式體積全等之體如甲乙二體為積數相等之體也丙丁二體為面式體積全等之體也第十七凡平行面之長方體自一面之對角線平分為兩三稜體此兩三稜體必爲面式體積全等之體矣如甲乙平行面長方體自丙丁二角至相對戊己二角分為兩段成戊丙乙丁己甲兩三稜體為面式體積全等體也試以甲丙庚戊辛丁乙己兩平面形自戊丙丁己兩對角線均分為兩三角形面則所分之戊庚丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面積俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面又互為平行必兩兩相等再對角線分成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一界所分必各相等今所分二形之各面既各相等則其積必等而為面式體積全等體無疑矣第十八凡平行二平面之間若同底立各平行體其積必相等設甲乙丙丁平行二平面之間於戊己庚辛底立壬庚癸己二平行體其積俱相等何也葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面與卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面與卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行故其各面之度相等其壬子辰卯之面與丑寅午癸一面俱與戊己庚辛一面平行其度亦必相等此二面之度既等則壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其上下各面度既等而平面兩三角形之各面各邉度又俱等則此壬庚癸己二平行體之積必然相等也可知矣第十九凡平行平面之間所有立於等積底之各平行體其積必俱相等設如甲乙丙丁平行二平面之間有戊己庚辛壬癸子丑二等積之底立一寅庚正靣平行體一卯子斜面平行體此二體之積必相等試自寅庚正面平行體之戊己庚辛底至卯子斜面平行體之卯辰午未面復作一卯庚斜面平行體則寅庚卯庚二體立於戊己庚辛之一底其積相等矣(如前節所云)而卯子卯庚二體又同立於卯辰午未之面其積亦必相等是以寅庚正面平行體卯子斜面平行體俱與卯庚平行體相等故云凡平行平面之間所有立於等積底之各平行體其積必俱相等也第二十平行平面之間有立於等積三角底之各三面體其積必俱等如甲乙丙丁平行二平面之間有子庚丑寅癸卯等積三角底立戊庚己辛癸壬之兩三面體此二體積必相等何以見之若以此二體之上邊二面之戊辰辰己二界平行作戊未己未二線辛午壬午二界平行作辛申壬申二線又於此二體之下邊二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉丑二線寅癸癸夘二界平行作寅戌戌卯二線則二體所生酉子庚丑戌寅癸卯四邊平行二底俱在子丑寅卯二對角線其度相等(見三卷第三節)其分比三角面各大一倍矣復於所作二底邊酉戌二處作酉未一縱線戌申一縱線即成未庚申癸平行面二方體矣其酉子庚丑戌寅癸卯二底既俱相等則所生之未庚申癸平行面之二方體亦自相等(見本)(卷第十九節)此未庚申癸平行面二方體既各相等則戊庚己辛癸壬之三面體為未庚申癸二方體之正一半其積必等無疑矣第二十一凡各種體形難以圖顯葢以圖止一面故也必用木石製之始能相肖况此各種形體又或有外實而内空者必按其形以求其理始可發明其精藴矣第二十二凡各面所成體形内其各面俱平行或上下面為平行而立於等積之底其體之髙又等則其體之積亦相等如甲乙體其各面俱平行又如丙丁體其上下面平行立於等積之底其髙又等或又如戊己體其上下面平行圓面積又等髙又等則其兩兩體積必相等矣又如庚辛壬癸之類尖體形苟立於等積之底其體之髙若等則其體之積亦相等何以見之若將衆尖體分為平行底之衆小體其所分衆小體之底度髙度必俱相等如子丑圖其所分小體之積俱等故其全體之積亦相等也第二十三凡上下面平行各體與平底尖體同底同髙者不論平面圓面其平底尖體皆得上下面平行體三分之一如甲乙上下面平行之長方體與丙丁四瓣尖體其乙丁兩底積等甲乙丙丁兩髙度又等則甲乙長方體與丙丁尖體三形等如戊己上下面平行之三稜體與庚辛三瓣尖體其己辛兩厎積等戊己庚辛兩髙度又等則戊己三稜體與庚辛尖體三形等又如壬癸上下面平行之長圓體與子丑尖圓體其癸丑兩底積等壬癸子丑兩高度又等則壬癸長圓體與子丑尖圓體三形等又如壬癸長圓體與甲乙戊己類體同底同髙則壬癸長圓體亦與丙丁庚辛類尖體三倍所合之數等又或子丑尖圓體與丙丁庚辛類尖體同底同髙則子丑尖圓體三倍之乃與甲乙一體戊己一體等也夫同底同髙上下面平行體既俱爲尖體之三倍則尖體為上下面平行體三分之一可知矣(葢甲乙戊己壬癸各體其式雖不同苟底積高度相)(等其積必等而丙丁庚辛子丑各體式雖不同苟底積高度相等其積亦必等)(故知丙丁庚辛子丑平底尖體互爲甲乙戊己壬癸上下面平行各體三分之)(一也如將上下面平行各體以木石為之分作同底同髙之各平底尖體用權)(衡以較其分量則各體之積分自昭然可見矣)第二十四凡長圓體外周面積與長方體底面積相等而長圓體半徑又與長方體高度相等則長圓體積必得長方體積之半也如甲乙丙丁長圓體其周圍外面積與戊己長方體之庚己底面積等而長圓體之壬丁半徑又與長方體之戊庚髙度等則此甲乙丙丁長圓體積必得戊己長方體積之一半也試將甲乙丙丁長圓體從壬癸中線至周圍外面分爲千萬分則成子丑己類千萬長尖體此千萬長尖體之髙與長圓體之壬子半徑等而千萬長尖體之共底即長圓體之周圍外面積則此千萬長尖體必爲戊己長方體之一半矣葢寅己辛三角面爲午己長方面之一半(見三卷第三節)而此子丑己類衆三角面與寅己辛三角面等(見四卷第二十節)子丑己類衆三角面既與寅己辛三角面等則子丑己類衆長尖體亦必與卯辰庚辛己寅三角體等此卯辰庚辛己寅三角體固爲戊己長方體之一半今長圓體所分之衆長尖體既與卯辰庚辛己寅三角體等則亦必爲戊己長方體之一半故甲乙丙丁長圓體爲戊己長方體之一半也第二十五凡球體外面積與尖圓體之底積等而球體之半徑與尖圓體之高度等則此球體之積與尖圓體之積等也如甲乙丙丁球體之外面積與己庚辛尖圓體之庚子辛癸底積等球體之甲戊半徑與尖圓體之己壬高度等則此球體之積爲與尖圓體之積等也試將球體從中心分爲千萬尖體復將尖圓體亦分爲千萬尖體則球體所分尖體毎一分必皆與尖圓體所分尖體一分等何也葢球體所分尖體皆以球體之外面爲底而以球體之甲戊半徑爲高其尖圓體所分尖體皆以尖圓體之底爲底而以尖圓體之己壬高爲高夫尖圓體之底積原與球體之外面積等而尖圓體之高度又與球體甲戊半徑等故此兩種千萬尖體皆爲同底同高其積相等無疑矣(見本卷第十八節)然此兩種千萬尖體即球體尖圓體之所分其所分之體既等則原體亦必相等可知故曰球體與尖圓體俱相等也第二十六凡各形外皮面積相等之體惟圓體所函之積數大於他種各體所函之積如甲乙丙丁外皮面積相等各形内甲圓體所函之積必大於乙丙丁直界體所函之積也何也大凡圓形其半圓周一旋轉間即成圓體此戊己庚半圓周一次旋轉即成甲圓體(見本卷第十四節)又凡平面圓界所函之積必大於等邉各形所函之積(見四卷第二十三節)平面圓界所函猶大於各等邉所函之積則圓體所函必大於各直界體所函之積可知矣第二十七厚角所成等面體形有五種各以面數而名之其一爲四面體每面有三角各三角之各三界度俱等如甲圖是也二爲六面體毎面俱爲正方其方面之四角俱爲直角而各界互等故又爲正方體如乙圖是也三爲八面體毎面有三角各三角之各三界度俱等如丙圖是也四爲十二面體每面有五角各五角之五界度俱等如丁圖是也五爲二十面體每面有三角各三角之各三界度俱等如戊圖是也第二十八前節發明五種厚角所成等面體形之外不能復生他形葢此五種厚角體俱是等邊三角四角五角之平面相合所成也凡平面自三界以下不能成面(見二)(卷首節)而厚角自三面以下亦不能成角故厚角自三面始如甲四面體其四厚角皆三平面三角形所合而成也乙八面體其六厚角皆四平面三角形所合而成也丙二十面體其十二厚角皆五平面三角形所合而成也然平面三角形所合過於五形則不能成厚角故平面六三角形合於一處即成庚形其甲乙丙丁戊己六角相合與四直角等(見首)(卷第十五節)既與四直角等則爲平面不成厚角矣(如本卷第五節)六形相合尚不能成厚角况多形乎是故平面三角形所生厚角體僅得四面八面二十面三種而已若夫平面正方四角形所成厚角如丁六面正方體其八厚角皆三平面四角形所合而成此外更無他形若將四平面四角形合於一處即成辛形其甲乙丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角矣故四角形所生厚角僅有一六面正方體而已至於平面五角形所成厚角如戊十二面體其二十厚角皆三平面五角形所合而成此外更無他形也或將四平面五角形如癸子丑寅之四角合於壬此四角俱爲鈍角必大於四直角既大於四直角在平面尚不能相合厚角豈能成耶是以平面五角形所成之厚角僅有一十二面體而已或將平面六角形之三形合於一處爲癸其甲乙丙三角度與四直角等故不成厚角六角平面相合既不成厚角其七角八角等形愈不能成厚角矣故曰四面六面八面十二面二十面五種體只在三角四角五角三種平面形所生此外不能復成他形也御製數理精藴上編卷二
## 上編卷三
欽定四庫全書御製數理精藴上編卷三幾何原本六幾何原本七幾何原本八幾何原本九幾何原本十幾何原本六第一大凡欲論諸物之不齊必借同類之物以比之始可以得其不齊之度數如一線與他線相比其度之或長或短其數之或多或少自能見之如一面與他面相比其面度之或大或小其積數之或多或少自能見之又如一體與他體相比其體度之或厚或薄其積數之或多或少亦自能見之若將一線與一面相比或一面與一體相比既不同類又不同形則線之長短面之大小體之厚薄俱不可辯矣故曰欲論諸物之不齊必借同類之物以比之也第二將兩數相比其度互為大小則謂之比例其比者與所比者俱謂之率(率者)(法也矩也以數互相準之之謂也)其比之數為前率其所比之數為後率如甲乙二數互相為比其相較之分甲數之度為長其分為多乙數之度為短其分為少如是以比之故謂之二率甲為比之之數故謂之前率乙為所比之數故謂之後率焉第三有四率兩兩相比其一率與二率之比同於三率與四率之比則謂之同理比例也如甲乙丙丁四數甲與乙比丙與丁比苟乙為甲六分之五丁為丙六分之五則甲與乙之比例丙與丁之比例此兩比例相同而乙有甲㡬分之數即可知丁有丙㡬分之數矣故凡四率内將一率與三率分數定為相等二率與四率分數亦定為相等其度之長短雖有不同苟分數定準則一率與二率之比即如三率與四率之比也夫甲乙丙丁四線内甲第一線與丙第三線俱各定為六分乙第二線與丁第四線俱各定為五分則甲度之長雖大於丙度之長其分數則俱為六而乙度之長雖大於丁度之長其分數亦俱為五故知乙第二線度與甲第一線度之六分之五分相等丁第四線度亦與丙第三線度之六分之五分相等所以甲線之比乙線即如丙線之比丁線而謂之同理比例也第四凡四率兩兩相比其一率與二率相比之分若大於三率與四率相比之分則為不同理之比例而比例不得行也如有甲乙丙丁四數甲與乙丙與丁各互相為比苟甲第一數與乙第二數相比之分為六與四其丙第三數與丁第四數相比之分為五與四則此甲與乙之比大於彼丙與丁之比矣故凡如此例者以一率二率相比之分為凖則三率四率相比之分為小若依三率四率相比之分為準則一率二率相比之分又大故謂之不同理之比例而比例四率不能行也第五凡有四率一率之度與二率之度相比分數若同於三率之度與四率之度相比分數則此四率又謂之相當比例四率焉如甲乙丙丁四線苟甲線與乙線相比之度與丙線與丁線相比之度其分數同則此四線謂之各相當線而毎兩率相比其毎度之分數同故又謂之相當比例四率也第六凡三率互相為比其一率與二率之比同於二率與三率之比則謂之相連比例率也如甲乙丙三數互相為比苟甲數與乙數之比同扵乙數與丙數之比則此甲乙丙三數謂之相連比例率矣若相連比例率内將一率與三率比之則為隔一位加一倍之比例或有相連比例四率將一率與四率比之則為隔二位加二倍之比例大凡有幾率隔幾位以比者皆以隔幾位而為加幾倍之比例也如甲乙丙相連比例率内其甲與丙之比為隔一位加一倍之比例又或甲乙丙丁戊五數俱為相連比例率其甲與丁之比即為隔二位加二倍之比例而甲與戊之比則又為隔三位加三倍之比例矣第七相當比例四率為數學之要因其理之所該最廣故設為雙圜圖以申明之立甲㸃為心作乙丙一大圜丁戊一小圜此二圜界各具三百六十度故皆可以為三百六十分(首卷第十七節云凡圜無論大小俱定為三百)(六十度)於是自圜之甲心過小圜界之辛壬二處至大圜己庚二處作二線則大圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲角此甲角相對之己庚弧界設為六十度則為乙丙大圜三百六十分中之六十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既為六十分則丁戊小圜之辛壬弧界度亦為六十分矣大凡角度俱定於相對之圜界(見首卷第九節)今此大圜之己庚弧界小圜之辛壬弧界俱與一甲角相對其度雖依圜之大小不同而分數則等分數既等則大圜小圜大弧小弧兩兩互相為比即如四率之兩兩相比為同理比例矣是以大圜之三百六十分為一率自大圜所分之己庚弧之六十分為二率小圜之三百六十分為三率自小圜所分之辛壬弧之六十分為四率其乙丙大全圜與本圜己庚分之比即同於丁戊小全圜與本圜辛壬分之比也故凡各率各度雖異相當之分數若同則一率與二率之比必同於三率與四率之比而俱謂之順推比例矣要之分合加減各率之法總不越此圖之互轉相較之理也第八一種反推比例將一率與二率之比同於三率與四率之比者反推之以二率與一率為比四率與三率為比其所比之例仍同故亦謂之相當比例率也如甲乙丙丁四數將甲與乙之比同於丙與丁之比反推之以乙與甲為比丁與丙為比則所比之例仍同於相當比例率焉以前雙圜圖解之葢甲數與乙數之比例即乙丙大圜全界與所分己庚弧界之比例丙數與丁數之比例即丁戊小圜全界與所分辛壬弧界之比例也今反以乙與甲為比丁與丙為比即如以乙丙大圜所分之己庚弧界與乙丙大圜全界為比丁戊小圜所分之辛壬弧界與丁戊小圜全界為比也因其以二率為一率以三率為四率前後互移故謂之反推比例然名雖為反推比例而相當比例之率仍與順推比例相同也第九一種遞轉比例將一率與二率之比同於三率與四率之比者轉較之以一率與三率為比二率與四率為比其所比之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁四數將甲與乙之比同於丙與丁之比轉較之以甲與丙為比乙與丁為比則所比之例仍同於相當比例率也如前雙圜圖 乙丙大圜全界一率與所分巳庚弧界二率之比同於丁戊小圜全界三率與所分辛壬弧界四率之比若轉較之以乙丙大圜之一率與丁戊小圜之三率為比大圜所分之巳庚弧界二率與小圜所分之辛壬弧界四率為比其度雖依圜之大小有異而分數則同其比例仍同於原比例故甲乙丙丁之四數亦如大小二圜為互相比例之率而甲一率與丙三率之比即大圜與小圜之比乙二率與丁四率之比即大圜所分弧界與小圜所分弧界之比也葢以三率為二率以二率為三率遞轉相較故謂之遞轉比例其相當比例之四率雖遞轉以較之亦仍為相當比例之四率也第十一種分數比例彼四率之中以一率與二率之比同於三率與四率之比矣若將此相比之率所較之分截開以一率與二率之較為一率與二率為比以三率與四率之較為三率與四率為比則其所比之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁四數於甲數内減去乙數之分為戊巳丙數内減去丁數之分為庚辛乃以戊己易甲與乙線為比以庚辛易丙與丁線為比則所比之例仍同於相當比例率也如前雙圜圖 於乙丙大圜全界内減去所分己庚弧界一段仍與己庚弧界為比丁戊小圜全界内減去所分辛壬弧界一段仍與辛壬弧界為比亦與大圜全界與大圜所分弧界小圜全界與小圜所分弧界相比之理同故此甲線内截去乙所成戊己仍與乙相比即如乙丙大圜全分截去己庚弧界一段仍與己庚弧界相比而丙線内截去丁所成庚辛仍與丁相比即如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段仍與辛壬弧界相比也其比例仍同於相當比例四率但因其各分内有分開相減之故所以謂之分數比例也第十一一種合數比例有四率以一率與二率之比同於三率與四率之比矣若將此相比之率併之以一率與二率相加為一率仍與二率為比以三率與四率相加為三率仍與四率為比其所比之例亦仍同於相當比例之四率也如甲乙丙丁四數以甲數與乙數相加共為一率與乙數為比丙數與丁數相加共為三率與丁數為比則所比之例仍同於相當比例四率也此合數比例與分數比例之理互相對待彼分數比例以雙圜圖 二圜全界内減去所分弧界一段仍與所分弧界一段為比今此合數比例即如二圜全界内所分大段加入所分弧界一小段即是全界而與所分弧界一段為比也其所比之理仍同於相當比例四率但因有相加之加故謂之合數比例焉第十二一種更數比例以一率與二率之比同於三率與四率之比者更之將一率與二率相減用其餘分為二率仍與一率為比又將三率與四率相減用其餘分為四率仍與三率為比則其比例之理仍同於相當比例四率也如甲乙丙丁四數於甲第一率内減去乙第二率所餘為戊己乃以戊己立乙第二率之位而以甲與戊己為比復於丙第三率内減去丁第四率所餘為庚辛乃以庚辛立丁第四率之位而以丙與庚辛為比其所比之理仍同於四率之比例故亦為相當比例之四率也今以雙圜圖解之 乙丙大圜三百六十度之全界仍為一率全界内減去所所分之巳庚弧界六十度一段餘己丙庚三百度一大段 為二率丁戊小圜三百六十度之全界 仍為三率全界内減去所分之辛壬弧界六十度一段餘辛戊壬三百度一大段 為四率則乙丙大圜三百六十度之全界如甲所更之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜三百六十度之全界如丙所更之辛戊壬三百度如庚辛故其四率之兩相比例亦同為相當比例率也凡四率之内前後之相差雖更入比之仍與相當比例之理同但以其數有更入之故所以謂之更數比例也第十三一種隔位比例有兩相比例四率将此一邉四率内一率與末率為比彼一邊四率内一率與末率為比則其所比之例仍同於相當比例四率也如此一邊有甲乙丙丁四數彼一邊有戊己庚辛四數此甲與乙之比同於彼戊與己之比此乙與丙之比同於彼已與庚之比此丙與丁之比同於彼庚與辛之比若将此四率隔位比之使此一邊之甲與丁為比以彼一邊之戊與辛為比則其比例仍同於相當比例四率也試以雙圜圖之大小圜所分各弧界之兩線引長 自庚壬過甲至癸丑作一全徑線復自己辛過甲至子寅作一全徑線則分大圜為庚巳己丑丑寅寅庚四段分小圜為壬辛辛癸癸子子壬四段其大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段為相當四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬四段亦為相當四率此二圜之所分四段既俱為相當四率則其各相比例度之大小雖異而分數相同故大圜之庚己一段與已丑一段之比同於小圜之壬辛一段與辛癸一段之比大圜之已丑一段與丑寅一段之比同於小圜之辛癸一段與癸子一段之比大圜之丑寅一段與寅庚一段之比同於小圜之癸子一段與子壬一段之比也若以此各相當四率隔位以比之其大圜之庚已一段與寅庚一段為比而小圜之壬辛一段與子壬一段為比其比例仍同於相當比例四率但以其兩邊各相比例四率内各取兩率隔位以比之故謂之隔位比例耳第十四一種錯綜比例有兩連比例三率此一邊三率内中率與末率之比同於彼一邊三率内中率與末率之比則為相當比例之四率苟錯綜其位分以此一邊首率與末率隔位為比復取另一數與彼一邊中率為比而成同理之四率則此另一數必與彼邊三率為連比例四率矣如此一邊有甲乙丙連比例三數彼一邊有丁戊已連比例三數将此一邉中率乙數與末率丙數之比同於彼一邊中率戊數與彼一邉末率己數之比則其比例為同理比例矣今錯綜其位分使此一邊所有之首率甲數與所有之末率丙數隔位為比復另取一庚數與彼一邊所有之中率戊數為比則其比例亦同於相當比例四率而此庚數與彼邊丁戊己三率為連比例之數矣何也試以庚數置於彼一邊丁首率之上則庚為首率而丁移而為中率戊又易而為末率是故此一邊甲首率與丙末率之比同於彼一邊所取庚首率與所易戊末率之比但以兩連比例率互相易位増入比之之不同故名之為錯綜比例耳第十五一種加分比例凡有二率依本度各加幾倍所加之分數若等則所成之二率互相為比仍同於原二率之互相為比謂之等倍相加之比例也如甲乙二數於甲數依本度加三倍為丙於乙數依本度加三倍為丁則此丙丁二數互相為比仍同於甲乙二數之互相為比也假若甲度為一大分乙度為一小分則甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成四小分之丁以四大分之丙比四小分之丁以一大分之甲比一小分之乙其相當之分數既等固為同理比例可知矣(見本卷第三節)故凡二率依本度各加幾倍其所加之分數若等其加分之率互相為比必同於原率之互相為比因於原數有相加之分故謂之加分比例也第十六一種減分比例凡有二率依度度各減幾倍所減之分數若俱等則所成之二率互相為比仍同於原二率之互相為比謂之等分相減之比例也如有甲乙丙丁二數其甲乙之三分内減去甲戊一分丙丁之三分内減去丙己一分則戊乙己丁互相為比仍同於原甲乙丙丁全數之互相為比也何也夫甲乙度為三尺丙丁度為三寸自甲乙度内減去一尺則為戊乙自丙丁度内減去一寸則為己丁以所餘之戊乙二尺與所餘之已丁二寸為比以甲乙之全三尺與丙丁之全三寸為比其相當之分數必等故亦為同理比例矣凡二率之内無論減幾分其所減之分數若等則相比之理必同於原數之比例因於原數内減之故又謂之減分比例也幾何原本七第一前卷所論比例之法凡一十有二(相當比例)(一種相連比例一種正比例一種反比例一種遞轉比例一種分數比例一種)(合數比例一種更數比例一種隔位比例一種錯綜比例一種加分比例一種)(減分比例一種)雖種種變化不窮其每相當分數所成之率依然一理故其相比之例俱同而皆為相當比例四率也是故線與線為比面與面為比體與體為比依前各種比例之法線之比例若同則為相當比例線面之比例若同則為相當比例面體之比例若同則為相當比例體矣夫線面體為類不同雖不能互相為比假使線面體之每相當分數若等則按其各類相當分數比之亦為同理比例率也如甲之六分線與乙之三分線相比丙之六分面與丁之三分面相比戌之六分體與已之三分體相比此三種每相當分數既俱相等故其比例亦俱相等而六率互為同理比例可知矣第二大凡直角平方面積皆生於二線之度故欲知方面所生比例之分將其二形之縱横線分考之即可得而知矣如甲乙丙丁直角平方之二面欲知其所生比例之分則視甲乙大形之甲戊横線長度得彼丙丁小形之丙己横線長度為三倍而甲乙大形之甲庚縱線寛度得彼丙丁小形之丙辛縱線寛度為二倍假若將甲乙大形自中線平分為甲癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊横線長度既仍與丙己横線長度為三倍其所分之甲癸形必與丙丁三形相等再彼壬乙形亦與丙丁三形相等則此二形相合之甲乙一全形比之丙丁小形為六分可知矣又或甲乙大形之甲戊横線長度得丙丁小形之丙己横線長度為四倍甲乙大形之甲庚縱線寛度得丙丁小形之丙辛縱線寛度為三倍則大形與小形四倍者有三而大形比小形為十二分可知矣再或甲乙大形之甲戊横線比丙丁小形之丙己横線為十二倍丙丁小形之丙辛縱線反比甲乙大形之甲庚縱線為三倍則甲乙大形之甲戊横線之長雖比丙丁小形之丙己横線之長多十一倍而甲乙大形之甲庚縱線之寛又比丙丁小形之丙辛縱線之寛少二倍矣將此縱横二線之多少較之甲乙大形比丙丁小形為四倍而丙丁小形為甲乙大形之四分之一於是以二形之縱横多少互相較對以比例之始得知此形與彼形之比例焉故凡直角平方面形與他一形相比其比例有二以此形之長與他形之長比之為一比例以此形之寛與他形之寛比之為一比例兩形相比之間而兼兩比例者正以平面之積自二線之度生之之故也第三有兩直角方面形若將此方面横界與他方面横界為比又將他方面縱界與此方面縱界為比其比例若同則此兩方面必相等也如甲乙丙丁兩方面形甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己横界大一倍而丙丁形之丙庚縱界比甲乙形之甲辛縱界亦大一倍則甲乙丙丁兩形之分必相等是知兩方面形縱横之分互相較對則兩方面之積可知矣第四凡有相比例四率其二率與三率相乘一率與四率相乘則所得之分數俱相等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四率甲乙一率為二分丁戊二率為四分戊己三率為三分乙丙四率為六分將丁戊二率為縱線戊已三率為横線以之相乗又將甲乙一率為縱線乙丙四率為横線以之相乗其所得之丁己一方面形甲丙一方面形其分數俱是十二互相等矣然則丁已形之丁戊縱度雖比甲丙形之甲乙縱度大一半而丁已形之戊己横度復比甲丙形之乙丙横度少一半故其縱横互較之分相等而其積亦等也是故四率中凡有三率欲求其不知之一率將兩率之分相乘所得之數以一率之分除之即得其一率矣設如甲乙三分為一率丁戊六分為二率戊己五分為三率乙丙十分為四率今只知一率二率三率之分欲推四率則以丁戊六分二率與戊巳五分三率相乘為丁己三十分乃以甲乙三分一率除之即得乙丙十分四率矣此以小分為首率者也或知乙丙戊己丁戊之三率而推甲乙之一率則以乙丙十分為一率戊巳五分為二率丁戊六分為三率二率與三率相乘一率除之即得甲乙之四率矣此以大分為首率者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而推戊己之一率則以丁戊為一率甲乙為二率乙丙為三率二率與三率相乘一率除之即得戊己之四率矣此即反推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙之三率而推丁戊之一率則以戊己為一率甲乙為二率乙丙為三率二率與三率相乘一率除之即得丁戊之四率矣此即遞轉比例之理也第五凡有兩直角方面形此一方面之横界與他一方面横界為比此一方面之縱界與他一方面縱界為比其比例若等則此兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲戊横界為丙丁形丙己横界之二倍而甲乙形之甲庚縱界亦為丙丁形丙辛縱界之二倍則甲乙形面積與丙丁形面積之比比之甲乙形之一界與丙丁形之一界之比者即如連比例三率隔一位相加之比例矣葢甲乙方面之縱横界既為丙丁方面縱横界之二倍則甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有二二其二為四故甲乙方面積比丙丁方面積為四倍今甲乙方面積為一十六分與丙丁方面積之四分相比較之甲乙方界之四分與丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之四分之一而辛丁二得庚乙四之二分之一以四分比一分較之二分比一分不為二倍乎故欲求其比例相連之率則於甲乙形之界二倍之得八分與丙丁方界二分為比即如甲乙方面積十六與丙丁方面積四分之比矣夫八與十六四與八二與四皆二分之一之比例而十六隔八與四比八隔四與二比則皆成四分之一之比例故十六與四較之四與二為兩界上連比例隔一位相加之比例也又如甲乙方面之縱横界為丙丁方面縱横界之三倍則甲乙方面内如丙丁方面之三倍者有三三其三為九故甲乙之面積比丙丁面積為九倍今甲乙之積為三十六分與丙丁方面積四分相比較之甲乙方界之六分與丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一而辛丁二得庚乙六之三分之一以九分比一分較之三分比一分不為三倍乎故欲求其比例相連之率則於甲乙形之界三倍之得十八與丙丁方界二分為比即如甲乙方面積三十六與丙丁方面積四之比例矣葢十八與六六與二皆三分之一之比例而三十六隔十二與四比十八隔六與二比則皆為九分之一之比例故三十六與四較之六與二亦為兩界上連比例隔一位相加之比例也第六凡直角方面形有二種一為長方一為正方因其縱横界之比例各異故其所生之形不同而積不得互相為比也如欲比之必以長方與長方為比正方與正方為比其比例始行如甲乙丙丁兩長方面形其甲乙形之甲戊横界與丙丁形之丙己横界為大一倍甲乙形之甲庚縱界與丙丁形之丙辛縱界亦為大一倍其比例相同若以甲乙形之甲戊横界與丙丁形之丙辛縱界為比則大三倍而甲乙形之甲庚縱界與丙丁形之丙己横界為比止大一分猶不得大一倍其比例則異故甲乙形所生之積為二十四而丙丁形所生之積為六俱為長方形焉又如子丑寅夘兩正方形其子丑形之子辰横界與寅卯形之寅已横界之比子丑形之子午縱界與寅卯形之寅未縱界之比俱為大三倍而比例相同復以子丑形之子辰横界與寅卯形之寅未縱界為比子丑形之子午縱界與寅卯形之寅已横界為比亦各大三倍而比例相同故子丑形所生之積為三十六而寅夘形所生之積為四俱為正方形焉以此四形兩兩相比則甲乙長方形與丙丁長方形為比而子丑正方形與寅卯正方形為比各為相當比例之四方面也第七有兩同式長方面於兩形相當之二界各作兩正方面互相為比即同原兩長方面之互相為比也如甲乙丙丁兩直角長方面在甲戊丙己相當二横界各作甲庚丙辛兩正方面則所作甲庚丙辛兩正方面互相為比即同於原有之甲乙丙丁相同之兩長方面之互相為比也夫甲乙丙丁同式之兩長方面積既為隔一位相加之比例則所作甲庚丙辛同式之正方面積亦必為隔一位相加之比例然則甲乙丙丁原有之兩面互相為比與所作甲庚丙辛之正方面之互相為比其為同理之比例無疑矣第八大凡二平行線内所有直角方面互相為比同於其底之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有甲已庚丁兩直角方面其甲已面與庚丁面之比即同於甲已面之丙己底線與庚丁面之辛丁底線之比也葢甲巳面之丙巳底線與庚丁面之辛丁底線為三倍而甲巳面之甲丙縱線與庚丁面之庚辛縱線因同在二平行線内其度固同今以二面縱線俱依庚丁面之庚辛分數分之皆為四倍則甲巳面為一十二分而庚丁面為四分矣以甲己面之十二分與庚丁面之四分為比即如甲己面之丙己底三分與庚丁面之辛丁底一分之比故其比例相同也第九凡二平行線内所有二界平行斜方面互相為比同於其底界度之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有甲戊乙丁兩斜方面積互相為比即同於丙戊巳丁兩底界之互相為比也試將甲戊乙丁兩斜方面之丙戊己丁兩底界上立庚戊辛丁兩直角面則此兩直角面因與兩斜方面同底同髙其積必等(見三)(卷第八節)前節言凡二平行線内所有直角方面互相為比同於其底之互相為比此甲戊乙丁兩斜方面既與同底所立庚戊辛丁兩直角面相等則甲戊乙丁兩斜方面互相為比必同於丙戊己丁兩底界之互相為比可知矣故凡二平行線内所有面積相比之分數必與底界相比之分數同也第十凡二平行線内所有三角形面積互相為比亦同於其底界度之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有戊己庚辛壬癸兩三角形其内所函面積互相為比即同於巳庚壬癸兩底界之互相為比也何也凡二平行線内所有三角形得其同底所立四邊形之一半今以甲乙丙丁二平行線内之戊己庚三角形同底立一戊巳庚子四邊形辛壬癸三角形同底立一辛壬癸丑四邊形則戊巳庚三角形為戊巳庚子四邊形之一半而辛壬癸三角形為辛壬癸丑四邊形之一半如以兩三角形面積互相為比即同於兩四邊形面積之互相為比而為相當比例四率矣其面積既互相為比則其兩三角形面積相比同於兩三角形底之相比者亦如兩四邊形相比同於兩四邊形底之相比矣然則戊巳庚辛壬癸兩三角形面積互相為比必同於巳庚壬癸兩底界互相為比者可知也今壬癸底界既比己庚底界大一倍故辛壬癸三角形面積必比戊巳庚三角形面積亦大一倍也㡬何原本八第一凡三角形内與其底線平行作一直線則所截三角形之兩邊線互相為比例線其兩邊線所分各二叚互相為比為相當比例四率而每邊所截之一叚與本全線比之亦為相當比例四率也如甲乙丙三角形内與乙丙底線平行作一丁戊線則分甲乙一邊為甲丁丁乙二叚分甲丙一邊為甲戊戊丙二叚其甲乙一邊之甲丁丁乙二叚互相為比甲丙一邊之甲戊戊丙二叚互相為比其比例俱同為相當比例四率矣又如甲乙一邊之甲丁一叚與本邊甲乙全線為比甲丙一邊之甲戊一叚與本邊甲丙全線為比其比例亦俱同為相當比例四率矣今以三角形按所截分分為各式以各式面積互相比者考之自丁戊線之丁戊二端作丁丙戊乙二線則甲乙丙一三角形分為四三角形此四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊兩三角形既在乙丙丁戊二平行線之間又共立於一丁戊之底其二形之積必等(見三卷第十節)於此二形各加一所截甲丁戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙兩三角形其積亦必相等又如甲丁戊乙丁戊兩三角形之底俱在甲乙一直線上而兩三角形之戊角又共在一戊處其兩形必在二平行線之間而甲丁戊丙丁戊兩三角形之底俱在甲丙一直線上而兩三角形之丁角又共在一丁處其兩形亦在二平行線之間(見三卷第十二節)因各三角形兩兩俱為二平行線所限故其面積互相為比必同於其底界之互相為比也(見七卷第十節)此所以甲丁戊丙丁戊兩三角形積互相為比與其甲戊戊丙兩底線之互相為比同其甲丁戊乙丁戊兩三角形積互相為比與其甲丁丁乙兩底線之互相為比亦同也冄甲乙戊三角形之積既與甲丙丁三角形之積相等則以甲乙丙之全形與所分之甲乙戊三角形或與所分之甲丙丁三角形相比其比例必俱相同而甲丙丁三角形之甲丁底與甲丙乙全形之甲乙底互相為比甲乙戊三角形之甲戊底與甲乙丙全形之甲丙底互相為比亦必俱相同矣因其各三角形得互相為比例故其所截兩邊線兩兩為相當比例率也第二凡三角形内與底平行作一直線其所截兩邊線之每一叚與各邊全線之比即同於所作線與底線之比也如甲乙丙三角形内與乙丙底平行作一丁戊線此丁戊線所截甲丁一叚與甲乙全線之比甲戊一叚與甲丙全線之比皆如丁戊線與乙丙底線之相比也假若將甲乙丙三角形之甲乙邊線為底而與甲乙底線平行作一戊己線即成戊巳乙丁四邊長方形其兩兩平行線之度俱各相等然三角形之兩邊與所截之每叚既互相為比(如前節所云)則此乙丙邊之乙己一叚與乙丙邊全線之比即同於彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊全線之比而丁戊之平行線既與乙已平行線度相等則此丁戊平行線與原底乙丙線之比亦必同於彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊全線之比矣故甲戊叚為一率甲丙邊全線為二率丁戊平行線為三率乙丙底線為四率為相當比例四率也又如甲乙邊之甲丁一叚與甲乙邊全線之比既同於丁戊平行線與乙丙底線之比則甲丁叚為一率甲乙邊全線為二率丁戊平行線為三率乙丙底線為四率亦為相當比例四率也苟甲乙邊全線為六分則甲丁叚得其六分之二分乙丙邊全線為六分則丁戊叚亦得其六分之二分所以成兩兩相當比例之率也第三凡大小兩三角形其相當之二角度若兩兩相等則其餘一角亦必相等如此類兩三角形謂之同式三角形也雖其内容積分不同而其相當各界互相為比俱為相當比例之率焉如甲乙丙丁戊己大小兩三角形其甲角與丁角等乙角與戊角等則所餘丙角必與己角等而為同式三角形也(二卷第三節言凡三角形之三)(角相併與二直角等則此大小兩三角形之各三角相併亦俱為二直角於二)(直角中减去大形之甲角乙角餘為丙角減去小形之丁角戊角餘為己角其)(所減之數既等則所餘之數亦必等矣)若於大形内與乙丙平行作庚辛線與甲乙平行作辛壬線則成甲庚辛辛壬丙兩小三角形此兩小形之相當角度與大形之相當角度亦必俱等故皆謂之同式形也凡同式之形其容積雖不一而其各界互相為比皆為相當比例之四率是故以大三角形之甲乙全線與所截甲庚一叚之比即如大三角形之甲乙一邊與小三角形之相當丁戊一邊之比也大三角形之甲丙全線與所截甲辛一叚之比即如大三角形之甲丙一邊與小三角形之相當丁巳一邊之比也大三角形之乙丙底線與所截庚辛底線之比即如大三角形之乙丙底線與小三角形之戊已底線之比也至於甲乙丙大三角形與所截辛壬丙小三角形相當各界之比亦如甲乙丙大三角形與丁戊已小三角形相當各界之比也由此推之凡同式之形其相當各界互相為比皆為相當比例之率可知矣第四同式直角三角形面積互相為比同於三角形各相當界所作方形之互相為比而同式三角形面積互相為比者比之各相當界互相為比則為連比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊巳兩同式直角三角形其面積互相為比即同於此兩三角形之乙丙戊巳相當二界所作庚乙辛戊兩方形互相為比之比例而此兩三角形之面積互相為比比之乙丙戊已相當二界互相為比之比例則為連比例内隔一位相加之比例矣葢兩三角形之乙戊二角俱為直角若與乙丙戊巳二線平行作甲壬丁癸二線又與甲乙丁戊二線平行作壬丙癸己二線即成壬乙癸戊兩直角長方形此甲乙丙丁戊己兩三角形因與所作壬乙癸戊兩直角長方形在二平行線内同為一底其積為一半將半與半相比者即同於全與全之相比故甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比必同於壬乙癸戊兩直角長方形互相為比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁戊各相當二界所作壬乙癸戊兩長方形互相為比之比例既與甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比之比例同則依乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩正方形互相為比之比例亦與壬乙癸戊兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比之比例同矣又凡直角兩方形其兩界互相為比之比例若俱同則兩形面積互相為比之比例較之兩界互相為比之比例為隔一位相加之比例(見七卷第五節)今甲乙丙丁戊己兩三角形之各依底線所作正方形互相為比較之二底線互相為比之比例即為隔一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己兩三角形之面積互相為比者既與所作庚乙辛戊兩正方形面積互相為比之比例同則此所作兩正方形面積相比較之兩底相比為隔一位相加之比例而甲乙丙丁戊己兩三角形面積互相為比較之乙丙戊己相當二界互相為比之比例亦為隔一位相加之比例可知矣第五同式無直角三角形面積互相為比同於三角形各相當界所作方形之互相為比而三角形面積互相為比者比之各相當界互相為比則為連比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己兩同式三角形雖無直角然其相當各角俱等則此兩形面積互相為比同於在此兩形之甲乙丁戊相當二界所作方形互相為比之比例而兩形之面積互相為比者比之甲乙丁戊相當二界互相為比之比例則為連比例内隔一位相加之比例矣試自兩形之丙己二角與甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛各一線又自甲丁二角至庚辛二線之末作甲庚丁辛二線又與此二線平行自乙戊二角至壬癸二處作乙壬戊癸二線成庚乙辛戊兩直角長方形此兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形俱在兩平行線内又同為一底則此兩三角形面積為彼庚乙辛戊兩長方形之一半將半與半相比者同於全與全之相比故甲乙丙丁戊己兩三角形面積之比例必同於庚乙辛戊兩長方形之比例矣夫同式兩長方形之比例同於相當界所立正方形之比例而同式正方形之比例比之各相當界之比例為連比例隔一位相加之比例今此兩三角形面積之比例既同於庚乙辛戊兩長方之比例亦必同於兩正方之比例則兩三角形面積之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例可知矣第六有衆多邊形其邊數同相當各角俱等而相當界之比例又同則謂之同式形也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小兩多邊形其邊數俱為五其相當甲己二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊癸二角各度俱等而甲乙邊與己庚邊之比即同於乙丙邊與庚辛邊之比其相當邊互相比之俱同者即謂之同式多邊形也又如衆曲線形於其内外作各種直界形其式若同則謂之同式曲線形也假如有甲乙大小兩曲線形在甲大形内作一丙丁戊己庚五邊形在乙小形内作一辛壬癸子丑五邊形此所作兩五邊形之式若同則曲線形之式必同又如甲乙大小兩曲線形在甲大形外作一丙丁戊己四邊形在乙小形外作一庚辛壬癸四邊形此所作兩四邊形之式若同其曲線形之式亦必同故皆謂之同式曲線形也或如甲乙丙丁大小兩圜分於大圜分内作一戊甲乙三角形於小圜分内作一己丙丁三角形此所作兩三角形之式若同則圜分之式亦必同故謂之同式圜分也第七大小各圜分之式若同則其相對之圜心角度必俱等也如甲乙丙丁大小兩圜之戊甲己庚丙辛兩分之式相同其弧雖隨圜之大小各殊而自圜所分之度必同其各叚所對二圜之壬癸心角度亦等矣夫戊甲己與庚丙辛兩叚式既同則此内所函甲戊己丙庚辛兩三角形之甲丙相當兩界角之度必等若自甲丙二角過二圜心壬癸至對界乙丁作甲壬乙丙癸丁二線則成兩界角與兩心角葢心角大於界角一倍故甲乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大一倍今將戊壬乙乙壬己兩心角併之戊甲乙乙甲己兩界角併之則所併之心角亦必比所併之界角大一倍矣而丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛兩心角併之亦必比庚丙丁丁丙辛所併之兩界角大一倍夫兩圜之兩界角度既等而兩圜之所併之心角度又等則兩界角相對之戊乙己庚丁辛兩弧叚之分數亦必相等界角所對之弧分既等則心角所對之弧分亦必相等心角所對之弧分即為甲丙二界角相對之壬癸二心角之度也第八凡大小同式多邊形分為衆三角形其相當三角形之式俱相同也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形自大形甲角至丙丁二角自小形己角至辛壬二角各作二線則大形分為甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形小形分為己庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙丙之形與相當己庚辛之形同式甲丙丁之形與相當己辛壬之形同式甲丁戊之形與相當己壬癸之形同式因其所分各三角形俱為同式故相當各角度必等相當各角度既等則其相當各界之比例亦必俱同自五邊形所分之各三角形之相當界互相為比之比例既同則五邊形之相當各界互相為比之比例亦必同相當各界之比例相同則兩形之式相同可知矣第九凡大小同式多邊形互相為比同於各形相當界所作方形之互相為比而比之各面相當界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形於大形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙丑辛大小兩方形其大小五邊形互相為比必同於所作子丙丑辛大小二方形之互相為比大小五邊形既同於大小兩方形之互相為比則比之丙丁辛壬相當二界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例矣若將甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩形分為衆三角形則相當各三角形之式必同相當各三角形之式既同則相當各三角形互相為比即同於在三角形各相當界所作方形之互相為比而各三角形面積之互相為比較之各相當界互相為比之比例亦為連比例隔一位相加之比例夫所分衆三角形互相為比既同於所作方形之互相為比則衆三角形所合甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五邊形互相為比亦必同於丙丁辛壬相當界所作子丙丑辛大小兩方形之互相為比而比之丙丁辛壬相當界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例可知矣第十凡大小同式直界形互相為比同於在所比各形内外所有同式形之各相當界所作正方形之互相為比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小兩直界形於此二形内所函之甲丙丁己庚壬癸丑二同式四邊形之甲丙庚壬相當二界作寅丙卯壬正方形則兩直界形互相為比即同於兩正方形之互相為比也若將甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑兩六邊形俱分為三角形則其相當各三角形之式俱相同而相當各三角形互相為比必同於甲丙庚壬相當二界所作寅丙卯壬正方形之互相為比矣此所分三角形之比例既同於所作正方形之比例則大小兩形内各三角形之甲丙庚壬界又為兩四邊形之共界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑兩同式形互相為比亦必同於其所函之甲丙丁己庚壬癸丑兩四邊形之甲丙庚壬兩相當界所作寅丙卯壬兩正方形之互相為比可知矣第十一凡大小同式曲界形互相為比同於在所比各形内外所有同式形之各相當界所作正方形之互相為比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此二圜之中雖各函一同式六邊形各函一同式四邊形又各函衆同式三角形此大小二圜之積互相為比必同於在圜内所函同式形之甲丙庚壬相當二界所作寅丙卯壬正方形之互相為比也大凡衆界形或函圜或函於圜其界數愈多愈與圜界相近而圜界分為千萬叚即成千萬直界形(見四卷第十九二十等節)則大小兩圜之比例固與内函相當直界形之比例等矣夫相當直界形之比例原同於兩形之相當界所作方形之比例而圜界形之比例又同於相當直界形之比例則此大小二圜互相為比之比例同於此二圜之輻線或徑線所作正方形互相為比之比例可知矣第十二凡圓面徑與撱圓面(一名鴨蛋形)髙度等者其面積互相為比之比例即同於函兩形各作切方形互相為比之比例而圓形面積與撱圓形面積互相為比之比例又同於圓形徑與撱圓形小徑互相為比之比例也如子壬寅癸之圓面子丑寅卯之撱圓面其子寅髙度俱同(圓徑)(即撱圓大徑)其面積互相為比之比例必同於圓面外所作切圓戊己庚辛正方形與撱圓面外所作切圓甲乙丙丁長方形互相為比之比例而子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓面互相為比之比例又同於圓面之壬癸徑與撱圓面之丑卯小徑互相為比之比例也葢平行線内兩面形互相為比之比例同於其底界互相為比之比例(見七卷第八節)今戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形皆在戊辛己庚平行線内故戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形互相為比之比例同於己庚底與乙丙底互相為比之比例而子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓面亦在戊辛己庚平行線内則子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓面互相為比之比例必同於戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形互相為比之比例矣然戊己庚辛正方形之己庚底即圓面壬癸徑度而甲乙丙丁長方形之乙丙底又即撱圓面之丑卯徑度也夫平圓與撱圓之比例既同於正方形與長方形之比例而正方形與長方形之比例又同於己庚底與乙丙底之比例則圓面與撱圓面之比例同於圓面之壬癸徑與撱圓面之丑卯徑之比例可知矣㡬何原本九第一凡直角三角形自直角至相對界作一垂線則一形分為兩形與原形共為三同式直角三角形而其比例俱相同也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線則甲乙丙一形分為甲丁乙甲丁丙兩形此所分兩形與原有甲乙丙形之式俱相同而皆為直角三角形其三形毎相當各界之比例亦俱相同也葢甲丁線既為垂線則兩傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱為直角(見首卷第十節)是故甲乙丙三角形之甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等而兩三角形又共一乙角其相當二角度既等則所餘各一角度自等(見八卷第三節)故甲乙丙之丙角與甲丁乙之甲角其度相等也而甲乙丙之甲角亦與甲丁丙之丁角相等此兩三角形又共一丙角故所餘之甲乙丙之乙角與甲丁丙之甲角其度亦等三三角形之毎相當各角之度既等則三三角形之式必同三三角形之式既同則其毎相當各界之比例亦俱相同可知矣第八凡直角三角形自直角至相對界作一垂線則所截之兩叚一為一率一為三率而所作之垂線為中率此三率即為相連比例率也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線則截乙丙界為兩叚其所截之乙丁叚為一率則丁丙叚為三率若丁丙叚為一率則乙丁叚為三率而所作甲丁垂線總為中率故此乙丁甲丁丁丙三線互為相連比例三率也葢甲乙丁甲丁丙兩三角形為同式故其相當之乙丁甲丁二界互相為比即同於甲丁丁丙二界之互相為比也今以乙丁線為四分丁丙線為一分則甲丁線必得二分因四分與二分之比必同於二分與一分之比故為相連比例三率也第三直角三角形自直角至相對界所作垂線與所分二叚固為相連比例三率如依垂線度作一方形則與所分二叚一為寛度一為長度所作長方形之積相等也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線截乙丙界為兩叚遂成乙丁甲丁丁丙之連比例三率今依甲丁垂線度作一戊丁正方形(即為中率自乗之數)以甲丁垂線所截丁丙一叚為寛度乙丁一叚為長度作一己丁長方形(即為首率末率相乗之數)其戊丁正方形之積必與己丁長方形之積相等也何也葢同式兩三角之相當界互相為比之比例同故此乙丁界與甲丁界之比即同於甲丁界與丙丁界之比乙丁線既為一率則甲丁線為二率甲丁線復為三率則丙丁線為四率然則此相連比例三率又為相當比例四率矣因其可為相當比例四率故二率與三率相乗一率與四率相乗所得之分數相同(見七卷第四節)今既以甲丁為二率又為三率則甲丁自乗之數即是二率三率相乗之數而乙丁一率與丙丁三率相乗所得己丁長方形即與甲丁二率三率自乗之正方相等可知矣此乃首率末率求中率之法也要之首率末率相乗中率相乗(中率相乗者中率自乗或二率三率相乗俱在首率末率之中)(故云)其所乗之二式雖異因俱自相連比例四率而生故其積相等而得以為準也第四凡有直角三角形其直角相對界所作方形之積必與兩傍界所作兩方形之積相等也如甲乙丙直角三角形其甲直角相對乙丙界作一乙丁方形其積必與甲乙甲丙之兩傍線所作戊乙己丙兩方形之積相等也試自甲直角過相對乙丙界至方形辛丁界作一甲庚壬垂線則甲乙丙三角形分為甲乙庚甲庚丙兩三角形而乙丁正方形分為乙壬庚丁兩長方形此所分甲乙庚甲庚丙兩三角形與甲乙丙原三角形為同式則其毎相當界之互相比例必同矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界與丙甲大界之比即同於甲乙丙大三角形之甲丙小界與乙丙大界之比而為相當比例四率也然丙甲甲丙之二率三率原為一線則庚丙丙甲乙丙又為相連比例三率矣故丙甲中率所作己丙方形之積與庚丙一率為寛乙丙三率為長所作庚丁長方形之積相等也乙丁既為正方形則庚壬度必與方界乙丙各度等故庚丁長方即同庚丙為寛乙丙為長所作之長方也又如甲乙庚甲乙丙兩三角之乙庚甲乙乙甲乙丙四界為相當比例四率又為相連比例三率故甲乙中率所作戊乙方形之積亦與乙庚一率為寛乙丙三率為長所作乙壬長方形之積相等也今庚丁乙壬之兩長方形既與己丙戊乙兩正方形等則兩形相合之乙丁正方形亦必與己丙戊乙兩正方形相等可知矣第五凡直角三角形之三界所作同式三形其一大界所作一形之積必與二小界所作二形之積等也如在甲乙丙直角三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁戊乙己丙三同式長方形則乙丙大界所作乙丁一形之積必與甲乙甲丙二小界所作戊乙己丙二形之積等也又或如甲乙丙直角三角形於乙丙大界作乙戊丁丙一半圜於甲乙甲丙二小界作甲庚乙甲已丙二半圜則乙丙大界所作乙戊丁丙一半圜之積必與甲乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二半圜之積等也葢依三界所作三形之式既同故同式衆形互相為比即同於相當界所作正方形之互相為比也要之一大界所作一大形内減一小界所作一小形即餘一小界所作一小形而一小界所作一小形内再加入一小界所作一小形則為一大界所作一大形矣第六一圜之内二絃線相交所截之叚遞轉比之其比例俱同而為相當比例四率也如甲圜内乙丙丁戊二絃線相交於已其所截之戊已一叚與已丙一叚之比例即同於乙己一叚與己丁一叚之比例故戊己己丙乙己己丁四叚為相當比例之四率也何以見之若自乙至戊自丁至丙復作二絃線即成乙己戊丁己丙兩三角形此兩三角形之乙角丁角俱切於甲圜之戊丙弧叚其度相等(見四卷第十二節)再乙己戊之己角丁己丙之己角又為兩尖相對之角其度亦相等今乙丁二角之度既等而兩己角之度又等則所餘戊丙二角亦自等兩三角形之相當各角既等則其式必同其式既同則毎相當各二線互相為比之比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚互相為比例四率可知矣第七圜之徑線不拘何處作一垂線則所截之兩叚一為一率一為三率而垂線為中率即為相連比例三率也如甲圜自丁界至乙丙徑線戊處作一丁戊垂線將乙丙徑線截為兩叚其所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂線為中率此乙戊丁戊戊丙三線為相連比例三率也試自圜界丁至乙丙二處作丁乙丁丙二線則成一乙丙丁三角形其丁角既立於圜之乙己丙半界故為直角(見四卷第十四節)而丁戊垂線乃自直角至相對乙丙底界所作之垂線故所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂線為中率為相連比例三率也第八自圜外一㸃過圜界二處至相對界作二線以此兩全線互相為比即同於圜界外所截之二叚遞轉為比之比例而為相當比例四率也如己圜自圜外甲㸃過圜界乙丁二處至相對界丙戊二處作二線則甲丙甲戊兩全線互相為比必同於圜界外所截甲乙甲丁二叚之遞轉相比而為相當比例四率也試自圜界乙丁二處至相對界丙戊二處作乙戊丁丙二線則成甲丙丁甲戊乙兩三角形此兩三角形之丙戊二角既切於一圜之乙丁弧界其二角之度必等(見四卷第十二節)再甲丙丁之甲角甲戊乙之甲角既共為一角其度自等兩三角形各二角度俱等則兩三角形必為同式矣故甲丙甲戊相當二界互相為比之比例即同於甲丁甲乙相當二界互相為比之比例是以甲丙與甲戊之比同於甲丁與甲乙之比將甲丙全線為一率甲戊全線為二率甲乙甲丁遞轉移之而以甲丁一叚為三率甲乙一叚為四率為相當比例之四率也第九凡函於圜内之三角形以其一角平分為二過相對底界至相對界作一直線則所分角之小邊線與所作線之在三角形内一叚之比即同於所作線之全分與所分角之大邊線之比也如函於圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為二分過所對乙丙底界至相對界作一直線即成甲丁戊一全線以三角形之甲乙小邊與所作甲丁戊線之甲丁一叚之比即同於所作甲丁戊全線與三角形之甲丙大邊之比也何以言之若自圜界乙至戊作乙戊弦線即成甲乙戊甲丁丙兩三角形此兩三角形之戊丙二角俱切於圜界甲乙弧之一叚其度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁丙三角形之甲角又為一角所平分之兩角其度亦必等因此兩三角形各二角之度等故兩形為同式兩三角形之式既同則兩形之相當二界互相為比之比例俱同是以甲乙小分與甲丁小分之比即同於甲戊大分與甲丙大分之比也第十凡函於圜内之三角形以其一角為兩平分自角至底作一線則所分底線兩叚互相為比即同於所分角之兩傍兩邊線之互相為比也如函於圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為二分至乙丙底作甲丁一線則分一丙底線為乙丁丁丙兩叚以乙丁與丁丙之比即同於以甲乙小邊線與甲丙大邊線之比也試自所分底線之丁至甲丙線與甲乙平行作丁戊一線即成戊丁丙一小三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊丁丙小三角形之丁角既為乙甲丁戊平行線一邊之内外角其度必等(見首卷第)(二十三節)而甲乙丙戊丁丙兩三角形又共一丙角故此兩三角形之各二角度等為同式兩三角形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角因為平行線内二尖交錯之角其度亦等然則乙甲丁之甲角既為甲乙丙之甲角之兩平分則甲丁戊之丁角亦與甲丁戊之甲角度等矣甲丁戊三角形之丁角甲角既等則二角所對之丁戊甲戊二線亦必等矣甲乙丙戊丁丙兩三角形既為同式而三角之度又俱等則其甲乙丙大三角形之甲乙甲丙二線互相為比即同於戊丁丙小三角形之戊丁戊丙二線互相為比之比例也今戊丁甲戊二線其度既等則甲乙線與甲丙線之比又同於以甲戊線與戊丙線之比至於丁戊平行線所截乙丁一叚與丁丙一叚之比則又同於甲戊一叚與戊丙一叚之比矣是故甲乙線與甲丙線之比為同於乙丁線與丁丙線之比也㡬何原本十第一大凡直角立方體積皆生於面線互乗之度故欲知方體所生比例之分將所比形之長寛與厚詳較之即可得而知矣如甲乙丙丁直角立方二體其甲乙大形之戊己長比丙丁小形之庚辛長甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形之丙庚厚俱為大一倍其甲乙大形之戊乙底平面積與丙丁 形之庚丁底平面積之比例將縱横二線之長寛度分考之即得(見七卷第二節)既得二體底積之比例乃以二形之厚度復與底積比之即可知甲乙丙丁二體之比例矣葢甲乙大體之戊己戊壬長寛之度既比丙丁小體之庚辛庚癸長寛之度大一倍則戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣然則甲乙大形甲戊之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍則甲乙體形之内如丙丁體形四倍者有二可知矣是故欲知直角方體之比例以本體之長寛與厚互相比例以較之即得直角方體互相為比之比例也第二有兩直角長方體若將此一體之底度與他一體之底度又將他一體之厚度與此一體之厚度為比其比例若同則此二體之積必等也如甲乙丙丁兩直角長方體甲乙體之戊乙底度比丙丁體之庚丁底度大一倍而丙丁體之丙庚厚度比甲乙體之甲戊厚度亦大一倍則甲乙丙丁二體之積必相等是故兩體之底積與厚度相較則兩體之積可知矣葢體積之比例視其面線今兩體之底面厚度交互相等如此其體積不得不等也第三有兩直角方體其底面積之縱横二界相比之比例與厚度面積之縱横二界相比之比例若俱同則此兩體為直角正方同式體也如甲乙丙丁兩直角方體其甲乙體之戊乙底面之戊己横界比丙丁體之庚丁底面之庚辛横界大一倍甲乙體之戊乙底面之戊壬縱界比丙丁體之庚丁底面之庚癸縱界大一倍甲乙體之甲己厚面之甲戊直界比丙丁體之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍則甲乙丙丁之兩體俱為直角正方同式體也至於兩體所有之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界俱為相當之界而可互相為比例矣第四凡同式直角正方體其體積之比例比之兩界線之比例為連比例隔二位相加之比例也如甲乙丙丁兩同式直角正方體其相當之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界互相為比之比例俱各大一倍則此甲乙體積與丙丁體積之比比之甲乙體之界線與丙丁體之界線之比者即如連比例四率内隔二位相加之比例矣蓋甲乙體之各界既為丙丁體之各界之二倍則甲乙體内如丙丁體之二倍者有四二其四為八故甲乙體積比丙丁體積大八倍夫以甲乙體積八與丙丁體積一相比為八分之一甲乙體界二與丙丁體界一相比為二分之一其比例不同蓋以八分比一分較之二分比一分為四倍也如欲求其相連比例之率則於甲乙體之界四倍之得八分與丙丁體界一分為比即如甲乙體積與丙丁體積之比例矣夫八與四四與二二與一皆為連比例二分之一之比例今以八與一為比其間隔四與二之兩位故曰同式兩體積之比例為兩界上連比例隔二位相加之比例也(若邊為三倍則面為九倍體為二十)(七倍亦為隔二位相加之比例也)第五有兩同式直角長方體於兩體相當之二界各作兩正方體互相為比即同於原兩長方體之互相為比也如甲乙丙丁兩直角長方體在戊乙己丁相當二横界各作甲庚丙辛二正方體則所作之甲庚丙辛兩正方體互相為比之比例仍同於原有之甲乙丙丁兩長方體互相為比之比例也夫甲乙丙丁同式之兩長方體既為隔二位相加之比例則所作甲庚丙辛同式之兩正方體亦必為隔二位相加之比例矣然則原有之甲乙長方體為原有之丙丁長方體之八分之一其所作甲庚正方體亦為所作丙辛正方體之八分之一可知矣第六凡有大小平面體其相當角度俱等而相當界之比例又同則謂之同式體也如甲乙大小兩平面體其相當各界之度俱等而相當各界之比例又同則甲乙二體謂之同式平面正方體也如丙丁大小兩四瓣體其相當各角之度俱等而相當各界之比例又同則丙丁二體謂之同式四瓣體也又如大小圓面體於其内外作各種平面體其平面體之式若同則圓面體亦謂之同式體如戊己大小兩圓體所函之庚辛尖瓣等體是也第七同式各種體之比例同於在各體相當界所作正方體之比例也如甲乙丙丁戊己大小兩三角尖瓣體互相為比即同於乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩正方體之互相為比又如壬癸兩圓球體其互相為比之比例亦同於圓球徑相當之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊兩正方體互相為比之比例也蓋同式平面形互相為比之比例同於各相當二界所作正方面形互相為比之比例矣今各種體之式既同故其相當面互相為比之比例必同相當面互相為比之比例同者縁相當面之各相當界互相為比之比例同也故凡同類兩體知此一體之度而不知彼一體之度欲求知之則在同式兩體相當二界各作一正方體此所作之二體一為一率一為二率所知之體為三率推得四率即其未知之體矣或有同類兩體知此一體之界而不知彼一體之界則依所知一體之界作一正方體其兩體一為一率一為二率所作正方體為三率推得四率即是彼一體界數所作之正方體矣故曰同式兩體之比例與相當界所作正方體之比例相同也第八凡圓面半徑與球體半徑等者其圓面積為球體外面積之四分之一而圓面半徑與球體全徑等者其圓面積與球體外面積等也如丁己圓面之丁戊半徑與甲丙球體之甲乙半徑等則丁己圓面積為甲丙球體外面積之四分之一又如庚壬圓面之庚辛半徑與甲丙球體之甲丙全徑等則庚壬圓面積與甲丙球體外面積等也試作子寅卯一尖圓體使其寅辰卯之底面積與甲丙球體外面積等其子丑髙度與甲丙球體之甲乙半徑等則此尖圓體積與球體積相等(見五卷第二十五節)又作午未申一小尖圓體使其未申底徑與甲丙球體之全徑等亦與大尖圓體之寅丑半徑等其午酉髙度與甲丙球體之甲乙半徑等亦與大尖圓體之子丑髙度等則此小尖圓體積為球體積之四分之一亦即為大尖圓體積之四分之一何以見之蓋大小兩面之比例同於相當界所生連比例隔一位加一倍之比例今大尖圓體之寅夘底徑比小尖圓體之未申底徑大一倍則大尖圓體底積比小尖圓體底積必又大一倍則小尖圓體底積為大尖圓體底積之四分之一矣又兩體同髙者其體積之比例同於其底面之比例今小尖圓體底積既為大尖圓體底積之四分之一則其體積必為大尖圓體積之四分之一而亦為球體之四分之一矣(球體原與大尖圓相等)夫大尖圓體之底積原與球體之外面積等小尖圓體底積既為大尖圓體底積之四分之一亦必為球體外面積之四分之一而丁己圓面固與小尖圓之底積等則為球體外面積之四分之一無疑矣至於庚壬圓面之徑原比丁己圓面之徑大一倍則其面積必大四倍今丁己圓面既為甲丙球體外面積之四分之一則庚壬圓面積比丁己圓面積大四倍者安得不與球體外面積相等乎第九凡球體全徑與上下面平行長圓體底徑髙度相等則球體為長圓體之三分之二也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一長圓體此球體之乙丁全徑與長圓體之己庚底徑度等而球體之甲丙全徑與長圓體之戊己髙度等則球體積為長圓體積之三分之二也蓋長圓體與尖圓體同底同髙則其比例為三分之一(五卷第二十三節言平底尖體與上下面平行體同底同髙則尖體)(為平行體三分之一)尖圓體之底徑與球之全徑等髙與球之半徑等者尖圓體積為球體積之四分之一而尖圓體又為半球體之二分之一矣(説見前節)今於乙己庚丁半長圓體内作己壬庚半球體又作一壬己庚尖圓體則此尖圓體為半球體之二分之一尖圓體既為半球體之二分之一又為半長圓體之三分之一則半球體豈非長圓體之三分之二乎夫全與全之比例即若半與半之比例今半長圓與半球之比例為三分之二則全長圓體與全球體之比例亦為三分之二可知矣第十凡球體全徑與長圓體底徑髙度相等者其球體外面積與長圓體周圍面積等也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一長圓體其球體之乙丁全徑與長圓體之己庚底徑等而球體之甲丙全徑與長圓體之戊己髙度等則此球體外面積必與長圓體之周圍面積等也大凡體之面積相等者其體積之比例同於其髙之比例而體積之比例與髙之比例同者其面積必相等試將球體乙壬半徑分為六分取其三分為髙以長圓周圍面積為底所成之體積必與長圓體積等取半徑之二分為髙以球體外面積為底所成之體積必與球體之積等蓋長圓體與球體之比例原為三與二之比例此所成之二體亦必為三與二之比例一體之髙為三分一體之髙為二分是積之比例與髙之比例同矣非因其面積相等之故乎由是觀之球體外面積與長圓體周圍面積相等也明矣第十一凡球體全徑與上下面平行長圓體底徑髙度相等者其相當毎段之外面積皆相等也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一長圓體此球體之乙丁全徑與長圓體之己庚底徑等球體之甲丙全徑與長圓體之戊己髙度等則球體之癸丙寅一段凸面積必與相當長圓積之辰己庚己一段周圍外面積等也夫乙辰巳丁一段長圓體内分出子癸寅丑一小長圓體餘癸子乙辰巳丁丑寅空心體此空心體與子癸寅丑長圓體之積必等何以知之蓋壬癸為大圓面之半徑而所截卯癸又為小圓面之半徑其壬卯與卯癸之度又等故壬癸壬卯卯癸三線成一壬癸卯直角三角形而壬癸半徑所作圓面必與壬卯卯癸兩線為半徑所作兩圓面等(見九卷第六節)又壬癸與壬乙皆一圜之輻線其度必等而卯辰原與壬乙相等故卯辰為半徑所作之圓面即壬癸為半徑所作之圓面於卯辰為半徑所作圓面内減去夘癸為半徑所作圓面即餘壬癸環面與壬卯為半徑所作之圓面等而壬卯與卯癸原相等然則辰癸環面既與壬卯半徑所作之圓面等亦必與卯癸為半徑所作之圓面等矣夫卯癸即小長圓底之半徑而辰癸又為空心體底之環徑其兩面積既等則其兩體積必等無疑矣又壬癸寅小尖圓體原與癸乙辰巳丁寅曲凹體等(乙丙丁半球體為半長圓體三分之二則癸乙)(己丙庚丁寅曲凹體為長圓體三分之一與壬己庚尖圓體相等故壬癸寅一)(段尖圓體與相當癸乙辰巳丁寅一段曲凹體亦必相等也)而壬癸寅小尖圓體為子癸寅丑小長圓體三分之一則癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為辰癸空心體之三分之一矣於乙辰巳丁長圓體内減去壬癸寅小尖圓體又減去癸乙辰巳丁寅曲凹體則餘乙癸壬寅丁一段空心球體必與乙辰壬巳丁一段空心長圓體等(如以乙辰巳丁一段長圓體作)(六分則子癸寅丑小長圓為三分壬癸寅小尖圓體為一分與小尖圓體相等)(之癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為一分今既減去小尖圓體及曲凹體是於六分)(内減去二分而存一段空心球體為四分也而壬辰巳大尖圓體亦為乙辰巳)(丁辰圓體三分之一於長圓體内减去大尖圓體則餘乙辰壬巳丁空心長圓)(體為三分之二也三分之二之比例同同於六分之四之比例則此一段空心)(長圓體與一段空心球體相等無疑)若將此兩空心體從壬心至外面剖為千萬尖體(俱以乙壬半徑為髙)(以兩空心體外面為底)則空心球體所分之各尖體與空心長圓體所分之各尖體其積既等其髙又等則其底不得不等(同底同髙)(者其積既等則同髙同積者其底必等)此各尖體之底既等則兩空心體之外面積相等可知矣(千萬尖體之底即兩空心體之面也)夫乙丙丁半球體外面積原與乙己庚丁半長圓體周圍外面積等於半球體内減去乙癸寅丁一段餘癸丙寅一段球體於半長圓體内減去乙辰巳丁一段餘辰己庚已一段長圓體其減去之各段外面積既相等則所餘之球體癸丙寅一段凸面與長圓體辰己庚已一段周圍外面積相等也明矣第十二凡撱圓體大徑與圓球體徑相等者其二體積之比例即同於撱圓體小徑所作方面與圓球體徑所作方面之比例也如甲乙丙丁撱圓體之甲丙大徑與甲戊丙己圓球徑等則撱圓體積與球體積之比例即同於撱圓乙丁小徑所作方面與球體戊己徑所作方面之比例也試將撱圓體與球體任意依徑線平行分之其所分之大小平圓面如子丑乃球體大圓面之徑寅卯乃撱圓體小圓面之徑此大小兩平圓面之比例同於其相當子丑寅卯二徑所作二方面之比例(見八卷第十一節)而子丑徑與寅卯徑之比例又同於戊己徑與乙丁徑之比例故此所分之大小圓面之比例亦必同於戊己方面與乙丁方面之比例矣若將此兩體與戊己徑平行任意分為㡬何面其相當大小兩面之比例皆如戊己方面與乙丁方面之比例此所分各面之比例既皆同於乙丁與戊己所作方面之比例則撱圓體與圓球體之比例必同於乙丁所作方面與戊己所作方面之比例可知矣即所分之寅丙卯撱圓體之一段與子丙丑圓球體之一段其比例亦必同於乙丁所作方面與戊己所作方面之比例矣第十三凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體為長圓體之三分之二亦如圓球體與同徑同髙長圓體之比例也如甲乙丙丁一撱圓體戊己庚辛一長圓體其撱圓體之甲丙大徑與長圓體之戊己髙度等而撱圓體之乙丁小徑亦與長圓體之己庚底徑等則撱圓體為長圓體之三分之二其比例即如子丑寅卯球體與辰巳午未長圓體之比例也蓋戊己庚辛長圓體之戊己髙度與辰巳午未長圓體之辰巳髙度等故兩長圓體之比例即同於己庚底積與巳午底積之比例至於戊己庚辛長圓體之己庚底積與撱圓體之乙丁小徑所作圓面積等而辰巳午未長圓體之巳午底積又與球體丑卯全徑所作圓面積等則戊己庚辛長圓體積與辰巳午未長圓體積之比例即同與撱圓體之乙丁小徑所作圓面與球體丑卯全徑所作圓面之比例矣夫撱圓體與球體之比例原同於撱圓體小徑所作圓面與球體全徑所作圓面之比例故撱圓體與球體之比例亦同於撱圓體同徑同髙之長圓體與球體同徑同髙之長圓體之比例也若轉比之即戊己庚辛長圓體與甲乙丙丁撱圓體之比例亦同與辰巳午未長圓體與子丑寅卯球體之比例矣夫球體既為同徑同髙長圓體之三分之二則撱圓體亦必為同徑同髙長圓體之三分之二可知矣第十四凡函撱圓之長方體與所函撱圓體之比例同於函球之正方體與所函球體之比例也如甲乙丙丁長方體函一戊己庚辛撱圓體其長方體之甲乙髙度與撱圓體之戊庚大徑等長方體之乙丙底度與撱圓體之己辛小徑等則此甲乙丙丁長方體與所函戊己庚辛撱圓體之比例同於壬癸子丑正方體與所函寅卯辰午球體之比例也蓋甲乙丙丁長方體之甲乙髙度與壬癸子丑正方體之壬癸髙度等故長方體與正方體之比例同於兩體底積之比例今此長方體之底積與所函撱圓體之己辛小徑所作方面等而正方體之底積與所函球體之卯午全徑所作方面等矣然則此長方體與正方體之比例不同於撱圓體小徑所作方面與球體全徑所作方面之比例乎夫撱圓體與球體之比例原同與撱圓體小徑所作方面與球體全徑所作方面之比例則撱圓體與球體之比例同於函撱圓體之長方體與函球體之正方體之比例可知矣若轉比之則長方體與所函撱圓體之比例亦必同於正方體與所函球體之比例矣第十五凡撱圓體大徑與圓球體之徑等者其撱圓體外面積與球體外面積之比例即同於撱圓體小徑與球體全徑之比例即任分一段其相當一段外面積之比例亦無不同也如甲乙丙丁撱圓體之甲丙大徑與甲戊丙己球體全徑等則此撱圓體外面積與球體外面積之比例必同與撱圓體之乙丁小徑與球體之戊己全徑之比例也即任分寅内卯一段撱圓體外面積與子丙丑一段球體外面積之比例亦仍同於乙丁小徑與戊己全徑之比例也蓋兩體所分寅卯子丑平圓面皆與乙丁戊己徑線平行故寅卯圓界與子丑圓界之比同於寅卯圓徑與子丑圓徑之比而寅卯徑與子丑徑之比又同於乙丁徑與戊己徑之比也然此兩體依徑平分可為無數平圓界其相當各圓界之比例既皆同於乙丁徑於戊己徑之比例則全體外面積之比例豈不同於乙丁徑與戊己徑之比例乎至於所分之寅丙卯一段撱圓體與子丙丑一段球體俱可分為平圓以比之則一段與一段之比例無異於全體與全體之比例也明矣第十六凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體外面積與長圓體周圍外面積等即任分一段其相當一段之外面積亦無不等也如甲乙丙丁一撱圓體戊己庚辛一長圓體其撱圓體之甲丙大徑與長圓體之戊己髙度等而撱圓體之乙丁小徑與長圓體之己庚底徑等則撱圓體之外面積與長圓體周圍之面積等即任分壬丙癸一段撱圓體外面積亦與相當壬己庚癸一段長圓體之外面積等也試依撱圓體甲丙大徑度作子丑寅卯一球體并作與球體同髙同徑辰巳午未一長圓體則此兩長圓體之髙度等其二體周圍面積之比例必同於二體底徑之比例二長圓體底徑之比例即是撱圓體之乙丁小徑與球體之丑卯全徑之比例也撱圓體外面積與球體外面積之比例原同於撱圓體乙丁徑與球體丑卯徑之比例則戊己庚辛長圓體外面積與撱圓體外面積之比例亦同於辰巳午未長圓體外面積與球體外面積之比例也夫球體外面積原與辰巳午未長圓體外面積等而撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體外面積之比例既與球體外面積與辰巳午未長圓體外面積之比例相同則此撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體外面積相等無疑矣至於撱圓體所分一段與球體所分一段之比例與其全體之比例亦相同今撱圓體外面全積與戊己庚辛長圓體周圍外面全積之比例既同於球體外面全積與辰巳午未長圓體周圍外面全積之比例則所分撱圓體之壬丙癸一段外面積與長圓體之壬己庚癸一段外面積之比例亦必同於所分球體之申寅酉一段外面積與長圓體之戌巳午亥一段外面積之比例矣彼球體之申寅酉一段外面積既與長圓體之戌巳午亥一段外面積相等則此撱圓體之壬丙癸一段外面積與長圓體之壬己庚癸一段外面積相等也明矣御製數理精藴上編卷三
## 上編卷四
欽定四庫全書御製數理精藴上編卷四幾何原本十一幾何原本十二幾何原本十一第一作三界度等之三角形及兩界度等之三角形法如欲作三界度等之三角形則作一甲乙線取甲乙之度為準以甲為心自甲至丙作弧一段又以乙為心自乙至丙作弧一段兩弧相交處至甲乙作二線即成三界度等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三角形之甲乙甲丙丙乙三界原係一圜之輻線其度必等度既等而線未有不等者也若欲作兩度等之三角形仍作一甲乙線比甲乙線之度或大或小取一度以甲乙二處為圜心皆至丙作弧兩段仍於兩弧相交處作二線即成兩界度等之甲丙乙三角形矣葢甲丙丙乙二線雖比甲乙線或大或小然二線俱同為一圜之輻線其度自等兩度既等則兩界線亦必等也第二平分直線角為兩分法如甲乙丙角欲平分為兩分乃以一角為心任意作弧線一段則乙甲乙丙二線截於丁戊即成乙丁乙戊等度二線自弧兩端復作一丁戊線照丁戊線度依前節法作一三界度等之丁己戊三角形則己角與乙角正相對乃自乙角至己角作一乙己直線即分甲乙丙角為兩平分矣何也其乙丁己乙戊己兩三角形之乙丁乙戊二界是一圜之輻線其度等而丁己戊己二界是三界度等三角形之兩傍界其度亦等而乙己線既為兩形之共界其等無疑此兩三角形之各界度既各相等則與丁己戊己界相對之丁乙己戊乙己二角亦必相等可見矣(見二)(卷第七節)第三平分一直線為兩分法如有甲乙一直線欲平分為兩叚乃如第一節法於甲乙線上作乙甲丙乙三界度等之三角形又如第二節法平分甲丙乙角為二分自丙角作垂線至甲乙線即平分甲乙線於丁而甲丁丁乙兩叚必等也葢甲丙乙原為三界度等之三角形今作丙丁垂線平分為兩三角形則兩三角形之相當各角各界必俱等而甲丁丁乙為兩形相當之底界其度安得不等乎第四横線上立縱線法如有甲乙一横線欲於丙處立一縱線則於丙之兩傍任意取等度二分為戊丙己丙以戊為心於横線上作弧一叚又以己為心於横線上作弧一叚兩弧相交於丁此丁處正與丙相對自丁至丙作一直線即甲乙線上正立之縱線也試自戊己至丁作二線成一戊丁己三角形此形之丁戊丁己兩線俱同一圜之輻線其度必等而丁丙線既將戊己底線為兩平分則丁丙線必為甲乙線之垂線矣(見二卷第十節)第五有一横線自此線上不拘何處立縱線法如有甲乙一横線自此線上丙處至甲乙線欲作一縱線則以丙為心作弧線一叚截甲乙線於戊己乃自戊己至丙作二線成一戊丙己三角形又照第二節分角法平分丙角為二分自丙至甲乙線上作丙丁線則此丙丁線即為自丙至甲乙線之縱線也葢戊丙己三角形之丙戊丙己兩界度等故戊角與己角必等而丙丁線又平分丙角為二則所分之戊丙丁己丙丁兩角度亦等而丙丁戊丙丁己兩並角亦必等此兩並角既等則成兩直角既成兩直角則丙丁線必為甲乙横線之垂線矣(見一卷第)(十節)第六在横線一邊立縱線法如有甲乙横線在乙邊欲立一縱線則於甲乙線上不拘何處立為圜心如以丙為圜心自丙至乙為圜界旋轉作一圜則於甲乙線丁處相交即自丁處過丙心至相對界作一直線交圜界於戊乃自戊至乙作一戊乙直線即是乙邊所立之縱線也葢丁乙戊角因在半圜必為直角(見四卷第)(十四節)既為直角則戊乙線必為甲乙線之垂線既為垂線故為横線一邊所立之縱線也若甲乙線一邊之上有一戊㸃欲自戊至甲乙線一邊作一垂線則自戊至甲乙線任意作一戊丁斜線遂將戊丁斜線平分於丙於是以丙為心自戊旋轉作一圜則截甲乙線於己自戊至己作一直線即是欲作之垂線也葢戊己丁角既在半圜必為直角既為直角則戊己必為垂線矣第七一圜分為三百六十度法如甲乙丙丁一圜界欲分為三百六十度則取圜之輻線度縁圜界比之即分圜界為六叚將六叚各平分為二則為十二叚十二叚各平分為三則為三十六叚三十六叚各平分為十即成三百六十度矣第八一直線上作角度法如甲乙線上欲作三十度之角則用有度之圜依圜之丙丁輻線度截甲乙線於戊於是以甲為心自戊作弧一叚復依圜界之丙庚三十度之分自戊截弧於己乃自己至甲作一直線即成己甲戊三十度之角矣第九各種多界形倣己有之形或大或小叧作一同式形法如有甲乙丙一三角形欲倣此式叧作一形則考甲乙界度有㡬分如甲乙界度為三分今取其二分作一丁戊線又以甲丙界度亦作三分而取其二分以丁為圜心作弧一叚又以乙丙界度亦作三分而取其二分以戊為圜心作弧一段兩弧相交於己乃自己至丁戊作二線即成丁戊己一小三角形與原有甲乙丙大三角形為同式也葢丁戊己三角形之三界雖與甲乙丙三角形之三界不等而其相當各角之度俱等因其相當各角之度俱等故其相當各界之比例皆同相當各界之比例既同則其二形之式不得不同也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲倣此式叧作一形則在此六界形作分角線分為四三角形照前法倣作四三角形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其式與原有之甲乙丙丁戊己大六界形同也第十有一直線或上或下一㸃作與此線平行一線法如甲乙線上有一丙㸃欲自丙㸃作與甲乙線平行一線則以丙為圜心任意取甲乙線之近甲邊一處作弧一叚如丁又取甲乙線之近乙邊一處為心如戊乃照丙丁原度於丙㸃相對處作弧一叚如己復照丁戊度以丙為心於丙㸃相對處作弧一叚則二弧相交於己乃自丙至己交處作一丙己直線即為甲乙線之平行線也何則試自丁戊二處至丙己二處作二線即成丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁己戊相對之兩縱線丙己丁戊相對之兩横線因依各度所取必两两相等既两两相等則必為平行線之四邊形然則丙己甲乙為平行線四邊形之二線豈有不平行之理哉第十一有一直線上作一正方形法如甲乙一直線欲作一正方形則以甲為心取甲乙度自乙至丙作乙弧線又以乙為心依甲乙度自甲至丁作一弧線又於甲乙線之兩端照本卷第六節立甲丙乙丁二縱線則乙丙弧截於丙甲丁弧截於丁乃自丙至丁作一直線即成甲乙丁丙一正方形也何則丙甲甲乙乙丁三線俱同為一圜之輻線其度必等而丁丙丙甲二線又俱切一圜界為兩尖相合其度亦必等(見四卷第七節)則四界俱等矣且甲乙二角又為垂線所立之角必成直角則丙丁二角亦必為直角而四角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形為甲乙線上所立之正方形也第十二平分一弧為兩叚法如有甲乙弧欲平分為兩叚則自甲至乙作一甲乙弦線將此弦線照本卷第三節平分直線為兩分法作一戊丁縱線復自戊引至弧界截甲乙弧於丙即平分甲乙弧為甲丙丙乙兩叚矣葢丙丁縱線既平分甲乙弦線則亦必平分甲乙弧之全圜既平分甲乙弧之全圜則必平分甲乙弧為兩叚可知矣(見四卷第六節)第十三有一叚弧欲繼此弧作一全圜法如有甲乙一叚弧繼此弧欲作一全圜則在此弧界任意指三處如甲丙乙自甲乙二處至丙作甲丙丙乙二線照前節作平分甲丙丙乙兩弦之丁己戊己二線引長則相交於己乃以己為心繼甲乙弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也葢丁己戊己二線既平分甲丙丙乙二弦則必平分甲丙丙乙二弧(見四卷第六節)既平分甲丙丙乙二弧則其相交之處必為圜心故己為繼甲丙乙弧界所作全圜之圜心也第十四不拘何處有三㸃求縁此三㸃作一圜法如甲乙丙三㸃不在一直線上欲縁此三㸃作一圜則依前節作甲丙丙乙二線又平分此二線正中作丁己戊己二垂線引長至己處相交遂以己為心以甲乙丙為界作一圜則甲乙丙三㸃俱在一圜之界矣(此節之理與前節同)第十五有圜不知中心求知中心之法如有一甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之則於此圜界隨便取甲乙丁三處從甲至乙至丁作二弦線將此二線平分正中為戊己二處自戊己作戊庚己庚兩垂線則相交於庚此庚即是甲乙丙丁圜之中心也(此節之理亦與前同)第十六有圜外一㸃將此㸃至圜界作切線法如一圜之外有一甲㸃欲將此甲㸃與圜界相切作一切線則以此甲㸃至圜心作一甲乙直線又以乙為心以甲為界作一甲丙圜界又自甲乙線所截圜之丁處作一丁己垂線則此垂線即截甲丙圜界於丙乃自丙至乙心作一丙乙直線復自丙乙所截圜界戊處作一戊甲線即是自甲㸃至圜界所作之切線也何則此乙丁乙戊既同為一圜之輻線其乙甲乙丙亦同為一圜之輻線則甲乙戊與丙乙丁兩三角形之各兩邊線必等而兩三角形又同一乙角然則兩三角形之每相當各角必俱等矣(見二卷第六節)夫丁丙線原為甲乙輻線之垂線則丁角必為直角而相當之戊角亦必為直角矣戊角既為直角則甲戊線亦必為乙丙輻線之垂線故甲戊與丙丁皆為圜界之切線也(見四卷第九節)第十七有圜内弦線欲與此弦線平行作圜外切線法如有一甲乙丙丁圜之乙丁弦線欲與此乙丁弦線平行作切圜之切線則從圜心戊至乙丁弦作戊己垂線平分乙丁弦線於己引長截圜界於甲為甲戊線又切甲處作庚辛線為甲戊之垂線即是所求之切線也何則此庚辛線既為甲戊線之垂線其戊甲庚角必為直角又己戊線既為乙丁線之垂線其戊己乙角亦必為直角然則戊甲庚角與戊己乙角既俱為直角其度必等因其度等故乙丁庚辛兩線為兩平行線也又戊甲線為圜之輻線而庚辛既為甲戊之垂線則必為甲乙丙丁圜之切線可知矣(見四卷第九節)第十八作函三角形之圜法如甲乙丙三角形欲作函此三角形之一圜則平分甲丙邊於丁平分丙乙邊於戊自丁戊作二垂線引長至己相交即以己為心任以甲丙乙三角形之一角為界作一甲丙乙庚圜即是函甲丙乙三角形之圜也(此節之理與本卷第十三節同)第十九圜内作等度四角形及等度八角形法如甲丙乙丁圜内欲作一等度四角形則以甲乙丙丁二徑線交於圜心皆作直角復自甲丙乙丁四處作甲丙丙乙乙丁丁甲四弦線即成甲丙乙丁等度之四角形也何則甲乙丙丁二徑線在圜心作直角相交則平分圜界為四分矣既平分圜界為四分則甲丙丙乙乙丁丁甲四弦線度必等而甲丙乙丁四角既俱立在一圜之半界亦必俱為直角(見四卷第十四節)既俱為直角必為正方形可知矣苟欲作等度八角形則照前平分圜界為四分將所分之每分又各平分為二分即平分圜界為八分乃作八弦線即成甲戊丙己乙庚丁辛一形為圜内等度八角形也第二十圜内作等度六角形三角形十二角形法如甲圜内欲作等度六角形則以圜之甲乙輻線為度將圜界分為乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚乙六叚作六弦線即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形也何則苟以乙為心以甲為界作一丙甲庚弧線則乙丙乙甲二線俱為丙甲庚圜之輻線而度必等夫乙丙丁戊己庚六界形之諸界因俱照甲乙輻線度所作故此形之六界俱相等也若欲作三角形則照前法將圜界分為六叚以所分六叚兩兩相合為三叚作乙丁丁己己乙三弦線即成一乙丁己等度三角形也若欲作十二角形亦照前法將圜界分為六叚以所分六叚各平分為二分作十二弦線即成一乙辛丙壬丁癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也第二十一圜内作各種等度多界形總法苟甲圜内欲作等度多界各種形則察各種形之各角度(見三卷第十七節)如等度三角形之三角俱六十度四角形之四角俱九十度五角形之五角俱一百零八度六角形之六角俱一百二十度七角形之七角俱一百二十八度三十四分一十七秒八角形之八角俱一百三十五度九角形之九角俱一百四十度十角形之十角俱一百四十四度十一角形之十一角俱一百四十七度一十六分二十二秒十二角形之十二角俱一百五十度今甲圜内若欲作一等度九角形則以九角形之每角一百四十度與一百八十度相減餘四十度復以别有度之圜取四十度之分以分甲圜界即平分為乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分再照平分度作乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛壬壬癸癸乙九弦線即成甲圜内等度之九角形也何也從圜心甲作線至各角分九角形為九三角形其每三角形之三角共一百八十度内減去二界角一百四十度餘心角四十度即每界所對之角此九角形之每界即九心角之弦線故以心角度分圜界度即得九角形之分也凡圜内欲作等邊多界形皆依此法作之第二十二作函圜等度多界形法如欲作函圜之等度三角形四角形五角形或多界形則將圜界照欲作之幾界平分為幾段乃自圜心至所分各界作幾輻線於輻線之末各作切界線俱引長至合角即成函圜之等度多界形也如第一圖自甲心至庚辛壬三角作甲庚甲辛甲壬三線即成六三角形其庚甲乙庚甲丙兩三角形之庚乙庚丙二線為合尖切圜之線其度必等(見四卷第七節)而庚甲乙辛甲丁兩形之庚甲乙辛甲丁二角為對角其度又等庚乙甲辛丁甲之二角為輻線切線所成之角其度又皆為直角相等(見四卷第五節)則其餘一角亦必等而其乙甲甲丁二界又同為一圜之輻線其度必等則其他界亦必俱等可知再辛丙辛丁二線壬丁壬乙二線俱為合尖切圜之線其度相等而辛甲丙與壬甲乙兩三角形壬甲丁與庚甲丙兩三角形必俱與前每相當之角等則此六三角形俱相等矣六三角形俱相等則其庚乙乙壬壬丁丁辛辛丙丙庚相等之六界兩兩相合即成庚壬庚辛辛壬之三界其度安得不等乎故庚辛壬三角形為函圜等界形也其第二圖函圜四角形第三圖函圜五角形或更欲作多界形其理皆同第二十三作函等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲作函此三形之圜則任用此三形之甲乙乙丙二界平分於庚辛二處乃自庚辛二處各作垂線至各形中心相交為己即以己為心以各形之角為界作圜即成函此三形之圜也何也各形之界皆為圜之弦線而弦線上所作之垂線必皆交於圜心今甲乙乙丙二界上所作之庚己辛己二線既平分二界而相交於已則己必為圜心故以己為心作圜即成函各等界形之圜也第二十四作函於等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲在此三形内各作一圜則照前節平分甲乙乙丙二界作己庚己辛二垂線引長相交於己即以己為心以庚辛為界作圜即成多界形内所函之圜也何也己庚己辛二線是平分甲乙乙丙二線之垂線引長之必相交於各形之中心今既相交於己則己必為各形之心凡形心作垂線至各界其度必等即如圜之輻線故以己為心庚辛為界所作之圜即為各等界形所函之圜也第二十五有一三角形一圜形於此圜内作切圜界三角形與原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形丁戊己庚辛一圜形欲於此圜内作一切界三角形與原有之甲乙丙三角形同式則於圜界任意作與甲角相等之辛角將此角之兩邊線俱引至圜界作辛庚辛戊二線再自戊至庚作一戊庚線又於戊處作與乙角相等之庚戊丁角爰自戊至丁作一丁戊線復自庚至丁作一庚丁線成一丁戊庚三角形即是所求之圜内切界三角形與原有之甲乙丙三角形為同式也何則其庚辛戊三角形之辛角與庚丁戊三角形之丁角其尖既俱與圜界相切而共立於戊己庚一叚弧分其度必等(見四卷第十二節)此辛角原與甲角等則丁角亦必與甲角等又庚戊丁之戊角原係依甲乙丙之乙角之度而作者固相等夫丁角與甲角戊角與乙角既等則所餘之庚角與丙角亦必等其三角既俱等其兩形必為同式可知矣第二十六有一三角形一圜形於此圜外作切界三角形與原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形戊己庚一圜形欲於此圜外作一切界三角形與原有之甲乙丙三角形同式則將原有之甲乙丙三角形之乙丙底線引長至辛壬二處此兩傍即成辛乙甲壬丙甲二外角乃於圜心丁處作與辛乙甲角相等之戊丁庚角又作與壬丙甲角相等之己丁庚角則成丁戊丁己丁庚之三輻線於三輻線之末作三垂線引長相交成一癸子丑三角形即是所求之圜外切界三角形與原有之甲乙丙三角形為同式也何則凡三角形之三角相併必與二直角等(見二卷第四節)今戊丁庚子一四邊形可分為兩三角形則此四邊形之四角相併必與四直角等矣四直角内減去子戊丁子庚丁之兩直角所餘戊丁庚戊子庚兩角相併亦必與兩直角等也又辛乙甲外角與甲乙丙内角相併亦與二直角等(見一卷第十四節)其戊丁庚角既係依辛乙甲角之度而作者則戊子庚角必與甲乙丙角相等其庚丑己角亦必與甲丙乙角相等而己癸戊角又必與乙甲丙角相等三角俱等則兩形之式必相同也第二十七三角形内作切三界之圜法如有一甲乙丙三角形欲與此形内切三界作一圜則依此卷第二節之法將甲乙丙三角俱平分為兩分所分三角之三線俱引長使相交於丁自丁至甲乙乙丙丙甲三界線作丁戊丁己丁庚三垂線乃以丁為心以戊己庚為界作一圜即是三角形内之切界圜也何則戊甲丁與庚甲丁兩小三角形之甲角因自一角為兩平分其度必等又丁戊丁庚既係兩垂線則甲戊丁甲庚丁二角俱為直角而相等此戊甲丁庚甲丁兩小三角形内之二角既等其各三角必俱相等而又共用一甲丁線為邊則此兩三角形之各相當邊亦必俱等故丁戊線與丁庚線等者即是丁己線與丁戊線丁庚線等也此三線既等以為輻線作戊己庚圜則必與三角形之甲乙乙丙丙甲三界相切矣第二十八勾股形内作正方法如有一甲乙丙勾股形欲於此形内作一正方形則以丙為心以乙為界作一乙丁弧線將此弧線平分於戊自戊至丙作一戊丙線即平分丙角為兩分而截甲乙線於庚矣乃自庚與甲丙線平行作庚己線又自庚與乙丙線平行作庚辛線即成庚己丙辛一正方形為所求甲乙丙勾股形内之正方也何則甲丙乙勾股形之丙角原是直角今庚辛庚己二線各與甲丙乙丙平行則庚己丙辛之四角必俱為直角矣而庚己丙三角形内己庚丙角與己丙庚角又俱是直角之一半其度必等則己丙線與庚己線相等而庚辛線與己丙線庚己線與辛丙線皆為平行線内之垂線其度亦等故庚己己丙丙辛辛庚四線相等而庚己丙辛四角俱為直角是為甲乙丙勾股形内之正方形也第二十九勾股形内作正方第二法如有一甲乙丙勾股形欲於此形内作一正方則將乙丙線引長照甲乙線度増於乙丙作一壬丙線自此壬丙之兩末與甲乙線平行作丁壬癸丙兩垂線使其度俱與甲乙線等又自丁至癸與壬丙線平行作一丁癸線自丁至丙作一對角線截甲乙線於戊乃自戊與乙丙線平行作戊己線截甲丙線於己又自己與戊乙線平行作己庚垂線成一戊乙庚己正方形即為甲乙丙勾股形内欲作之正方也何則試將戊己線引長成辛戊己子線則此辛戊己子線與甲乙線分丁壬丙癸為四長方形其甲戊子癸長方與辛壬乙戊長方既為丁壬丙癸大長方對角線傍所成兩形其分必等(見三卷第)(七節)故子戊線與戊辛線之比例同於乙戊線與戊甲線之比例也然此子戊線與丙乙線等而戊辛線又與甲乙線等則丙乙線與甲乙線之比例亦同於乙戊線與戊甲線之比例也又甲乙丙與甲戊己兩三角形為同式故丙乙線與乙甲線之比例同於己戊線與戊甲線之比例而乙戊線與戊甲線之比例又同於己戊線與戊甲線之比例也乙戊線既與己戊線相等而乙庚線與戊己線己庚線與戊乙線又為兩平行線内之垂線其度相等故戊乙庚己四角俱為直角戊乙庚己四角既俱為直角則戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形内之正方矣第三十三角形内作正方法如有甲乙丙三角形欲於此形内作一正方則自甲角至乙丙底線作一甲辛垂線將此垂線引長出甲角如乙丙底線度作一壬辛線又自壬兩分如乙丙線度與乙丙線平行作一子癸線又自癸至辛作癸辛線截甲乙線於丁自子至辛作子辛線截甲丙線於庚乃自丁至庚作一庚丁線此線必與乙丙平行又自庚丁二處作庚己丁戊二垂線即成丁戊己庚一正方形即為甲乙丙三角形内欲作之正方也何則壬辛線與壬子線之比同於辛丑線與丑庚線之比而辛壬線與壬癸線之比又同於辛丑線與丑丁線之比故辛壬線與癸子線之比亦必同於辛丑線與丁庚線之比也然辛壬與癸子原相等則辛丑與丁庚亦必相等矣辛丑與丁庚既等則丁戊戊己己庚庚丁四邊亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁四邊既俱等則為甲乙丙三角形内之正方無疑矣第三十一有一直線將此線為正方對角線作正方法如有一甲乙直線欲以此線為對角線作一正方則將甲乙線平分為戊以戊為心以甲乙為界作一圜即於此圜内作一丙丁徑線為甲乙線之垂線乃自甲至丙自丙至乙自乙至丁自丁至甲作四直線即成甲丁乙丙一正方形為所求之正方也葢甲丙乙角丙乙丁角乙丁甲角丁甲丙角既俱在半圜内必俱為直角而甲戊丙丙戊乙乙戊丁丁戊甲四三角形之兩傍線俱是半徑線必相等又此四三角形之兩傍線所合之角俱為直角亦必相等則甲丙丙乙乙丁丁甲四直線必俱相等可知矣甲丙乙丁四邊形内四角既俱為直角而四邊線又俱相等則必為正方形而甲乙線為其對角線矣第三十二有一直線為正方邊與對角線相較之餘於此線求作其原正方法如有一甲乙線為正方邊與對角線相較之餘求作一正方則先將此甲乙線為一邊作甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作一小對角線於是以丙為心以乙為界作一圜乃引甲丙線至圜界戊處作一甲戊線將此甲戊線為度作一甲戊己庚大正方形即是所求之正方也試引甲乙線至己作甲己一對角線此對角線之乙己一叚必與戊己邊線相等何也其丙乙丙戊為一圜之二輻線既等則丙乙戊丙戊乙二角亦等若於丙乙己直角内減去丙乙戊角又於所作丙戊己直角内減去丙戊乙角所餘戊乙己乙戊己二角亦必相等此二角既等則乙己戊己兩線必等矣因其相等則所作甲戊己庚一大正方之甲己對角線與戊己一邊線相較則原有之甲乙線為其相較之餘可知矣㡬何原本十二第一有一直線將此線為底作一兩邊度等三角形使底之兩邊各一角俱比上一角為大一倍之三角形法如有一甲乙直線將此線為底欲作兩邊度等之三角形而底之兩邊各一角俱比上一角為大一倍則用十一卷第八節之法於甲乙線之兩頭各作一七十二度之角將兩邊線俱引長相交於丙即成一甲乙丙三角形為所求之形也何則凡三角形之三角相併為一百八十度與二直角等今此所作甲乙丙三角形之甲乙兩角既俱係七十二度則於一百八十度内減去甲乙二角共一百四十四度餘三十六度即為丙角之度三十六度者七十二度之半故甲乙兩底角比丙角各大一倍也第二有一直線依此線度作兩邊度等三角形使上一角小於兩底角一倍之三角形法如有甲乙一直線以此線為一邊復依此線度作一邊使此兩邊線所合之上一角小於兩底角一倍之三角形則用十一卷第八節之法以甲乙甲丙二線之甲末相合作一乙甲丙角為三十六度再自丙至乙作一乙丙直線為底即得一甲乙丙三角形為所求之形也何則將甲角三十六度與全形三角之共數一百八十度相減餘一百四十四度為乙丙兩底角之共數今甲丙線與甲乙線既等則乙角與丙角必等因其相等將兩底角共數一百四十四度折半得七十二度即為每一底角之數七十二度者三十六度之倍數故甲角比乙丙兩底角俱為小一倍也第三有一直線以此直線為一邊作等邊等角之五界形法如有甲乙一直線以此直線為一邊作一等邊等角之五界形則將此甲乙直線為底用此卷第一節法作一兩邊度等甲丙乙三角形其甲丙乙角為丙乙甲丙甲乙二角之各一半又用十一卷第十五節法於此三角形之週圍作一圜此甲丙丙乙兩直線原係相等其相對之兩弧亦必相等乃以此兩弧自戊丁二處為丙平分又自甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙作四直線即成甲乙丁丙戊五邊五角等度之五界形也何則其甲丙乙角原為丙乙甲角之一半則甲丙乙角為三十六度試自甲乙二處至圜心作甲己乙己二線成甲己乙一三角形則此甲己乙角比甲丙乙角亦為大一倍(見四卷第)(十一節)故甲己乙角為七十二度而甲乙弧線亦為七十二度矣以七十二度於全圜界三百六十度内減之餘二百八十八度折半得一百四十四度即為甲戊丙一叚弧線之數也冄將一百四十四度折半得七十二度即為甲戊一叚弧線之數也既得甲戊弧線之數則戊丙丙丁丁乙各弧線度俱各為七十二度矣甲乙乙丁丁丙丙戊戊甲五線既俱係相等弧之弦線則五線之度必俱等五線之度既等則此形又在圜之内而五角之度豈有不相等者哉第四有一直線分大小兩分為相連比例線法如甲乙直線為全分甲丙一叚為大分丙乙一叚為小分以甲乙全分與甲丙大分之比同於甲丙大分與丙乙小分之比則用此甲乙線為一邊線依此卷第二節法作兩邊等度之兩底角比上一角各大一倍之甲乙丁三角形又依此卷第三節法取乙丁線度作邊角俱等之甲戊乙丁已五邊形又自戊至丁作一直線截甲乙線於丙乃得甲丙一大叚為大分丙乙一小叚為小分即是所欲作之相連比例線也何則甲戊乙丁兩弧線度等則甲乙戊乙戊丁兩角度必等又乙戊丁角與乙甲丁角共立於乙丁弧其度必等再甲戊丁與甲乙丁二角亦同立於甲巳丁弧其度亦必等也至於甲乙丁角原比乙甲丁角大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙戊角俱大一倍其甲丙戊角因為戊丙乙三角形之外角與丙乙戊丙戊乙兩内角等故甲丙戊與甲戊丙兩角相等此二角既等則甲丙甲戊兩線必等矣又甲戊戊乙兩線度原相等其戊甲乙角必與戊乙甲角等而甲乙戊一大三角形必與戊乙丙一小三角形為同式形矣葢小三角形之丙戊乙角與大三角形之戊甲乙角等而小三角形之丙乙戊角與大三角形之甲乙戊角為共角而等則小三角形之戊丙乙角與大三角形之甲戊乙角不得不等三角俱等非同式形而何是故甲乙線與甲戊線之比必同於乙戊線與丙乙線之比也夫甲戊原與甲丙相等而乙戊原與甲戊相等故乙戊亦與甲丙相等然則甲乙全線與所分甲丙大分之比必同於甲丙大分與丙乙小分之比可知矣故曰甲乙與甲丙甲丙與丙乙為相連比例之線也第五平分一直線為數叚法如有甲乙一直線欲平分為三分則自甲乙線之兩末作甲丙乙丁二平行線隨意取一甲戊度將甲丙線分為甲戊戊庚庚丙三叚又依甲戊度將乙丁線亦分為乙辛辛巳巳丁三叚乃自二平行線之三叚處復作甲丁戊己庚辛丙乙四平行線即平分甲乙直線為甲壬壬癸癸乙之三分矣試觀甲乙丁三角形之甲乙乙丁兩傍線為與甲丁線平行之壬己癸辛二線所分故俱為相當率今以甲乙全線與乙丁全線之比同於丁已叚與甲壬叚之比而已辛叚與壬癸叚之比辛乙叚與癸乙叚之比亦皆與甲乙全線與乙丁全線之比相同也因其比例俱同故丁乙線之丁巳巳辛辛乙三叚為平分而甲乙線之甲壬壬癸癸乙三叚亦為平分也第六有分數之直線將别一直線依此線分分為相當比例率法如有甲乙一直線原分為甲巳巳辛辛乙三叚又有一丙丁直線欲依此甲乙線分分作三分為相當比例之率則齊二線之一端以為平行線自甲乙線之甲端過丙丁線之丙端作一縱線復自甲乙線之乙端過丙丁線之丁端作一斜線則二線相交於戊乃自戊至所分巳辛二處作戊巳戊辛二線則丙丁線即分為丙庚庚壬壬丁三叚與甲乙線之甲巳己辛辛乙三叚為相當比例率也試審戊甲乙全形内戊丙庚戊甲已戊庚壬戊已辛戊壬丁戊辛乙之大小六三角形其相當各式皆同如戊丙庚與戊甲已為同式戊庚壬與戊巳辛為同式戊壬丁與戊辛乙為同式故丙庚與甲已為相當二界庚壬與已辛為相當二界壬丁與辛乙為相當二界此六線既各為相當界故各為相當比例率也第七有二直線作與此二線相連比例之第三線法如有甲乙甲丙二直線欲作與此二線相連比例之第三線則將甲乙甲丙二線之甲末合成一角照甲丙線度增於甲乙線為甲戊線自乙末至丙末作一乙丙線又與乙丙線平行自戊末作一戊己線將甲丙線引至已處乃成一甲已線其自丙末所分之丙已線即為與甲乙甲丙二線相連比例之第三線也葢已戊線既與丙乙線平行故甲乙丙三角形與甲戊己三角形為同式而甲乙甲丙乙戊丙已四叚必為相當比例之四率是以甲乙第一率與甲丙第二率之比即同於乙戊第三率與丙巳第四率之比也夫乙戊之度原與甲丙等故甲乙與甲丙之比即甲乙與乙戊之比而甲丙與丙已之比即乙戊與丙巳之比然則甲乙與甲丙甲丙與丙巳豈非相連比例之三線乎第八有三直線作與此三線相當比例之第四線法如有甲乙甲丙乙丁三線欲作與此三線相當比例之第四線則取甲丙線度叧作一甲丙線將此所作甲丙線照甲乙線度紀於乙於是以甲為心自乙作弧一叚又取原有之乙丁線度自乙截弧線於丁即自乙至丁作一乙丁線再依甲丙線度自甲過丁作一甲戊線又與乙丁線平行作一戊丙線此戊丙線即為原三線相當比例之第四線也葢甲丙戊三角形與甲乙丁三角形為同式故甲乙線與甲丙線之比即同於丁乙線與戊丙線之比因其比例相同故戊丙線為原有之甲乙甲丙乙丁三線相當比例之第四線也或欲作相當比例之數線則將甲角上下二線引長為甲癸甲子凡相當各二處任意截為㡬叚作㡬平行線既得相當比例之數線矣如以甲角之甲子甲癸二線截為丁乙戊丙庚巳壬辛子癸五叚於所截五處作五平行線即得相當比例之十率矣葢以甲乙與甲丙之比同於丁乙與戊丙之比以甲丙與甲巳之比同於戊丙與庚已之比以甲已與甲辛之比同於庚已與壬辛之比以甲辛與甲癸之比同於壬辛與子癸之比故將甲子甲癸二線雖分為無數叚作無數平行線其比例亦無不相同也第九有二直線欲叧作一線為此二線之中率法如有甲乙乙丙二線欲另作一線為此二線之中率則將甲乙乙丙二線相連為一甲丙全線乃平分全線於戊以戊為心以甲丙兩末為界作一半圜自二線相連乙處至圜界作一丁乙垂線即為原有甲乙乙丙二線之中率線也何也丁乙線既為圜徑上之垂線則甲乙丁乙乙丙為相連比例之三率(見九)(卷第七節)故甲乙線與乙丁線之比同於乙丁線與乙丙線之比也比例既同則所作乙丁線為原有甲乙乙丙二線之中率可知矣第十有二直線欲另作二線為此二線間之兩率法如有甲乙乙戊二直線欲另作二線為此二線間之兩率則將甲乙乙戊二線之乙末相合為直角又自此二線所合乙角引長為甲乙丙戊乙丁二線次將二矩尺之二角正置於丁戊甲丙二線上如一矩尺為己庚辛一矩尺為壬癸子乃以巳庚辛矩尺之一股切於丁戊線之戊末又以壬癸子矩尺之一股切於甲丙線之甲末仍使二矩尺之已庚癸子二股相合則癸庚二角亦為直角而不離於所跨之線其二矩尺之壬辛二股亦使不離於所切之線末乃自甲至癸自戊至庚自庚至癸作三線即截丁乙線於癸截乙丙線於庚成乙癸乙庚二線即為原有之甲乙乙戊二線間之兩率也何也如平分戊癸線於丑則丑為心戊為界成一戊庚癸半圜若平分甲庚線於寅則寅為心甲為界成一甲癸庚半圜今乙癸線為甲癸庚半圜徑線上之垂線故乙癸為甲乙乙庚二線之中率而乙庚線為戊庚癸半圜徑線上之垂線故乙庚又為癸乙乙戊二線之中率是以甲乙線與乙癸線之比同於乙癸線與乙庚線之比而乙癸線與乙庚線之比亦同於乙庚線與乙戊線之比因其比例相同故乙癸乙庚二線為甲乙乙戊二線間之兩率也第十一有三角形依一界作等積之直角四界形法如有甲乙丙一直角三角形欲依其乙丙界作一直角四界形與原三角形積等則與乙丙平行作一甲丁線又與甲乙平行作一丁丙線即成一甲乙丙丁直角四界形於是平分甲乙線於戊平分丙丁線於巳作一戊巳線則平分甲乙丙丁四界形為兩形此所分甲戊巳丁與戊乙丙已兩直角四界形之積俱與甲乙丙三角形之積相等也葢甲乙丙三角形為甲乙丙丁四界形之一半今所分甲戊巳丁與戊乙丙已兩四界形既俱為甲乙丙丁四界形之一半則必與甲乙丙三角形之積俱相等可知矣又如庚辛壬無直角之三角形依辛壬界作一直角四界形與原三角形積等則與辛壬平行作一庚癸線又自辛壬至庚癸線作子辛癸壬二垂線即成一子辛壬癸直角四界形於是平分子辛線於丑平分癸壬線於寅作一丑寅線則平分子辛壬癸四界形為兩形其所分子丑寅癸與丑辛壬寅兩直角四界形之積俱與庚辛壬三角形之積相等也試與庚辛線平行作一卯壬線即成庚辛壬卯一斜方形為與子辛壬癸方形同底同髙故其積必等(見三卷第)(八節)今庚辛壬三角形為庚辛壬卯形之一半則亦必為子辛壬癸方形之一半矣既為一半則所分子丑寅癸與丑辛壬寅直角四界形必與庚辛壬三角形之積相等可知矣第十二有一長方形作與此積相等之正方形法如有甲丙一長方形欲作與此長方形相等之正方形則將甲丙形之丙乙縱線合於甲乙横線照此卷第九節法求得甲乙丙乙二線之中率為丁乙線即以丁乙線為一邊作一丁戊正方形即與甲丙長方形之積相等也何則大凡相連比例三率内中率所作之正方形積與首率末率所作之長方形積相等今丁乙線既為甲乙丙乙二線之中率則丁乙線所作之丁戊正方形積焉得不與甲乙丙乙二線相合所作之甲丙長方形之積相等乎第十三凡多界形作與本形同式或大或小之形法如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界形欲作比此形小一半之同式形則自此形中心壬處至各角作衆線又取甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛甲各界度之一半與各界平行置於對角各線之間為癸子子丑丑寅寅卯卯辰辰巳巳午午癸之八線即成癸子丑寅卯辰巳午之形為原形每界減半之同式形也何也如對角線間所成之甲乙壬癸子壬大小兩三角形之甲乙癸子線既平行而又同一壬角則其相當各角俱等而兩形之式相同倣此推之其乙丙壬子丑壬二形丙丁壬丑寅壬二形丁戊壬寅卯壬二形戊已壬卯辰壬二形巳庚壬辰巳壬二形庚辛壬巳午壬二形辛甲壬午癸壬二形必俱為同式形此各相當大小兩形既俱同式則所作癸子丑寅卯辰已午小形之各邊為甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各邊之一半而為同式形可知矣又如甲乙丙丁戊巳庚辛壬癸形從甲角作線至各角取乙丙度之一半置於甲乙甲丙二線之間與乙丙平行如子丑照此於諸對角線間作諸界之平行線即成甲子丑寅卯辰巳午未申小形為原形每界減半之同式形其理亦與前同若欲作比原形大㡬倍之形則以所作諸對角線按分引長而於本形外作諸界之平行線即成所欲作之大形也第十四作分釐尺法如甲戊尺三寸每寸欲分為百釐則將甲乙邊平分作十分將戊巳邊亦平分為十分對所分之分作諸横線與乙戊平行次將一寸之甲辛乙丙兩邊俱分為十分冄於甲辛邊之第一分作斜線至乙丙邊之乙處如此作十斜線俱與第一分斜線平行即分乙丙之一寸為一百釐也何也甲辛乙丙皆為一寸之度俱平分為十分矣若將每分又分為十釐即每寸亦得百釐然度狹線多必致相淆今作斜線横線各十其横斜相交處共有百分此百分即百釐也如第一斜線與第一横線相交之㸃即為一釐與第二横線相交之㸃即為二釐以至第十横線相交之㸃為十釐即甲辛邊所分之第一分之十釐也一斜線有十釐則十斜線豈非百釐乎由此推之若作二十横線則一斜線得二十釐每寸即分為二百釐作百横線則一斜線得百釐每寸即分為千釐其法甚簡而其用尤甚便也第十五凡有三角形知其一角之度及此一角之兩傍界或知其二角之度及此二角之間一界或不知角度但知三界欲求其餘角餘界法如有一甲乙丙三角形知丙角為三十八度四十四分及丙角兩傍之丙甲界長十四丈丙乙界長十三丈而欲知其餘角餘界則依十一卷第八節法作與丙角相等之三十八度四十四分之丁角將丁角兩傍之丁戊界作十四分丁巳界作十三分乃自戊至巳作一戊巳線成一丁戊巳小三角形與甲乙丙大三角形同式量其戊己邊得九分即大形之甲乙邊為九丈也再用有度之圜量取小形戊角得六十四度三十七分即大形甲角之度也小形巳角得七十六度三十九分即大形乙角之度也何也夫甲乙丙戊已丁兩三角形之式既同其相當各角各界必俱相等小形之丁角即與大形之丙角等其餘兩角亦必等小形之丁已邊既以十三分當大形丙乙邊之十三丈則小形戊巳邊之九分必當大形甲乙邊之九丈矣又或知甲乙丙三角形之乙角為七十六度三十九分丙角為三十八度四十四分及乙丙界長十三丈而欲知其餘角餘界則作己丁界為十三分照乙角丙角度作已角丁角於是畫巳戊丁戊二界相交於戊即成戊巳丁同式之小三角形此小形之戊角必與甲角等而小形之丁戊界十四分與大形之甲丙界十四丈相當小形之戊己界九分與大形之甲乙界九丈相當矣若知甲乙丙三角形之甲乙甲丙乙丙三界而不知其角則照前將三界之度作同式之小形量其三角之度即知大形之角度矣第十六作分數比例測量儀器法以甲丙乙半圜界分為一百八十度每度作六十分將此半圜之丁甲丁乙丁丙三半徑線照所容方界分截開分為一百分於每分上俱與三半徑平行作縱横線於甲乙徑線之甲乙兩末作兩定表以圜丁心為樞作一遊表如丁巳將此遊表亦如前所分一百分度作二百分復於此儀器後面作一垂線記號以掛墜線如庚即成一全儀器用以測髙深廣逺可知其各角各界之度矣如有一辛壬旗杆欲測其髙則將儀器按墜線立準看甲乙徑線兩末之定表與旗杆癸處相對乃為地平再將丁巳遊表與旗杆頂尖辛處相對次量儀器中心所對處至旗杆癸處得㡬何如有四十丈則看儀器丁乙線上自丁心至子得四十分以當地平四十丈即視與子相對垂線至遊表相交處有㡬何如丑子三十分即為旗杆自辛至癸相當數為三十丈也再加癸壬髙即得旗杆辛壬之共髙度矣蓋儀器上之丁子丑小三角形與所測得丁癸辛大三角形原為同式其相當各界之比例必俱相同故以丁子四十分與子丑三十分之比即同於丁癸四十丈與癸辛三十丈之比也若欲知丁辛弦線數即視遊表自丁至丑相交之處得㡬何如有五十分其相當數即為五十丈也若欲知丁癸辛三角形之各角度則視圜界與遊表相交處如巳其乙巳弧度即丁角三十五度一十三分其餘巳丙弧五十度四十七分即辛角度而癸辛線原與子丑垂線平行為平行線故癸角必是直角而為九十度也第十七倣各種地形畫圖法如有甲乙丙丁地形欲畫一圖則選能見各地之二處立儀器為戊為巳將戊與巳對准定表先自戊以遊表視庚辛壬癸等處得諸角之度皆細記之如庚戊巳角得八十一度辛戊巳角得五十度三十分壬戊巳角得四十五度八分癸戊巳角得三十三度二十分次自巳以遊表照前視庚辛壬癸等處得諸角之度亦細記之如庚已戊角得三十五度四十分辛巳戊角得四十度十分壬已戊角得四十七度二十五分癸巳戊角得七十度於是任意作一子丑線為戊己相當線於此子丑線之兩末作諸角與所記諸角相等將所作諸角之各線俱引長使相交於寅卯辰巳等處乃以庚辛壬癸所有之諸地形並其餘各處凡目之所見俱畫於圖之相當各界即成一午未申酉之圖即甲乙丙丁地形之圖也葢午未申酉圖内所作寅子丑卯子丑類諸三角形之角度皆與甲乙丙丁地形之庚戊已辛戊巳類諸三角形之角度相等而作故其相當各三角形俱為同式此所以全圖與全地形為同式也第十八畫地理圖欲約為小圖或欲廣為大圖法如有甲乙丙丁一地理圖欲約為小圖為原圖四分之一則用甲乙丙丁形界之四分之一畫一戊已庚辛形將甲乙丙丁原形任意分為數正方形而將小形亦分為數正方形視原圖中所有山川城郭村墅林園函於大圖之某正方分者約而畫入小圖某正方形内則此所畫之戊巳庚辛小圖即與原有甲乙丙丁大圖為同式矣第十九作比例尺平分線法如此比例尺欲作平分線則自甲樞心至乙丙二末作甲乙甲丙二線用本卷第五節法分之各平分為二百分即為比例尺之平分線也以用法明之如有丁戊一直線欲平分為十分則將比例尺一百分之己庚二㸃照丁戊線度展開勿令移動次取比例尺之第十分之辛壬二㸃相離之度即是丁戊線之十分之一分也何則自乙至丙作一線自己至庚作一線自辛至壬復作一線其甲乙丙三角形與甲己庚三角形為同式而甲己庚三角形又與甲辛壬三角形為同式是以所分甲己線與甲乙線之比同於己庚線與乙丙線之比而甲辛線與甲己線之比亦同於辛壬線與己庚線之比也然則十分之甲辛線既為百分之甲己線之十分之一其辛壬線亦必為己庚線之十分之一矣丁戊線原與己庚線同度則辛壬線亦為丁戊線之十分之一可知矣第二十作比例尺分圜線法如於比例尺欲作分圜線則自甲樞心至乙丙二末作甲乙甲丙二線乃平分甲乙線於未以未為心以甲乙二末為界作一半圜於是分圜界為一百八十度復以甲為圜心至所分圜界戊巳庚辛壬癸子丑等處作各弦線又將諸弦線度移於尺之甲乙甲丙二線則此二線即成一圜之諸弦之總線也以用法明之如寅卯寅辰二線所合寅角欲知其度則以寅為心作一辰卯弧將比例尺六十度之丁未兩㸃相距之度照寅辰或寅卯度展開勿令移動次取卯辰相距之度於比例尺上尋至八十度之申酉處恰符即是寅角為八十度也何則若自丁至未自申至酉作二線成甲申酉甲丁未兩同式三角形其相當各角各界俱為相當比例之率故甲未線與甲酉線之比同於丁未線與申酉線之比也夫甲未線既為比例尺所作甲庚六十度之弦線而甲酉線又為甲辛八十度之弦線其丁未線既與小圜寅卯輻線等而輻線原與六十度之弦線等然則丁未線即小圜六十度之弦線而申酉線亦為小圜八十度之弦線也以此得知寅角之卯辰度為八十度也第二十一作比例尺分面線法如此比例尺欲作分面線則以甲樞心處至乙丙二末作甲乙甲丙二線自甲截甲丙線於丁照所截甲丁度於甲心作一甲戊垂線自戊至丁作一戊丁線又照戊丁線度自甲截甲丙線於已自戊至已作一戊已線又照戊已線度自甲截甲丙線於庚自戊至庚作一戊庚線又照戊庚線度自甲截甲丙線於辛自戊至辛作一戊辛線又照戊辛線度自甲截甲丙線於壬自戊至壬作一戊壬線照此累累截之至丙末又將甲丙線所截各度移置甲乙線即成比例尺之分面線也何則於甲丁戊直角三角形之三界作卯丁辰戊戊已三正方形其甲丁甲戊二線因為相等度所作故卯丁辰戊二形必等再於戊甲丁直角相對之戊丁界所作之戊巳一方形亦必與直角兩旁界所作卯丁辰戊二方形相等也(見九卷第四節)次於甲已界作未巳正方形甲己界原與戊丁等則甲已界所作未已方形即與戊丁界所作之戊巳方形相等矣未巳方形既與戊巳方形等則必與卯丁辰戊二形相等而亦與卯丁之倍數相等矣夫甲巳界即大於卯丁形一倍為未巳形之一界也倣此論之則甲庚界即為比卯丁形大二倍形之界而甲辛甲壬等界即為比卯丁形大三倍四倍形之界可知矣以用法明之如有一癸子正方形欲作大二倍之正方形則將比例尺展開使其丁丑相距之度與癸子界度等次取比例尺寅庚相距之度即是比癸子方形大二倍之方形之一面界度也何則自丁至丑自庚至寅作丁丑庚寅二線成甲丁丑甲庚寅同式兩三角形則甲丁線與甲庚線之比即同於丁丑線與庚寅線之比也夫甲庚線所作方形原比甲丁線所作方形大二倍則庚寅線所作方形必比丁丑線所作方形亦大二倍矣丁丑之度原與子癸等則寅庚線豈非比子癸方形大二倍方形之一界乎第二十二作比例尺分體線法如於比例尺欲作分體線則以甲樞心之甲乙甲丙二線任作丁已一正方體取其戊己一界之度置於尺上自甲截甲乙線於庚次作比戊已界大一倍之辛壬線又於戊巳辛壬二線間照本卷第十節法作相連比例之癸子丑寅二率乃取癸子線度置於尺上仍自甲截甲乙線於辰則甲辰所作卯子正方體必比甲庚所作丁已正方體大一倍矣何則試將癸子線作卯子正方體則與丁己正方體為同式其二體相比之比例必同於戊已癸子二界所生連比例加二倍之比例今辛壬線既為戊巳相連比例之第四率則丁已卯子二體之比例必同於戊已辛壬二線之比例矣辛壬線既比戊己線大一倍則卯子體亦比丁已體大一倍可知矣又作比戊已界大二倍之己未線仍照本卷第十節法作戊已巳未二線間相連比例之申酉戌亥二率乃取申酉線度置於尺上自甲截甲乙線於乾則甲乾所作午酉正方體即比甲庚所作丁巳體大二倍矣照此屢倍戊己界求相連比例之四線取其第二線度置於尺之甲乙線上又按甲乙線所截各度移置甲丙線即成比例尺之分體線也以用法明之如有一坎庚正方體欲作大二倍之體則將比例尺展開使其庚與庚(第一次所截之㸃)相距之度與艮庚界度等次取比例尺乾與乾(第三次所截之)(㸃)相距之度即是比坎庚正方體大二倍之正方體之一界度也何則自比例尺之庚乾二處作庚庚乾乾二線即成甲庚庚甲乾乾同式兩三角形則甲庚線與甲乾線之比同於庚庚線與乾乾線之比例矣夫甲乾線所作方體原大於甲庚線所作正方體之二倍則乾乾線所作正方體必大於庚庚線所作正方體之二倍可知矣又㨗法設正方體界一百釐其積數一百萬釐以二因之成二百萬釐立方開之得界一百二十五釐又以三因之成三百萬釐立方開之得界一百四十四釐照此屢倍積數開立方將所得之數於分釐尺上取其度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分體線與前求連比例之法無異也御製數理精藴上編卷四
## 上編卷五
欽定四庫全書御製數理精藴上編卷五算法原本一算法原本二算法原本一第一一者數之原也衆一相合而數繁焉不能無大小多寡之不齊而欲知其所以分合之故必有一定之法始可以得其準若夫累積小數與大數等者此小數即度盡大數之準也(如大數有八小數有二四倍其二與)(八必等則二即為度盡八之準)苟累積小數不能與大數等者此小數即非度盡大數之準也(如大數有八小數有三二倍其三為六小於八矣二倍其三為九又大於八矣)(若此者即為非度盡大數之準)要之小數為大數之平分者即能度盡大數而小數非大數之平分者即不能度盡大數是故以小度大以寡御多求其恰符而毫無舛者惟在得其平分之法而已第二數之目雖廣總不出奇偶二端何謂偶兩整平分數是也何謂奇不能兩整平分數是也如二四六八十之類平分之俱為整數斯謂之偶數矣若三五七九十一之類平分之俱不能為整數斯謂之奇數矣又如小偶數分大偶數得偶分則謂之偶分之偶數(如小偶數四分大偶數三十二)(得八平分是為偶分其三十二即為偶分之偶數)小偶數分大偶數得奇分則謂之奇分之偶數(如小偶數)(六分大偶數三十得五平分是為奇分其三十即為奇分之偶數)又如小奇數分大奇數得奇分則謂之奇分之奇數矣(如小奇數五分大奇數十五得三平分是為奇分其十五)(即為奇分之奇數)第三乘者兩數相因而成也葢有兩數視此一數有幾何彼一數有幾何將此一數照彼一數加幾倍則兩數積而復成一數故謂之相因而成然不用加而用乘者何也葢加湏層累而得乘則一因即得此立法之精而理則實相通也如有六與十兩數以十為主而加六次得六十以六為主而加十次亦得六十今以十為主而以六乘之或以六為主而以十乘之皆得六十其數無異而比加捷矣第四凡兩數相乘為平方數如四與六相乘得二十四是也試將四六兩數作㸃排之縱立四㸃為甲乙橫列六㸃為甲丁將此六㸃累四次即成甲乙丙丁平方數矣又若相等兩數相乘得數則為正方數如五與五乘得二十五是也苟將五數縱橫各列五㸃或依縱數或依横數累五次即成戊已庚辛正方數矣第五凡數之相乘可用線以表之然線雖無廣分如依一線之長分廣為小方面看此線所有方面若干將彼線所有方面加作幾倍或看彼線所有方面若干將此線所有方面加作幾倍則二線相積而成面矣設如有甲乙二線甲線之分為三乙線之分為四將此二線相乘則依甲線三分之一分作廣分為甲丙依乙線四分之一分作廣分為乙丁其甲丙有三小方形乙丁有四小方形若依甲丙所有之數將乙丁加為三倍或依乙丁所有之數將甲丙加為四倍俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣葢面為線之積以一線為横一線為縱縱横相因而成故測面者必於線知線即可以知面也第六凡二線彼此各分不均而有零分者其相乘所成方面亦有零分也設有甲乙二線甲線為三分今將甲線依三分之一分作廣分為三小方形並無餘積而乙線照甲線分則為四分有零亦將乙線依甲線一分作廣分則為四小方形而餘戊一小形以所作甲丙為横乙丁為縱則成一丁甲四方形而此形之内必有十二小方形仍有三小戊形附於十二方形乃為二線相乘之總積也又如此類一線有零分者其餘分在一邊若二線俱有零分者則其餘分亦在二邊矣第七凡三數遞乘為立方數如二與三相乘得六又以四乘之得二十四是也試將二三四之三數作㸃排之縱列二㸃為甲丁横列三㸃為甲乙將此三㸃累二次成丁乙平方數又直立四㸃為丙丁依丙丁數將丁乙平方數累四次即成丙乙立方數矣又若相等三數遞乘得數則為正立方數如三與三乘得九再以三乘得二十七是也試將三數縱橫各排三㸃平列三次成庚已平方數又直立三㸃將庚己平方數累三次即成戊已正立方數矣第八凡數之遞乘為體可用面以表之葢面雖無厚分如依一面之積分廣爲小方體看面所有積分得線之長分若干將面所有小方體加作幾倍則線面因之而成體矣設如有甲乙面之分為四丙丁線之分為三將此面線相乘則依甲乙面四分之一作厚分為四小方體乃依丙丁線分數將甲乙加為三倍即成函十二小方體之丙乙直角立方體矣葢體為面之積而面為線之積故線可以測面并可以測體也第九除者兩數相較而分也葢視大數内有小數之幾倍將大數照小數減幾次則大數分而復為一小數故謂之相較而分然不用減而用除者何也葢減必遞消其分除則一歸而即得除之與減即猶乘之與加正相對待者也如有大數十二小數四若用十二以四減之三次而盡即知十二為四之三倍若用除法則三倍其四與十二較其數適等即知十二為四之三倍矣此除之與減理相通而用較捷也第十凡兩數相乗之平方數以一數除之必得其又一數也設如甲乙五乙丙六兩數相乘之甲乙丙丁平方數三十若以甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六除之即得甲乙五葢此三十中有五之六倍六之五倍如作㸃排之五㸃為横則縱排六次六㸃為橫則縱排五次皆成方數故兩數不等平方面知其一數或知兩數相差之較始能得其兩邊線也又若正方數則其縱横皆同如戊己庚辛之正方數二十五其縱橫皆五是巳故凡正方面有積數即可得其每邊者葢因其縱橫兩邊皆等故也第十一凡以線乘線即成面而以線除面亦復得線故數之乘者可用線以表之而除者亦可用線以表之也設如有甲乙丙丁一方面積一十二以甲乙線四分除之得乙丙線之三分或以乙丙線三分除之亦得甲乙線之四分試將甲乙乙丙二線作廣分則甲乙線成四小方形乙丙線成三小方形若依甲乙線所有數以分甲乙丙丁面即每分得三小方形如乙丙線依乙丙線所有數以分甲乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙線葢除之與乘猶分合之相對以線合者仍以線而分返本還原之義有不爽矣第十二凡有零分不均二線相乘之方面以整分線除之必得零分線以零分線除之必得整分線也設如甲線三分乙線四分有零相乘成丁甲面若以甲線三分除之即得乙線四分有零或以乙線四分有零除之亦得甲線三分試將甲線作廣分成三小方形為甲丙乙線作廣分則成四小方形為乙丁餘戊一小形若依甲丙線所有數以分丁甲面即每分得四小方形一戊小形如乙丁線或依乙丁線所有數以分丁甲面即每分得三小方形如甲丙線矣此為二線一整一零相乘之總積故以整線除之得零以零線除之得整若二線俱有零分者彼此除之必俱得零分也第十三凡三數遞乘之立方數以兩數遞除之始得其又一數也設如甲乙四乙丙二丙丁三遞乘得甲丁立方數二十四若以甲乙四除之得乙丁平方數六再以乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方中有三之二倍而甲丁立方中有六之四倍如作㸃排之二㸃為縱橫排三次直累四次即成方體故三數不等立方體知其兩數或知其三數相差之較始能得各邊也又若正立方體其縱橫厚度皆為一數即以一數遞除二次則其原數自得如戊己正立方數二十七其縱横厚皆三是巳故凡正立方體有積數即可得其每邊者正為其縱横厚度皆等故也第十四凡以線除體即得面而以面除體亦復得線故線可以除面而面亦可以除體也設如有丙乙體積一十二以丙丁線三分除之得甲乙面之四分或以甲乙面四分除之亦得丙丁線之三分試將甲乙面作厚分則成四小方體若依丙丁線所有數以分丙乙體即每分得四小方體如甲乙面依甲乙面所有數以分丙乙體即每分得三分如丙丁線葢體本以線面相乗而得故可以線面相除也第十五凡大數用小數可以度盡者此大數必為此小數之所積也然所謂小數可以度盡大數者復有幾種有大數惟一數可以度盡者如四九二十五四十九之類惟用二可以度四三可以度九五可以度二十五七可以度四十九是也有大數用兩數三數俱可以度盡者如八與十二之兩數用二用四俱可以度盡八用二用三用四俱可以度盡十二是也有兩大數或三大數用一小數俱可以度盡者如十二十六之兩數或一十十五二十之三數用四可以度盡十二十六之兩數用五可以度盡一十十五二十之三數是也又有一小數可以度盡幾大數將此幾大數相加為一總數此小數亦可以度盡此總數如四可以度盡十二十六兩數若將十二十六相加為二十八則此四亦可以度盡此二十八也又或一小數可以度盡幾大數將此大數不拘幾分分之此小數可以度盡一分亦必可以度盡其餘幾分也如三可以度盡十五將十五分為六九兩數此三可以度盡六亦必可以度盡九也又如六與九兩數用三俱可以度盡若將六與九相乘得五十四此小數三仍可以度盡此五十四也凡此類者皆為彼此有度盡之數也第十六凡大數用小數不可以度盡者此大數必非此小數之所積也然用一以度之無不可以度盡者葢一為數之根諸數皆自一而積之故也所謂度不盡者亦復有幾種有大數無小數可以度盡者如五七十一十三之類任用二用三用四俱不能度盡也有兩大數或三大數用小數彼此不可以度盡者如十五與八之兩數用二用四可以度盡八而不能度盡十五用三用五可以度盡十五而不能度盡八又如四六九之三數用二可以度盡四六而不能度盡九用三可以度盡六九而不能度盡四也又有彼此不能度盡之數或將一數自乘或將兩數俱自乘彼此仍俱不可以度盡也如五與六之兩數彼此不能度盡亦無一小數可以度盡此兩數即將五自乘為二十五或將六自乘為三十六則六仍不能度盡二十五而五仍不能度盡三十六即二十五亦不能度盡三十六也又如三七兩數與二五兩數俱為彼此不能度盡之數或將三與七相乘得二十一將二與五相乘得一十此一十與二十一之兩數仍為彼此不能度盡之數也凡此類者皆為彼此無度盡之數也第十七凡兩數互轉相減未至於一而即可以減盡者此減盡之最小數即可以度盡此兩數也設如有甲乙十六丙丁六之兩數將丙丁六與甲乙十六減二次餘戊乙四將此戊乙四轉與丙丁六相減餘己丁二又將此已丁二轉與戊乙四相減二次即無餘則此已丁二即可以度盡甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二與十六等三倍其二與六等也又如十六與十二與八此三數亦為彼此有度盡之數何也葢十六與十二相減餘四以四轉與十二相減三次而盡則四可以度盡十六與十二矣又二倍其四即與八等則四又可以度盡八然則十六十二與八之三數為彼此有度盡之數可知矣第十八凡兩數互轉相減至於一始可以減盡者一之外别無他小數可以度盡此兩數也設如有甲乙十二丙丁七之兩數將丙丁七與甲乙十二相減餘戊乙五將此戊乙五轉與丙丁七相減餘已丁二將此已丁二又轉與戊乙五相減餘庚乙三又將庚乙三轉與己丁二相減餘辛乙一既至於一始可以度盡甲乙丙丁兩數而一之外如二三四雖可以度盡十二而不能度盡七也又如九與十三及二十之三數亦為彼此無度盡之數何也葢將九與十三互轉相減必至於一即用十三與二十轉減或用九與二十轉減亦皆至於一則除此一之外皆無可以彼此度盡此三數之小數矣第十九凡有大數約為相當比例之最小數以從簡易則為約分法也然數有可約不可約之分可約者度盡之數不可約者度不盡之數也設如有九與十二之兩數欲約為相當比例之最小數乃用求小數度盡大數法以九與十二互轉相減得減盡之數為三則三為度盡九與十二之數矣以三除九得三以三除十二得四此三四兩數即為九與十二相當比例之最小數也又如有六四八之三數欲約為相當比例之最小數乃以六與四互轉相減得減盡之數為二又以二與八相減四次而盡則二為度盡六四八之小數矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三數即六四八相當比例之最小數也此皆數之可約者也若夫數之不可約者互轉相減必至於一而不可以度盡也如有五七兩數以五減七餘二復以二減五二次餘一既餘一則自一之外必無可以度盡之數而不可約矣第二十凡有大分以分母乘之通為小分則為通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘則積少成多其得數溢於原數之外通則變大為小其得數仍函於原數之中也如有大分十二其分母為四欲得其小分則以分母四乘大分十二得小分四十八是已試作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若將中函之方形每分俱分為四小方則十二方形共分為四十八小方形矣其數雖比原大數加四倍然其每分之分只得原數之四分之一故仍函於甲乙方形之内而未嘗溢出原數之外也又如有大分九其分母為九欲得其小分則以分母九乘大分九得小分八十一是已試作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若將其中函之方形每分俱分為九小方則九方形共分為八十一小方形矣其數雖比原大數加九倍而仍函於丙丁方形之内者以其每分之分只得原數之九分之一也由此推之其每分之母或為八或為十二或為數十亦皆倣此通之其所通之數雖至千萬而要皆未有溢於所通原分之外者矣第二十一凡有幾小數欲求俱可以度盡之大數則以此幾小數連乘之得數始為此幾小數度盡之一大數也設如有四五兩小數欲求用四用五俱可以度盡之一數則以四與五相乘得二十即為四五兩數俱可度盡之一大數矣又如有三四五之三小數欲求用三用四用五俱可以度盡之一數則以三與四相乘得十二又以五乘十二得六十即為三四五俱可度盡之一大數矣葢小數為大數之根始能度盡大數如四五可以度盡二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度盡六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二凡有兩數彼此互乘所得之數與原數比例必同也葢數有多寡而分又有大小則紛紜難御故必依此數之分將彼數加為幾倍又依彼數之分將此數加為幾倍則兩分數既同而比例亦同矣如甲乙二數甲為三分之二乙為四分之三欲辨其孰大則依甲數將乙數加三倍為十二分之九依乙數將甲數加四倍為十二分之八如是則所加之兩大分同為十二而所生之兩小分相比即同於原甲數與乙數之相比矣何也甲數本三分之二而為十二分之八者乃加四倍之比例(十二為三之四倍八為二之四倍)而十二分之八之比例仍同於三分之二之比例也乙數本四分之三而為十二分之九者乃加三倍之比例(十二為四之三倍九)(為三之三倍)而十二分之九之比例仍同於四分之三之比例也(此即互乘同母之法如甲為三分之)(二者三即母數二即子數也乙為四分之三者四即母數三即子數也因兩母)(數不同故用互乘以同之)第二十三凡子母分有幾數而子數同為一者先以各母求俱能度盡之一數次以各母除之則爲各子數也如甲乙丙三數甲為二分之一乙為三分之一丙為四分之一則先以三母數連乘得二十四為甲乙丙之共母數又以二除共母數得十二為甲之子數以三除共母數得八為乙之子數以四除共母數得六為丙之子數葢甲本二分之一子母各加十二倍即為二十四分之十二而二十四與十二之比例仍同於二與一之比例也乙本三分之一子母各加八倍即為二十四分之八而二十四與八之比例仍同於三與一之比例也丙本四分之一子母各加六倍即為二十四分之六而二十四與六之比例仍同於四與一之比例也第二十四凡子母分有幾數而子母數俱不等者亦先以各母求俱能度盡之一數次以各母除之得數復以各子數乘之即為各子數也如有甲乙丙三數甲為三分之二乙為四分之三丙為五分之四則先以三母數連乘得六十為甲乙丙之共母數次以三除共母數得二十以乘子數二得四十為甲之子數又以四除共母數得十五以乘子數三得四十五為乙之子數又以五除共母數得十二以乘子數四得四十八為丙之子數葢甲本三分之二子母各加二十倍即為六十分之四十而六十與四十之比例仍同於三與二之比例也乙本四分之三子母各加十五倍即為六十分之四十五而六十與四十五之比例仍同於四與三之比例也丙本五分之四子母各加十二倍即為六十分之四十八而六十與四十八之比例仍同於五與四之比例也算法原本二第一凡有幾小數與幾大數相比其比例若同則小數相加所得之總數與大數相加所得之總數相比仍同於原數之比例也設如有一小數六一小數四一大數十八一大數十二其小數六為大數十八之三分之一而小數四亦為大數十二之三分之一將兩小數六四相加得一十將兩大數十八十二相加得三十此一十與三十之比即如六與十八四與十二之比皆為三分之一之比例也又如三小數二三四與三大數六九十二相比皆為三分之一將二三四相加得九將六九十二相加得二十七其比例亦為三分之一也又或四小數四大數相加其總數之比例亦皆同如三與十二四與十六五與二十六與二十四俱為四分之一將三四五六四小數相加得十八將十二十六二十二十四四大數相加得七十二其比例仍為四分之一矣第二凡有幾小數與幾大數之比例若同則小數相減所得之餘數與大數相減所得之餘數相比仍同於原數之比例也設如有一小數十一小數六一大數三十一大數十八其小數十為大數三十之三分之一而小數六亦為大數十八之三分之一將兩小數十與六相減餘四將兩大數三十與十八相減餘十二此四與十二之比即如十與三十六與十八之比皆為三分之一之比例也又如三小數八四三與三大數二十四十二九相比皆為三分之一將四三與八遞相減餘一將十二九與二十四遞相減餘三其比例亦為三分之一也又或四小數四大數相減其餘數之比例亦皆同如十八與七十二為四分之一而三與十二四與十六五與二十俱為四分之一將小數三四五與十八遞相減餘六將大數十二十六二十與七十二遞相減餘二十四其比例仍為四分之一矣第三凡有一數乘兩數其所得兩數相比仍同於原兩數之相比也設如一數六與八與一十兩數相乘以六乘八得四十八以六乘一十得六十此四十八與六十相比即同於原數八與一十之相比矣夫八與四十八一十與六十皆為六分之一故一與六之比同於八與四十八之比而一與六之比亦同於十與六十之比也然則八與四十八之比例必同於十與六十之比例而四十八與六十之比例亦必同於八與一十之比例可知矣第四凡有一數除兩數其所得兩數相比仍同於原兩數之相比也設如一數三除十二與十五之兩數以三除十二得四以三除十五得五則此四與五相比即同於原數十二與十五之相比矣夫十二與四十五與五皆為三分之一故一與三之比同於四與十二之比而一與三之比亦同於五與十五之比也然則四與十二之比例必同於五與十五之比例而四與五之比例亦必同於十二與十五之比例可知矣第五凡相當比例四數其第一數與第四數相乘第二數與第三數相乘所得之數等者何也葢兩方面以其縱横界互相為比之比例若等則兩方積必等(見幾何原)(本七卷第三節)今以第一數與第四數相乘即如以第一數為縱第四數為横成一方數而第二數與第二數相乘即如以第二數為縱第三數為横成一方數其積必相等也設如有二與六三與九相當比例四數將第一數二為縱第四數九為横相乘得十八為甲丙一方數將第二數六為縱第三數三為横相乘亦得十八為戊庚一方數夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之二而戊庚方之戊己縱界比甲丙方之甲乙縱界亦大三分之二其比例相等故兩方數亦等此兩方數既等則相當比例四數其第一數與第四數相乘第二數與第三數相乘所得之數相等無疑矣第六凡相連比例三數其首數與末數相乘與中一數自乘所得之數等者何也葢兩方面相等者其縱横界之互相比例必等(見幾何原本七卷第三節)今將首數與末數相乘即如以首數為縱末數為横成一方數而中數自乘即是以中數為縱復以中數為横成一方數其積必相等也設如有四六九相連比例三數將首數四為縱末數九為横相乘得三十六為甲丙一方數將中數六為縱仍復為横相乘即是自乘亦得三十六為戊庚一方數夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊己縱界比甲丙方之甲乙縱界亦大三分之一其比例相等故兩方數亦等此兩方數既等則相連比例三數其首末兩數相乘與中數自乘所得之數相等無疑矣第七凡有兩數除一數其所得兩數之比例即同於原兩數之轉相比例也設如有一數十八以二三兩數除之二除十八得九三除十八得六以此九與六兩數相比即同於原兩數三與二之相比也葢二與三六與九為相當比例之四數以第一數二與第四數九相乘第二數三與第三數六相乘皆得十八故二除十八得九即如以第一數除第二數與第三數相乘之數而得第四數也以三除十八得六即如以第二數除第一數與第四數相乘之數而得第三數也夫相當比例數其第二數與第四數之比原同於第一數與第三數之比故第一數二除十八所得之九與第二數三除十八所得之六相比即同於第二數三與第一數二之相比也第八凡有兩數除一數其所得之兩數内有一數與原兩數内一數相等者則所得之兩數與原兩數互轉相比即成相連比例之數也設如有一數三十六以四六兩數除之四除三十六得九六除三十六仍得六與原數六相等則此九與六兩數之比即同於原數六與四之比也葢四與六六與九為相連比例之四數以四為首數九為末數相乗以六為中數自乘皆得三十六今以四除三十六得九即如以首數除中數自乘之數而得末數也以六除三十六復得六即如以中數除首末兩數相乘之數而仍得中數也夫相連比例數其末數與中數之比原同於中數與首數之比則首數四除三十六所得九與中數六除三十六所得六相比即同於中數六與首數四之相比也第九凡相當比例四數其第一數度盡第二數則第三數亦必度盡第四數也如有二六三九相當比例四數其第一數二可以度盡第二數六則第三數三亦可以度盡第四數九矣夫相當比例四數第一與第二之比必同於第三與第四之比今第一為二第二為六乃加三倍之比例則第四與第三亦必為加三倍之比例故三倍其二可以度盡六者三倍其三即可以度盡九也第十凡相連比例三數其第一數度盡第二數亦必度盡第三數也如有二四八相連比例三數其第一數二可以度盡第二數四亦必可以度盡第三數八矣夫相連比例三數第一與第二之比同於第二與第三之比今第一數為二第二數為四乃加倍之比例則第二與第三亦必為加倍之比例而第一與第三則為再加一倍之比例故一倍其二可以度盡四者再倍其二即可以度盡八也第十一凡依次遞加取四數其第一第四兩數相加與第二第三兩數相加之數等也如一二三四遞加之四數將第一數一與第四數四相加得五以第二數二與第三數三相加亦得五又如一三五七遞加之四數(一三五七為隔一數以遞加者也)將第一數一與第四數七相加得八以第二數三與第三數五相加亦得八也又如二五八十一遞加之四數(二五八十一為隔二數以遞加)(者也)將第一數一與第四數十一相加得十三以第二數五與第三數八相加亦得十三由此推之或隔三數或隔四數或隔五六數以至極多數但依次遞加取四數無有不如此也第十二凡依次遞加取三數其首末兩數相加與中數加倍之數等也如二三四遞加之三數將首末二四相加得六以中數三倍之亦得六又如二四六遞加之三數(二四六隔一數以遞加者也)將首末二六相加得八以中數四倍之亦得八也又如三六九遞加之三數(三六九隔二數以遞加者也)將首末三九相加得十二以中數六倍之亦得十二由此推之或隔三數或隔四數或隔五六數以至極多數但依次遞加取三數無有不合者也第十三凡依次遞加三數以第二第三兩數相加減去第一數即得挨次之第四數也如二三四之三數以第二數三第三數四相加得七内減去第一數二得五即是第四數又如二四六隔一數遞加之三數以第二數四第三數六相加得一十内減去第一數二得八即是第四數亦為隔一數又如三六九隔二數遞加之三數以第二數六第三數九相加得十五内減去第一數三得十二即是第四數亦為隔二數矣葢此即四率相當比例之理四率中兩率相乘與首末兩率相乘之數等故中兩率相乘以首率除之即得末率而此則中兩數相加與首末兩數相加之數等故以首一數減之即得末一數其義一也第十四凡依次遞加兩數以第二數倍之減去第一數即得挨次之第三數也如二三兩數將第二數三倍之得六内減去第一數二餘四即是第三數又如二四隔一數之兩數將第二數四倍之得八内減去第一數二餘六即是第三數四與六亦為隔一數也又如三六隔二數之兩數將第二數六倍之得十二内減去第一數三餘九即是第三數九與六亦為隔二數也葢此即三率相連比例之理三率以中率自乘與首末兩率相乘之數等故中率自乘以首率除之即得末率而此則中數倍之與首末兩數相加之數等故以首數減之即得末數於此見加減乘除之相對待而加減可以代乘除之理亦可從此推矣第十五凡有彼此可以度盡兩數欲求相連比例之數則以一數自乘以一數除之即得相連比例之第三數也如有四八兩數欲求第三數如四與八之相連比例乃以八自乘得六十四以四除之得十六此十六即為四與八相連比例之第三數葢八者四之二倍而十六又為八之二倍則八與十六之比例必同於四與八之比例矣如有三數求第四數仍如四與八之比例則以第三數十六自乗得二百五十六以第二數八除之得三十二即為四八十六相連比例之第四數葢十六者四之四倍而三十二者八之四倍則十六與三十二之比例必同於四與八八與十六之比例矣如欲求連比例之第五數或第六數即以相近兩數依前法算之由此遞生可至於無窮焉然此皆四與八之比例或四與十六或三與六五與十之類凡有彼此度盡之數欲求相連比例幾數者亦皆如此求之無不可得矣第十六凡有彼此不可以度盡之兩數欲依此兩數比例求相連比例之數則以一數自乘為第一率而以又一數自乘為第三率以兩數互乘為第二率即為相連比例之三數也如有三五兩數欲求相連比例三數皆如三與五之比例乃以三自乘得九以五自乘得二十五以三與五相乘得十五此九與十五十五與二十五之三數即如三與五之相連比例三數葢九為三之三倍而十五為五之三倍則九與十五為三與五之比例矣而十五為三之五倍二十五為五之五倍則十五與二十五亦為三與五之比例矣又或已有三數欲求第四數皆如三與五之連比例則以三乘九得二十七以三乘十五得四十五以三乘二十五得七十五復以五乘九得四十五五乘十五得七十五五乘二十五得一百二十五此所得六數内四十五七十五各得二今止用其一故二十七四十五七十五一百二十五之四數即如三與五之相連比例數也葢二十七者三之九倍而四十五者五之九倍則二十七與四十五之比例同於三與五之比例矣又四十五者三之十五倍而七十五者五之十五倍則四十五與七十五之比例同於三與五之比例矣又七十五者三之二十五倍而一百二十五者五之二十五倍則七十五與一百二十五之比例亦同於三與五之比例矣如欲求連比例之第五數或第六數以原一數遞乘先得之幾數復以又一數遞乘先得之幾數去其相同者所餘即成相連比例之數由此求之亦可至於無窮也然此皆三與五之比例或三與七四與九五與八之類凡彼此不可以度盡之數欲求相連比例幾數者亦皆倣此求之而即得矣第十七凡相當比例四數其前兩數之間有相連比例二數其後兩數之間亦必有相連比例二數也設如有甲二十四乙八十一丙三十二丁一百零八相當比例之四數甲數二十四與乙數八十一之間有戊三十六己五十四之相連比例兩數則丙數三十二與丁數一百零八之間亦必有庚四十八辛七十二之相連比例兩數也試將甲戊己乙四數求其相當比例之至小數則得壬八癸十二子十八丑二十七之四數其甲與乙之比即同於壬與丑之比而丙與丁之比原同於甲與乙之比則丙與丁之比亦必同於壬與丑之比矣其比例既同則壬可以度盡丙丑亦可以度盡丁而癸與子亦必可以度盡庚與辛(壬癸子丑各四)(倍之即與丙庚辛丁等是四次可以度盡也)是丙庚辛丁四數之比皆與壬癸子丑四數之比相同也夫壬癸子丑原為甲戊己乙連比例相當之小數今丙庚辛丁之比既與之相同則丙庚辛丁亦為相連比例之四數矣既俱為相連比例數則戊己為甲乙兩數間之連比例數庚辛為丙丁兩數間之連比例數無疑矣第十八凡相連比例三數其第一數與第二數之間有相連比例一數則第二數與第三數之間亦必有相連比例一數也設如有甲二乙十八丙一百六十二相連比例之三數其甲數二與乙數十八之間有相連比例之丁數六則乙數十八與丙數一百六十二之間亦必有相連比例之戊數五十四也葢甲與乙之比同於乙與丙之比今丁六為甲二之三倍戊五十四亦為乙十八之三倍則甲與丁之比同於乙與戊之比而丁六為乙十八之三分之一戊五十四亦為丙一百六十二之三分之一則丁與乙之比亦同於戊與丙之比因其比例皆同故甲丁乙戊丙為相連比例之五數而丁戊兩數為甲與乙乙與丙三數間之相連比例數可知矣第十九凡相連比例三數其首數與末數有用一數可以度盡者有用一數不可以度盡者如四八十六相連比例之三數其首數四與末數十六為彼此有一數可以度盡之數也如四六九相連比例之三數其首數四與末數九為彼此無一數可以度盡之數也然此兩種相連比例雖有度盡度不盡之分因其首數與中數之比同於中數與末數之比故總謂之相連比例之數焉葢末數可用首數平分即為有度盡之連比例數末數不可用首數平分即為無度盡之連比例數也且首末兩數彼此有一數可以度盡者此三數非相當比例之至小數若首末兩數彼此無一數可以度盡者此三數即為相當比例之至小數也如四八十六之三數其首末兩數為彼此有一數可以度盡之數而中數亦必為此一數可以度盡之數試用二以度之則得二四八之連比例三數或用四以度之則得一二四之連比例三數皆與四八十六之比例相同而比四八十六之數為小故四八十六非相當比例之至小數也如四六九之三數其首末兩數為彼此無一數可以度盡之數故中數亦為無一數可以度盡之數既無一數可以彼此度盡則為相當比例數内之至小數也明矣第二十凡同式兩平方數其間必有相連比例一數也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四同式兩平方數此兩數之間必有壬十二為相連比例之一數焉葢甲乙丙丁戊己庚辛既為同式平方數則其每邊皆可為比例如甲乙二與甲丁三之比同於戊己四與戊辛六之比而甲乙二與戊己四之比亦同於甲丁三與戊辛六之比也今以甲丁三與甲乙二相因得六甲丁三與戊己四相因得十二則六與十二之比同於甲乙二與戊己四之比矣又戊己四與甲丁三相因得十二戊辛六與戊己四相因得二十四則十二與二十四之比同於甲丁三與戊辛六之比矣夫甲丁三與戊辛六之比原同於甲乙二與戊己四之比則六與十二之比亦必同於十二與二十四之比矣又若兩正方數之間亦必有相連比例之一數也如有甲四丙九兩正方數此四與九兩數之間必有乙六為相連比例之一數焉葢兩正方數其式既同故必有相連比例一數且兩正方數之比例同於其兩邊所作連比例隔一位之比例(見幾何原本七卷第五節)今甲方邊為二丙方邊為三求其與二三相當連比例之第三數則以二自乘得四以三自乘得九以二乘三得六此四與六六與九之三數即為與二三相當之連比例數而其首數四與末數九既與甲丙兩方數等則中數六亦必為甲丙兩方數間之連比例數矣第二十一凡同式兩平方數相乘得數為正方數也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四為同式兩平方數相乘得一百四十四即為正方數矣葢同式兩平方數之間原有相連比例一數今此六與二十四之間必有十二之一數且連比例三率以首末兩率相乘與中率自乘之數等則此六與二十四兩平方數相乘所得之一百四十四即為中率十二自乘之數矣又若兩正方數相乘得數亦仍為正方數其方根即原兩方根相乘之數也如有甲四丙九兩正方數此兩數相乘得三十六仍為正方數其方根為六亦即甲方根二與丙方根三相乘之數也葢此兩方數俱為正方即為同式兩平方數矣因其式同故相乘亦仍得正方數也凡數有先各自乘而後相乘者有先相乘而後自乘者其理無異故其得數皆等今以二自乘得四以三自乘得九復以四九相乘得三十六此先各自乘而後相乘也以二與三相乘得六復以六自乘得三十六此先相乘而後自乘也且四與九積也積與積乘仍得積二與三根也根與根乘仍得根此亦理之必然者也第二十二凡兩正立方數之間必有相連比例之兩數也如有甲八丁二十七兩正立方數此八與二十七之間必有乙十二丙十八為相連比例之兩數焉葢兩正立方之比例同於其兩邊所作連比例隔二位之比例(見幾何原本十卷第四節)今甲方邊為二丁方邊為三求其與二三相當連比例之第三第四數則以二自乘得四以三自乘得九以二與三相乘得六此四六九為連比例三數又以二遞乘此四六九三數得八十二十八之三連比例數復以三遞乘四六九三數得十二十八二十七之三連比例數除相同者不計其二十七即連比例之第四數則八與十二十二與十八十八與二十七皆為與二三相當之連比例數而其首數八與末數二十七既與甲丁兩立方數等則其中數之十二十八為甲丁兩立方數間連比例之兩數可知矣第二十三凡兩正立方數相乘得數仍為正方數而其方根即原兩立方根相乘之數也如有甲八丁二十七兩正立方數此兩數相乘得二百一十六仍為正立方數而其方根為六亦即甲立方根二與丁立方根三相乘之數也葢此兩立方數俱為正方即為同式兩立方數矣因其式同故相乘亦仍得正立方也凡數有先自乘再乘而後以所得之數相乘者有先以兩數相乘而後以所得之數自乘再乘者其得數皆等故二自乘再乘得八三自乘再乘得二十七復以八與二十七相乘得二百一十六此先各自乘再乘而後以所得之數相乘也以二與三相乘得六復以六自乘再乘亦得二百一十六此先以兩數相乘而後以所得之數自乘再乘也且八與二十七積也以積乘積仍得積二與三根也以根乘根仍得根此又理之自然者也第二十四凡兩平方數若一邊相等則此兩平方之比例同於其不等邊之比例也如有甲丙戊庚兩平方數其甲丙平方之甲乙邊為四而戊庚平方之戊已邊亦為四甲丙平方之乙丙邊為六而戊庚平方之己庚邊為八則此兩平方數二十四與三十二之比即同於其不等邊六與八之比也葢甲乙平方數二十四者四之六倍而戊庚平方數三十二者四之八倍也然則二十四與三十二之比即同於六與八之比矣二十四與三十二之比既同於六與八之比則兩平方數之比例同於其不等邊之比例可知矣第二十五凡兩立方數其底積相等則此兩立方之比例同於其髙之比例也如有甲乙丙丁兩立方數其甲乙立方之戊乙底為六而丙丁立方之己丁底亦為六甲乙立方之甲戊髙為四而丙丁立方之丙己髙為五則此兩立方數二十四與三十之比即同於其兩立方之高四與五之比也葢甲乙立方數二十四者六之四倍而丙丁立方數三十者六之五倍也然則二十四與三十之比即同於四與五之比矣二十四與三十之比既同於四與五之比則兩立方數之比例同於其髙之比例可知矣第二十六凡兩線兩面兩體用一度(如尺寸之屬)可以度盡者此類之線面體皆為有整分可以度盡者也設如有甲乙兩線甲線分為五分乙線如甲線度分之得七分無餘則此二線即為一度彼此可以度盡者矣若將此二線各為正方面各為正方體則其兩面兩體亦皆為整分彼此可以度盡者也至如兩線兩面兩體不可以一度度盡者此類之線面體皆為無整分可以度盡者也如丙丁戊己方面其丙丁邊線為五分而丙戊對角線則為七分有餘乃為彼此無度盡之數矣葢以丙丁邊之五分為度則丙戊線得七分有餘或將丙戊線為七分整而以其分為度則丙丁線得五分不足凡此類之線面體皆為無整分彼此可以度盡之數也第二十七凡正方一邊線與對角線無一度可以彼此度盡者葢以本方積與對角線所成方積比之必有一數非正方數也夫對角線自乘所作之方數為本方積之二倍如本方積一則對角線所作之方為二本方積四則對角線所作之方為八此一與二四與八之間無相連比例之整數故一為正方數則二非正方數四為正方數而八亦非正方數二與八既非正方數則邊必有零餘而不能盡矣或對角線所作方積為四則本方積為二對角線所作方積為十六則本方積為八此四與二十六與八之間亦無相連比例之整數故四為正方數而二非正方數十六為正方數而八又非正方數然則對角線所作方積固為正方數而本方積復不能成正方數其邊必有零餘而不能盡矣故凡正方邊線與對角線斷無一度可以彼此度盡之理也第二十八凡正方面與平圓面同徑者其積之比例同於其周圍邊線之比例也如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平圓面其戊壬庚之徑相等則此方積與圓積之比例同於方周於圓周之比例也何以見之以正方面之壬庚半徑為髙甲乙乙丙丙丁丁甲之全周為底作一子甲直角長形方則此長方形之積比正方形之積必大一倍又以壬庚半徑為髙庚己己戊戊辛辛庚全周為底作一壬庚直角長方形則此長方形之積比平圓形之積亦必大一倍凡直角三角形之小邊與圓形之半徑等而三角形之大邊與圓形之全周等者三角形之積與圓形之積等也今此長方形與三角形同底同髙其積比三角形必大一倍然則壬庚長方形比圓形大一倍可知也夫壬庚子甲兩長方形既同以壬庚為髙則一邊數等一邊相等則其積之比例必同於其不等邊之比例而全與全之比例原同於半與半之比例故兩長方形之比例必同於庚庚與甲甲之比例而方與圓之比例亦必同於庚庚與甲甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圓周然則方周與圓周之比例豈非方積與圓積之比例乎第二十九凡有不知之一大數用兩小數度之不盡而一有餘一不足者其一多一少之數相併以兩小數之較度之即得其度幾次之分與大數之幾何也如有一大數用小數五度之多一數用小數六度之又少四數則以多一與少四相加得五以六與五兩小數相減餘一為較數除之仍得五即知兩小數各度五次也試排㸃以明之其甲乙五即小數五丙丁六即小數六以甲乙五累五次則為甲乙己丙正方二十五多一為丁以丙丁六累五次則為甲戊丁丙長方三十少四為戊庚於甲戊丁丙長方三十内減去少數戊庚四為二十六於甲乙己丙正方二十五加入多數丁一亦為二十六是知大數有二十六用此五六兩小數各度五次之分也以丁一與戊庚四相加為丁戊五以小數甲乙五與丙丁六相減餘一以一除丁戊五仍得五與甲丙相等故甲丙為庚大數二十六之五次數也若以比例言之其小數五與六相減所餘一者乃度一次之較而一多一少相併之戊丁五者又為度五次之較故以所餘一與度一次之比即同於戊丁五與度五次之比其比例既同故其數亦相等也第三十凡有不知之一大數用兩小數度之不盡而俱有餘或俱不足者其兩有餘或兩不足之數俱相減以兩小數之較度之即得其度幾次之分與大數之幾何也如有一大數用小數六度之多五數用小數七度之仍多一數則以兩多數相減餘四以六與七兩小數相減餘一為較數除之仍得四即知兩小數各度四次也試排㸃以明之其甲乙六即小數六丙丁七即小數七以甲乙六累四次則為甲乙庚丙方二十四多五為戊丁己以丙丁七累四次則為甲戊丁丙方二十八多一為己於甲乙庚丙方二十四加入多數戊丁己五得二十九於甲戊丁丙方二十八加入多數己一亦得二十九是知大數有二十九用此六七兩小數各度四次之分也以己一與戊丁己五相減餘戊丁四以小數甲乙六與丙丁七相減餘一以一除戊丁四仍得四與甲丙相等故甲丙為度大數二十九之四次數也若以比例言之其兩小數相減所餘之一乃度一次之較兩多數相減所餘之戊丁四乃度四次之較故以一與度一次之比即同於戊丁四與度四次之比也又如有不知之一大數用小數八度之少二數用小數九度之少六數則以兩少數相減餘四以八與九兩小數相減餘一為較數除之仍得四即知兩小數各度四次也今作㸃排之其甲乙八即小數八丙丁九即小數九以甲乙八累四次則為甲乙己丙方三十二内少二數為乙庚以丙丁九累四次為甲戊丁丙方三十六丙少六數為乙庚丁戊於甲乙己丙方三十二内減去少數乙庚二為三十於甲戊丁丙方三十六内減去少數乙庚丁戊六亦為三十是知大數有三十用此八九兩小數各度四次之分也以乙庚二與乙庚丁戊六相減餘戊丁四以小數甲乙八與丙丁九相減餘一以一除戊丁四仍得四與甲丙為相等故甲丙為度大數三十之四次數也其比例亦以兩小數相減所餘之較比度一次之分即同於兩少數相減所餘之較比度幾次之分也復有不知之一大數用兩小數度之一小數度之而盡一小數度之而不盡(或有餘或不足)即以不盡之數(或有餘之)(數或不足之數)用兩小數之較度之即得其度幾次之分與大數之幾何其理皆相同也第三十一凡數自少至多遞加之而各有定率者謂之平加比例數也夫平加之數有毎次遞加一者為挨次遞加之數如一二三四之類是也有每次遞加二者為超位平加之數如一三五七之類是也(或遞)(加三或遞加四或遞加五六皆是一理)有每次増一加者為按位相加之數如一三六十之類其第二次加二第三次加三第四次加四是也有每次増二加者為按位自乘之數如一四九十六之類其第二次加三第三次加五第四次加七是也復有一種倍加者為挨次倍加之數如一二四八之類每次皆加二倍又如一三九二十七之類每次皆加三倍是也遞加之數雖多按其條理求之大抵不出此數端今各列數分析於後第三十二凡挨次遞加之數將首數與末數相加以位數乘之所得之數折半即為總數也如一二三四五六七八九之九數其毎次所加之數為一將首數一與末數九相加得十以位數九乘之得九十折半得四十五即是此九數之總數也何也夫挨次遞加之數為等邊三角平面形而兩數相乘即成四方形今以位數九為髙末數九為底相乘所得之正方形其數八十一較之總數則多較之總數加倍之數又少此所少即一行之數爰知位數與底數相乘所得之數比總數加倍之數少一行之數矣既知挨次遞加之數為三角形而位數與底數相乘之數為正方形又知位數與底數相乘之數幾等於總積加一倍之數則合兩三角形之數適當總積加一倍之方數矣兩三角形所合其底數必比高數大一數故末數九為底數者加首數一與髙相乘始成兩三角形所合之一方形焉試將此九數作㸃排之自上而下上一下九作為直角三角形復將此九數另作一直角三角形合於原三角形之側則成一長方形其高即位數其底即末數與首數相加之數其積即為總數加一倍之數也然則首數末數相加與位數相乘為總數之倍數可知矣又如四五六七八九之六數欲知其總數亦以首數四與末數九相加得十三為底以位數六乘之得七十八為長方形折半得三十九為總數其理與前同若但知首數為四末數為九不知位數則視首數四以上至一虛幾位今虚三位故以三與末數九相減餘六即位數也何也凡自一遞加之數其末數即位數今首數為四計自一是少三位矣故用三即為所少之位數於末數内減去所少之位即為今之所有之位數也第三十三凡超位平加之數亦將首數與末數相加以位數乘之得數折半為總數也如一三五七九十一之六數(每次皆加二數)將首數一與末數十一相加得十二以位數六乘之得七十二折半得三十六為此六位之總數也葢此超位平加之數與挨次平加之理無異其以首末兩數相加與位數相乘者總欲得此總數之倍數以便折半取之也試將此六位之數作六層排之上一下十一以首末數相加得十二而以位數乘之則六層皆為十二矣上層本首數一加末數十一而成十二下層本末數十一加首數一而成十二是首數末數俱加倍矣二層本第二數三加第五數九而成十二五層本第五數九加第二數三而成十二是第二數第五數俱加倍矣三層本第三數五加第四數七而成十二四層本第四數七加第三數五而成十二是第三數第四數亦俱加倍矣其每位之數皆倍則相乘所得之數豈非此總數之倍數乎由此推之毎次加三加四或加五加六以至加七加八加九之類凡係超位平加之數其理無不相同也第三十四凡毎次按位相加之數將位數加二與末數相乘取其三分之一即為總數也如一三六一十十五之五數其每次皆按位加之(如第二位於第一位一上加二為三第三位於第二位三)(上加三為六是也)將位數五加二與末數十五相乘得一百零五以三除之得三十五即是此五數之總數也如或止有位數或止有每一邊數求總數則以位數加一與位數相乘得數復以位數加二乘之取其六分之一即得總數也(若止有每一邊)(數即以每一邊數加一與每邊數相乘得數復以邊數加二乘之取其六分之)(一得數亦同)葢毎次按位相加之數層疊排之其式成等邊三角體其末一數即三角體底面數而位數即毎一邊之數今以位數加二為髙末數為底相乘即成平行面之三稜體凡同底同髙之平行面體為尖體之三倍則此平行面三稜體内必有等邊三角體之三倍故以三除之即得也然必以位數加二為髙者何也以三三角體相湊乃成上下相等之平行面體其髙必比原有之位數多二層(兩三角面相合比原位數多一層今三三角體相合故必比原位數)(多二層也)如止以位數為高即少二層之數而不足三三角體之分故必以位數加二乘之也其止有位數或每一邊數求總數以位數加一與位數相乘復以位數加二乘之而用六除者何也葢位數即底面之每邊數而底面又為等邊之三角面今以邊數加一與邊數相乘成長方面為三角體底面之倍數即如前挨次遞加數之兩三角面相合所成之長方形也凡等髙之體底數倍者積數亦倍彼以位數加二乘三角體之底所成之平行面三稜體既為等邊三角體之三倍矣今以位數加二乘三角體之倍底所成之平行面長方體又必為等邊三角體之六倍矣(以兩三稜體相合即成長方體一三)(稜體為三角體之三倍則兩三稜體必為三角體之六倍矣)故以六除平行面長方體之數而得等邊三角體之數也又或但知首數末數而不知位數則以末數倍之用一為較數開𢃄縱平方即得位數焉葢末數倍之者即兩三角面所合之長方也其闊即三角每邊數其長比闊多一數故用一為較開帶縱平方則得三角毎邊之數既得每邊數即得位數矣第三十五凡每次按位自乘相加之數將位數折半與末數相加復以位數加一乘之取其三分之一即為總數也如一四九十六二十五之五數其每位之數皆按位自乘之數(如第二位之四即二自乘數第三位之九即三自乘數也)將位數五折半為兩個半與末數二十五相加得二十七個半復以位數五加一為六乘之得一百六十五以三除之得五十五即為此五數之總數也如止有位數或止有每一邊數求總數則以位數加半個與位數相乘得數復以位數加一乘之取其三分之一即得總數也(若只有每一邊數即以每一邊數加半個與每一邊數相乘得數復以每)(邊數加一乘之取其三分之一得數亦同)葢按位自乘相加之數層疊排之其式成方底四角尖體其末一數即四角尖體底面數而位數即毎一邊之數今以位數折半與末數相加則成長方面為底再以位數加一為髙乘之即成平行面之長方體凡同底同髙之平行靣體為尖體之三倍則此平行面長方體内必有四角尖體之三倍故以三除之即得也然必以位數折半與末數相加為底復以位數加一為髙者何也葢三四角尖體相湊乃成上下相等之長方體其底比正方面必多半行其髙必比原有之位數多一層(三等邊三角體相合比三角體原位數多二層今三方底四角尖體相合比原)(位數止多一層葢因方底比三角底式大一倍故四角體髙比三角體髙所加)(之數减一半也)如止以末數為底則底必少半行之數止以位數為髙則髙復少一層之數必不足三四角尖體之分故以末數加位數之半而以位數加一乘之適足三四角尖體之分也其止有位數或每一邊求總數以位數加半個與位數相乘復以位數加一乘之而用三除之者何也葢位數即底靣之毎邊數而底面又為正方面今以邊數加半個與邊數相乘成長方面比正方止多半行之分其理即如求三角體總數以邊數加一與邊數相乘為三角體底之倍數也以位數加一與底面相乘成長方體比方底四角尖體大三倍即如求三角體總數以位數加二與倍底相乘為三角體之六倍也彼三角體底倍之為長方此四角體底數加半行即為長方彼三角體總數六倍爲同邊長方體此四角體總數三倍為同邊長方體故三角體以邊數加一與邊數相乘者今四角體以邊數加半與邊數相乘而三角體以位數加二為髙與倍底相乘者今四角體以位數加一與本底加半行相乘總之四角體底式比三角體底式大一倍故立法時三角體加數幾何而此四角體皆用其半也又或但知首數末數而不知位數則以末數開平方即得位數焉葢末數本為正方數故開方即得毎邊數既得毎邊數則得位數矣第三十六凡每次倍加之數將末數與加倍之數相乘減去首數復以所加之分數除之即得總數也如二四八十六四數為毎次以二倍之之數欲求其總數則以末數十六用二乘之(因以二倍之故用二乘)得三十二減去首數二為三十復以其所加分數一除之仍得三十即此四數之總數也葢以二加倍之數其末一數比前幾位之總數止多一首數故二乘末數則比末數多一分仍多一首數故減去首數二而以一除之即得總數也又如三九二十七八十一四數為毎次以三倍之之數欲求其總數則以末數八十一用三乘之(以三倍之故用三)得二百四十二減去首數三為二百四十復以其所加分數二除之得一百二十即為此四數之總數也葢以三加倍之數其末一數為前幾數之倍數而仍多一首數今三乘末數則比末數多二分仍多一首數(三乘)(末數八十一則為八十一者有三除本數八十一仍為多二分也)故必減去首數三而以二除之即得總數也又如四十六六十四二百五十六四數為毎次以四倍之之數欲求總數則以末數二百五十六用四乘之(以四倍之故用四)得一千零二十四減去首數四為一千零二十復以其所加分數三除之得三百四十為此四數之總數也葢以四加倍之數其末一數為前幾數之三倍而仍多一首數今四乘末數則比末數多三分仍多一首數(四乘末數二百五十六則為二百五十六)(者有四除本數二百五十六仍為多三分也)故必減去首數四而以三除之即得總數也凡此倍加之數不論加倍幾何皆為相連比例之數故其比例皆同如遞加二倍之數其四與八之比同於二與四之比即八與十六之比亦皆同於二與四之比也又如遞加三倍之數其九與二十七之比同於三與九之比即二十七與八十一之比亦皆同於三與九之比也即遞加四倍之數其十六與六十四之比同於四與十六之比即六十四與二百五十六之比亦皆同於一與四之比也總之以二倍加者皆一與二之連比例以三倍加者皆一與三之連比例以四倍加者皆一與四之連比例即推之以五倍加六倍加者其理亦無不相同也御製數理精藴上編卷五
## 下編卷一
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷一首部一度量權衡命位加法減法因乘歸除度量權衡虞書同律度量衡葢度量衡皆本於律而律為萬事之本也漢志曰度者分寸尺丈引所以度長短也本起於黄鐘之長以子榖秬黍中者一黍之廣度之九十分黄鐘之長一為一分十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引而五度審矣量者龠合升斗斛所以量多少也本起於黄鐘之龠以子榖秬黍中者千二百實其龠合龠為合十合為升十升為斗十斗為斛而五量嘉矣權者銖兩斤鈞石所以權輕重也本起於黄鐘之重一龠容千二百黍重十二銖兩之為兩十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石而五權謹矣通考曰律度量衡並因秬黍散為諸法其率可通外此則代不一名度之異名者如左傳注方丈曰堵三堵曰雉(長三丈高一丈)易緯通卦驗十馬尾為一分孫子算術曰蠶所吐絲為忽十忽為絲十絲為豪十豪為釐十釐為分十分為寸十寸為尺十尺為丈小爾雅曰跬一舉足也倍跬謂之步四尺謂之仞倍仞謂之㝷倍㝷謂之常五尺謂之墨倍墨謂之丈倍丈謂之端倍端謂之兩倍兩謂之疋疋百謂之束孔安國又以八尺為仞説文曰人手却十分動脉為寸口十寸為尺周制寸咫尺㝷常仞皆以人體為法又曰婦人手八寸謂之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸為尺十尺為丈人長八尺故曰丈夫量之異名者如左傳齊舊四量豆區鬴鍾四升曰豆各自其四以登於鬴(六斗四升)鬴十則鍾(六十四斗)論語注十六斗曰庾十六斛曰秉孫子算術曰六粟為圭十圭為抄十抄為撮十撮為勺十勺為合漢應劭又以四圭為撮孟康以六十四黍為圭小爾雅一手之盛謂之溢兩手謂之掬掬四謂之豆豆四謂之區區四謂之釡釜二有半謂之藪藪二有半謂之缶缶二謂之鍾鍾二謂之秉秉十六斛衡之異名者如漢志注應劭曰十黍為纍十纍為銖小爾雅二十四銖曰兩兩有半曰㨗倍㨗曰舉倍舉曰鋝鋝謂之鍰二鍰四兩謂之斤斤十謂之衡衡有半謂之秤秤二謂之鈞鈞四謂之石石四謂之鼔通考唐劉承珪以忽萬為分絲則千豪則百釐則十轉以十倍倍之則為一錢黍以二千四百枚為一兩纍以二百四十銖以二十四是則度量衡之名不一故其為制不同而紛雜難用然時易世殊古今沿革有必不可比而同者故入算之際不過取其大同者以審不齊之物耳要之度定扵丈量定扵石衡定於兩大之而遞進扵無窮小之而遞析於不可測爰悉其名目扵左以為數學之所資焉度法丈以下曰尺(十寸)寸(十分)分(十釐)釐(十豪)豪(十絲)絲(十忽)忽(十微)微(十纖)纖(十沙)沙(十塵)塵(十埃)埃(十渺)𣺌(十漠)漠(以下皆以十析)糢糊逡巡須臾瞬息彈指刹那六徳虚空清浄量法石以下曰斗(十升)升(十合)合(十勺)勺(十撮)撮(十抄)抄(十圭)圭(六粟)粟衡法兩以下曰錢(十分)分(十釐)釐(十豪)豪(十絲)絲(十忽)忽以下並與度法同凡度量衡自單位以上則曰十百千萬億兆京垓秭穰溝澗正載極恒河沙阿僧秪那由他不可思議無量數自億以上有以十進者如十萬曰億十億曰兆之類有以萬進者如萬萬曰億萬億曰兆之類有以自乘之數進者如萬萬曰億億億曰兆之類今立法從中數厯法則曰宮(三十度)度(六十分)分(六十秒)秒(六十微)微(六十纖)纖(六十忽)忽(六十芒)芒(六十塵)塵又有日(十二時又為二十四小時)時(八刻又以小時為四刻)刻(十五分)分以下與前同田法則曰頃(百畝)畝(積二百四十步)分(積二十四步)里法則三百六十步計一百八十丈為一里古稱在天一度在地二百五十里今尺驗之在天一度在地二百里葢古尺得今尺之十分之八實縁縱黍横黍之分也石法二千五百寸(按漢志曰斛重二鈞又曰四鈞為石是二斛為一石也古尺斛積一)(千六百二十寸為今尺之八百六十寸有竒倍之得古尺石積三千二百四十寸為今尺之一千七)(百二十寸有竒以權法凖之石重一百二十斤求其積古尺應得三千一百一十寸為今尺之一千)(六百五十寸有竒今之權法又加古一倍則今尺石積應得三千三百寸有竒今現行斛積為一千)(五百八十寸石積為三千一百六十寸舊算書所載數各不同而多以二千五百寸為率摠之古今)(尺度不同古今量法亦不一須先求其斗斛之積數然後用其積數以比例之方得密合今設例從)(舊數)命位凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸分釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈則進而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆為竒零命斗為單位則升以下為竒零而石則進而為十若命升為單位則合以下為竒零而斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則錢分釐豪皆為竒零命錢為單位則分以下為竒零而兩則進而為十若命分為單位則釐以下為竒零而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共有五位即知此數首位是萬矣至扵厯法宮度分秒日時刻分之定位則每項命兩位如宮曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常例一位即命一等者宮度時刻則兩位命為一等而每一等有十單之别焉此又命位之最要者也凡數未至單位者必須作○以存其位如有數一萬二千三百四十丈則補作○以存單位如上式 又如有數一萬二千丈則補作○○○以存百十單之位如下式凡數單位後有竒零者必作㸃於單位上以誌之如有金三百四十五兩六錢七分命兩為單位則於五上作㸃誌之如上式 又如有米六石五斗四升三合命石為單位則於六上作㸃誌之如下式凡列衆數幾多位中有空者必作○以存其位如有數二萬零四百五十六此中千位無數故必作○於萬後百前以存其位如上式 又如有數一萬零三十四此中千位百位俱無數故補作兩○於萬後十前以存其位如下式凡宮度分秒皆兩位列之如有一十一宮二十度三十二分四十五秒列位如上式 又如日時刻分列位日時分則兩位刻止一位列之如二十一日一十八時三刻零二分列位如下式加減乘除算法以加減乘除為入門然究其終雖至扵千變萬化總不出乎此但用法不同耳或應取其相和之數則用加或應取其相較之數則用減或應聚而總其積則用乘或應散而取其分則用除又有先加而後減者或先減而後加者有先乘而後除者或先除而後乘者又有加減與乘除先後互用者古稱九章命算自方田以至勾股數有繁簡理有顯晦法有淺深算有難易然何一不從加減乘除而得故淺言之則算法之入門究言之實算法之全體也加法加者合衆數而成總也葢數始扵一終於九至十又復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之數合前後之位言之有單十百千萬之等先自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本位下挨次併之即得總數若夫宮度時刻斤兩之類則不以十進必足其所命之分始進一位(如宮度足六十分進)(一度足三十度進一宫如時刻足十五分進一刻足四刻進一時足二十四時進一日如斤兩足十六兩)(進一斤之類)至於定位則以原數列扵上加數列扵下或大數列於上小數列於下按法依次對位列之加畢所得之數依原列之位定之設如有數一萬二千三百四十五與六千七百八十九相加法以原數横列於上加數横列於下按位相對加之(如九與五相對單從單八與四相對十從十百千萬)(數俱各從其類)單位之五九相加得十四進十於前位為一誌之(作一㸃於前位為誌如進二十則作二㸃)(如進三十則作三㸃)本位紀四(書於横格下)次十位之四八相加得十二併所進之一為十三復進十於前位為一誌之本位紀三次百位之三七相加得十併所進之一為十一復進十於前位為一誌之本位紀一次千位之二六相加得八併所進之一為九於是本位紀九至於萬位獨有原數無可加則仍紀一所加之數共得一萬九千一百三十四即總數也設如有數一萬四千五百四十五與一萬七千三百五十相加法以原數横列於上加數横列於下加數内單位無數故作○以存其位仍按位相對加之單位之五對○無可加仍紀五次十位之四五相加得九本位紀九次百位之五三相加得八本位紀八次千位之四七相加得十一進十於前位為一誌之本位紀一次萬位之一與一相加得二併所進之一為三於是本位紀三所加之數共得三萬一千八百九十五即總數也設如有二十三丈零五寸六分與二丈八尺六寸二分相加法以原數横列於上加數横列於下原數内尺位無數故作○以存其位仍按位相對加之分位之六二相加得八本位紀八次寸位之五六相加得十一進十於前位為一誌之本位紀一次尺位之八對○無可加乃併所進之一為九本位紀九次丈位之三二相加得五本位紀五至扵十位獨有原數無可加則仍紀二所加之數共得二十五丈九尺一寸八分即總數也設如有糧四萬五千零三十一石與三千零九十石相加法以原數横列於上加數横列於下原數内百位無數加數内百位單位俱無數故各作○以存其位仍按位相對加之石位之一對○無可加仍紀一次十位之三九相加得十二進十於前位為一誌之本位紀二次百位○與○無可加則以所進之一為本位數故下紀一次千位之五三相加得八本位紀八至於萬位獨有原數無可加則仍紀四所加之數共得四萬八千一百二十一石即總數也設如有銀八兩六錢五分四釐與四兩零六分二釐相加法以原數横列扵上加數横列扵下加數内錢位無數故作○以存其位仍按位相對加之釐位之四二相加得六本位紀六次分位之五六相加得十一進十於前位為一誌之本位紀一次錢位之六對○無可加乃併所進之一為七本位紀七次兩位之八四相加得十二進十於前位為一誌之本位紀二至扵十位無數則紀所進之一為一所加之數共得十二兩七錢一分六釐即總數也設如有田三區一區五百九十二畝三分一區八百五十五畝九分一區七百八十二畝五分相加法以田三區按位横列相對加之分位之三九五相加得十七進十於前位為一誌之本位紀七次畝位之二五二相加得九併所進之一為十進十於前位為一誌之本位紀○次十位之九五八相加得二十二併所進之一為二十三進二十於前位為二誌之本位紀三次百位之五八七相加得二十併所進之二為二十二進二十於前位為二誌之本位紀二至扵千位無數則紀所進之二為二所加之數共得二千二百三十畝零七分即總數也設如有銀九宗一宗八千八百五十二兩一宗三千二百一十一兩一宗五百二十兩一宗九百三十八兩一宗二千五百九十兩一宗一千二百一十五兩一宗二千五百一十八兩一宗五千三百六十六兩一宗四千三百七十二兩相加法因九宗數繁難加故分為三次三次復併為一次則得共數其八千八百五十二兩三千二百一十一兩五百二十兩相併則得一萬二千五百八十三兩其九百三十八兩二千五百九十兩一千二百一十五兩相併則得四千七百四十三兩其二千五百一十八兩五千三百六十六兩四千三百七十二兩相併則得一萬二千二百五十六兩既得三總數又將三數併之得二萬九千五百八十二兩即九宗共數也設如九宮二十度三十分二十六秒與六宫一十八度二十分五十秒相加法以原數横列於上加數横列於下其每項各命兩位仍按各位相對加之秒之單位六對○無可加仍紀六秒之十位二五相加得七十乃以六十秒進一分誌於分之本位秒之十位紀一次分之單位○與○無可加則以所進之一為本位數故下紀一次分之十位三二相加得五故下紀五次度之單位八對○無可加仍紀八次度之十位二一相加得三十乃以三十度進一宮誌於宮之本位度之十位紀○次宮之本位九六相加得十五併所進之一為十六因十二宮滿一周天故逢十二去之餘四故下紀四所加之數共得四宫八度五十一分一十六秒即總數也設如一日一十五時二刻八分與一日一十二時三刻九分相加法以原數横列於上加數横列於下日時分則合兩位共加刻則仍命以單位葢以四刻進一小時故也分位之八與九相加得十七十五分進一刻故於刻之本位下誌一餘二故單位下紀二十位下紀○次刻位之二與三相加得五併所進之一為六四刻進一時故於時之本位下誌一餘二故本位紀二次時之單位五二相加得七併所進之一得八時之十位一與一相加得二共為二十八二十四時進一日故於日之本位下誌一餘四故時之單位下紀四十位下紀○次日之單位一與一相加得二併所進之一為三故下紀三所加之數共得三日四時二刻二分即總數也設如有物重三十四斤十五兩五錢與二十一斤十四兩三錢相加法以原數横列於上加數横列於下其錢位斤位與斤之十位仍皆按位相對加之兩位與兩之十位則合其數共加之(兩以十六方進一斤故合而加之如列數有兩數無十數者仍作○以存)(十兩之位)錢位之五三相加得八本位紀八兩位之原數十五加數十四相加共得二十九則進十六兩於前斤位為一誌之其所餘十三兩則於兩位紀三十位紀一次斤位之四一相加得五併所進之一為六本位紀六次十位之三二相加得五本位紀五所加之數共得五十六斤十三兩八錢即總數也減法減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有之數書於上應減之數書於下横列必對其位相減必從其類(如千減千百減百之類)如或下數大於上數不足減則借前位之一以減本位(加法由後而進前減法則借前而退後其理一也詳)(見設如中)前位作一㸃以誌之既得本位則前位所借之一併於前數而為減數然兩數相減必先辨其多寡首位必大於減數始可其定位亦照原列之次為減餘位設如有數五萬六千七百八十九内減四萬三千六百四十二法自單位減起單位之九減二餘七故下紀七十位之八減四餘四故下紀四百位之七減六餘一故下紀一千位之六減三餘三故下紀三萬位之五減四餘一故下紀一所減之數得一萬三千一百四十七即餘數也設如有數二萬三千六百七十二内減一萬六千四百八十一法自單位減起單位之二減一餘一故下紀一十位之七減八為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃為誌)作本位之十共十七減八餘九故下紀九百位之六減四併十位所借之一則為六減五餘一故下紀一千位之三減六為下大於上則借前位之一(前位亦作一㸃為誌)作本位之十共十三減六餘七故下紀七萬位之二減一併千位所借之一則為二減二恰盡故下紀○所減之數得七千一百九十一即餘數也設如有六丈七尺八寸九分一釐内減三丈四尺五寸九分九釐法自釐位減起釐位之一減九為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃為誌)作本位之十共十一減九餘二故下紀二分位之九減九併釐位所借之一則為九減十亦為下大於上故復借前位之一(前位)(下作一㸃為誌)作本位之十共十九減十餘九故下紀九寸位之八減五併所借之一則為八減六餘二故下紀二尺位之七減四餘三故下紀三丈位之六減三餘三故下紀三所減之數得三丈三尺二寸九分二釐即餘數也設如有米六十五石四斗三升二合内減四十六石二斗七升三合法自合位減起合位之二減三為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃為誌)作本位之十共十二減三餘九故下紀九升位之三減七併合位所借之一則為三減八為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃)(為誌)作本位之十共十三減八餘五故下紀五斗位之四減二併升位所借之一則為四減三餘一故下紀一石位之五減六為下大於上則借前位之一(前位下作)(一㸃為誌)作本位之十共十五減六餘九故下紀九十位之六減四併所借之一則為六減五餘一故下紀一所減之數得十九石一斗五升九合即餘數也設如有銀十五兩三錢六分七釐内減九兩二錢三分四釐法自釐位減起釐位之七減四餘三故下紀三分位之六減三餘三故下紀三錢位之三減二餘一故下紀一兩位之五減九為下大於上則借前位之一(前位)(下作一㸃為誌)作本位之十共十五減九餘六故下紀六十位之一減兩位所借之一恰盡故下紀○所減之數得六兩一錢三分三釐即餘數也設如七宮一十八度二十七分五十二秒内減九宮二十一度三十五分四十三秒法自秒位減起秒之單位二減三為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃為誌)作本位之十共十二減三餘九故下紀九秒之十位五減四併所借之一則為五減五恰盡故下紀○分之單位七減五餘二故下紀二分之十位二減三為下大於上則借度位之一為六十分(度位下作一㸃)(為誌)六十分與原二十分共為八十分内減三十分餘五十分故下紀五度之單位八減一併所借之一則為八減二餘六故下紀六度之十位一減二為下大於上則借宮位之一為三十度(宮位下作一㸃)(為誌)三十度與原十度共為四十度内減二十度餘二十度故下紀二宮之單位七減九併所借之一則為七減十為下大於上則外借一周天為十二宮十二宮與原七宮共為十九宮内減十宮餘九宮故下紀九所減之數得九宮二十六度五十二分九秒即餘數也設如一十二日二十二時三刻零九分内減一十一日二十三時三刻十分法自分位減起日位刻位俱各按單位相減其分位時位則合兩位減之分位之九減十為下大扵上則借刻位之一為十五分(刻之本位下作一㸃為誌)十五分與原九分共為二十四分内減十分餘十四分故分之單位紀四分之十位紀一刻之本位三減三併所借之一則為三減四為下大扵上則借時位之一為四刻(時之)(單位下作一㸃為誌)四刻與原三刻共為七刻内減四刻餘三刻故本位下紀三時位之二十二減二十三併所借之一則為二十二減二十四為下大扵上則借日位之一為二十四時(日之本位下作一㸃為誌)二十四時與原二十二時共為四十六時内減二十四時餘二十二時故時之單位下紀二時之十位下亦紀二日位之二減一併所借之一則為二減二恰盡故下紀○日之十位之一減一恰盡故亦紀○所減之數得二十二時三刻一十四分即餘數也設如有物十五斤零四兩八錢内減十二斤十二兩三錢法自錢位減起錢位之八減三餘五故下紀五兩位之四減二似非下大扵上然原數兩之十位為○(十六兩為一斤故作○於斤後)(兩前以存十兩之位)而減數兩之十位為一則為四兩減十二兩亦為下大扵上故借斤位之一為十六兩(斤位下作一㸃為誌)十六兩與原四兩共為二十兩内減十二兩餘八兩故兩之單位紀八十位紀○斤位之五減二併所借之一則為五減三餘二故下紀二十位之一減一恰盡故下紀○所減之數得二斤零八兩五錢即餘數也因乘因乘者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則必至於煩而無統此因乘之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多位相乘而得如兩位以上則各以每位所因之數而又層累以積之也其法以原數為實乘數為法實列於上法列扵下必使法實相當(如千對千百對百十對十單對單之類)按法乘實合而加之為所得數定位之法視其法實所命之單位後有竒零與否如無竒零則實中所命之單位相對即法尾之數若有竒零則法實相乘者法實之一位統得數之二位(如單位後竒零有一位則截得數之二位竒零)(有二位則截得數之四位向前為單位計之)法實相乘再以法乘者(即自乘再)(乘也)法實之一位統得數之三位(如單位後竒零有一位則截得數之三位)(竒零有二位則截得數之六位向前為單位計之)是故得數以一位論者則為單十百千之類以兩位論者則為自乘之類以三位論者則為自乘再乘之類錯綜交互用法不一必須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如於左設如有三人每人賞縀二疋問共得幾疋法以三人為實列於上二疋為法列扵下以二因三得六即書於本位下定位以實之三人即是單位而法又止一位為疋今得數之六與實之單位相對故知六是疋位得共數為六疋也設如有八人每人賞米六石問共得幾石法以八人為實列扵上六石為法列扵下以六因八得四十八將四書於前位下(前位為十位故十數紀前位下)八書於本位下(本位為單)(位故單數紀本位下)定位以實之八人即是單位而法亦止一位為石今得數之八與實之單位相對即知八是石位而四在石之前一位故知四是十位得共數為四十八石也設如有一十二人每人賞銀五兩問共得幾兩法以一十二人為實列於上五兩為法列扵下命兩位與人之單位相齊先以五乘二得一十將十進前一位作一㸃誌之紀○於本位下(此數無單故下紀○)次以五乘一仍得五併所進之一為六故書六於本位下(一雖為十位而以五乘一則一下為本位矣)共得六○定位因實之單位對法之兩位而得數之○與實之單位相對故知○為兩位而六為十位得共數為六十兩也設如有二十四人每人賞銀三兩六錢問共得幾兩法以二十四人為實列於上三兩六錢為法列於下命錢位與人之單位相齊乃以法之六遍乘實之二四其所得之單位數即對本法位下書之六乘四得二十四將二十進前一位作二㸃誌之四書於本位下次以六乘二得一十二将十進前一位為一書之二併所進之二為四故書四於本位下(二雖為十位而以六乘二)(則二下即為本位矣)法之六既與實乘畢次以法之三遍乘實之二四其所得之單位數即對本法位下書之三乘四得一十二將十進前一位作一㸃誌之二書於本位下次以三乘二得六併所進之一為七故書七於本位下法之三又與實乘畢乃用加法併之共得八六四總書扵下定位以實尾之四係四人為單位而法尾為錢今得數末位之四與實之單位相對即知四是錢位二位為兩三位為十兩得共數為八十六兩四錢也設如有田三百六十畝每畝納糧三升五合問共得若干法以三百六十畝為實列扵上三升五合為法列於下實之單位無數則補○以存其位命合位與畝之單位相齊乃以法之五遍乘實之三六○其所得之單位數即對本法位下書之五乘○仍為○故下紀○五乘六得三十將三十進前一位作三㸃誌之本位紀○五乘三得一十五將十進前一位為一書之五併所進之三為八故書八於本位下又以法之三遍乘實之三六○其所得之單位數即對本法位下書之三乘○仍為○故下紀○三乘六得一十八將十進前一位作一㸃誌之八書於本位下三乘三得九併所進之一為十故進前一位為一書之本位紀○乘畢用加法併之共得一二六○○總書於下定位以實尾之○係單位法尾是合今得數末位之○與實之單位相對即知末位之○是合前一位是升向前數至首位得十石因知共數為一十二石六斗也設如有田三頃五十畝每頃納糧一石二斗三升問共得若干法以三頃五十畝為實列於上(因畝位無數故)(作○以存其位)一石二斗三升為法列於下命石位與頃之單位相齊(題中言每頃納一石故石與頃)(對為單位)乃以法之三遍乘實之三五○其所得之單位數即對本法位下書之三乘○仍得○故下紀○次以三乘五得一十五將十進前一位作一㸃誌之五書於本位下次以三乘三得九併所進之一為十故進前一位為一書之本位紀○又以法之二遍乘實之三五○其所得之單位數即對本法位下書之二乘○仍得○故下紀○二乘五得一十將十進前一位作一㸃誌之本位紀○二乘三得六併所進之一為七故書七於本位下又以法之一遍乘實之三五○其所得之單位數即對本法位下書之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘三仍得三俱各書於本位下乘畢用加法併之共得四三○五○總書於下定位因每頃納糧一石二斗三升即命頃為單位而石亦為單位其後二位則為竒零凡法實之竒零有一位則統得數之兩位今竒零既有二位則統得數之四位故從後截去四位而第五位定為石因知共數為四石三斗零五合也設如有金三十六兩每兩價銀九兩九錢八分問共價幾何法以三十六兩為實列於上九兩九錢八分為法列於下實中錢位分位俱無數則補作○○以存其位命分位與分位相齊乃以法之八遍乘實之三六○○先以八乘○○仍得○○故下紀○○次以八乘六得四十八將四十進前一位作四㸃誌之八書於本位下次以八乘三得二十四將二十進前一位為二書之四併所進之四為八故書八於本位下又以法之九遍乘實之三六○○先以九乘○○仍得○○故下紀○○次以九乘六得五十四將五十進前一位作五㸃誌之四書於本位下次以九乘三得二十七將二十進前一位作二㸃誌之七併所進之五為十二十又進前一位為一併所誌之二為三故前位書三本位書二又以法之九遍乘實之三六○○先以九乘○○仍得○○故下紀○○次以九乘六得五十四將五十進前一位作五㸃誌之四書於本位下次以九乘三得二十七將二十進前一位作二㸃誌之七併所進之五為十二十又進前一位為一併所誌之二為三故前位書三本位書二乘畢用加法併之共得三五九二八○○定位因題言每兩價銀九兩九錢八分爰以兩為單位其後二位則為竒零竒零既有二位則統得數之四位故從後截去四位而第五位定為兩第六位為十第七位為百因知共數為三百五十九兩二錢八分也設如有物二十六斤求兩數法以二十六斤為實列於上以每斤十六兩為法列於下乃以法之六遍乘實之二六其所得之單位數即對本法位下書之六乘六得三十六將三十進前一位作三㸃誌之六書扵本位下次以六乘二得一十二將十進前一位為一書之二併所進之三為五故書五於本位下又以法之一遍乘實之二六其所得之單位數即對本法位下書之一乘六仍得六故下書六次以一乘二仍得二故下書二乘畢用加法併之得四一六定位因實尾是單位而法尾又是兩位故得數末位之六即為單位為兩而前一位為十又前一位為百因知得數為四百一十六兩也又法斤求兩身加六名為定身加法葢以十六兩之十為一乘之仍得原數故以本身加六即得如二十六斤則從首位加起二六加一十二將一對實之十位二對實之單位下書之又六六加三十六則三對實之單位而六對實之單位後一位書之用加法相併得四一六定位以原斤數之後一位為兩今得數末位之六在原斤數之後一位即知是兩因知得數為四百一十六兩也設如周天三百六十度每度六十分問共得若干分法以三百六十度為實列扵上以六十分為法列扵下(因單位俱無數故各作○以存其位)乃以法之○遍乘實之三六○仍皆得○故各紀○於各位下又以法之六遍乘實之三六○其所得之單位數即對本法位下書之六乘○仍得○故本位下紀○次以六乘六得三十六將三十進前一位作三㸃誌之六書於本位下次以六乘三得一十八將十進前一位作一㸃誌之八併所進之三為十一十又進前一位為一併所誌之一為二故前位書二本位書一乘畢用加法併之共得二一六○○定位以實之末位是單位法之末位是分今求分數故得數末位之○即是分之單位向前數至首位得萬因知共數為二萬一千六百分也設如有驗時儀墜子來一秒往一秒今十五分問共得來往幾秒法以十五分為實列於上以每分六十秒為法列於下乃以法之○遍乘實之一五仍皆得○故各紀○於本位下又以法之六遍乘實之一五其所得之單位數即對本法位下書之六乘五得三十將三十進前一位作三㸃誌之本位紀○次以六乘一仍得六併所進之三為九故書九於本位下定位以實之末位是單位法之末位是秒今求秒數故得數末位之○即是秒之單位其前一位為十又前一位為百因知共數為九百秒也設如一尺二寸自乘求積(以本數乘本數故為自乘)法以一尺二寸互為法實列扵上下乃以法之二遍乘實之一二其所得之單位數即對本法位下書之二乘二得四故下書四次以二乘一仍得二故下書二又以法之一遍乘實之一二其所得之單位數即對本法位下書之一乘二仍得二故下書二次以一乘一仍得一故下書一乘畢用加法併之共得一四四定位因自乘數成平方面其每一尺正方面容積一百寸故百寸為尺百尺為丈俱以兩位命之今實之末位為寸即命為單位法之末位是寸得數末位之四與實之單位相對即知為寸位向前第二位為十寸第三位為百寸既以百寸為尺即知得數為一尺四十四寸也若命尺為單位則扵尺上命位其後一位為竒零故扵得數内從末截去二位以第三位為尺(葢自乘乃兩數相乘兩數既各有一位零)(數故截去兩位算也)今得數有三位即知首位為一尺首位既為尺末位又既為寸則中一位為十寸可知矣設如一尺二寸自乘再乘求積(以本數乘本數所得之數又以本數乘之)(故謂之自乘再乘)法先以一尺二寸互為法實按法自乘得一尺四十四寸又以一尺四十四寸為實復以一尺二寸為法按法乘之共得一七二八定位因自乘再乘數成立方體其每一尺正方體容積一千寸故以千寸為尺千尺為丈俱以三位命之今實之末位為寸即命為單位法之末位是寸得數末位之八與實之單位相對即知為寸位向前第二位為十寸第三位為百寸第四位為千寸既以千寸為一尺即知得數為一尺七百二十八寸也若命尺為單位則於尺上命位其後一位為竒零故扵得數内從末截去三位以第四位為尺(葢自乘再乘乃以三數相乘三數既)(各有一位零數故截去三位算也)今得數有四位即知首位為一尺首位既為尺末位又既為寸則中二位為十寸百寸可知矣歸除歸除者分數也以數分數有各得均齊之義焉凡有兩數以此數減彼數減得幾次即為所得然所減之次數多則益至於紛而難紀此歸除之所以立也歸者一位歸之而得如歸作幾分而均分之也除者多位除之而得葢以所得之數與法相因而於實内除去也其法以原數為實横列於下除數為法横列於上法之小於實者法之首位與實之首位列齊法之大於實者則法比實退一位看實足法幾倍即為得數自法之末位上紀所得之數既得數乃以所得與法相因書於實下與實相減餘者即為次商實依次按法歸除以恰盡為度(減餘者乃所得與法相因之數在實中所減者其數每與)(法位相對即初商之餘實也至於實位所餘之數則每次取下一位續於減餘之末以為每商之實若實)(無餘位而歸除仍未盡者則按位添○以紀之)如實不足法之一倍者則得數為○定位之法以法中所命單位與原實相對之數為所得之首位數若實之位數少於法者則作幾○位以補足法然後位數一覽即明至於一位歸除㨗法則竟以原數書於上就身用幾分分之得數書於下其定位仍照原列之位定之具見設如於左設如有緞六疋令三人分之問每人得幾疋法以六疋為實列於下三人為法列於上今法與實俱為單位而法比實小故列法與實相齊爰看實足法幾倍今足二倍故書二於法上乃以得數之二與法之三相因得六書於實下與實相減恰盡即得數為二疋也定位因法之三人即為單位而實亦止一位為疋是法之單位與實之疋位相對故得數為二疋也設如有米六十四石令八人分之問每人得幾石法以六十四石為實列於下八人為法列扵上因法之八大於實之首位之六故將法退一位書之爰看實足法幾倍今足八倍故書八於法上乃以得數之八與法之八相因得六十四書於實下(其所得單位數即對得數之本位下書之)與實相減恰盡即得數為八石也定位因法之八人即為單位而與實之石位相對故得數為八石也設如有銀三百四十三兩令七人分之問每人得幾兩法以三百四十三兩為實列於下七人為法列於上因法之七大於實之首位之三故將法退一位書之爰看實足法幾倍今實前兩位為三四足法之四倍(何以知其足法之四倍葢實之三十四内足法之七之四倍為二十八如法之)(七之五倍則為三十五比實則大矣)故書四於法上乃以得數之四與法之七相因得二十八書於實下(其所得單位數即對得數之本位下書之後倣此)與實相減餘六次取實數所餘之三書於減餘之後共六三為次商實爰看實之六三足法幾倍今足九倍故書九於得數之次乃以得數之九與法之七相因得六十三書於次商實之下與實相減恰盡即得數為四十九兩也定位因法之七人即為單位而與實中之兩之十位相對故得數首位即為十而次位為兩是知每人得四十九兩也設如有絲四十五斤共織得緞九十二丈二尺五寸問每斤織得若干法以九十二丈二尺五寸為實列於下四十五斤為法列於上因法之首位四小於實之首位九故列法與實相齊爰看實之九二足法之二倍故書二於法上乃以得數之二與法之四五相因得九○書於實下與實相減餘二次取實數所餘之二書於減餘之後共二二為次商實今實之二二不足法之四五之一分故得數為○乃紀○於上復取實數所餘之五書於二二之後共二二五為三商實(次商實之二二不足法之四五故再取實之一位續書於)(下謂之三商實者○位為次商故也)爰看實之二二五足法之五倍故書五於上乃以得數之五與法之四五相因得二二五書於實下與實相減恰盡即得數為二丈零五寸也定位因法之五斤為單位而與實之丈位相對故得數首位即為丈等而下之為尺為寸是知每斤織得二丈零五寸也設如有田四十五畝六分共納榖五十七石問每畝納榖若干法以五十七石為實列於下四十五畝六分為法列於上因法之首位四小於實之首位五故列法與實相齊又因實之位數少於法故補作○以足其位爰看實之五七○足法之一倍故書一於法上乃以得數之一與法之四五六相因仍得四五六書於實下與實相減餘一一四此後實無餘位故添書一○於減餘之末為次商實爰看一一四○足法之二倍故書二於上乃以得數之二與法之四五六相因得九一二書於實下與實相減餘二二八又添書一○於減餘之末為三商實爰看二二八○足法之五倍故書五於上乃以得數之五與法之四五六相因得二二八○書於實下與實相減恰盡即得數為一石二斗五升也定位因法之五畝為單位而與實之石位相對故得數首位為石是知每畝納榖一石二斗五升也設如有丹砂一兩價值錢二萬五千文問每錢一文該得丹砂幾何法以丹砂一兩為實列於下錢二萬五千為法列於上因法之首位二大於實之首位一故將法退一位列之又因法之百位十位單位俱無數故各作○以存其位而實亦作五○位以補足法爰看實足法之四倍故書四於法上乃以得數之四與法之二五○○○相因得一○○○○○書於實下與實相減恰盡即得數為四絲也定位因法之末位○係單位故從實之首位一兩數至法之單位相對之位為絲是知每錢一文得丹砂四絲也設如有銀一千二百五十兩買果賞人每果一枚價二釐五豪問買果若干法以一千二百五十兩補五○位為實列於下(因法之末位是豪故補五○位與法相對葢命實為一千二百)(五十萬豪也)二釐五豪為法列於上爰看實之一二五足法之五倍故書五於法上乃以得數之五與法之二五相因得一二五書於實下與實相減恰盡然實後尚有五○位故得數後亦添五○位為五十萬也定位因法實俱至豪位止即命豪為單位爰從實之末位數至法之單位相對之位為十萬是知得果為五十萬枚也設如有物重三百八十四兩問得斤數若干法以三百八十四兩為實列於下每斤一十六兩為法列於上爰看實之三八足法之二倍故書二於法上乃以得數之二與法之一六相因得三十二書於實下與實相減餘六次取實數之四書於減餘之後共為六四因足法之四倍故書四於上乃以得數之四與法之一六相因得六十四書於實下與實相減恰盡即得數為二十四斤也定位因法之兩數為單位而與實之十位相對故知得數為二十四斤也又法名為斤稱流法其法曰一退六二五(如一萬兩則為六百二十五斤一千兩則為六十二斤半一百兩則為六)(斤二分半皆以十遞析退者退一位命之也)二一二五(如二萬兩)(則為一千二百五十斤二千兩則為一百二十五斤二百兩則為十二斤半不)(言退者對位命之也餘倣此)三一八七五四二五五三一二五六三七五七四三七五八五九五六二五如三百八十四兩則列於上先以三之一八七五通之爰將一對三之本位以下依次向後書之次以八之五通之將五對八之本位書之次以四之二五通之將二對四之本位書之五則列於次位三數書畢乃以加法併之得數為二十四斤定位因兩之前一位為斤今得數之四在兩之前一位故四即為斤位而又前一位則為十位是知得數為二十四斤也設如周天三百六十度分十二宮問每宮得若干度法以三百六十度為實列於下一十二宮為法列於上爰看實之三六足法之三倍故書三於法上乃以得數之三與法之一二相因得三六書於實下與實相減恰盡然實後尚有○位故得數後亦添一○位即得數為三十度也定位因法之二為單位而與實之十位相對故得數首位為十而每宮為三十度也設如一日之中得一千四百四十分以九十六刻分之問每刻得若干分法以一千四百四十分為實列於下以九十六刻為法列於上爰看實之一四四僅足法之一倍故書一於法上乃以得數之一與法之九六相因仍得九六書於實下與實相減餘四八次取實之○位書於減餘之後共為四八○因足法之五倍故書五於上乃以得數之五與法之九六相因得四八○書於實下與實相減恰盡即得數為一十五分也定位因法之六為單位而與實之十位相對故得數首位為十而每刻為一十五分也一位歸除㨗法設如有銀三十四萬五千六百七十八兩作二分分之問每分若干法以三十四萬五千六百七十八兩為實列於上視首位之三足二分之幾何今足一倍故下書一一二除二餘一乃移於下位為十(下位作㸃為誌)併下位之四共為十四足二分之七倍故下書七二七除一十四恰盡次五足二分之二倍故下書二二二除四餘一移於下位為十併下位之六共為十六足二分之八倍故下書八二八除一十六恰盡次七足二分之三倍故下書三二三除六餘一移於下位為十併下位之八共為十八足二分之九倍故下書九二九除一十八恰盡定位因得數仍原數之位故知每分得一十七萬二千八百三十九兩也設如有銀一十二萬三千四百五十三兩作九分分之問每分若干法以一十二萬三千四百五十三兩為實列於上因首位之一小於九分故移於下位為十併下位之二共為十二足九分之一倍故下書一一九除九餘三移於下位為三十併下位之三共為三十三足九分之三倍故下書三三九除二十七餘六移於下位為六十併下位之四共為六十四足九分之七倍故下書七七九除六十三餘一移於下位為十併下位之五共為十五足九分之一倍故下書一一九除九餘六移於下位為六十併下位之三共為六十三足九分之七倍故下書七七九除六十三恰盡定位因得數比原數退一位故知每分得一萬三千七百一十七兩也御製數理精藴下編卷一
## 下編卷二
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二首部二命分約分通分命分凡歸除分至最細而可以恰盡無餘者謂之無竒零數若分至最細而屢除不盡者謂之有竒零數其竒零若畧去之則不能復還原數此命分之所以立也其法命為分母分子分母者即除數也分子者即除不盡之數也凡不盡之數得分母中之幾分者即命為幾分之幾是以命分之一法正所以濟歸除之所不逮也設如有銀十一兩命三人分之問每人得若干法以三人分銀十一兩每人得銀三兩仍餘二兩所餘二兩再以三人分之每人得六錢六分六釐六豪如是每得六而仍餘二數不盡故立命分法以三人為分母所餘二兩為分子命為每人得三兩又三分兩之二葢將每兩剖作三分其所餘二兩則共剖作六分三人分之每人得二分故命為三分兩之二也如因三分兩之二求知原銀數則以三人與分子二分相乘得六分葢每人得二分則三人共得六分也以六分用分母三分歸之得二兩葢初分一兩為三分故終收三分為一兩也再加入三人所得整數共九兩(一人三兩三人共得九兩)則得十一兩以合原數也設如有銀一百八十七兩命十八人分之問每人得若干法以十八人分銀一百八十七兩每人得銀十兩仍餘七兩分之不盡則以十八人為分母所餘七兩為分子命為每人得一十兩又十八分兩之七葢將每兩剖作十八分其所餘七兩則共剖作一百二十六分十八人分之每人得七分故命為十八分兩之七也如因十八分兩之七求知原銀數則以十八人與分子七分相乘得一百二十六分葢每人得七分則十八人共得一百二十六分也以一百二十六分用分母十八分歸之得七兩葢初分一兩為十八分故終收十八分為一兩也再加入十八人所得整數共一百八十兩(一人十兩十八人共)(得一百八十兩)則得一百八十七兩以合原數也約分約分者以所命之分約之以就整分也葢命分是隨其數之多寡全而紀之而約分則即其多寡之數從而約之以求簡易焉其法以分子分母兩數輾轉相減務期減餘兩數相同是為度盡兩數之一數乃以此數為一分以除分母得幾分者即約分母為幾分又除分子得幾分者即約為分母幾分中之幾凡諸法中有帶分者皆由約法而得故設例於此所以明帶分之根也設如古厯歳實命為三百六十五日又一百分日之二十五今以法約之求相當最小數法置日分一百以餘分二十五減之餘七十五分再以二十五減之餘五十分再以二十五減之亦餘二十五分兩數齊等即以相等之數二十五轉除日分一百得四即為四分又以二十五除餘分二十五得一即為一分乃百分日之二十五約為四分之一是歳實共得三百六十五日又四分日之一也(葢將一日剖作四分而得其四分之一也)凡約分法以分母分子相減必得相等之數然後用之葢因此數可以度盡分母又可以度盡分子故也今以相等之數二十五為一分則日分一百有四倍二十五故為四分而餘分二十五又恰足一分之數故為一分一百與二十五之比即同於四與一之比是四與一即一百與二十五之相當最小數也凡分母分子輾轉相減不得相等之數終減至於一是分母分子俱無一數可以度盡之數即不用約分用命分誌之可也設如有銀二百一十兩命一百四十七人分之每人得銀一兩仍餘六十三兩不盡以法約之求相當最小數法置一百四十七人以餘銀六十三減之餘八十四再以六十三減之餘二十一又置六十三轉以二十一減之(因減數大於原數又不得兩數齊等故以二十一轉減之)餘四十二再以二十一減之亦餘二十一則兩數齊等即以相等之數二十一轉除一百四十七人得七即為七分又以二十一除銀六十三兩得三即為三分乃一百四十七人分餘銀六十三兩約為七分之三是每人得銀一兩又七分兩之三也(葢將每兩剖作)(七分而得其七分之三也)此法以一百四十七人與六十三兩輾轉相減得相等之數二十一是二十一可以度盡一百四十七人又可以度盡六十三兩故也既以二十一為一分則一百四十七有七倍二十一故為七分六十三有三倍二十一故為三分一百四十七與六十三之比即同於七與三之比是七與三即一百四十七與六十三之相當最小數也通分凡竒零數目不以十遞析者難以立算則用通分如斤通為兩宮通為度度通為分之類是也又有整數而帶零分者則必通之以從其類如化整為零收零作整之類是也或有零分而分母不同者則必通之以同其母如互乘之類是也通分之法立然後竒零數目得以歸有餘齊不足而帶分之法皆根於此故為另設加減乘除之法以明其義焉加法凡竒零數相加兩分母同者即併兩分子為得數若相加之數大於母數則於所得數内減去母數為一整數紀其餘為零數設如有九分丈之七(一丈分為九分而得其七分也)與九分丈之五(一丈分為九分而得其五分也)相加求總數法以九分之七與九分之五左右列之將兩分子七與五相加得一十二因子數大於母數乃於一十二内減去母數九為一整數餘三為零數即得整數一丈零九分丈之三為相加之數也此法因兩分母同為九分而兩分子亦同為九分中之零分故徑併兩零分之七與五得一十二又以母數九分收為一丈(葢初以一丈分為九分今滿九分即收為一丈也)其所餘三亦仍為九分中之三分故得一丈零九分丈之三為兩零分之共數此分母相同之加法也(如以真數明之九分丈之七是將一丈分為九分得其九)(分中之七分一丈分為九分則每一分得一尺一寸一分一釐有餘九分中之)(七分則為七尺七寸七分七釐有餘也九分中之五分則為五尺五寸五分五)(釐有餘也兩數相加共得一丈三尺三寸三分三釐有餘即一丈零九分丈之)(三也葢一尺一寸一分一釐有餘既為九分中之一分則三尺三寸三分三釐)(有餘即九分中之三分也如以九分除三分即得三尺三寸三分三釐不盡之)(數是九分與一丈之比即同於三分與三尺三寸三分有餘之比也)凡竒零數相加兩分母不同者則用互乘法以兩分母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分母乘前分子以所得兩子數相加為共子數紀於共母數之下為共零數設如有三分丈之二(一丈分為三分而得其二分也)與五分丈之三(一丈分為五分而得其三分也)相加求總數法以兩分母三五相乘得一十五為共母數再以前分母三乘後分子三得九又以後分母五乘前分子二得十將兩得數相加得十九為共子數因子數大於母數乃於十九内減去共母數十五為一整數餘四為零數即得整數一丈零十五分丈之四為相加之數也此法用互乘者本為齊其分母也夫以兩分母相乘得十五者乃以兩分母俱變為十五分也(因分母不同難以相加故變為同等)以前分母三乘後分子三得九者乃以後分子變為十五分中之九也又以後分母五乘前分子二得十者是又以前分子亦變為十五分中之十也葢十五分之十與三分之二其比例等(俱為五倍比例)而十五分之九與五分之三其比例亦等(俱為三倍比例)兩分母既變為同等則兩分子亦俱為同分母之子矣故相加如第一法此分母不同之加法也(如以真數明之三分丈之二既變為十五)(分丈之十則每一分為六寸六分六釐有餘今得十分即六尺六寸六分六釐)(有餘也又五分丈之三既變為十五分丈之九則每一分亦為六寸六分六釐)(有餘今得九分即六尺也兩數相加共得一丈二尺六寸六分六釐有餘即一)(丈零十五分丈之四也葢六寸六分六釐有餘即為十五分中之一分今二尺)(六寸六分六釐有餘為四倍六寸六分六釐有餘即十五分中之四分也如以)(十五分除四分即得二尺六寸六分不盡之數是十五分與一丈之比即同於)(四分與二尺六寸六分有餘之比也)又或分母不同而可以加減之使同者則變而同之可省互乘設如有八分兩之一與十二分兩之三相加求總數法以十二分之三變為八分之二則與八分之一兩分母相同故徑併兩分子二與一得三即八分兩之三為相加之數也此法將十二分之三變為八分之二者乃分母分子各減三分之一也母數十二減三分之一餘八子數三減三分之一餘二葢十二分之三與八分之二其比例相等故變從簡易如數有參差者則當用下節之法(如以真數明之八分兩之一是)(將一兩分為八分其一分即一錢二分五釐也又十二分兩之三是將一兩分)(為十二分其三分為二錢五分今變為八分兩之二是將一兩分為八分其二)(分亦為二錢五分也兩數相加共得三錢七分五釐即八分兩之三也葢一錢)(二分五釐為八分中之一分今三錢七分五釐即八分中之三分也如以八分)(除三分即得三錢七分五釐是八分與一兩之比即同於三分與三錢七分五)(釐之比也)設如有六分石之五與三分石之二相加求總數如依前法將六分之五折半為三分之二分半則兩分母雖同而分子却有竒零若將三分之二加一倍作六分之四變少從多則與六分之五兩分母相同乃徑併兩分子五與四得九因子數大於母數乃於九内減去母數六為一整數餘三為零數即得整數一石零六分石之三為相加之數也此法三分之二變為六分之四者乃分母分子各加一倍之比例也凡變分母分子或加或減務期所變之分數與原分數比例相同使其兩分母同而兩分子可併也此條與上條用加減雖各異而齊其分母以加之則同也(如以真數明之六分石之五是將一石分為六分則)(每一分得一斗六升六合六勺六撮六抄有餘今得五分即八斗三升三合三)(勺三撮三抄有餘也又三分石之二是將一石分為三分其二分為六斗六升)(六合六勺六撮六抄有餘今變為六分石之四是將一石分為六分其四分亦)(為六斗六升六合六勺六撮六抄有餘也兩數相加共得一石四斗九升九合)(九勺九撮九抄有餘收為五斗即一石零六分石之三也葢六分為一石則三)(分即五斗也)凡子母數有三四種相加者其分母分子俱不同則用互乘以齊其分母按前法加之(三種者以第一數與第二數依前互)(乘法相加得數又與第三數依前互乘法相加四程者以第一數第二數互乘相加得數與第三數互乘)(相加得數復與第四數互乘相加)如兩分母相同者即併其兩分子而與所餘之分母不同者用互乘以加之又或有兩分母相乘後所得之數與所餘之分母相同者則直以所得之分子與所餘之分子相加為得數即不用互乘矣設如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三相加求總數法以前兩分子分母按互乘法相加得十二分斤之十(以兩分母三與四相乘得十二為共母數以前)(分母三乘後分子二得六又以後分母四乘前分子一得四相加得一十為共)(子數是為十二分斤之十)乃以十二分斤之十與第三子母分用互乘法相加得六十分斤之八十六(以第三分母五與前兩分母互乘所得之十二相乘得六)(十為共母數以前兩分母所得十二乘第三分子三得三十六又以第三分母)(五乘前兩分子所得十得五十相加得八十六為共子數是為六十分斤之八)(十六)因子數大於母數乃於共子數八十六内減去共母數六十為一整數餘二十六為零數即得一斤零六十分斤之二十六為總數也凡子母分有四種五種相加者俱倣此(如以真數明之三分斤之一是將一斤分)(為三分其一分即五兩三錢三分三釐有餘也四分斤之二是將一斤分為四)(分則每一分為四兩今得二分即八兩也五分斤之三是將一斤分為五分則)(每一分為三兩二錢今得三分即九兩六錢也三數相加共得二十二兩九錢)(三分三釐有餘内收十六兩為一斤餘六兩九錢三分三釐有餘即六十分斤)(之二十六也葢以十六兩分為六十分每分得二錢六分六釐有餘今六兩九)(錢三分三釐有餘有二十六倍二錢六分六釐有餘即為二十六分也)設如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一相加求總數法因五分丈之三與五分丈之一兩分母相同故直併其兩分子三與一為五分丈之四再以五分丈之四與四分丈之一依互乘法相加得二十分丈之二十一(以前分母五與後分母四相乘得二十為共母數以前分母五乘後)(分子一得五又以後分母四乘前分子四得十六相加得二十一是為二十分)(丈之二十一)因子數大於母數乃於共子數二十一内減去共母數二十為一整數餘一為零數即得一丈零二十分丈之一為總數也(如以真數明之其五分丈之三即六尺也其四分丈)(之一即二尺五寸也其五分丈之一即二尺也三數相加得一丈零五寸即一)(丈零二十分丈之一葢一丈分為二十分每分得五寸也)設如有三分兩之二又四分兩之三又十二分兩之四相加求總數法以三分之二與四分之三用互乘法相加得十二分兩之十七(以前分母三與後分母四)(相乘得十二為共母數以前分母三乘後分子三得九又以後分母四乘前分)(子二得八相加得十七是為十二分兩之十七)此所得之十二分兩之十七與第三分母相同即以前兩分所得共子十七與後一分子四相加得二十一是為十二分兩之二十一因子數大於母數乃於共子數二十一内減去共母數十二為一整數餘九為零數即得一兩零十二分兩之九為總數也(如以真數明之其三分兩之二即六錢六分六釐有餘也其四分兩)(之三即七錢五分也其十二分兩之四即三錢三分三釐有餘也三數相加得)(一兩七錢四分九釐有餘收作七錢五分即一兩零十二分兩之九葢十二分)(兩之九即七錢五分也)減法凡竒零數相減兩分母同者即將兩分子相減為餘數設如有十一分丈之七減十一分丈之五求餘數法以十一分丈之七與十一分丈之五左右列之將兩分子五與七相減餘二即得十一分丈之二為餘數也葢因兩分母同為十一分則兩分子亦同為十一分中之零分故徑將兩分子相減餘二亦仍為十一分中之二分是以定為十一分丈之二此分母相同之減法也(如以真數明之十一分丈之七是將一丈分為十一分則每一分得九寸零九)(釐零九絲有餘其中之七分即六尺三寸六分三釐六豪三絲有餘也其中之)(五分即四尺五寸四分五釐四豪五絲有餘也相減餘一尺八寸一分八釐一)(豪八絲有餘即十一分中之二分也葢九寸零九釐零九絲有餘為一分則一)(尺八寸一分八釐一豪八絲有餘即為二分也如以十一分除二分亦得一尺)(八寸一分八釐一豪八絲不盡之數是十一分與一丈之比即同於二分與一)(尺八寸一分八釐一豪八絲有餘之比也)凡竒零數相減兩分母不同者則用互乘法以兩分母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分母乘前分子以所得兩子數相減為餘數設如有三分丈之二減五分丈之三求餘數法以兩分母三五相乘得一十五為共母數再以前分母三乘後分子三得九又以後分母五乘前分子二得一十將所得兩分子相減餘一即得十五分丈之一為餘數也此法用互乘齊其分母將三分丈之二變為十五分丈之十將五分丈之三變為十五分丈之九兩分母既同為十五分故兩分子十與九相減餘一為十五分丈之一也此分母不同之減法也如兩分母不同可以加減之使其相同者減之亦如加法中例故不重設(如以真數明之其三分丈之二即六尺六寸六分六釐有餘也)(其五分丈之三即六尺也相減餘六寸六分六釐有餘即十五分丈之一也葢)(一丈分為十五分每一分得六寸六分六釐不盡也)凡零數與整數相減者即以分子與分母相減為餘數設如有米一石内減七分石之五求餘數法以整數一石變為七分為分母與分子五相減餘二即得七分石之二為餘數也葢將一石分為七分而於此七分内減去五分則所餘即七分石之二此整數中減零數法也(如以真數明之將一石分為七分則)(每一分得一斗四升二合八勺五撮七抄有餘其五分即七斗一升四合二勺)(八撮五抄有餘也與一石相減餘二斗八升五合七勺一撮四抄有餘即七分)(石之二也葢一斗四升二合八勺五撮七抄有餘為一分則二斗八升五合七)(勺一撮四抄有餘自為二分也)凡整數帶零分相減者將兩零分用互乘法變為同母然後減之設如有銀八兩零五分兩之四内減五兩零七分兩之三求餘數法以八兩之零數五分之四與五兩之零數七分之三用互乘法兩分母七五相乘得三十五為共母數再以五兩之分母七乘八兩之分子四得二十八為八兩所變之子數又以八兩之分母五乘五兩之分子三得十五為五兩所變之子數乃以八兩五兩二整數相減餘三兩以兩子數二十八與十五相減餘十三即得三兩又三十五分兩之十三為餘數也葢既將兩子數變為同母則八兩者為八兩零三十五分兩之二十八五兩者為五兩零三十五分兩之十五分母既同故以子數相減而得餘數此整數帶零分相減之法也(如以真數明之其八)(兩零五分兩之四即八兩八錢也其五兩零七分兩之三即五兩四錢二分八)(釐五豪七絲有餘也相減餘三兩三錢七分一釐四豪二絲有餘其三兩為整)(數其三錢七分一釐四豪二絲有餘即三十五分中之十三分也葢將一兩分)(為三十五分則每一分得二分八釐五豪七絲有餘其十三分即三錢七分一)(釐四豪二絲有餘也)凡子母數三四種相減者其分母分子俱不同則用互乘以齊其分母按前法減之如兩分母相同者即將其兩分子相減而與所餘之分母不同者用互乘以減之又或有兩分母相乘後所得之數與所餘之分母相同者則直以所得之分子與所餘之分子相減即得餘數其理與加法同設如有銅九斤零八分斤之七内減二斤零四分斤之一又減八分斤之三求餘數法以九斤内減去二斤餘七斤為整數乃以八分斤之七與四分斤之一用互乘法將八分斤之七變為三十二分斤之二十八將四分斤之一變為三十二分斤之八兩數相減餘三十二分斤之二十又以三十二分斤之二十與第三零數八分斤之三用互乘法將三十二分斤之二十變為二百五十六分斤之一百六十將八分斤之三變為二百五十六分斤之九十六兩數相減餘二百五十六分斤之六十四合前整數共得七斤又二百五十六分斤之六十四為餘數也如用約法則為七斤零四分斤之一葢二百五十六為四倍六十四今以六十四為一分則二百五十六自得四分也其餘幾種零分内有兩分母相同或兩分母乘出之數與餘一分母相同俱照同分母之例減之故不再設或零分有四種五種者亦俱倣此此幾種零分相減之法也(如以真數明之其九斤零八分斤之七即)(九斤十四兩也内減二斤零四分斤之一是減去二斤四兩又減去八分斤之)(三是又減去六兩也餘七斤零四兩即七斤零四分斤之一也葢一斤分為四)(分則每一分得四兩今七斤零四兩故謂七斤零四分斤之一也)乘法零分與零分相乘者兩分母兩分子各相乘所得之數即乘出之分也設如有三分丈之二與五分丈之四相乘問得幾何法以兩分母三五相乘得十五分為乘出之分母又以兩分子二四相乘得八分為乘出之分子即定為十五分丈之八為所得之數也今以圖明之如甲乙為一丈而甲丁亦為一丈作一甲乙丙丁正方形將甲丁分為三分甲乙分為五分内共容十五分即共母數乃兩分母三與五乘出之數也其甲丁之三分之二為甲戊甲乙之五分之四為甲己二數相乘得甲已庚戊長方形内容八分即共子數乃兩分子二與四乘出之數也甲乙丙丁正方與甲己庚戊長方相較即知甲己庚戊長方為甲乙丙丁正方中之十五分之八矣此零分乘零分之法也(如以真數明之其三分丈之二即六尺六寸六分六釐有)(餘也其五分丈之四即八尺也相乘得五十三尺三十三寸三十三分三十三)(釐有餘即十五分丈之八也葢一丈正方内容百尺分為十五分則每一分得)(六尺六十六寸六十六分六十六釐有餘今得其八分即五十三尺三十三寸)(三十三分三十三釐有餘也)零分與整數相乘者分子乘整數而以分母歸之即所得之數也設如有七人每人賞銀五分兩之二問共得若干法以分子二與七人相乘得十四以分母五歸之得二兩八錢即七人共得之數也葢五分兩之二是一兩分為五分而得其二分也一人得二分則七人必共得十四分既以一兩分為五分今滿五分收為一兩故以五歸十四得二兩八錢為共數此零分與整數相乘之法也整數帶零分與整數乘者先將整數俱通為零分相乘得數以分母自乘之數除之即得設如有整數二丈又四分丈之一與八丈相乘問得幾何法以整數二丈用分母四通為八分加入分子一共得九分又以整數八丈用分母四通為三十二分乃與九分相乘得二百八十八分以分母四自乘之一十六除之得一十八即定為一丈正方一十八為所得之數也此法葢以一丈通為四分是四四自乘之數始合一丈自乘之數故一十六者即分母四自乘之數未乘之先既以四通之故相乘之後必以四四自乘之數收之乃得真數此整數帶零分與整數相乘之法也(如以)(真數明之其二丈又四分丈之一即二丈二尺五寸與八丈相乘即得一十八)(丈也)整數帶零分與零分乘者先將整數通為零分相乘得數以分母自乘之數除之即得設如有整數二丈又五分丈之四與零分五分丈之三相乘問得幾何法以整數二丈用分母五通為十分加入分子四得十四分乃與零分分子三相乘得四十二以分母五自乘之二十五除之得一六八即定為一丈正方一又一尺正方六十八為所得之數也此法葢以一丈通為五分是五五自乘之數始合一丈自乘之數故以二十五除之又二丈之零分五分之四與所乘之零分五分之三為同母故用此法如兩零分分母不同則先將兩零分用互乘法變為同母然後用所變之分母化整為零再與彼一零分相乘得數以所變之分母自乘之數除之即得乘出之數(法見下節)此整數帶零分與零分相乘之法也(如以真數明之其二丈又五分丈之四即二丈八尺也其五分丈之三即)(六尺也以六尺與二丈八尺相乘即得一丈六十八尺也)整數帶零分與整數帶零分相乘而零分之分母不同者則以兩零分之分母用互乘法齊其數然後各以相同之分母化整為零兩數相乘再以同母自乘之數除之即得(如所帶零分本為同母者可省互乘)設如有長方田闊二丈又四分丈之三長三丈又三分丈之二求積法以兩分母四三相乘得一十二為共母數以前分母四乘後分子二得八以後分母三乘前分子三得九為兩分子數乃以共母數十二化闊二丈為二十四分加入分子九得三十三分為闊邊所變之分數又以共母數十二化長三丈為三十六分加入分子八得四十四分為長邊所變之分數爰以闊三十三分與長四十四分相乘得一千四百五十二乃以共母數十二自乘之一百四十四除之得一○○八餘四八不盡即定為一丈正方十一尺正方八零一百四十四分尺之四十八約為三分尺之一為所得之數也此整數帶零分與整數帶零分相乘之法也(如以真數明之其闊二丈又四)(分丈之三即二丈七尺五寸也其長三丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六)(分六釐有餘也以二丈七尺五寸與三丈六尺六寸六分六釐有餘相乘即得)(一十丈零八尺有餘也)大分下又帶小分相乘者其例有四(所謂大分下帶小分者是將大)(分之一分又分為幾分如大分五分之三又帶小分四分之一是將大分五分之三之一分又分為四分)(而得其一分也)有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者今以一法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然後以所變之兩母數兩子數對乘即得(總以小分母通之者葢小)(分母又為大分母之每一分之幾分小分不能使大大分可以變小使大分母大分子俱變為小分母一)(體然後可以相乘乘之即所以通之也設法中以度數明之其理自顯)設如有甲數五分丈之三又帶此一分之四分之一與乙數五分丈之四又帶此一分之四分之二相乘問得幾何(此大小分母俱同者也)法以甲數小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得二十分之十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子四得一十六再加入小分子二得一十八共得二十分之十八為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母二十與乙所變之分母二十相乘得四百分為乘出之分母又以甲所變之分子十三與乙所變之分子十八相乘得二百三十四分為乘出之分子即定為四百分丈之二百三十四為所得之數也(此法甲乙之小分母俱為四故將其)(大分母之每分亦俱化為四分又將大分子之每分亦俱化為四分使大分與)(小分之子母一體然後乘之今以度數明之甲之五分丈之三乃一丈内之六)(尺其所帶小分之四分之一乃二尺内之五寸是甲數共為六尺五寸乙之五)(分丈之四乃一丈内之八尺其所帶小分之四分之二乃二尺内之一尺是乙)(數共為九尺六尺五寸與九尺相乘得五十八尺五十寸是一丈正方為一百)(尺而得其五十八尺又小餘五十寸也若以分母四乘一百尺得四百分又乘)(得數五十八尺五十寸得二百三十四分故為四百分之二百三十四也若以)(尺隨寸命之則五十八尺五十寸又為五千八百五十寸以大分每一分通為)(小分四分則每一千寸分為四分每分得二百五十寸以二百五十寸歸五千)(八百五十寸得二十三寸四十分乃四十分中之二十三又小零分之四分進)(而命為丈則為四百分丈之二百三十四也)設如有甲數四分丈之三又帶此一分之七分之二與乙數九分丈之五又帶此一分之三分之一相乘問得幾何(此大小分母俱不同者也)法以甲數小分母七通大分母四得二十八仍以小分母七通大分子三得二十一再加入小分子二得二十三共得二十八分之二十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母三通大分母九得二十七仍以小分母三通大分子五得一十五再加入小分子一得一十六共得二十七分之一十六為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母二十八與乙所變之分母二十七相乘得七百五十六分為乘出之分母又以甲所變之分子二十三與乙所變之分子一十六相乘得三百六十八分為乘出之分子即定為七百五十六分丈之三百六十八為所得之數也(如以真數明之甲四分丈之三)(即一丈内之七尺五寸又帶小分七分之二即二尺五寸内之七寸一分四釐)(二豪有餘是甲數共為八尺二寸一分四釐二豪有餘也乙九分丈之五即一)(丈内之五尺五寸五分五釐五豪有餘又帶小分三分之一即一尺一寸一分)(一釐一豪有餘内之三寸七分零三豪有餘是乙共為五尺九寸二分五釐九)(豪有餘也兩數相乘得四十八尺六十七寸六十五分有餘即七百五十六分)(丈之三百六十八也如以七百五十六分除三百六十八分亦得四十八尺六)(十七寸六十五分不盡之數葢七百五十六分為一百尺則三百六十八分自)(得四十八尺六十七寸六十五分有餘也)設如有甲數八分丈之三又帶此一分之四分之一與乙數八分丈之四又帶此一分之六分之五相乘問得幾何(此大分母同而小分母不同者也)法以甲數小分母四通大分母八得三十二仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得三十二分之一十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母六通大分母八得四十八仍以小分母六通大分子四得二十四再加入小分子五得二十九共得四十八分之二十九為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母三十二與乙所變之分母四十八相乘得一千五百三十六分為乘出之分母又以甲所變之分子十三與乙所變之分子二十九相乘得三百七十七分為乘出之分子即定為一千五百三十六分丈之三百七十七為所得之數也(如以真數明之)(甲八分丈之三即三尺七寸五分又帶此一分之四分之一即三寸一分二釐)(五豪是甲數共為四尺零六分二釐五豪也乙八分丈之四即五尺又帶此一)(分之六分之五即一尺零四分一釐六豪有餘是乙數共為六尺零四分一釐)(六豪有餘也兩數相乘得二十四尺五十四寸四十二分有餘即一千五百三)(十六分丈之三百七十七也如以一千五百三十六分除三百七十七分亦得)(二十四尺五十四寸四十二分不盡之數葢一千五百三十六分為一百尺則)(三百七十七分自得二十四尺五十四寸四十二分有餘也)設如有甲數六分丈之四又帶此一分之五分之一與乙數九分丈之七又帶此一分之五分之二相乘問得幾何(此大分母不同而小分母同者也)法以甲數小分母五通大分母六得三十仍以小分母五通大分子四得二十再加入小分子一得二十一共得三十分丈之二十一為甲大小分所變之數又以乙數小分母五通大分母九得四十五仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子二得三十七共得四十五分之三十七為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母三十與乙所變之分母四十五相乘得一千三百五十分為乘出之分母又以甲所變之分子二十一與乙所變之分子三十七相乘得七百七十七分為乘出之分子即定為一千三百五十分之七百七十七為所得之數也(如以真數明之甲六分丈之四即六尺六)(寸六分六釐六豪有餘又帶此一分之五分之一即三寸三分三釐三豪有餘)(是甲數共為六尺九寸九分九釐九豪有餘也乙九分丈之七即七尺七寸七)(分七釐七豪有餘又帶此一分之五分之二即四寸四分四釐四豪有餘是乙)(數共為八尺二寸二分二釐二豪有餘也兩數相乘得五十七尺五十五寸五)(十五分有餘即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分)(除七百七十七分亦得五十七尺五十五寸五十五分不盡之數葢一千三百)(五十分為一百尺則七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有餘)(也)除法零分歸除零分者兩分母兩分子各自除之所得之數即除出之分也如有竒零不盡者用互乘法齊之即得分數其比例與除出之法同設如有九分丈之二以三分丈之一除之求得幾何法以九分丈之二為實三分丈之一為法以法分母三除實分母九得三為除出之分母又以法分子一除實分子二仍得二為除出之分子即定為三分丈之二為所得之數也此法即乘法内兩分母兩分子各相乘為所得之數者轉用之耳此零分除零分之法也又法以互乘代除以實分母九乘法分子一得九為除出之分母又以法分母三乘實分子二得六為除出之分子共得九分丈之六即所求之數也此法與前法所得之分母分子之數雖不同而理則一前法之三分之二與此法之九分之六其比例實同葢前法以法除實其得數為減分之比例此法以兩數互乘其得數為加分之比例故九分之六即三分之二也但法中不用兩分母相乘之數省去一層耳如欲明晰其故則以兩分母九與三相乘得二十七法分母三與實分子二相乘得六實分母九與法分子一相乘得九是將三分之一變為二十七分之九將九分之二變為二十七分之六其兩分母既等則其兩分子自成比例故九與六之比即同於三與二之比九分之六以三約之非三分之二耶(如以真數明之實九分丈之二為面積即二十二尺二十)(二寸二十二分二十二釐有餘也法三分丈之一為邊線即三尺三寸三分三)(釐有餘也除之得六尺六寸六分六釐有餘即三分丈之二也如以三分除二)(分亦得六尺六寸六分六釐不盡之數葢三分為一丈其二分自得六尺六寸)(六分六釐有餘也)整數歸除零分者分母通整數以除分子即得所求之數設如有五分丈之三以八丈除之求得幾何法以分子三為實以分母五通整數八丈得四十為法除之得七寸五分即所求之數也此法以五分乘八丈者是分母通整數將每丈俱通為五分也八丈既通為四十分則五分之三之每一分即與四十分中之每一分同等然而零數三分以四十分除之而得七寸五分者則又為變分為尺寸之比例矣四十分與一丈之比即同於三分與七寸五分之比此整數除零分之法也零分歸除整數者分母通整數而以分子除之即得所求之數設如有六丈以三分丈之二除之求得幾何法以分母三通整數六丈得一十八為實以分子二為法除之得九丈即所求之數也此法以三分乘六丈者是將每丈俱通為三分也六丈既通為十八分則十八分中之每一分與三分之二之每一分同等故以分子二除十八得九丈此零分除整數之法也整數帶零分歸除整數者先將法實之兩整數俱通為零分而於法中加入分子除之即得設如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得幾何法以分母三通二十四丈得七十二為實又以分母三通二丈得六加入分子二得八為法除之得九丈即所求之數也此法以分母三通實二十四丈是將實之每丈俱化為三分也又以分母三通法二丈是將法之每丈亦俱化為三分也兩整數俱化為同等則法實一體故法除實而得所求之數也此整數帶零分除整數之法也整數歸除整數帶零分者先將法實之兩整數俱通為零分而於實中加入分子以法除之即得設如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得幾何(即以前法數目作題者取其易明也)法以分母三通二丈得六加入分子二得八為實又以分母三通二十四丈得七十二為法除之得一尺一寸一分不盡約為九分丈之一即所求之數也此法以分母三通法實之兩整數者是將兩整數之每丈俱通為三分也一得七十二分一得八分以七十二與八之比即同於九與一之比故約為九分之一且以七十二除八得一一一不盡之數定為一尺一寸一分有餘者葢七十二分與一丈之比即同於八分與一尺一寸一分有餘之比也此整數除整數帶零分之法也整數帶零分歸除零分者先將整數通為零分加入分子除之即得設如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得幾何法以五分丈之四為實以法之分母八通三丈得二十四加入分子一得二十五共得八分丈之二十五為法用兩分母兩分子各自歸除之法以法分母八除實分母五得六二五為除出之分母以法分子二五除實分子四得一六○為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得二尺五寸六分即所求之數也葢法之三丈又八分丈之一乃三丈一尺二寸五分也實之五分丈之四乃八尺也以三丈一尺二寸五分歸除八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一尺二寸五分與一丈之比即同於八尺與二尺五寸六分之比也今以分母六二五除分子一六○亦得二尺五寸六分是六二五與一丈之比即同於一六○與二尺五寸六分之比也然六二五與三丈一尺二寸五分之比又即同於一六○與八尺之比而皆為加倍之比例也此整數帶零分除零分之法也又或整數通為零分加入分子之後以法除實而數有竒零不盡者則用互乘代除之法如前數已將整數通為八分丈之二十五為法乃以實分母五乘法分子二十五得一百二十五為除出之分母又以法分母八乘實分子四得三十二為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子亦得二尺五寸六分葢一百二十五分與一丈之比即同於三十二分與二尺五寸六分之比也後法之有竒零數而用互乘代除者皆同此例零分歸除整數帶零分者先將整數通為零分加入分子以法除之即得設如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求得幾何法以實之分母三通四丈得十二加入分子二得十四共得三分丈之十四為實以七分丈之四為法用互乘代除之法以實分母三乘法分子四得十二為除出之分母以法分母七乘實分子一十四得九十八為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八尺仍餘二不盡命為十二分尺之二以法約之為六分尺之一共得八尺零六分尺之一即所求之數也葢十二與一尺之比即同於九十八與八尺有餘之比也此零分除整數帶零分之法也整數帶零分歸除整數帶零分者先各以整數通為零分加入分子而以法除實即得設如有田五畝又三分畝之二共租銀五兩又二十七分兩之一求每畝得租銀幾何法以銀分母二十七通五兩得一百三十五加入分子一得一百三十六共得二十七分兩之一百三十六為實又以田分母三通五畝得十五加入分子二得十七共得三分畝之十七為法用互乘代除之法以銀分母二十七乘田分子一十七得四百五十九為除出之分母以田分母三乘銀分子一百三十六得四百零八為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八錢八分八釐零四百五十九分釐之四百零八即每畝所租之銀數也葢四五九與一兩之比即同於四○八與八錢八分八釐有餘之比也此整數帶零分除整數帶零分之法也大零分下又帶小零分相除者其例有四(有大小分母俱同者)(有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者)今以一法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然後以所變之子母數用互乘代除之法歸之即得(如用子母各自對除亦得但恐數有竒零)(故用此法)設如有甲八分丈之七又帶此一分之五分之三以乙五分丈之二又帶此一分之四分之一除之求法以甲小分母五通大分母八得四十仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子三得三十八共得四十分丈之三十八為甲大小分所變之數以之為實又以乙小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子二得八再加入小分子一得九共得二十分丈之九為乙大小分所變之數以之為法然後用互乘代除之法以甲所變之分母四十乘乙所變之分子九得三百六十為除出之分母又以乙所變之分母二十乘甲所變之分子三十八得七百六十為除出之分子乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十得二尺一寸一分一釐零三百六十分釐之四十約為九分釐之一即所求之數也葢三六○與一尺之比即同於七六○與二尺一寸一分一釐有餘之比也此大零分下帶小零分相除之法也(其分母分子俱同及分母同而分子不同分母不同而分子同者皆用此)(例故不重設)御製數理精蘊下編卷二
## 下編卷三
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三線部一正比例轉比例合率比例正比例帶分轉比例帶分比例凡物彼此相形並之而用加較之而用減聚之而用乘散之而用除觀之不過兩率然乘除之間四率之理已黙寓其中如因乘命法曰人幾何每人得物幾何求總物幾何則是每一人得物幾何與幾何人共得物幾何相比而成四率乃自小而得大者也如歸除命法曰有物幾何命幾何人分之每人得物幾何則是共人幾何共物幾何與每一人得物幾何相比而成四率乃自大而得小者也葢因命數以一人為法故乘與除各省其率耳是雖名為乘除而實為相比之四率也至於比例正法則所該甚廣大而推歩七政天行測量髙深廣逺小而量功命事度大移小無一非由比例而得葢以兩數為比例用今有之數即可以得未有之數也比例之理雖分相連相當二種而相當比例之中實又兼相連比例相當比例一率比二率如三率比四率而相連比例首率比中率若中率比末率者即是中率為二率而又為三率也盡人皆知線有線之比例面有面之比例體有體之比例殊不知差分盈朒方程借衰疉借之類正皆比例之屬也然此類中有合數之比例分數之比例均數之比例借數之比例非條分縷析各項專論則不備故仍舊各自為類而獨於比例中最切者詳明其理以列法焉其法一名異乘同除(或名為準測或名為順單)以原有之兩件相除故為同除以今有之一件乘之故為異乘(如先乘而後除亦同)而今則質言之曰正比例葢以原有之兩件為一率二率以今有之一件為三率而所求之一件則為四率也一名為同乘異除(或名為變測或名為互視或名為逆單)以原有之兩件相乘故為同乘以今有之一件除之故為異除而今則質言之曰轉比例葢以原有之兩件為二率三率以今有之一件為一率而所求之一件則為四率也然論其乘除之名雖異究其比例之理則一而已今以數明之如原有之兩數為二與四今有之一數為八以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三率即得今所求之四率為十六而一率二與二率四之比即三率八與四率十六之比為相當之比例也如原有之兩數為八與四今有之一數為十六以原有之八作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今所求之四率為二而一率十六與二率八之比即三率四與四率二之比或以一率十六與三率四之比即同於二率八與四率二之比皆為相當之比例也總之乘除之名有異同四率之列有更換而既成比例之後其理無不歸於大同由此引伸觸類推而廣之有合幾四率而為一四率者則名為同乘同除(或名為重測或名為順較逆較)而今則質言之曰合率比例葢其理亦不過合幾乘而為一乘合幾除而為一除各按四率參互錯綜豈能岀於比例之外哉凡此各種比例俱設數例於後以明立法之根加之解說以廣用法之意正比例設如有銀買米每米一石銀八錢今買米二百四十石問共該銀若干法以米一石為一率銀八錢為二率今買米二百四十石為三率二三率相乘一率除之得四率一百九十二兩即共銀數也葢一石與二百四十石為加二百四十倍而八錢與一百九十二兩亦為加二百四十倍(見幾何原本六卷第十五節)故一石與八錢之比即同於二百四十石與一百九十二兩之比也(此法一率是一止用八錢乘二)(百四十石亦得但為明正比例之理故首設一二易法使人好推尋也)設如有銀買米每銀一兩買米一石三斗今有銀三百二十兩問共買米若干法以銀一兩為一率米一石三斗為二率今銀三百二十兩為三率二三率相乘一率除之得四率四百一十六石即共米數也葢一兩與一石三斗之比即同於三百二十兩與四百一十六石之比也設如有銀賞人每三人賞銀一兩八錢今有二百四十人問共該銀若干法以三人為一率一兩八錢為二率今有二百四十人為三率二三率相乘一率除之得四率一百四十四兩即共銀數也葢三人與一兩八錢之比即同於二百四十人與一百四十四兩之比也設如有穀換米每穀一石四斗換米八斗四升今有穀三十二石六斗八升問換米若干法以穀一石四斗為一率米八斗四升為二率今有穀三十二石六斗八升為三率二三率相乘一率除之得四率一十九石六斗零八合即所換共米數也葢穀一石四斗與米八斗四升之比即同於穀三十二石六斗八升與米一十九石六斗零八合之比也設如天上二度當地面四百里今七度該里數若干法以原有之二度為一率四百里為二率今有之七度為三率二三率相乘一率除之得四率一千四百里即七度之里數也葢一率二與二率四之比為加一倍而三率七與四率十四之比亦為加一倍故二率得一率中之幾分之幾則四率亦得三率中之幾分之幾而為相當比例四率也設如一星一日内行一度三十分今問八刻内應行若干法以原數一日變作九十六刻為一率一度三十分變作九十分(一度作六十分加入三十)(分共九十分)為二率今星行八刻為三率二三率相乘一率除之得四率七分半即八刻内所行之數葢九十六刻與九十分之比即同於八刻與七分半之比也然将日變為刻者因每日九十六刻不以十進位又今所有者為八刻故以刻數與刻數相比也度變為分者因每度六十分亦不以十進位而今八刻内所行者必為分故以分數與分數相比也設如驗時儀算砲聲自烟起至聞聲計七秒得五里今得十四秒問里數若干法以七秒為一率五里為二率今得十四秒為三率二三率相乘一率除之得四率十里即十四秒之里數也葢七秒與五里之比即同於十四秒與十里之比也設如有羊四百六十隻共賣銀八十二兩八錢問每羊一隻價銀幾何法以羊四百六十隻為一率銀八十二兩八錢為二率羊一隻為三率推得四率一錢八分即每羊一隻之價也(此法三率)(是一止用羊四百六十隻歸除八十二兩八錢亦得但列四率法中不得不備)(其一體也)設如有羊一羣共二百四十隻又生羔七十二隻問加羊羣内十分之幾法以羊二百四十隻為一率十分為二率今生羔七十二隻為三率推得四率三分即為加羊羣内十分之三也葢二百四十與十分之比即同於七十二與三分之比若将二百四十作十分每分得二十四将羊羔七十二作三分每分亦得二十四總而約之故為十分之三也設如有田科糧每三畝科糧八斗四升今有四千六百三十五畝問得糧若干法以三畝為一率八斗四升為二率今有四千六百三十五畝為三率推得四率一千二百九十七石八斗即所得共糧數也葢三畝與八斗四升之比即同於四千六百三十五畝與一千二百九十七石八斗之比也設如用古量法豆區釜皆以四進有八十豆當二十區有二十區當釜若干法以八十豆為一率二十區為二率又為三率推得四率五釜即二十區所當釜數也此正比例中相連比例法也葢因二十區與二十區相乘得四百區而八十豆與五釜相乘亦得四百區二十區既為二率又為三率故謂相連比例是以八十豆與二十區之比即同於二十區與五釜之比也設如一商原有本銀三千兩一年得利銀九百兩今復将九百兩為本問一年得利若干法以三千兩為一率九百兩為二率又為三率推得四率二百七十兩即九百兩所得之利也此法以九百兩為二率又為三率葢三千兩與九百兩之比為三與九之比例而九百兩與二百七十兩之比亦為三與九之比例也轉比例設如有田一畝原闊八歩長三十歩今闊要十二歩問長得幾何法以今闊十二歩為一率原長三十歩為二率原闊八歩為三率二三率相乘一率除之得四率二十歩即今闊十二歩之長也此法以原有之兩數相乘以今有之一數除之而得今所求之數者因乘出兩數相同故也在正比例原有之兩件為一率二率今有之一件為三率而今所求之一件為四率俱以原有之一件與今有之一件相乘其積相同在轉比例則原有之兩件為二率三率今有之一件為一率而今所求之一件為四率是原有之兩件相乘今有之兩件相乘其積相同此兩法異同之故也雖今闊比原闊多而今長却比原長少故原有之闊(八歩)與長(三十歩)相乘得二百四十歩而今有之闊(十二歩)與長(二十歩)相乘亦得二百四十歩其積既同是以轉而比之自成比例葢今闊比原闊多三分之一今長比原長少三分之一其比例相同(見幾何原本七卷第三節)故今闊十二歩與原闊八歩之比即同於原長三十歩與今長二十歩之比也若借正比例論之以原闊八歩為一率原長三十歩為二率今闊十二歩為三率二三率相乘一率除之得四率四十五歩則是今闊比原闊多今長亦比原長多所容積數亦多而與一畝之數不合矣故轉以今闊十二歩為一率原長三十歩為二率原闊八歩為三率而得四率二十歩是為一率與三率之比同於二率與四率之比也設如有地寛二十丈長一百二十丈今換地寛三十丈問長得幾何法以今寛三十丈為一率原長一百二十丈為二率原寛二十丈為三率二三率相乘一率除之得八十丈即今寛三十丈之長也此法原有之寛與長相乘得二千四百丈今有之寛與長相乘亦得二千四百丈其積既同故轉而比之自成比例以今寛比原寛以原長比今長俱三與二之比例是以今寛三十丈與原寛二十丈之比即同於原長一百二十丈與今長八十丈之比也設如傭工開渠八人開之二十日完今加倍用十六人開之問得幾日完法以今十六人為一率原二十日為二率原八人為三率二三率相乘一率除之得四率十日即十六人完工之日也此法因工少而用日多故加人使工多而用日少葢今十六人與原八人之比即今之工加一倍而原二十日與今十日之比則今所得之日亦必減一倍故一率十六人與三率八人之比即同於二率二十日與四率十日之比也設如有地四百八十畝八人耕之十二日完今用六人耕之問得幾日完法以今六人為一率原十二日為二率原八人為三率二三率相乘一率除之得四率十六日即六人耕完之日也此法人數日數不同而所耕之田則同為四百八十畝而所用之工又同為九十六故以八人論一日八工十二日則用九十六工以六人論一日六工十六日亦用九十六工也故轉用四率自成比例以一率六人與三率八人之比即同於二率十二日與四率十六日之比也設如衆軍支米足用四年則每人每月支米三斗今欲将四年之米足用十二年問每人每月應支幾何法以今欲用十二年為一率原支米三斗為二率足用四年為三率二三率相乘一率除之得四率一斗即足用十二年每人每月應支之數也此法支米多則足用年數少今支米少則足用年數多葢四年與十二年之比在年為加三分之二而三斗與一斗之比在米又為減三分之二其比例固同也設如木星十二年一周天每年行三十度土星則二十八年一周天問每年行幾度法以土星所行一周二十八年為一率木星每年所行三十度為二率木星所行一周十二年為三率二三率相乘一率除之得四率十二度五十一分二十五秒有餘即土星每年所行之度數也葢木星周天比土星年數少而行度却多土星周天比木星年數多而行度却少多得少而少反得多故轉而比之以二十八年與十二年之比即同於三十度與十二度有餘之比也設如一人借人之絹寬三尺長二十四丈今還絹寬四尺問長該若干法以今絹寬四尺為一率原絹長二十四丈為二率原絹寬三尺為三率二三率相乘一率除之得四率十八丈即為今所還寬四尺絹之長也葢原絹寬三尺長二十四丈相乘得七百二十尺今絹寬四尺長十八丈相乘亦得七百二十尺因其積數相同故今絹寬四尺與原絹寬三尺之比即同於原絹長二十四丈與今絹長十八丈之比也設如驗時儀墜子其繩長四尺四寸八分一釐二豪八絲四刻内來往共三千次今造一墜欲使來一秒往一秒問繩長若干法以四刻化三千六百秒為今墜子往來次數自乘得一千二百九十六萬次為一率原墜繩長四尺四寸八分一釐二豪八絲為二率以原墜往來三千次自乘得九百萬次為三率二三率相乘一率除之得四率三尺一寸一分二釐即今所求墜繩之長也夫以四刻化秒者葢以所求之墜子欲其來一秒往一秒也故秒數即次數四刻所化之秒即今墜子在四刻内往來之次數也其比例以次數自乘者因墜子往來之際已成平面形故以往來之方數相比為面比面而原墜與今墜之長數相比為線比線務使其類相當而後可以相比也是以今墜往來次數自乘與原墜往來次數自乘之比即同於原墜長數與今墜長數之比也然原墜於四刻内往來之次數少而墜却長今墜於四刻内往來之次數多而墜却短故以今墜之往來次數與原墜之往來次數為比即同於原墜之長與今墜之長為比所以為轉比例也設如有正方池一面每邊十二丈今欲作寬八丈之池使其池面積數與方池等問長得幾何法以今池寬八丈為一率原池長十二丈為二率原池寬十二丈為三率推得四率十八丈即今欲作池之長也此轉比例中相連比例法也葢原池方面每邊十二丈其積一百四十四丈即二率三率相乘之數今所得四率長十八丈與一率寬八丈相乘亦得一百四十四丈兩數相等故以一率今池寬八丈與三率原池寬十二丈之比即同於二率原池長十二丈與四率今池長十八丈之比也設如原用金九兩係九成今用八成金折還當加幾兩法以今金八成為一率原金九兩為二率原金九成為三率推得四率十兩零一錢二分五釐内減九兩餘一兩一錢二分五釐即八成金當加之數也此法二率三率為體雖不同而數則一故亦為相連比例葢以原金九兩又係九成相乘得十成金八兩一錢以今之八成與所得十兩零一錢二分五釐相乘亦得十成金八兩一錢是八成與九成之比即同於九兩與十兩零一錢二分五釐之比也合率比例設如以夏布換棉布但知每夏布三丈價銀二錢每棉布七丈價銀七錢五分今有夏布四十五丈問換棉布若干法以夏布三丈與棉布價銀七錢五分相乘得二兩二錢五分為一率夏布價銀二錢與棉布七丈相乘得一兩四錢為二率夏布四十五丈為三率推得四率二十八丈即夏布四十五丈所換之棉布數也此法乃兩比例合為一比例也如分作兩比例明之每夏布三丈價銀二錢今夏布四十五丈則價銀應得三兩此一比例也棉布價銀七錢五分得棉布七丈今夏布四十五丈之價三兩則應得棉布二十八丈此又一比例也夫銀三兩原為夏布四十五丈之價則夏布四十五丈所換之棉布二十八丈價銀亦應三兩可知矣葢兩比例中一以三丈作一率一以七錢五分作一率故三丈與七錢五分相乘得二兩二錢五分而為一率是合兩一率而為一一率也一以二錢作二率一以七丈作二率故二錢與七丈相乘得一兩四錢而為二率是合兩二率而為一二率也而後比例之三率即前比例之四率如以兩三率相乘為三率則所得四率亦為兩四率相乘之數必須以前比例之四率除之方得後比例之四率故即以夏布之四十五丈為三率而得棉布之二十八丈為四率也設如以芝麻換黄米但知每芝麻三石換菉豆五石每菉豆四石換黄米三石今有芝麻五十四石問換黄米若干法以芝麻三石與菉豆四石相乘得十二石為一率又以菉豆五石與黄米三石相乘得十五石為二率芝麻五十四石為三率推得四率六十七石五斗即芝麻五十四石所換之黄米數也此法亦兩比例合為一比例也如分作兩比例明之每芝麻三石換菉豆五石則芝麻五十四石必換菉豆九十石此一比例也菉豆四石換黄米三石則菉豆九十石必換黄米六十七石五斗此又一比例也夫菉豆九十石原為芝麻五十四石所換則菉豆九十石所換之黄米即芝麻五十四石所換之黄米可知矣葢以兩比例之各一率相乘為一率兩比例之各二率相乘為二率者即合兩次乘除為一次乘除也設如養兵七百名每年額餉一萬二千六百兩内有新著伍兵三百名已應役七個月問該餉銀若干法以原養兵七百名與十二個月相乘得八千四百為一率額餉一萬二千六百兩為二率新兵三百名與七個月相乘得二千一百為三率推得四率三千一百五十兩即兵三百名七個月應得之餉銀數也此法亦兩比例合為一比例也如分作兩比例明之兵七百名得一萬二千六百兩則兵三百名應得五千四百兩(乃兵三百名十二個月應得之數)此一比例也兵三百名十二個月應得五千四百兩則七個月應得三千一百五十兩此又一比例也今以兩比例之各一率相乘為一率兩比例之各三率相乘為三率者亦如兩比例之各一率二率相乘合為一一率二率也設如原有鵝八隻換雞二十隻又雞三十隻換鴨九十隻又鴨六十隻換羊二隻今有羊五隻問換鵝幾何法以所換羊二隻與所換鴨九十隻相乘得一百八十隻再以所換雞二十隻乘之得三千六百隻為一率又以原鴨六十隻與原雞三十隻相乘得一千八百隻又以原鵝八隻乘之得一萬四千四百隻為二率今羊五隻為三率推得四率二十隻即羊五隻所換之鵝數也此法乃三比例合為一比例也如分作三比例明之羊二隻換鴨六十隻則羊五隻必換鴨一百五十隻此一比例也鴨九十隻換雞三十隻則鴨一百五十隻必換雞五十隻此二比例也雞二十隻換鵝八隻則雞五十隻必換鵝二十隻此三比例也夫雞五十隻原為鴨一百五十隻之所換而鴨一百五十隻又原為羊五隻之所換則雞五十隻所換之鵝二十隻即為羊五隻之所換可知矣今以三比例之各一率連乘之為一率又以三比例之各二率連乘之為二率者正合三比例為一比例也設如原有菽三斗換黍二斗又黍四斗換稷三斗又稷五斗換稻四斗又稻六斗換麥五斗今有麥七斗問換菽幾何法以所換麥五斗與所換稻四斗相乘得二石復以所換稷三斗乘之得六石再以所換黍二斗乘之得一十二石為一率又以原有稻六斗與原有稷五斗相乘得三石復以原有黍四斗乘之得一十二石再以原有菽三斗乘之得三十六石為二率今有麥七斗為三率推得四率二石一斗即麥七斗所換之菽數也此合四比例為一比例也如分作四比例明之麥五斗換稻六斗則麥七斗必換稻八斗四升此一比例也稻四斗換稷五斗則稻八斗四升必換稷一石零五升此二比例也稷三斗換黍四斗則稷一石零五升必換黍一石四斗此三比例也黍二斗換菽三斗則黍一石四斗必換菽二石一斗此四比例也夫黍一石四斗原為稷一石零五升之所換而稷一石零五升又為稻八斗四升之所換而稻八斗四升又為麥七斗之所換則黍一石四斗所換之菽二石一斗即為麥七斗之所換可知矣今以四比例之各一率連乘之為一率又以四比例之各二率連乘之為二率者正合四比例為一比例也設如原有工人一百開河四十丈二十日工完今有工人一千開河八十丈問得日數幾何法以今有工人一千與原開河四十丈相乘得四萬丈為一率二十日為二率以原有工人一百與今開河八十丈相乘得八千丈為三率推得四率四日即一千人開河八十丈之日數也此法以原有今有兩數互乘以比例者所以齊其分也試将兩首位一千工與一百工互乘得十萬工然後互乘丈數原有一邊得四萬丈今有一邊得八千丈是原一百工開四十丈則十萬工開四萬丈其比例相同今一千工開八十丈則十萬工開八千丈其比例亦同也因兩工數相同故以四萬丈與二十日之比即同於八千丈與四日之比葢原有十萬工開河四萬丈二十日可完今亦有十萬工開河八千丈則四日可完為比例四率也然此法實係兩比例合為一比例也如分作兩比例明之則先以人工為比例原一百工開二十日今一千工即應開二日為今一千工開河四十丈之日數此一轉比例也次用丈數為比例原四十丈應開二日今八十丈則應開四日為今一千工開河八十丈之日數此一正比例也法以兩比例之一率相乘為一率兩比例之三率相乘為三率者正合兩比例為一比例也設如原有書一百篇六人寫之十日完每篇三百字今有書二百篇八人寫之十二日完問每篇得字若干法以今有二百篇與原有六人相乘得一千二百又以原有十日乘之得一萬二千為一率每篇三百字為二率以原有一百篇與今有八人相乘得八百又以今有十二日乘之得九千六百為三率推得四率二百四十字即今八人寫十二日每篇之字數也試将兩首位一百篇與二百篇互乘得二萬篇然後互乘人工與日原有一邊得一萬二千工今有一邊得九千六百工葢原有二萬篇用一萬二千工每篇三百字今亦有二萬篇用九千六百工其每篇必二百四十字為比例四率也然此法實係三比例合為一比例也如分作三比例明之則先以篇數為比例原一百篇每篇三百字今勻為二百篇則每篇只應一百五十字此一轉比例也然人數不同故次以人數為比例原六人寫之每篇應一百五十字今八人寫之則每篇應二百字此一正比例也然日數又不同故次以日數為比例原寫十日每篇應二百字今寫十二日則每篇應二百四十字此又一正比例也法以三比例之各一率連乘之為一率三比例之各三率連乘之為三率者正合三比例為一比例也設如原雇人寫書每篇六百字八人寫二十日得一百二十篇今寫書每篇四百五十字却用十二人寫三十日問得篇數幾何法以今有四百五十字與原有八人相乘得三千六百又以原有二十日乘之得七萬二千為一率一百二十篇為二率以原有六百字與今有十二人相乘得七千二百又以今有三十日乘之得二十一萬六千為三率推得四率三百六十篇即今十二人寫三十日之篇數也試将兩首位六百字與四百五十字互乘得二十七萬字然後互乘人工與日原有一邊得七萬二千工今有一邊得二十一萬六千工葢原有一邊二十七萬字用七萬二千工得一百二十篇今一邊亦二十七萬字用二十一萬六千工則得三百六十篇為比例四率也然此法亦係三比例合為一比例也如分作三比例明之則先以字數為比例原每篇六百字為一百二十篇今每篇四百五十字則必匀為一百六十篇此一轉比例也然人數不同故次以人數為比例原八人寫之應得一百六十篇今十二人寫之則應得二百四十篇此一正比例也然日數又不同故次以日數為比例原寫二十日應得二百四十篇今寫三十日則應得三百六十篇此又一正比例也法以三比例之各一率連乘之為一率三比例之各三率連乘之為三率者正合三比例為一比例也設如海船内原有甜水二萬零一百六十斤每人每日用二斤足用四個月今又添四千零三十二斤合前數共二萬四千一百九十二斤欲用六個月問每日每人應用幾何法以原有二萬零一百六十斤與今六個月相乘得一十二萬零九百六十個月為一率每人每日用水二斤通為三十二兩為二率以今有二萬四千一百九十二斤與原四個月相乘得九萬六千七百六十八個月為三率推得四率二十五兩六錢即今每人每日應用之數也試将兩首位數互乘得四億八千七百七十一萬零七百斤然後互乘月數原有一邊得九萬六千七百六十八個月今有一邊得一十二萬零九百六十個月葢原有水四億八千七百七十一萬零七百斤足用九萬六千七百六十八個月每人得三十二兩今有水亦四億八千七百七十一萬零七百斤欲用十三萬零九百六十個月則每人得二十五兩六錢為轉比例四率也然此法亦係兩比例合為一比例也如分作兩比例明之則先以水數為比例原有水二萬零一百六十斤每人每日用三十二兩今水二萬四千一百九十二斤則每人每日應用三十八兩四錢此一正比例也然月數不同故次以月數為比例原用四個月每日應用三十八兩四錢今欲用六個月則每日應用二十五兩六錢此一轉比例也法以兩一率相乘為一率兩三率相乘為三率者正合兩比例為一比例也設如原有米八萬石用車二十四輛日行四十里二十日運完今有米十萬石用車三十輛日行六十里問運完日數幾何法以原有八萬石與今用車三十輛相乘得二百四十萬輛又以今行六十里乘之得一億四千四百萬里為一率二十日為二率以今有十萬石與原用車二十四輛相乘亦得二百四十萬輛又以原行四十里乘之得九千六百萬里為三率推得四率十三日又三分日之一即今米十萬石運完之日數也試将兩首位數互乘得八十億石然後互乘車數里數原有一邊得九千六百萬里今有一邊得一億四千四百萬里葢原有米八十億石用車二百四十萬輛行九千六百萬里得二十日運完今有米亦八十億石亦用車二百四十萬輛行一億四千四百萬里故十三日又三分日之一運完為轉比例四率也然此法亦係三比例合為一比例也如分作三比例明之則先以米數為比例原米八萬石運二十日今米十萬石則應運二十五日此一正比例也然車數不同故次以車數為比例原車二十四輛應運二十五日今車三十輛則應運二十日此一轉比例也然日行里數又不同故次以里數為比例原行四十里應運二十日今行六十里則應運十三日又三分日之一此又一轉比例也法以三比例之各一率連乘之為一率三比例之各三率連乘之為三率者正合三比例為一比例也設如原有麥子一萬二千石車十二輛每車載三石日行八十里四十日運完今有麥三萬石車十六輛每車載四石日行六十里問運完日數幾何法以原有麥子一萬二千石與今車十六輛相乘得一十九萬二千輛又以今每車載麥四石乘之得七十六萬八千石又以今行六十里乘之得四千六百零八萬里為一率四十日為二率以今有麥子三萬石與原有車十二輛相乘得三十六萬輛又以原每車載麥三石乘之得一百零八萬石又以原行八十里乘之得八千六百四十萬里為三率推得四率七十五日即今麥三萬石運完之日數也試将兩首位數互乘得三億六千萬石然後互乘車數石數里數原有一邊得八千六百四十萬里今有一邊得四千六百零八萬里葢原有麥三億六千萬石用車三十六萬輛載一百零八萬石行八千六百四十萬里得四十日運完今有麥亦三億六千萬石用車一十九萬二千輛載七十六萬八千石行四千六百零八萬里得七十五日運完為轉比例四率也然此法係四比例合為一比例也如分作四比例明之則先以麥數為比例原麥一萬二千石運四十日今麥三萬石則應運一百日此一正比例也然車數不同故次以車數為比例原車十二輛應運一百日今車十六輛則應運七十五日此一轉比例也然每車所載石數不同故次以石數為比例原每車載三石應運七十五日今每車載四石則應運五十六日二五(即四分日之一)此又一轉比例也然日行里數又不同故次以里數為比例原日行八十里應運五十六日二五今日行六十里則應運七十五日此又一轉比例也法以四比例之各一率連乘之為一率四比例之各三率連乘之為三率者正合四比例為一比例也正比例帶分設如有銀買米每米一石價銀八錢四分今買米三分石之二問該銀若干法以米一石用分母三通為三分為一率銀八錢四分為二率分子二分為三率二三率相乘一率除之得四率五錢六分即銀數也葢米一石通為三分以三分與八錢四分之比即同於二分與五錢六分之比皆為三分之二之比例也設如有人行路行過五分之二係八十里問總里數幾何法以分子二分為一率分母五分為二率行過八十里為三率二三率相乘一率除之得四率二百里即總里數也葢總里數之五分之二為八十里以二分與五分之比即同於八十里與二百里之比皆為五分之二之比例也設如有銀買米每米三分石之二價銀七分兩之五今買米四分石之三問該銀若干法以三分石之二為一率七分兩之五為二率四分石之三為三率用通分乘法以二率分母七與三率分母四相乘得二十八為乘出之分母又以二率分子五與三率分子三相乘得一十五為乘出之分子是為二十八分之十五為二率三率相乘之數以一率三分石之二除之因分母除不盡乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母二十八與一率之分子二相乘得五十六為除出之分母又以一率之分母三與乘出之分子十五相乘得四十五為除出之分子即得四率五十六分兩之四十五為所求之數也如求真數則變零分為兩以分母五十六為一率一兩為二率分子四十五為三率推得四率八錢餘二不盡命為五十六分錢之二約為二十八分錢之一即所求之真數也設如有銀買蠟每銀二兩六錢買蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一今有銀九錢問買蠟幾何法以銀二兩六錢為一率以蠟十斤通為一百六十兩又五分斤之二通為六兩四錢又七兩零二分兩之一通為七兩五錢共得一百七十三兩九錢為二率今有銀九錢為三率推得四率六十兩零一錢九分收為三斤零十二兩一錢九分即所求之蠟數也此法雖有零分而分兩實可相通故各相通以為比例四率也設如有銀買羽絨每三分丈之一價銀四分兩之三今欲買八分丈之七問該銀若干法以原羽絨三分丈之一為一率原銀四分兩之三為二率今羽絨八分丈之七為三率用通分乘法以二率分母四與三率分母八相乘得三十二為乘出之分母又以二率分子三與三率分子七相乘得二十一為乘出之分子是為三十二分之二十一為二率三率相乘之數乃以一率三分丈之一除之因分母除不盡乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母三十二與一率之分子一相乘仍得三十二為除出之分母又以一率之分母三與乘出之分子二十一相乘得六十三為除出之分子即得四率三十二分兩之六十三為所求之數也滿分母三十二分收為一兩餘三十一(六十三分内減去三十二分仍餘三十一)為一兩又三十二分兩之三十一如求真數則以分母三十二為一率一兩為二率分子三十一為三率推得四率九錢六分八釐七豪五絲與整數一兩相加得一兩九錢六分八釐七豪五絲即真數也設如有銀買緞每緞二疋共價八兩又五分兩之四今欲買三十六疋問共價若干法以二疋為一率共價八兩用分母五通為四十分加分子四得四十四分為二率今買三十六疋為三率推得四率七百九十二分以每分母五分收為一兩得一百五十八兩又五分兩之二(以五)(分為一率一兩為二率七百九十二分為三率推得四率一百五十八兩餘二)(分即命為五分兩之二)即所求之數也如以五分兩之二收為四錢(五分為一兩則二分為四錢)則得一百五十八兩四錢即緞三十六疋之共價也如以子母分變為真數求之二疋共價八兩又五分兩之四則五分為一兩四分為八錢是二疋共價為八兩八錢即以二疋為一率八兩八錢為二率三十六疋為三率亦得四率一百五十八兩四錢為緞三十六疋之共價也轉比例帶分設如一案長九尺寬一尺六寸今欲将原長減三分之一其面積仍與原案等問寬幾何法以原長九尺用分母三歸之得每分三尺於原長九尺内減去一分之三尺餘六尺為今長為一率原寬一尺六寸為二率原長九尺為三率二三率相乘一率除之得四率二尺四寸即今所求之寬也此法因分母三可以度盡原長故變今長為真數與他率為比例也設如營造原每日用五十六人為一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人問完工之日得幾何法以今用六十四人為一率以分母九通一月為九分加入分子三共為九分月之十二為二率原用五十六人為三率推得四率九分月之十分半滿分母九分收為一月餘一分半(十分半内減去九分餘一)(分半)約為六分月之一即得一月又六分月之一為今用六十四人完工之日也葢六十四人與一月又九分月之三之比即同於五十六人與一月又六分月之一之比也設如原有一門簾用綾一丈二尺其綾寬一尺五寸今欲作一新簾其綾比原綾寬七分尺之三問應用長數幾何法以原寬一尺五寸用分母七通為十分半加入分子三得今寬一十三分半為一率原長一丈二尺為二率原寬十分半為三率推得四率九尺又一百三十五分尺之四十五約為三分尺之一即得九尺又三分尺之一為今應用之長數也葢今寬十三分半與原寬十分半之比即同於原長一丈二尺與今長九尺又三分尺之一之比也設如城守兵一營其糧可支一年又七分年之二今汰去三分之一問應支年數幾何法先以年分母七通一年為七分加入分子二得七分年之九又以兵分子一減分母三得二為三分之二為現存兵數(汰去三分之一則存者為三分之二)因兩分母不同故用互乘以齊之以兩分母三七相乘得二十一為共母分即原兵分以年分母七互乘兵分子二得十四為今存兵分以兵分母三互乘年分子九得二十七為原年分即以所通今存兵十四分為一率原年數二十七分為二率原兵二十一分為三率推得四率二十一分年之四十分半滿分母二十一分收為一年餘十九分半(四十分半内減二十一分餘十九分半)約為七分年之六分半即得一年又七分年之六分半為今應支之年數也葢今存兵比原兵少三分之一則支糧年數必多三分之一故今存兵十四分與原兵二十一分之比即同於原年數二十七分與今年數四十分半之比也御製數理精藴下編卷三
## 下編卷四
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷四線部二按分遞折比例(二八差分遞折差分) (三七差分差分四六差分加倍減半)按分遞折比例差分之欵項雖多而按分遞折者皆為相連比例故約之而歸一類如二八三七四六差分俱以十分為總率而按各分以分之者也如遞折差分亦以十分為率而按十分之幾以遞折之者也如加倍減半差分則以倍半為率按一定之分而加減之者也今細分其目如左二八差分者以總物平分十分一得十分之二一得十分之八有三色者則以二與八與三十二為衰數葢八與三十二之比即如二與八之比也有四色者則以二與八與三十二與一百二十八為衰數葢三十二與一百二十八之比亦如二與八之比也至於五色以上者皆以相連比例求各衰數總不越乎二八之比例故曰二八差分三七差分者以總物平分十分一得十分之三一得十分之七有三色者則以九與二十一及四十九為衰數(以九為第一衰數者因三與七非彼此度盡之數七作三分必至竒零不盡故以三因三得九)(為三分則以三因七得二十一為七分如二十一轉為三分則四十九又為七分矣)葢九與二十一即如三與七之比而二十一與四十九亦如三與七之比也有四色者則以二十七與六十三及一百四十七與三百四十三為衰數(以三因九得二十七為三分故以七)(因九得六十三為七分若六十三轉為三分則一百四十七為七分一百四十七轉為三分則三百四十)(三又為七分矣)葢二十七與六十三六十三與一百四十七一百四十七與三百四十三皆如三與七之比也五色以上者皆以相連比例求各衰數總不越乎三七之比例故曰三七差分四六差分者以總物平分十分一得十分之四一得十分之六有三色者則以四與六與九為衰數葢六與九之比即如四與六之比也有四色者則以四與六與九與一三五為衰數葢九與一三五之比亦如四與六之比也五色以上者亦以相連比例求各衰數總不越乎四六之比例故曰四六差分遞折差分者十分之中得其幾分即為幾折如得其六分即為六折得其四分即為四折若夫五折則為十分之半故載於倍半法中而别為一類加倍差分其數自少而多皆以倍而加減半差分則數自多而少皆以半而減因加減有定分故立衰有定例總以加倍減半之數為相連比例設為借數以求正數也二八差分設如有銀三千兩令二等人户二八納之問各該若干法以二分八分相併得十分為一率銀三千兩為二率二分為三率推得四率六百兩為下等人户所納之數仍以二分八分相併之十分為一率銀三千兩為二率以八分為三率推得四率二千四百兩即為上等人户所納之數也此法兩用四率者正為明比例之理葢二分八分相併之十分與總銀三千之比即如二分之與六百之比八分之與二千四百之比也又捷法以二八所併之十分歸除總銀三千兩得每分三百兩以二分乘之得六百以八分乘之得二千四百葢每一分得三百而二分得六百八分得二千四百也又或先得二分所納之數於總銀内減之即八分所納之數此又正法外之變法也設如有人一千六百名二分賞銀八分賞米問賞銀人若干賞米人若干法以二分八分相併得十分為一率人一千六百名為二率二分為三率推得四率三百二十名為應賞銀之人如以八分為三率推得四率一千二百八十名即應賞米之人也葢二分八分相併之十分與總人一千六百之比即如二分之與三百二十名之比八分之與一千二百八十名之比也又捷法以二八所併之十分歸除總人數一千六百名得每分一百六十名以二分乘之得賞銀人三百二十名以八分乘之得賞米人一千二百八十名葢每一分得一百六十名而二分得三百二十名八分得一千二百八十名也設如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之問每人應得幾何法以二分為甲衰八分為乙衰三十二分為丙衰相併得四十二分為一率總米五百八十八石為二率以甲二分為三率推得四率二十八石即甲分米數以乙八分為三率得四率一百一十二石即乙分米數以丙三十二分為三率得四率四百四十八石即丙分米數也此法用二與八八與三十二者即二八相連比例分葢總分數四十二分與總米五百八十八石之比即二分與二十八石之比八分與一百一十二石之比即三十二分與四百四十八石之比也又捷法以總數四十二分歸除總米五百八十八石得每分一十四石以二分乘之得甲米二十八石以八分乘之得乙米一百一十二石以三十二分乘之得丙米四百四十八石也設如有銅五百二十斤錬成精銅每十分中去渣二分餘精銅八分問精銅與渣各得若干法以十分為一率銅五百二十斤為二率八分為三率推得四率四百一十六斤為精銅之數如以二分為三率推得四率一百零四斤即銅渣之數也葢十分與五百二十斤之比即如八分之與四百一十六斤之比二分之與一百零四斤之比也又捷法以十分歸除總銅五百二十斤得每分五十二斤以八分乘之得四百一十六斤以二分乘之得一百零四斤葢每一分五十二斤而二分得一百零四斤八分得四百一十六斤也又或先得精銅八分數減總銅餘即銅渣二分數也設如有田二千六百三十五畝以麥穀豆麻四色遞次二八分種問各田應得幾何法以二分為麻衰八分為豆衰三十二分為穀衰一百二十八分為麥衰併之得一百七十分為一率總田二千六百三十五畝為二率以麥一百二十八分為三率得四率一千九百八十四畝即麥田數如以穀三十二分為三率得四率四百九十六畝即穀田數如以豆八分或麻二分為三率所得四率即豆一百二十四畝與麻三十一畝之田數也又捷法以總數一百七十分除總田數二千六百三十五畝得每分一十五畝五分乃以每色分數乘之即得每色應種數也設如有銀三千四百一十兩令五商遞次二八分出問各出幾何法以一商為二分一商為八分一商為三十二分一商為一百二十八分一商為五百一十二分併之得六百八十二分為一率總銀三千四百一十兩為二率以五百一十二分為三率得四率二千五百六十兩即五百一十二分應出之數如以一百二十八分為三率得四率六百四十兩即一百二十八分應出之數如以三十二分為三率得四率一百六十兩即三十二分應出之數如以八分或二分為三率所得四率四十兩即八分應出之數一十兩即二分應出之數也又捷法以總數六百八十二分除總銀三千四百一十兩得每分五兩再以每人分數乘之即得每人應出銀數也設如有糧二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八遞減納之甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户問各户所納幾何各等户共納幾何法以五百一十二為甲一户分數再以甲三十户乘之得一萬五千三百六十為甲三十户共分數以一百二十八為乙一户分數再以乙四十户乘之得五千一百二十為乙四十户共分數又以三十二為丙一户分數再以丙五十户乘之得一千六百為丙五十户共分數又以八為丁一户分數再以丁六十户乘之得四百八十為丁六十户共分數又以二為戊一户分數再以戊七十户乘之得一百四十為戊七十户共分數以所得五等共分數併之得二萬二千七百為總分數為一率總糧二千六百五十五石九斗為二率以甲五百一十二分為三率得甲一户納五十九石九斗零四合又以甲三十户乘之得甲共納一千七百九十七石一斗二升以乙一百二十八分為三率得乙一户納十四石九斗七升六合又以乙四十户乘之得乙共納五百九十九石零四升以丙三十二分為三率得丙一户納三石七斗四升四合又以丙五十户乘之得丙共納一百八十七石二斗以丁八分為三率得丁一户納九斗三升六合又以丁六十户乘之得丁共納五十六石一斗六升以戊二分為三率得戊一户納二斗三升四合又以戊七十户乘之得戊共納十六石三斗八升也又捷法以總分數除總糧數得每一分一斗一升七合以各等一户分數乘之得各等一户納糧之數以各等共户分數乘之得各等共户納糧之數葢前法有各等户而各等之中又有衆户故以定分數(二八三十二一百二十八五百一十二之數)為各等分數又以衆户乘之為各等共户之分數此捷法以總分數除總糧是得各等每一户中之一分故以每一户分數乘之得每一户之數以每一等共分數乘之得每一等之全數也三七差分設如有銀五千兩令東西二縣三七支銷問各該幾何法以七分為東縣衰數三分為西縣衰數併之得十分為一率總銀五千兩為二率以七分為三率得四率三千五百兩即東縣應支之數如以三分為三率得四率一千五百兩即西縣應支之數也葢三七比例亦以總衰數與總銀數之比即若每縣衰數與每縣銀數之比故十分與五千之比即若三分與一千五百之比七分與三千五百之比也又捷法先以總衰十分除總銀五千兩得每分五百兩以七分乘之即東縣之數以三分乘之即西縣之數或得東縣數於總銀内減之餘即西縣數也此法以總衰除總銀得每分五百兩以七乘之即得七分以三乘之即得三分也前法先乘而後除後法先除而後乘其理一也設如有田二千五百畝令上等户七分種之下等户三分種之問各該幾何法以七分三分相併得十分為一率二千五百畝為二率上户七分為三率得四率一千七百五十畝即上户應種田數如以三分為三率得四率七百五十畝即下户應種田數葢十分與二千五百畝之比即七分與一千七百五十畝之比三分與七百五十畝之比也又捷法以三七相併之十分歸除總田二千五百畝得每分二百五十畝以三分乘之得下户七百五十畝以七分乘之得上户一千七百五十畝葢一分為二百五十畝而三分得七百五十畝七分得一千七百五十畝也設如以車運物行十里二十刻到今已行七里問尚得幾刻到法以十里為一率二十刻為二率以七里與十里相減餘三里為三率推得四率六刻即運到刻數也如以七里為三率推得四率十四刻與總二十刻相減餘六刻亦即運到刻數也葢十里與二十刻之比即三里與六刻之比七里與十四刻之比也又捷法以十里歸除二十刻得每里二刻以三里乘之得六刻以七里乘之得十四刻葢每一里為二刻則三里得六刻七里得十四刻也設如種樹一千一百六十株按松柏桃栁四色遞次三七分種問各該幾何法以三百四十三分為松衰一百四十七分為柏衰六十三分為桃衰二十七分為栁衰併之得五百八十分為一率一千一百六十株為二率以三百四十三分為三率得四率六百八十六株即種松之數以一百四十七分為三率得四率二百九十四株即種柏之數以六十三分為三率得四率一百二十六株即種桃之數以二十七分為三率得四率五十四株即種栁之數也又捷法以總衰數五百八十歸除總樹一千一百六十得每分二株以三百四十三分乘之得種松之數以一百四十七分乘之得種柏之數以六十三分乘之得種桃之數以二十七分乘之得種栁之數也此法有四位故以三因九得二十七為栁衰數又遞用七因三歸為桃柏松之衰數也設如有熟絲四百九十七兩七錢按絹綾緞遞次三七分織問各該絲幾何法以九分為絹衰二十一分為綾衰四十九分為緞衰併之得七十九分為一率絲四百九十七兩七錢為二率以緞四十九分為三率得四率三百零八兩七錢即緞絲數如以綾二十一分為三率得四率一百三十二兩三錢即綾絲數如以絹九分為三率得四率五十六兩七錢即絹絲數也又捷法以總衰數七十九分除總絲四百九十七兩七錢得每分六兩三錢以緞四十九分乘之得緞絲之數以綾二十一分乘之得綾絲之數以絹九分乘之得絹絲之數也此法有三位故以三因三得九為絹之衰數又遞用七因三歸為綾與緞之衰數葢九與二十一二十一與四十九為相連比例三率而九與二十一之比即二十一與四十九之比也設如編銀八百二十八兩二錢令甲乙丙丁戊五等户三七徴納問各户所納幾何法以八十一分為甲衰一百八十九分為乙衰四百四十一分為丙衰一千零二十九分為丁衰二千四百零一分為戊衰併之得四千一百四十一分為一率總銀八百二十八兩二錢為二率以每人分數各為三率得四率之一十六兩二錢即甲所納銀數得四率之三十七兩八錢即乙所納銀數得四率之八十八兩二錢即丙所納銀數得四率之二百零五兩八錢即丁所納銀數得四率之四百八十兩二錢即戊所納銀數也又捷法以總衰數四千一百四十一分歸除總銀八百二十八兩二錢得每分二錢以甲乙丙丁戊各人分數乘之即得各人所納銀數也此法有五位故以三因二十七得八十一分為甲之衰數又遞用七因三歸即得乙丙丁戊各衰數矣設如有田一百三十八畝每畝徴米二斗今七分徴米三分折絲每米一石折絲一斤問各該幾何法以七分為米衰三分為絲衰併之得十分為一率又以徴米二斗乘田一百三十八畝得總米二十七石六斗為二率以米七分為三率得四率一十九石三斗二升即徴米七分之數與總米相減餘八石二斗八升為三分折絲之數按米每石折絲一斤則以八石二斗八升用十六兩乘之得一百三十二兩四錢八分為八斤四兩四錢八分即折絲三分之數也此法以徴米二斗乘總田是得總徴米數而三七分之也總米分去七分即本色米數餘者折為絲即三分絲數也折絲之法每石既為一斤則八石二斗四升自得八斤四兩四錢八分也又捷法以總衰十分歸除總米二十七石六斗得每分二石七斗六升以米七分乘之得米數以絲三分乘之得折絲之米數既得折絲之米數而絲之斤兩亦得矣四六差分設如有金四千兩令上下二等金户六四傾銷問各該幾何法以六分為上等衰數四分為下等衰數併之得十分為一率共金四千兩為二率以六分為三率得四率二千四百兩即上等金户傾銷之數如以四分為三率得四率一千六百兩即下等金户傾銷之數此法以四分六分相併之十分與共金四千兩之比即如六分與二千四百兩之比四分與一千六百兩之比也又捷法以總衰十分歸除共金四千兩得每分四百兩以六分乘之得二千四百兩為上等金户傾銷之數以四分乘之得一千六百兩為下等金户傾銷之數如先得上等六分金數於共金數内減之其餘即下等四分金數也設如有水田三百畝令上下二户四六分灌問各灌若干法以四分六分相併得十分為一率三百畝為二率六分為三率推得四率一百八十畝即上户所灌之田以四分為三率推得四率一百二十畝即下户所灌之田也葢四六相併之十分與三百畝之比即六分與一百八十畝之比四分與一百二十畝之比也又捷法以相併之十分歸除總田三百畝得每分三十畝以六分乘之即上户田數以四分乘之即下户田數葢每一分得三十畝而六分得一百八十畝四分得一百二十畝也如或先得六分田數減總田餘即四分田數也設如有絲二百五十斤換米每絲一斤換米一石今已換過六分尚餘絲四分問已換未換各若干法以四分六分相併得十分為一率将二百五十斤絲變作二百五十石米為二率(每絲一斤換米一石故也)以六分為三率推得四率一百五十石為已換之米數以四分為三率推得四率一百石為未換之米數葢四六相併之十分與二百五十石之比即六分與一百五十石之比四分與一百石之比也又捷法以相併之十分歸除總米二百五十石得每分二十五石以六分乘之得已換之一百五十石以四分乘之得未換之一百石葢每一分得二十五石而四分得一百石六分得一百五十石也設如有絲一千五百五十八斤令甲乙丙三家四六分織問各該幾何法以四為甲衰數六為乙衰數九為丙衰數併之得十九為一率總絲一千五百五十八斤為二率以甲四分為三率即得甲絲三百二十八斤以乙六分為三率即得乙絲四百九十二斤以丙九分為三率即得丙絲七百三十八斤此法以總衰十九分與總絲一千五百五十八斤之比即甲四分與三百二十八斤之比乙六分與四百九十二斤之比丙九分與七百三十八斤之比也又捷法以總衰數十九分除總絲一千五百五十八斤得每分八十二斤以甲四分乘之得甲絲三百二十八斤以乙六分乘之得乙絲四百九十二斤以丙九分乘之得丙絲七百三十八斤也設如有田九百七十五畝令甲乙丙丁四人四六分種問每人各得幾何法以四分為甲衰六分為乙衰九分為丙衰一十三分半為丁衰併之得三十二分半為一率總田九百七十五畝為二率以甲四分為三率即得甲田一百二十畝以乙六分為三率即得乙田一百八十畝以丙九分丁一十三分半各為三率即得二百七十畝為丙田得四百零五畝為丁田也葢三十二分半與九百七十五畝之比即甲四分與一百二十畝之比乙六分與一百八十畝之比亦即丙九分與二百七十畝之比丁十三分半與四百零五畝之比也又捷法以總衰數三十二分半歸除總田九百七十五畝得每分三十畝以甲乙丙丁各衰數乘之即得每人田數也設如有糧一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按六分四分遞次運載問各該幾何法以四分為戊衰六分為丁衰九分為丙衰一十三分半為乙衰二十分二五為甲衰併之得五十二分七五為一率總糧一千二百六十六石為二率以甲二十分二五為三率得甲運四百八十六石以乙一十三分半為三率得乙運三百二十四石以丙九分為三率得丙運二百一十六石以丁六分為三率得丁運一百四十四石以戊四分為三率得戊運九十六石此法總衰數與總糧之比即各人分數與各人糧數之比也葢六與九九與一三五一三五與二○二五皆同為四六之比例也又捷法以總衰五十二分七五歸除總糧一千二百六十六石得每分二十四石以甲乙丙丁戊各舟衰數乘之即得各舟運糧之數也設如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六分下等人户四分交納上等二十六户下等四十户問各等每户各該幾何法以六為上等衰數以上户二十六户乘之得一百五十六為上等二十六户共衰數以四為下等衰數以下户四十乘之得一百六十為下等四十户共衰數併之得三百一十六為一率總米三百八十五石五斗二升為二率以上等六分為三率得四率七石三斗二升為上等一户米數以上等共分數一百五十六為三率得一百九十石三斗二升為上等二十六户共米數如以下等四分為三率得四率四石八斗八升為下等一户米數以下等共分數一百六十為三率得一百九十五石二斗即下等四十户共米數也又捷法以總衰三百一十六分歸除總米三百八十五石五斗二升得每分一石二斗二升以六分乘之得上等一户米數以上等共分數乘之得上等共米數以四分乘之得下等一户米數以下等共分數乘之得下等共米數也遞折差分設如有熟稻七百九十九畝六分八釐令三人以十分之六收割問每人得幾何法以一百為第一人分數六十為第二人分數三十六為第三人分數三分數相併得一百九十六分為一率總稻七百九十九畝六分八釐為二率第一人分數一百為三率得四率四百零八畝即第一人收割田數如以第二人分數六十為三率得四率二百四十四畝八分即第二人收割田數如以第三人分數三十六為三率得四率一百四十六畝八分八釐即第三人收割田數葢十分之六如彼得十分此得六分也第二人得第一人十分之六第三人又得第二人十分之六故一百與六十之比即六十與三十六之比遞次比例皆十分之六也其得數四百零八畝與二百四十四畝八分之比即二百四十四畝八分與一百四十六畝八分八釐之比亦皆為十分之六也又捷法以總分一百九十六除總田七百九十九畝六分八釐得每一分四畝零八釐以一百分乘之得第一人四百零八畝以六十分乘之得第二人二百四十四畝八分以三十六分乘之得第三人一百四十六畝八分八釐也設如有銀一千二百六十六兩五錢令四商以十分之七遞次販貨出賣問每人該銀幾何法以一千為第一人分數七百為第二人分數四百九十為第三人分數三百四十三為第四人分數相併得二千五百三十三分為一率總銀一千二百六十六兩五錢為二率以一千分為三率得四率五百兩即第一人銀數以七百分為三率得四率三百五十兩即第二人銀數以四百九十分為三率得四率二百四十五兩即第三人銀數以三百四十三分為三率得四率一百七十一兩五錢即第四人銀數葢十分之七遞折而下第二人得第一人十分之七則第三人亦得第二人十分之七而第四人又得第三人之十分之七其先立衰數一千分七百分四百九十分三百四十三分皆十與七之比例也又捷法以總分二千五百三十三除總銀一千二百六十六兩五錢得每一分五錢以一千分乘之得第一人五百兩以七百分乘之得第二人三百五十兩以四百九十分乘之得第三人二百四十五兩以三百四十三分乘之得第四人一百七十一兩五錢也設如生銅入爐鎔化三次每一次去渣十分之二淨得上好熟銅二百四十八兩問原銅幾何法即以十分之八為分數(十分之中去渣二分得淨)(銅八分故以十分之八為比例)以八分為一率十分為二率熟銅二百四十八兩為三率得四率三百一十兩為第三次入爐銅數又以八分為一率十分為二率三百一十兩為三率得四率三百八十七兩五錢為第二次入爐銅數再以八分為一率十分為二率三百八十七兩五錢為三率得四率四百八十四兩三錢七分五釐即第一次入爐生銅數也此法因八折三次而轉求原數故以八分為一率十分為二率轉求三次而始得也又法以八分自乘再乘得五百一十二分為一率十分自乘再乘得一千分為二率熟銅二百四十八兩為三率得四率四百八十四兩三錢七分五釐即第一次入爐生銅數也前法以三次三率各求四率故必乘除三次此法則以一率二率俱各自乘再乘止以第三次熟銅數為三率即得第一次生銅數是合三次乘除而為一次乘除也設如有絲三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分之八折分問各得幾何法以一千為甲分數八百為乙分數六百四十為丙分數五百一十二為丁分數相併得二千九百五十二分為一率總絲三百六十九斤為二率以每人分數各為三率所得各四率一百二十五斤為甲數一百斤為乙數八十斤為丙數六十四斤為丁數葢十分之八遞折而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分之八而丁得丙亦十分之八其先立衰數一千分八百分六百四十分五百一十二分皆十與八之比例也如捷法先除後乘須用通分不然則斤數有竒零矣設如有絹四百七十丈一尺八寸四分令三等人户照十分之六出之上等户二十五中等户三十下等户四十八問每户該出幾何法以一百為上等分數用二十五乘之得二千五百為上等户共分數以六十為中等分數用三十乘之得一千八百為中等户共分數以三十六為下等分數用四十八乘之得一千七百二十八為下等户共分數併之共六千零二十八分為一率絹四百七十丈一尺八寸四分為二率以三等各分數各為三率所得各四率上等每户出七丈八尺中等每户出四丈六尺八寸下等每户出二丈八尺零八分又以各等户數乘各等每户絹數得上等二十五户共出絹一百九十五丈中等三十户共出絹一百四十丈零四尺下等四十八户共出絹一百三十四丈七尺八寸四分也又捷法以總分數六千零二十八分除總絹四百七十丈一尺八寸四分得每一分為七寸八分以各等分數乘之得各等每一户絹數再以各等户數乘之即得各等衆户共出絹數也設如有官糧一百六十八石四斗八升八合令四等人户以十分之七依次遞折交納一等二十二户二等三十六户三等四十二户四等四十八户問每等每户各納幾何法以一千為一等分數用二十二户乘之得二萬二千即一等户共分數以七百為二等分數用三十六户乘之得二萬五千二百即二等户共分數以四百九十為三等分數用四十二户乘之得二萬零五百八十為三等户共分數以三百四十三為四等分數用四十八户乘之得一萬六千四百六十四為四等户共分數併之共八萬四千二百四十四分為一率總糧一百六十八石四斗八升八合為二率以一千分為三率得四率一等每户二石以共户數乘之得共納四十四石以七百分為三率得四率二等每户一石四斗以共户數乘之得共納五十石零四斗以四百九十分為三率得四率三等每户九斗八升以共户數乘之得共納四十一石一斗六升以三百四十三分為三率得四率四等每户六斗八升六合以共户數乘之得共納三十二石九斗二升八合也又捷法以總分數八萬四千二百四十四除總糧一百六十八石四斗八升八合得每一分為二合以各等分數乘之得各等每一户糧數再以各等户數乘之即得各等衆户共納糧數也加倍減半差分設如一人讀書日加一倍三日共讀三千四百六十五字問每日所讀幾何法以一為第一日分數二為第二日分數四為第三日分數併之得七分為一率總字三千四百六十五為二率一分為三率得四率四百九十五字即第一日所讀之數倍之得九百九十字即第二日所讀之數又倍之得一千九百八十字即第三日所讀之數也葢加倍者是第二日增於第一日一倍第三日又增於第二日一倍倍數多者由此遞加如二與四四與八八與十六之類皆為加一倍之比例也設如一人織絹日加一倍至第四日織成六丈七尺五寸問每日織幾何法以一為第一日分數二為第二日分數四為第三日分數八為第四日分數併之得十五分為一率總絹六丈七尺五寸為二率一分為三率得四率四尺五寸即第一日之數倍之得九尺為第二日之數又倍之得一丈八尺為第三日之數又倍之得三丈六尺為第四日之數四數相加共得六丈七尺五寸以合原數也設如一人借銀為商三次每次得利銀比本銀加一倍每次還人二百兩三次之後本利還盡問原本銀若干法以一為本銀分數二為第一次本利共分四為第二次本利共分八為第三次本利共分即以八分為一率原本銀一分為二率又以一為第三次還銀分二為第二次還銀分四為第一次還銀分併之得七分與每次還人二百兩相乘得一千四百兩為三率得四率一百七十五兩即原本銀數也葢每次得利銀比本銀加一倍則原本銀為一分第一次必得二分第二次必得四分至第三次必得八分此以未還人計也然每次還人二百兩三次之後本利還盡若第三次不還則得二百兩者一分第二次不還則至第三次必得二百兩者二分第一次不還則至第三次必得二百兩者四分(以第一次之一分第二次加倍得二分第三次加倍得四)(分)是第三次應得二百兩者七分而為一千四百兩矣故以八分與一分之比同於一千四百兩與一百七十五兩之比也又法以二百兩用三次還銀共分七乘之得一千四百兩折半三次亦得本銀之數葢折半三次即以八除也設如一人賣酒每日比原數加一倍一日賣一斤六日賣盡問原酒若干法以一為原酒分數按六日加倍六次得六十四分為一率原酒一分為二率又以一為第六次賣酒分二為第五次賣酒分四為第四次賣酒分八為第三次賣酒分十六為第二次賣酒分三十二為第一次賣酒分併之得六十三分與每斤十六兩相乘得一千零八兩為三率得四率十五兩七錢五分即原酒數也又法以每斤十六兩用六次賣酒共分六十三乘之得一千零八兩折半六次亦得原酒之數葢折半六次即以六十四除也設如有田一千二百畝分與甲乙丙丁四人種之自上以下遞減一半問各該若干法以八為甲分四為乙分二為丙分一為丁分併之得十五分為一率田一千二百畝為二率以甲八分為三率得四率六百四十畝即甲田數以乙四分為三率得四率三百二十畝即乙田數以丙二分為三率得四率一百六十畝即丙田數以丁一分為三率得四率八十畝即丁田數如以甲田六百四十畝折半即乙田數以乙田三百二十畝折半即丙田數以丙田一百六十畝折半即丁田數也設如有銀一萬八千零八十八兩令甲乙丙三人減半分之問各該幾何法以四為甲分數二為乙分數一為丙分數併之得七分為一率總銀一萬八千零八十八兩為二率以甲四分為三率得四率一萬零三百三十六兩即甲所得銀數以乙二分為三率得四率五千一百六十八兩即乙所得銀數以丙一分為三率得四率二千五百八十四兩即丙所得銀數也葢減半者即自上而下折半減之也如四折半為二二折半為一是也今以甲銀一萬零三百三十六兩折半即得乙銀五千一百六十八兩将乙銀再折半即得丙銀二千五百八十四兩也設如有銀三千一百六十兩分與三等人第一等人二十名第二等人二十四名第三等人三十名第二等比一等之銀減一倍第三等比二等之銀減一倍問各等每人分銀幾何法以四為一等分數二為二等分數一為三等分數以一分乘三等三十名仍得三十分以二分乘二等二十四名得四十八分以四分乘一等二十名得八十分三數相併共得一百五十八分為一率總銀三千一百六十兩為二率四分為三率得四率八十兩為第一等每人所得銀數減半得四十兩為二等每人所得銀數又減半得二十兩為三等每人所得銀數以各等人數乘各等每人所得銀數即各等共人所得共銀數併之以合原銀數也御製數理精蘊下編卷四
## 下編卷五
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷五線部三按數加减比例(遞加遞减差分互□□平差分) (超位加减差分首尾互凖差分)按數加減比例差分之内又有按數遞加遞減或互和折半者皆為相當比例其法有四一曰遞加遞減差分蓋所加所減之中遞次數目皆同者也一曰超位加減差分乃加減之中彼此分數不同者也一曰互和折半差分蓋立法以首尾二數之較互和折半以求中數而遞加遞減者也一曰首尾互準差分乃以前幾分之數與後幾分之數互相比較或以前幾分與後幾分定為同數以立準則然後立衰數以求之者也然超位加減即遞加遞减之一類也首尾互凖又為互和折半之變體也遞加者其數自少而多以漸而加也遞減者其數自多而少以漸而減也加減之數遞次皆同故以遞次名之法中有三色者以總法比總實即得中一數凡單位者俱按此例如五色七色九色之類是也有四色者以總法比總實得中二數相和折半之數凡雙位者皆按此例如六色八色十色之類是也既得中數按定數加減則各色之數可得矣超位加減者加減之中遞次分數不同即如三人分銀若干一得三分一得五分一得八分而彼此分數之比例不同又如三人買物第一人比第二人多出二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例不同故謂之超位加減然立衰分求之與遞次加減無異故次於遞次加減之後互和折半者亦如遞次加減之理但用法㣲異遞次加減知總物數知總人數併知遞加遞減之數以求各數互和折半則亦知總物數總人數但知首一人比末一人之較數而求遞加遞減之數以得各數是以三色者第一數第三數相和折半即第二數四色者第一數第四數相和折半即第二數第三數之中數既得中數按較數之分加減之即得遞加之數五色六色以至多位者止分竒偶立法總以三四為例俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也首尾互準者即互和折半之變體蓋互和折半知總物數知總人數又知首一人比末一人之較數因此較數而得各人分數首尾互準則不知總物數但知總人數與首尾二人各分數或但知首尾幾位共分數由此互相準折而得各項分數與總數要之但以互和折半之法逆推之而即得故次於互和折半之後焉遞加遞減差分設如有金六十兩令甲乙丙三人依次遞加五兩分之問各得幾何法以三人為一率金六十兩為二率一人為三率推得四率二十兩即乙應得之數自乙數加五兩得二十五兩即丙應得之數自乙數減五兩得十五兩即甲應得之數也此法因甲丙二人所得較之乙所得加減之數皆同故以總三人與總六十兩之比即若中一人與中一分二十兩之比也設如有鉛三百五十斤欲作四球依次遞加二十五斤問每球重數若干法以四球為一率鉛三百五十斤為二率一球為三率推得四率八十七斤半即第二球第三球相和折半之數乃以遞加二十五斤折半得十二斤半與八十七斤半相加得一百斤即第三球之重與八十七斤半相減餘七十五斤即第二球之重於第三球重數内再加二十五斤得一百二十五斤即第四球之重於第二球重數内再減二十五斤餘五十斤即第一球之重也此法比例所得八十七斤半較之第二球多十二斤半較之第三球則少十二斤半故為二球相和折半之數以遞加二十五斤之數折半加減之即得中二球之重再以二十五斤加減之即得第一與第四球之重也設如有金七十五斤分與公侯伯子男五等自男以上遞加五斤問各該幾何法以五人為一率金七十五斤為二率一人爲三率推得四率十五斤即伯所得之數自伯十五斤而上加五斤得二十斤即侯所得之數再加五斤得二十五斤即公所得之數自伯十五斤而下減五斤餘十斤即子所得之數再減五斤餘五斤即男所得之數也設如有俸糧三百零五石令五等官依品級遞減十三石給之問各得若干法以五分為一率(即五等官五分也)糧三百零五石為二率一分為三率推得四率六十一石即三等官俸自六十一石遞加十三石得二等七十四石一等八十七石自六十一石遞減十三石得四等四十八石五等三十五石也設如有銀九百九十六錠分給八人自末名以上依次遞加十七錠問首末兩人各該幾何法以八人為一率銀九百九十六錠為二率一人為三率推得四率一百二十四錠半為第四人第五人相和折半之數乃以遞加十七錠折半得八錠半與一百二十四錠半相加得一百三十三錠即第四人應得之數再以十七錠遞加三次得一百八十四錠即第一人應得之數以八錠半與一百二十四錠半相減餘一百一十六錠即第五人應得之數再以十七錠遞減三次餘六十五錠即第八人應得之數也設如一人有九子不明説出各人歲數但云共有二百零七歲自長至少皆遞差三嵗問各歲幾何法以九分為一率(即以九子為九分也)二百零七歲為二率一分為三率推得四率二十三歲即第五子之年自二十三嵗遞加三歲得四子二十六嵗三子二十九歳二子三十二歲長子三十五歲自二十三歲遞減三嵗得六子二十歲七子十七嵗八子十四歲九子十一歲也設如有敘功之二十人其末一人賞銀一百兩以上遞加三十兩問第一人賞銀幾何共賞銀幾何法以一分為一率遞加三十兩為二率十九分為三率推得四率五百七十兩即第一人比末一人共多之數於此數内加入末名之一百兩共六百七十兩即第一人應得之數以第一人所得之數與末一人所得之數併之共七百七十兩復以二十人乘之得一萬五千四百兩折半得七千七百兩即二十人共得之銀數也此法蓋以第一人比第二十人共多十九個三十兩故以一分與遞加之三十兩相比即如十九分與第一人共多於第二十人之五百七十兩相比也既得十九分共多之數再加入末一人之一百兩即得第一人應得之數矣又首末二數相併以人數二十乘之折半得其銀數者蓋以遞加之數彼此均同首一人得數至多末一人得數至少首末二人之數相併折半即為中數以中數乘人數而得共數今首末二人之數相併而末折半即用人數乗之故所得之數為應得共數之加倍數是以半之而始得共銀數也設如有牛四十區但云第一區是三十頭餘遞加二十頭問第四十區該幾何總數幾何法以一分為一率遞加二十頭為二率三十九分為三率推得四率七百八十加入第一區之三十共八百一十頭即第四十區之數以首末二區數相併共八百四十頭用四十區乗之得三萬三千六百頭折半得一萬六千八百頭即四十區之總數也此法第二區比第一區加二十由此遞加則第四十區比第一區共多三十九個二十故以一分與二十頭相比即如三十九分與第四十區共多於第一區之七百八十頭相比也再加入第一區之三十頭即第四十區之數繼而併首末兩數以總區數四十乗之折半即得共數也設如有人一百名第一人賞銀一百兩以下遞減五錢問共該銀幾何法以一分為一率遞減五錢為二率九十九分為三率推得四率四十九兩五錢即第一名多於第一百名之數於一百兩内減之餘五十兩零五錢即第一百名應賞之數又與第一名賞銀相併得一百五十兩零五錢以一百名乗之得一萬五千零五十兩折半得七千五百二十五兩即共賞銀數也蓋賞銀遞減五錢則第一名比第一百名多九十九個五錢故以一分與五錢相比即如九十九分與第一名總多於第一百名之數相比也爰以首尾兩數相併以名數一百乗之折半而得總銀數也設如一人染絹初日染八尺日加一尺加至六十尺止問日與絹各幾何法以初日之八尺與末日之六十尺相加得六十八尺為首尾兩日共染之絹數又看八尺以前遞減至一尺有幾分今有七分即為七尺乃於末日之六十尺減去七尺餘五十三尺即為共日五十三日乃以二日為一率六十八尺為二率五十三日為三率推得四率一千八百零二尺即五十三日共染之絹數也此法以二日為一率者取其首末相合之共日為準也以初日末日之尺數相併為二率者取其首末尺數相合與首末兩日為比也以八尺遞減至一尺而得日數為三率者蓋以初日之八尺上數至一尺得數必為七分即爲七尺(理與一面尖堆法同)而今有之末日六十尺内減去七尺餘五十三尺即為五十三日故二日與首末相合之尺數相比即如共日五十三日與共絹之尺數相比也設如一人行路日増六里共行三百二十里但知初末兩日所行共一百六十里問共行幾日及初日末日各行幾里法以初末兩日行數一百六十里折半得八十里乃共日之中數為一率一日為二率共行三百二十里為三率推得四率四日即共行日數也又以日増六里折半得三里與六里相併得九里加於中數八十里得八十九里即第四日所行之數減於中數八十里餘七十一里即第一日所行之數也此法以第四日第一日行數相併折半者為得四日之中數既得四日之中數與一日之比即如共數與四日之比也又以日増之數折半而與日増之數相併加於中數而得末日所行之數減於中數而得初日所行之數者其所得之中數在第二日第三日之間故此中數内加日増數之半即得第三日所行之數減日増數之半即得第二日所行之數故再加日増數之全而得末日所行之數再減日増數之全而得初日所行之數也設如一人織布厯十三日共織一千三百五十二寸因日漸長每日加功六寸至末日比初日多織七十二寸問初末二日各織幾何法以十三日為一率共織數一千三百五十二寸為二率一日為三率推得四率一百零四寸乃初末二日之中數為第七日所織之數以第七日上計初日下計末日俱得六分於是以六分與日加六寸相乗得三十六寸乃以三十六寸於第七日之一百零四寸内減之得六十八寸即初日所織之數於第七日之一百零四寸上加之得一百四十寸即末日所織之數也此法雖求初末兩日之數然以十三日與總織數之比即一日與初末兩日中數之比既得中數按分加之何所不得此又遞次加減法中之又一例也設如有田七百二十畝令甲乙丙三戸依次遞減分耕問各該幾何法以三分為甲衰數二分為乙衰數一分為丙衰數相併得六分為一率總田七百二十畝為二率一分為三率推得四率一百二十畝為一分即丙所耕之數以二分因之得二百四十畝即乙所耕之數以三分因之得三百六十畝即甲所耕之數也此法併總衰分為一率總田數為二率者是將總衰分比總田數故六分得七百二十畝而一分得一百二十畝也六分中甲得三分乙得二分丙得一分自甲遞次至乙至丙皆減一百二十畝故為遞減也凡命法中不定所減分數者即以此法為例設如有銀九十二兩令伯仲叔季四人遞減分之問各得幾何法以四分為伯衰數三分為仲衰數二分為叔衰數一分為季衰數相併得十分為一率總銀九十二兩為二率一分為三率推得四率九兩二錢即季所得之數以二分因之得一十八兩四錢即叔所得之數以三分因之得二十七兩六錢即仲所得之數以四分因之得三十六兩八錢即伯所得之數也此法以十分比總銀即如總銀分為十分也是以十分中伯得四分仲得三分叔得二分季得一分自伯遞次至季皆減一分故謂之遞減差分也設如有金一十二兩六錢欲挨次遞減造套杯六個問各重若干法以六五四三二一為六杯衰分併之得二十一分為一率共金數一十二兩六錢為二率一分為三率推得四率六錢即第六杯之重以二分因之得一兩二錢即第五杯之重以三分因之得一兩八錢即第四杯之重以四分因之得二兩四錢即第三杯之重以五分因之得三兩即第二杯之重以六分因之得三兩六錢即第一杯之重也此法以總分比總銀即如以一分比末一杯之重也以上遞加一分即各杯之重矣設如有糧一千一百三十四石令五等戸遞減納之一等二十四戸二等三十三户三等四十二戸四等五十一户五等六十户問各等每戸應納若干法以五四三二一為五等衰分以五分因一等户二十四得一百二十分以四分因二等戸三十三得一百三十二分以三分因三等户四十二得一百二十六分以二分因四等戸五十一得一百零二分以一分因五等户六十仍得六十分總併之得五百四十分為一率總糧一千一百三十四石為二率一分為三率推得四率二石一斗即五等每户所納之數以二分因之得四石二斗即四等每户所納之數以三分因之得六石三斗即三等每户所納之數以四因之得八石四斗即二等每戸所納之數以五因之得十石五斗即一等每戸所納之數也超位加減差分設如甲丙丁三人買房一所共價八百一十兩丙比甲出銀加一倍丁比甲丙共出銀又加一倍問每人各出幾何法以一分為甲衰數加一倍得二分為丙衰數又以甲一分丙二分相併為三分復加一倍得六分為丁衰數相併得九分為一率總銀八百一十兩為二率以甲一分為三率得四率九十兩即甲所出銀數加一倍得一百八十兩即丙所出銀數將甲丙共銀復加一倍得五百四十兩即丁所出銀數也此法以一分為甲數加一倍為丙數者因丙比甲銀多一倍也又共甲丙兩數加一倍為丁數者因丁比甲丙共銀又多一倍也故以所命各人分數相併得共分數以此共分數比共銀數即如各人分數比各人所出銀數也設如有銀五千兩買馬四匹園一區宅一所其園價比馬價多三倍而宅價比園價又多四倍問各價幾何法以一分為馬衰數加三倍(為三分)得四分為園衰數又將園四分加四倍(為十六分)得二十分為宅衰數相併得二十五分為一率總價五千兩為二率馬一分為三率推得四率二百兩即馬四匹之價(馬每匹價五十兩)加三分六百兩得八百兩即園一區之價再將園價加四分三千二百兩得四千兩即宅一所之價也此法將馬為一分而加三分為園價者因園價比馬價多三倍也又將園價為一分而加四分為宅價者因宅價比園價又多四倍也是以共分之比共價即如馬四匹之一分比各色每一分之價也設如有糧七百六十石以船三次運之第一次運十分二次運七分三次運二分問每次運糧幾何法以十分七分二分相併得十九分為一率共糧七百六十石為二率十分為三率得四率四百石即第一次所運之數如以七分為三率得四率二百八十石即第二次所運之數如以二分為三率得四率八十石即第三次所運之數也此法第一次之十分二次之七分三次之二分即三次之衰數分數已明故即以運分作衰分也設如有銅一百八十兩依次遞減造三等儀器上等比中等加二倍中等比下等加一倍問三等儀器各得銅幾何法以一分為下等衰數二分為中等衰數二分加二倍得六分為上等衰數併之得九分為一率共銅一百八十兩為二率下等之一分為三率推得四率二十兩即下等儀器之重加一倍得四十兩即中等儀器之重又加二倍得一百二十兩即上等儀器之重也此法命一分為下等數故加倍為中等數而得二分復以二分加二倍為上等數故上等數又為六分也設如有銀七十兩買駱駝馬驢各一匹而價之多少不等但知馬比駝價為九分之四驢比駝價為九分之一問各價幾何法以一分為驢衰數四分為馬衰數九分為駝衰數併之得十四分為一率銀七十兩為二率驢一分為三率推得四率五兩即驢一匹之價以四分因之得二十兩即馬一匹之價以九分因之得四十五兩即駝一匹之價此法因駝價為九分故即以九為衰數且兩分母俱同為九分而馬居九分之四故即以四為馬分驢居九分之一故即以一為驢分也既得驢價取其四分即馬價取其九分即駝價也設如一人為商三次初次獲利比原銀多二倍二次獲利比初次本利共銀多四倍三次獲利比二次本利共銀又多三倍共計獲利併原銀得九百兩問原銀幾何法以一分為初商原銀衰數加二倍得三分為初次本利共分又比三分加四倍得十五分為二次本利共分又比十五分加三倍得六十分為三次本利共分即以此六十分為一率三次本利共銀九百兩為二率一分為三率推得四率一十五兩即原銀數也此法初次加二倍是原銀之外加二倍也又加四倍是比初次本利共銀之外又加四倍也又加三倍是比二次本利共銀之外又加三倍也故以總分比總銀即如一分之比原銀也設如有米二十四石分與四人甲四分乙五分丙七分丁九分問各該幾何法以甲之四分乙之五分丙之七分丁之九分相併得二十五分為一率共米二十四石為二率一分為三率推得四率九斗六升乃每一分之數以甲四分因之即得甲之三石八斗四升以乙五分因之即得乙之四石八斗以丙七分因之即得丙之六石七斗二升以丁九分因之即得丁之八石六斗四升也此法以一分為三率故得每人一分之數如以各人分數各為三率即得各人之全分矣設如有銀九十二兩賞二十人分上中下三等上等四人中等六人下等十人其中等比下等賞加一倍上等比中等賞加二倍問各等每人得賞幾何法以一分為下等衰數乗下等十人得十分又將一分加一倍得二分為中等衰數乗中等六人得十二分又將二分加二倍得六分為上等衰數乗上等四人得二十四分乃以十分十二分二十四分相併得四十六分為一率總銀九十二兩為二率下等一分為三率推得四率二兩即下等每人應得之數將二兩加一倍得四兩即中等每人應得之數將四兩再加二倍得十二兩即上等每人應得之數復以各等人數乗各等每人應得之數即得上等四人共得四十八兩中等六人共得二十四兩下等十人共得二十兩也此法以下等一分為三率故得下等每人一分之數按分倍加而得中等上等如以各等衆人分數各為三率即得各等之共數矣設如有米五百三十五石賞與三等人第一等二十名第二等五十名第三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗問三等每名各得幾何法以二等比三等每名多五斗與二等五十名相乗得二百五十斗又以一等比二等每名多七斗與二等比三等每名多五斗相加得十二斗與一等二十名相乗得二百四十斗兩數相併得四百九十斗乃於總米五百三十五石内減之餘四百八十六石乃以一等二十人二等五十人三等一百一十人相併得一百八十人為一率四百八十六石為二率一人為三率推得四率二石七斗即三等毎一人應得之數加五斗得三石二斗即二等毎一人應得之數再加七斗得三石九斗即一等每一人應得之數也此法以二等比三等毎名多五斗與二等五十人相乗者是求二等比三等共多之數又以一等比二等毎名多七斗併二等比三等毎名多五斗與一等二十人相乗者是求一等比三等共多之數也既得一等二等共多於三等之數於總數内減之所餘即三等相併共一百八十人均分之數故以一百八十人比總米四百八十六石即第三等每一人之比二石七斗也由此加五斗即得第二等每一人所得之數於第二等每一人數内再加七斗即得第一等每一人所得之數矣互和折半差分設如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分之但知甲多丙三十六石問各該若干法以三人為一率總米一百八十石為二率一人為三率推得四率六十石即乙應得之數次以甲多丙三十六石二分之毎分得一十八石於乙數内加之得七十八石即甲應得之數於乙數内減之得四十二石即丙應得之數也此法蓋以三人共得之數比一人所得之數其一人所得之數即中一人應得之數甲多乙幾何即乙多丙幾何而甲多丙之數又為甲多乙之倍數故以甲多丙之數分為二分於中數内一加一減則彼此相較之數自得均平故謂之互和折半也設如有銀二百四十兩令趙錢孫李四人互和折半分之但知趙多李一十八兩問各該若干法以四人為一率總銀二百四十兩為二率一人為三率推得四率六十兩即錢孫中二人相和折半之數次取趙多李十八兩之數以三歸之(以三立法者用二歸以四)(立法者用三歸蓋以之相比而得較也)得六兩即四人遞加之數折半得三兩乃中二人相和折半數與中二人應得數之較以此三兩加於六十兩得六十三兩即錢銀數減於六十兩餘五十七兩即孫銀數錢銀數内再加六兩得六十九兩即趙銀數孫銀數内再減六兩餘五十一兩即李銀數也此法蓋以四人共得之數比一人應得之數其一人應得之數固非四人平分之數故比例所得六十兩為錢孫二人之中數較之錢數少三兩較之孫數多三兩故於六十兩中加三兩即錢數減三兩即孫數既得錢孫中二人數則首末二人祇按分數加之而已設如有兵二萬三千八百令甲乙丙丁戊五將互和折半領之只云戊少甲三千三百六十問各將所領若干法以五分為一率兵數二萬三千八百為二率一分為三率推得四率四千七百六十即丙所領之數又取戊少甲之三千三千六十以四歸之(此有五人而較為四故用)(四歸也)得八百四十為平分加減之數自丙數而上遞加之得五千六百即乙所領之數得六千四百四十即甲所領之數由丙數而下遞減之得三千九百二十即丁所領之數得三千零八十即戊所領之數也設如有稻一百九十八畝令甲乙丙丁戊己六人收割但知甲比己多收三十畝問各該收稻幾何法以六人為一率總田一百九十八畝為二率一人為三率推得四率三十三畝即丙丁中二人相和折半之數次取甲多己三十畝以五歸之得六畝折半得三畝加於三十三畝得三十六畝即丙收數再加六畝得四十二畝即乙收數再加六畝得四十八畝即甲收數又以折半三畝減於三十三畝餘三十畝即丁收數再減六畝餘二十四畝即戊收數再減六畝餘十八畝即己收數此法因三十三畝為丙丁二人之中數較之丙少三畝較之丁多三畝故以丙與丁總差六畝折半加減之即得也首尾互準差分設如甲乙丙丁四人遞次分銀但知甲得六十九兩丁得五十一兩問乙丙各得銀幾何法以三分為甲多於丁之衰數(有四人故用三)(分如或五人則用四分六人則用五分)為一率甲六十九兩與丁五十一兩相減餘一十八兩為二率一分為三率推得四率六兩即四人所得遞加之數將丁銀五十一兩加六兩得五十七兩即丙應得之數再加六兩得六十三兩即乙應得之數也蓋甲數最多丁數最少相差一十八兩由丁至丙至乙至甲相隔三位則知有三差故用三分比一十八兩即如一分比六兩而為遞加數也若三色者以首尾兩數相加折半即中數其法易求故不設例設如五人遞次絡絲第一人絡絲四十兩第五人絡絲二十四兩問中三人各絡絲幾何法以四分為第一人多於第五人之衰數為一率第一第五兩數相減餘一十六兩為二率一分為三率推得四率四兩即五人絡絲遞加之數將第五人絡絲二十四兩加四兩得二十八兩即第四人所絡之數再加四兩得三十二兩即第三人所絡之數再加四兩得三十六兩即第二人所絡之數也此法用四為除法葢第五與第一相隔四位則知有四差故用四為比例也又捷法以第一第五兩數相加折半得三十二兩即第三人所絡之數又以第一第三兩數相加折半得三十六兩即第二人所絡之數復以第三第五兩數相加折半得二十八兩即第四人所絡之數此法即前互和折半之法凡位數竒者俱可用如三五七九是也設如七人運糧不言總數但知第一人第二人共運二十三石七斗第五人第六人第七人共運二十六石一斗其遞加之數俱相等問第三人第四人與前後五人各運幾何法以第一第二兩人共運二十三石七斗折半得十一石八斗五升為第一第二兩人相和折半之數第五第六第七三人共運二十六石一斗三歸之得八石七斗即第六人應運之數乃以第一分第二分之中數一分半與第六分相減餘四分半為一率第一第二兩人相和折半之十一石八斗五升内減第六人之八石七斗餘三石一斗五升為二率一分為三率推得四率七斗即每人遞加之數由第六人八石七斗而下減七斗得八石即第七人應運之數由第六人八石七斗而上遞加七斗得九石四斗即第五人應運之數得十石一斗即第四人應運之數得十石八斗即第三人應運之數得十一石五斗即第二人應運之數得十二石二斗即第一人應運之數也此法蓋因第一人第二人相和折半之數至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人則差四分半故先以第一第二之中數與第六相減得其四分半之差數而以四分半比前二人相和折半多於第六人之六石三斗即如一分比每人遞加之七斗也設如八人分銀不言總數但知第一第二第三三人共得四十五兩第七第八二人共得八十五兩其遞加之數俱相等問各人應得若干法以前三人共得銀數四十五兩用三歸之得十五兩即第二人應得之數後二人共得八十五兩折半得四十二兩五錢即第七第八兩人相和折半之數乃以第二分與第七分第八分之中數七分半相減餘五分半為一率第二人應得之十五兩與後二人相和折半之四十二兩五錢相減餘二十七兩五錢為二率一分為三率推得四率五兩即每人遞加之數於第二人十五兩内減五兩即得第一人十兩於第二人十五兩外遞加五兩即得第三人二十兩第四人二十五兩第五人三十兩第六人三十五兩第七人四十兩第八人四十五兩之數也此法葢因第二人至第三人差一分至第四人差二分至第五人差三分至第六人差四分至第七人差五分至第七第八兩人相和折半之數則差五分半故先以第二與第七第八之中數相減得其五分半之差數而以五分半比後二人相和折半多於第二人之數即如每一分比每人遞加之數也設如八人分米不言總數但知第一第二兩人共得一十一石九斗第七第八兩人共得八石三斗其遞加之數俱相等問每人應得若干法以第一第二兩人共數一十一石九斗折半得五石九斗五升即第一第二兩人相和折半之數再以第七第八兩人共數八石三斗折半得四石一斗五升即第七第八兩人相和折半之數乃以第一分第二分之中數一分半與第七分第八分之中數七分半相減餘六分為一率第一第二兩人相和折半之五石九斗五升内減第七第八兩人相和折半之四石一斗五升餘一石八斗為二率一分為三率推得四率三斗即每人遞加之數折半得一斗五升加於第一第二兩人相和折半之五石九斗五升得六石一斗即第一人之數以次遞減三斗即得第二人五石八斗第三人五石五斗第四人五石二斗第五人四石九斗第六人四石六斗第七人四石三斗第八人四石之數也此法蓋因第一第二兩人相和折半之數至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人差四分半至第七人差五分半至第七第八兩人相和折半之數則差六分故先以第一第二之中數與第七第八之中數相減得其六分之差數而以六分比第一第二相和折半多於第七第八相和折半之數即如每一分比每人遞加之數也又以第一第二之中數比第一人差半分故以一分之三斗折半得一斗五升加於第一第二兩人相和折半之數即得第一人之數也設如有竹九節截為九筩盛米遞次長短不均但知根底三節共盛米三升九合梢上四節共盛米三升問九節各盛米數幾何法以根底第一第二第三三節共盛米三升九合用三歸之得一升三合即第二節盛米之數梢上第六第七第八第九四節共盛米三升用四歸之得七合五勺即第七第八兩節相和折半之數乃以第二分與第七分第八分之中數七分半相減餘五分半為一率第二節盛米一升三合内減第七第八兩節相和折半之七合五勺餘五合五勺為二率一分為三率推得四率一合即每節遞加之數自第二節盛米一升三合而上加一合即得第一節盛米一升四合自第二節盛米一升三合而下遞減一合即得第三節盛一升二合第四節盛一升一合第五節盛一升第六節盛九合第七節盛八合第八節盛七合第九節盛六合也設如有竹九節截為九筩盛米但知根底二節盛米六升三合梢上二節盛米二升一合問各節所盛米數若干法以根底二節共盛米六升三合折半得三升一合五勺為第一第二兩節相和折半之數梢上二節共盛米二升一合折半得一升零五勺為第八第九兩節相和折半之數乃以第一分第二分之中數一分半與第八分第九分之中數八分半相減餘七分為一率第一第二兩節相和折半之三升一合五勺内減第八第九兩節相和折半之一升零五勺餘二升一合為二率一分為三率推得四率三合即毎節遞加之數折半得一合五勺加於第一第二兩節相和折半之三升一合五勺得三升三合即第一節盛米之數以次遞減三合即得第二節盛三升第三節盛二升七合第四節盛二升四合第五節盛二升一合第六節盛一升八合第七節盛一升五合第八節盛一升二合第九節盛九合也設如十人按數挨次納糧前三人共納一十三石八斗後四人共納一十三石二斗問十人各納糧數若干法以前三人共納一十三石八斗用三歸之得四石六斗為第二人所納之數後四人共納一十三石二斗用四歸之得三石三斗為第八第九兩人相和折半之數乃以第二分與第八分第九分之中數八分半相減餘六分半為一率第二人之四石六斗内減第八第九兩人相和折半之三石三斗餘一石三斗為二率一分為三率推得四率二斗即每人遞加之數自第二人四石六斗以上加二斗得四石八斗即第一人所納之數自第二人四石六斗以下遞減二斗得四石四斗即第三人所納之數得四石二斗即第四人所納之數得四石即第五人所納之數得三石八斗即第六人所納之數得三石六斗即第七人所納之數得三石四斗即第八人所納之數得三石二斗即第九人所納之數得三石即第十人所納之數也設如有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人遞減納之定甲乙二人納數與丙丁戊三人納數相等問五人各納幾何法以四分為甲多於戊之衰數(自甲至乙至丙)(至丁至戊隔四位故以四分為衰數)三分為乙多於戊之衰數併之為七分以二分為丙多於戊之衰數一分為丁多於戊之衰數併之為三分乃以三分與七分相減餘四分為前二人多於後三人之較又以前二人與後三人相減餘一人為後三人多於前二人之較夫前多四分後多一人而其數相等則四分即為一人之數乃以一人為一率四分為二率戊一人為三率推得四率仍得四分即定為戊一人之分數各加毎人所多衰數則甲得八分乙得七分併之得十五分丙得六分丁得五分併戊之四分亦得十五分是前後分數已同矣乃以兩總分相併得三十分為一率總米二百四十石為二率一分為三率推得四率八石即每一分之數用甲之八分乗之得甲之六十四石用乙之七分乘之得乙之五十六石併之共得一百二十石用丙之六分乗之得丙之四十八石用丁之五分乗之得丁之四十石用戊之四分乗之得戊之三十二石併之亦共得一百二十石是甲乙二人納數與丙丁戊三人納數等也設如有銀六百兩令甲乙丙丁戊己六人遞加分之定甲乙丙丁四人與戊己二人分數相等問六人各分幾何法以一分為乙多於甲之衰數二分為丙多於甲之衰數三分為丁多於甲之衰數併之為六分四分為戊多於甲之衰數五分為己多於甲之衰數併之為九分乃以六分與九分相減餘三分為後二人多於前四人之較又以前四人與後二人相減餘二人為前四人多於後二人之較夫前多二人後多三分而其數相等則三分即為二人之數乃以二人為一率三分為二率甲一人為三率推得四率一分五(即一分半也)即定為甲一人之分數各加每人所多衰數則乙得二分半丙得三分半丁得四分半併甲乙丙丁四人數得十二分戊得五分半己得六分半併戊己二人數亦得十二分是前後分數已同矣乃以兩總分相併得二十四分為一率總銀六百兩為二率一分為三率推得四率二十五兩即每一分之數用甲一分半乗之得甲三十七兩五錢用乙二分半乗之得乙六十二兩五錢用丙三分半乗之得丙八十七兩五錢用丁四分半乗之得丁一百一十二兩五錢併四人數共得三百兩用戊五分半乗之得戊一百三十七兩五錢用己六分半乗之得己一百六十二兩五錢併二人數亦共得三百兩是甲乙丙丁四人銀數與戊己二人銀數等也設如有麥一千零八畝令七人遞減分收定前三人與後四人所得共數相同問七人各收麥幾何法以六分為第一人比第七人所多衰數(自第一至第七隔六位故以六為衰數)五分為第二人比第七人所多衰數四分為第三人比第七人所多衰數併之為十五分三分為第四人比第七人所多衰數二分為第五人比第七人所多衰數一分為第六人比第七人所多衰數併之為六分乃以六分與十五分相減餘九分為前三人多於後四人之較又以前三人與後四人相減餘一人為後四人多於前三人之較夫前多九分後多一人而其數相等則九分即為一人之數乃以一人為一率九分為二率末一人為三率推得四率仍為九分即定為第七人之分數各加每人所多分數則第一人得十五分第二人得十四分第三人得十三分併之為四十二分第四人得十二分第五人得十一分第六人得十分第七人得九分併之亦為四十二分是前後分數已同矣乃以兩總分相併得八十四分為一率麥一千零八畝為二率一分為三率推得四率十二畝即毎一分之數用十五分乗之即得第一人一百八十畝用十四分乗之即得第二人一百六十八畝用十三分乗之即得第三人一百五十六畝併三人數共得五百零四畝用十二分乗之即得第四人一百四十四畝用十一分乗之即得第五人一百三十二畝用十分乗之即得第六人一百二十畝用九分乗之即得第七人一百零八畝併四人數亦共得五百零四畝是前三人畝數與後四人畝數等也設如有糧一千零九十二石令七次遞減運送定前二次與後五次運送之數相等問每次運送幾何法以十八分為第一次比第七次所多之衰數(自第一次至第七次相隔六位應以六分為衰數是為每次遞)(加一分今將六分用三因之為十八分是為每一次遞加三分故各衰五四三)(二一俱用三因其比例仍同也)十五分為第二次比第七次所多之衰數併之為三十三分十二分為第三次比第七次所多之衰數九分為第四次比第七次所多之衰數六分為第五次比第七次所多之衰數三分為第六次比第七次所多之衰數併之爲三十分乃以三十分與三十三分相減餘三分為前兩次多於後五次之較又以後五次與前兩次相減餘三次為後五次多於前兩次之較夫前多三分後多三次而其數相等則三分即為三次之數乃以三次為一率三分為二率一次為三率推得四率一分即為第七次之分數各加每次所多衰數第一次得十九分第二次得十六分併之得三十五分第三次得十三分第四次得一十分第五次得七分第六次得四分併第七次之一分亦得三十五分是前後分數已同矣乃以兩總分相併得七十分為一率總糧一千零九十二石為二率一分為三率推得四率一十五石六斗即第七次一分所運之數用十九分乗之得二百九十六石四斗即第一次所運之數用十六分乗之得二百四十九石六斗即第二次所運之數併兩次共得五百四十六石用十三分乗之得二百零二石八斗即第三次所運之數用一十分乗之得一百五十六石即第四次所運之數用七分乗之得一百零九石二斗即第五次所運之數用四分乘之得六十二石四斗即第六次所運之數併第七次所運之一十五石六斗亦共得五百四十六石是前二次運送糧數與後五次運送糧數等也御製數理精藴下編卷五
## 下編卷六
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷六線部四和數比例較數比例和數比例比例之中有合率而復有和數者將幾比例之率合為一比例故謂之合率至於有總數又有分數以分數合而與總數相比則謂之和數其在九章總名差分而其實總不越比例之理故今質名之曰和數比例其立法有以實數與實數比者如合衆人數與總物數之比即若每人數與每物數之比是也有以所立衰數與實數比者如合衆衰數與總物數之比即若每人衰數與每物數之比是也又或以加倍數成率者其得數亦為加倍之數或以兩數相乗而成率者其得數亦為兩數相乗之數要之皆以比例而得故於各條詳加解説以明其故焉設如南北二商合本貿易南出本銀一百五十兩北出本銀二百五十兩共得利銀一千兩按各人所出本銀之分分之問二人各得利銀幾何法以南出本銀一百五十兩與北出本銀二百五十兩相併得四百兩為一率利銀一千兩為二率南出本銀一百五十兩為三率推得四率三百七十五兩即南所分利銀數於共利一千兩内減三百七十五兩餘六百二十五兩即北所分利銀數也如以二人本銀共四百兩為一率二人共利一千兩為二率北出本銀二百五十兩為三率推得四率六百二十五兩即北所分利銀數也此法蓋以二人共本比共利即如每人各本比各利而為相當比例四率也又捷法以二人共出本銀四百兩歸除二人共得利銀一千兩得每一兩之利為二兩五錢乃與各人本銀數相乗即得各人所分利銀數此又以每一兩之利與各人所出本銀之利相比而得也設如趙周馮三人合夥生理趙出本銀一千兩周出本銀八百兩馮出本銀六百兩共得利銀一千二百兩按各人所出本銀之分分之問三人各得利銀幾何法以三人各出本銀相併得二千四百兩為一率三人共得利銀一千二百兩為二率三人所出本銀數各為三率推得各四率趙五百兩周四百兩馮三百兩即為各人所得利銀數也若用捷法則以三人所併本銀二千四百兩歸除共得利銀一千二百兩得每一兩之利為五錢按各人本銀數乗之即各人所得利銀數也設如甲乙丙三商共出本銀一千五百二十兩得利銀一百九十兩甲分一百二十兩乙分四十兩丙分三十兩問各人原本銀若干法以共利銀一百九十兩為一率共本銀一千五百二十兩為二率每分利銀各為三率推得各四率甲本銀為九百六十兩乙本銀為三百二十兩丙本銀為二百四十兩如用捷法則以共利銀一百九十兩歸除共本銀一千五百二十兩得每一兩利銀之本銀為八兩乃以八兩乗各人利銀分數即得各人本銀之數矣設如甲丙戊三人合本貿易共得利銀三千二百二十兩甲本銀三千六百兩丙本銀五百一十兩戊本銀不知其數但知該分利銀四百八十兩問其本銀若干法以三人共得利銀三千二百二十兩内減戊之利銀四百八十兩餘二千七百四十兩為一率甲丙二人本銀相併得四千一百一十兩為二率戊利銀四百八十兩為三率推得四率七百二十兩即戊之本銀數也此法於總利中減去戊利銀所餘者即甲丙二人之利銀故以甲丙二人之共利銀與甲丙二人之共本銀相比即若戊一人之利銀與戊一人之本銀相比也設如甲乙丙三商共出本銀一千五百二十兩今得本利共銀一千七百一十兩甲分本利共銀一千零八十兩乙分本利共銀三百六十兩丙分本利共銀二百七十兩問三人所分本利各若干法以三人所得本利共銀一千七百一十兩為一率共出本銀一千五百二十兩為二率各人所分本利共銀各為三率推得各四率甲本銀九百六十兩乙本銀三百二十兩丙本銀二百四十兩即為各人本銀數以各人本銀減各人共銀甲得利銀一百二十兩乙得利銀四十兩丙得利銀三十兩即各人利銀數也設如有三人合本貿易第一人出本銀五百兩係七成第二人出本銀一千兩係八成第三人出本銀一千五百兩係九成共得利銀二千兩皆係十成問每人應得利銀若干法以各人所出本銀數與各銀成色相乗第一人得三百五十兩第二人得八百兩第三人得一千三百五十兩三數相加共得二千五百兩為一率共得利銀二千兩為二率毎人所得相乗之數(第一人三百五十兩第二人八百兩第三人一千三百五十兩)各為三率推得各四率第一人得二百八十兩第二人得六百四十兩第三人得一千零八十兩即各人應得之利銀數也此法以各銀成色乗各人銀數者是將各銀成色俱變作十成銀也如第一人七成銀五百兩變作十成銀止得三百五十兩第二人八成銀一千兩變作十成銀止得八百兩第三人九成銀一千五百兩變作十成銀止得一千三百五十兩併之得十成銀二千五百兩故以總十成銀二千五百兩與共利銀二千兩之比即若毎人十成本銀與每人應得利銀之比也設如甲丙戊三商合本貿易其所出本銀多寡不同時日亦不同甲出本銀六百兩係八個月丙出本銀四百五十兩係六個月戊出本銀五百兩係十個月共得利銀一千兩問各人應分利銀幾何法以各人本銀與各人月分相乗甲得四千八百兩丙得二千七百兩戊得五千兩三數相併得一萬二千五百兩為一率共利銀一千兩為二率各人本銀乗各人月分之數為三率推得各四率甲得三百八十四兩丙得二百一十六兩戊得四百兩即為各人應得之利銀數也此法先以各人本銀乗各人月分者葢以各人所出本銀按月分以加倍也三人本銀各有月分則行利亦按月加倍也設如乙丙丁三人合夥生理乙出本銀二百兩係八個月出本之兩月後又添本銀四十兩丙出本銀三百二十兩係六個月出本之一月後又添本銀八十兩丁出本銀一百六十兩係十個月共得利銀三百六十兩問每人各該利銀幾何法以乙本銀二百兩與八個月相乗得一千六百兩又以後添四十兩與六個月相乗(因出本之兩月後又添銀故用六月)得二百四十兩此兩數相加得一千八百四十兩為乙之衰數以丙本銀三百二十兩與六個月相乗得一千九百二十兩又以後添八十兩與五個月相乗(因出本之一月後又添銀)(故用五月)得四百兩此兩數相加得二千三百二十兩為丙之衰數以丁本銀一百六十兩與十個月相乗得一千六百兩即丁之衰數乃以三人衰數相加得五千七百六十兩為一率三百六十兩為二率各人衰數各為三率推得各四率乙得一百一十五兩丙得一百四十五兩丁得一百兩即各人應得之利銀數也此法因出銀前後各不同故以各人出銀節次乗各人月分而得各人衰數既得各人衰數則相加而與總利銀為比即如各人衰數與各人利銀相比也設如甲乙丙三商合本貿易共得利銀一千兩甲本銀三百兩係十個月乙本銀六百兩丙本銀四百兩俱不知月分其利銀則甲分五百兩乙分三百兩丙分二百兩問乙丙二人出本銀月分各幾何法以甲之利銀五百兩為一率甲之本銀三百兩與十個月相乗得三千兩為二率乙之利銀三百兩為三率推得四率一千八百兩為乙之本銀六百兩與月分相乗之數以乙之本銀六百兩除之得三個月即乙出銀之月分如以丙之利銀二百兩為三率則得四率一千二百兩為丙之本銀四百兩與月分相乗之數以丙之本銀四百兩除之得三個月即丙出本銀之月分也設如乙丙丁三人合本貿易共得利銀三百八十兩丙得利銀為乙三分之一丁得利銀為乙四分之一乙之本銀為八十兩收利十二個月丙丁二人本銀不知數但知丙收利銀係八個月丁收利銀係四個月問乙丙丁利銀各若干丙與丁本銀各若干法以十二分為乙之衰數(兩分母相乗之數)取其三分之一得四分為丙之衰數又取其四分之一得三分為丁之衰數將三衰數相併得一十九分為一率共利三百八十兩為二率以各人衰數各為三率推得各四率乙之利銀得二百四十兩丙之利銀得八十兩丁之利銀得六十兩三宗利銀相併共三百八十兩以合前數又用乙利銀二百四十兩為一率乙本銀八十兩與十二個月相乗得九百六十兩為二率丙利銀八十兩為三率推得四率三百二十兩為丙本銀八個月之共分以八個月除之得四十兩即丙之本銀數復以乙利銀二百四十兩為一率乙本銀九百六十兩為二率丁利銀六十兩為三率推得四率二百四十兩為丁本銀四個月之共分以四個月除之得六十兩即丁之本銀數也設如甲丙戊三家每日派一人當差論各家田數定日之多少甲田八十畝丙田六十畝戊田五十二畝問各人一年内連閏月應該當差之日幾何法以甲丙戊三家田數(甲八十丙六十戊五十二)相併得一百九十二畝為一率一年連閏月作三百八十四日為二率各家田數各為三率推得各四率甲當差一百六十日丙當差一百二十日戊當差一百零四日併之得三百八十四日合一年連閏月之數也設如二人居住相隔一千四百里同日起身一人日行八十里一人日行六十里問途中幾日相㑹法以八十里與六十里相併得一百四十里為一率一日為二率一千四百里為三率推得四率十日即相㑹之日也此法以八十里六十里相併為一率者毎一日之内兩人共行一百四十里也一百四十里行一日則一千四百里行十日矣蓋日行八十里者十日行八百里日行六十里者十日行六百里併之以合原數也設如有銀四百八十六兩糴米麥豆三色其石數相等米每石價銀一兩二錢麥每石價銀九錢豆每石價銀六錢問石數若干法以米價一兩二錢麥價九錢豆價六錢相併共得二兩七錢為一率一石為二率總銀四百八十六兩為三率推得四率一百八十石即各色之石數也此法蓋因三色之石數既相等故三色每石之共價與每一石之比即同於三分之共價四百八十六兩與每一分之一百八十石之比也設如有銀一千二百兩買綾絹二色絹一分綾二分綾每疋價銀三兩六錢絹每疋價銀二兩四錢問綾絹與價銀各幾何法以綾價三兩六錢二因之(綾二分故用二因)得七兩二錢與絹價二兩四錢相加共得九兩六錢為一率絹一疋為二率總銀一千二百兩為三率推得四率一百二十五疋為絹數倍之得二百五十疋為綾數以絹每疋價銀二兩四錢與絹一百二十五疋相乗得三百兩為共絹價以綾每疋價銀三兩六錢與綾二百五十疋相乗得九百兩為共綾價也此法蓋因絹為一分綾為二分故將綾價二因之與絹價相加即綾二疋絹一疋之共價以綾二疋絹一疋之共價與絹一疋之比即同於綾二分絹一分之共價一千二百兩與絹一分一百二十五疋之比也設如有銀三百三十六兩買羅八十疋絹一百二十疋羅每疋價比絹每疋價加一倍問羅價絹價各幾何法以羅八十疋倍之得一百六十疋與絹一百二十疋相加得二百八十疋為一率絹一疋為二率總銀三百三十六兩為三率推得四率一兩二錢即絹毎一疋之價倍之得二兩四錢即羅每一疋之價也此法蓋因羅價比絹價加一倍故將羅疋數倍之與絹疋數相加為羅二倍絹一倍之共數而以羅二倍絹一倍之共數與絹一疋之比即同於羅二倍絹一倍之共價三百三十六兩與絹一疋之價一兩二錢之比也設如有銀七百八十五兩令甲乙丙丁四人分之乙得甲銀十分之七丙得乙銀十四分之三丁得丙銀十二分之九問各分銀幾何法以一千六百八十分(三分母連乗之數)為甲衰數取甲十分之七得一千一百七十六分為乙衰數取乙十四分之三得二百五十二分為丙衰數取丙十二分之九得一百八十九分為丁衰數乃以四人衰數相併得三千二百九十七分為一率總銀七百八十五兩爲二率以甲衰一千六百八十分為三率得四率四百兩即甲所分之銀數以乙衰一千一百七十六分為三率得四率二百八十兩即乙所分之銀數以丙衰二百五十二分為三率得四率六十兩即丙所分之銀數以丁衰一百八十九分為三率得四率四十五兩即丁所分之銀數四人所得銀數併之得七百八十五兩以合原數也此法因各分母不同恐難度盡故以分母連乗為甲衰數次各按分取其衰數乃併各衰數為共衰數以共衰數與總銀數之比即同於各人衰數與各銀數之比也設如東西中三村共納糧一千零三十六石東村一百二十戸每戸該納七分西村八十戸每戸該納五分中村六十戸每戸該納四分問各村納糧若干每戸納糧若干法以七分與東村一百二十戸相乗得八百四十分為東村衰數以五分與西村八十戸相乗得四百分為西村衰數以四分與中村六十戸相乗得二百四十分為中村衰數乃以三村衰數相併得一千四百八十分為一率共納糧一千零三十六石為二率各村衰數各為三率推得各四率東村共該納糧五百八十八石西村共該納糧二百八十石中村共該納糧一百六十八石再以各村戸數歸除各村所納糧數則東村每戸該納糧四石九斗西村每戸該納糧三石五斗中村每戸該納糧二石八斗如以三村共衰分數歸除共納糧數得每一分所納糧數而以各村分數乗之即得各村共納糧數以各戸分數乗之即得各村每戸所納之糧數也設如乙丙丁三人共納地租銀十一兩五錢乙田長一百二十丈寛四十丈丙田長二百丈寛六十丈丁田長八十丈寛二十丈問每人該租銀若干法以乙田長一百二十丈與寛四十丈相乗得四千八百丈丙田長二百丈與寛六十丈相乗得一萬二千丈丁田長八十丈與寛二十丈相乗得一千六百丈三數相併共得一萬八千四百丈為一率共地租銀十一兩五錢為二率各田長寛相乗之數各為三率推得各四率乙該銀三兩丙該銀七兩五錢丁該銀一兩併之為十一兩五錢以合原數也設如孫鄭褚三家買貨共載一船逺近船價不同孫家貨物九十五担每担船價六分鄭家貨物八十五担每担船價四分褚家貨物五十六担每担船價二分五釐因中途撥淺共貼銀二兩五錢二分欲照船價分派問各該若干法以孫貨九十五担與每担六分相乗得五兩七錢以鄭貨八十五担與每担四分相乗得三兩四錢以褚貨五十六担與每担二分五釐相乗得一兩四錢乃以三家船價相併共得一十兩五錢為一率共貼銀二兩五錢二分為二率一兩為三率推得四率二錢四分即為每一兩應貼之數復以各家船價銀乗之所得一兩三錢六分八釐即孫應出之數所得八錢一分六釐即鄭應出之數所得三錢三分六釐即褚應出之數也設如甲丙戊三縣共納米四千石論縣之大小米之貴賤運之逺近分之甲縣有三千三百六十戸每米一石價銀八錢運至六十里丙縣有一千二百戸每米一石價銀一兩運至三十里戊縣有二千四百戸每米一石價銀六錢運至八十里問每縣該米若干法以甲縣米價八錢與六十里相乗得四百八十用此數歸除甲縣三千三百六十戸得七為甲縣之衰數又以丙縣米價一兩與三十里相乗得三百用此數歸除丙縣一千二百戸得四為丙縣之衰數以戊縣米價六錢與八十里相乗得四百八十用此數歸除戊縣二千四百戸得五為戊縣之衰數乃以此三衰數相併得一十六為一率總米四千石為二率各縣衰數各為三率推得各四率甲縣為一千七百五十石丙縣為一千石戊縣為一千二百五十石三數相併共四千石以合原數也設如甲乙丙丁戊五處共輸粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟價之貴賤均輸之甲田一萬三千零六十畝粟每石價銀二兩自輸本處乙田一萬二千三百一十二畝粟每石價銀一兩至輸所二百里丙田七千一百八十二畝粟每石價銀一兩二錢至輸所一百五十里丁田一萬三千三百三十八畝粟毎石價銀一兩七錢至輸所二百五十里戊田五千一百三十畝粟每石價銀一兩三錢至輸所一百五十里每石每里車價四釐問各處所輸若干法以甲粟毎石價二兩歸除甲田一萬三千零六十畝得六百五十三為甲衰數次以乙輸所二百里與每石車價四釐相乗得八錢併入乙粟毎石價一兩共一兩八錢歸除乙田一萬二千三百一十二畝得六百八十四為乙衰數次以丙輸所一百五十里與每石車價四釐相乗得六錢併入丙粟每石價一兩二錢共一兩八錢歸除丙田七千一百八十二畝得三百九十九為丙衰數次又以丁輸所二百五十里與每石車價四釐相乗得一兩併入丁粟每石價一兩七錢共二兩七錢歸除丁田一萬三千三百三十八畝得四百九十四為丁衰數次又以戊輸所一百五十里與每石車價四釐相乗得六錢併入戊粟每石價一兩三錢共一兩九錢歸除戊田五千一百三十畝得二百七十為戊衰數乃合五衰數共二千五百為一率共粟二千石為二率五處各衰數各為三率推得各四率甲為五百二十二石四斗乙為五百四十七石二斗丙為三百一十九石二斗丁為三百九十五石二斗戊爲二百一十六石五數相併共二千石以合原數也此法蓋因地畝以定粟數故粟可以均然粟之價既有貴賤而道里又有逺近故取粟價以除地畝正所以均其貴賤而取車價併入粟價以除地畝又所以均其逺近也設如買米八十四石每米一石價一兩四錢七分運價一錢三分今欲抽米作運價與之問正米與運價米各幾何法以每石米價一兩四錢七分與每石運價一錢三分相加得一兩六錢為一率總米八十四石為二率每石米價一兩四錢七分為三率推得四率七十七石一斗七升五合即正米數如先求運價米數則仍以一兩六錢為一率總米八十四石為二率每石運價一錢三分為三率推得四率六石八斗二升五合即運價米數也既得正米數與運價相乗得十兩零三分二釐七豪五絲為共運價而以運費米數與米價相乗亦得十兩零三分二釐七豪五絲其數適相當也此法蓋因八十四石為正米與運價米之總數今抽米作運費故以米價與運價相併亦為米價與運價之總數以總價與總米之比即同於米價與正米之比又以總價與總米之比即同於運價與運米之比也此法即和數差分之變體舊算書名為就物抽分因其以總米内抽運價故為抽分然要以米價運價之和與總米為比例故附於和數比例之後設如有絲四十三斤十二兩每織絹一疋用絲一斤與織工絲四兩問織絹絲與織工絲各幾何法以織絹絲一斤通為十六兩與織工絲四兩相加得二十兩為一率總絲四十三斤十二兩通為七百兩為二率織工絲四兩為三率得四率一百四十兩收為八斤十二兩即織工絲與總絲相減餘三十五斤即織絹絲也此亦就物抽分法也以毎疋織絹絲及織工絲之共數與總絲之比即同於每疋織工絲與總織工絲之比也較數比例比例之中有和數而復有較數者以數相合而為比例故謂之和數若夫因數之相較而成比例則謂之較數在九章謂之匿價差分其立法蓋以每一物與較數之比即若共物與共較之比或以共物之較與每一物價之較為比即若共物與每一物價之比也又或有以實數相比者或有以各物分數相比者雖未有一定之規然而總不越以彼此相差之較數為比例故今質名之曰較數比例焉設如有錢買綾羅二色綾七尺羅九尺兩價相等但知綾每尺比羅每尺價多三十六文問二色毎尺價錢幾何法以綾一尺為一率綾比羅每尺價多三十六文為二率綾七尺為三率推得四率二百五十二文即綾七尺共多之數又以綾七尺與羅九尺相減餘羅二尺為一率綾七尺共多二百五十二文為二率羅一尺為三率推得四率一百二十六文即羅一尺之價加多三十六文得一百六十二文即綾一尺之價以一百二十六文乗羅九尺得一千一百三十四文以一百六十二文乗綾七尺亦得一千一百三十四文兩價相等也此法蓋因綾一尺多三十六文則綾七尺共多二百五十二文也夫綾價多二百五十二文羅多二尺而其價相等則二百五十二文即羅二尺之價羅二尺價二百五十二文則羅一尺價一百二十六文也既得羅價則綾價亦可推矣又法以綾七尺與羅九尺相減餘二尺為一率綾比羅每尺價多三十六文為二率綾七尺為三率推得四率一百二十六文即羅毎一尺之價加多三十六文得一百六十二文即綾每一尺之價如以羅九尺為三率推得四率一百六十二文即綾每一尺之價減多三十六文餘一百二十六文即羅每一尺之價也此法共綾與共羅之較為二尺綾每尺與羅每尺之較為三十六文凡共物之較與共價之較相比即同於共物與共價之比而共物之較與每一物價之較相比亦必同於共物與每一物價之比故以綾共少二尺與羅每尺價少三十六文之比即同於綾共七尺與羅每尺價一百二十六文之比也又以羅共多二尺與綾每尺多三十六文之比亦即同於羅共九尺與綾毎尺價一百六十二文之比也設如有銀買駝馬二色馬十匹駝六匹兩價相等但知駝每匹比馬每匹價多八兩問二色每匹價銀若干法以駝一匹為一率駝比馬每匹價多八兩為二率駝六匹為三率推得四率四十八兩即駝六匹共多之數又以馬十匹與駝六匹相減餘馬四匹為一率駝六匹共多四十八兩為二率馬一匹為三率推得四率十二兩即馬一匹之價加多八兩得二十兩即駝一匹之價以二十兩乗駝六匹得一百二十兩以十二兩乗馬十匹亦得一百二十兩兩價相等也此法蓋因駝一匹多八兩則駝六匹共多四十八兩也夫駝價多四十八兩馬多四匹而其價相等則四十八兩即馬四匹之價馬四匹價四十八兩則馬一匹價十二兩也又法以駝六匹與馬十匹相減餘四匹為一率駝比馬每匹價多八兩為二率駝六匹為三率推得四率十二兩即馬每匹之價加多八兩得二十兩即駝毎匹之價如以馬十匹為三率推得四率二十兩即駝每匹之價減多八兩餘十二兩即馬每匹之價也蓋駝共少四匹與馬每匹價少八兩之比即同於駝共六匹與馬每匹價十二兩之比又馬共多四匹與駝每匹價多八兩之比即同於馬共十匹與駝每匹價二十兩之比也設如有稻一十八石稷二十二石兩價相等如交換五石則兩邊俱差銀一兩六錢問每石價與共價各若干法以交換五石為一率相差一兩六錢為二率稻一十八石為三率推得四率五兩七錢六分即稻一十八石共多之數又以稻一十八石與稷二十二石相減餘稷四石為一率稻一十八石共多五兩七錢六分為二率稷一石為三率推得四率一兩四錢四分即稷一石之價以稷二十二石乗之得三十一兩六錢八分即稷之共價亦即稻之共價以稻十八石除之得一兩七錢六分即稻一石之價也如交換五石則一為稻十三石稷五石稻十三石價二十二兩八錢八分稷五石價七兩二錢相加得三十兩零八分比共價三十一兩六錢八分少一兩六錢一為稷十七石稻五石稷十七石價二十四兩四錢八分稻五石價八兩八錢相加得三十三兩二錢八分比共價三十一兩六錢八分則多一兩六錢是兩邊俱差一兩六錢也此法蓋因稻五石多一兩六錢則稻十八石共多五兩七錢六分也夫稻多五兩七錢六分稷多四石而其價相等則五兩七錢六分即稷四石之共價稷四石價五兩七錢六分則稷一石價必一兩四錢四分而稷二十二石價必三十一兩六錢八分與稻十八石之價相等故以十八除之得稻每一石之價也設如有金球八銀球十二兩重相等今移換三則銀球邊多六十兩問金球銀球各重幾何法以移换之三為一率多六十兩折半得三十兩(即三金球比三銀球所多之數)為二率金球八為三率推得四率八十兩即金球八共多之數又以金球八與銀球十二相減餘銀球四為一率共多八十兩為二率銀球一為三率推得四率二十兩即銀球一之重數以十二乗之得二百四十兩即銀球十二之共重數亦即金球八之共重數以金球八除之得三十兩即金球一之重數也此法蓋因移換三而差六十兩即三金球比三銀球多三十兩三銀球比三金球少三十兩其總差為六十兩故折半為三金球多於三銀球之重數也三金球多三十兩則八金球共多八十兩夫金球多八十兩銀球多四而其重相等則八十兩即四銀球之重數四銀球重八十兩則一銀球重二十兩而十二銀球必重二百四十兩與八金球之重相等故以八除之即得金球之重數也設如甲乙丙三人合本為商共得利銀四百兩乙比甲多分十二兩丙比乙又多分十六兩問各分利銀幾何法以共利銀四百兩内減乙比甲多十二兩又減丙比甲多二十八兩(丙比乙多十六)(兩則比甲多二十八兩)餘三百六十兩乃以甲乙丙共三人為一率三百六十兩為二率甲一人為三率推得四率一百二十兩即甲應得利銀數加十二兩得一百三十二兩為乙應得利銀數又加十六兩得一百四十八兩為丙應得利銀數也此法減去乙丙共多於甲之數所餘者即三人均分之數故以三人與三百六十兩之比即同於甲一人與一百二十兩之比也設如有銀七百四十兩共買馬驢一百匹馬八十匹驢二十匹其馬每匹價比驢每匹價多三兩問馬驢每匹價各得幾何法以馬驢共一百匹為一率馬每匹多三兩與馬八十匹相乗得二百四十兩於總銀内減之餘五百兩為二率驢一匹為三率推得四率五兩即驢一匹之價加馬每匹多三兩得八兩即馬一匹之價以馬價八兩乗馬八十匹得馬共價六百四十兩以驢價五兩乗驢二十匹得驢共價一百兩也此法蓋因馬每匹多三兩則馬八十匹共多二百四十兩於總銀内減去馬共多之價則馬價皆同於驢價矣故以總數一百匹與銀五百兩之比即同於驢一匹與銀五兩之比也設如有銀二千九百九十六兩二錢買上等田一百六十畝中等田三百畝下等田四百六十畝其上等田比中等田每畝價多四錢七分中等田比下等田每畝價多一兩三錢五分問三等田每畝價銀幾何法以上中下三等田數相併得九百二十畝為一率將中等田三百畝用中等比下等每畝多一兩三錢五分乗之得四百零五兩為中等比下等共多之數又以上等田一百六十畝用上等比下等每畝多一兩八錢二分乗之(上等比中等每)(畝多四錢七分中等比下等每畝多一兩三錢五分共為一兩八錢二分)得二百九十一兩二錢為上等比下等共多之數爰併兩數共六百九十六兩二錢與總銀二千九百九十六兩二錢相減餘二千三百兩為二率下等田一畝為三率推得四率二兩五錢即下等田每一畝之價加多一兩三錢五分得三兩八錢五分即中等田每一畝之價再加多四錢七分得四兩三錢二分即上等田每一畝之價也此法蓋因中等田比下等田每畝多一兩三錢五分則三百畝共多四百零五兩上等田比下等田毎畝多一兩八錢二分則一百六十畝共多二百九十一兩二錢於總銀内減去兩等共多之數則上等田價中等田價皆同於下等田價矣故以三等田共九百二十畝與銀二千三百兩之比即同於下等田每一畝與銀二兩五錢之比也設如二人行路疾徐不等疾行者日行九十五里徐行者日行七十五里今令徐行者先行八日問疾行者追及之日數幾何法以徐行七十五里與疾行九十五里相減餘二十里為一率一日為二率徐行七十五里與先行八日相乗得六百里為三率推得四率三十日即追及之日數也此法蓋因徐行者先行八日以日行七十五里計之則已多行六百里今疾行者日行九十五里則比徐行者每日多行二十里多二十里為一日追行之數多六百里則為三十日追行之數可知矣設如二人自鄉上城一人步行一人騎馬使步行者先行三十七里騎馬者追至一百五十四里尚不及二十三里問追及之里數幾何法以不及二十三里與先行三十七里相減餘一十四里為一率追至一百五十四里為二率不及二十三里為三率推得四率二百五十三里即追及之里數也此法蓋因步行者已先行三十七里今騎馬者追之止不及二十三里是已追過十四里也追過十四里必須一百五十四里今尚不及二十三里則必須二百五十三里方能追及也設如一人行路步行則三十日可到騎行則二十日可到今行二十六日到問步行騎行日數各幾何法以三十日與二十日相減餘十日為一率步行三十日為二率今行二十六日與騎行二十日相較多六日為三率推得四率十八日為步行之日數與共二十六日相減餘八日即騎行之日數也如以十日為一率騎行二十日為二率今行二十六日與步行三十日相較少四日為三率推得四率八日即騎行之日數也此法蓋因步行三十日可到騎行二十日可到則步行比騎行遲十日即騎行比步行早十日也步行比騎行遲十日而步行為三十日今步行比騎行遲六日則步行為十八日可知矣騎行比步行早十日而騎行為二十日今騎行比步行早四日則騎行為八日可知矣設如有上下二等酒上等酒每斤價銀五分下等酒每斤價銀三分今以二等酒相合一處共重一百二十斤每斤價銀三分六釐問二等酒各幾何法以上等酒價銀五分内減下等酒價銀三分餘二分為一率二等酒共一百二十斤為二率二等酒相合毎斤價銀三分六釐與下等酒價銀三分相較得多六釐為三率推得四率三十六斤為上等酒數於二等酒共一百二十斤内減三十六斤餘八十四斤即下等酒數也如以二等酒相合毎斤價銀三分六釐與上等酒價銀五分相較得少一分四釐為三率則得四率八十四斤即下等酒數也此法上等酒價五分下等酒價三分是上等比下等多二分即下等比上等少二分也若二等酒相合價比下等酒價多二分則一百二十斤皆上等酒矣因二等酒相合價比下等價多六釐故知上等酒有三十六斤也又二等酒相合價比上等酒價少二分則一百二十斤皆下等酒矣因二等酒相合價比上等價少一分四釐故知下等酒有八十四斤也設如有布三百一十疋每疋長四十尺但知每疋扣運費二尺共扣去一十六疋復找囘錢六百文問布毎疋價錢幾何法以毎疋扣運費二尺與總布三百一十疋相乗得六百二十尺又以每疋長四十尺與共扣布一十六疋相乗得六百四十尺兩數相減餘二十尺為一率找囘錢六百文為二率每疋長四十尺為三率推得四率一千二百文即每一疋之價也此法蓋以每疋扣運費二尺計之則總布三百一十疋當扣六百二十尺今乃抽去十六疋則扣去六百四十尺是多扣去二十尺也多扣去二十尺而找回錢六百文是六百錢即二十尺之價二十尺價六百文則四十尺(一疋)(之數)價必一千二百文也設如有銀一千零八兩買線一分絲二分綿三分共重三百六十斤俱不言價但知綿二兩當線一兩之價線一兩當絲一兩六錢之價問三色各重若干三色每斤價銀若干法以線一分絲二分綿三分相併得六分為一率共重三百六十斤為二率線一分為三率推得四率六十斤即線一分之重數二因之得一百二十斤即絲二分之重數三因之得一百八十斤即綿三分之重數既得各色之重數即以線重六十斤為線之衰分綿二兩當線一兩之價即將綿一百八十斤二歸之得九十斤為綿之衰分絲一兩六錢當線一兩之價即將絲一百二十斤用一六除之得七十五斤為絲之衰分併三衰分共二百二十五斤為一率總銀一千零八兩為二率線一斤為三率推得四率四兩四錢八分即線每斤之價二歸之得二兩二錢四分即綿每斤之價一六除之得二兩八錢即絲每斤之價也此法先求各色之重數以共分與共重數之比即同於線一分與線重數之比又以各分數因之即得各重數也次求各色之價數既以線重六十斤為線衰分則絲價與綿價必俱變為與線相當之數而後可以為比例蓋綿二兩當線一兩之價則綿一百八十斤必當線九十斤之價故以九十為綿之衰分絲一兩六錢當線一兩之價則絲一百二十斤必當線七十五斤之價故以七十五為絲之衰分既得各衰分併之與總銀相比即同於線每斤與每斤之價相比也既得線每斤之價以二除之得綿每斤之價者綿價居線價二分之一也既得線每斤之價又以一六除之得絲每斤之價者絲價居線價十六分之十也設如李王二人合本生理不知二人本銀之數但知李本銀比王本銀多一倍零八兩共得利銀二十二兩李分十六兩王分六兩問二人各出本銀若干法以王利銀六兩加一倍(因李本銀比王本銀多一)(倍故加一倍也)得十二兩與李利銀十六兩相減餘四兩為一率所零八兩為二率王之利銀六兩為三率推得四率十二兩即王之本銀數加一倍又加八兩共三十二兩為李之本銀數也蓋李之本銀比王之本銀多一倍又多八兩李之利銀比王之利銀多一倍又多四兩是四兩即為八兩所得之利銀數利銀四兩知本銀為八兩則王之利銀六兩即知其本銀為十二兩也設如買緞一千疋不言出銀之數但知每疋賣價七兩二錢則比原出銀少十分之一問原出銀若干法以分母十與分子一相減餘九分為一率以七兩二錢與一千疋相乗得七千二百兩為二率十分為三率推得四率八千兩即原出銀之數也此法蓋因每疋賣價七兩二錢比原出銀少十分之一則今賣價止得原出銀十分之九故以九分與今賣價之比即同於十分與原出銀之比也設如甲丙丁三人合本貿易丙之本銀為甲本銀五分之四丁之本銀為甲本銀三分之二丙之本銀比丁之本銀多十兩問三人本銀各若干法以十五分為甲之衰數(兩分母相乗之數)取甲五分之四得十二分為丙之衰數取甲三分之二得十分為丁之衰數乃以丁十分與丙十二分相減餘二分為一率多十兩為二率甲十五分為三率推得四率七十五兩為甲本銀數如以丙十二分為三率則得四率六十兩為丙本銀數如以丁十分為三率則得四率五十兩為丁本銀數以丁銀與丙銀相減餘十兩即丙多於丁之數也設如有銀賞三等人一等八人二等六人三等九人二等每人所得為一等每人三分之二三等每人所得為二等每人四分之一二等比三等共多得三百兩問每等每人各得幾何法以十二分為一等每人之衰數(兩分母相)(乗之數)取十二分中之三分之二得八分為二等每人之衰數又取八分中之四分之一得二分為三等每人之衰數乃以一等十二分與一等八人相乗得九十六分為一等八人共衰數二等八分與二等六人相乗得四十八分為二等六人共衰數三等二分與三等九人相乗得十八分為三等九人共衰數乃以三等共衰十八分與二等共衰四十八分相減餘三十分為一率二等比三等共多得三百兩為二率一等每人衰數十二分為三率推得四率一百二十兩為一等每人所得之數以一等八人乗之得九百六十兩即一等八人所得之共數如以二等每人衰數八分為三率則得四率八十兩為二等每人所得之數以二等六人乗之得四百八十兩即二等六人所得之共數如以三等每人衰數二分為三率則得四率二十兩為三等每人所得之數以三等九人乗之得一百八十兩即三等九人所得之共數以二等共得四百八十兩與三等共得一百八十兩相減餘三百兩即二等共多於三等之銀數也設如有田一百二十畝一人一日耕四畝一人一日種六畝欲令二人同日完工問耕者該先起工幾何法以四畝與六畝相乗得二十四畝以四畝互乗一日得四日以六畝互乗一日得六日乃以二十四畝為一率四日六日相減餘二日為二率一百二十畝為三率推得四率十日即是耕者該先起工十日也此法蓋因四畝與六畝不同故用互乗以齊其分一得二十四畝耕六日一得二十四畝種四日欲令同日完工則耕者當先起工二日然則田二十四畝當先起工二日今田一百二十畝則當先起工十日也御製數理精藴下編卷六
## 下編卷七
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷七線部五和較比例和較比例比例之中有和數較數而復有和較者用和數相比謂之和用較數相比謂之較至於設問中兩物相和兩價相和或每色中㡬物相和乃於和數中推求較數因較數而成比例是以和數為體而較數為用故謂之和較比例在九章一名貴賤差分一名貴賤相和其立法盖於縂物中求其相差之較或於每物中求其相差之較(此貴賤差分法)或用互乗以齊其數然後於互乗數中求其相差之較作為比例而得真數(此貴賤相)(和法)按法立算雖各不同要之縂以和數推出較數為比此和較之所以名也設如有銀四百零五兩七錢共買米麥五百石米每石價銀八錢六分麥每石價銀七錢二分五釐問米麥各該㡬何法以米麥共五百石用米每石價銀八錢六分乗之得四百三十兩與縂銀四百零五兩七錢相較則縂銀少二十四兩三錢又以米麥共五百石用麥每石價銀七錢二分五釐乗之得三百六十二兩五錢與縂銀相較則縂銀多四十三兩二錢乃以多少兩數相併得六十七兩五錢為一率米麥共五百石為二率少二十四兩三錢為三率得四率一百八十石即麥數於共五百石内減之餘三百二十石即米數如以多四十三兩二錢為三率得四率三百二十石亦即米數也此法盖以五百石俱為米計之則價應四百三十兩與今縂銀相較則縂銀少二十四兩三錢如以五百石俱為麥計之則價應三百六十二兩五錢與今縂銀相較則縂銀多四十三兩二錢是米五百石比麥五百石價多六十七兩五錢即麥五百石比米五百石價少六十七兩五錢也是知麥價比米價少六十七兩五錢而麥為五百石今縂銀比米價少二十四兩三錢則麥必為一百八十石也又米價比麥價多六十七兩五錢而米為五百石今縂銀比麥價多四十三兩二錢則米必為三百二十石也又法以米麥每石價銀相減餘一錢三分五釐為一率一石為二率以米麥共五百石用米價乗之得四百三十兩與縂銀四百零五兩七錢相減餘二十四兩三錢為三率得四率一百八十石即麥數於共五百石内減之餘三百二十石即米數如以米麥共五百石用麥價乗之得三百六十二兩五錢與縂銀四百零五兩七錢相減餘四十三兩二錢為三率得四率三百二十石亦即米數也此法盖因米一石比麥一石其價相差一錢三分五釐是知少一錢三分五釐而麥為一石今少二十四兩三錢則麥少為一百八十石也又多一錢三分五釐而米為一石今多四十三兩二錢則米必為三百二十石也前法以五百石縂價之較與五百石為比此法以每一石價之較與一石為比其理同也設如有銀一百兩共買紬絹一百疋紬每疋價銀一兩六錢絹每疋價銀八錢問紬絹各得㡬何法以紬絹共一百疋用紬價一兩六錢乗之得一百六十兩與共銀一百兩相較則共銀少六十兩又以紬絹共一百疋用絹價八錢乗之得八十兩與共銀一百兩相較則共銀多二十兩乃以多少兩數相併得八十兩為一率紬絹共一百疋為二率少六十兩為三率得四率七十五疋即絹數於共一百疋内減之餘二十五疋即紬數如以多二十兩為三率得四率二十五疋亦即紬數也此法盖以一百疋俱為紬計之則價應一百六十兩與共銀相較則共銀少六十兩如以一百疋俱為絹計之則價應八十兩與共銀相較則共銀多二十兩是紬一百疋比絹一百疋價多八十兩即絹一百疋比紬一百疋價少八十兩也是知絹價比紬價少八十兩而絹為一百疋今共價比紬價少六十兩則絹必為七十五疋也又紬價比絹價多八十兩而紬為一百疋今共價比絹價多二十兩則紬必為二十五疋也又法以紬絹每疋價銀相減餘八錢為一率紬一疋為二率以紬絹共一百疋用紬價乗之得一百六十兩與共銀一百兩相減餘六十兩為三率得四率七十五疋即絹數於共一百疋内減之餘二十五疋即紬數如以紬絹共一百疋用絹價乗之得八十兩與共銀一百兩相減餘二十兩為三率得四率二十五疋亦即紬數也此法盖因紬一疋比絹一疋其價相差八錢是知少八錢而絹為一疋今少六十兩則絹必為七十五疋也又多八錢而紬為一疋今多二十兩則紬必為二十五疋也設如雞兔同籠但知頭共三十六足共一百問雞兔各㡬何法以雞兔共三十六頭用雞二足乗之得七十二足與共足一百相較則共足多二十八又以雞兔共三十六頭用兔四足乗之得一百四十四足與共足一百相較則共足少四十四乃以多少兩數相併得七十二足為一率共三十六頭為二率少四十四足為三率得四率二十二即雞數於共三十六隻内減之餘十四即兔數如以多二十八足為三率得四率十四亦即兔數也此法盖以三十六俱為雞計之則應七十二足與今共足相較則共足多二十八若以三十六俱為兔計之則應一百四十四足與今共足相較則共足少四十四是兔三十六比雞三十六多七十二足即雞三十六比兔三十六少七十二足也是知雞少於兔七十二足而雞為三十六隻今雞少於兔四十四足則雞必為二十二隻也又兔多於雞七十二足而兔為三十六隻今兔多於雞二十八足則兔必為十四隻也又法以雞二足兔四足相減餘二足為一率一隻為二率又以共三十六隻用兔四足乗之得一百四十四足與共足一百相減餘四十四為三率得四率二十二即雞數於共三十六隻内減之餘十四即兔數如以共三十六隻用雞二足乗之得七十二足與共足一百相減餘二十八為三率得四率十四亦即兔數也此法盖因雞一隻比兔一隻差二足是知雞少於兔二足而雞為一隻今少於兔四十四足則雞必為二十二隻也又兔多於雞二足而兔為一隻今多於雞二十八足則兔必為十四隻也設如有羊一百四十隻大小不䓁共剪毛一百五十斤大羊每隻剪毛一斤二兩小羊每隻剪毛十二兩問大小羊各㡬何法以共羊一百四十隻用大羊剪毛十八兩乗之(一斤作十六兩加二兩即十八兩也)得二千五百二十兩與共剪毛二千四百兩相較(一百五十斤變為兩得二千四百兩)則共剪毛數少一百二十兩又以共羊一百四十隻用小羊剪毛十二兩乗之得一千六百八十兩與共剪毛二千四百兩相較則共剪毛數多七百二十兩乃以多少兩數相併得八百四十兩為一率共羊一百四十隻為二率多七百二十兩為三率得四率一百二十隻即大羊數於共一百四十隻内減之餘二十隻即小羊數如以少一百二十兩為三率得四率二十隻亦即小羊數也此法盖以一百四十隻俱為大羊計之則應剪毛二千五百二十兩與共剪毛數相較則共剪毛數少一百二十兩若以一百四十隻俱為小羊計之則應剪毛一千六百八十兩與共剪毛數相較則共剪毛數多七百二十兩是大羊一百四十隻比小羊一百四十隻多八百四十兩即小羊一百四十隻比大羊一百四十隻少八百四十兩也是知多八百四十兩而大羊為一百四十隻今少七百二十兩則大羊必為一百二十隻也又少八百四十兩而小羊為一百四十隻今少一百二十兩則小羊必為二十隻也又法以大羊剪毛十八兩小羊剪毛十二兩相減餘六兩為一率一隻為二率以共羊一百四十隻用小羊剪毛數乗之得一千六百八十兩與共剪毛二千四百兩相減餘七百二十兩為三率得四率一百二十隻即大羊數於共一百四十隻内減之餘二十隻即小羊數如以共羊一百四十隻用大羊剪毛數乗之得二千五百二十兩與共剪毛二千四百兩相減餘一百二十兩為三率得四率二十隻亦即小羊數也此法盖以大羊一隻比小羊一隻所剪毛差六兩是知多六兩而大羊為一隻今多七百二十兩則大羊必為一百二十隻也又少六兩而小羊為一隻今少一百二十兩則小羊必為二十隻也設如有玉在石中但知正方每邉四寸共重一百六十兩八錢問玉有㡬何法以方邉四寸自乗再乗得六十四寸為正方體積乃以六十四寸用玉寸方定率二兩六錢乗之得一百六十六兩四錢與共重一百六十兩八錢相較則共重少五兩六錢又以六十四寸用石寸方定率二兩五錢乗之得一百六十兩與共重一百六十兩八錢相較則共重多八錢乃以多少兩數相併得六兩四錢為一率玉六十四寸為二率多八錢為三率得四率八寸即玉數於共六十四寸内減之餘五十六寸即石數如以少五兩六錢為三率得四率五十六寸亦即石數也既得玉八寸則以玉寸方定率二兩六錢乗之得二十兩八錢即玉之重數於共重一百六十兩八錢内減之餘一百四十兩即石之重數如以石五十六寸用石寸方定率二兩五錢乗之得一百四十兩亦即石之重數也此法盖以六十四寸俱為玉計之則應重一百六十六兩四錢與共重數相較則共重數少五兩六錢若以六十四寸俱為石計之則應重一百六十兩與共重數相較則共重數多八錢是石六十四寸比玉六十四寸少六兩四錢即玉六十四寸比石六十四寸多六兩四錢也是知多六兩四錢而玉為六十四寸今多八錢則玉必為八寸也又少六兩四錢而石為六十四寸今少五兩六錢則石必為五十六寸也又法以玉寸方定率二兩六錢與石寸方定率二兩五錢相減餘一錢為一率一寸為二率以共積六十四寸用石寸方定率二兩五錢乗之得一百六十兩與共重一百六十兩八錢相減餘八錢為三率得四率八寸即玉數於共六十四寸内減之餘五十六寸即石數如以共積六十四寸用玉寸方定率二兩六錢乗之得一百六十六兩四錢與共重一百六十兩八錢相減餘五兩六錢為三率得四率五十六寸亦即石數也此法盖以玉一寸比石一寸其重差一錢是知多一錢而玉為一寸今多八錢則玉必為八寸也又少一錢而石為一寸今少五兩六錢則石必為五十六寸也設如有金銀共重三百二十一兩鎔於一處作成一正方體每邉三寸問金銀各重㡬何法以方邊三寸自乗再乗得二十七寸為正方體積乃以二十七寸俱作金算用金寸方定率十六兩八錢乗之得四百五十三兩六錢與共重三百二十一兩相較則共重少一百三十二兩六錢又以二十七寸俱作銀算用銀寸方定率九兩乗之得二百四十三兩與共重三百二十一兩相較則共重多七十八兩乃以多少兩數相併得二百一十兩六錢為一率金二十七寸重四百五十三兩六錢為二率多七十八兩為三率得四率一百六十八兩即金數於共重三百二十一兩内減之餘一百五十三兩即銀數如以銀二十七寸重二百四十三兩為二率少一百三十二兩六錢為三率得四率一百五十三兩亦即銀數也此法盖因金二十七寸比銀二十七寸多二百一十兩六錢即銀二十七寸比金二十七寸少二百一十兩六錢也是知金比銀多二百一十兩六錢而金為四百五十三兩六錢今多七十八兩則金必為一百六十八兩也又銀比金少二百一十兩六錢而銀為二百四十三兩今少一百三十二兩六錢則銀必為一百五十三兩也又法以銀寸方定率九兩與金寸方定率十六兩八錢相減餘七兩八錢為一率金一寸重十六兩八錢為二率以共積二十七寸用銀寸方定率九兩乗之得二百四十三兩與共重三百二十一兩相減餘七十八兩為三率得四率一百六十八兩即金數於共重三百二十一兩内減之餘一百五十三兩即銀數如以銀一寸重九兩為二率以共積二十七寸用金寸方定率十六兩八錢乗之得四百五十三兩六錢與共重三百二十一兩相減餘一百三十二兩六錢為三率得四率一百五十三兩亦即銀數也此法盖以金一寸比銀一寸其重相差七兩八錢是知多七兩八錢而金為十六兩八錢今多七十八兩則金必為一百六十八兩也又少七兩八錢而銀為九兩今少一百三十二兩六錢則銀必為一百五十三兩也設如有金器一件内有銀相参合共重一百七十兩四錢問金銀各重若干法用一桶盛水令滿将金器入内看溢出之水得正方寸數㡬何假如得十二寸即為金銀共積以金寸方定率十六兩八錢乗之得二百零一兩六錢與共重一百七十兩四錢相較則共重少三十一兩二錢又以銀寸方定率九兩乗之得一百零八兩與共重一百七十兩四錢相較則共重多六十二兩四錢乃以多少兩數相併得九十三兩六錢為一率金十二寸重二百零一兩六錢為二率多六十二兩四錢為三率得四率一百三十四兩四錢即金數於共重一百七十兩四錢内減之餘三十六兩即銀數如以銀十二寸重一百零八兩為二率少三十一兩二錢為三率得四率三十六兩亦即銀數也又法以金寸方定率十六兩八錢與銀寸方定率九兩相減餘七兩八錢為一率金一寸重十六兩八錢為二率以共積十二寸用銀寸方定率九兩乗之得一百零八兩與共重一百七十兩四錢相減餘六十二兩四錢為三率得四率一百三十四兩四錢即金數於共重一百七十兩四錢内減之餘三十六兩即銀數如以銀一寸重九兩為二率以共積十二寸用金寸方定率十六兩八錢乗之得二百零一兩六錢與共重一百七十兩四錢相減餘三十一兩二錢為三率得四率三十六兩亦即銀數也設如有金鑄一器重三百兩俱係九六成色今用九九成色及九一成色二䓁金替換問各得㡬何法以九六成色與三百兩相乗得二百八十八兩為原金數乃以九九成色與三百兩相乗得二百九十七兩與原金二百八十八兩相較則原金少九兩又以九一成色與三百兩相乗得二百七十三兩與原金二百八十八兩相較則原金多十五兩爰以多少兩數相併得二十四兩為一率三百兩為二率原金比九一成色多十五兩為三率得四率一百八十七兩五錢即九九成色金數於共重三百兩内減之餘一百一十二兩五錢即九一成色金數如以原金比九九成色少九兩為三率得四率一百一十二兩五錢亦即九一成色金數也盖九六成色金三百兩為十成金二百八十八兩而九九成色金三百兩為十成金二百九十七兩九一成色金三百兩為十成金二百七十三兩是知九九比九一多二十四兩而九九成色金為三百兩今九六比九一多十五兩則九九成色金必為一百八十七兩五錢也又九一比九九少二十四兩而九一成色金為三百兩今九六比九九少九兩則九一成色金必為一百一十二兩五錢也又法以九九與九一相減餘八分為一率金三百兩為二率以九一與九六相減餘五分為三率得四率一百八十七兩五錢即九九成色金數於共重三百兩内減之餘一百一十二兩五錢即九一成色金數如以九九與九六相減餘三分為三率得四率一百一十二兩五錢亦即九一成色金數也盖九九比九一多八分而九九成色金為三百兩今九六比九一多五分則九九成色金必為一百八十七兩五錢也又九一比九九少八分而九一成色金為三百兩今九六比九九少三分則九一成色金必為一百一十二兩五錢也設如甲乙二人有金成色不䓁甲金一兩可凖銀一十二兩乙金一兩可凖銀八兩今欲鎔為一處令金一兩凖銀九兩問甲乙二人於一兩金中各出金㡬何法以凖銀九兩為中數與甲金凖銀十二兩相較少三兩與乙金凖銀八兩相較多一兩乃以多少兩數併之得四兩為一率金一兩為二率比甲少三兩為三率得四率七錢五分即乙所出金數如以比乙多一兩為三率得四率二錢五分即甲所出金數也此法因銀十二兩與八兩皆金一兩所凖之數雖相乗其數不動故直以十二與八相減作一率(以十二與九八與九之兩較相併得四即十二與八相減之餘數也)盖乙比甲銀少四兩而乙金為一兩今比甲銀少三兩則乙金必為七錢五分也又甲比乙銀多四兩而甲金為一兩今比乙銀多一兩則甲金必為二錢五分也設如有錢四千九百九十五文買栗棗共五千枚只云栗九枚錢一十一文棗七枚錢四文問二色與價各得若干法先用互乗以齊其分以栗九與棗七相乗得六十三為乗出之縂物分即以六十三乗縂錢四千九百九十五文得三十一萬四千六百八十五文為乗出之縂錢數又以棗七乗栗價十一文得七十七文為乗出之栗價以栗九乗棗價四文得三十六文為乗出之棗價然後以栗棗共五千枚用栗價七十七文乗之得三十八萬五千文與乗出之縂錢三十一萬四千六百八十五文相較則縂錢少七萬零三百一十五文又以栗棗共五千枚用棗價三十六文乗之得一十八萬文與乗出之縂錢三十一萬四千六百八十五文相較則縂錢多一十三萬四千六百八十五文乃以栗價七十七文與棗價三十六文相減餘四十一文為一率一枚為二率多一十三萬四千六百八十五文為三率得四率三千二百八十五枚即栗數於共五千枚内減之餘一千七百一十五枚即棗數如以少七萬零三百一十五文為三率得四率一千七百一十五枚亦即棗數也既得栗數則以九枚為一率十一文為二率三千二百八十五枚為三率得四率四千零一十五文即栗之共價既得棗數則以七枚為一率四文為二率一千七百一十五枚為三率得四率九百八十文即棗之共價也如欲先得各價則以四十一文為一率栗價七十七文為二率多一十三萬四千六百八十五文為三率得四率二十五萬二千九百四十五文以六十三除之得四千零一十五文即栗之共價於共錢四千九百九十五文内減之餘九百八十文即棗之共價如以四十一文為一率棗價三十六文為二率少七萬零三百一十五文為三率得四率六萬一千七百四十文以六十三除之得九百八十文亦即棗之共價也此法九章名為貴賤相和盖因栗九枚棗七枚其數不同故用互乗以齊其分得栗六十三枚價七十七文棗六十三枚價三十六文今以六十三枚當一枚則為栗一枚價七十七文棗一枚價三十六文是其價各加六十三倍故将縂錢亦加六十三倍即為栗棗共五千枚共價三十一萬四千六百八十五文而栗一枚比棗一枚其價相差四十一文是知栗價比棗價多四十一文而栗為一枚今共價比棗價多一十三萬四千六百八十五文則栗必為三千二百八十五枚也又棗價比栗價少四十一文而棗為一枚今共價比栗價少七萬零三百一十五文則棗必為一千七百一十五枚也其先求各價者盖因栗價比棗價多四十一文而栗價為七十七文今共價比棗價多一十三萬四千六百八十五文則栗價少為二十五萬二千九百四十五文因各價皆為加六十三倍故以六十三除之得四千零一十五文為栗之共價也又棗價比栗價少四十一文而棗價為三十六文今共價比栗價少七萬零三百一十五文則棗價必為六萬一千七百四十文亦以六十三除之得九百八十文為棗之共價也又法以棗七枚栗九枚共五千枚列於上棗價四文栗價十一文共價四千九百九十五文列於下乃以下棗價四文遍乗上棗七枚栗九枚共五千枚得棗二十八枚栗三十六枚共二萬枚又以上棗七枚遍乗下棗價四文栗價十一文共價四千九百九十五文得棗價二十八文栗價七十七文共價三萬四千九百六十五文兩下相較則棗數與棗價同為二十八彼此減盡棗價比栗數多四十一共價比共數多一萬四千九百六十五爰以多四十一為一率栗九枚為二率多一萬四千九百六十五為三率得四率三千二百八十五枚即栗數於五千枚内減之餘一千七百一十五枚即棗數如以栗價十一文為二率得四率四千零一十五文即栗之共價於四千九百九十五文内減之餘九百八十文即棗之共價也若欲先得棗數則以栗九枚價十一文移於前棗七枚價四文移於後乃以下栗價十一文遍乗上栗九枚棗七枚共五千枚得栗九十九枚棗七十七枚共五萬五千枚又以上栗九枚遍乗下栗價十一文棗價四文共價四千九百九十五文得栗價九十九文棗價三十六文共價四萬四千九百五十五文兩下相較則栗數與栗價同為九十九彼此減盡棗價比棗數少四十一共價比共數少一萬零四十五爰以少四十一為一率棗七枚為二率少一萬零四十五為三率得四率一千七百一十五枚即棗數如以棗價四文為二率得四率九百八十文即棗之共價也此法與方程互乗齊分之理同其先求栗數而以棗數列於前者盖将棗數栗數共數皆加四倍棗價栗價共價皆加七倍則棗數與棗價相同是為每棗一枚價一文夫棗數與棗價既相同而減盡無餘則棗栗共數内之共棗數與棗栗共價内之共棗價亦必相同而減盡無餘所餘者即為共栗價多於共栗數之較是比每栗一枚價一文所多之數是知栗價比栗數多四十一文而栗為九枚栗價為十一文今共栗價比共栗數多一萬四千九百六十五文則栗必為三千二百八十五枚栗價必為四千零一十五文也其先求棗數而以栗數列於前者盖将栗數棗數共數皆加十一倍栗價棗價共價皆加九倍則栗數與栗價相同是為每栗一枚價一文夫栗數與栗價既相同而減盡無餘則栗棗共數内之共栗數與栗棗共價内之共栗價亦必相同而減盡無餘所餘者即為共棗價少於共棗數之較是比每棗一枚價一文所少之數是知棗價比棗數少四十一文而棗為七枚棗價為四文今共棗價比共棗數少一萬零四十五文則棗必為一千七百一十五枚棗價必為九百八十文也設如有僧一百人給饅首一百箇大僧一人給三箇小僧三人給一箇問大小僧數及各得饅首若干法先用互乗以齊其分以大僧一人與小僧三人相乗得三人為乗出之縂僧數即以三人乗饅首一百箇得三百箇為乗出之共饅首數又以小僧三人乗大僧饅首三箇得九箇為乗出之大僧饅首數以大僧一人乗小僧饅首一箇仍得一箇為乗出之小僧饅首數然後以共僧一百人與大僧饅首九箇相乗得九百箇與乗出之共饅首三百箇相較則共饅首少六百箇又以共僧一百人與小僧饅首一箇相乗得一百箇與乗出之共饅首三百箇相較則共饅首多二百箇乃以大僧饅首九箇與小僧饅首一箇相減餘八箇為一率一人為二率多二百箇為三率得四率二十五人即大僧數於共僧一百人内減之餘七十五人即小僧數如以少六百箇為三率得四率七十五人亦即小僧數也既得僧數則以一人為一率三箇為二率大僧二十五人為三率得四率七十五箇即大僧饅首數又以三人為一率一箇為二率小僧七十五人為三率得四率二十五箇即小僧饅首數也如欲先得饅首數則仍以八箇為一率大僧饅首九箇為二率今多二百箇為三率得四率二百二十五箇三歸之得七十五箇即大僧饅首數於共饅首一百箇内減之餘二十五箇即小僧饅首數如以八箇為一率小僧饅首一箇為二率今少六百箇為三率得四率七十五箇三歸之得二十五箇亦即小僧饅首數也此法用互乗得大僧三人饅首九箇小僧三人饅首一箇今以三人當一人則為大僧一人饅首九箇小僧一人饅首一箇是饅首為加三倍故将共饅首亦加三倍即為共僧一百人共饅首三百箇而大僧一人比小僧一人饅首差八箇是知多八箇而大僧為一人今多二百箇則大僧必為二十五人也又少八箇而小僧為一人今少六百箇則小僧必為七十五人也其先求饅首者因多八箇而大僧饅首為九箇今多二百箇則大僧饅首必為二百二十五箇因饅首為加三倍故以三歸之得七十五箇為大僧饅首數又少八箇而小僧饅首為一箇今少六百箇則小僧饅首必為七十五箇亦以三歸之得二十五箇為小僧饅首數也又法以小僧三人大僧一人共僧一百人列於上小僧饅首一箇大僧饅首三箇共饅首一百箇列於下乃以下小僧饅首一箇遍乗上小僧三人大僧一人共僧一百人仍得原數又以上小僧三人遍乗下小僧饅首一箇大僧饅首三箇共饅首一百箇得小僧饅首三箇大僧饅首九箇共饅首三百箇兩下相較則小僧人數與饅首數同為三彼此減盡大僧饅首數比人數多八共饅首數比共人數多二百爰以多八為一率大僧一人為二率多二百為三率得四率二十五人即大僧數於共一百人内減之餘七十五人即小僧數如以大僧饅首三箇為二率得四率七十五箇即大僧饅首數於共饅首一百箇内減之餘二十五箇即小僧饅首數也若欲先得小僧數則以大僧一人饅首三箇移於前小僧三人饅首一箇移於後乃以下大僧饅首三箇遍乗上大僧一人小僧三人共僧一百人得大僧三人小僧九人共僧三百人又以上大僧一人遍乗下大僧饅首三箇小僧饅首一箇共饅首一百箇仍得原數兩下相較則大僧與大僧饅首同為三彼此減盡小僧饅首數比人數少八共僧饅首數比共人數少二百爰以少八為一率小僧三人為二率少二百為三率得四率七十五即小僧人數如以小僧饅首一箇為二率得四率二十五箇即小僧饅首數也此法先求大僧數而以小僧列於前者盖将小僧饅首大僧饅首共僧饅首數皆加三倍則小僧人數與饅首數相同是為每小僧一人饅首一箇夫小僧數與饅首數既相同而減盡無餘則共僧數内之共小僧數與共饅首數内之共小僧饅首數亦必相同而減盡無餘所餘者即為大僧共饅首數多於共人數之較是比每大僧一人饅首一箇所多之數是知饅首比人數多八箇而大僧為一人大僧饅首為三箇今饅首比人數多二百箇則大僧必為二十五人大僧饅首必為七十五箇也其先求小僧數而以大僧列於前者盖将大僧小僧共僧數皆加三倍則大僧數與饅首數相同是為每大僧一人饅首一箇夫大僧數與饅首數既相同而減盡無餘則共僧數内之共大僧數與共饅首數内之共大僧饅首數亦必相同而減盡無餘所餘者即為小僧饅首數少於小僧數之較是比每小僧一人饅首一箇所少之數是知少八箇而小僧為三人小僧饅首為一箇今少二百箇則小僧必為七十五人小僧饅首必為二十五箇也設如有豆三十三石共換黄米京米一十九石止云每黄米三石值豆一石每京米一石值豆三石問二色米各得㡬何法先用互乗以齊其分以黄米三石與京米一石相乗得三石為乗出之共米數即以三石乗共豆三十三石得九十九石為乗出之共豆數以京米一石乗豆一石仍得一石為乗出黄米所值之豆數以黄米三石乗豆三石得九石為乗出京米所值之豆數然後以共米一十九石用黄米值豆一石乗之仍得一十九石與乗出之共豆九十九石相較則共豆多八十石又以共米一十九石用京米值豆九石乗之得一百七十一石與乗出之共豆九十九石相較則共豆多七十二石乃以黄米值豆一石與京米值豆九石相減餘八石為一率一石為二率少七十二石為三率得四率九石即黄米數於共米十九石内減之餘十石即京米數如以多八十石為三率得四率十石亦即京米數也此法用互乗得黄米三石值豆一石京米三石值豆九石今以米三石當一石則為黄米一石值豆一石京米一石值豆九石是豆為加三倍故将共豆亦加三倍即為共米一十九石共豆九十九石而黄米一石比京米一石所值豆差八石是知豆少八石而黄米為一石今少七十二石則黄米必為九石也又豆多八石而京米為一石今多八十石則京米必為十石也又法以黄米三石京米一石共米一十九石列於上黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石列於下乃以下黄米值豆一石遍乗上黄米三石京米一石共米一十九石仍得原數又以上黄米三石遍乘下黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石得黄米值豆三石京米值豆九石共豆九十九石兩下相較則黄米與所值豆同為三石彼此減盡京米所值豆比京米多八石共豆比共米多八十石爰以多八石為一率京米一石為二率多八十石為三率得四率十石即京米數於共米一十九石内減之餘九石即黄米數也如先求黄米數則以京米一石值豆三石移於前黄米三石值豆一石移於後乃以京米值豆三石遍乗上京米一石黄米三石共米一十九石得京米三石黄米九石共米五十七石又以上京米一石遍乗下京米值豆三石黄米值豆一石共豆三十三石仍得原數兩下相較則京米與所值豆俱為三石彼此減盡黄米所值豆比黄米少八石共豆比共米少二十四石爰以少八石為一率黄米三石為二率少二十四石為三率得四率九石即黄米數也此法先求京米數而以黄米列於前者盖将京米所值豆數黄米所值豆數共米所值豆數皆加三倍則黄米數與所值豆數相同是為每黄米一石值豆一石夫黄米數與所值豆數既相同而減盡無餘則共米數内之共黄米數與共豆數内之共黄米所值豆數亦必相同而減盡無餘所餘者即為共京米所值豆數多於共京米之較是比每京米一石值豆一石所多之數是知豆比米多八石而京米為一石今豆比米多八十石則京米必為十石也其先求黄米數而以京米列於前者盖将京米黄米共米皆加三倍則京米數與所值豆數相同是為每京米一石值豆一石夫京米數與所值豆數既相同而減盡無餘則共米數内之共京米數與共豆數内之共京米所值豆數亦必相同而減盡無餘所餘者即為黄米所值豆數比黄米所少之較是比每黄米一石值豆一石所少之數是知豆比米少八石而黄米為三石今豆比米少二十四石則黄米必為九石也設如有船桅共五十七槳共二百零四但知大船毎隻三桅六槳小船每隻一桅八槳問大小船數各若干法先用互乗以齊其分以大船三桅與小船一桅相乗得三桅為乗出之共桅數即以三桅乗共槳二百零四得六百一十二為乗出之共槳數以小船一桅乗大船六槳仍得六槳為乗出大船之槳數以大船三桅乗小船八槳得二十四槳為乗出小船之槳數然後以共桅五十七用大船六槳乗之得三百四十二與乗出之共槳六百一十二相較則共槳多二百七十又以共桅五十七用小船二十四槳乘之得一千三百六十八與乗出之共槳六百一十二相較則共槳少七百五十六乃以大船六槳與小船二十四槳相減餘十八槳為一率一桅為二率少七百五十六槳為三率得四率四十二即大船桅數三歸之得十四即大船數也於共桅五十七内減大船桅數餘十五即小船桅數亦即小船數如以得二百七十槳為三率得四率十五亦即小船桅數也此法用互乗得大船三桅六槳小船三桅二十四槳今以三桅當一桅則為大船一桅六槳小船一桅二十四槳是槳為加三倍故将共槳亦加三倍即為共五十七桅共六百一十二槳而大船一桅比小船一桅差十八槳是知少十八槳而大船為一桅今少七百五十六槳則大船必為四十二桅也多十八槳而小船為一桅今多二百七十槳則小船必為十五桅也又法以小船一桅大船三桅共五十七桅列於上小船八槳大船六槳共二百零四槳列於下乃以下小船八槳遍乗上小船一桅大船三桅共五十七桅得小船八桅大船二十四桅共四百五十六桅又以上小船一桅遍乗下小船八槳大船六槳共二百零四槳仍得原數两下相較則小船桅與槳同為八彼此減盡大船桅比槳多十八共桅比共槳多二百五十二爰以多十八為一率大船三桅為二率多二百五十二為三率得四率四十二桅即大船桅數三歸之得十四即大船數於五十七桅内減去大船四十二桅餘十五桅即小船桅數亦即小船數也如欲先得小船數則以大船三桅六槳移於前小船一桅八槳移於後乃以下大船六槳遍乗上大船三桅小船一桅共五十七桅得大船十八桅小船六桅共三百四十二桅又以上大船三桅遍乗下大船六槳小船八槳共二百零四槳得大船十八槳小船二十四槳共六百一十二槳兩下相較則大船桅與槳同為十八彼此減盡小船桅比槳少十八共桅比共槳少二百七十爰以少十八為一率小船一桅為二率少二百七十為三率得四率十五桅即小船桅數亦即小船數也此法先求大船桅數而以小船列於前者盖将小船桅數大船桅數共船桅數皆加八倍則小船桅數與槳數相同是為毎小船一桅一槳夫小船桅數與槳數既相同而減盡無餘則共桅數内之小船共桅數與共槳數内之小船共槳數亦必相同而減盡無餘所餘者即為大船共桅數多於大船共槳數之較是比每大船一桅一槳所多之數是知多十八桅而大船為三桅今多二百五十二桅則大船必為四十二桅也其先求小船桅數而以大船桅數列於前者盖将大船桅數小船桅數共船桅數皆加六倍槳數皆加三倍則大船桅數與槳數相同是為大船一桅一槳夫大船桅數與槳數既相同而減盡無餘則共桅數内之大船共桅數與共槳數内之大船共槳數亦必相同而減盡無餘所餘者即為小船共桅數少於小船共槳數之較是比每小船一桅一槳所少之數是知少十八桅而小船為一桅今少二百七十桅則小船必為十五桅也設如有銀八十七兩按飯銀馬銀二項分給衆人但知三人共給二兩飯銀七人共給五兩馬銀問人數及二項銀數各若干法以三人與七人相乗得二十一人又以三人乗馬銀五兩得一十五兩七人乗飯銀二兩得一十四兩爰以十四兩與十五兩相併得二十九兩為一率二十一人為二率共銀八十七兩為三率得四率六十三人即共人數也既得其人數則以三人為一率飯銀二兩為二率共六十三人為三率得四率四十二兩為飯銀數於共銀八十七兩内減之餘四十五兩即馬銀數如以七人為一率馬銀五兩為二率共六十三人為三率得四率四十五兩亦即馬銀數也盖三人給飯銀二兩則二十一人必給飯銀十四兩七人給馬銀五兩則二十一人必給馬銀十五兩夫二十一人既給飯銀十四兩馬銀十五兩是二十一人共給銀二十九兩矣是知有二十九兩為二十一人今有八十七兩則必為六十三人也又三人共給飯銀二兩則六十三人必共給飯銀四十二兩七人共給馬銀五兩則六十三人必共給馬銀四十五兩也設如賞人飯肉共用碗一百但知二人共飯一碗三人共肉一碗問共人數及二項各用碗若干法以二人與三人相乗得六人又以二人乗肉一碗得二碗三人乗飯一碗得三碗爰以三碗二碗相併得五碗為一率六人為二率共碗一百為三率得四率一百二十人即共人數也既得共人數則以二人為一率飯碗一為二率共一百二十人為三率得四率六十為飯碗數於共碗一百内減之餘四十即肉碗數如以三人為一率得四率四十亦即肉碗數也此法因二人共飯三人共肉其數不同故用互乗以齊其分盖二人共飯一碗則六人必共飯三碗三人共肉一碗則六人必共肉二碗夫六人既共飯三碗共肉二碗是六人共用五碗矣是知有五碗為六人今有一百碗則必為一百二十人也又二人共飯一碗則一百二十人必共飯六十碗三人共肉一碗則一百二十人必共肉四十碗也設如有兵三千四百七十四名每三人給衫絹七十尺每四人給褲絹五十尺問縂絹若干法以三人與四人相乗得十二人又以三人乗褲絹五十尺得一百五十尺四人乗衫絹七十尺得二百八十尺爰以十二人為一率二百八十尺與一百五十尺相併得四百三十尺為二率兵三千四百七十四名為三率得四率一十二萬四千四百八十五尺為共絹數也此法與前同但前法以共銀數求共人數故以銀數為一率人數為二率此法以共人數求共絹數故以人數為一率絹數為二率其比例之理一也設如賞人茶飯酒共用碗一千三百三十八但知三人共茶二碗五人共酒三碗七人共飯六碗問共人數及三項各用碗若干法先以三人茶二碗五人酒三碗互乗以三人與五人相乗得一十五人又以三人乗酒三碗得九碗五人乗茶二碗得十碗是為十五人共用茶酒十九碗復與七人飯六碗互乗以十五人與七人相乗得一百零五人又以十五人乗飯六碗得九十碗七人乗茶酒共十九碗得一百三十三碗爰以一百三十三碗與九十碗相併得二百二十三碗為一率一百零五人為二率共碗一千三百三十八為三率得四率六百三十人即共人數也既得共人數乃以三人為一率茶碗二為二率共六百三十人為三率得四率四百二十為茶碗數又以五人為一率酒碗三為二率共六百三十人為三率得四率三百七十八為酒碗數又以七人為一率飯碗六為二率共六百三十人為三率得四率五百四十為飯碗數也此法因用碗三項故用兩次互乗以齊其分得一百零五人應用三項碗共二百二十三是知有二百二十三碗為一百零五人今有一千三百三十八碗則必為六百三十人也既得共人數則以各項分數比例求之即得各項碗之共數矣設如有燈大小二䓁大燈居小燈三分之二但知大燈三盞用油四兩小燈四盞用油三兩共用油十八斤零七兩問大小燈數各若干法以大燈三盞與小燈四盞相乗得十二盞又以小燈四盞乗大燈用油四兩得大燈用油十六兩以大燈三盞乗小燈用油三兩得小燈用油九兩又将大燈用油十六兩二因之(大燈二分故用二因)得三十二兩将小燈用油九兩三因之(小燈三分)(故用三因)得二十七兩二數相併得五十九兩為一率十二盞為二率共油十八斤七兩通為二百九十五兩為三率得四率六十盞為燈一分之數二因之得一百二十盞即大燈數三因之得一百八十盞即小燈數也此法因有𢃄分而互乗所得之十二盞為一分之衰數又因共油數為大燈二分小燈三分之共數故亦二因十六兩三因九兩併之為五分之衰數是知油五分之衰數五十九兩與燈一分之衰數十二盞之比即同於五分共油二百九十五兩與一分燈數六十盞之比也既得一分為六十盞故二因之得大燈數三因之得小燈數也設如有銀二十五兩三錢買銅鐡二色其重相䓁鐡三斤價四錢銅二斤價五錢問斤數及各價㡬何法以鐡三斤與銅二斤相乗得六斤又以銅二斤乗鐡價四錢得八錢以鐡三斤乗銅價五錢得一兩五錢乃以八錢與一兩五錢相併得二兩三錢為一率六斤為二率縂銀二十五兩三錢為三率得四率六十六斤為銅鐡相䓁之斤數又以鐡三斤為一率價四錢為二率今鐡六十六斤為三率得四率八兩八錢即鐡價於共銀二十五兩三錢内減之餘十六兩五錢即銅價如以銅二斤為一率價五錢為二率今銅六十六斤為三率得四率十六兩五錢亦即銅價也盖鐡三斤價四錢則六斤價八錢銅二斤價五錢則六斤價一兩五錢是銅鐡各六斤而共價為二兩三錢故以二兩三錢與各六斤之比即同於共價二十五兩三錢與各六十六斤之比也既得各斤數則以各價比例求之即得各價數矣設如有米九百石令甲乙二處各因米價貴賤納之其所納之銀適相等甲處米價每石五錢乙處米價每石七錢問各米數及共價數㡬何法以乙七錢乗甲一石得七石以甲五錢乗乙一石得五石乃以七石與五石相併得十二石為一率以甲七石為二率縂米九百石為三率得四率五百二十五石即甲處納米之數於九百石内減之餘三百七十五石即乙處納米之數如以乙五石為二率得四率三百七十五石亦即乙處納米之數以甲五百二十五石與每石價五錢相乗得二百六十二兩五錢以乙三百七十五石與每石價七錢相乗亦得二百六十二兩五錢是其所納之銀數適相䓁也盖甲處每石價五錢則七石之價為三兩五錢乙處每石價七錢則五石之價亦為三兩五錢其價相䓁是十二石之中甲應七石乙應五石故以十二石與甲七石之比即同於縂米九百石與甲五百二十五石之比又十二石與乙五石之比即同於縂米九百石與乙三百七十五石之比也設如空車一日行三十里重車一日行二十里今載米至倉徃返足一日問距倉路逺㡬何法以空車行三十里與重車行二十里相乗得六百里又以重車行二十里乗空車一日得二十日以空車行三十里乗重車一日得三十日乃以二十日與三十日相併得五十日為一率六百里為二率一日為三率得四率一十二里即距倉之里數也盖空車一日行三十里則二十日行六百里重車一日行二十里則三十日亦行六百里一徃一返共五十日是知五十日徃返六百里則今一日必徃返十二里也設如重車一日行五十里輕車一日行七十五里今載米至倉五日徃返三次問距倉里數㡬何法以重車行五十里與輕車行七十五里相乗得三千七百五十里又以輕車行七十五里乗重車一日得七十五日以重車行五十里乗輕車一日得五十日乃以七十五日與五十日相併得一百二十五日為一率三千七百五十里為二率五日為三率得四率一百五十里即五日徃返之里數以三次除之得五十里即距倉之里數也此法與前法同前法一日徃返一次故所得即距倉之里數此法五日徃返三次故所得為徃返三次之里數是以用三次除之而得距倉之里數也御製數理精藴下編卷七
## 下編卷八
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷八線部六盈朒(單法) (雙套)盈朒盈有餘也朒不足也設有餘不足以求適中亦為因較而得正數之法此固比例法也但比例以實數求實數而盈朒則以虚數求實數然虚數皆與實數相較而生盈朒之差則虚數亦實數也比例以所有之三率求所餘之一率而盈朒則所有為两數且两數之中各藏一數其實亦三率也其間有一盈一朒者則以两數相加為相較之率有两盈或两朒者則以兩數相減為相較之率有一盈一適足或一朒一適足者則無可加減而或盈或朒之數即其較也法不一致惟在相較以得其差理本一原惟在互比以得其實錯綜變幻其用不窮所謂以實御虚和較互見者庶㡬盡於此矣一盈一朒設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每人七两分之則餘四两每人九两分之則少十二两問人數及銀數各若干法以七两與九两相減餘二两為一率一人為二率盈四两與朒十二两相加共十六两為三率推得四率八即為人數以八人與每人七两相乗得五十六两加盈四两得六十两即為銀數或以八人與每人九两相乗得七十二两減朒十二两餘六十两亦為銀數也此法盖因前設分七两後設分九两是每一人多分二两也然每人分七两則縂銀盈四两每人分九两則縂銀朒十二两是盈朒相差共十六两矣夫一人多分二两而縂銀差十六两則二两為一人之所多而十六两為八人之所多可知矣故二两與一人之比同於十六两與八人之比而為比例四率也既得人數以每人七两計之則八人應得五十六两因銀尚餘四两故加四两得六十两為銀數也若以每人九两計之則八人應得七十二两因銀少十二两故減十二两餘六十两為銀數也此先得人數之法也又先得銀數之法用互乗以齊其分以九两乗盈四两為加九倍得盈三十六两以七两乗朒十二两為加七倍得朒八十四两相加得一百二十两為二率七倍與九倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率六十两即為銀數既得銀數則於六十两内減盈四两餘五十六两以每人七两除之得八為人數或於六十两加朒十二两共七十二两以每人九两除之亦得八為人數也此法以九两互乗盈四两者将盈四两加九倍也盈四两加九倍則為盈三十六两既以盈數加九倍則縂銀數與所分七两亦皆當加九倍七两加九倍則為六十三两是則九倍之縂銀每人六十三两分之盈三十六两也以七两互乗朒十二两者将朒十二两加七倍也朒十二两加七倍則為朒八十四两既以朒數加七倍則縂銀數與所分九两亦皆當加七倍九两加七倍則亦為六十三两是則七倍之縂銀每人六十三两分之朒八十四两也夫每人既皆分六十三两則是所分之加倍共銀數亦必相同然九倍銀數則盈七倍銀數則朒因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之一百二十两即此二倍之銀數也知二倍為一百二十两即知一倍之為㡬何矣故以二為一率一百二十两為二率一為三率推得四率六十两為銀數也既得銀數則於六十两内減盈四两餘五十六两即為分七两者之共數而以七两除之得八人或於六十两加朒十二两得七十二两即為分九两者之共數而以九两除之亦得八人也此先得銀數之法也又法将盈四两與朒十二两相加得十六两為一率七两與九两相減餘二两為二率盈四两為三率得四率五錢與所分七两相加得七两五錢為每人應得之數又以五錢除盈四两得八為人數或仍以十六两為一率二两為二率以朒十二两為三率得四率一两五錢與所分九两相減亦得七两五錢為每人應得之數又以一两五錢除朒十二两亦得八為人數以八人與每人七两五錢相乗得六十两為銀數也此法盖因九兩與七两相較差二两盈四两與朒十二两相併為十六两是縂銀盈朒共差十六两由於每人之多二两也今銀尚盈四两則每人分七两者其每一分應多五錢而為七两五錢矣故十六两與二两之比同於四两與五錢之比而為比例四率也且一人多五錢而共多四兩則其為八人可知矣故五錢與一人之比同於四两與八人之比亦為比例四率也若以朒數論之則縂銀共差十六两者由於每人少二两今銀朒十二两則每人分九两者其每一分應少一两五錢而為七两五錢矣且一人少一两五錢而共少十二两則其為八人又可知矣既得人數則以八人與每人七两五錢相乗得六十两而為縂銀數也此先得每一人所得銀數之法也要之第一法先求人數第二法先求物價第三法先求適足之數立法雖各不同而各先得其一一得而無不得者實由於理之一貫者也設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云每人出銀四兩則不足四兩每人出銀六兩則多六兩問人數及物價各若干法以出四兩與出六兩相減餘二兩為一率一人為二率朒四兩與盈六兩相加共十兩為三率推得四率五即為人數以五人與每人四兩相乗得二十两加朒四兩共得二十四兩即為物價或以五人與每人六兩相乗得三十兩減盈六两亦得二十四兩為物價也此法盖因前設出四兩後設出六兩是每一人多出二兩也然出四兩則朒四兩出六兩則盈六兩是盈朒相差共多十兩矣夫一人多出二兩而縂價即多十两則二两為一人之所多而十兩為㡬人之所多可知矣故以比例四率求之而得五人也既得人數以每人出四兩計之則五人應出二十两因於物價朒四兩故加四兩得二十四兩為物價若以每人出六兩計之則五人應出三十兩因於物價盈六兩故減六兩亦得二十四兩為物價也此法與首題第一法盈朒之加減不同者首題以共人所分共銀為問故分少則縂銀必盈分多則縂銀必朒其所謂盈朒者乃銀數之盈朒故得人數與分銀數相乗加盈減朒而得銀數也此以共人所出共銀為問故出少則比物價為朒出多則比物價為盈其所謂盈朒者乃出數之盈朒故得人數與出銀數相乗減盈加朒而得物價也法縂一理但加減盈朒之間少不同耳又先得銀數之法以六兩乗朒四兩為加六倍得朒二十四兩以四兩乗盈六兩為加四倍得盈二十四两相加得四十八兩為二率四倍與六倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率二十四兩即為物價既得物價則於二十四兩内減朒四兩餘二十兩以每人四兩除之得五即為人數或於二十四兩加盈六兩共三十兩以每人六兩除之亦得五為人數也此法盖将朒四兩加六倍為二十四兩則物價亦當加六倍而出四兩者亦必加六倍而為出二十四兩矣将盈六兩加四倍為二十四兩則物價亦當加四倍而出六兩者亦必加四倍而為出二十四兩矣夫每人同出二十四兩則其加倍共出之數亦必相同然比六倍物價則朒比四倍物價則盈者因六倍比四倍多二倍是盈朒相差之四十八兩即二倍物價也故以二為一率四十八兩為二率一為三率推得四率二十四兩為物價也既得物價則於二十四兩減朒四兩餘二十兩即為出四兩者所共出之數而以四兩除之得五人或於二十四兩加盈六兩共三十兩即為出六兩者所共出之數而以六两除之亦得五人也又法将朒四兩與盈六两相加共十两為一率将出四兩與出六兩相減餘二兩為二率朒四兩為三率得四率八錢與出四兩相加得四兩八錢為每人應出之數又以八錢除朒四兩得五為人數或仍以十两為一率二兩為二率盈六兩為三率得四率一兩二錢於出六兩内減之餘四兩八錢亦為每人應出之數又以一两二錢除盈六兩亦得五為人數以五人與四两八錢相乗得二十四兩為物價也此法盖因盈朒之相差十兩由於每人之多二兩今欲補足所朒之四兩則每人應多八錢若欲損所盈之六两則每人應少一兩二錢故十兩與二兩之比同於四兩與八錢之比亦同於六兩與一兩二錢之比也且一人多八錢即益所朒之四兩一人減一两二錢即損所盈之六兩則其為五人也可知矣既得人數則以五人與每人四兩八錢相乗得二十四兩而為物價之縂銀也設如衆人乗船渡河每一船載十三人則餘十二人若每一船載十八人則餘一船問共人數及船數各若干法以餘十二人為盈十二人餘一船為朒十八人乃以每船所載十三人與每船所載十八人相減餘五人為一率一船為二率盈十二人與朒十八人相加共三十人為三率推得四率六即為船數以六船與每船載十三人相乗得七十八人加盈十二人得九十為人數或以六船與每船十八人相乗得一百零八人減朒十八人亦餘九十為人數也盖每一船多載五人而盈朒相差為三十人故五人與一船之比同於三十人與六船之比也以每船十三人計之六船共載七十八人加無船之十二人共九十人以每船十八人計之六船應載一百零八人因一船無人則減去十八人餘九十人或減一船餘五船與十八人相乗亦得九十人也又先得人數之法以每船載十八人乗盈十二人為加十八倍得盈二百一十六人又以每船載十三人乗朒十八人為加十三倍得朒二百三十四人二數相加得四百五十人為二率以十三倍與十八倍相減餘五倍為一率一倍為三率推得四率九十即為人數減盈十二人餘七十八人以每船十三人除之得六為船數或於九十人加朒十八人共一百零八人以每船十八人除之亦得六為船數也盖十八人與十三人互乗皆得二百三十四人而十二人加十八倍則共人數之加十八倍者為每船二百三十四人餘二百一十六人也若以十八人加十三倍則共人數之加十三倍者為每船二百三十四人又少二百三十四人也(二百三十四人為一船所載之人分)十八倍比十三倍多五倍是盈朒相差之共四百五十人即五倍人數故五倍與四百五十人之比即如一倍與九十人之比也既得人數減去所餘之十二人以每船十三人除之得船數或加一船之十八人以每船十八人除之亦得船數焉又法将盈十二人與朒十八人相加得三十人為一率十三人與十八人相減餘五人為二率盈十二人為三率得四率二人與每船十三人相加得十五人為每船應載之數又以二人除盈十二人得六為船數或仍以三十人為一率五人為二率以朒十八人為三率得四率三人與每船十八人相減餘十五人為每船應載之數又以三人除十八人亦得六為船數以六船與每船十五人相乗得九十為人數也盖盈朒之相差三十人由每船多五人今欲合載所盈之十二人則每船十三人者應加二人而為十五人欲分載所朒之十八人則每船十八人者應減三人而為十五人也且一船加二人即合載十二人一船減三人即分載十八人則其為六船也可知矣兩盈設如有人分果不知人數亦不知果數只云每人十二枚盈十二枚每人十三枚盈六枚問人數與果數各若干法以每人十二枚與十三枚相減餘一枚為一率一人為二率以盈六枚與盈十二枚相減餘六枚為三率推得四率六為人數以六人與十二枚相乗得七十二枚加盈十二枚得八十四枚為果數若以六人與十三枚相乗得七十八枚加盈六枚亦得八十四枚為果數也盖一人多一枚而兩盈相差六枚其為六人可知故凡所分之數相減餘一者其盈朒之差即人數也又先得果數之法以十三枚乗盈十二枚為加十三倍得盈一百五十六枚以十二枚乗盈六枚為加十二倍得盈七十二枚相減餘八十四枚為二率十二倍與十三倍相減餘一倍為一率仍以一倍為三率推得四率八十四枚為果數内減盈十二枚餘七十二枚以每人十二枚除之得六為人數若於八十四枚減盈六枚餘七十八枚以每人十三枚除之亦得六為人數也盖十二倍比十三倍差一倍則盈朒相差八十四枚即一倍之果數故凡互乗差一倍者則互乗所得盈朒之差即為縂數既得人數又得縂數則以人數除縂數即得每人所分之數矣又法以兩盈數相減為一率互乗所得之兩盈數相減為二率一人為三率得四率即為每人所應得之數也此題前二法固以兩盈相減即為人數互乗所得兩盈相減即為縂數盖因十二與十三相減餘一數故也其或餘㡬數者亦即為㡬倍人數或為㡬倍縂數其以人數除縂數即同於以㡬倍人數除㡬倍縂數也設如有緞一疋欲作新帳幔一架先摺作六幅每幅比舊制長一尺二寸後摺作七幅每幅比舊制長二寸問緞之長及舊帳之長各若干法以長一尺二寸用六幅因之得盈七尺二寸以長二寸用七幅因之得盈一尺四寸乃以六幅與七幅相減餘一幅為一率一尺四寸與七尺二寸相減餘五尺八寸為二率一幅為三率推得四率五尺八寸為舊帳之長加盈一尺二寸共七尺以六幅乗之得四十二尺為緞之長也(若於五尺八寸加二寸得六尺以七幅乗之亦得四十二)(尺)盖摺作六幅每幅盈一尺二寸是六幅共盈七尺二寸也摺作七幅每幅盈二寸是七幅共盈一尺四寸也七幅比六幅多一幅而兩盈相差五尺八寸且兩盈之數皆比舊帳為盈則五尺八寸為舊帳之長可知矣既得舊帳之數則加一尺二寸而以六幅乗之即得緞之長數也或以六幅與五尺八寸相乗加盈七尺二寸亦得緞之長數盖七尺二寸者原係六因一尺二寸所得之數則加於舊帳而縂乗之與各乗其數而後加之一也若以七幅算之其理亦同又先得緞之長法以七幅乗盈七尺二寸為加七倍得盈五十尺零四寸以六幅乗盈一尺四寸為加六倍得盈八尺四寸相減餘四十二尺為二率六倍與七倍相減餘一倍為一率仍以一倍為三率推得四率四十二尺為緞之長減盈七尺二寸以六幅除之得五尺八寸為舊帳之長也(若減盈一尺四寸以七幅除之亦得五尺八寸)盖将六幅加七倍七幅加六倍皆得四十二幅是七倍緞之長比舊帳四十二幅長五十尺零四寸六倍緞之長比舊帳四十二幅長八尺四寸是兩盈相差四十二尺即一倍緞之長也既得緞之長則減其共盈數而以幅數除之即得舊帳之長或先以幅數除之而減其每幅之盈亦得舊帳之長也兩朒設如有銀買馬不知銀數亦不知馬數但云每一匹十五兩不足八十兩每一匹十三兩仍不足十六兩問馬數及銀數各若干法以十三兩與十五兩相減餘二兩為一率一馬為二率朒十六兩與朒八十兩相減餘六十四兩為三率推得四率三十二為馬數以三十二匹與每匹十五兩相乗得四百八十兩減朒八十兩得四百两為銀數若以三十二匹與每匹十三兩相乗得四百一十六兩減朒十六兩亦得四百兩為銀數也盖一馬差二兩則縂銀差六十四兩二兩與一馬之比即同於六十四兩與三十二馬之比也既得馬數則與每匹之價相乗而減其所朒之數即得銀數矣又先得銀數之法以十三兩乗朒八十兩為加十三倍得朒一千零四十兩以十五兩乗朒十六兩為加十五倍得朒二百四十兩相減餘八百两為二率十三倍與十五倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率四百兩為銀數加朒八十兩共四百八十兩以每匹十五兩除之得三十二為馬數或於四百兩加朒十六兩共四百一十六兩以每匹十三兩除之亦得三十二為馬數也盖将十五兩加十三倍十三兩加十五倍皆得一百九十五兩馬價齊同祗十三倍銀數則朒一千零四十兩十五倍銀數則朒二百四十兩是兩朒相差八百兩即二倍之銀數故以四率求之而得銀數也既得銀數則加其所朒之數以每匹之價除之即得馬數矣設如有米易布不知米數亦不知布數但云易布二十疋則米少一石易布十六疋則米仍少二斗問米數及布數各若干法以十六疋與二十疋相減餘四疋為一率二斗與一石相減餘八斗為二率一疋為三率推得四率二斗為布每疋所值米數以二斗與二十疋相乗得四石減朒一石餘三石為米數若以二斗與十六疋相乗得三石二斗減朒二斗亦餘三石為米數既得米數以每疋二斗除之得十五疋為布數也又先得米數之法以十六疋乗朒一石為加十六倍得朒十六石以二十疋乗朒二斗為加二十倍得朒四石相減餘十二石為二率十六倍與二十倍相減餘四倍為一率一倍為三率推得四率三石為米數加朒一石共四石為一率二十疋為二率三石為三率得四率十五疋為布數或於三石加朒二斗共三石二斗為一率十六疋為二率三石為三率亦得四率十五疋為布數也盖二十疋加十六倍十六疋加二十倍皆為易布三百二十疋而十六倍其米數則朒十六石二十倍其米數則朒四石是兩朒相差十二石即相差四倍之米數故以比例求之得米數也既得米數則加朒一石為四石即足易布二十疋故四石與二十疋之比同於三石與十五疋之比也或加朒二斗得三石二斗即足易布十六疋故三石二斗與十六疋之比亦同於三石與十五疋之比也又先得布數之法以朒二斗與朒一石相減餘八斗為一率十六疋與十二疋相減餘四疋為二率朒一石為三率得四率五疋與二十疋相減餘十五疋為布數又以五疋為一率朒一石為二率十五疋為三率推得四率三石為米數也若仍以八斗為一率四疋為二率朒二斗為三率則得四率一疋與十六疋相減亦得十五疋為布數又以一疋為一率二斗為二率十五疋為三率亦得四率三石為米數也此法即先求適足之理盖十五疋即適足之數也一盈一適足設如按户納糧不知户數亦不知糧數只云每户三升盈六石每户二升五合適足問人户及糧數各若干法以二升五合與三升相減餘五合為一率盈六石變為六千合為二率一户為三率推得四率一千二百為户數與每户二升五合相乗得三十石為糧數也盖每户多五合而縂糧多六石其為一千二百户可知故五合與六石之比同於一與一千二百之比也(此以一户為三率者)(二三率原可互易變之以明比例之理也)既得户數則與二升五合相乗適足三十石之數矣若以一千二百户與每户三升相乗得三十六石減盈六石亦得三十石為糧數也又先得糧數之法以二升五合乗盈六石為加二十五倍(以合為單位)得盈一百五十石以三升乗適足為加三十倍仍得適足(盖全糧一分每户二升五合而適足若将全糧加三十倍為三十分)(則二升五合亦當加三十倍為七斗五升是全糧三十分每户七斗五升仍適)(足也)故即以一百五十石為二率将二十五倍與三十倍相減餘五倍為一率一倍為三率推得四率三十石為糧數以每户二升五合除之得一千二百為户數或加盈六石為三十六石以每户三升除之亦得一千二百為户數也設如有井不知其深有繩不知其長只云将繩作三摺入井長八尺将繩作五摺入井適足問井深繩長各若干法以三摺與五摺相減餘二摺為一率長八尺用三摺因之得盈二丈四尺為二率一摺為三率推得四率一丈二尺為井深以五摺乗之得六丈為繩長或以三摺乗之加盈二丈四尺亦得六丈為繩長也盖摺作三摺每摺盈八尺是三摺共盈二丈四尺也五摺比三摺多二摺而盈與適足無可加減則盈二丈四尺即為二摺之數其一摺為一丈二尺矣井深既為五摺之一故一摺之數即為井深之數也既得井深則以五摺乗之得繩長之數或以三摺乗之加盈二丈四尺亦得繩長之數也又先得繩長之法以五摺乗盈二丈四尺為加五倍得盈一十二丈以三摺乗適足為加三倍仍得適足故即以一十二丈為二率三倍與五倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率六丈為繩長以五摺除之得一丈二尺為井深或減盈二丈四尺餘三丈六尺以三摺除之亦得一丈二尺為井深也一朒一適足設如計日登程不知日數亦不知路程只云每日行五十五里則離所欲至之地共差六十里每日行六十里適足問日數及路程各若干法以五十五里與六十里相減餘五里為一率一日為二率朒六十里為三率推得四率十二為日數與每日六十里相乗得七百二十里為路數若以日數十二與每日行五十五里相乗得六百六十里是不到六十里也加朒六十里亦得七百二十里也又先得路程之法以六十里乗朒六十里為加六十倍得朒三千六百里以五十五里乗適足為加五十五倍仍得適足故即以三千六百里為二率五十五倍與六十倍相減餘五倍為一率一倍為三率推得四率七百二十里為路程以每日六十里除之得十二為日數或於七百二十里内減朒六十里餘六百六十里以每日五十五里除之亦得十二為日數也設如有直田一段欲截一頭作園只云截長十步不足三十二步截長十二步適足問截積及原濶各若干法以十步與十二步相減餘二步為一率朒三十二步為二率一步為三率推得四率十六步為原濶與十二步相乗得一百九十二步為截積或與十步相乗加朒三十二步亦得一百九十二步為截積也盖長十步則少三十二步長十二步則適足是三十二步者即長二步與原濶相乗之積故以二步除之得原濶也既得原濶則與截長十二步相乗得截積或與截長十步相乗加朒三十二步亦得截積也又先得截積之法以十二步乗朒三十二步為加十二倍得朒三百八十四步以十步乗適足為加十倍仍得適足故即以三百八十四步為二率以十倍與十二倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率一百九十二步為截積以截長十二步除之得十六步為原濶或於一百九十二步内減朒三十二步餘一百六十步以截長十步除之亦得十六步為原濶也䨇套盈朒盈朒之法皆以每人㡬何而盈㡬何每人㡬何而朒㡬何為問其首數皆為一故以一人之較與共較為比例而得人數即欲先求共數不過用一互乗以齊其分而已故為單法若䨇套則以㡬人㡬何而盈㡬何㡬人㡬何而朒㡬何為問其首數已不同故必先用一互乗以齊之而後可以為比若欲先求共數則用两互乗是以謂之䨇套至於比例相求之理則仍與單法同也一盈一朒設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每四人分銀三兩則盈六兩每六人分銀九兩則朒三兩問人數與銀數各若干法以四人互乗九兩得三十六兩以六人互乗三兩得十八兩相減餘十八兩為一率四人六人互乗得二十四人為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率十二即為人數既得人數乃以四人為一率三兩為二率十二人為三率推得四率九兩加盈六兩得十五兩即為銀數或以六人為一率九兩為二率十二人為三率推得四率十八兩減朒三兩亦餘十五兩為銀數也此法必用互乗以齊其數者盖單法以所分數相減為一率一人為二率盈朒相加為三率今三兩為四人之所分九兩為六人之所分不可以相減而為一率也四人與六人人數不同不可以為二率也所以必用互乗以齊之一則為二十四人分十八兩雖為加六倍其比例仍同於四人分三兩也一則為二十四人分三十六兩雖為加四倍其比例仍同於六人分九兩也是以十八兩與三十六兩相減餘十八兩為二十四人之所差而盈朒差九兩即知為㡬人之所差故十八兩與二十四人之比即同於九兩與十二人之比也既得人數之後而仍用比例四率者何也盖單法所分之銀數為一人之所分故以人數與所分之銀數相乗加盈減朒而即得縂銀今則所分之銀數為四人或六人之所分故每㡬人與所分㡬何之比即如縂人與縂銀之比而得四率加盈減朒始得縂銀數也又㨗法以四人歸除三兩每一人應得七錢五分以六人歸除九兩每一人應得一兩五錢乃照盈朒單法列之為每人七錢五分分之盈六兩每人一兩五錢分之朒三兩是以七錢五分與一兩五錢相減餘七錢五分為一率一人為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率十二為人數既得人數則以一人為一率一兩五錢為二率十二人為三率推得四率十八兩減朒三兩餘十五兩為銀數也或以每人七錢五分為二率推得四率九兩加盈六兩亦得十五兩為銀數也此法以四人除三兩以六人除九兩皆為度盡之數若數有竒零度不盡者則必用互乗之法而後可又先得銀數之法以四人互乗九兩得三十六兩又以三十六兩互乗盈六兩為加三十六倍得盈二百一十六兩以六人互乗三兩得一十八兩又以一十八兩互乗朒三兩為加十八倍得朒五十四兩兩數相加得二百七十兩為二率十八倍與三十六倍相減餘十八倍為一率一倍為三率推得四率十五兩為銀數既得銀數乃以三兩為一率四人為二率十五兩減盈六兩餘九兩為三率推得四率十二為人數或以九兩為一率六人為二率十五兩加朒三兩共十八兩為三率亦得四率十二為人數也盖單法以所分之數相減為一率以所分之數互乗盈朒之數相減為二率一倍為三率得四率為銀數今則三兩為四人之所分九兩為六人之所分其數不同即三兩與九兩互乗亦皆得二十七兩而一則為三十六人分二十七兩(加九倍也)一則為十八人分二十七兩(加三倍也)其數亦仍不同不可相為比例故必以四人六人互乗為二十四人以齊其人數又必以十八與三十六互乗盈朒之數以齊其所分銀數然後人數與所分銀數俱同可以設為比例是以十八兩加三十六倍三十六兩加十八倍皆為六百四十八兩即如三十六倍其銀數則每二十四人分六百四十八兩盈二百一十六兩若十八倍其銀數則每二十四人分六百四十八兩朒五十四兩也然則盈朒相差二百七十兩即十八倍銀數之所差矣故十八倍與二百七十兩之比即同於一倍與十五兩之比而為比例四率也既得銀數而減盈加朒為比例四率者盖以所分之銀數與㡬何人之比即如減盈加朒之縂銀數與縂人數之比也又先得銀數之法以四人互乗九兩得三十六兩以六人互乗三兩得十八兩相減餘十八兩為一率以互乗所得之十八兩為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率九兩加盈六兩得十五兩為銀數(若以三十六兩為二率則得四率十)(八兩減朒三兩亦得十五兩為銀數)既得銀數則以三兩為一率四人為二率十五兩内減盈六兩餘九兩為三率推得四率十二為人數也(若以九兩為一率六人為二率十五两内加朒三兩共十八兩為三)(率亦得四率十二為人數)此法盖合兩四率而為一四率原法以十八兩為一率二十四人為二率九兩為三率得四率十二為人數又如以二十四人為一率十八兩為二率(與四人為一率三兩為二率者同因其俱為四與三之比例)十二人為三率則得四率九兩加盈六兩得十五兩為銀數今将兩四率合為一四率則前四率中省以二十四乗後四率中省以二十四除故以十八兩為一率又為二率以九兩為三率而得四率九兩加盈六兩為銀數也設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云每八人出銀七兩則盈四兩五錢每九人出銀六兩則朒三兩問人數及物價各若干法以八人互乗六兩得四十八兩以九人互乗七兩得六十三兩相減餘十五兩為一率八人九人互乗得七十二人為二率盈四兩五錢與朒三兩相加得七兩五錢為三率推得四率三十六即為人數既得人數乃以八人為一率七兩為二率三十六人為三率推得四率三十一兩五錢減盈四兩五錢餘二十七兩即為物價或以九人為一率六兩為二率三十六人為三率推得四率二十四兩加朒三兩亦得二十七兩為物價也此法用互乗以齊其數一則變為七十二人出六十三兩一則變為七十二人出四十八兩其相差十五兩是十五兩為七十二人之所差則盈朒相加之七兩五錢即知為三十六人之所差故十五兩與七十二人之比即同於七兩五錢與三十六人之比也既得人數仍用比例四率以每㡬人與所出㡬何之比即如縂人與縂銀之比而得數内減盈加朒即為物價也又先得銀數之法以八人互乗六兩得四十八兩又以四十八兩互乗盈四兩五錢為加四十八倍得盈二百一十六兩以九人互乗七兩得六十三兩又以六十三兩互乗朒三兩為加六十三倍得朒一百八十九兩二數相加得四百零五兩為二率四十八倍與六十三倍相減餘十五倍為一率一倍為三率推得四率二十七兩為銀數既得銀數乃以七兩為一率八人為二率二十七兩内加盈四兩五錢共三十一兩五錢為三率推得四率三十六為人數或以六兩為一率九人為二率於二十七兩減朒三兩餘二十四兩為三率亦得四率三十六為人數也此法用互乗以齊人數銀數而成比例故八人與九人互乗皆為七十二人以六十三兩與四十八兩互乗皆為出三千零二十四兩此數比四十八倍之物價則盈二百一十六兩比六十三倍之物價則朒一百八十九兩其盈朒之相差為四百零五兩其四十八倍與六十三倍相差為十五倍以十五倍與四百零五兩之比即同於一倍與二十七兩之比也既得銀數仍用比例四率盖以所出之銀數與㡬何人之比即如加盈減朒之縂銀數與縂人數之比也兩盈設如衆人輪班值日不知人數亦不知日數只云每四人值五日則盈二十日每八人值九日仍盈八日問人數及日數各若干法以四人互乗九日得三十六日以八人互乗五日得四十日相減餘四日為一率四人八人互乗得三十二人為二率盈八日與盈二十日相減餘十二日為三率推得四率九十六為人數既得人數乃以四人為一率五日為二率九十六人為三率推得四率一百二十日減盈二十日餘一百為日數或以八人為一率九日為二率九十六人為三率推得四率一百零八日減盈八日亦餘一百為日數也此法用互乗以齊其分一則變為三十二人值四十日一則變為三十二人值三十六日其相差為四日知四日為三十二人之所差則兩盈相減之十二日即知為九十六人之所差矣既得人數則以每㡬人與值㡬日之比即同於縂人與縂日之比而於得數之内減其所盈即為日數也又先得日數之法以四人互乗九日得三十六日又以三十六日互乗盈二十日為加三十六倍得盈七百二十日以八人互乗五日得四十日又以四十日互乗盈八日為加四十倍得盈三百二十日相減餘四百日為二率三十六倍與四十倍相減餘四倍為一率一倍為三率推得四率一百為日數既得日數乃以五日為一率四人為二率一百日内加盈二十日共一百二十日為三率推得四率九十六為人數或以九日為一率八人為二率一百日内加盈八日共一百零八日為三率亦得四率九十六為人數也盖八人四人互乗皆為三十二人三十六日四十日互乗皆為一千四百四十日然比三十六倍日數則盈七百二十日比四十倍日數則盈三百二十日二數相差為四百日三十六倍與四十倍相差為四倍知四倍之為四百日即知一倍之為一百日矣既得日數則以所值之㡬日與㡬人之比即同於加盈之縂日數與縂人數之比也兩朒設如有人分絹分之不盡只云每三人五疋少二十疋每六人九疋少十疋問人數及絹數各若干法以三人互乗九疋得二十七疋以六人互乗五疋得三十疋相減餘三疋為一率三人六人互乗得一十八人為二率朒十疋與朒二十疋相減餘十疋為三率推得四率六十為人數既得人數則以三人為一率五疋為二率六十人為三率推得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數若以六人為一率九疋為二率六十人為三率推得四率九十疋減朒十疋亦得八十疋為絹數也此法用互乗以齊其數一則變為十八人分三十疋朒二十疋一則變為十八人分二十七疋朒十疋三十疋比二十七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相差十疋知三疋為十八人之所差即知十疋為六十人之所差故三疋與十八人之比即同於十疋與六十人之比也又先得絹數之法以三人乗九疋得二十七疋六人乗五疋得三十疋相減餘三疋為一率三十疋為二率朒十疋與朒二十疋相減餘十疋為三率推得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數也(若以二十七疋為二率則求得四率九十疋減〔？〕十疋亦得八十疋)(為絹數)既得絹數則加朒二十疋共一百疋為三率五疋為一率三人為二率推得四率六十為人數也此法亦合兩四率而為一四率盖原法以三疋為一率十八人為二率十疋為三率得四率六十為人數又如以十八人為一率三十疋為二率(與三人為一率五疋為二率者同因其俱為三與五之比)(例)六十人為三率得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數今合兩四率為一四率則前四率中省以一十八乗後四率中省以一十八除也一盈一適足設如衆人支糧每三人支九石盈五十四石每四人支十四石適足問人數與糧數各若干法以三人互乗十四石得四十二石以四人互乗九石得三十六石相減餘六石為一率三人四人互乗得十二人為二率盈與適足無可加減即以盈五十四石為三率推得四率一百零八為人數既得人數乃以四人為一率十四石為二率一百零八人為三率推得四率三百七十八石為糧數或以三人為一率九石為二率一百零八人為三率推得四率三百二十四石加盈五十四石亦得三百七十八石為糧數也此法用互乗以齊其分一則變為十二人支三十六石一則變為十二人支四十二石其相差六石知六石為十二人之所差即知五十四石為一百零八人之所差矣既得人數則以每㡬人與支㡬石之比即同於縂人數與縂糧數之比也又先得糧數之法以三人互乗十四石得四十二石又以四十二石互乗盈五十四石為加四十二倍得盈二千二百六十八石以四人互乗九石得三十六石又以三十六石互乗適足為加三十六倍仍得適足故即以盈二千二百六十八石為二率三十六倍與四十二倍相減餘六倍為一率一倍為三率推得四率三百七十八石為糧數既得糧數乃以十四石為一率四人為二率三百七十八石為三率推得四率一百零八為人數或以九石為一率三人為二率三百七十八石内減盈五十四石餘三百二十四石為三率亦得四率一百零八為人數也盖三十六石與四十二石互乗皆為支一千五百一十二石然四十二倍其糧數則盈二千二百六十八石三十六倍其糧數則適足三十六倍與四十二倍差六倍知六倍之為二千二百六十八石即知一倍之為三百七十八石矣既得糧數則以所支之㡬石與㡬人之比即同於縂糧數與縂人數之比也一朒一適足設如以車運米每四車載六十石則米少六十石每三車載四十石則米適足問車數與米數各若干法以四車互乗四十石得一百六十石以三車互乗六十石得一百八十石相減餘二十石為一率三車四車互乗得十二車為二率朒與適足無可加減即以朒六十石為三率推得四率三十六為車數既得車數則以十二車為一率以互乗所得之一百六十石為二率(與三)(車為一率四十石為二率同以其俱為三與四十之比例也)三十六車為三率推得四率四百八十石為米數若将互乗所得之一百八十石為二率則得四率五百四十石減朒六十石亦得四百八十石為米數也此法互乗後一得十二車載一百八十石一得十二車載一百六十石其相差為二十石知二十石為十二車之所差即知六十石為三十六車之所差故二十石與十二車之比即同於六十石與三十六車之比也又先得米數之法欲省互乗則将兩車數變為同䓁以四車載六十石用四歸三因為三車載四十五石則兩首數同矣乃以四十石與四十五石相減餘五石為一率四十石為二率朒六十石為三率推得四率四百八十石為米數既得米數即以四十石為一率三車為二率四百八十石為三率推得四率三十六即車數也此法不用互乗止将兩首數變為同䓁極為簡㨗然必其數可以度盡為同等者方可用之若其數不能度盡則必仍用互乗之法焉御製數理精藴下編卷八
## 下編卷九
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷九線部七借衰互徵疊借互徵借衰互徵借衰互徵者有總數而無分數或有分數而無總數或無總數分數之實率而但有其盈率則不得不别借一衰數以為比例然後可以得其真數故曰借衰然而所借之衰又各不同有借於本數之中者有借於本數之外者借彼徵此借虚徵實故曰互徵葢先借各項衰數合而為總衰數以總衰數與總真數相比即若各項衰數與各項真數之比也或先借總衰數加減出各衰數之較以各衰數之較與真數之較相比即若總衰數與總真數之比也或以各衰數之較與真數之較相比即若各項衰數與各項真數之比也要之皆就比例之法而推廣之耳設如有銀一千八百兩命甲乙二人按分分之甲分比乙分有五倍問甲乙各得幾何法借一為乙衰五為甲衰併之得六為一率總銀一千八百兩為二率乙衰一為三率得四率三百兩即乙所分之數與一千八百兩相減餘一千五百兩即甲所分之數以三百兩與一千五百兩相較則甲有乙之五倍也此法既云甲有乙五倍則是甲有五分乙有一分故借一為乙衰五為甲衰倂之得六為總衰以總衰與總銀之比卽若乙一衰與乙銀一分之比也(此法卽和數比例因借衰之首故設一最)(易者以發明其理云)設如有三官接任共歴一百年第二官比前官加一倍零六年第三官比 二官加一倍少二年問每官各該幾年法借一衰為第一官年數借二衰多六年為第二官年數借四衰多十年為第三官年數倂三官衰數得七為一率倂後二官共多十六年於總年數内減之餘八十四年為二率第一官一衰為三率得四率十二年為第一官年數倍之加多六年得三十年為第二官年數又倍第二官年數減少二年得五十八年為第三官年數合三數而共為一百年也此法第一官既借一衰則第二官加一倍零六年者當借二衰多六年而第三官既比第二官又加一倍則當借四衰多十二年因少二年故借四衰多十年為第三官衰數也設如有甲乙丙三人共銀四十四兩乙比甲銀多一倍零四兩丙比甲乙二人共數又多六兩求各人銀數幾何法借一為甲衰借二多四兩為乙衰借三多十兩為丙衰倂三衰得六為一率併乙丙二人多數為十四兩於總銀内減之餘三十兩為二率甲衰一為三率得四率五兩卽甲銀倍之加多四兩得十四兩為乙銀併甲乙銀又加多六兩得二十五兩即丙銀也此法既以一為甲衰乙比甲加一倍零四兩故借二多四兩為乙衰也丙併甲乙共數多六兩故借三多十兩為丙衰也甲衰一乙衰二併之為三乙比甲多四兩丙比甲乙共數又多六兩併之為十兩也設如有甲乙二人入山採果共得三百枚但云甲數加六百枚乙數加二百枚則甲數比乙數多二倍問甲乙各得幾何法借三為甲衰借一為乙衰併之得四為一率以三百枚與六百枚二百枚相加得一千一百為二率乙衰一為三率得四率二百七十五卽乙一分之數減加數二百餘七十五卽乙數以七十五與三百枚相減餘二百二十五卽甲數以乙七十五與甲二百二十五相較則甲多二倍也此法既云甲比乙多二倍則甲為三分乙為一分故借三為甲衰一為乙衰併之為總衰作一率又以原果與兩加數相併為總數作二率葢總衰與總數之比即乙一衰與乙果一分之比也設如有銀一百九十六兩買駝四匹馬六匹驢十頭馬比驢價加一倍零二兩駝比馬價加一倍零四兩問各價銀若干法借一衰為驢價以驢十因之得十借二衰多二兩為馬價以馬六因之得十二衰多十二兩(一馬多二兩六馬故多十二兩)借四衰多八兩為駝價以駝四因之得十六衰多三十二兩(一駝多八兩四駝故多三十二兩)併三色衰數(驢十馬十二駝十六)共三十八為一率又併駝馬多價(駝三十二兩馬十二兩)共四十四兩於總銀内減之餘一百五十二兩為二率驢一衰為三率得四率四兩即驢一頭之價倍之加多二兩得十兩即馬一匹之價又倍之加多四兩得二十四兩即駝一匹之價也此法既借一衰為驢價馬比驢加一倍零二兩故借二衰多二兩為馬價也駝比馬又加一倍當借四衰多四兩再加多馬四兩則四衰多八兩為駝價也乃以各數因之(驢十馬六駝四)故得各項總衰數也設如問一人歳數答曰我比弟長二年父年倍我仍多兩歳伯父兼我三人歳數再加四年整百歳問四人各得年數幾何法借一衰為其弟歳數借一衰零二年為本人歳數倍之得二衰零四年再加多兩歳得二衰零六年為其父歳數總併之得四衰零八年為其伯之歳數即以四衰為一率八年四年相併得十二年與百歳相減餘八十八年為二率其弟一衰為三率得四率二十二即其弟之歳數加長二年得二十四即本人之歳數倍本人歳數再加多兩歳得五十即其父之歳數併三人歳數得九十六即其伯之歳數再加四年是為整百歳也此法既借一衰為其弟歳數本人較長二年故借一衰零二年為本人歳數也其父年比本人加倍又多兩嵗故借二衰零六年為其父歳數也(加倍為二衰零四年)(又加多兩歳故為二衰零六年也)將三人歳數相併得四衰零八年為其伯之歳數再加四年方整百嵗則減四年又減所零之八年餘八十八年即四衰相當之數也設如漏壺一具上有渴烏注水凡十二時而滿下有一孔通天池洩水凡十八時而盡若上注下洩問幾時可得水滿法以十二時與十八時相乘得二百一十六時卽借二百一十六分為壺水衰數又以十二時與十八時相減餘六時卽借六分為一時水滿分數乃以六分為一率一時為二率二百一十六分為三率得四率三十六卽是水滿一壺之時也此法以十二時乘十八時者卽借一壺水作二百一十六分算也十二時滿二百一十六分則一時滿十八分十八時盡二百一十六分則一時洩十二分一時滿十八分而洩十二分則壺中所存止得六分故以十二減十八餘六分為一時所滿之水也滿水六分既得一時則壺中滿二百一十六分而得三十六時矣設如漏壺一座注水於内下有三孔大孔流水二時而盡中孔流水三時而盡小孔流水六時而盡若三孔齊開問水幾時可盡法以大孔之二時乘中孔之三時得六時又以小孔之六時乘之得三十六時卽借三十六分為壺水總衰數以大孔二時除之得十八分以中孔三時除之得十二分以小孔六時除之得六分併三數得三十六為一率一時為二率借衰三十六為三率得四率一時卽一時水可盡也此法葢以三色之數連乘為共分其大孔二時流盡則一時流十八分中孔三時流盡則一時流十二分小孔六時流盡則一時流六分故併三數而為一時所流者有三十六分今壺水止有三十六分故一時可以流盡也設如有人自鄉上城共一百二十里今行尚未到若以行過路六分之一與餘路三分之一相加便是到城里數問該若干法借十五衰為一率一百二十里為二率餘路三分卽借三衰為三率得四率二十四里卽到城里數也此法借十五衰為一率者因餘路取三分之一尚餘二分又取行過路六分之一補足餘路二分之數是行過路之一分卽抵餘路之二分也今將餘路一分借一衰則行過路一分當借二衰六分則當借十二衰再加餘路三衰是共得十五衰故十五衰與一百二十里之比卽餘路三分與二十四里之比也(每分該八里)設如有井深至底二丈六尺不知水深若干但云自水面向上取三分之一從水面往下取四分之一相併便是水深數問該幾何法借十三衰為一率二丈六尺為二率自水面往下四分卽借四衰為三率得四率八尺卽水之深也此法借十三衰為一率者因水面往下取四分之一尚餘三分又取水面向上三分之一補足水面下三分之數是水面上之一分卽準水面下之三分也今將水面下一分借一衰則水面上一分當借三衰一分借三衰則三分必當借九衰再加水面下四衰是共得十三衰故十三衰與二丈六尺之比卽水面下四分與八尺之比也設如有人問此時係何時刻答曰自子正到此時時刻折半與自此時到午正三分之一相加便是此時時刻法借二衰為自子正到此時衰數(時折半者)(定為一衰今用全數故借二衰)又借三衰為自此時到午正衰數(三分故借三衰因三分之一與折半之數相等故亦將一)(分借一衰)併之得五衰為子正到午正之分為一率又計子正到午正得十二小時因化為七百二十分為二率自子正到此時二衰為三率得四率二百八十八分收為四小時三刻三分即定為寅正三刻三分也此法因題言自子正到此時時刻折半故以折半數借為一衰今用全數為自子正起算故借二衰題又言到午正時刻三分之一與折半之數相加則是折半數即與三分之一之數相等故將三分亦借為三衰是子正到午正共為五衰矣計子正到午正時刻得七百二十分故五衰與七百二十分之比即二衰與二百八十八分之比既得二百八十八分收為四小時三刻三分即自子正到寅正三刻三分也設如有人問到日落得幾時答曰自日出到此時時刻取四分之一從此時到日落時刻折半兩數相加即是此時時分法借二衰為自此時到日落時衰數(時折)(半者借一衰今用全數故借二衰)又借四衰為自日出到此時衰數(四分故借四衰因四分之一與折半之數相等故亦)(將一分借一衰)併之得六衰為一率又察晝夜長短如自日出至日落止有十小時卽化作六百分為二率自此時到日落二衰為三率得四率二百分收為三小時一刻五分即到日落之時分也此法因題言自此時到日落時刻折半故以折半數借為一衰今用全數則當借為二衰題又言自日出到此時四分之一與折半之數相加則是折半數即與四分之一之數相等故將四分亦借為四衰是日出到日落共為六衰矣如日出至日落時刻得六百分則六衰與六百分之比即二衰與二百分之比故以二百分收為三時一刻五分也設如有羊一羣不知數目但云賣去三分之一又分四分之一另為一羣下餘一千隻問原共數幾何法以兩分母相乘得十二為總衰内減三分之一餘八又減四分之一餘五為一率一千為二率總衰十二為三率得四率二千四百即共數也此法因題言三分之一四分之一兩分子同分母不同故以兩分母相乘為總衰分内減三分之一又減四分之一所餘五即如總數分十二分而一千為其五分也故五衰與一千之比即如十二衰與二千四百之比也設如有羊一羣不知數目但云賞人七分之五又將所餘者賣五分之三尚餘八百隻問原共數若干法以兩分母相乘得三十五為總羊衰數内去七分之五餘一十(將三十五分為七分每分)(得五今去五分為二十五故仍餘一十也)又將一十為所餘羊衰數内去五分之三餘四(將一十分為五分每)(分得二今去三分為六故仍餘四也)卽以四為一率所餘羊八百隻為二率總衰三十五為三率得四率七千卽原羊共數也此法葢因共數為七千内去七分之五是去五千餘二千又將二千去五分之三是去一千二百仍餘八百故借總衰三十五内去七分之五所餘又去五分之三而得餘衰四以餘衰四與餘羊八百之比卽若總衰三十五與總羊七千之比也此法與前法㣲異者前法雖有三分四分之不同是於總數中計分故其為分則一此法賞人七分之五者是去總數内七分之五而賣五分之三者乃賞人後所餘之五分之三也立法少異故借衰中總分餘分相減亦别至減餘歸四率其比例仍同也設如有田七百四十二畝内有耕者種者耘者種者比耕者得十分之七耘者比種者得五分之三問每項各幾何法以兩分母兩分子互相連乘共得一千零五十為耕者衰數此數十分之取其七分得七百三十五為種者衰數此數五分之取其三分得四百四十一為耘者衰數併三衰數得二千二百二十六為一率七百四十二畝為二率以耕者衰數一千零五十為三率得四率三百五十畝即所耕之田以種者衰數七百三十五為三率得四率二百四十五畝即所種之田以耘者衰數四百四十一為三率得四率一百四十七畝即所耘之田也此法因分母分子皆不同恐借數有竒零故即以本題分數連乘之得數後仍依各項分之則衰數無竒零而各分各數俱可比例而得矣設如逺望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分之二下尚露五分之一問共髙若干法先借一數可分為三分五分者乃借三十為總衰此數三分之二得二十又五分之一得六兩數相加得二十六與總衰三十相減餘四為一率上露三丈二尺為二率總衰三十為三率得四率二十四丈卽塔之髙也此法以減餘四衰與上露三丈二尺之比卽總衰三十與塔總髙二十四丈之比也二十四丈三分之二得十六丈五分之一得四丈八尺相加得二十丈零八尺又加上露三丈二尺則共二十四丈也又法於借衰三十内減去三分之二(減去)(二十)又減五分之一(減去六)餘四衰卽以四衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰為八尺也一衰為八尺則三十衰自得二百四十尺矣設如有木匠與瓦匠小工三項分工價瓦匠得木匠五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多一兩二錢問每項工價若干法以兩分母兩分子連乘共得四十為木匠衰數此數五分之二得十六為瓦匠衰數四分之一得十為小工衰數又將十六衰與十衰相減餘六為一率多一兩二錢為二率木匠衰數四十為三率得四率八兩卽木匠價取五分之二得三兩二錢卽瓦匠價取四分之一得二兩卽小工價以二兩與三兩二錢相減餘一兩二錢卽瓦匠多於小工之數也此法亦以題中分母分子連乘作衰數但用瓦匠比小工所多衰數銀數與木匠衰數銀數為比例何也葢各項衰數與各項銀數之比皆同今瓦匠衰數與小工衰數之比卽瓦匠銀數與小工銀數之比也又瓦匠衰數多於小工衰數之六與瓦匠銀數多於小工銀數一兩二錢之比卽同於小工衰數與小工銀數之比又即同於木匠衰數與木匠銀數之比故直以六衰與多一兩二錢為一率二率也設如有金不足色欲煉成上等好金第一次入爐煅去三分之一第二次入爐煅去四分之一第三次入爐煅去五分之一第四次入爐煅去六分之一方淨剩上等好金二十七兩問原金幾何法借三分四分五分六分俱分得盡之六十為原金總衰此數三分之一得二十四分之一得十五五分之一得十二六分之一得十四數相併得五十七與原借數六十相減餘三為一率淨剩金二十七兩為二率總衰六十為三率得四率五百四十兩卽原金數也此法因原金中鎔銷四次所餘二十七兩故借衰中亦減去四次之數所餘為三衰以三衰與二十七兩之比卽六十衰與五百四十兩之比也設如有銅不知斤數但云取七分之三作上等儀器又取所餘之五分之二作中等儀器又取所餘之四分之一作三等儀器仍餘五十四斤問原銅共數幾何法以三分母連乘得一百四十為總銅衰數取其七分之三餘八十為二次餘銅衰數(一百四十分為七分每分二十今去三分為六十仍餘八十也)又將所餘八十取其五分之二餘四十八為三次餘銅衰數(八十分為五分每分十六今去二分)(為三十二仍餘四十八也)又將所餘四十八取其四分之一餘三十六為所餘衰數(四十八分為四)(分每分十二今去一分十二仍餘三十六也)即以三十六為一率餘銅五十四斤為二率總衰一百四十為三率得四率二百一十斤卽原銅共數也葢二百一十斤内去七分之三是去九十斤餘一百二十斤又將一百二十斤内去五分之二是去四十八斤餘七十二斤又將七十二斤内去四分之一是去十八斤餘五十四斤而與原剩數合也此法亦是按節次另定分數與均分者不同故立衰數亦按節次減去取其餘衰三十六與餘銅五十四斤之比卽若總衰一百四十與總銅二百一十斤之比也設如問一老人嵗數但云加三分之二減四分之一得一百三十六歳求其嵗數幾何法借十二為總衰數此數三分之二為八四分之一為三於總衰十二内加八減三得十七為一率一百三十六嵗為二率總衰十二為三率得四率九十六嵗即老人嵗數也此法借十二衰即三分與四分相乘之數三分四分俱可以分盡也於總衰十二内加八即加三分之二也又減三即減四分之一也所得十七即加減衰數也以加減衰數與加減年數之比即若所借總衰與所得歳數之比也設如有一數但云其數二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共併為五百二十二問原數幾何法先借一數可分為二分三分四分五分六分者乃借六十為總衰數此數依法剖之其二分之一為三十其三分之一為二十其四分之一為十五其五分之一為十二其六分之一為十併之得八十七為一率共併數五百二十二為二率總衰六十為三率得四率三百六十即原數也此法借數六十與原數為比者因原數隱而未露故虚借一數作比例以互徵之葢併數八十七者原數為六十併數五百二十二者原數為三百六十其比例同也設如有馬一羣但云加一倍又加二分之一又加三分之一又加四分之一又加一併原數共一百一十二匹問原數幾何法先借一數可分為二分三分四分者乃借十二為衰數此數加一倍得二十四又加二分之一為六又加三分之一為四又加四分之一為三共得三十七為一率共數一百一十二減一餘一百一十一為二率衰數十二為三率得四率三十六即原數也此法與前法同但題中又加一匹是真數也故於總數内減去一匹為比例蓋加分所得衰數三十七與加分所得共數一百一十一之比即若所借原衰十二與原數三十六之比也設如一人為商三次第一次得利比本為三分之二將利加入本銀第二次得利比本為四分之三又將此利加入本銀第三次得利比本為五分之三三次本利共銀一千四百兩問原本銀若干法借六十為本銀衰數取其三分之二得四十與六十相加得一百又將一百取其四分之三得七十五與一百相加得一百七十五又將一百七十五取其五分之三得一百零五與一百七十五相加得二百八十為一率本利共銀一千四百兩為二率原借衰數六十為三率得四率三百兩即原本銀數也葢三百兩三分之二得二百與本銀相加得五百於五百内取四分之三得三百七十五仍與五百相加得八百七十五於八百七十五内取五分之三得五百二十五仍與八百七十五相加得一千四百以合原數其借六十為本銀衰數加三分之二得一百即第一次本利共衰也又加四分之三得一百七十五即第二次本利共衰也又加五分之三得二百八十即第三次本利共衰也以本利共衰與本利共銀之比即如本銀借衰與原有本銀之比也疊借互徵疊借互徵者因原問内設數隱伏一次借衰尚不能得其真數故不得不借兩數以比較之先借一數與原數相較復借一數與原數相較然後據兩較以立算而真數可得故曰疊借葢以疊借之數比原問之數或多或少乃作盈朒法算之以求兩借數之較也故其較之一多一少者用加或兩較俱多兩較俱少者用減一如盈朒之例以兩差數之較與兩借數之較為比而得借數與真數之較或以兩借數互乘兩差數以兩差數之較與互乘所得兩差數之較為比而得所求之真數其法雖繁實有條理亦借數之巧也設如有銀一百兩命甲丙丁三人分之甲比丙多一倍丙比丁多二倍問毎人應得幾何法先借十二兩為甲銀衰數則丙應得六兩(比甲少一倍)丁應得二兩(比丙少二倍)併三數得二十兩與原銀一百兩相較少八十兩再借二十四兩為甲銀衰數則丙應得十二兩(比甲少一倍)丁應得四兩(比丙少二)(倍)併三數得四十兩與原銀一百兩相較仍少六十兩乃以前借數十二兩少八十兩書於右後借數二十四兩少六十兩書於左作兩不足法算之於是兩少數相減餘二十兩為一率兩借數相減餘十二兩為二率前借數與原數相較之少八十兩為三率得四率四十八兩加入前借數十二兩共得六十兩即甲銀數或以後借數與原數相較之少六十兩為三率得四率三十六兩加入後借數二十四兩亦得六十兩為甲銀數既得甲銀數減一倍得三十兩即丙銀數再取丙銀三分之一得十兩即丁銀數也(因丙銀比丁銀多二倍故於丙銀中取三分之一即丁銀)此法先借一人銀數加減出三人銀數與原總銀相較得其差數又借一人銀數加減出三人銀數又與原總銀相較復得一差數爰將兩借數相減是得甲一人兩借數之較也又將兩差數相減(因兩)(差俱少故相減如一多一少則相加)是得三人兩差數之較也乃以比例求之以三人兩差數之較比一人兩借數之較即同於三人共數與原總銀之差比一人借數與本銀之差也故以二十兩與十二兩之比同於八十兩與四十八兩之比為借數十二兩少於甲本銀之差數或以二十兩與十二兩之比同於六十兩與三十六兩之比為借數二十四兩少於甲本銀之差數各與借數相加皆得甲本銀數也(因其為少故與借數相加若差數為多則與借數相減)此即盈朒先求適足之法葢兩少數相差二十兩由於兩借數之相差十二兩如欲補足所少之八十兩則應加四十八兩或欲補足所少之六十兩則應加三十六兩也又如欲借兩數所得差數一多一少用相加立算則先借四十八兩為甲銀衰數丙應得二十四兩丁應得八兩併三數得八十兩與原銀一百兩相較少二十兩再借六十六兩為甲銀衰數丙應得三十三兩丁應得十一兩併三數得一百一十兩與原銀一百兩相較則多十兩乃以前借數四十八兩少二十兩書於右後借數六十六兩多十兩書於左作一盈一朒法算之於是一多數一少數相加得三十兩為一率兩借數相減餘十八兩為二率前借數與原數相較之少二十兩為三率得四率十二兩加入前借數四十八兩共得六十兩即甲銀數如以後借數與原數相較之多十兩為三率得四率六兩與後借數六十六兩相減亦得六十兩為甲銀數既得甲銀數其丙丁銀數按分遞減之即得矣又法既得兩借數之差用互乘以齊其分以前借數四十八兩互乘後多十兩為加四十八倍得多四百八十兩以後借數六十六兩互乘前少二十兩為加六十六倍得少一千三百二十兩乃以互乘所得一多一少兩數相加得一千八百兩為二率原一多一少兩數相加得三十兩為一率一人為三率得四率六十兩即甲銀數也葢所加四十八倍與六十六倍相差為十八倍則互乘所得一多一少兩數相差之一千八百兩即十八倍總銀數也(見盈朒法)然甲銀為總銀之三十分之十八(蓋兩差數之較為三十則兩借數之)(較為十八少數為二十則借數加一十二多數為一十則借數減六皆三十與)(十八之比例也)必為十八倍總銀之三十分之一(葢三十分之十八者將總銀分為三十分而得其十八分也若十八倍總)(銀則其一分即十八也)故以三十分與一千八百兩之比即同於一分與六十兩之比即甲銀數也設如有香爐二座不言重數但知爐葢一個重一百五十斤如以葢加甲爐則重於乙爐二倍以葢加乙爐乃與甲爐相等求甲乙二爐各重幾何法先借三十斤為甲爐衰數加葢一百五十斤共一百八十斤内取三分之一得六十斤為乙爐衰數(因甲爐加葢比乙爐重二倍故)(以乙爐衰數定為甲爐衰數加葢之三分之一)以乙爐衰數加葢一百五十斤共二百一十斤比所借甲爐衰數三十斤多一百八十斤則是所借甲爐衰數三十斤少一百八十斤再借九十斤為甲爐衰數加葢一百五十斤共二百四十斤内取三分之一得八十斤為乙爐衰數以乙爐衰數加葢一百五十斤共二百三十斤比所借甲爐衰數九十斤多一百四十斤則是所借甲爐衰數九十斤少一百四十斤乃以前借甲爐衰數三十斤少一百八十斤書於右後借甲爐衰數九十斤少一百四十斤書於左作兩朒法算之於是兩少數相減餘四十斤為一率兩借數相減餘六十斤為二率前借數與原數相較之少一百八十斤為三率得四率二百七十斤加入前借數三十斤共三百斤即甲爐之重加葢一百五十斤共四百五十斤内取三分之一得一百五十斤即乙爐之重加葢一百五十斤共三百斤與甲爐相等也又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三十斤互乗後少一百四十斤為加三十倍得少四千二百斤以後借數九十斤互乘前少一百八十斤為加九十倍得少一萬六千二百斤乃以互乗所得兩少數相減餘一萬二千斤為二率原兩少數相減餘四十斤為一率甲爐一為三率得四率三百斤即甲爐之重數也葢所加三十倍與九十倍相差為六十倍則互乗所得兩少數相差之一萬二千斤即六十倍總差數也然甲爐重數為總差數之四十分之六十(蓋兩差數之較為四十則兩借數之較為六十少數為一百八十則)(借數加二百七十皆四十與六十之比例也)必為六十倍總差數之四十分之一(葢四十分之六十者將總差數分為)(四十分而得其六十分也若六十倍總差數則其一分即六十分也)故以四十分與一萬二千斤之比即同於一分與三百斤之比也設如有銅鑄甲乙二鐘未稱斤數但云取乙鐘銅八十斤入甲鐘則所餘得甲鐘四分之一若取甲鐘銅八十斤入乙鐘則所餘得乙鐘三分之二問二鐘各得銅數若干法先借一百二十斤為甲鐘衰數取乙鐘銅八十斤加入甲鐘則甲鐘得二百斤此數四分之得五十斤(因取乙鐘銅八十斤入甲)(鐘所餘得甲鐘之四分之一故四分之為乙鐘之一分)加八十斤得一百三十斤為乙鐘衰數(此乙鐘未取八十斤)(入甲鐘時得一百三十斤也)若取甲鐘銅八十斤加入乙鐘則乙鐘得二百一十斤而甲鐘止餘四十斤(甲鐘一百二十斤中去八十斤故餘四十斤)加一半二十斤得六十斤為乙鐘數(因取甲鐘)(銅八十斤入乙鐘所餘得乙鐘三分之二故四十斤為三分之二而加一分為)(二十斤共六十斤為乙鐘數)而與乙鐘二百一十斤相較則少一百五十斤再借三百六十斤為甲鐘衰數取乙鐘銅八十斤加入甲鐘則甲鐘得四百四十斤此數四分之得一百一十斤(因取乙鐘銅八十斤入甲鐘所餘得甲鐘)(之四分之一故四分之為乙鐘之一分)加八十斤得一百九十斤為乙鐘衰數(此乙鐘未取八十斤入甲鐘時得一)(百九十斤也)若取甲鐘銅八十斤加入乙鐘則乙鐘得二百七十斤而甲鐘止餘二百八十斤(甲鐘三百六十斤中去八十斤故餘二百八十斤)加一半一百四十斤得四百二十斤為乙鐘數(因取甲鐘銅八十斤入乙鐘所餘得乙鐘三分之二故二百八十斤)(為三分之二而加一分為一百四十斤共四百二十斤為乙鐘數)而與乙鐘二百七十斤相較則多一百五十斤乃將前借數一百二十斤少一百五十斤書於右後借數三百六十斤多一百五十斤書於左用盈朒法算之於是以一多一少兩數相加得三百為一率兩借數相減餘二百四十為二率前借數與乙衰相較之少一百五十斤為三率得四率一百二十斤加前借數一百二十斤共二百四十斤為甲鐘斤數加入乙鐘銅八十斤為三百二十斤四分之得八十斤(既取乙鐘銅八十斤入甲鐘故餘此數)再加入甲鐘銅八十斤得一百六十斤為乙鐘斤數也又法既得兩借數之差用互乘以齊其分以前借數一百二十斤互乘後多一百五十斤為加一百二十倍得多一萬八千斤以後借數三百六十斤互乗前少一百五十斤為加三百六十倍得少五萬四千斤乃以互乘所得一多一少兩數相加得七萬二千斤為二率原一多一少兩數相加得三百斤為一率甲鐘一為三率得四率二百四十斤即甲鐘重數也葢所加一百二十倍與三百六十倍相差為二百四十倍則互乘所得一多一少兩數相加之七萬二千斤即二百四十倍總差數也然甲鐘重數為總差數之三百分之二百四十必為二百四十倍總差數之三百分之一故以三百分與七萬二千斤之比即同於一分與二百四十斤之比也設如甲丙二人入山採礦皆不知所得之數但云甲與丙二十四兩則所餘得丙之四分之一若丙與甲三十兩則所餘得甲之六分之一問兩人各得之數若干法先借四十兩為丙之衰數加甲與二十四兩得六十四兩此數四分之得十六兩(因甲得丙四分之一故將丙數四分也)加二十四兩得四十兩為甲之衰數(因甲與丙二十四兩所餘得丙)(四分之一故仍以二十四兩加入為甲衰數也)若丙與甲三十兩則甲得七十兩而丙止餘十兩六因之得六十兩為甲數(因丙與甲三十兩所餘得甲六分之)(一故將丙之十兩六因之為甲數)而與甲七十兩相較則少十兩再借六十兩為丙之衰數加甲與二十四兩得八十四兩此數四分之得二十一兩加二十四兩得四十五兩為甲之衰數(其所加所分之故同前)若丙與甲三十兩則甲得七十五兩而丙止餘三十兩六因之得一百八十兩而與甲七十五兩相較又多一百零五兩乃將前借數四十兩少十兩書於右後借數六十兩多一百零五兩書於左用盈朒法算之於是以一多一少兩數相加得一百一十五為一率兩借數相減餘二十為二率前借數與甲相較之少十兩為三率得四率一兩七錢三分九釐一毫有餘加前借數四十兩共四十一兩七錢三分九釐一毫有餘為丙所得之數此數加二十四兩得六十五兩七錢三分九釐一毫有餘再四分之得一十六兩四錢三分四釐七毫有餘(因甲得丙銀四分之)(一故四分之)加入二十四兩得四十兩四錢三分四釐七毫有餘為甲所得之數(甲既)(與丙二十四兩故止剰一十六兩有餘若未與丙二十四兩其全數則四十兩)(有餘也)若將甲數加三十兩得七十兩四錢三分四釐七毫有餘將丙數減三十兩得十一兩七錢三分九釐一毫有餘此丙十一兩七錢三分九釐一毫有餘即為甲七十兩四錢三分四釐七毫有餘之六分之一也(因丙與甲三十兩則丙數居甲數之六分)(之一故將四十兩有餘再加八丙三十兩得七十兩有餘則丙數内減去三十)(兩止得十一兩有餘故為甲數之六分之一也)又法既得兩借數之差用互乘以齊其分以前借數四十兩互乘後多一百零五兩為加四十倍得多四千二百兩以後借數六十兩互乗前少十兩為加六十倍得少六百兩乃以互乗所得一多一少兩數相加得四千八百兩為二率原一多一少兩數相加得一百一十五兩為一率一人為三率得四率四十一兩七錢三分九釐一毫有餘即丙所得之數也葢所加四十倍與六十倍相差為二十倍則互乗所得一多一少兩數相加之四千八百兩即二十倍總差數也然丙數為總差數之一百一十五分之二十必為二十倍總差數之一百一十五分之一故以一百一十五分與四千八百兩之比即同於一分與四十一兩七錢三分九釐一毫有餘之比也設如有銅缸磁缸二面若於銅缸内添水五十斤則比磁缸内水多二倍若於磁缸内添水五十斤則與銅缸内水數相等問二缸各得水數若干法先借十斤為銅缸水之衰數加五十斤得六十斤此數三分之得二十斤為磁缸水之衰數(因銅缸加五十斤則比磁缸水多二倍故三分)(之為磁缸水衰數也)以磁缸水衰數加五十斤得七十斤(因磁缸加五十斤與銅缸水相等故亦加五十斤)比所借銅缸水之衰數十斤多六十斤則是所借銅缸水之衰數十斤少六十斤再借二十二斤為銅缸水之衰數加五十斤得七十二斤此數三分之得二十四斤為磁缸水之衰數以磁缸水衰數加五十斤得七十四斤比所借銅缸水之衰數二十二斤多五十二斤則是所借銅缸水之衰數二十二斤少五十二斤乃以前借數十斤少六十斤書於右後借數二十二斤少五十二斤書於左作兩朒法算之於是兩少數相減餘八斤為一率兩借數相減餘十二斤為二率前借數與銅缸相較之少六十斤為三率得四率九十斤加入前借數十斤共一百斤即銅缸之水數加五十斤得一百五十斤三分之得五十斤即磁缸之水數以磁缸水數加五十斤亦得一百斤與銅缸水數相等也又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數十斤互乗後少五十二斤為加十倍得少五百二十斤以後借數二十二斤互乗前少六十斤為加二十二倍得少一千三百二十斤乃以互乗所得兩少數相減餘八百斤為二率原兩少數相減餘八斤為一率銅缸一為三率得四率一百斤即銅缸之水數也葢所加十倍與二十二倍相差為十二倍則互乗所得兩少數相差之八百斤即十二倍總差數也然銅缸水數為總差數之八分之十二必為十二倍總差數之八分之一故以八分與八百斤之比即同於一分與一百斤之比也設如有羊三羣甲羣四百隻丙羣為甲丁兩羣二分之一丁羣為甲丙兩羣三分之一問丙丁兩羣羊數各若干法先借三百隻為丙羣衰數丙羣既為甲丁兩羣二分之一則甲丁兩羣當有六百隻内減甲羣四百隻餘二百隻為丁羣衰數又併甲丙二羣得七百隻丁羣既為甲丙兩羣三分之一則將丁羣二百隻三因之得六百隻與甲丙兩羣七百隻相較則少一百隻再借二百四十隻為丙羣衰數丙羣既為甲丁兩羣二分之一則甲丁兩羣當有四百八十隻内減甲羣四百隻餘八十隻為丁羣衰數又併甲丙二羣得六百四十隻丁羣既為甲丙兩羣三分之一則將丁羣八十隻三因之得二百四十隻與甲丙兩羣六百四十隻相較則少四百隻乃將前借數三百隻少一百隻書於右後借數二百四十隻少四百隻書於左用兩不足法算之於是以兩少數相減餘三百隻為一率兩借數相減餘六十隻為二率前借數與甲丙兩羣相較之少一百隻為三率得四率二十隻加前借數三百隻共三百二十隻即丙羣之羊數加入甲羣四百隻得七百二十隻三分之得二百四十隻即丁羣之羊數也若併甲丁兩羣得六百四十隻折半得三百二十隻即丙羣為甲丁兩羣二分之一也又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三百隻互乗後少四百隻為加三百倍得少一十二萬隻以後借數二百四十隻互乗前少一百隻為加二百四十倍得少二萬四千隻乃以互乗所得兩少數相減餘九萬六千隻為二率原兩少數相減餘三百隻為一率丙一羣為三率得四率三百二十隻即丙羣之羊數也葢所加三百倍與二百四十倍相差為六十倍則互乗所得兩少數相差之九萬六千隻即六十倍總差數也然丙羣為總差數之三百分之六十必為六十倍總差數之三百分之一故以三百分與九萬六千隻之比即同於一分與三百二十隻之比也設如有田一百畝令甲乙二人分耕若以甲田三分之一與乙以乙田五分之一與甲則各得五十畝問甲乙原田數各若干法先借三十畝為甲原田之衰數此數與一百畝相減餘七十畝為乙原田之衰數甲原田三十畝之三分之一為十畝乙原田七十畝之五分之一為十四畝若甲與乙十畝乙與甲十四畝則甲得田三十四畝(甲三十畝與乙十畝餘二十畝又得乙所與十)(四畝故為三十四畝)與各五十畝相比則甲少十六畝再借六十畝為甲原田之衰數此數與一百畝相減餘四十畝為乙原田之衰數甲原田六十畝之三分之一為二十畝乙原田四十畝之五分之一為八畝若甲與乙二十畝乙與甲八畝則甲得田四十八畝(甲六十畝與乙二十畝餘四十畝又得乙)(所與八畝故為四十八畝)與各五十畝相比則甲少二畝乃將前借數三十畝少十六畝書於右後借數六十畝少二畝書於左用兩不足法算之於是以兩少數相減得十四畝為一率兩借數相減餘三十畝為二率前借數與五十畝相較之少十六畝為三率得四率三十四畝二分八釐有餘加前借數三十畝共六十四畝二分八釐有餘即甲原田之數與一百畝相減餘三十五畝七分一釐有餘即乙原田之數也若甲以其三分之一二十一畝四分二釐有餘與乙而乙以其五分之一七畝一分四釐有餘與甲則兩人各得五十畝矣又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三十畝互乗後少二畝為加三十倍得少六十畝以後借數六十畝互乗前少十六畝為加六十倍得少九百六十畝乃以互乗所得兩少數相減餘九百畝為二率原兩少數相減餘十四畝為一率甲一人為三率得四率六十四畝二分八釐有餘即甲原田之數也葢所加三十倍與六十倍相差為三十倍則互乗所得兩少數相差之九百畝即三十倍總差數也然甲原田為總差數之十四分之三十必為三十倍總差數之十四分之一故以十四分與九百畝之比即同於一分與六十四畝二分八釐有餘之比也設如甲丙丁三人共有銀二百一十兩只云甲與丙四分之一丁與甲二分之一丙與丁三分之一則每人均得銀七十兩問各人原有之銀數若干法先借十兩為甲銀衰數此數減四分之一二兩五錢餘七兩五錢與七十兩相減餘六十二兩五錢為丁銀二分之一加一倍得一百二十五兩為丁銀衰數(因甲與丙四分之一丁與甲二分之一成七十兩故於甲衰十兩内減四)(分之一餘七兩五錢再加六十二兩五錢方湊成七十兩故以六十二兩五錢)(即為丁銀二分之一加一倍得丁銀全數也)又併甲丁兩衰數得一百三十五兩與總銀二百一十兩相減餘七十五兩為丙銀衰數(因三人共)(銀二百一十兩減去甲銀十兩丁銀一百二十五兩所餘七十五兩即丙之銀)(數也)又於丙衰七十五兩内減三分之一二十五兩餘五十兩加甲衰四分之一二兩五錢共得五十二兩五錢(因丙與丁三分)(之一甲與丙四分之一成七十兩故於丙衰七十五兩内減與丁二十五兩又)(加甲所與二兩五錢共五十二兩五錢也)此數與七十兩相較則少十七兩五錢再借二十八兩為甲銀衰數此數減四分之一七兩餘二十一兩與七十兩相減餘四十九兩為丁銀二分之一加一倍得九十八兩為丁銀衰數(甲銀減四分之一餘四十九兩既為丁銀二分之一故加)(一倍即為丁銀全數也)又併甲丁兩衰數得一百二十六兩與總銀二百一十兩相減餘八十四兩為丙銀衰數(因三人共銀二百一十兩減去)(甲銀二十八兩丁銀九十八兩其餘八十四兩即丙之銀數也)又於丙衰八十四兩内減三分之一二十八兩餘五十六兩加甲衰四分之一七兩共得六十三兩(因丙與丁三分之一甲與丙四分之一成七十兩故)(於丙衰八十四兩内減與丁二十八兩又加甲所與七兩共得六十三兩也)此數與七十兩相較則少七兩乃將前借數十兩少十七兩五錢書於右後借數二十八兩少七兩書於左用兩不足法算之於是以兩少數相減餘十兩五錢為一率兩借數相減餘十八兩為二率前借數與七十兩相較之少十七兩五錢為三率得四率三十兩加前借十兩共四十兩即甲之銀數減四分之一十兩餘三十兩(因去一分與丙也)與七十兩相減餘四十兩倍之得八十兩即丁之銀數併甲丁銀數得一百二十兩與總銀二百一十兩相減餘九十兩即丙之銀數也此疊借三色之法也借衰時加減甚繁然條理分明自能了然如此法前借數甲衰十兩丙衰七十五兩丁衰一百二十五兩若於丁衰減去二分之一(減六十二兩五錢與甲)加丙衰三分之一(丙與丁二十五)(兩)得八十七兩五錢與七十兩相較則多十七兩五錢丙差與丁差其數一也至再借二十八兩為甲衰其加減亦與前借數同惟甲成七十兩至丙則少七兩丁則多七兩其數相同故但取丙差數就其兩差之較數以比例之得甲之原銀數也又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數十兩互乗後少七兩為加十倍得少七十兩以後借數二十八兩互乗前少十七兩五錢為加二十八倍得少四百九十兩乃以互乗所得兩少數相減餘四百二十兩為二率原兩少數相減餘十兩五錢為一率甲一人為三率得四率四十兩即甲銀數也葢所加十倍與二十八倍相差為十八倍則互乗所得兩少數相差之四百二十兩即十八倍之總差數也然甲銀為總差數之十分半之十八必為十八倍總差數之十分半之一故以十分半與四百二十兩之比即同於一分與四十兩之比也設如甲丙兩果園不知畝數將甲園擴出五十畝則比丙園大二倍若將丙園擴出五十畝則比甲園大一倍問兩園原有之畝數若干法借四十畝為甲園衰數加五十畝得九十畝此數三分之得三十畝為丙園衰數(因甲加五十畝比丙園大二倍是丙園為甲園三分之一也故三分)(之)將丙園三十畝加五十畝得八十畝與甲園四十畝相較適大一倍此數已合則不必再借故凡疊借法中一借即合原數者皆如此例不必再借也設如大小兩船雇夫小船每人出銀為大船每人五分之四若大船八人小船五人出銀則不足七兩若大船六人小船八人出銀則不足三兩問共銀及每人各出銀幾何法以五分為大船每人衰數四分為小船每人衰數(因小船每人為大船每人五分之四也)以五分與大船八人相乗得四十分為大船八人共衰數以四分與小船五人相乗得二十分為小船五人共衰數相加得六十分為大船八人小船五人共出銀共分數又將五分與大船六人相乗得三十分為大船六人共衰數以四分與小船八人相乗得三十二分為小船八人共衰數相加得六十二分為大船六人小船八人共出銀共分數乃將六十分少七兩書於右六十二分少三兩書於左用兩朒求總銀法算之於是以六十分與六十二分相減餘二分為一率以兩少數相減餘四兩為二率一分為三率得四率二兩為每分之銀數與六十分相乗得一百二十兩加少七兩得一百二十七兩為雇夫之總銀數(如與六十)(二分相乗則得一百二十四兩加少三兩亦得一百二十七兩為雇夫之總銀)(數)又以每分二兩與大船每人衰數五分相乗得十兩為大船每人所出銀數以每分二兩與小船每人衰數四分相乗得八兩為小船每人所出銀數也此盈朒内兩朒之正法但因有借分為衰數之故故附於此以備疊借之一體云設如有石二塊大小不等俱不知重數只有銅條一根重十二兩互換稱之而得二石之各重幾何法先將銅條分作十二分每分又作十分用一繩繫於第五分之上(繫於五分者隨便取)(一數也)乃以五分加一倍與十二分相較餘二分折半得一分與五分相加為六分乃以五分為一率六分為二率餘二分作二兩為三率(因銅條重十二兩分為十二分今二分故)(為二兩也)得四率二兩四錢(此四率是先將銅條之五分處)(取均平之法葢提繫在五分上必於五分之端加二兩四錢乃與七分相平也)爰以銅條作秤杆將大石掛在銅條一頭離提繫五分而以小石作錘稱之今離提繫得六分始平記之(如前圖)又將小石掛在銅條一頭離提繫五分而以大石作錘稱之今離提繫得四分始平亦記之(如後圖)乃先借二十六兩四錢為大石衰數與前所得二兩四錢相減餘二十四兩(内減二兩四錢者因銅條之五分一邊必加二兩四錢始平今)(於借衰中減去者所以補足均平之數然後較物之輕重也)用六分為一率(即小石在六分之數)五分為二率(即大石在五分)(之數)二十四兩為三率(即大石衰中減去二兩四錢所餘之)(數)得四率二十兩為小石之衰數(此四率是)(以大石衰數求小石衰數)因以小石衰數二十兩與二兩四錢相減餘十七兩六錢(此亦減去二兩)(四錢因小石移在五分之一邊補足均平之數也)用四分為一率(即大石在四分之數)五分為二率(即小石在五分之數)十七兩六錢為三率(即小石衰中減去二兩四錢所餘之數)得四率二十二兩(此第二四率又以小石衰數轉求大石衰)(數試其合否也)與所借大石衰數二十六兩四錢相較則少四兩四錢再加三十二兩四錢為大石衰數與二兩四錢相減餘三十兩用六分為一率五分為二率三十兩為三率得四率二十五兩為小石之衰數因以小石衰數二十五兩與二兩四錢相減餘二十二兩六錢用四分為一率五分為二率二十二兩六錢為三率得四率二十八兩二錢五分與所借大石衰數三十二兩四錢相較則少四兩一錢五分乃將前借數二十六兩四錢少四兩四錢書於右後借數三十二兩四錢少四兩一錢五分書於左用兩不足法算之於是以兩少數相減餘二錢五分為一率兩借數相減餘六兩為二率前借數與大石衰數相較之少四兩四錢為三率得四率一百零五兩六錢加前借數二十六兩四錢共一百三十二兩即大石之重數又於大石重數内減去二兩四錢餘一百二十九兩六錢用六分為一率五分為二率(即前以大)(石衰數求小石衰數之法既有大石真數故仍以前法求小石真數)一百二十九兩六錢為三率得四率一百零八兩為小石之重數也如以四分為一率五分為二率(即前以小石求大石之重法)於小石重數一百零八兩内減去二兩四錢餘一百零五兩六錢為三率得四率一百三十二兩為大石之重數亦合前數也此法葢因銅條重十二兩而分作十二分設如作一甲乙線為銅條分作十二分每分重一兩提繫在丙處甲丙與丙丁等則其重亦必等如以甲丁與甲乙相減則餘丁乙即丙乙多於甲丙之二分也既多二分必重二兩如以二兩重物掛於乙丁中間之戊處則丙乙自重於甲丙也今欲以物趂之使其兩平則以甲丙五分為一率丙戊六分為二率二兩為三率得四率二兩四錢是將二兩四錢之物加於甲處始得兩平其以丙戊六分為二率者何也葢丙丁與甲丙等而重者止在丁乙一段而戊為丁乙之中戊去丙逺甲去丙近惟近故加重而後可以勝逺之輕若於甲接長二分則於二分之中施二兩之物即稱平矣故以二兩四錢加於甲處始能趂平丁乙之二分也此法數層加減幾用比例頗覺繁瑣而用方程算之㣲覺簡明但係疊借本法故兩收之收入疊借者所以存其理而收入方程者所以取其簡也御製數理精藴下編卷九
## 下編卷十
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十線部八方程(和數類變較數類法和較兼用類和較交 類 附)方程方者比也程者式也因設數齊其分以比方之定為已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以齊其分使其首數皆同減盡而餘一法一實以得一數也法雖有三色四色以至多色不過累乗累減亦歸於一法一實而已其二色者設二行三色者設三行有幾色者必設幾行若三色設二行四色設三行即不可算若二色設三行三色設四行則其一行又可以不用是故解方程者又謂凡設數必成方而後可算也然其要總在於分和較和數相比者則互乗而相減較數相比者古人定為正負之名以辨加減異同之號正負異號則相加正負同號則相減其理與盈朒同葢正者為主之數負者虚比之數其始也任以首色為正互乗衆色與首色同類者皆正也與首色異類者皆負也其繼也以互乗所得之數視正負之同異而加減之然加減之餘又有正變為負負變為正者總之因彼此而分正負由多少而成虚實互乗之後任以一層為主凡異號相加者悉依本層其號皆不變也若同號相減者本層多其號亦不變本層少反減者則正變為負負變為正葢此多則彼少彼少則此多也至於首色減盡則第二色即為首色故加減之後首色為負者悉變之以便互乗加減始不淆也今定為例和數者不用正負之號較數者則用正負之號和較兼用者和仍不用正負之號而較則用之和較交變者則隨其法而辨别之以定其號焉或有非方程之本法而可以方程算者則又别為設問以附其後古人所謂以御錯糅正負者庶乎盡於此矣和數類設如馬四匹牛六頭共價四十八兩馬三匹牛五頭共價三十八兩問馬牛各價幾何法以馬四匹牛六頭共價四十八兩列於上馬三匹牛五頭共價三十八兩列於下乃以上馬四匹遍乗下馬三匹牛五頭價銀三十八兩得馬十二匹牛二十頭價銀一百五十二兩又以下馬三匹遍乘上馬四匹牛六頭價銀四十八兩得馬十二匹牛十八頭價銀一百四十四兩兩下相較則馬各十二匹彼此減盡牛二十頭内減十八頭餘二頭價銀一百五十二兩内減一百四十四兩餘八兩爰以餘牛二頭除餘銀八兩得四兩卽牛每頭之價以牛五頭乘之得二十兩為牛五頭之共價於馬牛共價三十八兩内減去二十兩餘十八兩為馬三匹之共價以馬三匹除之得六兩卽馬每匹之價也此法葢以首色二數遍乘各數使其分數齊等卽互乘齊分之理故馬四匹遍乘馬三匹牛五頭價銀三十八兩則為各増四倍馬三匹遍乘馬四匹牛六頭價銀四十八兩則為各増三倍兩下各色既俱各増倍分則其比例皆同是故馬兩下相平而減盡無餘牛兩下相減餘二頭價銀兩下相減餘八兩是為相當之數葢一百五十二兩内減去一百四十四兩卽減去馬十二匹牛十八頭之共價而所餘之八兩為牛二頭之價也又如以牛數列於前馬數列於後則先得馬價法以牛六頭馬四匹共價四十八兩列於上牛五頭馬三匹共價三十八兩列於下乃以下牛五頭遍乘上牛六頭馬四匹價銀四十八兩得牛三十頭馬二十匹價銀二百四十兩又以上牛六頭遍乘下牛五頭馬三匹價銀三十八兩得牛三十頭馬十八匹價銀二百二十八兩兩下相較則牛各三十頭彼此減盡馬二十匹内減十八匹餘二匹價銀二百四十兩内減二百二十八兩餘十二兩爰以餘馬二匹除餘銀十二兩得六兩卽馬每匹之價以馬三匹乘之得十八兩為馬三匹之共價於牛馬共價三十八兩内減去十八兩餘二十兩為牛五頭之共價以牛五頭除之得四兩卽牛每頭之價也此法用互乘後則牛兩下相平而減盡無餘馬兩下相減餘二匹價銀兩下相減餘十二兩卽為相當之數葢二百四十兩内減去二百二十八兩卽減去牛三十頭馬十八匹之共價而所餘之十二兩為馬二匹之價也大凡方程之法各色俱可以更互相求者皆如此類也設如緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩緞一疋紗四疋紬七疋共價六十兩緞三疋紗五疋紬九疋共價九十兩問緞紗紬各價幾何法先以緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩列於上緞一疋紗四疋紬七疋共價六十兩列於下乃以上緞二疋遍乘下緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十兩得緞二疋紗八疋紬十四疋價銀一百二十兩又以下緞一疋遍乘上緞二疋紗六疋紬八疋價銀八十四兩仍得原數兩下相較則緞各二疋彼此減盡紗八疋内減六疋餘二疋紬十四疋内減八疋餘六疋價銀一百二十兩内減八十四兩餘三十六兩卽為紗二疋紬六疋價銀三十六兩也(緞既兩下相平而減盡無餘則)(所餘紗二疋紬六疋價銀三十六兩即為相當之數葢一百二十兩内減去八)(十四兩即減去緞二疋紗六疋紬八疋之共價而所餘三十六兩為紗二疋紬)(六疋之共價也)次以緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十兩列於上緞三疋紗五疋紬九疋價銀九十兩列於下乃以下緞三疋遍乘上緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十兩得緞三疋紗十二疋紬二十一疋價銀一百八十兩又以上緞一疋遍乘下緞三疋紗五疋紬九疋價銀九十兩仍得原數兩下相較則緞各三疋彼此減盡紗十二疋内減五疋餘七疋紬二十一疋内減九疋餘十二疋價銀一百八十兩内減九十兩餘九十兩即為紗七疋紬十二疋價銀九十兩也(緞既兩下相平)(而減盡無餘則所餘紗七疋紬十二疋價銀九十兩即為相當之數葢一百八)(十兩内減九十兩即減緞三疋紗五疋紬九疋之共價而所餘九十兩為紗七)(疋紬十二疋之共價也)於是將兩次所得之餘作二色方程算之其紗二疋紬六疋價銀三十六兩列於上紗七疋紬十二疋價銀九十兩列於下以下紗七疋遍乗上紗二疋紬六疋價銀三十六兩得紗十四疋紬四十二疋價銀二百五十二兩以上紗二疋遍乗下紗七疋紬十二疋價銀九十兩得紗十四疋紬二十四疋價銀一百八十兩兩下相較則紗各十四疋彼此減盡紬四十二疋内減二十四疋餘十八疋價銀二百五十二兩内減一百八十兩餘七十二兩爰以餘紬十八疋除餘銀七十二兩得四兩即紬每疋之價以紬六疋乗之得二十四兩為紬六疋之共價於紗紬共價三十六兩内減二十四兩餘十二兩為紗二疋之共價以紗二疋除之得六兩即紗每疋之價也以緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩計之則紗六疋共價三十六兩紬八疋共價三十二兩紗紬共價為六十八兩於共價八十四兩内減六十八兩餘十六兩為緞二疋之共價以緞二疋除之得八兩即緞每疋之價也設如有上中下三等人户納糧上等五户中等十二户下等三户共納糧一石二斗六升又上等四户二等二户共納糧五斗二升又中等二十户下等二十五户共納糧一石五斗問上中下三等每户各納糧幾何法先以上等五户中等十二户下等三户納糧一石二斗六升列於上上等四户(因無中等故作空位以存其分餘仍對位列之)下等二户納糧五斗二升列於下乃以下層上等四户遍乗上層上等五户中等十二户下等三户納糧一石二斗六升得上等二十户中等四十八户下等十二户納糧五石零四升又以上層上等五户遍乗下層上等四户下等二户納糧五斗二升得上等二十户下等十户納糧二石六斗兩下相較則上等各二十户彼此減盡中等四十八户無可減仍得四十八户下等十二户内減十户餘二户納糧五石零四升内減二石六斗餘二石四斗四升即為中等四十八户下等二户共納糧二石四斗四升也(上等既兩下相平而)(減盡無餘則所餘中等四十八户下等二户納糧二石四斗四升即為相當之)(數葢五石零四升内減二石六斗即減去上等二十户下等十户之共糧數而)(所餘二石四斗四升為中等四十八户下等二户之共糧數也)既得中等四十八户下等二户之二色則中等二十户下等二十五户亦即為二色故即作二色方程算之其中等四十八户下等二户納糧二石四斗四升列於上中等二十户下等二十五户納糧一石五斗列於下乃以上層中等四十八户遍乗下層中等二十户下等二十五户納糧一石五斗得中等九百六十户下等一千二百户納糧七十二石又以下層中等二十户遍乘上層中等四十八户下等二户納糧二石四斗四升得中等九百六十户下等四十户納糧四十八石八斗兩下相較則中等各九百六十户彼此減盡下等一千二百户内減四十户餘一千一百六十户納糧七十二石内減四十八石八斗餘二十三石二斗爰以所餘下等一千一百六十户除餘糧二十三石二斗得二升即下等每户納糧之數以下等二户乘之得四升為下等二户納糧之共數於中等下等共納糧二石四斗四升内減四升餘二石四斗為中等四十八户納糧之共數以中等四十八户除之得五升即中等每户納糧之數以上等四户下等二户共納糧五斗二升計之(因無中户故省一次)則下等二户共納糧四升於五斗二升内減四升餘四斗八升為上等四户納糧之共數以上等四户除之得一斗二升即上等每户納糧之數也設如有銀賞四等人各不知數只云一等一人二等二人三等三人四等四人共賞銀三十兩又一等二人二等三人三等四人四等五人共賞銀四十四兩又一等四人二等五人三等七人四等八人共賞銀七十七兩又一等六人二等五人三等四人四等二人共賞銀六十六兩問每等人各賞銀幾何法先以一等一人二等二人三等三人四等四人共銀三十兩列於上一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩列於下乃以下一等二人遍乗上一等一人二等二人三等三人四等四人共銀三十兩得一等二人二等四人三等六人四等八人共銀六十兩又以上一等一人遍乗下一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩仍得原數兩下相較則一等各二人彼此減盡二等兩下相減餘一人三等兩下相減餘二人四等兩下相減餘三人共銀兩下相減餘一十六兩即二等一人三等二人四等三人共銀十六兩也(葢六十兩内減四十四兩即減去一等二人二等三人三等四人四)(等五人之共銀數故所餘之十六兩為二等一人三等二人四等三人之共銀)(數也)次以一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩列於上一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩列於下乃以下一等四人遍乗上一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩得一等八人二等十二人三等十六人四等二十人共銀一百七十六兩又以上一等二人遍乗下一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩得一等八人二等十人三等十四人四等十六人共銀一百五十四兩兩下相較則一等各八人彼此減盡二等兩下相減餘二人三等兩下相減餘二人四等兩下相減餘四人共銀兩下相減餘二十二兩即二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩也(葢一百七十六兩内減一百五十四兩即減去一等八人)(二等十人三等十四人四等十六人之共銀數故所餘之二十二兩為二等二)(人三等二人四等四人之共銀數也)次以一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩列於上一等六人二等五人三等四人四等二人共銀六十六兩列於下乃以下一等六人遍乘上一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩得一等二十四人二等三十人三等四十二人四等四十八人共銀四百六十二兩又以上一等四人遍乘下一等六人二等五人三等四人四等二人共銀六十六兩得一等二十四人二等二十人三等十六人四等八人共銀二百六十四兩兩下相較則一等各二十四人彼此減盡二等兩下相減餘十人三等兩下相減餘二十六人四等兩下相減餘四十人共銀兩下相減餘一百九十八兩即二等十人三等二十六人四等四十人共銀一百九十八兩也(葢四百六)(十二兩内減二百六十四兩即減去一等二十四人二等二十人三等十六人)(四等八人之共銀數故所餘之一百九十八兩為二等十人三等二十六人四)(等四十人之共銀數也)於是將三次所得之餘作三色方程算之先以二等一人三等二人四等三人共銀十六兩列於上二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩列於下乃以下二等二人遍乗上二等一人三等二人四等三人共銀十六兩得二等二人三等四人四等六人共銀三十二兩又以上二等一人遍乗下二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩仍得原數兩下相較則二等各二人彼此減盡三等兩下相減餘二人四等兩下相減餘二人共銀兩下相減餘十兩即三等二人四等二人共銀十兩也(葢三十二兩内減二十二兩即減去二等二人三等二人四等四人)(之共銀數故所餘之十兩為三等二人四等二人之共銀數也)次以二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩列於上二等十人三等二十六人四等四十人共銀一百九十八兩列於下乃以下二等十人遍乗上二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩得二等二十人三等二十人四等四十人共銀二百二十兩又以上二等二人遍乗下二等十人三等二十六人四等四十人共銀一百九十八兩得二等二十人三等五十二人四等八十人共銀三百九十六兩兩下相較則二等各二十人彼此減盡三等兩下相減餘三十二人四等兩下相減餘四十人共銀兩下相減餘一百七十六兩即三等三十二人四等四十人共銀一百七十六兩也(葢三百九十六兩内減二百二十兩即減去二等二十人三等二十人四等四)(十人之共銀數故所餘之一百七十六兩為三等三十二人四等四十人之共)(銀數也此間兩層相減雖下層數多於上層然俱係反減故不用變號)於是又將兩次所得之餘作二色方程算之其三等二人四等二人共銀十兩列於上三等三十二人四等四十人共銀一百七十六兩列於下乃以下三等三十二人遍乗上三等二人四等二人共銀十兩得三等六十四人四等六十四人共銀三百二十兩又以上三等二人遍乗下三等三十二人四等四十人共銀一百七十六兩得三等六十四人四等八十人共銀三百五十二兩兩下相較則三等各六十四人彼此減盡四等兩下相減餘十六人共銀兩下相減餘三十二兩即四等十六人之共銀數以四等十六人除之得二兩即四等每一人所應得之數也以四等二人因之得四兩為四等二人之共銀數於三等二人四等二人共銀十兩内減之餘六兩為三等二人之共銀數以三等二人除之得三兩即三等每一人所應得之數也以二等一人三等二人四等三人共銀十六兩計之則三等二人應得六兩四等三人應得六兩共十二兩於共銀十六兩内減之餘四兩即二等每一人所應得之數也再以一等一人二等二人三等三人四等四人共銀三十兩計之則二等二人應得八兩三等三人應得九兩四等四人應得八兩共二十五兩於共銀三十兩内減之餘五兩即一等每一人所應得之數也較數類設如硯七方比筆三枝價多四百八十文又硯三方比筆九枝價少一百八十文問硯筆價各若干法以硯七為正筆三為負價多四百八十文為正(多為硯比筆之所多與硯同類故亦為正)列於上又以硯三為正筆九為負價少一百八十文為負(少為硯比筆之所少即為筆比硯之所多與筆同類故亦)(為負)列於下乃以下硯三遍乘上硯七筆三價多四百八十文得硯二十一為正筆九為負價多一千四百四十文為正又以上硯七遍乗下硯三筆九價少一百八十文得硯二十一為正筆六十三為負價少一千二百六十文為負兩下相較則硯各二十一彼此減盡筆九枝與六十三枝兩層皆負故相減餘五十四枝價多一千四百四十文與少一千二百六十文一正一負故相加得二千七百文乃筆五十四枝之共價以減餘筆五十四除之得五十文即筆每一枝之價以三因之得一百五十文為筆三枝之共價與硯多四百八十文相加得六百三十文為硯七方之共價以硯七除之得九十文即硯每一方之價也此法用互乗則上層為硯二十一方比筆九枝價多一千四百四十文下層為硯二十一方比筆六十三枝價少一千二百六十文夫硯既皆二十一方則其共價必相等然比筆九枝之價則多比筆六十三枝之價則少是多與少相加之二千七百文即筆九枝與筆六十三枝相差之五十四枝之價也筆五十四枝共價為二千七百文則筆一枝價五十文而筆三枝價為一百五十文矣硯七方比筆三枝價既多四百八十文則於一百五十文加四百八十文共六百三十文即硯七方之共價故以硯七除之得九十文為硯每一方之價也設如有甲丙二馬羣各不知數只云甲三羣比丙二羣多一千五百三十匹甲二羣與丙七羣相等問甲丙每羣馬數各幾何法以甲三羣為正丙二羣為負多一千五百三十匹為正列於上又以甲二羣為正丙七羣為負相等作一空位(相等無數)(可列故作一○以存其位)列於下乃以下甲二羣遍乗上甲三羣丙二羣多一千五百三十匹得甲六羣仍為正丙四羣仍為負多三千零六十匹亦仍為正又以上甲三羣遍乗下甲二羣丙七羣得甲六羣仍為正丙二十一羣為負相等無可乘亦仍為空位兩下相較則甲各六羣彼此減盡丙四羣與丙二十一羣兩層皆負故相減餘十七羣多三千零六十匹與相等無可加減仍得三千零六十匹乃丙十七羣之共數以減餘丙十七羣除之得一百八十匹為丙每羣之數七因之得一千二百六十匹為丙七羣之共數甲二羣既與丙七羣相等則一千二百六十匹亦即為甲二羣之共數以甲二羣除之得六百三十匹即甲每羣之數也此法用互乗則上層為甲六羣比丙四羣多三千零六十匹下層為甲六羣與丙二十一羣相等甲六羣既與丙二十一羣相等則丙二十一羣比丙四羣多三千零六十匹兩下各減丙四羣則為丙十七羣共馬三千零六十匹矣丙十七羣既為共馬三千零六十匹則丙一羣得馬一百八十匹而丙七羣為馬一千二百六十匹甲二羣既與丙七羣相等則一千二百六十匹用甲二羣除之得六百三十匹即甲每羣之數也設如有錢買桃蘋果梨三色各不知價只云桃三箇比蘋果二箇梨二箇價多二十四文桃二箇梨三箇比蘋果五箇價少十二文桃四箇蘋果三箇比梨八箇價多一百零八文問桃蘋果梨各價幾何法先以桃三為正蘋果二梨二為負價多二十四文為正列於上又以桃二為正蘋果五為負梨三為正價少十二文為負列於下乃以下桃二遍乗上桃三蘋果二梨二價多工十四文得桃六仍為正蘋果四為負梨四為負價多四十八文為正(即桃六比蘋果四梨四價多四十八文比原數加二倍)又以上桃三遍乗下桃二蘋果五梨三價少十二文得桃六仍為正蘋果十五為負梨九為正價少三十六文為負(即桃)(六梨九比蘋果十五價少三十六文比原數加三倍)於是任以上層為主兩下相較則桃各六彼此減盡蘋果兩層皆負故相減餘十一本層少反減故變負為正且為首一色減盡其次一色即轉而為首故亦變負為正梨一正一負故相加得十三仍依本層為負多四十八文與少三十六文相加得八十四文仍依本層為正即為蘋果十一比梨十三價多三十四文也(葢桃彼此減盡)(蘋果上層少四下層少十五是下層比上層所少為十一即上層比下層多十)(一也梨上層少四下層多九下之所多即上之所少是上層比下層少十三也)(錢上層多四十八文下層少三十六文下之所少即上之所多是上層比下層)(多八十四文也蘋果多十一梨少十三錢即多八十四文故為蘋果十一比梨)(十三價多八十四文也)復以桃二為正蘋果五為負梨三為正價少十二文為負列於上又以桃四蘋果三為正梨八為負價多一百零八文為正列於下乃以上桃二遍乗下桃四蘋果三梨八價多一百零八文得桃八仍為正蘋果六亦仍為正梨十六為負價多二百一十六文為正(即桃八蘋果六比梨十六價多二百一十六文比原數加二倍)又以下桃四遍乗上桃二蘋果五梨三價少十二文得桃八仍為正蘋果二十為負梨十二為正價少四十八文為負(即桃八梨十二)(比蘋果二十價少四十八文比原數加四倍)於是仍以上層為主兩下相較則桃各八彼此減盡蘋果一正一負故相加得二十六仍依本層為正梨一正一負故相加得二十八仍依本層為負多二百一十六文與少四十八文相加得二百六十四文亦仍依本層為正即為蘋果二十六比梨二十八價多二百六十四文也(葢桃彼此減盡蘋果)(上層多六下層少二十下之所少即上之所多是上層比下層多二十六也梨)(上層少十六下層多十二下之所多即上之所少是上層比下層少二十八也)(錢上層多二百一十六文下層少四十八文下之所少即上之所多是上層比)(下層多二百六十四文也蘋果多二十六梨少二十八錢即多二百六十四文)(故為蘋果二十六比梨二十八價多二百六十四文也)爰將兩次所得之餘作二色方程算之其蘋果十一為正梨十三為負價多八十四文為正列於上蘋果二十六為正梨二十八為負價多二百六十四文為正列於下乃以上蘋果十一遍乘下蘋果二十六梨二十八價多二百六十四文得蘋果二百八十六為正梨三百零八為負價多二千九百零四文為正(即蘋果二百八十六比梨)(三百零八價多二千九百零四文比原數加十一倍)又以下蘋果二十六遍乗上蘋果十一梨十三價多八十四文得蘋果二百八十六為正梨三百三十八為負價多二千一百八十四文為正(即蘋果二百八十六比梨三百三十八價多二千一百八)(十四文比原數加二十六倍)兩下相較則蘋果各二百八十六彼此減盡梨兩層皆負故相減餘三十兩多數相同故亦相減餘七百二十文乃梨三十之共價(葢蘋果皆二百八十)(六則其共價必相等然比梨三百三十八之價則多二千一百八十四文比梨)(三百零八之價則多二千九百零四文是兩多相差之七百二十文即梨相差)(三十之共價也)以梨三十除之得二十四文即梨每箇之價以梨十三乗之得三百一十二文為梨十三之共價蘋果十一既比梨十三價多八十四文則於三百一十二文加八十四文得三百九十六文為蘋果十一之共價以十一除之得三十六文即蘋果每箇之價以桃三比蘋果二梨二價多二十四文計之則梨二價四十八文蘋果二價七十二文共價一百二十文加桃三多二十四文共一百四十四文即為桃三之共價以三除之得四十八文即桃每箇之價也設如有銀買銅錫鉛鐵各不知價只云銅三斤比錫二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢又銅二斤鉛一斤比錫二斤鐵二斤價多二錢又銅一斤錫二斤與鉛三斤鐵八斤價相等又銅五斤鐵三十斤比錫四斤鉛二十四斤價少二錢問銅錫鉛鐵各價幾何法先以銅三斤為正錫二斤鉛二斤鐵四斤俱為負價多一錢為正列於上又銅二斤為正錫二斤為負鉛一斤為正鐵二斤為負價多二錢為正列於下乃以下銅二斤遍乗上銅三斤錫二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢得銅六斤為正錫四斤鉛四斤鐵八斤俱為負價多二錢為正又以上銅三斤遍乗下銅二斤錫二斤鉛一斤鐵二斤價多二錢得銅六斤為正錫六斤為負鉛三斤為正鐵六斤為負價多六錢為正於是以上層為主兩下相較則銅各六斤彼此減盡錫兩層皆負故相減餘二斤本層少乃變負為正鉛一正一負故相加得七斤仍依本層為負鐵兩層皆負故亦相減餘二斤仍依本層為負價兩層皆正故亦相減餘四錢本層少乃變正為負即錫二斤比鉛七斤鐵二斤價少四錢也(葢銅彼此減盡錫上層少四斤下層少六斤是下層比上層所少為二斤即上)(層比下層多二斤也鉛上層少四斤下層多三斤下之所多即上之所少是上)(層比下層少七斤也鐵上層少八斤下層少六斤是上層比下層所少為二斤)(也價上層多二錢下層多六錢是下層比上層所多為四錢即上層比下層少)(四錢也錫多二斤鉛少七斤鐵少二斤價即少四錢故為錫二斤比鉛七斤鐵)(二斤價少四錢也)次以銅二斤為正錫二斤為負鉛一斤為正鐵二斤為負價多二錢為正列於上又銅一斤錫二斤為正鉛三斤鐵八斤為負相等作一空位列於下乃以下銅一斤遍乗上銅二斤錫二斤鉛一斤鐵二斤價多二錢仍得原數又以上銅二斤遍乗下銅一斤錫二斤鉛三斤鐵八斤得銅二斤錫四斤仍為正鉛六斤鐵十六斤仍為負相等無可乗仍為空位於是以上層為主兩下相較則銅各二斤彼此減盡錫一正一負故相加得六斤仍依本層為負鉛一正一負故亦相加得七斤仍依本層為正鐵兩層皆負故相減餘十四斤本層少乃變負為正價多二錢與相等無可加減仍得二錢為正即鉛七斤鐵十四斤比錫六斤價多二錢也(葢銅彼此減盡錫上層少二斤)(下層多四斤下之所多即上之所少是上層比下層少六斤也鉛上層多一斤)(下層少六斤下之所少即上之所多是上層比下層多七斤也鐵上層少二斤)(下層少十六斤是下層比上層所少為十四斤即上層比下層多十四斤也鉛)(多七斤鐵多十四斤錫少六斤而價即多二錢故為鉛七斤鐵十四斤比錫六)(斤價多二錢也)因首色銅數減盡則錫即轉而為首應為正今錫六斤為負則重列三色之際不能一體須俱變其號然後為順故將錫六斤變負為正而以鉛七斤鐵十四斤價多二錢俱變正為負葢原鉛七斤鐵十四斤比錫六斤價多二錢今變為錫六斤比鉛七斤鐵十四斤價少二錢也(若以下層為主則相加應依下層為正即不用變)次以銅一斤錫二斤為正鉛三斤鐵八斤為負相等作一空位列於上又銅五斤為正錫四斤鉛二十四斤為負鐵三十斤為正價少二錢為負列於下乃以下銅五斤遍乗上銅一斤錫二斤鉛三斤鐵八斤得銅五斤錫十斤為正鉛十五斤鐵四十斤為負相等無可乗仍為空位又以上銅一斤遍乗下銅五斤錫四斤鉛二十四斤鐵三十斤價少二錢仍得原數於是以上層為主兩下相較則銅各五斤彼此減盡錫一正一負故相加得十四斤仍依本層為正鉛兩層皆負故相減餘九斤本層少乃變負為正鐵一正一負故相加得七十斤仍依本層為負價少二錢與相等無可加減仍得二錢本層無數乃變負為正即錫十四斤鉛九斤比鐵七十斤價多二錢也(葢銅彼此減盡錫上層多十斤下層少四斤下之所少即上之所多是上層比)(下層多十四斤也鉛上層少十五斤下層少二十四斤是下層比上層所少為)(九斤即上層比下層多九斤也鐵上層少四十斤下層多三十斤下之所多即)(上之所少是上層比下層少七十斤也價下層少二錢即上層多二錢也錫多)(十四斤鉛多九斤鐵少七十斤價即多二錢故為錫十四斤鉛九斤比鐵七十)(斤價多二錢也)爰將三次所得之餘作三色方程算之先以錫二斤為正鉛七斤鐵二斤價少四錢俱為負列於上又錫六斤為正鉛七斤鐵十四斤價少二錢俱為負列於下乃以下錫六斤遍乗上錫二斤鉛七斤鐵二斤價少四錢得錫十二斤為正鉛四十二斤鐵十二斤價少二兩四錢俱為負又以上錫二斤遍乗下錫六斤鉛七斤鐵十四斤價少二錢得錫十二斤為正鉛十四斤鐵二十八斤價少四錢俱為負於是以上層為主兩下相較則錫各十二斤彼此減盡鉛兩層皆負故相減餘二十八斤仍依本層為負鐵兩層皆負故亦相減餘十六斤本層少乃變負為正價兩層皆負故亦相減餘二兩仍依本層為負即鐵十六斤比鉛二十八斤價少二兩也(葢錫彼此減盡)(鉛上層少四十二斤下層少十四斤是上層比下層所少為二十八斤也鐵上)(層少十二斤下層少二十八斤是下層比上層所少為十六斤即上層比下層)(多十六斤也價上層少二兩四錢下層少四錢是上層比下層所少為二兩也)(鐵多十六斤鉛少二十八斤價即少二兩故為鐵十六斤比鉛二十八斤價少)(二兩也)次以錫六斤為正鉛七斤鐵十四斤價少二錢俱為負列於上又錫十四斤鉛九斤為正鐵七十斤為負價多二錢為正列於下乃以下錫十四斤遍乗上錫六斤鉛七斤鐵十四斤價少二錢得錫八十四斤為正鉛九十八斤鐵一百九十六斤價少二兩八錢俱為負又以上錫六斤遍乗下錫十四斤鉛九斤鐵七十斤價多二錢得錫八十四斤鉛五十四斤為正鐵四百二十斤為負價多一兩二錢為正於是以上層為主兩下相較則錫各八十四斤彼此減盡鉛一正一負故相加得一百五十二斤仍依本層為負鐵兩層皆負故相減餘二百二十四斤本層少乃變負為正價一正一負故相加得四兩仍依本層為負即鐵二百二十四斤比鉛一百五十二斤價少四兩也(葢錫彼此減盡鉛上層少九十八斤下層多五)(十四斤下之所多即上之所少是上層比下層少一百五十二斤也鐵上層少)(一百九十六斤下層少四百二十斤是下層比上層所少為二百二十四斤即)(上層比下層多二百二十四斤也價上層少二兩八錢下層多一兩二錢下之)(所多即上之所少是上層比下層少四兩也鐵多二百二十四斤鉛少一百五)(十二斤價即少四兩故為鐵二百二十四斤比鉛一百五十二斤價少四兩也)爰將兩次所得之餘作二色方程算之其所餘鉛兩首色俱為負是為同號可以互乗減盡故不變其號即將鉛二十八斤為負鐵十六斤為正價少二兩為負列於上又鉛一百五十二斤為負鐵二百二十四斤為正價少四兩為負列於下乃以下鉛一百五十二斤遍乗上鉛二十八斤鐵十六斤價少二兩得鉛四千二百五十六斤為負鐵二千四百三十二斤為正價少三百零四兩為負又以上鉛二十八斤遍乗下鉛一百五十二斤鐵二百二十四斤價少四兩得鉛四千二百五十六斤為負鐵六千二百七十二斤為正價少一百一十二兩為負兩下相較則鉛各四千二百五十六斤彼此減盡鐵兩層皆正故亦相減餘三千八百四十斤價兩層皆負故亦相減餘一百九十二兩即鐵三千八百四十斤之共價以鐵三千八百四十斤除之得五分即鐵每一斤之價也以鐵十六斤乗之得八錢為鐵十六斤之共價鐵十六斤既比鉛二十八斤價少二兩則加二兩得二兩八錢為鉛二十八斤之共價以鉛二十八斤除之得一錢即鉛每一斤之價也以錫六斤比鉛七斤鐵十四斤價少二錢計之則鉛七斤價七錢鐵十四斤價亦七錢共一兩四錢錫六斤既比鉛七斤鐵十四斤價少二錢則減二錢餘一兩二錢為錫六斤之共價以錫六斤除之得二錢即錫每一斤之價也再以銅三斤比錫二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢計之則錫二斤價四錢鉛二斤價二錢鐵四斤價二錢共八錢銅三斤既比錫二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢則加一錢共九錢為銅三斤之共價以銅三斤除之得三錢即銅每一斤之價也和較兼用類設如有大小二石不知其重只云二大石比七小石少三十斤三大石二小石共三百三十斤問大小石各重幾何法以大石二為正小石七為負少三十斤為負列於上大石三小石二共重三百三十斤列於下乃以上大石二遍乗下大石三小石二重三百三十斤得大石六小石四共重六百六十斤又以下大石三遍乗上大石二小石七少三十斤得大石六仍為正小石二十一仍為負少九十斤亦仍為負兩下相較則大石各六彼此減盡小石四加小石二十一得小石二十五六百六十斤加九十斤得七百五十斤乃小石二十五之共數以小石二十五除之得三十斤即一小石之重數以二因之得六十斤為二小石之共數於大小石共重三百三十斤内減之餘二百七十斤為三大石之共數以三除之得九十斤即一大石之重數也此法葢因三大石二小石共重三百三十斤為和數皆一類為正故不用正負之號遇正則為同類相減遇負則為異類相加相加之後仍為和數者以其依本層之號故亦不用正號葢六大石四小石共重六百六十斤而六大石比二十一小石少九十斤則加九十斤即六大石與二十一小石等矣故小石二十五共重七百五十斤以二十五除之而得一小石之重數也既得小石之重數則於和數共重三百三十斤内減二小石重六十斤餘為三大石之共數若於較數七小石之共重二百一十斤内減少三十斤所餘即為二大石之共數既得三大石或二大石之共數乃以大石數除之即得一大石之重數矣設如有米用牛馬騾三色載之各不知數只云牛二馬三騾四共載八石馬三騾三與牛三所載相等牛四馬一比騾八所載多三石問各載幾何法先以牛二馬三騾四共米八石列於上次以牛三為正馬三騾三為負相等作一空位列於下(題言馬三騾三比牛三則馬騾應為正牛)(應為負因列法以牛為首故以牛為正馬騾為負即牛三比馬三騾三相等其)(理一也)乃以上牛二遍乘下牛三馬三騾三得牛六仍為正馬六騾六仍為負又以下牛三遍乗上牛二馬三騾四共載八石得牛六馬九騾十二共載二十四石於是以下層為主兩下相較(若以上層為主)(則相加數皆為負况首色減盡二色即轉而為首即變負為正故不若以下層)(為主而皆為正也)則牛各六彼此減盡馬九加馬六得馬十五(因依本層為和數故不用號)騾十二加騾六得騾十八二十四石無可加減仍為二十四石即馬十五騾十八共載二十四石也(葢牛六馬九騾十二共載二十四石而牛六與馬六)(騾六相等則將本層牛六變為馬六騾六矣故為馬十五騾十八共載二十四)(石也)次以牛三為正馬三騾三為負相等作一空位列於上牛四馬一為正騾八為負多三石為正列於下乃以上牛三遍乗下牛四馬一騾八多三石得牛十二為正馬三亦為正騾二十四為負多九石為正又以下牛四遍乗上牛三馬三騾三得牛十二為正馬十二為負騾十二為負於是以上層為主兩下相較則牛各十二彼此減盡馬一正一負故相加得十五仍依本層為正騾兩層皆負故相減餘十二仍依本層為負九石無可加減仍為九石依本層為正即馬十五比騾十二所載多九石也(葢牛彼此減盡)(馬上層多三下層少十二是上層比下層多十五也騾上層少二十四下層少)(十二是上層比下層所少為十二也馬多十五騾少十二而米即多九石故為)(馬十五比騾十二所載多九石也)爰將兩次所得之餘如和較兼用二色方程法算之其馬十五騾十八共米二十四石列於上又馬十五為正騾十二為負多米九石為正列於下因首色皆為十五兩數齊同即不用互乘兩下相較則馬各十五彼此減盡騾十八加騾十二得三十米二十四石減九石餘十五石乃騾三十共載之數以三十除之得五斗即為每一騾所載之數以騾十二乗之得六石為騾十二共載之數加馬十五之多九石得十五石即為馬十五共載之數以馬十五除之得一石為每一馬所載之數以牛三與馬三騾三相等計之則馬三應載三石騾三應載一石五斗共四石五斗以牛三除之得一石五斗即為每一牛所載之數也設如有銀買綾羅絹三色各不知價只云綾一疋羅二疋絹四疋共價七兩四錢又綾二疋絹八疋比羅四疋多六兩八錢又綾三疋比羅六疋絹七疋少一兩二錢問各價幾何法先以綾一羅二絹四共銀七兩四錢列於上(和數皆為正不用號)又綾二為正羅四為負絹八為正多六兩八錢為正列於下乃以下綾二遍乗上綾一羅二絹四共銀七兩四錢得綾二羅四絹八共銀十四兩八錢又以上綾一遍乗下綾二羅四絹八多六兩八錢仍得原數於是以上層為主兩下相較則綾各二彼此減盡羅一正一負故相加得羅八依本層為正絹兩層皆正故相減恰盡價兩層皆正亦相減餘八兩乃羅八疋之共價(葢綾彼此減盡絹亦減盡惟羅上層多四疋下層少四疋是上層比下層多八)(疋而價即多八兩故為羅八疋之共價也)以羅八除之得一兩即為羅每一疋之價也次以綾二為正羅四為負絹八為正多六兩八錢為正列於上又綾三為正羅六為負絹七為負少一兩二錢為負列於下乃以下綾三遍乗上綾二羅四絹八多六兩八錢得綾六為正羅十二為負絹二十四為正多二十兩四錢為正又以上綾二遍乗下綾三羅六絹七少一兩二錢得綾六為正羅十二為負絹十四為負少二兩四錢為負於是以上層為主兩下相較則綾各六彼此減盡羅兩層皆負亦減盡絹一正一負故相加得三十八銀一正一負故相加得二十二兩八錢乃絹三十八疋之共價(葢綾彼此減盡羅亦減盡絹上)(層多二十四疋下層少十四疋是上層比下層多三十八疋也銀上層多二十)(兩四錢下層少二兩四錢是上層比下層多二十二兩八錢也絹多而銀亦多)(故為絹之共價也)以絹三十八除之得六錢即絹每一疋之價也以綾一羅二絹四共價七兩四錢計之則羅二疋應價二兩絹四疋應價二兩四錢共四兩四錢於共價七兩四錢内減之餘三兩即綾每一疋之價也此法互乗相減之後即得一法一實故省重列二色若物與價俱各減盡者則此層必為彼層之幾倍與少一層者同是為少一行不可算也和較交變類設如有琴瑟箏三種樂器各不知價但知琴一張瑟三張箏三張共價九十兩又琴一張瑟二張箏五張共價八十八兩又琴三張瑟八張箏五張共價二百二十兩問琴瑟箏每張各價幾何法先以琴一瑟三箏三共銀九十兩列於上又琴一瑟二箏五共銀八十八兩列於下(因和數皆為正故不用號)因首色皆為一故省互乗即以上層為主兩下相較則琴各一彼此減盡瑟兩下相減餘一本層多仍為正箏兩下相減餘二本層少變正為負銀九十兩減八十八兩餘二兩本層多亦仍為正即瑟一比箏二價多二兩也(葢兩層琴各一張其價必相等但上層多瑟一張下層多箏二)(張則上層多銀二兩即瑟一比箏二所多之價也)次以琴一瑟二箏五共銀八十八兩列於上又琴三瑟八箏五共銀二百二十兩列於下乃以下琴三遍乗上琴一瑟二箏五共銀八十八兩得琴三瑟六箏十五共銀二百六十四兩又以上琴一遍乗下琴三瑟八箏五共銀二百二十兩仍得原數於是以上層為主兩下相較則琴各三彼此減盡瑟兩下相減餘二本層少變正為負箏兩下相減餘十本層多仍為正銀二百六十四兩減二百二十兩餘四十四兩本層多亦仍為正即箏十比瑟二價多四十四兩也(葢兩層琴各三張其價必相等)(但上層多箏十張下層多瑟二張則丄層多銀四十四兩即箏十張比瑟二張)(所多之價也)因首色減盡則瑟轉而為首應為正今瑟為負重列二色之際不能一體須俱變其號然後為順故將瑟二變負為正而以箏十與價多四十四兩俱變正為負葢原箏十比瑟二多四十四兩今變為瑟二比箏十少四十四兩也(若以下層為主則本層多即得瑟二為正不用變號)爰將兩次所得之餘如較數二色方程算之其瑟一為正箏二為負多二兩為正列於上瑟二為正箏十為負少四十四兩為負列於下乃以下瑟二遍乗上瑟一箏二多二兩得瑟二仍為正箏四為負多四兩為正又以上瑟一遍乘下瑟二箏十少四十四兩仍得原數兩下相較則瑟各二彼此減盡箏兩層皆負故相減餘六多四兩與少四十四兩相加得四十八兩即箏六張之共價也(葢瑟皆為二張則其共價必相)(等然比箏四張之價則多比箏十張之價則少是多少相加之四十八兩即箏)(十與箏四相差六張之價也)乃以箏六除銀四十八兩得八兩為箏毎張之價以箏十因之得八十兩為箏十張之共價瑟二張既比箏十張少四十四兩則於八十兩内減四十四兩餘三十六兩即為瑟二張之共價以瑟二除之得十八兩為瑟毎張之價以琴一瑟三箏三共銀九十兩計之則瑟三價五十四兩箏三價二十四兩共七十八兩於共銀九十兩内減之餘十二兩即琴毎一張之價也設如有古量斛庾釜三種盛米各數不同只云三斛二釜比二庾多一石零八升又二斛比三庾五釜少六石又一斛一庾比二釜多一石三斗二升問斛庾釡各盛米若干法先以斛三為正庾二為負釜二為正多一石零八升為正列於上又斛二為正庾三釜五為負少六石亦為負列於下乃以下斛二遍乗上斛三庾二釜二多一石零八升得斛六仍為正庾四為負釜四為正多二石一斗六升亦為正又以上斛三遍乗下斛二庾三釜五少六石得斛六仍為正庾九釜十五俱為負少十八石亦為負於是以上層為主兩下相較則斛各六彼此減盡庾兩層皆負故相減餘五本層少乃變負為正釡一正一負故相加得十九仍依本層為正多二石一斗六升與少十八石相加得二十石一斗六升仍依本層為正即五庾十九釡共二十石一斗六升也(葢斛彼此減盡庾上層少四下層少九是下層比上層所少為五即上層比下)(層多五也釜上層多四下層少十五是上層比下層多十九也米上層多二石)(一斗六升下層少十八石是上層比下層多二十石一斗六升也庾釜多則米)(亦多故為五庾十九釜共二十石一斗六升也)次以斛二為正庾三釡五與少六石俱為負列於上又斛一庾一為正釜二為負多一石三斗二升為正列於下乃以上斛二遍乗下斛一庾一釡二多一石三斗二升得斛二庾二為正釡四為負多二石六斗四升為正又以下斛一遍乗上斛二庾三釜五少六石仍得原數於是以上層為主兩下相較則斛各二彼此減盡庾一正一負故相加得五仍依本層為正釜兩層皆負故相減餘一本層少乃變負為正多二石六斗四升與少六石相加得八石六斗四升仍依本層為正即五庾一釜共八石六斗四升也(葢斛彼此減盡庾上)(層多二下層少三是上層比下層多五也釜上層少四下層少五是下層比上)(層所少為一即上層比下層多一也米上層多二石六斗四升下層少六石是)(上層比下層多八石六斗四升也庾釜多而米亦多故為五庾一釡共八石六)(斗四升也)爰以兩次所得之餘如和數二色方程算之其庾五釜十九共二十石一斗六升列於上庾五釡一共八石六斗四升列於下(變為和數故不用號)夫首數皆為五則省互乗兩下相較庾各五彼此減盡釡十九減一餘十八米二十石一斗六升減八石六斗四升餘十一石五斗二升即為釜十八所盛之共數以十八除之得六斗四升為毎一釜所盛之數於八石六斗四升内減之餘八石為庾五所盛之共數以五除之得一石六斗為毎一庾所盛之數以斛三釡二比庾二多一石零八升計之則庾二應三石二斗加多一石零八升得四石二斗八升即為斛三釜二之共數減釡二之一石二斗八升餘三石為斛三所盛之共數以三除之得一石為每一斛所盛之數也設如用船車駝運糧各不知數只云三船比七車一駝少三十三石六斗二車比一船十二駝少二十一石六斗八駝比一船三車少二十一石六斗問船車駝各載幾何法先以船三為正車七駝一與少三十三石六斗俱為負列於上又船一改為正車二改為負駝十二亦改為正少二十一石六斗改為多二十一石六斗亦為正列於下(葢二車比一船十二駝少二十一石六斗即一船十)(二駝比二車多二十一石六斗也)乃以上船三遍乗下船一車二駝十二多二十一石六斗得船三為正車六為負駝三十六為正多六十四石八斗為正又以下船一遍乗上船三車七駝一少三十三石六斗仍得原數於是以上層為主兩下相較則船各三彼此減盡車兩層皆負故相減餘一本層少乃變負為正駝一正一負故相加得三十七仍依本層為正多六十四石八斗與少三十三石六斗相加得九十八石四斗亦依本層為正即車一駝三十七共載九十八石四斗也(葢船)(彼此減盡車上層少六下層少七是下層比上層所少為一即上層比下層多)(一也駝上層多三十六下層少一是上層比下層多三十七也糧上層多六十)(四石八斗下層少三十三石六斗是上層比下層多九十八石四斗也車多駝)(多則糧亦多故九十八石四斗為車一駝三十七之共數也)次以船一為正車二為負駝十二為正多二十一石六斗為正列於上又船一車三俱改為正駝八改為負少二十一石六斗改為多二十一石六斗為正列於下(葢八)(駝比一船三車少二十一石六斗即一船三車比八駝多二十一石六斗也)首數皆一故省互乘即以上層為主兩下相較則船各一彼此減盡車一正一負故相加得五仍依本層為負駝一正一負故亦相加得二十仍依本層為正糧兩層皆正相減恰盡即為駝二十與車五相等今車應轉為首色為正故重列之際須俱變其號以車變負為正駝變正為負即為車五與駝二十相等也(葢兩下相較船數相等上層少車二下層多車三上之所少即下之所多是下)(層多車五上層多駝十二下層少駝八下之所少即上之所多是上層多駝二)(十今既兩下糧數相等則為車五與駝二十相等矣)爰以兩次所得之餘如和較兼用二色方程算之其車一駝三十七共糧九十八石四斗列於上(因為和數故不用號)又車五為正駝二十為負列於下(糧兩下相等故無數可列仍作空以存其位)乃以下車五遍乗上車一駝三十七共糧九十八石四斗得車五駝一百八十五共糧四百九十二石又以上車一遍乗下車五駝二十仍得原數兩下相較則車各五彼此減盡駝一百八十五加駝二十得二百零五糧止一層無數可加減仍得四百九十二石即駝二百零五所載之共數也以駝二百零五除之得二石四斗為每一駝所載之數以二十乗之得四十八石為駝二十所載之共數車五既與之相等即以車五除之得九石六斗即為每一車所載之數以三船比七車一駝少三十三石六斗計之則一駝應二石四斗七車應六十七石二斗共六十九石六斗減三船少三十三石六斗餘三十六石為三船所載之共數以三除之得十二石為毎一船所載之數也設如有錢買瓜桃榴梨四色只云瓜二桃四共價一百五十六文瓜一梨八共價一百二十六文桃二榴七共價一百六十文榴四梨七共價一百四十八文問瓜桃榴梨各價幾何法先以瓜二桃四共價一百五十六文列於上(因題有四色而此行無榴梨乃各作空位以存其分餘俱照式)(對位列之)又以瓜一梨八共價一百二十六文列於下(因為和數故不用號)乃以上瓜二遍乗下瓜一梨八共價一百二十六文得瓜二梨十六共價二百五十二文又以下瓜一遍乘上瓜二桃四共價一百五十六文仍得原數於是以下層為主兩下相較則瓜各二彼此減盡桃四無可減仍為四依本層為正榴仍為空位梨十六無可減仍為十六本層無數乃變正為負價二百五十二文内減一百五十六文餘九十六文本層少乃變正為負即為桃四比梨十六價少九十六文也(葢瓜皆為二則其共價必相等然上層有梨十六則共價二百五十二文下層)(有桃四則共價一百五十六文其相差之九十六文即桃四比梨十六所少之)(價也)至是瓜既已減盡但餘三色即變四色為三色而以桃為首對位列之是以桃四為正(此行無榴數故仍作空位以存其分餘俱對位列之)梨十六為負少九十六文為負列於上桃二榴七共價一百六十文列於下(因為和數)(故不用號)乃以上桃四遍乗下桃二榴七共價一百六十文得桃八榴二十八共價六百四十文又以下桃二遍乗上桃四梨十六少九十六文得桃八仍為正梨三十二仍為負少一百九十二文為負於是以上層為主兩下相較則桃各八彼此減盡榴二十八無可減仍為二十八依本層為正梨三十二無可加仍為三十二本層無數乃變負為正六百四十文與少一百九十二文相加得八百三十二文仍依本層為正即榴二十八梨三十二共價八百三十二文也(葢桃彼此)(減盡上層多榴二十八下層少梨三十二即上層多梨三十二故多與少相差)(之八百三十二文即榴二十八梨三十二之共價也)至是桃又減盡但餘二色即變三色為二色而以榴為首對位列之是以榴二十八梨三十二共價八百三十二文列於上榴四梨七共價一百四十八文列於下乃以上榴二十八遍乗下榴四梨七共價一百四十八文得榴一百一十二梨一百九十六共價四千一百四十四文又以下榴四遍乗上榴二十八梨三十二共價八百三十二文得榴一百一十二梨一百二十八共價三千三百二十八文兩下相較則榴各一百一十二彼此減盡梨兩下相減餘六十八價兩下相減餘八百一十六文即梨六十八之共價也以梨六十八除之得十二文為梨每個之價以七因之得八十四文為梨七之共價於榴梨共價一百四十八文内減之餘六十四文為榴四之共價以四除之得十六文即榴毎個之價以桃二榴七共價一百六十文計之則榴七應價一百一十二文於桃榴共價一百六十文内減之餘四十八文為桃二之共價以二除之得二十四文為桃每個之價再以瓜二桃四共價一百五十六文計之則桃四應價九十六文於桃瓜共價一百五十六文内減之餘六十文為瓜二之共價以二除之得三十文即瓜毎個之價也附法設如有石二塊大小不等不知重數只有銅條一根重十二兩均分十二分以繩繫於第五分之上一頭五分一頭七分將大石掛於銅條一頭離提繫五分而以小石作砣稱之離提繫得六分始平又將小石掛在銅條一頭離提繫五分而以大石作砣稱之離提繫得四分始平問大小二石各重幾何法先以五分加一倍與十二分相較餘二分折半得一分與五分相加為六分乃以五分為一率六分為二率餘二分作二兩為三率得四率二兩四錢即五分之端加二兩四錢始與七分相平也爰將二兩四錢以大石離提繫五分因之得十二兩為五大石比六小石所多之數(大石離提繫五分小石離提繫六分而平是大石重六分小石重五)(分也若五大石六小石則各得三十分其重始等然五分之一端應加二兩四)(錢是大石重六分尚多二兩四錢也若五大石則多十二兩矣故為五大石比)(六小石多十二兩也)又將二兩四錢以小石離提繫五分因之亦得十二兩為四大石比五小石所少之數(小石離提繫五分大石離提繫四分而平)(是小石重四分大石重五分也若五小石四大石則各得二十分其重始等然)(五分之一端應加二兩四錢是小石重四分尚多二兩四錢也若五小石則多)(十二兩矣故為五小石比四大石多十二兩因以大石為首故變為四大石比)(五小石少十二兩也)因作較數方程法算之以大石五為正小石六為負重多十二兩為正列於上又大石四為正小石五為負重少十二兩為負列於下乃以上大石五遍乗下大石四小石五少十二兩得大石二十小石二十五少六十兩又以下大石四遍乗上大石五小石六多十二兩得大石二十小石二十四多四十八兩兩下相較則大石各二十彼此減盡小石兩層皆負故相減餘一重少六十兩與多四十八兩相加得一百零八兩即為一小石之重數以小石六因之得六百四十八兩為六小石之共重數加五大石所多十二兩得六百六十兩為五大石之共重數以五歸之得一百三十二兩即為一大石之重數也此本疊借互徵之法而以方程算之稍為簡易焉設如有銀一千六百四十兩兄弟二人分之各不知數只云兄之四分之一弟之六分之一共三百五十兩問兄弟各分銀幾何法以一千六百四十兩為兄四分弟六分之共銀數以三百五十兩為兄一分弟一分之共銀數如和數方程法算之以兄四分弟六分共銀一千六百四十兩列於上兄一分弟一分共銀三百五十兩列於下乃以下兄一分遍乗上兄四分弟六分共銀一千六百四十兩仍得原數又以上兄四分遍乗下兄一分弟一分共銀三百五十兩得兄四分弟四分共銀一千四百兩兩下相較則兄各四分彼此減盡弟兩下相減餘二分銀兩下相減餘二百四十兩即弟二分之共銀數以弟二分除之得一百二十兩為弟一分之銀數以弟六分乗之得七百二十兩即弟所分之共銀數於共銀一千六百四十兩内減之餘九百二十兩即兄所分之共銀數也(此法用疊借互徵算)(之亦可)設如甲乙二人分果不知其數只云甲予乙九枚則乙與甲等乙予甲九枚則一甲與二乙等問甲乙分果各幾何法將甲予乙九枚以二因之得一十八枚為一甲比一乙所多之數(葢甲予乙九枚則甲)(與乙等若甲不予乙則甲多九枚乙少九枚是甲比乙多十八枚也)又將乙予甲九枚以三因之得二十七枚為一甲比二乙所少之數(葢乙予甲九枚則一甲與二乙)(等若乙不予甲則乙多九枚二乙必多十八枚甲少九枚是一甲比二乙少二)(十七枚也)因作較數方程法算之以甲一為正乙一為負多十八枚為正列於上又甲一為正乙二為負少二十七枚為負列於下因甲首色皆為一故不用互乗兩下相較則甲各一彼此減盡乙兩層皆負故相減餘一果一正一負故相加得四十五枚即為乙之果數如甲多十八枚得六十三枚即為甲之果數也若甲與乙九枚則甲餘五十四乙亦得五十四是甲與乙相等若乙與甲九枚則乙餘三十六甲得七十二是一甲與二乙相等也(此法用疊借互徵算之亦可)設如有田二千六百五十畝令上中下三等農夫分耕上等四十人中等五十人下等七十人上等比中等毎人多七畝中等比下等毎人多五畝問上中下三等毎人各耕幾何法以二千六百五十畝為和以多七畝多五畝為較如和較兼用三色方程法算之先以上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十畝列於上(因為和數故不用號)又上等一人為正中等一人為負多七畝為正列於下(無下等則作空以存)(其位)乃以下上等一人遍乗上上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十畝仍得原數又以上上等四十人遍乗下上等一人中等一人多七畝得上等四十人為正中等四十人為負多二百八十畝為正於是以上層為主兩下相較則上等各四十人彼此減盡中等五十人加四十人得九十人下等無可加減仍得七十人田二千六百五十畝減二百八十畝餘二千三百七十畝即中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝也(因依本層故仍為和數)次以中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝列於上(因為和數故不用號)又中等一人為正下等一人為負多五畝為正列於下乃以下中等一人遍乗上中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝仍得原數又以上中等九十人遍乗下中等一人下等一人多五畝得中等九十人為正下等九十人為負多四百五十畝為正兩下相較則中等各九十人彼此減盡下等七十人加九十人得一百六十人田二千三百七十畝減四百五十畝餘一千九百二十畝即下等一百六十人之共數也以下等一百六十人除之得十二畝為下等每人所耕之數加五畝得十七畝為中等毎人所耕之數又加七畝得二十四畝為上等每人所耕之數也(此法本和數比例以方程算之亦可)御製數理精藴下編卷十
## 下編卷十一
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十一面部一平方帶縱平方平方平方者等邊四直角之面積也以形而言則為兩矩所合以積而言則為自乗之數因其有廣無厚故曰平方因其縱横相等故曰正方葢方積面也而其邊則線也有線求面則相乗而得積有面求線則開方而得邊開之之法略與歸除同但歸除有法有實而開方則有實而無法故古人立為商除廉隅之制以相求每積二位得邊之一位所謂一百一十定無疑一千三十有零餘九千九百不離十一萬方為一百推是也其法先從一角而剖其冪以自一至九自乗之數為方根與所有之積相審量其足減者而定之是為初商初商減盡無餘則方邊止一位若有餘實即初商方積外别成一磬折形其附初商之兩旁者謂之廉兩廉之角所合一小方謂之隅廉有二故倍初商為兩廉之共長是為廉法視餘積足廉法幾倍即是次商隅即次商之自乗故次商為隅法合廉隅而以次商乗之則得兩廉一隅之共積所謂初商方積外别成一磬折形者是也故次商為初商所得方邊之零如次商數與初商餘積相減尚有不盡之實則又成一磬折形而仍為兩廉一隅但較前廉愈長而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照初商之例逐層遞析之實盡而止實不盡者必非自乗之正數遞析之至於纎塵終有奇零若餘實不足廉隅法之數者則方邊為空位此開方之定法也面形不一而容積皆以方積為準故平方為算諸面之本諸面必通之方積而後可施其法也設如正方面積三十六尺開方問每一邊數幾何法列方積三十六尺自末位起算每方積二位定方邊一位今積止有二位則於六尺上作記定單位以自一至九自乗之方根數與之相審知與六尺自乗之數恰合乃以六尺書於方積六尺之上而以六尺自乗之三十六尺書於方積原數之下相減恰盡即得開方之數為六尺也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆六尺其中函一尺小正方三十六自邊計之為六尺自乗之積以積開之則與六尺自乗方根之數相準故商除之恰盡也葢方積為二位是以方邊止一位方積即六尺自乗之數故無廉隅之可用次商如有餘積則自成廉隅而用次商矣設如正方面積一丈四十四尺開方問每一邊數幾何法列方積一丈四十四尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記即於四尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗之正方一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊末位積四十四尺續書於下(大凢以餘積續書於下者每取方積)(之二位以當方邊之一位也)為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺倍之得二十尺為廉法以除四十四尺足二尺即定次商為二尺書於方積四尺之上而以次商二尺為隅法與廉法二十尺相加共得二十二尺為廉隅共法書於餘積之左以次商二尺乗之得四十四尺與次商廉隅共積相減恰盡是開得一丈二尺為方面每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆一丈二尺其中函積一丈四十四尺是為共積其從一角所分甲庚己戊正方形每邊一丈即初商數其中函正方積一丈即初商自乗數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方為兩廉其各長十尺即初商數其各闊二尺即次商數廉有二故倍初商為廉法其己壬丙辛一小正方為隅其邊二尺亦即次商數故以次商為隅法合兩廉一隅成一磬折形附於初商自乗方之兩邊而成一總正方形此廉隅之法所由生也設如正方面積五百二十九尺開方問毎一邊數幾何(此題正方面積之三位皆以尺命位似與前題分丈尺者不同然其取方積二位續書於下其)(末位即命為單位立算則與丈尺同也)法列方積五百二十九尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記乃於九尺上定單位五百尺上定十位其五百尺為初商積以初商本位計之則五百尺為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書於方積五百尺之上而以二自乗之四書於初商積之下相減餘一百尺爰以方邊第二位積二十九尺續書於下共一百二十九尺為次商廉隅之共積乃以初商之二作二十尺倍之得四十尺為廉法以除一百二十九尺足三尺即定次商為三尺書於方積九尺之上而以次商三尺為隅法與廉法四十尺相加共得四十三尺為廉隅共法書於餘積之左以次商三尺乗之得一百二十九尺與次商廉隅共積相減恰盡是開得二十三尺為方面每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆二十三尺其中函積五百二十九尺是為共積其從一角所分甲庚己戊正方形每邊二十尺即初商數其中函積四百尺即初商自乗數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方為兩廉其各長二十尺即初商數其各闊三尺即次商數其己壬丙辛一小正方為隅其邊三尺亦即次商數合兩廉一隅成一磬折形附於初商自乗方之兩邊而成一總正方形也設如正方面積五丈四十七尺五十六寸開方問每一邊數幾何法列方積五丈四十七尺五十六寸自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記即於六寸上定寸位七尺上定尺位五丈上定丈位其五丈為初商積與二丈自乗之數相準即定初商為二丈書於方積五丈之上而以二丈自乗之四丈書於初商積之下相減餘一丈即一百尺爰以方邊第二位積四十七尺續書於下共一百四十七尺為次商廉隅之共積乃以初商之二丈作二十尺倍之得四十尺為廉法以除一百四十七尺足三尺即定次商為三尺書於方積七尺之上而以次商三尺為隅法與廉法四十尺相加共得四十三尺為廉隅共法書於餘積之左以次商三尺乗之得一百二十九尺與次商廉隅共積相減餘一十八尺即一千八百寸復以方邊末位積五十六寸續書於下共一千八百五十六寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之二丈三尺作二百三十寸倍之得四百六十寸為廉法以除一千八百五十六寸足四寸即定三商為四寸書於方積六寸之上而以三商四寸為隅法與廉法四百六十寸相加共得四百六十四寸為廉隅共法書於餘積之左以三商四寸乗之得一千八百五十六寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得二丈三尺四寸為方面每一邊之數也設如正方面積四十五萬九千六百八十四尺開方問每一邊數幾何(此題正方面積之六位皆以尺命位似與前題分丈尺寸三色)(者不同然其每取方積二位續書於下其末位即命為單位立算仍與丈尺寸同也)法列方積四十五萬九千六百八十四尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記乃於四尺上定單位六百尺上定十位五萬尺上定百位其四十五萬尺為初商積以初商本位計之則五萬尺為初商積之單位而四十五萬尺為四十五與六自乗之數相準即定初商為六書於方積五萬尺之上而以六自乗之三十六書於初商積之下相減餘九萬尺爰以方邊第二位積九千六百尺續書於下共九萬九千六百尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則六百尺為次商積之單位而九萬九千六百尺為九百九十六而初商之六即為六十故以初商之六作六十倍之得一百二十為廉法以除九百九十六足七倍即定次商為七書於方積六百尺之上而以次商七為隅法與廉法一百二十相加共得一百二十七為廉隅共法書於餘積之左以次商七乗之得八百八十九與次商廉隅共積相減餘一萬零七百尺復以方邊末位積八十四尺續書於下共一萬零七百八十四尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之六百七十倍之得一千三百四十為廉法以除一萬零七百八十四足八倍即定三商為八書於方積四尺之上而以三商八為隅法與廉法一千三百四十相加共得一千三百四十八為廉隅共法書於餘積之左以三商八乗之得一萬零七百八十四與三商廉隅共積相減恰盡是開得六百七十八尺為方面每一邊之數也設如正方面積三十五丈九十一尺六十寸四十九分開方問每一邊數幾何法列方積三十五丈九十一尺六十寸四十九分自末位起算每隔一位作記即於九分上定分位空寸上定寸位一尺上定尺位五丈上定丈位其三十五丈為初商積與五丈自乗之數相準即定初商為五丈書於方積五丈之上而以五丈自乗之二十五丈書於初商積之下相減餘一十丈即一千尺爰以方邊第二位積九十一尺續書於下共一千零九十一尺為次商廉隅之共積乃以初商五丈作五十尺倍之得一百尺為廉法以除一千零九十一尺足九尺即定次商為九尺書於方積一丈之上而以次商九尺為隅法與廉法一百尺相加共得一百零九尺為廉隅共法書於餘積之左以次商九尺乗之得九百八十一尺與次商廉隅共積相減餘一百一十尺即一萬一千寸復以方邊第三位積六十寸續書於下共一萬一千零六十寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之五丈九尺作五百九十寸倍之得一千一百八十寸為亷法以除一萬一千零六十寸足九寸即定三商為九寸書於方積空寸之上而以三商九寸為隅法與廉法一千一百八十寸相加共得一千一百八十九寸為廉隅共法書於餘積之左以三商九寸乗之得一萬零七百零一寸與三商廉隅共積相減餘三百五十九寸即三萬五千九百分復以方邊末位積四十九分續書於下共三萬五千九百四十九分為四商廉隅之共積乃以初商次商三商之五丈九尺九寸作五千九百九十分倍之得一萬一千九百八十分為廉法以除三萬五千九百四十九分足三分即定四商為三分書於方積九分之上而以四商三分為隅法與廉法一萬一千九百八十分相加共得一萬一千九百八十三分為廉隅共法書於餘積之左以四商三分乗之得三萬五千九百四十九分與四商廉隅共積相減恰盡是開得五丈九尺九寸三分為方面每一邊之數也設如正方面積五百八十五萬六千四百尺開方問每一邊數幾何法列方積五百八十五萬六千四百尺補二空位以足其分自末空位起算毎隔一位作記於空尺上定單位四百尺上定十位五萬尺上定百位五百萬尺上定千位其五百萬尺為初商積以初商本位計之則五百萬尺為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書於方積五百萬尺之上而以二自乗之四書於初商積之下相減餘一百萬尺爰以方邊第二位積八十五萬尺續書於下共一百八十五萬尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則五萬尺為次商積之單位而一百八十五萬尺為一百八十五而初商之二即為二十故以初商之二作二十倍之得四十為廉法以除一百八十五足四倍即定次商為四書於方積五萬尺之上而以次商四為隅法與廉法四十相加共得四十四為㢘隅共法書於餘積之左以次商四乗之得一百七十六與次商廉隅共積相減餘九萬尺復以方邊第三位積六千四百尺續書於下共九萬六千四百尺為三商㢘隅之共積以三商本位計之則四百為三商積之單位而九萬六千四百尺為九百六十四而初商之二即為二百次商之四即為四十故以初商次商之二四作二百四十倍之得四百八十為廉法以除九百六十四足二倍即定三商為二書於方積四百尺之上而以三商二為隅法與㢘法四百八十相加共得四百八十二為廉隅共法書於餘積之左以三商二乗之得九百六十四與三商㢘隅共積相減恰盡是開得二千四百二十尺為方面每一邊之數也此法方積之末有二空位故所得方邊之末亦補一空位凢設數未至單位者皆依此例補足位分然後開之設如正方面積八十二丈六十二尺八十一寸開方問每一邊數幾何法列方積八十二丈六十二尺八十一寸自末位起算每隔一位作記於一寸上定寸位於二尺上定尺位於二丈上定丈位其八十二丈為初商積與九丈自乗之數相準即定初商為九丈書於方積二丈之上而以九丈自乗之八十一丈書於方積八十二丈之下相減餘一丈即一百尺爰以方邊第二位積六十二尺續書於下共一百六十二尺為次商廉隅之共積乃以初商九丈作九十尺倍之得一百八十尺為㢘法以除一百六十二尺其數不足是次商為空位也乃書一空於方積二尺之上以存次商之位復以方邊末位積八十一寸續書於下共一百六十二尺八十一寸即一萬六千二百八十一寸為三商㢘隅之共積仍以一百八十尺作一千八百寸為㢘法以除一萬六千二百八十一寸足九寸即定三商為九寸書於方積一寸之上而以三商九寸為隅法與㢘法一千八百寸相加共得一千八百零九寸為㢘隅共法書於餘積之左而以三商九寸乗之得一萬六千二百八十一寸與三商㢘隅共積相減恰盡是開得九丈零九寸為方面每一邊之數也此法方積無空位而商出之方邊有空位凡㢘法除餘積而數不足者皆依此例推之設如正方面積六千四百一十一萬二千零四十九尺開方問每一邊數幾何法列方積六千四百一十一萬二千零四十九尺自末位起算每隔一位作記於九尺上定單位空百尺上定十位一萬尺上定百位四百萬尺上定千位其六千四百萬尺為初商積以初商本位計之則四百萬為初商積之單位而六千四百萬為六千四與八自乗之數相合即定初商為八書於方積四百萬尺之上而以八自乗之六十四書於初商積之下相減無餘爰以方邊第二位積一十一萬尺續書於下為次商廉隅之共積以次商本位計之則一萬尺為次商積之單位而一十一萬尺為一十一而初商之八即為八十故以初商之八作八十倍之得一百六十為廉法以除一十一其數不足是次商為空位乃書一空於方積一萬尺之上以存次商之位復以方邊第三位積二千尺續書於下共一十一萬二千尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則空百尺為三商積之單位而一十一萬二千尺為一千一百二十尺而初商之八即為八百次商之空即為空十故以初商次商之八空作八百倍之得一千六百為廉法以除一千一百二十其數仍不足是三商之為空位乃再書一空於方積空百尺之上以存三商之位復以方邊末位積四十九尺續書於下共一十一萬二千零四十九尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之八千倍之得一萬六千為廉法以除一十一萬二千零四十九足七倍即定四商為七書於方積九尺之上而以四商七為隅法與㢘法一萬六千相加共得一萬六千零七為㢘隅共法書於餘積之左而以四商七乗之得一十一萬二千零四十九與餘積相減恰盡是開得八千零七尺為方面每一邊之數也此法方積中雖有一空位而商出之方邊却有二空位凡開方遇此類者皆依此例推之設如有積一萬四千九百二十八尺開方問每一邊數幾何法列積一萬四千九百二十八尺自末位起算每隔一位作記於八尺上定單位九百尺上定十位一萬尺上定百位其一萬尺為初商積以初商本位計之則一萬尺為初商積之單位止與一自乗之數相合即定初商為一書於方積一萬尺之上而以一自乗之一書於初商積之下相減無餘爰以方邊第二位積四千九百尺續書於下為次商㢘隅之共積以次商本位計之則九百尺為次商積之單位而四千九百尺為四十九而初商之一即為一十故以初商之一作一十倍之得二十為廉法以除四十九足二倍即定次商為二書於方積九百尺之上而以次商二為隅法與㢘法二十相加共得二十二為㢘隅共法書於餘積之左以次商二乗之得四十四與次商廉隅共積相減餘五百尺復以方邊末位積二十八尺續書於下共五百二十八尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十為廉法以除五百二十八足二倍即定三商為二書於方積八尺之上而以三商二為隅法與廉法二百四十相加共得二百四十二為㢘隅共法書於餘積之左以三商二乗之得四百八十四與三商廉隅共積相減餘四十四尺不盡是開得一百二十二尺為方面每一邊之數仍餘四十四尺不盡也如欲以餘數再開則得方邊之寸數乃増書兩空於總積之後復續書兩空於四十四尺之後為幾十幾寸之位是則四十四尺作四千四百寸為四商廉隅之共積爰以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸倍之得二千四百四十寸為廉法以除四千四百寸足一倍即定四商為一寸書於餘積空寸之上而以四商一為隅法與廉法二千四百四十寸相加共得二千四百四十一寸為廉隅共法書於餘積之左以四商一寸乗之仍得二千四百四十一寸與餘積相減餘一千九百五十九寸不盡如再以餘數開之則得方邊之分數乃又續書兩空於後増空十空寸之後復續書兩空於五十九寸之後為幾十幾分之位是則一千九百五十九寸作一十九萬五千九百分為五商廉隅之共積爰以初商次商三商四商之一百二十二尺一寸作一萬二千二百一十分倍之得二萬四千四百二十分為廉法以除一十九萬五千九百分足八倍即定五商為八分書於餘積空分之上而以五商八為隅法與㢘法二萬四千四百二十分相加共得二萬四千四百二十八分為廉隅共法書於餘積之左以五商八分乗之得一十九萬五千四百二十四分與餘積相減仍餘四百七十六分不盡是開得一百二十二尺一寸八分為方面每一邊之數也此法原積本非自乗所得之數雖遞析之終不能盡凡開方遇此類者皆依此例推之設如有一方臺上面共鋪方甎四千零九十六塊問每一邊得甎幾何法列方甎四千零九十六塊為方積於六塊上定單位空百塊上定十位其四千塊為初商積以初商本位計之則空百塊為初商積之單位而四千塊為四十與六自乗之數相準即定初商為六書於方積空百塊之上而以六自乗之三十六書於初商積之下相減餘四百塊爰以餘積九十六塊續書於下共四百九十六塊為次商廉隅之共積而以初商六作六十倍之得一百二十為廉法以除四百九十六足四倍即定次商為四書於方積六塊之上而以次商四為隅法與廉法一百二十相加共得一百二十四為廉隅共法書於餘積之左以次商四乗之得四百九十六與餘積相減恰盡是開得六十四塊為方臺上面每一邊之甎數也設如有三百六十一人用船分載其每船所載人數與共船數相等問共船幾何法列三百六十一人為方積於一人上定單位三百人上定十位其三百人為初商積以初商本位計之則三百為初商積之單位止與一自乗之數相準即定初商為一書於方積三百之上而以一自乗之一書於初商積之下相減餘二百爰以餘積六十一續書於下共二百六十一為次商廉隅之共積而以初商一作一十倍之得二十為廉法以除二百六十一足九倍即定次商為九書於方積一人之上而以次商九為隅法與廉法二十相加共得二十九為㢘隅共法書於餘積之左以次商九乗之得二百六十一與餘積相減恰盡是開得十九為共船數而每船載十九人也設如有銀七百八十四兩散給夫匠其每人所得銀數與其人數相等問共人數幾何法列七百八十四兩為方積於四兩上定單位七百兩上定十位其七百兩為初商積以初商本位計之則七百為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書於方積七百之上而以二自乗之四書於初商積之下相減餘三百爰以餘積八十四續書於下共三百八十四為次商廉隅之共積而以初商二作二十倍之得四十為廉法以除三百八十四足八倍即定次商為八書於方積四兩之上而以次商八為隅法與㢘法四十相加共得四十八為㢘隅共法書於餘積之左以次商八乗之得三百八十四與餘積相減恰盡是開得二十八為共人數而每人得銀二十八兩也設如用船運粮六千五百六十一石欲取一船别用將此船米分載各船每船領去一石其本船尚餘一石問共船幾何法列米六千五百六十一石為方積於一石上定單位五百石上定十位其六千五百石為初商積以初商本位計之則五百石為初商積之單位而六千五百為六十五與八自乗之數相準即定初商為八書於方積五百之上而以八自乗之六十四書於初商積之下相減餘一百爰以餘積六十一續書於下共一百六十一為次商廉隅之共積而以初商八作八十倍之得一百六十為廉法以除一百六十一足一倍即定次商為一書於方積一石之上而以次商一為隅法與廉法一百六十相加共得一百六十一為廉隅共法書於餘積之左以次商一乗之仍得一百六十一與餘積相減恰盡是開得八十一為共船數而每船載米八十一石也此法葢因一船所載之米分與各船毎船各領一石即共去八十石故本船尚餘一石也設如有錢一萬五千六百二十五文買瓜每瓜一個與脚錢一文因無現錢將一瓜準作脚錢問瓜數幾何法列錢一萬五千六百二十五為方積於五文上定單位六百上定十位一萬上定百位其一萬為初商積以初商本位計之則一萬為初商積之單位止與一自乗之數相合即定初商為一書於方積一萬之上而以一自乗之一書於初商積之下相減無餘爰以第二位積五千六百續書於下為次商㢘隅之共積以次商本位計之則六百為次商積之單位而五千六百為五十六而初商之一即為一十故以初商之一作一十倍之得二十為廉法以除五十六足二倍即定次商為二書於方積六百之上而以次商二為隅法與㢘法二十相加共得二十二為㢘隅共法書於餘積之左以次商二乗之得四十四與次商廉隅共積相減餘一千二百復以末位積二十五續書於下共一千二百二十五為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十為㢘法以除一千二百二十五足五倍即定三商為五書於方積五文之上而以三商五為隅法與㢘法二百四十相加共得二百四十五為㢘隅共法書於餘積之左以三商五乗之得一千二百二十五與餘積相減恰盡是開得一百二十五為共瓜之數亦即每瓜之價也此法因每瓜應給脚錢一文今以一瓜準之即知一瓜之價與瓜之共數相等故以開方法算之而得也帶縱平方帶縱平方者兩等邊直角長方面積也有積數因長比闊之較或長與闊之和而得邊故曰帶縱葢正方之縱横皆同故止有積即可得其邊若長方則縱横不等知其積又必知其縱横相差之較或縱横相併之和始能得其邊故以長闊之較為問者則皆較為帶縱加所開之數商除之而得闊或四因積數加較自乗平方開之即長闊之和和加較半之而得長和減較半之而得闊或半較自乗加原積而開平方即得半和加半較而得長減半較而得闊如以長闊之和為問者則用和為帶縱減去所開之數商除之而得闊或四因積數減和自乗平方開之即長闊之較較減和半之而得闊較加和半之而得長或半和自乗減原積而開平方即得半較加半和而得長減半和而得闊夫用半較半和之法與四因積數之法同出一理葢四因積數加全較自乗故開方而得全和半較自乗加原積故開方而得半和四因積數減全和自乗故開方而得全較半和自乗減原積故開方而得半較此即面與線之比例面加四倍而邊加一倍邊得其半而積為四分之一也法雖不一要之皆使歸於正方以求其和較是則雖曰帶縱仍不外乎平方之理也設如有長方面積八尺縱多二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之積八尺止可商二尺乃以二尺書於原積八尺之上而以所商二尺加縱多二尺得四尺以所商二尺乗之得八尺書於原積之下相減恰盡即知長方之闊得二尺加入縱多二尺得四尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺其甲乙邊長四尺甲丁邊闊二尺其甲乙長比甲丁闊所多戊乙即縱多之數初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一邊葢因此法長闊兩邊俱止一位而積亦止一位故初商所得即為一邊而加入縱多即又一邊是以兩邊相乗而與原積相等也又法以積八尺用四因之得三十二尺而以縱多二尺自乗得四尺加八四因之數得三十六尺開方得六尺即為長闊相和之數乃以縱多二尺與長闊之和六尺相加得八尺折半得四尺即長方之長減縱多二尺得二尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四長方形廻環相湊成一空心正方式再加入縱多二尺自乗之丑丙庚癸之一小正方形即成甲戊辛子之一大正方形其甲戊類每一邊即長闊之和故開方得長闊之和既得和加縱多是為倍長故折半而得長減縱多則為倍闊故折半而得闊或得長而減縱多亦得闊也又法先將縱多二尺折半得一尺為半較自乗仍得一尺與原積八尺相加得九尺平方開之得三尺為半和於半和減半較得二尺為闊於半和加半較得四尺為長如圖甲乙丙丁長方形甲乙為長甲丁為闊戊乙為縱多之較將較折半於庚而移庚乙丙辛置於丁己癸壬再加己辛子癸半較自乗之方則成甲庚子壬一正方形故開方而得甲庚甲壬之邊皆為半和也於甲壬之半和減丁壬之半較得甲丁之闊於甲庚之半和加庚乙之半較得甲乙之長也又圖甲乙丙丁長方形容積八尺將甲丁邊引長作丁辛與丁丙等則甲辛為長闊之和又如甲乙邊截甲丁於庚則庚丁為長闊之較甲辛和折半於己而庚丁較亦折半於己故以己為心甲為界作一半圜而引丙丁邊至戊界作一戊丁直線戊巳輻線則甲巳戊己巳辛皆為半和而庚己己丁皆為半較且甲丁戊丁丁辛又為連比例之三線矣其戊丁中率自乗之方與甲丁首率丁辛末率相乗之長方等(見幾何原本九卷第三節)則是戊丁自乗之方與原設甲乙丙丁長方之積等也又戊丁巳為勾股形其戊丁邊自乗之方與己丁邊自乗之方相併而與戊巳自乗之方等(見幾何原本九卷第四節)故與原設甲乙丙丁長方積等之戊丁自乗之方加以己丁半較自乗之數開方而得戊巳為半和於戊巳相等之己辛半和減己丁半較而得丁辛與丁丙等之闊又與戊巳相等之甲巳半和加己丁半較而得甲丁之長也設如有長方面積一千二百五十四尺縱多五尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其一千二百為初商積可商三十尺乃以三十尺書於原積二十尺之上而以初商三十尺加縱多五尺得三十五尺以初商三十尺乗之得一千零五十尺書於原積之下相減餘二百零四尺為次商廉隅之共積乃以初商三十尺倍之得六十尺加縱多五尺得六十五尺為廉法以除二百零四尺足三尺則以三尺書於原積四尺之上而以廉法六十五尺加隅法三尺得六十八尺為廉隅共法以次商三尺乗之得二百零四尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得三十三尺加縱多五尺得三十八尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積一千二百五十四尺其甲乙邊長三十八尺甲丁邊闊三十三尺其甲乙長比甲丁闊所多之甲辛即縱多之數其甲戊己庚長方形容積一千零五十尺即初商所減之積其辛壬與辛戊俱三十尺即初商數其甲戊三十五尺即初商加縱多之數其戊乙丑己壬己子癸兩長方為兩方廉庚壬癸丁小長方為縱廉方廉有二縱廉止一故倍初商加縱多數為廉法其己丑丙子為隅其長闊皆與次商等故以次商為隅法合兩方廉一縱廉一小隅成一磬折形環附初商長方之兩傍成一大長方與平方之理無異若次商仍減積不盡則又為兩方廉一縱廉一小隅復成一磬折形得三商四商以至多商皆依此法遞析開之又法以積一千二百五十四尺用四因之得五千零一十六尺而以縱多五尺自乗得二十五尺加入四因之數得五千零四十一尺開方得七十一尺即為長闊相和之數乃以縱多五尺與長闊之和七十一尺相加得七十六尺折半得三十八尺即長方之長減縱多五尺即長方之闊也又法先將縱多五尺折半得二尺五寸為半較自乗得六尺二十五寸與原積一千二百五十四尺相加得一千二百六十尺二十五寸開方得三十五尺五寸為半和於半和減半較得三十三尺為闊於半和加半較得三十八尺為長也設如有長方面積一十八萬一千四百六十丈縱多八丈問長闊各幾何法列積如開平方法商之其一十八萬丈為初商積可商四百丈乃以四百丈書於原積八萬丈之上而以初商四百丈加縱多八丈得四百零八丈以初商四百丈乗之得一十六萬三千二百丈書於原積之下相減餘一萬八千二百六十丈為次商廉隅之共積乃以初商四百丈倍之得八百丈加縱多八丈得八百零八丈為㢘法以除一萬八千二百六十丈足二十丈則以二十丈書於原積四百丈之上而以廉法八百零八丈加隅法二十丈得八百二十八丈為廉隅共法以次商二十丈乗之得一萬六千五百六十丈書於餘積之下與餘積相減餘一千七百丈為三商廉隅之共積乃以初商次商之二百四十丈俱倍之得八百四十丈加縱多八丈得八百四十八丈為廉法以除一千七百丈足二丈則以二丈書於原積空丈之上而以廉法八百四十八丈加隅法二丈得八百五十丈為廉隅共法以三商二丈乗之得一千七百丈書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得四百二十二丈加縱多八丈得四百三十丈即為長方之長也又法以縱多八丈折半得四丈為半較自乗得十六丈與原積一十八萬一千四百六十丈相加得一十八萬一千四百七十六丈開方得四百二十六丈為半和於半和減半較得四百二十二丈為闊於半和加半較得四百三十丈為長也設如有長方面積四萬五千二百九十六尺縱多一百四十六尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其四萬尺為初商積可商二百尺加縱多一百四十六尺得三百四十六尺以所商二百尺乗之得六萬九千二百尺大於原積是初商不可商二百尺也乃改商一百尺書於原積四萬尺之上而以所商一百尺加縱多一百四十六尺得二百四十六尺以初商一百尺乗之得二萬四千六百尺書於原積之下相減餘二萬零六百九十六尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺加縱多一百四十六尺得三百四十六尺為廉法以除二萬零六百九十六尺足五十尺則以五十尺書於原積二百尺之上而以廉法三百四十六尺加隅法五十尺得三百九十六尺為廉隅共法以次商五十尺乗之得一萬九千八百尺書於餘積之下與餘積相減餘八百九十六尺為三商廉隅之共積乃以初商次商之一百五十尺倍之得三百尺加縱多一百四十六尺得四百四十六尺為廉法以除八百九十六尺足二尺則以二尺書於原積六尺之上而以廉法四百四十六尺加隅法二尺得四百四十八尺為廉隅共法以三商二尺乗之得八百九十六尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百五十二尺加縱多一百四十六尺得二百九十八尺即為長方之長也此法原積初商應得二百尺因加縱多相乗得數大於原積故改商一百尺始合凡開帶縱方遇此類者皆依此例推之又法加縱多一百四十六尺折半得七十三尺為半較自乗得五千三百二十九尺與原積四萬五千二百九十六尺相加得五萬零六百二十五尺開方得二百二十五尺為半和於半和減半較得一百五十二尺為闊於半和加半較得二百九十八尺為長也設如有長方面積一萬六千一百二十八尺縱多七十二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其一萬為初商積可商一百尺加縱多七十二尺得一百七十二尺以初商一百尺乗之得一萬七千二百尺大於原積是初商不可商一百尺也乃改商九十尺書於原積一百尺之上而以所商九十尺加縱多七十二尺得一百六十二尺以所商九十尺乗之得一萬四千五百八十尺書於原積之下相減餘一千五百四十八尺為次商廉隅之共積乃以初商九十尺倍之得一百八十尺加縱多七十二尺得二百五十二尺為廉法以除一千五百四十八尺足六尺則以六尺書於原積八尺之上而以廉法二百五十二尺加隅法六尺得二百五十八尺為廉隅共法以次商六尺乗之得一千五百四十八尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊為九十六尺加縱多七十二尺得一百六十八尺即長方之長也此法原積初商應得一百尺因加縱多相乗得數大於原積故改商九十尺而原積一萬尺之上應開百位者空其位而不計也或縱多太大過於初商所得之數則用四因積數之法或用縱多折半之法設例在後設如有長方面積三萬四千五百六十九尺縱多三千八百三十二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其三萬尺為初商積應商一百尺而縱多數為三千轉大如初商數凡遇此類則用四因積數加較自乗開方法之或用半較自乗加於原積開方之法為明白簡易也故以縱多三千八百三十二尺折半得一千九百一十六尺為半較自乗得三百六十七萬一千零五十六尺與原積三萬四千五百六十九尺相加得三百七十萬五千六百二十五尺開方得一千九百二十五尺為半和於半和減半較得九尺為闊於半和加半較得三千八百四十一尺為長也設如有月臺一座共用方甎一千九百二十塊其長比闊多八塊問長闊兩面各用甎幾何法以長比闊多八塊折半得四塊為半較自乗得十六塊與積數一千九百二十塊相加得一千九百三十六塊開方得四十四塊為半和於半和四十四塊減半較得四十塊為闊面甎數於半和加半較得四十八塊為長面甎數也設如有銀三百六十兩賞人其人數比每人所得銀數為五分之二問人數及每人所得銀數各幾何法先用比例分其總銀數以五分為一率二分為二率三百六十兩為三率得四率一百四十四兩開方得十二為人數以人數除共銀數三百六十兩得三十兩為每人所得之銀數也此法以人數為闊其每人所得銀數為長成一長方形人數既居銀數之五分之二是闊為二分長為五分也今將其共銀分作五分而取其二分即人數與所得銀數相等而成正方形矣故開方而得人數也設如有長方面積八尺長闊相和六尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之積八尺止可商二尺乃以二尺書於原積八尺之上而以所商二尺與和數六尺相減餘四尺以所商二尺乗之得八尺書於原積之下相減恰盡即知長方之闊得二尺與和六尺相減得四尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺其甲乙邊長四尺甲丁邊闊二尺其甲丁與甲乙相併得六尺即長闊之和初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一邊葢兩邊俱止一位故以初商所得為一邊於長闊和内減去初商所餘即又一邊是以兩邊相乗而與原積相等也此法比較數為問者在加減之異其以較數為問者以所商之數與較數相加此以和數為問者則以所商之數與和數相減也又法以積八尺用四因之得三十二尺而以和數六尺自乗得三十六尺減去四因之數餘四尺開方得二尺即為長闊相較之數乃以較數二尺與和數六尺相加得八尺折半得四尺即長方之長減較二尺得二尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四長方形廻環相湊成一空心正方式較之和數六尺自乗之甲戊辛子正方形所少者止正中之一小正方形故相減即餘丑丙庚癸之一小正方形其丑丙類每一邊即長闊之較故開方得長闊之較既得較加於和數是為倍長故折半而得長長減較而得闊也此法比較數為問者亦在加減之異其以較為問者用較自乗與四因數相加開方而得和此以和為問者用和自乗與四因數相減開方而得較也又法先將和數六尺折半得三尺為半和自乗得九尺與原積八尺相減得一尺平方開之仍得一尺為半較於半和減半較得二尺為闊於半和加半較得四尺為長如圖甲乙丙丁長方形甲乙為闊甲丁為長甲壬為長闊和(丁壬與丁丙闊)(等)折半為甲庚半和將甲乙丙丁長方内之庚辛丙丁移於乙丑癸己則成甲丑癸己辛庚一磬折形與甲庚半和自乗之甲丑子庚正方形相減餘己癸子辛一小正方形即半較自乗之方故開方而得半較也故甲丑之半和減乙丑之半較得甲乙之闊於甲庚之半和加庚丁之半較得甲丁之長也又圖甲乙丙丁長方形容積八尺甲壬為長闊之和甲庚己庚庚壬皆半和甲丁長減等甲乙闊之甲戊餘戊丁為長闊之較其庚丁則為半較而甲丁己丁丁壬又為連比例之三線故己丁中率自乗之方與甲丁首率丁壬末率相乗之長方等(見幾何原本九卷第三節)則是己丁自乗之方與原設甲乙丙丁長方之積等也又己庚丁為勾股形其己丁邊自乗之方與丁庚邊自乗之方相併而與己庚自乗之方等(見幾何原本九卷第四節)故於己庚半和自乗方内減去與原設甲乙丙丁長方積相等之己丁自乗之數開方而得庚丁為半較於己庚相等之庚壬半和内減庚丁半較而得丁壬與丁丙等之闊又於己庚相等之甲庚半和加庚丁半較而得甲丁之長也設如有長方面積八百六十四尺長闊相和六十尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其八百尺為初商積可商二十尺乃以二十尺書於原積八百尺之上而以初商二十尺與和數六十尺相減得四十尺以初商二十尺乗之得八百尺書於原積之下相減餘六十四尺為次商廉隅之共積乃以初商二十尺倍之得四十尺與和數六十尺相減餘二十尺為廉法以除六十四尺足三尺因廉法内尚要減去商數為法故取大數為四尺則以四尺書於原積四尺之上而以廉法二十尺與次商四尺相減得十六尺以次商四尺乗之得六十四尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得二十四尺與和六十尺相減餘三十六尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八百六十四尺其甲乙邊闊二十四尺甲丁邊長三十六尺甲戊為長闊和六十尺其丁戊與甲乙等甲子二十尺為初商數與辛戊等甲辛四十尺則和内減去初商之數兩數相乗成甲子己辛長方形即初商所減之積也丁戊既與甲乙等辛戊又與甲子等則丁辛與子乙等丁庚己辛小長方積與庚丑壬丙長方積等是則次商廉隅之共積即子乙壬丑之積也次於甲戊和内減倍初商數四十尺如寅戊餘甲寅二十尺與子癸等為廉法子乙者為次商數也子乙與丑癸等則於子癸廉法内減丑癸餘子丑與次商子乙相乗得子乙壬丑小長方即次商所減之積故減原積恰盡也以初商甲子二十尺合次商子乙四尺得甲乙二十四尺為闊於甲戊長闊和六十尺内減與甲乙相等之丁戊闊二十四尺得甲丁三十六尺為長也三商以後皆倣此遞析開之又法以積八百六十四尺用四因之得三千四百五十六尺而以和六十尺自乗得三千六百尺減去四因之數餘一百四十四尺開方得一十二尺即為長闊之較乃以較十二尺與和六十尺相加得七十二尺折半得三十六尺即長方之長減較十二尺得二十四尺即長方之闊也又法先將和數六十尺折半得三十尺為半和自乗得九百尺與原積八百六十四尺相減得三十六尺開方得六尺為半較於半和減半較得二十四尺為闊於半和加半較得三十六尺為長也設如有長方面積一萬九千三百一十二尺長闊相和二百七十八尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其一萬尺為初商積可商一百尺乃以一百尺書於原積一萬尺之上而以初商一百尺與和數二百七十八尺相減得一百七十八尺以初商一百尺乗之得一萬七千八百尺書於原積之下相減餘一千五百一十二尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺與和數相減得七十八尺為廉法以除一千五百一十二尺止足一十尺因廉法内尚要減去商數為法故取大數為三十尺則以三十尺書於原積三百尺之上而以廉法七十八尺與次商三十尺相減得四十八尺以次商三十尺乗之得一千四百四十尺書與餘積之下與餘積相減餘七十二尺為三商廉隅之共積乃以初商次商之一百三十尺倍之得二百六十尺與和數二百七十八尺相減餘十八尺為廉法以除七十二尺止足四尺亦因取大於足除之數故定為六尺則以六尺書於原積二尺之上而以廉法十八尺與三商六尺相減得十二尺以三商六尺乗之得七十二尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百三十六尺與和二百七十八尺相減餘一百四十二尺即為長方之長也此法次商三商皆取大於足除之數反覆商除始能相符不若四因積數減和自乗開方之法或半和自乗減原積開方之法為整齊也法以一萬九千三百一十二尺用四因之得七萬七千二百四十八尺而以和二百七十八尺自乗得七萬七千二百八十四尺減去四因之數餘三十六尺開方得六尺即為長闊之較乃以較六尺與和二百七十八尺相加得二百八十四尺折半得一百四十二尺即長方之長減較六尺得一百三十六尺即長方之闊也設如有長方面積六萬九千三百六十尺長闊相和七百八十二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其六萬為初商積可除二百尺而以二百尺與和數七百八十二尺相減得五百八十二尺以初商二百尺乗之得十一萬六千四百尺大於積數乃改商一百尺書於原積六萬尺之上而以所商一百尺與和數七百八十二尺相減得六百八十二尺以初商一百尺乗之得六萬八千二百尺書於原積之下相減餘一千一百六十尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺與和數七百八十二尺相減得五百八十二尺為廉法以除一千一百六十尺止足二尺爰書空位於原積三百尺之上而以二尺書於原積空尺之上而以廉法五百八十二尺與三商二尺相減得五百八十尺以三商二尺乗之得一千一百六十尺書於原積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百零二尺與和七百八十二尺相減餘六百八十尺即為長方之長也此法初商應商二百尺因減縱相乗得數轉大於原積故改商一百尺凡遇此類不若用四因積數之法與半和自乗之法算之法以和數七百八十二尺折半得三百九十一尺自乗得一十五萬二千八百八十一尺與原積六萬九千三百六十尺相減餘八萬三千五百二十一尺開方得二百八十九尺為半較於半和減半較得一百零二尺為闊於半和加半較得六百八十尺為長也設如有錢四千七百六十文買果樹不知數但知樹之共數與每株之價相加得一百七十四問樹數及價各幾何法以共數一百七十四折半得八十七為半和自乗得七千五百六十九與共錢四千七百六十文相減餘二千八百零九開方得五十三為半較於半和減半較餘三十四為樹數於半和加半較得一百四十為樹價也此法以樹數為闊樹價為長成一長方形其樹數與樹價相加即如長闊之和故以半和自乗減積開方得半較既得半較以減半和為樹數加半和為樹價也設如有法書一卷共一千一百五十九字其行數與每行字數相加共八十問行數及字數各幾何法以和數八十折半得四十為半和自乗得一千六百與共字一千一百五十九相減餘四百四十一開方得二十一為半較於半和加半較得六十一為行數於半和減半較餘十九為每行字數也設如有五百八十八人用船均載其船數與每船所載人數相加比船數多四分之三問船數與每船所載人數各幾何法先用比例分其積以三分為一率一分為二率五百八十八人為三率得四率一百九十六人用開平方法開之得十四為船數以三因之得四十二為每船所載之人數也此以船數為闊每船所載人數為長成一長方形船數與人數相加即如長闊之和和數既比船數多四分之三則是和數為四分每船所載人數為三分船數為一分即闊為一分長為三分也故將共人數三分之而取其一則人數與船數同為一分而成正方形矣故平方開之即得船數每船所載人數既為船數之三倍故三因之為所載人數也御製數理精藴下編卷十一
## 下編卷十二
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十二面部二勾股(定勾股無零數法形内勾股弦相求法附勾股求積 勾股 求中垂線及容方圓)(等形相求勾股弦和較 法)勾股周髀曰折矩以為勾廣三股修四徑隅五既方其外半其一矩環而共盤得成三四五兩矩共長二十有五是為積矩此言勾股正數之所以立法也葢勾股得長方之半形故其一角必成矩(所謂直角也)而後可謂勾股如其一角不能成矩則為三角形而非勾股矣因勾股一角必直故立於圜界之正一半而自直角所作垂線遂成連比例三率是以直角相對界所作方形之積必與兩傍二界所作兩方形之積等(見幾何原)(本九卷第四節)而勾股弦彼此相求之法於此生焉其法所該有四一勾股弦三者知其二而得其一或知其二而得其積一勾股形自其直角對弦界求垂線一勾股形内容方圓等形一勾股弦三者知其一復知其餘二者之較或二者之和而得其二或知其兩較或兩和或一較一和而得其三(勾股弦和較之法雖雜出多端然皆不出勾股)(弦方積相求之理較有勾股較勾弦較股弦較和有勾股和勾弦和股弦和和較相疉則又有弦與勾股)(和相和或名之曰弦和和有弦與勾股和相較或名之曰弦和較有弦與勾股較相和或名之曰弦較和)(有弦與勾股較相較或名之曰弦較較又有勾與股弦和相和者或名之曰勾和和股與勾弦和相和者)(或名之曰股和和即弦和和也勾與股弦和相較者或名之曰勾和較股與勾弦較相和者或名之曰股)(較和即弦較和也股與勾弦和相較者或名之曰股和較勾與股弦較相和者或名之曰勾較和即弦較)(較也勾與股弦較相較者或名之曰勾較較股與勾弦較相較者或名之曰股較較即弦和較也)此四者皆勾股之正法理一定而數隨之者也至若勾三股四弦五之類倍之至於億兆而總不越此一定之分者名曰正勾股槩以比例推之則三者止有其一即可得其二或有積而即得其三界此為數一定而法隨之者也一一按類列題發明如左定勾股弦無零數法設如用二四八連比例三率定勾股弦無零數問各得幾何法以中率四命為四尺為股首率二尺與末率八尺相減餘六尺折半得三尺為勾首率二尺與末率八尺相加得十尺折半得五尺為弦也如圖甲乙為首率二尺丙乙為中率四尺乙丁為末率八尺今以甲乙與乙丁相和共為甲丁十尺而以丙乙立於甲丁線相和之乙處乃以甲丁折半於戊以戊為心甲丙丁為界作半圜復以丙至甲至丁作丙甲丙丁二線遂成甲丙丁勾股形其丙角立於圜界之半必為直角(見幾何原本四卷第)(十四節)而丙乙為垂線即將甲丙丁勾股形分為甲乙丙丙乙丁兩勾股形而與原形為同式三勾股形矣(見幾何原本九卷第一節)其甲乙與丙乙之比同於丙乙與乙丁之比為連比例三率故以中率丙乙為股而首率甲乙(與己丁等)與末率乙丁相減餘乙己折半得乙戊為勾又首率甲乙與末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊戊丁二半徑與丙戊等為弦也此法原為定勾股弦三者俱無零數之法所設之數必彼此可以度盡始可立為準則否則勾股弦三者必有一不盡之數矣設如有四六可以度盡之兩數欲定勾股弦無零數問各得幾何法以四尺為首率六尺為中率將中率六尺自乗得三十六尺用首率四尺除之得九尺為末率乃以中率六尺為股首率四尺與末率九尺相減餘五尺折半得二尺五寸為勾首率四尺與末率九尺相加得十三尺折半得六尺五寸為弦也如圖甲乙為首率四尺丙乙為中率六尺今以中率六尺自乗用首率四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲乙首率乙丁末率相和折半於戊以戊為心甲丙丁為界作半圜復自丙至甲至丁作二線則成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即為丙直角之垂線故以中率丙乙為股而首率甲乙與末率乙丁相減餘乙己折半得乙戊為勾而首率甲乙與末率乙丁相加得甲丁折半得甲戊戊丁與丙戊等為弦也設如有四六九連比例三率以中率六倍之為股定勾弦無零數問各得幾何法以首率四尺與末率九尺相減餘五尺為勾首率四尺與末率九尺相加得十三尺為弦也如圖甲乙為首率四尺丙乙為中率六尺乙丁為末率九尺爰以甲乙首率與乙丁末率相和折半於戊以戊為心甲丙丁為界作一全圜復自丙至甲至丁作二線則成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即為丙直角之垂線今將中率丙乙倍之即得丙庚為股故以首率甲乙(與己丁等)與末率乙丁相減餘乙己與庚辛等為勾又首率甲乙與末率乙丁相加得甲丁全徑與丙辛等為弦也葢前二法用中率為股故以首率末率相減折半為勾首率末率相加折半為弦此法則倍中率為股故以首率末率相減即為勾首率末率相加即為弦而皆不用折半也又圖甲乙為首率四尺乙丙為末率九尺甲丙為首率與末率相加之十三尺丁丙為首率與末率相減所餘之五尺如依甲丙線度作甲戊己丙正方形即為弦自乗之方如依丁丙線度作丁庚辛丙正方形即為勾自乗之方今以乙丙末率亦作一正方形將兩邊線引長至甲戊己丙正方形界則成甲癸丑乙與丑壬己子二長方形仍餘癸戊壬丑一小正方形又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引長至乙丑子丙正方形之丑子界則又成乙丑寅丁一長方形與前一長方形等仍餘庚寅子辛一小長方形合前癸戊壬丑一小正方形則亦與前一長方形等是此四長方形皆為首率與末率相乗之長方而與中率自乗之正方形相等矣(見算法原本二卷第三節)如以此四長方形共計之則為甲戊己辛庚丁一磬折形今甲戊己丙既為弦自乗之一正方而丁庚辛丙又為勾自乗之一正方則兩方相減所餘之甲戊己辛庚丁磬折形之積與股自乗之一正方等(見幾何原本九卷第四節)甲戊己辛庚丁磬折形既為四長方之共積則四長方之共積亦必與股自乗之一正方等首率末率相乗之四長方既與股自乗之一正方等則中率自乗之四正方亦必與股自乗之一正方等是故中率自乗之四正方合之而為股自乗之一正方則其每邊必比中率各大一倍(見幾何原本七卷第五節)故倍中率而為股者必取首率末率之和而為弦首率末率之較而為勾葢首率末率相和自乗之一正方内減去首率末率相較自乗之一正方甫能得中率加倍自乗之一正方積也勾股弦相求法(勾股求積附)設如有股四尺勾三尺求弦幾何法以股四尺自乗得十六尺勾三尺自乗得九尺相加得二十五尺開方得五尺即為弦也如圖甲乙丙勾股形其甲乙股所作丁戊乙甲正方形積乙丙勾所作乙己庚丙正方形積相併必與甲丙弦所作甲丙壬辛正方形積等試自乙直角過甲丙弦作一乙癸子線則將甲丙壬辛正方形分為甲癸子辛癸丙壬子二長方形而甲乙丙勾股形分為甲乙癸乙丙癸同式兩勾股形矣其甲癸與甲乙之比同於甲乙與甲丙之比為連比例三率故甲乙中率所作丁戊乙甲正方形與甲癸首率甲丙末率相等之甲辛所作甲癸子辛長方形之積相等也又癸丙與乙丙之比同於乙丙與甲丙之比為連比例三率故乙丙中率所作乙己庚丙正方形與癸丙首率甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子長方形之積相等也一正方所分之二長方既與二正方之積相等則此二正方之積相合與彼一正方之積相等可知矣設如有勾五尺弦十三尺求股幾何法以勾五尺自乗得二十五尺弦十三尺自乗得一百六十九尺相減餘一百四十四尺開方得十二尺即為股也如圖甲乙丙勾股形自乙直角過甲丙弦作一乙癸子線則將甲丙壬辛正方形分為甲癸子辛癸丙壬子二長方形其癸丙壬子長方形積與乙丙勾所作乙己庚丙正方形積等其甲癸子辛長方形積與甲乙股所作丁戊乙甲正方形積等故甲丙弦所作甲丙壬辛正方形内減去與乙己庚丙正方形相等之癸丙壬子長方形餘甲癸子辛長方形即與丁戊乙甲正方形之積相等故開方而得甲乙為股也設如有股二十一尺弦二十九尺求勾幾何法以股二十一尺自乗得四百四十一尺弦二十九尺自乗得八百四十一尺相減餘四百尺開方得二十尺即為勾也如圖甲乙丙勾股形自乙直角過甲丙弦作一乙癸子線則將甲丙壬辛正方形分為甲癸子辛癸丙壬子二長方形其甲癸子辛長方形積與甲乙股所作丁戊乙甲正方形積等其癸丙壬子長方形積與乙丙勾所作乙己庚丙正方形積等故甲丙弦所作甲丙壬辛正方形内減去與丁戊乙甲正方形相等之甲癸子辛長方形餘癸丙壬子長方形即與乙己庚丙正方形之積相等故開方而得乙丙為勾也設如有勾六尺股八尺求面積幾何法以勾六尺與股八尺相乗得四十八尺折半得二十四尺為面積也如圖甲乙丙勾股形其乙丙勾與甲乙股相乗則成甲乙丙丁長方形其積比甲乙丙勾股形正大一倍故折半得勾股積也若有勾弦求面積則用勾弦求股之法得股與勾相乗折半得面積或有股弦求面積則用股弦求勾之法得勾與股相乗折半得面積也又法將勾六尺折半得三尺與股八尺相乗亦得二十四尺為面積也如圖甲乙丙勾股形將乙丙勾折半為乙丁與甲乙股相乗成甲乙丁戊長方形其甲戊己小勾股形與己丁丙小勾股形之積等如以甲戊己小勾股形移於己丁丙適合甲乙丙勾股形積故甲乙丁戊長方形積與甲乙丙勾股形積相等也勾股形内求中垂線及容方圓等形設如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角對弦界作垂線問得幾何法以弦十尺為一率勾六尺為二率股八尺為三率推得四率四尺八寸即為自直角對弦界所作垂線也如圖甲乙丙勾股形作甲丁垂線則將甲乙丙勾股形分為甲丁乙甲丁丙兩勾股形皆與原形為同式故原甲乙丙勾股形之乙丙弦與甲乙勾之比同於今所分甲丁丙勾股形之甲丙弦與甲丁勾之比而為相當比例四率也設如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角對弦界作垂線分弦為二段問所分二段大小各幾何法以勾六尺自乗得三十六尺以弦十尺除之得三尺六寸為垂線所分之小界以股八尺自乗得六十四尺以弦十尺除之得六尺四寸為垂線所分之大界也如圖甲乙丙勾股形作甲丁垂線則分甲乙丙勾股形為甲丁乙甲丁丙兩勾股形皆與原形為同式故原甲乙丙勾股形之乙丙弦與甲乙勾之比同於今所分甲丁乙勾股形之甲乙弦與乙丁勾之比為連比例三率而原甲乙丙勾股形之乙丙弦與甲丙股之比又同於今所分甲丁丙勾股形之甲丙弦與丙丁股之比亦為連比例三率是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾又為今所分甲丁乙勾股形之弦者為中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙弦為首率除之得末率乙丁為甲丁垂線所分之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又為今所分甲丁丙勾股形之弦者為中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙弦為首率除之得末率丁丙為甲丁垂線所分之大界也設如有勾五尺股十二尺問内容方邊幾何法以勾五尺與股十二尺相加得十七尺為一率勾五尺為二率股十二尺為三率推得四率三尺五寸二分九釐有餘為内容方邊也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股十二尺乙丙為勾五尺試依乙丙勾數將甲乙股引長作甲戊線為勾股和十七尺自戊與乙丙勾平行作戊丁線又將甲丙弦引長作甲丁線則成甲戊丁同式勾股形復自丙角與甲戊線平行作丙壬線則成丙壬戊乙正方即為甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股與乙丙方邊之比同於甲乙丙勾股形之甲乙股與己辛方邊之比也設如有方城一座四正有門自南門直行八里有一塔自西門直行至二里切城角亦望見塔問城每面幾何法以西門外二里與南門外八里相乗得十六里開方得四里倍之得八里即為城每一面之數也如圖甲乙丙勾股形乙己為西門外二里甲丁為南門外八里戊己與戊丁皆為城之每邊之一半而甲丁戊勾股形與戊己乙勾股形為同式故乙己與己戊之比同於戊丁與丁甲之比為相當比例四率且己戊與戊丁皆為一體故又為相連比例三率是以乙己首率與甲丁末率相乗開方而得戊丁或戊己皆為中率為城之每邊之一半也設如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊長方形但知丁戊寛為戊丙長四分之一從甲至戊為四尺從乙至己為九尺問長方及勾股各幾何法以甲戊四尺與乙己九尺相乗得三十六尺為内容長方之積用四歸之得九尺開方得三尺為己丙即長方之闊以四因之得十二尺為戊丙即長方之長以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六尺為股以己丙三尺加乙己九尺得十二尺為勾也葢丁己乙勾股形與甲戊丁勾股形皆與甲乙丙勾股形為同式故丁己乙勾股形之乙己勾與丁己股之比即同於甲戊丁勾股形之丁戊勾與甲戊股之比而乙己首率與甲戊四率相乗之數必與丁己二率與丁戊三率相乗之數相等是以乙己與甲戊相乗即為丁己丙戊長方形之積也丁戊既為戊丙之四分之一則以四歸之即成丁戊線所作之正方形積故開方得丁戊之闊又四因之而得戊丙之長也既得丁戊而丁戊與己丙等故己丙與乙己相加得乙丙之勾而戊丙與甲戊相加得甲丙之股也設如有勾八尺股十五尺弦十七尺問内容圓徑幾何法以勾八尺與股十五尺相乗得一百二十尺乃以勾八尺股十五尺弦十七尺三數相加共四十尺除之得三尺為容圓半徑倍之得六尺為容圓全徑也如圖甲乙丙勾股形内容丁圜形試自圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁丙三線則分甲乙丙勾股形為甲丁乙甲丁丙乙丁丙三三角形勾股弦三線皆為三角形之底邊而丁戊半徑皆為其垂線矣今勾股相乗所得之長方積原比甲乙丙勾股形積大一倍即如將所分三三角形各用垂線乗底邊所得之三長方積合為一長方也三長方之長雖不同而闊則一故各以長除積而得闊者即如合勾股弦三邊除勾股相乗之積而得半徑也又法以勾八尺與股十五尺相加得二十三尺内減弦十七尺餘六尺即為内容圓之全徑也如圖甲乙丙勾股形自圜中心作丁甲丁乙丁丙三線又作丁戊丁己丁庚三垂線則丙戊與丙己等甲戊與甲庚等乙己與乙庚原等甲乙股與乙丙勾相併比甲丙弦所多者惟乙己乙庚二段今於甲乙股乙丙勾相併度内減去甲丙弦即如甲乙股内減去與甲戊等之甲庚乙丙勾内減去與丙戊等之丙己所餘者止乙庚與乙己皆為圓之半徑二半徑相合非全徑耶勾股弦和較相求法(上)勾股弦和較相求之法錯綜變換共有六十舊算書所有者八按舊法可以變通者三十有四舊法所無今創立者一十有八依題比類列目於前按法循序設問於後以備人之觀覽焉有勾有股弦較求股弦(第一舊有)有勾有股弦和求股弦(第二舊有)有股有勾弦較求勾弦(第三舊有)有股有勾弦和求勾弦(第四舊有)有弦有勾股較求勾股(第五舊有)有弦有勾股和求勾股(第六舊有)有勾弦和有股弦和求勾股弦(第七舊有)有勾股和有股弦和求勾股弦(第八新立)有勾股和有勾弦和求勾股弦(第九新立)有勾弦較有股弦較求勾股弦(第十舊有)有勾股較有勾弦較求勾股弦(第十一按舊法變通)有勾股較有股弦較求勾股弦(第十二按舊法變通)有勾股和有勾弦較求勾股弦(第十四新立)有勾股和有股弦較求勾股弦(第十五新立)有勾弦和有股弦較求勾股弦(並見第十五新立)有勾弦和有勾股較求勾股弦(第十三按舊法變通)有股弦和有勾弦較求勾股弦(并見第十四新立)有股弦和有勾股較求勾股弦(并見第十三按舊法變通)有勾有勾股弦總和求股弦(第十八按舊法變通)有勾有弦與勾股和之較求股弦(第十六按舊法變通)有勾有弦與勾股較之和求股弦(第十九按舊法變通)有勾有弦與勾股較之較求股弦(第十七按舊法變通)有股有勾股弦總和求勾弦(第二十二按舊法變通)有股有弦與勾股和之較求勾弦(第二十按舊法變通)有股有弦與勾股較之和求勾弦(第二十三按舊法變通)有股有弦與勾股較之較求勾弦(第二十一按舊法變通)有弦有勾股弦總和求勾股(第二十六按舊法變通)有弦有弦與勾股和之較求勾股(第二十四按舊法變通)有弦有弦與勾股較之和求勾股(第二十七按舊法變通)有弦有弦與勾股較之較求勾股(第二十五按舊法變通)有勾股和有勾股弦總和求勾股弦(并見第二十六按舊)(法變通)有勾股和有弦與勾股和之較求勾股弦(并見第二)(十四按舊法變通)有勾股和有弦與勾股較之和求勾股弦(第三十八)(新立)有勾股和有弦與勾股較之較求勾股弦(第三十七)(新立)有勾弦和有勾股弦總和求勾股弦(并見第二十二按舊)(法變通)有勾弦和有弦與勾股和之較求勾股弦(第三十九)(新立)有勾弦和有弦與勾股較之和求勾股弦(第十四新)(立)有勾弦和有弦與勾股較之較求勾股弦(并見第二)(十一按舊法變通)有股弦和有勾股弦總和求勾股弦(并見第十八按舊法)(變通)有股弦和有弦與勾股和之較求勾股弦(第四十一)(新立)有股弦和有弦與勾股較之和求勾股弦(並見第十)(九按舊法變通)有股弦和有弦與勾股較之較求勾股弦(第四十二)(新立)有勾股較有勾股弦總和求勾股弦(第三十四新立)有勾股較有弦與勾股和之較求勾股弦(第四十三)(新立)有勾股較有弦與勾股較之和求勾股弦(并見第二)(十七按舊法變通)有勾股較有弦與勾股較之較求勾股弦(并見第二)(十五按舊法變通)有勾弦較有勾股弦總和求勾股弦(第三十五新立)有勾弦較有弦與勾股和之較求勾股弦(并見第二)(十按舊法變通)有勾弦較有弦與勾股較之和求勾股弦(并見第二)(十三按舊法變通)有勾弦較有弦與勾股較之較求勾股弦(第四十四)(新立)有股弦較有勾股弦總和求勾股弦(第三十六新立)有股弦較有弦與勾股和之較求勾股弦(并見第十)(六按舊法變通)有股弦較有弦與勾股較之和求勾股弦(第四十五)(新立)有股弦較有弦與勾股較之較求勾股弦(并見第十)(七按舊法變通)有勾股弦總和有弦與勾股和之較求勾股弦(第三十三按舊法變通)有勾股弦總和有弦與勾股較之和求勾股弦(第三十按舊法變通)有勾股弦總和有弦與勾股較之較求勾股弦(第三十一按舊法變通)有弦與勾股和之較有弦與勾股較之和求勾股弦(第二十九按舊法變通)有弦與勾股和之較有弦與勾股較之較求勾股弦(第二十八按舊法變通)有弦與勾股較之和有弦與勾股較之較求勾股弦(第三十二按舊法變通)設如有勾十五尺股弦較五尺求股弦各幾何(第一)法以勾十五尺自乗得二百二十五尺以股弦較五尺除之得四十五尺為股弦和與股弦較五尺相加得五十尺折半得二十五尺為弦於弦二十五尺内減股弦較五尺餘二十尺為股也如圖甲乙為勾十五尺丁乙為股弦較五尺試自甲至丁作甲丁線則成甲乙丁勾股形復以丁乙線引長而以甲為直角作甲丙線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以戊為心甲為界作丙甲丁半圜則丁乙甲乙乙丙即為連比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率丁乙股弦較除之得末率乙丙為股弦和也乙丙與丁乙相加得丁丙全徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於丁戊半徑内減丁乙股弦較餘乙戊即為股也又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為股自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與勾自乗之正方積相等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長方形其庚壬長即股弦和其庚乙闊即股弦較故將勾自乗之數以股弦較除之而得股弦和也又法以勾十五尺自乗得二百二十五尺又以股弦較五尺自乗得二十五尺相減餘二百尺折半得一百尺以股弦較五尺除之得二十尺為股加股弦較五尺得二十五尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為股自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與勾自乗之正方積相等而已壬丙辛即股弦較自乗之正方積也於乙丙丁戊己庚磬折形積内減己壬丙辛股弦較自乗之正方積餘庚乙壬己與戊己辛丁二長方形折半即餘戊己辛丁一長方形其戊己長即股其己辛闊即股弦較故以股弦較除折半之積而得股也設如有勾二十八尺股弦和九十八尺求股弦各幾何(第二)法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺以股弦和九十八尺除之得八尺為股弦較與股弦和九十八尺相加得一百零六尺折半得五十三尺為弦於股弦和九十八尺内減弦五十三尺餘四十五尺為股也如圖甲乙為勾二十八尺乙丙為股弦和九十八尺試自甲至丙作甲丙線則成甲乙丙勾股形復以乙丙線引長而以甲為直角作甲丁線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以戊為心作丙甲丁半圜則乙丙甲乙丁乙即為連比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率乙丙股弦和除之得末率丁乙為股弦較也丁乙與乙丙相加得丁丙全徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於乙丙股弦和内減戊丙半徑或於丁戊半徑内減丁乙股弦較餘乙戊即為股也又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為股自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與勾自乗之正方積相等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長方形其庚壬長即股弦和其庚乙闊即股弦較故勾自乗之數以股弦和除之而得股弦較也又法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺又以股弦和九十八尺自乗得九千六百零四尺兩數相加得一萬零三百八十八尺折半得五千一百九十四尺以股弦和九十八尺除之得五十三尺為弦於股弦和九十八尺内減弦五十三尺餘四十五尺為股也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之正方積内戊己丙庚為弦自乗之正方積甲辛戊壬為股自乗之正方積辛乙己戊與壬戊庚丁為股弦相乗之二長方積勾自乗之正方積則與癸子辛甲壬丑磬折形相等如加甲辛戊壬股自乗之正方積則成癸子戊丑正方形為一勾方一股方相和之積而與戊己丙庚一弦方之積相等今以勾自乗之磬折形之積加於股弦和自乗之正方積内即如將癸寅壬丑長方形移補於子夘乙辛遂成寅卯丙丁一大長方形折半則餘壬己丙丁一長方形其闊即弦其長即股弦和故以股弦和除折半之積而得弦也設如有股三十二尺勾弦較十六尺求勾弦各幾何(第三)法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺以勾弦較十六尺除之得六十四尺為勾弦和與勾弦較十六尺相加得八十尺折半得四十尺為弦於弦四十尺内減勾弦較十六尺餘二十四尺為勾也如圖甲乙為股三十二尺丁乙為勾弦較十六尺試自甲至丁作甲丁線則成甲乙丁勾股形復以丁乙線引長而以甲為直角作甲丙線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以戊為心甲為界作丙甲丁半圜則丁乙甲乙乙丙即為連比例三率故以中率甲乙股自乗以首率丁乙勾弦較除之得末率乙丙為勾弦和也丁乙與乙丙相加為丁丙全徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於丁戊半徑内減丁乙勾弦較餘乙戊即為勾也又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為勾自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與股自乗之正方積相等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長方形其庚壬長即勾弦和其庚乙闊即勾弦較故將股自乗之數以勾弦較除之而得勾弦和也又法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺又以勾弦較十六尺自乗得二百五十六尺相減餘七百六十八尺折半得三百八十四尺以勾弦較十六尺除之得二十四尺為勾加勾弦較十六尺得四十尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為勾自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與股自乗之正方積相等而以壬丙辛即勾弦較自乗之正方積也於乙丙丁戊己庚磬折形積内減己壬丙辛勾弦較自乗之正方積餘庚乙壬己與戊己辛丁二長方形折半即餘戊己辛丁一長方形其戊己長即勾其己辛闊即勾弦較故以勾弦較除折半之積而得勾也設如有股八尺勾弦和十六尺求勾弦各幾何(第四)法以股八尺自乗得六十四尺以勾弦和十六尺除之得四尺為勾弦較與勾弦和十六尺相加得二十尺折半得十尺為弦於勾弦和十六尺内減弦十尺餘六尺為勾也如圖甲乙為股八尺乙丙為勾弦和十六尺試自甲至丙作甲丙線則成甲乙丙勾股形復以乙丙線引長而以甲為直角作甲丁線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以戊為心甲為界作丙甲丁半圜則乙丙甲乙丁乙即為連比例三率故將中率甲乙股自乗以首率乙丙勾弦和除之得末率丁乙為勾弦較也丁乙與乙丙相加為丁丙全徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於乙丙勾弦和内減戊丙半徑或丁戊半徑内減丁乙勾弦較餘乙戊即為勾也又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為勾自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與股自乗之正方積相等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長方形其庚壬長即勾弦和其庚乙闊即勾弦較故股自乗之數以勾弦和除之而得勾弦較也又以法股八尺自乗得六十四尺又以勾弦和十六尺自乗得二百五十六尺相加得三百二十尺折半得一百六十尺以勾弦和十六尺除之得十尺為弦於勾弦和十六尺内減弦十尺餘六尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之正方積内戊己丙庚為弦自乗之正方積甲辛戊壬為勾自乗之正方積辛乙己戊與壬戊庚丁為勾弦相乗之二長方積股自乗之正方積則與癸子辛甲壬丑之磬折形相等如加甲辛戊壬勾自乗之正方積則成癸子戊丑正方形為一勾方一股方相和之積而與戊己丙庚一弦方之積相等今以股自乗之磬折形之積加於勾弦和自乗之正方積内即如將癸寅壬丑長方形移補於子卯乙辛遂成寅卯丙丁一大長方形折半則餘壬己丙丁一長方形其闊即弦其長即勾弦和故以勾弦和除折半之積而得弦也設如有弦三十四尺勾股較十四尺求勾股各幾何(第五)法以弦三十四尺自乗得一千一百五十六尺又以勾股較自乗得一百九十六尺相減餘九百六十尺折半得四百八十尺為勾股相乗之一長方形積乃以勾股較十四尺為長闊較用帶縱較數開方法算之得闊十六尺為勾得長三十尺為股也如圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積戊己庚辛為勾股較自乗之正方積相減餘甲戊乙類四勾股形為二長方形積折半餘一長方形積其闊即勾其長即股其長闊較即勾股較故以帶縱較數開方法算之而得闊為勾得長為股也又法以弦三十四尺自乗得一千一百五十六尺倍之得二千三百一十二尺又以勾股較十四尺自乗得一百九十六尺相減餘二千一百一十六尺開方得四十六尺為勾股和於勾股和四十六尺内減勾股較十四尺餘三十二尺折半得十六尺為勾於勾十六尺加勾股較十四尺得三十尺為股也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之正方内容甲戊己類八勾股積與壬癸子丑一勾股較積戊己庚辛為弦自乗之正方内容戊癸己類四勾股積與壬癸子丑一勾股較積倍之則為八勾股積二勾股較積即如甲乙丙丁一大正方形仍餘壬癸子丑一小正方形今減所餘壬癸子丑一小正方形(即一勾股較積)仍餘八勾股積一勾股較積為甲乙丙丁正方形即勾股和自乗之方故開方而得勾股和也設如有弦三十九尺勾股和五十一尺求勾股各幾何(第六)法以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺又以弦三十九尺自乗得一千五百二十一尺相減餘一千零八十尺折半得五百四十尺為勾股相乗之一長方形積乃以勾股和五十一尺為長闊和用帶縱和數開方法算之得闊十五尺為勾得長三十六尺為股也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之正方積戊己庚辛為弦自乗之正方積相減餘甲戊己類四勾股形為二長方形積折半餘一長方形積其闊即勾其長即股其長闊和即勾股和故以帶縱和數開方法算之而得闊為勾得長為股也又法以弦三十九尺自乗得一千五百二十一尺倍之得三千零四十二尺又以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺相減餘四百四十一尺開方得二十一尺為勾股較於勾股和五十一尺内減勾股較二十一尺餘三十尺折半得十五尺為勾於勾十五尺加勾股較二十一尺得三十六尺為股也如圖戊己庚辛為弦自乗之正方内容戊癸己類四勾股積與壬癸子丑一勾股較積倍之則為八勾股積二勾股較積即如甲乙丙丁一大正方形仍餘壬癸子丑一小正方形又甲乙丙丁為勾股和自乘之正方内容甲戊巳類八勾股積壬癸子丑一勾股較積今以所倍之一大正方形又餘一小正方形内減甲乙丙丁正方形即餘壬癸子丑一小正方形為勾股較積故開方而得勾股較也設如有勾弦和二十四尺股弦和二十七尺求勾股弦各幾何(第七)法以勾弦和二十四尺與股弦和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺開方得三十六尺為勾股弦總和於總和三十六尺内減勾弦和二十四尺餘十二尺為股於總和三十六尺内減股弦和二十七尺餘九尺為勾於股弦和二十七尺内減股十二尺或勾弦和二十四尺内減勾九尺餘十五尺為弦也如圖甲乙線為勾弦和甲丁線為股弦和相乗得甲乙丙丁長方形内戊己庚丁為弦自乗之正方辛乙壬己為勾股相乗之長方甲辛巳戊為股弦相乘之長方己壬丙庚為勾弦相乗之長方倍之即為癸子丑寅一大正方其每一邊即勾股弦之總和其卯辰己寅為弦自乗之正方即如前圖之戊己庚丁然其午未申辰為股自乘之正方其酉子戌未為勾自乗之正方兩方相合又與前圖戊己庚丁弦自乗之正方相等其艮酉未午與未戌乾申為勾股相乗之二長方每一形即如前圖之辛乙壬己然其亥午辰卯與辰申坎巳為股弦相乗之二長方每一形即如前圖之甲辛己戊然其癸艮午亥與申乾丑坎為勾弦相乗之二長方每一形即如前圖之己壬丙庚然因癸子丑寅正方比甲乙丙丁長方每一形俱多一倍故甲乙勾弦和甲丁股弦和相乗所成之甲乙丙丁長方倍之而與癸子丑寅正方等開方得癸子類之每一邊皆為勾股弦之總和也設如有勾股和二十一尺股弦和二十七尺求勾股弦各幾何(第八)法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以股弦和二十七尺自乗得七百二十九尺兩數相減餘二百八十八尺乃以勾股和二十一尺與勾弦和二十七尺相減餘六尺為勾弦較(葢股與勾)(和股與弦和皆為一股所和故相減即勾弦較也)自乗得三十六尺與兩和自乗相減之餘二百八十八尺相加得三百二十四尺開方得十八尺為股與勾弦較之和内減勾弦較六尺餘十二尺為股於勾股和二十一尺内減股十二尺餘九尺為勾加勾弦較六尺得十五尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己為股自乘之一正方辛己壬丁為勾自乘之一正方甲戊已辛與己庚丙壬為勾股相乗之二長方又癸子丑寅為股弦和自乗之一大正方内卯子巳辰為股自乗之一正方午辰未寅為弦自乗之一正方癸卯辰午與辰巳丑未為股弦相乗之二長方今甲乙丙丁勾股和自乗之方與癸子丑寅股弦和自乗之方相減則於癸子丑寅股弦和自乗之方内去卯子己辰股自乗之一正方酉辰戌乾勾自乗之一正方又去申卯辰酉與辰巳亥戌勾股相乗之二長方所餘癸申酉午與戌亥丑未二長方為勾弦較與股相乗之二長方又午酉乾戌未寅一磬折形為弦自乗之一正方内減勾自乗之一正方所餘之股自乗之一正方如以此磬折形積作一股自乗之一正方再加癸申酉午與戌亥丑未之勾弦較與股相乗之二長方則惟缺午艮未震為勾弦較自乗之一小正方今以勾弦較自乗之數加於兩和自乗相減之餘甫成癸坎丑震一正方故開方而得癸坎類之每一邊為股與勾弦較相和之數也設如有勾股和二十一尺勾弦和二十四尺求勾股弦各幾何(第九)法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以勾弦和二十四尺自乗得五百七十六尺兩數相減餘一百三十五尺乃以勾股和二十一尺與勾弦和二十四尺相減餘三尺為股弦較(葢勾與股)(和勾與弦和皆為一勾所和故相減即股弦較也)自乗得九尺與兩和自乗相減之餘一百三十五尺相加得一百四十四尺開方得十二尺為勾與股弦較之和内減股弦較三尺餘九尺為勾於勾股和二十一尺内減勾九尺餘十二尺為股加股弦較三尺得十五尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己為勾自乗之一正方辛已壬丁為股自乗之一正方甲戊已辛與己庚丙壬為勾股相乘之二長方又癸子丑寅為勾弦和自乗之一大正方内卯子巳辰為勾自乗之一正方午辰未寅為弦自乗之一正方癸卯辰午與辰己丑未為勾弦相乗之二長方今甲乙丙丁勾股和自乗之方與癸子丑寅勾弦和自乗之方相減則於癸子丑寅勾弦和自乗之方内去卯子己辰勾自乘之一正方酉辰戌乾股自乘之一正方又去申卯辰酉與辰己亥戌勾股相乗之二長方所餘癸申酉午與戌亥丑未二長方為股弦較與勾相乗之二長方又午酉乾戌未寅一磬折形為弦自乗之一正方内減股自乗之一正方所餘之勾自乗之一正方如以此磬折形積作一勾自乗之一正方再加癸申酉午與戌亥丑未之股弦較與勾相乗之二長方則惟缺午艮未震為股弦較自乗之一小正方今以股弦較自乗之數加於兩和自乗相減之餘甫成癸坎丑震一正方故開方而得癸坎類之每一邊為勾與股弦較相和之數也設如有勾弦較九尺股弦較二尺求勾股弦各幾何(第十)法以勾弦較九尺與股弦較二尺相乗得十八尺倍之得三十六尺開方得六尺為弦比勾股和相差之較加股弦較二尺得八尺為勾加勾弦較九尺得十五尺為股於勾數加勾弦較九尺得十七尺為弦或於股數加股弦較二尺亦得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之一正方戊己丙庚為股自乗之一正方二方相減所餘甲乙己戊庚丁磬折形即與勾自乗之一正方等而乙己與庚丁皆為股弦較試作甲壬癸辛一正方為勾自乗之方則壬乙與辛丁皆為股弦較其壬丑與乙己等辛子與丁庚等亦皆為股弦較以壬乙之勾弦較與壬丑之股弦較相乗則成壬乙己丑之一長方形以辛丁之勾弦較與辛子之股弦較相乗則成辛子庚丁之一長方形此兩長方形必與戊丑癸子一正方形相等何也葢甲乙己戊庚丁與勾自乗之一正方相等之磬折形内減甲壬丑戊子辛一小磬折形則餘壬乙己丑與辛子庚丁二長方形若於甲壬癸辛勾自乗之一正方内減甲壬丑戊子辛磬折形則餘戊丑癸子一小正方形夫甲乙己戊庚丁磬折形既與甲壬癸辛之勾自乗之一正方相等今同減去甲壬丑戊子辛磬折形則彼所餘之二長方必與此所餘之一正方相等可知矣故勾弦較與股弦較相乗倍之開方而得弦比勾股和相差之較加股弦較得勾加勾弦較而得股也(葢圖以乙丙為弦己)(丙為股故乙己為股弦較若以壬癸勾與己丙股相和則壬癸勾之壬丑一段)(即為股弦較而勾股和比弦所多者惟丑癸一段故丑癸為弦比勾股和相差)(之較也)設如有勾股較三十四尺勾弦較三十六尺求勾股弦各幾何(第十一)法以勾股較三十四尺與勾弦較三十六尺相減餘二尺為股弦較即如前法以股弦較二尺與勾弦較三十六尺相乗得七十二尺倍之得一百四十四尺開方得十二尺為弦比勾股和相差之較加股弦較二尺得十四尺為勾加勾弦較三十六尺得四十八尺為股於勾數加勾弦較三十六尺得五十尺為弦或於股數加股弦較二尺亦得五十尺為弦也如圖甲乙為勾甲丙為股甲丁為弦乙丙為勾股較乙丁為勾弦較而丙丁為股弦較今以乙丁勾弦較減乙丙勾股較所餘丙丁即為股弦較既得股弦較則如勾弦較股弦較求勾股弦之法算之即得各數矣設如有勾股較十四尺股弦較二尺求勾股弦各幾何(第二十)法以勾股較十四尺與股弦較二尺相加得十六尺為勾弦較即如前法以勾弦較十六尺與股弦較二尺相乗得三十二尺倍之得六十四尺開方得八尺為弦比勾股和相差之較加股弦較二尺得十尺為勾加勾弦較十六尺得二十四尺為股於勾數加勾弦較十六尺得二十六尺為弦或於股數加股弦較二尺亦得二十六尺為弦也如圖甲乙為勾甲丙為股甲丁為弦乙丙為勾股較丙丁為股弦較而乙丁為勾弦較今以乙丙勾股較與丙丁股弦較相加則得乙丁之勾弦較既得勾弦較則如勾弦較股弦較求勾股弦之法算之即得各數矣設如有勾弦和二十四尺勾股較三尺求勾股弦各幾何(第十三)法以勾弦和二十四尺加勾股較三尺得二十七尺為股弦和用勾弦和股弦和求勾股弦之法算之以勾弦和二十四尺與股弦和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺開方得三十六尺為勾股弦總和内減勾弦和二十四尺餘十二尺為股減勾股較三尺餘九尺為勾於勾弦和二十四尺内減勾九尺餘十五尺為弦也如圖甲丙為股乙丙為勾丙丁為弦乙丁為勾弦和甲乙為勾股較而甲丁為股弦和故甲乙勾股較與乙丁勾弦和相加得甲丁為股弦和也若夫股弦和勾股較求勾股弦者則於股弦和内減勾股較即勾弦和亦用勾弦和股弦和求勾股弦之法算之如甲丙為股乙丙為勾丙丁為弦則甲丁為股弦和甲乙為勾股較而乙丁為勾弦和故於甲丁股弦和内減甲乙勾股較餘乙丁為勾弦和也設如有勾股和二十三尺勾弦較九尺求勾股弦各幾何(第十四)法以勾股和二十三尺加勾弦較九尺得三十二尺為股弦和用勾股和股弦和求勾股弦之法算之以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺兩數相減餘四百五十九尺乃以勾弦較九尺自乗得八十一尺與兩和自乗相減之餘四百九十五尺相加得五百七十六尺開方得二十四尺為股與勾弦較之和内減勾弦較九尺餘十五尺為股於勾股和二十三尺内減股十五尺餘八尺為勾加勾弦較九尺得十七尺為弦也如圖甲丙為弦乙丙為勾丙丁為股乙丁為勾股和甲乙為勾弦較而甲丁為股弦和故甲乙勾弦較與乙丁勾股和相加得甲丁為股弦和也若夫股弦和勾弦較求勾股弦者則於股弦和内減勾弦較即勾股和亦用勾股和股弦和求勾股弦之法算之如甲丙為弦乙丙為勾丙丁為股則甲丁為股弦和甲乙為勾弦較而乙丁為勾股和故於甲丁股弦和内減甲乙勾弦較餘乙丁為勾股和也設如有勾股和十七尺股弦較一尺求勾股弦各幾何(第十五)法以勾股和十七尺加股弦較一尺得十八尺為勾弦和用勾股和勾弦和求勾股弦之法算之以勾股和十七尺自乗得二百八十九尺又以勾弦和十八尺自乗得三百二十四尺兩數相減餘三十五尺乃以股弦較一尺自乗仍得一尺與兩和自乗相減之餘三十五尺相加得三十六尺開方得六尺為勾與股弦較之和内減股弦較一尺餘五尺為勾於勾股和十七尺内減勾五尺餘十二尺為股加股弦較一尺得十三尺為弦也如圖甲乙為勾乙丙為股乙丁為弦甲丙為勾股和丙丁為股弦較而甲丁為勾弦和故甲丙勾股和與丙丁股弦較相加得甲丁為勾弦和也若夫勾弦和股弦較求勾股弦者則於勾弦和内減股弦較即勾股和亦用勾股和勾弦和求勾股弦之法算之如甲乙為勾乙丙為股乙丁為弦則甲丁為勾弦和丙丁為股弦較而甲丙為勾股和故於甲丁勾弦和内減丙丁股弦較餘甲丙為勾股和也設如有勾八尺弦與勾股和之較六尺求股弦各幾何(第十六)法以勾八尺内減弦與勾股和之較六尺餘二尺為股弦較用有勾有股弦較求股弦法算之如甲乙為勾乙丙為股甲丙為勾股和丁丙為弦甲丁為弦與勾股和之較丁乙為股弦較故甲乙勾内減甲丁弦與勾股和之較餘丁乙為股弦較也若有股弦較與弦與勾股和之較求勾股弦者則以股弦較與弦與勾股和之較相加即勾亦用有勾有股弦較求股弦法算之設如有勾八尺弦與勾股較之較十尺求股弦各幾何(第十七)法以勾八尺與弦與勾股較之較十尺相減餘二尺為股弦較用有勾有股弦較求股弦法算之如甲乙為股丙乙為勾甲丁為弦甲丙為勾股較乙丁為股弦較丙丁為弦與勾股較之較故丙丁弦與勾股較之較内減丙丁勾餘乙丁為股弦較也若有股弦較與弦與勾股較之較求勾股弦者則以股弦較與弦與勾股較之較相減餘即勾亦用有勾有股弦較求股弦法算之設如有勾八尺勾股弦總和四十尺求股弦各幾何(第十八)法以勾八尺與勾股弦總和四十尺相減餘三十二尺為股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙為勾乙丙為股丙丁為弦甲丁為勾股弦總和故甲丁勾股弦總和内減甲乙勾餘乙丁為股弦和也若有股弦和與勾股弦總和求勾股弦者則以股弦和與勾股弦總和相減餘即勾亦用有勾有股弦和求股弦法算之設如有勾八尺弦與勾股較之和二十四尺求股弦各幾何(第十九)法以勾八尺與弦與勾股較之和二十四尺相加得三十二尺為股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙為勾甲丙為股乙丙為勾股較丙丁為弦甲丁為股弦和乙丁為弦與勾股較之和故以甲乙勾與乙丁弦與勾股較之和相加得甲丁為股弦和也若有股弦和與弦與勾股較之和求勾股弦者則於股弦和内減弦與勾股較之和餘即勾亦用有勾有股弦和求股弦法算之設如有股十五尺弦與勾股和之較六尺求勾弦各幾何(第二十)法以股十五尺内減弦與勾股和之較六尺餘九尺為勾弦較用有股有勾弦較求勾弦法算之如甲乙為股乙丙為勾甲丙為勾股和丁丙為弦甲丁為弦與勾股和之較丁乙為勾弦較故甲乙股内減甲丁弦與勾股和之較餘丁乙即勾弦較也若有勾弦較與弦與勾股和之較求勾股弦者則以勾弦較與弦與勾股和之較相加即股亦用有股有勾弦較求勾弦法算之設如有股十五尺弦與勾股較之較十尺求勾弦各幾何(第二十一)法以股十五尺與弦與勾股較之較十尺相加得二十五尺為勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙為股甲丙為勾丙丁為弦甲丁為勾弦和丙乙為勾股較乙丁為弦與勾股較之較故以甲乙股與乙丁弦與勾股較之較相加得甲丁為勾弦和也若有勾弦和與弦與勾股較之較求勾股弦者則於勾弦和内減弦與勾股較之較餘即股亦用有股有勾弦和求勾弦法算之設如有股十五尺勾股弦總和四十尺求勾弦各幾何(第二十二)法以股十五尺與勾股弦總和四十尺相減餘二十五尺為勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙為股乙丙為勾丙丁為弦甲丁為勾股弦總和故甲丁勾股弦總和内減甲乙股餘乙丁為勾弦和也若有勾弦和與勾股弦總和求勾股弦者則以勾股和與勾股弦總和相減餘即股亦用有股有勾弦和求勾弦法算之設如有股十五尺弦與勾股較之和二十四尺求勾弦各幾何(第二十三)法以股十五尺與弦與勾股較之和二十四尺相減餘九尺為勾弦較用有股有勾弦較求勾弦法算之如甲乙為股丙乙為勾丙丁為弦甲丙為勾股較乙丁為勾弦較甲丁為弦與勾股較之和故甲丁弦與勾股較之和内減甲乙股餘乙丁為勾弦較也若有勾弦較與弦與勾股較之和求勾股弦者則以勾弦較與弦與勾股較之和相減餘即股亦用有股有勾弦較求勾弦法算之設如有弦十七尺弦與勾股和之較六尺求勾股各幾何(第二十四)法以弦十七尺與弦與勾股和之較六尺相加得二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙為弦甲丙為勾丙丁為股甲丁為勾股和乙丁為弦與勾股和之較故甲乙弦與乙丁弦與勾股和之較相加得甲丁為勾股和也若有勾股和與弦與勾股和之較求勾股弦者則於勾股和内減弦與勾股和之較餘即弦亦用有弦有勾股和求勾股法算之設如有弦十七尺弦與勾股較之較十尺求勾股各幾何(第二十五)法以弦十七尺内減弦與勾股較之較十尺餘七尺為勾股較用有弦有勾股較求勾股法算之如甲乙為弦丙丁為股乙丁為勾丙乙為勾股較甲丙為弦與勾股較之較故甲乙弦内減甲丙弦與勾股較之較餘丙乙為勾股較也若有勾股較與弦與勾股較之較求勾股弦者則以勾股較與弦與勾股較之較相加即弦亦用有弦有勾股較求勾股法算之設如有弦十七尺勾股弦總和四十尺求勾股各幾何(第二十六)法以弦十七尺與勾股弦總和四十尺相減餘二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙為弦乙丙為勾丙丁為股甲丁為勾股弦總和故甲丁勾股弦總和内減甲乙弦餘乙丁為勾股和也若有勾股和與勾股弦總和求勾股弦者則以勾股和與勾股弦總和相減餘即弦亦用有弦有勾股和求勾股法算之設如有弦十七尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股各幾何(第二十七)法以弦十七尺與弦與勾股較之和二十四尺相減餘七尺為勾股較用有弦有勾股較求勾股法算之如甲乙為弦乙丙為股丁丙為勾乙丁為勾股較甲丁為弦與勾股較之和故甲丁弦與勾股較之和内減甲乙弦餘乙丁為勾股較也若有勾股較與弦與勾股較之和求勾股弦者則於弦與勾股較之和内減勾股較餘即弦亦用有弦有勾股較求勾股法算之設如有弦與勾股和之較六尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第二十八)法以弦與勾股和之較六尺與弦與勾股較之較十尺相加得十六尺折半得八尺為勾於勾八尺内減弦與勾股和之較六尺餘二尺為股弦較用有勾有股弦較求股弦法算之如甲乙為股戊乙乙丙皆為勾甲丙為勾股和甲戊為勾股較甲丁為弦丁丙即弦與勾股和之較戊丁即弦與勾股較之較故丁丙弦與勾股和之較與戊丁弦與勾股較之較相加得戊丙為二勾之共數是以折半得勾也既得勾則於勾内減弦與勾股和之較即股弦較矣設如有弦與勾股和之較六尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第二十九)法以弦與勾股和之較六尺與弦與勾股較之和二十四尺相加得三十尺折半得十五尺為股於股十五尺内減弦與勾股和之較六尺餘九尺為勾弦較用有股有勾弦較求勾弦法算之如甲乙乙丙皆為股丁乙為勾丁丙為勾股和甲丁為勾股較丁戊為弦戊丙即弦與勾股和之較甲戊即弦與勾股較之和故戊丙弦與勾股和之較與甲戊弦與勾股較之和相加得甲丙為二股之共數是以折半得股也既得股則於股内減弦與勾股和之較即勾弦較矣設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第三十)法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾股較之和二十四尺餘十六尺折半得八尺為勾於勾股弦總和四十尺内減勾八尺餘三十二尺為股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙為弦乙丙為股丙丁為勾乙戊為勾股較甲丁為勾股弦總和甲戊為弦與勾股較之和故甲丁勾股弦總和内減甲戊弦與勾股較之和餘戊丁即二勾之共數是以折半得勾也既得勾則於勾股弦總和内減勾即股弦和矣設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第三十一)法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾股較之較十尺餘三十尺折半得十五尺為股於勾股弦總和四十尺内減股十五尺餘二十五尺為勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙為弦乙丙為勾丙丁為股戊乙為勾股較甲丁為勾股弦總和甲戊為弦與勾股較之較故甲丁勾股弦總和内減甲戊弦與勾股較之較餘戊丁即二股之共數是以折半得股也既得股則於勾股弦總和内減股即勾弦和矣設如有弦與勾股較之和二十四尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第三十二)法以弦與勾股較之和二十四尺與弦與勾股較之較十尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦於弦與勾股較之和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股較用有弦有勾股較求勾股法算之如甲乙乙丙皆為弦乙丁為勾股較甲丁為弦與勾股較之和丁丙為弦與勾股較之較故甲丁弦與勾股較之和與丁丙弦與勾股較之較相加得甲丙為二弦之共數是以折半得弦也既得弦則於弦與勾股較之和内減弦即勾股較矣設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何(第三十三)法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾股和之較六尺餘三十四尺折半得十七尺為弦於勾股弦總和四十尺内減弦十七尺餘二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙為勾股和乙丙為弦甲丙為勾股弦總和甲丁為弦與勾股和之較故甲丙勾股弦總和内減甲丁弦與勾股和之較餘丁丙即二弦之共數是以折半得弦也既得弦則於勾股弦總和内減弦即勾股和矣御製數理精藴下編卷十二
## 下編卷十三
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十三面部三勾股(勾股弦和較相求法下股勾股積與和較相求 正勾 比例)勾股弦和較相求法(下)設如有勾股較七尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何(第三十四)法以勾股弦總和四十尺内減勾股較七尺餘三十三尺為兩勾一弦之共數(葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減勾股較是於股内減勾股較即)(又得一勾矣故為兩勾一弦也)自乗得一千零八十九尺又以勾股較七尺自乗得四十九尺兩自乗數相減餘一千零四十尺折半得五百二十尺為長方積乃以勾股弦總和四十尺與兩勾一弦之共數三十三尺相加得七十三尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股於勾股弦總和四十尺内減勾八尺又減股十五尺餘十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩勾一弦自乗之一大正方内戊己庚辛為弦自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚夘丙辰癸辛己丁為勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚辛庚辰己為勾弦相乗之四長方弦自乗之一正方内容四勾股積為勾股相乗之二長方又勾股較自乗之一小正方今於甲乙丙丁兩勾一弦自乗之一大正方内減去午未申酉勾股較自乗之一小正方尚餘勾股相乗之二長方勾弦相乗之四長方勾自乗之四正方折半得勾股相乗之一長方勾弦相乗之二長方勾自乗之二正方與戌亥乾坎長方形等其濶即勾其長為兩勾兩弦一股其長濶和為三勾兩弦一股故以勾股弦總和與兩勾一弦之共數相併為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊為勾也又法以勾股弦總和四十尺自乗得一千六百尺折半得八百尺為長方積乃以勾股較七尺為長闊較用𢃄縱較數開方法筭之得闊二十五尺為勾弦和得長三十二尺為股弦和於勾股弦總和四十尺内減勾弦和二十五尺餘十五尺為股減勾股較七尺餘八尺為勾又於勾弦和二十五尺内減勾八尺餘十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股弦總和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛壬癸己為股自乗之一正方子乙丑壬為勾自乗之一正方甲辰辛寅與癸己卯丙為勾弦相乗之二長方寅辛己戊與己癸卯庚為股弦相乗之二長方辰子壬辛與壬丑己癸為勾股相乗之二長方如以勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併則又與弦自乗之一正方相等是為弦自乗之正方二股弦相乗之長方二勾弦相乗之長方二勾股相乗之長方二折半即得弦自乗之正方一股弦相乗之長方一勾弦相乗之長方一勾股相乗之長方一而與午未申酉勾弦和與股弦和相乗之長方等葢午未申酉之長方内戌亥乾酉為弦自乗之一正方午坎亥戌為股弦相乗之一長方亥艮申乾為勾弦相乗之一長方坎未艮亥為勾股相乗之一長方其濶即勾弦和其長即股弦和其長濶較即勾股較故以勾股較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶為勾弦和也設如有勾弦較九尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何(第三十五)法以勾股弦總和四十尺内減勾弦較九尺餘三十一尺為兩勾一股之共數(盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減勾弦較是於弦内減勾弦較即)(又得一勾矣故為兩勾一股也)自乗得九百六十一尺又以勾股弦總和四十尺與勾弦較九尺相加得四十九尺爲兩弦一股之共數(葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數今加勾弦較是於勾數加勾弦)(較即又得一弦矣故為兩弦一股也)自乗得二千四百零一尺兩數相減餘一千四百四十尺四歸之得三百六十尺為長方積乃以勾弦較九尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶十五尺為股於勾股弦總和四十尺内減股十五尺餘二十五尺為勾弦和減勾弦較九尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾弦較九尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩勾一股自乗之一大正方内戊己庚辛為股自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁為勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己為勾股相乗之四長方又午未申酉為兩弦一股自乗之一大正方内戊己庚辛為股自乗之一正方午乾戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛離酉為弦自乗之四正方戌戊辛亥乾坎巳戊巳艮震庚辛庚巽離為股弦相乗之四長方今於午未申酉之正方内減去甲乙丙丁之正方所餘四隅之午乾子甲壬戌等類四磬折形皆為弦自乗之方内減去勾自乗之方與股自乗之四正方積相等四面之戌壬癸亥等類四長方形乃勾弦較與股相乗之四長方(戌戊為弦壬戊為勾故戌)(壬為勾弦較)以四歸之則餘股自乗之一正方勾弦較與股相乗之一長方共為戌坤兌亥一長方其闊即股其長即股與勾弦較之和故以勾弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶為股也設如有股弦較二尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何(第三十六)法以勾股弦總和四十尺内減股弦較二尺餘三十八尺為兩股一勾之共數(盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減股弦較是於弦内減股弦較即)(又得一股矣故為兩股一勾也)自乗得一千四百四十四尺又以勾股弦總和四十尺與股弦較二尺相加得四十二尺為兩弦一勾之共數(葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數今加股弦較是於股)(數加股弦較即又得一弦矣故為兩弦一勾也)自乗得一千七百六十四尺兩數相減餘三百二十尺四歸之得八十尺為長方積乃以股弦較二尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得闊八尺為勾於勾股弦總和四十尺内減勾八尺餘三十二尺為股弦和減股弦較二尺餘三十尺折半得十五尺為股加股弦較二尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩股一勾自乗之一大正方内戊己庚辛為勾自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁為股自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己為勾股相乗之四長方又午未申酉為兩弦一勾自乗之一大正方内戊己庚辛為勾自乗之一正方午乾戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛離酉為弦自乗之四正方戌戊辛亥乾坎巳戊巳艮震庚辛庚巽離為勾弦相乗之四長方今於午未申酉之正方内減去甲乙丙丁之正方所餘四隅之午乾子甲壬戌等類四磬折形皆為弦自乗之方内減去股自乗之方與勾自乗之四正方積相等四面之戌壬癸亥等類四長方形乃股弦較與勾相乗之四長方(戌戊為弦壬戊為股故戌壬為股弦)(較)以四歸之則餘勾自乗之一正方股弦較與勾相乗之一長方共為戌坤兊亥一長方其闊即勾其長即勾與股弦較之和故以股弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得闊為勾也設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第三十七)法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以勾股和二十三尺與弦與勾股較之較十尺相加得三十三尺為兩勾一弦之共數(葢弦與勾股較之較為一勾一股弦較之)(共數與勾股和相加則得兩勾一股一股弦較而股加股弦較即弦故為兩勾)(一弦之共數也)自乗得一千零八十九尺兩自乗數相減餘五百六十尺折半得二百八十尺為長方積乃以弦與勾股較之較十尺與兩勾一弦之共數三十三尺相加得四十三尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾於勾股和二十三尺内減勾八尺餘十五尺為股又於股十五尺内減勾八尺餘七尺為勾股較與弦與勾股較之較十尺相加得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股相乗之二長方又癸子丑寅為兩勾一弦自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方未申酉辰亥乾申未乾子坎申申坎艮酉為勾自乗之四正方癸亥未午午未辰卯辰酉戌己酉艮丑戌為勾弦相乗之四長方今以兩正方相減則是癸子丑寅方内減去離辰坤震股自乗之一正方即如前圖之戊己庚丁然又未申酉辰勾自乗之一正方即如前圖之辛乙壬己然又巽未辰離辰酉兑坤勾股相乗之二長方即如前圖之甲辛己戊己壬丙庚然所餘之卯離震坤己寅一磬折形與勾自乗之一正方等(弦自乗之正方内減股自乗之方則與勾自乗之方)(等)再午巽離卯與坤兌戌己二小長方為股弦較與勾相乗之二長方若各補於勾自乗之二正方内即成勾與弦與勾股較之較相乗二長方(葢弦與勾股較之較乃弦)(内減去勾股較之餘然弦内有一勾一勾股較一股弦較若減去勾股較則所)(餘為一勾一股弦較矣今以股弦較與勾相乗之長方補於勾自乗之正方内)(則其長為一勾一股弦較即弦與勾股較之較其濶即勾故為勾與弦與勾股)(較之較相乗之長方也)合計之則為勾自乗二正方勾弦相乗二長方勾與弦與勾股較之較相乗二長方折半則餘勾自乗一正方勾弦相乗一長方勾與弦與勾股較之較相乗一長方之共積與金木水火長方形等其闊即勾其長為一勾一弦一弦與勾股較之較其長闊和為兩勾一弦一弦與勾股較之較故以弦與勾股較之較與兩勾一弦之共數相加用帯縱和數開方法算之得闊為勾也設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第三十八)法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩數相加得一千一百零五尺為長方積乃以弦與勾股較之和二十四尺倍之得四十八尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得十七尺為弦於弦與勾股較之和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股較於勾股和二十三尺内減勾股較七尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股相乗之二長方又癸子丑寅為弦與勾股較之和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午子未辰為勾股較自乗之一正方癸午辰卯與辰未丑巳為勾股較與弦相乗之二長方兩大正方相併則得弦自乗三正方勾股較與弦相乗二長方共為申酉戌亥一長方形何也卯辰巳寅為一弦方戊己庚丁一股方與辛乙壬己一勾方相併為一弦方甲辛己戊己壬丙庚勾股相乗之二長方即四勾股積與午子未辰勾股較自乗之一正方相併又為一弦方癸午辰卯辰未丑巳即勾股較與弦相乗之二長方今二自乗方相加則成申酉戌亥之一大長方其闊即弦其長為三弦二勾股較其長濶較為二弦二勾股較故将弦與勾股較之和倍之為二弦二勾股較之共數用𢃄縱較數開方法算之得闊為弦也設如有勾弦和二十五尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何(第三十九)法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾弦和二十五尺與弦與勾股和之較六尺相加得三十一尺為兩勾一股之共數(葢勾弦和為一勾一弦之共數今於弦數)(内加弦與勾股和之較即為勾股和是為兩勾一股之共數矣)與勾弦和二十五尺相乗得七百七十五尺兩數相減餘一百五十尺為長方積乃以勾弦和二十五尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得長十五尺為股於股十五尺内減弦與勾股和之較六尺餘九尺為勾弦較與勾弦和二十五尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之一大正方内戊巳庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩勾一股與勾弦和相乗之一大長方内卯辰己寅為股自乗之一正方午未申卯與癸酉未午為勾與弦相乗之二長方與甲乙丙丁大正方内之甲辛巳戊己壬丙庚二長方等未戌亥申為勾自乗之一正方與甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦為勾自乗之一正方與卯辰巳寅股自乗之一正方相併乃與甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一正方等兩數相減所餘為辰亥丑巳一長方其辰巳長即股其辰巳巳丑長闊和即勾弦和故以𢃄縱和數開方法算之得長為股也設如有勾弦和二十五尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第四十)法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾弦和二十五尺與弦與勾股較之和二十四尺相加得四十九尺為兩弦一股之共數(葢勾弦和加弦與勾股較之和)(則得兩弦一勾一勾股較而勾加勾股較即股故為兩弦一股也)自乗得二千四百零一尺兩自乗數相加得三千零二十六尺為長方積乃以兩弦一股之共數倍之得九十八尺為四弦二股之共數與勾弦和相加得一百二十三尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得濶三十四尺折半得十七尺為弦於勾弦和二十五尺内減弦十七尺餘八尺為勾又於弦與勾股較之和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股較與勾八尺相加得十五尺為股也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與巳壬丙庚為勾弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩弦一股自乗之一大正方内卯辰己寅為弦自乗之四正方午未子辰為股自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己為股弦相乗之四長方今以兩自乗之方相併則得弦自乗五正方又勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併為弦自乗之一正方共為弦自乗六正方勾弦相乗二長方股弦相乗四長方相合共成乾坎艮震一大長方其濶即二弦數其長為三弦一勾二股數其長濶和為五弦一勾二股數故将兩弦一股之共數倍之與勾弦和相加為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶為二弦而折半為弦也設如有股弦和三十二尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何(第四十一)法以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股弦和三十二尺與弦與勾股和之較六尺相加得三十八尺為兩股一勾之共數(葢股弦和為一股一弦之共數今於)(弦數内加弦與勾股和之較即為勾股和是為兩股一勾之共數矣)與股弦和三十二尺相乗得一千二百一十六尺兩數相減餘一百九十二尺為長方積乃以股弦和三十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾於勾八尺内減弦與勾股和之較六尺餘二尺為股弦較與股弦和三十二尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減股弦較二尺餘十五尺為股也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為股自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為股弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩股一勾與股弦和相乗之一大長方内卯辰巳寅為勾自乗之一正方午未申卯與癸酉未午為股弦相乗之二長方與甲乙丙丁大正方内之甲辛己戊己壬丙庚二長方等未戌亥申為股自乗之一正方與甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦為股自乗之一正方與卯辰己寅勾自乗之一正方相併乃與甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一正方等兩數相減所餘為辰亥丑己一長方其辰己濶即勾其辰己巳丑長濶和即股弦和故以𢃄縱和數開方法算之得闊為勾也設如有股弦和三十二尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第四十二)法以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股弦和三十二尺與弦與勾股較之較十尺相加得四十二尺為兩弦一勾之共數(葢弦與勾股較之較為一勾一股弦)(較之共數與股弦和相加則得一勾一股一弦一股弦較而股加股弦較即又)(得一弦故為兩弦一勾也)自乗得一千七百六十四尺兩自乗數相加得二千七百八十八尺為長方積乃以兩弦一勾之共數倍之得八十四尺為四弦二勾之共數與股弦和三十二尺相加得一百一十六尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得闊三十四尺折半得十七尺為弦於股弦和三十二尺内減弦十七尺餘十五尺為股又於弦十七尺内減弦與勾股較之較十尺餘七尺為勾股較於股十五尺内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬巳為股自乗之一正方甲辛己戊與巳壬丙庚為股弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩弦一勾自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之四正方午子未辰為勾自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳為勾弦相乗之四長方今以兩自乗之方相併則得弦自乗五正方又勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併為弦自乗之一正方共為弦自乗六正方股弦相乗二長方勾弦相乗四長方相合共成乾坎艮震一大長方其闊即二弦數其長為三弦一股二勾數其長濶和為五弦一股二勾數故将兩弦一勾之共數倍之與股弦和相加為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶為二弦而折半為弦也設如有勾股較七尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何(第四十三)法以弦與勾股和之較六尺自乗得三十六尺折半得十八尺為長方積以勾股較七尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得二尺為股弦較與弦與勾股和之較六尺相加得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股再加股弦較二尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之一正方戊己丙庚為股自乗之一正方甲壬癸辛為勾自乗之一正方戊丑癸子為弦與勾股和之較自乗之一正方其積與壬乙己丑辛子庚丁之勾弦較與股弦較相乗之二長方等(見前有勾弦較股弦較求勾股弦法)今以弦與勾股和之較自乗折半必與壬乙己丑一長方積相等其乙己闊即股弦較其壬乙長即勾弦較而勾弦較之中有一股弦較一勾股較故以勾股較為長闊較用帯縱較數開方法算之得濶為股弦較也設如有勾弦較九尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第四十四)法以弦與勾股較之較十尺為勾與股弦較之共數(葢弦與勾股較之較乃弦内減去勾股較之餘然弦)(内有一勾一勾股較一股弦較今减去勾股較故餘為勾與股弦較之共數也)自乗得一百尺又以勾弦較九尺與弦與勾股較之較十尺相加得十九尺為弦與股弦較之共數(葢勾加勾弦較即弦今弦與勾股較)(之較既為勾與股弦較之共數若加勾弦較則為弦與股弦較之共數矣)自乗得三百六十一尺兩自乗數相减餘二百六十一尺又以勾弦較九尺自乗得八十一尺於兩自乗數相減之餘二百六十一尺内減之餘一百八十尺折半得九十尺為長方積以勾弦較九尺為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得長十五尺為股以股十五尺與弦與股弦較之共數十九尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾與股弦較相和自乗之一大正方内戊己庚丁為勾自乗之一正方辛乙壬己為股弦較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為股弦較與勾相乗之二長方又癸子丑寅為弦與股弦較相和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午未子辰為股弦較自乗之一正方即如前圖之辛乙壬巳然癸午辰卯與辰未丑巳為股弦較與弦相乗之二長方兩自乗方相減則於癸子丑寅正方形内減去與甲乙丙丁正方形相等之申子乾戌正方形餘卯酉戌亥巳寅磬折形為弦自乗方内減去勾自乗方所餘之股自乗之方積其癸申酉卯與亥乾丑巳為勾弦較與股弦較相乗之二長方共積與弦與勾股和之較自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形變為股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥乾丑己二長方共積變為弦與勾股和之較自乗之方作一巽離坤兌正方形則此二正方邉之較即勾弦較(並見勾弦較股弦較求勾股弦法中)是以坎艮震巽股自乗之正方形内減去水艮金木勾弦較自乗之正方則餘坎水木金震巽一磬折形而此磬折形内火木離巽之一正方形與巽離坤兌之正方形等是則坎水木金震巽磬折形與巽離坤兌正方形相合共為坎水離巽類之二長方矣折半則為一長方其闊即弦與勾股和之較其長即股其長闊較即勾弦較故以勾弦較為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得長為股也又法以弦與勾股較之較十尺為勾與股弦較之共數與勾弦較九尺相加得十九尺為弦與股弦較之共數兩數相併得二十九尺為一勾一弦二股弦較之共數與勾弦較九尺相乗得二百六十一尺又以勾弦較九尺自乗得八十一尺兩積相減餘一百八十尺折半得九十尺為長方積以勾弦較九尺為長闊較用帯縱較數開方法算之得長十五尺為股與弦與股弦較之共數十九尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦較與一勾一弦二股弦較相乗之長方内甲乙己戊為勾弦較與勾弦和相乗之一長方與庚辛壬癸股自乗之一正方積等(見股與勾弦較求勾)(弦法中)戊己丙丁為勾弦較與股弦較相乗之二長方與癸子丑寅弦與勾股和之較自乗之一正方積等此二正方邉之較即勾弦較(並見勾弦較股弦較求勾股弦法中)是以庚辛壬癸股自乗之正方形内減去卯辛巳辰勾弦較自乗之正方則餘庚卯辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午辰子癸之一正方與癸子丑寅之正方形等庚卯辰午之一長方與辰己壬子之長方形等折半即餘庚卯子癸一長方形其闊即弦與勾股和之較其長即股其長闊較即勾弦較故以勾弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得長為股也設如有股弦較二尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第四十五)法以弦與勾股較之和二十四尺減股弦較二尺餘二十二尺為股與勾股較之共數(葢弦内減股弦較餘即股故於弦與勾股較之和内減股弦較)(餘即為股與勾股較之共數也)自乗得四百八十四尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩自乗數相減餘九十二尺又於股與勾股較之共數自乗之四百八十四尺内減兩自乗數相減所餘之九十二尺餘三百九十二尺為長方積乃以股與勾股較之共數二十二尺倍之得四十四尺内減股弦較二尺餘四十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶十四尺折半得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦於弦内減股弦較二尺餘十五尺為股於股内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股與勾股較相和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾股較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股較與股相乗之二長方又癸子丑寅為弦與勾股較相和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午子未辰為勾股較自乗之一正方即如前圖之辛乙壬己然癸午辰卯與辰未丑己為勾股較與弦相乗之二長方兩自乗方相減則於癸子丑寅正方形内減去與甲乙丙丁正方形相等之申子乾戌正方形所餘卯酉戌亥巳寅磬折形為弦自乗方内減去股自乗方所餘之勾自乗之方積其癸申酉卯與亥乾丑巳為勾股較與股弦較相乗之二長方今以此餘積再於甲乙丙丁正方形内減之則減去坎艮震丁勾自乗之一正方其積與卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽離戊與戊離坤坎二長方即如癸申酉卯亥乾丑巳二長方然所餘兌巳庚震與己壬丙庚為股與勾股較相乗之二長方火辛己兌與辛乙壬己為勾股較自乗之二正方巽火兌離與離兌艮坤為勾與股弦較之較與勾股較相乗之二長方試将巽火兌離離兌艮坤二長方移為水木辛火木金乙辛則成水金丙震一大長方形其闊即二勾股較其長即二股内少一股弦較其長濶和為二勾股較二股少一股弦較故以股與勾股較之共數倍之得二股二勾股較内減去一股弦較為長濶和用帯縱和數開方法算之得濶為二勾股較折半得勾股較也又法以弦與勾股較之和二十四尺減股弦較二尺餘二十二尺為股與勾股較之共數自乗得四百八十四尺又以弦與勾股較之和二十四尺與股與勾股較之共數二十二尺相加得四十六尺為一股一弦二勾股較之共數以股弦較二尺乗之得九十二尺兩數相減餘三百九十二尺為長方積乃以股與勾股較之共數二十二尺倍之得四十四尺内減股弦較二尺餘四十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊十四尺折半得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦於弦内減股弦較二尺餘十五尺為股於股内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股與勾股較相和自乗之一大正方亦即一勾二勾股較之共數自乗之正方也(盖圖以甲辛為股辛乙為勾股較若以甲申為勾則申辛亦勾股較故為一勾)(兩勾股較也)内巳午未丁為勾自乗之一正方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬亥戌為勾股較自乗之四正方甲申酉戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚為勾股較與勾相乗之四長方又癸子丑寅為股弦較與一股一弦二勾股較相乗之一長方内癸子辰夘為股弦較與股弦和相乗之一長方與勾自乗之一正方等(見勾與股弦較求股弦法中)卯辰丑寅為股弦較與二勾股較相乗之二長方今以兩積相減則於甲乙丙丁正方形内減去與癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方又減去與卯辰丑寅相等之甲乾坎戊戊坎艮巳之股弦較與二勾股較相乗之二長方所餘酉巳庚未與己壬丙庚為股與勾股較相乗之二長方申辛己酉與辛乙壬己為勾股較自乗之二正方乾申酉坎坎酉午艮為勾與股弦較之較與勾股較相乗之二長方試将乾申酉坎坎酉午艮二長方移為震巽辛申巽離乙辛則成震離丙未一大長方形其濶即二勾股較其長即二股内少一股弦較其長濶和為二勾股較二股内少一股弦較故以股與勾股較之共數倍之得二股二勾股較内減去一股弦較為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊為二勾股較折半得勾股較也勾股積與勾股弦和較相求法設如有勾股積一百二十尺勾十尺求股弦各幾何法以勾股積一百二十尺倍之得二百四十尺以勾十尺除之得二十四尺為股勾股求弦得弦二十六尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其闊即勾其長即股故以勾除倍積而得股也設如有勾股積六十尺股十五尺求勾弦各幾何法以勾股積六十尺倍之得一百二十尺以股十五尺除之得八尺為勾勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其長即股其濶即勾故以股除倍積而得勾也設如有勾股積三十尺弦十三尺求勾股各幾何法以勾股積三十尺四因之得一百二十尺又以弦十三尺自乗得一百六十九尺相減餘四十九尺開方得七尺為勾股較乃以勾股積倍之為長方積以勾股較為長濶較用帯縱較數開方法算之得濶五尺為勾得長十二尺為股如圖甲乙丙丁為弦自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股積戊己庚辛一勾股較自乗方積故於弦自乗方内減四勾股積即餘勾股較自乗之方而開方得勾股較也設如有勾股積六十尺勾股較七尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺倍之得一百二十尺以勾股較七尺為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得濶八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其濶即勾其長即股其長濶較即勾股較故用𢃄縱較數開方法算之得闊為勾也又如有勾股積幾何知勾弦較或股弦較求勾股弦法中用帯縱立方算之始得茲故不設設在𢃄縱立方之後設如有勾股積六十尺勾股和二十三尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺兩數相減餘四十九尺開方得七尺為勾股較於勾股和二十三尺内減勾股較七尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之方内容八勾股積一勾股較自乗方積今於勾股和自乗之方内減八勾股積所餘戊己庚辛正方即勾股較自乗之方故開方而得勾股較也又如有勾股積幾何知勾弦和或股弦和求勾股弦法中用帯縱立方算之始得茲故不設設在𢃄縱立方之後設如有勾股積六十尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以勾股弦總和四十尺自乗得一千六百尺兩數相減餘一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股弦總和四十尺除之得十七尺為弦於勾股弦總和四十尺内減弦十七尺餘二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為勾股弦總和自乗之一大正方内戊己庚丁為勾自乗之一正方辛壬癸己為股自乗之一正方子乙丑壬為弦自乗之一正方寅子壬辛與壬丑卯癸為股弦相乗之二長方甲寅辛辰與癸卯丙己為勾弦相乗之二長方辰辛己戊與己癸己庚為勾股相乗之二長方夫勾股相乗之二長方與四勾股積等今於勾股弦總和自乗之一大正方内減去四勾股積即減去勾股相乗之二長方而勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併又與弦自乗之一正方等故所餘者為弦自乗之二正方股弦相乗之二長方勾弦相乗之二長方折半即得弦自乗之一正方股弦相乗之一長方勾弦相乗之一長方與甲乙丑辰長方形等其濶即弦其長即勾股弦總和故以勾股弦總和除之而得弦也設如有勾股積六十尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺以弦與勾股和之較六尺除之得四十尺為勾股弦總數内減弦與勾股和之較六尺餘三十四尺折半得十七尺為弦加弦與勾股和之較六尺得二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如圖甲乙為勾股和丙乙為弦甲丙為弦與勾股和之較試依甲乙線作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙線作丙己庚乙弦自乗之一正方二方相較其甲丁戊庚己丙磬折形乃與四勾股積相等(葢勾股和自乗方内容八勾股積一勾股較自乗方積弦自乗)(方内容四勾股積一勾股較自乗方積二方相減所餘磬折形積與四勾股積)(相等)引而長之即如丙甲戊庚一長方形其濶即弦與勾股和之較其長即弦與勾股和之和故以弦與勾股和之較除之得勾股弦總數也設如有勾股積六十尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩數相減餘三百三十六尺折半得一百六十八尺用弦與勾股較之和二十四尺除之得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦用有弦有勾股較求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為弦與勾股較之和自乗之一正方甲戊己庚為弦自乗之一正方而弦自乗之方内容四勾股積一勾股較自乗方積今減去四勾股積餘辛壬癸子為勾股較自乗之一正方而巳丑丙寅亦為勾股較自乗之一正方再戊乙丑巳與庚己寅丁又為勾股較與弦相乗之二長方折半則餘戊乙丑己一長方己丑丙寅一正方其戊寅長即弦與勾股較之和其戊乙闊即勾股較故以弦與勾股較之和除之而得勾股較也設如有勾股積六十尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以弦與勾股較之較十尺自乗得一百尺兩數相減餘一百四十尺折半得七十尺以弦與勾股較之較十尺除之得七尺為勾股較與弦與勾股較之較十尺相加得十七尺為弦用有弦有勾股較求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為弦自乗之一大正方内丁戊己庚為勾股較自乗之一正方辛乙壬己為弦與勾股較之較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股較與弦與勾股較之較相乗之二長方葢弦自乗方内容四勾股積一勾股較自乗方積今丁戊己庚既為勾股較自乗之方若於甲乙丙丁弦自乗方内減之則所餘甲乙丙庚巳戊磬折形即與四勾股積相等又於四勾股積相等之甲乙丙庚己戊磬折形内減辛乙壬己弦與勾股較之較自乗之方則尚餘甲辛己戊己壬丙庚二長方折半則得巳壬丙庚一長方其己壬長即弦與勾股較之較其己庚闊即勾股較故以弦與勾股較之較除之而得勾股較也正勾股比例設如有正勾股知勾十二尺求股與弦各幾何法以正勾股定分之勾三分為一率股四分為二率今所設之勾一十二尺為三率推得四率十六尺為股仍以勾三分為一率弦五分為二率今所設之勾十二尺為三率推得四率二十尺為弦也葢大小兩同式形其相當各界互相比之比例俱為相當比例四率(見幾何原夲八)(卷第三節)故正勾股定分之勾三與股四之比即同於今所設之勾十二與股十六之比又正勾股定分之勾三與弦五之比亦同於今所設之勾十二與弦二十之比也又㨗法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所設之勾股形為加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分弦五分各加四倍即得所求之股弦之各數矣設如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股弦各幾何法以正勾股定分之勾三分股四分相併得七分為一率勾三分為二率今所設之勾股和六十三尺為三率推得四率二十七尺為勾若以股四分為二率即得四率三十六尺為股若以弦五分為二率即得四率四十五尺為弦也葢正勾股定分之勾股和七尺與勾三股四弦五各相為比即同於今所設之勾股和六十三尺與勾二十七尺股三十六尺弦四十五尺各相比之比例也又㨗法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所設之勾股形為加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四弦五各加九倍即得所求之各數也設如有正勾股知勾股弦總和六十尺求勾股弦各幾何法以正勾股定分之勾三分股四分弦五分相併共得十二分為一率勾三分為二率今所設之勾股弦總和六十尺為三率推得四率十五尺為勾若以股四分為二率即得四率二十尺為股若以弦五分為二率即得四率二十五尺為弦也又㨗法以勾股弦總和六十尺用正勾股定分之勾三股四弦五相併之十二分除之得五尺即知今所設之勾股形為加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四弦五各加五倍即得所求之各數也設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉幾何法以股十二尺七歸三因得五尺一寸四分二釐八毫有餘或以勾九尺七歸四因亦得五尺一寸四分二釐八毫有餘為内容方邉也葢勾三分股四分者則以勾股和七分為一率勾三分為二率股四分為三率推得四率為内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺與十二尺之比仍同於三分與四分之比故以其分數相求得内容方邊仍為比例四率也設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜徑幾何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即為内容圜徑也葢勾三分股四分弦五分者則於勾股和七分内減弦五分餘二分為内容圜徑(見勾股容圜第二法)是内容圜徑得股四分之二得勾三分之二也今九尺與十二尺之比同於三分與四分之比故十二尺與六尺之比仍同於四與二之比而九尺與六尺之比亦仍同於三與二之比也設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方邊幾何法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七歸四因或以股十二尺七歸三因得五尺一寸四分二釐八毫有餘即内容方邊也葢内容方邊得勾七分之四得股七分之三(見前法)故必先比例得勾數或股數復比例得内容方邊也設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜徑幾何法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分為一率内容圜徑二分為二率今所設之勾股和二十一尺為三率推得四率六尺即内容圜徑也葢勾三分股四分弦五分者其内容圜徑為二分(見前法)故勾股和之七分與内容圜徑二分之比即同於今所設之勾股和之二十一尺與内容圜徑六尺之比也總之正勾股形知一數即得所求之各數要先以勾三股四弦五求得所知之定分及所求之定分(如勾股較則以勾三分與股四分相減餘)(一分又如弦與勾股較之和則以勾股較一分與弦五分相加得六分之類)乃以所知之定分與所求之定分之比即同於今所知之數與今所求之數之比也設如有正勾股面積九十六尺求勾股弦各幾何法以正勾股定分之面積六分為一率勾三分自乗得九分為二率今所設之勾股積九十六尺為三率推得四率一百四十四尺為勾自乗之方開方得十二尺為勾如以正勾股定分之股四分自乗為二率則得今所設之股自乗之方如以正勾股定分之弦五分自乗為二率則得今所設之弦自乗之方各開方而即得各數矣或得勾而以正勾股定分之勾股弦各比例之亦可葢同式兩勾股形其面積互相為比即同於勾股形各相當界所作正方形互相為比(見幾何原夲八卷第四節)故以正勾股定分之面積六尺與勾股弦各方之比即同於今所設之面積九十六尺與勾股弦各方之比也又㨗法以面積九十六尺用正勾股定分之面積六尺除之得十六尺開方得四尺即知今所設之勾股弦為各加四倍之比例乃以正勾股定分之各數各加四倍即得各數葢兩直角方面形其兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例(見幾何原夲七卷第五節)(今勾股為長方之半正方與正方為比長方與長方為比其比例相同並見第)(六節)故積大十六倍者界必大四倍既知其大四倍則以正勾股之定分各加四倍即得矣設如有正勾股知勾自乗股自乗弦自乗共積四百五十尺求勾股弦各幾何法以共積四百五十尺折半得二百二十五尺為弦自乗方積開方得一十五尺為弦既得弦則以勾股弦之定分比例之得九尺為勾得十二尺為股也如用面積為比例則以弦五分自乗之二十五分為一率勾三分自乗之九分為二率今所得之弦自乗方二百二十五尺為三率求得四率八十一尺為勾自乗方積開方得九尺為勾若以股四分自乗之十六分為二率則得四率一百四十四尺為股自乗方積開方得十二尺為股也葢弦自乗之一方既與勾自乗股自乗之二方等則勾自乗股自乗弦自乗之三方必與弦自乗之二方等故折半即得弦自乗之一方而開方得弦也御製數理精蘊下編卷十三
## 下編卷十四
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十四面部四三角形三角形凡三角形立於圓界之一半者為直角即勾股過圓界之一半者為鋭角不及圓界之一半者為鈍角然不拘鋭角鈍角自一角至底邊作垂線即分為兩直角是仍不離乎勾股也兩腰等者垂線即當底之一半而兩腰不等者所分底界則有大小不同故和較相比之法因之而生葢和求較較求和要必歸於勾股相求之理由勾股而得垂線則凡面積及内容方圓等形皆無不可得至於三角形角度相求之法乃割圓八線實所以極三角之用即如周髀所謂仰矩知髙俯矩知深是也故另為一卷茲但取三角形之面線相求諸法悉具圖觧以次勾股使與勾股相表裏焉設如有等邊三角形每邉十尺求中垂線幾何法以底邉十尺折半得五尺為勾任以兩腰之一邉十尺為弦勾弦求股得八尺六寸六分零二毫有餘即為中垂線也如圖甲乙丙三角形其甲乙甲丙兩腰相等則其底邊之乙丙兩角度亦必相等(見幾何原夲二卷第九節)今所求之垂線為甲丁即将甲乙丙三角形平分為兩直角三角形而甲丁乙甲丁丙皆為直角其度又等故所分之兩直角三角形為同式形而甲丁垂線又為兩三角形所共用之邉線則所分之底邊之乙丁丁丙焉得不等故将乙丙底邊折半為勾任以甲乙甲丙兩邉之一邊為弦求得股為中垂線也又法以底邊十尺折半得五尺自乗得二十五尺三因之得七十五尺開方得八尺六寸六分零二毫有餘即為中垂線也葢弦比勾大一倍則弦之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍為連比例隔一位相加之比例(見幾何原夲七卷第五節)依勾弦求股之法於弦自乗方積之四倍内減勾自乗方積之一倍餘三倍即為股自乗之方積是中垂線之自乗方積為勾自乗方積之三倍故将底邊折半自乗三因之即與中垂線自乗之方積等而開方得中垂線也設如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百一十二尺底一百五十尺求中垂線幾何法以底一百五十尺為一率大腰一百二十二尺與小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺為二率以大腰一百二十二尺與小腰一百一十二尺相減餘十尺為三率求得四率十五尺六寸為底邊之較與底一百五十尺相減餘一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸為勾以小腰一百一十二尺為弦求得股八十九尺六寸為中垂線也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所求中垂線試以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰於庚截乙丙底於戊又将甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙小腰相等則己乙為兩腰之和庚乙為兩腰之較(葢甲)(庚與甲丙等故庚乙為兩腰之較)乙丙為底邊之和乙戊為底邉之較(葢丁丙與丁戊等故乙戊為底邉之較)今以乙丙底邉之和與乙己兩腰之和為比即同於乙庚兩腰之較與乙戊底邊之較為比為轉比例之四率(幾何原夲九卷第八)(節自圜外一點至圜内所作之兩線此兩全線之比例同於圜外兩叚轉相比)(之比例)故乙丙為一率乙己為二率乙庚為三率求得四率為乙戊既得乙戊則於乙丙底邊内減去乙戊餘戊丙折半得丁丙為勾甲丙為弦求為股為甲丁中垂線也又法以大腰一百二十二尺自乘得一萬四千八百八十四尺又以小腰一百一十二尺自乘得一萬二千五百四十四尺兩自乘數相減餘二千三百四十尺以底邊一百五十尺除之得十五尺六寸為底邊之較與底邊一百五十尺相減餘一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸為勾以小腰一百一十二尺為弦求得股八十九尺六寸為中垂線也如圖甲乙丙三角形試自甲角作甲丁垂線則分為甲丁乙甲丁丙兩勾股形甲乙甲丙皆為弦乙丁丁丙皆為勾共以甲丁為股乙丙為兩勾之和乙戊為兩勾之較今以甲乙弦自乘則成甲戊己乙一正方形内丁庚辛乙為乙丁勾自乘之一正方形於甲戊己乙正方形内減去丁庚辛乙正方形所餘甲戊己辛庚丁磬折形積即與甲丁股自乘之一正方形等又以甲丙弦自乘則成甲壬癸丙一正方形内丁子丑丙為丁丙勾自乘之一正方形於甲壬癸丙正方形内減去丁子丑丙正方形所餘甲壬癸丑子丁磬折形積亦與甲丁股自乘之一正方形等是則前圖之甲戊己辛庚丁磬折形與後圖之甲壬癸丑子丁磬折形相等矣若兩自乘之數相減則如甲戊己乙正方形内減去與甲壬癸丑子丁磬折形相等之甲戊己辛庚丁磬折形又減去丁子丑丙一小正方形所餘為子庚辛乙丙丑一小磬折形引而長之成一長方形其長即乙丁與丁丙之和其濶即乙丁與丁丙之較故以乙丁與丁丙之和除子庚辛乙丙丑磬折形之積而得乙丁與丁丙之較也又圖甲乙丙三角形作甲丁垂線分為兩勾股形共以甲丁垂線為股故甲乙弦自乘方内有甲丁股自乘一方乙丁勾自乘一方而甲丙弦自乘方内有甲丁股自乘一方丁丙勾自乘一方今兩勾股形之股既同則兩弦方相減所餘之數即兩勾方相減所餘之數故甲丁乙勾股形之甲乙弦自乘方内減甲丁丙勾股形之甲丙弦自乘方所餘庚辛乙寅丑子磬折形即與甲丁乙勾股形之丁乙勾自乘方内減甲丁丙勾股形之丁丙勾自乘方所餘乙卯辰己申未磬折形相等若将乙卯辰己申未磬折形引而長之遂成乙壬酉未長方形其長即乙丁丁丙兩勾之和其闊即乙丁丁丙兩勾之較其積即乙丁丁丙兩勾方相減之餘亦即甲乙甲丙兩弦方相減之餘是以兩弦自乘相減之餘積以兩勾之和除之而得兩勾之較也設如有鋭角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂線幾何法以底二十一尺為一率以大腰十七尺與小腰十尺相加得二十七尺為二率以大腰十七尺與小腰十尺相減餘七尺為三率求得四率九尺為底邊之較與底二十一尺相減餘十二尺折半得六尺為勾以小腰十尺為弦求得股八尺為中垂線也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所求中垂線試以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰於庚截乙丙底邊於戊又将甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙小腰等則己乙為兩腰之和庚乙為兩腰之較乙丙為底邊之和乙戊為底邉之較其乙丙與乙己之比即同於庚乙與乙戊之比為轉比例四率也又法以大腰十七尺自乘得二百八十九尺又以小腰十尺自乘得一百尺兩自乘數相減餘一百八十九尺以底二十一尺除之得九尺為底邊之較與底二十一尺相減餘十二尺折半得六尺為勾以小腰十尺為弦求得股八尺為中垂線也圖解同前設如有斜立鋭角三角形大腰二十一尺小腰十七尺底十尺求形外垂線幾何法以底十尺為一率大腰二十一尺與小腰十七尺相減餘四尺為二率大腰二十一尺與小腰十七尺相加得三十八尺為三率求得四率十五尺二寸為底與形外垂線兩邊連底之總内減去底十尺餘五尺二寸折半得二尺六寸為勾以小腰十七尺為弦求得股十六尺八尺為形外垂線也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所求形外垂線試以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰於庚又将甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙小腰相等復将乙丙底引長至戊作乙戊線則成甲乙戊三角形其乙丙為底邉之較乙戊為底邊之和乙庚為兩腰之較乙己為兩腰之和自圜外至圜内所作兩線之比例既同於圜外兩叚轉相比之比例則圜外兩叚之比例亦必同於兩全線轉相比之比例故乙丙與乙庚之比即同於乙己與乙戊之比為比例四率既得乙戊則減乙丙餘丙戊折半得丙丁為勾甲丙為弦求得股即甲丁垂線也又法以大腰二十一尺自乘得四百四十一尺又以小腰十七尺自乘得二百八十九尺兩自乘數相減餘一百五十二尺以底十尺除之得十五尺二寸為底與形外垂線兩邊連底之總内減底十尺餘五尺二寸折半得二尺六寸為勾以小腰十七尺為弦求得股十六尺八寸為形外垂線也如圖甲乙丙三角形将乙丙底引長至戊自甲作垂線至丁則丁戊與丁丙等又自甲至戊作甲戊線與甲丙小腰等則成甲丁乙甲丁戊兩勾股形甲乙甲戊皆為弦乙丁丁戊皆為勾共以甲丁為股而乙丙為兩勾之較乙戊為兩勾之和前法以和求較此法以較求和其理一也圖解並同前設如有鋭角三角形兩腰俱五尺底六尺求面積幾何法先以底六尺折半得三尺為勾任以兩腰之一邊五尺為弦求得股四尺為中垂線與底六尺相乘得二十四尺折半得一十二尺為三角面積也如圖甲乙丙三角形以乙丙底邊與甲丁中垂線相乘成戊乙丙己長方形積比三角形積正大一倍故折半得三角積也設如有鈍角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求面積幾何法先用求中垂線法求得中垂線八尺與底二十一尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺為三角面積也如圖甲乙丙三角形先求甲丁垂線既得甲丁垂線乃與乙丙底邊相乘成戊乙丙己長方形比三角形積正大一倍故折半得三角積也又法以甲乙邊十七尺乙丙邊二十一尺甲丙邊十尺三數相加得四十八尺為三邊之總折半得二十四尺為半總以甲乙邊十七尺與半總二十四尺相減餘七尺為甲乙邊與半總之較以乙丙邊二十一尺與半總二十四尺相減餘三尺為乙丙邊與半總之較以甲丙邊十尺與半總二十四尺相減餘十四尺為甲丙邊與半總之較乃以半總二十四尺為一率甲丙邊與半總之較十四尺為二率乙丙邊與半總之較三尺與甲乙邊與半總之較七尺相乘得二十一尺為三率求得四率十二尺二十五寸開方得三尺五寸為三角形自中心至三邊之垂線與三邊之總四十八尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形之面積或以所得垂線三尺五寸與半總二十四尺相乘亦得八十四尺為三角形之面積也此法葢一率二率以線與線為比三率四率以面與面為比也如甲乙丙三角形自中心丁至三邊各作一垂線又自中心丁至三角各作一分角線即成六直角三角形俱兩兩相等(丁巳丙與丁庚丙等丁巳乙與丁戊乙等)(丁戊甲與丁庚甲等)又按甲戊度引乙丙線至辛則乙辛為三邊之半總即三較之和(乙巳)(與乙戊等即甲丙邊與半總之較巳丙與丙庚等即甲乙邊與半總之較丙辛)(與甲戊甲庚等即乙丙邊與半總之較)試自辛作直角将乙丁線引長作一乙辛壬直角形則壬辛與丁巳平行乙辛壬形與乙巳丁形遂為同式形其乙辛與乙巳之比即同於壬辛與丁巳之比然乙辛一率乙巳二率之數雖有而壬辛之數却無又但知巳丙與丙辛相乘之數即丁巳與壬辛相乘之數故以巳丙與丙辛相乘之數為三率(何以知巳丙與丙辛相乘之數即丁巳與壬辛相乘之數)(試作壬丙線壬癸線使丙癸與丙辛等癸角辛角皆為直角癸丙辛角與辛壬)(癸角相合共成一百八十度然庚丙巳角為癸丙辛角之外角相合亦共成一)(百八十度是庚丙巳角與辛壬癸角等庚丁巳角與癸丙辛角等是以壬癸丙)(辛形與丙庚丁巳形為同式形而丙辛壬勾股形與丁己丙勾股形亦為同式)(形可互相比例矣以丁己作一率巳丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是)(以巳丙二率與丙辛三率相乘之數即與丁巳一率與壬辛四率相乘之數等)(故直以己丙丙辛相乘之數作三率也)其所得四率即丁己自乘之數是故乙辛與乙巳之比同於丁己與壬辛相乘之面(即己丙與丙辛相乘之面)與丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故開方而得丁巳為三角形自中心至三邊之垂線與丁戊丁庚俱相等又即三角形容圜之半徑也既得自中心至三邊之垂線則用垂線與三邊之總相乘所得一長方積(即如用垂線與三邊各相)(乘所得三長方積合為一長方)比三角形積大一倍故折半而得三角形之面積如以垂線與半總相乘即與三角形積等而不用折半矣設如有鋭角三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺求内容正方邊幾何法先用求中垂線法求得中垂線十二尺與底邊四十四尺相加得五十六尺為一率中垂線十二尺為二率底邊四十四尺為三率推得四率九尺四寸二分八釐五毫有餘即三角形内所容正方之一邊也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所得中垂線戊己庚辛為今所求内容正方形試依甲丁中垂線度将乙丙線引長作乙癸線為五十六尺又與甲丙線平行作壬癸線又将甲乙線引長作壬乙線則成與甲乙丙同式之壬乙癸三角形復與底線平行作甲子線與丙癸等即與甲丁垂線等又與甲丁平行作子丑線與甲丁等則甲丁垂線所作甲丁丑子正方形即為壬乙癸三角形内所容之正方形矣故壬乙癸三角形之乙癸底與甲丁方邊之比即同於甲乙丙三角形之乙丙底與戊巳方邊之比故中垂線與底邊相加為一率中垂線為二率底邉為三率推得四率為内容正方之一邊也設如等邊三角形每邊一尺二寸求内容圜徑幾何法先用求中垂線法求得中垂線一尺零三分九釐二毫有餘以三歸之得三寸四分六釐四毫有餘即内容圜形半徑倍之得六寸九分二釐八毫有餘即内容圜形全徑也如圖甲乙丙三角形内容丁圜形先求得甲戊中垂線又自丙角至甲乙線界作丙巳垂線與甲戊中垂線相交於丁即三角形之中心亦即内容圜形之中心故丁戊與丁己即内容圜形之半徑又甲戊乙甲巳丁兩勾股形為同式形甲乙為乙戊之二倍則甲丁亦必為丁巳或丁戊之二倍丁戊既為内容圜形之半徑則甲丁即為内容圜形之全徑而甲戊中垂線必為丁戊半徑之三倍矣故求得甲戊中垂線以三歸之得丁戊即内容圜形之半徑倍之得庚戊即内容圜形之全徑也設如等邊三角形每邊一尺二寸求外切圜徑幾何法先用求中垂線法求得中垂線一尺零三分九釐二毫有餘三歸四因得一尺三寸八分五釐六毫有餘即外切圜形全徑也如圖甲乙丙三角形外切丁圜形先求得甲戊中垂線又自丙角至甲乙線界作丙己垂線與甲戊中垂線相交於丁即三角形之中心亦即外切圜形之中心故甲丁與丙丁即外切圜形之半徑又甲戊乙甲巳丁兩勾股形為同式形甲乙為乙戊之二倍則甲丁亦必為丁己或丁戊之二倍甲丁既為外切圜形之半徑則為甲戊中垂線之三分之二而甲戊中垂線却為甲庚全徑之四分之三矣故求得甲戊中垂線三歸四因得甲庚即外切圜形之全徑也又法以每邊一尺二寸自乘三歸四因開方得一尺三寸八分五釐六毫有餘即外切圜形全徑也如圖甲乙丙三角形外切甲乙丁丙圜形試自甲角作甲戊中垂線又引長作甲丁全徑線復自丁至乙作丁乙線遂成甲乙丁甲戊乙兩勾股形為同式形甲乙既為乙戊之二倍則甲丁亦必為乙丁之二倍故甲丁自乘方積比乙丁自乘方積大四倍若依勾弦求股之法言之則甲丁弦自乘方積内減乙丁勾自乘方積所餘為甲乙股自乘之方積今甲丁弦自乘方積既為乙丁勾自乘方積之四倍則是甲乙每邊自乘方積為甲丁全徑自乘方積之四分之三矣故以一邊自乘三歸四因即與全徑自乘之方積等而開方得外切圜形之全徑也設如有鋭角三角形大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺求内容圜徑幾何法先用求中垂線法求得中垂線二百四十尺與底四百一十八尺相乘得一十萬零三百二十尺以大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺三數相加得一千零五十六尺除之得九十五尺即内容圜半徑倍之得一百九十尺即内容圜全徑也如圖甲乙丙三角形内容戊圜形試自圜之中心至甲乙丙三角各作戊甲戊乙戊丙三線遂分甲乙丙三角形為甲戊乙甲戊丙乙戊丙三三角形其三邊皆為三角形之底而戊巳半徑皆為三角形之垂線今乙丙底邊與甲丁中垂線相乘所得之長方積原比甲乙丙三角形積大一倍即如将所分三三角形各用垂線乘底邊所得之三長方積合為一長方也三長方之長雖不同而濶則一故各以長除積而得濶者即如合三角形之三邊除三角形之倍積而得半徑也設如有鋭角三角形大腰一百八十三尺小腰一百六十八尺底二百二十五尺求外切圜徑幾何法用求中垂線法求得中垂線一百三十四尺四寸為一率小腰一百六十八尺為二率大腰一百八十三尺為三率推得四率二百二十八尺七寸五分即外切圜徑也如圖甲乙丙三角形甲乙為小腰甲丙為大腰乙丙為底甲丁為中垂線試作切三角一圜自甲角至圜對界作甲戊全徑線又自丙角至戊作丙戊線則甲丙戊三角形之丙角立於圜界之一半必為直角與甲丁垂線所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角與乙角皆對甲丙弧其度又等故甲丙戊與甲丁乙兩三角形為同式形是以甲丁與甲乙之比同於甲丙與甲戊之比而為相當比例四率也設如有鈍角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求外切圜徑幾何法用求中垂線法求得中垂線八尺為一率小腰十尺為二率大腰十七尺為三率推得四率二十一尺二寸五分即外切圜徑也如圖甲乙丙三角形甲乙為小腰甲丙為大腰乙丙為底甲丁為中垂線試作切三角一圜自甲角至圜對界作甲戊全徑線又自丙角至戊作丙戊線則甲丙戊三角形之丙角立於圜界之一半必為直角與甲丁垂線所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角與乙角皆對甲丙弧其度又等故甲丙戊與甲丁乙兩三角形為同式形是以甲丁與甲乙之比同於甲丙與甲戊之比而為相當比例四率也御數精藴下編卷十四
## 下編卷十五
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷十五面部五割圜(屢求勾股)割圜周髀曰圓出於方方出於矩矩者所謂直角即勾股也葢因方易度而圓難測方有盡而圓無盡故古人用割圜之法内弦外切屢求勾股為無數多邊形以切近圜界使弧線直線漸合為一而圓周始得是則推圜者以方推方者以矩矣劉宋祖冲之以圜容六邊起算元趙友欽以圜容四邊起算自明末西法入中國又有割圜八線六宗三要等説而圜度内外諸線相求之法始偹要之圜内六邊起算者圜徑折半即圜内六邊之一乃用屢求勾股之法自六邊而十二邊自十二邊而二十四邊自二十四邊而四十八邊如是累至億萬邊設徑為一而周得三一四一五九二六五三有餘圜内四邊起算者則以圜徑為内容正方之斜弦自乗折半開方而得四邊之一亦用屢求勾股之法自四邊而八邊自八邊而十六邊自十六邊而三十二邊如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外四邊起算者圜徑即四邊之一圜徑自乗倍之開方即圜外正方之斜弦減去圜徑即圜外兩角之餘又即圜外八邊之一以八邊之一折半為勾半徑為股求得弦與半徑相減即股弦較又即小同式形之勾乃以八邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即十六邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外六邊起算者圜徑為弦半徑為勾求得股倍之即圜外三邊之一取其三分之一即圜外六邊之一以六邊之一折半為勾半徑為股求得弦與半徑相減即股弦較又即小同式形之勾乃以六邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即十二邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘此兩法者或自圜内容形之邊為勾股法使無數勾股小弦逼近圜周将與圜周合而為一或自圜外切形之邊為勾股法使無數勾股小股逼近圜周亦将與圜周合而為一二法既立故凡圜周圜徑諸法皆可以互相比例矣割圜八線則將圜周分為三百六十度先求弧度通弦折半為正弦既得正弦而圜内之正矢圜外之正切正割由之而生至於餘弦餘矢餘切餘割則又由正而得名三百六十度平分四象限每一象限九十度九十度之中得其正角為正餘角為餘是以正餘相對而割圜八線之表以立一象限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角測量諸法皆可以互相比例矣自圜内容形屢求勾股而得無數多邊自圜外切形屢求勾股而得無數多邊内外湊集則圜周漸變為直線而設圜界為度分者内而正弦外而切線至於無數則圜周亦漸變為直線二者互相恭考俱為相符可見理之至者先後一揆法之精者中外一理然則勾股即割圜之體而割圜即勾股之用二者交相成而兩相得乎圜内容六邊起算設如圜徑二兆用内容六邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆折半得一兆為圜内所容六邊形之每一邊乃以半徑一兆為弦六邊之一邊一兆折半得五千億為勾求得股八千六百六十億二千五百四十萬三千七百八十四(小餘四三八六四六七六)(三七二三一七○七五二九三六一八三四七一)與半徑相減餘一千三百三十九億七千四百五十九萬六千二百一十五(小餘五六一三五三二三六二)(七六八二九二四七○六三八一六五二九)復為勾六邊之一邊折半之五千億為股求得弦五千一百七十六億三千八百零九萬零二百零五(小餘○四一五二四六九七七九七六七五二四八○九六六)(五七六六四)為圜内所容十二邊形之每一邊如是屢求得圜内二十四邊形之每一邊為二千六百一十億五千二百三十八萬四千四百四十零(小餘一○三一八三○九)(六八一二四五五七九○九七八○二○三八七)圜内四十八邊形之每一邊為一千三百零八億零六百二十五萬八千四百六十零(小餘二八)(六一三三六三○六三一一一七五五○三五○八八二八七九)圜内九十六邊形之每一邊為六百五十四億三千八百一十六萬五千六百四十三(小餘五五二二八四一二七三一二二八八二四一六○八六七八四三)(三)圜内一百九十二邊形之每一邊為三百二十七億二千三百四十六萬三千二百五十二(小餘九七三五六三二八五九二八五六五八)(九九一八九八三三二一三)圜内三百八十四邊形之每一邊為一百六十三億六千二百二十七萬九千二百零七(小餘八七四二五八五七)(○三九八一四六五八九五二六六七九九六四)圜内七百六十八邉形之每一邊為八十一億八千一百二十萬八千零五十二(小餘四六九五七九)(一八九二四八二一九九一○○三六二五二三三七)圜内一千五百三十六邊形之每一邊為四十億九千零六十一萬二千五百八十二(小餘)(三二八一九○二二八八二六一一七九六八五八五一九○○三九)圜内三千零七十二邊形之每一邊為二十億四千五百三十萬七千三百六十零(小餘六七六六○九○八二三八五九二二二九二一○二○七九○二)(九)圜内六千一百四十四邊形之每一邊為一十億二千二百六十五萬三千八百一十四(小餘○二七三九五○二二○二八五九八九五八)(八五二二四三九一七)圜内一萬二千二百八十八邊形之毎一邊為五億一千一百三十二萬六千九百二十三(小餘七二四八三四六二)(八一二三二九九○三一九○八八四七六七九)圜内二萬四千五百七十六邊形之每一邊為二億五千五百六十六萬三千四百六十三(小餘九五一三○九四八○五二三四四九○一一一四一○六三一七六)圜内四萬九千一百五十二邊形之每一邊為一億二千七百八十三萬一千七百三十二(小餘二三六七六六二六一八六九四七六四六四)(○四九二○九九九七)圜内九萬八千三百零四邊形之毎一邊為六千三百九十一萬五千八百六十六(小餘一五一○二二○七一一六○七○)(八○七一二六三八七○七五三)圜内一十九萬六千六百零八邊形之每一邊為三千一百九十五萬七千九百三十三(小餘○七九五九○)(九○三一○九三八一五四一九三○六五三八○○)圜内三十九萬三千二百一十六邊形之毎一邊為一千五百九十七萬八千九百六十六(小餘五四○三○五五二八八九六二四八七七九三七二三七五九六)(七)圜内七十八萬六千四百三十二邊形之每一邊為七百九十八萬九千四百八十三(小餘二七○二一六四六五四二八○六六六八一○五)(六一一一一四八)圜内一百五十七萬二千八百六十四邊形之每一邊為三百九十九萬四千七百四十一(小餘六二五一一七四五二九)(七五八六八○七○六八一一七九三三九)圜内三百一十四萬五千七百二十八邊形之毎一邊為一百九十九萬七千三百七十零(小餘)(八一七五五九○九六六六四○五九二五四○○二八六七九六四)圜内六百二十九萬一千四百五十六邊形之毎一邊為九十九萬八千六百八十五(小餘四○八七七九六七二八三九七五五七五七四○六一一三)(六一四)圜内一千二百五十八萬二千九百一十二邊形之每一邊為四十九萬九千三百四十二(小餘七○四三八九八五一九八三三一)(二三六三九八二九九六三五五)圜内二千五百一十六萬五千八百二十四邊形之每一邊為二十四萬九千六百七十一(小餘三五二一)(九四九二七九三七○八八六一七六九八八○二六五六)圜内五千零三十三萬一千六百四十八邊形之每一邊為一十二萬四千八百三十五(小餘六七六○九七四六四二一一七二三三二二五○四七○九四一)(八)圜内一億零六十六萬三千二百九十六邊形之毎一邊為六萬二千四百一十七(小餘八三八○四八七三二一三六二五九○六三二○九五)(八七八四三)圜内二億零一百三十二萬六千五百九十二邊形之每一邊為三萬一千二百零八(小餘九一九○二四三六六○七一九二九二)(○四二六九一一八四○二)圜内四億零二百六十五萬三千一百八十四邊形之每一邊為一萬五千六百零四(小餘四五九五一二一八三○)(三六四三九四九七一○七三二○九五一)圜内八億零五百三十萬六千三百六十八邊形之毎一邊為七千八百零二(小餘二二九七五六○九一五)(一八二七九一五○四八二九一五一四二)圜内一十六億一千零六十一萬二千七百三十六邊形之每一邊為三千九百零一(小餘一一四八)(七八○四五七五九一四六九九六五八一四八七○一五)圜内三十二億二千一百二十二萬五千四百七十二邊形之每一邊為一千九百五十零(小餘五五七四三九○二二八七九五七四五二九五三四四○六)(八七四)圜内六十四億四千二百四十五萬零九百四十四邊形之每一邊為九百七十五(小餘二七八七一九五一一四三九七八七三二九三六)(四一一九九二六)圜内一百二十八億八千四百九十萬一千八百八十八邊形之每一邊為四百八十七(小餘六三九三五九七五五七一九)(八九三六七七四九八九○九九○五)圜内二百五十七億六千九百八十萬三千七百七十六邊形之每一邊為二百四十三(小餘八一九六)(七九八七七八五九九四六八三八七四九四五四九五三)圜内五百一十五億三千九百六十萬七千五百五十二邊形之每一邊為一百二十一(小餘九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九八七九○)(九)乃以五百一十五億三千九百六十萬七千五百五十二邊之數與其每一邊一百二十一(小餘九○九八三九九三八九二九九七三四)(一四二四七九八七九○九)之數相乗得六兆二千八百三十一億八千五百三十萬七千一百七十九(小餘五八六四七六五八○一三四八二二○三五)(五○一○八八七六八)為圜徑二兆之周數圜内容四邊起算設如圜徑二兆用内容四邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆折半得一兆自乗得一穣倍之開方得一兆四千一百四十二億一千三百五十六萬二千三百七十三(小餘○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六)(九)為圜内所容四邊形之每一邊乃以半徑一兆為弦四邊之一邊一兆四千一百四十二億一千三百五十六萬二千三百七十三(小餘○九五○四八八○一六八八七二四二)(○九六九八○七八五六九)折半得七千零七十一億零六百七十八萬一千一百八十六(小餘五四七五二四四○○八四四三六二一○四八四九○三九二八四)為勾亦即為股(四邊折半所成之勾股形其勾與股相等)與半徑相減餘二千九百二十八億九千三百二十一萬八千八百一十三(小餘四五)(二四七五五九九一五五六三七八九五一五○九六○七一六)復為勾四邊之一邊折半之七千零七十一億零六百七十八萬一千一百八十六(小餘五四七五二四四三九八四四三六二一 四八四九 二八四)為股求得弦七千六百五十三億六千六百八十六萬四千七百三十零(小餘一七)(九五四三四五六九一九九六八 六 七九七七三三五二三)為圜内所容八邊形之每一邊復以半徑一兆為弦八邊之一邊折半得三千八百二十六億八千三百四十三萬二千三百六十五(小餘九八九七七一七二八四五 九八四 三 三九)(八八六六七六一)為勾求得股九千二百三十八億七千九百五十三萬二千五百一十一(小餘二八六七五六一二八一八三一八九三九六七八八二八六)(八二二)與半徑相減餘七百六十一億二千零四十六萬七千四百八十八(小餘七一)(三二四三八七一八一六八一○六○三二一一七一三一七八)復為勾八邊之一邊折半之三千八百二十六億八千三百四十三萬二千三百六十五(小餘○八九七七一七二八四五九九八四○三○三九八八六六)(七六一)為股求得弦三千九百零一億八千零六十四萬四千零三十二(小餘二五六五)(三五六九六五六九七三六九五四○四四四八一八五五)為圜内所容十六邊形之毎一邊如是屢求得圜内三十二邊形之每一邊為一千九百六十億三千四百二十八萬零六百五十九(小餘一二一二○三九八八三九一一二七七七七二八三六)(九一七二二)圜内六十四邊形之每一邊為九百八十一億三千五百三十四萬八千六百五十四(小餘八三六○二八五○九九一五○七三五)(四一九二一八○四五八六)圜内一百二十八邊形之每一邊為四百九十億八千二百四十五萬七千零四十五(小餘八二四五七六○六三四)(七一六二一○六二○八五七五四一三二)圜内二百五十六邊形之每一邊為二百四十五億四千三百零七萬六千五百七十一(小餘四三)(九八五二一五八八一七八○五二八三二二七○七一六○○)圜内五百一十二邊形之每一邊為一百二十二億七千一百七十六萬九千二百九十八(小餘三○八九五○七一九二八一一○九八九七五三九一)(五○二八七)圜内一千零二十四邊形之毎一邊為六十一億三千五百九十一萬三千五百二十五(小餘九三四八一八四○○九三五六一)(三五六一一八八八五○三一八)圜内二千零四十八邊形之每一邊為三十億六千七百九十六萬零三百七十二(小餘五六九五三一二二四六)(○七五五四四八二五五三五七八○五四)圜内四千零九十六邊形之每一邊為一十五億三千三百九十八萬零六百三十七(小餘四八五四)(○九○五三八七七二一六八○六九八○五三六五二九)圜内八千一百九十二邊形之每一邊為七億六千六百九十九萬零三百七十五(小餘)(一四二七九一一七八一四四九六三四○七九一三二八八三一一)圜内一萬六千三百八十四邊形之毎一邊為三億八千三百四十九萬五千一百九十四(小餘六二一四○六六一四八七九八三九一四六七五)(四三七○三三三)圜内三萬二千七百六十八邊形之每一邊為一億九千一百七十四萬七千五百九十八(小餘一九一九五四六九一七)(四一○四四四三三三四一二七四三一七)圜内六萬五千五百三十六邊形之每一邊為九千五百八十七萬三千七百九十九(小餘二○六一)(三三七六九○九八○一二九八六六八三四九五八○七)圜内一十三萬一千零七十二邊形之每一邊為四千七百九十三萬六千八百九十九(小餘六一六八三六四三七四五八三七五六五七一七七一三四八二)(七)圜内二十六萬二千一百四十四邉形之每一邊為二千三百九十六萬八千四百四十九(小餘八一○一三九四一二八四三○四四三)(七四六一七五二八三三○)圜内五十二萬四千二百八十八邊形之毎一邊為一千一百九十八萬四千二百二十四(小餘九○五二八四)(八五五六八五七六○○四九三二九五五四六八八)圜内一百零四萬八千五百七十六邊形之每一邊為五百九十九萬二千一百一十二(小餘四五二六六九三二一五○○九○九九三八七二六○○六○六五)圜内二百零九萬七千一百五十二邊形之每一邊為二百九十九萬六千零五十六(小餘二二六三三八○二二四五七七○八七一四一二○二)(五三九六六)圜内四百一十九萬四千三百零四邊形之毎一邊為一百四十九萬八千零二十八(小餘一一三一六九四三一四四二二六一○)(七五三四七四三二九三三)圜内八百三十八萬八千六百零八邊形之毎一邊為七十四萬九千零一十四(小餘○五六五八四七六八二四七八○)(六三七七四六五一五五○七七)圜内一千六百七十七萬七千二百一十六邊形之毎一邊為三十七萬四千五百零七(小餘○二八二九二)(三九○六八九七三七六六八七○六六八○○三二)圜内三千三百五十五萬四千四百三十二邊形之每一邊為一十八萬七千二百五十三(小餘五一四一四六一九六一六五五九八一四四三五○一○八二二)(四)圜内六千七百一十萬八千八百六十四邊形之每一邊為九萬三千六百二十六(小餘七五七○七三○九八一八五三九○二三五九二四六)(五○三○六)圜内一億三千四百二十一萬七千七百二十八邊形之毎一邊為四萬六千八百一十三(小餘三七八五三六五四九一○五)(五一九○一三四三一○二四六八二)圜内二億六千八百四十三萬五千四百五十六邊形之每一邊為二萬三千四百零六(小餘六八九二)(六八二七四五五四三六二四九三六四九○九九七八四)圜内五億三千六百八十七萬零九百一十二邊形之每一邊為一萬一千七百零三(小餘三四四六三四一三七二七七三八一六二○一九一二四八三二一)圜内一十億七千三百七十四萬一千八百二十四邊形之每一邊為五千八百五十一(小餘六七二三一七○六八六三八七一五八五六七六)(六四六一四六四)圜内二十一億四千七百四十八萬三千六百四十八邊形之每一邊為二千九百二十五(小餘八三六一五八五三四三)(一九三六一○五九二一七○八五三九四)圜内四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六邊形之毎一邊為一千四百六十二(小餘)(九一八○七九二六七一五九六八○九二○九六二七七四五二九)圜内八十五億八千九百九十三萬四千五百九十二邊形之每一邊為七百三十一(小餘四九五○三九六三三五七九八四○五○三一四○一六六)(○二七)圜内一百七十一億七千九百八十六萬九千一百八十四邊形之每一邊為三百六十五(小餘七二九五一九八一六七八九九二)(○二五七六八四九九二八八六)圜内三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八邊形之毎一邊為一百八十二(小餘八六四七)(五九九○八三九四九六○一二九六○六八六○七七○)乃以三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八邊之數與其每一邊一百八十二(小餘八六四七五九九○八三九四九六○一二九六○六八)(六○七七○)之數相乗得六兆二千八百三十一億八千五百三十萬七千一百七十九(小餘五八六四七六八六三○八三一○六七五五○○三○二三)(三六○)為圜徑二兆之周數圜外切六邊起算設如圜徑二兆用外切六邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆為弦半徑一兆為勾求得股一兆七千三百二十億五千零八十萬七千五百六十八(小餘八七七二九三五二七四)(四六三四一五○五八七二三六六九四二)取其三分之二得一兆一千五百四十七億零五十三萬八千三百七十九(小餘二五一五二九○一八二九七)(五六一○○三九一四九一一二九五)即圜外六邊形之毎一邊(葢圜徑為弦半徑為勾所得股即圜外三邊形之每邊之一半)(倍之為圜外三邊形之每一邊其毎一邊之三分之一即圜外六邊形之每一)(邊今以六邊起算故省求三邊止以所得之股取其三分之二為六邊形之毎)(一邊也)乃以六邊形之每一邊一兆一千五百四十七億零五十三萬八千三百七十九(小餘二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一四九)(一一二九五)折半得五千七百七十三億五千零二十六萬九千一百八十九(小餘六二)(五七六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七)為勾半徑一兆為股即用六邊之一邊為弦(圜内六邊與半徑等圜外六邊亦與本形半徑等故即用六邊之一邊為弦也)與半徑相減餘一千五百四十七億零五十三萬八千三百七十九(小餘二五一五二九)(○一八二九七五六一○○三九一四九一一二九五)即股弦較又即小同式形之勾復以六邊形之一邊折半之勾五千七百七十三億五千零二十六萬九千一百八十九(小餘六二五七)(六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七)為一率半徑之股一兆為二率小同式形之勾一千五百四十七億零五十三萬八千三百七十九(小餘二五一五二九○一八二九七五六一○○三)(九一四九一一二九五)為三率推得四率二千六百七十九億四千九百一十九萬二千四百三十一(小餘一二二七○六四七二五五三六五八四九四)(一二七六三三○五七)為小同式形之股倍之得五千三百五十八億九千八百三十八萬四千八百六十二(小餘二四五四一二九四五一○七)(三一六九八八二五五二六六一一四)為圜外十二邊形之每一邊如是屢求得圜外二十四邊形之毎一邊為二千六百三十三億零四百九十九萬五千一百七十四(小餘七九)(一七○六九四三○五二九一四八一九四三四二○七一八四)圜外四十八邊形之每一邊為一千三百一十億八千六百九十二萬五千六百三十零(小餘四七六四五七一二九○八七四四九七五九八八五五八九)(八四二)圜外九十六邊形之每一邊為六百五十四億七千三百二十二萬零八百二十五(小餘九四五一七二八七八五一七八九七七八六九一)(九二四七三一○)圜外一百九十二邊形之每一邊為三百二十七億二千七百八十四萬四千二百七十零(小餘六二三一六五三三○六)(八二一五七二二五九三九八八九七五六)圜外三百八十四邊形之每一邊為一百六十三億六千二百八十二萬六千八百零七(小餘五八)(七七五二七四○七五○一二四一四二六二九三○五五○二)圜外七百六十八邊形之每一邊為八十一億八千一百二十七萬六千五百零一(小餘五七四七一二三四○五二八六五四七○二○六三七八四二四六)圜外一千五百三十六邊形之毎一邊為四十億九千零六十二萬一千一百三十八(小餘四三九四八七一七七○七三八九五七六二五○九三)(○八六七○)圜外三千零七十二邊形之毎一邊為二十億四千五百三十萬八千四百三十零(小餘一八九六八二三○九八七九八九二○四九)(四○七三○一四三八)圜外六千一百四十四邊形之毎一邊為一十億二千二百六十五萬三千九百四十七(小餘七一六五○二九四○六)(○七九二三六一七○八二四○○七六八)圜外一萬二千二百八十八邊形之每一邊為五億一千一百三十二萬六千九百四十零(小餘)(四三五九七二三○一一六二四八九八六三九六七三七八二六二)圜外二萬四千五百七十六邊形之每一邊為二億五千五百六十六萬三千四百六十六(小餘○四○二○一六六四○五二四五三七一九三三)(九一五○五八二)圜外四萬九千一百五十二邊形之每一邊為一億二千七百八十三萬一千七百三十二(小餘四九七八七七七八四○)(一○五六○七七四○一○四六二三四八)圜外九萬八千三百零四邊形之毎一邊為六千三百九十一萬五千八百六十六(小餘一八三六六一)(○一一四○三三三五六四一三七七六七八四八四)圜外一十九萬六千六百零八邊形之每一邊為三千一百九十五萬七千九百三十三(小餘○八三六七○七七○六三八九二五一四九七五○二五一六九四)圜外三十九萬三千二百一十六邊形之毎一邊為一千五百九十七萬八千九百六十六(小餘五四○八一五四一八四三七○一○三七九)(二○二九四三三二二)圜外七十八萬六千四百三十二邊形之每一邊為七百九十八萬九千四百八十三(小餘二七○二八○二一三三五八)(二一○八七二五八六○四二○三○)圜外一百五十七萬二千八百六十四邊形之每一邊為三百九十九萬四千七百四十一(小餘六三)(五一二四一六九六九六五六九○二八一四八七○四五五八)圜外三百一十四萬五千七百二十八邊形之每一邊為一百九十九萬七千三百七十零(小餘八一七五六○○九二七二五四六七四七四九七七六)(四四三五四)圜外六百二十九萬一千四百五十六邊形之每一邊為九十九萬八千六百八十五(小餘四○八七七九七九七三四七三八一六)(○七九七四二七五二九八)圜外一千二百五十八萬二千九百一十二邊形之毎一邊為四十九萬九千三百四十二(小餘七○四三八九)(八六七五四六七七一七八七八○九四六一二一四)圜外二千五百一十六萬五千八百二十四邊形之每一邊為二十四萬九千六百七十一(小餘三五二一九四九二九八八二五二一○六八八二八八四八八六)(二)圜外五千零三十三萬一千六百四十八邊形之每一邊為一十二萬四千八百三十五(小餘六七六○九七四六四四五四九○二三九八)(八一三七二三○八二)圜外一億零六十六萬三千二百九十六邊形之每一邊為六萬二千四百一十七(小餘八三八○四八七三二一六六六五)(六四三五七○三三九六九七六)圜外二億零一百三十二萬六千五百九十二邊形之每一邊為三萬一千二百零八(小餘九一九○二四三六)(六○七五七二八八七二三八八七六五四二八)圜外四億零二百六十五萬三千一百八十四邊形之毎一邊為一萬五千六百零四(小餘四五)(九五一二一八三○三六九一四五一八○一一五一六○八○)圜外八億零五百三十萬六千三百六十八邊形之每一邊為七千八百零二(小餘二二)(九七五六○九一五一八二三八五一九二三二八九九七一○)圜外一十六億一千零六十一萬二千七百三十六邊形之毎一邊為三千九百零一(小餘一一四八七八○四五七五九一五四四一七一四四八四二五六)(二)圜外三十二億二千一百二十二萬五千四百七十二邊形之每一邊為一千九百五十零(小餘五五七四三九○二二八七九五七五三)(五三二六三四七○三六八)圜外六十四億四千二百四十五萬零九百四十四邊形之每一邊為九百七十五(小餘二七八七一九五一一四三九)(七八七四四四七一八一一六三二○)圜外一百二十八億八千四百九十萬一千八百八十八邊形之毎一邊為四百八十七(小餘六三九三)(五九七五五七一九八九三六九三三六九八五五八○二)圜外二百五十七億六千九百八十萬三千七百七十六邊形之每一邊為二百四十三(小餘八一九六七九八七七八五九九四六八四三○六一二七七六○)(六)圜外五百一十五億三千九百六十萬七千五百五十二邊形之每一邊為一百二十一(小餘九○九八三九九三八九二九九七三四二一)(○七七六八二五一六)乃以五百一十五億三千九百六十萬七千五百五十二邊之數與其每一邊一百二十一(小餘九○九八三九九三)(八九二九九七三四二一○七七六八二五一六)之數相乗得六兆二千八百三十一億八千五百三十萬七千一百七十九(小餘五八六四七六九三二一)(五四六○一七七八二八三九六○八三二)為圜徑二兆之周數圜外切四邊起算設如圜徑二兆用外切四邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆為外切四邊形之每一邊乃以圜徑二兆為股亦即為勾求得弦二兆八千二百八十四億二千七百一十二萬四千七百四十六(小餘一九○○九七)(六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八)為圜外四邊形之斜弦與圜徑相減餘八千二百八十四億二千七百一十二萬四千七百四十六(小餘一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九)(六一五七一三八)即圜外八邊形之每一邊又以八邊形之毎一邊八千二百八十四億二千七百一十二萬四千七百四十六(小餘一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三)(八)折半得四千一百四十二億一千三百五十六萬二千三百七十三(小餘○九五○)(四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九)為勾半徑一兆為股求得弦一兆零八百二十三億九千二百二十萬零二百九十二(小餘三九三九六八八九九四四六四一○七三二七七八八四○一二一)與半徑相減餘八百二十三億九千二百二十萬零二百九十二(小餘三九三九六八八九)(九四四六四一○七三二七七八八四○一二一)即股弦較又即小同式形之勾復以八邊形之一邊折半之勾四千一百四十二億一千三百五十六萬二千三百七十三(小餘○九五○)(四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九)為一率半徑之股一兆為二率小同式形之勾八百二十三億九千二百二十萬零二百九十二(小餘三九三九六八八九九四四六四一○七三二七七)(八八四○一二一)為三率推得四率一千九百八十九億一千二百三十六萬七千三百七十九(小餘六五八○○六九一一五九七六二二六四四六七)(六二二八五九七)為小同式形之股倍之得三千九百七十八億二千四百七十三萬四千七百五十九(小餘三一六○一三八二三一九五二四)(五二八九三五二四五七一九四)為圜外十六邊形之每一邊如是屢求得圜外三十二邊形之毎一邊為一千九百六十九億八千二百八十萬六千七百一十四(小餘三二八五)(○六一五四三九五○四二五八二六五四八六四五八四)圜外六十四邊形之每一邊為九百八十二億五千三百六十九萬九千五百三十八(小餘九三四五○八二一○六八六六四二五四二六二七二三四一五八)圜外一百二十八邊形之毎一邊為四百九十億九千七百二十四萬四千二百一十七(小餘八五○八八八二○九一五九五○七九二一八一)(七四四二三八四)圜外二百五十六邊形之毎一邊為二百四十五億四千四百九十二萬四千七百五十九(小餘一三二五五○四六一七)(七五一○六四六八五四一五九二八九○)圜外五百一十二邊形之毎一邊為一百二十二億七千二百萬零三百一十五(小餘二四六八○三九二)(八五八八七三一二○二六二一六七○五八二)圜外一千零二十四邊形之毎一邊為六十一億三千五百九十四萬二千四百零二(小餘八四)(五三二九九七四一四七八三一三六四二四三四七六五八四)圜外二千零四十八邊形之每一邊為三十億六千七百九十六萬三千九百八十二(小餘一七七三三三○五六九八五四四一六三六七○○八七四九四)(四)圜外四千零九十六邊形之每一邊為一十五億三千三百九十八萬一千零八十八(小餘六八六一八五二一○三四六四一五四二三二五)(五八四七五三八)圜外八千一百九十二邊形之每一邊為七億六千六百九十九萬零四百三十一(小餘五四二八八一九七六六九一四六八三)(六八一五四四三九三二○)圜外一萬六千三百八十四邊形之毎一邊為三億八千三百四十九萬五千二百零一(小餘六七一四一七七七)(○二九一五五五一二一七二六一八二一一○)圜外三萬二千七百六十八邊形之每一邊為一億九千一百七十四萬七千五百九十九(小餘○七三二○六○八○○九二二九六○九三一四五一四六一○六)圜外六萬五千五百三十六邊形之毎一邊為九千五百八十七萬三千七百九十九(小餘三一六二九○一九二四五二○六五五二六二○七六)(一九八五八)圜外一十三萬一千零七十二邊形之每一邊為四千七百九十三萬六千八百九十九(小餘六三○六○五九九○三七一六九)(七五二九八八九四六二九四四)圜外二十六萬二千一百四十四邊形之每一邊為二千三百九十六萬八千四百四十九(小餘八一一八)(六○六○六九五七○二三二六九五八九三○一三二○)圜外五十二萬四千二百八十八邊形之每一邊為一千一百九十八萬四千二百二十四(小餘九○五五○○○○四九五○○○一一四八一五○○二三)(三六六)圜外一百零四萬八千五百七十六邊形之每一邊為五百九十九萬二千一百一十二(小餘四五二六九六二一五一五八九三九六)(六○一二八○二○一五四)圜外二百零九萬七千一百五十二邊形之毎一邊為二百九十九萬六千零五十六(小餘二二六三四一三八四一)(六四九六二三○六三四八二四八二二○)圜外四百一十九萬四千三百零四邊形之每一邊為一百四十九萬八千零二十八(小餘一一三一)(六九八五一六五五六六七七一五五三八六四一七五四)圜外八百三十八萬八千六百零八邊形之每一邊為七十四萬九千零一十四(小餘○五)(六五八四八二○七七四四八二一七八一五三二九一四五二)圜外一千六百七十七萬七千二百一十六邊形之每一邊為三十七萬四千五百零七(小餘○二八二九二三九七二五五五七二一二九一二七四○四)(七三○)圜外三千三百五十五萬四千四百三十二邊形之毎一邊為一十八萬七千二百五十三(小餘五一四一四六一九六九八六三二)(七四四四五七○一三三五七四)圜外六千七百一十萬八千八百六十四邊形之每一邊為九萬三千六百二十六(小餘七五七○七三○九八二)(八七九八一三九四七八五八七三三八六)圜外一億三千四百二十一萬七千七百二十八邊形之毎一邊為四萬六千八百一十三(小餘)(三七八五三六五四九一一八三五二九○六四五五五三七六○二)圜外二億六千八百四十三萬五千四百五十六邊形之毎一邊為二萬三千四百零六(小餘六八九二六八二七四五五五九六五四七九三六○五)(九三九一六)圜外五億三千六百八十七萬零九百一十二邊形之每一邊為一萬一千七百零三(小餘三四四六三四一三七二七七五八一九)(九二九四六九○○○九六)圜外一十億七千三百七十四萬一千八百二十四邊形之毎一邊為五千八百五十一(小餘六七二三一七○六)(八六三八七四○九○三一三一七七五四四○)圜外二十一億四千七百四十八萬三千六百四十八邊形之每一邊為二千九百二十五(小餘八三六一五八五三四三一九三六四一八九八九八一七八三九四)圜外四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六邊形之毎一邊為一千四百六十二(小餘九一八○七九二六七一五九六八一三九八)(三六九八五○二五二)圜外八十五億八千九百九十三萬四千五百九十二邊形之每一邊為七百三十一(小餘四五九○三九六三三五七九)(八四○六○一三四六三六七一六六)圜外一百七十一億七千九百八十六萬九千一百八十四邊形之每一邊為三百六十五(小餘七二)(九五一九八一六七八九九二○二八八四四三三六三八三八)圜外三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八邊形之每一邊為一百八十二(小餘八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九二九)(五四四五○)乃以三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八邊之數與其每一邊一百八十二(小餘八六四七五九九○八三)(九四九六○一四二六九二九五四四五○)之數相乗得六兆二千八百三十一億八千五百三十萬七千一百七十九(小餘五八六四七七三一二七一七)(八六一八五八九四一三三七六○○)為圜徑二兆之周數御製數理精藴下編卷十五
## 下編卷十六
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷十六面部割圜(割圜八線八線相求) (六宗限内三要總法二簡法求象 各線)割圜八線圜周定為三百六十度大而周天小而寸許皆如之葢圜有大小而度分随之其為數則同自圜心平分圜周為四分名曰四象限每一象限九十度一象限之中設為正弦餘弦正矢餘矢正切餘切正割餘割名之曰割圜八線設如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全圜為甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每一象限皆九十度乃自圜心戊任作一戊己半徑則將甲丁九十度之弧分為甲己己丁二段己丁為己戊丁角所對之弧甲己為甲戊己角所對之弧如命己戊丁為正角則甲戊己為餘角甲戊己為正角則己戊丁為餘角正角所對為正弧餘角所對為餘弧今以己丁為正弧故甲己為餘弧又自己與甲丙全徑平行作己辛線謂之通弦其對己丁正弧而立於戊丁半徑者曰正弦又與戊丁半徑平行作壬己線謂之餘弦以其為甲己餘弧之所對也於戊丁半徑内減戊庚餘庚丁謂之正矢於甲戊半徑内減壬戊餘甲壬謂之餘矢自圜界與甲戊半徑平行立於戊丁半徑之末作垂線仍與己戊丁角相對者曰正切將己戊半徑引長與正切相遇於癸成戊癸線謂之正割又自圜界與戊丁半徑平行作甲子線謂之餘切戊癸正割被甲子餘切截於子所分戊子謂之餘割每一角一弧即有正弦餘弦正矢餘矢己成四線於圜界之内復引出半徑於圜界之外而成正切餘切正割餘割之四線内外共為八線故曰割圜八線逐度逐分正弧之餘即為餘弧之正餘弧之正即為正弧之餘是以前四十五度之八線正餘互相對待為用不必復求後四十五度之八線也凡此八線皆九十度以内鋭角之所成若直角九十度者則不能成八線葢因半徑即九十度之正弦甲戊半徑即甲丁弧之弦而切線割線為平行終無相遇之處也若鈍角過九十度以外者則於半周一百八十度内減其角度用其餘度之八線即如己庚為己丁弧之正弦亦即乙己弧之正弦也要之八線以正弦為本有正弦則諸線皆由此生故六宗三要皆係正弦之法六宗三要(二簡法附)西洋厯算家作割圜八線表始自圜内容六邊四邊十邊三邊五邊十五邊名曰六宗葢用圜徑求各等邊形之一邊為相當弧之通弦以為立表之原故謂之宗然六者實本於三如六邊形之一邊即圜之半徑不藉他求數無零餘而理最易見此其一也四邊形之一邊則為半徑所作正方形之對角斜弦此又其一也十邊形之一邊則為半徑所作連比例三率之中率西法謂之理分中末線此又其一也至於三邊形則出於六邊五邊形則出於十邊十五邊形則又出於三邊及五邊非别自立一法也既得此六種形之一邊各半之即得六種弧之各正弦爰命此六種弧為本弧按法可求本弧之餘弦可求倍本弧之正弦餘弦亦可求半本弧之正弦餘弦是為三要又以不等两弧之正弦餘弦求相加相減弧之正弦又两弧距六十度前後之度等得其两正弦之較即得距弧之正弦是又名為二簡法由此錯綜之可得正弦一百二十其中最小者為四十五分之弦其次一度三十分又次為二度十五分又次為三度如此每越四十五分而得一弦其自一分至四十四分之弦則以比例求之因弧分甚微與直線所差無幾故以弦求弦而得之此西法立割圜八線表之大綱也爾來西法對數表内有設連比例四率以求圜内容七邊九邊二法因推廣其理於六宗之外增求圜内容十八邊形十四邊形之法俱以半徑為首率求連比例四率之第二率即十八邊形十四邊形之每一邊而七邉又因之以生亦猶三邊之出於六邊五邊之出於十邊也有此二形與六宗相叅伍可得正弦三百六十其中最小者為十五分之正弦又增一法求十五分之三分之一五分之正弦所少者止一分至四分之正弦較之四十五分為尤密可知矣今以六宗三要二簡法理分中末線并新增數法皆按類具例於左六宗(圜内容六邊形四邊形三邊形十邊形五邊形十五邊形)設如圜徑二十萬求内容六邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬折半得半徑十萬即圜内容六邊形之每一邊也如甲圜内容六邊形每邊之弧得圜周六分之一皆六十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙三角形則甲角所對之弧為六十度而甲乙甲丙两腰俱為半徑既相等則乙角丙角亦必相等而各為六十度矣三角既等則三邊亦必相等故乙丙邊即與甲乙甲丙半徑相等也乙丙弧既為六十度則乙丙邊十萬為六十度之通弦折半得乙丁五萬即乙戊弧三十度之正弦也此即六邊起算之理前設圜徑為二兆者所以求其密合今設圜徑為二十萬所以取其便於用也設如圜徑二十萬求内容三邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬為弦自乗得四百億又以半徑十萬為勾自乗得一百億相減餘三百億開方得股一十七萬三千二百零五(小餘○八○七五六八)即圜内容三邊形之每一邊也如甲圜内容三邊形毎邊之弧得圜周三分之一皆一百二十度為六邊形每邊弧之一倍試自乙角過圜心至對界作乙丁全徑線又自丁依半徑度至丙作丁丙線則成六邊形之每一邊其丙丁弧即為三邊形之每邊弧之一半而丙角立於圜界之一半必為直角故半徑為勾全徑為弦求得股即三邊形之每一邊也乙丙弧既為一百二十度則乙丙邊一十七萬三千二百零五(小餘○八○七五六八)為一百二十度之通弦折半得乙戊八萬六千六百零二(小餘五四○三七八四)即乙己弧六十度之正弦也設如圜徑二十萬求内容四邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬折半得半徑十萬自乗得一百億倍之得二百億開方得一十四萬一千四百二十一(小餘三五六二三七三)即圜内容四邊形之每一邊也如甲圜内容四邊形每邊之弧得圜周四分之一皆九十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙勾股形若命甲乙半徑為股則甲丙半徑為勾若命甲丙半徑為股則甲乙半徑為勾因勾股皆為半徑故以半徑自乗倍之開方而得弦即如勾股各自乗併之開方而得弦也乙丙弧既為九十度則乙丙邊一十四萬一千四百二十一(小餘三五六二三七三)為九十度之通弦折半得乙丁七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)即乙戊弧四十五度之正弦也理分中末線(此西法名也因命一線為首率將此首率分為大小两分大分為中)(率小分為末率與原線共為相連比例三率故謂之理分中末線也)設如以十萬為首率作相連比例三率使中率末率相加與首率等求中率末率各幾何法以十萬自乗得一百億為長方積以十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊六萬一千八百零二即相連比例之中率以中率與首率十萬相減餘三萬八千一百九十七即相連比例之末率也此法葢因連比例三率之首率末率相乗之長方積與中率自乗之正方積等而首率之中有一中率一末率之數故首率自乗之一正方積中有首率中率相乗之一長方又有首率末率相乗之一長方即如甲乙為首率丙乙為中率甲丙為末率丙乙中率自乗之正方為丁戊乙丙甲丙末率與甲乙首率相乗之長方為甲丙庚辛(甲辛與甲乙等)此一正方一長方之積等而甲乙首率自乗之正方為甲乙己辛丙乙中率與甲乙首率相乗之長方為丙乙己庚(丙庚)(與甲乙等)夫甲丙庚辛之長方既與丁戊乙丙之正方等則甲乙己辛之正方亦必與丁戊己庚之長方等是以丁戊己庚長方形之闊即中率其長比闊之較即首率故以首率自乗為長方積仍以首率為長比闊之較用帶縱平方法開之得闊為中率也又法以首率十萬為股首率十萬折半得五萬為勾求得弦一十一萬一千八百零三内減勾五萬餘六萬一千八百零三為相連比例之中率以中率與首率相減餘三萬八千一百九十七即為相連比例之末率也如圖甲乙與乙丙皆為首率今以甲乙為股乙丙折半得乙丁為勾求得甲丁弦試依甲丁弦度將乙丁勾引長至戊作丁乙戊線仍自甲至戊作一圜界則甲丁戊丁同為半徑且皆為弦於戊丁弦内減乙丁勾所餘乙戊與己乙等即中率於甲乙首率内減去與乙戊相等之己乙中率所餘甲己即末率也此法與前法理實相同帶縱較數開方法有以半較自乗與原積相加開方得半和於半和内減半較得闊者今此法以首率為股自乘得甲乙丙壬正方形即與庚戊丙辛長方形積等乙丙即長闊之較乙丁即半較戊丁即半和今以乙丁為勾自乘甲乙為股自乘相加開方得甲丁弦即如乙丁半較自乘與甲乙自乘原積相加開方而得甲丁與戊丁等戊丁内減乙丁餘戊乙即半和内減半較得闊為中率也設如圜徑二十萬求内容十邊形之一邊幾何法用連比例三率有首率求中率末率使中率末率相加與首率等之法以圜徑二十萬折半得十萬為首率自乘得一百億為長方積以十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得六萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)為連比例之中率即圜内容十邊形之每一邊也如甲圜内容十邊形每邊之弧得圜周十分之一皆三十六度其通弦即圜内十邊形之一邊試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界戊作一乙戊線則截甲丙線於丁又成乙丙丁三角形而乙戊遂為一百零八度之通弦此乙丙丁三角形與甲乙丙三角形為同式形(乙丙丁三角形之乙角當戊丙弧為乙丙弧之倍則乙丙丁三)(角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等又同用丙角其餘一角亦必等故為)(同式形)其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙丁之比為相連比例三率而甲乙為首率乙丙為中率丙丁為末率也又甲乙丙三角形其甲角既居全圜十分之一為三十六度則乙角必比甲角大一倍為七十二度(三角形之三角共一百八十度甲角既為三十六度則乙丙两角必)(為一百四十四度平分之各得七十二度比甲角為大一倍也)而乙丙丁三角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等則甲丁乙三角形之乙角亦必與甲角等是則甲丁乙三角形必两邊相等之三角形而乙丙丁三角形亦為两邊相等之三角形也夫甲丁既與丁乙等而丁乙又與乙丙中率等則甲丁亦必與中率等矣是以甲丁中率與丁丙末率相加與甲丙首率等故用連比例三率有首率求中率法算之得中率為十邊形之一邊也又法以圜徑二十萬折半得半徑十萬為股自乘得一百億又以半徑十萬折半得五萬為勾自乗得二十五億相加得一百二十五億開方得弦一十一萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)於弦數内減去勾數餘六萬一千八百零三(小餘三九)(八八七四九)即圜内容十邊形之每一邊也如甲圜内容十邊形每邊之弧得圜周十分之一皆三十六度試自圜心甲至圜界乙作甲乙半徑線為股又自圜心甲取直角作甲丙半徑線折半得甲丁為勾求得乙丁弦内減與甲丁相等之戊丁餘乙戊即與乙己等為圜内容十邊形之毎一邊也乙己弧既為三十六度則乙己邊六萬一千八百零三(小餘三九)(八八七四九)為三十六度之通弦折半得乙庚三萬零九百零一(小餘六九九四三七四)即乙辛弧十八度之正弦也設如圜徑二十萬求内容五邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜内容十邊形之一邊六萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)倍之得一十一萬七千五百五十七(小餘○五○四五八四)即圜内容五邊形之每一邊也如甲圜内容五邊形每邊之弧得圜周五分之一皆七十二度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為七十二度之通弦如以乙丙弧七十二度折半於丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即五邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十邊形之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之為五邊形之毎一邊也又法以半徑十萬為股自乘得一百億圜内容十邊形之一邊六萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)為勾自乘得三十八億一千九百六十六萬零一百一十二(小餘四八九九九○五八五八五○○一)相加得一百三十八億一千九百六十六萬零一百一十二(小餘四八九九九○五八五八五○○一)開方得弦一十一萬七千五百五十七(小餘○五○四五八四)即圜内容五邊形之每一邊也此法葢因半徑自乘十邊形之一邊自乘兩自乘方積相併即與五邊形之一邊自乘之方積等故用勾股求弦之法算之如甲圜内容五邊形將乙丙弧折半於丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線遂成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑於己作乙己線成乙己丁三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙為首率乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率於戊又成乙戊丁勾股形乙戊五邊形每邊之半為股丁戊末率之半為勾乙丁中率為弦試依甲丁半徑度作甲庚辛丁正方形又依乙丙五邊形之一邊度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正方形内甲子丑已為乙丁弦自乘之一正方(甲已既與乙丁弦等故甲子丑已為弦自乘之正方)已寅辛丁長方形亦與乙丁弦自乘之一正方等(丁辛原與甲丁首率等己丁末率與丁辛首率相乘自與乙丁中率自乘)(之正方等)而子庚寅丑長方形為乙丁弦自乘之一正方内少勾自乘之四正方(葢子)(庚辛夘長方形為首率與末率相乘之長方與乙丁中率自乘之正方等内却)(少丑寅辛夘正方形而丑寅辛夘正方形實為戊丁勾自乘之四正方故子庚)(寅丑長方形為乙丁弦自乘之一正方少勾自乘之四正方也)是則甲丁半徑自乘之甲庚辛丁正方形内有弦自乘之三正方而少勾自乘之四正方再加乙丁弦自乘之一正方共得弦自乘之四正方而少勾自乘之四正方大凡弦自乘之正方内原有勾自乘之一正方股自乘之一正方今弦自乘之四正方内少勾自乘之四正方即與股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之乙丙癸壬正方形實為乙戊股自乘之四正方然則甲丁半徑自乘方與乙丁十邊形之一邊自乘方相併既與乙戊股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之正方豈不與甲丁半徑自乘乙丁十邊形之一邊自乘之兩正方等乎故以甲丁半徑為股乙丁十邊形之一邊為勾求得弦而為五邊形之一邊也又法以半徑十萬自乘得一百億為長方積仍以半徑十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得長一十六萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)折半得八萬零九百零一(小餘六九九四三七四)為自圜心至五邊形每邊之垂線乃以半徑十萬為弦圜心至五邊形每邊之垂線為股求得勾五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九)(二)倍之得一十一萬七千五百五十七(小餘○五○四五八四)即圜内容五邊形之每一邊也如甲圜内容五邊形將乙丙弧折半於丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑於己作乙己線成乙己丁三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙為首率乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率於戊是以己戊與戊丁俱為半末率而甲戊自圜心至邊之垂線則為一中率半末率之共數今以半徑首率自乘為長方積開帶縱平方得長乃首率與中率之和其内有兩中率一末率折半得一中率半末率即甲戊自圜心至邊之垂線既得甲戊垂線乃以甲乙半徑為弦甲戊垂線為股求得乙戊勾倍之得乙丙即圜内容五邊形之一邊也或以乙丁中率為弦戊丁半末率為勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五邊形之一邊也乙丙弧既為七十二度則乙丙邊一十一萬七千五百五十七(小餘)(○五○四五八四)為七十二度之通弦折半得乙戊五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九)(二)即乙丁弧三十六度之正弦也設如圜徑二十萬求内容十五邊形之一邊幾何法以半徑十萬為弦圜内容五邊形之半五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)為勾求得股八萬零九百零一(小餘六九九四)(三七五)内減半徑之半五萬餘三萬零九百零一(小餘六九九四三七五)為股次以圜内容三邊形之一邊一十七萬三千二百零五(小餘○八○七五六八)内減圜内容五邊形之一邊一十一萬七千五百五十七(小餘○五)(○四五八四)餘五萬五千六百四十八(小餘○三)(○二九八四)折半得二萬七千八百二十四(小餘○一五一四九二)為勾求得弦四萬一千五百八十二(小餘三三八一六三五)即圜内容十五邊形之每一邊也如甲圜内容十五邊形每邊之弧得圜周十五分之一皆二十四度試從圜界乙作圜内容三邊形又作圜内容五邊形将三邊形之每一邊弧分五段五邊形之每一邊弧分三段即得十五邊形之每一邊弧如戊庚與己丁二段皆為十五邊形之弧故以甲丁半徑為弦丁丙五邊之半為勾求得甲丙股内減甲辛自圜心至三角底邊之垂線為半徑之半餘辛丙與癸丁或壬庚等復於三邊形之戊己邊内減五邊形之庚丁邊即如戊己線内減壬癸餘戊壬與癸己二段折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚為股癸己或戊壬為勾求得己丁弦或戊庚弦即圜内容十五邊形之每一邊也己丁弧既為二十四度則己丁邊四萬一千五百八十二(小餘三三八一六三五)為二十四度之通弦折半得己子二萬零七百九十一(小餘)(一六九○八一七)即己丑弧十二度之正弦也新增按分作相連比例四率法設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾何法以一率十萬自乘再乘得一千兆(成一)(立方積)為實又以一率十萬自乘三因之得三百億(成三平面積)為法以除原實一千兆得三萬乃以三萬自乘再乘得二十七兆益於原實一千兆内得一千零二十七兆為共實按除法以所得三萬與法三百億相因得九百兆與共實相減餘一百二十七兆為第二位實以法之三百億除之得四千乃以首位所得三萬合次位所得四千共三萬四千自乘再乘得三十九兆三千零四十億仍益於原實一千兆内得一千零三十九兆三千零四十億為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆餘一十九兆三千零四十億為第三位實以法之三百億除之得六百所餘太多因益積故取畧大之數為七百合前两位所得三萬四千共三萬四千七百自乘再乘得四十一兆七千八百一十九億二千三百萬仍益於原實一千兆内得一千零四十一兆七千八百一十九億二千三百萬為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆又減三位所得七百與法三百億相因之二十一兆餘七千八百一十九億二千三百萬為第四位實以法之三百億除之得二十合前三位所得三萬四千七百共三萬四千七百二十自乘再乘得四十一兆八千五百四十二億一千零四萬八千仍益於原實一千兆内得一千零四十一兆八千五百四十二億一千零四萬八千為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆又減三位所得七百與法三百億相因之二十一兆又減四位所得二十與法三百億相因之六千億餘二千五百四十二億一千零四萬八千為末位實以法之三百億除之得八所餘亦太多因益積仍取畧大之數為九合前四位所得三萬四千七百二十共三萬四千七百二十九自乘再乘得四十一兆八千八百六十七億六千六百四十萬零二千四百八十九仍益於原實一千兆内得一千零四十一兆八千八百六十七億六千六百四十萬二千四百八十九為共實按除法以五次所得之數與法相因之數遞減之仍餘一百六十七億六千六百四十萬二千四百八十九不盡是共除得三萬四千七百二十九為相連比例之二率也以二率之三萬四千七百二十九自乘得一十二億零六百一十萬三千四百四十一以一率之十萬除之得一萬二千零六十一為三率以二率之三萬四千七百二十九三倍之得十萬四千一百八十七内減去一率之十萬餘四千一百八十七為四率如以三率之一萬二千零六十一自乘以二率之三萬四千七百二十九除之亦得四千一百八十七為四率也此為益實歸除之法葢因此法止有一率之數作相連比例四率使一率與四率之共數與二率三倍等而連比例四率之理一率自乘用四率再乘與二率自乘再乘之數等今立法以一率自乘再乘為原實較之三倍二率與一率自乘之面積相乘之數却少一二率自乘再乘之數故以累除所得之數屢次自乘再乘益入原實然後按法除之始足二率三倍之數也如圖甲乙為一率庚子子辰辰乙皆為二率庚甲為四率庚乙為一率四率之共數又為二率之三倍甲乙丙丁戊己為一率自乘再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為三倍二率與一率自乘面積相乘之長方體(一率自乘三因之得三平面如以二率乘之成三扁方體合之即成三倍)(二率乘一率自乘面積之一長方體)比一率自乘再乘之正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體即一率自乘用四率再乘之數與二率自乘再乘之積等若於一率自乘再乘之正方體内加入二率自乘再乘之正方體即如於甲乙丙丁戊己正方體上加一庚甲酉戊壬癸之扁方體成庚乙丙丁壬癸之長方體而以一率自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙為二率之三倍苟合乙丙丁申與辰己午未及子丑寅夘三方面除之必得庚子或子辰或辰乙為二率若不加積止以三方面除之則所得仍為一率之三分之一比二率數必小故以屢除所得之數屢次自乘再乘益入原積則積漸增而得數亦漸大遞及末位則所少之積已足而除得之數即為二率之全數焉設如圜徑二十萬求内容十八邊形之一邊幾何法用連比例四率有一率求二率使一率與四率相加與二率三倍等之法以圜徑二十萬折半得十萬為一率自乘再乘得一千兆為實又以半徑十萬自乘三因之得三百億為法按益實歸除之法除實得三萬四千七百二十九(小餘)(六三五五三三四)為二率即圜内十八邊形之每一邊也如甲圜内容十八邊形每邊之弧得圜周十八分之一皆二十度其通弦即圜内十八邊形之一邊試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線於戊又成乙丙戊三角形而乙庚為六十度之通弦復自圜界丙按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三角形此三三角形皆為同式形(乙丙戊三角形)(之乙角當庚丙弧為乙丙弧之倍則乙丙戊三角形之乙角與甲乙丙三角形)(之甲角等又與甲乙丙三角形同用丙角丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半)(徑平行則丙丁戊三角形之丙角與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必)(等又與乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而為同式形)(也)其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之比為相連比例四率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也又乙庚為六十度之通弦與甲乙一率等而乙戊丁己己庚三段皆與乙丙二率等是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率與丁戊四率相加方與乙丙二率之三倍等故用連比例四率有一率求二率法算之得二率為十八邊形之一邊也乙丙弧既為二十度乙丙邊三萬四千七百二十九(小餘六三五五三三四)為二十度之通弦折半得一萬七千三百六十四(小餘)(八一七七六六七)即十度之正弦也設如圜徑二十萬求内容九邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜内容十八邊形之一邊三萬四千七百二十九(小餘六三五五三三四)為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線三萬四千二百零二(小餘○一四三三二六)倍之得六萬八千四百零四(小餘○二八六六五二)即圜内容九邊形之每一邊也如甲圜容九邊形每邊之弧得圜周九分之一皆四十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為四十度之通弦如以乙丙弧四十度折半於丁作乙丁線即圜内容十八邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即九邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十八邊形之一邊為小腰求得中垂線倍之為九邊形之每一邊也乙丙弧既為四十度乙丙邊為四十度之通弦其乙戊中垂線三萬四千二百零二(小餘○一四三三二六)即乙丁弧二十度之正弦也按分作相連比例四率又法設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率三率四率各幾何法以一率十萬自乘再乘得一千兆(成一)(立方體)為實又以一率十萬自乘二因之得二百億(成二平面積)為法以除原實一千兆得五萬為盡數因減實大於益實故取畧小之數為四萬乃以四萬自乘再乘得六十四兆益於原實一千兆内得一千零六十四兆為益實復以所得四萬自乘得一十六億以一率十萬再乘得一百六十兆於益實内減之餘九百零四兆為正實按除法以所得四萬與法二百億相因得八百兆與正實相減餘一百零四兆為第二位實以法之二百億除之得五千仍取畧小之數為四千乃以首位所得四萬合次位所得四千共四萬四千自乘再乘得八十五兆一千八百四十億益於原實一千兆内得一千零八十五兆一千八百四十億為益實復以所得四萬四千自乘得一十九億三千六百萬以一率十萬再乘得一百九十三兆六千億於益實内減之餘八百九十一兆五千八百四十億為正實按除法減首位所得四萬與法二百億相因之八百兆又減次位所得四千與法二百億相因之八十兆餘一十一兆五千八百四十億為第三位實以法之二百億除之得五百合前两位所得四萬四千共四萬四千五百自乗再乗得八十八兆一千二百一十一億二千五百萬益於原實一千兆内得一千零八十八兆一千二百一十一億二千五百萬為益實復以所得四萬四千五百自乗得一十九億八千零二十五萬以一率十萬再乗得一百九十八兆零二百五十億於益實内減之餘八百九十兆零九百六十一億二千五百萬為正實按除法減首位所得四萬與法二百億相因之八百兆又減次位所得四千與法二百億相因之八十兆又減三位所得五百與法二百億相因之一十兆餘九百六十一億二千五百萬為第四位實以法之二百億除之實不足法乃以第四位為空位而第五位得四故以四為末位合前四位所得四萬四千五百空十共四萬四千五百零四自乗再乗得八十八兆一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四益於原實一千兆内得一千零八十八兆一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四為益實復以所得四萬四千五百零四自乗得一十九億八千零六十萬六千零一十六以十萬再乗得一百九十八兆零六百零六億零一百六十萬於益實内減之餘八百九十兆零八百四十二億八千八百五十二萬六千零六十四為正實按除法以五次所得之數於法相因之數遞減之仍餘四十二億八千八百五十三萬六千零六十四不盡是共除得四萬四千五百零四為相連比例之二率也以二率之四萬四千五百零四自乗得一十九億八千零六十萬六千零一十六以一率之十萬除之得一萬九千八百零六為三率以二率之四萬四千五百零四二因之與三率之一萬九千八百零六相加得十萬八千八百一十四減去一率之十萬餘八千八百一十四為四率如以三率之一萬九千八百零六自乗以一率之四萬四千五百零四除之亦得八千八百一十四為四率也此為益實兼減實歸除之法葢因此法止有一率之數作相連比例四率使一率與四率之共數與二率两倍再加一三率之數等而相連比例四率之理一率自乗用四率再乗與二率自乘再乗之數等又一率自乗用三率再乗與二率自乗用一率再乗之數等今立法以一率自乘再乗為原實較之二率加倍與一率自乗之面積相乗之數却少一一率自乗四率再乗之數又多一一率自乗三率再乗之數故以屢除所得之數屢次自乗再乗益入原實又以屢除所得之數屢次自乗以一率再乗與益實相減然後按法除之始足二率两倍之數也如圖甲乙為一率庚子子辰皆為二率辰乙為三率庚甲為四率庚乙為一率四率之共數又為二率两倍再加一三率之共數甲乙丙丁戊巳為一率自乗再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為两倍二率併一三率與一率自乗面積相乘之長方體比一率自乗再乗之正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體即一率自乗四率再乗之扁方體與二率自乗再乗之積等比两倍二率與一率自乗面積相乗之扁方體多一辰乙丙丁午未扁方體此扁方體即一率自乗三率再乗之扁方體與二率自乗一率再乗之積等若於一率自乗再乗之正方體内加入二率自乗再乗之數再減去二率自乗一率再乗之數即如於甲乙丙丁戊己正方體内加入庚甲酉戊壬癸之扁方體減去辰乙丙丁午未之扁方體成一庚辰己午壬癸之扁方體而以一率自乗之辰己午未方面除之必得庚辰為二率之两倍苟合辰巳午未子丑寅夘二方面除之必得庚子或子辰為二率若不益少減多而以二方面除之則所得仍為一率之二分之一比二率數必大故以屢除所得之數屢次自乗再乗益入原積復以屢除所得之數自乗用一率再乗逐層與原積相減遞及末位則所少之積漸足所多之積漸消而除得之數即為二率之全數焉設如圜徑二十萬求内容十四邊形之一邊幾何法用連比例四率有一率求第二率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率等之法以圜徑二十萬折半得十萬為一率自乗再乗得一千兆為實又以半徑十萬自乗倍之得二百億為法按益實兼減實歸除之法除實得四萬四千五百零四(小餘一八六七九一三)為二率即圜内十四邊形之每一邊也如甲圜内容十四邊形每邊之弧得圜周十四分之一皆二十五度四十二分五十一秒有餘其通弦即圜内十四邊形之一邊試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線於戊又成乙丙戊三角形復自圜界丙按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三角形此三三角形皆為同式形(乙戊丙三角形之乙角當丙庚弧為乙丙弧之倍則)(乙戊丙三角形之乙角與乙甲丙三角形之甲角等又與乙甲丙三角形同用)(丙角而丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半徑平行即丙丁戊三角形之丙角)(與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必等又與乙丙戊三角形同用戊角)(是此三三角形之各角互相等而為同式形也)其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之比為相連比例四率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也又按乙戊度作壬戊線與丁丙平行則截甲乙線於壬乃自壬與乙丙平行作壬子線復自壬與乙戊平行作壬癸線則又成甲壬子與壬戊癸丙三角形與乙丙戊三角形等成壬癸子一三角形與丙丁戊三角形等其甲子癸戊皆與乙丙二率等而癸子與丁戊四率等是甲丙一率内有兩二率一三率而少一四率也若以甲丙一率與癸子四率相加方與二率之兩倍再加一三率之數等故用連比例四率有一率求二率法算之得二率為十四邊形之每一邊也設如圜徑二十萬求内容七邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜内容十四邊形之一邊四萬四千五百零四(小餘一八六七九一三)為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線四萬三千三百八十八(小餘三七三九一一八)倍之得八萬六千七百七十六(小餘七四七八二三六)即圜内容七邊形之每一邊也如甲圜容七邊形每邊之弧得圜周七分之一皆五十一度二十五分四十二秒有餘試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為五十一度二十五分四十二秒有餘之通弦如以乙丙弧五十一度二十五分四十二秒有餘折半於丁作乙丁線即圜内容十四邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即七邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十四邊形之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之為七邊形之每一邊也三要(有本弧之正弦求本弧之餘弦有本弧之正弦餘弦求倍弧之正弦餘弦有本弧之)(正弦餘弦求半弧之正弦餘弦)設如本弧三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)求餘弧五十四度之正弦幾何法以三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)為勾半徑十萬為弦求得股八萬零九百零一(小餘六九九四三七)(五)為五十四度之正弦即三十六度之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙正弧三十六度乙丙餘弧五十四度乙丁為三十六度之正弦試自乙至象限中心戊作乙戊半徑線遂成乙丁戊勾股形乙戊為弦乙丁為勾求得丁戊股與乙己等為乙丙餘弧五十四度之正弦即甲乙正弧三十六度之餘弦也設如本弧三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)餘弦八萬零九百零一(小餘六九九四三七五)求倍弧七十二度之正弦餘弦各幾何法以半徑十萬為一率本弧之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)為二率本弧之餘弦八萬零九百零一(小餘六九)(九四三七五)為三率求得四率四萬七千五百五十二(小餘八二五八一四七)倍之得九萬五千一百零五(小餘六五一六二九四)即倍弧七十二度之正弦也求餘弦則以三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二)(二九二)自乘以半徑十萬除之得三萬四千五百四十九(小餘一五○二八一二)倍之得六萬九千零九十八(小餘三○○五六二四)與半徑十萬相減餘三萬零九百零一(小餘六九九四)(三七六)即倍弧七十二度之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之為甲丁弧七十二度乙己為三十六度之正弦庚乙為三十六度之餘弦與戊辛等(葢辛甲與乙己等則戊辛必與戊己等戊己即)(庚乙也)丁壬為七十二度之正弦試與乙己平行作辛癸線遂成戊乙己戊辛癸同式兩勾股形其戊乙己勾股形之戊乙弦與乙己勾之比同於戊辛癸勾股形之戊辛弦與辛癸勾之比為相當比例四率而辛癸與子壬等為丁壬之半(葢辛甲為丁甲之半則辛癸亦為丁壬之半)故倍之得丁壬為甲丁七十二度之正弦也又如求餘弦其甲辛戊甲癸辛為同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊弦與甲辛勾之比同於甲癸辛勾股形之甲辛弦與甲癸勾之比為相連比例三率既得甲癸倍之得甲壬(葢甲丁為甲辛之倍則甲壬亦為甲癸之倍)與甲戊半徑相減餘壬戊與丁丑等即甲丁七十二度之餘弦也設如本弧四十五度之正弦七萬零七百一十(小餘六七)(八一一八六)餘弦亦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)求半弧二十二度三十分之正弦幾何法以本弧之正弦七萬零七百一十(小餘)(六七八一一八六)為股本弧之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)與半徑十萬相減餘二萬九千二百八十九(小餘三二一八八一四)為勾求得弦七萬六千五百三十六(小餘)(六八六四七三○)折半得三萬八千二百六十八(小餘三四三二三六五)即半弧二十二度三十分之正弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧二十二度三十分乙己為四十五度之正弦戊己與庚乙等為四十五度之餘弦於戊甲半徑内減去戊己餘己甲為勾乙己為股求弦得乙甲為四十五度之通弦折半得乙辛即丁乙二十二度三十分之正弦也又捷法以本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)與半徑十萬相減餘二萬九千二百八十九(小餘三二一八)(八一四)折半得一萬四千六百四十四(小餘)(六六○九四○七)與半徑十萬相乘開方得三萬八千二百六十八(小餘三四三二三六五)即半弧二十二度三十分之正弦也葢乙己為四十五度之正弦甲己為四十五度之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分之正弦如與乙己平行作一辛壬線平分甲己於壬成甲辛戊甲壬辛同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊弦與甲辛勾之比同於甲壬辛勾股形之甲辛弦與甲壬勾之比為連比例三率故首率甲戊與末率甲壬相乘(首率甲戊與末率甲)(壬相乘與中率甲辛自乘之積相等)開方得甲辛為二十二度三十分之正弦也新增有本弧之餘弦求倍弧之餘弦及半弧之餘弦設如本弧三十六度之餘弦八萬零九百零一(小餘六九)(九四三七五)求倍弧七十二度之餘弦幾何法以本弧三十六度之餘弦八萬零九百零一(小餘六九九四三七五)自乘以半徑十萬除之得六萬五千四百五十(小餘八四九七一八)(七)與半徑十萬相減餘三萬四千五百四十九(小餘一五○二八一三)倍之得六萬九千零九十八(小餘三○○五六二六)仍與半徑十萬相減餘三萬零九百零一(小餘六九九四三七四)即倍弧七十二度之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之為甲丁弧七十二度丁己為三十六度之正弦戊己為三十六度之餘弦丁庚為七十二度之正弦辛丁為七十二度之餘弦與戊庚等試自己至壬作己壬垂線遂成甲己戊己壬戊同式兩勾股形其甲己戊勾股形之戊甲弦與戊己股之比同於己壬戊勾股形之戊己弦與戊壬股之比為連比例三率故中率戊己自乘以首率戊甲除之得末率戊壬既得戊壬與戊甲半徑相減餘壬甲倍之得庚甲仍與戊甲半徑相減餘戊庚與辛丁等即甲丁弧七十二度之餘弦也設如本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七)(八一一八六)求半弧二十二度三十分之餘弦幾何法以本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)與半徑十萬相減餘二萬九千二百八十九(小餘三二一八八一四)折半得一萬四千六百四十四(小餘六六○九)(四○七)與本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)相加得八萬五千三百五十五(小餘三三九○五九三)與半徑十萬相乘開方得九萬二千三百八十七(小餘九五三二五一一)即半弧二十二度三十分之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧二十二度三十分乙己為四十五度之正弦戊己與庚乙等為四十五度之餘弦乙辛為二十二度三十分之正弦戊辛為二十二度三十分之餘弦戊己四十五度之餘弦與戊甲半徑相減餘己甲折半得己壬再與戊己相加得戊壬試自辛至壬作辛壬垂線遂成甲辛戊辛壬戊同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之戊甲弦與戊辛股之比同於辛壬戊勾股形之戊辛弦與戊壬股之比為連比例三率故首率戊甲與末率戊壬相乘開方得戊辛為二十二度三十分之餘弦也新增有本弧之正弦求其三分之一弧之正弦設如三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二)(五二二九二)求其三分之一十二度之正弦幾何法用連比例四率有一率求二率使一率與四率相加與二率三倍等之法以三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)倍之得一十一萬七千五百五十七(小餘○五○四五八四)為七十二度之通弦乃以半徑十萬自乘得一百億用七十二度之通弦再乘得一千一百七十五兆五千七百零五億零四百五十八萬四千為實又以半徑十萬自乘三因之得三百億為法按益實歸除之法除實得四萬一千五百八十二(小餘三三)(八一六三四)為二十四度之通弦折半得二萬零七百九十一(小餘一六九○八一七)即十二度之正弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度甲丁為其正弦倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之通弦試以七十二度取其三分之一二十四度為甲庚弧其通弦甲庚與甲戊庚戊兩半徑成一戊甲庚三角形又庚戊半徑截甲己通弦於辛成一庚甲辛三角形又依庚辛度向辛甲邊作庚壬線成一庚辛壬三角形此兩三角形俱與戊甲庚三角形為同式形其相當各邊俱成相連比例故戊甲為一率甲庚為二率庚辛為三率辛壬為四率也今甲己七十二度之通弦内有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率(葢己癸癸壬辛甲三段皆)(與甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却重辛壬一小段是甲己通弦内有己癸)(癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也)若以甲己通弦為髙與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體則比三倍二率為高與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體必少一四率為高與一率半徑自乘之方面相乘所成之扁方體此扁方體與二率自乘再乘之正方體等故以一率半徑自乘之三方面為法除實每次所得二率之數自乘再乘益入原積則積漸增與三倍二率與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體合而除得之數即為二率既得甲庚二率為二十四度之通弦半之得甲子即甲丑弧十二度之正弦也二簡法(有兩弧之正弦餘弦求兩弧相加相減之正弦有距六十度前後相等弧之正)(弦求距弧之正弦)設如四十五度之正弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八)(六)餘弦亦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)又有二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三○七五)餘弦九萬一千三百五十四(小餘五四五七六四二)求兩弧相加六十九度之正弦及兩弧相減二十一度之正弦各幾何法以半徑十萬為一率四十五度之正弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)為二率二十四度之餘弦九萬一千三百五十四(小餘五四五七六四二)為三率求得四率六萬四千五百九十七(小餘四一八八○二○)又以半徑十萬為一率四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)為二率二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘)(六六四三○七五)為三率求得四率二萬八千七百六十(小餘六二三八四七六)乃以兩四率相加得九萬三千三百五十八(小餘○四二六四九)(六)即兩弧相加所得六十九度之正弦如以兩四率相減餘三萬五千八百三十六(小餘七九四九五四五)即兩弧相減所餘二十一度之正弦也如甲乙丙丁九十度之一象限其乙甲弧四十五度乙己為四十五度之正弦己戊為四十五度之餘弦於乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度又於乙甲弧四十五度減乙子弧二十四度餘子甲弧二十一度試自丙至子作丙子線則丙乙弧乙子弧皆為二十四度丙庚與庚子皆為二十四度之正弦庚戊則為二十四度之餘弦今以乙戊半徑為一率乙己四十五度之正弦為二率庚戊二十四度之餘弦為三率求得四率庚辛與壬癸等又以乙戊半徑為一率己戊四十五度之餘弦為二率丙庚二十四度之正弦為三率求得四率丙壬故以丙壬加於庚辛(庚辛原與壬癸等)共得丙癸即丙甲弧六十九度之正弦如於庚辛内減與丙壬相等之庚夘餘夘辛與子丑等即子甲弧二十一度之正弦也葢乙己戊與庚辛戊為同式勾股形故乙戊與乙己之比同於庚戊與庚辛之比為相當比例四率又寅癸戊與乙己戊亦為同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角與丙庚寅勾股形之寅角為兩尖相對角其度等癸角與庚角俱為直角其度又等則戊角必與丙角等如作庚壬線成丙壬庚勾股形則此形之丙角既與乙己戊勾股形之戊角等而壬角又為直角與乙己戊勾股形之己角等故亦為同式勾股形而乙戊與己戊之比同於丙庚與丙壬之比為相當比例四率也設如八十四度之弧距六十度二十四度其正弦九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)又有三十六度之弧距六十度亦二十四度其正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)求距弧二十四度之正弦幾何法以八十四度之正弦九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)内減三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九)(二)餘四萬零六百七十三(小餘六六四三○七六)即距弧二十四度之正弦也如有距六十度前二十四度為三十六度其正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三○七六)求距六十度後二十四度為八十四度之正弦則以三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二)(二九二)與距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三○七六)相加得九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)即八十四度之正弦也又如有距六十度後二十四度為八十四度其正弦九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三)(○七六)求距六十度前二十四度為三十六度之正弦則以八十四度之正弦九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)與距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三○七六)相減餘五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)即三十六度之正弦也如甲乙丙丁九十度之一象限其己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距己二十四度乙甲弧三十六度乙距己亦二十四度丙庚為八十四度之正弦乙辛為三十六度之正弦與壬庚等丙壬為兩正弦之較試自巳至象限中心戊作己戊線又自丙至乙作丙乙線則丙癸癸乙皆為距弧二十四度之正弦與丙壬兩正弦之較相等葢己戊甲角六十度則己戊丁角為三十度丙庚與丁戊平行則丙子己角與丁戊己角為二平行線上所成之内外角必相等皆為三十度丙癸子角為直角則子丙癸角必為六十度矣又自乙至子作乙子線則乙癸子與丙癸子為同形勾股形癸乙子角亦必為六十度癸子乙角亦必為三十度兩勾股形合之共成一丙乙子三角形而丙子乙角亦必為六十度矣三角度既等則三邊必相等今丙壬為丙子之半丙癸為丙乙之半丙子既與丙乙等故丙壬亦必與丙癸等也有此法凡有六十度以前各弧之正弦則以各距弧之正弦與之相加可得六十度以後三十度各弧之正弦若有六十度以後各弧之正弦則以各距弧之正弦與之相減可得六十度以前三十度各弧之正弦六十度前後三十度之正弦用加減而即得較之勾股比例諸法甚為簡便也八線相求設如四十八度之正弦七萬四千三百一十四(小餘四八)(二五四七七)餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)求正矢正切正割各幾何法以半徑十萬内減四十八度之餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)餘三萬三千零八十六(小餘九三九三六四二)為正矢以餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六)(○六三五八)為一率正弦七萬四千三百一十四(小餘四八二五四七七)為二率半徑十萬為三率求得四率一十一萬一千零六十一(小餘二五一四八三○)為正切以餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)為一率半徑十萬為二率仍以半徑十萬為三率求得四率一十四萬九千四百四十七(小餘六五四九八六六)為正割也如圖甲乙弧四十八度甲丙為正弦甲丁為餘弦與丙戊等乙丙為正矢故乙戊半徑内減與甲丁餘弦相等之丙戊餘乙丙即為正矢己乙為正切巳戊為正割甲丙戊己乙戊兩勾股形為同式形故丙戊餘弦與甲丙正弦之比同於乙戊半徑與己乙正切之比為相當比例四率又丙戊餘弦與甲戊半徑之比同於乙戊半徑與己戊正割之比亦為相當比例四率也又正切求正割捷法以餘弧折半得二十一度乃以二十一度之正切三萬八千三百八十六(小餘四○三三五○三六)與本弧之正切一十一萬一千零六十一(小餘二五一四)(八三○)相加得一十四萬九千四百四十七(小餘六五四八三三三)即為本弧之正割也如圖甲乙弧四十八度己乙為正切己戊為正割試將甲庚餘弧四十二度折半得庚辛二十一度移於乙壬又作乙癸為乙壬弧二十一度之正切與己乙相加得己癸與己戊正割相等葢甲戊乙角四十八度己乙戊角為直角九十度二角併之為一百三十八度於一百八十度内減之餘四十二度為戊己乙角今於甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度遂成己戊癸角為六十九度仍與戊己乙角四十二度相加於一百八十度内減之所餘亦六十九度即為戊癸己角戊癸己角既與己戊癸角相等則己戊與己癸邊亦必相等也有此法則凡有逐度逐分之切線求割線可止用加法不用四率矣又凡有本弧之正切正割相減即得半餘弧之正切若有本弧之正割及半餘弧之正切相減即得本弧之正切也設如四十八度之正弧七萬四千三百一十四(小餘四八)(二五四七七)餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)求餘矢餘切餘割各幾何法以半徑十萬内減四十八度之正弦七萬四千三百一十四(小餘四八二五四七七)餘二萬五千六百八十五(小餘五一七四五二三)為餘矢以正弦七萬四千三百一十四(小餘)(四八二五四七七)為一率餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)為二率半徑十萬為三率求得四率九萬零四十(小餘四○四四)(二九七)為餘切以正弦七萬四千三百一十四(小餘四八二五四七七)為一率半徑十萬為二率仍以半徑十萬為三率求得四率一十三萬四千五百六十三(小餘二七二九六○)(七)為餘割也如圖甲乙弧四十八度甲丙為正弦與丁戊等甲丁為餘弦巳丁為餘矢故已戊半徑内減與甲丙正弦相等之丁戊餘己丁即為餘矢庚己為餘切庚戊為餘割甲丁戊庚己戊兩勾股形為同式形故丁戊正弦與甲丁餘弦之比同於己戊半徑與庚己餘切之比為相當比例四率又丁戊正弦與甲戊半徑之比同於己戊半徑與庚戊餘割之比亦為相當比例四率也又餘切求餘割捷法以本弧折半得二十四度乃以二十四度之正切四萬四千五百二十二(小餘六八六五三一○)與本弧之餘切九萬零四十(小餘四○四四二九七)相加得一十三萬四千五百六十三(小餘二七二九六○)(七)即為本弧之餘割也如圖甲乙弧四十八度庚己為其餘切庚戊為其餘割試將甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度移於壬己又作癸己為壬己弧二十四度之正切與庚己相加得庚癸與庚戊餘割相等葢甲戊己角四十二度庚己戊角為直角九十度二角相併為一百三十二度於一百八十度内減之餘四十八度為戊庚己角今於甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度遂成庚戊癸角為六十六度仍與戊庚己角四十八度相加於一百八十度内減之所餘亦為六十六度即為戊癸庚角戊癸庚角既與庚戊癸角相等則庚戊與庚癸邊亦必相等也有此法則凡有逐度逐分之切線求餘割亦可止用加法不用四率矣又凡有本弧之餘切餘割相減即得半本弧之正切若有本弧之餘割及半本弧之正切相減即得本弧之餘切矣求象限内各線總法六宗倂新增十八邊形及九邊形之每邊各半之得八弧之正弦用要法之一各求其餘弦次取十二度(十五邊之半)用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正弦復用新增法求其三分之一得十五分之正弦復求其三分之一即得五分之正弦既得五分之正弦乃用簡法之一求六十度以内之正弦每越五分而得一弦可得七百二十又用簡法之二求六十度以外之正弦亦越五分而得一弦又得三百六十(如以一度之弦與五十九度之弦相加即六十一度之弦以二度之)(弦與五十八度之弦相加即六十二度之弦以至二十九度之弦與三十一度之弦相加即得八十九度)(之弦也)總而計之一象限中共得正弦一千零八十己居全表五分之一(象限中逐分計之共正弦五千四百故一千零八十為五分之一也)再以五分之弦用要法之三得二分三十秒之弦復用新增法求其三分之一得五十秒之弦乃以五十秒之弧為一率五十秒之弦為二率一分之弧化六十秒為三率得四率為一分之弦既得一分之弦即用簡法之一簡法之二錯綜加減之則一象限中每度每分之正弦悉得矣既得每度每分之正弦則用前八線相求之法即得每度每分之切割諸線矣如於一分之中欲析為六十秒則以比例四率求之即得每秒之八線也御製數理精蘊下編卷十六
## 下編卷十七
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十七面部三角形邊線角度相求三角形邊線角度相求三角形有直角者為勾股無直角者作中垂線分為两直角形則亦成两勾股是皆有其二而得其一或有其三而分為二㮣以邊線相求者也至於割圜之法則凡三角形有一角即有八線皆成勾股而可比例以相求故三角形不論角之直與銳鈍要以角度為凖而三角之度必與两直角之度等角之大者所對之邊亦大角之小者所對之邊亦小凡三角三邊但知其三而其餘者悉可得若直角則惟知其二而其餘者亦可得此三角之法所由立而測量之用所由廣也如知两角一邊求又一邊者以對所知之角與對所求之角為比即如所知之邊與所求之邊為比也知两邊一角求又一角者以對所知之邊與對所求之邊為比即如所知之角與所求之角為比也或所知之一角在所知两邊之間而求又一角者則角無所對之邊而邊亦無所對之角必用两邊之和較與所知角之外角半弧之切線為比而得所求两角與所知角之外角半弧之較既得較而角度亦得矣又如知三邊而求三角者則以三角形求中垂線法分為两直角形而三角自隨之而得或用三邊之方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角而三角亦可得矣若止有三角則三邊無所約束故不成法葢角度為虚率而邊線為實數無實數而虚率可馭總以比例四率展轉用之惟在分合有法相度得宜耳設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角五十七度丙乙邊五丈求甲乙邊幾何法以丙角五十七度與象限九十度相減餘三十三度為甲角乃以甲角為對所知之角其正弦五萬四千四百六十四為一率丙角為對所求之角其正弦八萬三千八百六十七為二率丙乙邊為所知之邊其數五丈為三率求得四率七丈六尺九寸九分三釐有餘即甲乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦是故丙角五十七度之餘弧為三十三度丙角五十七度之餘弦為三十三度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲角正弦丙庚(即辛己)與丙角正弦己庚之比同於丙乙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角五十七度之正切一十五萬三千九百八十六為二率丙乙邊五丈為三率求得四率七丈六尺九寸九分三釐即甲乙邊也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為半徑庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊半徑與庚戊正切之比同於丙乙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角二十三度三十五分甲乙邊三十二丈求丙乙邊幾何法以丙角二十三度三十五分與九十度相減餘六十六度二十五分為甲角乃以丙角為對所知之角其正弦四萬零八為一率以甲角為對所求之角其正弦九萬一千六百四十八為二率甲乙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率七十三丈三尺零三分有餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦故丙角二十三度三十五分之餘弧為六十六度二十五分丙角二十三度三十五分之餘弦為六十六度二十五分之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙角正弦己庚與甲角正弦丙庚之比同於甲乙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角二十三度三十五分之餘切線二十二萬九千零七十三為二率甲乙邊三十二丈為三率求得四率七十三丈三尺零三分有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限切丁己弧作丁庚線為丙角之餘切即甲角之正切則丁丙為半徑丙丁庚與甲乙丙兩勾股形為同式形故丁丙半徑與丁庚餘切之比同於甲乙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角四十三度三十七分丙乙邊二十一尺求甲丙邊幾何法以丙角四十三度三十七分與九十度相減餘四十六度二十三分為甲角乃以甲角為對所知之角其正弦七萬二千三百九十七為一率(甲角正弦即丙角餘弦或)(直用丙角餘弦亦可)以乙角為對所求之角其正弦即半徑十萬為二率丙乙邊為所知之邊其數二十一尺為三率求得四率二十九尺零六釐有餘即甲丙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦(與丙庚等)己丙線為半徑即九十度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲角正弦丙庚與半徑己丙之比同於丙乙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角四十三度三十七分之正割一十三萬八千一百二十七為二率丙乙邊二十一尺為三率求得四率二十九尺零六釐有餘即甲丙邊也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為半徑庚丙為正割庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊半徑與庚丙正割之比同於丙乙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角五十一度五十一分甲丙邊八十九丈零二寸二分求甲乙邊丙乙邊各幾何法以丙角五十一度五十一分與九十度相減餘三十八度零九分為甲角求甲乙邊則以乙角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以丙角為對所求之角其正弦七萬八千六百四十為二率甲丙邊為所知之邊其數八十九丈零二寸二分為三率求得四率七十丈零六分有餘即甲乙為所求之邊也求丙乙邊亦以乙角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率而以甲角為對所求之角其正弦六萬一千七百七十二為二率甲丙邊為所知之邊其數八十九丈零二寸二分為三率求得四率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故半徑己丙與丙角正弦己庚之比同於甲丙邊與甲乙邊之比為相當比例四率又半徑巳丙與甲角正弦丙庚之比同於甲丙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也又法求甲乙邊以丙角五十一度五十一分之正割一十六萬一千八百八十五為一率其正切一十二萬七千三百零六為二率甲丙邊八十九丈零二寸二分為三率求得四率七十丈零六分有餘即甲乙邊也求丙乙邊則仍以丙角正割一十六萬一千八百八十五為一率而以半徑十萬為二率仍以甲丙邊八十九丈零二寸二分為三率求得四率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧庚戊線為丙角之正切庚丙線為丙角之正割庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙角正割庚丙與正切庚戊之比同於甲丙邊與甲乙邊之比又丙角正割庚丙與半徑丙戊之比同於甲丙邊與丙乙邊之比皆為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲乙邊二十丈丙乙邊三十四丈六尺四寸一分求甲角丙角各幾何法以甲乙邊二十丈為一率丙乙邊三十四丈六尺四寸一分為二率半徑十萬為三率求得四率一十七萬三千二百零五為甲角之正切撿八線表得六十度即甲角之度與九十度相減餘三十度即丙角之度也如先求丙角則以丙乙邊三十四丈六尺四寸一分為一率甲乙邊二十丈為二率半徑十萬為三率求得四率五萬七千七百三十五為丙角之正切撿八線表得三十度即丙角之度與九十度相減餘六十度即甲角之度也如圖先求甲角則如甲丁戊一象限己戊弧為甲角六十度之弧庚戊為甲角之正切甲戊為半徑甲戊庚與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲乙邊與丙乙邊之比同於甲戊半徑與庚戊正切之比為相當比例四率先求丙角則如丙丁戊一象限己丁弧為丙角三十度之弧辛丁為丙角之正切丙丁為半徑丙丁辛與丙乙甲兩勾股形為同式形故丙乙邊與甲乙邊之比同於丙丁半徑與辛丁正切之比為相當比例四率也又法以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十四丈六尺四寸一分相加得五十四丈六尺四寸一分為兩邊之和為一率又以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十四丈六尺四寸一分相減餘一十四丈六尺四寸一分為兩邊之較為二率以乙角之外角九十度折半得四十五度為半外角其正切十萬為三率(四十五度之正切與半徑)(十萬等)求得四率二十六萬七千九百四十八為半較角之正切撿八線表得十五度為半較角與半外角四十五度相減餘三十度即丙角之度如以半較角十五度與半外角四十五度相加得六十度即甲角之度也如圖甲乙丙直角三角形以乙直角為心甲乙小邊為半徑作一甲戊丁圜截丙乙大邊於戊將丙乙引長至圜界丁則丁乙戊乙俱為半徑與甲乙等自丁至丙即兩邊之和自戊至丙即兩邊之較甲乙丁角即乙角之外角試自甲至戊作一甲戊線則成甲乙戊直角三角形其乙甲戊與乙戊甲二角相併與甲乙丁外角度等今折半用其正切即如用甲戊乙角之正切又心角與邊角度等其切線亦等故自甲至丁作一丁甲線即甲戊丁角之正切又戊甲丙角即甲角大於甲戊乙角之較又即丙角小於甲戊乙角之較故於圜界戊至甲丙邊己作己戊線與甲丁線平行即戊甲己角之正切且丙丁甲三角形與丙戊己三角形為同式形故兩邊之和丙丁與甲戊丁半外角切線甲丁之比即同於兩邊之較丙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲乙邊六十尺丙乙邊三十二尺求甲丙邊幾何法以甲乙邊六十尺為一率丙乙邊三十二尺為二率半徑十萬為三率求得四率五萬三千三百三十三為甲角之正切撿八線表得二十八度零四分即甲角之度(如用丙乙邊作一率甲乙邊作二率即先得丙角度)乃以甲角為對所知之角其正弦四萬七千零五十為一率乙角為對所求之角其正弦即半徑十萬為二率丙乙邊為所知之邊其數三十二尺為三率求得四率六十八尺零一分二釐有餘即甲丙為所求之邊也又既得甲角之後用割線法則以半徑為一率甲角之正割為二率甲乙邊為三率求得四率即甲丙為所求之邊也或得丙角則用丙角之正割為二率丙乙邊為三率亦得甲丙邊若得丙角仍用甲乙邊為三率則用丙角餘割(即甲角之正割)為二率而亦得甲丙邊也又法用勾股求弦以甲乙為股丙乙為勾求得弦即甲丙邊也法已載於勾股集中設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲丙邊一百零二丈二尺丙乙邊四十八丈求甲角丙角各幾何法以甲丙邊為對所知之邊其數一百零二丈二尺為一率丙乙邊為對所求之邊其數四十八丈為二率乙角為所知之角其正弦即半徑十萬為三率求得四率四萬六千九百六十六為甲角之正弦撿八線表得二十八度零一分即甲角之度也甲角之餘弦即丙角之正弦如撿八線表餘弦數得六十一度五十九分即丙角之度也如甲丁戊一象限己庚爲甲角正弦辛己與甲庚等為甲角之餘弦即丙角之正弦甲庚己與甲乙丙両勾股形為同式形故甲丙邊與丙乙邊之比同於甲己半徑與己庚正弦之比為相當比例四率也又法以丙乙邊四十八丈為一率甲丙邊一百零二丈二尺為二率半徑十萬為三率求得四率二十一萬二千九百一十六為丙角之正割撿八線表得六十一度五十九分即丙角之度也其丙角之餘割即甲角之正割如撿餘割數得二十八度零一分即甲角之度也如丙丁戊一象限丙戊為半徑己戊為丙角之正切己丙為丙角之正割甲乙丙與己戊丙兩勾股形為同式形故丙乙邊與甲丙邊之比同與丙戊半徑與己丙正割之比為相當比例四率也設如甲乙丙銳角三角形知乙丙邊三十二丈乙角六十度丙角四十六度求甲乙邊甲丙邊各幾何法以乙角六十度與丙角四十六度相加得一百零六度與半圜一百八十度相減餘七十四度為甲角求甲丙邊則以甲角為對所知之角其正弦九萬六千一百二十六為一率以乙角為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率乙丙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有餘即甲丙為所求之一邊也求甲乙邊則仍以甲角為對所知之角其正弦九萬六千一百二十六為一率而以丙角為對所求之角其正弦七萬一千九百三十四為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有餘即甲乙為所求之又一邊也如圖甲乙丙三角形作含三角形之圜則每界角各對一弧試自圜心丁作三角形各邊之垂線即将每角所對之弧平分一半各成兩心角其每一心角與相當各界角之度等(見幾何原本四卷第十三節)是以乙角所對甲丙弧原係一百二十度今為丁庚癸垂線所平分各為六十度一為甲丁癸一為癸丁丙皆與乙角原度等丙角所對甲乙弧原係九十二度今為丁戊辛垂線所平分各為四十六度一為甲丁辛一為辛丁乙皆與丙角原度等甲角所對乙丙弧原係一百四十八度今為丁己壬垂線所平分各為七十四度一為乙丁壬一為壬丁丙皆與甲角原度等乙己為乙丁壬角之正弦己丙為壬丁丙角之正弦亦即甲角之正弦甲庚為甲丁癸角之正弦庚丙為癸丁丙角之正弦亦即乙角之正弦甲戊為甲丁辛角之正弦戊乙為辛丁乙角之正弦亦即丙角之正弦故求甲丙邊者以乙己與甲庚之比或己丙與庚丙之比皆同於乙丙與甲丙之比又如求甲乙邊者以己丙與甲戊之比或乙己與戊乙之比皆同於乙丙與甲乙之比俱是半與半全與全之比例而各為相當比例四率也又圖求甲丙邊者則用甲丙為半徑自丙角至甲乙界作丙丁垂線為甲角正弦又依甲丙度截丙乙於戊使戊乙與甲丙等(凡用正弦比例因在圜内皆同半徑今使)(戊乙與甲丙相同而後正弦之大小乃見)乃自戊至甲乙界又作戊己垂線為乙角正弦觀戊己小於丙丁則知甲丙(同戊乙)亦小於乙丙故甲角正弦丙丁與乙角正弦戊己之比同於乙丙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也又如求甲乙邊者則用甲乙為半徑自乙角至甲丙界作乙丁垂線為甲角正弦又依甲乙度截乙丙於戊使戊丙與甲乙等乃自戊至甲丙界又作戊己垂線為丙角正弦觀戊己小於乙丁則知甲乙(同戊丙)亦小於乙丙故甲角正弦乙丁與丙角正弦戊己之比同於乙丙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也又法求甲乙邊以乙角六十度之餘切五萬七千七百三十五與丙角四十六度之餘切九萬六千五百六十九相加得一十五萬四千三百零四為一率乙角之餘割一十一萬五千四百七十為二率乙丙邊三十二丈為三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有餘即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相加之一十五萬四千三百零四為一率而以丙角餘割一十三萬九千零一十六為二率仍以乙丙邊三十二丈為三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一鋭角三角形分為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形即如乙角六十度與象限九十度相減餘三十度為甲丁乙三角形之甲角又丙角四十六度與象限九十度相減餘四十四度為甲丁丙三角形之甲角乙角之餘切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之餘割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之餘切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之餘割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子若乙角丙角兩餘切相加即兩甲角正切相加之和如壬子甲癸壬與甲丁乙兩三角形為同式形甲癸子與甲丁丙兩三角形為同式形故甲壬子與甲乙丙兩三角形亦為同式形是故求甲乙邊者以壬子與甲壬之比同於乙丙與甲乙之比求甲丙邊者以壬子與甲子之比同於乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也設如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十度乙丙邊九丈七尺八寸求丙角甲乙邊甲丙邊各幾何法以甲角五十度與乙角七十度相加得一百二十度與半圜一百八十度相減餘六十度為丙角求甲乙邊則以甲角為對所知之角其正弦七萬六千六百零四為一率以丙角為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率乙丙邊為所知之邊其數九丈七尺八寸為三率求得四率一十一丈零五寸六分有餘即甲乙為所求之一邊也求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角其正弦七萬六千六百零四為一率而以乙角為對所求之角其正弦九萬三千九百六十九為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數九丈七尺八寸為三率求得四率一十一丈九尺九寸六分有餘即甲丙為所求之又一邊也此法所知之角與邊雖與前法少異然總是有兩角一邊得其所餘一角則仍與前法同矣設如甲乙丙鈍角三角形知乙角二十四度丙角三十六度三十分乙丙邊七十九丈零一寸求甲乙邊甲丙邊各幾何法以乙角二十四度與丙角三十六度三十分相加得六十度三十分與半圜一百八十度相減餘一百一十九度三十分為甲鈍角求甲乙邊則以甲鈍角為對所知之角夫甲角既為鈍角過九十度乃用其外角将甲角一百一十九度三十分與半圜一百八十度相減餘六十度三十分為甲角之外角其正弦八萬七千零三十六為一率(凡鈍角之外角其正)(弦即鈍角之正弦解見割圜集内)丙角為對所求之角其正弦五萬九千四百八十二為二率乙丙邊為所知之邊其數七十九丈零一寸為三率求得四率五十三丈九尺九寸七分即甲乙為所求之一邊也如求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角用其外角正弦八萬七千零三十六為一率而以乙角為對所求之角其正弦四萬零六百七十四為二率仍以乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有餘(如既得甲乙邊)(而以丙角為對所知之角其正弦為一率甲乙邊為所知之邊其數為三率所)(得亦同)即甲丙為所求之又一邊也此法亦有兩角一邊但甲為鈍角故用外角正弦求法畧異試以求甲乙邊言之則甲乙邊為半徑於甲角之外作乙丁垂線則成乙甲丁之外角其乙丁垂線即乙甲丁外角之正弦又按甲乙邊度截乙丙邊於戊使戊丙與甲乙半徑等作戊己垂線即丙角之正弦夫戊己丙與乙丁丙两勾股形為同式形故乙甲丁外角之正弦乙丁與丙角之正弦戊己之比即同於乙丙邊與等甲乙邊之戊丙之比為相當比例四率也其求甲丙邊用外角正弦其理亦同又法求甲乙邊以乙角二十四度之餘切二十二萬四千六百零四與丙角三十六度三十分之餘切一十三萬五千一百四十二相加得三十五萬九千七百四十六為一率乙角之餘割二十四萬五千八百五十九為二率乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率五十三丈九尺九寸七分有餘即甲乙邊求甲丙邊則仍以两角餘切相加之三十五萬九千七百四十六為一率而以丙角之餘割一十六萬八千一百一十七為二率乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一鈍角三角形分為甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之餘切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之餘割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之餘切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之餘割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子乙角丙角两餘切相加之數即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬與甲丁乙两三角形為同式形甲癸子與甲丁丙两三角形為同式形故甲壬子與甲乙丙两三角形亦為同式形是以求甲乙邊者以壬子與甲壬之比同於乙丙與甲乙之比求甲丙邊者以壬子與甲子之比同於乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也設如甲乙丙鈍角三角形知乙角三十三度三十八分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙邊一十六丈求甲角甲乙邊甲丙邊各幾何法以乙角三十三度三十八分四十秒與丙外角五十五度五十三分相減餘二十二度一十四分二十秒即甲角(取甲)(角當以丙外角與半圜一百八十度相減餘為丙鈍角仍以丙鈍角與乙角相)(加又與半圜一百八十度相減餘為甲角今止以丙外角内減乙角即得甲角)(者葢因丙外角與乙甲二内角相倂之度等又三角形三角相倂共為一百八)(十度與半圜等今於半圜内減去丙鈍角所餘為丙外角而一百八十度内減)(丙鈍角則餘乙甲二角共度是甲乙二角共度與丙外角之度等故於丙外角)(内減去乙角即甲角也)求甲乙邊則以甲角為對所知之角其正弦三萬七千八百四十七為一率以丙外角為對所求之角其正弦八萬二千七百九十為二率乙丙邊為所知之邊其數一十六丈為三率求得四率三十五丈即甲乙為所求之一邊求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角其正弦三萬七千八百四十七為一率而以乙角為對所求之角其正弦五萬五千四百零四為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數一十六丈為三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有餘(如既得甲乙邊而以丙外角為對所知之角其正弦為一率甲乙邊為所)(知之邊其數為三率所得亦同)即甲丙為所求之又一邊也此法亦有两角一邊與前法同但先有外角少異耳又法求甲乙邊以乙角三十三度三十八分四十秒之餘切一十五萬零二百五十九與丙外角五十五度五十三分之餘切六萬七千七百四十八相減餘八萬二千五百一十一為一率乙角之餘割一十八萬零四百九十三為二率乙丙邊一十六丈為三率求得四率三十五丈即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相減之八萬二千五百一十一為一率而以丙外角之餘割一十二萬零七百八十八為二率仍以乙丙邊一十六丈為三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有餘即甲丙邊也此法葢以乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁乙甲丁丙兩直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其餘切戊己即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸丙外角之餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之餘切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之餘割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子甲丁丙三角形之丙角餘切與甲丁乙三角形之乙角餘切相減之數即兩甲角之正切相減之較如子壬甲癸壬三角形與甲丁丙三角形為同式形甲癸子三角形與甲丁乙三角形為同式形故甲子壬三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以子壬與甲子之比同於乙丙與甲乙之比又子壬與甲壬之比同於乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也設如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙邊四十丈甲丙邊二十六丈一尺零八分求乙角丙角及乙丙邊各幾何法以甲乙邊四十丈與甲丙邊二十六丈一尺零八分相加得六十六丈一尺零八分為兩邊之和為一率又以甲乙邊四十丈與甲丙邊二十六丈一尺零八分相減餘一十三丈八尺九寸二分為兩邊之較為二率以甲角六十度與半圜一百八十度相減餘一百二十度為外角折半得六十度為半外角其正切一十七萬三千二百零五為三率求得四率三萬六千三百九十七為半較角之正切撿八線表得二十度為半較角與半外角六十度相減餘四十度即乙角之度如以半較角二十度與半外角六十度相加得八十度即丙角之度也既得乙丙兩角即以丙角為對所知之角其正弦九萬八千四百八十一為一率以甲角為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率甲乙邊為所知之邊其數四十丈為三率求得四率三十五丈一尺七寸五分有餘即乙丙為所求之邊也如圖甲乙丙鋭角三角形以甲角為心甲丙小邊為半徑作一丙丁戊圜截甲乙大邊於戊將甲乙引長至圜界丁則甲丁甲戊俱為半徑與甲丙等自丁至乙即兩邊之和自戊至乙即兩邊之較丁甲丙角即甲角之外角試自丙至戊作一丙戊線則成甲丙戊三角形其甲丙戊與甲戊丙二角併之與丁甲丙外角度等今折半用其正切即如用丁戊丙角之正切又心角與邊角度等其切線亦等故自丙至丁作一丙丁線即丁戊丙角之正切又戊丙乙角即丙角大於甲戊丙角之較亦即乙角小於甲戊丙角之較故自圜界戊至乙丙邊己作己戊線與丙丁平行即戊丙己角之正切且乙丁丙三角形與乙戊己三角形為同式形故兩邊之和丁乙與丁戊丙半外角切線丁丙之比即同於兩邊之較戊乙與半較角切線戊己之比為相當比例四率也又法自丙角作丙丁垂線分為丙丁甲丙丁乙兩直角形算之先用丙丁甲直角形求丙丁垂線及甲丁分邊以丁角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以甲角為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率甲丙邊為所知之邊其數二十六丈一尺零八分為三率求得四率二十二丈六尺一寸有餘為丙丁垂線又以丁角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以甲角六十度與九十度相減餘三十度即甲丙丁角(即丙之分角)為對所求之角其正弦五萬為二率(直用甲角餘弦亦可)甲丙邊為所知之邊其數二十六丈一尺零八分為三率求得四率十三丈零五寸四分為甲丁分邊既得甲丁分邊乃與甲乙邊四十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分為丁乙分邊於是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙邊以丁乙二十六丈九尺四寸六分為一率丙丁二十二丈六尺一寸有餘為二率半徑十萬為三率求得四率八萬三千九百零八為乙角正切撿八線表得四十度為乙角以乙角四十度與甲角六十度相加得一百度與一百八十度相減餘八十度為丙角既得乙丙两角則用两角一邊求又一邊之法算之即得乙丙邊矣或先求乙丙邊則以丁乙二十六丈九尺四寸六分為勾丙丁二十二丈六尺一寸為股求得弦三十五丈一尺七寸五分有餘即乙丙邊也又法先求甲丁分邊比例而得乙角以半徑十萬為一率(即丁直角之正弦)以甲角六十度之餘弦五萬為二率(即丙分角之正弦)以甲丙邊二十六丈一尺零八分為三率求得四率十三丈零五寸四分為甲丁分邊乃以甲丁分邊十三丈零五寸四分為一率以甲丁分邊與甲乙全邊四十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分為丁乙分邊為二率甲角六十度之餘切五萬七千七百三十五為三率求得四率一十一萬九千一百七十六為乙角餘切撿表得四十度即乙角也如甲角之戊庚一象限其庚己為甲角之餘切而庚己甲與甲丁丙為同式形又如乙角之辛癸一象限其壬癸為乙角之餘切而壬癸乙與乙丁丙為同式形故甲丁與丁乙之比同於庚己與壬癸之比也又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以甲丙邊二十六丈一尺零八分為一率甲乙邊四十丈為二率甲角六十度餘割一十一萬五千四百七十為三率求得四率一十七萬六千九百一十一為甲角餘切與乙角餘切之共數即甲丙丁與乙丙丁两分角之共切又将甲角六十度與象限九十度相減餘三十度即甲丙丁之分角撿其正切五萬七千七百三十五與两分角之共切一十七萬六千九百一十一相減餘一十一萬九千一百七十六為丁丙乙分角之正切即乙角之餘切撿表得四十度即乙角之度也以乙角四十度與甲角六十度相加得一百度又與半圜一百八十度相減餘八十度即丙角之度也如甲乙丙鋭角三角形作丙丁垂線分為甲丁丙與乙丁丙两直角形以丙角為心作一戊己庚半圜則丙丁垂線平分於己两邊各成一象限試與甲乙邊平行作一辛壬線則辛己一段為甲丙丁分角之正切即甲角之餘切己壬一段為乙丙丁分角之正切又即乙角之餘切而辛丙為甲丙丁分角之正割亦即甲角之餘割辛壬丙與甲乙丙两三角形為同式形故甲丙邊與甲乙邊之比即同於甲角餘割辛丙(即甲丙丁分角之正割)與甲丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛壬之比為相當比例四率也既得辛壬两分角之共切内減去甲丙丁分角三十度之正切辛己所餘己壬為乙丙丁分角之正切即為乙角之餘切撿表即得乙角也設如甲乙丙鈍角三角形知甲角一百一十九度三十四分甲乙邊五十四尺甲丙邊三十六尺九寸求乙角丙角及乙丙邊各幾何法以甲乙邊五十四尺與甲丙邊三十六尺九寸相加得九十尺九寸為两邊之和為一率又以甲乙邊與甲丙邊相減餘一十七尺一寸為两邊之較為二率以甲角一百一十九度三十四分與半圜一百八十度相減餘六十度二十六分為外角折半得三十度一十三分為半外角其正切五萬八千二百四十為三率求得四率一萬零九百五十六為半較角之正切撿八線表得六度一十五分為半較角與半外角三十度一十三分相減餘二十三度五十八分即乙角之度如以半較角六度一十五分與半外角三十度一十三分相加得三十六度二十八分即丙角之度也既得乙丙二角求乙丙邊則以丙角為對所知之角其正弦五萬九千四百三十五為一率甲外角為對所求之角(甲角為鈍角故)(用外角)其正弦八萬六千九百七十八為二率甲乙邊為所知之邊其數五十四尺為三率求得四率七十九尺零二分四釐有餘即乙丙邊也如圖甲乙丙鈍角三角形以甲角為心甲丙為半徑作一丙丁戊圜其乙丁為两邊之和乙戊為两邊之較丙丁為半外角之正切己戊為半較角之正切乙丁丙三角形與乙戊己三角形為同式形故以两邊之和乙丁與丁戊丙半外角切線丙丁之比即同於两邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也又法自丙角作丙丁垂線於形外成丙丁乙與丙丁甲两直角形先用丙丁乙直角形求丙丁垂線及甲丁虚邊以丁直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以甲角一百一十九度三十四分與半圜一百八十度相減餘六十度二十六分即甲外角為對所求之角其正弦八萬六千九百七十八為二率甲丙邊為所知之邊其數三十六尺九寸為三率求得四率三十二尺零九分五釐為丙丁垂線又以丁直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率又以甲外角六十度二十六分與九十度相減餘二十九度三十四分為甲丙丁角(即丙外分角)為對所求之角其正弦四萬九千三百四十四為二率(如直用甲外角之餘弦為)(二率亦可)甲丙邊為所知之邊其數三十六尺九寸為三率求得四率十八尺二寸零八釐為甲丁虚邊與甲乙邊五十四尺相加得七十二尺二寸零八釐為乙丁全邊又以乙丁全邊七十二尺二寸零八釐為一率丙丁垂線三十二尺零九分五釐為二率半徑十萬為三率求得四率四萬四千四百四十八為乙角正切撿八線表得二十三度五十八分為乙角之度與甲外角六十度二十六分相減餘三十六度二十八分即丙角之度(甲外角與乙丙二内角等故減去乙角餘即丙角)既得乙丙二角則用两角一邊求又一邊之法算之即得乙丙邊或先求乙丙邊則以乙丁全邊七十二尺二寸零八釐為股丙丁垂線三十二尺零九分五釐為勾求得弦七十九尺零二分即乙丙邊也又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以甲丙邊三十六尺九寸為一率甲乙邊五十四尺為二率以甲外角六十度二十六分之餘割一十一萬四千九百七十一為三率求得四率一十六萬八千二百五十為甲外角餘切與乙角餘切之較數乃以甲外角六十度二十六分之餘切五萬六千七百三十一與两餘切之較相加得二十二萬四千九百八十一為乙角餘切撿表得二十三度五十八分即乙角之度與甲角一百一十九度三十四分相加得一百四十三度三十二分與半圜一百八十度相減餘三十六度二十八分即丙角之度也如甲乙丙鈍角形将甲乙邊引長自丙角作丙丁垂線遂成丙丁甲丙丁乙两直角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲乙丙三角形之甲角之外角其餘切戊己即丙丁甲三角形之丙角之正切如庚辛甲外角之餘割甲己即丙丁甲三角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙三角形之乙角之餘切壬癸即丙丁乙三角形之丙角之正切如子辛若丙丁乙三角形之乙角餘切與丙丁甲三角形之甲角餘切相減即两丙角相差之較如子庚丙辛庚三角形與丙丁甲三角形為同式形丙辛子三角形與丙丁乙三角形為同式形故丙庚子三角形與丙甲乙三角形亦為同式形是以甲丙邊與甲乙邊之比同於甲外角餘割庚丙(即甲己)與两餘切之較子庚之比為相當比例四率也既得子庚两餘切之較與甲外角之餘切庚辛(即戊己)相加得子辛即乙角之餘切撿表得乙角度既得乙角則以乙角與甲角相併與半圜相減餘即丙角矣設如甲乙丙鋭角三角形知乙角六十度甲乙邊八十丈甲丙邊七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙丙邊各幾何法以甲丙邊為對所知之邊其數七十丈三尺四寸為一率甲乙邊為對所求之邊其數八十丈為二率乙角為所知之角其正弦八萬六千六百零三為三率求得四率九萬八千四百九十六為丙角正弦撿表得八十度零三分即丙角度也既得丙角度則以乙角六十度與丙角八十度零三分相加得一百四十度零三分與一百八十度相減餘三十九度五十七分即甲角度也既得甲角求乙丙邊則以乙角為對所知之角其正弦八萬六千六百零三為一率甲角為對所求之角其正弦六萬四千二百一十二為二率甲丙邊為所知之邊其數七十丈三尺四寸為三率求得四率五十二丈一尺五寸三分有餘即乙丙為所求之邊也又法用餘割求丙角以甲乙邊八十丈為一率甲丙邊七十丈三尺四寸為二率乙角六十度之餘割十一萬五千四百七十為三率求得四率十萬一千五百二十六為丙角餘割撿表得八十度零三分即丙角度也如甲乙丙鋭角三角形作甲丁垂線分為甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之餘割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚丙角之餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲庚辛與甲乙丙两三角形為同式形故甲乙邊與甲丙邊之比同於乙角餘割甲庚(即戊乙)與丙角餘割甲辛(即己丙)之比為相當比例四率也設如甲乙丙鈍角三角形知丙角一百一十度甲乙邊二十二丈五尺五寸甲丙邊十二丈求甲角乙角及乙丙邊各幾何法以甲乙邊為對所知之邊其數二十二丈五尺五寸為一率甲丙邊為對所求之邊其數十二丈為二率丙角為所知之角其外角七十度之正弦九萬三千九百六十九為三率求得四率五萬為乙角正弦撿表得三十度即乙角度也既得乙角度則以乙角三十度與丙角一百一十度相加得一百四十度與一百八十度相減餘四十度即甲角度也既得甲角求乙丙邊則以乙角為對所知之角其正弦五萬為一率甲角為對所求之角其正弦六萬四千二百七十九為二率甲丙邊為所知之邊其數十二丈為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即乙丙為所求之邊也又法用餘割求乙角以甲丙邊十二丈為一率甲乙邊二十二丈五尺五寸為二率丙外角七十度之餘割十萬六千四百一十八為三率求得四率一十九萬九千九百七十七為乙角之餘割撿表得三十度即乙角度也如甲乙丙鈍角三角形将乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲丁乙三角形之乙角之餘割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚甲庚辛與甲乙丙两三角形為同式形故甲丙邊與甲乙邊之比同於丙外角餘割甲辛(即己丙)與乙角餘割甲庚(即戊乙)之比為相當比例四率也設如甲乙丙鋭角三角形知甲乙邊一百二十二尺甲丙邊一百一十二尺乙丙邊一百五十尺求甲乙丙三角各幾何法求丙角以甲丙邊一百一十二尺與乙丙邊一百五十尺相乗得一萬六千八百尺倍之得三萬三千六百尺為一率以甲丙邊一百一十二尺自乘得一萬二千五百四十四尺乙丙邊一百五十尺自乘得二萬二千五百尺以两邊各自乘數相加得三萬五千零四十四尺又以甲乙邊一百二十二尺自乘得一萬四千八百八十四尺與两邊各自乘相加數三萬五千零四十四尺相減餘二萬零一尺六十尺為二率半徑十萬為三率求得四率六萬為甲分角之正弦即丙角之餘弦撿表得五十三度零八分即丙角之度也求乙角則以甲乙邊與乙丙邊相乘得數倍之為一率以甲乙邊乙丙邊各自乘相加内減去甲丙邊自乘之數餘為二率半徑十萬為三率求得四率為甲分角之正弦即乙角之餘弦撿表即得乙角之度也或既得丙角用两邊一角比例之法即得甲乙二角矣此法葢以三邊之面積互相加減使面與面比而得線與線之比也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙邊作一甲丁垂線分為甲丁丙甲丁乙两勾股形又作三邊之各正方復作两邊相乘之長方其甲丙戊己為甲丙邊自乘之一正方庚辛乙甲為甲乙邊自乘之一正方乙壬癸丙為乙丙邊自乘之一正方丙癸丑子為甲丙邊與乙丙邊相乘之一長方倍之為丙癸卯寅一大長方今於甲丙戊己與乙壬癸丙两正方相併數内減庚辛乙甲一正方則是減去辰己午甲一正方即如甲丙戊己之一正方又減去庚辛乙午己辰一磬折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊己之正方所多之較其積與乙壬申未一長方等(甲丁丙甲丁乙两勾股形同用一甲丁股是以甲丙弦方)(内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙弦方内有甲丁一股方乙丁一勾方因)(两三角形同用一股故其两弦較與两弦和相乘之數两勾較與两勾和相乗)(之數必然相等午乙即两弦之較辰己與辛乙相併即两弦之和庚辛乙午己)(辰磬折形即两弦較與两弦和相乗之積而乙未為两勾之較乙丙為两勾之)(和乙壬申未即两勾較與两勾和相乗之積所以知其相等也)所餘為未申癸丙一長方試以甲丁垂線引長則平分未申癸丙一長方為未申酉丁與丁酉癸丙二長方此二長方與丙癸丑子子丑夘寅二長方同用一邊為二平行線内所有二方面互相為比同於其底互相為比之例故丙癸夘寅之長方與未申癸丙之長方之比即同於丙寅邊與未丙邊之比也又比例之理全與全半與半之比例相同故丙癸夘寅之長方(為甲丙邊與乙丙邊相乗又加一倍之積)與未申癸丙之長方(即甲丙邊乙丙邊两正方相併内減甲乙邊一正方所餘)(之積)相比同於丙子邊(與甲丙邊同)與丁丙邊之比也又甲丙邊即如甲丁垂線所分丁直角之正弦而甲丁垂線所分之丁丙邊即如甲分角之正弦是以甲丙邊與乙丙邊相乘加倍之丙癸夘寅長方積為一率甲丙邊乙丙邊两正方相併積内減甲乙邊一正方所餘未申癸丙長方積為二率對丁直角之正弦半徑十萬為三率求得四率為甲分角之正弦即丙角之餘弦也又求分邊得角法以乙丙邊為底其數一百五十尺為一率甲乙邊大腰一百二十二尺與甲丙邊小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺為二率两邊相減餘一十尺為三率求得四率一十五尺六寸為分邊之較與乙丙邊一百五十尺相減餘一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸為丁丙分邊之數乃以甲丙邊為對所知之邊其數一百一十二尺為一率丁丙分邊為對所求之邊其數六十七尺二寸為二率丁角為所知之角其正弦半徑十萬為三率求得四率六萬為甲丁丙三角形之甲角正弦又即丙角之餘弦撿表得五十三度零八分為丙角之度既得丙角則用两邊一角比例之法遂得甲乙二角矣如圖以甲角為心甲丙小邊為半徑作一戊丙己庚圜截甲乙邊於庚截丙乙邊於戊将甲乙引長至圜界己則甲己與甲丙等自己至乙即两邊之和自庚至乙即两邊之較乙戊即乙丁丁丙两分邊之較是故分邊之和乙丙與两邊之和己乙之比即同於两邊之較庚乙與分邊之較乙戊之比為轉比例四率也又法以甲乙邊一百二十二尺乙丙邊一百五十尺甲丙邊一百一十二尺三數相加得三百八十四尺為三邊之總折半得一百九十二尺為半總以甲乙邊一百二十二尺與半總一百九十二尺相減餘七十尺為甲乙邊與半總之較以乙丙邊一百五十尺與半總一百九十二尺相減餘四十二尺為乙丙邊與半總之較以甲丙邊一百一十二尺與半總一百九十二尺相減餘八十尺為甲丙邊與半總之較乃以半總一百九十二尺為一率甲丙邊與半總之較八十尺為二率甲乙邊與半總之較七十尺與乙丙邊與半總之較四十二尺相乗得二千九百四十尺為三率求得四率一千二百二十五尺開方得三十五尺為三角形自中心至三邊之垂線先求丙角則用甲乙邊與半總之較七十尺為一率三角形自中心至三邊之垂線三十五尺為二率半徑十萬為三率求得四率五萬為丙半角之正切撿表得二十六度三十四分倍之得五十三度零八分即丙角之度也如先求乙角則用甲丙邊與半總之較八十尺為一率先求甲角則用乙丙邊與半總之較四十二尺為一率俱用三角形自中心至三邊之垂線三十五尺為二率半徑十萬為三率即各得各半角之正切焉此法葢一率二率以線與線為比三率四率以面與面為比也如甲乙丙三角形自中心丁至三邊各作一垂線又自中心丁至三角各作一分角線即成六直角三角形俱两两相等(丁己丙與丁庚丙等)(丁己乙與丁戊乙等丁戊甲與丁庚甲等)又按甲戊度引乙丙線至辛則乙辛為三邊之半總即三較之和(乙己與乙戊等即甲丙邊與半總之較己丙與丙庚等即甲乙)(邊與半總之較丙辛與甲戊甲庚等即乙丙邊與半總之較)試自辛作直角將乙丁線引長作一乙辛壬直角形則壬辛與丁己平行乙辛壬形與乙己丁形遂為同式形其乙辛與乙己之比即同於壬辛與丁己之比然乙辛一率乙己二率之數雖有而壬辛之數却無又但知己丙與丙辛相乘之數即丁己與壬辛相乘之數故以己丙與丙辛相乘之數為三率(何以知己丙與丙辛相乘之數即丁)(己與壬辛相乘之數試作壬丙線壬癸線使丙癸與丙辛等癸角辛角皆為直)(角癸丙辛角與辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙己角為癸丙辛角之)(外角相合亦共成一百八十度是庚丙己角與辛壬癸角等庚丁己角與癸丙)(辛角等是以壬癸丙辛形與丙庚丁己形為同式形而丙辛壬勾股形與丁巳)(丙勾股形亦為同式形可互相比例矣以丁己作一率己丙作二率丙辛作三)(率即得四率壬辛是以己丙二率與丙辛三率相乘之數即與丁己一率壬辛)(四率相乘之數等故直以己丙丙辛相乘之數作三率也)其所得四率即丁己自乘之數是故乙辛與乙己之比同於丁己與壬辛相乘之面(即己丙與)(丙辛相乗之面)與丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故開方而得丁己為三角形自中心至三邊之垂線與丁戊與丁庚俱相等又即三角形容圜之半徑也製數理蘊下編卷十七
## 下編卷十八
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十八面部八測量(勾股測量三角測量)測量周髀曰偃矩以窺髙覆矩以測深卧矩以知逺蓋以矩度或表杆相度窺測立者則取其直平者則取其方必使成直角以大小勾股為比例以在器之勾股比所測之勾股彼此相形而得之者也然勾股必為直角而三角形則惟變所適而無定形要以角度為準而用割圜八線以為比例凡求角求邊皆以三角形之法為本總以對所知為一率對所求為二率所知為三率得四率即所求也或一測或屢測惟在隨時而致用或用正或用餘惟在比例之相當不特凡物之髙深廣逺可得而推即七政之躔度天地之形體俱可得而測也勾股測量(凡用矩度或立表杆必用垂線取其與地平成直角以為準則若地不平)(須記取某處與人目所看相平為記)設如有一旗杆欲測其髙但知距旗杆之逺為三丈問得髙幾何法用矩度(矩度之制必用正方每邊定一百分或二百分横𥪡俱界)(線畫成小方分自中心所出線俱平分每邊一半對中心所出線兩邉安定表)(取中心安遊表看分數必以其自中心所出線為準見幾何原本十二卷)定準墜線以定表看地平遊表看旗杆頂得距地平分四十分(此矩度前邊為百分自中心平分半)(邊為五十分)乃以中心平分距分五十分為一率所得距分四十分為二率距旗杆之逺三丈為三率求得四率二丈四尺即矩度中心定表所對地平至旗杆頂之髙加矩度中心距地之髙四尺共得二丈八尺即所求旗杆之髙也如圖甲乙為旗杆之髙丙乙為距旗杆之逺丁為矩度中心丁丙為矩度中心距地之高己庚為定表所對地平為戊辛壬為遊表看旗杆頂甲其丁庚為矩度中心平分距分五十分壬庚為遊表距地平分四十分其丁庚與壬庚之比同於丁戊與甲戊之比故丁庚五十分為一率壬庚四十分為二率丁戊距旗杆之逺三丈為三率得四率甲戊二丈四尺加同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈八尺為旗杆之高也又用表杆測法於距旗杆三丈處立一表高四尺向前又立一表高八尺看二表端與旗杆頂齊量二表間相距得五尺乃以五尺為一率前表八尺内減後表四尺餘四尺為二率距旗杆之逺三丈為三率求得四率二丈四尺加入後表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也如圖甲乙為旗杆之高乙丙為距旗杆之逺三丈丁丙為後表之髙四尺戊己為前表之高八尺丙己為二表之距五尺戊庚為二表之較四尺丁戊甲為人目視線試與乙丙平行作辛丁線遂成甲辛丁戊庚丁兩勾股形為同式形故丁庚與戊庚之比同於丁辛與甲辛之比既得甲辛加與丁丙相等之辛乙即得甲乙為旗杆之高也設如一樹欲測其逺爰取一直角横量十五丈問得逺幾何法以矩度定表與遊表定準直角以定表對樹遊表隨直角立表杆二三處横量十五丈於此處復安矩度以定表對所立表杆取直看原處以遊表看樹得距矩度中心平分線距分三十分乃以所得距分三十分為一率矩度中心平分距分五十分為二率横量十五丈為三率求得四率二十五丈即離樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙為直角乙丙為横量十五丈丁戊為所立二表杆丙為矩度中心丙己為矩度中心平分距分五十分己庚為所得距分三十分丙己庚勾股形與甲乙丙勾股形為同式形故己庚與己丙之比即同於丙乙與甲乙之比也又用表杆測法先立一表於乙取直角横量十五丈至丙次立一表於丙自丙對甲相直復立一表於丁次依丁丙度引至乙丙線上截乙丙於戊乃以丙戊折半於己遂得丁己丙勾股形與甲乙丙勾股形為同式形因量丙己得三丈為一率丁己得五丈為二率丙乙十五丈為三率求得四率二十五丈即甲乙之逺也設如有山一座欲知其高用重矩之法測之問山之高得幾何法用矩度定準墜線以定表看地平遊表看山頂得距地平分四十分又向後量九丈復安矩度定準墜線以定表仍看前矩度定表所看地平原處遊表看山頂得距地平分三十二分乃以前矩度距地平分四十分為一率中心平分距分五十分為二率後矩度距地平分三十二分為三率求得四率四十分為前矩度遊表與後矩度遊表同距地平分所得之中心距分乃以所得四十分與後矩度中心平分距分五十分相減餘十分為一率後矩度距地平分三十二分為二率向後量九丈為三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所對地平至山頂之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之髙也如圖甲乙為山之高丙為前矩度中心丙庚為定表所對地平為戊丙己為遊表看山頂甲其己庚為遊表距地平分四十分丙庚為中心平分距分五十分丙丁為向後量九丈丁為後矩度中心丁壬為定表所對地平亦為戊丁辛為遊表看山頂甲其辛壬為遊表距地平分三十二分丁壬為中心平分距分五十分試依後矩度遊表距地平分辛壬度於前矩度作癸子線則丙子中心距分必小於丙庚故己庚與丙庚之比同於癸子與丙子之比而得丙子之分既得丙子則以丙子與丁壬相減餘丁丑(與前矩度子庚等)即前後兩矩度遊表同距地平分所得中心距分之較乃自辛至丑作辛丑線遂成辛壬丑勾股形與癸子丙同度俱與甲戊丙勾股形為同式形而辛壬丁勾股形又與甲戊丁勾股形為同式形且丁丙與丁丑皆為兩勾股形之各股之較故辛丑丁三角形與甲丙丁三角形亦為同式形是以丁丑與辛壬之比同於丁丙與甲戊之比而為相當比例四率也又法用矩度定準墜線以定表看地平遊表看山頂向後量九丈復安矩度定準墜線以定表仍看前矩度定表所看地平原處遊表看山頂得距地平分三十二分其中心平分距分為五十分爰察前矩度距地平分三十二分處得距中心距分為四十分乃以所得四十分與後矩度中心平分距分五十分相減餘十分為一率距地平分三十二分為二率向後量九丈為三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所對地平至山頂之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之高也如圖甲乙為山之高丙為前矩度中心定表所對地平為戊遊表看山頂甲丙丁為向後量九丈丁為後矩度中心其辛壬為遊表距地平分三十二分丁壬為中心平分距分五十分試依後矩度距地平分三十二分辛壬度於前矩度三十二分處作己庚線其丙庚距中心距分得四十分乃以丙庚四十分截後矩度丁壬中心平分距分於癸則丁癸為減餘十分其丁癸與辛壬之比即同於丁丙與甲戊之比也前法兩矩度遊表距地平分不同故用比例四率而得其距地平相等之中心距分以取其兩中心距分之較此法因取其距地平相等之分故其兩中心距分不同相減即得其兩中心距分之較也設如一牆欲知其逺用重矩之法測之問牆之逺得幾何法用矩度定凖墜線以定表看地平遊表看牆頂得距地平分四十分又向後量一丈復安矩度定凖墜線以定表仍看前矩度定表所看地平原處遊表看牆頂得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分為一率中心平分距分五十分為二率後矩度距地平分二十四分為三率求得四率三十分為前矩度遊表與後矩度遊表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分與後矩度中心平分距分五十分相減餘二十分為一率前矩度所得中心距分三十分為二率向後量一丈為三率求得四率一丈五尺即前矩度距牆之逺若求後矩度距牆之逺則以後矩度中心平分距分五十分為二率所得四率二丈五尺即後矩度距牆之逺也如圖甲乙為牆之高丙為前矩度中心丙庚為定表所對地平為戊丙己為遊表看牆頂甲其己庚為遊表距地平分四十分丙庚為中心平分距分五十分丙丁為向後量一丈丁為後矩度中心丁壬為定表所對地平亦為戊丁辛為遊表看牆頂甲其辛壬為遊表距地平分二十四分丁壬為中心平分距分五十分試依後矩度遊表距地平分辛壬度於前矩度作癸子線則丙子中心距分必小於丙庚故己庚與丙庚之比同於癸子與丙子之比而得丙子之分既得丙子則以丙子與丁壬相減餘丁丑(與前)(矩度子庚等)即前後兩矩度遊表同距地平分所得中心距分之較乃自辛至丑作辛丑線遂成辛壬丑勾股形與癸子丙同度俱與甲戊丙勾股形為同式形而辛壬丁勾股形又與甲戊丁勾股形為同式形且丁丙與丁丑皆為兩勾股形之各股之較故辛丑丁三角形與甲丙丁三角形亦為同式形是以丁丑與丑壬之比同於丁丙與丙戊之比又丁丑與丁壬之比亦同於丁丙與丁戊之比也又法用矩度定凖墜線以定表看地平遊表看牆頂向後量一丈復安矩度定凖墜線以定表對前矩度中心遊表看牆頂得距地平分二十四分其中心平分距分為五十分爰察前矩度距地平分二十四分處得距中心距分為三十分乃以所得三十分與後矩度中心平分距分五十分相減餘二十分為一率前矩度中心距分三十分為二率向後量一丈為三率求得四率一丈五尺即前矩度距牆之逺若求後矩度距牆之逺則以後矩度中心平分距分五十分為二率所得四率二丈五尺即後矩度距牆之逺也如圖甲乙為牆之高丙為前矩度中心定表所對地平為戊遊表看牆頂甲丙丁為向後量一丈丁為後矩度中心其辛壬為遊表距地平分二十四分丁壬為中心平分距分五十分試依後矩度距地平分二十四分辛壬度於前矩度二十四分處作己庚線其丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚三十分截後矩度丁壬中心平分距分於癸則丁癸為減餘二十分其丁癸與癸壬之比同於丁丙與丙戊之比又丁癸與丁壬之比亦同於丁丙與丁戊之比也設如一石欲知其逺不取直角於左右兩處横量三十九丈測之問兩處各距石幾何法先平安矩度於右以定表看左矩度之中心遊表看石得距矩度中心距分三十七分五釐其遊表之斜距分為六十二分五釐次平安矩度於左以定表看右矩度之中心遊表看石得距矩度中心距分十一分二釐五豪其遊表之斜距分為五十一分二釐五豪乃以所得兩距分相併得四十八分七釐五豪為一率右矩度所得之遊表斜距分六十二分五釐為二率横量三十九丈為三率求得四率五十丈為右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺則仍以兩距分相併為一率左矩度所得之遊表斜距分五十一分二釐五豪為二率橫量三十九丈為三率求得四率四十一丈為左矩度距石之逺也如圖甲為石乙為右矩度中心其丁戊為距分三十七分五釐戊乙為遊表斜距分六十二分五釐乙丙為横量三十九丈丙為左矩度中心其己庚為距分十一分二釐五豪己丙為遊表斜距分五十一分二釐五豪試自甲角至乙丙線作甲辛垂線分為兩勾股形則丁戊乙勾股形與甲辛乙勾股形為同式形已庚丙勾股形與甲辛丙勾股形為同式形而乙丙即為兩勾之和故以丁戊與己庚兩勾相併與戊乙之比同於乙丙與甲乙之比又丁戊與己庚兩勾相併與己丙之比同於乙丙與甲丙之比俱為相當比例四率也設如隔河一樹欲測其逺不能定直角爰取兩處俱斜對樹横量十七丈測之問離樹之逺得幾何法先平安矩度於一處隨定表横量十七丈復安一矩度(若止用一矩度則記凖一處亦可)以先安矩度定表看後安矩度中心遊表看樹得距矩度中心距分四十九分其遊表之斜距分為七十分次以後安矩度定表看先安矩度中心遊表看樹得距矩度中心距分十五分其遊表之斜距分為五十二分二釐乃以先安矩度之中心距分四十九分與後安矩度之中心距分十五分相減餘三十四分為一率先安矩度遊表斜距分七十分為二率横量十七丈為三率求得四率三十五丈為先安矩度距樹之逺若以後安矩度遊表斜距分五十二分二釐為二率則得四率二十六丈一尺為後安矩度距樹之逺也如圖甲為樹乙為先安矩度中心其丁戊為距矩度中心距分四十九分戊乙為遊表斜距分七十分乙丙為横量十七丈丙為後安矩度中心其己庚為距矩度中心距分十五分庚丙為遊表斜距分五十二分二釐按己庚十五分截丁戊四十九分於辛則辛戊為減餘三十四分乃自辛至乙作辛乙線與庚丙等又將乙丙線引長於壬自甲作甲壬垂線遂成甲壬丙甲壬乙兩勾股形其乙丁辛勾股形與丙己庚勾股形同度俱與甲壬丙勾股形為同式形而乙丁戊勾股形又與甲壬乙勾股形為同式形故乙戊辛三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以辛戊與乙戊之比同於乙丙與甲乙之比而辛戊與乙辛(乙辛即與丙庚度等)之比又同於乙丙與甲丙之比也此法蓋因遊表視線俱在對角以外故甲壬垂線所成甲壬乙甲壬丙兩勾股形同以甲壬為股而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛兩勾股形(乙丁辛即丙己庚)亦同以乙丁為股故即成兩兩同式形若遊表視線在對角以内或一在對角之内一在對角之外所得距矩度中心距分不同者則須取其同距矩度中心距分之度以為比例如後法設如隔河一亭欲測其逺不能定直角爰取兩處俱斜對亭横量三十丈測之問距亭之逺得幾何法先平安矩度於一處隨定表横量三十丈復安一矩度以先安矩度定表看後安矩度中心遊表看亭得距矩度中心距分二十七分其遊表之斜距分為五十六分八釐有餘次以後安矩度看先安矩度中心遊表看亭亦察距矩度中心距分二十七分處得距中心距分三十分其遊表之斜距分為四十分三釐有餘乃以所得距中心距分三十分與先安矩度中心平分距分五十分相減餘二十分為一率先安矩度遊表斜距分五十六分八釐有餘為二率横量三十丈為三率求得四率八十五丈二尺有餘為先安矩度距亭之逺若以後安矩度遊表斜距分四十分三釐有餘為二率則得四率六十丈四尺五寸有餘為後安矩度距亭之逺也如圖甲為亭乙為先安矩度中心其丁戊為距矩度中心距分二十七分乙戊為中心平分距分五十分丁乙為遊表斜距分五十六分八釐有餘乙丙為横量三十丈丙為後安矩度中心其己庚亦為距矩度中心距分二十七分丙庚為距中心平分距分三十分己丙為遊表斜距分四十分三釐有餘按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分於辛則乙辛為減餘二十分又自丁至辛作丁辛線與己丙等又將乙丙線引長於壬自甲作甲壬垂線遂成甲壬丙甲壬乙兩勾股形其丁戊辛勾股形與己庚丙勾股形同度俱與甲壬丙勾股形為同式形而丁戊乙勾股形又與甲壬乙勾股形為同式形故丁乙辛三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以乙辛與丁乙之比同於乙丙與甲乙之比又乙辛與丁辛(即己丙)之比同於乙丙與甲丙之比也此法蓋因遊表視線俱在對角以内故甲壬垂線所成甲壬乙甲壬丙兩勾股形同以甲壬為勾而兩矩度上亦取與丁戊相等之己庚為勾使成兩兩同式形然後可以為比例也設如有塔一座欲知其高用相等兩表測之問得高幾何法先立一表比人目高四尺看塔頂得距分六尺又自前表向後量六丈復立一表亦比人目高四尺看塔頂得距分八尺乃以前距分六尺與後距分八尺相減餘二尺為一率表比人目高四尺為二率向後量六丈為三率求得四率十二丈加表比人目之高四尺共得十二丈四尺即人目以上之高也若求前表距塔頂下地平之逺則以兩距分相減之較為一率前表距分六尺為二率向後量之數為三率得四率十八丈為前表距塔頂下地平之逺若求後表距塔頂下地平之逺則以後表距分八尺為二率得四率二十四丈即後表距塔頂下地平之逺也如圖甲乙為塔之高丙丁與戊己為兩表比人目之高四尺丁目為前表距分六尺丁己為向後量六丈己目為後表距分八尺試依前距分丁目六尺度截後距分己目於庚則庚目為減餘二尺乃自戊過丙至辛作戊丙辛線又自戊至庚作戊庚線遂成戊己庚勾股形與丙丁目勾股形同度俱與甲辛丙勾股形為同式形而戊己目勾股形又與甲辛戊勾股形為同式形且丙戊與庚目皆為兩勾股形之各股之較故戊庚目三角形與甲丙戊三角形又為同式形是以庚目與戊己之比同於戊丙與甲辛之比又庚目與己庚之比同於丙戊與辛丙之比庚目與己目之比並同於丙戊與辛戊之比也設如有樓一座欲知其高用不等兩表測之問得高幾何法先立長表比人目高六尺看樓脊得距分五尺四寸又自先立長表向後量二丈立短表比人目高四尺看樓脊得距分六尺四寸乃以前表比人目之高六尺為一率前表距分五尺四寸為二率後表比人目之高四尺為三率求得四率三尺六寸為前表與後表同高所得之距分爰以所得之三尺六寸與後表距分六尺四寸相減餘二尺八寸為一率後表比人目之高四尺為二率以前表距分五尺四寸内減所得之三尺六寸餘一尺八寸與兩表相距二丈相減餘一丈八尺二寸為三率求得四率二丈六尺加後表比人目之高四尺得三丈即人目以上之高也如圖甲乙為樓之高丙丁為前表比人目之高六尺丁目為前表距分五尺四寸丁己為向後量二丈戊己為後表比人目之高四尺己目為後表距分六尺四寸試依後表戊己度作庚辛垂線截丁目於辛則辛目距分必小於丁目故丙丁與丁目之比同於庚辛與辛目之比而得辛目之分既得辛目則以辛目與己目相減餘壬目即前後兩表同高所得距分之較又於兩表相距丁己内減丁辛餘辛己即同高兩表相距之分故壬目與戊己(即庚辛)之比即同於戊庚(即辛己)與甲癸之比也三角度數測量(度數測量必取資於儀器全圜儀半圜儀象限儀雖為體不同)(其為用則一以九十度為準以定表遊表為二視線其相距之度即為所測之角)設如一塔不知其髙但知距塔之逺為三十丈欲測其高幾何法以儀器定凖墜線以定表看地平遊表看塔尖得兩表相距二十四度乃以二十四度與九十度相減餘六十六度為對所知之角其正弦九萬一千三百五十五為一率儀器上二十四度為對所求之角其正弦四萬零六百七十四為二率距塔之逺三十丈為所知之邊為三率求得四率十三丈三尺五寸七分加儀器之高即所求之塔之高也如圖甲乙為塔之高丙乙為距塔之逺儀器中心為丁丁丙為儀器中心距地之高丁戊為定表所對地平為庚丁己為遊表看塔尖甲得兩表距弧二十四度為己戊其正弦為己辛其餘弦為壬己與丁辛等象限九十度内減二十四度餘六十六度為癸己即甲角之正弧其正弦即壬己是以與壬己相等之丁辛與己辛之比同於丁庚與甲庚之比為相當比例四率既得甲庚加同丁丙高之庚乙得甲乙即塔之高也又法以半徑十萬為一率二十四度之切線四萬四千五百二十三為二率距塔之逺三十丈為三率求得四率十三丈三尺五寸七分加儀器之高即塔之高也如圖己戊弧為二十四度丁戊為半徑壬戊為二十四度之正切故丁戊與壬戊之比同於丁庚與甲庚之比為相當比例四率也設如一樹欲知其逺取一直角横量十五丈測之問得幾何法以儀器定遊表於九十度定表看樹對遊表立兩表竿取直橫量十五丈復安儀器於此以定表看原處遊表看樹得兩表相距六十度乃以六十度與九十度相減餘三十度為對所知之角其正弦五萬為一率儀器上六十度為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率横量十五丈為所知之邊為三率求得四率二十五丈九尺八寸即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為距樹之逺乙為所定直角丙乙為横量十五丈丙為儀器中心丙丁為定表看原處乙丙戊為遊表看甲得兩表距弧六十度為戊丁其正弦為戊己餘弦為庚戊與丙己等象限九十度内減六十度餘三十度為辛戊即甲角之正弧其正弦即庚戊是以與庚戊相等之丙己與戊己之比同於丙乙與甲乙之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角六十度之正切十七萬三千二百零五為二率横量十五丈為三率求得四率二十五丈九尺八寸即所測之樹之逺也若求甲丙斜距則以半徑十萬為一率丙角六十度之正割二十萬為二率横量十五丈為三率求得四率三十丈即甲丙斜距之逺也如圖戊丁弧為六十度丙丁為半徑己丁為六十度之正切己丙為六十度之正割故丙丁與己丁之比同於丙乙與甲乙之比又丙丁與己丙之比同於丙乙與甲丙之比俱各為相當比例四率也設如一山欲知其高用重測之法測之退步十丈問山之高得幾何法先安儀器定準墜線以定表看地平遊表看山頂得兩表相距五十度又退行十丈復安儀器定準墜線以定表仍看前儀器定表所看地平原處仍以遊表看山頂得兩表相距四十度乃以前儀器所得五十度内減後儀器所得四十度餘十度為對所知之角其正弦一萬七千三百六十五為一率後儀器所得四十度為對所求之角其正弦六萬四千二百七十九為二率退行十丈為所知之邊為三率求得四率三十七丈零一寸為前儀器中心至山頂之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率前儀器所得五十度為對所求之角其正弦七萬六千六百零四為二率前儀器中心至山頂之斜距三十七丈零一寸為所知之邊為三率求得四率二十八丈三尺五寸即所測之山之高也如圖甲乙為山之高丙丁為退行十丈前測得丙角五十度後測得丁角四十度而丙角為甲丙丁三角形之外角與丁甲二内角相併之度等(解見三角形邊線角度相求巻)(中)故丙角五十度内減丁角四十度餘十度即甲丙丁三角形之甲角故先用甲丙丁鈍角三角形求甲丙邊既得甲丙邊然後用甲乙丙直角三角形求甲乙邊為山之高也又法以前測所得五十度之餘切八萬三千九百一十與後測所得四十度之餘切十一萬九千一百七十五相減餘三萬五千二百六十五為一率半徑十萬為二率退行十丈為三率求得四率二十八丈三尺五寸即所求之山之高也如圖戊己為丙角之餘切即丙甲乙角之正切與壬癸等庚辛為丁角之餘切即丁甲乙角之正切與子癸等子壬即兩餘切之較甲癸與戊丙及庚丁俱同為半徑甲癸壬三角形與甲乙丙三角形為同式形而甲癸子三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲壬子三角形與甲丙丁三角形亦為同式形是以子壬與甲癸之比同於丁丙與甲乙之比而為相當比例四率也設如人在山上欲測山之高但知山前有二樹與山參直二樹相距十八丈問山之高得幾何法於山頂安儀器定準墜線以定表向空中取一平線先以遊表看逺樹得遊表距垂線四十九度次以遊表看近樹得遊表距垂線三十八度乃以所得兩數相減餘十一度為對所知之角其正弦一萬九千零八十一為一率以看逺樹所得之四十九度與九十度相減餘四十一度為對所求之角其正弦六萬五千六百零六為二率二樹相距十八丈為三率求得四率六十一丈八尺九寸為近樹距山頂之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以看近樹所得之三十八度與九十度相減餘五十二度為對所求之角其正弦七萬八千八百零一為二率近樹距山頂之斜距六十一丈八尺九寸為所知之邊為三率求得四率四十八丈七尺七寸即所測之山之高也如圖甲乙為兩樹相距十八丈丙丁為山之高甲丙丁角為看逺樹所得之四十九度乙丙丁角為看近樹所得之三十八度兩數相減餘十一度為甲丙乙角甲丙丁角四十九度與九十度相減所餘之四十一度為甲角乙丙丁角三十八度與九十度相減所餘之五十二度為乙角先用甲乙丙鈍角三角形求丙乙邊既得丙乙邊然後用乙丙丁直角三角形求丙丁邊為山之高也又法以先看逺樹所得四十九度之正切十一萬五千零三十七與後看近樹所得三十八度之正切七萬八千一百二十九相減餘三萬六千九百零八為一率半徑十萬為二率二樹相距之十八丈為三率求得四率四十八丈七尺七寸即山之高也如圖戊己為甲丙丁角之正切庚己為乙丙丁角之正切戊庚即兩正切之較丙己為半徑故戊庚與丙己之比同於甲乙與丙丁之比而為相當比例四率也設如一石欲知其逺不取直角於左右兩處横量五十丈測之問兩處各距石幾何法先平安儀器於左以定表看右儀器之中心遊表看石得兩表相距七十度次平安儀器於右以定表看左儀器之中心遊表看石得兩表相距六十度乃以兩角度相併得一百三十度與一百八十度相減餘五十度為對所知之角其正弦七萬六千六百零四為一率求右邊則以左邊儀器所得七十度為對所求之角其正弦九萬三千九百六十九為二率左右相距五十丈為所知之邊為三率求得四率六十一丈三尺三寸為右邊距石之逺若求左邊距石之逺則以右邊儀器所得六十度為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率左右相距五十丈為所知之邊為三率求得四率五十六丈五尺三寸為左邊距石之逺也如圖甲為石乙丙為左右相距五十丈乙角為左邊所測七十度丙角為右邊所測六十度兩角相併與一百八十度相減得甲角五十度共為甲乙丙銳角三角形蓋知乙丙二角及乙丙邊而求甲乙邊及甲丙邊也又法以左邊儀器所得七十度之餘切三萬六千三百九十七與右邊儀器所得六十度之餘切五萬七千七百三十五相併得九萬四千一百三十二為一率右邊儀器所得六十度之餘割十一萬五千四百三十為二率左右相距五十丈為三率求得四率六十一丈三尺三寸為右邊距石之逺若求左邉距石之逺則以左邊儀器所得七十度之餘割十萬六千四百一十八為二率左右相距五十丈為三率求得四率五十六丈五尺三寸為左邊距石之逺也如圖甲為石乙丙為左右相距五十丈乙角為左邊所測七十度丙角為右邊所測六十度試自甲至乙丙線上作甲丁垂線分為甲丁乙甲丁丙兩直角形戊己為丙角之餘切即丁甲丙角之正切與壬癸等己丙為丙角之餘割即丁甲丙角之正割與甲癸等庚辛為乙角之餘切即丁甲乙角之正切與壬子等庚乙為乙角之餘割即丁甲乙角之正割與甲子等而癸子即兩餘切之和甲壬癸與甲丁丙為同式形甲壬子與甲丁乙為同式形故甲子癸與甲乙丙亦為同式形是以癸子與甲癸之比同於丙乙與甲丙之比又癸子與甲子之比同於丙乙與甲乙之比皆為相當比例四率也設如隔河一樹欲知其逺不能定直角爰取兩處俱斜對樹横量十二丈測之問離樹之逺得幾何法平安儀器於一處隨定表横量十二丈復安一儀器(若止用一儀器則記凖一處亦可)以先安儀器定表看後安儀器中心遊表看樹得兩表相距一百一十度次以後安儀器定表看先安儀器中心遊表看樹得兩表相距四十度乃以兩角度相併得一百五十度與一百八十度相減餘三十度為對所知之角其正弦五萬為一率後安儀器所得四十度為對所求之角其正弦六萬四千二百七十九為二率横量十二丈為所知之邊為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙丙為横量十二丈乙角為一百一十度丙角為四十度兩角相併與一百八十度相減得甲角三十度共為甲乙丙鈍角三角形蓋知乙丙二角及乙丙邊而求甲乙邊也又法以先安儀器所得之外角七十度之餘切三萬六千三百九十七與後安儀器所得四十度之餘切十一萬九千一百七十五相減餘八萬二千七百七十八為一率先安儀器所得之外角七十度之餘割十萬六千四百一十八為二率横量十二丈為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙丙為横量十二丈乙角為先安儀器所得一百一十度丙角為後安儀器所得四十度試將乙丙線引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁乙直角三角形而甲乙丁角即乙角之外角戊己為乙外角之餘切即乙甲丁角之正切與壬癸等己乙為乙外角之餘割即乙甲丁角之正割與甲壬等庚辛為丙角之餘切即丙甲丁角之正切與子癸等子壬即兩餘切之較甲癸壬三角形與甲丁乙三角形為同式形甲癸子三角形與甲丁丙三角形為同式形故甲壬子三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以子壬與甲壬之比同於丙乙與甲乙之比而為相當比例四率也設如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右兩處横量一百丈先求斜距測之問山之高得幾何法以儀器斜對山頂隨定表横量一百丈任記一處遊表看山頂得兩表相距八十六度五十三分又隨定表横量一百丈所記之處復安儀器斜對山頂以定表看原處遊表看山頂得兩表相距七十八度零七分乃以兩角度相併得一百六十五度與一百八十度相減餘一十五度為對所知之角其正弦二萬五千八百八十二為一率後測所得七十八度零七分為對所求之角其正弦九萬七千八百五十七為二率横量一百丈為所知之邊為三率求得四率三百七十八丈零九寸為先安儀器至山頂之斜距次以儀器安於原處定凖墜線定表看地平遊表看山頂得兩表相距五十一度乃以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率儀器所得五十一度為對所求之角其正弦七萬七千七百一十五為二率儀器至山頂之斜距三百七十八丈零九寸為所知之邊為三率求得四率二百九十三丈八尺三寸即所測之山之高也如圖甲為山頂甲乙為先安儀器至山頂之斜距乙丙為横量一百丈甲丙為後安儀器至山頂之斜距乙角為八十六度五十三分丙角為七十八度零七分兩角相併與一百八十度相減得甲角一十五度遂成甲乙丙鋭角三角形今有乙丙二角與乙丙邊求甲乙邊即先安儀器至山頂之斜距又甲丁為山之高甲乙為儀器至山頂之斜距丁角即山頂垂線與地平所成直角乙角為五十一度復成甲丁乙直角三角形今有乙丁二角與甲乙邊求甲丁邊即山之高也設如人在山坡測山之高前後不得地平爰取斜坡前後兩處相距一百丈測之問山之高得幾何法於山坡先安儀器定準墜線以定表空取一地平以遊表看山頂得兩表相距四十度於是向後就斜坡直量一百丈復安儀器定準墜線以定表空取一地平以遊表看山頂得兩表相距三十五度又以遊表看前儀器中心得兩表相距十三度乃以前儀器所得四十度内減後儀器所得三十五度餘五度為對所知之角其正弦八千七百一十六為一率以前儀器所得四十度内減後儀器看前儀器中心所得十三度餘二十七度為對所求之外角其正弦四萬五千三百九十九為二率退量一百丈為所知之邊為三率求得四率五百二十丈八尺七寸為山頂至後儀器之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率後儀器所得三十五度為對所求之角其正弦五萬七千三百五十八為二率山頂至後儀器之斜距五百二十丈八尺七寸為所知之邊為三率求得四率二百九十八丈七尺六寸即所測之山之高也如圖甲乙為山之高丙丁為山坡斜距一百丈甲丙戊角為前儀器所得四十度甲丁乙角為後儀器所得三十五度丙丁乙角為後儀器看前儀器中心所得十三度若將戊丙線引長至己則甲己戊角與甲丁乙角為二平行線之内外角其度必等故於甲丙戊角四十度内減甲丁乙角三十五度餘五度為丁甲丙角(此即前題退步兩測之理)又試將丁丙線引長至庚則庚丙戊角與丙丁乙角亦為二平行線之内外角其度亦等故於甲丙戊角四十度内減與庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度餘甲丙庚角二十七度為甲丙丁鈍角之外角故先用甲丙丁鈍角三角形求甲丁邊為後儀器至山頂之斜距次用甲乙丁直角三角形求甲乙邊為山之高也設如東西二樹欲知其相距之逺測處距西樹五十丈距東樹七十丈問二樹相距幾何法以儀器定表看東樹遊表看西樹得兩表相距五十度乃以距西樹五十丈與距東樹七十丈相加得一百二十丈為一率又以五十丈與七十丈相減餘二十丈為二率兩表相距五十度與一百八十度相減餘一百三十度為外角折半得六十五度為半外角其正切二十一萬四千四百五十一為三率求得四率三萬五千七百四十二為半較角之正切檢表得十九度四十分與半外角六十五度相減餘四十五度二十分為小角與半外角六十五度相加得八十四度四十分為大角既得二角則以小角四十五度二十分為對所知之角其正弦七萬一千一百二十一為一率兩表相距五十度為對所求之角其正弦七萬六千六百零四為二率距西樹之逺為所知之邊其數五十丈為三率求得四率五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為兩表視線相距五十度今以丙角為心甲丙小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙大邊於戊將乙丙引長至圜界丁則丙戊丙丁俱為半徑與甲丙等自丁至乙即兩邊之和自戊至乙即兩邊之較試自甲至戊作甲戊線則成丙甲戊三角形其丙甲戊與丙戊甲二角併之與甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁線即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大於丙甲戊角之較亦即乙角小於丙戊甲角之較故自圜界戊至甲乙邊作己戊線與甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁與乙己戊為同式形故兩邊之和乙丁與丁戊甲半外角切線甲丁之比即同於兩邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率兩表相距五十度之正弦七萬六千六百零四為二率距西樹之逺五十丈為三率求得四率三十八丈三尺為西樹至看東樹視線上之垂線又以半徑十萬為一率兩表相距五十度之餘弦六萬四千二百七十九為二率距西樹之逺五十丈為三率求得四率三十二丈一尺四寸為西樹至看東樹視線上垂線所分之小段分邊線將此數與距東樹之逺七十丈相減餘三十七丈八尺六寸亦為西樹至看東樹視線上垂線所分之大段分邊線爰以此線為勾所得垂線為股求得弦五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈試自甲角至乙丙視線上作甲丁垂線遂分甲乙丙三角形為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形先求得甲丁垂線為股次求得丁丙小段分邊線與乙丙相減餘乙丁大段分邊線為勾求得甲乙弦即二樹相距之逺也又法以距西樹之逺五十丈為一率距東樹之逺七十丈為二率兩表相距五十度之餘割一十三萬零五百四十一為三率求得四率一十八萬二千七百五十七為西樹至看東樹視線上垂線所分兩分角之兩正切之和内減兩表相距五十度之餘切八萬三千九百一十餘九萬八千八百四十七為對西樹視線之對邊角之餘切檢表得四十五度二十分即對西樹視線之對邊角乃以此角度為對所知之角其正弦七萬一千一百二十一為一率兩表相距五十度為對所求之角其正弦七萬六千六百零四為二率距西樹之逺為所知之邊其數五十丈為三率求得四率五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為兩表視線相距五十度試自甲角至乙丙視線上作甲丁垂線遂分甲乙丙三角形為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形以甲角為心作一戊己庚半圜則甲丁垂線平分於己兩邊各成一象限又與乙丙平行作一辛壬線則辛己一段為乙甲丁分角之正切即乙角之餘切己壬一段為丙甲丁分角之正切即丙角之餘切而甲壬為丙甲丁分角之正割亦即丙角之餘割甲辛壬與甲乙丙兩三角形為同式形故甲丙邊與乙丙邊之比同於丙角餘割甲壬(即丙甲丁分角之正割)與丙甲丁乙甲丁兩分角之正切相合之辛壬之比為相當比例四率既得辛壬兩分角之共切内減去丙甲丁分角之正切己壬(即丙角之餘切)所餘辛己為乙甲丁分角之正切即為乙角之餘切檢表即得乙角既得乙角則用兩角一邊比例求之而得甲乙邊矣設如南北二橋欲知其相距之逺測處距南橋九十丈距北橋一百二十丈問二橋相距幾何法以儀器定表看北橋遊表看南橋得兩表相距一百二十度乃以距南橋九十丈與距北橋一百二十丈相加得二百一十丈為一率又以九十丈與一百二十丈相減餘三十丈為二率兩表相距一百二十度與一百八十度相減餘六十度為外角折半得三十度為半外角其正切五萬七千七百三十五為三率求得四率八千二百四十八為半較角之正切檢表得四度四十三分與半外角三十度相減餘二十五度一十七分為小角與半外角三十度相加得三十四度四十三分為大角既得二角則以小角二十五度十七分為對所知之角其正弦四萬二千七百零九為一率兩表相距一百二十度為對所求之角其外角六十度之正弦八萬六千六百零三為二率距南橋之逺為所知之邊其數九十丈為三率求得四率一百八十二丈四尺九寸為南北二橋相距之逺也如圖甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一百二十丈丙角為兩表視線相距一百二十度今以丙角為心甲丙小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙大邊於戊將乙丙引長至圜界丁則乙丁為兩邊之和乙戊為兩邊之較試自甲至戊作甲戊線成甲丙戊三角形其丙甲戊與丙戊甲二角併之與甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁線即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大於丙甲戊角之較亦即乙角小於丙戊甲角之較故自圜界戊至甲乙邊作己戊線與甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁與乙己戊為同式形故兩邊之和乙丁與丁戊甲半外角切線甲丁之比即同於兩邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率兩表相距一百二十度之外角六十度之正弦八萬六千六百零三為二率距南橋之逺九十丈為三率求得四率七十七丈九尺四寸為南橋至看北橋視線引長虚邊線上之垂線又以半徑十萬為一率兩表相距一百二十度之外角六十度之餘弦五萬為二率距南橋之逺五十丈為三率求得四率四十五丈為南橋至看北橋視線引長所成直角之虚邊線與距北橋一百二十丈相加得一百六十五丈為南橋至看北橋視線引長之總邊線爰以此線為股所得南橋至虚邊之垂線為勾求得弦一百八十二丈四尺八寸即南北二橋相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一百二十丈試將乙丙線引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙兩直角三角形先求得甲丁垂線為勾次求得丙丁虚邊線與乙丙相加得乙丁總邊線為股求得甲乙弦即二橋相距之逺也又法以距南橋之逺九十丈為一率距北橋之逺一百二十丈為二率兩表相距一百二十度之外角六十度之餘割一十一萬五千四百七十為三率求得四率一十五萬三千九百六十為南橋至看北橋視線引長虚邊線上之垂線所成兩分角之正切之較與兩表相距一百二十度之外角六十度之餘切五萬七十七百三十五相加得二十一萬一千六百九十五為對南橋視線之對邊角之餘切檢表得二十五度十七分即對南橋視線之對邊角乃以此角度為對所知之角其正弦四萬二千七百零九為一率兩表相距一百二十度為對所求之角其外角六十度之正弦八萬六千六百零三為二率距南橋之逺為所知之邊其數九十丈為三率求得四率一百八十二丈四尺九寸即南北二橋相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一百二十丈丙角為兩表視線相距一百二十度試將乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙兩直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其餘切戊己即甲丁丙三(角)形之甲角之正切如度辛丙外角之餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角形之乙角之餘切壬癸即甲丁乙三角形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三角形之乙角餘切與甲丁丙三角形之丙角餘切相減即兩甲角相差之較如子庚甲辛庚三角形與甲丁丙三角形為同式形甲辛子三角形與甲丁乙三角形為同式形故甲子庚三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以甲丙邊與乙丙邊之比同於丙外角餘割甲庚(即己丙)與兩餘切之較子庚之比為相當比例四率既得子庚兩餘切之較與丙外角之餘切庚辛(即戊己)相加得子辛即乙角之餘切撿表得乙角既得乙角則用兩角一邊比例求之而得甲乙邊矣設如隔河東西二樹欲知其相距之逺爰對一樹取一直角左右横量十三丈測之問二樹相距幾何法先對西樹安儀器於右定遊表於九十度以定表看西樹隨遊表横量十三丈乃以遊表看東樹得西樹視線距横量邊線九十度東樹視線距横量邊線三十八度西樹東樹兩視線相距為五十二度次於直角横量十三丈處安儀器於左以定表看右儀器中心遊表看東樹得東樹視線距横量邊線一百一十度復以遊表看西樹得西樹視線距横量邊線四十五度乃先求右儀器距西樹之逺以左儀器看西樹距横量邊線之四十五度與九十度相減餘四十五度為對所知之角其正弦七萬零七百一十一為一率以左儀器看西樹距横量邊線之四十五度為對所求之角其正弦七萬零七百一十一為二率左右横量十三丈為所知之邊為三率求得四率十三丈為右儀器距西樹之逺次求右儀器距東樹之逺以右儀器看東樹距横量邊線三十八度與左儀器看東樹距横量邊線一百一十度相併得一百四十八度與一百八十度相減餘三十二度為對所知之角其正弦五萬二千九百九十二為一率以左儀器看東樹距横量邊線一百一十度為對所求之角其外角七十度之正弦九萬三千九百六十九為二率左右横量十三丈為所知之邊為三率求得四率二十三丈零五寸為右儀器距東樹之逺末求東西二樹相距之逺以右儀器距西樹十三丈與右儀器距東樹二十三丈零五寸相加得三十六丈零五寸為一率又以十三丈與二十三丈零五寸相減餘十丈零五寸為二率以右儀器看西樹東樹兩表相距五十二度與一百八十度相減餘一百二十八度為外角折半得六十四度為半外角其正切二十萬零五千零三十為三率求得四率五萬七千一百五十八為半較角之正切撿表得二十九度四十五分與半外角六十四度相減餘三十四度十五分為小角以半較角二十九度四十五分與半外角六十四度相加得九十三度四十五分為大角乃以小角三十四度十五分為對所知之角其正弦五萬六千二百八十為一率看西樹東樹兩表相距之五十二度為對所求之角其正弦七萬八千八百零一為二率右儀器距西樹之逺十三丈為所知之邊為三率求得四率十八丈二尺為東西二樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為東樹丙為右儀器中心丁為左儀器中心丙丁為兩測之距十三丈甲丙丁角為直角九十度甲丙乙角為右儀器看東樹西樹兩表相距之五十二度乙丙丁角為右儀器看東樹視線距横量邊線三十八度乙丁丙角為左儀器看東樹視線距横量邊線一百一十度甲丁丙角為左儀器看西樹距横量邊線四十五度先以甲丁丙角四十五度與九十度相減餘四十五度為丁甲丙角遂成甲丙丁三角形求甲丙邊為右儀器距西樹之逺次以乙丙丁角三十八度與乙丁丙角一百一十度併之與一百八十度相減餘三十二度為丙乙丁角遂成乙丙丁三角形求乙丙邊為右儀器距東樹之逺末以甲乙丙三角形之甲丙乙丙二邊甲丙乙一角求乙甲丙大角九十三度四十五分甲乙丙小角三十四度十五分而得甲乙邊為東西二樹相距之逺也設如南北二峯欲知其相距之逺不取直角於左右兩處横量一百丈測之問二峯相距幾何法安儀器於右隨定表向左横量一百丈乃以遊表看南峯得南峯視線距横量邊線一百零七度復以遊表看北峯得北峯視線距横量邊線四十六度南峯北峯兩視線相距為六十一度次於横量一百丈處安儀器於左以定表看右儀器中心遊表看北峯得北峯視線距横量邊線九十九度復以遊表看南峯得南峯視線距横量邊線五十度北峯南峯兩視線相距為四十九度乃先求左儀器距北峯之逺以右儀器看北峯距横量邊線之四十六度與左儀器看北峯距横量邊線之九十九度相倂得一百四十五度與一百八十度相減餘三十五度為對所知之角其正弦五萬七千三百五十八為一率以右儀器看北峯距横量邊線之四十六度為對所求之角其正弦七萬一千九百三十四為二率横量一百丈為所知之邊為三率求得四率一百二十五丈四尺一寸為左儀器距北峯之逺次求左儀器距南峯之逺以左儀器看南峯距横量邊線之五十度與右儀器看南峯距横量邊線之一百零七度相併得一百五十七度與一百八十度相減餘二十三度為對所知之角其正弦三萬九千零七十三為一率右儀器看南峯距横量邊線一百零七度為對所求之角其外角七十三度之正弦九萬五千六百三十為二率横量一百丈為所知之邊為三率求得四率二百四十四丈七尺四寸為左儀器距南峯之逺末求南北二峯相距之逺以左儀器距北峯一百二十五丈四尺一寸與左儀器距南峯二百四十四丈七尺四寸相加得三百七十丈一尺五寸為一率又以一百二十五丈四尺一寸與二百四十四丈七尺四寸相減餘一百一十九丈三尺三寸為二率以左儀器看南峯北峯兩視線相距四十九度與一百八十度相減餘一百三十一度為外角折半得六十五度三十分為半外角其正切二十一萬九千四百三十為三率求得四率七萬零七百四十為半較角之正切查表得三十五度十六分與半外角六十五度三十分相減餘三十度十四分為小角與半外角六十五度三十分相加得一百度四十六分為大角乃以小角三十度十四分為對所知之角其正弦五萬零三百五十二為一率左儀器看南峯北峯兩視線相距之四十九度為對所求之角其正弦七萬五千四百七十一為二率左儀器距北峯之逺一百二十五丈四尺一寸為所知之邊為三率求得四率一百八十七丈九尺七寸為南北二峯相距之逺也又法求自北峯至左儀器距南峯視線上之垂線作勾股法算之則以垂線所分直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率左儀器看南峯北峯兩視線相距之四十九度為對所求之角其正弦七萬五千四百七十一為二率左儀器距北峯之逺為所知之邊其數一百二十五丈四尺一寸為三率求得四率九十四丈六尺四寸為自北峯至左儀器距南峯視線上之垂線次求左儀器至垂線末之分邊線仍以垂線所分直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以左儀器看南峯北峯兩視線相距之四十九度與九十度相減餘四十一度為對所求之角其正弦六萬五千六百零六為二率(即四十九度之餘弦)左儀器距北峯之逺為所知之邊其數一百二十五丈四尺一寸為三率求得四率八十二丈二尺七寸為自左儀器至垂線末之分邊線與左儀器距南峯之二百四十四丈七尺四寸相減餘一百六十二丈四尺七寸為南峯距垂線末之分邊線乃以此數為股所得垂線九十四丈六尺四寸為勾求得弦一百八十八丈零二寸即南北二峯相距之逺也如圖甲為南峯乙為北峯丙為右儀器中心丁為左儀器中心丙丁為兩測之距一百丈甲丙丁角為右儀器看南峯視線距横量邊線一百零七度乙丙丁角為右儀器看北峯視線距横量邊線四十六度乙丁丙角為左儀器看北峯視線距横量邊線九十九度甲丁丙角為左儀器看南峯視線距横量邊線五十度甲丁乙角為左儀器看南峯北峯兩表相距之四十九度先以乙丙丁角四十六度與乙丁丙角九十九度併之與一百八十度相減餘三十五度為丁乙丙角遂成乙丁丙三角形而求乙丁邊為左儀器距北峯之逺次以甲丁丙角五十度與甲丙丁角一百零七度併之與一百八十度相減餘二十三度為丁甲丙角遂成甲丙丁三角形而求甲丁邊為左儀器距南峯之逺末以甲乙丁三角形之甲丁乙丁二邊甲丁乙一角求甲乙丁大角一百度四十六分乙甲丁小角三十度十四分而得甲乙邊為南北二峯相距之逺也又或求得乙戊垂線又求得丁戊為左儀器至垂線末之分邊線則以丁戊與甲丁相減餘甲戊為股乙戊垂線為勾而得甲乙弦為南北二峯相距之逺也御製數理精藴下編卷十八
## 下編卷十九
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十九面部九各面形縂論直線形各面形總論面之爲形成於方圜直線所成皆方之類曲線所成皆圜之類立法則方爲圜之本度圜者必以方而度方者必以矩所謂方有盡而圜無盡是也論理則圜又爲衆界形之本葢衆界形或函圜或函於圜其邊皆當弧線之度故求衆界形者必以圜界爲宗也因有方圜衆界之各異是以邊線等者面積不等如衆界形之毎一邊與圜徑俱設爲一○○○○則方面積爲一○○○○○○○○而圜面積爲七八五三九八一六三等邊形之面積爲四三三○一二七○五等邊形之面積爲一七二○四七七四一六等邊形之面積爲二五九八○七六二○七等邊形之面積爲三六三三九一二四○八等邊形之面積爲四八二八四二七一二九等邊形之面積爲六一八一八二四二○十等邊形之面積爲七六九四二○八八三此各形之面積皆以方積比例者也或以圜面積設爲一○○○○○○○○則圜徑得一一二八三小餘七九一六如圜徑與衆界形之毎一邊俱設爲一一二八三小餘七九一六則圜面積爲一○○○○○○○○而三等邊形之面積爲五五一三二八八九方面積爲一二七三二三九五四五等邊形之面積爲二一九○五七九八六六等邊形之面積爲三三○七九七三三四七等邊形之面積爲四六二六八四○九八八等邊形之面積爲六一四七七四四三五九等邊形之面積爲七八七○九四三○二十等邊形之面積爲九七九六五七○九九此各形之面積皆以圜積比例者也葢因各形之邊線相等面積不同故皆定爲面與面之比例也面積等者邊線不等如衆界形之面積與圜面積俱設爲一○○○○○○○○○○○○○○○○則方邊爲一○○○○○○○○而圜徑爲一一二八三七九一六三等邊形之毎邊爲一五一九六七一三七五等邊形之毎邊爲七六二三八七○五六等邊形之毎邊爲六二○四○三二四七等邊形之毎邊爲五二四五八一二六八等邊形之毎邊爲四五五○八九八五九等邊形之毎邊爲四○二一九九六三十等邊形之毎邊爲三六○五一○五八此各形之邊線皆以方邊比例者也或以圜徑設爲一○○○○○○○○則圜面積爲七八五三九八一六三三九七四四八三如圜面積與衆界形之面積俱設爲七八五三九八一六三三九七四四八三則圜徑爲一○○○○○○○○而二等邊形之毎邊爲一三四六七七三六九四等邊形(卽正方)之毎邊爲八八六二二六九二五等邊形之毎邊爲六七五六四七九三六等邊形之毎邊爲五四九八一八○五七等邊形之毎邊爲四六四八九八○三八等邊形之毎邊爲四○三三一二八八九等邊形之毎邊爲三五六四四○一四十等邊形之毎邊爲三一九四九四一八此各形之邊線皆以圜徑比例者也葢因各形之面積相等邊線不同故皆定爲線與線之比例也然自衆界形之中心分之則又各成三角形皆以勾股爲準則故勾股三角形雖爲面而不囿於面之中却别立一章焉要之衆界形邊求積者歸之勾股積求邊者歸之正方引而伸之觸類而長之凡爲面形者不能違是也直線形設如正方形每邊五十尺問對角斜線幾何法以方邊五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺開方得七十尺七寸一分零六豪有餘即所求之對角斜線也如圖甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙丁丁甲每邊皆五十尺甲丙為所求對角斜線甲乙為股則乙丙為勾乙丙為股則甲乙為勾因甲乙與乙丙相等皆可互為勾股故以一邊自乗倍之開方得弦卽如各自乗相併開方而得弦也又用定率比例法以定率之方邊一○○○○○○○爲一率對角斜線一四一四二一三五為二率今所設之方邊五十尺為三率求得四率七十尺七寸一分零六豪有餘卽所求之對角斜線也葢定率設方邊為一千萬其對角斜線為一千四百一十四萬二千一百三十五故定率之方邊一千萬與定率之對角斜線一千四百一十四萬二千一百三十五之比卽如今所設之方邊五十尺與所求之對角斜線七十尺七寸一分零六豪有餘之比也若有對角斜線求方邊則以對角斜線自乗折半開方所得為正方形之每一邊也葢甲丙弦自乗之方與甲乙股乙丙勾兩正方相併之積等今以甲丙弦自乗折半則必與甲乙或乙丙自乗之一正方相等故開方而得每一邊也或用定率比例法以定率之對角斜線一四一四二一三五為一率方邊一○○○○○○○為二率今所設之對角斜線為三率求得四率卽方邊也設如正方形每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾何法以每邊二尺自乗得四尺倍之得八尺開方得二尺八寸二分八釐四豪有餘卽所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方形每邊二尺其面積四尺倍之得八尺卽如戊乙己庚正方形其每邊即甲乙丙丁方形之對角斜線試於戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以乙為心戊為界作戊己弧與丁角相切則丁乙與己乙皆為半徑其度相等葢丁乙對角斜線自乗之方為甲乙邊自乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽為甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁丙己庚磬折形積即與甲乙丙丁正方形積相等也設如正方形每邊二尺今將其積四倍之問得方邊幾何法以每邊二尺倍之得四尺卽所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方形每邊二尺其面積四尺四倍之得一十六尺卽如戊乙己庚正方形之面積其每邊得甲乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用四倍其積開方止以每邊二尺倍之而卽得也此法葢因兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例(見幾何原本七卷第五節)故戊乙己庚正方面積一十六尺與甲乙丙丁正方面積之四尺相比為四分之一而戊乙己庚正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之二尺之比為二分之一夫十六與八八與四四與二皆為二分之一之連比例而十六與四之比其間隔八之一位故為連比例隔一位相加之比例也設如長方形長十二尺闊八尺今將其積倍之仍與原形為同式形問得長闊各幾何法以闊八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺開方得一十一尺三寸一分三釐七豪有餘即所求之闊旣得闊乃以原闊八尺為一率原長十二尺為二率今所得闊一十一尺三寸一分三釐七豪有餘為三率求得四率一十六尺九寸七分零五豪有餘卽所求之長也或以長十二尺自乗倍之開方亦得一十六尺九寸七分零五豪有餘為所求之長也如圖甲乙丙丁長方形甲乙闊八尺甲丁長十二尺將其積倍之即如戊己庚辛長方形此兩長方面積之比例卽同於其相當二界各作一正方面積之比例(見幾何原本七卷第七節)故依甲乙丙丁長方形之丁丙闊界作丁丙壬癸正方形將其積倍之卽如戊己庚辛長方形之辛庚闊界所作之辛庚子丑正方形故開方得辛庚為所求之闊也既得辛庚之闊則以甲乙與甲丁之比卽同於戊己與戊辛之比得戊辛為所求之長也若以原長自乗倍之開方卽如以二長界各作一正方形互相為比例也設如長方形長十二尺闊八尺今將其積四倍之仍與原形為同式形問得長闊各幾何法以闊八尺倍之得十六尺卽所求之闊又以原長十二尺倍之得二十四尺即所求之長也如圖甲乙丙丁長方形甲乙闊八尺甲丁長十二尺將其積四倍之卽如戊己庚辛長方形其每邊得甲乙丙丁長方形每邊之二倍是故不用四倍其積開方止以各邊之數倍之而即得也此法葢因兩長方面之比例既同於其相當二界各作一正方面之比例而兩正方面之比例比之二界之比例為連比例隔一位相加之比例故兩長方面之比例較之兩界之比例亦為連比例隔一位相加之比例也設如三角形面積三千尺底闊八十尺問中長幾何法以積三千尺倍之得六千尺用底闊八十尺除之得七十五尺卽所求之長也如圖甲乙丙三角形其積倍之成丁乙丙戊長方形乙丙為底闊故以底闊除長方積得甲己為中長也設如兩兩等邊無直角斜方形(一日象目形)小邊皆二十五丈大邊皆三十九丈對兩小角斜線五十六丈問面積㡬何法以對角斜線分斜方形為兩三角形算之以對角斜線五十六丈為底大邊三十九丈小邊二十五丈為兩腰用三角形求中垂線法求得中垂線十五丈乃以對角斜線五十六丈與中垂線十五丈相乗得八百四十丈即斜方形之面積也如圖甲乙丙丁斜方形甲丁乙丙二小邊皆二十五丈甲乙丁丙二大邊皆三十九丈甲丙對兩小角斜線五十六丈今以甲丙斜線分甲乙丙丁斜方形為甲乙丙甲丁丙兩三角形俱以甲丙為底甲丁與丁丙為兩腰求得丁戊或乙己皆為中垂線故以甲丙斜線與丁戊垂線相乗所得甲丙庚辛長方形比甲丁丙三角形積大一倍而甲乙丙丁斜方形亦函兩三角形積故所得之甲丙庚辛長方形與甲乙丙丁斜方形之面積相等也設如不等邊兩直角斜方形直角之邊長五十丈上闊二十丈下闊二十八丈問面積幾何法以上闊二十丈與下闊二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈與長五十丈相乗得一千二百丈即斜方形之積面也如圖甲乙丙丁斜方形以上闊甲丁與下闊乙丙相加得乙戊折半為乙己與甲乙長相乗遂成甲乙己庚長方形其斜方外所多之丁庚辛勾股形與斜方内所少之辛己丙勾股形之積等故所得之甲乙己庚長方形即甲乙丙丁斜方形之面積也又法上闊下闊相併與長相乗得數折半即斜方形之面積也葢前法上闊下闊相加折半而後與長相乗此法則上闊下闊相加卽與長相乗而後折半其理一也設如梯形長三十丈上闊十二丈下闊二十丈問面積㡬何法以上闊十二丈與下闊二十丈相加得三十二丈折半得十六丈與長三十丈相乗得四百八十丈即梯形之面積也如圖甲乙丙丁梯形以上闊甲丁與下闊乙丙相加得乙戊折半為乙己與丁己長相乗遂成庚乙己丁長方形其梯形外所多之甲庚乙勾股形與梯形内所少之丁己丙勾股形之面積等故所得之庚乙己丁長方形卽甲乙丙丁梯形之面積也又法以上闊下闊相併與長相乗得數折半即梯形之面積也設如三角形自尖至底中長二百尺底闊一百五十尺今欲自尖截長一百二十尺問截闊㡬何法以中長二百尺為一率底闊一百五十尺為二率截長一百二十尺為三率求得四率九十尺即所截之闊也如圖甲乙丙三角形甲丁中長二百尺乙丙底闊一百五十尺甲戊為所截長一百二十尺而甲丁與乙丙之比即同於甲戊與己庚之比也如以截闊求截長則以底闊為一率中長為二率截闊為三率所得四率即所截之長也設如不等邊兩直角斜方形長九十尺上闊二十尺下闊三十八尺今欲截中闊二十七尺問上下各截長㡬何法以上闊二十尺與下闊三十八尺相減餘一十八尺為一率長九十尺為二率以上闊二十尺與所截中闊二十七尺相減餘七尺為三率求得四率三十五尺即上所截之長以上所截之長三十五尺與總長九十尺相減餘五十五尺即下所截之長也如欲先得下所截之長則仍以上闊二十尺與下闊三十八尺相減餘一十八尺為一率長九十尺為二率乃以所截中闊二十七尺與下闊三十八尺相減餘一十一尺為三率求得四率五十五尺即下所截之長也如圖甲乙丙丁斜方形甲乙為長九十尺與丁戊等乙丙為下闊三十八尺甲丁為上闊二十尺與乙戊等己庚為所截中闊二十七尺上闊與下闊相減餘戊丙十八尺上闊與所截中闊相減餘辛庚七尺而戊丙與丁戊之比即同於辛庚與丁辛之比也又甲乙丙丁斜方形上闊與下闊相減餘戊丙十八尺所截中闊與下闊相減餘壬丙十一尺而戊丙與丁戊之比又同於壬丙與庚壬之比也如有所截上長或所截下長求截闊則以總長為一率上下闊相減所餘為二率截長為三率求得四率有上截長則與上闊相加有下截長則與下闊相減所得即所截之闊也設如梯形面積一千五百尺下闊四十尺中長五十尺問上闊幾何法以積一千五百尺倍之得三千尺用長五十尺除之得六十尺為上下兩闊相和之數内減下闊四十尺餘二十尺即上闊也如圖甲乙丙丁梯形倍之成甲乙己戊斜方形試將己角取直作己辛線則截斜方形一叚為己辛戊勾股形如以己辛戊勾股形移補於甲庚乙遂成庚乙己辛長方形其積原與甲乙己戊斜方形等今用庚乙中長除之得乙己即上下兩闊相和之數内減乙丙下闊所餘丙己與甲丁等即上闊也設如不等邊兩直角斜方形積九千六百尺長一百二十尺上下兩闊相差之較四十尺問上闊下闊各㡬何法以積九千六百尺倍之得一萬九千二百尺用長一百二十尺除之得一百六十尺為上下兩闊相和之數内減上下兩闊相差之較四十尺餘一百二十尺折半得六十尺為上闊加上下兩闊相差之較四十尺得一百尺即下闊也如圖甲乙丙丁斜方形其甲乙長一百二十尺甲丁上闊與乙丙下闊相差戊丙四十尺試將原積倍之遂成甲乙己庚長方形故以甲乙長除之得乙己為上下闊相和之數内減戊丙上下兩闊相差之較餘數折半得乙戊與甲丁等為上闊加戊丙較得乙丙為下闊也設如梯形面積六千六百五十尺長九十五尺上下兩闊相差之較二十尺問上闊下闊各幾何法以積六千六百五十尺倍之得一萬三千三百尺用長九十五尺除之得一百四十尺為上下兩闊相和之數内減上下兩闊相差之較二十尺餘一百二十尺折半得六十尺為上闊加上下兩闊相差之較二十尺得八十尺為下闊也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長九十五尺甲丁上闊與乙丙下闊相差乙戊與己丙共二十尺試將原積倍之成甲乙庚辛斜方形與壬乙庚癸長方形之積等故以甲戊長除壬乙庚癸長方形得乙庚為上下兩闊相和之数内減乙戊與己丙上下兩闊相差之較餘折半得戊己與甲丁等為上闊加乙戊與己丙上下兩闊相差之較得乙丙為下闊也設如方環形外周二百八十丈内周一百二十丈求面積幾何法以外周二百八十丈四歸之得七十丈自乗得四千九百丈又以内周一百二十丈四歸之得三十丈自乗得九百丈兩自乗数相減餘四千丈卽方環之面積也如圖甲乙丙丁外周二百八十丈四歸之得甲乙之一邊自乗得甲乙丙丁大方積戊己庚辛内周一百二十丈四歸之得戊己之一邊自乗得戊己庚辛小方積兩方積相減所餘即方環之面積也又法以外周二百八十丈自乗得七萬八千四百丈内周一百二十丈自乗得一萬四千四百丈兩數相減餘六萬四千丈以十六除之得四千丈即方環面積也前法將内外周各四歸之而得内外方邊故以内外方邊各自乗相減而得方環面積此法即以内外周各自乘相減以十六除之而得方環面積也葢内外周為内外方邊之四倍内外周自乘之積必比内外方邊自乘之積大十六倍(凡方邊大一倍則面積大四倍今方邊大四倍故面積大十六倍為)(隔一位相加之連比例也)是以兩周各自乗相減之餘積比兩方邊各自乘相減之餘積亦大十六倍也又有方環面積求外方邊至内方邊之闊則以外周二百八十丈與内周一百二十丈相加得四百丈折半得二百丈以除方環面積四千丈得二十丈即外方邊至内方邊之闊也如圖自方環内邊作壬癸子丑二線則甲乙癸壬子丑丙丁為外方邊與闊相乘之二長方壬戊辛子己癸丑庚為内方邊與闊相乘之二長方引而長之成寅夘辰己一長方其長即半外周與半内周之和其闊即外方邊至内方邊之闊故以外周與内周相併折半除方環面積而得外方邊至内方邊之闊也又法以内方邊三十丈與外方邊七十丈相減餘四十丈折半得二十丈亦即外方邊至内方邊之闊也如圖甲丁為外方邊減與戊辛内方邊相等之壬子餘甲壬與子丁折半得甲壬即方環之闊也設如方環面積四千尺闊二十尺求内外方邊各幾何法以闊二十尺自乘得四百尺四因之得一千六百尺與環積四千尺相減餘二千四百尺四歸之得六百尺以闊二十尺除之得三十尺即内方邊又以闊二十尺倍之得四十尺加内方邊三十尺得七十尺即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛方環形内減甲寅戊壬辰乙癸已子辛卯丁庚丑丙巳闊自乘之四正方餘寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛子巳癸丑庚四長方四歸之得寅辰已戊一長方其闊即方環之闊其長即方環内邊之長故以寅戊闊除之得戊己為内方邊也又法置環積四千尺以闊二十尺除之得二百尺四歸之得五十尺加闊二十尺得七十尺即外方邊於五十尺内減闊二十尺餘三十尺即内方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛方環積以闊除之即得壬癸子丑為内周外周相併折半之中數以四歸之即得壬癸一邊與戊寅等故加闊得外邊減闊得内邊也設如勾股形股三十六尺勾二十七尺今從上叚截勾股形積五十四尺問截長闊各幾何法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積五十四尺倍之得一百零八尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺即所截之闊既得所截之闊則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率所截之闊九尺為三率求得四率十二尺即所截之長也此法一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股三十六尺乙丙為勾二十七尺甲丁戊勾股形為截積五十四尺是故甲乙與乙丙之比應同於甲丁與丁戊之比然而無甲丁之數故將截積倍之為甲丁與丁戊相乘之長方則甲乙與乙丙之比必同於甲丁與丁戊相乘之長方與丁戊自乘之正方之比(葢截積倍之成)(己甲丁戊長方形丁戊自乘成庚丁戊辛正方形此二形為二平行線内直角)(方形其面之互相為比同於其底之互相為比見幾何原本八卷第七節)故開方而得丁戊為所截之闊又乙丙與甲乙之比即同於丁戊與甲丁之比而得甲丁為所截之長也若先求截長則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率倍截積一百零八尺為三率求得四率一百四十四尺開方得十二尺為所截之長葢乙丙與甲乙之比同於丁戊與甲丁之比亦必同於丁戊與甲丁相乘之長方與甲丁自乘之正方之比(截積倍之成甲丁戊己長方形甲丁自乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互)(相為比亦同於其底之互相為比也)故開方而得甲丁為所截之長也既得截長則用比例四率求之亦得所截之闊矣又法以勾二十七尺與股三十六尺相乘折半得勾股積四百八十六尺為一率所截之勾股形積五十四尺為二率勾二十七尺自乘得七百二十九尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺為三率則得四率一百四十四尺開方得十二尺為所截之長也如圖甲乙丙勾股形截甲丁戊勾股形積五十四尺此兩勾股形為同式形故甲乙丙勾股積與甲丁戊勾股積之比同於乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形與丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比亦必同於甲乙股自乗之癸子乙甲正方形與甲丁股自乗之丑寅丁甲正方形之比也設如勾股形股三十六尺勾二十七尺今從下叚截斜方形積四百三十二尺問截長及上闊各幾何法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積四百三十二尺倍之得八百六十四尺為三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内減所得四率六百四十八尺餘八十一尺開方得九尺為所截之上闊既得所截之上闊則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率所截之上闊九尺與勾二十七尺相減餘一十八尺為三率求得四率二十四尺即所截之長也此法亦係線與線為比面與面為比也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股三十六尺乙丙為勾二十七尺丁乙丙戊斜方形為截積四百三十二尺其甲乙與乙丙之比應同於戊己(即丁乙)與己丙之比然而無戊己之數故將截積倍之遂成戊己之長與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之長方形將此長方形為三率所得四率即丁戊乙丙上下兩闊之較(即己丙也)與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之長方形也(葢截積倍之成庚丁乙辛長方形己)(丙兩闊之較與两闊之和相乘成壬己丙癸長方形此二長方形同以兩闊之)(和為長故丁乙與己丙之比即如庚丁乙辛長方形與壬己丙癸長方形之比)(也)又己丙上下兩闊之較與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之積與丁戊乙丙上下兩闊之數各自乗相減之餘積等試依乙丙度作子丑寅卯一大正方形又依丁戊度作子辰巳午一小正方形兩正方形相減所餘為辰丑寅卯午巳磬折形引而長之遂成辰丑申未長方形其辰丑即上下兩闊之較其丑申即上下兩闊之和故所得四率長方形積與辰丑寅卯午巳磬折形之積等今於乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内減辰丑寅卯午巳磬折形所餘即丁戊自乘之子辰巳午小正方形故開方而得丁戊為所截之闊也既得所截之闊則以丁戊與乙丙相減餘巳丙而乙丙與甲乙之比卽同於己丙與戊己(卽丁乙)之比也又法以勾二十七尺與股三十六尺相乘折半得勾股積四百八十六尺内減從下叚所截之斜方積四百三十二尺餘五十四尺即為從上段所截之勾股形積依前法比例求之所得亦同設如三角形中長二十尺底闊一十五尺今從上段截三角形積五十四尺問截長闊各幾何法以底闊一十五尺為一率中長二十尺為二率截積五十四尺倍之得一百零八尺為三率求得四率一百四十四尺開方得一十二尺即所截之長既得所截之長則以中長二十尺為一率底闊十五尺為二率所截之長十二尺為三率求得四率九尺卽所截之闊也此法亦一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙三角形甲丁中長二十尺乙丙底闊十五尺甲戊己三角形為截積五十四尺是故乙丙與甲丁之比應同於戊己與甲庚之比然而無戊己之數故將截積倍之為戊己與甲庚相乘之長方則乙丙與甲丁之比必同於戊己與甲庚相乘之長方與甲庚自乘之正方之比故開方而得甲庚為所截之長又甲丁與乙丙之比同於甲庚與戊己之比而得戊己為所截之闊也若先求截闊則以中長二十尺為一率底闊一十五尺為二率倍截積一百零八尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊葢甲丁與乙丙之比同於甲庚與戊己之比亦同於甲庚與戊己相乘之長方與戊己自乘之正方之比故開方而得戊己為所截之闊也既得截闊則用比例四率求之亦得所截之長矣又法以底闊十五尺與中長二十尺相乘折半得三角積一百五十尺為一率所截之三角積五十四尺為二率以底闊十五尺自乘得二百二十五尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊若以中長二十尺自乘得四百尺為三率則得四率一百四十四尺開方得十二尺為所截之長也如圖甲乙丙三角形截甲戊己三角形積五十四尺此兩三角形為同式形故甲乙丙三角形積與甲戊己三角形積之比同於甲丁中長自乘之甲丁辛壬正方形與甲庚截長自乘之甲庚癸子正方形之比亦同於乙丙底闊自乘之乙丙丑寅正方形與戊己截闊自乘之戊巳卯辰正方形之比也設如三角形中長二十尺底闊十五尺今從下段截梯形積九十六尺問截長及上闊各幾何法以中長二十尺為一率底闊十五尺為二率截積九十六尺倍之得一百九十二尺為三率求得四率一百四十四尺乃以底闊十五尺自乘得二百二十五尺内減所得四率一百四十四尺餘八十一尺開方得九尺為所截之上闊既得所截之上闊則以底闊十五尺為一率中長二十尺為二率所截之上闊九尺與底闊十五尺相減餘六尺為三率求得四率八尺即所截下段之長也如圖甲乙丙三角形甲丁為中長二十尺乙丙為底闊十五尺戊乙丙己梯形為截積九十六尺戊己為所截之闊庚丁(與戊辛己壬等)為所截之長乙辛壬丙兩叚為截闊與底闊之較是故甲丁與乙丙之比應同於庚丁與乙辛壬丙兩段之比矣(葢甲丁與乙丁之比同於等庚丁之戊辛與乙辛之比又甲丁與丁)(丙之比同於等庚丁之己壬與壬丙之比合之則甲丁與乙丁丁丙兩叚之比)(亦同於庚丁與乙辛壬丙兩段之比也)但今無庚丁之數故將截積倍之遂成庚丁所截之長與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之長方形將此長方形為三率所得四率即乙辛壬丙上下兩闊之較與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之長方形也又乙辛壬丙上下兩闊之較與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之積與戊己乙丙上下兩闊之數各自乘相減之餘積等故以所得四率長方形積與乙丙自乘方積相減即餘戊己自乘方積開方而得戊己為所截之闊也既得戊己截闊則於乙丙底闊内減之餘乙辛壬丙而乙丙與甲丁之比又同於乙辛壬丙兩段與庚丁截長之比也又法以底闊十五尺與中長二十尺相乘折半得三角形積一百五十尺内減從下段所截之梯形積九十六尺餘五十四尺卽為從上段所截之三角形積依前法比例求之所得亦同設如不等邊兩直角斜方形長二十四尺上闊十二尺下闊二十尺今從上段截積一百六十八尺問截長闊各幾何法以長二十四尺為一率下闊二十尺内減上闊十二尺餘八尺為二率截積一百六十八尺倍之得三百三十六尺為三率求得四率一百一十二尺乃以上闊十二尺自乘得一百四十四尺與所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺開方得十六尺即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較八尺為一率長二十四尺為二率截闊十六尺内減上闊十二尺餘四尺為三率求得四率十二尺即所截之長也此法亦係一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙丁斜方形甲乙長二十四尺與丁戊等甲丁為上闊十二尺乙丙為下闊二十尺甲己庚丁斜方形為截積一百六十八尺是故丁戊與戊丙之比應同於丁辛與辛庚之比然而無丁辛之數故將截積倍之爲丁辛截長與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之長方形為三率所得四率即辛庚上中兩闊之較與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之長方形也又辛庚上中兩闊之較與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之積與甲丁己庚上中兩闊之數各自乘相減之餘積等試依己庚度作壬癸子丑一大正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形兩正方形相減所餘為寅癸子丑辰卯磬折形引而長之遂成寅癸巳午長方形其寅癸即上中兩闊之較其癸己即上中兩闊之和故所得四率長方形積與寅癸子丑辰卯磬折形之積等今於甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子丑辰卯磬折形即得巳庚自乘之壬癸子丑大正方形故開方而得已庚為所截之闊也既得所截之闊則以己庚與甲丁相減餘辛庚而戊丙與丁戊之比卽同於辛庚與丁辛之比也又法將斜方形增作勾股形算之以上闊十二尺與下闊二十尺相減餘八尺為一率長二十四尺為二率上闊十二尺為三率求得四率三十六尺為斜方形上所增小勾股形之股與斜方形之長二十四尺相加得六十尺為斜方形與所增小勾股形相併所成之大勾股形之股乃以上闊十二尺為小勾所得三十六尺為小股相乘得四百三十二尺折半得二百一十六尺為斜方形上所增之小勾股形積與截積一百六十八尺相加得三百八十四尺為所截之勾股形積乃用勾股形從上段截勾股積法算之而得所截之闊焉如圖甲乙丙丁斜方形增作勾股形為壬乙丙其上闊甲丁與下闊乙丙相減所餘為戊丙以戊丙與丁戊之比同於甲丁與壬甲之比得壬甲為小勾股形之股以壬甲與甲乙相加得壬乙為大勾股形之股又壬甲丁勾股形積與甲己庚丁斜方形截積相加得壬己庚勾股形積即壬乙丙大勾股形從上段截壬己庚勾股形積也設如不等邊兩直角斜方形長二十四尺上闊十二尺下闊二十尺今從下段截積二百一十六尺求截長闊各幾何法以長二十四尺為一率下闊二十尺内減上闊十二尺餘八尺為二率截積二百一十六尺倍之得四百三十二尺為三率求得四率一百四十四尺乃以下闊二十尺自乘得四百尺内減所得四率一百四十四尺餘二百五十六尺開方得一十六尺為所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較八尺為一率長二十四尺為二率下闊二十尺内減截闊十六尺餘四尺為三率求得四率十二尺即所截下段之長也此與勾股形從下叚截斜方形積之理同前法從上段截積所得四率為上闊與截闊各自乘相減之餘積上闊小而截闊大故以上闊自乘與所得四率相加開方而得截闊此法從下段截積所得四率為下闊與截闊各自乘相減之餘積下闊大而截闊小故以下闊自乘内減所得四率開方而得截闊也設如梯形長十二丈上闊五丈下闊十一丈今從上段截積二十四丈問截長闊各幾何法以長十二丈為一率上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為二率截積二十四丈倍之得四十八丈為三率求得四率二十四丈乃以上闊五丈自乘得二十五丈與所得四率二十四丈相加得四十九丈開方得七丈即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較六丈為一率長十二丈為二率截闊七丈内減上闊五丈餘二丈為三率求得四率四丈即所截之長也此法亦係一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長十二丈甲丁上闊五丈戊己庚辛俱相等乙丙下闊十一丈乙戊與己丙兩段為上下兩闊相減之較六丈甲壬癸丁小梯形為截積二十四丈是故甲戊總長與乙戊己丙上下兩闊之較之比應同於甲庚截長與壬庚辛癸上中兩闊之較之比然無甲庚之數故將截積倍之為甲庚截長與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之長方形為三率所得四率即壬庚辛癸上中兩闊之較與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之長方形也又壬庚辛癸上中兩闊之較與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之積與甲丁壬癸上中兩闊之數各自乘相減之餘積等故以所得四率長方形積與甲丁自乘方積相加即得壬癸自乗方積開方而得壬癸為所截之闊也既得壬癸截闊則以上下兩闊相減之乙戊己丙兩叚與甲戊總長之比卽同於上中兩闊相減之壬庚辛癸兩叚與甲庚截長之比矣又法將梯形增作三角形算之以上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為一率長十二丈為二率上闊五丈為三率求得四率十丈為梯形上所増小三角形之中長與梯形之長十二丈相加得二十二丈為梯形與所増小三角形相併所成之大三角形之中長乃以上闊五丈為底所得十丈為中長相乗得五十丈折半得二十五丈為梯形上所増之小三角形積與截積二十四丈相加得四十九丈為所截之三角形積乃用三角形從上段截三角積法算之而得所截之闊焉如圖甲乙丙丁梯形增作三角形為子乙丙其上闊甲丁與下闊乙丙相減所餘為乙戊己丙而乙戊己丙與甲戊之比即同於甲丁與子丑之比得子丑為小三角形之中長以子丑與等甲戊之丑寅相加得子寅為大三角形之中長又子甲丁三角形積與甲壬癸丁斜方形截積相加得子壬癸三角形積即子乙丙大三角形從上段截子壬癸三角形積也設如梯形長十二丈上闊五丈下闊十一丈今自下叚截積七十二丈問截長闊各幾何法以長十二丈為一率上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為二率以截積七十二丈倍之得一百四十四丈為三率求得四率七十二丈乃以下闊十一丈自乗得一百二十一丈内減所得四率七十二丈餘四十九丈開方得七丈即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較六丈為一率長十二丈為二率截闊七丈與下闊十一丈相減餘四丈為三率求得四率八丈即所截之長也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長十二丈甲丁上闊五丈與戊己等乙丙下闊十一丈乙戊與己丙兩段為上下兩闊相減之較六丈庚乙丙辛梯形為截積七十二丈是故甲戊總長與乙戊己丙上下兩闊之較之比應同於庚壬截長與乙壬癸丙中下兩闊之較之比然無庚壬之數故將截積倍之為庚壬截長與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之長方形為三率所得四率卽乙壬癸丙中下兩闊之較與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之長方形也又乙壬癸丙中下兩闊之較與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之積與庚辛乙丙中下兩闊之數各自乗相減之餘積等故以所得四率長方形積與乙丙自乗方積相減即餘庚辛自乗方積開方而得庚辛為所截之闊也設如梯形長一百二十尺上闊二十尺下闊八十尺今自一邊截勾股積四百五十尺問截長闊各幾何法以長一百二十尺為一率上闊二十尺與下闊八十尺相減餘六十尺折半得三十尺為二率截積四百五十尺倍之得九百尺為三率求得四率二百二十五尺開方得一十五尺為所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減折半之三十尺為一率長一百二十尺為二率截闊十五尺為三率求得四率六十尺為所截之長也如圖甲乙丙丁梯形甲丁上闊二十尺與戊己等乙丙下闊八十尺甲戊長一百二十尺乙戊為上下闊相減折半之三十尺庚乙辛為所截勾股積四百五十尺甲乙戊勾股形與庚乙辛勾股形為同式形故立算與勾股形從上段截勾股積之法相同也設如梯形長一百二十尺上闊四十尺下闊八十尺今自一邊截斜方形積四千二百尺問截上闊下闊各幾何法以上闊四十尺與下闊八十尺相減餘四十尺折半得二十尺為所截斜方形上闊與下闊之較又以截積四千二百尺倍之得八千四百尺以長一百二十尺餘之得七十尺為所截斜方形上闊與下闊之和内減上闊下闊之較二十尺餘五十尺折半得二十五尺為上闊加較二十尺得四十五尺為下闊也如圖甲乙丙丁梯形甲丁為上闊四十尺與戊己等乙丙為下闊八十尺甲戊為長一百二十尺甲乙辛庚為所截斜方形積四千二百尺倍之成壬癸辛庚長方形乙戊為所截斜方形上下兩闊之較今以甲戊長除壬癸辛庚長方積得癸辛為上下兩闊之和内減乙戊上下兩闊之較餘癸乙與戊辛折半得戊辛與甲庚等即所截斜方形之上闊加乙戊上下兩闊之較得乙辛即所截斜方形之下闊也設如三角形小腰邊二十丈大腰邊三十四丈底邊四十二丈面積三百三十六丈今欲平分面積一半與原三角形為同式形問所截三邊各幾何法以原面積三百三十六丈為一率原面積折半得一百六十八丈為二率底邊四十二丈自乗得一千七百六十四丈為三率求得四率八百八十二丈開方得二十九丈六尺九寸八分四釐八豪有餘為所截之底邊乃以全底邊四十二丈為一率大腰邊三十四丈為二率所截之底邊二十九丈六尺九寸八分四釐八豪有餘為三率求得四率二十四丈零四寸一分六釐二豪有餘為所截之大腰邊仍以全底邊四十二丈為一率小腰邊二十丈為二率所截之底邊二十九丈六尺九寸八分有餘為三率求得四率十四丈一尺四寸二分一釐三豪有餘即所截之小腰邊也如圖甲乙丙三角形平分面積一半成丁戊丙三角形此兩三角形既為同式形則甲乙丙三角形之面積與丁戊丙三角形之面積之比同於各邊各自乗之正方面積與所截各邊各自乗之正方面積之比故以甲乙丙三角形面積為一率丁戊丙三角形面積為二率乙丙底邊自乗如乙己庚丙正方面為三率所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面故開方得戊丙也既得戊丙則乙丙與甲丙之比同於戊丙與丁丙之比又乙丙與甲乙之比同於戊丙與丁戊之比俱為相當比例四率也若取原積三分之一或幾分之幾者則將其積以其分數歸之比例並同又法以乙丙邊四十二丈自乗折半開方即得戊丙邊甲丙邊自乗折半開方即得丁丙邊甲乙邊自乗折半開方即得丁戊邊此即面與面比線與線比之理也又法設全積為一尺半積為五十寸乃以五十寸開方得七寸零七釐一豪零六忽而以各邊之數乗之即得各邊所截之數葢全積為一尺其全邊亦為一尺半積為五十寸其截邊為七寸零七釐一豪零六忽今以一尺與全邊之比即同於七寸零七釐一豪零六忽與截邊之比又因一尺為一率故省一率之除止用乗而即得也若取幾分之一者皆倣此類推之設如大小兩正方面積共四百一十尺大正方邊比小正方邊多六尺問兩正方邊及面積各幾何法以兩正方面積共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺與倍共積八百二十尺相減餘七百八十四尺開方得二十八尺為大小兩正方邊之和加大正方比小正方每邊所多六尺得三十四尺折半得十七尺為大正方之邊内減六尺餘十一尺為小正方之邊以大正方邊十七尺自乗得二百八十九尺為大正方之面積以小正方邊十一尺自乗得一百二十一尺為小正方之面積也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙為兩正方邊之較試以兩正方之共積倍之則得甲辛壬庚一正方形仍餘癸子丙戊兩正方邊之較自乗之一正方形葢癸丑壬己正方形與甲乙丙丁正方形等乙辛丑子正方形與丁戊己庚正方形等其中疊一癸子丙戊正方形即戊丙較自乗之積故以戊丙較自乗與所倍共積相減即得甲辛壬庚正方形開方得甲庚為兩正方邊之和加較折半得丁丙為大正方邊内減戊丙較得丁戊為小正方邊既得方邊則各自乗即得各面積矣又法以兩正方邊之較六尺自乗得三十六尺與兩正方共積四百一十尺相減餘三百七十四尺折半得一百八十七尺為長方積以兩正方邊之較六尺為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊十一尺為小正方之邊加較六尺得十七尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙為兩正方邊之較以戊丙邊較自乗得辛壬丙戊一正方形與共積相減餘甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛長方形移於庚己子丑即戊甲癸子丑一長方形折半得丁戊子丑一長方形庚丑與戊丙等即長闊之較故用帶縱較數開方法算之得丁戊闊即小方邊加庚丑較得丁丑與丁丙等即大方邊也設如大小兩正方面積共六百一十七尺大小兩正方邊共三十五尺問大小兩正方邊及面積各幾何法以兩正方面積共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以兩正方邊共三十五尺自乗得一千二百二十五尺與倍共積一千二百三十四尺相減餘九尺開方得三尺為大小兩正方邊之較與共邊三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺為大正方之邊内減兩正方邊之較三尺餘十六尺為小正方之邊以大正方邊十九尺自乗得三百六十一尺為大正方之面積以小正方邊十六尺自乗得二百五十六尺為小正方之面積也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚為兩正方邊之和戊丙為兩正方邊之較試以兩正方之共積倍之則得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊較自乗之一正方形故以甲庚共邊自乗得甲辛壬庚正方形與倍共積相減卽餘癸子丙戊一小正方形開方得戊丙即兩正方邊之較與兩正方邊之和相加折半得丁丙為大正方邊内減戊丙較得丁戊為小正方邊旣得方邊則各自乗卽得各面積矣又法以兩正方邊之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内減兩正方共積六百一十七尺餘六百零八尺折半得三百零四尺為長方積以兩正方邊之和三十五尺為長闊和用帶縱和數開方法算之得闊十六尺為小正方之邊與共積三十五尺相減餘十九尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共邊自乗得壬癸子丑一正方形内減與甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又減與戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形餘壬寅辰午與辰卯子己二長方形折半得壬寅辰午一長方形其壬午長與甲乙大方邊等壬寅闊與戊己小方邊等兩正方之共邊卽長闊之和故用帶縱和數開方法算之得闊為小方邊得長為大方邊也設如大小兩正方形大正方邊比小正方邊多七尺大正方積比小正方積多三百四十三尺問大小兩正方邊各幾何法以大正方積比小正方積所多三百四十三尺用大正方邊比小正方邊所多七尺除之得四十九尺為大小兩正方邊之和加兩正方邊之較七尺得五十六尺折半得二十八尺為大正方之邊與共邊四十九尺相減餘二十一尺為小正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形試於甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形則壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之積引而長之成壬乙丑寅一長方形其壬乙闊即兩正方邊之較乙丑長卽兩正方邊之和故以壬乙兩正方邊之較除之得乙丑兩正方邊之和以乙丑與丁乙相加折半得乙丙為大正方形之邊將乙丙與乙丑共邊相減餘丙丑與子癸等卽戊己為小正方形之邊也設如大小兩正方形共邊三十一尺大正方積比小正方積多一百五十五尺問大小兩正方邊各幾何法以大正方積比小正方積所多一百五十五尺用共邊三十一尺除之得五尺為大小兩正方邊之較與共邊三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺為大正方之邊與共邊三十一尺相減餘十三尺為小正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形試於甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形則壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之積引而長之成壬乙丑寅長方形其乙丑長即兩正方邊之和其壬乙闊即兩正方邊之較故以乙丑兩正方邊之和除之得壬乙與乙丑相加折半得乙丙為大正方形之邊以乙丙與乙丑相減餘丙丑與子癸等即戊己為小正方形之邊也設如大小兩正方形共積一百三十尺大正方積比小正方積多三十二尺問大小兩正方邊各幾何法以大正方積比小正方積所多三十二尺與共積一百三十尺相減餘九十八尺折半得四十九尺為小正方之積開方得七尺為小正方之邊又以小正方積四十九尺與大正方積比小正方積多三十二尺相加得八十一尺為大正方之積開方得九尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形試於甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形則甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之積以此磬折形積與兩正方形之共積相減餘壬癸丙子與戊己庚辛兩小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故開方得戊己為小方邊又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形積與甲乙癸壬子丁磬折形積相加即得甲乙丙丁大正方形故開方得甲乙為大方邊也設如不等三正方形共積三百八十一尺大方邊比次方邊多三尺次方邊比小方邊多三尺問三方邊各幾何法以大方邊比次方邊所多三尺與次方邊比小方邊所多三尺相加得六尺為大方邊比小方邊所多之較自乗得二十六尺又以次方邊比小方邊所多三尺自乗得九尺兩數相併得四十五尺與共積三百八十一尺相減餘三百三十六尺三因之得一千零八尺為長方積以大方邊比小方邊多六尺倍之得十二尺又以次方邊比小方邊多三尺倍之得六尺兩數相併得十八尺為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊二十四尺三歸之得八尺為小正方形之邊加次方邊比小方邊多三尺得十一尺為次正方形之邊又加大方邊比次方邊多三尺得十四尺為大正方形之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小正方形試於甲乙丙丁大正方形内作與壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形則辰己即大正方邊比小正方邊所多之較又於戊己庚辛次正方形内作與壬癸子丑相等之午己未申小正方形則申酉即次正方邊比小正方邊所多之較以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得兩正方形之共積與三正方形之共積相減則餘寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四長方形又試將此所餘三小正方形及四長方形之積共作壬癸乾坎一長方形加三倍卽成艮癸乾震一大長方形其艮癸闊為壬癸小方邊之三倍與癸巽等巽乾卽長闊之較而巽離乃辰己與甲寅相併之數為大方邊比小方邊所多之較之二倍離乾乃申酉與戊午相併之數為次方邊比小方邊所多之較之二倍故以大方邊與小方邊之較倍之得巽離又以次方邊與小方邊之較亦倍之得離乾巽離與離乾相併得巽乾為長闊之較用帶縱較數開方法算之得艮癸闊三歸之得壬癸為小正方形之邊加次方邊比小方邊所多之較卽得次正方形之邊又加大方邊比次方邊所多之較卽得大正方形之邊也設如甲乙丙丁不等邊無直角四邊形甲乙邊十尺甲丁邊十七尺丁丙邊二十八尺乙丙邊三十五尺自丁角至乙角斜線二十一尺問面積幾何法以丁乙斜線分為甲乙丁丁乙丙兩三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀線八尺與乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺為甲乙丁三角形之面積又用丁乙丙三角形求得丁己垂線一十六尺八寸與乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺為丁乙丙三角形之面積以兩三角形之面積相併得三百七十八尺卽甲乙丙丁四邊形之面積也凡無法多邊形皆任以兩角作對角斜線分為幾三角形算之舊術四不等邊形分為兩段一為勾股形一為斜方形葢必有二平行線然後可算若此法非二平行線者則必分為丁己丙與丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然後可算不如分為兩三角形算之為簡㨗而密合也設如甲乙丙三角形面積三百八十四尺乙丙底邊二十二尺今自甲角將原積平分為二問每分底邊幾何法以乙丙底邊三十二尺折半得十六尺卽每分底邊之數也葢自甲至乙丙線上作甲戊垂線則甲丁乙甲丁丙兩三角形同以甲戊為髙即為二平行線内同底兩三角形其面積必等(見幾何原本三)(卷第十節)故甲丁乙甲丁丙兩三角形積為相等而各得甲乙丙三角形積之一半也如分三分或四分者倣此類推設如甲乙丙丁二平行線無直角四邊形甲乙邊八丈丙丁邊十二丈面積一百六十丈今將原積分為四分問每分截邊幾何法以甲乙八丈與丙丁十二丈相加得二十丈四歸之得五丈即每分所截之邊乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙線成甲戊丙三角形為第一分又從丙量至己得五丈自戊至己作戊己線成丙戊己三角形為第二分又從己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚線成己戊庚三角形為第三分又自庚至丁餘二丈自戊至乙餘三丈庚丁與戊乙相併亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即為第四分也葢甲乙與丙丁二線既為平行自乙至辛作乙辛垂線則三三角形與一斜方形同以乙辛為高其邊線既等則所得各形之面積亦必相等而各為四邊形面積之四分之一也設如甲乙丙丁戊不等邊無直角五邊形面積一十九丈九十八尺甲乙邊二丈五尺乙丙邊三丈九尺丙丁邊六丈丁戊邊一丈五尺甲戊邊四丈一尺自甲角至丙角斜線五丈六尺自甲角至丁角斜線五丈二尺今自甲角將面積平分為三分問截各邊幾何法以面積十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜線分為甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面積法求得甲乙丙三角形面積四丈二十尺甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面積二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊兩三角形面積俱不足一分所應得之數而甲丙丁三角形面積又過一分所應得之數故先以甲乙丙三角形面積四丈二十尺與每分所應得六丈六十六尺相減餘二丈四十六尺卽第一分應得甲乙丙三角形面積外又截甲丙丁三角形以補之之數乃以甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺為一率所應截之二丈四十六尺為二率丙丁邊六丈為三率求得四率一丈零九寸八分有餘為甲丙丁三角形補甲乙丙三角形分數之邊如丙己乃自甲至己作甲己線成甲乙丙己不等邊四邊形為第一分又以甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺為一率每分所應得六丈六十六尺為二率丙丁邊六丈為三率求得四率二丈九尺七寸三分有餘為甲丙丁三角形内應得一分之邊如己庚又自甲至庚作甲庚線成甲己庚三角形為第二分餘甲庚丁戊不等邊四邊形即第三分此三分之面積俱為相等也葢兩形同髙者其面積之比例同於其底邊之比例故以甲丙丁三角形面積與甲丙己三角形截積之比同於丙丁與丙己之比而得甲丙己三角形面積為二丈四十六尺與甲乙丙三角形面積四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面積與甲己庚三角形面積之比同於丙丁與己庚之比而得甲己庚三角形面積六丈六十六尺則所餘甲庚丁戊四邊形面積亦必為六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面積二丈三十四尺與每分六丈六十六尺相減餘四丈三十二尺卽甲庚丁三角形面積乃以甲丙丁三角形面積與甲庚丁三角形面積之比同於丙丁與庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有餘與丙己己庚相加得六丈以合丙丁原數也御製數理精蘊下編卷十九
## 下編卷二十
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十面部十曲線形曲線形設如圜徑一尺二寸問周幾何法用周徑定率比例以徑數一○○○○○○○○為一率周數三一四一五九二六五為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九釐九豪一絲一忽一微八纖卽所求之圜之周數也葢圜之數竒零不盡立法必自方數始是故圜内容形屢求勾股至億萬邊圜外切形屢求勾股至億萬邊内外凑集使圜周變為直線精密已極始為得之爰設圜徑為一而圜周得三一四一五九二六五有餘是為定率故以圜徑一與圜周三一四一五九二六五之比卽同於今所設之圜徑一尺二寸與今所得之圜周三尺七寸六分九釐九豪一絲一忽一㣲八纖之比也又周徑定率比例以徑數一一三為一率周數三五五為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九釐九豪一絲一忽五微有餘為圜之周數也葢以徑一周三一四一五九二六五之定率約之徑一一三周得三五四九九九九六九有餘進而為三五五則周數微大故今所得圜周亦微大然止在忽微之間耳又周徑定率比例以徑數七為一率周數二十二為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸七分一釐四豪二絲八忽五㣲七纖有餘為圜之周數也葢以徑一周三一四一五九二六五之定率約之徑七周得二一九九一一四八五有餘進而為二二則周數大而所得周數亦大至於舊術徑一圍三乃圜内容六等邊形之共度實小於圜之周線故徑一則圍三有餘圍三則徑一不足也設如圜周一丈五尺問徑幾何法用周徑定率比例以周數三一四一五九二六五為一率徑數一○○○○○○○○為二率今所設之圜周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四釐六豪四絲八忽二㣲有餘即所求之圜之徑數也葢前法有徑求周故以定率之徑與定率之周為比卽如今所設之徑與今所得之周為比此法有周求徑故以定率之周與定率之徑為比卽如今所設之周與今所得之徑為比也又周徑定率比例以周數一○○○○○○○○為一率徑數三一八三○九八八為二率今所設之圜周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四釐六豪四絲八忽二㣲為圜之徑數也葢圜周為三一四一五九二六五則圜徑為一○○○○○○○○若圜周為一○○○○○○○○則圜徑為三一八三○九八八其比例仍同也如以周數三五五為一率徑數一一三為二率今所設之圜周一丈五尺為三率亦得四率四尺七寸七分四釐六豪四絲七忽八微有餘為圜之徑數又或以周數二二為一率徑數七為二率今所設之圜周一丈五尺為三率則得四率四尺七寸七分二釐七豪二絲七忽二微有餘較之前法所得徑數稍小葢徑為七而周稍小於二二若周為二二徑必稍大於七今截而為七則徑數稍小故所得徑數亦稍小也設如圜徑八寸問面積幾何法以圜徑八寸用徑求周法求得圜周二尺五寸一分三釐二豪七絲四忽一微二纖折半得一尺二寸五分六釐六豪二絲七忽零六纖與半徑四寸相乘得五十寸二十六分五十四釐八十二豪有餘卽圜之面積也葢圜之半徑線若與直角三角形之小邊線度等而圜之周界又與直角三角形之大邊線度等則此直角三角形之面積與圜形之面積相等(見幾何原本四卷第二十一節)如甲乙丙丁圜形其戊丙半徑與己庚辛直角三角形之己庚小邊線度等而甲乙丙丁圜周界與己庚辛直角三角形之庚辛大邊線度等則此己庚辛三角形之面積即與甲乙丙丁圜形之面積相等是故以戊丙半徑相等之己庚與乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己長方形(癸壬庚己長方形積即與己庚辛三角形積等)卽為圜之面積也如以全周與全徑相乗則以四歸之亦得圜面積葢全徑為半徑之倍全周為半周之倍則全周全徑相乗之積必大於半周半徑相乗之積四倍為隔一位相加之比例故全周與全徑相乗以四歸之而得圜面積也又法用方邊圜徑相等方積圜積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所設之圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十六分五十四釐八十二豪有餘即圜之面積也此法葢因圜徑方邊相等圜積方積不同故以圜徑自乗作方積定為面與面之比例如子寅圜徑為一○○○○則其自乗之辰己午未正方積為一○○○○○○○○而圜徑一○○○○所得之子丑寅卯圜面積為七八五三九八一六故以子寅圜徑一○○○○自乗之辰己午未正方積一○○○○○○○○與子寅圜徑所得之子丑寅卯圜面積七八五三九八一六之比即同於今所設之甲丙圜徑八寸自乗之戊己庚辛正方積六十四寸與今所得之甲乙丙丁圜面積五十寸二十六分五十四釐八十二豪有餘之比也又法用圜積方積相等圜徑方邊不同之定率比例以圜徑一○○○○○○○○為一率方邊八八六二二六九二為二率今所設之圜徑八寸為三率求得四率七寸零八釐九豪八絲一忽五微四纖有餘為與圜面積相等之正方形每邊之數自乗得五十寸二十六分五十四釐八十二豪有餘即圜之面積也此法葢以圜積方積設為相等使圜徑與方邊不同先定為線與線之比例既得線而後自乗之為面也如子寅圜徑一○○○○○○○○其所得之積開方則得八八六二二六九二即為辰己午未正方之每邊是以子丑寅卯圜面積與辰己午未方面積為相等故子寅圜徑一○○○○○○○○與辰己方邊八八六二二六九二之比即同於今所設之甲丙圜徑八寸與今所得之戊己方邊七寸零八釐九豪八絲一忽五微四纖之比既得戊己方邊自乗得戊己庚辛方面積即與甲乙丙丁圜面積為相等也又法用方周圜周定率比例以方周數四五二為一率圜周數三五五為二率圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十六分五十四釐八十六豪有餘即圜之面積也此法葢因方周與圜周之比同於方積與圜積之比(見算法原本二卷第二十八節)如子丑圜徑為一一三則子丑圜周為三五五寅卯辰己正方邊與圜徑同亦為一一三則寅卯辰己方周為四五二(方邊一一三以四因之則得四五二)試以正方面之午丑半徑為高寅卯辰己方周為底作一午丑未申長方形則比寅卯辰己正方形之面積大一倍又以圜面之午丑半徑為高子丑圜周為底作一午丑酉戌長方形則比子丑圜形之面積亦大一倍此兩長方形同以午丑為高故此兩長方面積之比例必同於兩底邊丑未與丑酉之比例且全與全之比例又同於半與半之比例故方積與圜積之比例亦必同於兩底邊丑未與丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰己方周丑酉即子丑圜周故以方周四五二與圜周三五五之比即同於今所設之甲丙圜徑自乗之戊己庚辛正方積與今所得之甲乙丙丁圜面積之比也又法以十四分為一率十一分為二率圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十八分五十七釐一十四豪有餘為圜之面積也此法亦係方周與圜周之比同於方積與圜積之比葢圜徑七則圜周為二二半之得一一方邊七則方周為二八半之得一四故以十四分與十一分之比亦同於今所設圜徑自乗之方積與今所得圜面積之比也然所得之面積過大者因徑七圍二十二之定率其周既大故所得之圜積亦大也舊術圜積得方積四分之三求積則以圜徑自乗四分損一得圜積求徑則以圜積三分益一開方得圜徑此仍以徑一圍三立法故徑求積所得之數必小積求徑所得之數必大也設如圜周六尺六寸問面積幾何法以圜周六尺六寸用圜周求徑法求得圜徑二尺一寸零八豪四絲五忽二微有餘折半得一尺零五分零四豪二絲二忽六微有餘與半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四釐五十八豪有餘即圜之面積也又法用圜周方積與圜積定率比例以圜周方積一○○○○○○○○為一率圜積七九五七七四七為二率今所設之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸為三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四釐五十九豪有餘即圜之面積也此法葢以圜周自乗之正方積與圜積設為比例為面與面之比例也圜周為一○○○○則其自乗方積為一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面積為七九五七七四七有餘故以圜周一○○○○自乗之方積一○○○○○○○○與圜積七九五七七四七之比即同於今所設之圜周六尺六寸自乗之方積四十三尺五十六寸與今所得之圜面積三尺四十六寸六十三分九十四釐五十九豪有餘之比也舊術圜積為周自乗方積十二分之一有圜周求積則以圜周自乗以十二除之得圜積有圜積求周則將圜積以十二因之開方得圜周此仍以徑一圍三立法故周求積所得之數必大積求周所得之數必小也設如圜面積六尺一十六寸問徑幾何法用圜徑方邊相等圜積方積不同之定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十五釐五十六豪六十四絲為與圜徑相等之正方邊之正方面積開方得二尺八寸零五豪六絲有餘即圜之徑數也葢圜積為七八五三九八一六則方積為一○○○○○○○○若圜積為一○○○○○○○○則方積為一二七三二三九五四其比例仍同故以圜積一○○○○○○○○為一率者即如以圜積七八五三九八一六為一率而以方積一二七三二三九五四為二率者即如以方積一○○○○○○○○為二率也又法用圜積方積相等圜徑方邊不同之定率比例以方邊一○○○○○○○○為一率圜徑一一二八三七九一六為二率今所設之圜面積六尺一十六寸開方得二尺四寸八分一釐九豪三絲四忽有餘為三率求得四率二尺八寸零五豪六絲二忽有餘即圜之徑數也此法亦以圜積方積設為相等使圜徑與方邊不同故以圜面積開方得方邊為線與線之比例葢方邊為八八六二二六九二則圜徑為一○○○○○○○○若方邊為一○○○○○○○○則圜徑為一一二八三七九一六其比例仍同故以方邊一○○○○○○○○為一率者即如以方邊八八六二二六九二為一率而以圜徑一一二八三七九一六為二率者即如以圜徑一○○○○○○○○為二率也又法用圜周方周定率比例以圜周三五五為一率方周四五二為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四釐九十二豪九十五絲有餘開方亦得二尺八寸零五豪六絲有餘為圜之徑數也又法以十一分為一率十四分為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸開方得二尺八寸為圜之徑數也葢徑七圍二十二之定率其徑既小則方周與方積亦皆小故開方所得之圜徑亦小也設如圜面積六尺一十六寸問周幾何法以圜面積六尺一十六寸用圜積求徑法求得圜徑二尺八寸零五豪六絲有餘又用圜徑求周法求得八尺七寸九分八釐二豪二絲有餘即圜之周數也又法用圜積與圜周方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率圜周方積一二五六六三七○六二為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七十七尺四十寸八十八分四十三釐零一豪有餘開方得八尺七寸九分八釐二豪有餘即圜之周數也葢圜積為七九五七七四七則圜周自乗方積為一○○○○○○○○若圜積為一○○○○○○○○則圜周自乗方積為一二五六六三七○六二其比例仍同故以圜積一○○○○○○○○與圜周自乗方積一二五六六三七○六二之比即同於今所設之圜面積六尺一十六寸與今所得之圜周自乗方積七十七尺四十寸八十八分四十三釐零一豪之比既得圜周自乗方積開方即得圜周也設如撱圜形(一音鴨蛋形)大徑九尺小徑六尺問面積幾何法以大徑九尺與小徑六尺相乗得五十四尺為長方積乃用方邊圜徑相等方積圜積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所得之大小徑相乗之長方積五十四尺為三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪即撱圜形之面積也葢圜面積與撱圜面積之比同於圜外所切之正方形積與撱圜形外所切之長方積之比(見幾何原本八卷第十二節)則圜外所切之正方形積與圜面積之比亦必同於撱圜形外所切之長方形積與撱圜面積之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大徑九尺乙丁小徑六尺以大徑與小徑相乗遂成戊己庚辛長方形此長方形積與撱圜形積之比即同於正方積與圜積之比故以定率之方積數為一率圜積數為二率今所得之大小徑相乗之長方積為三率求得四率為撱圜形之面積也設如撱圜形面積四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪大徑九尺問小徑幾何法用圜徑方邊相等圜積方積不同之定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所設之撱圜形面積四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪為三率求得四率五十四尺為長方積以大徑九尺除之得六尺即撱圜形之小徑也葢方面積與圜面積之比既同於長方面積與撱圜形面積之比則圜面積與方面積之比亦必同於撱圜形面積與長方面積之比也如甲乙丙丁撱圜形用定率比例而得戊己庚辛長方形其戊己長與甲丙大徑等其己庚闊與乙丁小徑等故以大徑除之得小徑也如有小徑求大徑則以所得長方積用小徑除之而得大徑也設如圓環形外周二十一尺三寸内周七尺一寸闊二尺二寸六分求面積幾何法以外周二十一尺三寸與内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得一十四尺二寸以闊二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圓環形之面積也如圖甲乙丙丁圓環形甲乙外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一寸甲丙與丁乙皆二尺二寸六分試依甲乙大圜之戊乙半徑度與甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形其己庚小邊與甲乙大圜之戊乙半徑等庚辛大邊與大圜之周界等則己庚辛直角三角形之面積與甲乙大圜之面積等又依丙丁小圜之戊丁半徑截己庚辛三角形之己庚小邊於壬又依丙丁小圜周度作壬癸線與庚辛平行則成己壬癸一小直角三角形其面積與丙丁小圜之面積等如於己庚辛大三角形内減己壬癸小三角形所餘癸辛庚壬斜尖方形之面積必與甲乙丙丁圓環形之面積等矣故如斜尖方形求積法以如丙丁内周之壬癸與如甲乙外周之庚辛相加折半得丑庚而以如丁乙闊之壬庚乗之得子丑庚壬一長方形與癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圓環形之面積也設如圓環形外徑二尺四寸内徑一尺二寸求面積幾何法以外徑二尺四寸求得周七尺五寸三分九釐八豪二絲有餘又以内徑一尺二寸求得周三尺七寸六分九釐九豪一絲有餘乃以内徑一尺二寸與外徑二尺四寸相減餘一尺二寸折半得六寸為圓環形之闊依前法算之得三尺三十九寸二十九分二十釐有餘為圓環形之面積也又法以外徑二尺四寸自乗得五尺七十六寸又以内徑一尺二寸自乗得一尺四十四寸兩數相減餘四尺三十二寸為方環面積乃用方積圜積定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所得之方環面積四尺三十二寸為三率求得四率三尺三十九寸二十九分二十釐有餘即圓環形之面積也此法葢以方環圓環為比例即如用方積圜積定率為比例也分而言之則外徑自乗與外大圜面積為比内徑自乗與内小圜面積為比既得兩圜面積相減始為圓環面積今以内外徑各自乗相減即用方積圜積定率比例是合兩比例而為一比例也設如圓環形外周六尺六寸内周二尺二寸求面積幾何法以外周六尺六寸求得徑二尺一寸零八豪四絲有餘又以内周二尺二寸求得徑七寸零二豪八絲有餘兩徑相減餘一尺四寸零五豪六絲有餘折半得七寸零二豪八絲有餘為圓環形之闊依前法算之得三尺零八寸一十二分三十二釐有餘即圓環形之面積也又法以外周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸内周二尺二寸自乗得四尺八十四寸兩數相減餘三十八尺七十二寸乃用圜周方積與圜積定率比例以圜周方積一○○○○○○○○為一率圜積七九五七七四七為二率兩周自乗相減之餘三十八尺七十二寸為三率求得四率三尺零八寸一十二分三十九釐有餘即圓環形之面積也此法葢以兩圜周自乗相減之餘積與圓環積為比例卽如用圜周方積圜積定率為比例也分而言之則外周自乗與外大圜面積為比内周自乗與内小圜面積為比既得兩圜面積相減始為圓環面積今以内外周各自乗相減即用圜周方積圜積定率比例是合兩比例而為一比例也設如圓環形面積四百六十二尺闊七尺求内外徑各幾何法以闊七尺除圓環面積四百六十二尺得六十六尺即内外周相併折半之數為中周乃以周求徑法求得徑二十一尺零八釐四豪五絲有餘為内外徑相併折半之數為中徑加闊七尺得二十八尺零八釐四豪五絲有餘卽外徑中徑内減闊七尺餘一十四尺零八釐四豪五絲有餘即内徑也如圖甲乙丙丁圓環形其面積四百六十二尺甲丙與丁乙皆七尺先所得之中周六十六尺為戊己周次所得之中徑二十一尺零八釐四豪五絲有餘為戊己徑其甲戊與戊丙等丁己與己乙等故甲戊與己乙兩段戊丙與丁己兩段皆與丁乙及甲丙闊度等是以於中徑内加闊得外徑減闊得内徑也又法先用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率圓環積四百六十二尺為三率求得四率五百八十八尺二十三寸六十六分六十七釐有餘為方環積乃以闊七尺自乗得四十九尺以四因之得一百九十六尺與所得之方環積相減餘三百九十二尺二十三寸六十六分六十七釐有餘四歸之得九十八尺零五寸九十一分六十六釐有餘以闊七尺除之得一十四尺零八釐四豪五絲有餘為内圜徑加倍闊十四尺得二十八尺零八釐四豪五絲有餘為外圜徑也此法葢以圓環積變為方環積卽如前法方環積變為圓環積也如甲乙丙丁圓環形變為戊己庚辛壬癸子丑方環形内減戊寅壬辰卯已巳癸子午庚酉未丑申辛闊自乗之四正方形餘寅卯癸壬癸巳午子丑子酉申辰壬丑未四長方形四歸之餘寅卯癸壬一長方形以寅壬闊除之得壬癸長與丙丁内徑等加甲丙與丁乙得甲乙即外徑也設如圓環形面積三百零八尺闊七尺求内外周各幾何法以闊七尺除圓環面積三百零八尺得四十四尺為内外周相併折半之數為中周又用徑求周法以徑數一○○○○○○○○為一率周數三一四一五九二六五為二率闊七尺為三率求得四率二十一尺九寸九分一釐一豪四絲有餘為内外周相減折半之數為半較乃以半較二十一尺九寸九分一釐一豪四絲有餘與中周四十四尺相加得六十五尺九寸九分一釐一豪四絲有餘卽外周數以半較二十一尺九寸九分一釐一豪四絲有餘與中周四十四尺相減餘二十二尺零八釐八豪六絲有餘即内周數也如圖甲乙丙丁圓環形其面積三百零八尺丁乙闊七尺試依甲乙大圜之戊乙半徑度與甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形則己庚辛三角形之面積與甲乙大圜之面積等又依丙丁小圜之戊丁半徑截己庚辛三角形之己庚小邊於壬又依丙丁小圜周度作壬癸線與庚辛平行則成己壬癸一小直角之三角形積乃與丙丁小圜之面積等如於己庚辛大三角形内減己壬癸小三角形所餘癸辛庚壬斜尖方形之面積必與甲乙丙丁圓環面積等矣而癸辛庚壬斜尖方形積又與子丑庚壬長方形積等故以如丁乙闊之壬庚除之得丑庚為内外周相併折半之中周數又以寅庚全徑與庚辛全周之比同於丁乙圓環闊(與子)(丑等)與辛丑半較之比葢丁乙為内外徑相減折半之較辛丑即内外周相減折半之較為相當比例四率也既得辛丑與丑卯等即辛庚外周大於丑庚中周之較亦即癸壬内周(與卯庚等)小於丑庚中周之較故於中周加半較得外周減半較得内周也設如圓環形面積三尺三十六寸内周一尺一寸求外周及闊各幾何法以内周一尺一寸用周求徑法求得内徑三寸五分零一豪有餘又用周徑求積法求得内周圜面積九寸六十二分七十七釐五十豪有餘與圓環積三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七釐五十豪有餘即外周圓面積乃用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之外周圜面積三尺四十五寸六十二分七十七釐五十豪有餘為三率求得四率四尺四十寸零六分六十九釐一十七豪有餘為外徑自乗之方積開方得二尺零九分七釐七豪有餘即外徑減去内徑三寸五分零一豪餘一尺七寸四分七釐六豪折半得八寸七分三釐八豪即圓環形之闊又用徑求周法求得周六尺五寸九分零一豪有餘即外周數也設如圓環形面積三百八十四尺外周八十八尺求内周及闊各幾何法以外周八十八尺用周求徑法求得外徑二十八尺零一分一釐二豪有餘又用周徑求積法求得外周圜面積六百一十六尺二十四寸六十四分有餘内減去圓環積三百八十四尺餘二百三十二尺二十四寸六十四分有餘為内周圜面積乃用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之内周圜面積二百三十二尺二十四寸六十四分為三率求得四率二百九十五尺七十寸五十二分九十九釐五十豪有餘即内徑自乗之方積開方得一十七尺一寸九分六釐有餘即内徑與外徑二十八尺零一分一釐二豪相減餘一十尺八寸一分五釐二豪有餘折半得五尺四寸零七釐六豪即圓環形之闊又用徑求周法求得周五十四尺零二分二釐八豪有餘即内周數也設如圜徑一尺二寸今截弧矢形一段矢闊二寸四分求弦長幾何法以矢闊二寸四分為首率圜徑一尺二寸内減矢闊二寸四分餘九寸六分為末率首率末率相乗得二十三寸零四分開方得四寸八分為中率倍之得九寸六分即弧矢形之弦數也如圖甲乙圜徑一尺二寸截甲丙丁弧矢形其甲戊為矢闊二寸四分試自甲至丙作甲丙線自丙至乙作丙乙線遂成甲丙乙直角三角形而丙戊半弦即為其垂線故所截甲戊為首率戊乙為末率求得丙戊為中率(見幾何原本九卷第二節並見勾股卷定勾股)(無零數法中)倍之得丙丁即弧矢形之弦也又法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為弦矢闊二寸四分與半徑六寸相減餘三寸六分為勾求得股四寸八分倍之得九寸六分得弧矢形之弦數也如圖甲乙圜徑一尺二寸折半得甲己半徑六寸與丙己等為弦又於甲己半徑六寸内減甲戊矢闊二寸四分餘戊己三寸六分為勾求得丙戊股倍之得丙丁為弧矢形之弦也設如圜徑一 尺七寸今截弧矢形一段弦長一尺五寸求矢闊幾何法以弦長一尺五寸折半得半弦七寸五分自乗得五十六寸二十五分為長方積以圜徑一尺七寸為長闊和用帶縱和數開方法算之得闊四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸截甲丙丁弧矢形其丙丁為弦長一尺五寸自甲至丙自丙至乙作二線成甲丙乙直角三角形而丙戊為垂線故甲戊為首率戊乙為末率丙戊為中率中率自乗之正方與首率末率相乗之長方等今以丙丁弦折半得半弦丙戊自乗即與甲戊矢為闊戊乙截徑為長相乗之長方等故以甲乙為長闊和求得甲戊闊即矢也又法以圜徑一尺七寸折半得八寸五分為弦以弦長一尺五寸折半得七寸五分為股求得勾四寸與半徑八寸五分相減餘四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸折半得丙己半徑八寸五分為弦丙丁弦一尺五寸折半得丙戊七寸五分為股求得戊己勾與甲己半徑相減餘甲戊卽矢之闊也又法以圜徑一尺七寸為弦弧弦一尺五寸為股求得勾八寸與圜徑一尺七寸相減餘九寸折半得四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸與丁庚等如自丙至庚作丙庚線則成丁丙庚直角三角形故以丁庚為弦丙丁為股求得丙庚勾與戊辛等以戊辛與甲乙全徑相減餘甲戊與辛乙兩叚折半卽得甲戊為矢之闊也設如弧矢形弦長一尺二寸矢闊四寸求圜徑幾何法以矢闊四寸為首率弦長一尺二寸折半得六寸為中率乃以中率六寸自乗用首率四寸除之得九寸為圜之截徑加矢闊四寸得一尺三寸卽圜之徑數也如圖甲乙丙丁弧矢形甲丙弦長一尺二寸丁乙矢闊四寸試繼甲丁丙弧作一全圜(法見幾何原本十一卷十三節)將丁乙矢線引長作丁戊全徑線又自甲至丁作甲丁線自甲至戊作甲戊線遂成丁甲戊直角三角形而甲乙半弦即為其中垂線故丁乙矢為首率乙戊截徑為末率而甲乙半弦即為中率故丁乙與甲乙之比同於甲乙與乙戊之比而得乙戊截徑加丁乙矢卽得丁戊為圜之全徑也設如弧矢形弦長八尺矢闊二尺求面積幾何法先用弧矢形有弦矢求圜徑法求得圜之全徑十尺折半得半徑五尺為一率半弦四尺為二率以半徑十萬為三率求得四率八萬為正弦數撿八線表得五十三度零七分四十九秒為半弧之度分倍之得一百零六度一十五分三十八秒為全弧之度分乃以全圜三百六十度化作一百二十九萬六千秒為一率全弧一百零六度十五分三十八秒化作三十八萬二千五百三十八秒為二率全徑十尺求得全周三十一尺四寸一分五釐九豪二絲有餘為三率求得四率九尺二寸七分二釐九豪八絲有餘為全弧之數與半徑五尺相乗得四十六尺三十六寸四十九分折半得二十三尺一十八寸二十四分五十釐為自圜心所分弧背三角形積又於半徑五尺内減矢二尺餘三尺與弦八尺相乗得二十四尺折半得十二尺為自圜心至弦所分直線三角形積與弧背三角形積二十三尺一十八寸二十四分五十釐相減餘一十一尺一十八寸二十四分五十釐即弧矢形之面積也如圖甲乙丙丁弧矢形甲丙弦長八尺丁乙矢闊二尺甲乙為半弦四尺試繼此弧作一全圜求得丁戊全徑(解見)(前)折半得己丁半徑既得半徑而甲乙半弦又即為甲丁半弧之正弦故比例得正弦數撿表而得甲丁半弧之度分倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙丁全圜之度分與甲丁丙全弧之度分之比同於甲戊丙丁全周之尺寸與甲丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全弧之數與己丁半徑相乘折半即得甲己丙丁弧背三角形之面積又於丁己半徑内減丁乙矢餘乙己為截半徑與甲丙弦相乘折半得甲己丙直線三角形面積與甲己丙丁弧背三角形面積相減餘即甲乙丙丁弧矢形之面積也設如圜形截弧矢一段所截弧度一百二十度弧界長二尺二寸求圜徑及弦長矢闊各幾何法以截弧一百二十度為一率全圜三百六十度為二率截弧二尺二寸為三率求得四率六尺六寸為圜之周數用圜周求徑法求得圜徑二尺一寸零八豪四絲有餘乃以半徑十萬為一率截弧一百二十度折半得六十度查正弦得八萬六千六百零三倍之得一十七萬三千二百零六即一百二十度之通弦為二率今所得之圜徑二尺一寸零八豪四絲有餘折半得一尺零五分零四豪二絲有餘為三率求得四率一尺八寸一分九釐三豪九絲有餘卽弧矢形之弦數又以半徑十萬為一率六十度之餘弦五萬與半徑十萬相減餘五萬卽六十度之正矢為二率今所得之半徑一尺零五分零四豪二絲有餘為三率求得四率五寸二分五釐二豪一絲有餘即弧矢形之矢數也如圖甲乙丙丁圜形截甲乙戊丁弧矢形一段知乙甲丁弧一百二十度又知乙甲丁弧界為二尺二寸求甲丙全徑及乙丁弦甲戊矢則以乙甲丁弧一百二十度與甲乙丙丁全圜三百六十度之比卽同於乙甲丁弧界二尺二寸與甲乙丙丁全圜界六尺六寸之比也旣得全周求得甲丙全徑折半於己心自己至乙作己乙半徑線則乙戊卽如六十度之正弦乙丁卽如一百二十度之通弦甲戊即如六十度之正矢故以半徑十萬與一百二十度之通弦一十七萬三千二百零六之比卽同於己乙半徑一尺零五分零四豪二絲有餘與乙丁全弦一尺八寸一分九釐三豪九絲有餘之比又半徑十萬與六十度之正矢五萬之比卽同於己乙半徑與甲戊矢五寸二分五釐二豪一絲有餘之比也設如圜形截弧矢一段任自弧界一處對圜心至弦作一斜線長一尺二寸將全弦分為大小兩段大段長一尺八寸小段長一尺六寸問圜徑幾何法以所作之斜線一尺二寸為一率截弦小段一尺六寸為二率大段一尺八寸為三率求得四率二尺四寸為自截弦處過圜心至圜對界之線將此線與所作之斜線一尺二寸相加得三尺六寸卽圜徑也如圖甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自圜界甲對圜心戊至乙丁弦上作甲己斜線將乙丁弦分為乙己己丁兩段乙己小段一尺六寸己丁大段一尺八寸試將甲己斜線引長過圜心至圜對界丙作甲丙線又自甲至乙作甲乙線復自丁至丙作丁丙線遂成甲己乙丁己丙兩同式三角形(乙角)(對甲丁弧丙角亦對甲丁弧甲角對乙丙弧丁角亦對乙丙弧兩己角為對角)(故兩三角形為同式形也)故以甲己與乙己之比即同於己丁與己丙之比既得己丙與甲己相加卽得甲丙為圜徑也設如圜形截弧矢一段任自弧界一處至弦作一垂線長一尺二寸將全弦分為大小兩段其大段長三尺小段長一尺問圜徑幾何法以所作垂線一尺二寸為一率截弦小段一尺為二率大段三尺為三率求得四率二尺五寸為自截弦處至圜對界之直線乃以此線與所作之垂線一尺二寸相加得三尺七寸為股以截弦小段一尺與大段三尺相減餘二尺為勾求得弦四尺二寸卽圜徑也如圖甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自弧界甲至乙丁弦上作甲戊垂線長一尺二寸將乙丁弦分為乙戊戊丁兩叚乙戊小段一尺戊丁大叚三尺試將甲戊垂線引長至圜對界丙作甲丙線又自甲至乙作甲乙線復自丁至丙作丁丙線遂成甲戊乙丁戊丙兩同式三角形(乙角對甲丁弧丙角亦對甲丁弧甲角對乙丙弧丁角亦對乙丙弧兩戊角俱)(為直角故兩三角形為同式形也)故以甲戊與戊乙之比同於丁戊與戊丙之比既得戊丙與甲戊相加即得甲丙又以乙戊(同己丁)與戊丁相減餘戊己與甲庚等乃自甲至庚作甲庚線與乙丁平行則甲角為直角必立於圜界之一半又自庚至丙作庚丙線則又成庚甲丙勾股形故以庚甲為勾甲丙為股求得庚丙弦即圜徑也設如一大圜形内容四小圜形但知大圜形徑一尺二寸求小圜形徑幾何法以大圜形徑一尺二寸自乘倍之開方得一尺六寸九分七釐零五絲有餘内減大圜形徑一尺二寸餘四寸九分七釐零五絲有餘即小圜形徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形試切甲大圜形界作己庚辛壬正方形其方邊即大圜形全徑用方邊求斜弦法求得壬庚己辛兩斜弦即成己甲壬己甲庚庚甲辛壬甲辛四勾股形内各容一小圜形而四方邊遂為四勾股形之各弦兩斜弦各折半遂各為四勾股形之各勾股任取一勾股和減弦即得容圜全徑也(觧見勾股容圜法中)設如一大圜形内容四小圜形但知小圜形徑五寸求大圜形徑幾何法以小圜形徑五寸自乘倍之開方得七寸零七釐一豪有餘加小圜形徑五寸得一尺二寸零七釐一豪有餘即大圜形徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形試連四小圜形中心作乙丙丙丁丁戊戊乙四線遂成乙丙丁戊一正方形用方邊求斜弦法求得乙丁斜弦加己乙與丁庚兩半徑(即一小圜形之全徑)即得己庚大圜形全徑也設如一大圜形内容三小圜形但知大圜形徑一尺二寸求内容小圜形徑幾何法以大圜形徑一尺二寸求得外切三角形之每邊為二尺零七分八釐四豪六絲有餘乃以大圜形徑一尺二寸為三角形之兩腰半徑六寸為中埀線用三角形容圜法求得容圜半徑二寸七分八釐四豪六絲有餘倍之得五寸五分六釐九豪二絲有餘卽小圜形全徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁三小圜形試求外切甲大圜界戊己庚三角形自圜心甲至戊己庚三角各作一分角線皆與圜之全徑等卽成戊甲己己甲庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形故任以兩全徑為兩腰一半徑為中垂線用三角形容圜法算之卽得一小圜徑也設如一大圜形内容三小圜形但知小圜形徑五寸求大圜形徑幾何法以小圜形徑五寸為等邊三角形之每一邊用等邊三角形求外切圜形全徑法求得外切圜徑五寸七分七釐三豪五絲有餘加小圜全徑五寸得一尺零七分七釐三豪五絲有餘卽大圜形全徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁三小圜形試連三小圜形中心作乙丙乙丁丙丁三線遂成乙丙丁等邊三角形其毎邊皆與小圜全徑等又切乙丙丁三角作一圜形用等邊三角形求外切圜形全徑法(解見三角形卷)求得乙戊徑線加己乙與戊庚兩半徑(即一小圜形之全徑)卽得己庚大圜形全徑也御製數理精蘊下編卷二十
## 下編卷二十一
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷二十一面部十一圜内容各等邊形圜外切各等邊形圜内容各等邊形設如圜徑一尺二寸求内容三等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲有餘為圜内容三等邊形之每一邊爰以三等邊形之每一邊為弦每一邊折半為勾求得股九寸或以圜徑一尺二寸取其四分之三亦得九寸為圜内容三等邊形之中垂線乃以每一邊之一尺零三分九釐二豪三絲有餘與中垂線九寸相乘得九十三寸五十三分零七釐有餘折半得四十六寸七十六分五十三釐有餘即圜内容三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁三等邊形試自丁至乙作丁乙線即圜内容六等邊形之每一邊與丁戊半徑等甲乙全徑丁乙半徑與甲丁邊遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全徑為弦丁乙半徑為勾求得甲丁股即圜内容三等邊形之每一邊也其甲己中垂線即甲丁弦己丁勾所求之股又為圜徑四分之三既得一邊又得中垂線即如三角形求面積法算之而得圜内容三等邊形之面積也又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半徑十萬為一率六十度之正弦八萬六千六百零三為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸一分九釐六豪一絲八忽倍之得一尺零三分九釐二豪三絲六忽為圜内容三等邊形之每一邊既得每一邊之數乃取圜徑四分之三為中垂線與每一邊之數相乘折半得四十六寸七十六分五十六釐有餘即圜内容三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁三等邊形每一邊之弧皆一百二十度試將甲丙邊折半於戊自圜心己作己戊庚半徑線遂平分甲丙弧於庚則甲庚弧為六十度甲戊即六十度之正弦甲丙即一百二十度之通弦是故半徑十萬與六十度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲戊之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容三等邊形之毎一邊八六六○二五四○為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率一尺零三分九釐二豪三絲有餘即圜内容三等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容三等邊形之面積三二四七五九五三為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率四十六寸七十六分五十三釐有餘即圜内容三等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容三等邊形之面積四一三四九六六七為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率四十六寸七十六分五十三釐有餘即圜内容三等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容四等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸自乘得三十六寸倍之得七十二寸開方得八寸四分八釐五豪二絲八忽有餘為圜内容四等邊形之每一邊其半徑自乘倍之所得七十二寸即圜内容四等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙乙丁四等邊形試自圜心戊至丁角作戊丁半徑線遂成甲戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同為半徑一為勾一即為股故止以半徑自乘倍之開方而得甲丁弦即圜内容四等邊形之每一邊也每一邊自乘是仍為半徑自乘倍之之數即圜内容四等邊形之面積也又法以全圜三百六十度四分之每分得九十度折半得四十五度乃以半徑十萬為一率四十五度之正弦七萬零七百一十一為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率四寸二分四釐二豪六絲六忽倍之得八寸四分八釐五豪三絲二忽為圜内容四等邊形之毎一邊既得每一邊之數即以毎一邊自乘得七十二寸即圜内容四等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙乙丁四等邊形每一邊之弧皆九十度試將甲丙邊折半於戊自圜心己作己戊庚半徑線遂平分甲丙弧於庚則甲庚弧為四十五度甲戊即四十五度之正弦甲丙即九十度之通弦是故半徑十萬與四十五度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲戊之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容四等邊形之毎一邊七○七一○六七八為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率八寸四分八釐五豪二絲八忽有餘即圜内容四等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容四等邊形之面積五○○○○○○○為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率七十二寸即圜内容四等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容四等邊形之面積六三六六一九七七為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率七十二寸即圜内容四等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容五等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為首率用連比例三率有首率求中率末率使中率末率相加與首率等之法求得中率三寸七分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊形之每一邊(詳見割圜卷中)乃以所得中率與半徑首率相減餘二寸二分九釐一豪八絲為末率折半得一寸一分四釐五豪九絲為半末率即以此半末率為勾中率為弦求得股三寸五分二釐六豪七絲一忽有餘倍之得七寸零五釐三豪四絲二忽有餘為圜内容五等邊形之每一邊又以中率與半末率相加得四寸八分五釐四豪一絲有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十七寸一十一分九十釐有餘五因之得八十五寸五十九分五十釐有餘即圜内容五等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己五等邊形試自圜心庚至每角各作一半徑線即分五等邊形為五三角形又自乙至戊作乙戊線即圜内容十等邊形之每一邊庚乙庚戊半徑與乙戊邊遂成庚乙戊三角形又依乙戊線度截庚乙半徑於辛作戊辛線則又成戊辛乙三角形與庚乙戊三角形為同式形故庚乙為首率乙戊戊辛俱為中率辛乙為末率辛壬與壬乙俱為半末率是以壬乙半末率為勾乙戊中率為弦求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五等邊形之毎一邊又以庚辛中率與辛壬半末率相加得庚壬中垂線用三角形求面積法算之得庚丁戊一三角形面積五倍之而得圜内容五等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半徑十萬為一率三十六度之正弦五萬八千七百七十九為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率三寸五分二釐六豪七絲四忽倍之得七寸零五釐三豪四絲八忽為圜内容五等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率三十六度之餘弦八萬零九百零二為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率四寸八分五釐四豪一絲二忽為自圜心至每一邊之中垂線與毎一邊折半之數相乘五因之得八十五寸五十九分六十釐有餘為圜内容五等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己五等邊形每一邊之弧皆七十二度試將甲丙邊折半於庚自圜心辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙弧於壬則甲壬弧為三十六度甲庚即三十六度之正弦甲丙即七十二度之通弦辛庚即三十六度之餘弦是故半徑十萬與三十六度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲庚之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與三十六度之餘弦之比即如所設之半徑六寸與辛庚中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容五等邊形之每一邊五八七七八五二五為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率七寸零五釐三豪四絲二忽有餘即圜内容五等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容五等邊形之面積五九四四一○三一為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率八十五寸五十九分五十釐有餘即圜内容五等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容五等邊形之面積七五六八二六七二為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率八十五寸五十九分五十釐有餘即圜内容五等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容六等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸即圜内容六等邊形之每一邊爰以半徑六寸為弦毎一邊折半得三寸為勾求得股五寸一分九釐六豪一絲五忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十五寸五十八分八十四釐有餘六因之得九十三寸五十三分零四釐有餘即圜内容六等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等邊形其每一邊皆六寸與半徑等試自圜心庚至每角各作一半徑線即分六等邊形為六三角形以甲庚半徑為弦甲丙一邊折半得甲辛為勾求得股為庚辛中垂線用三角形求面積法算之得甲丙庚一三角形之面積六倍之而得圜内容六等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度六分之每分得六十度折半得三十度乃以半徑十萬為一率三十度之正弦五萬為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率三寸倍之得六寸為圜内容六等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率三十度之餘弦八萬六千六百零三為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸一分九釐六豪一絲八忽為自圜心至每一邊之中垂線與每一邊折半之數相乘六因之得九十三寸五十三分一十二釐有餘為圜内容六等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等邊形每一邊之弧皆六十度試將甲丙邊折半於庚自圜心辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙弧於壬則甲壬弧為三十度甲庚即三十度之正弦甲丙即六十度之通弦辛庚即三十度之餘弦是故半徑十萬與三十度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲庚之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與三十度之餘弦之比即如所設之半徑六寸與辛庚中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容六等邊形之每一邊五○○○○○○○為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率六寸即圜内容六等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容六等邊形之面積六四九五一九○五為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率九十三寸五十三分零七釐有餘即圜内容六等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容六等邊形之面積八二六九九三三四為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率九十三寸五十三分零七釐有餘即圜内容六等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容七等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為一率用連比例四率有一率求二率三率四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率等之法求得二率二寸六分七釐零二絲五忽有餘為圜内容十四等邊形之每一邊(詳見割圜卷中)乃以半徑六寸為底仍以半徑六寸與十四等邊形之毎一邊二寸六分七釐零二絲五忽有餘為兩腰用三角形求中垂線法算之得二寸六分零三豪三絲有餘倍之得五寸二分零六豪六絲有餘為圜内容七等邊形之每一邊爰以半徑六寸為弦七等邊形之每一邊折半為勾求得股五寸四分零五豪八絲一忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十四寸零七分二十九釐有餘七因之得九十八寸五十一分零三釐有餘即圜内容七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等邊形試自圜心壬至毎角各作一半徑線即分七等邊形為七三角形又自戊至乙作戊乙線即圜内容十四等邊形之毎一邊壬乙壬戊半徑與戊乙邊遂成壬戊乙三角形故以壬乙半徑為底壬戊半徑與戊乙十四等邊形之每一邊為兩腰求得戊癸垂線倍之得戊己即圜内容七等邊形之每一邊也又壬戊為弦戊癸為勾求得股為壬癸中垂線用三角形求面積法算之得壬戊己一三角形之面積七倍之而得圜内容七等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有餘折半得二十五度四十二分五十一秒有餘乃以半徑十萬為一率二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦四萬三千三百八十八為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸六分零三豪二絲八忽倍之得五寸二分零六豪五絲六忽為圜内容七等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦九萬零九十七為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸四分零五豪八絲二忽為自圜心至每一邊之中垂線與每一邊折半之數相乘七因之得九十八寸五十分九十六釐有餘為圜内容七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等邊形每一邊之弧皆五十一度二十五分四十二秒有餘試將甲丙邊折半於壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分甲丙弧於子則甲子弧為二十五度四十二分五十一秒有餘甲壬即二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦甲丙即五十一度二十五分四十二秒有餘之通弦癸壬即二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦是故半徑十萬與二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦之比即如所設之半徑六寸與癸壬中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容七等邊形之每一邊四三三八八三七四為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率五寸二分零六豪六絲有餘即圜内容七等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容七等邊形之面積六八四一○二五四為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率九十八寸五十一分零七釐有餘即圜内容七等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容七等邊形之面積八七一○二六四一為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率九十八寸五十一分零七釐有餘即圜内容七等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容八等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸求得圜内容四等邊形之每一邊為八寸四分八釐五毫二絲八忽有餘折半得四寸二分四釐二毫六絲四忽有餘為股又以四邊之半四寸二分四釐二豪六絲四忽有餘與半徑六寸相減餘一寸七分五釐七毫三絲六忽有餘為勾求得弦四寸五分九釐二豪一絲九忽有餘為圜内容八等邊形之毎一邊爰以半徑六寸為弦八等邊形之毎一邊折半得二寸二分九釐六豪零九忽有餘為勾求得股五寸五分四釐三豪二絲八忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十二寸七十二分七十八釐有餘八因之得一尺零一寸八十二分二十四釐有餘即圜内容八等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等邊形先求得圜内容四等邊形之毎一邊為戊己折半得戊壬與癸壬等為股以癸壬與癸乙半徑相減餘壬乙為勾求得戊乙弦為圜内容八等邊形之每一邊試自圜心至每角各作一半徑線即分八等邊形為八三角形以癸乙半徑為弦戊乙折半得子乙為勾求得股為癸子中垂線用三角形求面積法算之得癸戊乙一三角形之面積八倍之而得圜内容八等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半徑十萬為一率二十二度三十分之正弦三萬八千二百六十八為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸二分九釐六豪零八忽倍之得四寸五分九釐二豪一絲六忽為圜内容八等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率二十二度三十分之餘弦九萬二千三百八十八為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸五分四釐三豪二絲八忽為自圜心至毎一邊之中垂線與毎一邊折半之數相乘八因之得一尺零一寸八十二分二十四釐有餘為圜内容八等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等邊形毎一邊之弧皆四十五度試將甲丙邊折半於壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分甲丙弧於子則甲子弧為二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正弦甲丙即四十五度之通弦癸壬即二十二度三十分之餘弦是故半徑十萬與二十二度三十分之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與二十二度三十分之餘弦之比即如所設之半徑六寸與癸壬中垂線之比也乂用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容八等邊形之毎一邊三八二六八三四三為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率四寸五分九釐二豪二絲有餘即圜内容八等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容八等邊形之面積七○七一○六七八為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三釐有餘即圜内容八等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容八等邊形之面積九○○三一六三一為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三釐有餘即圜内容八等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容九等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為一率用連比例四率有一率求二率三率四率使一率與四率相加與二率三倍等之法求得二率二寸零八釐三豪七絲七忽有餘為圜内容十八等邊形之每一邊(詳見割圜卷中)乃以半徑六寸為底仍以半徑六寸與圜内容十八等邊形之毎一邊二寸零八釐三豪七絲七忽有餘為兩腰用三角形求中垂線法算之得二寸零五釐二豪一絲一忽有餘倍之得四寸一分零四豪二絲二忽有餘即圜内容九等邊形之毎一邊爰以半徑六寸為弦九等邊形之毎一邊折半為勾求得股五寸六分三釐八豪一絲五忽有餘為自圜心至毎一邊之中垂線乃以毎一邊折半之數與中垂線相乘得一十一寸五十七分零一釐有餘九因之得一尺零四寸一十三分零九釐有餘即圜内容九等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等邊形試自圜心子至每角各作一半徑線即分九等邊形為九三角形又自己至乙作己乙線即圜内容十八等邊形之毎一邊子乙子己半徑與己乙邊遂成子己乙三角形故以子乙半徑為底子己半徑與己乙十八等邊形之毎一邊為兩腰求得己丑垂線倍之得己庚為圜内容九等邊形之每一邊也又子己為弦己丑為勾求得股為子丑中垂線用三角形求面積法算之得子己庚一三角形之面積九倍之而得圜内容九等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度乃以半徑十萬為一率二十度之正弦三萬四千二百零二為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸零五釐二豪一絲二忽倍之得四寸一分零四豪二絲四忽為圜内容九等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率二十度之餘弦九萬三千九百六十九為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸六分三釐八豪一絲四忽為自圜心至毎一邊之中垂線與毎一邊折半之數相乘九因之得一尺零四寸一十三分零九釐有餘為圜内容九等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等邊形毎一邊之弧皆四十度試將甲丙邊折半於子自圜心丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧於寅則甲寅弧為二十度甲子即二十度之正弦甲丙即四十度之通弦丑子即二十度之餘弦是故半徑十萬與二十度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲子之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與二十度之餘弦之比即如所設之半徑六寸與丑子中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容九等邊形之毎一邊三四二○二○一四為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率四寸一分零四豪二絲四忽有餘即圜内容九等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容九等邊形之面積七二三一三六○六為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五釐有餘即圜内容九等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容九等邊形之面積九二○七二五四二為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五釐有餘即圜内容九等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容十等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為首率用連比例三率有首率求中率末率使中率末率相加與首率等之法求得中率三寸七分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊形之每一邊(詳見割圜卷中)爰以半徑六寸為弦十等邊形之每一邊折半得一寸八分五釐四豪一絲有餘為勾求得股五寸七分零六豪三絲三忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十寸五十八分零一釐有餘十因之得一尺零五寸八十分一十釐有餘即圜内容十等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等邊形其子乙半徑為首率己乙每一邊為中率其毎一邊皆三寸七分零八豪二絲有餘試自圜心子至每角各作一半徑線即分十等邊形為十三角形以子乙半徑為弦己乙折半得丑乙為勾求得股為子丑中垂線用三角形求面積法算之得子己乙一三角形之面積十倍之而得圜内容十等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度十分之毎分得三十六度折半得十八度乃以半徑十萬為一率十八度之正弦三萬零九百零二為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率一寸八分五釐四豪一絲二忽倍之得三寸七分零八豪二絲四忽為圜内容十等邊形之毎一邊次以半徑十萬為一率十八度之餘弦九萬五千一百零六為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸七分零六豪三絲六忽為自圜心至毎一邊之中垂線與每一邊折半之數相乘十因之得一尺零五寸八十分二十七釐有餘為圜内容十等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等邊形每一邊之弧皆三十六度試將甲丙邊折半於子自圜心丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧於寅則甲寅弧為十八度甲子即十八度之正弦甲丙即三十六度之通弦丑子即十八度之餘弦是故半徑十萬與十八度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲子之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與十八度之餘弦之比即如所設之半徑六寸與丑子中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容十等邊形之每一邊三○九○一六九九為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三寸七分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容十等邊形之面積七三四七三一五六為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺零五寸八十分一十三釐有餘即圜内容十等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容十等邊形之面積九三五四八九二八為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺零五寸八十分一十三釐有餘即圜内容十等邊形之面積也圜外切各等邊形設如圜徑一尺二寸求外切三等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲有餘倍之得二尺零七分八釐四豪六絲有餘為圜外切三等邊形之毎一邊爰以三等邊形之每一邊為弦毎一邊折半為勾求得股一尺八寸或以半徑六寸三倍之得一尺八寸為圜外切三等邊形之中垂線乃以每一邊之二尺零七分八釐四豪六絲有餘與中垂線一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十二分二十八釐有餘折半得一尺八十七寸零六分一十四釐有餘即圜外切三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊三等邊形試將丙丁邊折半於己自圜心庚作庚己半徑線則成丙巳庚三角形其丙庚巳角為六十度丙巳庚角為九十度庚丙巳角為三十度又自甲至己作甲己線為圜内容六等邊形之每一邊則又成甲己庚甲己丙兩三角形其甲己庚三角形之甲己庚角為六十度故甲己丙三角形之甲己丙角為三十度而甲丙己角亦為三十度則丙甲與甲己皆與半徑等矣故丙庚即全徑為弦庚己即半徑為勾求得丙己股倍之得丙丁為圜外切三等邊形之每一邊也又丙甲既與半徑等則丙乙中垂線為半徑之三倍用三角形求面積法算之而得圜外切三等邊形之面積也又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半徑十萬為一率六十度之正切一十七萬三千二百零五為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率一尺零三分九釐二豪三絲倍之得二尺零七分八釐四豪六絲為圜外切三等邊形之毎一邊也既得三等邊形之每一邊乃以半徑三因之與毎一邊之數相乘折半得一尺八十七寸零六分一十四釐為圜外切三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊三等邊形每一邊之弧皆一百二十度試將丙丁邊折半於己自圜心庚作庚己半徑線則甲己弧為六十度丙己即六十度之正切丙丁即六十度正切之倍是故半徑十萬與六十度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙己之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切三等邊形之每一邊一七三二○五○八○為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率二尺零七分八釐四豪六絲即圜外切三等邊形之每一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切三等邊形之面積一二九九○三八一○為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四釐有餘即圜外切三等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切三等邊形之面積一六五三九八六六九為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四釐有餘即圜外切三等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切四等邊形之每一邊及面積幾何法因圜徑一尺二寸即外切四等邊形之毎一邊自乘得一尺四十四寸即圜外切四等邊形之面積故他法皆不設止存一題以備體焉設如圜徑一尺二寸求外切五等邊形之毎一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為首率用連比例三率有首率求中率之法求得中率三寸七分零八豪二絲有餘倍之得七寸四分一釐六豪四絲有餘為自圜心至外切五等邊形各角之分角線乃以分角線為弦圜之半徑為股求得勾四寸三分五釐九豪二絲四忽有餘倍之得八寸七分一釐八豪四絲八忽有餘為圜外切五等邊形之每一邊爰以每一邊之八寸七分一釐八豪四絲八忽有餘與半徑六寸相乘得五十二寸三十一分零八釐有餘折半得二十六寸一十五分五十四釐有餘五因之得一尺三十寸七十七分七十二釐有餘即圜外切五等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚五等邊形以辛乙半徑為首率(即理分中末線之全分)則自圜心至角之辛己分角線為倍中率(即倍理分中末線之大分)何以知之試自丙角至戊己二角作丙戊丙己兩角相對斜線成丙戊己三角形復自戊角至庚角作戊庚兩角相對斜線截丙己斜線於壬又成戊己壬三角形與丙戊己三角形為同式形(戊己壬三角形之戊角當)(巳庚邊與戊巳邊等故戊己壬三角形之戊角與丙戊己三角形之丙角等又)(同用一巳角則其餘一角亦必等故為同式形)而丙戊為首率(即理分中末線之全分)戊己為中率(即理分中末線之大分)己壬為末率(即理分中末線之小分)丙壬亦與戊己等為中率乃自壬至丙戊線作壬癸垂線平分丙戊邊於癸遂成丙癸壬勾股形與辛乙己勾股形為同式形(辛乙己勾)(股形之辛角當乙己邊為戊己邊之半故辛乙巳勾股之辛角與丙癸壬勾股)(之丙角等癸角與乙角又同為直角則其餘一角亦必等故為同式形)夫丙戊既為首率丙壬既為中率若以丙戊之半丙癸為首率則丙壬之半丙子亦為中率而丙壬即為倍中率丙癸壬勾股形與辛乙巳勾股形既為同式形則辛乙己勾股形之辛乙股與辛己弦之比必同於丙癸壬勾股形之丙癸股與丙壬弦之比是以辛乙半徑為首率則辛己分角線亦即為倍中率也既得辛己分角線乃以辛己分角線為弦辛乙半徑為股求得乙己勾倍之得戊己即圜外切五等邊形之毎一邊也又自圜心至各角作分角線即分五等邊形為五三角形其辛乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切五等邊形之每一邊與半徑相乘折半得辛戊巳一三角形之面積五倍之而得圜外切五等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半徑十萬為一率三十六度之正切七萬二千六百五十四為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率四寸三分五釐九豪二絲四忽倍之得八寸七分一釐八豪四絲八忽為圜外切五等邊形之毎一邊既得五等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊之數相乘折半五因之得一尺三十寸七十七分七十二釐為圜外切五等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚五等邊形每一邊之弧皆七十二度試將丙丁邊折半於辛自圜心壬作壬辛半徑線又作壬丙分角線割圜界於甲則甲辛弧為三十六度丙辛即三十六度之正切丙丁即三十六度正切之倍是故半徑十萬與三十六度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙辛之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切五等邊形之每一邊七二六五四二五二為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率八寸七分一釐八豪五絲一忽有餘即圜外切五等邊形之每一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切五等邊形之面積九○八一七八一六為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六釐有餘即圜外切五等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切五等邊形之面積一一五六三二八三四為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六釐即圜外切五等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切六等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸自乘得三十六寸三歸四因得四十八寸開方得六寸九分二釐八豪二絲有餘即圜外切六等邊形之毎一邊乃以毎一邊之六寸九分二釐八豪二絲有餘與半徑六寸相乘得四十一寸五十六分九十二釐有餘折半得二十寸七十八分四十六釐有餘六因之得一尺二十四寸七十分七十六釐有餘即圜外切六等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等邊形試自圜心至各角作分角線即分六等邊形為六三角形其壬乙半徑即每一三角形之中垂線而中垂線自乘之方為每邊自乘之方之四分之三故以半徑自乘三歸四因開方即得圜外切六等邊形之每一邊也既得毎一邊與半徑相乘折半得壬戊己一三角形之面積六倍之而得圜外切六等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度六分之毎分得六十度折半得三十度乃以半徑十萬為一率三十度之正切五萬七千七百三十五為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率三寸四分六釐四豪一絲倍之得六寸九分二釐八豪二絲為圜外切六等邊形之毎一邊既得六等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊之數相乘折半六因之得一尺二十四寸七十分七十六釐為圜外切六等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛六等邊形毎一邊之弧皆六十度試將丙丁邊折半於壬自圜心癸作癸壬半徑線又作癸丙分角線割圜界於子則子壬弧為三十度丙壬即三十度之正切丙丁即三十度正切之倍是故半徑十萬與三十度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切六等邊形之每一邊五七七三五○二七為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率六寸九分二釐八豪二絲有餘即圜外切六等邊形之毎一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切六等邊形之面積八六六○二五四○為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六釐有餘即圜外切六等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切六等邊形之面積一一○二六五七八一為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六釐有餘即圜外切六等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切七等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸求得内容七等邊形之每一邊為五寸二分零六豪六絲有餘又求得自圜心至每一邊之中垂線為五寸四分零五豪八絲一忽有餘乃以中垂線之數為一率每一邊之數為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸七分七釐八豪八絲九忽有餘為圜外切七等邊形之每一邊爰以每一邊之五寸七分七釐八豪八絲九忽有餘與半徑六寸相乘得三十四寸六十七分三十三釐有餘折半得一十七寸三十三分六十六釐有餘七因之得一尺二十一寸三十五分六十二釐有餘即圜外切七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等邊形先求得圜内容七等邊形之毎一邊為癸子又求得圜心至每一邊之中垂線為丑寅以丑寅與癸子之比即同於丑乙與巳庚之比為相當比例四率也又自圜心至各角作分角線即分七等邊形為七三角形其丑乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切七等邊形之每一邊與半徑相乘折半得丑己庚一三角形之面積七倍之而得圜外切七等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有餘折半得二十五度四十二分五十一秒有餘乃以半徑十萬為一率二十五度四十二分五十一秒之正切四萬八千一百五十七為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸八分八釐九毫四絲二忽有餘倍之得五寸七分七釐八毫八絲四忽有餘為圜外切七等邊形之每一邊既得七等邊形之每一邊乃以半徑與每一邊之數相乘折半七因之得一尺二十一寸三十五分五十六釐有餘為圜外切七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等邊形每一邊之弧皆五十一度二十五分四十二秒有餘試將丙丁邊折半於癸自圜心子作子癸半徑線又作子丙分角線割圜界於甲則甲癸弧為二十五度四十二分五十一秒有餘丙癸即二十五度四十二分五十一秒有餘之正切丙丁即二十五度四十二分五十一秒有餘之正切之倍是故半徑十萬與二十五度四十二分五十一秒有餘之正切之比即如所設之半徑六寸與丙癸之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切七等邊形之毎一邊四八一五七四六二為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率五寸七分七釐八豪八絲九忽有餘即圜外切七等邊形之每一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切七等邊形之面積八四二七五五五八為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八釐有餘即圜外切七等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切七等邊形之面積一○七三○二九七四為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八釐有餘即圜外切七等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切八等邊形之毎一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸開方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽有餘内減圜徑一尺二寸餘四寸九分七釐零五絲六忽有餘即圜外切八等邊形之毎一邊乃以每一邊之四寸九分七釐零五絲六忽有餘與半徑六寸相乘得二十九寸八十二分三十三釐有餘折半得一十四寸九十一分一十六釐有餘八因之得一尺一十九寸二十九分二十八釐有餘即圜外切八等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形試依甲乙圜徑度作子丑寅夘正方形又作子寅對角斜線於子寅對角斜線内減與甲乙圜徑相等之辰己餘子辰巳寅兩段即與圜外切八等邊形之丙丁一邊相等也何則丙子丁勾股形因子寅斜線平分為子辰丙子辰丁兩勾股形與原形為同式形(子辰丙勾股形之辰角與丙子丁勾股形之子)(角同為直角又同用一丙角其餘一角必等故為同式形)丙子既與子丁等子辰必與丙辰等而為丙丁之一半則子辰巳寅兩段亦必與丙丁一邊等故以圜徑自乘倍之開方而得對角斜線於斜線内減圜徑即圜外切八等邊形之毎一邊也又自圜心至各角作分角線即分八等邊形為八三角形其午乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切八等邊形之每一邊與半徑相乘折半得午己庚一三角形之面積八倍之而得圜外切八等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半徑十萬為一率二十二度三十分之正切四萬一千四百二十一為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸四分八釐五豪二絲六忽倍之得四寸九分七釐零五絲二忽為圜外切八等邊形之毎一邊既得八等邊形之每一邊乃以半徑與每一邊之數相乘折半八因之得一尺一十九寸二十九分二十四釐有餘為圜外切八等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形每一邊之弧皆四十五度試將丙丁邊折半於子自圜心五作丑子半徑線又作丑丙分角線割圜界於寅則寅子弧為二十二度三十分丙子即二十二度三十分之正切丙丁即二十二度三十分之正切之倍是故半徑十萬與二十二度三十分之正切之比即如所設之半徑六寸與丙子之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切八等邊形之毎一邊四一四二一三五六為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率四寸九分七釐零五絲六忽有餘即圜外切八等邊形之毎一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切八等邊形之面積八二八四二七一二為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五釐有餘即圜外切八等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切八等邊形之面積一○五四七八六一七為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五釐有餘即圜外切八等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切九等邊形之毎一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸求得内容九等邊形之毎一邊為四寸一分零四豪二絲二忽有餘又求得自圜心至毎一邊之中垂線為五寸六分三釐八豪一絲五忽有餘乃以中垂線之數為一率毎一邊之數為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率四寸三分六釐七豪六絲二忽有餘為圜外切九等邊形之毎一邊爰以毎一邊之四寸三分六釐七豪六絲二忽有餘與半徑六寸相乘得二十六寸二十分五十七釐有餘折半得一十三寸一十分二十八釐有餘九因之得一尺一十七寸九十二分五十七釐有餘即圜外切九等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等邊形先求得圜内容九等邊形之每一邊為丑寅又求得圜心至每一邊之中垂線為夘辰以卯辰與丑寅之比即同於卯乙與庚辛之比為相當比例四率也又自圜心至各角作分角線即分九等邊形為九三角形其卯乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切九等邊形之毎一邊與半徑相乘折半得卯庚辛一三角形之面積九倍之而得圜外切九等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度九分之毎分得四十度折半得二十度乃以半徑十萬為一率二十度之正切三萬六千三百九十七為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸一分八釐三豪八絲二忽倍之得四寸三分六釐七豪六絲四忽為圜外切九等邊形之每一邊既得九等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊之數相乘折半九因之得一尺一十七寸九十二分六十二釐有餘為圜外切九等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等邊形每一邊之弧皆四十度試將丙丁邊折半於丑自圜心寅作寅丑半徑線又作寅丙分角線割圜界於甲則甲丑弧為二十度丙丑即二十度之正切丙丁即二十度之正切之倍是故半徑十萬與二十度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙丑之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切九等邊形之每一邊三六三九七○二四為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率四寸三分六釐七豪六絲四忽有餘即圜外切九等邊形之每一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切九等邊形之面積八一八九三三○三為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十三釐有餘即圜外切九等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切九等邊形之面積一○四二六九七九一為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十五釐有餘即圜外切九等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切十等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸求得内容十等邊形之毎一邊為三寸七分零八豪二絲有餘又求得自圜心至每一邊之中垂線為五寸七分零六豪三絲三忽有餘乃以中垂線之數為一率每一邊之數為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率三寸八分九釐九豪零三忽有餘為圜外切十等邊形之毎一邊爰以毎一邊之三寸八分九釐九豪零三忽有餘與半徑六寸相乘得二十三寸三十九分四十一釐有餘折半得一十一寸六十九分七十釐有餘十因之得一尺一十六寸九十七分一十二釐有餘即圜外切十等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子丑十等邊形先求得圜内容十等邊形之毎一邊為寅卯又求得圜心至每一邊之中垂線為辰巳以辰巳與寅卯之比即同於辰乙與庚辛之比為相當比例四率也又自圜心至各角作分角線即分十等邊形為十三角形其辰乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切十等邊形之每一邊與半徑相乘折半得辰庚辛一三角形之面積十倍之而得圜外切十等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度乃以半徑十萬為一率十八度之正切三萬二千四百九十二為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率一寸九分四釐九豪五絲二忽倍之得三寸八分九釐九豪零四忽為圜外切十等邊形之每一邊既得十等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊之數相乘折半十因之得一尺一十六寸九十七分一十二釐為圜外切十等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛壬癸子丑十等邊形毎一邊之弧皆三十六度試將丙丁邊折半於寅自圜心卯作卯寅半徑線又作卯丙分角線割圜界於辰則辰寅弧為十八度丙寅即十八度之正切丙丁即十八度之正切之倍是故半徑十萬與十八度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙寅之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切十等邊形之每一邊三二四九一九七○為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三寸八分九釐九豪零三忽有餘即圜外切十等邊形之每一邊也乂用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切十等邊形之面積八一二二九九二四為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺一十六寸九十七分一十釐有餘即圜外切十等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切十等邊形之面積一○三四二五一五二為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺一十六寸九十七分一十釐有餘即圜外切十等邊形之面積也御製數理精藴下編卷二十一
## 下編卷二十二
欽定四庫全書御製數理精藴卷二十二面部十二各等邊形更面形各等邊形設如五等邊形每邊一尺二寸問面積㡬何法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度爰以三十六度之正弦五萬八千七百七十九為一率半徑十萬為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺零二分零七豪七絲二忽有餘為五等邊形外切圜之半徑或用求圜内容五等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容五等邊形之每邊五八七七八五二五為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺零四分一釐五豪六絲一忽有餘折半得一尺零二分零七豪八絲有餘為五等邊形外切圜之半徑乃以此半徑為弦五等邊形之每邊折半為勾求得股八寸二分五釐八豪二絲七忽有餘為五等邊形之中心至每邊正中之垂線或以三十六度之正弦五萬八千七百七十九為一率三十六度之餘弦八萬零九百零二為二率今所設之五等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率八寸二分五釐八豪二絲五忽有餘為五等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得四十九寸五十四分九十釐有餘五因之得二尺四十七寸七十四分五十釐有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為七十二度將甲乙邊折半於己自圜心庚作庚己辛半徑線遂平分甲乙弧於辛則甲辛弧為三十六度甲己即三十六度之正弦庚己即三十六度之餘弦是故三十六度之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲己與所得之半徑甲庚之比又三十六度之正弦與三十六度之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲己與所得之垂線庚己之比也(此即圜内容五等邊形之法而轉用之也)又法以三十六度之正切七萬二千六百五十四為一率半徑十萬為二率今所設之五等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率八寸二分五釐八豪三絲二忽有餘為五等邊形内容圜之半徑或用求圜外切五等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切五等邊形之每邊七二六五四二五二為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺六寸五分一釐六豪五絲八忽有餘折半得八寸二分五釐八豪二絲九忽有餘為五等邊形内容圜之半徑即五等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十七釐有餘為五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形試作一内容圜形自甲角過圜心己作甲己庚線遂平分丙丁邊於庚則丙庚即三十六度之正切故以三十六度之正切與半徑十萬之比同於今所設之每邊之半丙庚與所得之内容圜半徑己庚之比也(此即圜外切五等邊形之法而轉用之也)又法用連比例三率有中率求末率之法以每邊一尺二寸為中率求得末率七寸四分一釐六豪四絲有餘(中率求末率即)(如首率求中率也)乃以末率與中率相加得一尺九寸四分一釐六豪四絲有餘為首率即五等邊形兩角相對之斜線乃以此斜線為弦每邊之半為勾求得股一尺八寸四方六釐六豪零九忽有餘為五等邊形中心至每邊正中之垂線與分角線之和(即五等邊形自一角至每邊正中之垂線)復以此垂線為首率每邊之半為中率求得末率一寸九分四釐九豪五絲二忽為五等邊形中心至每邊正中之垂線與分角線之較乃以此較數與先所得和數相加得二尺零四分一釐五豪六絲一忽有餘折半得一尺零二分零七豪八絲有餘為五等邊形之分角線(即五等邊)(形外切圜之半徑)仍以此較數與先所得和數相減得一尺六寸五分一釐六豪五絲七忽有餘折半得八寸二分五釐八豪二絲八忽有餘為五等邊形中心至每邊正中之垂線(即五等邊形内容圜之半徑)乃以此垂線與每邊之半相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十四釐有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形巳為五等邊形之中心試自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二線成甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁乙線截甲丙線於庚則又成丁庚丙三角形此兩三角形為同式形故甲丙線為首率(即理分中末線之全分)丙丁邊為中率(即理)(分中末線之大分)而所截之甲庚一段與丙丁邊等亦為中率庚丙一段即為末率(即理)(分中末線之小分)其比例為甲丙首率與丙丁中率之比即同於丙丁中率與庚丙末率之比故按連比例三率有中率求末率之法求得庚丙末率與甲庚中率相加即得甲丙首率為兩角相對斜線爰用甲丙斜線為弦丙辛每邊之半為勾求得用辛股為己辛中心至邊之垂線與甲己分角線之和既得甲辛線則用連比例有首率中率求末率之法以甲辛為首率丙辛為中率求得辛壬末率即己辛中心至邊之垂線與甲己分角線之較既得辛壬與甲辛相加折半得甲己即分角線又為五等邊形外切圜之半徑以辛壬與甲辛相減折半得己辛即中心至每邊之垂線又為五等邊形内容圜之半徑既得己辛垂線與丙丁每邊之半丙辛相乗得己丙丁一三角形之面積五倍之即五等邊形之面積也又既得五等邊形兩角相對之斜線與自一角至每邊正中之垂線求面積捷法以所得末率七寸四分一釐六豪四絲有餘加每邊之半六寸得一尺三寸四分一釐六豪四絲有餘與自一角至每邊正中之垂線一尺八寸四分六釐六豪零九忽有餘相乗得二尺四十七寸七十四分八十四釐有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二線遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角形又自甲至己作甲己垂線則甲己垂線與丙己每邊之半相乗即得甲丙丁三角形面積又自乙角至甲丙線上作乙庚垂線則乙庚垂線與甲丙斜線相乗即得甲乙丙甲戊丁兩三角形之共面積然無乙庚之數今試自丁角至乙角作丁乙斜線截甲丙斜線於辛則甲辛與丁辛等俱為中率乙辛與辛丙等俱為末率又成乙辛庚勾股形與甲丙己勾股形為同式形(丁辛丙三角形之辛角原與丙角等)(而與乙辛庚勾股形之辛角為對角其度亦等庚角與己角又同為直角其餘)(一角亦必等所以為同式形)故甲丙為一率甲己為二率乙辛為三率乙庚為四率凡二率三率相乗與一率四率相乗之數等今以甲己垂線與乙辛末率相乗必與乙庚垂線與甲丙斜線相乗之積等是即甲乙丙甲戊丁兩三角形之共積矣故以乙辛末率與丙己每邊之半相加而與甲己垂線相乗即得甲乙丙丁戊五等邊形之面積也又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率五等邊形面積一七二○四七七四一為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率二尺四十七寸七十四分八十七釐有餘即五等邊形之面積也葢五等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而五等邊形之每一邊一○○○○所得之五等邊形面積為一七二○四七七四一故以子丑寅卯辰五等邊形之寅卯一邊一○○○○自乗之寅卯己午正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰五等邊形面積一七二○四七七四一之比即同於今所設之甲乙丙丁戊五等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丙丁己庚正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊五等邊形面積二尺四十七寸七十四分八十七釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之五等邊形之每邊七六二三八七○五為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺五寸七分四釐零三忽有餘為與五等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得二尺四十七寸七十四分八十五釐有餘即五等邊形之面積也葢五等邊形之每邊為七六二三八七○五正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰五等邊形之寅卯一邊七六二三八七○五與己午未申正方形之午未一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊五等邊形之丙丁一邊一尺二寸與今所得之己庚辛壬正方形之庚辛一邊一尺五寸七分四釐零三忽有餘之比既得庚辛一邊自乗得己庚辛壬正方面積即與甲乙丙丁戊五等邊形之面積為相等也如有五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之五等邊形之面積一七二○四七七四一為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即五等邊形之每一邊也此法葢因五等邊形之每邊與正方形之每邊相等五等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率五等邊形之每邊七六二三八七○五為二率今所設之五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七釐開方得一尺五寸七分四釐零三忽有餘為三率求得四率一尺二寸即五等邊形之每一邊也此法葢因五等邊形之面積與正方形之面積相等五等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以五等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也設如六等邊形每邊一尺二寸問面積幾何法因六等邊形之每邊與分角線(即六等邊)(形外切圜之半徑)相等故即以每邊一尺二寸為弦每邊之半六寸為勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲有餘為六等邊形中心至每邊正中之垂線(即六等邊形内容圜)(之半徑)乃以此垂線與每邊之半相乗六因之得三尺七十四寸一十二分二十八釐有餘即六等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己六等邊形庚為六等邊形之中心其庚丙分角線與丙丁類每邊等故以庚丙為弦每邊之半丙辛為勾求得庚辛股即六等邊形中心至每邊正中之垂線既得垂線與丙丁之半丙辛相乗得庚丙丁一三角形面積六倍之即六等邊形之面積也又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率六等邊形面積二五九八○七六二○為二率今所設之六等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率三尺七十四寸一十二分二十九釐有餘即六等邊形之面積也葢六等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而六等邊形之每一邊一○○○○所得之六等邊形面積為二五九八○七六二○故以子丑寅卯辰己六等邊形之寅卯一邊一○○○○自乗之寅卯午未正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰己六等邊形面積二五九八○七六二○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己六等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丙丁庚辛正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己六等邊形面積三尺七十四寸一十二分二十九釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之六等邊形之每邊六二○四○三二四為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之六等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺九寸三分四釐二豪二絲五忽有餘為與六等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得三尺七十四寸一十二分二十六釐有餘即六等邊形之面積也葢六等邊形之每邊為六二○四○三二四正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰己六等邊形之寅卯一邊六二○四○三二四與午未申酉正方形之未申一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己六等邊形之丙丁一邊一尺二寸與今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一邊一尺九寸三分四釐二豪二絲五忽有餘之比既得辛壬一邊自乗得庚辛壬癸正方面積即與甲乙丙丁戊己六等邊形之面積為相等也如有六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之六等邊形之面積二五九八○七六二○為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即六等邊形之每一邊也此法葢因六等邊形之每邊與正方形之每邊相等六等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率六等邊形之每邊六二○四○三二四為二率今所設之六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九釐開方得一尺九寸三分四釐二豪二絲五忽有餘為三率求得四率一尺二寸即六等邊形之每一邊也此法葢因六等邊形之面積與正方形之面積相等六等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以六等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也設如七等邊形每邊一尺二寸問面積幾何法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有餘折半得二十五度四十二分五十一秒有餘爰以二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦四萬三千三百八十八為一率半徑十萬為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺三寸八分二釐八豪七絲有餘為七等邊形外切圜之半徑或用求圜内容七等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容七等邊形之每邊四三三八八三七四為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺七寸六分五釐七豪一絲七忽有餘折半得一尺三寸八分二釐八豪五絲八忽有餘為七率邊形外切圜之半徑乃以此半徑為弦七等邊形之每邊折半為勾求得股一尺二寸四分五釐九豪二絲五忽有餘為七等邊形之中心至每邊正中之垂線或以二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦四萬三千三百八十八為一率二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦九萬零九十七為二率今所設之七等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺二寸四分五釐九豪二絲五忽有餘為七等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得七十四寸七十五分五十五釐有餘七因之得五尺二十三寸二十八分八十五釐有餘即七等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚七等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為五十一度二十五分四十二秒有餘將甲乙邊折半於辛自圜心壬作壬辛癸半徑線遂平分甲乙弧於癸則甲癸弧為二十五度四十二分五十一秒有餘甲辛即二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦壬辛即二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦是故二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲辛與所得之半徑甲壬之比又二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦與二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲辛與所得之垂線壬辛之比也(此即圜内容七等邊形之法而轉用之也)又法以二十五度四十二分五十一秒有餘之正切四萬八千一百五十七為一率半徑十萬為二率今所設之七等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺二寸四分五釐九豪二絲四忽有餘為七等邊形内容圜之半徑或用求圜外切七等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切七等邊形之每邊四八一五七四六二為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺四寸九分一釐八豪二絲五忽有餘折半得一尺二寸四分五釐九豪一絲二忽有餘為七等邊形内容圜之半徑即七等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗七因之得五尺二十三寸二十八分三十釐有餘即七等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚七等邊形試作一内容圜形自甲角過圜心辛作甲辛壬線遂平分丁戊邊於壬則丁壬即二十五度四十二分五十一秒有餘之正切故以二十五度四十二分五十一秒有餘之正切與半徑十萬之比同於今所設之每邊之半丁壬與所得之内容圜半徑辛壬之比也(此即圜外切七等邊形之法而轉用之也)又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率七等邊形面積三六三三九一二四○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率五尺二十三寸二十八分三十三釐有餘即七等邊形之面積也葢七等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而七等邊形之每一邊一○○○○所得之七等邊形面積為三六三三九一二四○故以子丑寅卯辰己午七等邊形之卯辰一邊一○○○○自乗之卯辰未申正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰己午七等邊形面積三六三三九一二四○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊巳庚七等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丁戊辛壬正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚七等邊形面積五尺二十三寸二十八分三十三釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之七等邊形之每邊五二四五八一二六為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺二寸八分七釐五豪三絲八忽有餘為與七等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得五尺二十三寸二十八分三十釐有餘即七等邊形之面積也葢七等邊形之每邊為五二四五八一二六正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰己午七等邊形之卯辰一邊五二四五八一二六與未申酉戌正方形之申酉一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚七等邊形之丁戊一邊一尺二寸與今所得之辛壬癸乾正方形之壬癸一邊二尺二寸八分七釐五豪三絲八忽有餘之比既得壬癸一邊自乗得辛壬癸乾正方面積即與甲乙丙丁戊己庚七等邊形之面積為相等也如有七等邊形之面積五尺二十三寸二十八分三十三釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之七等邊形之面積三六三三九一二四○為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之面積五尺二十三寸二十八分三十三釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即七等邊形之每一邊也此法葢因七等邊形之每邊與正方形之每邊相等七等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率七等邊形之每邊五二四五八一二六為二率今所設之七等邊形之面積五尺二十三寸二十八分三十三釐開方得二尺二寸八分七釐五豪三絲八忽有餘為三率求得四率一尺二寸即七等邊形之每一邊也此法葢因七等邊形之面積與正方形之面積相等七等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以七等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也設如八等邊形每邊一尺二寸問面積幾何法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分爰以二十二度三十分之正弦三萬八千二百六十八為一率半徑十萬為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺五寸六分七釐八豪八絲九忽有餘為八等邊形外切圜之半徑或用求圜内容八等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容八等邊形之每邊三八二六八三四三為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺一寸三分五釐七豪五絲一忽有餘折半得一尺五寸六分七釐八豪七絲五忽有餘為八等邊形之切圜之半徑乃以此半徑為弦八等邊形之每邊折半為勾求得股一尺四寸四分八釐五豪二絲七忽有餘為八等邊形之中心至每邊正中之垂線或以二十二度三十分之正弦三萬八千二百六十八為一率二十二度三十分之餘弦九萬二千三百八十八為二率今所設之八等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺四寸四分八釐五豪四絲一忽有餘為八等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得八十六寸九十一分二十四釐有餘八因之得六尺九十五寸二十九分九十二釐有餘即八等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為四十五度將甲乙邊折半於壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分甲乙弧於子則甲子弧為二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正弦癸壬即二十二度三十分之餘弦是故二十二度三十分之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲壬與所得之半徑甲癸之比又二十二度三十分之正弦與二十二度三十分之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲壬與所得之垂線癸壬之比也(此即圜内容八等邊形之法而轉用之也)又法以二十二度三十分之正切四萬一千四百二十一為一率半徑十萬為二率今所設之八等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺四寸四分八釐五豪四絲有餘為八等邊形内容圜之半徑或用求圜外切八等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切八等邊形之每邊四一四二一三五六為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺八寸九分七釐零五絲六忽有餘折半得一尺四寸四分八釐五豪二絲八忽有餘為八等邊形内容圜之半徑即八等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四釐有餘為八等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形試作一内容圜形自圜心壬作壬癸中心至每邊正中之垂線遂平分丁戊邊於癸則丁癸即二十二度三十分之正切故以二十二度三十分之正切與半徑十萬之比同於今所設之每邊之半丁癸與所得之内容圜半徑壬癸之比也(此即圜外切八等邊形之法而轉用之也)又法以每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸開方得八寸四分八釐五豪二絲八忽有餘與每邊之半六寸相加得一尺四寸四分八釐五豪二絲八忽有餘為自中心至每邊正中之垂線乃以此垂線與每邊之半相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四釐為八等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形壬為八等邊形之中心試將辛甲乙丙丁戊己庚四邊俱引長相交遂成癸子丑寅正方形其四角丙子丁類勾股相等之四勾股形之弦即八等邊形之每一邊故以丙丁一邊自乗折半開方得丙子或子丁於丙子内再加乙丙邊之半卯丙得卯子與壬辰等即八等邊形自中心至每邊正中之垂線既得垂線與每邊之半相乗八因之即得八等邊形之面積也又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率八等邊形面積四八二八四二七一二為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率六尺九十五寸二十九分三十五釐有餘即八等邊形之面積也葢八等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而八等邊形之每一邊一○○○○所得之八等邊形面積為四八二八四二七一二故以子丑寅卯辰巳午未八等邊形之卯辰一邊一○○○○自乗之卯辰申酉正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰巳午未八等邊形面積四八二八四二七一二之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丁戊壬癸正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形面積六尺九十五寸二十九分三十五釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之八等邊形之每邊四五五○八九八五為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺六寸三分六釐八豪四絲一忽有餘為與八等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得六尺九十五寸二十九分三十五釐有餘即八等邊形之面積也葢八等邊形之每邊為四五五○八九八五正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰巳午未八等邊形之卯辰一邊四五五○八九八五與申酉戌亥正方形之酉戌一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形之丁戊一邊一尺二寸與今所得之癸乾一邊二尺六寸三分六釐八豪四絲一忽有餘之比既得癸乾一邊自乗得壬癸乾坎正方面積即與甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形之面積為相等也如有八等邊形之面積六尺九十五寸二十九分三十五釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之八等邊形之面積四八二八四二七一二為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之八等邊形之面積六尺九十五寸二十九分三十五釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即八等邊形之每一邊也此法葢因八等邊形之每邊與正方形之每邊相等八等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率八等邊形之每邊四五五○八九八五為二率今所設之八等邊形之面積六尺九十五寸二十九分三十五釐開方得二尺六寸三分六釐八豪四絲一忽有餘為三率求得四率一尺二寸即八等邊形之每一邊也此法葢因八等邊形之面積與正方形之面積相等八等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以八等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也設如九等邊形每邊一尺二寸問面積幾何法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度爰以二十度之正弦三萬四千二百零二為一率半徑十萬為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺七寸五分四釐二豪八絲三忽有餘為九等邊形外切圜之半徑或用求圜内容九等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容九等邊形之每邊三四二○二○一四為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺五寸零八釐五豪六絲五忽有餘折半得一尺七寸五分四釐二豪八絲二忽有餘為九等邊形外切圜之半徑乃以此半徑為弦九等邊形之每邊折半為勾求得股一尺六寸四分八釐四豪八絲六忽有餘為九等邊形之中心至每邊正中之垂線或以二十度之正弦三萬四千二百零二為一率二十度之餘弦九萬三千九百六十九為二率今所設之九等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺六寸四分八釐四豪八絲二忽有餘為九等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得九十八寸九十分八十九釐有餘九因之得八尺九十寸一十八分零一釐有餘即九等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為四十度將甲乙邊折半於癸自圜心子作子癸丑半徑線遂平分甲乙弧於丑則甲丑弧為二十度甲癸即二十度之正弦子癸即二十度之餘弦是故二十度之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲癸與所得之半徑甲子之比又二十度之正弦與二十度之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲癸與所得之垂線子癸之比也(此即圜内容九等邊形之法而轉用之也)又法以二十度之正切三萬六千三百九十七為一率半徑十萬為二率今所設之九等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺六寸四分八釐四豪八絲七忽有餘為九等邊形内容圜之半徑或用求圜外切九等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切九等邊形之每邊三六三九七○二四為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺二寸九分六釐九豪七絲二忽有餘折半得一尺六寸四分八釐四豪八絲六忽有餘為九等邊形内容圜之半徑即九等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗九因之得八尺九十寸一十八分一十九釐有餘為九等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形試作一内容圜形自甲角過圜心癸作甲癸子線遂平分戊巳邊於子則戊子即二十度之正切故以二十度之正切與半徑十萬之比同於今所設之每邊之半戊子與所得之内容圜半徑癸子之比也(此即圜外切九等邊形之法而轉用之也)又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率九等邊形面積六一八一八二四二○為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率八尺九十寸一十八分二十六釐有餘即九等邊形之面積也葢九等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而九等邊形之每一邊一○○○○所得之九等邊形面積為六一八一八二四二○故以子丑寅卯辰巳午未申九等邊形之辰已一邊一○○○○自乗之辰已酉戌正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰巳午未申九等邊形面積六一八一八二四二○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形之每一邊一尺二寸自乗之戊己癸乾正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形面積八尺九十寸一十八分二十六釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之九等邊形之每邊四○二一九九六三為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺九寸八分三釐五豪九絲二忽有餘為與九等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得八尺九十寸一十八分二十一釐有餘即九等邊形之面積也葢九等邊形之每邊為四○二一九九六三正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰巳午未申九等邊形之辰巳一邊四○二一九九六三與酉戌亥金正方形之戌亥一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形之戊已一邊一尺二寸與今所得之癸乾坎艮正方形之乾坎一邊二尺九寸八分三釐五豪九絲二忽有餘之比既得乾坎一邊自乗得癸乾坎艮正方面積即與甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形之面積為相等也如有九等邊形之面積八尺九十寸一十八分二十六釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之九等邊形之面積六一八一八二四二○為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之九等邊形之面積八尺九十寸一十八分二十六釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即九等邊形之每一邊也此法葢因九等邊形之每邊與正方形之每邊相等九等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率九等邊形之每邊四○二一九九六三為二率今所設之九等邊形之面積八尺九十寸一十八分二十六釐開方得二尺九寸八分三釐五豪九絲二忽有餘為三率求得四率一尺二寸即九等邊形之每一邊也此法葢因九等邊形之面積與正方形之面積相等九等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以九等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也形每邊一尺二寸問面積幾何法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度爰以十八度之正弦三萬零九百零二為一率半徑十萬為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六豪二絲一忽有餘為十等邊形外切圜之半徑或用求圜内容十等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容十等邊形之每邊三○九○一六九九為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺八寸八分三釐二豪八絲一忽有餘折半得一尺九寸四分一釐六豪四絲有餘為十等邊形外切圜之半徑乃以此半徑為弦十等邊形之每邊折半為勾求得股一尺八寸四分六釐六豪零九忽有餘為十等邊形之中心至每邊正中之垂線或以十八度之正弦三萬零九百零二為一率十八度之餘弦九萬五千一百零六為二率今所設之十等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺八寸四分六釐五豪九絲八忽有餘為十等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得一尺一十寸七十九分五十八釐有餘十因之得一十一尺零七寸九十五分八十釐有餘即十等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為三十六度將甲乙邊折半於子自圜心丑作丑子寅半徑線遂平分甲乙弧於寅則甲寅弧為十八度甲子即十八度之正弦丑子即十八度之餘弦是故十八度之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲子與所得之半徑甲丑之比又十八度之正弦與十八度之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲子與所得之垂線丑子之比也(此即圜内容十等邊形之法而轉用之也)又法以十八度之正切三萬二千四百九十二為一率半徑十萬為二率今所設之十等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺八寸四分六釐六豪零八忽有餘為十等邊形内容圜之半徑或用求圜外切十等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切十等邊形之每邊三二四九一九七○為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺六寸九分三釐二豪二絲有餘折半得一尺八寸四分六釐六豪一絲有餘為十等邊形内容圜之半徑即十等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分六十釐有餘為十等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形試作一内容圜形自中心子至每邊之正中作子丑垂線遂平分戊巳邊於丑則戊丑即十八度之正切故以十八度之正切與半徑十萬之比同於今所設之毎邊之半戊丑與所得之内容圜半徑子丑之比也(此即圜外切十等邊形之法而轉用之也)又法用連比例三率有中率求末率之法以每邊一尺二寸為中率求得末率七寸四分一釐六豪四絲有餘(中率求末率即)(如首率求中率也)乃以末率與中率相加得一尺九寸四分一釐六豪四絲有餘為首率即十等邊形之分角線(即十等邊形外切圜之半)(徑)乃以分角線為弦每邊之半為勾求得股一尺八寸四分六釐六豪零九忽有餘為十等邊形自中心至每邊正中之垂線(即十等邊形内容圜之半徑)乃以此垂線與每邊之半相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分五十四釐有餘即十等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形子為十等邊形之中心試自中心子至戊巳二角作子戊子巳二線成子戊已三角形又自已角至丙角作巳丙線截子戊線於丑則又成巳丑戊三角形與子戊巳三角形為同式形故子戊線為首率(即理分中末線之全分)戊已邊為中率(即理分中末線之大分)而所截之子丑一段與戊巳邊等亦為中率丑戊一段即為末率(即理分中末線之小分)其比例為子戊首率與戊巳中率之比即同於戊已中率與丑戊末率之比故按連比例三率有中率求末率之法求得丑戊末率與子丑中率相加即得子戊首率為分角線又為十等邊形外切圜之半徑以子戊為弦戊巳邊之半戊寅為勾求得子寅股即十等邊形中心子至每邊正中之垂線又為十等邊形内容圜之半徑既得子寅垂線與戊已邊之半戊寅相乗得子戊巳一三角形之面積十因之即十等邊形之面積也又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率十等邊形面積七六九四二○八八三為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率一十一尺零七寸九十六分六十釐有餘即十等邊形之面積也葢十等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而十等邊形之每一邊一○○○○所得之十等邊形面積為七六九四二○八八三故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等邊形之辰巳一邊一○○○○自乗之辰巳戌亥正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰已午未申酉十等邊形面積七六九四二○八八三之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形之每一邊一尺二寸自乗之戊己乾坎正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形面積一十一尺零七寸九十六分六十釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之十等邊形之每邊三六○五一○五八為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺三寸二分八釐六豪一絲二忽有餘為十等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得一十一尺零七寸九十六分五十七釐有餘即十等邊形之面積也葢十等邊形之每邊為三六○五一○五八正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等邊形之辰巳一邊三六○五一○五八與戌亥金木正方形之亥金一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形之戊巳一邊一尺二寸與今所得之乾坎艮震正方形之坎艮一邊三尺三寸二分八釐六豪一絲二忽有餘之比既得坎艮一邊自乗得乾坎艮震正方面積即與甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形之面積為相等也如有十等邊形之面積一十一尺零七寸九十六分六十釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之十等邊形之面積七六九四二○八八三為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之十等邊形之面積一十一尺零七寸九十六分六十釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即十等邊形之每一邊也此法葢因十等邊形之每邊與正方形之每邊相等十等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率十等邊形之每邊三六○五一○五八為二率今所設之十等邊形之面積一十一尺零七寸九十六分六十釐開方得三尺三寸二分八釐六豪一絲二忽有餘為三率求得四率一尺二寸即十等邊形之每一邊也此法葢因十等邊形之面積與正方形之面積相等十等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以十等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也更面形設如正方形每邊一尺二寸今欲作與正方形積相等之圜面積問徑幾何法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率圜徑一一二八三七九一六為二率今所設之正方形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺三寸五分四釐零五絲四忽有餘即所求之圜徑也葢正方形之每邊為一○○○○○○○○圜徑為一一二八三七九一六則兩面積相等故以子丑寅卯正方形之每邊一○○○○○○○○與辰巳圜徑一一二八三七九一六之比即同於今所設之甲乙丙丁正方形之每邊一尺二寸與今所得之戊巳圜徑一尺三寸五分四釐零五絲四忽有餘之比而兩面積亦為相等也設如正方形面積一尺四十四寸今欲作與正方邊相等之圜徑問積幾何法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率圜面積七八五三九八一六為二率今所設之正方面積一尺四十四寸為三率求得四率一尺一十三寸零九分七十三釐有餘即所求之圜面積也葢正方面積為一○○○○○○○○圜面積為七八五三九八一六則正方形之每邊與圜徑相等故以子丑寅卯正方面積一○○○○○○○○與辰巳圜面積七八五三九八一六之比即同於今所設之甲乙丙丁正方面積一尺四十四寸與今所得之戊巳圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘之比而正方形之每邊與圜徑亦為相等也設如圜徑一尺二寸今欲作與圜面積相等之三等邊形問每一邊幾何法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之圜徑一一二八三七九一六為一率三等邊形之每邊一五一九六七一三七為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率一尺六寸一分六釐一豪二絲八忽有餘即三等邊形之每一邊也葢圜徑為一一二八三七九一六三等邊形之每邊為一五一九六七一三七則兩面積相等故以子丑圜徑一一二八三七九一六與寅卯辰三等邊形之每邊一五一九六七一三七之比即同於今所設之甲乙圜徑一尺二寸與今所得之丙丁戊三等邊形之毎邊一尺六寸一分六釐一豪二絲八忽有餘之比而兩面積亦為相等也設如圜面積一尺四十四寸今欲作與圜徑相等之五等邊形問積幾何法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之圜面積七八五三九八一六為一率五等邊形面積一七二○四七七四一為二率今所設之圜面積一尺四十四寸為三率求得四率三尺一十五寸四十四分三十五釐有餘即五等邊形之面積也葢圜面積為七八五三九八一六五等邊形面積為一七二○四七七四一則圜徑與五等邊形之每邊相等故以子丑圜面積七八五三九八一六與寅卯辰巳午五等邊形面積一七二○四七七四一之比即同於今所設之甲乙圜面積一尺四十四寸與今所得之丙丁戊己庚五等邊形面積三尺一十五寸四十四分三十五釐有餘之比而圜徑與五等邊形之每邊亦為相等也設如六等邊形每邊一尺二寸今欲作與六等邊形面積相等之七等邊形問每一邊幾何法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之六等邊形每邊六二○四○三二四為一率七等邊形之每邊五二四五八一二六為二率今所設之六等邊形每邊一尺二寸為三率求得四率一尺零一分四釐六豪五絲八忽有餘即七等邊形之每一邊也葢六等邊形每邊為六二○四○三二四七等邊形毎邊為五二四五八一二六則兩面積相等故以子丑寅卯辰巳六等邊形之每邊六二○四○三二四與午未申酉戌亥金七等邊形之每邊五二四五八一二六之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己六等邊形之每邊一尺二寸與今所得之庚辛壬癸乾坎艮七等邊形之每邊一尺零一分四釐六豪五絲八忽有餘之比而兩面積亦為相等也設如五等邊形面積一尺四十四寸今欲作與五等邊形每邊相等之八等邊形問積幾何法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之五等邊形面積一七二○四七七四一為一率八等邊形面積四八二八四二七一二為二率今所設之五等邊形面積一尺四十四寸為三率求得四率四尺零四寸一十二分八十二釐有餘即八等邊形之面積也葢五等邊形面積為一七二○四七七四一八等邊形面積為四八二八四二七一二則五等邊形之每邊與八等邊形之每邊相等故以子丑寅卯辰五等邊形之面積一七二○四七七四一與巳午未申酉戌亥金八等邊形之面積四八二八四二七一二之比即同於今所設之甲乙丙丁戊五等邊形之面積一尺四十四寸與今所得之己庚辛壬癸乾坎艮八等邊形之面積四尺零四寸一十二分八十二釐有餘之比而五等邊形之每邊與八等邊形之每邊亦為相等也御製數理精藴下編卷二十二
## 下編卷二十三
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十三體部一立方立方立方者等邊六面之體積也以形而言雖為六面十二邊之所合以積而言則為自乗再乗之數因其縱横與髙俱相等故十二邊皆如一線得其一邊而十二邊莫不相同其積之也自線而面自面而體次第相乗而後得其全積其開之也必次第析之而後得其一邊是故古人立為方廉長廉之制每積三位而得邊之一位所謂一千商十定無疑三萬纔為三十餘九十九萬不離十百萬方為一百推是也其法先從一角而剖其體以自一至九自乗再乗之數為方根與實相審量其足減者而定之是為初商初商減盡無餘則方根止一位若有餘實即初商方積外别成一缺角三面磬折體其附初商之三面者謂之方廉其附初商之三邊者謂之長廉其附初商之角者謂之隅廉有三故以三為廉法隅惟一而隅之三面即符於三長廉之端合三方廉三長廉一隅始合次商之數故商除之法以初商自乗三因為三方廉面積視初商餘實足方廉面積幾倍即定為次商乃以次商乗三長廉為三長廉面積又以次商自乗為小隅面積共合三方廉三長廉及一小隅面積以次商數乗之為次商廉隅之共積所謂初商方積外别成一缺角三面磬折體者是也如次商外尚有不盡之實則初商次商方積外仍為三方廉三長廉一小隅又成一三面磬折體但較前方廉愈大長廉愈長而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照次商之例逓析之實盡而止如開至多位實仍不盡者必非自乗再乗之正數此開立方之定法也體形不一而容積皆以立方為準故立方為算諸體之本諸體必通之立方而法乃可施也設如正方體積一百二十五尺開立方問毎一邊數幾何法列正方體積一百二十五尺自末位起算每方積三位定方邊一位今積止有三位則於五尺上作記定單位以自一至九自乗再乗之方根數與之相審知與五尺自乗再乗之數恰合乃以五尺書於方積五尺之上而以五尺自乗再乗之一百二十五尺書於方積原數之下相減恰盡即得開方之數為五尺也如圖甲乙丙丁戊己正方體形毎邊皆五尺其中函一尺小方體一百二十五自邊計之為五尺自面計之則為五尺自乗之二十五尺自通體計之則為五尺自乗再乗之一百二十五尺以積開之則與五尺自乗再乗之數相準故商除之恰盡也蓋方積為三位是以方邊止一位方積即五尺自乗再乗之數别無廉隅故不用次商如有餘實則自成廉隅而用次商矣設如正方體積一丈七百二十八尺開立方問每一邊數幾何法列正方體積一丈七百二十八尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記即於八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊末位餘積七百二十八尺續書於下(大凡以餘積續書於下者每取方積之三位以當方邊之一位也)為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除方積七百二十八尺足二尺即定次商為二尺書於方積八尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉面積復以次商二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為廉隅共法書於餘積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與餘積相減恰盡是開得一丈二尺為正方體積每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方體形毎邊皆一丈二尺其中函積一丈七百二十八尺是為共積其先從一角所分戊乙庚己方體每邊一丈即初商數其中函積亦一丈即初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸形三方體為三方廉其每邊一丈即初商數其厚二尺即次商數而子形丑形寅形三長方體為三長廉其每邊一丈亦即初商數其闊其厚皆二尺亦即次商數方廉有三故三倍初商之自乗為廉法以定次商其卯形一小正方體為隅其長與闊與厚皆同為二尺亦即次商數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三長廉夘一方隅而成一磬折體形附於初商自乗再乗之方體三面而成一甲乙丙丁之總正方體積此立方廉隅之法所由生也三商以後皆倣此逓析開之又法列積一丈七百二十八尺自末位起算作記定位同前乃截一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合則定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡乃以方邊末位餘積七百二十八尺續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積即以三方廉面積三百尺除方積七百二十八尺足二尺則定次商為二尺書於方積八尺之上合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺與原積符合相減恰盡即定立方邊為一丈二尺也此法止用三方廉面積除立方體積得次商數即併初商數自乗再乗得數與原積相減雖為省去長廉小隅一層然方邊位數少者還為簡易至於方邊位數過四位以上則累次自乗再乗反比逓析之理為煩矣設如正方體積一十四萬八千八百七十七尺開立方問每一邊數幾何(此題正方體積之六位皆以尺命位似與前題分丈尺者)(不同然其取方積三位續書於下其末位即命為單位立算則與丈尺同也)法列正方體積一十四萬八千八百七十七尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記乃於七尺上定單位八千尺上定十位其一十四萬八千尺為初商積以初商本位計之則八千尺為初商積之單位而一十四萬八千尺為一百四十八止與五自乗再乗之數相準即定初商為五書於方積八千尺之上而以五自乗再乗之一百二十五書於初商積之下相減餘二萬三千尺爰以方邊第二位餘積八百七十七尺續書於下共二萬三千八百七十七尺為次商廉隅之共積乃以初商之五作五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺為次商三方廉面積以除方積二萬三千八百七十七尺足三尺即定次商為三尺書於方積七尺之上而以初商之五十尺與次商之三尺相乗得一百五十尺三因之得四百五十尺為次商三長廉面積復以次商三尺自乗得九尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得七千九百五十九尺為廉隅共法書於餘積之左以次商之三尺乗之得二萬三千八百七十七尺與餘積相減恰盡是開得五十三尺為正方體積每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方體形每邊五十三尺其中函積一十四萬八千八百七十七尺是為共積其從一角所分戊乙庚己方體每邊五十尺即初商邊數其中函積一十二萬五千尺即初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸形三方體為三方廉其每邊五十尺即初商數其厚三尺即次商數而子形丑形寅形三長方體為三長廉其每邊五十尺亦即初商數其闊其厚皆三尺亦即次商數方廉有三故三倍初商之自乗為廉法以定次商其邜形一小正方體為隅其長與闊與厚皆同為三尺亦即次商數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三長廉卯一方隅而成一磬折體形附於初商自乗再乗之方體三面而成一甲乙丙丁之總正方體積也又法列積一十四萬八千八百七十七尺自末位起算作記定位同前乃截一十四萬八千尺為初商積與五十自乗再乗之數相準則定初商五十尺書於方積八千尺之上而以五十自乗再乗之一十二萬五千尺書於原積一十四萬八千之下相減餘二萬三千尺乃合第二位積八百七十七尺共二萬三千八百七十七尺為次商廉隅之共積而以初商五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺為次商三方廉面積即以三方廉面積除方積二萬三千八百七十七尺足三尺即定次商為三尺書於方積七尺之上合初商共得五十三尺自乗再乗得一十四萬八千八百七十七尺與原積符合相減恰盡即定立方邊為五十三尺也此法亦止用三方廉面積除立方體積得次商數即併初商數自乗再乗以減原積也設如正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸開立方問每一邊數幾何法列正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記即於七寸上定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位餘積八百六十尺續書於下為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除八百六十尺足二尺即定次商為二尺書於方積空尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉面積復以次商之二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與次商廉隅共積相減餘一百三十二尺即一十三萬二千寸復以方邊第三位餘積八百六十七寸續書於下共一十三萬二千八百六十七寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一萬四千四百寸三因之得四萬三千二百寸為三商三方廉面積以除一十三萬二千八百六十七寸足三寸即定三商為三寸書於方積七寸之上而以初商次商之一百二十寸與三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬四千二百八十九寸為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之三寸乗之得一十三萬二千八百六十七寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得一丈二尺三寸為正方體積每一邊之數也設如正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺開立方問每一邊數幾何法列正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記乃於六尺上定單位八千尺上定十位四百萬尺上定百位其九千四百萬尺為初商積以初商本位計之則四百萬尺為初商積之單位而九千四百萬尺為九十四止與四自乗再乗之數相準即定初商為四書於方積四百萬尺之上而以四自乗再乗之六十四書於初商積之下相減餘三千萬尺爰以方邊第二位餘積八十一萬八千尺續書於下共三十零八十一萬八千尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則八千尺為次商積之單位而三千零八十一萬八千尺為三萬零八百一十八而初商之四即為四十乃以初商之四十自乗得一千六百三因之得四千八百為次商三方廉面積以除三萬零八百一十八足五倍即定次商為五書於方積八千尺之上而以初商之四十與次商之五相乗得二百三因之得六百為次商三長廉面積復以次商之五自乗得二十五為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五千四百二十五為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之五乗之得二萬七千一百二十五與次商廉隅共積相減餘三百六十九萬三千尺復以方邊末位餘積八百一十六尺續書於下共三百六十九萬三千八百一十六尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十萬零二千五百三因之得六十萬零七千五百為三商三方廉面積以除三百六十九萬三千八百一十六尺足六倍即定三商為六書於方積六尺之上而以初商次商之四百五十與三商之六相乗得二千七百三因之得八千一百為三商三長廉面積復以三商之六自乗得三十六為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六十一萬五千六百三十六為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之六乗之得三百六十九萬三千八百一十六與三商廉隅共積相減恰盡是開得四百五十六尺為正方體積毎一邊之數也設如正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸開立方問每一邊數幾何法列正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸自末位起算毎隔二位作記即於七寸上定寸位八尺上定尺位七丈上定丈位其三百四十七丈為初商積與七丈自乗再乗之數相準即定初商為七丈書於方積七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四十三丈書於初商積之下相減餘四丈即四千尺爰以方邊第二位餘積四百二十八尺續書於下共四千四百二十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺三因之得一萬四千七百尺為次商三方廉面積以除方積四千四百二十八尺其數不足是次商為空位也乃書一空於方積八尺之上以存次商之位復以方邊末位餘積九百二十七寸續書於下共四千四百二十八尺九百二十七寸即四百四十二萬八千九百二十七寸為三商廉隅之共積仍以次商三方廉面積一萬四千七百尺作一百四十七萬寸為廉法以除四百四十二萬八千九百二十七寸足三寸即定三商為三寸書於方積七寸之上又以初商之七丈為七百寸與三商之三寸相乗得二千一百寸三因之得六千三百寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一百四十七萬六千三百零九寸為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之三寸乗之得四百四十二萬八千九百二十七寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得七丈零三寸為正方體積毎一邊之數也此法商出之方邊有空位凡廉法除餘積而數不足者皆依此例推之設如正方體積三千九百三十萬四千尺開立方問每一邊數幾何法列正方體積三千九百三十萬四千尺補三空位以足其分自末空位起算每隔二位作記乃於空尺上定單位四千尺上定十位九百萬尺上定百位其三千九百萬尺為初商積以初商本位計之則九百萬尺為初商積之單位而三千九百為三十九止與三自乗再乗之數相準即定初商為三書於方積九百萬尺之上而以三自乗再乗之二十七書於初商積之下相減餘一千二百萬尺爰以方邊第二位餘積三十萬四千尺續書於下共一千二百三十萬四千尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則四千尺為次商積之單位而一千二百三十萬四千尺為一萬二千三百零四而初商之三即為三十乃以初商之三十自乗得九百三因之得二千七百為次商三方廉面積以除餘積一萬二千三百零四足四倍即定次商為四書於方積四千尺之上又以初商之三十與次商之四相乗得一百二十三因之得三百六十為次商三長廉面積復以次商之四自乗得一十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三千零七十六為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之四乗之得一萬二千三百零四與餘積相減恰盡是開得三百四十尺為正方體積每一邊之數也此法方積之末有三空位故所得方邊之末亦補一空位凡設數未至單位者皆依此例補足位分然後開之設如正方體積一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分開立方問每一邊數幾何法列正方體積一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分自末位起算毎隔二位作記於四分上定分位空寸上定寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位餘積八百七十九尺續書於下為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除八百七十九尺足二尺即定次商為二尺書於方積九尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉而積復以次商之二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與餘積相減仍餘一百五十一尺即一十五萬一千寸又以方邊第三位餘積八十寸續書於下共一十五萬一千零八十寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一萬四千四百寸三因之得四萬三千二百寸為三商三方廉面積以除一十五萬一千零八十寸足三寸即定三商為三寸書於方積空寸之上而以初商次商之一百二十寸與三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬四千二百八十九寸為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之三寸乗之得一十三萬二千八百六十七寸與餘積相減仍餘一萬八千二百一十三寸即一千八百二十一萬三千分又以方邊第四位餘積九百零四分續書於下共一千八百二十一萬三千九百零四分為四商廉隅之共積乃以初商次商三商之一百二十三寸作一千二百三十分自乗得一百五十一萬二千九百分三因之得四百五十三萬八千七百分為四商三方廉面積以除一千八百二十一萬三千九百零四分足四分即定四商為四分書於方積四分之上而以初商次商三商之一千二百三十分與四商之四分相乗得四千九百二十分三因之得一萬四千七百六十分為四商三長廉面積復以四商之四分自乗得一十六分為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百五十五萬三千四百七十六分為四商廉隅共法書於餘積之左以四商之四分乗之得一千八百二十一萬三千九百零四分與餘積相減恰盡是開得一丈二尺三寸四分為正方體積每一邊之數也設如正方體積八十億六千零一十五萬零一百二十五尺開立方問毎一邊數幾何法列正方體積八十億六千零一十五萬零一百二十五尺自末位起算每隔二位作記於五尺上定單位空千尺上定十位空百萬尺上定百位八十億尺上定千位其八十億尺為初商積以初商本位計之則八十億尺為初商積之單位而八十億尺為八止與二自乗再乗之數相合即定初商為二書於方積八十億尺之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位餘積六千萬尺續書於下為次商廉隅之共積以次商本位計之則空百萬尺為次商之單位而六千萬尺為六十而初商之二即為二十故以初商之二十自乗得四百三因之得一千二百為次商三方廉面積以除六十其數不足是次商為空位乃書一空於方積空百萬尺之上以存次商之位復以方邊第三位餘積一十五萬尺續書於下共六千零一十五萬尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則空千尺為三商之單位而六千零一十五萬尺為六萬零一百五十而初商之二即為二百次商之空即為空十故以初商次商之二空作二百自乗得四萬三因之得十二萬為三商三方廉面積以除六萬零一百五十其數仍不足是三商亦為空位乃再書一空於方積空千尺之上以存三商之位復以方邊末位餘積一百二十五尺續書於下共六千零一十五萬零一百二十五尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之二千空百空十自乗得四百萬尺三因之得一千二百萬尺為四商三方廉面積以除六千零一十五萬零一百二十五尺足五尺即定四商為五尺書於方積五尺之上而以初商之二千尺與四商之五尺相乗得一萬尺三因之得三萬尺為四商三長廉面積復以四商之五尺自乗得二十五尺為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千二百零三萬零二十五尺為四商廉隅共法書於餘積之左以四商之五尺乗之得六千零一十五萬零一百二十五尺與餘積相減恰盡是開得二千零五尺為正方體積每一邊之數也此法商出之方邊有二空位凡開立方遇此類者皆依此例推之設如正方體積三十二億九千四百六十四萬六千二百七十二尺開立方問每一邊數幾何法列正方體積三十二億九千四百六十四萬六千二百七十二尺自末位起算每隔二位作記於二尺上定單位六千尺上定十位四百萬尺上定百位三十億尺上定千位其三十億尺為初商積以初商本位計之則三十億尺為初商積之單位而三十億尺為三止與一自乗再乗之數相準即定初商為一書於方積三十億尺之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減餘二十億尺爰以方邊第二位餘積二億九千四百萬尺續書於下共二十二億九千四百萬尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則四百萬尺為次商積之單位而二十二億九千四百萬尺為二千二百九十四而初商之一即為一十乃以初商之一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除二千二百九十四足七倍因定次商為七而以初商之一十與次商之七相乗得七十三因之得二百一十為次商三長廉面積復以次商之七自乗得四十九為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百五十九為次商廉隅共法以次商之七乗之得三千九百一十三大於次商廉隅之共積是次商不可商七也乃改商六而以初商之一十與次商之六相乗得六十三因之得一百八十為次商三長廉面積復以次商之六自乗得三十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百一十六為次商廉隅共法以次商之六乗之得三千零九十六仍大於次商廉隅之共積是次商不可商六也又改商五而以初商之一十與次商之五相乗得五十三因之得一百五十為次商三長廉面積復以次商之五自乗得二十五為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百七十五為次商廉隅共法以次商之五乗之得二千三百七十五仍大於次商廉隅之共積是次商又不可商五也乃改商四而以初商之一十與次商之四相乗得四十三因之得一百二十為次商三長廉面積復以次商之四自乗得一十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百三十六為次商廉隅共法以次商之四乗之得一千七百四十四是小於次商廉隅之共積可減也乃以次商之四書於方積四百萬尺之上而以次商乗廉隅共法之一千七百四十四與次商廉隅之共積相減餘五億五千萬尺復以方邊第三位餘積六十四萬六千尺續書於下共五億五千零六十四萬六千尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則六千尺為三商積之單位而五億五千零六十四萬六千尺為五十五萬零六百四十六而初商次商之一十四即為一百四十乃以初商之一百四十自乗得一萬九千六百三因之得五萬八千八百為三商三方廉面積以除五十五萬零六百四十六足九倍因定三商為九而以初商次商之一百四十與三商之九相乗得一千二百六十三因之得三千七百八十為三商三長廉面積復以三商之九自乗得八十一為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六萬二千六百六十一為三商廉隅共法以三商之九乗之得五十六萬三千九百四十九大於三商廉隅之共積是三商不可商九也乃改商八而以初商次商之一百四十與三商之八相乗得一千一百二十三因之得三千三百六十為三商三長廉面積復以三商之八自乗得六十四為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六萬二千二百二十四為三商廉隅共法以三商之八乗之得四十九萬七千七百九十二是小於三商廉隅之共積可減也乃以三商之八書於方積六千尺之上而以三商乗廉隅共法之四十九萬七千七百九十二與三商廉隅之共積相減餘五千二百八十五萬四千尺復以方邊末位餘積二百七十二尺續書於下共五千二百八十五萬四千二百七十二尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之一千四百八十尺自乗得二百一十九萬零四百三因之得六百五十七萬一千二百為四商三方廉面積以除五千二百八十五萬四千二百七十二足八倍即定四商為八書於方積二尺之上而以初商次商三商之一千四百八十與四商之八相乗得一萬一千八百四十三因之得三萬五千五百二十為四商三長廉面積復以四商之八自乗得六十四為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六百六十萬六千七百八十四為四商廉隅共法以四商之八乗之得五千二百八十五萬四千二百七十二與餘積相減恰盡是開得一千四百八十八尺為正方體積毎一邊之數也此法蓋因方邊之第三位第四位二數太大故次商廉隅之共積以次商之三方廉除得次商之邊繼而以次商之邊與次商廉隅共法相乗大於原積甚多改商三次所乗之數始與次商廉隅之共積相準而後次商之數可定凡開立方遇此類者皆依此例推之如或廉隅共法與商出之數相乗得數大於廉隅共積幾一倍者則改商必審其與廉隅共積相近小數始可為準也設如有積一萬四千七百三十四尺開立方問每一邊數幾何法列積一萬四千七百三十四尺自末位起算隔二位作記於四尺上定單位四千尺上定十位其一萬四千尺為初商積以初商本位計之則四千尺為初商積之單位而一萬四千為一十四止與二自乗再乗之數相準即定初商為二書於方積四千尺之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減餘六千尺爰以方邊第二位餘積七百三十四尺續書於下共六千七百三十四尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則邊與積皆仍為本位而初商之二則為二十尺乃以初商之二十尺自乗得四百尺三因之得一千二百尺為次商三方廉面積以除方積六千七百三十四尺足五尺乃以初商之二十尺與次商之五尺相乗得一百尺三因之得三百尺為次商三長廉面積復以次商之五尺自乗得二十五尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共一千五百二十五尺為次商廉隅共法以次商之五尺乗之得七千六百二十五尺大於次商廉隅之共積是次商不可商五尺也乃改商四尺書於方積四尺之上而以初商之二十尺與次商之四尺相乗得八十尺三因之得二百四十尺為次商三長廉面積復以次商之四尺自乗得一十六尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千四百五十六尺為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之四尺乗之得五千八百二十四尺與餘積相減仍餘九百一十尺是開得二十四尺為方體每一邊之數仍餘九百一十尺不盡也如欲以餘數再開則得方邊之寸數乃増三空於總積之後復續書三空於九百一十尺之後為幾百幾十幾寸之位是則九百一十尺作九十一萬寸為三商廉隅之共積爰以初商次商之二十四尺作二百四十寸自乗得五萬七千六百寸三因之得一十七萬二千八百寸為三商三方廉面積以除餘積九十一萬寸足五寸即定三商為五寸書於餘積空寸之上而以初商次商之二百四十寸與三商之五寸相乗得一千二百寸三因之得三千六百寸為三商三長廉面積復以三商之五寸自乗得二十五寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一十七萬六千四百二十五寸為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之五寸乗之得八十八萬二千一百二十五寸與餘積相減仍餘二萬七千八百七十五寸不盡如再以餘數開之則得方邊之分數乃又續書三空於原積空寸之後復續書三空於二萬七千八百七十五寸之後為幾百幾十幾分之位是則二萬七千八百七十五寸作二千七百八十七萬五千分為四商廉隅之共積爰以初商次商三商之二十四尺五寸作二千四百五十分自乗得六百萬零二千五百分三因之得一千八百萬零七千五百分為四商三方廉面積以除餘積二千七百八十七萬五千分足一分即定四商為一分書於餘積空分之上而以初商次商三商之二千四百五十分與四商之一分相乗仍得二千四百五十分三因之得七千三百五十分為四商三長廉面積復以四商之一分自乗仍得一分為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千八百零一萬四千八百五十一分為四商廉隅共法書於餘積之左以四商之一分乗之仍得一千八百零一萬四千八百五十一分與餘積相減仍餘九百八十六萬零一百四十九分不盡是開得二十四尺五寸一分為方體每一邊之數也此法原積本非自乗再乗所得之數雖逓析之終不能盡凡開立方遇此類者皆以此例推之設如有方亭幾座用方甎鋪地共用一千七百二十八塊其所鋪之座數與毎座毎行之甎數相等問亭之座數幾何法列方甎一千七百二十八塊為立方積用開立方法開之於八塊上定單位一千塊上定十位其一千塊為初商積以初商本位計之則一千為初商積之單位與一自乗再乗之數相合即定初商為一書於方積一千之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減恰盡爰以第二位餘積七百二十八塊續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除七百二十八足二倍即定次商為二書於方積八塊之上而以初商之一十與次商之二相乗得二十三因之得六十為次商三長廉面積復以次商之二自乗得四為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四書於餘積之左以次商之二乗之得七百二十八與餘積相減恰盡是得所鋪亭數為一十二座也此法因所鋪之亭數與每行甎數相等是每行甎一十二塊其亭亦一十二座雖非立方形而法則立方法也故用立方開之設如有方倉一座共盛糧八百七十八石八斗問倉髙幾何法以每石定法二尺五百寸乗八百七十八石八斗得二千一百九十七尺為立方積用開立方法開之其二千尺為初商積以初商本位計之則二千尺為初商積之單位止與一自乗再乗之數相準即定初商為一書於方積二千之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減餘一千尺爰以第二位餘積一百九十七尺續書於下共一千一百九十七尺為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除一千一百九十七尺足三倍即定次商為三書於方積七尺之上而以初商之一十與次商之三相乗得三十三因之得九十為次商三長廉面積復以次商之三自乗得九為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百九十九為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之三乗之得一千一百九十七尺與餘積相減恰盡是開得方倉之高為一十三尺也此法因糧是石法所問乃倉之尺數故先將石變為尺而開立方即得倉之髙也設如有方石一塊重一二萬六千六百二十兩問每邊尺寸幾何法以石之定率每寸重二兩五錢除二萬六千六百二十兩得一萬零六百四十八寸為立方積用開立方法開之其一萬寸為初商積以初商本位計之則空千位為初商積之單位而一萬尺為一十與二自乗再乗之數相準即定初商為二書於空千寸之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減餘二千寸爰以第二位餘積六百四十八寸續書於下共二千六百四十八寸為次商廉隅之共積而以初商之二作二十自乗得四百三因之得一千二百為次商三方廉面積以除二千六百四十八寸足二倍即定次商為二書於方積八寸之上而以初商之二十與次商之二相乗得四十三因之得一百二十為次商三長廉面積復以次商之二自乗得四為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千三百二十四為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之二乗之得二千六百四十八寸與餘積相減恰盡是開得二十二寸為正方石毎一邊之數也此法因石是兩數所問乃石之寸數故先將石之兩數變為寸而開立方即得石之寸數也設如有水銀一萬六千三百四十四兩六錢八分欲作一方匣盛之問匣高幾何法先以水銀定率毎寸重一十二兩二錢八分除一萬六千三百四十四兩六錢八分得一千三百三十一寸為立方積用開立方法開之其一千寸為初商積以初商本位計之則一千為初商積之單位與一自乗再乗之數相合即定初商為一書於一千寸之上而以一自乗再乗之一書於方積一千寸之下相減恰盡爰以第二位餘積三百三十一寸續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除三百三十一寸足一倍即定次商為一書於方積一寸之上而以初商之一十與次商之一相乗得一十三因之得三十為次商三長廉面積復以次商之一自乗仍得一為一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百三十一為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之一乗之仍得三百三十一與餘積相減恰盡是開得一十一寸為方匣之高也設如有方池一區其深與方相等容水四千零九十六尺問深幾何法列四千零九十六尺為立方積用開立方法開之其四千尺為初商積以初商本位計之則四千為初商積之單位與一自乗再乗之數相準即定初商為一書於四千尺之上而以一自乗再乗之一書於方積四千尺之下相減餘三千尺爰以第二位餘積九十六尺續書於下共三千零九十六尺為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除三千零九十六尺可得十尺若商十尺則合於初商之數再合方廉長廉小隅面積必大於次商廉隅之共積可知故商九尺八尺七尺皆仍大於次商廉隅之共積乃改商六尺書於方積六尺之上而以初商之一十與次商之六相乗得六十三因之得一百八十為次商三長廉面積復以次商之六自乗得三十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百一十六為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之六乗之得三千零九十六與餘積相減恰盡是開得一十六尺為池之深也此法因池之深與方相等其所容水數即正方體積故立方開之得一邊之數即池之深也御製數理精藴下編卷二十三
## 下編卷二十四
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十四體部二帶縱較數立方帶縱和數立方(勾股法四條附)帶縱較數立方帶縱立方者兩兩等邊長方體積也高與闊相等惟長不同者為帶一縱立方長與闊相等而皆比高多者則為帶兩縱相同之立方至於長與闊與髙皆不等者則為帶兩縱不同之立方開之之法大㮣與立方同祗有帶縱之異耳其帶一縱之法如以髙與闊相等惟長不同為問者則以初商為髙與闊以之自乘又以初商加縱數為長以之再乘得初商積至次商以後亦有三方亷三長亷一小隅但其一方亷附於初商積之方面者即初商數其二方亷附於初商積之長面者則帶縱也其二長亷附於初商積之方邊者即初商數其一長亷附於初商積之長邊者則帶縱也其帶兩縱相同之法如以長與闊相等皆比髙多為問者則以初商加縱數為長與闊以之自乘又以初商為髙以之再乘得初商積至次商以後其一方亷附於初商積之正面者則帶兩縱其二方亷附於初商積之旁面者則各帶一縱也其一長亷附於初商積之髙邉者即初商數其二長亷附於初商積之長闊兩邊者則各帶一縱也其𢃄兩縱不同之法如以闊比髙多長比闊又多為問者則以初商為髙又以初商加闊縱為闊與髙相乘又加長縱為長以之再乘得初商積至次商以後其一方亷附於初商積之正面者則𢃄兩縱其二方亷附於初商積之旁面者則一𢃄闊縱一𢃄長縱也其一長亷附於初商積之髙邊者即初商數其二長亷附於初商積之長闊兩邊者則各𢃄一縱也惟小隅則無論𢃄一縱兩縱皆各以所商之數自乘再乘成一小正方其每邊之數即三方亷之厚亦即三長亷之闊與厚焉凡有幾層亷隅皆依次商之例遞析推之法雖不一要皆本於正方而後加𢃄縱故凡商出之數皆為小邊方體共十二邊若𢃄一縱或𢃄兩縱相同者則八邊相等四邊相等若𢃄兩縱不同者則每四邊各相等是故得其一邊加入縱多即得各邊也設如𢃄一縱立方積一百一十二尺其髙與闊相等長比髙闊多三尺問髙闊長各幾何法列積如開立方法商之其積一百一十二尺止可商四尺乃以四尺書於原積二尺之上而以所商四尺為髙與闊(因髙與闊等故四尺即方之髙與闊也)加縱多三尺得七尺為長即以髙與闊四尺自乗得一十六尺又以長七尺再乗得一百一十二尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱四尺加縱多三尺得七尺即立方之長也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一百一十二尺其甲乙為髙甲已為闊己戊為長甲乙甲已俱四尺己戊為七尺己戊比己庚多三尺即所𢃄之縱甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方積庚辛壬丙丁戊扁方形即帶縱所多之扁方積也葢因此法髙與闊俱止一位其積止一位之積故初商所得即髙與闊之邊加入縱多即為長邊也凡有帶一縱無次商者依此法開之設如𢃄一縱立方積二千四百四十八尺其髙與闊相等長比髙闊多五尺問髙闊長各幾何法列積如開立方法商之其二千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積二千尺之上而以所商十尺為初商之髙與闊加縱多五尺得十五尺為初商之長即以初商之髙與闊十尺自乗得一百尺又以初商之長十五尺再乗得一千五百尺書於原積之下相減餘九百四十八尺為次商亷隅之共積乃以初商之髙與闊十尺自乗得一百尺(此一)(方亷初商數也)又以初商之髙與闊十尺與初商之長十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺(加倍為𢃄縱兩方亷即初商加縱多也)兩數相併得四百尺為次商三方亷面積以除次商亷隅之共積九百四十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上而以初商之髙與闊十尺倍之得二十尺(此兩長亷初商數也)與初商之長十五尺相併(此𢃄)(縱一長亷也)得三十五尺以次商之二尺乘之得七十尺為次商三長亷面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方亷三長亷一小隅面積共得四百七十四尺為亷隅共法以次商之二尺乘之得九百四十八尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱一十二尺加縱多五尺得一十七尺即立方之長也如圖甲乙丙丁長方體形容積二千四百四十八尺其甲乙髙甲戊闊皆十二尺甲己長十七尺甲已比庚已所多甲庚五尺即縱多之數其從一角所分辛乙癸壬長方體形壬癸與辛乙皆十尺即初商數壬辛十五尺即初商加縱多之數辛乙癸壬長方積一千五百尺即初商自乗又以初商加縱多再乘之數所餘子形丑形寅形為三方廉其中寅形為一正方廉每邊十尺即初商數子形丑形為二長方廉每闊十尺長十五尺其長比闊多五尺即縱多之數其厚皆二尺即次商數卯形辰形巳形為三長廉其辰形巳形皆長十尺即初商數夘形比辰形巳形皆長五尺即縱多之數其闊與厚皆二尺亦即次商數其巳形一小正方體為隅其長闊與高皆二尺亦即次商數合子丑寅三方廉夘辰巳三長廉巳一小方隅共成一磬折體形附於初商長方體之三面而成甲乙丙丁之總長方體積也三商以後皆倣此遞析開之又法以初商積二千尺商十尺書於原積二千尺之上而以所商十尺為初商之高與闊加縱多五尺得十五尺為初商之長即以初商之高與闊十尺自乘得一百尺又以初商之長十五尺再乘得一千五百尺書於原積之下相減餘九百四十八尺為次商積乃以初商之髙與闊十尺自乘得一百尺又以初商之髙與闊十尺與初商之長十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得四百尺為次商三方亷面積以除次商積九百四十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上合初商次商共一十二尺為初商次商之髙與闊加縱多五尺得十七尺為初商次商之長乃以初商次商之髙與闊十二尺自乘得一百四十四尺又以初商次商之長十七尺再乗得二千四百四十八尺與原積相減恰盡即知立方之髙與闊俱十二尺其長為十七尺也設如帶一縱立方積一萬九千零八寸其髙與闊相等長比髙闊多一百二十寸問髙闊長各幾何法列積如開立方法商之其一萬九千寸為初商積可商二十寸則以二十寸為髙與闊加縱多一百二十寸得一百四十寸為長即以髙與闊二十寸自乗得四百寸又以長一百四十寸再乘得五萬六千寸大於原積二倍有餘乃退商十寸書於原積九千寸之上而以所商十寸為初商之高與闊加縱多一百二十寸得一百三十寸為初商之長乃以初商之髙與闊十寸自乘得一百寸又以初商之長一百三十寸再乘得一萬三千寸書於原積之下相減餘六千零八寸為次商廉隅之共積乃以初商之髙與闊十寸自乘得一百寸又以初商之髙與闊十寸與初商之長一百三十寸相乘得一千三百寸倍之得二千六百寸兩數相併得二千七百寸為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積六千零八寸足二寸則以二寸書於原積八寸之上而以初商之髙與闊十寸倍之得二十寸又與初商之長一百三十寸相併得一百五十寸以次商之二寸乘之得三百寸為次商三長廉面積又以次商之二寸自乘得四寸為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三千零四寸為廉隅共法以次商之二寸乘之得六千零八寸書於餘積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱十二寸加縱多一百二十寸得一百三十二寸即立方之長也此法因帶縱甚大按立方例所得初商數並加縱多所得初商積必大於原積㡬倍依次漸取小數開之又至甚煩故約略其分退商之至商出之積比原積微小而後可是則帶縱立方立法之最難者也設如帶一縱立方積二丈零四十二尺四百一十五寸其髙與闊相等長比髙闊多一尺二寸問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其二丈為初商積可商一丈乃以一丈書於原積二丈之上而以所商一丈為初商之高與闊加縱多一尺二寸得一丈一尺二寸為初商之長即以初商之高與闊一丈自乘仍得一丈又以初商之長一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺書於原積之下相減餘九百二十二尺四百一十五寸為次商廉隅之共積乃以初商之高與闊一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之長一丈一尺二寸作一十一尺二寸與初商之高與闊一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺兩數相併得三百二十四尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積九百二十二尺足二尺則以二尺書於原積二尺之上而以初商之高與闊一十尺倍之得二十尺與初商之長一十一尺二寸相併得三十一尺二寸以次商之二尺乘之得六十二尺四十寸為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百九十尺四十寸為廉隅共法以次商之二尺乘之得七百八十尺八百寸書於餘積之下相減仍餘一百四十一尺六百一十五寸即一十四萬一千六百一十五寸為三商廉隅之共積其初商次商所得之一丈二尺為高與闊加縱多一尺二寸得一丈三尺二寸為長乃以初商次商之高與闊一丈二尺作一百二十寸自乘得一萬四千四百寸又以初商次商之長一丈三尺二寸作一百三十二寸與初商次商之高與闊一百二十寸相乘得一萬五千八百四十寸倍之得三萬一千六百八十寸兩數相併得四萬六千零八十寸為三商三方廉面積以除三商廉隅之共積一十四萬一千六百一十五寸足三寸則以三寸書於原積五寸之上而以初商次商之髙與闊一百二十寸倍之得二百四十寸與長一百三十二寸相併得三百七十二寸以三商之三寸乘之得一千一百一十六寸為三商三長廉面積又以三商之三寸自乘得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬七千二百零五寸為㢘隅共法以三商之三寸乘之得一十四萬一千六百一十五寸書於餘積之下相減恰盡是知立方之高與闊俱一丈二尺三寸加縱多一尺二寸俱一丈三尺五寸即立方之長也又法以初商積二丈商一丈書於原積二丈之上而以所商一丈為初商之高與闊加縱多一尺二寸得一丈一尺二寸為初商之長即以初商之高與闊一丈自乘仍得一丈又以初商之長一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺書於原積之下相減餘九百二十二尺四百一十五寸為次商積乃以初商之高與闊一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之長一丈一尺二寸作一十一尺二寸與初商之高與闊一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺兩數相併得三百二十四尺為次商三方廉面積以除次商積九百二十二尺四百一十五寸足二尺則以二尺書於原積二尺之上合初商次商共一丈二尺為初商次商之高與闊加縱多一尺二寸得一丈三尺二寸為初商次商之長乃以初商次商之髙與闊一丈二尺自乘得一丈四十四尺又以初商次商之長一丈三尺二寸再乘得一丈九百尺零八百寸與原積相減餘一百四十一尺六百一十五寸即一十四萬一千六百一十五寸為三商積乃以初商次商之高與闊一丈二尺作一百二十寸自乘得一萬四千四百寸又以初商次商之長一丈三尺二寸作一百三十二寸與初商次商之高與闊一百二十寸相乘得一萬五千八百四十寸倍之得三萬一千六百八十寸兩數相併得四萬六千零八十寸為三商三方㢘面積以除三商積一十四萬一千六百一十五寸足三寸則以三寸書於原積五寸之上合初商次商三商共一丈二尺三寸為初商次商三商之髙與闊加縱多一尺二寸得一丈三尺五寸為初商次商三商之長乃以初商次商三商之髙與闊一丈二尺三寸自乘得一丈五十一尺二十九寸又以初商次商三商之長一丈三尺五寸再乘得二丈零四十二尺四百一十五寸與原積相減恰盡即知立方之高與闊俱一丈二尺三寸其長為一丈三尺五寸也設如帶兩縱相同立方積五百六十七尺其長與闊俱比髙多二尺問長闊髙各㡬何法列積如開立方法商之共積五百六十七尺可商八尺因留兩縱積故取略小之數商七尺乃以七尺書於原積七尺之上而以所商七尺為高加縱多二尺得九尺為長與闊即以長與闊九尺自乘得八十一尺又以髙七尺再乘得五百六十七尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高為七尺加縱多二尺得九尺即立方之長與闊也如圖甲乙丙丁戊己扁方體形容積五百六十七尺其甲乙為高甲子為闊甲巳為長甲乙七尺甲子甲己皆比甲乙多二尺即所帶之縱其甲乙癸壬辛庚正方形即初商之積庚辛壬癸丙丁戊已磬折體形即所帶之縱積也此法因長闊俱比高多故初商所得為髙於高加縱多即長與闊也設如帶兩縱相同立方積三千四百六十八尺其長與闊俱比高多五尺問長闊高各㡬何法列積如開立方法商之其三千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積三千尺之上而以初商十尺為初商之髙加縱多五尺得十五尺為初商之長與闊即以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺書於原積之下相減餘一千二百一十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺(此一方廉長闊皆帶一縱)(也)又以初商之髙十尺與初商之長與闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺(加倍為帶縱兩方廉即初商加縱多也)兩數相併得五百二十五尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千二百一十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上而以初商之長與闊十五尺倍之得三十尺(此兩長廉即長闊各帶一縱也)與初商之髙十尺相併(此一長廉初商數也)得四十尺以次商之二尺乘之得八十尺為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六百零九尺為廉隅共法以次商之二尺乘之得一千二百一十八尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之高為十二尺加縱多五尺得十七尺為立方之長與闊也如圖甲乙丙丁扁方體形容積三千四百六十八尺其甲乙髙十二尺甲戊長甲已闊俱十七尺甲戊比甲辛所多辛戊甲已比庚己所多甲庚俱五尺即縱多之數其從一角所分壬乙子癸扁方體形癸子與壬乙皆十尺即初商數壬癸與癸申皆十五尺即初商加縱多之數壬乙子癸扁方積二千二百五十尺即初商加縱多自乘又以初商再乘之數所餘丑形寅形夘形為三方廉其中寅形為一正方廉每邊十五尺即初商加縱多之數丑形夘形為二長方廉每高十尺長十五尺其長比髙多五尺即縱多之數其厚皆二尺即次商數辰形巳形午形為三長廉巳形長十尺即初商數辰形午形比巳形俱長五尺即縱多之數其闊與厚皆一尺亦即次商數其巳形一小正方體為隅其長闊高皆二尺亦即次商數合丑寅夘三方廉辰巳午三長廉巳一小方隅共成一磬折體形附於初商長方體之三面而成甲乙丙丁之總扁方體積也三商以後皆倣此遞析開之又法以初商積三千尺商十尺書於原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加縱多五尺得十五尺為初商之長與闊即以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺書於原積之下相減餘一千二百一十八尺為次商積乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之高十尺與初商之長與闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得五百二十五尺為次商三方廉面積以除次商積一千二百一十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上合初商次商共十二尺為初商次商之髙加縱多五尺得十七尺為初商次商之長與闊乃以初商次商之長與闊十七尺自乘得二百八十九尺又以初商次商之高十二尺再乘得三千四百六十八尺與原積相減恰盡即知立方之高為十二尺其長與闊得十七尺也設如帶兩縱相同立方積一百零三萬四千二百八十九寸其長與闊俱比高多三百三十寸問長闊髙各㡬何法列積如開立方法商之其一百萬寸為初商積可商一百寸乃以所商一百寸為高加縱多三百三十寸得四百三十寸為長與闊即以長與闊四百三十寸自乘得一十八萬四千九百寸又以高一百寸再乘得一千八百四十九萬寸大於原積十倍有餘是初商不可商一百寸也乃改商十寸為高(既大於原積十倍有)(餘故取十分之一商之為十寸)加縱多三百三十寸得三百四十寸為長與闊即以長與闊三百四十寸自乘得一十一萬五千六百寸又以髙十寸再乘得一百一十五萬六千寸仍大於原積是亦不可商一十寸也乃改商九寸書於原積九寸之上而以所商九寸為髙加縱多三百三十寸得三百三十九寸為長與闊即以長與闊三百三十九寸自乘得一十一萬四千九百二十一寸又以髙九寸再乘得一百零三萬四千二百八十九寸書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為九寸加縱多三百三十寸得三百三十九寸為立方之長與闊也設如帶兩縱相同立方積一十一丈五百零九尺二百六十八寸其長與闊俱比高多二尺一寸問長闊髙各㡬何法列積如開立方法商之其一十一丈為初商積可商二丈乃以二丈書於原積一丈之上而以所商二丈為初商之髙加縱多二尺一寸得二丈二尺一寸為初商之長與闊乃以初商之長與闊二丈二尺一寸自乘得四丈八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈再乘得九丈七百六十八尺二百寸書於原積之下相減餘一丈七百四十一尺零六十八寸即一千七百四十一尺零六十八寸為次商廉隅之共積乃以初商之長與闊二丈二尺一寸作二十二尺一寸自乘得四百八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈作二十尺與初商之長與闊二十二尺一寸相乘得四百四十二尺倍之得八百八十四尺兩數相併得一千三百七十二尺四十一寸為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千七百四十一尺零六十八寸足一尺則以一尺書於原積九尺之上而以初商之長與闊二十二尺一寸倍之得四十四尺二寸與初商之髙二十尺相併得六十四尺二寸以次商之一尺乘之得六十四尺二十寸為次商三長廉面積又以次商之一尺自乘仍得一尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千四百三十七尺六十一寸為廉隅共法以次商之一尺乘之得一千四百三十七尺六百一十寸書於餘積之下相減仍餘三百零三尺四百五十八寸即三十萬三千四百五十八寸為三商廉隅之共積其初商次商所得之二丈一尺為髙加縱多二尺一寸得二丈三尺一寸為長與闊乃以初商次商之長與闊二丈三尺一寸作二百三十一寸自乘得五萬三千三百六十一寸又以初商次商之髙二丈一尺作二百一十寸與初商次商之長與闊二百三十一寸相乘得四萬八千五百一十寸倍之得九萬七千零二十寸兩數相併得一十五萬零三百八十一寸為三商三方廉面積以除三商廉隅之共積三十萬零三千四百五十八寸足二寸則以二寸書於原積八寸之上而以初商次商之長與闊二百三十一寸倍之得四百六十二寸與初商次商之髙二百一十寸相加得六百七十二寸以三商之二寸乘之得一千三百四十四寸為三商三長廉面積又以三商之二寸自乘得四寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一十五萬一千七百二十九寸為廉隅共法以三商之二寸乘之得三十萬三千四百五十八寸書於餘積之下相減恰盡是知立方之高得二丈一尺二寸加縱多二尺一寸得二丈三尺三寸即立方之長與闊也設如帶兩縱不同立方積一百九十二尺其闊比高多二尺其長比闊又多二尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其積一百九十二尺可商五尺乃以所商五尺為髙加闊比髙多二尺得七尺為闊再加長比闊多二尺得九尺為長即以高五尺與闊七尺相乘得三十五尺又以長九尺再乘得三百一十五尺大於原積乃改商四尺書於原積二尺之上而以所商四尺為髙加闊比髙多二尺得六尺為闊再加長比闊多二尺得八尺為長即以髙四尺與闊六尺相乘得二十四尺又以長八尺再乘得一百九十二尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為四尺其闊為六尺其長為八尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一百九十二尺其甲乙為髙四尺甲已為闊六尺己戊為長八尺甲已比甲庚所多庚已二尺即闊比髙所帶之縱己戊比己辛所多辛戊四尺即長比髙所帶之縱甲乙子癸壬庚正方形即初商之正方積庚壬癸子丙丁戊辛已磬折體形即長闊兩縱所多之長方積也此法因長比闊多闊又比髙多故初商所得即為髙於髙加闊縱為闊於闊加長縱為長也設如帶兩縱不同立方積三千零二十四尺其闊比髙多二尺其長比闊又多四尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其三千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加闊比髙多二尺得十二尺為初商之闊再加長比闊多四尺得十六尺為初商之長乃以初商之高十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺又以初商之長十六尺再乘得一千九百二十尺書於原積之下相減餘一千一百零四尺為次商廉隅之共積乃以初商之髙十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺(此帶闊縱一方廉也)又以初商之高十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺(此帶長縱一方廉也)又以初商之闊十二尺與初商之長十六尺相乘得一百九十二尺(此帶長闊兩縱一方廉也)三數相併得四百七十二尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千一百零四尺足二尺則以二尺書於原積四尺之上而以初商之髙十尺(此一長廉初商數也)與初商之闊十二尺相併(此帶闊縱一長廉也)得二十二尺又與初商之長十六尺相併(此帶長縱一長廉也)得三十八尺以次商之二尺乘之得七十六尺為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百五十二尺為廉隅共法以次商之二尺乘之得一千一百零四尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高得十二尺加闊比髙多二尺得十四尺為闊又加長比闊多四尺得十八尺為長也如圖甲乙丙丁長方體形容積三千零二十四尺其甲乙髙十二尺甲戊闊十四尺甲已長十八尺甲戊比甲庚所多二尺即闊比髙所多之數甲已比辛己所多六尺即長比髙所多之數其從一角所分壬乙子癸長方體形壬乙與癸子皆十尺即初商之數壬未與癸申皆十二尺即初商之髙加闊多之數壬癸與未申皆十六尺即初商之髙加闊多又加長多之數壬乙子癸長方體形所容一千九百二十尺即初商積所餘丑形寅形夘形為三方廉其夘形之髙十尺即初商之數其帶闊縱二尺如酉即闊多之數其丑形之髙十尺亦即初商之數其帶長縱六尺如戌即長多之數其寅形之闊十尺又帶闊多二尺如亥即初商之髙加闊多之數其帶長縱六尺如乾即初商之髙加闊多又加長多之數其厚皆二尺即次商之數辰形巳形午形為三長廉其辰形之長十尺即初商之數巳形比辰形所多二尺如坎即闊多之數其午形比辰形所多六尺如艮即長多之數其闊與厚皆二尺亦即次商之數其已形一小正方體為隅其長闊與髙俱二尺亦即次商之數合三方廉三長廉一小隅共成一磬折體形附於初商長方體之三面而成甲乙丙丁之總長方體積也三商以後皆倣此遞析開之又法以初商積三千尺商十尺書於原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加闊比髙多二尺得十二尺為初商之闊再加長比闊多四尺得十六尺為初商之長即以初商之髙十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺又以初商之長十六尺再乘得一千九百二十尺書於原積之下相減餘一千一百零四尺為次商積乃以初商之闊十二尺與初商之長十六尺相乘得一百九十二尺又以初商之髙十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺又以初商之髙十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺三數相併得四百七十二尺為次商三方廉面積以除次商積一千一百零四尺足二尺則以二尺書於原積四尺之上合初商次商共十二尺為初商次商之髙加闊比髙多二尺得十四尺為初商次商之闊再加長比闊多四尺得十八尺為初商次商之長乃以初商次商之高十二尺與初商次商之闊十四尺相乘得一百六十八尺又以初商次商之長十八尺再乘得三千零二十四尺與原積相減恰盡即知立方之髙為十二尺其闊為十四尺其長為十八尺也設如帶兩縱不同立方積三十萬零一百六十寸其闊比髙多九十二寸其長比髙多一百一十四寸問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其三十萬寸為初商積可商六十寸乃以所商六十寸為髙加闊比髙多九十二寸得一百五十二寸為闊再加長比髙多一百一十四寸得一百七十四寸為長即以高六十寸與闊一百五十二寸相乘得九千一百二十寸又以長一百七十四寸再乘得一百五十八萬六千八百八十寸大於原積五倍有餘是初商不可商六十寸也乃改商二十寸書於原積空千寸之上而以所商二十寸為高加闊比髙多九十二寸得一百一十二寸為闊又以高二十寸加長比高多一百一十四寸得一百三十四寸為長乃以高二十寸與闊一百一十二寸相乘得二千二百四十寸又以長一百三十四寸再乘得三十萬零一百六十寸書於原積之下相減恰盡是知次商為空位而立方之髙為二十寸其闊為一百一十二寸其長為一百三十四寸也設如帶兩縱不同立方積一萬三千二百八十四寸其闊比髙多三寸其長比闊多一百一十一寸問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其一萬三千寸為初商積可商二十寸乃以所商二十寸為高加闊比髙多三寸得二十三寸為闊再加長比闊多一百一十一寸得一百三十四寸為長即以髙與闊與長按法相乘得六萬一千六百四十寸大於原積四倍有餘是初商不可商二十寸也乃退商十寸而以所商十寸為髙加闊比高多三寸得十三寸為闊再加長比闊多一百一十一寸得一百二十四寸為長即以髙與闊與長按法相乘得一萬六千一百二十寸仍大於原積乃復退商九寸書於原積四寸之上而以所商九寸為髙加闊比髙多三寸得十二寸為闊再加長比闊多一百一十一寸共一百二十三寸為長即以高九寸與闊十二寸相乘得一百零八寸又以長一百二十三寸再乘得一萬三千二百八十四寸書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為九寸其闊為十二寸其長為一百二十三寸也設如帶兩縱不同立方積一十三丈二百四十九尺五百四十五寸其闊比髙多一尺其長比闊又多二尺二寸問髙闊長㡬何法列積如開立方法商之其一十三丈為初商積可商二丈乃以二丈書於原積三丈之上而以所商二丈為初商之髙加闊比髙多一尺得二丈一尺為初商之闊再加長比闊多二尺二寸得二丈三尺二寸為初商之長即以初商之髙二丈與初商之闊二丈一尺相乘得四丈二十尺又以初商之長二丈三尺二寸再乘得九丈七百四十四尺書於原積之下相減餘三丈五百零五尺五百四十五寸即三千五百零五尺五百四十五寸為次商廉隅之共積乃以初商之髙二丈作二十尺初商之闊二丈一尺作二十一尺相乘得四百二十尺又以初商之長二丈三尺二寸作二十三尺二寸與初商之髙二十尺相乘得四百六十四尺又以初商之闊二十一尺與初商之長二十三尺二寸相乘得四百八十七尺二十寸三數相併得一千三百七十一尺二十寸為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積三千五百零五尺五百四十五寸足二尺則以二尺書於原積九尺之上而以初商之髙二十尺與初商之闊二十一尺初商之長二十三尺二寸相併得六十四尺二寸以次商之二尺乘之得一百二十八尺四十寸為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千五百零三尺六十寸為廉隅共法以次商之二尺乘之得三千零七尺二百寸書於餘積之下相減仍餘四百九十八尺三百四十五寸即四十九萬八千三百四十五寸為三商廉隅之共積其初商次商所得之二丈二尺為髙加闊比髙多一尺得二丈三尺為闊又加長比闊多二尺二寸得二丈五尺二寸為長乃以初商次商之髙二丈二尺作二百二十寸初商次商之闊二丈三尺作二百三十寸相乘得五萬零六百寸又以初商次商之長二丈五尺二寸作二百五十二寸與初商次商之髙二百二十寸相乘得五萬五千四百四十寸又以初商次商之闊二百三十寸與初商次商之長二百五十二寸相乘得五萬七千九百六十寸三數相併得一十六萬四千寸為三商三方廉面積以除三商廉隅之共積四十九萬八千三百四十五寸足三寸則以三寸書於原積五寸之上而以初商次商之髙二百二十寸與初商次商之闊二百三十寸初商次商之長二百五十二寸相併得七百零二寸以三商之三寸乘之得二千一百零六寸為三商三長廉面積又以三商之三寸自乘得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一十六萬六千一百一十五寸為廉隅共法以三商之三寸乘之得四十九萬八千三百四十五寸書於餘積之下相減恰盡是知立方之髙得二丈二尺三寸加闊比髙多一尺得二丈三尺三寸為闊又加長比闊多二尺二寸得二丈五尺五寸為長也設如帶兩縱不同立方積一百三十二萬八千二百五十尺其闊比髙多五尺其長比闊又多五尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其一百萬尺為初商積可商一百尺乃以一百尺書於原積一百萬尺之上而以所商之一百尺為初商之髙加闊比髙多五尺得一百零五尺為初商之闊再加長比闊多五尺得一百一十尺為初商之長乃以初商之髙一百尺與初商之闊一百零五尺相乘得一萬零五百尺又以初商之長一百一十尺再乘得一百一十五萬五千尺書於原積之下相減餘一十七萬三千二百五十尺為次商廉隅之共積乃以初商之髙一百尺與初商之闊一百零五尺相乘得一萬零五百尺又以初商之髙一百尺與初商之長一百一十尺相乘得一萬一千尺又以初商之闊一百零五尺與初商之長一百一十尺相乘得一萬一千五百五十尺三數相併得三萬三千零五十尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一十七萬三千二百五十尺不足一十尺僅足五尺是次商為空位也乃書一空於原積八千尺之上以存次商之位復以所商五尺書於原積空尺之上而以初商次商之髙一百尺與初商次商之闊一百零五尺初商次商之長一百一十尺相併得三百一十五尺以三商之五尺乘之得一千五百七十五尺為三商三長廉面積又以三商五尺自乘得二十五尺為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三萬四千六百五十尺為廉隅共法以三商之五尺乘之得一十七萬三千二百五十尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之髙為一百零五尺加闊比髙多五尺得一百一十尺為闊又加長比闊多五尺得一百一十五尺為長也設如一尺土方三萬九千六百八十八尺築堤一段其髙與闊相等其長比高闊多六十尺問髙闊長各㡬何法列積用帶一縱立方法開之其三萬九千尺為初商積可商三十尺乃以所商三十尺為髙與闊加縱多六十尺得九十尺為長即以髙與闊三十尺自乘得九百尺又以長九十尺再乘得八萬一千尺大於原積乃改商二十尺書於原積九千尺之上而以所商二十尺為初商之髙與闊加縱多六十尺得八十尺為初商之長即以初商之髙與闊二十尺自乘得四百尺又以初商之長八十尺再乘得三萬二千尺書於原積之下相減餘七千六百八十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之高與闊二十尺自乘得四百尺又以初商之長八十尺與初商之高與闊二十尺相乘得一千六百尺倍之得三千二百尺兩數相併得三千六百尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積七千六百八十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上而以初商之髙與闊二十尺倍之得四十尺與初商之長八十尺相併得一百二十尺以次商之二尺乘之得二百四十尺為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三千八百四十四尺為廉隅共法以次商之二尺乘之得七千六百八十八尺書於餘積之下相減恰盡是知堤之髙與闊俱二十二尺加長比髙闊多六十尺得八十二尺為堤一段之長也設如有倉一座容米二千四百石其倉之長與闊俱比髙多五尺問倉之長闊髙各㡬何法将米二千四百石用每石定法二尺五百寸乘之得六千尺乃以六千尺為帶兩縱相同立方積用帶兩縱相同法開之其六千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積六千尺之上而以所商十尺為初商之高加縱多五尺得十五尺為初商之長與闊乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺書於原積之下相減餘三千七百五十尺為次商廉隅之共積乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺與初商之長與闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得五百二十五尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積三千七百五十尺足七尺乃按法算之得廉隅共法八百五十四尺以次商之七尺乘之得五千九百七十八尺大於次商廉隅之共積乃改商六尺按法算之得廉隅共法八百零一尺以次商之六尺乘之仍大於次商廉隅之共積又改商五尺書於原積空尺之上而以初商之長與闊十五尺倍之得三十尺與初商之高十尺相併得四十尺以次商之五尺乘之得二百尺為次商三長廉面積又以次商之五尺自乘得二十五尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得七百五十尺為廉隅共法以次商之五尺乘之得三千七百五十尺書於餘積之下相減恰盡是知倉之高為一十五尺加縱多五尺得二十尺為倉之長與闊也設如挑河一段但知挑出土方七萬六千一百四十尺其寬比深多三尺其長比寬多二百六十四尺問寬長深各㡬何法列積用帶兩縱不同立方法開之其七萬六千尺為初商積可商四十尺因長縱甚多故取小數商二十尺為深加寬比深多三尺得二十三尺為寬再加長比寬多二百六十四尺得二百八十七尺為長以三數相乘得十萬三千二百零二十尺大於原積乃改商十尺書於原積六千尺之上而以所商十尺為初商之深加寬比深多三尺得十三尺為初商之寬再加長比寬多二百六十四尺得二百七十七尺為初商之長乃以初商之深十尺與初商之寬十三尺相乘得一百三十尺又以初商之長二百七十七尺再乘得三萬六千零十尺書於原積之下相減餘四萬零一百三十尺為次商亷隅之共積乃以初商之深十尺與初商之寬十三尺相乘得一百三十尺又以初商之寬十三尺與初商之長二百七十七尺相乘得三千六百零一尺又以初商之深十尺與初商之長二百七十七尺相乘得二千七百七十尺三數相併得六千五百零一尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積四萬零一百三十尺足五尺則以五尺書於原積空尺之上而以初商之深十尺與初商之寬十三尺初商之長二百七十七尺相併得三百尺以次商之五尺乘之得一千五百尺為次商三長亷面積又以次商之五尺自乘得二十五尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得八千零二十六尺為廉隅共法以次商之五尺乘之得四萬零一百三十尺書於餘積之下相減恰盡是知挑河之深為十五尺加寬比深多三尺得十八尺為寬再加長比寛多二百六十四尺得二百八十二尺為河一段之長也𢃄縱和數立方𢃄縱較數立方其法已難而𢃄縱和數立方立法尤難故古無傳而以理推之則法有與較數相對待者其𢃄一縱立方高與闊相等惟長不同如以長與高和或長與闊和為問者則以初商為高與闊而與和數相減餘為長乃以高與闊自乗以長再乗為初商積其或和數甚多而積甚少按立方法商之必至大於原積者則以和數除原積得數約開平方可得幾數取略大數以定初商初商減積有餘實者其初商方積外有二方亷一長亷成兩面磬折體形而初商之高與闊少一次商初商之長多一次商故内少一方亷積商除之法則以初商之高與闊與初商之長相乗倍之為二方亷面積視餘實足方亷面積幾倍取略大數以定次商而以初商自乗次商再乗得一方亷積與餘實相加始足次商二方亷一長亷之共積故以次商與初商之長相減餘為初商次商之共長與初商相乗倍之為二方亷面積又以初商次商之共長與次商相乗為一長亷面積合二方亷一長亷面積以次商乗之為二方亷一長亷之共積所謂初商方積外成兩面磬折體形是也其𢃄兩縱相同立方長與闊相等惟高不同如以高與闊和或高與長和為問者則以初商為高與和數相減餘為長與闊乃以長與闊自乗以高再乗為初商積其或和數甚多而積甚少按立方法商之必至大於原積者則以和數自乗除原積約足幾倍取略大數以定初商初商減積有餘實者初商方積外止一方亷成一扁方體形而初商之高少一次商初商之長與闊各多一次商故内少二方亷一長亷積商除之法則以初商之長與闊自乗為一方亷面積視餘實足方亷面積幾倍取略大數以定次商以次商與初商之長與闊相減餘為初商次商之長與闊而與初商相乗次商再乗倍之為二方亷積又以次商自乗初商再乗為一長亷積合二方亷一長亷積與餘實相加始足次商一方亷積故以初商次商之長與闊自乗次商再乗為一方亷積所謂初商方積外成一扁方體形是也其𢃄兩縱不同立方與𢃄兩縱相同立方同但帶兩縱相同者其次商積為一正方廉帶兩縱不同者其次商積為一長方廉耳要之定商皆以小於半和為準有時退商而反不足進商而反有餘須合初商次商以斟酌之至次商以後因有益積之法故廉法亦不足憑則又須較量而増損之可也設如帶一縱立方積七百六十八尺其高與闊等長與闊和二十尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其積七百六十八尺可商九尺則以九尺為高與闊與長闊和二十尺相減餘十一尺為長即以高與闊九尺自乘得八十一尺又以長十一尺再乘得八百九十一尺大於原積乃退商八尺書於原積八尺之上而以所商八尺為高與闊與長闊和二十尺相減餘十二尺為長即以髙與闊八尺自乘得六十四尺又以長十二尺再乘得七百六十八尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高與闊俱八尺長十二尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積七百六十八尺其甲乙為高乙丙為闊丙丁為長甲乙乙丙俱八尺丙丁為十二尺乙丙與丙丁共二十尺即長闊之和初商所得即高與闊於長闊和内減去初商所餘即長也此法與較數帶縱立方有加減之異彼以所商之數與較數相加此則以所商之數與和數相減也設如帶一縱立方積二千四百四十八尺其高與闊相等長與闊和二十九尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其二千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積二千尺之上而以所商十尺為初商之高與闊與長闊和二十九尺相減餘十九尺為初商之長即以初商之高與闊十尺自乘得一百尺又以初商之長十九尺再乘得一千九百尺書於原積之下相減餘五百四十八尺乃以初商之髙與闊十尺與初商之長十九尺相乘得一百九十尺倍之得三百八十尺以除餘積五百四十八尺足一尺因仍益積且初商之長尚減去次商數故取大數為二尺則以二尺書於原積八尺之上而以初商十尺自乘又以次商二尺再乘得二百尺與餘積五百四十八尺相加得七百四十八尺為次商二方廉一長廉之共積乃以次商二尺與初高之長十九尺相減餘十七尺為初商次商之長與初商之高與闊十尺相乘得一百七十尺倍之得三百四十尺為二方廉面積又以次商二尺與初商次商之長十七尺相乘得三十四尺為一長廉面積合二方廉一長廉面積共三百七十四尺以次商二尺乘之得七百四十八尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之高與闊俱十二尺長十七尺也如圖甲乙丙丁長方體形甲乙高乙戊闊皆十二尺戊丙長十七尺乙戊與戊丙共二十九尺即長闊之和其從一角所分己乙壬癸長方體形己乙與乙庚皆十尺即初商數壬庚十九尺即長闊和内減初商所餘之數比戊丙多子壬一段即次商數己乙壬癸長方積一千九百尺即初商自乘又以初商與長闊和相減之餘再乘之數比初商原體積多丑寅壬癸一扁方體形因初商積内多減去此積故以初商自乗次商再乗而得丑寅壬癸扁方體積與餘積相加即得甲己辛庚丙丁兩面磬折體形其辰形巳形為兩方廉其闊十尺即初商數其長十七尺即長闊和内減初商次商之數其厚皆二尺即次商數午形為一長廉其長十七尺與方廉同其闊與厚皆二尺亦即次商數合二方廉一長廉共成一磬折體形附於長方體之兩面而成甲乙丙丁之總長方體積也設如帶一縱立方積九萬九千九百五十四尺其高與闊相等長與闊和一千二百四十三尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其九萬九千尺為初商積可商四十尺而長闊和為一千二百四十三尺按法相乘過大於原積爰以長闊和一千二百四十三尺除原積九萬九千九百五十四尺足八十尺有餘以八十尺開平方約足九尺乃以九尺書於原積四尺之上而以所商九尺為髙與闊與長闊和一千二百四十三尺相減餘一千二百三十四尺為長即以髙與闊九尺自乘得八十一尺又以長一千二百三十四尺再乘得九萬九千九百五十四尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱九尺長一千二百三十四尺也此法葢因帶一縱甚多高與闊甚少其長闊和比長所多無㡬故以長闊和除原積即得髙與闊自乘之一面積而開平方所得即髙與闊與長闊和相減所餘即長也設如帶兩縱相同立方積三百八十四尺其長與闊相等高與闊和十四尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其積三百八十四尺可商七尺因欲得小於半和之數乃退商六尺書於原積四尺之上而以所商六尺為高與高闊和十四尺相減餘八尺為長與闊即以長與闊八尺自乘得六十四尺又以高六尺再乘得三百八十四尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高為六尺長與闊皆八尺也如圖甲乙丙丁戊己扁方體形容積三百八十四尺其甲乙為高乙丙為闊丙丁為長甲乙六尺乙丙與丙丁皆八尺甲乙與乙丙共十四尺即高與闊之和初商所得為高於高闊和内減去初商所餘為闊亦即長也設如帶兩縱相同立方積六千九百一十二尺其長與闊相等高與闊和三十六尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其六千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積六千尺之上而以所商十尺為初商之高與高闊和三十六尺相減餘二十六尺為初商之長與闊即以初商之長與闊二十六尺自乘得六百七十六尺又以初商之高十尺再乘得六千七百六十尺書於原積之下相減餘一百五十二尺乃以初商之長與闊二十六尺自乘得六百七十六尺以除餘積一百五十二尺不足一尺因仍益積且初商之長與闊内尚減去次商數故取大數為二尺書於原積二尺之上而以次商二尺與初商之長與闊二十六尺相減餘二十四尺為初商次商之長與闊與初商十尺相乘得二百四十尺以次商二尺再乘得四百八十尺倍之得九百六十尺為二方廉積又以次商二尺自乘以初商十尺再乘得四十尺為一長廉積合二方廉一長廉積共一千尺與餘積一百五十二尺相加得一千一百五十二尺為次商一方廉積乃以初商次商之長二十四尺自乘得五百七十六尺以次商二尺再乘得一千一百五十二尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之高十二尺長與闊皆二十四尺也如圖甲乙丙丁扁方體形容積六千九百一十二尺甲乙高十二尺甲戊長甲己闊俱二十四尺甲己與甲乙共三十六尺即高與闊之和其從一面所分庚乙癸子扁方體形庚乙十尺即初商數庚丑與庚寅皆二十六尺即高闊和内減初商之數庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商數庚乙癸子長方積六千七百六十尺即初商與高闊和相減之餘數自乘又以初商再乘之數比初商原體積多巳午二方廉積未一長廉積因初商積内多減去此積故以初商次商之長與闊與初商相乘以次商再乘倍之即得巳午二方廉積又以次商自乘以初商再乘即得未一長廉積與餘積相加即得甲庚辛壬丁戊扁方體形其甲戊長甲己闊皆二十四尺即高闊和内減初商次商之數甲庚厚二尺即次商數附於初商扁方體之一面而成甲乙丙丁之總扁方體積也三商以後皆倣此遞析推之設如帶兩縱相同立方積三百九十六萬八千零六十四尺其長與闊相等高與闊和一千尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其三百萬尺為初商積可商一百尺而高闊和為一千尺按法相乘過大於原積爰以髙闊和一千尺自乘得一百萬尺以除原積三百九十六萬八千零六十四尺足三尺取略大數為四尺乃以四尺書於原積四尺之上而以所商四尺為髙與高闊和一千尺相減餘九百九十六尺為長與闊即以長與闊九百九十六尺自乘得九十九萬二千零一十六尺又以髙四尺再乘得三百九十六萬八千零六十四尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為四尺長與闊俱九百九十六尺也此法葢因帶兩縱甚多而高數甚少其高闊和比原長原闊所多無㡬故以高闊和自乘得一面積以除原積即得高與高闊和相減所餘為闊亦即長邊也設如帶兩縱不同立方積四百八十尺高與闊和十四尺高與長和十六尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其積四百八十尺可商七尺因欲得小於半和之數乃退商六尺書於原積空尺之上而以所商六尺為高與高與闊和十四尺相減餘八尺為闊又以高六尺與高與長和十六尺相減餘十尺為長即以高六尺與闊八尺相乘得四十八尺又以長十尺再乘得四百八十尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高為六尺其闊為八尺其長為十尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積四百八十尺其甲乙為高六尺乙丙為闊八尺甲己為長十尺甲己與甲乙共十六尺即高與長之和甲乙與乙丙共十四尺即高與闊之和初商所得為高與高闊和相減所餘為闊以高與高長和相減所餘即長也設如帶兩縱不同立方積八千零六十四尺高與闊和三十六尺高與長和四十尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其八千尺為初商積可商二十尺因欲得小於半和之數乃退商十尺書於原積八千尺之上而以所商十尺為初商之高與高闊和三十六尺相減餘二十六尺為初商之闊又以初商之高十尺與高長和四十尺相減餘三十尺為初商之長即以初商之高十尺與初商之闊二十六尺相乘得二百六十尺以初商之長三十尺再乘得七千八百尺書於原積之下相減餘二百六十四尺為一長方廉積其厚即次商之數其長與闊比初商之長與闊各少一次商之數乃以初商之長三十尺與初商之闊二十六尺相乘得七百八十尺以除餘積二百六十四尺不足一尺因仍益積且初商之長闊尚減去次商數故取大數為二尺書於原積四尺之上而以所商二尺與初商之闊二十六尺相減餘二十四尺為初商次商之闊以所商二尺與初商之長三十尺相減餘二十八尺為初商次商之長即以初商次商之闊二十四尺與初商之高十尺相乘得二百四十尺又以初商次商之長二十八尺與初商之高十尺相乘得二百八十尺兩數相併得五百二十尺以次商二尺乘之得一十零四十尺為二方廉積又以次商二尺自乘得四尺以初商十尺再乘得四十尺為一長廉積合二方廉一長廉積共一千零八十尺與餘積二百六十四尺相加得一千三百四十四尺為次商一方廉積乃以初商次商之闊二十四尺與長二十八尺相乘得六百七十二尺以次商二尺再乘得一千三百四十四尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之高十二尺闊二十四尺長二十八尺也如圗甲乙丙丁扁長方體形容積八千零六十四尺甲乙高十二尺甲戊長二十八尺甲己闊二十四尺甲乙與甲己共三十六尺即高與闊之和甲乙與甲戊共四十尺即高與長之和其從一面所分庚乙癸子扁長方體形庚乙十尺即初商數庚丑三十尺即高與長和内減初商之數庚寅二十六尺即高與闊和内減初商之數庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商數庚乙癸子長方積七千八百尺即初商之長與初商之闊相乘又以初商之高再乘之數比原長原闊多巳午二方廉積未一長廉積因初商積内多減去此積故以初商次商之長與初商之髙相乘以初商次商之闊與初商之髙相乘兩數相併以次商再乘即得巳午二方廉積又以次商自乘以初商之髙再乘即得未一長廉積與餘積相加即得甲庚辛壬丁戊一扁長方體形其甲巳闊二十四尺即髙闊和内減初商次商之數甲戊長二十八尺即髙長和内減初商次啇之數甲庚厚二尺即次啇數附於初啇扁長方體之一面而成甲乙丙丁之總扁長方體積也三商以後皆倣此逓折推之設如帶兩縱不同立方積一十七萬二千六百九十二尺髙與闊和一百二十九尺髙與長和二百四十尺問髙闊長各幾何法列積如開立方法商之其一十七萬二千尺為初商積可啇五十尺而長即為一百九十尺闊即為七十九尺按法相乘過大於原積爰以髙與闊和一百二十九尺與髙與長和二百四十尺相乘得三萬零八百六十尺以除原積一十七萬二千六百九十二尺足五尺取略大之數為六尺乃以六尺書於原積二尺之上而以所商六尺為髙與髙與闊和一百二十九尺相減餘一百二十三尺為闊又以髙六尺與髙與長和二百四十尺相減餘二百三十四尺為長即以闊一百二十三尺與長二百三十四尺相乘得二萬八千七百八十二尺又以髙六尺再乘得一十七萬二千六百九十二尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為六尺闊為一百二十三尺長為二百三十四尺也此法蓋因帶兩縱甚多而髙數甚少其髙與闊和比原闊所多無幾髙與長和比原長所多亦無㡬故以高與闊和與高與長和相乘得一面積以除原積即得高與高闊和相減所餘為闊與高與長和相減所餘即長也附勾股法四條設如勾股積六尺勾弦較二尺求勾股弦各㡬何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾弦較二尺除之得七十二尺折半得三十六尺為長方體積乃以勾弦較二尺折半得一尺為長方體之長比髙闊所多之較用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊三尺為勾加勾弦較二尺得五尺為弦以勾三尺除倍積十二尺得四尺為股也此法有勾股積勾弦較必得股自乘積以勾弦較除之始得勾弦和而勾弦和為二勾一勾弦較之共數將勾弦和半之為一勾半勾弦較之共數今作為帶縱立方體算者即如以勾為帶縱立方之髙與闊勾與半勾弦較之共數為帶縱立方之長半勾弦較為帶縱之較用帶縱較數立方法開之得髙與闊即勾也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如勾自乘股自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方面積試將此長方面積變為長方體積其底為勾自乘之數其長為股自乘之數其勾自乘之底邊即勾而股自乘之長又為勾弦較與勾弦和相乘之數是暗中已得股自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申甲乙酉弦自乘之正方内申戌乙丙為勾自乘之正方則戌甲乙酉丙乙磬折形與股自乘之正方等引而長之成戌甲丙亥之長方其戌甲闊即勾弦較甲乙丙長即勾弦和今以股自乘之數用勾弦較除之得勾弦和即如寅卯辰巳之長方體積用勾弦較除之而得乾坎辰巳之長方體積其午未辰巳之髙闊相乘之面積未減而坎未之長即為勾弦和矣勾弦和既為二勾一勾弦較之共數折半則得一勾半勾弦較之共數故將所得之乾坎辰巳長方體積折半為艮震辰巳長方體積其巳辰髙未辰闊仍皆為勾與巽未等其震未長為勾與半勾弦較之共數震巽為半勾弦較即長比髙闊所多之數故以勾弦較折半用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊為勾也設如勾股積六尺勾弦和八尺求勾股弦各㡬何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾弦和八尺除之得十八尺折半得九尺為扁方體積乃以勾弦和八尺折半得四尺為扁方體之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊三尺為勾於勾弦和八尺内減勾三尺餘五尺為弦以勾三尺除倍積十二尺得四尺為股也此法有勾股積勾弦和必得股自乘積以勾弦和除之始得勾弦較半之為半勾弦較今作為帶縱立方體算者即如以勾為帶縱立方之長與闊半勾弦較為帶縱立方之髙一勾半勾弦較之共數為帶縱立方之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數立方法開之得長與闊即勾也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如勾自乘股自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方面積試將此長方面積變為長方體積其底為勾自乘之數其髙為股自乘之數其勾自乘之底邊即勾而股自乘之髙又為勾弦較與勾弦和相乘之數是暗中已得股自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申甲乙酉弦自乘之正方内申戊乙丙為勾自乘之正方則戌甲乙酉丙乙磬折形與股自乘之正方等引而長之成戌甲丙亥之長方其戌甲闊即勾弦較甲乙丙長即勾弦和今以股自乘之數用勾弦和除之則得勾弦較即如寅卯辰巳之長方體積用勾弦和除之而得乾卯辰坎扁方體積其卯午辰未之長闊相乘之面積未減而乾卯之髙即為勾弦較矣折半則得艮卯辰震扁方體積其卯午長午辰闊仍皆為勾而艮卯之髙為半勾弦較其艮卯與卯午即髙與長闊之和為一勾半勾弦較之共數而勾弦和乃二勾一勾弦較之共數故以勾弦和折半得一勾半勾弦較用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊為勾也設如勾股積六尺股弦較一尺求勾股弦各㡬何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股弦較一尺除之仍得一百四十四尺折半得七十二尺為長方體積乃以股弦較一尺折半得五寸為長方體之長比髙闊所多之較用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊四尺為股加股弦較一尺得五尺為弦以股四尺除倍積十二尺得三尺為勾也此法有勾股積有股弦較必得勾自乘積以股弦較除之始得股弦和而股弦和為二股一股弦較之共數將股弦和半之為一股半股弦較之共數今作為帶縱立方體算者即如以股為帶縱立方之髙與闊股與半股弦較之共數為帶縱立方之長半股弦較為帶縱之較用帶縱較數立方法開之得髙與闊即股也如甲乙丙勾股積倍之則成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如股自乘勾自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方面積試將此長方面積變為長方體積其底為股自乘之數其長為勾自乘之數其股自乘之底邊即股而勾自乘之長又為股弦較與股弦和相乘之數是暗中已得勾自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳之長方體形然又試作一申乙甲酉弦自乘之正方内申戌丙甲為股自乘之正方則戌乙甲酉甲丙磬折形與勾自乘之正方等引而長之成戌乙丙亥之長方其戌乙闊即股弦較乙甲丙長即股弦和今以勾自乘之數用股弦較除之得股弦和即如寅卯辰巳之長方體積用股弦較除之仍得寅卯辰巳之長方體積其午未辰巳髙闊相乘之面積與卯未之長俱未減而卯未之長即命為股弦和矣股弦和既為二股一股弦較之共數折半則得一股半股弦較之共數故將所得之寅卯辰已長方體積折半為乾坎辰已長方體積其未辰闊已辰髙仍皆為股與艮未等其坎未長為股與半股弦較之共數坎艮為半股弦較即長比髙闊所多之數故以股弦較折半用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊為股也設如勾股積六尺股弦和九尺求勾股弦各幾何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股弦和九尺除之得十六尺折半得八尺為扁方體積乃以股弦和九尺折半得四尺五寸為扁方體之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊四尺為股於股弦和九尺内減股四尺餘五尺為弦以股四尺除倍積十二尺得三尺為勾也此法有勾股積股弦和必得勾自乘積以股弦和除之始得股弦較半之為半股弦較今作為帶縱立方體算者即如以股為帶縱立方之長與闊半股弦較為帶縱立方之髙一股半股弦較之共數為帶縱立方之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數立方法開之得長與闊即股也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如股自乘勾自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方面積試將此長方面積變為長方體積其底為股自乘之數其髙為勾自乘之數其股自乘之底邊即股而勾自乘之髙又為股弦和與股弦較相乘之數是暗中已得勾自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申乙甲酉弦自乘之正方内申戌丙甲為股自乘之正方則戌乙甲酉甲丙磬折形與勾自乘之正方等引而長之成戌乙丙亥之長方其戌乙闊即股弦較乙甲丙長即股弦和今以勾自乘之數用股弦和除之則得股弦較即如寅夘辰巳之長方體積用股弦和除之而得乾夘辰坎扁方體積其夘午辰未長闊相乘之面積未減而乾夘之高即為股弦較矣折半則得艮夘辰震扁方體積其夘午長午辰闊仍皆為股而艮夘之高為半股弦較其艮夘與夘午即高與長闊之和為一股半股弦較之共數而股弦和乃二股一股弦較之共數故以股弦和折半得一股半股弦較用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊為股也御製數理精藴下編卷二十四
## 下編卷二十五
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十五體部三各體形總論直線體各體形總論體之為形成於面面之相合為厚角故凡體形皆自厚角所合而生面之所合不能成厚角則體亦不能成形惟渾圓則無角然求積之法亦合衆尖體而成渾圓是雖無角而實賴於角也方體有正方斜方尖方方環陽馬塹堵之異圓體則有渾圓長圓尖圓之殊至於各等面體惟成於三角四角五角之面而兼盡乎方圓之理函於圓者其角切於球之外面函圓者球之外面切於各面之中心而各體又有互相容之妙因其各面皆等故其中心至每邊之線皆同就其各形而分視之則成各等邊面形因其各形而細剖之則成各同底尖體形然求積總以勾股為準則葢體成於面面生於線理固然也有積求邊則必以方圓為比例是以邊線等者體積不等如圓球徑與各等面體之一邊俱設為一○○○則正方體積為一○○○○○○○○○圓球體積為五二三五九八七七五四面體積為一一七八五一一二九八面體積為四七一四○四五二一十二面體積為七六六三一一八九○三二十面體積為二一八一六九四九六九此各形之體積皆以方積比例者也或以圓球體積設為一○○○○○○○○○則圓球徑得一二四○小餘七○○九八如圓球徑與各等面體之一邊俱設為一二四○小餘七○○九八則圓球體積為一○○○○○○○○○正方體積為一九○九八五九三一七四面體積為二二五○七九○七七八面體積為九○○三一六三一七十二面體積為一四六三五四七九○五一二十面體積為四一六六七三○四六三此各形之體積皆以球積比例者也葢因各形之邊線相等體積不同故皆定為體與體之比例也體積等者邊線不等如圓球體積與各等面體積俱設為一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○則正方體之每邊為一○○○○○○○○而圓球徑為一二四○七○○九八四面體之每邊為二○三九六四八九○八面體之每邊為一二八四八九八二九十二面體之每邊為五○七二二二○七二十面體之每邊為七七一○二五三四此各形之邊線皆以方邊比例者也或以圓球徑設為一○○○○○○○○則圓球體積為五二三五九八七七五五九八二九八八七三○七一九二三如圓球體積與各等面體積俱設為五二三五九八七七五五九八二九八八七三○七一九二三則圓球徑為一○○○○○○○○正方體之每邊為八○五九九五九七四面體之每邊為一六四三九四八八一八面體之每邊為一○三五六二二八五十二面體之每邊為四○八八一八九五二十面體之每邊為六二一四四三三二此各形之邊線皆以球徑比例者也葢因各形之體積相等邊線不同故皆定為線與線之比例也要之邊求積者亦皆本於勾股而積求邊者一皆歸之正方此方所以為立法之原入算之本也直線體設如正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾何法以每邊二尺自乘再乘得八尺倍之得一十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方體積每邊得二尺五寸一分有餘試於戊己庚辛正方體形内作甲乙丙丁正方體形則其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折體形即與甲乙丙丁正方體積相等也設如正方體每邊二尺今將其積八倍之問得方邊幾何法以每邊二尺倍之得四尺即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺八倍之得六十四尺即如戊己庚辛正方體積其每邊得甲乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用八倍其積開立方止以毎邊二尺倍之而即得也此法葢因兩體積之比例比之兩界之比例為連比例隔二位相加之比例(見幾何原本十巻第四節)故戊己庚辛正方體積六十四尺與甲乙丙丁正方體積之八尺相比為八分之一而戊己庚辛正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之二尺之比為二分之一夫六十四與三十二三十二與十六十六與八八與四四與二皆為二分之一之連比例而六十四與八之比其間隔三十二與十六之兩位故為連比例隔二位相加之比例也設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何法以長一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長既得長乃以原長一尺二寸為一率原闊八寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之闊也又以原長一尺二寸為一率原高四寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即所求之高也或以闊八寸自乘再乘倍之開立方亦得一尺零七釐有餘為所求之闊以高四寸自乘再乘倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體此兩長方體積之比例即同於其相當二界各作兩正方體積之比例(見幾何原本十)(巻第五節)故依甲乙丙丁長方體之甲戊長界作甲戊丑子正方體將其積倍之即如己庚辛壬長方體之己癸長界所作之己癸卯寅正方體故開立方得己癸為所求之長也既得己癸之長則以甲戊與丁戊之比即同於己癸與壬癸之比得壬癸為所求之闊又甲戊與甲乙之比同於己癸與己庚之比得己庚為所求之高也若以原闊自乘再乘倍之開立方亦得一尺零七釐有餘為今所求之闊原高自乘再乘倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為今所求之高皆如以其相當二界各作正方體互相為比之理也設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積八倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何法以長一尺二寸倍之得二尺四寸即所求之長又以原闊八寸倍之得一尺六寸即所求之闊又以原高四寸倍之得八寸即所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二寸將其積八倍之即如巳庚辛壬長方體其每邊得甲乙丙丁長方體毎邊之二倍是故不用八倍其積開立方止以各邊之數倍之而即得也此法蓋因兩長方體之比例既同於其相當二界各作正方體之比例而兩正方體之比例比之二界之比例為連比例隔二位相加之比例故兩長方體積之比例較之兩體各界之比例亦為連比例隔二位相加之比例也設如塹堵體形闊五尺長十二尺高七尺問積幾何法以闊五尺與長十二尺相乘得六十尺又以高七尺再乘得四百二十尺折半得二百一十尺即塹堵體形之積也葢塹堵體形即平行二勾股面之三稜長體如甲乙丙丁戊己塹堵體形其兩端之二面皆為勾股形一為甲乙丙一為丁戊己俱平行以乙丙闊與丙丁長相乘成乙丙丁己長方面形又以甲乙高再乘成甲乙丙丁庚戊長方體形凡平行面之長方體自其一面之對角線平分為兩三稜體此兩三稜體之積相等(見幾何原本五卷第十七節)夫一長方體所分兩三稜體之積既相等則三稜體積必為長方體積之一半故將所得之甲乙丙丁庚戊長方體積折半即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也又法以闊五尺與高七尺相乘得三十五尺折半得一十七尺五寸與長十二尺相乘得二百一十尺即塹堵體形之積也如甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲乙高與乙丙闊相乘折半得甲乙丙一勾股面積又與丙丁長相乘即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也設如芻蕘體形闊四尺長十二尺高四尺問積幾何法以闊四尺與長十二尺相乘得四十八尺又與高四尺相乘得一百九十二尺折半得九十六尺即芻蕘體形之積也葢芻蕘體形即平行兩三角面之三稜長體(有直角為塹堵體無直角為芻蕘體)如甲乙丙丁戊己芻蕘體形其兩端之二面皆為三角形一為甲乙丙一為丁戊巳俱平行以乙丙闊與丙丁長相乘成乙丙丁已長方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙丁壬癸長方體形凡平行面之三稜體積為平行面方體積之一半(見幾何原本五卷第)(二十節)故將所得之辛乙丙丁壬癸長方體積折半即得甲乙丙丁戊己芻蕘體形之積也又法以闊四尺與高四尺相乘得一十六尺折半得八尺與長十二尺相乘得九十六尺即芻蕘體形之積也如甲乙丙丁戊己芻蕘體形以乙丙闊與甲庚高相乘折半得甲乙丙三角形面積又與丙丁長相乘即得甲乙丙丁戊己芻蕘體形之積也設如方底尖體形底方毎邊五尺自尖至四角之斜線皆六尺問自尖至底中立垂線之高幾何法以底方每邊五尺求對角斜線法求得底方對角斜線七尺零七分一釐零六絲有餘折半得三尺五寸三分五釐五豪三絲有餘為勾以自尖至四角之斜線六尺為弦用勾弦求股法求得股四尺八寸四分七釐六豪八絲有餘即自尖至底中立垂線之高數也如圖甲乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁對角斜線折半於己得乙巳為勾以自尖至角之甲乙斜線為弦求得甲己股即自尖至底中立垂線之高也又法以底方每邊五尺為平面三角形之底以自尖至四角之斜線六尺為兩腰用平面三角形求中垂線法求得一面中垂線五尺四寸五分四釐三豪五絲為弦以底方每邊五尺折半得二尺五寸為勾求得股四尺八寸四分七釐六豪七絲有餘即自尖至底中立垂線之高數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其四面皆為平面三角形一為甲乙丙一為甲丙丁一為甲丁戊一為甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙甲丙為兩腰求得甲庚中垂線而以此甲庚為弦底邉折半得庚己為勾求得甲己股即自尖至底中立垂線之高也設如方底尖體形底方每邊六尺高三尺問積幾何法以下方每邊六尺自乘得三十六尺又以高三尺再乘得一百零八尺三歸之得三十六尺即方底尖體形之積也如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一邊自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲己高再乘得庚乙丁辛扁方體形此扁方體與尖方體之底面積等其高又等故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙丁戊尖方體三形之積等(見幾何原本五卷第二十)(三節)試將甲己高倍之得壬己與乙丙丁戊底面積相乘得癸乙丁子正方體形此正方體之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六方面皆與尖方體之底面積等又自甲心依各稜至各角剖之則成甲乙丙丁戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方體此每一尖方體俱為倍高正方體之六分之一既為倍高正方體之六分之一則必為同高扁方體之三分之一故將所得庚乙丁辛之同高方體積三分之而得甲乙丙丁戊尖方體之積也設如陽馬體形底方毎邊六尺高亦六尺問積幾何法以底方毎邊六尺自乘得三十六尺又以高六尺再乘得二百一十六尺三歸之得七十二尺即陽馬體形之積也如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁高再乘得己乙丁甲正方體形此己乙丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽馬體三形之積等故三分之即得陽馬體之積也此陽馬體與尖方體形雖不同而法則一葢尖方體形尖在正中陽馬體形尖在一隅然大凡體形其底面積等高度又等則其體積亦必相等(見幾)(何原本二巻第二十二節)故今陽馬體之乙丙丁戊底面積即如尖方體之底其甲丁高度即如尖方體之高度故形雖不同而積則一也設如鼈臑體形長與闊俱四尺高九尺問積幾何法以長與闊四尺自乘得十六尺以高九尺再乘得一百四十四尺六歸之得二十四尺即鼈臑體形之積也葢鼈臑體即勾股面之尖體如甲乙丙丁鼈臑體形以丁丙長與乙丙闊相乘成乙丙丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚戊乙丙己長方體形此一長方體之積與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而甲乙丙丁鼈臑體之積又為甲戊乙丙丁陽馬體積之一半葢各類尖體其底面積等其高又等則其體積亦等(見幾何原)(本二卷第二十二節)今甲乙丙丁鼈臑體之乙丙丁底積為甲戊乙丙丁陽馬體之乙丙丁戊底面積之一半則甲乙丙丁鼈臑體積亦必為甲戊乙丙丁陽馬體積之一半鼈臑體既為陽馬體之一半而陽馬體又為長方體之三分之一則鼈臑體必為長方體之六分之一故將所得甲庚戊乙丙己長方體積六分之即得甲乙丙丁鼈臑體之積也又凡正方體或長方體按法剖之即成塹堵陽馬鼈臑各體而自得其相比之率也如圖甲乙丙丁戊己正方體自其庚乙一面對角線至對面戊辛對角斜線平分之即得甲乙辛戊己與庚乙丙丁戊二塹堵體又將庚乙丙丁戊塹堵體自其上稜戊角至乙對角依乙丙下稜斜剖之則得戊乙丙丁辛一陽馬體乙丙戊庚一鼈臑體又將戊乙丙丁辛陽馬體自其戊乙相對斜稜平分之則得戊乙丁辛與戊乙丙丁二鼈臑體夫一正方體剖之得二塹堵體是塹堵體為正方體二分之一也一塹堵體剖之得一陽馬體一鼈臑體而一陽馬體剖之又得二鼈臑體是陽馬體為塹堵體之三分之二即為正方體之三分之一而鼈臑體為塹堵體之三分之一即為正方體之六分之一也設如上下不等正方體形上方毎邊四尺下方毎邊六尺高八尺問積幾何法以上方每邊四尺自乘得一十六尺下方每邊六尺自乘得三十六尺又以上方毎邊四尺與下方毎邊六尺相乘得二十四尺三數相併得七十六尺與高八尺相乘得六百零八尺三歸之得二百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也如甲乙丙丁上下不等正方體形戊丁上方邊自乘得甲戊丁己正方面形庚丙下方邊自乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方邊與庚丙下方邊相乘得壬癸子丑長方面形將此三方面形相併與高八尺相乘得三長方體形其一上下方面俱如甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑葢乙庚丙辛長方體比甲戊丁己長方體多壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子丑辰甲已巳四方廉體又多乙壬甲辰癸庚寅戊丁卯丙子已已丑辛四長廉體而壬癸子丑長方體比甲戊丁巳長方體多壬癸戊甲巳丁子丑二方廉體若將共多之六方廉體四長廉體俱截去則此三長方體之上下方面必皆如甲戊丁己乃以每一方廉體變為二塹堵體每一長廉體變為三陽馬體共得十二塹堵體十二陽馬體將甲戊丁已類三長方體各加四塹堵體四陽馬體則皆成上下不等三正方體故三歸之而得甲乙丙丁上下不等一正方體形之積也又法以上方邊四尺與下方邊六尺相減餘二尺折半得一尺為一率高八尺為二率下方邊六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等正方體形上補成一尖方體之共高乃以下方邊六尺自乘得三十六尺與所得共高二十四尺相乘得八百六十四尺三歸之得二百八十八尺為大尖方體之積又以高八尺與共高二十四尺相減餘十六尺為上小尖方體之高以上方邊四尺自乘得十六尺與上高十六尺相乘得二百五十六尺三歸之得八十五尺三百三十三寸有餘為上小尖方體之積與大尖方體積二百八十八尺相減餘二百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也如甲乙丙丁上下不等正方體形加戊甲丁小尖方體形遂成戊乙丙大尖方體形先以上方邊與丁方邊相減折半如巳庚下方邊折半如己辛依勾股比例巳庚與壬庚之比即同於己辛與戊辛之比以戊辛與乙丙下方面相乘三歸之得戊乙丙大尖方體積以戊癸與甲丁上方面相乘三歸之得戊甲丁小尖方體積於戊乙丙大尖方體積内減去戊甲丁小尖方體積所餘必甲乙丙丁上下不等正方體形之積也設如上下不等長方體形上方長四尺闊三尺下方長八尺闊六尺高十尺問積幾何法以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺倍之得二十四尺下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺倍之得九十六尺又以上闊三尺與下長八尺相乘得二十四尺以下闊六尺與上長四尺相乘得二十四尺四數相併得一百六十八尺與高十尺相乘得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也如甲乙丙丁上下不等長方體形戊丁上長與甲戊上闊相乘得一甲戊丁庚長方面形倍之得二甲戊丁庚長方面形已丙下長與乙己下闊相乘得一乙己丙辛長方面形倍之得二乙己丙辛長方面形甲戊上闊與已丙下長相乘得一壬癸子丑長方面形乙己下闊與戊丁上長相乘得一寅卯辰巳長方面形將此六長方面形相併與高十尺相乘得六長方體形其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上下方面俱如乙己丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑其一上下方面俱如寅卯辰巳葢二乙己丙辛長方體比二甲戊丁庚長方體為多二壬癸戊甲二戊卯辰丁二庚丁子丑二寅甲庚己八方廉體又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二丁辰丙子二巳庚丑辛八長廉體而一壬癸子丑長方體比一甲戊丁庚長方體多一壬癸戊甲一庚丁子丑二方廉體而一寅卯辰巳長方體比一甲戊丁庚長方體多一寅甲庚巳一戊卯辰丁二方廉體若將共多之十二方廉體八長廉體俱截去則此六長方體之上下方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉體變為二塹堵體每一長廉體變為三陽馬體共得二十四塹堵體二十四陽馬體將六長方體各加四塹堵體四陽馬體則皆成上下不等六長方體故六歸之而得甲乙丙丁上下不等長方體形之積也又法以上長四尺倍之得八尺加下長八尺共十六尺與上闊三尺相乘得四十八尺又以下長八尺倍之得十六尺加上長四尺得二十尺與下闊六尺相乘得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺與高十尺相乘得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也此法與前法同此法之以上長倍之加下長與上闊相乘之數即前法之上長上闊相乘倍之又加上闊與下長相乘之數也又此法之以下長倍之加上長與下闊相乘之數即前法之下長下闊相乘倍之又加下闊與上長相乘之數也圖解並同又法以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺又以上長四尺與下闊六尺相乘下長八尺與上闊三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得八十四尺與高十尺相乘得八百四十尺三歸之得二百八十尺亦即上下不等長方體形之積也葢此法與上下不等正方體求積之法同但正方體上下俱係正方面故止用上下方邊各自乘上方邊與下方邊相乘此則上下方面各有長闊既用上方長闊相乘下方長闊相乘又必以上長乘下闊下長乘上闊相加折半以取中數乃可相併而與高數相乘三歸之而得體積也又法以上長四尺與下長八尺相減餘四尺折半得二尺為一率高十尺為二率下長八尺折半得四尺為三率求得四率二十尺為上下不等長方體形上補成一尖長方體之共高乃以下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺與所得共高二十尺相乘得九百六十尺三歸之得三百二十尺為大尖長方體之積又以高十尺與共高二十尺相減餘十尺為上小尖長方體之高以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺與上高十尺相乘得一百二十尺三歸之得四十尺為上小尖長方體之積與大尖長方體積三百二十尺相減餘二百八十尺即上下不等長方體形之積也如甲乙丙丁上下不等長方體形加戊甲丁小尖長方體形遂成戊乙丙大尖長方體形先以上長與下長相減折半如己庚以下長折半如己辛依勾股比例己庚與壬庚之比即同於己辛與戊辛之比以戊辛與乙丙下長方面相乘三歸之得戊乙丙大尖長方體積以戊癸與甲丁上長方面相乘三歸之得戊甲丁小尖長方體積於戊乙丙大尖體積内減去戊甲丁小尖體積所餘必甲乙丙丁上下不等長方體形之積也設如上下不等芻蕘體形上長十尺下長十四尺下闊五尺高十二尺問積幾何法以上長十尺與下闊五尺相乘得五十尺以高十二尺再乘得六百尺折半得三百尺為上下相等芻蕘體積又以上長十尺與下長十四尺相減餘四尺與下闊五尺相乘得二十尺以高十二尺再乘得二百四十尺三歸之得八十尺與先所得上下相等芻蕘體積三百尺相併得三百八十尺即上下不等芻蕘體之積也如甲乙丙丁戊上下不等芻蕘體形自其上稜之甲戊兩端直剖之則分為甲己辛壬戊一芻蕘體甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體故以與上長相等之己庚與己辛闊(與乙丙等)相乘即得己辛壬庚芻蕘體之底面積與甲癸高相乘折半得甲己辛壬戊芻蕘體積又以甲戊上長與丙丁下長相減所餘丙辛壬丁二叚即二尖方體之共長與乙丙闊相乘得乙辛與庚丁二尖方體之底面積與高相乘三歸之即得甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體積與甲己辛壬戊一芻蕘積相加即得甲乙丙丁戊一上下不等芻蕘體之總積也設如兩兩平行邊斜長方體形長二尺四寸闊八寸高三尺七寸問積幾何法以長二尺四寸與闊八寸相乘得一尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得七尺一百零四寸即兩兩平行邊斜長方體形之積也如圖甲乙丙丁戊己斜長方體形以乙丙闊與丙丁長相乘得乙丙丁庚長方面積以戊丙高再乘成己乙丙丁辛壬長方體凡平行平面之間所有立於等積底之各平行體其積必俱相等(見幾何原本五巻第十九節)故甲乙丙丁戊己斜倚之長方體必與己乙丙丁辛壬正立之長方體為相等也設如空心正方體積一千二百一十六寸厚二寸問内外方邊各幾何法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之得六十四寸與共積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸六歸之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸為内方邊與外方邊相乘長方面積乃以厚二寸倍之得四寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八寸即内方邊得長一尺二寸即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體其甲丑即空心正方體之厚以之自乘再乘八因之得壬辛子癸類八小隅體與空心正方體相減則餘空心正方體之六面丑寅巳子類六長方扁體六歸之得丑寅巳子一長方扁體用厚二寸除之得丑寅卯辰一長方面積其丑寅闊與戊己等即内方邊其丑辰長與甲乙等即外方邊其丑戊辛辰皆與甲丑厚度等丑戊辛辰並之即長闊之較故以厚二寸倍之為帶縱求得闊為内方邊長為外方邊也又法以厚二寸倍之得四寸為内方邊與外方邊之較自乘再乘得六十四寸與空心正方體積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸三歸之得三百八十四寸以内外方邊之較四寸除之得九十六寸為長方面積以内外方邊之較四寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八寸即内方邊加較四寸得一尺二寸即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體以戊己庚辛空心小正方形移置乙角之一隅則空心正方體變為甲戊辛庚丙丁壬磬折體形其甲戊即磬折體之厚為甲乙外方邊與戊己内方邊之較依開立方次商法分之得癸子丑三方廉體寅卯辰三長廉體巳一小隅體以甲戊厚度自乘再乘得巳一小隅體與共積相減餘三方廉體三長廉體三歸之則餘癸一方廉體寅一長廉體共成午甲乙庚未申一扁方體其午甲厚與甲戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方體則得甲乙庚未之長方面形甲戊即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得乙庚闊與戊乙等即空心方體之内方邊以甲戊與戊乙相加得甲乙即空心方體之外方邊也設如大小兩正方體大正方體比小正方體每邊多四寸積多二千三百六十八寸問大小兩正方邊各幾何法以大正方邊比小正方邊所多之較四寸自乘再乘得六十四寸與大正方體比小正方體所多之積二千三百六十八寸相減餘二千三百零四寸三歸之得七百六十八寸以邊較四寸除之得一百九十二寸為長方面積乃以邊較四尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十二尺即小正方之邊數加較四尺得十六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體試於甲乙丙丁大正方體減去戊己庚辛小正方體餘壬甲戊辛庚丙丁三面磬折體形即大正方積比小正方積所多之較甲戊為磬折體之厚即大正方邊比小正方邊所多之較此三面磬折體形依開立方次商法分之則得癸子丑三方廉體寅卯辰三長廉體巳一小隅體以甲戊邊較自乘再乘得巳一小隅體與磬折體積相減餘三方廉體三長廉體三歸之則得癸一方廉體寅一長廉體共成午甲乙庚未申一扁方體其午甲厚與甲戊等以午甲厚除之則得甲乙庚未之長方面形甲戊即長闊之較故用帶縱開平方法算之得乙庚闊與戊乙等即小正方之邊數以甲戊與戊乙相加得甲乙即大正方之邊數也設如大小二正方體共邊二十四尺共積四千六百零八尺問兩體之每邊及體積各幾何法以共邊二十四尺自乘再乘得一萬三千八百二十四尺内減共積四千六百零八尺餘九千二百一十六尺三歸之得三千零七十二尺以共邊二十四尺除之得一百二十八尺為長方面積乃以共邊二十四尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊八尺即小正方之邊數與共邊二十四尺相減餘十六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體以共邊二十四尺自乘再乘則成壬乙癸子一總正方體内減甲乙丙丁與戊己庚辛大小兩正方體之共積餘丑寅卯三方廉體辰巳午三長廉體三歸之則得丑一方廉體辰一長廉體共成未壬乙丙戊申一扁方體用壬乙共邊除之則得未壬戊申之長方面形其未壬闊與壬甲等其壬戊長與甲乙等故以壬乙共邊為長闊和用帶縱和數開平方法算之得未壬闊即小正方之邊數與長闊和相減餘壬戊長即大正方之邊數也御製數理精蘊下編卷二十五
## 下編卷二十六
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十六體部四曲線體曲線體設如長圎體徑與髙皆七尺問積㡬何法以長圎體徑七尺用求圎面積法求得圎面積三十八尺四十八寸四十五分零九釐九十六豪二十五絲有餘以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圎體之積也如圗甲乙丙丁長圎體先以乙丙底徑求得乙己丙戊圎面積而以庚辛髙乗之即得甲乙丙丁長圎體之積也又法以長圎體徑七尺用徑求周法求得圎周二十一尺九寸九分一釐一豪四絲八忽五微五纖有餘與髙七尺相乗得一百五十三尺九十三寸八十分三十九釐八十五豪有餘為長圎體之外面積以半徑三尺五寸乗之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五釐有餘折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圎體之積也如圗甲乙丙丁長圎體先求得乙己丙戊圎周與甲乙髙相乗得甲乙丙丁外面積為底以庚甲半徑乗之得庚甲丙辛長方體為甲乙丙丁長圎體積之二倍葢因長圎體之外面積與長方體之底面積等而長圎體之半徑又與長方體之髙度等則長圎體為長方體之一半(見㡬何原本五卷第二十四節)故折半即得甲乙丙丁長圎體之積也又法用長方體長圎體之定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率長圎體積七八五三九八一六三為二率今所設之長圎體徑七尺自乗以髙七尺再乗得三百四十三尺為三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九釐有餘即長圎體之積也此法葢以長方體與長圎體為比例定率之一○○○○○○○○○為長方體積而七八五三九八一六三為長方體同髙同徑之長圎體積故以徑自乗髙再乗得長方體積彼定率之長方體與長圎體之比即同於今所得之長方體積與所求之長圎體積之比也設如尖圎體底徑六尺中髙六尺問積㡬何法以底徑六尺用求圎面積法求得底面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘以髙六尺乗之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百釐有餘三歸之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百釐有餘即尖圎體之積也如圗甲乙丙丁戊尖圎體先以乙丁底徑求得乙丙丁戊底面積以甲己髙乗之得庚乙丁辛長圎體為甲乙丙丁戊尖圎體之三倍葢因上下面平行各體與平底尖體同底同髙者其平底尖體皆得上下面平行體之三分之一(見㡬何原本五卷第二十三節)故以所得庚乙丁辛長圎體積三歸之即得甲乙丙丁戊尖圎體積也又法用尖方體尖圎體之定率比例以尖方體積一○○○○○○○○○為一率尖圎體積七八五三九八一六三為二率今所設之尖圎體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三歸之得七十二尺成尖方體積為三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六釐有餘即尖圎體之積也蓋尖方體為長方體之三分之一而尖圎體為長圎體之三分之一故尖方體與尖圎體之比即同於長方體與長圎體之比也又捷法定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率尖圎體積二六一七九九三八八為二率今所設之尖圎體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺為三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八釐有餘即尖圎體之積也此法葢以長方體與尖圎體為比例長方體積為一○○○○○○○○○則長圎體積為七八五三九八一六三將此長圎體積三歸之則得尖圎體積為二六一七九九三八八故定率之長方體與尖圎體之比即同於今底徑自乗髙再乗所得之長方體積與所求之尖圎體積之比也設如尖圎體底周二十二尺自尖至底周之斜線五尺求中垂線之髙幾何法以底周二十二尺用周求徑法求得底徑七尺零二釐八豪一絲七忽有餘折半得半徑三尺五寸零一釐四豪零八忽有餘為勾以自尖至底周之斜線五尺為弦求得股三尺五寸六分九釐三豪三絲三忽有餘即中垂線之髙也如圗甲乙丙丁戊尖圎體以乙丙丁戊底周求得乙丁底徑折半得乙巳半徑為勾以自尖至底周之甲乙斜線為弦求得甲巳股即中垂線之髙也設如圎球徑二尺問外面積幾何法以圎球徑二尺用徑求周法求得周六尺二寸八分三釐一豪八絲五忽有餘與徑二尺相乗得一十二尺五十六寸六十三分七十釐有餘即圎球之外面積也如圗甲乙丙丁圎球體以甲丙全徑與甲乙丙丁全周相乗即得圎球體之外面積葢因圎面半徑與球體半徑等者其圎面積為球體外面積之四分之一而圎面半徑與球體全徑等者其圎面積與球體外面積等(見幾何原本十巻第)(八節)故圎球全徑與全周相乗而得圎球之外面積也設如圎球徑一尺二寸問積幾何法以圎球徑一尺二寸用徑求圎面積法求得圎面積一尺一十三寸零九分七十三釐三十五豪四十絲有餘以圎球徑一尺二寸乗之得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四釐有餘為長圎體積三歸之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一釐有餘倍之得九百零四寸七百七十八分六百八十二釐有餘即圎球之體積也如圗甲乙丙丁圎球體求得戊己庚辛平圎面積以甲丙全徑乗之得與圎球同徑同髙之壬戊庚癸長圎體此球體之乙丁全徑與長圎體之戊庚底徑度等而球體之甲丙全徑又與長圎體之壬戊髙度等則球體積為長圎體積之三分之二(見㡬何原本十卷第九節)試以圎球同徑之平圎面積為底圎球之半徑為髙作一甲乙丁尖圎體則其積為甲乙丁半球體積之半夫尖圎體與長圎體同底同髙其比例為三分之一而尖圎體又為半球體之二分之一則半球體必為半長圎體之三分之二半球體既為半長圎體之三分之二則全球體必為全長圎體之三分之二可知故以所得壬戊庚癸長圎體積三歸倍之即得甲乙丙丁圎球體積也又法以圎球徑一尺二寸用求圎球之外面積法求得圎球之外面積四尺五十二寸三十八分九十三釐四十一豪六十絲有餘以半徑六寸乗之得二尺七百一十四寸三百三十六分四十九釐有餘三歸之得九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘即圎球之體積也如圗甲乙丙丁圎球體先求得外面積乃以此外面積為底戊丙半徑為髙作一戊己庚尖圎體其體積必與圎球體積等葢尖圎體之底面積與球體之外面積等尖圎體之髙度與球體之半徑等則其體積亦必等(見㡬何原本五卷第)(二十五節)故以戊丙半徑與外面積相乗三歸之即如得戊己庚尖圗體積而為甲乙丙丁圎球體積也又法以方邉球徑相等方積球積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率今所設之圎球徑一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘即圎球之體積也此法葢因圎球徑與正方邉相等而圎球積與正方積不同故以圎球徑自乗再乗作正方積為體與體之比例如子丑圎球徑為一○○○則其自乗再乗之寅邜辰巳正方體積為一○○○○○○○○○而圎球徑一○○○所得之子午丑未圎球體積為五二三五九八七七五故以子丑圎球徑一○○○自乗再乗之寅夘辰巳正方體積一○○○○○○○○○與子丑圎球徑所得之子午丑未圎球體積五二三五九八七七五之比即同於今所設之甲丙圎球徑一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁圎球體積九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘之比也又法用球積方積相等球徑方邉不同之定率比例以圎球徑一○○○○○○○○為一率正方邉八○五九九五九七為二率今所設之圎球徑一尺二寸為三率求得四率九寸六分七釐一豪九絲五忽一微六纖有餘為與圎球積相等之正方體每邉之數自乗再乗得九百零四寸七百七十八分六百四十九釐有餘即圎球之體積也此法葢以圎球積與正方積設為相等使圎球徑與正方邉不同先定為線與線之比例既得線而後自乗再乗之為體也如子丑圎球徑一○○○○○○○○其所得之體積開立方則得八○五九九五九七即為寅邜辰巳正方體之每一邉是子午丑未圎球積與寅邜辰巳正方積相等故子丑圎球徑一○○○○○○○○與寅邜正方邉八○五九九五九七之比即同於今所設之甲丙圎球徑一尺二寸與今所得之戊巳正方邉九寸六分七釐一豪九絲五忽一微六纖有餘之比既得戊己正方邉自乗再乗得戊己庚辛正方體積即與甲乙丙丁圎球體積為相等也又法以二十一分為一率十一分為二率今所設之圎球徑一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率九百零五寸一百四十二分八百五十七釐有餘為圎球之體積也葢以正方體積一○○○○○○○○○圎球體積五二三五九八七七五之定率約之則正方體積二十一而圎球體積得一○九九有餘進而為十一則圎球體積稍大故今所得之圎球體積亦稍大也設如圎球積六尺問徑㡬何法用球徑方邉相等球積方積不同之定率比例以球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率今所設之圎球積六尺為三率求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二釐有餘為與圎球徑相等之正方邉之正方體積開立方得二尺二寸五分四釐五豪零二忽有餘即圎球之徑也葢圎球積為五二三五九八七七五則正方積為一○○○○○○○○○若圎球積為一○○○○○○○○○則正方積為一九○九八五九三一七其比例仍同故以圎球積一○○○○○○○○○為一率者即如以圎球積五二三五九八七七五為一率而以正方積一九○九八五九三一七為二率者即如以正方積一○○○○○○○○○為二率也又法用球積方積相等球徑方邉不同之定率比例以方邉一○○○○○○○○為一率球徑一二四○七○○九八為二率今所設之圎球積六尺開立方得一尺八寸一分七釐一豪二絲有餘為三率求得四率二尺二寸五分四釐五豪零二忽有餘即圎球之徑也此法亦以圎球積與正方積設為相等使圎球徑與正方邉不同故以圎球積開立方得立方邉為線與線之比例葢方邉為八○五九九五九七則球徑為一○○○○○○○○若方邉為一○○○○○○○○則球徑為一二四○七○○九八其比例仍同故以方邉一○○○○○○○○為一率者即如以方邉八○五九九五九七為一率而以球徑一二四○七○○九八為二率者即如以球徑一○○○○○○○○為二率也設如撱圎體大徑六寸小徑四寸問積幾何法以小徑四寸用徑求圎面積法求得圎面積一十二寸五十六分六十三釐七十豪六十絲有餘以大徑六寸乗之得七十五寸三百九十八分二百二十三釐有餘為長圎體積三歸之得二十五寸一百三十二分七百四十一釐有餘倍之得五十寸二百六十五分四百八十二釐有餘即撱圎體之積也如圗甲乙丙丁撱圎體以乙丁小徑求得戊己庚辛平圎面積再以甲丙大徑乗之得壬戊庚癸長圎體此撱圎體積即為長圎體積之三分之二亦如圎球體積為同徑同髙之長圎體積之三分之二故以所得壬戊庚癸長圎體積三歸倍之即得甲乙丙丁撱圎體積也又法以小徑四寸自乗得十六寸以大徑六寸再乗得九十六寸為長方體積乃用方積球積不同方邉球徑相等之定率比例以方積一○○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率今所得之長方體積九十六寸為三率求得四率五十寸二百六十五分四百八十二釐有餘即撱圎體之積也葢函撱圎之長方體與所函撱圎體之比同於函球之正方體與所函球體之比(見幾何原本十卷第十四節)如甲乙丙丁撱圎體甲丙大徑六寸乙丁小徑四寸以乙丁小徑自乗又以甲丙大徑再乗遂成戊己庚辛長方體形此長方體積與撱圎體積之比即同於正方體積與圎球體積之比故以定率之正方體積為一率圎球體積為二率今所得之長方體積為三率求得四率為撱圎體之積也設如撱圎體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小徑各㡬何法用方積球積不同方邉球徑相等之定率比例以球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率今所設之撱圎體積五十寸為三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五釐八百五十豪有餘為長方體積乃以大徑比小徑多二寸為長與濶之較用帶一縦開立方法算之得濶三寸九分九釐二豪有餘即撱圎體之小徑加大徑比小徑多二寸得五寸九分九釐二豪有餘即撱圎體之大徑也如圗甲乙丙丁撱圎體用球積與方積之定率比例即成戊己庚辛長方體形其戊己長即甲丙大徑壬庚濶即乙丁小徑甲丙大徑比乙丁小徑多二寸即長濶之較故用帶一縦開立方法算之得濶為撱圎體之小徑得長為撱圎體之大徑也設如上下不等圎面體上徑四尺下徑六尺髙八尺問積㡬何法以上徑四尺用徑求圎面積法求得上圎面積一十二尺五十六寸六十三分七十釐六十豪有餘又以下徑六尺用徑求圎面積法求得下圎面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘又以上徑四尺與下徑六尺相乗得二十四尺開方得中徑四尺八寸九分八釐九豪七絲九忽四微八纖有餘用徑求圎面積法求得中圎面積一十八尺八十四寸九十五分五十五釐八十五豪有餘三數相併得五十九尺六十九寸二分六十釐三十豪有餘與髙八尺相乗得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百釐有餘三歸之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六釐有餘即上下不等圎面體之積也葢上下不等圎面體立法與上下不等正方體同理但上下不等正方體上下俱係方面故求得上中下三方面積相併與髙相乗三歸之而得體積此上下俱係圎面故求得上中下三圎面積相併與髙相乗三歸之而得體積也又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下徑六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等圎面體上補成一尖圎體之共髙乃以下徑六尺用徑求圎面積法求得圎面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘與所得共髙二十四尺相乗得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百釐有餘三歸之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百釐有餘為大尖圎體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘十六尺為上尖圎體之髙以上徑四尺用徑求圎面積法求得圎面積一十二尺五十六寸六十三分七十釐六十豪有餘與上髙十六尺相乗得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百釐有餘三歸之得六十七尺二十寸六百四十三分二百釐有餘為上小尖圎體之積與大尖圎體積二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百釐有餘相減餘一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百釐有餘即上下不等圎面體之積也如圗甲乙丙丁上下不等圎面體如戊甲丁小尖圎體遂成戊乙丙大尖圎體故於戊乙丙大尖圎體積内減去戊甲丁小尖圎體積而得甲乙丙丁上下不等圎面體之積也又法用上下不等正方體與上下不等圎面體之定率比例以正方體積一○○○○○○○○○為一率圎面體積七八五三九八一六三為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上徑四尺與下徑六尺相乗三數相併以髙八尺乗之得六百零八尺三歸之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六釐有餘成上下不等正方體積為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一釐有餘即上下不等圎面體之積也又捷法定率比例以一○○○○○○○○○為一率二六一七九九三八八為二率上徑四尺相乗下徑六尺自乗上徑四尺與下徑六尺相乗三數相併以髙八尺乗之得六百零八尺為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百釐有餘即上下不等圎面體之積也此法葢以三上下不等正方體與一上下不等圎面體為比例夫一上下不等正方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等圎面體積為七八五三九八一六三若三上下不等正方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等圎面體積為二六一七九九三八八故以上徑自乗下徑自乗上下徑相乗三數相併以髙乗之所得為三上下不等正方體積彼定率之三上下不等正方體與一上下不等圎面體之比即同於今所得之三上下不等正方體積與所求之一上下不等圎面體積之比也設如上下不等撱圎面體上大徑四尺小徑三尺下大徑八尺小徑六尺髙十尺問積幾何法以上大徑四尺與上小徑三尺相乗得一十二尺以下大徑八尺與下小徑六尺相乗得四十八尺又以上大徑四尺與下小徑六尺相乗下大徑八尺與上小徑三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得八十四尺乃用方積圎積之定率比例以方積一○○○○○○○○○為一率圎積七八五三九八一六三為二率三數相併之八十四尺為三率求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五釐六十九豪有餘與髙十尺相乗得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百釐有餘三歸之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三釐有餘即上下不等撱圎面體之積也葢上下不等撱圎面體立法與上下不等圎面體同但上下不等圎面體上下俱係圎面故求得上中下三圎面積相併與髙相乗三歸之而得體積此上下俱係撱圎面故必求得上中下三長方面積相併用定率比例得三撱圎面積乃與髙相乗三歸之而得體積也又法以上大徑四尺與下大徑八尺相減餘四尺折半得二尺為一率髙十尺為二率下大徑八尺折半得四尺為三率求得四率二十尺為上下不等撱圎面體上補成一尖撱圎體之共髙乃以下大徑八尺小徑六尺用求撱圎面積法求得下撱圎面積三十七尺六十九寸九十一分一十一釐六十八豪有餘與所得共髙二十尺相乗得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百釐有餘三歸之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百釐有餘為大尖撱圎面體之積又以髙十尺與共髙二十尺相減餘十尺為上小尖撱圎面體之髙以上大徑四尺小徑三尺用求撱圎面積法求得上撱圎面積九尺四十二寸四十七分七十七釐九十二豪有餘與上髙十尺相乗得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百釐有餘三歸之得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百釐有餘為上小尖撱圎面體積與大尖撱圎面體積二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百釐有餘相減餘二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百釐有餘即上下不等撱圎面體積也如圗甲乙丙丁上下不等撱圎面體如戊甲丁小尖撱圎面積遂成戊乙丙大尖撱圎面體故於戊乙丙大尖撱圎面體内減戊甲丁小尖撱圎面體而得甲乙丙丁上下不等撱圎面體之積也又法用上下不等長方體與上下不等撱圎面體之定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率長圎體積七八五三九八一六三為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺成上下不等長方體積為三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十釐有餘即上下不等撱圎面體之積也葢長方面積與撱圎面積之比同於方面積與圎面積之比故上下不等長方體與上下不等撱圎面體之比即同於長方體與長圎體之比也又捷法定率比例以一○○○○○○○○○為一率一三○八九九六九四為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺為三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十釐有餘即上下不等撱圎面體之積也此法葢以六上下不等長方體與一上下不等撱圎面體為比例夫一上下不等長方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等撱圎面體積為七八五三九八一六三若六上下不等長方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等撱圎面體積為一三○八九九六九四故以上大徑倍之加下大徑與上小徑相乗以下大徑倍之加上大徑與下小徑相乗兩數相併以髙乗之所得為六上下不等長方體積彼定率之六上下不等長方體積與一上下不等撱圎面體積之比即同於今所得之六上下不等長方體積與所求之一上下不等撱圎面體積之比也設如截球體一段髙二寸底徑九寸六分問積㡬何法以髙二寸為首率底徑九寸六分折半得四寸八分為中率求得末率一尺一寸五分二釐為圎球之截徑加髙二寸得一尺三寸五分二釐為圎球之全徑折半得六寸七分六釐為圎球之半徑又以髙二寸為勾底徑九寸六分折半得四寸八分為股求得弦五寸二分作平圎半徑用求圓面積法求得平圎面積八十四寸九十四分八十六釐有餘即為截球體一段之外面積與圎球半徑六寸七分六釐相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六釐有餘三歸之得一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘為自圎球中心所分球面尖圎體積又以截球體底徑九寸六分用求平圎面積法求得截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘於圎球半徑六寸七分六釐内減去截球體之髙二寸餘四寸七分六釐與截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二釐有餘三歸之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四釐有餘為自圎球中心至截球體底徑所分平面尖圎體積與球面尖圎體積一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘相減餘七十六寸五百七十一分八十八釐有餘即截球體一段之積也如圗甲乙丙截球體一段其乙丙底徑即如弧矢形之弦長其甲丁髙即如弧矢形之矢濶故甲丁為首率乙丙底徑折半得乙丁為中率求得丁戊末率為截球徑(見各面形弦矢求圎徑法)與甲丁髙相加得甲戊為圎球全徑折半得甲巳為圎球半徑又以甲丁為勾乙丁為股求得甲乙弦乃以甲乙弦為半徑求得庚乙丙平圎面積即與甲乙丙截球體一段之外面積等葢圎面半徑與球體半徑等者其圎面積為球體外面積之四分之一而圎面半徑與球體全徑等者其圎面積與球體外面積等(見㡬何原本十卷第八節)故甲辛戊壬圎球體其外面積為同徑子丑寅邜平圎面積之四倍若甲辛壬半球體其外面積必為子丑寅邜平圎面積之二倍然則甲己半徑求得平圎面積又辛己半徑亦求得平圎面積兩面積相併必與甲辛壬半球體之外面積等矣今甲乙丙截球體一段若以甲丁為半徑求得平圎面積又以乙丁為半徑求得平圎面積兩面積相併亦必與甲乙丙截球體一段之外面積等而甲乙弦自乗之正方與甲丁勾自乗之正方乙丁股自乗之正方相併之積等則甲乙弦為半徑所得之圎面積亦必與甲丁勾為半徑所得之圎面積乙丁股為半徑所得之圎面積相併之積等故以甲乙弦為半徑所得之庚乙丙平圎面積即與甲乙丙截球體一段之外面積相等也既得截球體一段之外面積與甲巳圎球半徑相乗三歸之得己丙甲乙球面尖圎體積又以乙丙截球體底徑求得乙丙底面積與丁巳截半徑相乗三歸之得己丙丁乙平面尖圎體積與己丙甲乙球面尖圎體積相減所餘即甲乙丙截球體一段之積也又法先求得圎球徑一尺三寸五分二釐用徑求周法求得圎周四尺二寸四分七釐四豪三絲三忽有餘與截球體一段之髙二寸相乗得八十四寸九十四分八十六釐有餘即為截球一段之外面積與圎球半徑六寸七分六釐相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六釐三歸之得一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘為自圎球中心所分球面尖圎體積又以截球體底徑九寸六分用求平圎面積法求得截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘於圎球半徑六寸七分六釐内減去截球體之髙二寸餘四寸七分六釐與截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘相乗得三百四十四寸五百三十九分二百七十二釐有餘三歸之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四釐有餘為自圎球中心至截球徑所分平面尖圎體積與球面尖圎體積一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘相減餘七十六寸五百七十一分八十八釐有餘即截球體一段之積也如圗甲乙丙截球體一段先求得甲戊全徑與庚辛等又求得壬庚癸辛全周與甲丁髙相乗得庚子丑辛截長圎體一段之外面積與甲乙丙截球體一段之外面積等葢球體全徑與長圎體底徑髙度相等者其相當每段之外面積皆相等(見㡬何原本十卷第十一節)既得甲乙丙截球體一段之外面積則與甲巳半徑相乗三歸之而得己丙甲乙球面尖圎體積又以乙丙截球體底面積與丁己截半徑相乗三歸之而得己丙丁乙平面尖圎體積與己丙甲乙球面尖圎體積相減餘即得甲乙丙截球體一段之積也設如空心圎球積二千寸厚三寸問内外徑數各㡬何法用球徑方邉相等球積方積不同之定率比例以球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率今所設之空心圎球積二千寸為三率求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四釐有餘為空心正方體積乃用算空心正方體法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得二百一十六寸與所得空心正方體積三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四釐相減餘三尺六百零三寸七百一十八分六百三十四釐有餘六歸之得六百寸六百一十九分七百七十二釐有餘用厚三寸除之得三尺零二十分六十五釐九十豪為内徑與外徑相乗長方面積乃以厚三寸倍之得六寸為長濶之較用帶縦較數開平方法算之得濶一尺一寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球内徑得長一尺七寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球外徑也此法蓋以空心圎球體與空心正方體為比例即如用球積與方積定率為比例也如圗甲乙丙丁戊己庚辛空心圎球體其甲丙外徑與壬癸外方邉等其戊庚内徑與寅邜内方邉等是以甲乙丙丁大球體與壬癸子丑大正方體為比戊己庚辛小球體與寅邜辰已小正方體為比而空心圎球體與空心正方體之比即如球體積與方體積之比也既得空心正方體積則用算空心正方體法以壬酉厚自乗再乗八因之得午巳未申類八小隅體與空心正方體相減則餘空心正方體之六面酉戌坎未類六長方扁體六歸之得酉戌坎未一長方扁體用厚三寸除之得酉戌亥乾一長方面積其酉戌濶與戊庚等即内徑其酉乾長與壬丑等即外徑其酉寅巳乾皆與壬酉厚度等酉寅巳乾併之即長濶之較故以厚三寸倍之為帶縦求得濶為内徑長為外徑也又法用定率比例求得空心正方體積以厚三寸倍之得六寸為内方邉與外方邉之較自乗再乗得二百一十六寸與所得空心正方體積三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四釐有餘相減餘三尺六百零三寸七百一十八分六百三十四釐有餘三歸之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四釐有餘以内外方邉之較六寸除之得二尺零二十分六十五釐九十豪有餘為長方面積以内外方邉之較六寸為長濶之較用帶縦較數開平方法算之得闊一尺一寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球内徑得長一尺七寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球外徑也如圗甲乙丙丁戊己庚辛空心圎球體用定率比例而得壬癸子丑寅邜辰巳空心正方體将寅邜辰巳空心小正方形移置癸角之一隅則空心正方體變為壬寅己辰子申未午罄折體形其壬寅即罄折體之厚為甲丙外徑與戊庚内徑之較依開立方法分之得酉戌亥三方亷體乾坎艮三長亷體震一小隅體以壬寅厚度自乗再乗得震一小隅體與空心正方體積相減餘三方亷體三長亷體三歸之則餘酉一方亷體乾一長亷體共成巽壬癸辰坤離一扁方體其巽壬厚與壬寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤離扁方體則得壬癸辰坤長方面壬寅即長濶之較故用帶縦較數開平方法算之得邜辰濶與寅癸等即空心圎球之内徑以壬寅與寅癸相加得壬癸與甲丙等即空心圎球之外徑也設如圎窖一座周二十四尺髙十尺問盛米㡬何法以周二十四尺用圎周求面積法求得圎面積四十五尺八十三寸六十六分二十二釐有餘與髙一丈相乗得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘為圎窖之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率圎窖體積四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘為三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有餘即所盛之米數也此法與求長圎體積之法同如甲乙丙丁長圎窖以甲戊丁巳圎周求得平圎面積用甲乙髙乗之即得甲乙丙丁長圎體積既得體積則以一石積數二千五百寸與一石之比同於今所得之體積與今所求之米數之比也設如圎窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑各㡬何法以米一石為一率一石積數定率二千五百寸為二率盛米一百六十石為三率求得四率四百尺為圎窖之積數以髙十尺除之得四十尺為圎窖之面積乃用圎積方積之定率比例以圎積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之圎窖面積四十尺為三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一釐六十豪有餘開平方得七尺一寸三分六釐四豪九絲有餘即圎窖之徑數再用徑求周法求得周二十二尺四寸一分九釐九豪四絲有餘即圎窖之周數也設如積米一堆髙五尺底周十四尺問米數幾何法以底周十四尺用圎周求面積法求得圎面積一十五尺五十九寸七十一分八十四釐一十二豪有餘為尖圎堆之底面積與髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百釐有餘三歸之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為尖圎堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之尖圎堆之積數二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為三率求得四率一十石零三升九合八勺一抄有餘即所堆之米數也此法與尖圎體求積之法同既得尖圎堆之積而以一石之積數定率為比例即得米數也設如倚壁積米一堆髙四尺底周六尺問米數㡬何法以底周六尺為半周倍之得一十二尺為全周用圎周求面積法求得圎面積一十一尺四十五寸九十一分五十五釐有餘折半得五尺七十二寸九十五分七十七釐有餘為倚壁尖圎堆之底面積以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有餘三歸之得七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為倚壁尖圎堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁尖圎堆之積數七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為三率求得四率三石零五升五合七勺七抄有餘即倚壁所堆之米數也葢倚壁尖圎堆即尖圎體之一半故求得平圎面積折半與髙數相乗又以三歸之得倚壁尖圎堆之積數而以一石積數為比例即得米數也設如倚壁内角積米一堆髙五尺周一十二尺問米數㡬何法以周一十二尺四因之得四十八尺為全周用圎周求面積法求得圎面積一百八十三尺三十四寸六十四分九十釐有餘四歸之得四十五尺八十三寸六十六分二十二釐有餘為倚壁内角尖圎堆之底面積與髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分三歸之得七十六尺三百九十四寸三百七十分為倚壁内角尖圎堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁内角尖圎堆之積數七十六尺三百九十四寸三百七十分為三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有餘即倚壁内角所堆之米數也蓋倚壁内角尖圎堆即尖圎體之四分之一故求得平圎面積四歸之與髙數相乗又以三歸之得倚壁内角尖圎堆之積數而以一石積數為比例即得米數也設如倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺問米數㡬何法以周三十三尺三歸四因得四十四尺為全周用圎周求面積法求得圎面積一百五十四尺六寸一十九分八十一釐九十二豪有餘四歸三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十八釐四十四豪有餘為倚壁外角尖圎堆之底面積以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十釐有餘三歸之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘即倚壁外角尖圎堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁外角尖圎堆之積數二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八抄有餘即倚壁外角所堆之米數也蓋倚壁外角尖圎堆即尖圎體四分之三故求得平圎面積四歸三因與髙數相乗又以三歸之得倚壁外角尖圎堆之積數而以一石積數為比例即得米數也御製數理精蘊下編卷二十六
## 下編卷二十七
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十七體部五各等面體各等面體設如四面體每邊一尺二寸求積幾何法以每邊一尺二寸為弦每邊折半得六寸為勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲零四微有餘為每一面之中垂線與每邊一尺二寸相乗折半得六十二寸三十五分三十八釐二十四豪有餘為每一面之面積又以毎邊一尺二寸為弦每一面之中垂線取其三分之二得六寸九分二釐八豪二絲零二㣲有餘為勾求得股九寸七分九釐七豪九絲五忽九微有餘為四面體自尖至底中心之立垂線或以毎一面之中垂線一尺零三分九釐二豪三絲零四微有餘為弦每一面之中垂線取其三分之一得三寸四分六釐四豪一絲零一微有餘為勾亦得股九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘為四面體自尖至底之中之立垂線以此立垂線與每一面之面積六十二寸三十五分三十八釐二十四豪有餘相乗三歸之得二百零三寸六百四十六分七百三十七釐有餘即四面體之積也如圗甲乙丙丁四面體其稜六角四平鋪之則面亦四各成一等邊三角形試以乙丙丁之一面為底以乙丙一邊為弦丁丙一邊折半得戊丙為勾求得乙戊股與甲戊等即每一面之中垂線與丁丙一邊相乗折半得乙丙丁底面積又以甲丙一邊為弦己丙中垂線之三分之二為勾求得甲己股為自尖至底中心之立垂線或以甲戊每一面之中垂線為弦己戊中垂線之三分之一為勾亦得甲己股為自尖至底中心之立垂線乃以甲己立垂線與乙丙丁底面積相乗三歸之即得甲乙丙丁四面體之積也又求自尖至底中心之立垂線㨗法以毎邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘即自尖至底中心之立垂線也此法葢因甲丙為弦戊丙為勾求得甲戊股則甲戊自乗方為甲丙自乗方之四分之三(見等邊三角形求中垂線法)又甲戊為弦己戊為勾求得甲己股則甲己自乗方為甲戊自乗方之九分之八(己戊為甲戊三分之一則甲戊自乗方為)(九分己戊自乗方為一分甲己自乗方為八分)甲戊自乗方既為甲丙自乗方四分之三今命甲戊自乗方為甲丙自乗方十二分之九而甲己自乗方又為甲戊自乗方九分之八則甲己自乗方必為甲丙自乗方十二分之八即三分之二故以一邊自乗三歸二因得甲己自乗方積而開方得甲己為立垂線之髙數也又用知一邊求髙數之定率比例求自尖至底中心之立垂線以定率之四面體之每邊一○○○○○○○○為一率四面體之立垂線八一六四九六五八為二率今所設之四面體之每邊一尺二寸為三率求得四率九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘即四面體自尖至底中心之立垂線也又用邊線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率四面體積一一七八五一一二九為二率今所設之四面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率二百零三寸六百四十六分七百五十釐有餘即四面體之積也葢四面體之每一邊為一○○○則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○而四面體之每一邊一○○○所得之四面體積為一一七八五一一二九故以子丑寅卯四面體之每邊一尺自乗再乗之辰巳午未正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅卯四面體積一一七八五一一二九之比即同於今所設之甲乙丙丁四面體之每邊一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐有餘之比也又用體積相等邊線不同之定率比例以定率之四面體之每邊二○三九六四八九○為一率正方體之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之四面體之毎邊一尺二寸為三率求得四率五寸八分八釐三豪三絲六忽五微有餘為與四面體積相等之正方體每邊之數自乗再乗得二百零三寸六百四十六分七百釐有餘即四面體之積也葢四面體之每邊為二○三九六四八九○正方體之每邊為一○○○○○○○○則兩體積相等故以子丑寅卯四面體之毎邊二○三九六四八九○與辰巳午未正方體之每邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁四面體之每邊一尺二寸與今所得之戊己庚辛正方體之每邊五寸八分八釐三豪三絲六忽五微有餘之比既得一邊自乗再乗得戊己庚辛正方體積即與甲乙丙丁四面體之積為相等也如有四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐求每邊之數則用邊線相等體積不同之定率比例以定率之四面體積一一七八五一一二九為一率正方體積一○○○○○○○○○為二率今所設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即四面體之每一邊也此法葢因四面體之每邊與正方體之每邊相等四面體積與正方體積不同故先定為體與體之比例既得正方體積而後開立方得線也又法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之正方體之毎邊一○○○○○○○○為一率四面體之每邊二○三九六四八九○為二率今所設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐開立方得五寸八分八釐三豪三絲六忽五微有餘為三率求得四率一尺二寸即四面體之每一邊也此法葢因四面體積與正方體積相等四面體之每邊與正方體之每邊不同故以四面體積先開立方得正方體之每邊而後為線與線之比例也設如八面體每邊一尺二寸求積幾何法以八面體分作二尖方體算之将每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為二尖方體之共底面積又以每邊自乗之一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸開平方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽二微有餘為二尖方體之共髙即八面體之對角斜線以此斜線與二尖方體之共底面積一尺四十四寸相乗三歸之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六釐有餘即八面體之積也如圖甲乙丙丁戊己八面體其稜十二角六平鋪之則面為八各成一等邊三角形自體正中對四角平分截之則成甲乙己丁戊丙乙戊丁己二尖方體甲丙為二尖方體之共髙即甲乙丙丁正方形之對角斜線故以戊乙一邊自乗得戊乙己丁正方面積為二尖方體之共底又以戊乙己丁正方面積倍之開平方即如甲乙為勾乙丙為股各自乗相併開方得甲丙弦為八面體之對角斜線即二尖方體之共髙以此共髙與戊乙己丁二尖方體之底面積相乗三歸之得二尖方體積即八面體之總積也又用邊線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率八面體積四七一四○四五二一為二率今所設之八面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二釐有餘即八面體之積也葢八面體之每一邊為一○○○則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○而八面體之每一邊一○○○所得之八面體積為四七一四○四五二一故以子丑寅卯辰已八面體之每邊一尺自乗再乗之午未申酉正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅卯辰己八面體積四七一四○四五二一之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己八面體之每邊一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁戊己八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐有餘之比也又用體積相等邊線不同之定率比例以定率之八面體之每邊一二八四八九八二九為一率正方體之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之八面體之每邊一尺二寸為三率求得四率九寸三分三釐九豪二絲六忽有餘為與八面體積相等之正方體每邊之數自乗再乗得八百一十四寸五百八十六分八百五十六釐有餘即八面體之積也葢八面體之每邊為一二八四八九八二九正方體之毎邊為一○○○○○○○○則兩體積相等故以子丑寅卯辰己八面體之每邊一二八四八九八二九與午未申酉正方體之每邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己八面體之每邊一尺二寸與今所得之庚辛壬癸正方體之每邊九寸三分三釐九豪二絲六忽有餘之比既得一邊自乗再乗得庚辛壬癸正方體積即與甲乙丙丁戊己八面體之積為相等也如有八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐求每邊之數則用邊線相等體積不同之定率比例以定率之八面體積四七一四○四五二一為一率正方體積一○○○○○○○○○為二率今所設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即八面體之每一邊也此法葢因八面體之每邊與正方體之每邊相等八面體積與正方體積不同故先定為體與體之比例既得正方體積而後開立方得線也又法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之正方體之每邊一○○○○○○○○為一率八面體之每邊一二八四八九八二九為二率今所設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐開立方得九寸三分三釐九豪二絲六忽有餘為三率求得四率一尺二寸即八面體之每一邊也此法葢因八面體積與正方體積相等八面體之每邊與正方體之每邊不同故以八面體積先開立方得正方體之每邊而後為線與線之比例也設如十二面體每邊一尺二寸求積幾何法以十二面體分作十二五角尖體算之将每邊一尺二寸求得五等邊形之分角線為一尺零二分零七豪八絲零九微有餘自中心至每邊之垂線為八寸二分五釐八豪二絲九忽一微有餘面積為二尺四十七寸七十四分八十七釐三十豪有餘乃用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六豪四絲零七微有餘為每一面兩角相對之斜線又用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所得之每一面兩角相對之斜線折半得九寸七分零八豪二絲零三微有餘為三率求得四率一尺五寸七分零八豪二絲零二微有餘為十二面體之中心至每邊正中之斜線乃以此斜線為弦每一面中心至邊之垂線八寸二分五釐八豪二絲九忽一微有餘為勾求得股一尺三寸三分六釐二豪一絲九忽六微有餘為十二面體之中心至每一面中心之立垂線爰以此立垂線與每一面積二尺四十七寸七十四分八十七釐三十豪有餘相乗三歸之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九釐有餘為一五角尖體積十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八釐有餘即十二面體之總積也如圖甲乙丙丁戊十二面體其稜三十角二十平鋪之則面十二各成一等邊五角形先求得己庚辛壬癸五等邊形之子已類分角線又求得子丑自中心至每邊之垂線復求得己庚辛壬癸五等邊形之面積次以辛壬一邊為大分己辛兩角相對斜線為全分故辛壬與己辛之比同於理分中末線之大分與全分之比而得兩角相對之斜線又自十二面體之正中截之則成十等邊之面形而其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之寅卯等線亦為乙丙兩角相對斜線(與己辛等)之一半而為十等邊形之一邊故寅卯與辰寅之比又同於理分中末線之大分與全分之比而得十二面體之中心至每邊正中之斜線乃以辰寅斜線為弦每面中心至每邉之子丑垂線為勾求得辰子股即十二面體中心至每面中心之立垂線以此辰子立垂線與己庚辛壬癸一面積相乗三歸之得辰巳庚辛壬癸一五角尖體積十二因之即得甲乙丙丁戊十二面體之總積也又用邉線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率十二面體積七六六三一一八九○三為二率今所設之十二面體之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐有餘即十二面體之積也蓋十二面體之每一邉為一○○○則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○而十二面體之每一邉一○○○所得之十二面體積為七六六三一一八九○三故以子丑寅邜辰十二面體之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅邜辰十二面體積七六六三一一八九○三之比即同於今所設之甲乙丙丁戊十二面體之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁戊十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐有餘之比也又用體積相等邉線不同之定率比例以定率之十二面體之每邉五○七二二三○七為一率正方體之每邉一○○○○○○○○為二率今所設之十二面體之每邉一尺二寸為三率求得四率二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六微有餘為與十二面體積相等之正方體每邉之數自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八釐有餘即十二面體之積也葢十二面體之每邉為五○七二二二○七正方體之每邉為一○○○○○○○○則兩體積相等故以子丑寅邜辰十二面體之每邉五○七二二二○七與巳午未申正方體之每邉一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊十二面體之每邉一尺二寸與今所得之己庚辛壬正方體之每邉二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六微有餘之比既得一邉自乗再乗得己庚辛壬正方體積即與甲乙丙丁戊十二面體之積為相等也如有十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐求每邉之數則用邉線相等體積不同之定率比例以定率之十二面體積七六六三一一八九○三為一率正方體積一○○○○○○○○○為二率今所設之十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即十二面體之每一邉也此法葢因十二面體之每邉與正方體之每邉相等十二面體積與正方體積不同故先定為體與體之比例既得正方體積而後開立方得線也又法用體積相等邉線不同之定率比例以定率之正方體之每邉一○○○○○○○○為一率十二面體之每邉五○七二二二○七為二率今所設之十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐開立方得二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六微有餘為三率求得四率一尺二寸即十二面體之每一邉也此法葢因十二面體積與正方體積相等十二面體之每邉與正方體之每邉不同故以十二面體積先開立方得正方體之每邉而後為線與線之比例也設如二十面體每邉一尺二寸求積幾何法以二十面體分作二十三角尖體算之將每邉一尺二寸求得三等邉形之分角線為六寸九分二釐八豪二絲零二微有餘自中心至每邉之垂線為三寸四分六釐四豪一絲零一微有餘面積為六十二寸三十五分三十八釐二十四豪有餘乃用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之每邉一尺二寸折半得六寸為三率求得四率九寸七分零八豪二絲零三微有餘為二十面體之中心至每邉正中之斜線乃以此斜線為弦每一面中心至邉之垂線三寸四分六釐四豪一絲零一微有餘為勾求得股九寸零六釐九豪一絲三忽五微有餘為二十面體之中心至每一面中心之立垂線爰以此立垂線與每一面積六十二寸三十五分三十八釐二十四豪有餘相乗三歸之得一百八十八寸四百九十八分四百一十五釐有餘為一三角尖體積二十因之得三尺七百六十九寸九百六十八分三百釐有餘即二十面體之總積也如圗甲乙丙丁戊二十面體其稜三十角十二平鋪之則面二十各成一等邉三角形先求得己丙丁三等邉形之己庚類分角線又求得庚辛自中心至每邉之垂線復求得巳丙丁三等邉形之面積次自二十面體之正中截之則成十等邉之面形而其所截之處皆正當每邉之一半故其所截之壬癸等線亦為乙丙每邉之一半而為十等邉形之一邉故壬癸與子壬之比同於理分中末線之大分與全分之比而得二十面體之中心至每邉正中之斜線乃以子壬斜線為弦每面中心至每邉之庚辛垂線為勾求得子庚股即二十面體中心至每面中心之立垂線以此子庚立垂線與己丙丁一面積相乗三歸之得子己丙丁一三角尖體積二十因之即得甲乙丙丁戊二十面體之總積也又用邉線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率二十面體積二一八一六九四九六九為二率今所設之二十面體之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐有餘即二十面體之積也葢二十面體之每一邉為一○○○則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○而二十面體之每一邉一○○○所得之二十面體積為二一八一六九四九六九故以子丑寅邜辰巳二十面體之毎邉一尺自乗再乗之午未申酉正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅邜辰巳二十面體積二一八一六九四九六九之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己二十面體之每邉一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁戊己二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐有餘之比也又用體積相等邉線不同之定率比例以定率之二十面體之每邉七七一○二五三四為一率正方體之每邉一○○○○○○○○為二率今所設之二十面體之每邉一尺二寸為三率求得四率一尺五寸五分六釐三豪六絲九忽有餘為與二十面體積相等之正方體每邉之數自乗再乗得三尺七百六十九寸九百六十八分四百四十九釐有餘即二十面體之積也葢二十面體之每邉為七七一○二五三四正方體之每邉為一○○○○○○○○則兩體積相等故以子丑寅邜辰巳二十面體之每邉七七一○二五三四與午未申酉正方體之每邉一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己二十面體之每邉一尺二寸與今所得之庚辛壬癸正方體之每邉一尺五寸五分六釐三豪六絲九忽有餘之比既得一邊自乗再乗得庚辛壬癸正方體積即與甲乙丙丁戊己二十面體之積為相等也如有二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐求每邊之數則用邊線相等體積不同之定率比例以定率之二十面體積二一八一六九四九六九為一率正方體積一○○○○○○○○○為二率今所設之二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即二十面體之每一邊也此法葢因二十面體之每邊與正方體之毎邊相等二十面體積與正方體積不同故先定為體與體之比例既得正方體積而後開立方得線也又法用體積相等邉線不同之定率比例以定率之正方體之每邉一○○○○○○○○為一率二十面體之每邉七七一○二五三四為二率今所設之二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分八百七十八釐開立方得一尺五寸五分六釐三豪六絲九忽有餘為三率求得四率一尺二寸即二十面體之每一邉也此法葢因二十面體積與正方體積相等二十面體之毎邉與正方體之每邉不同故以二十面體積先開立方得正方體之每邉而後為線與線之比例也御製數理精藴下編二十七
## 下編卷二十八
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷二十八體部六球内容各等面體球外切各等面體球内容各等面體設如圓球徑一尺二寸求内容四面體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸三歸二因得八寸為圓球内容四面體自尖至每面中心之立垂線自乘得六十四寸二歸三因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘即圓球内容四面體之每一邊也乃以四面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積四十一寸五十六分九十二釐一十九豪有餘與自尖至每面中心之立垂線八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十釐有餘三歸之得一百一十寸八百五十一分二百五十釐有餘即圓球内容四面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊四面體甲己與丙庚俱為自尖至每面中心之立垂線相交於辛為四面體之中心亦即圓球之中心甲辛與丙辛俱為圓球半徑甲己壬勾股形與甲庚辛勾股形為同式形(甲己壬勾股形以甲己自)(尖至底中心立垂線為股己壬一面中垂線之三分之一為勾甲壬一面中垂)(線為弦甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂線之三分之二為股庚辛四面體中)(心至每面中心之垂線為勾甲辛四面體自尖至中心立垂線為弦故兩勾股)(形同用一甲角而己角庚角同為直角其壬角與辛角亦必相等所以為同式)(形也)己壬為丙壬一面中垂線之三分之一亦為甲壬一面中垂線之三分之一故庚辛亦必為甲辛四面體自尖至中心立垂線之三分之一而甲辛即圓球之半徑故庚辛亦為圓球半徑之三分之一庚辛與辛已等今命甲辛圓球半徑為三分則甲乙圓球全徑為六分以辛己一分與甲辛三分相加則得甲巳四分是甲巳立垂線為甲乙圓球全徑之六分之四即三分之二故以甲乙圓球徑三歸二因即得甲己為四面體自尖至每面中心之立垂線也又四面體之立垂線自乘方為每邊自乘方之三分之二(見前四面體求積法)故以甲己立垂線自乘二歸三因即得每一邊自乘方積開平方得甲丙為四面體之每一邊也既得一邊則用等邊三角形求面積法求得丙丁戊三角形面積與甲巳立垂線相乘三歸之即得甲丙丁戊四面體之積也又求邊捷法以圓球徑一尺二寸自乘三歸二因得九十六寸開平方亦得九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘為内容四面體之每一邊也蓋四面體之甲巳立垂線既為甲乙圓球徑之三分之二則甲己自乘方必為甲乙自乘方之九分之四而甲己自乘方又為甲丙每邊自乘方之三分之二即六分之四則甲丙每一邊自乘方必為甲乙圓球徑自乘方之九分之六即三分之二故以圓球徑自乘三歸二因開平方亦得四面體之每一邊也如有四面體之一邊求外切圓球徑則先求得自尖至每面中心之立垂線二歸三因即圓球徑或以一邊自乘二歸三因開平方亦即得圓球徑也又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容四面體之一邊八一六四九六五八為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘即圓球内容四面體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容四面體積六四一五○○二九為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率一百一十寸八百五十一分二百五十釐有餘即圓球内容四面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容四面體積一二二五一七五三○為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一百一十寸八百五十一分二百四十九釐有餘即圓球内容四面體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容正方體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸三歸之得四十八寸開平方得六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘即圓球内容正方體之每一邊以一邊自乘再乘得三百三十二寸五百五十三分七百四十四釐有餘即圓球内容正方體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方體試以丙丁一邊為股丁乙一邊為勾求得丙乙弦即每一面之對角斜線勾與股既相等則丙乙每一面對角斜線自乘方為丙丁或丁乙每邊自乘方之二倍矣又試以丙乙對角斜線為股甲丙一邊為勾求得甲乙弦即圓球徑則甲乙圓球徑自乘方又為甲丙類每邊自乘方之三倍矣故以圓球徑自乘三歸即得每邊自乘之積開平方即得圓球内容正方體之一邊以一邊自乘再乘即得圓球内容正方體之積也如有正方體之一邊求外切圓球徑則以一邊自乘三因之開平方即得圓球徑也又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容正方體之一邊五七七三五○二六為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘即圓球内容正方體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容正方體積一九二四五○○八六為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八釐有餘即圓球内容正方體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容正方體積三六七五五二五九○為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八釐有餘即圓球内容正方體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容八面體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸開平方得八寸四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘即圓球内容八面體之每一邊也乃以八面體之每一邊自乘得七十二寸以球徑一尺二寸再乘得八百六十四寸三歸之得二百八十八寸即圓球内容八面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙乙丁戊己八面體自正中對四角平分截之則成甲丙己丁戊乙丁戊丙己二尖方體甲乙圓球徑為二尖方體之共髙即甲丙乙丁正方面之對角斜線試以甲丙一邊為股乙丙一邊為勾則甲乙球徑為弦勾與股既相等則甲乙自乘方為甲丙自乘方之二倍故以甲乙球徑自乘折半開方即得甲丙為内容八面體之一邊以戊丙一邊自乘得戊丙己丁二尖方體之共底面積以甲乙共髙再乘三歸之得二尖方體積即八面體之總積也如有八面體之一邊求外切圓球徑則以一邊自乘加倍開平方得對角斜線即圓球徑也又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容八面體之一邊七○七一○六七八為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率八寸四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘即圓球内容八面體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容八面體積一六六六六六六六六為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率二百八十八寸即圓球内容八面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容八面體積三一八三○九八八五為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八釐有餘即圓球内容八面體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容十二面體之每一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股小分三八一九六六○一為勾求得弦一○七○四六六二六為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽五㣲有餘即圓球内容十二面體之每一邊也乃以十二面體之每一邊用五等邊形求面積法求得每一面積三十一寸五十四分三十八釐五十七豪有餘又用五等邊形求外切圜徑法求得半徑(即分角線)三寸六分四釐二豪三絲七忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為弦求得股四寸七分六釐七豪九絲二忽七㣲有餘為自圓球中心至每一面中心之立垂線與每一面積三十一寸五十四分三十八釐五十七豪相乘得一百五十寸三百九十八分八百零七釐有餘三歸之得五十寸一百三十二分九百三十五釐為一五角尖體積十二因之得六百零一寸五百九十五分二百二十釐有餘即圓球内容十二面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面體自正中平分截之則成十等邊面形其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之庚辛等線亦為甲丙兩角相對斜線之一半而為十等邊形之一邊試自十二面體之甲卯一邊正中至中心辰作庚辰垂線即為所截十等邊形外切圜之半徑與甲庚每邊之半甲辰圓球半徑共成甲庚辰勾股形庚辰為股甲庚為勾甲辰為弦庚辰即如理分中末線之全分甲庚即如理分中末線之小分何以知之蓋十二面體每面之壬子兩角相對斜線(與甲丙等)為全分則子丑一邊(與甲卯等)為大分若以壬子兩角相對斜線為大分則子丑一邊為小分兩角相對斜線之一半庚辛為大分則每邊之半甲庚即為小分矣又庚辰中心至每邊正中之垂線既為十等邊形外切圜之半徑而庚辛為十等邊形之一邊則庚辛為大分而庚辰必為全分矣因庚辰全分為股甲庚小分為勾而甲辰圓球半徑為弦故以理分中末線之全分為股小分為勾求得弦與小分之比同於甲辰半徑與甲庚半邊之比即同於今所設之甲乙全徑與甲卯全邊之比也既得一邊則用五等邊形求面積法求得壬癸子丑寅五等邊形面積又求得巳癸五等邊形外切圜半徑(即分角線)乃以辰癸圓球半徑為弦(與辰甲等)已癸分角線為勾求得辰巳股即圓球中心至内容十二面體每面中心之立垂線與壬癸子丑寅五等邊形面積相乘三歸之得辰壬癸子丑寅一五角尖體積十二因之即得圓球内容十二面體之總積也如有十二面體之每一邊求外切圓球徑則先求得自中心至每邊正中之垂線為股半邊為勾求得弦倍之即圓球全徑也又求邊法用求圓球内容正方體之一邊法以圓球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸三歸之得四十八寸開平方得六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘為圓球内容十二面體每一面兩角相對斜線乃以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率每一面兩角相對斜線六寸九分二釐八豪二絲零三㣲為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽四㣲有餘即圓球内容十二面體之每一邊也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面體試於每一面各作一斜線相連則十二斜線之二十四端合為八角遂成正方體形其十二面之十二斜線即正方體之十二邊其八角即正方體之八角皆切於圓球之面故用求球内容正方體法求得正方體之一邊即十二面體每一面兩角相對之斜線既得斜線則以理分中末線之全分與大分之比即同於兩角相對之斜線與每一邊之比而得十二面體之每一邊也如有十二面體之每一邊求外切圓球徑則先求得每面兩角相對斜線為正方體之一邊用正方體求外切圓球徑之法亦即得圓球徑矣又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體之一邊三五六八二二○九為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽五㣲有餘即圓球内容十二面體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體積三四八一四五四八二為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率六百零一寸五百九十五分三百九十二釐有餘即圓球内容十二面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體積六六四九○八八九一為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率六百零一寸五百九十五分三百九十一釐有餘即圓球内容十二面體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容二十面體之每一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股大分六一八○三三九九為勾求得弦一一七五五七○五○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸三分零八豪七絲七忽三㣲有餘即圓球内容二十面體之每一邊也乃以二十面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積一十七寸二十三分四十一釐七十豪有餘又用三等邊形求外切圜徑法求得半徑(即分角線)三寸六分四釐二豪三絲七忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為弦求得股四寸七分六釐七豪九絲二忽七㣲有餘為自圓球中心至每一面中心之立垂線與每一面積一十七寸二十三分四十一釐七十豪有餘相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四釐有餘三歸之得二十七寸三百九十分四百二十一釐有餘為一三角尖體積二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十釐有餘即圓球内容二十面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己二十面體自正中平分截之則成十等邊面形其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之庚辛等線亦為甲丙每邊之一半而為十等邊形之一邊試自二十面體之甲癸一邊正中至中心壬作庚壬垂線即為所截十等邊形外切圜之半徑與甲庚每邊之半甲壬圓球半徑共成甲庚壬勾股形庚壬為股甲庚為勾甲壬為弦庚壬即如理分中末線之全分甲庚即如理分中末線之大分何以知之蓋庚壬中心至每邊正中之斜線既為十等邊形外切圜之半徑庚辛既為十等邊形之一邊則庚辛為大分庚壬必為全分庚辛為每邊之半甲庚亦為每邊之半則甲庚亦即為大分矣因庚壬全分為股甲庚大分為勾甲壬圓球半徑為弦故以理分中末線之全分為股大分為勾求得弦與大分之比同於甲壬半徑與甲庚半邊之比即同於今所設之甲乙圓球全徑與甲癸全邊之比也又圖子丑圓球内容子丙寅丑卯已二十面體自丙已二處横截之則所截之面成圓内容甲丙丁戊己五等邊面形試自二十面體之巳角至寅角作已寅全徑線則成巳丙寅勾股形巳丙為股丙寅為勾已寅為弦以甲丙丁戊己五等邊面形言之則巳丙股為兩角相對斜線即如理分中末線之全分丙寅勾與丙丁一邊同即如理分中末線之大分今己丙全分既為股丙寅大分既為勾巳寅與子丑同為圓球徑既為弦故以理分中末線之全分為股大分為勾求得弦與大分之比即同於今所設之子丑全徑與丙寅一邊之比也既得一邊則用三等邊形求面積法求得辰已午三等邊形面積又求得未巳三等邊形外切圜半徑即分角線乃以壬巳圓球半徑(與甲壬等)為弦未巳分角線為勾求得壬未股即圓球中心至内容二十面體每面中心之立垂線與辰巳午三等邊形面積相乘三歸之得壬辰巳午一三角尖體積二十因之即得圓球内容二十面體之積也如有二十面體之一邊求外切圓球徑則先求得自中心至每邊正中之垂線為股半邊為勾求得弦倍之即圓球全徑也又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體之一邊五二五七三一一一為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸三分零八豪七絲七忽三㣲有餘即圓球内容二十面體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體積三一七○一八八三三為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三釐有餘即圓球内容二十面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體積六○五四六一三七二為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三釐有餘即圓球内容二十面體之積也球外切各等面體設如圓球徑一尺二寸求外切四面體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸倍之得二尺四寸為圓球外切四面體自尖至每面中心之立垂線自乘得五尺七十六寸二歸三因得八尺六十四寸開平方得二尺九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲有餘即圓球外切四面體之每一邊也乃以四面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積三尺七十四寸一十二分二十九釐七十二豪有餘與自尖至每面中心之立垂線二尺四寸相乘三歸之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十六釐有餘即圓球外切四面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己四面體丙乙與丁庚俱為自尖至每面中心之立垂線相交於辛為四面體之中心亦即圓球之中心辛乙與辛庚俱為圓球半徑丙乙壬勾股形與丙庚辛勾股形為同式形(丙乙壬勾股形以丙乙自尖至底中心立垂線為股乙壬)(一面中垂線之三分之一為勾丙壬一面中垂線為弦丙庚辛勾股形以丙庚)(一面中垂線之三分之二為股庚辛圓球半徑為勾丙辛四面體自尖至中心)(立垂線為弦故兩勾股形同用一丙角而乙角庚角同為直角其壬角與辛角)(亦必相等所以為同式形)乙壬為丁壬一面中垂線之三分之一亦為丙壬一面中垂線之三分之一故庚辛亦必為丙辛四面體自尖至中心立垂線之三分之一而庚辛為圓球半徑與甲辛等甲辛既為丙辛之三分之一則丙甲即為丙辛之三分之二與甲乙全徑等故以甲乙圓球徑倍之得丙乙為四面體自尖至每面中心之立垂線也又四面體之立垂線自乘方為每一邊自乘方之三分之二(見前四面體求積法)故以丙乙立垂線自乘二歸三因得每一邊自乘方積開平方得丙丁為四面體之每一邊也既得一邊則用等邊三角形求面積法求得丁戊己三角形面積與丙乙立垂線相乘三歸之即得丙丁戊己四面體之積也如有四面體之一邊求内容圓球徑則先求得自尖至每面中心之立垂線折半即内容圓球徑也又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率球外切四面體之一邊二四四九四八九七四為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率二尺九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲有餘即圓球外切四面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率球外切四面體積一七三二○五○八○七為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四釐有餘即圓球外切四面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切四面體積三三○七九七三三七二為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四釐有餘即圓球外切四面體之積也設如圓球徑一尺二寸求外切正方體之每一邊及體積幾何法因圓球徑一尺二寸即外切正方體之每一邊自乘再乘得一尺七百二十八寸即外切正方體積故他法皆不設止存此題以備一體焉設如圓球徑一尺二寸求外切八面體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸折半得六寸為圓球外切八面體中心至每面中心之立垂線自乘得三十六寸六因之得二百一十六寸開平方得一尺四寸六分九釐六豪九絲三忽八㣲有餘即圓球外切八面體之每一邊也乃以八面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積九十三寸五十三分零七釐四十三豪有餘與圓球半徑六寸相乘三歸之得一百八十七寸零六十一分四百八十六釐有餘為一三角尖體積八因之得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八釐有餘即圓球外切八面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面體自丁辛己庚四角平分之則成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方體將二尖方體自尖依各稜直剖之則又得子丙丁庚類八三角尖體圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切八面體中心至每一面中心之立垂線試自丙角至丁庚邊正中壬作丙壬一面中垂線又自八面體中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂線復自八面體中心子至丁庚邊正中壬作子壬線遂成壬癸子勾股形此形以子癸立垂線(即圓球半徑)為股丙壬一面中垂線之三分之一癸壬為勾八面體中心至每邊正中斜線子壬為弦(子壬即八面體每邊之一半蓋壬丑與庚)(己平行其度相等折半於子故為每邊之半)夫癸壬既為丙壬一面中垂線之三分之一則癸壬自乘方必為丙壬一面中垂線自乘方之九分之一而丙壬一面中垂線自乘方原為丙丁每邊自乘方之十二分之九則癸壬自乘方必為丙丁每邊自乘方之十二分之一又子壬既為每邊之半則其自乘方必為每邊自乘方之四分之一今命為十二分之三癸壬勾自乘方既為每邊自乘方十二分之一子壬弦自乘方又為每邊自乘方十二分之三則子癸股自乘方必為每邊自乘方十二分之二即六分之一故以子癸圓球半徑自乘六因之得每邊自乘方積開平方得八面體之每一邊也既得每一邊則用等邊三角形求面積法求得丙丁庚一面積與子癸圓球半徑相乘三歸之得子丙丁庚一三角尖體積八因之即得丙丁戊己庚辛八面體之總積也如有八面體之一邊求内容圓球徑則求得自中心至每一面中心之立垂線即内容圓球之半徑也又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球外切八面體之一邊一二二四七四四八七為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率一尺四寸六分九釐六豪九絲三忽八㣲有餘即圓球外切八面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切八面體積八六六○二五四○三為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六釐有餘即圓球外切八面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切八面體積一六五三九八六六八六為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七釐有餘即圓球外切八面體之積也設如圓球徑一尺二寸求外切十二面體之每一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸折半得六寸為三率求得四率三寸七分零八豪二絲零三㣲有餘為圓球外切十二面體每一面中心至邊之垂線又以全分一○○○○○○○○為一率倍小分七六三九三二○二為二率今所設之圓球半徑六寸為三率求得四率四寸五分八釐三豪五絲九忽二㣲有餘為每一面中心至角之分角線乃以每一面之分角線為弦每一面中心至邊之垂線為股求得勾二寸六分九釐四豪一絲六忽八㣲有餘倍之得五寸三分八釐八豪三絲三忽六㣲有餘即圓球外切十二面體之每一邊也乃以十二面體之每一邊與每一面中心至邊之垂線相乘得數折半五因之得四十九寸九十五分二十六釐零九豪有餘為圓球外切十二面體之每一面之積與圓球半徑六寸相乘三歸之得九十九寸九百零五分二百一十八釐有餘為每一五角尖體積十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六釐有餘即圓球外切十二面體之總積也蓋圓球外切十二面體其圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切十二面體中心至每一面中心之立垂線以圓球半徑為理分中末線之全分則外切十二面體之每一面中心至邊之垂線(即五等邊形内容圜)(半徑)為大分每一面中心至角之分角線(即五等邊形外切圓半徑)為倍小分如甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面體按其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬癸子丑不等邊六角形丙辛與子癸皆十二面體之每一邊辛壬壬癸子丑丑丙皆為十二面體之每一面自一角至對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為十二面體中心至每邊正中之垂線寅辰為十二面體中心至每面中心之立垂線即圓球半徑辰丑為每面中心至邊之垂線辰丙為每面中心至角之分角線今以寅辰為全分則辰丑為大分辰丙為倍小分何以知之寅卯既為十二面體中心至每邊正中之垂線平分丙辛邊於卯故丙卯為每邊之半寅卯為全分則丙卯為小分(蓋十二面體中心至每邊正中之垂)(線為全分則其每一面兩角相對斜線之一半為大分而毎邊之半即為小分)(見球内容十二面體法)試依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形則丑巳與已卯亦皆為全分巳卯既為全分而丙卯又為小分則巳丙即為大分丑已丙勾股形與寅辰丑勾股形為同式形(寅辰丑勾股形之丑角與寅角併之)(共九十度而寅長丑勾股形之丑角與丑已丙勾股形之丑角併之亦共九十)(度故此二勾股形之已丑丙角與丑寅辰角為相等辰角與巳角又同為直角)(其餘一角亦必等故為同式形)丑已丙勾股形之丑巳股為全分則己丙勾為大分寅辰丑勾股形之寅辰股為全分則辰丑勾亦即為大分故以寅辰圓球半徑與辰丑每面中心至邊之垂線之比即同於理分中末線之全分與大分之比也又凡五等邊形自心至邊之垂線為大分則自心至角之分角線即為倍小分如丙午未申酉五等邊形其辰丑垂線為大分則辰申分角線為倍小分何以知之蓋丙未兩角相對斜線為全分則未甲一邊為大分而酉未與丙申兩兩角相對斜線相交所截戌申一段即為小分成連比例三率故丙戌與戌未亦皆為大分與未申等試自戌至亥作戌亥垂線平分丙未兩角相對斜線於亥則成丙亥戌勾股形與辰丑申勾股形為同式形(辰丑申勾股形之辰角當丑申半邊所對之弧為未申邊所對之弧之一)(半故辰丑申勾股形之辰角與丙戌亥勾股形之丙角等丑角與亥角又同為)(直角其餘一角亦必等故為同式形)夫丙未為全分則丙戌為大分丙未為大分則丙戌為小分若以丙未之半丙亥為大分則丙戌即為倍小分故以辰丑垂線為大分則辰申分角線亦即為倍小分今圓球半徑與每面中心至邊之垂線之比既同於全分與大分之比則圓球半徑與每面分角線之比亦即同於全分與倍小分之比也既得辰丑垂線又得辰申分角線則用股弦求勾法求得丑申勾倍之得未申即圓球外切十二面體之每一邊既得每一邊又得每面中心至邊之垂線則以辰丑每面中心至邊之垂線與未申一邊相乘折半五因之得丙午未申酉五等邊形面積與寅辰圓球半徑相乘三歸之得寅丙午未申酉一五角尖體積十二因之即得丙丁戊己庚十二面體之總積也如有十二面體之一邊求内容圓球徑則求得十二面體中心至每面中心之立垂線即内容圓球之半徑也又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體之每一邊四四九○二七九七為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率五寸三分八釐八豪三絲三忽五㣲有餘即圓球外切十二面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體積六九三七八六三六七為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百四十釐有餘即圓球外切十二面禮之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體積一三二五○三四三五八為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百四十二釐有餘即圓球外切十二面體之積也設如圓球徑一尺二寸求外切二十面體之每一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之圓球徑一尺二寸折半得六寸為三率求得四率二寸二分九釐一豪七絲九忽六㣲有餘為圓球外切二十面體每一面中心至邊之垂線三因之得六寸八分七釐五豪三絲八忽八㣲有餘為每一面自一角至對邊之中垂線自乘三歸四因開平方得七寸九分三釐九豪零一忽四㣲有餘即圓球外切二十面體之每一邊也乃以二十面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積二十七寸二十九分一十九釐有餘與圓球半徑六寸相乘三歸之得五十四寸五百八十三分八百釐有餘為一三角尖體積二十因之得一尺九十一寸六百七十六分有餘即圓球外切二十面體之總積也蓋圓球外切二十面體其圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切二十面體中心至每一面中心之立垂線以圓球半徑為理分中末線之全分則外切二十面體之每一面中心至邊之垂線(即三等邊形内容圜半徑)為小分每一面中心至角之分角線(即三等邊形外切圜)(半徑)為倍小分其每一面自一角至對邊之中垂線為三小分如甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚二十面體按其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬癸子丑不等邊六角形丙辛與癸子皆二十面體之每一邊丑丙辛壬壬癸子丑皆為二十面體之每一面自一角至對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為二十面體中心至每邊正中之垂線寅辰為二十面體中心至每面中心之立垂線即圓球半徑辰丑為每面中心至邊之垂線辰丙為每面中心至角之分角線今以寅辰為全分則辰丑為小分辰丙為倍小分丙丑即為三小分也何以知之寅卯既為二十面體中心至每邊正中之垂線平分丙辛邊於卯故丙卯為每邊之半寅卯為全分則丙卯為大分(蓋二十面體中心至毎邊正中之垂線為全分則每邊之半為大分見球内容)(二十面體法)試依寅卯全分度作已卯寅丑正方形則丑巳與已卯亦皆為全分已卯既為全分而丙卯又為大分則已丙即為小分丑巳丙勾股形與寅辰丑勾股形為同式形丑已丙勾股形之丑巳股為全分則巳丙勾為小分寅辰丑勾股形之寅辰股為全分則辰丑勾為小分故以寅辰圓球半徑與辰丑每面中心至邊之垂線之比即同於理分中末線之全分與小分之比也既得辰丑每面中心至邊之垂線則以三因之即得丙丑每面自一角至對邊之中垂線而每面自一角至對邊之中垂線自乘方為每邊自乘方之四分之三故以所得丙丑每面自一角至對邊之中垂線自乘三歸四因開平方即得午未為圓球外切二十面體之每一邊既得午未一邊與丙丑每面自一角至對邊之中垂線相乘折半得丙午未一三角形面積與寅辰圓球半徑相乘三歸之得寅丙午未一三角尖體積二十因之即得丙丁戊己庚二十面體之總積也如有二十面體之每一邊求内容圓球徑則求得二十面體中心至每面中心之立垂線即内容圓球之半徑也又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑○○○○○○○○為一率圓球外切二十面體之每一邊六六一五八四五三為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率七寸九分三釐九豪零一忽四㣲有餘即圓球外切二十面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切二十面體積六三一七五六九九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺九十一寸六百七十六分零九十四釐有餘即圓球外切二十面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切二十面體積一二○六五六六九九一為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一尺零九十一寸六百七十六分零九十四釐有餘即圓球外切二十面體之積也御製數理精藴下編卷二十八
## 下編卷二十九
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷二十九體部七各等面體互容更體形各等面體互容設如正方體每邊一尺二寸求内容四面體之每一邊幾何法以正方體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸開平方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽二微有餘即正方體内容四面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容丁甲戊己四面體以四面體之六稜切於正方體之六面則四面體之每一邊即為正方體之每一面之對角斜線故用方邊求斜弦之法以一邊自乗倍之開平方即得内容四面體之每一邊也如有四面體之一邊求外切正方體之一邊則用斜弦求方邊法以四面體之一邊自乗折半開平方即得外切正方體之每一邊也設如正方體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何法以正方體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸開平方得八寸四分八釐五豪二絲八忽一微有餘即正方體内容八面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸八面體以八面體之六角切於正方體之六面則正方體之每一邊即與内容八面體之對角斜線等(甲乙與戊庚等)故用斜弦求方邊之法以一邊自乗折半開平方即得内容八面體之每一邊也如有八面體之一邊求外切正方體之一邊則用方邊求斜弦法以八面體之一邊自乗加倍開平方即得外切正方體之每一邊也設如正方體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之正方體每邊一尺二寸為三率求得四率四寸五分八釐三豪五絲九忽二微有餘即正方體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸十二面體以十二面體之六稜切於正方體之六面則方正體之每邊與十二面體之兩邊相對之線等(即十二面體中心至每邊正中之斜)(線之倍)而正方體之每邊之半即為十二面體中心至每邊正中之斜線試將十二面體之正中截之則成十等邊之面形而其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之子丑等線亦為戊己兩角相對斜線之一半而為十等邊形之一邊其子寅外切圜之半徑為中心至每邊正中之斜線即正方體每邊之一半子寅即如理分中末線之全分子丑即如理分中末線之大分而戊子每邊之半即如理分中末線之小分(見球内容十二面體)(法)故全分與小分之比同於今所設之正方體每邊之半與内容十二面體每邊之半之比即同於今所設之正方體之一邊與内容十二面體之一邊之比也如有十二面體之一邊求外切正方體之一邊則以十二面體之一邊為理分中末線之小分比例得全分即外切正方體之每一邊也設如正方體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之正方體每邊一尺二寸為三率求得四率七寸四分一釐六豪四絲零七微有餘即正方體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸二十面體以二十面體之六稜切於正方體之六面則正方體之每邊與二十面體之兩邊相對之線等即二十面體戊庚兩角相對之斜線試自二十面體之戊庚二角類對角平截之則所截之面成戊己庚子丑五等邊之面形戊庚兩角相對斜線即如理分中末線之全分庚子(與己庚等)一邊即如理分中末線之大分(見球)(内容二十面體法)故全分與大分之比即同於今所設之正方體之毎一邊與内容二十面體之每一邊之比也如有二十面體之一邊求外切正方體之一邊則以二十面體之一邊為理分中末線之大分比例得全分即外切正方體之每一邊也設如四面體毎邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何法以四面體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘為四面體自尖至底中心之立垂線折半得四寸八分九釐八豪九絲七忽九微有餘為四面體内容圓球全徑乃用求球内容正方體之每一邊法以球徑自乗三歸開平方得二寸八分二釐八豪四絲二忽七微有餘即四面體内容正方體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬正方體以正方體之丁己辛癸四角切於四面體各面之中心則四面體中心至每一面中心之立垂線即正方體中心至角之斜線四面體内容圓球徑即正方體外切圓球徑故先求得四面體内容圓球徑又求得球内容正方體之一邊即四面體内容正方體之一邊也又法以四面體每邊一尺二寸自乗得一百四十四寸以十八歸除之得八寸開平方得二寸八分二釐八豪四絲二忽七微有餘即四面體内容正方體之每一邊也此法與前法同蓋四面體之自尖至底中心之立垂線自乗方為每邊自乗方之三分之二(即六分之四)内容圓球徑為立垂線之一半(見球外切四面體法)則内容圓球徑自乗方為立垂線自乗方之四分之一即為毎邊自乗方之六分之一而圓球内容正方體之每邊自乗方又為圓球徑自乗方之三分之一故内容正方體之每邊自乗方為四面體之每邊自乗方之十八分之一也如有正方體之一邊求外切四面體之一邊則以正方體之毎邊自乗以十八乗之開平方即得外切四面體之每一邊也設如四面體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何法以四面體每邊一尺二寸折半得六寸即四面體内容八面體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬八面體以八面體之四面切於四面體之各面以八面體之六角切於四面體之六稜其各角皆當各稜之一半故内容八面體之毎邊亦為四面體每邊之一半也如有八面體之一邊求外切四面體之一邊則以八面體之一邊倍之即得外切四面體之每一邊也設如四面體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何法以四面體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘為四面體自尖至底中心之立垂線折半得四寸八分九釐八毫九絲七忽九微有餘為四面體内容圓球全徑乃用求球内容十二面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股小分三八一九六六一為勾求得弦一○七○四六六二六為一率小分三八一九六六○一為二率今所得之圓球徑四寸八分九釐八豪九絲七忽九微為三率求得四率一寸七分四釐八豪零三忽九微有餘即四面體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬十二面體以十二面體之戊庚壬癸四角切於四面體各面之中心則四面體中心至毎一面中心之立垂線即十二面中心至各角之斜線四面體内容圓球徑即十二面體外切圓球徑故先求得四面體内容圓球徑又求得球内容十二面體之每一邊即四面體内容十二面體之每一邊也如有十二面體之一邊求外切四面體之每一邊則先求得十二面體外切圓球徑又求得球外切四面體之每一邊即十二面體外切四面體之每一邊也設如四面體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何法以四面體毎邊一尺二寸求得内容圓球全徑四寸八分九釐八豪九絲七忽九微有餘(法見前題)乃用求球外切二十面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所得之圓球全徑折半得半徑二寸四分四釐九豪四絲八忽有微有餘為三率求得四率九分三釐五豪六絲二忽一微有餘為二十面體毎一面中心至邊之垂線三因之得二寸八分零六豪八絲六忽三微有餘為二十面體每一面自角至對邊之垂線自乘三歸四因開平方得三寸二分五釐二豪六絲三忽三微有餘即四面體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬二十面體以二十面體之丁戊癸己庚子丑丑辛寅卯辰之四面切於四面體各面之中心則四面體中心至每一面中心之立垂線即二十面體中心至每一面中心之立垂線四面體内容圓球徑即二十面體内容圓球徑故先求得四面體内容圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即四面體内容二十面體之一邊也如有二十面體之一邊求外切四面體之一邊則求得二十面體内容圓球徑又求得球外切四面體之一邊即二十面體外切四面體之一邊也設如八面體每邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何法以每邊一尺二寸三歸之得四寸自乘得一十六寸倍之得三十二寸開平方得五寸六分五釐六豪八絲六忽四微有餘即八面體内容正方體之每一邊也如圖甲乙丙丁八面體内容戊己庚辛正方體以正方體之八角切於八面體各面之中心試自八面體之壬角至對邊作壬癸一面中垂線又自一面中心辛與甲丁邊平行作子丑線則壬辛為壬癸三分之二子丑亦為甲丁三分之二辛丑即為甲丁三分之一與丑庚等辛丑丑庚與内容正方體之辛庚一邊遂成辛丑庚勾股形辛丑既與丑庚等故以辛丑自乘倍之開平方即得辛庚為八面體内容正方體之每一邊也如有正方體之一邊求外切八面體之一邊則以正方體之一邊自乘折半開平方得數三因之即外切八面體之一邊也設如八面體每邊一尺二寸求内容四面體之每一邊幾何八面體之每邊即内容四面體之每一邊也何以知之蓋甲乙丙丁八面體内容戊乙丙己四面體以乙丙己底面合於八面體之一面則上尖戊切於八面體甲庚丁一面之中心(其戊乙邊恰與乙丙邊等)故八面體之每一邊即内容四面體之每一邊也設如八面體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何法以八面體每邊一尺二寸自乘得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九厘七豪九絲五忽八微有餘為八面體内容圓球全徑乃用求球内容十二面體之一邊法以全徑自乘三歸開平方得五寸六分五釐六豪八絲五忽四微有餘為十二面體每一面兩角相對斜線又以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率今所得之每一面兩角相對斜線為三率求得四率三寸四分九釐六豪一絲二忽八微有餘即八面體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙丁八面體内容戊己庚辛十二面體以十二面體之戊己庚辛壬癸子丑八角切於八面體各面之中心則八面體中心至每面中心之立垂線即内容十二面體中心至各角之斜線八面體内容圓球徑即十二面體外切圓球徑故先求得八面體内容圓球徑又求得球内容十二面體之一邊即八面體内容十二面體之一邊也如有十二面體之一邊求外切八面體之一邊則先求得十二面體外切圓球徑又求得球外切八面體之一邊即十二面體外切八面體之一邊也設如八面體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何法以八面體毎邊一尺二寸自乘得一尺四十四寸六歸之得二十四寸開平方得四寸八分九釐八豪九絲七忽九微有餘為八面體内容圓球半徑乃用求球外切二十面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所得之圓球半徑四寸八分九釐八豪九絲七忽九微為三率求得四率一寸八分七釐一豪二絲四忽三微有餘為二十面體毎一面中心至邊之垂線三因之得五寸六分一釐三豪七絲二忽九微有餘為毎一面自角至對邊之垂線自乗三歸四因開平方得六寸四分八釐二豪一絲七忽五微有餘即八面體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙丁八面體内容戊己庚辛壬癸二十面體以二十面體之戊丑子丑庚寅寅辛壬子壬癸戊己卯己庚辰己辰辛卯巳癸八面切於八面體各面之中心則八面體中心至每面中心之立垂線即内容二十面體中心至每面中心之立垂線八面體内容圓球徑即二十面體内容圓球徑故先求得八面體内容圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即八面體内容二十面體之一邊也如有二十面體之一邊求外切八面體之一邊則先求得二十面體内客圓球徑又求得球外切八面體之一邊即二十面體外切八面體之一邊也設如十二面體每邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何法以理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之十二面體每邊一尺二寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六豪四絲零七微有餘即十二面體内容正方體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊己十二面體内容庚乙辛丁壬己正方體以正方體之十二稜切於十二面體之各面則正方體之每一邊即十二面體之每一面兩角相對斜線故用五等邊面形有邊求對角斜線法算之即得十二面體内容正方體之每一邊也如有正方體之一邊求外切十二面體之一邊則正方體之一邊即外切十二面體之每一面兩角相對斜線用五等邊面形有對角斜線求邊法算之即得正方體外切十二面體之一邊也設如十二面體每邊一尺二寸求内容四面體之每一邊幾何法以十二面體每邊一尺二寸用求十二面體外切圓球徑法以理分中末線之小分三八一九六六○一為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之十二面體每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺五寸七分零八豪二絲零三微有餘為十二面體中心至每邊正中之斜線以此斜線為股每邊之半六寸為勾求得弦一尺六寸八分一釐五豪一絲零二微有餘倍之得三尺三寸六分三釐零二絲零四微有餘為十二面體外切圓球全徑乃用求球内容四面體之一邊法以球徑自乗三歸二因開平方得二尺七寸四分五釐八豪九絲四忽六微有餘即十二面體内容四面體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊己十二面體内客庚辛壬癸四面體以四面體之四角切於十二面體之四角則十二面體中心至各角之斜線即四面體中心至各角之斜線十二面體外切圓球徑即四面體外切圓球徑故先求得十二面體外切圓球徑又求得球内容四面體之一邊即十二面體内容四面體之一邊也如有四面體之一邊求外切十二面體之一邊則先求得四面體外切圓球徑又求得球内容十二面體之一邊即四面體外切十二面體之一邊也設如十二面體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何法以理分中末線之小分三八一九六六○一為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之十二面體毎邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺五寸七分零八豪二絲零三微有餘為十二面體中心至毎邊正中之斜線倍之得三尺一寸四分一釐六豪四絲零六微有餘(即十二面體外切正方體之一邊)為内容八面體兩角相對斜線自乗折半開平方得二尺二寸二分一釐四豪七絲五忽二微有餘即十二面體内容八面體之毎一邊也如圖甲乙丙丁戊己十二面體内容庚辛壬癸八面體以八面體之六角切於十二面體之六稜則十二面體中心至每邊正中之斜線即内容八面體中心至各角之斜線倍之則得八面體兩角相對之斜線故用斜弦求方邊法求得方邊即十二面體内容八面體之每一邊也如有八面體之一邊求外切十二面體之一邊則先求得八面體兩角相對斜線折半為外切十二面體中心至每邊正中之斜線乃以理分中末線之全分與小分之比同於十二面體中心至毎邊正中之斜線與每邊之半之比既得每邊之半倍之即八面體外切十二面體之一邊也設如十二面體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何法以十二面體毎邊一尺二寸用求十二面體中心至毎面中心之立垂線法求得中心至毎邊正中之斜線一尺五寸七分零八豪二絲零三微有餘又求得每一面中心至邊之垂線八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘乃以中心至毎邊正中之斜線為弦每一面中心至邊之垂線為勾求得股一尺三寸三分六釐二豪一絲九忽六微有餘倍之得二尺六寸七分二釐四豪三絲九忽二微有餘為十二面體内容圓球全徑乃用求球内容二十面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股大分六一八○三三九九為勾求得弦一一七五五七○五○為一率大分六一八○三三九九為二率今所得之圓球全徑二尺六寸七分二釐四豪三絲九忽二微為三率求得四率一尺四寸零四釐九豪八絲四忽四微有餘即十二面體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊十二面體内容己庚辛壬癸二十面體以二十面體之十二角切於十二面體各面之中心則十二面體中心至毎面中心之立垂線即内容二十面體中心至各角之斜線十二面體内容圓球徑即二十面體外切圓球徑故先求得十二面體内容圓球徑又求得球内容二十面體之一邊即十二面體内容二十面體之一邊也如有二十面體之一邊求外切十二面體之一邊則先求得二十面體外切圓球徑又求得球外切十二面體之一邊即二十面體外切十二面體之一邊也設如二十面體每邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何法以二十面體毎邊一尺二寸用求二十面體中心至每面中心之立垂線法求得中心至毎邊正中之斜線九寸七分零八豪二絲零三微有餘又求得每一面中心至邊之垂線三寸四分六釐四豪一絲零一微有餘乃以中心至毎邊正中之斜線為弦以毎一面中心至邊之垂線為勾求得股九寸零六釐九豪一絲三忽五微有餘倍之得一尺八寸一分三釐八豪二絲七忽有餘為二十面體内容圓球全徑乃用求球内容正方體之一邊法以球徑自乗三歸開平方得一尺零四分七釐二豪一絲三忽四微有餘即二十面體内容正方體之毎一邊也如圖甲乙丙丁戊己二十面體内容庚辛壬癸正方體以正方體之八角切於二十面體之八面之中心則二十面體中心至毎一面中心之立垂線即内容正方體中心至角之斜線二十面體内容圓球徑即正方體外切圓球徑故先求得二十面體内容圓球徑又求得球内容正方體之一邊即二十面體内客正方體之一邊也如有正方體之一邊求外切二十面體之一邊則先求得正方體外切圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即正方體外切二十面體之一邊也設如二十面體每邊一尺二寸求内容四面體之毎一邊幾何法以二十面體毎邊一尺二寸用求二十面體中心至每面中心之立垂線法求得立垂線九寸釐六釐九豪一絲三忽五微有餘(法見前題)倍之得一尺八寸一分三釐八豪二絲七忽有餘為二十面體内客圓球全徑乃用求球内容四面體之毎一邊法以球徑自乗三歸二因開平方得一尺四寸八分零九豪八絲三忽五微有餘即二十面體内容四面體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊己二十面體内容庚辛壬癸四面體以四面體之四角切於二十面體之四面之中心則二十面體中心至每面中心之立垂線即内容四面體中心至角之斜線二十面體内容圓球徑即四面體外切圓球徑故先求得二十面體内容圓球徑又求得球内容四面體之一邊即二十面體内容四面體之毎一邊也如有四面體之一邊求外切二十面體之一邊則先求得四面體外切圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即四面體外切二十面體之一邊也設如二十面體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何法以理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之二十面體毎邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率九寸七分零八豪二絲零三微有餘為二十面體中心至毎邊正中之斜線倍之得一尺九寸四分一釐六豪四絲零六微有餘(即二十面體外切正方體之一邊)為内容八面體兩角相對之斜線自乗折半開平方得一尺三寸七分二釐九豪四絲七忽一微有餘即二十面體内容八面體之毎一邊也如圖甲乙丙丁戊己二十面體内容庚辛壬癸八面體以八面體之六角切於二十面體之六稜則二十面體中心至每邊正中之斜線即内容八面體中心至各角之斜線倍之則得八面體兩角相對之斜線故用斜弦求方邊法求得方邊即二十面體内容八面體之毎一邊也如有八面體之每一邊求外切二十面體之每一邊則先求得八面體之角相對斜線折半為外切二十面體中心至每邊正中之斜線乃以理分中末線之全分與大分之比同於二十面體中心至每邊正中之斜線與毎邊之半之比既得毎邊之半倍之即八面體外切二十面體之一邊也設如二十面體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何法以二十面體毎邊一尺二寸用求二十面體中心至毎面中心之立垂線法求得立垂線九寸零六釐九豪一絲三忽五微有餘(法前)見倍之得一尺八寸一分三釐八豪二絲七忽有餘為二十面體内容圓球全徑乃用求球内容十二面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股小分三八一九六六○一為勾求得弦一○七○四六六二六為一率小分三八一九六六 一為二率今所得之圓球全徑一尺八寸一分三釐八豪二絲七忽有餘為三率求得四率六寸四分七釐二豪一絲三忽五微有餘即二十面體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊二十面體内容己庚辛壬癸十二面體以十二面體之二十角切於二十面體各面之中心則二十面體中心至每面中心之立垂線即内容十二面體中心至角之斜線二十面體内容圓球徑即十二面體外切圓球徑故先求得二十面體内容圓球徑又求得球内容十二面體之一邊即二十面體内容十二面體之一邊也如有十二面體之一邊求外切二十面體之一邊則先求得十二面體外切圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即十二面體外切二十面體之每一邊也更體形設如正方體每邊一尺二寸今欲作與正方體積相等之圓球體問徑幾何法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之正方體之每邊一○○○○○○○○為一率圓球徑一二四○七○○九八為二率今所設之正方體之毎邊一尺二寸為三率求得四率一尺四寸八分八釐八豪四絲一忽有餘即圓球之徑也葢正方體之每邊為一○○○○○○○○圓球徑為一二四○七○○九八則兩體積相等故以子丑寅卯正方體之每邊一○○○○○○○○與辰巳圓球徑一二四○七○○九八之比即同於今所設之甲乙丙丁正方體之每邊一尺二寸與今所得之戊己圓球徑一尺四寸八分八釐八豪四絲一忽有餘之比而兩體積亦為相等也設如正方體積一尺七百二十八寸今欲作與正方邊相等之圓球體問積幾何法用邊線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球積五二三五九八七七五為二率今所設之正方體積一尺七百二十八寸為三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘即圓球之積也葢正方體積為一○○○○○○○○○圓球積為五二三五九八七七五則正方體之每邊與圓球徑相等故以子丑寅卯正方體積一○○○○○○○○○與辰巳圓球積五二三五九八七七五之比即同於今所設之甲乙丙丁正方體積一尺七百二十八寸與今所得之戊己圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘之比而正方體之每邊與圓球徑亦為相等也設如圓球徑一尺二寸今欲作與圓球積相等之四面體問毎一邊幾何法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之圓球徑一二四○七○○九八為一率四面體之毎邊二○三九六四八九○為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率一尺九寸七分二釐七豪三絲八忽有餘即四面體之每一邊也葢圓球徑為一二四○七○○九八四面體之毎邊為二○三九六四八九○則兩體積相等故以子丑圓球徑一二四○七○○九八與寅卯辰巳四面體之每邊二○三九六四八九○之比即同於今所設之甲乙圓球徑一尺二寸與今所得之丙丁戊己四面體之每邊一尺九寸七分二釐七豪三絲八忽有餘之比而兩體積亦為相等也設如圓球積一尺七百二十八寸今欲作與圓球徑相等之四面體問積幾何法用邊線相等體積不同之定率比例以定率之圓球積五二三五九八七七五為一率四面體積一一七八五一一二九為二率今所設之圓球積一尺七百二十八寸為三率求得四率三百八十八寸九百三十六分六百四十五釐有餘即四面體之積也葢圓球積為五二三五九八七七五四面體積為一一七八五一一二九則圓球徑與四面體之每邊相等故以子丑圓球積五二三五九八七七五與寅卯辰巳四面體積一一七八五一一二九之比即同於今所設之甲乙圓球積一尺七百二十八寸與今所得之丙丁戊己四面體積三百八十八寸九百三十六分六百四十五釐有餘之比而圓球徑與四面體之毎邊亦為相等也設如八面體每邊一尺二寸今欲作與八面體積相等之十二面體問每邊幾何法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之八面體之每邊一二八四八九八二九為一率十二面體之每邊五○七二二二○七為二率今所設之八面體之每邊一尺二寸為三率求得四率四寸七分三釐七豪零七忽有餘即十二面體之每一邊也葢八面體之每邊為一二八四八九八二九十二面體之每邊為五○七二二二○七則兩體積相等故以子丑寅卯八面體之每邊一二八四八九八二九與辰巳午未申十二面體之每邊五○七二二二○七之比即同於今所設之甲乙丙丁八面體之每邊一尺二寸與今所得之戊己庚辛壬十二面體之毎邊四寸七分三釐七豪零七忽有餘之比而兩體積亦為相等也設如八面體積一尺七百二十八寸今欲作與八面體毎邊相等之二十面體問積幾何法用邊線相等體積不同之定率比例以定率之八面體積四七一四○四五二一為一率二十面體積二一八一六九四九六九為二率今所設之八面體積一尺七百二十八寸為三率求得四率七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二釐有餘即二十面體之積也葢八面體積為四七一四○四五二一二十面體積為二一八一六九四九六九則八面體之毎邊與二十面體之毎邊相等故以子丑寅卯八面體積四七一四○四五二一與辰巳午未申酉二十面體積二一八一六九四九六九之比即同於今所設之甲乙丙丁八面體積一尺七百二十八寸與今所得之戊己庚辛壬癸二十面體積七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二釐有餘之比而八面體之每邊與二十面體之每邊亦為相等也御製數理精藴下編卷二十九
## 下編卷三十
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十體部八各體權度比例堆垜各體權度比例數學至體而備以其綜線面之全而盡度量衡之用也葢線面存乎度體則存乎量求輕重則存乎衡是以又有權度之比例其法㮣以諸物製爲正方其邊一寸其積千分較量豪釐俾有定率然後凡物知其體積即知其重輕知其重輕即知其體積而權度無遁情也且體之爲質不一邊積等者輕重不同輕重等者邊積不同皆有互相比例之法而各體無混淆也赤金十六兩八錢紋銀九兩水銀十二兩二錢八分紅銅七兩五錢白銅六兩九錢八分黃銅六兩八錢綱六兩七錢三分生鐵六兩七錢熟鐵六兩七錢三分高錫六兩三錢六錫七兩六錢倭鉛六兩黑鉛九兩九錢三分白玉二兩六錢金珀八錢白瑪瑙二兩三錢紅瑪瑙二兩二錢硨磲一兩五錢二分青石二兩八錢八分白石二兩五錢紅石二兩五錢六分象牙一兩五錢四分牛角一兩九錢沉香八錢二分白檀八錢三分紫檀一兩零二分花梨八錢七分楠木四錢八分黃楊七錢五分烏木一兩一錢油八錢三分水九錢三分設如有金一方每邊三寸問重幾何法以一寸爲一率金寸方重一十六兩八錢爲二率今所設之金方每邊三寸自乘再乘得二十七寸爲三率求得四率四百五十三兩六錢即金之重數也此法葢因金方每邊三寸則體積爲二十七寸以一寸與一十六兩八錢之比同於二十七寸與四百五十三兩六錢之比也設如有銀一方每邊二寸問重幾何法以一寸爲一率銀寸方重九兩爲二率今所設之銀方每邊二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率七十二兩即銀之重數也此法葢因銀方每邊二寸則體積爲八寸以一寸與九兩之比同於八寸與七十二兩之比也設如黄銅一條重三百七十四兩問積幾何法以黃銅寸方重六兩八錢為一率一寸爲二率今所設黄銅重三百七十四兩爲三率求得四率五十五寸即黃銅之積也設如熟鐵一塊重十六兩欲鎔爲正方體問毎邊幾何法以熟鐵寸方重六兩七錢三分爲一率一寸爲二率今鐵重十六兩爲三率求得四率二寸三百七十七分四百一十四釐有餘開立方得一寸三分三釐有餘即每邊之數也設如水銀一匣但知匣闊四寸長六寸高三寸五分問内水銀重數幾何法以匣闊四寸與長六寸相乘得二十四寸又以高三寸五分再乘得八十四寸爲水銀一匣之積數爰以一寸爲一率水銀寸方重一十二兩二錢八分爲二率今所得之水銀一匣之積數八十四寸爲三率求得四率一千零三十一兩五錢二分即水銀之重數也設如白玉一方重九十三兩六錢但知闊比高多一寸長比闊多三寸問高闊長各幾何法以玉寸方重二兩六錢爲一率一寸爲二率今所設玉重九十三兩六錢爲三率求得四率三十六寸爲長方體積乃以闊比高多一寸長比闊多三寸爲帶兩縱之較用帶兩縱不同較數開立方法算之得高二寸加闊比高多一寸得三寸爲闊再加長比闊多三寸得六寸爲長也設如金與銀鎔於一處共得正方體積二十七寸重二百七十四兩二錢問金與銀各幾何法以共積二十七寸以銀寸方重九兩乘之得二百四十三兩與共重二百七十四兩二錢相減餘三十一兩二錢乃以銀寸方重九兩與金寸方重十六兩八錢相減餘七兩八錢爲一率金一寸爲二率今相減所餘之三十一兩二錢爲三率求得四率四寸即金之寸數於共積二十七寸内減去四寸餘二十三寸即銀之寸數也以金四寸與金寸方重十六兩八錢相乘得六十七兩二錢以銀二十三寸與銀寸方重九兩相乘得二百零七兩兩數相併得二百七十四兩二錢仍與原數相合也此即和較比例之法葢銀二十七寸則其重數應得二百四十三兩與共重二百七十四兩二錢相減餘三十一兩二錢即金重於銀之數而金每寸比銀毎寸多七兩八錢故多七兩八錢則金有一寸今多三十一兩二錢則知金有四寸也若欲先得銀數則仍以七兩八錢爲一率一寸爲二率將共積二十七寸以金寸方重十六兩八錢乘之得四百五十三兩六錢内減共重二百七十四兩二錢餘一百七十九兩四錢爲三率求得四率二十三寸即銀之寸數與共積二十七寸相減餘四寸即金之寸數葢少七兩八錢則銀有一寸今少一百七十九兩四錢則知銀有二十三寸也設如金鑲玉爐一座共重四十六兩七錢問金玉各幾何法用盛水器皿一件置爐其中實之以水取出爐看水淺幾何設如盛水器皿係正方形每邊五寸取出爐水淺五分即以毎邊五寸自乘得二十五寸以水淺五分爲高再乘得一十二寸五百分爲爐之體積即金玉之共積爰以共積一十二寸五百分以玉寸方重二兩六錢乘之得三十二兩五錢與共重四十六兩七錢相減餘一十四兩二錢乃以玉寸方重二兩六錢與金重一十六兩八錢相減餘一十四兩二錢爲一率金一寸爲二率今相減所餘一十四兩二錢爲三率求得四率一寸爲金之寸數於共積一十二寸五百分内減去一寸餘十一寸五百分爲玉之寸數金一寸重得十六兩八錢玉十一寸五百分與玉寸方重二兩六錢相乘得二十九兩九錢爲玉之重數兩數相併共得四十六兩七錢仍與原數相合也如欲先得玉數則仍以一十四兩二錢爲一率一寸爲二率將所得共積一十二寸五百分以金寸方重十六兩八錢乘之得二百一十兩内減共重四十六兩七錢餘一百六十三兩三錢爲三率求得四率一十一寸五百分爲玉之寸數與共積一十二寸五百分相減餘一寸即金之寸數也設如空心金球一個外徑一尺二寸厚三分問重幾何法以金球外徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸乃用方邊球徑相等方積球積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○○爲一率球積五二三五九八七七五爲二率今球徑自乘再乘之正方體積一尺七百二十八寸爲三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘爲球之全體積又以厚三分倍之得六分與外徑一尺二寸相減餘一尺一寸四分爲空心徑自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分仍以方積一○○○○○○○○○爲一率球積五二三五九八七七五爲二率今空心徑自乘再乘之正方體積一尺四百八十一寸五百四十四分爲三率求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三釐有餘爲球内空心虛積兩積相減餘一百二十九寸零四十四分零六十釐有餘爲空心球體積乃以一寸爲一率金寸方重十六兩八錢爲二率空心球體積一百二十九寸零四十四分零六十釐有餘爲三率求得四率二千一百六十七兩九錢四分有餘即空心金球體之重數也設如正方青石一塊紅石一塊紅石比青石毎邊多二寸體積多五十六寸問二石之邊數及重數各幾何法以紅石比青石每邊多二寸爲邊較體積多五十六寸爲積較用大小二立方有邊較積較求邊法算之以邊較二寸自乘再乘得八寸與積較五十六寸相減餘四十八寸三歸之得一十六寸以邊較二寸除之得八寸爲長方面積以邊較二寸爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊二寸即青石之邊數加紅石比青石每邊多二寸得四寸即紅石之邊數乃以一寸爲一率紅石寸方重二兩五錢六分爲二率紅石毎邊四寸自乘再乘得六十四寸爲三率求得四率一百六十三兩八錢四分即紅石之重數也又以一寸爲一率青石寸方重二兩八錢八分爲二率青石每邊二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率二十三兩零四分即青石之重數也此法因二石皆爲正方體故用大小二立方有邊較積較求邊之法求得二石之邊自乘再乘即得二石之體積用寸方重數定率以比例之即得二石之重數也設如有正方水桶三個第一桶每邊一尺第三桶比第二桶每邊多二寸第三桶體積與第一桶第二桶兩桶之共積相等問三桶水之重數各幾何法以一寸爲一率水寸方重九錢三分為二率第一桶正方每邊一尺自乘再乘得一千寸爲三率求得四率九百三十兩爲第一桶水之重數又以第三桶比第二桶每邊多二寸爲邊較以第一桶體積一千寸爲第三桶比第二桶所多之積較用大小二立方有邊較積較求邊法算之以邊較二寸自乘再乘得八寸與積較一千寸相減餘九百九十二寸三歸之得三百三十寸六百六十六分六百六十六釐有餘以邊較二寸除之得一尺六十五寸三十三分三十三釐有餘爲長方面積以邊較二寸爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊一尺一寸八分九釐有餘爲第二桶之邊數加較二寸得一尺三寸八分九釐有餘爲第三桶之邊數乃以一寸爲一率水寸方重九錢三分爲二率第二桶每邊一尺一寸八分九釐有餘自乘再乘得一尺六百八十寸九百二十四分有餘爲三率求得四率一千五百七十兩九錢九分三釐有餘即第二桶水之重數又以一寸爲一率水寸方重九錢三分爲二率第三桶每邊一尺三寸八分九釐有餘自乘再乘得二尺六百七十九寸八百二十六分有餘爲三率求得四率二千四百九十二兩二錢三分八釐有餘即第三桶水之重數也此法葢因第三桶之體積與第一第二兩桶之共積相等則第一桶體積一千寸即第三桶體積比第二桶體積所多之較也而第三桶比第二桶每邊多二寸故用大小二立方有邊較積較求邊法求得二桶之邊數自乘再乘即得二桶之體積用寸方重數定率以比例之即得二桶水之重數也設如金球一個徑二寸二分六釐今欲作一銀球其重與金球等問徑幾何法以金方邊一寸爲一率銀方邊一寸二分三釐爲二率今所設之金球徑二寸二分六釐爲三率求得四率二寸七分七釐有餘即銀球之徑數也此法葢因各色俱爲正方體其重數俱設爲十六兩八錢與金寸方等故金方邊爲一寸銀方邊爲一寸二分三釐水銀方邊爲一寸一分一釐鉛方邊爲一寸一分九釐銅方邊爲一寸三分一釐鐵方邊爲一寸三分六釐錫方邊爲一寸三分九釐石方邊爲一寸八分九釐水方邊爲二寸六分四釐油方邊爲二寸七分四釐皆係邊與邊之比例故球徑與球徑之比同於方邊與方邊之比而爲相當比例四率也設如青石一塊正方一尺二寸重四千九百七十六兩六錢四分今欲作與青石一樣大熟鐵一塊問重幾何法以青石寸方重二兩八錢八分爲一率熟鐵寸方重六兩七錢三分爲二率今所設之青石重四千九百七十六兩六錢四分爲三率求得四率一萬一千六百二十九兩四錢四分即與青石一樣大熟鐵之重數也堆垜堆垜之法雖爲體屬而一面平堆與方圓束形實與面同方者即平方法其餘則用梯形法以其每層皆遞加之數也束形亦與一面平堆同法葢圓者以六包一方者以八包一三角者以九包一有邊求積有周求積其理皆相通也若夫以方面層累者則爲四角尖堆以三角面層累者則爲三角尖堆此二者每層之邊皆同爲遞加一數每層之面積則三角爲按位相加之數四角爲按位自乘相加之數其傍皆崚嶒不平故與體亦微異也至於以長方面層累者則爲長方堆以全堆而減去上截者則爲半堆總以尖堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按法解之於後設如一面直角尖堆底十二求積幾何法以底十二加尖上一得十三與層數十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之積也如圖甲乙丙一面直角尖堆乙丙爲底十二其甲乙高亦即爲十二層其每層皆加一爲挨次遞加之數成直角三角形試另作一丁戊己直角三角形合於原形之側則成甲乙丁戊長方形其高即層數其底即首數與末數相加之數其積即總數加一倍之數(見算法原本二卷第三十二節)故以底十二與上尖一相加與層數十二相乘得長方積析半即得一面直角尖堆之積也此法與勾股求積之法異者葢勾股之上尖爲一㸃無數可紀此上尖一即其上之闊成斜方形故用斜方求積之法以上闊與下闊相加以高數乘之折半而得積也設如一面直角尖堆積二十八求底幾何法以一面直角尖堆積二十八倍之得五十六爲長方積以一爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊七即一面直角尖堆之底數也如圖甲乙丙一面直角尖堆積倍之則成甲乙丁戊長方形積其乙丁長比甲乙闊多一故用帶縱較數開平方法算之得甲乙與乙丙等爲一面直角尖堆之底闊也設如一面三角尖堆底七求積幾何法以底七加上尖一得八與層數七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之積也如圖甲乙丙一面三角尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七層其每層皆加一爲挨次遞加之數成等邊三角形試另作一丁戊巳等邊三角形合於原形之側則成甲乙丁戊斜方形其高即層數其底即首數與末數相加之數其積即總數加一倍之數故以底七與上尖一相加與層數七相乘得斜方積折半得一面三角尖堆之積也設如一面三角尖堆積三十六求每邊幾何法以一面三角尖堆積三十六倍之得七十二爲長方積以一爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八即一面三角尖堆每一邊之數也如圖甲乙丙一面三角尖堆積倍之則成甲乙丁戊斜長方積若直排之即與直角長方積等故其求邊之法亦與前直角尖堆求邊之法同也設如一面梯形堆上五下九求積幾何法以上五與下九相加得十四又視上五以上至一虛四位即以所虛之四與下九相減餘五爲層數與上下相加之十四相乘得七十折半得三十五即一面梯形堆之積也如圖甲乙丙丁一面梯形堆甲丁爲上五乙丙爲下九甲乙爲層數五(凡自一遞加之數其末數即位數今首數爲五計自一己)(截去四位故於末數内減去所少之位即爲今之所有之位見算法原本二巻)(第三十二節)試另作一戊己庚辛梯形合於原形之側則成甲乙己庚斜方形其底即上數與下數相加之數其高即層數其積即總數加一倍之數故以上數與下數相加與層數相乘折半即得一面梯形堆之積也又法以底九用一面三角尖堆求積法求得總積四十五又以上五内減一餘四爲上虛小一面三角尖堆之底亦用三角尖堆求積法求得上虛小一面三角尖堆積十兩積相減餘三十五即一面梯形堆之積也如圖甲乙丙丁一面梯形堆先求得戊乙丙三角尖堆總積又求得戊己庚上虛小三角尖堆積相減即得甲乙丙丁梯形堆之積也如有上闊或下闊與層數求積者則於層數内減一餘爲上下闊之較與上闊相加則得下闊與下闊相減則得上闊皆用有上下闊之法算之而得積也設如一面梯形堆積三十五下九問上幾何法以下九用一面三角尖堆求積法求得總積四十五内減梯形積三十五餘十爲上虛小一面三角尖堆積用一面三角尖堆有積求邊法求得每邊四加一得五即一面梯形堆之上闊也如圖甲乙丙丁一面梯形堆先以乙丙下九求得戊乙丙三角尖堆總積内減甲乙丙丁梯形堆積餘戊己庚上虛小一面三角尖堆積乃用有積求邊法求得己庚四因每層埃次遞加一故加一即得甲丁五爲上闊也如有上闊求下闊者則以上闊内減一爲上虛小三角尖堆之底求得上虛小三角尖堆積與梯形積相加爲三角尖堆總積亦用有積求邊法算之即得下闊也設如一面梯形堆積三十五上闊比下闊少四問上下闊各幾何法以梯形堆積三十五倍之得七十又以上下闊之較四加一得五爲層數以除倍積七十得十四爲上下闊之和加較四得十八折半得九爲下闊内減較四餘五爲上闊也如圖甲乙丙丁一面梯形堆積每層挨次加一今甲丁上闊比乙丙下闊少四即知甲乙爲五層矣故以甲乙丙丁梯形積倍之則成甲乙戊己斜方積以甲乙五層除之得乙戊爲上下闊之和加上下闊之較折半即得下闊於下闊内減上下闊之較即得上闊也如有積與上下闊之和求上下闊者則將積數加一倍以上下闊之和除之即得層數内減一即得上下闊之較或有積與層數求上下闊者則於層數内減一即得上下闊之較以層數除倍積即得上下闊之和既有較有和即得上下闊矣設如一面六角堆每邊六求積幾何法以一面六角堆分作六三角尖堆算之以每邊六減一餘五爲每一面三角尖堆之底與毎邊六(即底加一也)相乘得三十折半得十五爲每一面三角尖堆積六因之得九十加中心一得九十一即一面六角堆之積也如圖甲乙丙丁戊己一面六角堆六分之則成甲庚辛類六三角尖堆而餘中心一其每一三角尖堆之甲庚一邊比六角堆之甲己一邊少一故以六角堆之每一邊内減一即得三角尖堆之每一邊而求得一面三角尖堆積六因之再加中心一即得一面六角堆之總積也設如一面六角堆積九十一求每邊幾何法以一面六角堆積九十一減中心一餘九十六歸之得十五爲一面三角尖堆積用一面三角尖堆有積求邊法算之得每邊五加一得六即六角堆之每一邊也如圖甲乙丙丁戊己一面六角堆積先減去中心一以六歸之則得甲庚辛一三角尖堆積其三角尖堆之甲庚一邊比六角堆之甲己一邊少一故用一面三角尖堆有積求邊法求得一邊再加一爲一面六角堆之每一邊也此即算書所謂圓束也本以六包一不能成圓凡云圓者皆六邊也周四十求積幾何法以外周四十加四得四十四四歸之得十一爲方束每一邊之數自乘得一百二十一即方束之積也如圖甲乙丙丁方束其四隅之四各爲兩邊所同用故必以外周加四以四歸之始得甲乙每一邊之數以一邊自乘即爲方束之積數也又法以外周四十加八得四十八與外周四十相乘得一千九百二十十六除之得一百二十加中心一得一百二十一爲方束之積也葢方束以八包一其外周所包之數亦必以八遞加爲超位平加之數如甲乙丙丁方束除却中心之一最内一層爲八第二層爲十六第三層爲二十四第四層爲三十二第五層爲四十毎層皆加八爲超位平加之數引而長之成戊己庚辛梯形外周四十即梯形之底内周八即梯形之上闊如以首數八與末數四十相加得四十八用層數五乘之折半即得總數(見算法原)(本二卷第三十二節)然其層數之五乃係外周四十用八歸所得之數今以内周八與外周四十相加即與外周四十栒乘是未用八歸故將相乘所得之數必以八歸又以二歸(即折半)始得總數夫先用八歸後用二歸即與用十六歸除等(二與八相因得)(一十六合兩次除爲一次除)故以十六歸除得總數再加中心一即得方束之積也又按第一法以外周四十加四以四歸之得方束之每一邊是外周加四則得每邊之四倍若以外周加四自乘必得方束積之十六倍而以十六歸除亦即得方束之積今以外周加八與外周相乘成長方形則其長比毎邊之四倍多四其闊比每邊之四倍少四其積必爲方束積之十六倍而少十六以十六歸除則得方束積而少一故加一而得方束積也此方束毎邊十一係奇數故有中心之一若方束毎邊係偶數者則無中心之一詳見下法設如方束外周三十六求積幾何法以外周三十六加四得四十四歸之得一十爲方束毎一邊之數自乘得一百即方束之積也又法以外周三十六加八得四十四與外周三十六相乘得一千五百八十四十六除之得九十九加一得一百爲方束之積也此方束每邊係偶數無中心一其最内一層爲四其外周三十六用八歸之則得四層半然其立法亦與前法同乘除得數仍加一者葢以外周加四則得每邊之四倍若以外周加四自乘必得方束積之十六倍而以十六歸除亦即得方束之積今以外周加八與外周相乘成長方形則其長比每邊之四倍多四其闊比每邊之四倍少四其積必爲方束積之十六倍而少十六以十六歸除則得方束積而少一故加一而得方束積也設如方束積一百求外周幾何法以方束積一百開平方得一十四因之得四十内減四餘三十六即方束外周之數也如圖甲乙丙丁方束開方則得甲乙一邊前法以外周加四四歸之而得一邊此法以一邊四因之減四而即得外周也又法以方束積一百内減一餘九十九以十六乘之得一千五百八十四爲長方積以八爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊三十六即方束之外周數也此即方束有外周求積之法而轉用之前法以外周加八與外周相乘十六除之再加一而得積此法則以積數減一餘用十六乘之以八爲長闊之較用帶縱開方得闊而爲外周也設如三稜束外周二十七求積幾何法以外周二十七加三得三十三歸之得一十爲三稜束每一邊之數用一面三角尖堆有邊求積法以每邊一十加一得一十一與每邊一十相乘得一百一十折半得五十五即三稜束之積也如圖甲乙丙三稜束其三角之三各爲兩邊所同用故必以外周加三以三歸之始得甲乙每一邊之數即如一面三角尖堆之每一邊故用一面三角尖堆有邊求積法算之即得三稜束之積也又法以外周二十七加九得三十六與外周二十七相乘得九百七十二以十八歸除得五十四加中心一得五十五爲三稜束之積也葢三稜束以九包一其外周所包之數亦必以九遞加爲超位平加之數如甲乙丙三稜束除却中心之一最内一層爲九第二層爲十八第三層爲二十七每層皆加九爲超位平加之數引而長之成丁戊己庚梯形外周二十七即梯形之底内周九即梯形之上闊如以首數九與末數二十七相加得三十六用層數三乘之折半即得總數(見算法原本二卷第三十二節)然其層數之三乃係外周二十七用九歸所得之數今以内周九與外周二十七相加即與外周二十七相乘是未用九歸故將相乘所得之數必以九歸又以二歸(即折半)始得總數夫先用九歸後用二歸即與十八歸除等(二與九相乘得一十八合兩次除爲一次除)故以十八歸除得總數再加中心一即得三稜束之積也又按第一法以外周二十七加三以三歸之得一面三角尖堆之每一邊是外周加三則得每邊之三倍若以毎邊之三倍再加三與每邊之三倍相乘必得一面三角尖堆積之十八倍(葢以一面三角尖堆之毎一邊加一與每邊之數相乘則得一面三角尖)(堆積之二倍今以毎邊之三倍加三與每邊之三倍相乘是邊加三倍則積加)(九倍彼旣爲一面三角尖堆積之二倍故此即爲十八倍也)而以十八歸除亦即得三稜束之積今以外周加九與外周相乘成長方形則其長比每邊之三倍加三者尚多三其闊比每邊之三倍少三其積必爲一面三角尖堆積之十八倍而少十八以十八歸除則得一面三角尖堆積而少一故加一而得三稜束之積也此三稜束亦有無中心之一者葢緣三稜束包中心一爲一層者周圍九其底則四包中心一爲二層者周圍十八其底則七凡如此類周遞加九邊遞加三者皆有中心之一其餘皆無中心之一詳見下法設如三稜束外周三十求積幾何法以外周三十加三得三十三三歸之得十一爲三稜束每一邊之數用一面三角尖堆有邊求積法以每邊十一加一得十二與每邊十一相乘得一百三十二折半得六十六即三稜束之積也又法以外周三十加九得三十九與外周三十相乘得一千一百七十十八除之得六十五加一得六十六爲三稜束之積也此三稜束無中心其最内一層爲三其外周三十用九歸之則得三層又三分之一然其立法亦與前法同乘除得數仍加一者葢以外周加三則得每邊之三倍若以每邊之三倍再加三與每邊之三倍相乘必得一面三角尖堆積之十八倍而以十八歸除亦即得三稜束之積今以外周加九與外周相乘成長方形則其長比每邊之三倍加三者尚多三其闊比每邊之三倍少三其積必爲一面三角尖堆積之十八倍而少十八以十八歸除則得一面三角尖堆積而少一故加一而得三稜束之積也設如三稜束積六十六求外周幾何法以三稜束積六十六倍之得一百三十二爲長方積以一爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十一爲三稜束之每一邊三因之得三十三内減三餘三十即三稜束之外周數也如圖甲乙丙三稜束用一面三角尖堆有積求邊法求得甲乙一邊前法以外周加三三歸之而得一邊此法以一邊三因之減三而即得外周也又法以三稜束積六十六内減一餘六十五以十八乘之得一千一百七十爲長方積以九爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊三十即三稜束之外周數也此即三稜束有外周求積之法而轉用之前法以外周加九與外周相乘十八除之再加一而得積此法則以積數減一餘用十八乘之以九爲長闊之較用帶縱開方得闊而爲外周也設如圓束外周三十求積幾何法以外周三十六歸之得五爲一面三角尖堆之每一邊用一面三角尖堆有邊求積法以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十折半得十五爲每一三角尖堆積六因之得九十加中心一得九十一即圓束之積也如圖甲乙丙丁戊己圓束六分之則成甲庚辛類六三角尖堆形而餘中心一故以外周六分之而得甲庚每一邊之數即如一面三角尖堆之每一邊而求得一三角尖堆積六因之得六三角尖堆積加中心一即爲圓束之積數也又法以外周三十加六得三十六與外周三十相乘得一千零八十十二除之得九十加中心一得九十一爲圓束之積也葢圓束以六包一其外周所包之數亦必以六遞加爲超位平加之數如甲乙丙丁戊己圓束除却中心之一最内一層爲六第二層爲十二第三層爲十八第四層爲二十四第五層爲三十每層皆加六爲超位平加之數引而長之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形之底内周六即梯形之上闊如以首數六與末數三十相加得三十六用層數五乘之折半即得總數(見算法厚本二卷第三十二節)然其層數之五乃係外周三十用六歸所得之數今以内周六與外周三十相加即與外周三十相乘是未用六歸故將相乘所得之數必以六歸又以二歸(即析半)始得總數夫先用六歸後用二歸即與十二歸除等(二與六相因得一十二合兩次除爲一次)(除)故以十二歸除得總數再加中心一即得圓束之積也又按第一法以外周三十六歸之得一面三角尖堆之每一邊是圓束之外周爲一面三角尖堆每邊之六倍若以外周加六與外周相乘則必得一面三角尖堆積之七十二倍(葢以一面三角尖堆之毎一邊加一與每一邊之數相乘則得一面三角尖堆)(積之二倍今以每邊之六倍加六與毎邊之六倍相乘是邊加六倍則積加三)(十六倍彼既爲一面三角尖堆積之二倍故此即爲七十二倍也)以一面三角尖堆積六倍之加中心一則得圓束積今將七十二倍積以十二除之亦得一面三角尖堆積之六倍故加中心一而得圓束之積也凡圓束皆有中心設此解與前法相通耳設如圓束積九十一求外周幾何法以圓束積九十一減中心一餘九十六歸之得一十五倍之得三十(或即以九十三)(歸之所得亦同葢六歸二因與三歸所得之數同也)爲長方積以一爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊五又以六因之得三十即圓束之外周數也如圖甲乙丙丁戊己圓束減去中心一以六歸之則得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有積求邊法求得甲庚一邊以六因之而得外周也又法以圓束積九十一減一餘九十以十二乘之得一千零八十爲長方積以六爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊三十即圓束之外周數也此即圓束有外周求積之法而轉用之前法以外周加六與外周相乘十二除之再加一而得積此法則將積數減一餘用十二乘之以六爲長闊之較用帶縱開方得闊而爲外周也設如塹堵堆底五求積幾何法以底五自乘得二十五爲底面積又以位數五加一得六與底面積二十五相乘得一百五十折半得七十五即塹堵堆之積也如圖甲乙丙丁戊塹堵堆即一面直角尖堆累積之體也兩直角面相合成長方面形比原位數多一行而兩塹堵體相合成長方體形比原位數亦必多一面故以位數加一與底面積相乘所以增其一面之數成長方體形爲塹堵堆之二倍折半而得塹堵堆之積也設如三角尖堆每邊五求積幾何法以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十折半得十五爲底面積再以每邊五加二得七與底面積十五相乘得一百零五三歸之得三十五即三角尖堆之積也如圖甲乙丙丁三角尖堆每面皆一面三角尖堆累積成等邊三角體形其每邊之數即位數也試按位作㸃排之第一層爲一第二層爲三第三層爲六第四層爲十第五層爲十五爲每次按位相加之數如以位數加二與末數相乘取其三分之一即得總數(見算)(法原本二卷第三十四節)今以每邊加一與每邊之數相乘折半即得底面積再以位數加二爲高與底面積相乘成平行面之三稜體是爲三角尖體之三倍故以三除之而得也然必以位數加二爲高者葢以三三角尖體相湊乃成上下相等之平行面體其高必比原有之位數多二層(兩相角面相合比原位數多一行今三三角體相合故必比原位數多二)(面也)又以一平行面三稜體分爲三三角尖體其二面爲兩體所同用今以位數加二爲高與底數相乘所以增其二面之分也又法以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十爲倍底積再以位數加二得七與倍底積三十相乘得二百一十六歸之亦得三十五爲三角尖堆之積也此法與前法同葢以每邊加一與每邊之數相乘則得底面積之二倍前法以位數加二與底數相乘既爲三角尖堆積之三倍此法以位數加二與倍底積相乘即爲三角尖堆積之六倍矣故以六歸之得積也又法以每邊五自乘再乘得一百二十五爲第一數再以每邊五自乘得二十五爲第二數又以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十倍之得六十爲第三數三數相加共得二百一十六歸之得三十五即三角尖堆之積也此法與第二法同葢以每邊自乘再乘爲第一數是未以每邊加一相乘亦未以位數加二再乘也因未以每邊加一相乘則其所成之正方形必比前所得之長少一層之數故又以每邊自乘爲第二數也因未以位數加二再乘則其高必比前所得之高少二層之數故又以每邊加一與每邊相乘(即如前之倍底積)又倍之爲第三數也三數相加始爲三角尖堆積之六倍故以六歸之而得積也設如三角尖堆積一百二十求每邊幾何法以三角尖堆積一百二十六因之得七百二十爲長方體積以一爲長與闊之較以二爲高與闊之較用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊八即三角尖堆之每一邊也此法即三角尖堆有邊求積之法而轉用之葢有邊求積則以每邊加一與每邊相乘又以每邊加二再乘得長方體積爲三角尖堆積之六倍是長比闊多一高比闊多二今以三角尖堆積六因之得長方體積故用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊爲每邊之數也設如四角尖堆每邊五求積幾何法以每邊五加半得五個半與每邊五相乘得二十七個半又以每邊五加一得六與二十七個半相乘得一百六十五三歸之得五十五即四角尖堆之積數也如圖甲乙丙丁四角尖堆底面爲正方傍四面皆一面三角尖堆累積成方底四角尖體形其每邊之數即位數也試按位作㸃排之第一層爲一第二層爲四第三層爲九第四層爲十六第五層爲二十五爲每次按位自乘相加之數如以每邊加半與每邊相乘復以位數加一乘之取其三分之一即得總數(見算法原本二卷第三十五節)今以每邊加半與每邊相乘是得長方面積復以位數加一爲高乘之是得長方體積爲四角尖體之三倍故以三除之即得也然以邊數加半爲長以位數加一爲高者葢以三四角尖體相湊乃成上下相等之長方體其底必比正方面多半行其高必比原有之位數多一層(三角體以邊數加一與邊數相乘四)(角體以邊數加半與邊數相乘三角體以位數加二爲高四角體以位數加一)(爲高總以四角體比三角體底式大一倍故三角體爲長方體六分之一四角)(體爲長方體三分之一三角體加數幾何而此四角體皆用其半也)又以一長方體分爲三四角尖體其三面爲兩體所同用而少一行之數試以甲乙丙丁四角尖體作爲戊己庚辛陽馬尖體形爲長方體三分之一所餘爲三分之二其戊己庚戊庚辛兩面爲兩體所同用而戊庚一行又爲兩面所同用是此兩面爲兩體所同用而少一行之數也又以其所餘三分之二平分之必有一面爲兩體所同用是以長方體分爲三四角尖體有三面爲兩體所同用而少一行之數也今以每邊加半與每邊之數相乘又以位數加一乘之所以增其三面少一行之分也(葢其高既比原位數多一則其)(傍面一層宜爲一面三角尖堆之倍數而其傍面只比毎邊多半是傍面只爲)(一面三角尖堆之數也又其高旣比原位多一則其上面一層爲毎邊自乘之)(數即爲一面三角尖堆之倍數而少一行共之爲三面少一行之數也)又法以每邊五自乘再乘得一百二十五爲第一數再以每邊五自乘得二十五爲第二數又以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十折半得十五爲第三數三數相加共得一百六十五三歸之得五十五即四角尖堆之積也此法與第一法同葢以每邊自乘再乘爲第一數是未以每邊加半與每邊相乘亦未以位數加一再乘也因未以位數加一再乘則其上層即少一每邊自乘之數故以每邊自乘爲第二數也因未以每邊加半相乘則其傍面即少一面三角尖堆之數故以每邊加一與每邊相乘折半爲第三數也三數相加始爲四角尖堆積之三倍故以三歸之而得積也又法以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十又以每邊五加二得七乘之得二百一十三歸之得七十爲三角尖堆之倍積又以每邊五求得一面三角尖堆積十五與倍三角尖堆積七十相減亦得五十五爲四角尖堆之積也如圖甲乙丙丁四角尖堆爲戊己庚辛三角尖堆積之一倍而少一面之數葢四角尖堆底面積爲三角尖堆底面積之一倍而少一行故四角尖堆體積爲三角尖堆體積之一倍而少一面是以求得倍三角尖堆積内減一面三角尖堆積即得四角尖堆積也又法以每邊五用塹堵堆求積法求得塹堵堆積七十五又以每邊五用三角尖堆求積法求得三角尖堆積三十五兩數相加得一百一十折半得五十五即四角尖堆之積也如圖甲乙丙丁四角尖堆先以乙丙一邊求得戊己庚辛壬塹堵堆積四角尖體爲塹堵體三分之二三角尖體爲塹堵體三分之一故又求得癸子丑寅三角尖堆積與塹堵堆積相加即與二方底四角尖堆之積等故折半而得四角尖堆之積也設如四角尖堆積二百零四求每邊幾何法以四角尖堆積二百零四三因之得六百一十二爲長方體積以半爲長與闊之較以一爲高與闊之較用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊八即四角尖堆之每一邊也此法即四角尖堆有邊求積之法而轉用之葢四角尖堆有邊求積則以每邊加半與毎邊相乘又以毎邊加一再乘得長方體積爲四角尖堆積之三倍是長比闊多半高比闊多一今以四角尖堆積三因之得長方體積故用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊爲每邊之數也設如長方堆底長九闊七上一行收頂求積幾何法以底闊七爲方堆之底用四角尖堆有邊求積法求得四角尖堆積一百四十又以底闊七與長九相減餘二爲兩一面三角尖堆即以底闊七用一面三角尖堆有邊求積法求得一面三角尖堆積二十八二因之得五十六爲兩一面三角尖堆積與前所得四角尖堆積一百四十相加得一百九十六即長方堆之積也如圖甲乙丙丁戊長方堆丙丁長比乙丙闊多庚丁二試自己至庚截去二面則成甲乙丙庚一四角尖堆形己庚丁戊兩一面三角尖堆形其乙丙闊與丙庚等即四角尖堆之毎一邊亦即一面三角尖堆之毎一邊故以一邊求得四角尖堆積又求得兩一面三角尖堆積相加即得長方堆之積也又法以闊七與長九相減餘二折半得一又加半得一個半與長九相加得十個半與底闊七相乘得七十三個半又以底闊七(即層數)加一得八再乘得五百八十八三歸之得一百九十六即長方堆之積也此法與前法之理同如甲乙丙丁戊長方堆既分爲一四角尖堆兩一面三角尖堆其甲乙丙庚四角尖堆固當以丙庚加半與乙丙相乘以甲乙加一再乘得一長方體形爲一四角尖堆之三倍其己庚丁戊兩一面三角尖堆當以庚丁與乙丙相乘以戊丁(同甲乙)加一再乘得二長方面形爲兩一面三角尖堆之二倍因一爲三倍一爲二倍其倍數不同故又以庚丁折半與庚丁相加即增其一長方面之分得三長方面形亦爲兩一面三角尖堆之三倍故以三歸之得一四角尖堆兩一面三角尖堆合之與甲乙丙丁戊一長方堆之積相等也又法以底闊七與長九相減餘二再加一得三爲頂上之長乃以底長九倍之得十八加頂長三得二十一與底闊七相乘得一百四十七再以高數七加一得八再乘(闊數即高數也)得一千一百七十六六歸之得一百九十六即長方堆之積也此法與第二法同葢前法以長闊相減折半加半與長相加此法以長闊相減不折半加一與倍長相加則其長比前法多一倍闊與高皆與前數同而體積亦必比前數大一倍故前法用三歸此法用六歸也設如長方堆積二百七十六長比闊多二求每邊幾何法以長方堆積二百七十六三因之得八百二十八爲長方體積以長比闊多二折半又加半得一個半與二相加得三個半爲長與闊之較以一爲高與闊之較用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊八爲底闊加長比闊多二得十爲長也此法即長方堆有邊求積之法而轉用之葢長方堆有邊求積則以原長闊之較折半又加半與原長相加乃與闊相乘又以闊加一再乘得長方體積爲長方堆之三倍是長比闊多原長闊之較又多半較仍多半高比闊多一今以長方堆積三因之得長方體積故用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊爲底邊之闊加長闊之較得數爲長也設如三角半堆底邊八上邊五求積幾何法以底邊八用三角尖堆有邊求積法求得三角尖堆全積一百二十又以上邊五減一得四爲上虚三角尖堆之每邊亦用三角尖堆有邊求積法求得上虛三角尖堆積二十與先所得三角尖堆全積一百二十相減餘一百即三角半堆之積也如圖甲乙丙丁戊己三角半堆若於其上加一小三角尖堆則成一大三角尖堆形其上所加之小三角尖堆之每邊比三角半堆之上邊少一故先求得大三角尖堆全積又求得上虚小三角尖堆積相減即得三角半堆之積也又法以底邊八加一得九與底邊八相乘得七十二爲第一數又以上邊五與底邊八相併得十三以上邊五加一得六乘之得七十八爲第二數兩數相併得一百五十又以上邊五與下邊八相減餘三加一得四爲層數與兩數相加之一百五十相乘得六百六歸之得一百爲三角半堆之積也此法與等邊三角尖堆求積之法同葢等邊三角尖堆其上尖一即上邊其每邊之數即底邊亦即層數其法以每邊加一與每邊相乘又以每邊加二再乘得長方體積爲三角尖堆積之六倍分之則得長比高闊多一之一長方體形又得長比闊多一之二長方面形(即上多二層)若依此法以底邊加一與底邊相乘即長比闊多一之長方體之一面數也以上邊一與下邊相加又以上邊一加一得二乘之則得長比闊多一之二長方面之兩行數也此兩數相併以層數乘之則亦得長比高闊多一之一長方體形又得長比闊多一之二長方面形共成一長方體形爲三角尖堆之六倍矣設如三角半堆積一百上邊五求底邊幾何法以上邊五減一餘四爲上虚小三角尖堆之底用三角尖堆有邊求積法求得上虛三角尖堆積二十與半堆積一百相加得一百二十爲等邊三角尖堆全積用三角尖堆有積求邊法求得每邊八即三角半堆之底邊也如有底邊求上邊者則以底邊求得三角尖堆全積與半堆積相減餘爲上虚三角尖堆積求得上虚小三角尖堆之毎邊加一即上邊也設如四角半堆底邊十二上邊五求積幾何法以底邊十二用四角尖堆有邊求積法求得四角尖堆全積六百五十又以上邊五減一得四爲上虚四角尖堆之每邊亦用四角尖堆有邊求積法求得上虚四角尖堆積三十與先所得四角尖堆全積六百五十相減餘六百二十即四角半堆之積也如圖甲乙丙丁戊己庚四角半堆若於其上加一小四角尖堆則成一大四角尖堆形其上所加之小四角尖堆之每邊比四角半堆之上邊少一故求得大四角尖堆全積又求得上虚小四角尖堆積相減即得四角半堆之積也又法以上邊五自乘得二十五爲第一數以底邊十二自乘得一百四十四爲第二數以上邊五與底邊十二相乘得六十爲第三數又以上邊五與底邊十二相減餘七折半得三個半爲第四數四數相併得二百三十二個半又以上下邊相減所餘之七加一得八爲層數與四數相併之二百三十二個半相乘得一千八百六十三歸之得六百二十即四角半堆之積也此法與等邊四角尖堆求積之法同葢等邊四角尖堆其上尖一即上邊其每邊之數即底邊亦即層數其法以每邊加半與每邊相乘又以每邊加一再乘得長方體積爲四角尖堆積之三倍分之則得每邊自乘再乘之一正方體形每邊自乘之一正方面形又得長比闊多一之半層長方面形若以底邊自乘即正方體之一面數也以上邊一與底邊相乘則得每邊自乘正方面之一行數也以上邊一自乘又以上邊一與底邊相減折半此兩數相併即得長比闊多一之半層長方面之一行數也四數相併再以層數乘之則亦得一正方體形一正方面形又得長比闊多一之半層長方面形共成一長方體形爲四角尖堆之六倍矣又此法與上下不等正方體之法異者在多上下邊相減折半之一數因堆垜之傍面有餘分故也設如四角半堆積六百二十上邊五求底邊幾何法以上邊五減一餘四爲上虚小四角尖堆之底用四角尖堆有邊求積法求得上虛四角尖堆積三十與半堆積六百二十相加得六百五十爲等邊四角尖堆全積用四角尖堆有積求邊法求得每邊十二即四角半堆之底邊也如有底邊求上邊者則以底邊求得四角尖堆全積與半堆積相減餘爲上虚四角尖堆積求得上虛小四角尖堆之每邊加一即上邊也設如長方半堆底長十二闊十上長八闊六求積幾何法以底長十二闊十用長方堆求積法求得長方堆全積四百九十五又以上長八闊六各減一得長七闊五爲上虛長方堆之長闊亦用長方堆求積法求得上虛長方堆積八十五與先所得長方堆全積相減餘四百一十即長方半堆之積也如圖甲乙丙丁戊己庚長方半堆若於其上加一小長方堆則成上一行收頂之長方堆形其上所加之小長方堆之每邊比長方半堆之上邊少一故先求得長方堆全積又求得上虛小長方堆積相減即得長方半堆之積也又法以上長八與上闊六相乘得四十八爲第一數以底長十二與底闊十相乘得一百二十爲第二數以上長八與底闊十相乘得八十以上闊六與底長十二相乘得七十二兩數相併折半得七十六爲第三數又以上下長相減餘四折半得二爲第四數以此四數相加得二百四十六又以上長與底長相減所餘之四加一得五爲層數與四數相加之二百四十六相乘得一千二百三十三歸之得四百一十即長方半堆之積也此法與四角半堆求積之法同葢四角半堆長闊皆相等此則有長闊之不同故四角半堆以上邊自乘爲第一數者此則以上長闊相乘爲第一數四角半堆以下邊自乘爲第二數者此則以下長闊相乘爲第二數四角半堆以上下相乘爲第三數者此則以上長與下闊相乘上闊與下長相乘相併折半爲第三數四角半堆以上下相減折半爲第四數者此則以上下長相減折半爲第四數(如以上下闊相減折半亦同)其理皆相通也又法以上長八倍之得十六加下長十二得二十八以上闊六乘之得一百六十八又以下長十二倍之得二十四加上長八得三十二以下闊十乘之得三百二十又以下長十二與上長八相減餘四三數相加得四百九十二又以上下長相減所餘之四加一得五爲層數與三數相加之四百九十二相乘得二千四百六十六歸之得四百一十即長方半堆之積也此法與第二法同葢此法用數比前法大一倍故前法用三歸此法用六歸也又此法與上下不等長方體之法異者在多上下長相減之一數因堆垜之傍面有餘分故也又法以底闊十與長十二相乘得一百二十又以長十二闊十各減一得長十一闊九相乘得九十九又以長十一闊九各減一得長十闊八相乘得八十又以長十闊八各減一得長九闊七相乘得六十三再以長九闊七各減一得長八闊六(即上長闊)相乘得四十八以此五數相加共得四百一十即長方半堆之積也此法將每層長闊相乘得每層之積故總加之即五層之共積也法雖層累相加實爲顯而易見凡堆垜諸法皆可以此法御之若層數太多者用本法爲簡易也設如長方半堆積四百一十上長八闊六求底長闊各㡬何法以上長八闊六各減一得長七闊五爲上虚小長方堆之長闊用長方堆有邊求積法求得上虛小長方堆積八十五與半堆積四百一十相加得四百九十五爲長方堆全積用長方堆有積求邊法求得闊十長十二即長方半堆之底邊數也如有底邊長闊求上邊長闊者則以底邊求得長方堆全積與半堆積相減餘爲上虛小長方堆積求得上虚小長方堆之長闊兩邊各加一即長方半堆上邊長闊之數也御製數理精藴下編卷三十
## 下編卷三十一
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十一末部一借根方比例(定位法乘法) (除加法 法) (減法)借根方比例借根方者假借根數方數以求實數之法也凡法必借根借方加減乘除令與未知之數比例齊等而本數以出大意與借衰疊借略同然借衰疊借之法止可以御本部而此法則線面體諸部皆可御之其中有借根借方之不同葢因根者方之邊數即所謂線以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次乘即得累次多乘方故以線類爲問者則借根數以比之以面類爲問者則借平方長方以比之以體類爲問者則借立方或累次多乘方以比之至於借數又有一定之位與降位之法(定位降位法俱詳後)要之此法設立虚數依所問之比例乘除加減務令根方之數與眞數相當適等而所求之數以出此亦借數之巧也定位法衆數之經緯盡歸乘除而乘除之條理又取準於定位况借數一法又用根方諸名一經乘除俱變爲幾根幾方之號而本數之比例由此而生其定位與常法稍異故變從簡易設表如左右表前行所列者借數之名後行所列者定數之位其借數者即比例也根與方數俱爲相連比例率如根爲二則平方爲四立方爲八以立方與平方之比同於平方與根數之比即爲八與四之比同於四與二之比也然必借方借根者何也葢以巳知未知之數權約爲幾根幾方以統御之加減後餘幾根幾方即知眞數若干矣(如根爲二數其平方即爲四若餘二平方即知其真數有八或餘二)(根即知其真數有四也)其定位者即視根方所對之位也乘法定位以兩數所對之位數相加其加數所對之方即乘出之方也除法定位以兩數所對之位數相減其減餘數所對之方即除出之方也(乘法以眞數乘根仍得根葢根對一)(而眞數對○無可加也如以根乘根即得平方葢根對一一與一相加得二二所對之表爲平方故定乘)(得之數爲平方也如以根乘平方即得立方葢根對一平方對二一二相加得三而三所對之表爲立方)(故定乘得之數爲立方也又如以平方乘平方則二與二相加爲四查所對之表得三乘方以平方乘立)(方則二與三相加爲五查所對之表得四乘方以立方乘立方則三與三相加爲六查所對之表得五乘)(方餘皆倣此除法以真數除根仍得根葢根對一而真數對○無可減也如以根除根即得真數葢根對)(一一與一相減得○而○所對之表爲眞數故定除得之數爲真數也如以根除平方即得根葢根對一)(平方對二一二相減餘一而一所對之表爲根故定除得之數爲根數也又如以平方除平方則二與二)(減盡爲○查所對之表得真數以平方除立方則二與三相減餘一查所對之表得根數以立方除立方)(則三與三相減得○查所對之表亦得真數也餘皆倣此)定多少與相同號式凡數有多者用此號一如一平方多二根則如此列之凡數有少者用此號一如一立方少二平方則如此列之凡數有相等者用此號一如二立方與十六相等則如此列之至於數之多少不齊用號各異加減乘除之後有不變者有以多變少以少變多者俱詳於本法加法凡多與多加得數仍爲多少與少加得數仍爲少多與少加少與多加則反相減爲所得數而多數大則得數亦爲多少數大則得數亦爲少其故何也葢因多數大少數小以其所多補其所少而其所多者尚有餘也少數大多數小以其所多補其所少而其所少者仍不足也多少之號定而加法不淆矣設如有三平方多四根與二平方多三根相加問得幾何法以三平方與二平方相加得五平方四根與三根相加得七根是爲五平方多七根即所求之數也此多與多加得數仍爲多也如以數明之以根爲二則一平方爲四上數三平方得十二多四根得多八是十二多八共二十下數二平方得八多三根得多六是八多六共十四上十二與下八相加得二十即五平方之數上多八與下多六相加得十四即多七根之數葢上數共二十下數共十四兩數相加得三十四即二十多十四也設如有四立方少一平方與三立方少二平方相加問得幾何法以四立方與三立方相加得七立方一平方與二平方相加得三平方是爲七立方少三平方即所求之數也此少與少加得數仍爲少也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數四立方得一百零八少一平方得少九是一百零八少九爲九十九下數三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八與下八十一相加得一百八十九即七立方之數上少九與下少十八相加得二十七即少三平方之數葢上數九十九下數六十三兩數相加得一百六十二即一百八十九少二十七也設如有四平方多四根與二平方少三根相加問得幾何法以四平方與二平方相加得六平方四根與三根相加應得七根今多少兩數不同故於多四根内反減去少三根餘一根因多數大故得數爲多是爲六平方多一根即所求之數也此多少兩數不同相加所多數大以其所多補足所少而所多仍有餘葢以上數多四根補足下數少三根仍多一根也如以數明之以根爲二則一平方爲四上數四平方得十六多四根得多八是十六多八共二十四下數二平方得八少三根得少六是八少六爲二上十六與下八相加得二十四即六平方之數上多八補足下少六仍餘二即多一根之數葢上數二十四下數二兩數相加得二十六即二十四多二也設如有二立方少三平方與一立方多二平方相加問得幾何法以二立方與一立方相加得三立方三平方與二平方相加應得五平方今多少兩數不同故於少三平方内反減去多二平方餘一平方因少數大故得數爲少是爲三立方少一平方即所求之數也此多少兩數不同相加所少數大以其所多補其所少而所少仍不足葢於上數少三平方内增入下數多二平方仍少一平方也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數二立方得五十四少三平方得少二十七是五十四少二十七爲二十七下數一立方得二十七多二平方得多十八是二十七多十八共四十五上五十四與下二十七相加得八十一即三立方之數上少二十七内增入下多十八仍少九即少一平方之數葢上數二十七下數四十五兩數相加得七十二即八十一少九也設如有二立方多三平方少四根與一立方多二平方少三根相加問得幾何法以二立方與一立方相加得三立方三平方與二平方相加得五平方四根與三根相加得七根是爲三立方多五平方少七根即所求之數也此三位相加多少各自相同故多與多加仍爲多少與少加仍爲少也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數二立方得十六多三平方得多十二少四根得少八是十六多十二又少八爲二十下數一立方得八多二平方得多八少三根得少六是八多八又少六爲十上十六與下八相加得二十四即三立方之數上多十二與下多八相加得二十即多五平方之數上少八與下少六相加得十四即少七根之數葢上數二十下數十兩數相加得三十即二十四多二十又少十四也設如有四立方多三平方少二根多五眞數與五立方少一平方多三根少二眞數相加問得幾何法以四立方與五立方相加得九立方多三平方與少一平方相減餘二平方多數大故爲多少二根與多三根相減餘一根多數大故爲多多五眞數與少二眞數相減餘三眞數多數大故爲多是爲九立方多二平方多一根多三眞數即所求之數也此四位相加而多少各自不同須各以所多補足所少故相減所餘爲所得數也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數四立方得三十二多三平方得多十二少二根得少四又多眞數五是三十二多十二少四又多五爲四十五下數五立方得四十少一平方得少四多三根得多六又少眞數二是四十少四多六又少二爲四十上三十二與下四十相加得七十二即九立方之數上多十二補足下少四仍餘八即多二平方之數上少四增入下多六反多二即多一根之數上多五補足下少二仍餘三即多三眞數葢上數四十五下數四十兩數相加得八十五即七十二多八又多二又多三也設如有一立方多三根與一平方少一根相加問得幾何法以一立方與一平方相加得一立方多一平方多三根與少一根相減餘二根多數大故爲多是爲一立方多一平方多二根即所求之數也此相加兩數位分不同須各按位列號補足位分始不相淆今上層無平方位而下層却有平方位故上層列一空平方位以補之凡法皆當如此也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數一立方得二十七多三根得多九是二十七多九共三十六下數一平方得九少一根得少三是九少三爲六上二十七與下無可加仍得二十七即一立方之數下九與上空位亦無可加仍得九即一平方之數上多九補足下少三仍餘六即多二根之數葢上數三十六下數六兩數相加得四十二即二十七多九又多六也減法凡多與多減原數大於減數則減餘仍爲多少與少減原數大於減數則減餘仍爲少若多與多減減數大於原數則反減而減餘即變爲少葢減數之所多既大於原數之所多則原數之所多内減盡與原數之所多相等之數仍須於原數之整分内多減去所大之幾何則所餘之整分内即少幾何矣若少與少減減數大於原數則反減而減餘即變爲多葢減數之所少既大於原數之所少則原數之所少内減盡與原數之所少相等之數仍須於原數之整分内少減所大之幾何故所餘之整分内即多幾何矣至於多與少減少與多減則反相加爲減餘數而原數多則減餘仍爲多原數少則減餘仍爲少其故何也葢因原數多減數少則原數已多在彼而減數又少於此是所餘益多也原數少減數多則原數已少在彼而減數又多於此是所餘益少也多少之號明而減法不淆矣設如有四平方多五根内減二平方多二根問所餘幾何法以四平方減二平方餘二平方五根減二根餘三根是爲二平方多三根即所求之數也此多與多減原數大於減數故減餘仍爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九上數四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一下數二平方得十八多二根得多六是十八多六共二十四上三十六内減下十八餘十八即二平方之數上十五内減下六餘九即三根之數葢上數共五十一下數共二十四兩數相減餘二十七即十八多九也設如有四立方少三平方内減三立方少二平方問所餘幾何法以四立方減三立方餘一立方三平方減二平方餘一平方是爲一立方少一平方即所求之數也此少與少減原數大於減數故減餘仍爲少也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數四立方得一百零八少三平方得少二十七是一百零八少二十七爲八十一下數三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八内減下八十一餘二十七即一立方之數上二十七内減下十八餘九即少一平方之數葢上數八十一下數六十三兩數相減餘十八即二十七少九也設如有七平方多三根内減四平方多五根問所餘幾何法以七平方減四平方餘三平方三根内不能減五根乃於下數多五根内反減上數多三根餘二根即變爲少是爲三平方少二根即所求之數也此多與多減減數大於原數故反減而減餘即變爲少葢原數多三根減數多五根是減數比原數大二根如於原數三根内減去減數三根則減數仍餘二根此二根必須於原數平方内減之原數既多減二根則餘數即少二根也如以數明之以根爲三則一平方爲九上數七平方得六十三多三根得多九是六十三多九共七十二下數四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一上六十三内減下三十六餘二十七即三平方之數下十五内反減上九餘六即少二根之數葢上數共七十二下數共五十一兩數相減餘二十一即二十七少六也設如有六平方少三根内減二平方少四根問所餘幾何法以六平方減二平方餘四平方三根内不能減四根乃於下數少四根内反減上數少三根餘一根即變爲多是爲四平方多一根即所求之數也此少與少減減數大於原數故反減而減餘即變爲多葢原數少三根減數少四根是減數比原數大一根如於原數三根内減去減數三根則減數仍餘一根此一根係原數平方内所少減之一根原數既少減一根則餘數即多一根也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數六平方得九十六少三根得少十二是九十六少十二爲八十四下數二平方得三十二少四根得少十六是三十二少十六爲十六上九十六内減下三十二餘六十四即四平方之數下十六反減上十二餘四即多一根之數葢上數八十四下數十六兩數相減餘六十八即六十四多四也設如有三平方多四根内減二平方少一根問所餘幾何法以三平方減二平方餘一平方四根減一根應餘三根今多少兩數不同故反相加得五根因原數多故得數仍爲多是爲一平方多五根即所求之數也此多少兩數不同相減原數多減數少原數已多而減數又少則所餘者愈多葢原數多四根減數少一根是原數比減數已多五根故減餘即爲多五根也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數三平方得四十八多四根得多十六是四十八多十六共六十四下數二平方得三十二少一根得少四是三十二少四爲二十八上四十八内減下三十二餘十六即一平方之數上多十六加下少四得二十即多五根之數葢上數六十四下數二十八兩數相減餘三十六即十六多二十也設如有五平方少二根内減三平方多三根問所餘幾何法以五平方減三平方餘二平方二根不能減三根且多少兩數不同故反相加得五根因原數少故得數仍爲少是爲二平方少五根即所求之數也此多少兩數不同相減原數少減數多原數已少減數又多則所餘者愈少葢原數少二根減數多三根是原數比減數已少五根故減餘即爲少五根也如以數明之以根爲五則一平方爲二十五上數五平方得一百二十五少二根得少十是一百二十五少十爲一百一十五下數三平方得七十五多三根得多十五是七十五多十五共九十上一百二十五内減下七十五餘五十即二平方之數上少十加下多十五得二十五即少五根之數葢上數一百一十五下數九十兩數相減餘二十五即五十少二十五也設如有四立方多六平方内減二立方多三平方多三根問所餘幾何法以四立方減二立方餘二立方六平方減三平方再減三根餘三平方少三根是爲二立方多三平方少三根即所求之數也此相減兩數位分不同須各按位列號補足位分始不相淆今上層無根位而下層却有根位故上層作一空根位以補之是原根位無數而減數多三根故所餘即少三根也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數四立方得三十二多六平方得多二十四是三十二多二十四共五十六下數二立方得十六多三平方得多十二多三根得多六是十六多十二又多六爲三十四上三十二内減下十六餘十六即二立方之數上二十四内減下十二餘十二即三平方之數下六無可減仍爲六即少三根之數葢上數五十六下數三十四兩數相減餘二十二即十六多十二又少六也設如有五立方多四平方多三根少八眞數内減四立方多二平方多二根少九眞數問所餘幾何法以五立方減四立方餘一立方四平方減二平方餘二平方多與多減原數大故爲多多三根減二根餘一根多與多減原數大故爲多八眞數不能減九眞數乃於下數少九内反減上數少八餘一即變爲多是爲一立方多二平方多一根多一眞數即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數五立方得一百三十五多四平方得多三十六多三根得多九又少眞數八是一百三十五多三十六又多九又少八爲一百七十二下數四立方得一百零八多二平方得多十八多二根得多六又少眞數九是一百零八多十八又多六又少九爲一百二十三上一百三十五内減下一百零八餘二十七即一立方之數上三十六内減下十八餘十八即多二平方之數上九内減下六餘三即多一根之數下九反減上八餘一即多一眞數葢上數一百七十二下數一百二十三兩數相減餘四十九即二十七多十八又多三又多一也設如有二立方多三根内減一平方少一根問所餘幾何法以二立方減一平方餘二立方少一平方三根減一根應餘二根今多少兩數不同故反相加得四根因原數多故得數仍爲多是爲二立方少一平方多四根即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數二立方得五十四多三根得多九是五十四多九共六十三下數一平方得九少一根得少三是九少三爲六上五十四無可減仍爲五十四即二立方之數下九無可減仍爲九即少一平方之數上多九與下少三相加得十二即多四根之數葢上數六十三下數六兩數相減餘五十七即五十四少九又多十二也乘法凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘與常法同其書乘出之數以類相從(如乘出之數爲根俱書於根之下乘)(出之數爲平方俱書於平方之下皆依定位表例)其定多少之號則臨期互有轉移葢法實俱止一位者其乘出之數爲多不必言矣法實不止一位俱係多者(如幾平方多幾根或幾根多幾眞數又或)(幾平方多幾根又多幾眞數之類)其乘出之數亦俱爲多葢以多乘多則多者益多也法實兩數俱係少者其爲首一位已係整數爲多(如幾平方少幾根或幾根少幾眞數或幾平方少幾根又少幾眞數之類)故乘出之數則有多少之分如爲首一位相乘係多與多乘其乘出之數爲多而次位爲少者與首位乘是爲少與多乘或首位與次位爲少者乘是爲多與少乘則其乘出之數俱爲少葢少與多乘多與少乘則少者益少而得數固少也(如㡬平方少幾根與幾眞數相乘以眞數乘平)(方即爲多與多乘以眞數乘根即爲多與少乘也)至於少與少乘其乘出之數反變爲多(如幾立方少幾平方與幾根少幾眞數相乘以眞數乘平方即爲少與少乘也)其故何也葢法實首位爲多次位以後爲少則乘出之數首位内少次位之數必多末位之數須於乘出首位數中減去次位之數加入末位之數始與實數相合(除首位上下兩整數相乘以後次位皆係少與少乘爲多而次位對首位乘必爲少與多乘或)(多與少乘則此兩數俱爲少合之爲首位數内少次位之數而多末位之數葢因次位所少數内有兩分)(末位之數首位數内減去次位之全數即如多減去一末位之數倘能於次位數中先減去末位數然後)(再於首位數中減之始與實數相合今次位數中既不能先減去末位數故轉於首位數中減去次位數)(反加入一末位數也)所謂減者即少數所謂加者即多數多少之分既定則依加法相加即爲所得之數也設如有三根多二眞數以三眞數乘之問得幾何法以三眞數乘二眞數得多六眞數(以多)(與多乘故爲多也又几以眞數乘根方之數其位皆不變如以眞數乘眞數仍)(得眞數以眞數乘根仍得根葢定位表中眞數之位爲○於根方之位無所加)(也)以三眞數乘三根得多九根是爲九根多六眞數即所求之數也如以數明之以根爲四則上數三根得十二多二眞數共得十四以下眞數三乘之所得三十六即九根之數所得多六即多六眞數葢以下數三與上數十四相乘得四十二即三十六多六也設如有四根多二眞數以二根多三眞數乘之問得幾何法以多三眞數乘多二眞數得多六眞數以多三眞數乘四根得多十二根又以二根乘多二眞數得多四根以二根乘四根得八平方(以根與根乘即得平方葢根所對之位爲)(一以一加一爲二即平方所對之位故得數定爲平方)相加得八平方多一十六根又多六眞數即所求之數也如圖甲乙爲四根乙丙爲多二眞數甲丁爲二根丁戊爲多三眞數以甲丙四根多二眞數與甲戊二根多三眞數相乘成甲戊己丙長方形其甲丁庚乙長方形即八平方其乙庚辛丙與丁戊壬庚二長方形即所多十六根其庚壬己辛長方形即所多六眞數也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數四根得十六多二眞數共得十八下數二根得八多三真數共得十一相乘所得一百二十八即八平方之數所得多六十四即多十六根之數所得多六即多六眞數葢以下數十一與上數十八相乘得一百九十八即一百二十八多六十四又多六也設如有二平方多三根以二根多四眞數乘之問得幾何法因上層無眞數位故列一空位以補之以多四眞數乘空眞數仍爲空以多四眞數乘多三根得多十二根以多四眞數乘二平方得多八平方以二根乘空眞數仍爲空以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方(以根)(乘平方即得立方葢根所對之位爲一平方所對之位爲二以一加二得三即)(立方所對之位也)相加得四立方多十四平方又多十二根即所求之數也此相乘兩數位分不同須各按位列號補足位分始不相淆凡法皆當如此如圖甲乙丙丁爲二平方丁丙戊己爲多三根庚辛爲二根戊庚爲多四眞數以甲乙戊己二平方多三根與戊辛二根多四眞數相乘成乙己辛癸扁方體其丙己庚子十二根即四真數乘三根之數其甲乙丙丁子丑八平方即四眞數乘二平方之數其子寅庚辛壬卯六平方即二根乘三根之數其丑子卯癸四立方即二根乘二平方之數也如以數明之以根爲五則一平方爲二十五一立方爲一百二十五上數二平方得五十多三根得多十五共得六十五下數二根得一十多四眞數共得十四相乘所得五百即四立方之數所得多三百五十即多十四平方之數所得多六十即多十二根之數葢以下數十四與上數六十五相乘得九百一十即五百多三百五十又多六十也設如有二根少四眞數以一根多三眞數乘之問得幾何法以多三眞數乘少四眞數得少十二眞數(多與少乘故爲少)以多三眞數乘二根得多六根(凡爲首一位皆爲多而數前無號者亦即爲多今以多三眞數)(與多二根相乘故其得數仍爲多)又以一根乘少四眞數得少四根(以多與少乘故爲少)以一根乘二根得二平方相加得二平方多二根少十二眞數即所求之數也如圖甲乙爲二根丙乙爲少四眞數甲丁爲一根丁戊爲多三真數以甲乙二根少四眞數與甲戊一根多三眞數相乘成甲戊己乙長方形其庚壬己辛長方形即多三眞數乘少四眞數之十二眞數丁戊己辛長方形即多三眞數乘二根之六根丙庚辛乙長方形即一根乘少四眞數之四根甲丁辛乙長方形即一根乘二根之二平方合之爲甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二眞數今以丁戊己辛之多六根少十二眞數補丙庚辛乙之少四根仍多二根而少十二眞數也如以數明之以根爲六則一平方爲三十六上數二根得十二少四眞數則餘八下數一根得六多三眞數共得九相乘所得七十二即二平方之數所得多十二即多二根之數所得少十二即少十二眞數之數葢以下數九與上數八相乘得七十二即七十二多十二又少十二也設如有一根少一眞數以一根少二眞數乘之問得幾何法以少二眞數乘少一眞數得多二眞數(少與少乘故爲多)以少二眞數乘一根得少二根(一根爲首且無號故爲多今以少二眞數與多一根相乘故其得數)(亦爲少也)又以一根乘少一眞數得少一根(多與少乘故爲少)以一根乘一根得一平方相加得一平方少三根多二眞數即所求之數也如圖甲乙爲一根丙乙爲少一眞數甲丁亦爲一根戊丁爲少二眞數以甲乙一根少一眞數與甲丁一根少二眞數相乘成甲乙己丁正方形其庚壬己辛小長方形即少二眞數乘少一眞數之二眞數其戊壬己丁即二眞數乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘少一眞數之一根其甲乙己丁爲一根乘一根之一平方合之爲甲乙己丁一平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬己丁之二根而多庚壬己辛之二眞數實得甲丙庚戊之一長方形葢甲乙己丁之一正方内減戊壬己丁之二根又減丙乙己辛之一根是重減去庚壬己辛之二眞數則甲丙庚戊長方内必缺二眞數故將少二眞數乘少一眞數所得之二眞數即預定爲多號以補重減之分然後得甲丙庚戊之一長方爲所得之實數也是則少與少乘之爲多者非於整數之外有盈分而爲多實因所少之數有過分而爲多也如以數明之以根爲六則一平方爲三十六上數一根爲六少一眞數則餘五下數一根爲六少二眞數則餘四相乘所得三十六即一平方之數所得少十八即少三根之數所得多二即多二眞數之數葢以下數四與上數五相乘得二十即三十六少十八多二也設如有二立方少二平方少一根以二平方少二根乘之問得幾何法因上下兩層皆無眞數位故各列一空位以補之以空眞數乘上層各位仍得各空位以少二根乘空眞數仍得空根以少二根乘少一根得多二平方以少二根乘少二平方得多四立方以少二根乘二立方得少四三乘方又以二平方乘空眞數仍得空平方以二平方乘少一根得少二立方以二平方乘少二平方得少四三乘方以二平方乘二立方得四四乘方相加共得四四乘方少八三乘方多二立方又多二平方即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一一四乘方爲二百四十三上數二立方得五十四少二平方得少十八少一根得少三是五十四少十八又少三爲三十三下數二平方得十八少二根得少六是十八少六爲十二相乘所得九百七十二即四四乘方之數所得少六百四十八即少八三乘方之數所得多五十四即多二立方之數所得多十八即多二平方之數葢以下數十二與上數三十三相乘得三百九十六即九百七十二内少六百四十八又多五十四復多十八也設如有三平方少二根多二眞數與一平方多二根少三眞數相乘問得幾何法以少三眞數乘多二眞數得少六眞數以少三眞數乘少二根得多六根以少三眞數乘三平方得少九平方又以多二根乘多二眞數得多四根以多二根乘少二根得少四平方以多二根乘三平方得多六立方又以一平方乘多二眞數得多二平方以一平方乘少二根得少二立方以一平方乘三平方得三三乘方相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六眞數即所求之數也如以數明之以根爲四則一平方爲十六一立方爲六十四一三乘方爲二百五十六上數三平方得四十八少二根得少八多二眞數共得四十二下數一平方得十六多二根得多八少三眞數共得二十一相乘所得七百六十八即三三乘方之數所得多二百五十六即多四立方之數所得少一百七十六即少十一平方之數所得多四十即多十根之數所得少六即少六眞數之數葢以下數二十一與上數四十二相乘得八百八十二即七百六十八多二百五十六又少一百七十六仍多四十復少六也除法凡除法按位列數必以眞數爲單位法尾未至眞數者須補○以存其位(如法尾爲根則補一○以存眞數位法尾爲平方則補二○以)(存眞數位法尾爲立方則補三○以存眞數位)將得數首位紀於眞數之上(如眞數之位爲○者則紀於○位之上)眞數所對實中之位即得數首位之數(如眞數對實中根位即定得數首位爲根如眞數對實中平方位即定得數首位爲平方)(如眞數對實中立方位即定得數首位爲立方餘俱倣此)其歸除遞減皆與常法同至於定號亦與乘法同俱詳設如於左設如有十二立方多九平方多六根以三眞數除之問得幾何法以三眞數除十二立方得四立方以四立方乘三眞數得十二立方與實相減恰盡餘多九平方多六根復以三眞數除多九平方得多三平方以多三平方乘三眞數得多九平方與實相減恰盡餘多六根又以三眞數除多六根得多二根以多二根乘三眞數得多六根與實相減恰盡無餘是爲四立方多三平方多二根即所求之數也此法葢因眞數除立方多平方與多根故得數之位仍從實數之位且眞數之位下對實中立方之位故定得數首位亦爲立方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七實數十二立方得三百二十四多九平方得多八十一多六根得多十八是三百二十四多八十一又多十八共爲四百二十三以眞數三除之所得一百零八即四立方之數所得多二十七即多三平方之數所得多六即多二根之數葢以四百二十三以三除之得一百四十一即一百零八多二十七又多六也設如有十二立方多八平方多六根以二根除之問得幾何法因法尾未至眞數位故設一空眞數位以補之以二根除十二立方得六平方以六平方乘二根得十二立方與實相減恰盡餘多八平方多六根復以二根除多八平方得多四根以多四根乘二根得多八平方與實相減恰盡餘多六根復以二根除多六根得多三眞數以多三眞數乘二根得多六根與實相減恰盡無餘是爲六平方多四根多三眞數即所求之數也此法葢因根數除立方多平方與多根故根除立方得平方根除多平方得多根根除多根而得多眞數且眞數之位下對實中平方之位故定得數首位亦爲平方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八實數十二立方得九十六多八平方得多三十二多六根得多十二是九十六多三十二又多十二共爲一百四十法數二根爲四除之所得二十四即六平方之數所得多八即多四根之數所得多三即多三眞數之數葢一百四十以四除之得三十五即二十四多八又多三也設如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方除之問得幾何法以四平方除四三乘方得一平方以一平方乘四平方得四三乘方與實相減恰盡餘多八立方多八平方復以四平方除多八立方得多二根以多二根乘四平方得多八立方與實相減恰盡餘多八平方又以四平方除多八平方得多二眞數以多二眞數乘四平方得多八平方與實相減恰盡無餘是爲一平方多二根又多二眞數即所求之數也此法葢因平方除三乘方多立方與多平方故平方除三乘方得平方平方除多立方得多根平方除多平方得多眞數且眞數之位下對實中平方之位故定得數首位亦爲平方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一實數四三乘方得三百二十四多八立方得多二百一十六多八平方得多七十二是三百二十四多二百一十六又多七十二共爲六百一十二法數四平方爲三十六除之所得之九即一平方之數所得多六即多二根之數所得多二即多二眞數之數葢六百一十二以三十六除之得十七即九多六又多二也設如有四立方多八平方多七根多二眞數以二平方多三根多二眞數除之問得幾何法以二平方多三根多二眞數除四立方多八平方多七根得二根以二根乘多二眞數得多四根以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方與實相減餘多二平方多三根多二眞數復以二平方多三根多二眞數除二平方多三根多二眞數得多一眞數以多一眞數乘多二眞數得多二眞數以多一眞數乘多三根得多三根以多一眞數乘二平方得多二平方與實相減恰盡無餘是爲二根多一眞數即所求之數也此法葢因平方多根多眞數除立方多平方多根多眞數故以平方除立方得根以平方除多平方得多眞數且眞數之位下對實中根位故定得數首位爲根又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七實數四立方得一百零八多八平方得多七十二多七根得多二十一多二眞數即多二是爲一百零八多七十二又多二十一又多二共爲二百零三法數二平方得十八多三根得多九多二眞數即多二是爲十八多九又多二共爲二十九除之所得之六即二根之數所得多一即多一眞數葢二百零三以二十九除之得七即六多一也設如有六平方少一根少十五眞數以三根少五眞數除之問得幾何法以三根少五眞數除六平方少一根得二根以二根乘少五眞數得少十根以二根乘三根得六平方與實相減平方恰盡根之減數大於原數轉減之餘多九根少十五眞數復以三根少五眞數除多九根少十五眞數得多三眞數(減餘之九根爲多故除得之三眞數亦爲多也)以多三眞數與少五眞數相乘得少十五眞數以多三眞數與三根相乘得多九根與實相減恰盡無餘是爲二根多三眞數即所求之數也此法葢因根少眞數除平方少根少眞數故以根除平方得根以根除多根(根原爲少而減餘數變爲多)得多眞數且眞數之位下對實中根位故定得數首位爲根又因實數原爲少而次位餘實之數變爲多故定得數次位爲多也如以數明之以根爲五則一平方爲二十五實數六平方得一百五十少一根得少五少十五真數即少十五是爲一百五十少五又少十五共爲一百三十法數三根得十五少五眞數即少五是爲十五少五共爲一十除之所得之一十即二根之數所得之多三即多三眞數之數葢一百三十以十除之得十三即十多三也設如有九立方少十二平方少五根多六眞數以三平方少二根少三眞數除之問得幾何法以三平方少二根少三眞數除九立方少十二平方少五根得三根以三根乘少三眞數得少九根以三根乘少二根得少六平方以三根乘三平方得九立方與實相減立方恰盡原少十二平方減少六平方餘少六平方原少五根不能減九根轉減之餘多四根又多六眞數復以三平方少二根少三眞數除少六平方多四根多六眞數得少二眞數以少二眞數乘少三眞數得多六眞數以少二眞數乘少二根得多四根以少二眞數乘三平方得少六平方與實相減恰盡無餘是爲三根少二眞數即所求之數也此法葢因平方少根少眞數除立方少平方少根與多眞數故以平方除立方得根以平方除少平方得少眞數且眞數之位下對實中根位故定得數首位爲根又實數之號雖有少有多不同而次位餘實之首數爲少故定得數次位爲少也如以數明之以根爲七則一平方爲四十九一立方爲三百四十三實數九立方得三千零八十七少十二平方得少五百八十八少五根得少三十五多六眞數即多六是爲三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六共爲二千四百七十法數三平方得一百四十七少二根得少十四少三眞數即少三是爲一百四十七少十四又少三共爲一百三十除之所得之二十一即三根之數所得之少二即少二眞數之數葢二千四百七十以一百三十除之得十九即二十一少二也設如有八立方多八平方多二根少四眞數以二平方多三根多二眞數除之問得幾何法以二平方多三根多二眞數除八立方多八平方多二根得四根以四根乘多二眞數得多八根以四根乘多三根得多十二平方以四根乘二平方得八立方與實相減立方恰盡平方與根之減數俱大於原數故皆轉減之餘少四平方少六根又少四眞數復以二平方多三根多二眞數除少四平方少六根少四眞數得少二眞數以少二眞數乘多二眞數得少四眞數以少二眞數乘多三根得少六根以少二眞數乘二平方得少四平方與實相減恰盡無餘是爲四根少二眞數即所求之數也此法葢因平方多根多眞數除立方多平方多根與少眞數故以平方除立方得根以平方除少平方(平方原爲多而減餘數變爲少)得少眞數且眞數之位下對實中根位故定得數首位爲根又實數之號雖有多有少不同而次位餘實皆變爲少故定得數次位爲少也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七實數八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四眞數即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四共爲二百九十法數二平方得十八多三根得多九多二眞數即多二是十八多九又多二共爲二十九除之所得十二即四根之數所得少二即少二眞數之數葢二百九十以二十九除之得十即十二少二也設如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二眞數以二平方少二根多一眞數除之問得幾何法以二平方少二根多一眞數除四三乘方少二立方少四平方得二平方以二平方乘多一眞數得多二平方以二平方乘少二根得少四立方以二平方乘二平方得四三乘方與實相減三乘方恰盡原少二立方不能減少四立方轉減之餘多二立方原少四平方減多二平方故相加爲少六平方仍多五根復以二平方少二根多一眞數除多二立方少六平方多五根得多一根以多一根乘多一眞數得多一根以多一根乘少二根得少二平方以多一根乘二平方得多二立方與實相減立方恰盡原少六平方減少二平方餘少四平方原多五根減多一根餘多四根仍少二眞數又以二平方少二根多一眞數除少四平方多四根少二眞數得少二眞數以少二眞數乘多一眞數得少二眞數以少二眞數乘少二根得多四根以少二眞數乘二平方得少四平方與實相減恰盡無餘是爲二平方多一根少二眞數即所求之數也此法葢因平方少根多眞數除三乘方少立方又少平方仍多根與少眞數故以平方除三乘方得平方以平方除多立方(立方原爲少而減餘)(數變爲多)得多根以平方除少平方得少眞數且眞數之位下對實中平方之位故定得數首位爲平方又實數之號雖有多有少不同而次位餘實之首數變爲多三位餘實之首數仍爲少故定得數之次位爲多三位爲少也如以數明之以根爲六則一平方爲三十六一立方爲二百一十六一三乘方爲一千二百九十六實數四三乘方得五千一百八十四少二立方得少四百三十二少四平方得少一百四十四多五根得多三十少二眞數即少二是五千一百八十四少四百三十二又少一百四十四仍多三十復少二共爲四千六百三十六法數二平方得七十二少二根得少十二多一眞數即多一是七十二少十二又多一共爲六十一除之所得七十二即二平方之數所得多六即多一根之數所得少二即少二眞數之數葢四千六百三十六以六十一除之得七十六即七十二多六少二也御製數理精藴下編卷三十一
## 下編卷三十二
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十二末部二借根方比例(開諸乘方法) (諸乘方表)開諸乘方法借根方比例法中開各乘方爲最要其算線部借根算面部借平方算體部借立方以及多乘方雖各按其類然有法屬線類而仍須諸乘方算者故諸乘方之法宜審也葢諸乘方之形體不同開法之難易迥别總以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉較多故較難自三乘以至多乘其廉愈多則其法愈難今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以後則甚爲簡捷至於諸乘方中亦有可以用平方立方之法代開者如三乘方與平方自乘之數等故可以平方兩次開之五乘方與平方自乘再乘之數等亦與立方自乘之數等故可以平方開之繼以立方開之七乘方與平方兩次自乘之數等故可以平方三次開之八乘方與立方自乘再乘之數等故可以立方兩次開之九乘方與四乘方自乘之數等故可以平方開之繼以四乘方開之惟四乘方及六乘方與平方立方之數皆不相合故不可以平方立方之法代開也又諸乘方次商之數最難定今自立方至九乘方俱爲立根數兩位之表若根數兩位者以積數撿表即得更爲便捷至於十乘方以後並可以此法御之但其數繁衍而無所用兹故不載焉平方設如有平方積一萬五千一百二十九尺開平方問每一根之數幾何法列方積一萬五千一百二十九尺自末位起算每方積二位定方根一位故隔一位作記乃於九尺上定單位一百尺上定十位一萬尺上定百位其一萬尺爲初商積與一百自乘之數相合即定初商爲一百尺書於方積一萬尺之上而以初商一百尺自乘之一萬尺書於初商積之下相減恰盡爰以方根第二位積五千一百尺續書於後爲次商廉隅之共積而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商積足二十倍即定次商爲二十尺書於方積一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一萬四千四百尺與原積相減餘七百尺爰以方根第三位積二十九尺續書於後共七百二十九尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商積足三倍即定三商爲三尺書於方積九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一萬五千一百二十九尺與原積相減恰盡是開得一百二十三尺爲平方每一根之數也此法止用廉法除餘積得次商即併初商數自乘得數復與原積相減與常法不同然自三乘方以至多乘方則廉法條例甚繁難於布算用此法甚爲省便在平方立方不覺其省(平方止省小隅一層立方止省長廉小隅二層)而在多乘方所省實多葢各設一例以備體也立方設如有立方積四千一百零六萬三千六百二十五尺開立方問每一根之數幾何法列方積四千一百零六萬三千六百二十五尺自末位起算每方積三位定方根一位故隔二位作記乃於五尺上定單位三千尺上定十位一百萬尺上定百位其四千一百萬尺爲初商積與三百自乘再乘之數相準即定初商爲三百尺書於方積一百萬尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百萬尺書於初商積之下相減餘一千四百萬尺爰以方根第二位餘積六萬三千尺續書於後共一千四百零六萬三千尺爲次商廉隅之共積而以初商之三百尺自乘得九萬尺三因之得二十七萬尺爲次商廉法以除次商積足四十倍即定次商爲四十尺書於方積三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十萬四千尺與原積相減餘一百七十五萬九千尺爰以方邊第三位餘積六百二十五尺續書於後共一百七十五萬九千六百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一萬五千六百尺三因之得三十四萬六千八百尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六萬三千六百二十五尺與原積相減恰盡是開得三百四十五尺爲立方每一根之數也又用表開法列積四千一百零六萬三千六百二十五尺自末位起算隔二位作記定位同前乃截方根第二位以前積四一○六三爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲三九三○四(即初商次商自乘再乘之數)其所對初商根爲三次商根爲四即將三四書於初商次商之位而以三九三○四書於初商次商積之下相減餘一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除餘積一七五九足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六萬三千六百二十五尺與原積相減恰盡即定立方根爲三百四十五尺也三乘方設如有三乘方積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺開三乘方問每一根之數幾何法列方積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺自末位起算每方積四位定方根一位故隔三位作記乃於一尺上定單位七萬尺上定十位三億尺上定百位其一千零三十三億尺爲初商積與五百乘三次之數相準即定初商爲五百尺書於方積三億尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五億尺書於初商積之下相減餘四百零八億尺爰以方根第二位積五千五百一十七萬尺續書於後共四百零八億五千五百一十七萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之五百尺乘二次得一億二千五百萬尺四因之得五億尺爲次商廉法以除次商積足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一億六千四百九十六萬尺大於原積是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五億六千零一萬尺仍大於原積是次商不可商七也又改商六爲六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三億四千四百九十六萬尺小於原積可減也乃定次商爲六十尺書於方積七萬尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三億四千四百九十六尺與原積相減餘五十億一千零二十一萬尺爰以方根第三位積七千一百二十一尺續書於後共五十億一千零二十一萬七千一百二十一尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之五百六十尺乘二次得一億七千五百六十一萬六千尺四因之得七億零二百四十六萬四千尺爲三商亷法以除三商積足七倍即定三商爲七尺書於方積一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺與原積相減恰盡是開得五百六十七尺爲三乘方每一根之數也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四長廉一小隅既得初商乃以初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除餘積得次商以初商自乘與次商相乘六因之爲六自乘廉以次商自乘與初商相乘四因之爲四長廉以次商自乘再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘三次即得應減之積也又法用開平方法兩次開之初以原積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺開平方得三十二萬一千四百八十九尺次以三十二萬一千四百八十九尺復開平方得五百六十七尺即三乘方每一根之數也又用表開法列積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺自末位起算隔三位作記定位同前乃截方根第二位以前積一○三三五五一七爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲九八三四四九六(即初商次商乘三次之數)其所對初商根爲五次商根爲六即將五六書於初商次商之位而以九八三四四九六書於初商次商積之下相減餘五○一○二一乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除餘積五○一○二一足七倍即定三商爲七書於三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺與原積相減恰盡即定三乘方根爲五百六十七尺也四乘方設如有四乘方積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺開四乘方問每一根之數幾何法列方積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺自末位起算每方積五位定方根一位故隔四位作記乃於五尺上定單位九十萬尺上定十位空百億尺上定百位其二百六十二兆尺爲初商積與七百乘四次之數相準即定初商爲七百尺書於方積空百億尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百億尺書於初商積之下相減餘九十三兆九千三百億尺爰以方根第二位餘積三十五億四千九百九十萬尺續書於後共九十三兆九千三百三十五億四千九百九十萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一億尺五因之得一兆二千零五億尺爲次商廉法以除次商積足七十倍因定次商爲七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四億一千五百七十萬尺大於原積是次商不可商七也乃改商六爲六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十萬尺小於原積可減也乃定次商爲六十尺書於方積九十萬尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十萬尺與原積相減餘八兆四千五百一十億一千二百三十萬尺爰以方根第三位餘積七萬八千一百二十五尺續書於後共八兆四千五百一十億一千二百三十七萬八千一百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六億二千一百七十六萬尺五因之得一兆六千六百八十一億零八百八十萬尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺與原積相減恰盡是開得七百六十五尺爲四乘方每一根之數也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五長廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉爲法除餘積得次商以初商自乘再乘與次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘兩數相乘十因之爲十自乘廉以次商自乘再乘與初商相乘五因之爲五長廉以次商數乘三次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘四次即得應減之積也又用表開法列積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺自末位起算隔四位作記定位同前乃截方根第二位以前積二六二○○三五四九九爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲二五三五五二五三七六(即初商次商乘四次之數)其所對初商根爲七次商根爲六即將七六書於初商次商之位而以二五三五五二五三七六書於初商次商積之下相減餘八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除餘積八四五一○一二三足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺與原積相減恰盡即定四乘方根爲七百六十五尺也五乘方設如有五乘方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺開五乘方問每一根之數幾何法列方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺自末位起算每方積六位定方根一位故隔五位作記乃於五尺上定單位五百萬尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺爲初商積與九百乘五次之數相準即定初商爲九百尺書於方積八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺書於初商積之下相減餘三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位積三千零一十億二千五百萬尺續書於後共三十二京七千六百二十七兆三千零一十億二千五百萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百億尺六因之得三千五百四十二兆九千四百億尺爲次商廉法以除次商積足八十倍因定次商爲八十尺按法相乘大於原積乃改商七十尺書於方積五百萬尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九億二千九百萬尺與原積相減餘二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百萬尺爰以方根第三位積三十九萬零六百二十五尺續書於後共二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百三十九萬零六百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十億二千五百七十萬尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一億五千四百二十萬尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺與原積相減恰盡是開得九百七十五尺爲五乘方每一根之數也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉爲法除餘積得次商以初商乘三次與次商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘兩數相乘二十乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘再乘兩數相乘十五乘之爲十五自乘廉以次商乘三次與初商相乘六因之爲六長廉以次商乘四次爲一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘五次即得應減之積也又法用開平方開立方法開之初以原積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺開平方得九億二千六百八十五萬九千三百七十五尺又以九億二千六百八十五萬九千三百七十五尺開立方得九百七十五尺即五乘方每一根之數也又用表開法列積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺自末位起算隔五位作記定位同前乃截方根第二位以前積八五九○六八三○一○二五爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲八三二九七二○○四九二九(即初商次商乘五次之數)其所對初商根爲九次商根爲七即將九七書於初商次商之位而以八三二九七二○○四九二九書於初商次商積之下相減餘二六○九六二九六○九六乃以八三二九七二○○四九二九格内三商廉法五一五二四○四一五四除餘積二六○九六二九六○九六足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共九百七十五乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺與原積相減恰盡即定五乘方根爲九百七十五尺也六乘方設如有六乘方積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺開六乘方問每一根之數幾何法列方積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺自末位起算每方積七位定方根一位故隔六位作記乃於八尺上定單位九千萬尺上定十位五百兆尺上定百位其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺爲初商積與八百乘六次之數相準即定初商爲八百尺書於方積五百兆尺之上而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺書於初商積之下相減餘一垓一千六百一十七京九千三百兆尺爰以方根第二位積九十九兆二千五百二十三億九千萬尺續書於後共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三億九千萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺爲次商廉法以除次商積足六十倍因定次商爲六十尺按法相乘大於原積乃改商五十尺書於方積九千萬尺之上合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二億五千萬尺與原積相減餘五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四千萬尺爰以方根第三位積五百九十萬零九百二十八尺續書於後共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四千五百九十萬零九百二十八尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六億二千五百萬尺七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三億七千五百萬尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積八尺之上合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺與原積相減恰盡是開得八百五十二尺爲六乘方每一根之數也葢六乘方之本法有七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七長廉一小隅既得初商即以初商乘五次七因之得七五乘廉爲法除餘積得次商以初商乘四次與次商相乘二十一乘之爲二十一四乘廉以初商乘三次次商自乘兩數相乘三十五乘之爲三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘兩數相乘三十五乘之爲三十五自乘再乘廉以初商自乘次商乘三次兩數相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以次商乘四次與初商相乘七因之爲七長廉以次商乘五次爲一小隅合七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今得次商之後合初商乘六次即得應減之積也又用表開法列積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺自末位起算隔六位作記定位同前乃截方根第二位以前積三二五八九四五九九二五二三九爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲三二○五七七○八八二八一二五(即初商次商乘六次之數)其所對初商根爲八次商根爲五即將八五書於初商次商之位而以三二○五七七○八八二八一二五書於初商次商積之下相減餘五三一七五一○九七一一四乃以三二○五七七○八八二八一二五格内三商廉法二六四○○四六六○九三七除餘積五三一七五一○九七一一四足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺與原積相減恰盡即定六乘方根爲八百五十二尺也七乘方設如有七乘方積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺開七乘方問每一根之數幾何法列方積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺自末位起算每方積八位定方根一位故隔七位作記乃於一尺上定單位三億尺上定十位二京尺上定百位其六百三十八垓五千一百三十二京尺爲初商積與七百乘七次之數相準即定初商爲七百尺書於方積二京尺之上而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺書於初商積之下相減餘六十二垓零三百三十一京尺爰以方根第二位積二百三十三兆九千三百八十三億尺續書於後共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三億尺爲次商廉隅之共積而以初商之七百尺乘六次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺爲次商廉法以除次商積足九倍止可商九尺是次商爲空位也乃書一空於方積三億尺之上而以九尺書於方積一尺之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺與原積相減恰盡是開得七百零九尺爲七乘方每一根之數也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八長廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉爲法除餘積得次商以初商乘五次與次商相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘兩數相乘五十六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘兩數相乘七十乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次兩數相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次兩數相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次與初商相乘八因之爲八長廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘七次即得應減之積也又法用開平方法三次開之初以原積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺開平方得二千五百二十六億八千八百一十八萬七千七百六十一尺次以二千五百二十六億八千八百一十八萬七千七百六十一尺復開平方得五十萬二千六百八十一尺又以五十萬二千六百八十一尺復開平方得七百零九尺即七乘方每一根之數也又用表開法列積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺自末位起算隔七位作記定位同前乃截方根第二位以前積六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲五七六四八○一○○○○○○○○(即初商次商乘七次之數)其所對初商根爲七次商根爲○即將七○書於初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○書於初商次商積之下相減餘六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除餘積六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九書於三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺與原積相減恰盡即定七乘方根爲七百零九尺也八乘方設如有八乘方積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺開八乘方問每一根之數幾何法列方積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺自末位起算每方積九位定方根一位故隔八位作記乃於二尺上定單位四十億尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商積與四百乘八次之數相準即定初商爲四百尺書於方積五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺書於初商積之下相減餘一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位積八十四京九千一百八十五兆四千四百四十億尺續書於後共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十億尺爲次商廉隅之共積而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法以除次商積足二十倍即定次商爲二十尺書於方積四十億尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十億尺與原積相減餘一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十億尺爰以方根第三位積九億五千二百八十二萬七千二百九十二尺續書於後共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六億尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四億尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺與原積相減恰盡是開得四百二十二尺爲八乘方每一根之數也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九長廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除餘積得次商以初商乘六次與次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘兩數相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘兩數相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次兩數相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次兩數相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次兩數相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次與初商相乘九因之爲九長廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘八次即得應減之積也又法用開立方法兩次開之初以原積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺開立方得七千五百一十五萬一千四百四十八尺次以七千五百一十五萬一千四百四十八尺復開立方得四百二十二尺即八乘方每一根之數也又用表開法列積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺自末位起算隔八位作記定位同前乃截方根第二位以前積四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之積於表中取比此數相近畧小之數爲四○六六七一三八三八四九四七二(即初商次商乘八次之數)其所對初商根爲四次商根爲二即將四二書於初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二書於初商次商積之下相減餘一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除餘積一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺與原積相減恰盡即定八乘方根爲四百二十二尺也九乘方設如有九乘方積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺開九乘方問每一根之數幾何法列方積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺自末位起算每方積十位定方根一位故隔九位作記乃於四尺上定單位二百億尺上定十位六垓尺上定百位其八穰七千四百零六垓尺爲初商積與三百乘九次之數相準即定初商爲三百尺書於方積六垓尺之上而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺書於初商積之下相減餘二穰八千三百五十七垓尺爰以方根第二位積九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百億尺續書於後共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百億尺爲次商廉隅之共積而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺爲次商廉法以除次商積足十倍即定次商爲一十尺書於方積二百億尺之上合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百億尺與原積相減餘五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百億尺爰以方根第三位積九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺續書於後共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十億尺十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百億尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積四尺之上合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺與原積相減恰盡是開得三百一十二尺爲九乘方每一根之數也葢九乘方之本法有十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十長廉一小隅既得初商乃以初商乘八次十因之得十八乘廉爲法除餘積得次商以初商乘七次與次商相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以初商乘六次次商自乘兩數相乘一百二十乘之爲一百二十六乘廉以初商乘五次次商自乘再乘兩數相乘二百一十乘之爲二百一十五乘廉以初商乘四次次商乘三次兩數相乘二百五十二乘之爲二百五十二四乘廉以初商乘三次次商乘四次兩數相乘二百一十乘之爲二百一十三乘廉以初商自乘再乘次商乗五次兩數相乘一百二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以初商自乘次商乘六次兩數相乘四十五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七次與初商相乘十因之爲十長廉以次商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘九次即得應減之積也又法用開平方開四乘方法開之初以原積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺開平方得二兆九千五百六十四億六千六百五十五萬二千八百三十二尺又以二兆九千五百六十四億六千六百五十五萬二千八百三十二尺開四乘方得三百一十二尺即九乘方每一根之數也又用表開法列積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺自末位起算隔九位作記定位同前乃截方根第二位以前積八七四○六九四四七八○一四三二爲初商次商之積於表中取比此數相近畧小之數爲八一九六二八二八六九八○八○一(即初商次商乘九次之數)其所對初商根爲三次商根爲一即將三一書於初商次商之位而以八一九六二八二八六九八○八○一書於初商次商積之下相減餘五四四四一一六○八二○六三一乃以八一九六二八二八六九八○八○一格内三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除餘積五四四四一一六○八二○六三一足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺與原積相減恰盡即定九乘方根爲三百一十二尺也諸乘方表凡表上横行所列自一至九之數為初商根右直行所列自○至九之數為次商根其中每格所列細數二層上層為初商次商積(如立方表第一行第三格上層一七二八即方根一)(二自乘再乘之數餘倣此)下層為三商亷法(如立方表第一行第三格下層四三即三)(商亷法乃以初商次商兩根一二自乘三因截去末一位之數葢方根既有三位則初商為百次商為十)(以一百二十自乘三因得四三二○○為亷法除實至三商本位止今㨗法止用次商餘積求三商不加)(三商本位之積其初商仍作十用以十二自乘三因得四三二仍比次商餘積多一位故截去末一位止)(用四三為亷法除實則法實尾位均齊定位始無誤餘倣此)用表之法具見設如立方表御製數理精藴下編卷三十二
## 下編卷三十三
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十三末部三借根方比例(帶縱平方乘方帶縱立方三乘方四 五乘方附)帶縱平方借根方比例開帶縱平方其以長方之積用長闊之較或和而求長闊之數皆與常法同但不立和縱較縱之名惟有多根少根之號而毎根之數或爲長方之闊或爲長方之長錯綜其名有十二種推究其實總不出和較之兩端如云一平方多㡬根與幾真數等或幾根多一平方與幾真數等或一平方與幾真數少幾根等或幾根與幾真數少一平方等此四者根皆較縱而其毎根之數皆長方之闊也如云一平方少幾根與幾真數等或一平方少幾眞數與幾根等或一平方與幾真數多幾根等或一平方與幾根多幾眞數等此四者根亦皆較縱而其每根之數則皆長方之長也如云一平方多幾真數與幾根等或幾眞數多一平方與幾根等或幾真數與幾根少一平方等或一平方與幾根少幾眞數等此四者根皆和縱而其毎根之數或爲長方之長或爲長方之闊也要之所謂一平方者即一正方而多幾根少幾根即變正方而爲長方其眞數比平方多根者其毎根爲闊眞數比平方少根者其每根爲長二者皆較縱惟眞數比根少平方者則爲和縱也至於開之之法皆以眞數爲長方積以根數爲縱(即以根數作眞數用如三根即作三)(眞數五根即作五真數之類解見設如)依面部帶縱平方法開之有較縱者先求和有和縱者先求較其根爲長方之闊者以和較相減折半而得每根之數(用半和半較立法者則相減即得根)(數不用折半)其根爲長方之長者以和較相加折半而得每根之數也(用半和半較立法者則相加即得根數不用折半)俱詳設如設如有一平方多二根與二十四尺相等問每一根之數幾何法以二十四尺爲長方積二根爲縱多二尺用帶縱較數開平方法算之將積數四因加縱多自乘之數得一百尺開平方得十尺爲和減較二尺餘八尺折半得四尺爲一根之數即長方之闊加較二尺得六尺即長方之長也如圖甲乙丙丁長方形共積二十四尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁六尺爲長戊丁二尺爲縱多甲乙己戊爲一平方戊己丙丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故云一平方多二根與二十四尺相等也若以積計之則積之多於平方者爲戊己丙丁之二根若以邊計之則長多於闊者爲戊丁之二尺故以二根即作二尺爲縱多也此法錯綜其名則爲四種一平方多二根與二十四尺相等一也如二根多一平方亦必與二十四尺相等又一也若於一平方多二根與二十四尺各减去二根則爲一平方與二十四尺少二根相等此又其一也(甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根餘甲乙己戊一平方故爲一平方)(與二十四尺少二根相等也)又如一平方多二根與二十四尺各减去一平方則爲二根與二十四尺少一平方相等此又其一也(甲乙丙丁二十四尺内減去甲乙己戊一平方餘戊己丙丁二根故爲二根與)(二十四尺少一平方相等也)此四者名雖不同合而觀之總爲眞數比一正方多根數故知其爲較縱而每根之數爲闊也設如有一平方少四根與四十五尺相等問每一根之數幾何法以四十五尺爲長方積四根爲縱多四尺用帶縱較數開平方法算之將積數四因加縱多自乘之數得一百九十六尺開平方得十四尺爲和加較四尺得十八尺折半得九尺爲一根之數即長方之長減較四尺得五尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形共積四十五尺甲乙九尺爲一根爲長甲丁五尺爲闊甲戊與甲乙等丁戊四尺爲縱甲乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根於甲乙己戊平方内減去丁丙己戊之四根則餘甲乙丙丁四十五尺故云一平方少四根與四十五尺相等也若以積計之則積之少於平方者爲丁丙己戊之四根若以邊計之則闊少於長者爲丁戊之四尺故以四根作四尺爲縱多也此法錯綜其名亦爲四種一平方少四根與四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必與四根相等又一也若於一平方少四根與四十五尺各加四根則爲一平方與四十五尺多四根相等此又其一也(甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成)(甲乙己戊一平方故爲一平方與四十五尺多四根相等也)如一平方亦必與四根多四十五尺相等此又其一也此四者名雖不同合而觀之總爲真數比一正方少根數故知其爲較縱而其每根之數爲長也設如有一平方多三十六尺與十三根相等問每一根之數幾何法以三十六尺爲長方積十三根爲和十三尺用帶縱和數開平方法算之將積數四因與和自乘數相減餘二十五尺開平方得五尺爲較與和十三尺相减餘八尺折半得四尺爲一根之數即長方之闊加較五尺得九尺即長方之長也如圖甲乙丙丁長方形共積三十六尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁九尺爲長甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十六尺與十三根相等也若以積計之則積三十六尺與一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以邊計之則長九尺與闊四尺相加得甲戊之十三尺故將十三根作十三尺爲和也此法錯綜其名亦爲四種一平方多三十六尺與十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必與十三根相等又一也若於一平方多三十六尺與十三根各减去三十六尺則爲一平方與十三根少三十六尺相等此又其一也(甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁)(三十六尺餘丁丙己戊一平方故云一平方與十三根少三十六尺相等也)又如一平方多三十六尺與十三根各减去一平方則爲三十六尺與十三根少一平方相等此又其一也(甲乙己戊十三根内)(減去丁丙己戊一平方餘甲乙丙丁三十六尺故爲三十六尺與十三根少一)(平方相等也)此四者名雖不同合而觀之總爲眞數比根數少一正方故知其爲和而其毎根之數爲闊也設如有一平方多三十二尺與十二根相等問每一根之數幾何法以三十二尺爲長方積十二根爲和十二尺用帶縱和數開平方法算之將積數四因與和自乘數相減餘十六尺開平方得四尺爲較加和十二尺得十六尺折半得八尺爲一根之數即長方之長減較四尺餘四尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形共積三十二尺甲乙八尺爲一根爲長甲丁四尺爲闊甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十二尺與十二根相等也若以積計之則積三十二尺與一平方相加共得甲乙己戊十二根若以邊計之則長八尺與闊四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺爲和也此法亦眞數比根數少一正方故知其爲和而其每根之數爲長也帶縱立方 (三乘方) (四乘方) (五乘方附)借根方比例開帶縱立方與常法不同常法先知各邊之和或較既開得一邊之數以和較加減之即得各邊之數此法止有根方多少之號而無和縱較縱之名惟求每根之數而不問餘邊其立法之本意葢欲借根方以求他數既得一根之數則所求之數已得而方之形體有所不計且其與根方相等之積數或爲長方體扁方體形或非長方體扁方體形(或於長方)(扁方之内少幾數或於長方扁方之外多幾數則不能成長方扁方體形也)皆不可知故不可以帶縱之常法求也(其積數或原爲幾根幾方之總數而非一長方或一)(扁方之全數則止可以逐方逐根計之若作一長方或一扁方算則其各邊必有奇零不盡而轉與所設)(之根數不合矣)今類其法分爲九種如一立方多幾根與幾真數等一也一立方少幾根與幾眞數等二也一立方多幾平方與幾真數等三也一立方少幾平方與幾眞數等四也一立方多幾平方多幾根與幾眞數等五也一立方少幾平方少幾根與幾真數等六也一立方多幾平方少幾根與幾眞數等七也一立方少幾平方多幾根與幾真數等八也又幾平方少一立方與幾眞數等九也其開之之法除第九種外餘俱依立方法定初商復視所帶根方爲多號者其商數須取略小於應得之數所帶根方數爲少號者其商數須取略大於應得之數俱以初商數自乘再乘爲立方積以初商自乘數與幾平方相乘爲所帶平方之共積以初商數與幾根相乘爲所帶根數之共積多號者與立方積相加少號者與立方積相減然後與原積相減不盡者爲次商積次商之法以初商自乘數三因之爲立方廉以初商數倍之與幾平方相乘爲所帶平方之共廉多號者與立方廉相加少號者與立方廉相減又加減所帶之根數(多根者加少根者減)爲次商廉法以廉法除次商積得次商即合初商自乘再乘爲立方積仍如所帶幾根幾平方加減之而後減原積並與初商同至於第九種之法則將立方與真數俱用平方數除之得一平方少幾分立方之一與幾眞數等依平方法定初商其商數須取略大於應得之數乃以初商數自乘爲平方積又以初商數再乘爲立方積以平方數除之得數爲少幾分立方之一以減平方積而後與原積相減不盡者爲次商積次商之法以初商數倍之爲平方廉又以初商自乘數三因之爲立方廉以平方數除之得數以減平方廉餘爲次商廉法以廉法除次商積得次商其減積之法與初商同以上九種如法開之即得每根之數也要之所謂一立方者即一正方體而多平方多根少平方少根即變正方體而爲長方體扁方體或爲磬折長方體扁方體其積數中有立方則用再乘有平方則用自乘有根則用商數多則相加少則相減九種之中無異術也即推之多乘方莫不皆然總以其累乘之數爲主而以所帶根方之積數加減之與立方無二理也爰將立方九種之法各設一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各設二例以附其後焉設如有一立方多八根與一千八百二十四尺相等問毎一根之數幾何法列原積一千八百二十四尺按立方法作記於四尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書於原積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺八因之得八十尺爲多八根之共積與一立方積相加得一千零八十尺書於原積之下相減餘七百四十四尺爲次商積而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉加根數八共三百零八尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積四尺之上合初商共一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺八因之得九十六尺爲八根之共積與立方積相加共得一千八百二十四尺書於原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體及八根之共數以邊計之則所得毎根之數即正方體之毎一邊因正方體之外多八根故成一磬折體而非正方體亦非長方體也設如有一立方少九根與一千六百二十尺相等問毎一根之數幾何法列原積一千六百二十尺按立方法作記於空尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書於原積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺九因之得九十尺爲少九根之共積與立方積相減餘九百一十尺書於原積之下相減餘七百一十尺爲次商積而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉内減去根數九餘二百九十一尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積空尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺九因之得一百零八尺爲少九根之共積與立方積相減餘一千六百二十尺書於原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體少九根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊因正方體内少九根之數故成磬折體而非正方體亦非扁方體也設如有一立方多四平方與二千三百零四尺相等問每一根之數幾何法列原積二千三百零四尺按立方法作記於四尺上定單位二千尺上定十位其二千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相準即定初商爲十尺書於原積二千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲多四平方之共積與立方積相加得一千四百尺書於原積之下相減餘九百零四尺爲次商積而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺倍之得二十尺四因之得八十尺爲四平方廉與一立方廉相加得三百八十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積四尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六尺爲多四平方之共積與立方積相加共得二千三百零四尺書於原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體及四平方之共數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多四平方故成長方體而非正方體也設如有一立方少八平方與七千九百三十五尺相等問每一根之數幾何法列原積七千九百三十五尺按立方法作記於五尺上定單位七千尺上定十位其七千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相凖應商十尺而所帶平方爲少號故取略大之數爲二十尺書於原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百尺爲少八平方之共積與立方積相減餘四千八百尺書於原積之下相減餘三千一百三十五尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺八因之得三百二十尺爲八平方廉與一立方廉相減餘八百八十尺爲次商廉法以除次商積足三倍即定次商爲三尺書於原積五尺之上合初商共二十三尺自乘再乘得一萬二千一百六十七尺爲一立方積又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之得四千二百三十二尺爲少八平方之共積與一立方積相減餘七千九百三十五尺書於原積之下相減恰盡是開得二十三尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體少八平方之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少八平方故成扁方體而非正方體也設如有一立方多十三平方多三十根與二萬七千一百四十四尺相等問毎一根之數幾何法列原積二萬七千一百四十四尺按立方法作記於四尺上定單位七千尺上定十位其二萬七千尺爲初商積與三十自乘再乘之數相合應商三十尺而所帶平方與根皆爲多號故取略小之數爲二十尺書於原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之得五千二百尺爲多十三平方之共積又以初商之二十尺三十乘之得六百尺爲多三十根之共積三積(立方平方與根之三數)相加得一萬三千八百尺書於原積之下相減餘一萬三千三百四十四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺以十三乘之得五百二十尺爲十三平方廉與立方廉相加得一千七百二十尺又加根數三十共一千七百五十尺爲次商廉法以除次商積足七倍因取略小之數爲六尺書於原積四尺之上合初商共二十六尺自乘再乘得一萬七千五百七十六尺爲一立方積又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之得八千七百八十八尺爲多十三平方之共積又以二十六尺三十乘之得七百八十尺爲多三十根之共積三積相加共二萬七千一百四十四尺書於原積之下相減恰盡是開得二十六尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體及十三平方與三十根之共數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多十三平方又多三十根恰成長方體而非正方體亦非磬折體也(將所多之十三平方内十平方附於正方體之一面又以)(三平方加於正方體之又一面即成磬折體而缺三十根之數如以三十根補)(其缺即成長方體其寛即一根爲二十六尺其長即一根多十尺爲三十六尺)(其高即一根多三尺爲二十九尺也此因所多之平方及根數適足長方體形)(故爲長方體若平方與根數不能補足者仍爲磬折體也)設如有一立方少七平方少八根與七千零八十四尺相等問每一根之數幾何法列原積七千零八十四尺按立方法作記於四尺上定單位七千尺上定十位其七千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相凖而所帶平方與根皆爲少號故取略大之數爲二十尺書於原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺七因之得二千八百尺爲少七平方之共積又以初商之二十尺八因之得一百六十尺爲少八根之共積與少七平方共積相加得二千九百六十尺以減立方積餘五千零四十尺書於原積之下相減餘二千零四十四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺七因之得二百八十尺爲七平方廉與立方廉相減餘九百二十尺又減去根數八餘九百一十二尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積四尺之上合初商共二十二尺自乘再乘得一萬零六百四十八尺爲一立方積又以二十二尺自乘之四百八十四尺七因之得三千三百八十八尺爲少七平方之共積又以二十二尺八因之得一百七十六尺爲少八根之共積與少七平方共積相加得三千五百六十四尺以減立方積餘七千零八十四尺書於原積之下相減恰盡是開得二十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體少七平方又少八根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之毎一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少七平方又少八根故成磬折體而非正方體也設如有一立方多一平方少二十根與三萬三千一百五十二尺相等問每一根之數幾何法列原積三萬三千一百五十二尺按立方法作記於二尺上定單位三千尺上定十位其三萬三千尺爲初商積與三十自乘再乘之數相準即定初商爲三十尺書於原積三千尺之上而以初商三十尺自乘再乘之二萬七千尺爲一立方積又以初商三十尺自乘之九百尺爲多一平方積又以初商之三十尺二十乘之得六百尺爲少二十根之共積於立方積内加多一平方積得二萬七千九百尺又減去少二十根之共積餘二萬七千三百尺書於原積之下相減餘五千八百五十二尺爲次商積而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺爲一立方廉又以初商之三十尺倍之得六十尺爲一平方廉與立方廉相加得二千七百六十尺又減去根數二十餘二千七百四十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積二尺之上合初商共三十二尺自乘再乘得三萬二千七百六十八尺爲一立方積又以三十二尺自乘之一千零二十四尺爲多一平方積又以三十二尺二十乘之得六百四十尺爲少二十根之共積於一立方積内加多一平方積得三萬三千七百九十二尺又減去少二十根之共積得三萬三千一百五十二尺書於原積之下相減恰盡是開得三十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體多一平方復少二十根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多一平方又少二十根故成磬折體而非正方體也設如有一立方少三平方多二根與一萬二千一百四十四尺相等問每一根之數幾何法列原積一萬二千一百四十四尺按立方法作記於四尺上定單位二千尺上定十位其一萬二千尺爲初商積與二十自乘再乘之數相凖即定初商爲二十尺書於原積二千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺爲少三平方之共積又以初商之二十尺二因之得四十尺爲多二根之共積於立方積内減去少三平方之共積餘六千八百尺又加入多二根之共積得六千八百四十尺書於原積之下相減餘五千三百零四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺爲三平方廉與立方廉相減餘一千零八十尺又加入根數二得一千零八十二尺爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書於原積四尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺爲少三平方之共積又以二十四尺二因之得四十八尺爲多二根之共積於立方積内減去三平方之共積餘一萬二千零九十六尺又加入多二根之共積得一萬二千一百四十四尺書於原積之下相減恰盡是開得二十四尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體少三平方復多二根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少三平方又多二根故成磬折體而非正方體也設如有四十平方少一立方與五千六百二十五尺相等問每一根之數幾何法以四十平方少一立方與五千六百二十五尺俱以四十除之得一平方少四十分立方之一與一百四十尺六十二寸五十分相等乃列一百四十尺六十二寸五十分爲歸除所得之積按平方法作記於空尺上定單位一百尺上定十位其一百尺爲初商積與十尺自乘之數相合即定初商爲十尺書於所得積一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方積再乘得一千尺爲一立方積以四十除之得二十五尺爲少四十分立方之一之積與一平方積相減餘七十五尺書於所得積之下相減餘六十五尺六十二寸五十分爲次商積而以初商之一十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉以四十除之得七尺五寸爲四十分立方之一之廉與平方廉相減餘十二尺五寸爲次商廉法以除次商積足五倍即定次商爲五尺書於所得積空尺之上合初商共十五尺自乘得二百二十五尺爲一平方積再乘得三千三百七十五尺爲一立方積以四十除之得八十四尺三十七寸五十分爲四十分立方之一之積與一平方積相減餘一百四十尺六十二寸五十分書於所得積之下相減恰盡乃以一平方積與四十相乘得九千尺爲四十平方積内減去一立方積餘五千六百二十五尺與原積相合是開得一十五尺爲每一根之數也此法以積計之爲四十平方少一正方體之數以邊計之則所得每根之數即平方之每一邊亦即正方體之每一邊因四十平方内少十五平方之一正方體(每邊爲十五尺故十五平方爲一正方體也)餘二十五平方爲長方體(其寛即一根爲十五尺其高亦十五尺其長爲二十)(五尺也)而非正方體也設如有五百平方少一立方與二十七萬四千一百七十六尺相等問每一根之數幾何法以五百平方少一立方與二十七萬四千一百七十六尺俱以五百除之得一平方少五百分立方之一與五百四十八尺三十五寸二十分相等乃列五百四十八尺三十五寸二十分爲歸除所得之積按平方法作記於八尺上定單位五百尺上定十位其五百尺爲初商積與二十自乘之數相準即定初商爲二十尺書於所得積五百尺之上而以初商二十尺自乘之四百尺爲一平方積再乘得八千尺爲一立方積以五百除之得十六尺爲少五百分立方之一之積與平方積相減餘三百八十四尺書於所得積之下相減餘一百六十四尺三十五寸二十分爲次商積而以初商之二十尺倍之得四十尺爲一平方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉以五百除之得二尺四寸爲五百分立方之一之廉與平方廉相減得三十七尺六寸爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書於所得積八尺之上合初商共二十四尺自乘得五百七十六尺爲一平方積再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積以五百除之得二十七尺六十四寸八十分爲少五百分立方之一之積與平方積相減餘五百四十八尺三十五寸二十分書於所得積之下相減恰盡乃以一平方積與五百相乘得二十八萬八千尺爲五百平方積内減去一立方積餘二十七萬四千一百七十六尺與原積相合是開得二十四尺爲每一根之數也此法以積計之爲五百平方少一正方體以邊計之則所得每根之數即平方之每一邊亦即正方體之每一邊因五百平方内少二十四平方之一正方體(每邊爲二十四尺故)(二十四平方即一正方體也)餘四百七十六平方爲長方體(其寛即一根爲二十四尺其高亦爲二十四尺其長爲四百七)(十六尺也)而非正方體也設如有一三乘方多二平方與二萬一千零二十四尺相等問每一根之數幾何法列原積二萬一千零二十四尺按三乘方法作記於四尺上定單位二萬尺上定十位其二萬尺爲初商積與十尺乘三次之數相準即定初商爲十尺書於原積二萬尺之上而以初商十尺乘三次之一萬尺爲一三乘方積又以初商十尺自乘之一百尺二因之得二百尺爲多二平方之共積與三乘方積相加得一萬零二百尺書於原積之下相減餘一萬零八百二十四尺爲次商積而以初商之十尺再乘四因之得四千尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之得二十尺二因之得四十尺爲多二平方之廉與三乘方廉相加得四千零四十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積四尺之上合初商共十二尺乘三次得二萬零七百三十六尺爲一三乘方積又以十二尺自乘之一百四十四尺二因之得二百八十八尺爲多二平方之共積與三乘方積相加得二萬一千零二十四尺書於原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也又法用帶縱平方及平方兩次開之將原積二萬一千零二十四尺爲長方積以多二平方作二尺爲縱多折半得一尺爲半較自乘仍得一尺與積相加得二萬一千零二十五尺開平方得一百四十五尺爲半和内減半較一尺(凡多平方)(者即減半較如少平方者則加半較)餘一百四十四尺爲正方積復開平方得十二尺即每一根之數也葢三乘方多平方與方根自乘爲闊加多平方數爲長所作之長方積等故用帶縱較數開平方法開之得數復開平方即得每一根之數也設如有一千平方少一三乘方與一十二萬三千二百六十四尺相等問每一根之數幾何法以一千平方少一三乘方與一十二萬三千二百六十四尺俱以一千除之得一平方少一千分三乘方之一與一百二十三尺二十六寸四十分相等乃列一百二十三尺二十六寸四十分爲歸除所得之積按平方法作記於三尺上定單位一百尺上定十位其一百尺爲初商積與十尺自乘之數相合即定初商爲十尺書於所得積一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方積又以初商之十尺乘三次得一萬尺爲一三乘方積以一千除之得一十尺爲千分三乘方之一之積與一平方積相減餘九十尺書於所得積之下相減餘三十三尺二十六寸四十分爲次商積而以初商之十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘再乘四因之得四千尺爲一三乘方廉以一千除之得四尺爲千分三乘方之一之廉與平方廉相減餘一十六尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於所得積三尺之上合初商共十二尺自乘得一百四十四尺爲一平方積又以十二尺乘三次得二萬零七百三十六尺爲一三乘方積以一千除之得二十尺零七十三寸六十分與一平方積相減餘一百二十三尺二十六寸四十分書於所得積之下相減恰盡乃以一平方積與一千相乘得一十四萬四千尺爲一千平方積内減去一三乘方積餘一十二萬三千二百六十四尺與原積相合是開得一十二尺爲每一根之數也又法用帶縱平方及平方兩次開之將原積一十二萬三千二百六十四尺爲長方積以一千平方作一千尺爲和折半得五百尺爲半和自乘得二十五萬尺與積相減餘十二萬六千七百三十六尺開平方得三百五十六尺爲半較與半和相減餘一百四十四尺爲正方積復開平方得一十二尺即每一根之數也葢平方少三乘方與方根自乘爲闊與平方數相減爲長所作之長方積等故用帶縱和數開平方法開之得數復開平方即得每一根之數也設如有一四乘方多二立方與七百九十九萬零二百七十二尺相等問每一根之數幾何法列原積七百九十九萬零二百七十二尺按四乘方法作記於二尺上定單位九十萬尺上定十位其七百九十萬尺爲初商積與二十乘四次之數相準即定初商爲二十尺書於原積九十萬尺之上而以初商二十尺乘四次之三百二十萬尺爲一四乘方積又以初商二十尺自乘再乘之八千尺二因之得一萬六千尺爲多二立方之共積與四乘方積相加得三百二十一萬六千尺書於原積之下相減餘四百七十七萬四千二百七十二尺爲次商積而以初商之二十尺乘三次五因之得八十萬尺爲一四乘方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺又二因之得二千四百尺爲多二立方之廉與四乘方廉相加得八十萬零二千四百尺爲次商廉法以除次商積足五倍因取略小之數爲四尺書於原積二尺之上合初商共二十四尺乘四次得七百九十六萬二千六百二十四尺爲一四乘方積又以二十四尺自乘再乘之一萬三千八百二十四尺二因之得二萬七千六百四十八尺爲多二立方之共積與四乘方積相加得七百九十九萬零二百七十二尺書於原積之下相減恰盡是開得二十四尺爲每一根之數也葢四乘方多立方之數不與平方立方之數相合故不能以平方立方之法開也設如有二千立方少一四乘方與一千九百六十八萬五千三百七十六尺相等問每一根之數幾何法以二千立方少一四乘方與一千九百六十八萬五千三百七十六尺俱以二千除之得一立方少二千分四乘方之一與九千八百四十二尺六百八十八寸相等乃列九千八百四十二尺六百八十八寸爲歸除所得之積按立方法作記於二尺上定單位九千尺上定十位其九千尺爲初商積與二十自乘再乘之數相準即定初商爲二十尺書於所得積九千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商之二十尺乘四次得三百二十萬尺爲一四乘方積以二千除之得一千六百尺爲二千分四乘方之一之積與一立方積相減餘六千四百尺書於所得積之下相減餘三千四百四十二尺六百八十八寸爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺乘三次五因之得八十萬尺爲一四乘方廉以二千除之得四百尺爲二千分四乘方之一之廉與立方廉相減餘八百尺爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書於所得積二尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積又以二十四尺乘四次得七百九十六萬二千六百二十四尺爲一四乘方積以二千除之得三千九百八十一尺三百一十二寸與一立方積相減餘九千八百四十二尺六百八十八寸書於所得積之下相減恰盡乃以一立方積與二千相乘得二千七百六十四萬八千尺爲二千立方積内減去一四乘方積餘一千九百六十八萬五千三百七十六尺與原積相合是開得二十四尺爲每一根之數也葢立方少四乘方之數亦不與平方立方之數相合故不能以平方立方之法開也設如有一五乘方多四立方與一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺相等問每一根之數幾何法列原積一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺按五乘方法作記於六尺上定單位三百萬尺上定十位其一億一千三百萬尺爲初商積與二十乘五次之數相準即定初商爲二十尺書於原積三百萬尺之上而以初商二十尺乘五次之六千四百萬尺爲一五乘方積又以初商二十尺自乘再乘之八千尺四因之得三萬二千尺爲多四立方之共積與五乘方積相加得六千四百零三萬二千尺書於原積之下相減餘四千九百三十九萬零四百九十六尺爲次商積而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十萬尺爲一五乘方廉又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺又四因之得四千八百尺爲四立方之廉與五乘方廉相加得一千九百二十萬零四千八百尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積六尺之上合初商共二十二尺乘五次得一億一千三百三十七萬九千九百零四尺爲一五乘方積又以二十二尺自乘再乘之一萬零六百四十八尺四因之得四萬二千五百九十二尺爲多四立方之共積與五乘方積相加得一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺書於原積之下相減恰盡是開得二十二尺爲每一根之數也又法用帶縱平方及立方開之將原積一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺爲長方積以多四立方作四尺爲縱多折半得二尺自乘得四尺與積相加得一億一千三百四十二萬二千五百尺開平方得一萬零六百五十尺爲半和内減半較二尺(因立方爲多號故減半較若立)(方爲少號即加半較)得一萬零六百四十八尺爲立方積開立方得二十二尺即每一根之數也葢五乘方多立方與方根自乘再乘爲闊加多立方數爲長所作之長方積等故用帶縱較數開平方法開之得數復開立方即得每一根之數也設如有一萬立方少一五乘方與一千一百五十三萬八千四百三十九尺相等問每一根之數幾何法以一萬立方少一五乘方與一千一百五十三萬八千四百三十九尺俱以一萬除之得一立方少一萬分五乘方之一與一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分爲歸除所得之積按立方法作記於三尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書於所得積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺乘五次得一百萬尺爲一五乘方積以一萬除之得一百尺爲一萬分五乘方之一之積與立方積相減餘九百尺書於所得積之下相減餘二百五十三尺八百四十三寸九百分爲次商積而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺乘四次六因之得六十萬尺爲一五乘方廉以一萬除之得六十尺爲一萬分五乘方之一之廉與立方廉相減餘二百四十尺爲次商廉法以除次商積足一倍即定次商爲一尺書於所得積三尺之上合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺爲一立方積又以十一尺乘五次得一百七十七萬一千五百六十一尺爲一五乘方積以一萬除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分爲一萬分五乘方之一之積與立方積相減餘一千一百五十三尺八百四十三寸九百分書於所得積之下相減恰盡乃以一立方積與一萬相乘得一千三百三十一萬尺爲一萬立方積内減去一五乘方積餘一千一百五十三萬八千四百三十九尺與原積相合是開得一十一尺爲每一根之數也又法用帶縱平方及立方開之將原積一千一百五十三萬八千四百三十九尺爲長方積以一萬立方作一萬尺爲和折半得五千尺爲半和自乘得二千五百萬尺與積相減餘一千三百四十六萬一千五百六十一尺開平方得三千六百六十九尺爲半較與半和相減餘一千三百三十一尺爲立方積開立方得一十一尺即每一根之數也葢立方少五乘方與方根自乘再乘爲闊與立方數相減爲長所作之長方積等故用帶縱和數開平方法開之得數復開立方即得每一根之數也御製數理精藴下編卷三十三
## 下編卷三十四
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十四末部四借根方比例(線類)線類設如有一竹竿長一丈欲分為大小兩分大分比小分多四尺問大小分各幾何法借一根為小分則大分即為一根多四尺兩數相加得二根多四尺與一丈相等二根既多四尺乃減去所多四尺餘二根又於一丈内亦減去四尺餘六尺是為二根與六尺相等二根既與六尺相等則一根必與三尺相等前既借一根為小分則三尺即小分再加四尺得七尺即大分也(此減法也於一丈内減去大分所多之四)(尺餘六尺折半得三尺即小分之數此法甚易盖因借根比例之首先設此以)(明其理使人由淺以入深也)設如有銀三百四十三兩分給衆匠其為首一人所得之銀與衆匠人數相等衆匠每人得銀六兩問共人數幾何法借一根為為首一人所得之銀數亦即為衆匠之人數以衆匠之人數一根與六兩相乗得六根為衆匠之銀數相加得七根與三百四十三兩相等七根既與三百四十三兩相等則一根必與四十九兩相等即為首一人所得之銀數亦即衆匠之人數以四十九人與六兩相乗得二百九十四兩即衆匠所得共銀數再加為首一人所得銀數四十九兩得三百四十三兩以合原數也(此歸)(除法也以每匠得銀六兩加一兩得七兩以除共銀三百四十三兩即得四十)(九兩為為首一人所得銀數亦即衆匠之人數葢為首一人之銀既與衆匠人)(數等若以為首一人之銀分給衆匠每人必多得一兩故於每人之銀數外加)(一兩以除共銀即得也)設如有繩二條不言丈數但知其長短之比例同於九與五其相差之較與短繩除長繩所得之數相等問二繩各長若干法借九根為長繩之數五根為短繩之數兩數相減餘四根以五根除九根得一八即一丈八尺是為四根與一丈八尺相等四根既與一丈八尺相等則一根必與四尺五寸相等九因之得四丈零五寸即長繩數五因之得二丈二尺五寸即短繩數以二丈二尺五寸與四丈零五寸相減餘一丈八尺以二丈二尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺也(此歸除法)設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀九十兩乙丙共銀四十五兩甲丙共銀七十三兩問三人各銀幾何法借一根為三人之總銀數以甲乙共銀九十兩計之則丙為一根少九十兩以乙丙共銀四十五兩計之則甲為一根少四十五兩以甲丙共銀七十三兩計之則乙為一根少七十三兩三數相加得三根少二百零八兩而與所借之一根相等三根少二百零八兩與一根各加二百零八兩得三根與一根多二百零八兩相等(三根少二百零八兩内加二百零八兩則補足)(三根整數一根上再加二百零八兩則為一根多二百零八兩矣)三根與一根再各減一根則餘二根與二百零八兩相等二根既與二百零八兩相等則一根必與一百零四兩相等即三人之總銀數總銀一百零四兩内減甲乙共銀九十兩餘一十四兩為丙銀數減乙丙共銀四十五兩餘五十九兩為甲銀數減甲丙共銀七十三兩餘三十一兩為乙銀數也(此加減法也如以三數相加得二百零八)(兩折半得一百零四兩即總銀數總銀數内減甲乙共銀數餘為丙銀數總銀)(數内減甲丙共銀數餘為乙銀數總銀數内減乙丙共銀數餘為甲銀數也)設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀數比丙銀多六十八兩乙丙共銀數比甲銀多一百兩丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩問三人各銀幾何法借二根為三人之總銀數以甲乙共銀數比丙銀多六十八兩計之則甲乙共銀為一根多三十四兩丙銀為一根少三十四兩(二根既為三人之總銀數平分之則甲乙應得一根)(丙應得一根甲乙共銀比丙所多六十八兩平分之則甲乙應得三十四兩丙)(應得三十四兩甲乙所得為多丙所得為少故甲乙為一根多三十四兩丙為)(一根少三十四兩共相差為六十八兩下倣此)以乙丙共銀數比甲銀多一百兩計之則乙丙共銀為一根多五十兩甲銀為一根少五十兩以丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩計之則丙甲共銀為一根多六十二兩乙銀為一根少六十二兩乃以丙銀一根少三十四兩甲銀一根少五十兩乙銀一根少六十二兩三數相加得三根少一百四十六兩而與所借之二根相等三根少一百四十六兩與二根各加一百四十六兩得三根與二根多一百四十六兩相等三根與二根再各減二根則餘一根與一百四十六兩相等一根既與一百四十六兩相等則二根必與二百九十二兩相等即三人之總銀數前既以丙銀為一根少三十四兩乃於一百四十六兩内減三十四兩餘一百一十二兩即丙銀數甲為一根少五十兩乃於一百四十六兩内減五十兩餘九十六兩即甲銀數乙為一根少六十二兩乃於一百四十六兩内減六十二兩餘八十四兩即乙銀數也(此加減法)(也如以甲乙比丙所多之六十八兩與乙丙比甲所多之一百兩相加得一百)(六十八兩折半得八十四兩即乙銀數又以乙丙比甲所多之一百兩與甲丙)(比乙所多之一百二十四兩相加得二百二十四兩折半得一百一十二兩即)(丙銀數再以乙丙數相加得一百九十六兩内減去乙丙比甲所多之一百兩)(餘九十六兩即甲銀數也)設如有銀分賞衆人不言銀數亦不言人數但知第一人得銀一兩又得餘銀之十分之一第二人得銀二兩又得餘銀之十分之一第三人得銀三兩又得餘銀之十分之一以下分賞之數皆準此例所得之銀皆相等問人數及銀數各幾何法借一根為第一人所得餘銀之數則一兩多一根為第一人所得總銀數又第一人得餘銀十分之一則餘銀必為十根減去一根仍餘九根再於九根内減去第二人所得之二兩為九根少二兩以九根少二兩取其十分之一得十分根之九少二錢與第二人之二兩相加得二兩(作二十錢)多十分根之九少二錢為與第一人所得之一兩(作一十錢)多一根相等一兩多一根與二兩多十分根之九少二錢各加二錢得一兩二錢多一根與二兩多十分根之九相等多一根與多十分根之九各減十分根之九餘一兩二錢多十分根之一與二兩相等一兩二錢與二兩又各減一兩二錢則餘十分根之一與八錢相等十分根之一既與八錢相等則一根必與八兩相等即第一人所得餘銀之數乃以十因之得八十兩又加第一人所得之一兩共八十一兩即原共銀數第一人得一兩又加餘銀八十兩之十分之一八兩共為九兩第二人得二兩又加餘銀七十兩之十分之一七兩亦共為九兩第三人得三兩又加餘銀六十兩之十分之一六兩亦共為九兩第四人得銀四兩又加餘銀五十兩之十分之一五兩亦共為九兩第五人得銀五兩又加餘銀四十兩之十分之一四兩亦共為九兩第六人得銀六兩又加餘銀三十兩之十分之一三兩亦共為九兩第七人得銀七兩又加餘銀二十兩之十分之一二兩亦共為九兩第八人得銀八兩又加餘銀十兩之十分之一一兩亦共為九兩第九人得銀九兩銀盡無餘是共九人每人得銀九兩皆相等也(此加減法)(也以分母十與分子一相減餘九即人數以人數九自乗得八十一即總銀數)(也葢惟人數與每人所得銀數相等者每人遞加一兩又各加餘銀十分之一所得)(始能相等故以人數自乗即得銀數也)設如有人行路共二千八百里步行則日行七十里坐船則日行九十里乗馬則日行一百里但知步行之日數倍於坐船坐船之日數倍於乗馬問步行及坐船乗馬之日數各若干法借一根為乗馬之日數則坐船之日數為二根步行之日數為四根以一根與一百里相乗得一百根為乗馬所行之里數以二根與九十里相乗得一百八十根為坐船所行之里數以四根與七十里相乗得二百八十根為步行所行之里數三數相加得五百六十根是為五百六十根與二千八百里相等五百六十根既與二千八百里相等則一百根必與五百里相等前既以一百根為乗馬所行之里數則與一百根相等之五百里即乗馬所行之里數以乗馬每日行一百里除之得五日與一根相等即乗馬所行之日數倍之得十日即坐船所行之日數以坐船每日行九十里乗之得九百里為坐船所行之里數再以坐船所行之十日倍之得二十日即步行之日數以步行每日行七十里乗之得一千四百里為步行之里數以乗馬所行之五百里與坐船所行之九百里及步行之一千四百里相併共得二千八百里以合原數也(此遞加比例法用借衰互)(徵法算之亦可)設如一驢一馬一車共馱載一千五百二十斤馬所馱之數倍於驢仍多四十斤車所載之數倍於馬驢共馱之數却少四十斤問驢馬車各馱載幾何法借一根為驢所馱之數則馬為二根多四十斤車為六根多四十斤(驢馬數相併得)(三根多四十斤倍之為六根多八十斤内減去少四十斤則為六根多四十斤)三數相加得九根多八十斤是為九根多八十斤與一千五百二十斤相等多八十斤與一千五百二十斤各減去八十斤則餘九根與一千四百四十斤相等九根既與一千四百四十斤相等則一根必與一百六十斤相等即驢所馱之數倍之得三百二十斤再加四十斤得三百六十斤為馬所馱之數將馬驢所馱之數相加得五百二十斤倍之得一千零四十斤再減去四十斤得一千斤即車所載之數驢馱一百六十斤馬馱三百六十斤車載一千斤三數相加共一千五百二十斤以合原數也(此按數加)(減比例法用借衰互徵法算之亦可)設如有銀三百八十五兩令十一人挨次遞加三兩分之問每人各得若干法借一根為第一人所得銀數以十一乗之得十一根又以第一人至第十一人遞加三兩計之共得多一百六十五兩是為十一根多一百六十五兩與三百八十五兩相等十一根多一百六十五兩與三百八十五兩各減一百六十五兩則餘十一根與二百二十兩相等十一根既與二百二十兩相等則一根必與二十兩相等即第一人所得銀數遞加三兩則知第二人得二十三兩第三人得二十六兩第四人得二十九兩第五人得三十二兩第六人得三十五兩第七人得三十八兩第八人得四十一兩第九人得四十四兩第十人得四十七兩第十一人得五十兩各數相加共得三百八十五兩以合原數也(此按數加)(減比例法)設如有銀四百七十四兩令十二人挨次遞加分之但知第一人得銀一十二兩問每人各得若干法借一根為每人遞加之數以第一人至第十二人遞加一根計之則得六十六根再以十二兩與十二人相乗得一百四十四兩是為六十六根多一百四十四兩與四百七十四兩相等六十六根多一百四十四兩與四百七十四兩各減去一百四十四兩則餘六十六根與三百三十兩相等六十六根既與三百三十兩相等則一根必與五兩相等即每人遞加之數以第一人所得十二兩加五兩即第二人所得十七兩依此遞加則知第三人得二十二兩第四人得二十七兩第五人得三十二兩第六人得三十七兩第七人得四十二兩第八人得四十七兩第九人得五十二兩第十人得五十七兩第十一人得六十二兩第十二人得六十七兩各數相加共得四百七十四兩以合原數也(此按數加)(減比例法)設如一人借銀營利三次每次得利之後則還銀二百四十兩復以餘銀作本其每次所得利銀皆與每次本銀相等至第三次還銀後則銀盡無餘問原借銀若干法借一根為原借本銀數則第一次利銀亦為一根是本利共二根除還銀二百四十兩則初次餘銀即為二根少二百四十兩再以二根少二百四十兩為第二次本銀數加第二次利銀則為四根少四百八十兩除還銀二百四十兩則第二次餘銀即為四根少七百二十兩再以四根少七百二十兩為第三次本銀數加第三次利銀則為八根少一千四百四十兩除還銀二百四十兩則第三次餘銀當為八根少一千六百八十兩八根少一千六百八十兩而銀盡無餘即八根與一千六百八十兩相等也八根既與一千六百八十兩相等則一根必與二百一十兩相等即原借本銀之數因每次所得利銀皆與本銀相等故以原借本銀之數倍之得四百二十兩除還二百四十兩餘一百八十兩為第二次本銀之數又倍之得三百六十兩又除還二百四十兩餘一百二十兩為第三次本銀之數又倍之得二百四十兩再還二百四十兩則銀恰盡無餘也(此按分遞折比例法用疊借互徵法算之亦可)設如甲乙丙三人各作一器則甲六日可完乙八日可完丙二十四日可完今命三人同作問得日幾何法借一千一百五十二根(三分母連乗之數)為三人同作完之日數以甲六日計之則甲每日得一百九十二根以乙八日計之則乙每日得一百四十四根以丙二十四日計之則丙每日得四十八根三數相加共得三百八十四根與一日相等三百八十四根既與一日相等則一千一百五十二根必與三日相等即三人同作完之日數也(此和數比例法)設如甲丙二商不言本銀若干但知甲之本銀四倍於丙而甲本銀内減去七十二兩則兩人之銀適等問二人本銀各幾何法借一根為丙本銀數則甲本銀為四根以甲本銀減七十二兩與丙銀相等計之則於甲本銀四根内減七十二兩是為甲四根少七十二兩與丙一根相等四根少七十二兩與一根各加七十二兩得四根與一根多七十二兩相等四根與一根各減去一根則餘三根與七十二兩相等三根既與七十二兩相等則一根必與二十四兩相等即丙本銀數再加七十二兩得九十六兩即甲本銀數也(此較數比例法)設如甲乙二人分銀其數相等甲用過一百兩乙用過三十兩則乙之餘銀三倍於甲問二人原各分銀幾何法借一根為原分銀之數則甲之餘銀為一根少一百兩乙之餘銀為一根少三十兩乙之餘銀既三倍於甲則將甲餘銀一根少一百兩三倍之為三根少三百兩即與乙之餘銀一根少三十兩相等矣三根少三百兩與一根少三十兩各加三百兩則得三根與一根多二百七十兩相等(甲三根少三百兩今加三百兩則補足三根整)(數乙一根少三十兩今加三百兩以三十兩補原少之數則止多二百七十兩)三根與一根各減去一根則餘二根與二百七十兩相等二根既與二百七十兩相等則一根必與一百三十五兩相等前既借一根為原分銀之數則此一百三十五兩即原分銀之數矣甲用過一百兩餘三十五兩乙用過三十兩餘一百零五兩故乙之餘銀三倍於甲也(此較數比例法用疊借互徵法算之亦可)設如甲乙二人行路兩日行到初日乙所行之路四倍於甲次日甲所行之路三倍於乙但知初日乙行二百四十里甲行六十里問次日二人各行若干法借一根為次日乙所行之路則甲次日所行之路為三根以初日乙行二百四十里與一根相加得一根多二百四十里為乙兩日所行之路以初日甲行六十里與三根相加得三根多六十里為甲兩日所行之路是為乙一根多二百四十里與甲三根多六十里相等一根與三根各減一根多二百四十里與多六十里各減六十里則餘一百八十里與二根相等一百八十里既與二根相等則九十里必與一根相等即次日乙所行之路三因之得二百七十里即次日甲所行之路以乙次日所行九十里與初日所行二百四十里相加得三百三十里以甲次日所行二百七十里與初日所行六十里相加亦得三百三十里是兩人同行俱到也(此較數比例法)設如有甲乙二商各有本銀生理但知乙本銀比甲本銀多六兩數年得利之後甲本利共銀比原銀為十一倍乙本利共銀比原銀為七倍而兩人之銀適等問二人原有本銀各幾何法借一根為甲本銀數則乙本銀為一根多六兩甲本利共銀既比原銀為十一倍則以十一乗一根得十一根為甲本利共銀數乙本利共銀既比原銀為七倍則以七乗一根多六兩得七根多四十二兩為乙本利共銀數是為甲十一根與乙七根多四十二兩相等十一根與七根各減七根餘四根與四十二兩相等四根既與四十二兩相等則一根必與十兩零五錢相等即甲原銀之數十一乗之得一百一十五兩五錢即甲本利共銀之數以六兩與十兩零五錢相加得一十六兩五錢即乙原銀之數七因之亦得一百一十五兩五錢為乙本利共銀之數也(此較數比例法用疊借互徵法算之)(亦可)設如甲乙二人分銀其數相等甲銀外加三百兩乙銀外加六十五兩則甲之共銀三倍於乙問二人原各分銀若干法借一根為原分銀之數則乙之共銀為一根多六十五兩甲之共銀為一根多三百兩甲之共銀既三倍於乙則將乙之共銀一根多六十五兩三倍之為三根多一百九十五兩即與甲之共銀一根多三百兩相等矣三根多一百九十五兩與一根多三百兩各減一百九十五兩則餘三根與一根多一百零五兩相等三根與一根再各減去一根則餘二根與一百零五兩相等二根既與一百零五兩相等則一根必與五十二兩五錢相等前既借一根為原分銀之數則此五十二兩五錢即原分銀之數矣以五十二兩五錢與六十五兩相加得一百一十七兩五錢為乙之共銀數以五十二兩五錢與三百兩相加得三百五十二兩五錢為甲之共銀數即乙之共銀之三倍也(此較數比例法用疊借互徵法算之亦可)設如金球十二銀球十八其輕重適等若將銀球七換金球七則銀球邊多三百二十二兩問金球銀球各重幾何法借一根為金球換銀球之差數以七乗之得七根為七金球換七銀球之差數是為七根與三百二十二兩相等七根既與三百二十二兩相等則一根必與四十六兩相等即一金球一銀球相換之差數一金球一銀球相換之差數既為四十六兩則一金球比一銀球之重必差二十三兩一金球比一銀球既重二十三兩則十二金球比十二銀球必重二百七十六兩如以銀球再加六個(十八個)即與十二金球等是銀球六個與二百七十六兩相等也乃以六歸之得四十六兩即一銀球之重數加二十三兩得六十九兩即一金球之重數以四十六兩與十八銀球相乗得八百二十八兩以六十九兩與十二金球相乗亦得八百二十八兩也(此較數比例法)設如一人買縀十二疋一人買紬三十二疋用銀適等但知緞每疋價比紬每疋價多六兩問紬緞價銀各若干法借一根為紬價則緞價為一根多六兩各以總數乗之則紬總價得三十二根緞總價得十二根多七十二兩是為紬價三十二根與緞價十二根多七十二兩相等三十二根與十二根各減去十二根則餘二十根與七十二兩相等二十根既與七十二兩相等則一根必與三兩六錢相等即紬每疋之價加緞每疋比紬每疋多六兩得九兩六錢即緞每疋之價以九兩六錢乗十二疋得一百一十五兩二錢為緞總價以三兩六錢乗三十二疋亦得一百一十五兩二錢為紬總價兩數適等也(此較數比例法)設如甲乙二人共買緞一百疋甲買三十八疋止與銀三百一十二兩乙買六十二疋止與銀六百兩而兩人所欠之銀適等問緞價及欠銀各若干法借一根為緞每疋價銀數則甲三十八疋總銀數為三十八根又甲止與銀三百一十二兩則甲所欠之銀即為三十八根少三百一十二兩乙六十二疋總銀數為六十二根又乙止與銀六百兩則乙所欠之銀即為六十二根少六百兩是為甲三十八根少三百一十二兩與乙六十二根少六百兩相等少三百一十二兩與少六百兩各加六百兩得三十八根多二百八十八兩與六十二根相等(乙為六十二根少六百兩今加六百兩則補足六十二根)(整數甲為三十八根少三百一十二兩今加六百兩以三百一十二兩補原少)(之數則止多二百八十八兩也)又三十八根與六十二根各減去三十八根則餘二十四根與二百八十八兩相等二十四根既與二百八十八兩相等則一根必與十二兩相等即緞每疋之價銀數再以十二兩乗三十八疋得四百五十六兩即甲所買緞之總銀數内減甲與銀三百一十二兩餘一百四十四兩為甲所欠銀數又以十二兩乗六十二疋得七百四十四兩為乙所買緞之總銀數内減乙與銀六百兩亦餘一百四十四兩為乙所欠銀數也(此較數比例法)設如有米分給大小二等工人但知小工人數比大工人數為七倍大工人給米一升二合小工人給米八合共給過米五石四斗四升問人數米數各幾何法借一根為大工人之數則七根為小工人之數以一根與一升二合相乗(作一)(十二合)得一十二根為大工人米數以七根與八合相乗得五十六根為小工人米數兩米數相加得六十八根與五石四斗四升相等六十八根既與五石四斗四升相等則十二根必與九斗六升相等前既以十二根為大工人米數則與十二根相等之九斗六升即大工人之米數爰以大工人每人所得一升二合除之得八十人與一根相等即大工人之數七因之得五百六十即小工人之數以八合乗之得四石四斗八升即小工人之米數也(此和較比例法用疊借互徵法算之亦可)設如有銀一百兩分給大小二等匠人共一百名大匠人每人給銀一兩五錢小匠人每人給銀五錢問大小匠人各若干法借一根為大匠人數則小匠人為一百少一根以一兩五錢與一根相乗得十五根為大匠人共銀數又以五錢與一百少一根相乗得五十兩(作五百錢)少五根為小匠人共銀數兩銀數相加得五十兩(作五百錢)多十根(原少五根加十五根則反多十根也)與銀一百兩(作一千錢)相等五十兩與一百兩各減去五十兩則餘十根與五十兩相等十根既與五十兩相等則十五根必與七十五兩(即七百五十錢)相等前既以十五根為大匠人共銀數則與十五根相等之七十五兩即大匠人之共銀數爰以大匠人每人所得一兩五錢除之得五十人與一根相等即大匠人之數於共一百人内減大匠人五十人餘五十人即小匠人之數以五錢乗之得二十五兩即小匠人之共銀數也(此和較比例法用方程法)(算之亦可)設如有銀一百兩分賞馬步兵共一百名馬兵一人賞三兩步兵三人賞一兩問馬步兵各若干法借一根為步兵所得銀數則馬兵所得銀數即為三根相加得四根為馬步兵共得銀數是為四根與一百兩相等四根既與一百兩相等則一根必與二十五兩相等即步兵所得銀數於一百兩内減之餘七十五兩為馬兵所得銀數以每人三兩歸之得二十五即馬兵人數於一百名内減之餘七十五即步兵人數也(此和較比例法)設如雞兔同籠但知共頭三十六共足一百問雞兔各若干法借一根為兔數則雞為三十六少一根以兔四足乗兔一根得四根為兔之共足數以雞二足乗雞三十六少一根得七十二少二根為雞之共足數兩數相加得七十二多二根與一百相等七十二與一百各減七十二則餘二根與二十八相等二根既與二十八相等則一根必與十四相等即兔數於共三十六内減兔十四餘二十二即雞數兔十四以四足乗之得五十六為兔共足數雞二十二以二足乗之得四十四為雞共足數相加得一百以合原數也(此和較比)(例法)設如有人行路乗馬乗船共六十三日乗馬日行一百六十里乗船日行一百四十四里乗船所行之里數比乗馬所行之里數為十八倍問乗馬乗船之日數各若干法借一根為乗馬之日數則乗船之日數為六十三日少一根以一根與一百六十里相乗得一百六十根為乗馬所行之里數以六十三日少一根與一百四十四里相乗得九千零七十二里少一百四十四根為乗船所行之里數乗船所行里數既為乗馬所行里數之十八倍則以十八乗乗馬所行之里數一百六十根得二千八百八十根是為二千八百八十根與九千零七十二里少一百四十四根相等二千八百八十根與少一百四十四根各加一百四十四根得三千零二十四根與九千零七十二里相等三千零二十四根既與九千零七十二里相等則一百六十根必與四百八十里相等前既以一百六十根為乗馬所行之里數則與一百六十根相等之四百八十里即乗馬所行之里數以乗馬每日所行一百六十里除之得三日與一根相等即乗馬所行之日數以三日與六十三日相減餘六十日為乗船所行之日數以乗船每日行一百四十四里乗之得八千六百四十里即乗船所行之里數為乗馬所行之里數之十八倍也(此和較比例法用疊借互徵法算之亦可)設如有青緞藍緞二色共七十疋青緞每疋長四十七尺藍緞每疋長六十尺其藍緞總尺數比青緞總尺數多二十七尺問青緞藍緞二色各若干法借一根為青緞疋數則藍緞為七十疋少一根各以尺數乗之則青緞之總尺數得四十七根藍緞之總尺數得四千二百尺少六十根於藍緞總尺數内減去比青緞所多之二十七尺得四千一百七十三尺少六十根是為青緞四十七根與藍緞四千一百七十三尺少六十根相等四十七根與少六十根各加六十根得一百零七根與四千一百七十三尺相等一百零七根既與四千一百七十三尺相等則四十七根必與一千八百三十三尺相等前既以四十七根為青緞之總尺數則與四十七根相等之一千八百三十三尺即青緞之總尺數以每疋長四十七尺除之得三十九疋與一根相等即青緞之疋數以三十九疋與七十疋相減餘三十一疋即藍緞之疋數以三十一疋與六十尺相乗得一千八百六十尺即藍緞之總尺數比青緞多二十七尺也(此和較比例法)設如有人買絹紬二色共價銀一百二十七兩四錢絹一尺價銀七分紬一尺價銀一錢四分其絹之尺數比紬之尺數為五倍問絹紬尺數各若干法借一根為紬之尺數則絹之尺數為五根以紬價一錢四分(作一十四分)乗一根得一十四根為紬共價以絹價七分乗五根得三十五根為絹共價兩數相加共得四十九根是為四十九根與一百二十七兩四錢相等四十九根既與一百二十七兩四錢相等則十四根必與三十六兩四錢相等前既以十四根為紬共價則與十四根相等之三十六兩四錢即紬之共價以紬每尺價一錢四分除之得二百六十尺與一根相等即紬之尺數五因之得一千三百尺即絹之尺數也(此和較比例法)設如甲有十成銀一百二十四兩丙有三成銀不知數但知將二色銀鎔於一處則俱為五成銀問三成銀幾何法借一根為丙銀數因二色銀鎔於一處俱為五成故以五成與丙銀三成相減餘二成為每兩所少之數以五成與甲銀十成相減餘五成為每兩所多之數乃以每兩所少二成乗丙銀一根得二根以每兩所多五成乗甲銀一百二十四兩得六百二十成是為二根與六百二十成相等(丙之所少即甲之所多其數相等也)以丙銀每兩少二成除之則得一根與三百一十兩相等前既借一根為丙銀數則與一根相等之三百一十兩即丙之銀數也(此和較比例法)設如有銀大小共九百二十四錠重二百七十六兩大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二問大小錠各若干法借一根為大錠數則小錠為九百二十四錠少一根因大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二其分母不同乃以兩分母三與七相乗得二十一為共母數又以小錠分母七互乗大錠分子一得七即變三分之一為二十一分之七為大錠之重數又以大錠分母三互乗小錠分子二得六即變七分之二為二十一分之六為小錠之重數乃以一根與大錠分子七相乗得七根為大錠之重數以九百二十四錠少一根與小錠分子六相乗得五千五百四十四少六根為小錠之重數兩數相加得五千五百四十四多一根為共重數又各重數既皆通為二十一分則共重二百七十六兩亦以分母二十一通之得五千七百九十六是為五千五百四十四多一根與五千七百九十六相等五千五百四十四與五千七百九十六各減五千五百四十四則餘一根與二百五十二相等即大錠之共數與共九百二十四錠相減餘六百七十二為小錠之共數以大錠重三分兩之一與大錠共數相乗得八十四兩為大錠之共重數以小錠重七分兩之二與小錠共數相乗得一百九十二兩為小錠之共重數相加得二百七十六兩以合原數也(此和較比例法)設如衆人雇船每人出銀一兩二錢則少四兩四錢每人出銀一兩五錢則多八兩二錢問人數及船價銀各若干法借一根為人數以一根與一兩五錢相乗得十五根則船價銀為十五根少八兩二錢又以一根與一兩二錢相乗得十二根則船價銀又為十二根多四兩四錢此二數為相等兩邊各加八兩二錢得十五根與十二根多十二兩多錢相等兩邊再各減十二根則餘三根與十二兩六錢相等三根既與十二兩六錢相等則一根必與四兩二錢相等前既借一根為人數則此四兩二錢即為四十二人為雇船之人數以每人出一兩二錢乗之得五十兩零四錢再加四兩四錢得五十四兩八錢為船價以每人出一兩五錢乗之得六十三兩減去八兩二錢亦為五十四兩八錢兩數相同也(此盈朒法)設如有銀買緞二色下號緞每疋價銀八兩上號緞每疋價銀十一兩若俱買下號者則銀多二百九十六兩若俱買上號者則銀多三十二兩問緞數及銀數各若干法借一根為緞數以一根與十一兩相乗得十一根為上號緞共價則共銀為十一根多三十二兩又以一根與八兩相乗得八根為下號緞共價則共銀為八根多二百九十二兩此二數為相等兩邊各減三十二兩得十一根與八根多二百六十四兩相等兩邊再各減八根則餘三根與二百六十四兩相等三根既與二百六十四兩相等則一根必與八十八兩相等前既借一根為緞數則此八十八兩即為八十八疋為緞之總數以每疋八兩乗之得七百零四兩為下號緞共價數加多二百九十六兩得一千兩為共有銀數以每疋十一兩乗之得九百六十八兩為上號緞共價數加多三十二兩亦得一千兩兩數相同也(此盈朒法)設如有井一口不知其深有繩一條不知其長但知取繩六分之一比井深少三尺四寸取繩四分之一比井深適等問井深及繩長各若干法借二十四根為繩長數(兩分母相乗之數)取其四分之一得六根則井深即為六根又取其六分之一得四根則井深又為四根多三尺四寸此二數為相等兩邊各減四根得二根與三尺四寸相等二根既與三尺四寸相等則一根必與一尺七寸相等而二十四根必與四丈零八寸相等即繩之長數也取其六分之一得六尺八寸再加三尺四寸共得一丈零二寸為井深或取其四分之一亦得一丈零二寸兩數相同也(此盈朒法)設如有人買房用本銀三分之二則比房價多五十九兩用本銀五分之二則比房價少四十九兩八錢問本銀房價各若干法借十五根為本銀數(兩分母相乗之數)以用本銀三分之二比房價多五十九兩計之則房價為十根少五十九兩以用本銀五分之二比房價少四十九兩八錢計之則房價又為六根多四十九兩八錢此二數為相等兩邊各加五十九兩得十根與六根多一百零八兩八錢相等兩邊再各減去六根則餘四根與一百零八兩八錢相等四根既與一百零八兩八錢相等則一根必與二十七兩二錢相等而十五根必與四百零八兩相等即本銀數取其三分之二得二百七十二兩減多五十九兩得二百一十三兩為房價數又將本銀取其五分之二得一百六十三兩二錢加少四十九兩八錢亦得二百一十三兩兩數相同也(此盈朒法)設如有銀分給二等人其上等人比下等人多一倍上等人比下等人每人多得四兩今欲與下等人每人三兩則銀多七十三兩每人四兩則銀少二十兩問人數及銀數各若干法借一根為下等人數則上等人數為二根以一根與四兩相乗得四根為下等人所得共銀數以二根與八兩(下等每人)(四兩上等多四兩故每人八兩)相乗得十六根為上等人所得共銀數兩數相加得二十根為上下二等人所得共銀數則原銀數即為二十根少二十兩又以一根與三兩相乗得三根為下等人所得共銀數以二根與七兩相乗得十四根為上等人所得共銀數兩數相加得十七根為上下二等人所得共銀數則原銀數即為十七根多七十三兩此兩數為相等兩邊各加二十兩得二十根與十七根多九十三兩相等兩邊再各減十七根則餘三根與九十三兩相等三根既與九十三兩相等則一根必與三十一兩相等前既借一根為下等人數則此三十一兩即為三十一人為下等人數倍之得六十二人即上等人數以下等三十一人用三兩乗之得九十三兩以上等六十二人用七兩乗之得四百三十四兩兩數相加共得五百二十七兩再加所多七十三兩得六百兩為原銀數若以下等三十一人用四兩乗之得一百二十四兩以上等六十二人用八兩乗之得四百九十六兩兩數相加共得六百二十兩減去所少二十兩亦得六百兩兩數相同也(此盈朒法)設如有人分銀不言人數亦不言銀數但知毎四人分銀十八兩則銀少八兩每三人分銀十一兩則銀多十二兩問人數及銀數各若干法借十二根為人數以四人分銀十八兩計之則每人應得四兩五錢爰以四兩五錢乗十二根得五十四根為共分銀之數而原銀即為五十四根少八兩以三人分銀十一兩計之則每人應得三兩又三分兩之二爰以三兩又三分兩之二乗十二根得四十四根為共分銀之數而原銀又為四十四根多十二兩此兩數為相等兩邊各加八兩得五十四根與四十四根多二十兩相等兩邊各減四十四根得十根與二十兩相等十根既與二十兩相等則十二根必與二十四兩相等前既借十二根為人數則此二十四兩即為二十四人為共人數也以三人為一率十一兩為二率二十四人為三率求得四率八十八兩加多十二兩共一百兩為原銀數或以四人為一率十八兩為二率二十四人為三率求得四率一百零八兩減少八兩亦得一百兩兩數相同也(此雙套盈朒法)設如有一商人販緞不言每疋價銀之數亦不言每疋稅銀之數但知販緞八十疋納稅用緞四疋則多銀二兩販緞三百一十疋納稅用緞十四疋則少銀六兩五錢問每疋價銀及稅銀幾何法借一根為緞一疋之價銀數以納稅用緞四疋多銀二兩計之則緞八十疋之稅銀數為四根少銀二兩以納稅用緞十四疋少銀六兩五錢計之則緞三百一十疋之稅銀數為十四根多銀六兩五錢此兩緞數不相等故難用比例須用互乗法以八十疋與三百一十疋相乗得二萬四千八百疋為共緞數乃以三百一十疋乗四根少銀二兩得一千二百四十根少銀六百二十兩為二萬四千八百疋之稅銀數又以八十疋乗十四根多銀六兩五錢得一千一百二十根多五百二十兩亦為二萬四千八百疋之稅銀數此兩緞數既為相等故乗出之稅銀數亦為相等兩邊各加六百二十兩得一千二百四十根與一千一百二十根多一千一百四十兩相等兩邊再各減一千一百二十根則餘一百二十根與一千一百四十兩相等一百二十根既與一千一百四十兩相等則一根必與九兩五錢相等即緞一疋之價銀數以緞四疋與銀九兩五錢相乗得三十八兩減去多二兩餘三十六兩即緞八十疋之稅銀數以八十疋除三十六兩得四錢五分即緞一疋之稅銀數以四錢五分與緞三百一十疋相乗得一百三十九兩五錢即緞三百一十疋之稅銀數又以緞十四疋與九兩五錢相乗得一百三十三兩再加少六兩五錢亦得一百三十九兩五錢兩數相同也(此雙套盈朒法)設如有銀一千二百零九兩令甲乙二人分之取甲四分之一與乙三分之一相加即與甲銀等問二人各得幾何法借十二根(兩分母相乗數)為甲銀數則乙銀為一千二百零九兩少十二根取甲銀四分之一為三根取乙銀三分之一為四百零三兩少四根相加得四百零三兩少一根是為十二根與四百零三兩少一根相等十二根與少一根各加一根得十三根與四百零三兩相等十三根既與四百零三兩相等則十二根必與三百七十二兩相等即甲銀數於總銀内減甲銀數餘八百三十七兩即乙銀數取甲銀四分之一得九十三兩取乙銀三分之一得二百七十九兩相加得三百七十二兩與甲銀等也(此借衰互徵法)(用方程法算之亦可)設如有銀一千兩令甲乙丙三人分之乙所得之數倍於甲仍多三十兩丙所得之數倍於乙問每人各得若干法借一根為甲銀數則乙為二根多三十兩丙為四根多六十兩三數相併共得七根多九十兩而與一千兩相等九十兩與一千兩各減九十兩餘七根與九百一十兩相等七根既與九百一十兩相等則一根必與一百三十兩相等即甲所得銀數倍之再加三十兩得二百九十兩為乙所得銀數又倍之得五百八十兩為丙所得銀數也(此借衰互徵法用方)(程法算之亦可)設如甲乙丙三人分銀六千兩乙得甲三分之一丙得乙二分之一問三人各得幾何法借一根為甲銀數則乙銀為三分根之一丙銀為六分根之一三數相加得六分根之九(以甲一根為六分則乙為六分根之二丙為六分根)(之一共得六分根之九即一根半)與六千兩相等各以六乗之得九根與三萬六千兩相等九根既與三萬六千兩相等則一根必與四千兩相等即甲銀數三分之得一千三百三十三兩又三分兩之一為乙銀數又二分之得六百六十六兩又三分兩之二為丙銀數也又法借一根為丙銀數則乙銀為二根甲銀為六根相加得九根與六千兩相等九根既與六千兩相等則一根必與六百六十六兩又三分兩之二相等即丙銀數倍之得一千三百三十三兩又三分兩之一為乙銀數三因之得四千兩即甲銀數也(此借衰互徵法)設如有金銀錫銅四色不言重數但知共數五分之二為銅數金銀錫共數七分之四為錫數金銀共數八分之五為銀數金重三千零二十四兩問四色各重若干法借二百八十根為共數(用三分母連乗之數取其)(可以度盡也)取其五分之二得一百一十二根為銅數與二百八十根相減餘一百六十八根為金銀錫之共數取其七分之四得九十六根為錫數與一百六十八根相減餘七十二根為金銀之共數又取其八分之五得四十五根為銀數與七十二根相減餘二十七根為金數是為二十七根與三千零二十四兩相等二十七根既與三千零二十四兩相等則一根必與一百一十二兩相等四十五根必與五千零四十兩相等即銀數九十六根必與一萬零七百五十二兩相等即錫數一百一十二根必與一萬二千五百四十四兩相等即銅數四數相加共得三萬一千三百六十兩以所借共重二百八十根與每一根之一百一十二兩相乗亦得三萬一千三百六十兩為四色之共數也(此借衰互徵法)設如有銀三百五十六兩分與三等人一等五人二等四人三等三人一等所得倍於二等内少二兩二等所得倍於三等又多四兩問三等人每人各得幾何法借一根為三等一人所得銀數則二等一人所得銀數為二根多四兩一等一人所得銀數為四根多六兩以各等共人數因之則三等所得共銀數為三根二等所得共銀數為八根多十六兩一等所得共銀數為二十根多三十兩三數相加共得三十一根多四十六兩為與三百五十六兩相等三十一根多四十六兩與三百五十六兩各減去四十六兩則餘三十一根與三百一十兩相等三十一根既與三百一十兩相等則一根必與十兩相等即三等一人所得銀數倍之加四兩得二十四兩即二等一人所得銀數又倍之減二兩得四十六兩即一等一人所得銀數三等三人共得三十兩二等四人共得九十六兩一等五人共得二百三十兩三數相加共得三百五十六兩以合原數也(此借)(衰互徵法)設如甲丙二人共有米三百八十四石甲納官八分之一丙納官六分之一共納五十四石問二人原米及納官米各若干法借一根為甲納米數則丙納米為五十四石少一根將甲納米一根八因之得八根為甲原米數丙納米五十四石少一根六因之得三百二十四石少六根為丙原米數相加得三百二十四石多二根為甲丙共米數是為三百二十四石多二根與三百八十四石相等三百二十四石與三百八十四石各減去三百二十四石餘二根與六十石相等二根既與六十石相等則一根必與三十石相等即甲所納米數八因之得二百四十石為甲原米數以甲原米數與三百八十四石相減餘一百四十四石為丙原米數六歸之得二十四石即丙所納米數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙二人不言本銀若干但知以乙本銀三分之一與甲本銀相加再加六十兩共得一千兩以甲本銀五分之一與乙本銀相加亦得一千兩問二人本銀各幾何法借十五根(兩分母相乗數)為乙本銀數以乙三分之一與甲本銀相加又加六十兩共得一千兩計之則甲本銀應得九百四十兩少五根取其五分之一則為一百八十八兩少一根以甲本銀五分之一一百八十八兩少一根與乙本銀十五根相加得一百八十八兩多十四根與一千兩相等一邊一百八十八兩一邊一千兩各減去一百八十八兩則得十四根與八百一十二兩相等十四根既與八百一十二兩相等則一根必與五十八兩相等前既借十五根為乙本銀數乃以十五乗之得八百七十兩即乙本銀數取其三分之一得二百九十兩與一千兩相減又減六十兩餘六百五十兩即甲本銀數也(此疊借互徵法用方程法算之)(亦可)設如甲乙二商不言本銀若干但知各得利銀九十兩其甲之本利共銀三倍於乙之本銀乙之本利共銀二倍於甲之本銀問每人本銀幾何法借三根為甲之本銀數加利銀九十兩得三根多九十兩為甲之本利共銀數甲之本利共銀既三倍於乙之本銀則乙之本銀數即為一根多三十兩再加利銀九十兩得一根多一百二十兩為乙之本利共銀數亦為甲之本銀之二倍也乃以甲之本銀三根倍之得六根與乙之一根多一百二十兩相等六根與一根各減去一根則餘五根與一百二十兩相等五根既與一百二十兩相等則三根必與七十二兩相等即甲之本銀數加利銀九十兩得一百六十二兩三歸之得五十四兩為乙之本銀數以乙本銀五十四兩加利銀九十兩共一百四十四兩為甲之本銀之二倍也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲丙二人有銀不言其數但知甲銀加九兩為丙銀之三倍丙銀加七兩為甲銀之二倍問二人各銀若干法借六根(三倍二倍相乗數)為甲銀數加九兩為六根多九兩甲銀加九兩既為丙銀之三倍則以三歸之得二根多三兩為丙銀數加七兩為二根多十兩丙銀加七兩既為甲銀之二倍則以二歸之得一根多五兩仍為甲銀數先借六根與今所得一根多五兩既同為甲銀數則其數必等六根與一根各減一根餘五根與五兩相等五根既與五兩相等則六根必與六兩相等即甲銀數加九兩得一十五兩三歸之得五兩即丙銀數加七兩得一十二兩即甲銀六兩之二倍也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲丙二人有銀不言其數但知將丙銀與甲二兩則甲銀為丙銀之二倍若將甲銀與丙三兩則丙銀為甲銀之三倍問二人各銀若干法借六根(二倍三倍相乗數)為甲原銀數加丙與甲二兩得六根多二兩以丙銀與甲二兩則甲銀為丙銀之二倍計之則以六根多二兩半之得三根多一兩為丙餘銀數丙先以二兩與甲則丙之原銀必為三根多三兩加甲與丙二兩得三根多六兩以甲銀與丙三兩則丙銀為甲銀之三倍計之則以三根多六兩三歸之得一根多二兩為甲餘銀數甲先以三兩與丙則甲之原銀必為一根多五兩夫先借六根與今所得一根多五兩既同為甲原銀數則其數必等六根與一根各減一根餘五根與五兩相等五根既與五兩相等則六根必與六兩相等即甲原銀之數加丙與甲二兩得八兩半之得四兩為丙餘銀之數丙餘銀既為四兩則原銀必為六兩加甲與丙三兩得九兩三歸之得三兩即甲餘銀之數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙二人共銀一千二百四十兩於甲銀内加乙銀四分之一乙銀内加甲銀五分之一其數相等問二人原銀各幾何法借二十根(兩分母相乗數)為甲原銀數則一千二百四十兩少二十根為乙原銀數甲原銀五分之一為四根乙原銀四分之一為三百一十兩少五根將甲原銀五分之一四根與乙原銀一千二百四十兩少二十根相加得一千二百四十兩少十六根(原少二十根加入四根止少十六根)將乙原銀四分之一三百一十兩少五根與甲原銀二十根相加得三百一十兩多十五根(原二十根補乙少五根餘十五根)此二數為相等少十六根與多十五根各加十六根則得一千二百四十兩與三百一十兩多三十一根相等再一千二百四十兩與三百一十兩各減三百一十兩則餘九百三十兩與三十一根相等九百三十兩既與三十一根相等則六百兩必與二十根相等前既借二十根為甲原銀數則此六百兩即甲原銀之數以六百兩與一千二百四十兩相減餘六百四十兩即乙原銀之數若甲銀内加乙原銀四分之一一百六十兩乙銀内加甲原銀五分之一一百二十兩則俱為七百六十兩也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲原有銀五十兩乙原有銀八十兩乙用過之銀比甲用過之銀爲三分之一甲所餘之銀比乙所餘之銀亦爲三分之一問二人用銀及餘銀各若干法借一根爲乙用過銀數則甲用過之銀爲三根而乙所餘之銀爲八十兩少一根甲所餘之銀爲五十兩少三根甲餘銀既比乙餘銀爲三分之一則以甲餘銀五十兩少三根三因之爲一百五十兩少九根是爲乙餘銀八十兩少一根與甲餘銀一百五十兩少九根相等少一根與少九根各加九根得八十兩多八根與一百五十兩相等再八十兩與一百五十兩各減八十兩餘八根與七十兩相等八根既與七十兩相等則一根必與八兩七錢五分相等即乙用過銀數三因之得二十六兩二錢五分即甲用過銀數以甲用過銀數與甲原有銀數相減餘二十三兩七錢五分爲甲所餘銀數三因之得七十一兩二錢五分即乙所餘銀數也(此疊借互徵法用方程法算之)(亦可)設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲銀比乙銀所多之數與丙銀四分之一相等乙銀比丙銀所多之數與甲銀五分之一相等若以乙銀五分之二與丙銀相較則丙銀多一百一十四兩問三人各銀幾何法借五根爲乙銀數則丙銀數爲二根多一百一十四兩於乙銀數五根内減去丙銀數二根多一百一十四兩餘三根少一百一十四兩爲乙銀比丙銀所多之數與甲銀五分之一相等五因之得一十五根少五百七十兩爲甲銀數又於甲銀數一十五根少五百七十兩内減去乙銀數五根餘十根少五百七十兩爲甲銀比乙銀所多之數與丙銀四分之一相等四因之得四十根少二千二百八十兩亦爲丙銀數此四十根少二千二百八十兩與二根多一百一十四兩既同爲丙銀數是爲相等乃於二根多一百一十四兩與四十根少二千二百八十兩各加二千二百八十兩得二根多二千三百九十四兩與四十根相等二根與四十根再各減二根則餘三十八根與二千三百九十四兩相等三十八根既與二千三百九十四兩相等則一根必與六十三兩相等而五根必與三百一十五兩相等即乙銀數丙銀數既爲二根多一百一十四兩乃以六十三兩倍之得一百二十六兩(即二)(根之數亦即乙五分之二之數)加一百一十四兩共得二百四十兩即丙銀數甲銀比乙銀所多之數既爲丙銀四分之一乃以丙銀數四歸之得六十兩與乙銀三百一十五兩相加得三百七十五兩即甲銀數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙丙三人有銀但知甲銀七十兩乙銀三十四兩而丙銀不知數如以丙銀與甲銀相減又以丙銀與乙銀相減其甲銀之餘則三倍於乙問丙銀若干法借一根爲丙銀數則甲丙相減之餘爲七十兩少一根乙丙相減之餘爲三十四兩少一根甲之餘銀既三倍於乙則以乙丙相減之餘三十四兩少一根三因之得一百零二兩少三根是爲七十兩少一根與一百零二兩少三根相等少一根與少三根各加三根得七十兩多二根與一百零二兩相等七十兩與一百零二兩各減七十兩則餘二根與三十二兩相等二根既與三十二兩相等則一根必與十六兩相等即丙銀數與甲銀七十兩相減餘五十四兩與乙銀三十四兩相減餘十八兩是甲餘銀爲乙餘銀之三倍也(此疊借互徵法用方程法算之)(亦可)設如甲乙丙三人各有銀不言數但知將乙銀十兩與甲則甲乙二人之銀相等若將丙銀十四兩與乙則乙丙二人之銀相等若將甲銀十八兩與丙則丙銀比甲銀爲五倍問三人各銀若干法借一根爲甲原銀數則乙之原銀必爲一根多二十兩(以十兩與甲則皆爲一根多十兩其數相)(等)丙之原銀必爲一根多四十八兩(乙之)(原銀既爲一根多二十兩再加十四兩俱爲一根多三十四兩其數相等)又甲之原銀既爲一根以十八兩與丙計之則爲一根少十八兩丙之原銀既爲一根多四十八兩今再加十八兩則爲一根多六十六兩此丙之一根多六十六兩比甲之一根少十八兩既爲五倍則以甲之一根少十八兩五因之得五根少九十兩而與丙之一根多六十六兩爲相等少九十兩與多六十六兩各加九十兩得五根與一根多一百五十六兩相等五根與一根各減一根則餘四根與一百五十六兩相等四根既與一百五十六兩相等則一根必與三十九兩相等即甲原銀之數甲原銀既爲三十九兩則乙原銀必爲五十九兩以十兩與甲則皆得四十九兩乙原銀既爲五十九兩則丙原銀必爲八十七兩以十四兩與乙則皆得七十三兩丙原銀既爲八十七兩甲原銀既爲三十九兩甲以十八兩與丙則丙爲一百零五兩而甲爲二十一兩是丙銀比甲銀爲五倍也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙丙三人有銀但知甲銀二萬五千兩乙得甲丙共銀二分之一丙得甲乙共銀八分之一問乙丙二人各銀幾何法借二根爲丙銀數則甲乙共銀數爲十六根乙銀數爲十六根少二萬五千兩甲丙共銀數爲二根多二萬五千兩半之又得乙銀數爲一根多一萬二千五百兩十六根少二萬五千兩與一根多一萬二千五百兩既同爲乙銀數則爲相等十六根少二萬五千兩與一根多一萬二千五百兩各加二萬五千兩得十六根與一根多三萬七千五百兩相等十六根與一根各減一根則餘十五根與三萬七千五百兩相等十五根既與三萬七千五百兩相等則二根必與五千兩相等即丙銀數與甲銀二萬五千兩相加得三萬兩半之得一萬五千兩即乙銀數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如一商貿易不言本銀若干但知第一次所得利銀比本銀爲四分之一用去銀二十兩第二次所得利銀比第二次本銀爲五分之二用去銀十四兩第三次所得利銀比第三次本銀爲三分之一用去銀十五兩合計所餘利銀共八十兩問原本銀及每次所得利銀各幾何法借十二根爲原本銀數則第一次利銀爲三根本利相加得十五根内減用去銀二十兩得十五根少二十兩爲第二次本銀數取其五分之二得六根少八兩爲第二次利銀數本利相加得二十一根少二十八兩又減用去銀十四兩得二十一根少四十二兩爲第三次本銀數取其三分之一得七根少十四兩爲第三次利銀數以第三次本利相加得二十八根少五十六兩又減用去銀十五兩則爲二十八根少七十一兩而原借十二根與所餘利銀八十兩遂爲十二根多八十兩是爲二十八根少七十一兩與十二根多八十兩相等少七十一兩與多八十兩各加七十一兩得二十八根與十二根多一百五十一兩相等二十八根與十二根各減十二根得十六根與一百五十一兩相等十六根既與一百五十一兩相等則十二根必與一百一十三兩二錢五分相等即原本銀數四歸之得二十八兩三錢一分二釐五毫即第一次所得利銀數本利相加減用去二十兩得一百二十一兩五錢六分二釐五毫即第二次本銀數取其五分之二得四十八兩六錢一 二分五釐即第二次所得利銀數本利一 相加又減用去十四兩得一百五十六兩一錢八分七釐五毫即第三次本銀數三歸之得五十二兩零六分二釐五毫即第三次所得利銀數本利相加又減用去十五兩得一百九十三兩二錢五分即原本銀與三次所餘共利銀相加之數蓋原本銀一百一十三兩二錢五分又加所餘共利銀八十兩即一百九十三兩二錢五分兩數相等也(此疊借互)(徵法)設如有人貿易四次第一次所得利銀比原本銀爲九分之一用去銀比原本銀爲十二分之一第二次所得利銀比原本銀爲六分之一用去銀比原本銀爲九分之四第三次所得利銀比原本銀爲四分之一用去銀比原本銀爲二分之一第四次所得利銀比原本銀爲三分之一用去銀比原本銀爲三分之二合四次利銀已用盡仍用本銀六百兩問本利銀各若干法借三十六根爲本銀數(借三十六者以九與十二)(與六皆係用三可以度盡之數獨四與九不能度盡故借四九相乘之數則各)(分母皆可以度盡也)則第一次利銀爲四根第二次利銀爲六根第三次利銀爲九根第四次利銀爲十二根四數相加共得三十一根爲四次利銀之共數第一次用去爲三根第二次用去爲十六根第三次用去爲十八根第四次用去爲二十四根四數相加共得六十一根爲四次用去銀之共數以四次利銀皆用盡仍用本銀六百兩計之則四次利銀之共數三十一根仍如本銀六百兩乃與四次用去銀之共數六十一根相等也三十一根與六十一根各減去三十一根則餘三十根與六百兩相等三十根既與六百兩相等則一根必與二十兩相等而三十六根必與七百二十兩相等即本銀數三十一根又與六百二十兩相等即利銀數六十一根又與一千二百二十兩相等即用去銀數也(此疊借互徵法)設如甲乙丙丁四人同出銀作生理内甲丙丁三人所出銀不言數但知乙出銀五兩若將甲所出銀二分之一與乙又將乙所出銀五分之一與丙又將丙所出銀七分之一與丁又將丁所出銀九分之一與甲則四人所出之銀皆相等問四人各出銀若干法借二根爲甲出銀數則甲將一根(二分)(之一)與乙乙將一兩(五分之一)與丙是甲爲一根乙爲一根多四兩今以甲與乙相較則數不相等蓋因甲尚當得丁銀九分之一也甲因未得丁銀九分之一故比乙銀少四兩是四兩即丁銀之九分之一也九分之一既爲四兩則三十六兩即爲丁原銀數丁既以四兩與甲則丁所餘止三十二兩以丁三十二兩與乙一根多四兩相較其數又不相等蓋因丁尚當得丙銀七分之一也丁因未得丙銀七分之一故比乙銀差一根少二十八兩(於乙一根多四兩内減去三十二兩即餘一根少二十八兩也)是一根少二十八兩即丙銀之七分之一也七分之一既爲一根少二十八兩則七根少一百九十六兩即爲丙原銀數丙既以一根少二十八兩與丁則丙所餘爲六根少一百六十八兩再加乙所與之一兩則丙得六根少一百六十七兩矣夫四人既按分各與之則乙爲一根多四兩甲餘一根又得丁四兩亦爲一根多四兩丁餘三十二兩又得丙一根少二十八兩亦爲一根多四兩其數皆相等則丙之六根少一百六十七兩亦必與一根多四兩爲相等矣少一百六十七兩與多四兩各加一百六十七兩得六根與一根多一百七十一兩相等六根與一根各減一根則餘五根與一百七十一兩相等五根既與一百七十一兩相等則一根必與三十四兩二錢相等而二根必與六十八兩四錢相等即甲所出銀數又七根必與二百三十九兩四錢相等内減去一百九十六兩(丙原爲七根少一百九十六兩)餘四十三兩四錢爲丙所出銀數乃於丁所出銀内減九分之一(餘三十二兩)加丙銀之七分之一(六兩)(二錢)得三十八兩二錢於丙所出銀内減七分之一(餘三十七兩二錢)加乙銀之五分之一(一兩)亦得銀三十八兩二錢於乙所出銀内減五分之一(餘四兩)加甲銀之二分之一(三十四兩二錢)亦得銀三十八兩二錢於甲所出銀内減二分之一(餘三十四兩二錢)加丁銀之九分之一(四兩)亦得銀三十八兩二錢也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙丙丁戊五人各出銀不言數但知甲乙共銀二百四十兩丙銀爲甲銀三分之一丁銀爲乙銀四分之一戊銀七十二兩與丙丁共數相等問五人各銀若干法借十二根爲甲銀數則乙銀爲二百四十兩少十二根丙銀爲四根丁銀爲六十兩少三根以丙丁二數相加得六十兩多一根而與戊銀七十二兩相等七十二兩與六十兩各減六十兩得十二兩與一根相等十二兩既與一根相等則十二根必與一百四十四兩相等即甲銀數甲乙共銀二百四十兩内減甲銀數餘九十六兩即乙銀數將甲銀數三歸之得四十八兩即丙銀數將乙銀數四歸之得二十四兩即丁銀數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如有銀六百兩令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙共得二百兩丙丁共得二百兩戊己共得二百兩丙所得銀比甲所得銀爲四分之一戊所得銀比丁所得銀爲三分之一乙所得銀比己所得銀爲二分之一問六人各分銀幾何法借十二根爲甲所得銀數則乙所得銀爲二百兩少十二根丙所得銀爲三根丁所得銀爲二百兩少三根戊所得銀爲六十六兩又三分兩之二少一根(戊比丁爲三分之一以三除丁數即是)己所得銀爲四百兩少二十四根(乙比己爲二分之一以二乗乙數即是)以戊己兩數相加得四百六十六兩又三分兩之二少二十五根是爲二百兩與四百六十六兩又三分兩之二少二十五根相等二百兩與四百六十六兩又三分兩之二少二十五根各加二十五根得二百兩多二十五根與四百六十六兩又三分兩之二相等二百兩與四百六十六兩又三分兩之二各減二百兩則餘二十五根與二百六十六兩又三分兩之二相等二十五根既與二百六十六兩又三分兩之二相等則一根必與十兩又三分兩之二相等三根必與三十二兩相等即丙所得銀數四因之得一百二十八兩爲甲所得銀數甲乙共得二百兩内減甲所得銀數餘七十二兩爲乙所得銀數丙丁共得二百兩内減丙所得銀數餘一百六十八兩爲丁所得銀數乙所得銀七十二兩二因之得一百四十四兩爲己所得銀數丁所得銀一百六十八兩三歸之得五十六兩爲戊所得銀數也(此疊借互徵法用方程法)(算之亦可)設如有駝一羣七十二個馬一羣不知數牛一羣與駝馬相併之數等羊一羣與駝馬相乗之數等又爲牛數之六十倍問馬牛羊各幾何法借一根爲馬數則一根多七十二爲牛數以駝數七十二與馬數一根相乗得七十二根爲羊數再以牛數一根多七十二與六十相乗得六十根多四千三百二十亦爲羊數此兩數既同爲羊數則爲相等七十二根與六十根各減六十根則餘十二根與四千三百二十相等十二根既與四千三百二十相等則一根必與三百六十相等即馬一羣之數與駝數相加得四百三十二即牛一羣之數再與六十相乗得二萬五千九百二十即羊一羣之數以駝七十二與馬三百六十相乘亦得二萬五千九百二十爲相等也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如有大小二石不知重數有銅條一根重十二兩均分十二分以繩繫於第五分之上一頭五分一頭七分將大石掛於銅條之端離提繫五分而以小石作砣稱之離提繫六分始平又將小石掛於銅條之端離提繫五分而以大石作砣稱之離提繫四分始平問二石各重若干法先以五分加一倍與十二分相減餘二分折半得一分與五分相加爲六分乃以五分爲一率六分爲二率餘二分之重二兩爲三率求得四率二兩四錢即五分之端加二兩四錢始與七分相平也今大石離提繫五分小石離提繫六分而平是大石重六分小石重五分而大石多二兩四錢則小石爲大石六分之五而少二兩也(銅條五分之端應加二兩四錢而平)(今大石在五分之一頭是大石多二兩四錢也將二兩四錢以大石之六分除)(之每分得四錢是大石比小石每分多四錢以小石五分計之則大石比小石)(多二兩故小石爲大石之六分之五而少二兩也)又小石離提繫五分大石離提繫四分而平是小石重四分大石重五分而小石多二兩四錢則小石爲大石五分之四而多二兩四錢也(銅條五分之端應加二兩四錢而平今小石在五分之一頭是)(小石多二兩四錢也將二兩四錢以小石之四分除之每分得六錢是小石比)(大石每分多六錢以小石四分計之則小石比大石多二兩四錢故小石爲大)(石之五分之四而多二兩四錢也)乃借三十根(六分五分相乗)(之數)爲大石之重數以小石爲大石六分之五而少二兩計之則小石之重爲二十五根少二兩以小石爲大石五分之四而多二兩四錢計之則小石之重又爲二十四根多二兩四錢此兩數爲相等兩邊各加二兩得二十五根與二十四根多四兩四錢相等兩邊再各減去二十四根餘一根與四兩四錢相等一根既與四兩四錢相等則三十根必與一百三十二兩相等即大石之重數六歸之得二十二兩五因之得一百一十兩減去二兩得一百零八兩即小石之重數或以大石之重數五歸之得二十六兩四錢四因之得一百零五兩六錢加二兩四錢亦得一百零八兩爲小石之重數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如有銀買馬牛二色馬四匹牛八頭共價五十六兩又馬三匹牛五頭共價三十八兩問馬牛各價若干法借一根爲牛一頭之價則前牛八頭之共價爲八根前馬四匹之共價爲五十六兩少八根而後牛五頭之共價爲五根乃以前馬四匹爲一率共價五十六兩少八根爲二率後馬三匹爲三率求得四率四十二兩少六根爲後馬三匹之共價内加後牛五頭之共價五根得四十二兩少一根爲後馬三匹牛五頭之共價與後共價三十八兩相等四十二兩少一根與三十八兩各加一根得四十二兩與三十八兩多一根相等四十二兩與三十八兩多一根再各減去三十八兩則餘四兩與一根相等即牛一頭之價八因之得三十二兩爲前牛八頭之共價於前共價五十六兩内減之餘二十四兩爲前馬四匹之共價四歸之得六兩爲馬一匹之價又以後馬三匹因之得十八兩爲後馬三匹之共價於後共價三十八兩内減之餘二十兩爲後牛五頭之共價五歸之亦得四兩爲牛一頭之價也(此二色和數方程法)設如有錢買桃梨二色桃四個比梨八個少錢十二文桃九個比梨六個多錢二十一文問桃梨多價若干法借一根爲桃一個之價則前桃四個之共價爲四根前梨八個之共價爲十二文多四根而後桃九個之共價爲九根乃以前梨八個爲一率共價十二文多四根爲二率後梨六個爲三率求得四率九文多三根爲後梨六個之共價加後桃比梨多錢二十一文得三十文多三根與後桃九個之共價九根相等(九桃比六梨多二十一文故以二十一文與六梨之價相加即與九桃之價等)(也)三十文多三根與九根各減去三根則餘三十文與六根相等三十文既與六根相等則五文必與一根相等即桃一個之價四因之得二十文爲前桃四個之共價加入桃比梨少錢十二文得三十二文爲前梨八個之共價八歸之得四文爲梨一個之價又以後梨六個因之得二十四文爲後梨六個之共價加入桃比梨多錢二十一文得四十五文爲後桃九個之共價九歸之亦得五文爲桃一個之價也(此二色較數方程法)設如有銀買緞紗紬三色初次買緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩二次買緞一疋紗四疋紬七疋共價六十兩三次買緞三疋紗五疋紬九疋共價九十兩問緞紗紬每疋各價若干法借一根爲紬每疋之價則初次紬之共價爲八根二次紬之共價爲七根三次紬之共價爲九根而初次緞之共價爲八十四兩少八根仍少紗六疋乃以初次緞二疋爲一率緞價八十四兩少八根仍少紗六疋爲二率二次緞一疋爲三率求得四率四十二兩少四根仍少紗三疋爲二次緞價加入二次紬價七根紗四疋得四十二兩多三根仍多紗一疋爲二次緞一疋紗四疋紬七疋之共價與二次共價六十兩相等四十二兩多三根多紗一疋與六十兩各減去四十二兩餘三根多紗一疋與十八兩相等三根多紗一疋與十八兩再各減去三根餘紗一疋與十八兩少三根相等即紗一疋之價爲十八兩少三根也又以二次緞一疋爲一率緞價四十二兩少四根仍少紗三疋爲二率三次緞三疋爲三率求得四率一百二十六兩少十二根仍少紗九疋爲三次緞價加入三次紬價九根紗五疋得一百二十六兩少三根仍少紗四疋爲三次緞三疋紗五疋紬九疋之共價與三次共價九十兩相等一百二十六兩少三根少紗四疋與九十兩各加紗四疋得一百二十六兩少三根與九十兩多紗四疋相等一百二十六兩少三根與九十兩多紗四疋再各減去九十兩餘三十六兩少三根與紗四疋相等即紗四疋之價爲三十六兩少三根也前所得紗一疋之價爲十八兩少三根今又得紗四疋之價爲三十六兩少三根此二分雖同而疋數不一故又以紗一疋爲一率前所得之紗一疋之價十八兩少三根爲二率今紗四疋爲三率求得四率七十二兩少十二根爲紗四疋之價乃與後所得紗四疋之價三十六兩少三根相等三十六兩少三根與七十二兩少十二根各加十二根得三十六兩多九根與七十二兩相等三十六兩多九根與七十二兩再各減去三十六兩餘九根與三十六兩相等九根既與三十六兩相等則一根必與四兩相等即紬一疋之價也紗一疋之價既爲十八兩少三根則於十八兩内減去三根之共數十二兩餘六兩即紗一疋之價初次紗六疋以紗價六兩乘之得三十六兩初次紬八疋以紬價四兩乘之得三十二兩兩數相加得六十八兩與初次共銀八十四兩相減餘十六兩爲緞二疋之價二歸之得八兩即緞一疋之價也其二次緞之共價爲八兩紗之共價爲二十四兩紬之共價爲二十八兩相加共得六十兩三次緞之共價爲二十四兩紗之共價爲三十兩紬之共價爲三十六兩相加共得九十兩皆合原數也(此三色和數方程法)設如甲乙丙三人各有銀買銅鐵錫三色甲買銅二斤鐵二斤錫一斤共銀九錢乙買銅三斤比鐵六斤錫二斤之價多二錢丙買銅二斤鐵四斤與錫四斤之價相等問銅鐵錫每斤各價若干法借一根爲錫每斤之價則甲錫之價即爲一根乙錫之價爲二根丙錫之價爲四根而甲銅之共價爲九錢少一根仍少鐵二斤乃以甲銅二斤爲一率銅價九錢少一根仍少鐵二斤爲二率乙銅三斤爲三率求得四率一兩三錢五分少一根半仍少鐵三斤爲乙銅三斤之價内減比錫二斤鐵六斤所多之二錢餘一兩一錢五分少一根半仍少鐵三斤與乙錫二斤之共價二根多鐵六斤相等一兩一錢五分少一根半少鐵三斤與二根多鐵六斤各加鐵三斤得一兩一錢五分少一根半與二根多鐵九斤相等一兩一錢五分少一根半與二根多鐵九斤再各減去二根餘一兩一錢五分少三根半與鐵九斤相等即鐵九斤之價爲一兩一錢五分少三根半也又以甲銅二斤之共價九錢少一根仍少鐵二斤即爲丙銅二斤之共價(丙銅與甲銅俱爲二斤故其共價相等省一四率也)加鐵四斤得九錢少一根多鐵二斤與丙錫四斤之共價四根相等九錢少一根多鐵二斤與四根各加一根得九錢多鐵二斤與五根相等九錢多鐵二斤與五根再各減去九錢餘鐵二斤與五根少九錢相等即鐵二斤之價爲五根少九錢也前所得鐵九斤之價爲一兩一錢五分少三根半今又得鐵二斤之價爲五根少九錢此二分雖同而斤數不一故又以鐵二斤爲一率今所得之鐵二斤之價五根少九錢爲二率前所得之鐵九斤爲三率求得四率二十二根半少四兩零五分爲鐵九斤之價乃與前所得鐵九斤之價一兩一錢五分少三根半相等二十二根半少四兩零五分與一兩一錢五分少三根半各加四兩零五分得二十二根半與五兩二錢少三根半相等二十二根半與五兩二錢少三根半再各加三根半得二十六根與五兩二錢相等二十六根既與五兩二錢相等則一根必與二錢相等即錫每斤之價也鐵二斤之價既爲五根少九錢則以五根之共數一兩内減去九錢餘一錢爲鐵二斤之共價半之得五分即鐵每斤之價於甲共銀九錢内減去鐵二斤之價一錢又減去錫一斤之價二錢餘六錢爲銅二斤之共價半之得三錢爲銅每斤之價也其乙銅三斤之共價爲九錢乙鐵六斤之共價爲三錢乙錫二斤之共價爲四錢是銅三斤比錫二斤鐵六斤之價多二錢也丙銅二斤之共價爲六錢丙鐵四斤之共價爲二錢丙錫四斤之共價爲八錢是銅二斤鐵四斤與錫四斤之價等也(此三色和較兼用方程法)御製數理精藴下編卷三十四
## 下編卷三十五
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十五末部五借根方比例(面類)面類設如大小兩正方面積共二百一十八尺其大方面積比小方面積多一百二十尺問大小方面積各幾何法借一根為小方面毎邊之數自乘得一平方為小方面積則大方面積為一平方多一百二十尺兩數相加得二平方多一百二十尺與共積二百一十八尺相等一百二十尺與二百一十八尺各減去一百二十尺餘二平方與九十八尺相等二平方旣與九十八尺相等則一平方必與四十九尺相等卽小方面積加一百二十尺得一百六十九尺卽大方面積也(此卽減法因面類之首故設此最易者焉)設如甲乙二長方面積共三百尺甲長八尺乙長二丈四尺其甲闊比乙闊為二倍問二長方闊數積數各幾何法借一根為乙之闊數則甲之闊為二根以一根與一丈四尺相乘得十四根為乙之面積以二根與八尺相乘得十六根為甲之面積相加得三十根與三百尺相等三十根旣與三百尺相等則一根必與十尺相等卽乙之闊數與長一丈四尺相乘得一百四十尺為乙之面積於共積三百尺内減之餘一百六十尺為甲之面積或倍乙之闊十尺得二十尺為甲之闊與長八尺相乘亦得一百六十尺為甲之面積也(此歸除法)設如有甲乙丙三長方甲方闊十尺不知長乙方闊十六尺長與甲等丙方闊四尺面積與甲之長相等又甲乙二方之共面積與丙方之長數相併為三千一百五十尺問三方各長若干法借一根為甲方之長數以闊十尺乘之得十根為甲方之面積乙方之長與甲等亦為一根以闊十六尺乘之得十六根為乙方之面積丙方之面積與甲之長相等亦為一根以闊四尺除之得四分根之一為丙方之長數以甲方之面積十根乙方之面積十六根丙方之長數四分根之一相併共得二十六根又四分根之一與三千一百五十尺相等二十六根又四分根之一旣與三千一百五十尺相等則一根必與一百二十尺相等卽甲方之長數亦卽乙方之長數亦卽丙方之面積以甲方闊十尺與長一百二十尺相乘得一千二百尺卽甲方之面積以乙方闊十六尺與長一百二十尺相乘得一千九百二十尺卽乙方之面積以丙方闊四尺除面積一百二十尺得三十尺卽丙方之長數也(此歸除法)設如有長方形其長闊和五百零四丈面積為闊自乘之七倍問長闊各幾何法借一根為闊數則長數為五百零四丈少一根以一根與五百零四丈少一根相乘得五百零四根少一平方為長方面積又以一根自乘得一平方七因之得七平方亦為長方面積而與五百零四根少一平方相等兩邊各加一平方得八平方與五百零四根相等八平方與五百零四根各降一位則為八根與五百零四丈相等八根旣與五百零四丈相等則一根必與六十三丈相等卽長方之闊數與五百零四丈相減餘四百四十一丈卽長數也以闊六十三丈自乘得三千九百六十九丈以闊六十三丈與長四百四十一丈相乘得二萬七千七百八十三丈為闊自乘之七倍也(此比例法)設如有樓一座不知髙數正方池一面不知邊數但云以六丈與樓之髙數相乘與池之邊數等以一百零八丈與樓之髙數相乘與池之面積等問樓髙及池邊數各幾何法借一根為樓之髙數以一根與六丈相乘得六根為池之邊數自乘得三十六平方為池之面積又以一根與一百零八丈相乘得一百零八根亦為池之面積是為三十六平方與一百零八根相等三十六平方與一百零八根各降一位則為三十六根與一百零八丈相等三十六根旣與一百零八丈相等則一根必與三丈相等卽樓之髙數以六丈乘之得一十八丈為池之邊數自乘得三百二十四丈為池之面積又以一百零八丈與樓髙三丈相乘亦得三百二十四丈與池之面積相等也(此面積相除法)設如甲乙二人有銀不言兩數但知其銀之比例同於八與五若以二人銀相併則與二人銀相乘之數等問二人銀各若干法借八根為甲銀數五根為乙銀數相乘得四十平方又以八根與五根相加得一十三根是為四十平方與十三根相等四十平方與十三根各降一位則為四十根與十三兩相等四十根旣與十三兩相等則八根必與二兩六錢相等卽甲銀數五根必與一兩六錢二分五釐相等卽乙銀數兩數相加得四兩二錢二分五釐若以兩數相乘亦得四兩二錢二分五釐也(此比例法)設如有大小二正方池小池毎邊為大池毎邊之三分之一二池共邊數為二池共面積之五十分之一問二池邊數面積各幾何法借一根為小池毎邊之數則大池毎池之數為三根兩邊數相加得四根又以一根自乘得一平方為小池面積以三根自乘得九平方為大池面積兩面積相加得十平方為二池共邊之五十倍乃以共邊四根以五十乘之得二百根是為十平方與二百根相等十平方與二百根各降一位則為十根與二百丈相等十根旣與二百丈相等則一根必與二十丈相等卽小池毎邊之數三因之得六十丈卽大池毎邊之數也兩邊數相加得八十丈又以小池毎邊二十丈自乘得四百丈為小池面積以大池毎邊六十丈自乘得三千六百丈為大池面積兩面積相加得四千丈為共邊之五十倍也(此二正方邊線面積比例法)設如有甲乙丙三正方乙方毎邊為甲方毎邊之四分之一丙方毎邊為甲方毎邊之八分之一而乙丙兩方之共面積為甲方毎邊之十倍問三方邊數面積各幾何法借八根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為二根丙方毎邊之數為一根以二根自乘得四平方為乙方面積以一根自乘得一平方為丙方面積兩面積相加得五平方為甲方毎邊之十倍乃以甲方毎邊八根十因之得八十根是為五平方與八十根相等五平方與八十根各降一位則為五根與八十尺相等五根旣與八十尺相等則一根必與十六尺相等卽丙方毎邊之數倍之得三十二尺卽乙方毎邊之數八因之得一百二十八尺卽甲方毎邊之數也以乙方每邊三十二尺自乘得一千零二十四尺為乙方面積以丙方毎邊十六尺自乘得二百五十六尺為丙方面積兩面積相加得一千二百八十尺為甲方毎邊之十倍也(此三正方邊線面積比例法)設如有甲乙二正方甲方為乙方毎邊之三倍以甲方邊四分之一與乙方面積相乘則與甲方面積等問二方邊數面積各幾何法借十二根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為四根以十二根自乘得一百四十四平方為甲方面積以四根自乘得一十六平方為乙方面積取甲方邊四分之一三根與乙方面積一十六平方相乘得四十八立方是為四十八立方與一百四十四平方相等四十八立方與一百四十四平方各降二位則為四十八根與一百四十四尺相等四十八根旣與一百四十四尺相等則十二根必與三十六尺相等卽甲方毎邊之數三歸之得十二尺卽乙方毎邊之數也以三十六尺自乘得一千二百九十六尺卽甲方之面積以十二尺自乘得一百四十四尺卽乙方之面積以甲方毎邊四分之一九尺與乙方面積相乘得一千二百九十六尺與甲方面積相等也(此二正方邊線面積比例法)設如有大小二正方大方邊與小方邊之比例同於五與三大方面積比小方面積多二千三百零四丈問大小二方邊各幾何法借三根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為五根以三根自乘得九平方為小方之面積以五根自乘得二十五平方為大方之面積二面積相減餘一十六平方與二千三百零四丈相等一十六平方旣與二千三百零四丈相等則一平方必與一百四十四丈相等開平方得一十二丈為一根之數三因之得三十六丈卽小方毎邊之數五因之得六十丈卽大方毎邊之數以三十六丈自乘得一千二百九十六丈為小方面積以六十丈自乘得三千六百丈為大方面積兩面積相減餘二千三百零四丈以合原數也(此二正方比例開平方法)設如有甲乙二正方甲方毎邊為乙方毎邊之三倍又有丙一長方其長與甲方之毎邊等其闊與乙方之毎邊等三方面積共二萬零八百丈問三方邊數面積各若干法借一根為乙方毎邊之數則甲方毎邊之數為三根以一根自乘得一平方為乙方之面積以三根自乘得九平方為甲方之面積以一根與三根相乘得三平方為丙方之面積三面積相加得一十三平方與二萬零八百丈相等十三平方旣與二萬零八百丈相等則一平方必與一千六百丈相等卽乙方之面積開平方得四十丈為一根之數卽乙方毎邊之數三因之得一百二十丈卽甲方毎邊之數以一百二十丈自乘得一萬四千四百丈卽甲方之面積以四十丈與一百二十丈相乘得四千八百丈卽丙方之面積三面積相併共得二萬零八百丈以合原數也(此二正方比例開平)(方法)設如有兵二萬九千四百八十四名欲排作三軍俱為正方第二軍每邊比第一軍每邊為三倍第三軍每邊比第二軍每邊亦為三倍問三軍兵數各若干法借一根為第一軍每邊之數則第二軍每邊之數為三根第三軍毎邊之數為九根以一根自乘得一平方為第一軍之總數以三根自乘得九平方為第二軍之總數以九根自乘得八十一平方為第三軍之總數三總數相加得九十一平方與二萬九千四百八十四相等九十一平方旣與二萬九千四百八十四相等則一平方必與三百二十四相等卽第一軍之總數開平方得十八為一根之數卽第一軍每邊之數也以第一軍毎邊之數用三乘之得五十四卽第二軍毎邊之數以第一軍之總數用九乘之得二千九百一十六卽第二軍之總數又以第一軍毎邊之數用九乘之得一百六十二卽第三軍每邊之數以第一軍之總數用八十一乘之得二萬六千二百四十四卽第三軍之總數三總數相加共二萬九千四百八十四以合原數也(此三正方比例開平方法)設如一正方一長方俱不知其邊數但知長方之面積為八萬一千尺其長為正方邊之十五分之二其闊為正方邊之二十五分之三問二方邊各若干法借一根為正方每邊之數則長方之長為十五分根之二長方之闊為二十五分根之三以正方邊一根自乘得一平方為正方之面積以長方之長闊相乘得三百七十五分平方之六(以兩分母十五)(與二十五相乘得三百七十五以兩分子二與三相乘得六故為三百七十五)(之六)為長方面積是為三百七十五分平方之六與八萬一千尺相等乃以六分為一率八萬一千尺為二率三百七十五分為三率求得四率五百零六萬二千五百尺與一平方相等(葢三百七十五分平方之)(六者將一平方分為三百七十五分而得其六分也六分旣為八萬一千尺則)(三百七十五分必為五百零六萬二千五百尺也)開平方得二千二百五十尺為一根之數卽正方每邊之數其十五分之二為三百尺卽長方之長其二十五分之三為二百七十尺卽長方之闊相乘得八萬一千尺以合原數也(此帶分比例開平方法)設如有大小二正方大方比小方毎邊多六尺面積多一千七百一十六尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方每邊之數則大方每邊之數為一根多六尺以一根自乘得一平方為小方之面積以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為大方之面積大方旣比小方面積多一千七百一十六尺則以小方之面積一平方加一千七百一十六尺與大方之面積一平方多十二根多三十六尺相等兩邊各減去一平方又各減三十六尺得十二根與一千六百八十尺相等十二根旣與一千六百八十尺相等則一根必與一百四十尺相等卽小方毎邊之數加六尺得一百四十六尺卽大方每邊之數以一百四十尺自乘得一萬九千六百尺卽小方之面積以一百四十六尺自乘得二萬一千三百一十六尺卽大方之面積兩面積相減餘一千七百一十六尺以合原數也(此二正方)(有邊較積較求邊法)設如有大小二正方大方比小方每邊多二十四尺面積共七千二百五十尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一根多二十四尺以一根自乘得一平方為小方之面積以一根多二十四尺自乘得一平方多四十八根又多五百七十六尺為大方之面積兩面積相加得二平方多四十八根又多五百七十六尺與七千二百五十尺相等兩邊各減五百七十六尺得二平方多四十八根與六千六百七十四尺相等二平方多四十八根旣與六千六百七十四尺相等則一平方多二十四根必與三千三百三十七尺相等乃以三千三百三十七尺為長方積以二十四根作二十四尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊四十七尺為一根之數卽小方每邊之數加二十四尺得七十一尺卽大方每邊之數以四十七尺自乘得二千二百零九尺卽小方之面積以七十一尺自乘得五千零四十一尺卽大方之面積兩面積相加共七千二百五十尺以合原數也(此二正方有邊較積)(和求邊法)設如有大小二正方邊數共三十六尺面積共六百六十六尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方每邊之數為三十六尺少一根以一根自乘得一平方為小方之面積以三十六尺少一根自乘得一千二百九十六尺少七十二根多一平方為大方之面積兩面積相加得一千二百九十六尺少七十二根多二平方與六百六十六尺相等兩邊各加七十二根得一千二百九十六尺多二平方與六百六十六尺多七十二根相等兩邊各減六百六十六尺得六百三十尺多二平方與七十二根相等六百三十尺多二平方旣與七十二根相等則三百一十五尺多一平方必與三十六根相等乃以三百一十五尺為長方積以三十六根作三十六尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊一十五尺為一根之數卽小方每邊之數與共邊三十六尺相減餘二十一尺卽大方毎邊之數以小方每邊一十五尺自乘得二百二十五尺卽小方之面積以大方每邊二十一尺自乘得四百四十一尺卽大方之面積兩面積相加共六百六十六尺以合原數也(此二正方有邊和積和求邊法)設如有大小二正方邊數共一百一十尺大方比小方面積為五倍少四尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一百一十尺少一根以一根自乘得一平方為小方之面積以一百一十尺少一根自乘得一萬二千一百尺少二百二十根多一平方為大方之面積大方旣比小方面積為五倍少四尺則將小方加五倍將大方加四尺是為五平方與一萬二千一百零四尺少二百二十根多一平方相等兩邊各減一平方得四平方與一萬二千一百零四尺少二百二十根相等四平方旣與一萬二千一百零四尺少二百二十根相等則一平方必與三千零二十六尺少五十五根相等乃以三千零二十六尺為長方積以五十五根作五十五尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊三十四尺為一根之數卽小方每邊之數與共邊一百一十尺相減餘七十六尺卽大方毎邊之數以三十四尺自乘得一千一百五十六尺卽小方之面積以七十六尺自乘得五千七百七十六尺卽大方之面積再加四尺得五千七百八十尺為小方面積一千一百五十六尺之五倍也(此亦二正方有邊和積較法但積較)(有倍分耳)設如有一長方又有大小二正方三面積共四百四十一丈大正方邊與長方之長等小正方邊與長方之闊等但知小正方邊為九丈問大正方邊若干法借一根為大方毎邊之數自乘得一平方為大方之面積以九丈自乘得八十一丈為小方之面積以九丈與一根相乘得九根為長方之面積三面積相加得一平方多九根又多八十一丈與四百四十一丈相等兩邊各減八十一丈得一平方多九根與三百六十丈相等乃以三百六十丈為長方積以九根作九丈為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十五丈為一根之數卽大方毎邊之數以十五丈自乘得二百二十五丈卽大方之面積以十五丈與九丈相乘得一百三十五丈卽長方之面積三面積相併共得四百四十一丈以合原數也(此帶縱較數開平方法)設如有一長方又有大小二正方三面積共四百五十七丈長方之長與大正方邊等長方之闊與小正方邊等長闊共二十四丈問長闊各幾何法借一根為長方之闊則長方之長為二十四丈少一根以一根自乘得一平方為小正方之面積以二十四丈少一根自乘得五百七十六丈少四十八根多一平方為大正方之面積以一根與二十四丈少一根相乘得二十四根少一平方為長方之面積三面積相加得一平方多五百七十六丈少二十四根與四百五十七丈相等兩邊各加二十四根得一平方多五百七十六丈與二十四根多四百五十七丈相等兩邊各減四百五十七丈得一平方多一百一十九丈與二十四根相等乃以一百一十九丈為長方積以二十四根作二十四丈為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊七丈為一根之數卽長方之闊與二十四丈相減餘一十七丈卽長方之長以七丈自乘得四十九丈卽小正方之面積以一十七丈自乘得二百八十九丈卽大正方之面積以七丈與一十七丈相乘得一百一十九丈卽長方之面積三面積相併共得四百五十七丈以合原數也(此帶縱和數開平方法)設如有一長方其面積八萬三千二百三十二丈又有一正方其毎邊與長方之闊等若以正方面積自乘則與兩方之共面積等問二方邊數各若干法借一根為正方之面積自乘得一平方為正方面積自乘之數又以一根與八萬三千二百三十二丈相加得一根多八萬三千二百三十二丈與一平方相等乃以八萬三千二百三十二丈為長方積以一根作一丈為長闊較用帶縱較數開平方法算之得長二百八十九丈為一根之數卽正方之面積亦卽長方之長開平方得一十七丈卽正方之邊亦卽長方之闊以正方面積二百八十九丈與長方面積八萬三千二百三十二丈相併共得八萬三千五百二十一丈又以正方面積二百八十九丈自乘亦得八萬三千五百二十一丈是與兩方之共面積相等也(此帶縱較數開平方法)設如有銀買駝馬共六十一匹駝毎匹之價與共駝數等馬毎匹之價與共馬數等今賣馬一匹之價與共駝數等賣駝一匹之價為共馬數之二倍共得利銀七百一十九兩問駝數馬數及毎匹價各若干法借一根為共馬數則六十一匹少一根為共駝數以共馬數一根自乘得一平方為買馬之共價以共駝數六十一匹少一根自乘得三千七百二十一兩少一百二十二根多一平方為買駝之共價兩共價相加得三千七百二十一兩少一百二十二根多二平方為買駝馬之總銀數又以共馬數一根與共駝數六十一匹少一根相乘得六十一根少一平方為賣馬之共銀數以共駝數六十一匹少一根與二倍共馬數二根相乘得一百二十二根少二平方為賣駝之共銀數兩共銀數相加得一百八十三根少三平方為賣駝馬之總銀數内減買駝馬總銀數三千七百二十一兩少一百二十二根多一平方餘三百零五根少五平方又少三千七百二十一兩與利銀七百一十九兩相等兩邊各加三千七百二十一兩得三百零五根少五平方與四千四百四十兩相等三百零五根少五平方旣與四千四百四十兩相等則六十一根少一平方必與八百八十八兩相等乃以八百八十八兩為長方積以六十一根作六十一為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十四為一根之數卽共馬數亦卽馬毎匹之價為二十四兩也以二十四匹與六十一匹相減餘三十七匹卽共駝數亦卽駝毎匹之價為三十七兩也以二十四匹與二十四兩相乘得五百七十六兩為買馬之共銀數以三十七匹與三十七兩相乘得一千三百六十九兩為買駝之共銀數相加得一千九百四十五兩卽買駝馬之總銀數以二十四匹與三十七兩相乘得八百八十八兩為賣馬之共銀數以三十七匹與四十八兩相乘得一千七百七十六兩為賣駝之共銀數相加得二千六百六十四兩卽賣駝馬之總銀數比買駝馬之總銀數多七百一十九兩為利銀數也(此帶縱和數開平方法)設如有木匠瓦匠共三十名又有匠頭不知名數但知毎匠頭一人得銀三十六兩其木匠一人之銀數與瓦匠之人數等瓦匠一人之銀數與木匠之人數等而匠頭之人數與木匠瓦匠相差之數等匠頭之共銀數與木匠之共銀數等問匠頭與木匠瓦匠之人數及毎人所得之銀數各幾何法借一根為木匠之人數則瓦匠之人數為三十少一根以一根與三十少一根相乘得三十根少一平方為木匠之共銀數亦為瓦匠之共銀數又以木匠之人數一根與瓦匠之人數三十少一根相減得三十少二根為匠頭之人數與毎人三十六兩相乘得一千零八十兩少七十二根為匠頭之總銀數與木匠之共銀數三十根少一平方相等兩邊各加七十二根得一百零二根少一平方與一千零八十兩相等乃以一千零八十兩為長方積以一百零二根作一百零二為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊一十二為一根之數卽木匠之人數以一十二人與三十人相減餘一十八人卽瓦匠之人數以十二與十八相乘得二百一十六兩卽木匠之共銀數亦卽瓦匠之共銀數以十二與十八相減餘六卽匠頭之人數與三十六兩相乘亦得二十一十六兩卽匠頭之共銀數與木匠之共銀數等也(此帶)(縱和數開平方法)設如有馬騾䭾物不言馬騾共數亦不言馬騾各數但知馬比騾多十匹馬共䭾一萬二千斤騾亦共䭾一萬二千斤而騾一匹所䭾之數比馬一匹所䭾之數多四十斤問馬騾數及所䭾數各若干法借一根為騾數則馬數為一根多十匹以一根除一萬二千斤得一根之一萬二千斤為騾一匹所䭾之數以一根多十匹除一萬二千斤得一根多十匹之一萬二千斤為馬一匹所䭾之數因兩分母不同乃用互乘法以齊其分將馬分母一根多十匹與騾分子一萬二千斤相乘得一萬二千根多一十二萬斤以騾分母一根與馬分子一萬二千斤相乘得一萬二千根以互乘所得兩分子相減餘一十二萬斤為騾比馬多䭾之數又以馬分母一根多十匹與騾分母一根相乘得一平方多十根又以四十斤乘之得四十平方多四百根亦為騾比馬多䭾之數是為四十平方多四百根與一十二萬斤相等四十平方多四百根旣與一十二萬斤相等則一平方多十根必與三千斤相等乃以三千為長方積以十根作一十為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊五十為一根之數卽騾數加十匹得六十匹卽馬數以五十匹除一萬二千斤得二百四十斤卽騾一匹所䭾之數以六十匹除一萬二千斤得二百斤卽馬一匹所䭾之數也(此帶縱較數開平方法)設如有數一十萬欲分為大小兩分與全分為相連比例三率問大小兩分各幾何法借一根為大分則小分為十萬少一根是全分十萬為首率而一根為中率十萬少一根為末率矣乃以首率十萬與末率十萬少一根相乘得一百億少十萬根而與中率一根自乘之一平方相等乃以一百億為長方積十萬根作十萬為長闊數用帶縱較數開平方法算之得闊六萬一千八百零三為一根之數卽大分與全分十萬相減餘三萬八千一百九十七卽小分也葢十萬與六萬一千八百零三之比卽同於六萬一千八百零三與三萬八千一百九十七之比而為相連比例之三率也(此即求圜)(内容十邊法)設如有股二十尺勾弦較十尺問勾弦各幾何法借一根為勾數則一根多一十尺為弦數以一根自乘得一平方為勾自乘之數以一根多一十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺為弦自乘之數兩自乘之數相減得二十根多一百尺為股自乘之數而與股二十尺自乘之四百尺為相等兩邊各減一百尺得二十根與三百尺相等二十根旣與三百尺相等則一根必與一十五尺相等卽勾數加勾弦較十尺得二十五尺卽弦數也如圗甲乙為弦甲丙為勾(乙丁同)丙乙為勾弦較甲丁為勾弦和甲己戊乙為弦自乘方庚己壬辛為勾自乘方甲乙戊壬辛庚磬折形為股自乘數與甲庚勾弦較(甲庚與丙乙等)乘甲丁勾弦和之甲庚癸丁長方積等借一根為勾數者卽庚己或庚辛也(庚己庚辛皆與甲丙等)一根多十尺為弦數者卽庚己加庚甲也一根自乘得一平方為勾自乘方者卽庚己壬辛之正方也一根多十尺自乘得一平方多二十根多一百尺為弦自乘方者卽庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛壬戊子之二十根(甲庚較十尺乘甲丙一根得十根為甲庚)(辛丙長方辛子較十尺乘子戊一根得十根為辛壬戊子長方是共為二十根)又多丙辛子乙之一百尺共為甲己戊乙之正方也於甲己戊乙弦自乘方内減去庚己壬辛勾自乘之一平方餘二十根多一百尺卽甲乙戊壬辛庚之磬折形亦卽甲庚癸丁之長方形而與股自乘之四百尺相等也又甲庚癸丁長方内減去丙辛子乙一百尺餘甲庚辛丙及乙子癸丁卽二十根之數為三百尺也二十根之數為三百尺則一根之數必為十五尺也(此勾股弦和較相求法)設如有股二十四尺勾弦和三十二尺問勾弦各幾何法借一根為勾數則三十二尺少一根為弦數以一根自乘得一平方為勾自乘之數以三十二尺少一根自乘得一千零二十四尺少六十四根多一平方為弦自乘之數兩自乘之數相減得一千零二十四尺少六十四根為股自乘之數而與股二十四尺自乘之五百七十六尺為相等兩邊各加六十四根得一千零二十四尺與五百七十六尺多六十四根相等兩邊各減五百七十六尺得四百四十八尺與六十四根相等四百四十八尺旣與六十四根相等則七尺必與一根相等卽勾數以勾七尺與勾弦和三十二尺相減餘二十五尺卽弦數也(此勾股弦和較相求法)設如有弦五尺勾股和七尺問勾股各幾何法借一根為股數則七尺少一根為勾數以一根自乘得一平方為股自乘之數以七尺少一根自乘得四十九尺少一十四根多一平方為勾自乘之數兩自乘數相加得四十九尺少一十四根多二平方為弦自乘之數而與弦五尺自乘之二十五尺為相等兩邊各加一十四根得四十九尺多二平方與二十五尺多一十四根相等兩邊各減四十九尺得二平方與一十四根少二十四尺相等二平方旣與十四根少二十四尺相等則一平方必與七根少十二尺相等乃以十二尺為長方積七根作七尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得長四尺為一根之數卽股數以股四尺與勾股和七尺相減餘三尺卽勾數也如圗甲乙丙勾股形甲乙股四尺乙丙勾三尺甲丙弦五尺甲丁勾股和七尺甲丁戊己為勾股和自乘方辛丙庚己為股自乘方乙丁壬丙為勾自乘方借一根為股數者卽甲乙也(壬戊己庚皆與)(甲乙等為一根數)一根自乘得一平方為股自乘方者卽辛丙庚己也七尺少一根自乘得四十九尺少十四根多一平方為勾自乘方者卽甲丁戊己勾股和自乘方内減去甲乙庚己之七根及辛壬戊己之七根共為十四根(甲乙一根乘甲己和七尺得七)(根為甲乙庚己長方辛己一根乘己戊和得七根為辛壬戊己長方共十四根)又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙勾自乘方也(於甲丁戊己勾股和自乘方内減去甲乙丙壬戊己)(磬折形餘乙丁壬丙為勾自乘數今減去十四根乃減去甲乙庚己一長方又)(減去辛壬戊己一長方是比磬折形多減去辛丙庚己一平方故必加一平方)(以補多減之數始為乙丁壬丙勾自乘方也)辛丙庚己股自乘數乙丁壬丙勾自乘數相加與弦自乘之數相等兩邊各加各減得一平方與七根少十二尺相等者卽辛丙庚己一平方與甲乙庚己七根數相較而少甲乙丙辛之長方十二尺也今不知七根之數又不知一平方之數但知一平方與七根相較之甲乙丙辛長方為十二尺故卽以十二尺為長方積以甲己為長闊和用帶縱和數開平方法算之得甲乙長而為股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾弦和五十尺股弦和八十一尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則五十尺少一根為弦數一根多三十一尺為股數(以五十尺與八)(十一尺相減餘三十一尺為勾股較故一根多三十一尺為股數)以一根自乘得一平方為勾自乘之數以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方為弦自乘之數以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺為股自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得一千五百三十九尺少一百六十二根亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等乃以一千五百三十九尺為長方積以一百六十二根作一百六十二尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊九尺為一根之數卽勾數以勾九尺與勾弦和五十尺相減餘四十一尺卽弦數以勾九尺與勾股較三十一尺相加得四十尺卽股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股和二十三尺勾弦和二十五尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則二十三尺少一根為股數二十五尺少一根為弦數以一根自乘得一平方為勾自乘之數以二十三尺少一根自乘得五百二十九尺少四十六根多一平方為股自乘之數以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方為弦自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得九十六尺少四根亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等乃以九十六尺為長方積四根作四尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊八尺為一根之數卽勾數以勾八尺與勾股和二十三尺相減餘十五尺卽股數以勾八尺與勾弦和二十五尺相減餘十七尺卽弦數也(此勾股弦和較相求法)設如有股弦和二十五尺勾弦較八尺問勾股弦各幾何法借一根為股數則二十五尺少一根為弦數十七尺少一根為勾數(股弦和二十五)(尺内減勾弦較八尺得一十七尺為勾股和故勾為十七尺少一根)以一根自乘得一平方為股自乘之數以一十七尺少一根自乘得二百八十九尺少三十四根多一平方為勾自乘之數以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方為弦自乘之數以勾自乘之數與弦自乘之數相減得三百三十六尺少一十六根亦為股自乘之數而與股數一根自乘之一平方為相等乃以三百三十六尺為長方積十六根作十六尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十二尺為一根之數卽股數以股十二尺與股弦和二十五尺相減餘一十三尺卽弦數内減勾弦較八尺餘五尺卽勾數也(此勾股弦)(和較相求法)設如有股弦較一尺勾弦較三十二尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則一根多三十二尺為弦數一根多三十一尺為股數(股弦較與)(勾弦較相減餘三十一尺為勾股較故股為一根多三十一尺也)以一根自乘得一平方為勾自乘之數以一根多三十二尺自乘得一平方多六十四根又多一千零二十四尺為弦自乘之數以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺為股自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得二根多六十三尺亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等乃以六十三尺為長方積以二根作二尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得長九尺為一根之數卽勾數以勾九尺與勾弦較三十二尺相加得四十一尺卽弦數内減股弦較一尺餘四十尺卽股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股和七十三尺勾弦較與股弦較之和三十三尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則七十三尺少一根為股數五十三尺為弦數(以勾股和七十三尺加勾)(弦較與股弦較之和三十三尺得一百零六尺卽二弦數故半之得五十三尺)(為弦數也)以一根自乘得一平方為勾自乘之數以七十三尺少一根自乘得五千三百二十九尺少一百四十六根多一平方為股自乘之數以五十三尺自乘得二千八百零九尺為弦自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得一百四十六根少二千五百二十尺又少一平方亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等兩邊各加一平方得一百四十六根少二千五百二十尺與二平方相等一百四十六根少二千五百二十尺旣與二平方相等則七十三根少一千二百六十尺必與一平方相等乃以一千二百六十尺為長方積七十三根作七十三尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十八尺為一根之數卽勾數以勾二十八尺與勾股和七十三尺相減餘四十五尺卽股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股弦總和一百五十尺勾股較股弦較勾弦較共八十尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則一根多四十尺為弦數(將三較共八十尺折半得四十尺卽勾弦較)一百一十尺少二根為股數(總和一百五十尺内減去勾數一根又減)(去弦數一根多四十尺得一百一十尺少二根為股數)以一根自乘得一平方為勾自乘之數以一根多四十尺自乘得一平方多八十根又多一千六百尺為弦自乘之數以一百一十尺少二根自乘得一萬二千一百尺少四百四十根多四平方為股自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得五百二十根少三平方又少一萬零五百尺亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等兩邊各加三平方得五百二十根少一萬零五百尺與四平方相等五百二十根少一萬零五百尺旣與四平方相等則一百三十根少二千六百二十五尺必與一平方相等乃以二千六百二十五尺為長方積以一百三十根作一百三十尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十五尺為一根之數卽勾數以勾二十五尺與勾弦較四十尺相加得六十五尺卽弦數以勾弦和九十尺與勾股弦總和一百五十尺相減餘六十尺卽股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之較十尺問勾股弦各幾何法借一根為勾股較數則一根多十尺為弦數以一根自乘得一平方為勾股較自乘之數以一根多十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺為弦自乘之數倍之得二平方多四十根又多二百尺内減去勾股較自乘之一平方餘一平方多四十根多二百尺為勾股和自乘之數而與勾股和二十三尺自乘之五百二十九尺為相等兩邊各減去二百尺得一平方多四十根與三百二十九尺相等乃以三百二十九尺為長方積以多四十根作四十尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊七尺為一根之數卽勾股較與勾股和二十三尺相加得三十尺折半得十五尺為股内減較七尺餘八尺為勾又以勾股較七尺與弦與勾股較之較十尺相加得十七尺為弦也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股積一千零八十尺勾股弦總和一百八十尺問勾股弦各幾何法借一根為弦數則一百八十尺少一根為勾股和數以一根自乘得一平方為弦自乘之數以一百八十尺少一根自乘得三萬二千四百尺少三百六十根多一平方為勾股和自乘之數又以勾股積一千零八十尺四因之得四千三百二十尺與弦自乘之一平方相加得一平方多四千三百二十尺亦為勾股和自乘之數而與勾股和自乘之三萬二千四百尺少三百六十根多一平方為相等(勾股和自乘數内有一弦自乘方有四勾股積故四因勾)(股積與弦自乘之數相加卽與勾股和自乘之數相等也)兩邊各減四千三百二十尺得二萬八千零八十尺少三百六十根多一平方與一平方相等兩邊各加三百六十根得二萬八千零八十尺多一平方與一平方多三百六十根相等兩邊再各減一平方得三百六十根與二萬八千零八十尺相等三百六十根旣與二萬八千零八十尺相等則一根必與七十八尺相等卽弦數以弦七十八尺與一百八十尺相減餘一百零二尺卽勾股和又以弦自乘得六千零八十四尺與四勾股積四千三百二十尺相減餘一千七百六十四尺平方開之得四十二尺卽勾股較與勾股和一百零二尺相減餘六十尺折半得三十尺卽勾數加勾股較四十二尺得七十二尺卽股數也(此勾股積與勾股弦)(和較相求法)設如有勾股積六十尺弦與勾股和之較六尺問勾股弦各幾何法借一根為弦數則一根多六尺為勾股和數以一根自乘得一平方為弦自乘之數以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為勾股和自乘之數又以勾股積六十尺四因之得二百四十尺與弦自乘之一平方相加得一平方多二百四十尺亦為勾股和自乘之數而與勾股和自乘之一平方多十二根多三十六尺為相等兩邊各減去一平方得十二根多三十六尺與二百四十尺相等兩邊又各減去三十六尺得十二根與二百零四尺相等十二根旣與二百零四尺相等則一根必與十七尺相等卽弦數加弦與勾股和之較六尺得二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺也(此勾股積與勾股弦和較相求法)設如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂線幾何法借一根為中垂線之面積以小腰十尺自乘得一百尺内減去一根得一百尺少一根為小分底之面積(中垂線為股小腰為)(弦小分底為勾於弦積内減去股積餘為勾積也)又以大腰十七尺自乘得二百八十九尺内減去一根餘二百八十九尺少一根為大分底之面積(中垂線為股大腰為弦大分底為勾於弦積内減去股積餘為)(勾積也)又以底二十一尺自乘得四百四十一尺内減大小兩分底之共面積三百八十九尺少二根餘五十二尺多二根折半得二十六尺多一根為小分底乘大分底之面積(底邊自乘内有大分底自乘之一正方小)(分底自乘之一正方小分底乘大分底之二長方故減去二正方餘數折半卽)(為小分底乘大分底之一長方也)此數與小分底之面積及大分底之面積為相連比例三率葢大分底之面積為首率而小分底乘大分底之面積為中率小分底之面積為末率也乃以首率大分底之面積二百八十九尺少一根與末率小分底之面積一百尺少一根相乘得二萬八千九百尺少三百八十九根多一平方又以中率小分底乘大分底之面積二十六尺多一根自乘得六百七十六尺多五十二根多一平方此二數為相等兩邊各加三百八十九根得二萬八千九百尺多一平方與六百七十六尺多四百四十一根多一平方相等兩邊各減一平方得二萬八千九百尺與六百七十六尺多四百四十一根相等兩邊再各減去六百七十六尺得二萬八千二百二十四尺與四百四十一根相等二萬八千二百二十四尺旣與四百四十一根相等則六十四尺必與一根相等卽中垂線之面積開平方得八尺卽中垂線也(此三角形求中垂線法)設如有三角形底十四尺大腰與中垂線之較三尺小腰與中垂線之較一尺求中垂線及兩腰各幾何法借一根為中垂線則大腰為一根多三尺小腰為一根多一尺以一根自乘得一平方為中垂線之面積以一根多三尺自乘得一平方多六根多九尺為大腰之面積内減去中垂線之面積一平方餘六根多九尺為大分底之面積以一根多一尺自乘得一平方多二根多一尺為小腰之面積内減去中垂線之面積一平方餘二根多一尺為小分底之面積又以底十四尺自乘得一百九十六尺内減去大小兩分底之共面積八根多十尺餘一百八十六尺少八根折半得九十三尺少四根為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為相連比例三率葢大分底之面積為首率而小分底乘大分底之面積為中率小分底之面積為末率也乃以首率大分底之面積六根多九尺與末率小分底之面積二根多一尺相乘得十二平方多二十四根多九尺又以中率之小分底乘大分底之面積九十三尺少四根自乘得八千六百四十九尺少七百四十四根多十六平方此二數為相等兩邊各加七百四十四根得十二平方多七百六十八根多九尺與八千六百四十九尺多十六平方相等兩邊各減十二平方得七百六十八根多九尺與八千六百四十九尺多四平方相等兩邊再各減八千六百四十九尺得七百六十八根少八千六百四十尺與四平方相等七百六十八根少八千六百四十尺旣與四平方相等則一百九十二根少二千一百六十尺必與一平方相等乃以二千一百六十尺為長方積以一百九十二根作一百九十二尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十二尺為一根之數卽中垂線加三尺得十五尺卽大腰加一尺得十三尺卽小腰也(此三角形和較)(相求法)御製數理精藴下編卷三十五
## 下編卷三十六
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十六末部六借根方比例(體類)體類設如有扁方體髙十八尺若將體積加六倍則髙與長闊皆相等問長闊之各一邊及體積幾何法借一根為長闊之各一邊數以一根自乘得一平方為扁方體之面積再以髙十八尺乘之得十八平方為扁方體之體積又以一根與一平方相乘得一立方為扁方體積之六倍乃以扁方體之體積十八平方六因之得一百零八平方是為一立方與一百零八平方相等兩邊各降二位得一根與一百零八尺相等卽扁方體之長闊各一邊數也以一百零八尺自乘得一萬一千六百六十四尺再以十八尺乘之得二十萬零九千九百五十二尺為扁方體積六因之得一百二十五萬九千七百一十二尺與毎邊一百零八尺自乘再乘之立方積相等此扁方體邊線比例法也葢兩體之底面積旣同則其體積之比例同於其髙之比例今扁方體之長闊各一邊旣與正方體之毎一邊等而正方體積為扁方體積之六倍則其髙亦必為六倍故以扁方體之髙數六因之卽得長闊之各一邊數也設如有一長方體髙三尺五寸又有一正方體其每一面積與長方體之底面積等而長方體積為正方體積之五倍問正方體之一邊及體積各幾何法借一根為正方體毎邊之數以一根自乘得一平方為正方體之面積亦卽長方體之底面積以一平方與髙三十五寸相乘得三十五平方為長方體之體積又以一根自乘再乘得一立方為正方體之體積長方體積旣為正方體之五倍乃以一立方五因之得五立方而與三十五平方為相等兩邊各降二位得五根與三十五寸相等五根旣與三十五寸相等則一根必與七寸相等卽正方體之毎一邊之數也以七寸自乘再乘得三百四十三寸卽正方體之體積又以七寸自乘得四十九寸再以三十五寸乘之得一千七百一十五寸卽長方體之體積為正方體積之五倍此一長方體一正方體同底比例法也葢兩體之底面積旣同則其體積之比例同於其髙之比例今正方體之每一面積旣與長方體之底面積等而長方體積為正方體積之五倍則其髙亦必為五倍故長方體之髙之五分之一卽正方體之毎一邊之數也設如有一正方面形又有一正方體形但知正方面毎邊為正方體毎邊之八倍而正方面積與正方體積相等問邊線積數各若干法借一根為正方體毎邊之數則正方面毎邊之數為八根以一根自乘再乘得一立方為正方體積以八根自乘得六十四平方為正方面積是為一立方與六十四平方相等兩邊各降二位得一根與六十四尺相等卽正方體毎邊之數八因之得五百一十二尺卽正方面毎邊之數以五百一十二尺自乘得二十六萬二千一百四十四尺為正方面積以六十四尺自乘再乘亦得二十六萬二千一百四十四尺為正方體積兩數相等也(此一平方一立方邊數積數比例法)設如有帶兩縱不同立方體其髙與闊之比例同於四與六闊與長之比例同於六與九其髙與闊相乘之數為長數之四倍問髙闊長各幾何法借四根為髙數六根為闊數九根為長數以髙四根與闊六根相乘得二十四平方為長數之四倍乃以長數九根四因之得三十六根是為二十四平方與三十六根相等兩邊各降一位得二十四根與三十六尺相等二十四根旣與三十六尺相等則四根必與六尺相等卽髙數六根必與九尺相等卽闊數九根必與一十三尺五寸相等卽長數以髙六尺與闊九尺相乘得五十四尺四歸之得一十三尺五寸與長數相等也(此帶兩縱不同立方邊線面積比例法)設如有帶兩縱不同立方體長二十四尺髙與闊和五十二尺其髙與闊相乘之積與長自乘之積等問髙闊各若干法借一根為髙數則闊數為五十二尺少一根以髙一根與闊五十二尺少一根相乘得五十二根少一平方又以長二十四尺自乘得五百七十六尺此二數為相等乃以五百七十六尺為長方積以五十二根作五十二尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十六尺為一根之數卽立方之髙數與髙闊和五十二尺相減餘三十六尺卽立方之闊數以髙十六尺與闊三十六尺相乘得五百七十六尺與長二十四尺自乘之數相等也(此帶兩縱不同立方邊線與面積比例法)設如有帶兩縱不同立方體髙十二寸長比闊多十寸其長與闊相乘之積與髙自乘之積等問長闊各若干法借一根為闊數則長數為一根多十寸以闊一根與長一根多十寸相乘得一平方多十根以髙十二寸自乘得一百四十四寸此二數為相等乃以一百四十四寸為長方積以十根作十寸為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊八寸為一根之數卽立方之闊數加長比闊多十寸得十八寸卽立方之長數以闊八寸與長十八寸相乘得一百四十四寸與髙十二寸自乘之數相等也(此帶兩縱不同立方邊較與面積比例法)設如有帶兩縱不同立方體長比闊多四寸闊比髙多二寸其體積比髙自乘再乘之正方體多一百七十六寸問長闊髙各幾何法借一根為髙數則闊數為一根多二寸長數為一根多六寸以髙一根與闊一根多二寸相乘得一平方多二根再以長一根多六寸乘之得一立方多八平方多十二根内減髙數一根自乘再乘之一立方餘八平方多十二根與一百七十六寸相等八平方多十二根旣與一百七十六寸相等則一平方多一根半必與二十二寸相等乃以二十二寸為長方積以一根半作一寸五分為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸為一根之數卽立方之髙數加闊比髙多二寸得六寸卽立方之闊數再加長比闊多四寸得十寸卽立方之長數以長闊相乘以髙再乘得二百四十寸為立方體積内減髙四寸自乘再乘之六十四寸餘一百七十六寸以合原數也(此帶兩縱不同立方邊較與積較比例法)設如一長方池深二十尺長闊和六十尺其體積一萬七千二百八十尺問長闊各若干法借一根為闊數則長數為六十尺少一根以闊一根與長六十尺少一根相乘得六十根少一平方以深二十尺再乘得一千二百根少二十平方與一萬七千二百八十尺相等一千二百根少二十平方旣與一萬七千二百八十尺相等則六十根少一平方必與八百六十四尺相等乃以八百六十四尺為長方積以六十根作六十尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十四尺為一根之數卽池之闊數與長闊和六十尺相減餘三十六尺卽池之長數以長闊相乘以深再乘得一萬七千二百八十尺以合原數也(此帶兩縱不同立方知一邊與)(兩邊和相求法)設如一長方池深三十尺長比闊多十尺其體積七萬一千二百八十尺問長闊各若干法借一根為闊數則長數為一根多十尺以闊一根與長一根多十尺相乘得一平方多十根再以深三十尺乘之得三十平方多三百根與七萬一千二百八十尺相等三十平方多三百根旣與七萬一千二百八十尺相等則一平方多十根必與二千三百七十六尺相等乃以二千三百七十六尺為長方積以十根作十尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊四十四尺為一根之數卽池之闊數加長比闊多十尺得五十四尺卽池之長數也以長闊相乘以深再乘得七萬一千二百八十尺以合原數也(此帶兩縱不同立方知一邊與兩邊較相求法)設如有帶兩縱不同立方體長闊髙共五十八尺長比闊多六尺其對角斜線自乘之數為一千一百五十六尺問長闊髙各幾何法借一根為闊數則長數為一根多六尺以長闊兩數相加得二根多六尺與長闊髙共五十八尺相減餘五十二尺少二根為髙數以闊一根自乘得一平方為闊自乘之數以長一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為長自乘之數以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方為髙自乘之數三自乘數相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方與對角線自乘之一千一百五十六尺相等兩邊各加一百九十六根得二千七百四十尺多六平方與一千一百五十六尺多一百九十六根相等兩邊各減一千一百五十六尺得一千五百八十四尺多六平方與一百九十六根相等一千五百八十四尺多六平方旣與一百九十六根相等則二百六十四尺多一平方必與三十二根又六分根之四相等乃以二百六十四尺為長方積以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四為長闊和用帶縱和數開平方法算之得長十八尺為一根之數卽立方之闊加長比闊多六尺得二十四尺卽立方之長長闊相加得四十二尺與長闊髙共五十八尺相減餘十六尺卽立方之髙也以髙十六尺自乘得二百五十六尺以闊十八尺自乘得三百二十四尺以長二十四尺自乘得五百七十六尺三自乘數相加得一千一百五十六尺與對角斜線自乘之數相等也(此帶兩縱不同立方邊線面積和較)(相求法)設如有帶兩縱不同立方體其長闊髙為相連比例三率長為首率闊為中率髙為末率共五十七寸其六面積共二千零五十二寸問長闊髙各幾何法借一根為長數則闊髙之共數為五十七寸少一根又以六面積共二千零五十二寸折半得一千零二十六寸為三面積共數以長闊髙共五十七寸除之得一十八寸為闊數(因長為首率闊為中率髙為末)(率故其三面積一為首率乘中率一為末率乘中率一為首率乘末率而首率)(乘末率之數與中率自乘之數等則此三而積相合卽為首率中率末率之共)(數乘中率之數矣故以長闊髙之共數除之卽得中率為闊也)以闊一十八尺與闊髙之共數五十七寸少一根相減餘三十九寸少一根為髙數乃以首率長一根與末率髙三十九寸少一根相乘得三十九根少一平方與中率闊十八寸自乘之三百二十四寸相等乃以三百二十四寸為長方積以三十九根作三十九寸為長闊和用帶縱和數開平方法算之得長二十七寸為一根之數卽立方之長數與髙長和三十九寸相減餘一十二寸卽立方之髙數以長二十七寸與闊十八寸之比同於闊十八寸與髙十二寸之比為相連比例三率也(此帶兩縱不同立方邊線面積相和比例法)設如有帶兩縱不同立方體其髙與闊之比例同於一與二闊與長之比例同於二與三以髙自乘再乘之數與闊自乘再乘之數相加比原體積多一千零二十九寸問長闊髙各幾何法借一根為髙數則闊數為二根長數為三根以闊二根與長三根相乘得六平方再以髙一根乘之得六立方為原體積又以髙一根自乘再乘得一立方以闊二根自乘再乘得八立方相併得九立方内減原體積六立方餘三立方與一千零二十九寸相等三立方旣與一千零二十九寸相等則一立方必與三百四十三寸相等乃以三百四十三寸開立方得七寸為一根之數卽立方之髙數倍之得十四寸卽立方之闊數三因之得二十一寸卽立方之長數以長二十一寸與闊十四寸相乘得二百九十四寸再以髙七寸乘之得二千零五十八寸為原體積又以髙七寸自乘再乘得三百四十三寸闊十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸相併得三千零八十七寸與原體積相減餘一千零二十九寸以合原數也(此帶兩縱不同立方邊線)(體積比例法)設如有甲乙丙三正方體甲方邊與乙方邊之比例同於二與三乙方積比甲方積多一百五十二寸丙方積比乙方積多七百八十四寸問三正方體之邊數各若干法借二根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為三根以二根自乘再乘得八立方為甲方之體積以三根自乘再乘得二十七立方為乙方之體積兩體積相減餘一十九立方與一百五十二寸相等十九立方旣與一百五十二寸相等則一立方必與八寸相等乃以八寸開立方得二寸為一根之數倍之得四寸卽甲方毎邊之數三因之得六寸卽乙方毎邊之數自乘再乘得二百一十六寸加七百八十四寸得一千寸開立方得十寸卽丙方毎邊之數也(此三正方體邊)(線體積比例法)設如有帶兩縱不同立方體髙比闊為五分之一闊比長亦為五分之一體積六十一萬四千一百二十五尺問髙闊長各幾何法借一根為髙數則闊數為五根長數為二十五根以闊五根與長二十五根相乘得一百二十五平方再以髙一根乘之得一百二十五立方與六十一萬四千一百二十五尺相等一百二十五立方旣與六十一萬四千一百二十五尺相等則一立方必與四千九百一十三尺相等乃以四千九百一十三尺開立方得十七尺為一根之數卽立方之髙以五乘之得八十五尺卽立方之闊以二十五乘之得四百二十五尺卽立方之長也乃以長闊相乘得三萬六千一百二十五尺再以髙乘之得六十一萬四千一百二十五尺以合原數也(此帶)(分比例開立方法)設如有一大長方體其闊三倍於髙其長三倍於闊又有一小長方體比大長方體髙為二分之一闊為三分之二長為九分之七小長方體積二萬三千六百二十五寸問大小二長方體之長闊髙各幾何法借一根為大長方體之髙則大長方體之闊為三根大長方體之長為九根小長方體之髙為半根小長方體之闊為二根小長方體之長為七根乃以長七根與闊二根相乘得一十四平方再以髙半根乘之得七立方為小長方體積與二萬三千六百二十五寸相等七立方旣與二萬三千六百二十五寸相等則一立方必與三千三百七十五寸相等乃以三千三百七十五寸開立方得十五寸為一根之數卽大長方體之髙三因之得四十五寸卽大長方體之闊又以三因之得一百三十五寸卽大長方體之長以大長方體之髙折半得七寸五分卽小長方體之髙以大長方體之闊三歸二因得三十寸卽小長方體之闊以大長方體之長九歸七因得一百零五寸卽小長方體之長以小長方體之長闊相乘再以髙乘之得二萬三千六百二十五寸以合原數也(此帶分比)(例開立方法)設如有人買馬三次第二次比第一次多一倍第三次比第二次多一倍以第三次馬數四分之一與第二次馬數之一半相乘又與第一次馬數三分之一相乘得六千五百六十一匹問三次所買馬數各若干法借三根為第一次買馬之數(第一次分母數)則第二次買馬之數為六根第三次買馬之數為十二根以第三次四分之一三根與第二次之一半三根相乘得九平方又與第一次三分之一一根相乘得九立方與六千五百六十一匹相等九立方旣與六千五百六十一匹相等則一立方必與七百二十九匹相等乃以七百二十九匹開立方得九匹為一根之數三因之得二十七匹為第一次買馬之數倍之得五十四匹為第二次買馬之數又倍之得一百零八匹為第三次買馬之數以第三次四分之一二十七匹與第二次一半二十七匹相乘得七百二十九匹再以第一次三分之一九匹乘之得六千五百六十一匹以合原數也(此帶分比例開立方法)設如有馬牛羊各不知數但知牛數比馬數多四羊數與馬牛相乘之數等馬毎匹之價與牛數等牛毎頭之價與馬數等羊毎隻之價比馬毎匹價少十兩而羊之共價為一百九十二兩問馬牛羊及價銀各若干法借一根為馬數則牛數為一根多四以馬數一根與牛數一根多四相乘得一平方多四根為羊數馬價與牛數等為一根多四兩則羊價為一根少六兩以羊數一平方多四根與羊價一根少六兩相乘得一立方少二平方少二十四根為羊之共價與一百九十二兩相等乃以一百九十二兩為磬折扁方體積用帶縱開立方法算之得八為一根之數卽馬數亦卽牛毎頭之價為八兩也加牛比馬多四得十二為牛數亦卽馬毎匹之價為十二兩也以馬數八與牛數十二相乘得九十六為羊數以羊數九十六歸除羊共價一百九十二兩得二兩為羊毎隻價比馬一匹之價少十兩也(此磬折扁方體求邊法)設如有馬騾運重其共馬數比馬毎匹所䭾之數多二十騾毎匹所䭾之數比共馬數多三十其共騾數與馬所䭾之共數等但知騾共䭾一千一百萬斤問馬數騾數及所䭾之斤數各若干法借一根為共馬數則馬毎匹所䭾之斤數為一根少二十斤騾毎匹所䭾之數為一根多三十斤以共馬數一根與馬毎匹䭾一根少二十斤相乘得一平方少二十根為馬所䭾之共數亦卽共騾數再以騾毎匹䭾一根多三十斤乘之得一立方多十平方少六百根為騾所䭾之共數與一千一百萬斤相等乃以一千一百萬斤為磬折長方體積用帶縱開立方法算之得二百二十為一根之數卽共馬數減二十餘二百斤為馬毎匹所䭾之數以共馬二百二十匹與馬毎匹所䭾之二百斤相乘得四萬四千斤為馬所䭾之共數亦卽共騾數以共騾四萬四千匹歸除一千一百萬斤得二百五十斤為騾毎匹所䭾之數比共馬數二百二十多三十也(此磬折長方體)(求邊法)設如有大小二正方體邊數共二尺六寸體積共五千零九十六寸問二正方體邊數體積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為二十六寸少一根以一根自乘再乘得一立方為小方之體積以二十六寸少一根自乘再乘得一萬七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方少一立方為大方之體積兩體積相加得一萬七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方與五千零九十六寸相等兩邊各加二千零二十八根得一萬七千五百七十六寸多七十八平方與五千零九十六寸多二千零二十八根相等兩邊各減五千零九十六寸得一萬二千四百八十寸多七十八平方與二千零二十八根相等一萬二千四百八十寸多七十八平方旣與二千零二十八根相等則一百六十寸多一平方必與二十六根相等乃以一百六十寸為長方積以二十六根作二十六寸為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十寸為一根之數卽小方毎邊之數與共邊二十六寸相減餘一十六寸卽大方毎邊之數以十寸自乘再乘得一千寸卽小方之體積以十六寸自乘再乘得四千零九十六寸卽大方之體積兩體積相加共五千零九十六寸以合原數也(此二正方體有)(邊和積和求邊法)設如有大小二正方體大方邊比小方邊多四尺大方積比小方積多一千二百一十六尺問二正方體邊數體積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一根多四尺以一根自乘再乘得一立方為小方之體積以一根多四尺自乘再乘得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺為大方之體積兩體積相減得十二平方多四十八根多六十四尺與一千二百一十六尺相等兩邊各減六十四尺得十二平方多四十八根與一千一百五十二尺相等十二平方多四十八根旣與一千一百五十二尺相等則一平方多四根必與九十六尺相等乃以九十六尺為長方積以四根作四尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊八尺為一根之數卽小方每邊之數加四尺得一十二尺卽大方毎邊之數以八尺自乘再乘得五百一十二尺卽小方之體積以一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺卽大方之體積兩體積相減餘一千二百一十六尺以合原數也(此二正方體有)(邊較積較求邊法)設如有大小二正方體大方邊比小方邊多二尺體積共一千零七十二尺問二正方體邊數體積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一根多二尺以一根自乘再乘得一立方為小方之體積以一根多二尺自乘再乘得一立方多六平方多十二根多八尺為大方之體積兩體積相加得二立方多六平方多十二根多八尺與一千零七十二尺相等兩邊各減去八尺得二立方多六平方多十二根與一千零六十四尺相等二立方多六平方多十二根旣與一千零六十四尺相等則一立方多三平方多六根必與五百三十二尺相等乃以五百三十二尺為磬折長方體積用帶縱開立方法算之得七尺為一根之數卽小方毎邊之數加二尺得九尺卽大方每邊之數以七尺自乘再乘得三百四十三尺卽小方之體積以九尺自乘再乘得七百二十九尺卽大方之體積兩體積相加得一千零七十二尺以合原數也(此二)(正方體有邊較積和求邊法)設如有大小二正方體邊數共十四尺大方比積小方積多二百九十六尺問二正方體之邊數體積各幾何法借一根為小方每邊之數則大方每邊之數為十四尺少一根以一根自乘再乘得一立方為小方之體積以十四尺少一根自乘再乘得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少一立方為大方之體積兩體積相減得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少二立方與二百九十六尺相等兩邊各加二立方又加五百八十八根得二立方多五百八十八根多二百九十六尺與二千七百四十四尺多四十二平方相等兩邊各減去二百九十六尺又各減去四十二平方得二立方少四十二平方多五百八十八根與二千四百四十八尺相等二立方少四十二平方多五百八十八根旣與二千四百四十八尺相等則一立方少二十一平方多二百九十四根必與一千二百二十四尺相等乃以一千二百二十四尺為磬折扁方體積用帶縱開立方法算之得六尺為一根之數卽小方毎邊之數與共邊數十四尺相減餘八尺卽大方每邊之數以六尺自乘再乘得二百一十六尺為小方之體積以八尺自乘再乘得五百一十二尺為大方之體積兩體積相減餘二百九十六尺以合原數也(此二正方體有邊和積較求邊法)設如勾股積二百四十尺股弦較四尺問勾股弦各幾何法借一根為股數則弦為一根多四尺以一根自乘得一平方為股自乘之數以一根多四尺自乘得一平方多八根多十六尺為弦自乘之數内減去股自乘之一平方餘八根多十六尺為勾自乘之數凡勾自乘之數與勾股相乘之數及股自乘之數為相連比例三率乃以首率勾自乘之八根多十六尺與末率股自乘之一平方相乘得八立方多十六平方又以勾股積二百四十尺倍之得四百八十尺為中率自乘得二十三萬零四百尺是為八立方多十六平方與二十三萬零四百尺相等八立方多十六平方旣與二十三萬零四百尺相等則一立方多二平方必與二萬八千八百尺相等乃以二萬八千八百尺為長方體積用帶縱開立方法算之得三十尺為一根之數卽股數加股弦較四尺得三十四尺卽弦數又以股三十尺除倍積四百八十尺得十六尺卽勾數也(此有勾股積有股弦較求勾股弦法)設如勾股積二百四十尺勾弦和五十尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則弦為五十尺少一根以一根自乘得一平方為勾自乘之數以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方為弦自乘之數内減去勾自乘之一平方餘二千五百尺少一百根為股自乘之數凡勾自乘之數與勾股相乘之數及股自乘之數為相連比例三率則以首率勾自乘之一平方與末率股自乘之二千五百尺少一百根相乘得二千五百平方少一百立方又以勾股積二百四十尺倍之得四百八十尺為中率自乘得二十三萬零四百尺是為二千五百平方少一百立方與二十三萬零四百尺相等二千五百平方少一百立方旣與二十三萬零四百尺相等則一平方少二十五分立方之一必與九十二尺一十六寸相等乃以九十二尺一十六寸為扁方體積用帶縱開立方法算之得一十六尺為一根之數卽勾數與勾弦和五十尺相減餘三十四尺卽弦數又以勾十六尺除倍積四百八十尺得三十尺卽股數也(此有勾股積有勾弦和求勾股弦法)設如有數十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾何法借一根為二率以二率一根自乘得一平方以一率十萬除之得十萬分平方之一為三率又以二率一根與三率十萬分平方之一相乘得十萬分立方之一以一率十萬除之得一百億分立方之一為四率將四率俱以百億乘之則一率為一千兆二率為一百億根三率為一十萬平方四率為一立方(因四率為)(百億分立方之一以百億乘之則得一整立方故將餘三率俱以百億乘之其)(比例始相當也)乃以一率與四率相加得一千兆多一立方又以二率三倍之得三百億根是為三百億根與一千兆多一立方相等兩邊各減去一立方得三百億根少一立方與一千兆相等乃以一千兆為實以三百億根為法用割圜内新增益實歸除法算之得三萬四千七百二十九為一根之數卽相連比例之第二率也以二率自乘一率除之得一萬二千零六十一為相連比例之第三率又以二率與三率相乘一率除之得四千一百八十七為相連比例之第四率乃以一率與四率相加得一十萬零四千一百八十七與二率之三倍相等也(此卽求圜内容十八邊法)設如有數十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率三率四率各幾何法借一根為二率以二率一根自乘得一平方以一率十萬除之得十萬分平方之一為三率以二率一根與三率十萬分平方之一相乘得十萬分立方之一以一率十萬除之得一百億分立方之一為四率將四率俱以百億乘之則一率為一千兆二率為一百億根三率為一十萬平方四率為一立方乃以一率與四率相加得一千兆多一立方又以二率倍之得二百億根加一三率得二百億根多十萬平方是為二百億根多十萬平方與一千兆多一立方相等兩邊各減去一立方得二百億根多十萬平方少一立方與一千兆相等乃以一千兆為實以二百億根為法用割圜内益實兼減實歸除法算之得四萬四千五百零四為一根之數卽相連比例之第二率也以二率自乘一率除之得一萬九千八百零六為相連比例之第三率又以二率與三率相乘一率除之得八千八百一十四為相連比例之第四率乃以一率與四率相加得一十萬零八千八百一十四與二率兩倍加一三率之數相等也(此卽求圜内容十四邊法)設如有大小二正方面大方毎邊為小方毎邊之二倍若以兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺問二方邊面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊數為二根以一根自乘得一平方為小方之面積以二根自乘得四平方為大方之面積以一平方與四平方相乘得四三乘方為兩方面積相乘之數與五萬八千五百六十四尺相等四三乘方旣與五萬八千五百六十四尺相等則一三乘方必與一萬四千六百四十一尺相等乃以一萬四千六百四十一尺為三乘方積用開三乘方法算之得十一尺為一根之數卽小方每邊之數倍之得二十二尺卽大方每邊之數以十一尺自乘得一百二十一尺卽小方之面積以二十二尺自乘得四百八十四尺卽大方之面積兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺以合原數也(此開)(三乘方法)設如有解錢糧船不言數但知每船所載銀鞘之數比船數加一倍每鞘内銀數與共鞘數等其共銀數為五百三十四萬五千三百四十四兩問船數鞘數各若干法借一根為船數則每船所載鞘數為二根以一根與二根相乘得二平方為共鞘數亦為每鞘内銀數自乘得四三乘方與五百三十四萬五千三百四十四兩相等四三乘方旣與五百三十四萬五千三百四十四兩相等則一三乘方必與一百三十三萬六千三百三十六兩相等乃以一百三十三萬六千三百三十六兩為三乘方積用開三乘方法算之得三十四為一根之數卽船數倍之得六十八卽每船之鞘數以船數三十四與每船所載鞘數六十八相乘得二千三百一十二為共鞘數亦卽每鞘内之銀數自乘得五百三十四萬五千三百四十四兩以合原數也(此開三乘方法)設如有一正方又有一長方二方面積共二十三萬六千一百九十六尺長方之長比正方面積多二十四尺長方之闊比正方面積少二十尺問二方邊面積各幾何法借一根為正方每邊之數自乘得一平方為正方之面積則長方之長為一平方多二十四尺長方之闊為一平方少二十尺長闊相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺為長方面積加正方面積之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺為二方之共面積與二十三萬六千一百九十六尺相等兩邊各加四百八十尺得一三乘方多五平方與二十三萬六千六百七十六尺相等乃以二十三萬六千六百七十六尺為帶縱三乘方積用帶縱開三乘方法算之得二十二為一根之數卽正方每邊之數自乘得四百八十四尺為正方面積加二十四尺得五百零八尺為長方之長減二十尺得四百六十四尺為長方之闊長闊相乘得二十三萬五千七百一十二尺為長方面積兩面積相加得二十三萬六千一百九十六尺以合原數也(此帶縱開三乘方法)設如有一長方其面積五百二十七丈又有大小二正方其面積共一千二百五十丈大正方邊與長方之長等小正方邊與長方之闊等問長方之長闊各幾何法借一根為大方每邊之數自乘得一平方為大方之面積則小方之面積為一千二百五十丈少一平方此大方面積與長方面積及小方面積為相連比例三率乃以首率大方面積一平方與末率小方面積一千二百五十丈少一平方相乘得一千二百五十平方少一三乘方又以長方面積五百二十七丈為中率自乘得二十七萬七千七百二十九丈此兩數為相等乃以二十七萬七千七百二十九丈為帶縱三乘方積用帶縱開三乘方法算之得三十一為一根之數卽大方每邊之數亦卽長方之長以長三十一丈除長方面積五百二十七丈得十七丈卽長方之闊亦卽小正方每邊之數乃以三十一丈自乗得九百六十一丈為大方面積以十七丈自乘得二百八十九丈為小方面積兩面積相加得一千二百五十丈以合原數也(此帶縱開三乘方法)設如有一方臺俱係正方石砌成其用石之塊數與每一石之面積等其共石之體積為五十三萬七千八百二十四寸問用石之塊數及每一石之邊數若干法借一根為每一石之邊數自乘得一平方為每一石之面積亦卽所用石之塊數再乘得一立方為每一石之體積與所用石之塊數一平方相乘得一四乘方為共石之體積與五十三萬七千八百二十四寸相等乃以五十三萬七千八百二十四寸為四乘方積用開四乘方法算之得一十四寸為一根之數卽每一石之邊數自乘得一百九十六寸為每一石之面積亦卽所用石之塊數再乘得二千七百四十四寸為每一石之體積與所用石之塊數相乘得五十三萬七千八百二十四寸以合原數也(此開四乘方法)設如有二十四正方體又有一扁方體共積八百二十九萬四千四百寸扁方體之髙與正方體之邊數等扁方體之長與闊俱與正方體之面積等問正方體扁方體之邊數各若干法借一根為正方體每邊之數亦卽扁方體之髙數以一根自乘得一平方為正方體之面積亦卽扁方體之長與闊再乘得一立方為正方體之積以二十四乘之得二十四立方為二十四正方體之共積又以扁方體之長闊一平方自乘得一三乘方再以髙一根乘之得一四乘方為扁方體之積兩積數相加得一四乘方多二十四立方與共體積八百二十九萬四千四百寸相等乃以八百二十九萬四千四百寸為帶縱四乘方積用帶縱開四乘方法算之得二十四寸為一根之數卽正方體之每邊亦卽扁方體之髙自乘得五百七十六寸為正方體之面積亦卽扁方體之長與闊再乘得一萬三千八百二十四寸為一正方體之積以二十四乘之得三十三萬一千七百七十六寸為二十四正方體之共積又以扁方體之長闊五百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘之得七百九十六萬二千六百二十四寸為一扁方體積兩積相加得八百二十九萬四千四百寸以合原數也(此帶縱開)(四乘方法)設如有商人貿易第一次之銀數比原本銀加一倍第二次之銀數與第一次銀自乘再乘之數等第三次之銀數與第一次銀自乘又乘第二次銀之數等將第三次之銀數與第二次之銀數相加得三萬三千二百八十兩問原本銀數及每次銀數各若干法借一根為原本銀數則第一次之銀數為二根自乘再乘得八立方為第二次之銀數以第一次自乘之四平方與第二次之八立方相乘得三十二四乘方為第三次之銀數與第二次之銀數八立方相加得三十二四乘方多八立方與三萬三千二百八十兩相等三十二四乘方多八立方旣與三萬三千二百八十兩相等則一四乘方多四分立方之一必與一千零四十兩相等乃以一千零四十兩為帶縱四乘方積用帶縱開四乘方法算之得四兩為一根之數卽原本銀數也倍之得八兩為第一次之銀數自乘再乘得五百一十二兩為第二次之銀數又以第一次銀數八兩自乘之六十四兩與第二次之銀數五百一十二兩相乘得三萬二千七百六十八兩為第三次之銀數與第二次之銀數相加得三萬三千二百八十兩以合原數也(此帶縱開四乘方法)設如有一小長方體闊為髙之二倍長為髙之三倍又有一大長方體其每邊之比例與小長方體同其髙數與小長方體長闊相乘之數等體積八萬二千九百四十四尺問二長方體長闊髙各幾何法借一根為小長方體之髙則闊為二根長為三根長闊相乘得六平方為大長方體之髙倍之得十二平方為大長方體之闊三因之得十八平方為大長方體之長長闊相乘再以髙乘之得一千二百九十六五乘方為大長方體積與八萬二千九百四十四尺相等一千二百九十六五乘方旣與八萬二千九百四十四尺相等則一五乘方必與六十四尺相等乃以六十四尺為五乘方積用開五乘方法算之得二尺為一根之數卽小長方體之髙倍之得四尺卽小長方體之闊三因之得六尺卽小長方體之長長闊相乘得二十四尺卽大長方體之髙倍之得四十八尺卽大長方體之闊三因之得七十二尺卽大長方體之長長闊相乘再以髙乘之得八萬二千九百四十四尺以合原數也(此開)(五乘方法)設如有大小二正方體大方體積比小方體積多一千七百四十四寸以小方邊與大方邊相乘得一百四十寸問二正方體之邊數體積各幾何法借一根為小方體每邊之數以一根除一百四十寸得一根之一百四十寸為大方體每邊之數以一根自乘再乘得一立方為小方體積數以一根之一百四十寸自乘再乘得一立方之二百七十四萬四千寸為大方體積内減小方體積一立方餘一立方之二百七十四萬四千寸少一立方與一千七百四十四寸相等兩邊各以立方乘之得一千七百四十四立方與二百七十四萬四千寸少一五乘方相等兩邊各加一五乘方得一五乘方多一千七百四十四立方與二百七十四萬四千寸相等乃以二百七十四萬四千寸為帶縱五乘方積用帶縱開五乘方法算之得十寸為一根之數卽小方體每邊之數以十寸除一百四十寸得一十四寸卽大方體每邊之數以小方體每邊十寸自乘再乘得一千寸為小方體積以大方體每邊十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸為大方體積兩體積相減餘一千七百四十四寸以合原數也(此帶縱開)(五乘方法)設如有大小二正方體共積四千一百二十三寸以小方邊與大方邊相乘得四十八寸問二正方體之邊數體積各幾何法借一根為小方體每邊之數以一根除四十八寸得一根之四十八寸為大方體每邊之數以一根自乘再乘得一立方為小方體積以一根之四十八寸自乘再乘得一立方之一十一萬零五百九十二寸為大方體積兩體積相加得一立方多一立方之一十一萬零五百九十二寸與四千一百二十三寸相等兩邊各以立方乘之得四千一百二十三立方與一五乘方多一十一萬零五百九十二寸相等兩邊各減一五乘方得四千一百二十三立方少一五乘方與一十一萬零五百九十二寸相等乃以一十一萬零五百九十二寸為帶縱五乘方積用帶縱開五乘方法算之得三寸為一根之數卽小方體每邊之數以三寸除四十八寸得十六寸為大方體每邊之數以小方體每邊三寸自乘再乘得二十七寸為小方體積數以大方體每邊十六寸自乘再乘得四千零九十六寸為大方體積數兩體積相加得四千一百二十三寸以合原數也(此帶縱開五乘方法)設如有一長方體積二千一百八十七尺其髙數自乘與闊等闊數自乘與長數等問髙闊長各若干法借一根為髙自乘得一平方為闊以闊自乘得一三乘方為長長闊相乘得一五乘方再以髙乘之得一六乘方為長方體積與二千一百八十七尺相等乃以二千一百八十七尺為六乘方積用開六乘方法算之得三尺為一根之數卽長方之髙自乘得九尺卽長方之闊以闊自乘得八十一尺為長方之長乃以長闊相乘再以髙乘之得二千一百八十七尺以合原數也(此開六乘方法)設如甲丙正方花園二所園中各有正方水池一面甲池每邊為丙池每邊之三倍甲園每邊與甲池之面積等丙園每邊與丙池之面積等若以兩園之面積相乘得五百三十萬八千四百一十六尺問園池每邊各若干法借一根為丙池每邊之數則甲池每邊之數為三根以一根自乘得一平方為丙池之面積卽丙園每邊之數自乘得一三乘方為丙園之面積以三根自乘得九平方為甲池之面積卽甲園每邊之數自乘得八十一三乘方為甲園之面積兩園之面積相乘得八十一七乘方與五百三十萬八千四百一十六尺相等八十一七乘方旣與五百三十萬八千四百一十六尺相等則一七乘方必與六萬五千五百三十六尺相等乃以六萬五千五百三十六尺為七乘方積用開七乘方法算之得四尺為一根之數卽丙池每邊之數三因之得十二尺卽甲池每邊之數以甲池每邊十二尺自乘得一百四十四尺為甲池之面積卽甲園每邊之數以丙池每邊四尺自乘得一十六尺為丙池之面積卽丙園每邊之數以甲園每邊一百四十四尺自乘得二萬零七百三十六尺卽甲園之面積以丙園每邊十六尺自乘得二百五十六尺卽丙園之面積乃以兩園面積相乘得五百三十萬八千四百一十六尺以合原數也(此開七乘方法)設如有甲乙丙三長方體甲方之髙為闊二分之一乙方之髙與闊為甲方之二倍丙方之髙與闊為甲方之三倍俱不知長甲方體積與面積自乘之數等乙方之體積與髙闊相併乘甲方面積之數等丙方之體積與乙方體積自乘再乘之數等今但知丙方體積八十八萬四千七百三十六丈問三方髙闊長各若干法借一根為甲方之髙則甲方之闊為二根乙方之髙亦為二根乙方之闊為四根丙方之髙為三根丙方之闊為六根以甲方髙一根與闊二根相乘得二平方卽甲方之面積自乘得四三乘方卽甲方之體積乙方髙二根與闊四根相併得六根與甲方面積二平方相乘得十二立方卽乙方之體積自乘再乘得一千七百二十八八乘方卽丙方之體積與八十八萬四千七百三十六丈相等一千七百二十八八乘方旣與八十八萬四千七百三十六丈相等則一八乘方必與五百一十二丈相等乃以五百一十二丈為八乘方積用開八乘方法算之得二丈為一根之數卽甲方之髙倍之得四丈卽甲方之闊髙闊相乘得八丈卽甲方之面積自乘得六十四丈卽甲方之體積又將甲方髙二丈倍之得四丈卽乙方之髙將甲方闊四丈倍之得八丈卽乙方之闊髙闊相併得一十二丈與甲方面積八丈相乘得九十六丈卽乙方之體積又以髙四丈闊八丈相乘得三十二丈以除體積九十六丈得三丈卽乙方之長又將甲方髙二丈三因之得六丈卽丙方之髙將甲方闊四丈三因之得一十二丈卽丙方之闊以乙方體積九十六丈自乘再乘得八十八萬四千七百三十六丈卽丙方之體積又髙六丈闊十二丈相乘得七十二丈以除體積八十八萬四千七百三十六丈得一萬二千二百八十八丈卽丙方之長也(此開八乘方法)設如有客船不言數但云每船之人數與船數等每人之本銀數與船數自乘再乘之數等其共銀自乘之數為六千零四十六萬六千一百七十六兩問船數人數各若干法借一根為船數亦為每船之人數以一根自乘得一平方為共人數再乘得一立方為每人本銀數與一平方相乘得一四乘方為共銀數以一四乘方自乘得一九乘方為本銀自乘之數與六千零四十六萬六千一百七十六兩相等乃以六千零四十六萬六千一百七十六為九乘方積用開九乘方法算之得六為一根之數卽船數亦卽每船之人數自乘得三十六為共人數再乘得二百一十六為每人之銀數以三十六人乘之得七千七百七十六兩為共銀數自乘得六千零四十六萬六千一百七十六兩以合原數也(此開九乘方法)御製數理精藴下編卷三十六
## 下編卷三十七
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十七末部七難題難題算術之學不外於線面體其間比例相求或借根借方等法既已分門别類於前然設問中有紆廻繁襍之不同者非審詳明辨則何以得其統緒兹又探賾鉤深編為難題一卷俾學者殫思觀變以不迷於入算之方庶幾數理之微人心之巧由此引而伸之觸類而長之將以窮天下之變亦不難也設如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙五日一次問三人何日同班法以三日與四日相乘得十二日再與五日相乘得六十日即三人同班之日也此法葢因六十為三四五皆可以度盡之數三與四相乘得十二日是甲乙同班之日而不能與丙同班三與五相乘得十五日是甲丙同班之日而不能與乙同班四與五相乘得二十日是乙丙同班之日而不能與甲同班惟六十日為甲第二十次值班之日為乙第十五次值班之日為丙第十二次值班之日故為三人同班之日也設如有錢不知總數以三數之餘二文以五數之餘三文以七數之亦餘二文問錢總數幾何法先以三數之率定為七十五數之率定為二十一七數之率定為十五乃以三數之率七十與餘二相乘得一百四十以五數之率二十一與餘三相乘得六十三以七數之率十五與餘二相乘得三十三數相併得二百三十三又以三五七遞乘得一百零五於二百三十三内減兩次餘二十三即總錢數也此法以三數之率定為七十者以其用七數五數皆盡惟用三數之餘一也今以餘二相乘得一百四十則是用七數五數皆盡惟用三數之餘二矣以五數之率定為二十一者以其用三數七數皆盡惟用五數之餘一也今以餘三相乘得六十三則是用三數七數皆盡惟用五數之餘三矣以七數之率定為十五者以其用三數五數皆盡惟用七數之餘一也今以餘二相乘得三十則是用三數五數皆盡惟用七數之餘二矣以此三數相併自為三數餘二五數餘三七數餘二之數又以三五七遞乘得一百零五者此數用三五七皆可數盡故二百三十三雖為三數餘二五數餘三七數餘二之數然減去一百零五餘一百二十八以三五七數之其所餘之數仍同也即再減去一百零五餘二十三以三五七數之其所餘之數亦同也是以問數在一百零五以下必二十三如問數在一百零五以上必一百二十八或二百三十三如原數更在二百三十三以上則遞加一百零五求之必有合也至其作率之法不過一乘一減如以三五七命算則以五七相乘得三十五以三減之餘二不可為率以其所餘為二難與他數相乘也故將三十五倍之得七十以三減之餘一故七十即為三數之率三七相乘得二十一以五減之餘一故二十一即為五數之率三五相乘得一十五以七減之餘一故十五即為七數之率或以五數七數九數命算皆倣此例推之設如三人治田一人日耘七畝一人日耕三畝一人日種五畝今令一人自耕自種自耘問一日治田幾何法以七畝三畝五畝連乘得一百零五畝為治田總衰數以每日耘七畝除之得十五日為耘田衰數以每日耕三畝除之得三十五日為耕田衰數以每日種五畝除之得二十一日為種田衰數三數相併得七十一日為一率一百零五畝為二率一日為三率得四率一畝四分七釐有餘即每日自耕自種自耘之數也此法葢因一日耘七畝則一百零五畝湏耘十五日一日耕三畝則一百零五畝湏耕三十五日一日種五畝則一百零五畝湏種二十一日併之得七十一日是一人自耕自種自耘治田一百零五畝即知一日治田一畝四分七釐有餘也設如甲乙二人甲借乙本銀一千二百両已經還訖仍欠四月利銀今乙又借甲銀八百両欲與前利銀抵兑問得月數幾何法以今借銀八百両為一率原借銀一千二百両為二率原欠利銀四月作一百二十日為三率得四率一百八十日以三十日歸之得六月為所求之日數也葢甲借乙之銀數多故月數少乙借甲之銀數少故月數多而其利相等為轉比例四率也設如原買小布一疋長一丈八尺闊一尺三寸價一錢一分七釐今買大布一疋長二丈五尺闊一尺六寸問價幾何法以原布長一丈八尺闊一尺三寸相乘得二十三尺四十寸為一率價一錢一分七釐為二率今布長二丈五尺闊一尺六寸相乘得四十尺為三率求得四率二錢即今布之價也凡物惟長不同或惟闊不同則各以其長闊為比例今長闊俱不同故以其長闊各相乘為面與面之比例也設如有銀三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少六両問四人各得銀數幾何法先以總銀三百九十六両内減去甲多十両丙多八両餘三百七十八両又加乙少二十両丁少六両共得四百零四両為各分之總銀數乃以甲分母二乙分母五丙分母三丁分母四連乘之得一百二十為總衰數於總衰一百二十内取二分之一得六十為甲衰取五分之三得七十二為乙衰取三分之一得四十為丙衰取四分之一得三十為丁衰併之得二百零二衰為一率以各分總銀數四百零四両為二率一衰為三率得四率二両乃以二両用甲衰六十乘之得一百二十両加所多十両得一百三十両即甲所分之銀數用乙衰七十二乘之得一百四十四両内減所少二十両餘一百二十四両即乙所分之銀數用丙衰四十乘之得八十両加所多八両得八十八両即丙所分之銀數用丁衰三十乘之得六十両減所少六両餘五十四両即丁所分之銀數將四人所分之銀併之得三百九十六両以合原數也設如甲乙丙三商貨殖二年共得利銀八千五百八十両甲原出本銀三千両至滿八月収回一千両至滿十九月又添一千二百兩乙原出本銀二千四百両至滿六月収回八百両至滿十五月又添一千四百両丙原出本銀二千両滿七月悉収回至滿十七月别出本銀一千六百両問各人分得利銀若干法以甲本銀三千両與八月相乘(滿八月収)(回一千両是八月以前皆為三千両)得二萬四千両又以収回一千両與原本銀三千両相減餘二千両以八月與十九月相減餘十一月(八月収回一千両餘二千両十九月後方添一千二百両則是八月以後)(十九月以前此十一月皆為二千両)以十一月與二千両相乘得二萬二千両又以二千両加所添一千二百両得三千二百両以十九月與二年之二十四月相減餘五月(十九)(月後添一千二百両是十九月以後二十四月以前此五月皆為三千二百両)以五月與三千二百両相乘得一萬六千両以三得數相併共六萬二千両為甲之共衰數乙本銀二千四百両與六月相乘(滿六月収回八百両是六月以前皆為二千四百両)得一萬四千四百両又以収回八百両與原本銀二千四百両相減餘一千六百両以六月與十五月相減餘九月(六月後収回八)(百両餘一千六百両十五月後方添一千四百両是六月以後十五月以前此)(九月皆為一千六百両)以九月與一千六百両相乘得一萬四千四百両又以一千六百両加所添一千四百両得三千両以十五月與二年之二十四月相減餘九月(十五月後添一千四百両是十五月以後二十四月以前此九月皆為三千両)以九月與三千両相乘得二萬七千両三數相併共五萬五千八百両為乙之共衰數丙本銀二千両與七月相乘(滿七)(月悉収回則七月以前皆為二千両)得一萬四千両又以十七月與二十四月相減餘七月與别出本銀一千六百両相乘(七月悉収回不算外至第)(十七月方出本一千六百両是十七月以後二十四月以前止七月也)得一萬一千二百両二數相併共二萬五千二百両為丙之共衰數以甲乙丙三衰數相併(甲六萬二千乙五萬五千八百丙二萬五千二百)共得一十四萬三千両為一率總利銀八千五百八十両為二率一両為三率求得四率六分以各人衰數乘之甲得三千七百二十両乙得三千三百四十八両丙得一千五百一十二両為各人所得利銀之數也設如有一大石不知其重但知一小石重四両求大石重幾何法用一木杆結繫於中両端令平乃以大石掛於一端以小石作砣稱之如大石距提繫一寸小石距提繫六寸得平則以一寸為一率小石重四両為二率六寸為三率求得四率二十四両即大石之重也如圗甲乙為大石距提繫一寸甲丙為小石距提繫六寸丁為大石戊為小石戊小石之重即甲乙之分丁大石之重即甲丙之分故甲乙與戊小石之比同於甲丙與丁大石之比也設如有銀大小二錠共重十五両求大小錠各重幾何法用一木杆結繫於中両端令平乃以大錠小錠各掛一端如大錠距提繫四寸小錠距提繫六寸得平則以四寸六寸相加得十寸為一率共重十五両為二率大錠距提繫四寸為三率得四率六両即小錠之重如以小錠距提繫六寸為三率則得四率九両即大錠之重也如圗甲乙為大錠距提繫四寸甲丙為小錠距提繫六寸故以甲乙甲丙共分與丁戊共重之比同於甲乙與戊小錠之比亦同於甲丙與丁大錠之比也設如以戥稱銀戥數不足將砣上加四兩稱之得二百兩原砣重八兩問銀實重幾何法以原砣重八兩爲一率又以原砣八兩與加四兩相併得十二兩爲二率以今稱二百兩爲三率得四率三百兩爲原銀之重數也如圖甲乙爲二百兩之分丙爲砣重十二兩試將甲乙戥衡引長至丁甲丁爲三百兩之分戊爲原砣重八兩甲乙乗丙砣卽與甲丁乗戊砣之數等故以戊砣與甲乙之比同於丙砣與甲丁之比爲轉比例四率也設如戥子失去墜砣欲配一砣不知輕重以重三兩之物用六錢之砣稱之得四兩問原砣重幾何法以原重三兩爲一率今稱得四兩爲二率今砣重六錢爲三率求得四率八錢卽原砣之重也如圖甲乙爲戥盤距提繫之分丙爲物重甲丁爲三兩之分戊為原砣甲己為四両之分庚為今砣以比例論之甲乙與戊砣之比同於甲丁與丙重之比又甲乙與庚砣之比同於甲己與丙重之比是甲丁乘戊砣即與甲己乘庚砣之數等故以甲丁與庚砣之比即同於甲己與戊砣之比為轉比例四率也設如河口上寛十尺下寛六尺深五尺求每日流水幾何法以木板一塊置於水面用騐時儀墜子候之看六十秒内木板流逺幾丈如流逺十丈即以十丈變為一百尺乃以河上寛十尺與下寛六尺相加折半得八尺與河深五尺相乘得四十尺又與木板流逺一百尺相乘得四千尺即六十秒内所流之數又以六十秒収為一分為一率水流四千尺為二率以每日二十四小時化為一千四百四十分(一小)(時為四刻一刻為十五分)為三率求得四率五千七百六十萬尺即一日内所流之數也此法先用木板以騐所流之緩急水急則木随水流亦急水緩則木随水流亦緩看木之緩急即知水流之多少故先求得河口面積再以逺乘之即得水流之積數也設如有房一所不知間數亦不知房價但云每房六間每年租銀二十四両五年後適得本銀每房八間每年租銀三十五両八年後得本銀外又得利銀二千一百六十両問房數房價各幾何法以五年與每年二十四両相乘得一百二十両以八年與每年三十五両相乘得二百八十両是為每房六間租一百二十両適足每房八間租二百八十両盈二千一百六十両乃以六間互乘二百八十両得一千六百八十両以八間互乘一百二十両得九百六十両相減餘七百二十両為一率以六間與八間相乘得四十八間為二率以利銀二千一百六十両為三率得四率一百四十四間即房之總數也又以六間為一率五年得一百二十両為二率總房一百四十四間為三率得四率二千八百八十両即房價或以八間為一率八年得二百八十両為二率總房一百四十四間為三率得四率五千零四十両内減利銀二千一百六十両亦得二千八百八十両為房價也此法葢因五年八年之數不同故以五年八年與每年銀數相乘作總得租銀算也設如有銀買物不知銀數亦不知物價但云取銀六分之五買之則多六両取銀四分之三買之仍多二両問銀數及物價各幾何法以前分母六互乘後分子三得十八以後分母四互乘前分子五得二十相減餘二分為一率盈六両與盈二両相減餘四両為二率両分母互乘得二十四分為三率求得四率四十八両即為銀數取六分之五為四十両減盈六两得三十四両為物價或取四分之三得三十六両減盈二両亦得三十四両為物價也又先得物價之法以前分母六互乘後分子三得十八以後分母四互乘前分子五得二十又以十八互乘盈六両得盈一百零八両為加十八倍以二十互乘盈二両得盈四十両為加二十倍乃以十八倍與二十倍相減餘二倍為一率互乘所得両盈數相減餘六十八両為二率一倍為三率求得四率三十四両即物價加盈六両得四十両即原銀六分之五乃用五歸六因得四十八両為原銀數或於物價三十四両加盈二両得三十六両即原銀四分之三乃用三歸四因亦得四十八両為原銀數也此盈朒單法因帶分母子不同故用通分互乘以齊其分耳設如有銀買米不知米數亦不知米價只云買米四分之一用銀二十両則米少一石若買三分之一用銀二十四両則米多二石問米數及米價各幾何法以前分母四互乘得分子一得四以後分母三互乘前分子一得三乃以互乘所得後分子四互乘二十両得八十両互乘朒一石得朒四石又以互乘所得前分子三互乘二十四両得七十二両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石與盈六石相加得十石為一率八十両與七十二両相減餘八両為二率一石為三率求得四率八錢即米一石之價也既得米價乃以八錢除二十両得二十五石減朒一石餘二十四石為米四分之一以四因之得九十六石即米數或以八錢除二十四両得三十石加盈二石得三十二石為米三分之一以三因之亦得九十六石為米數也葢以分母互乘前則為十二分之三後則為十二分之四(両分母互乘得十二)又以分子互乘前則為米十二分(両分子互乘亦得十二分)用銀八十两朒四石後則為米十二分用銀七十二両盈六石夫米之分數既同而銀差八両則盈朒差十石故知十石價八両即知一石價八錢也此䨇套盈朒之法但有米之分數又有石數故立法微不同若止帶零分則惟用通分法餘俱與䨇套盈朒之法同又先得米數之法以銀數列於上分數列於下乃以前分母四互乘後分子一得四以後分母三互乘前分子一得三又以二十両互乘後所得分子四得八十分互乘盈二石得盈四十石以二十四両互乘前所得分子三得七十二分互乘朒一石得朒二十四石乃以七十二分與八十分相減餘八分為一率朒二十四石與盈四十石相加得六十四石為二率両分母互乘得十二分為三率求得四率九十六石即原米數也既得米數四歸之得二十四石加朒一石得二十五石以除二十両得八錢為米價或將米數三歸之得三十二石減盈二石餘三十石以除二十四両亦得八錢為米價也葢用互乘前則為四百八十両(二十両與二十四両互乘得四百八十両)買米十二分之七十二朒二十四石後則為四百八十両買米十二分之八十盈四十石夫銀數既同而米差八分則盈朒相差六十四石故知八分為六十四石即知十二分為九十六石也又法以二十両朒一石俱用四因之得八十両朒四石(因四分之一價二十両故用四因為米總價)又以二十四両盈二石俱用三因之得七十二両盈六石(因三分之一價二十四両故用三因為米)(總價)作盈朒單法算以朒四石與盈六石相加得十石為一率八十両與七十二両相減餘八両為二率一石為三率求得四率八錢即米一石之價也此法葢因分數整齊故可比例而得其全分之價若有竒零則湏用前法或用通分法算之設如有一數不知幾何但云以三乘之再加一十又以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以六乘之再加四十共得六千七百問原數幾何法先以所加之一十以四乘之又以五乘之又以六乘之得一千二百再以所加之二十以五乘之又以六乘之得六百再以所加之三十以六乘之得一百八十乃以所得之三數相加得一千九百八十併所加之四十共二千零二十與共數六千七百相減餘四千六百八十為連乘之整數乃借一衰為原數以三乘之仍得三又以四乘之得一十二又以五乘之得六十又以六乘之得三百六十衰為一率原數一衰為二率以連乘整數四千六百八十為三率求得四率十三即為原數也此法葢因三乘原數外加一十而又用四乘五乘六乘則此一十己用四乘五乘六乘矣四乘後加二十而又用五乘六乘則此二十已用五乘六乘矣五乘後加三十而又用六乘則三十已用六乘矣故將一十二十三十之數亦用連乘併後所加之四十與共數相減然後為三四五六與原數連乘之整分而以三四五六連乘所得之三百六十與原數一為比例即同於今三四五六連乘所得之四千六百八十與原數十三之比例也設如甲乙二車運糧甲車先行二日乙車後行五日追及甲車比乙車運價少五錢又甲車先行二日乙車後行七日追過甲車八十里甲車比乙車運價少一両一錢問甲乙二車日行里數及運價各幾何法以乙車五日為正甲車七日為負里數相等作一空位(甲車先行二日乙車行五日追及是乙車)(行五日甲車行七日其里數相等)運價多五錢為正列於上又以乙車七日為正甲車九日為負過八十里為正運價多一両一錢為正列於下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十里多一両一錢得乙三十五日仍為正甲四十五日仍為負多行四百里運價多五両五錢仍為正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日運價多五錢得乙三十五日仍為正甲四十九日仍為負多三両五錢仍為正相等無可乘仍為空位於是以上層為主両下相較則乙各三十五日彼此減盡甲両下相減餘四日本層少變負為正里數無可加減仍得四百里為正價両下相減餘二両依本層為正即甲車四日行四百里運價二両也以四日除四百里得一百里為甲車每日所行之里數以四日除二両得五錢即甲車每日之運價以乙車七日比甲車九日多行八十里價多一両一錢計之則甲車九日行九百里加多八十里共九百八十里為乙車七日所行之里數以七日除之得一百四十里即乙車每日所行之里數甲車九日運價四両五錢加多一両一錢共五両六錢為乙車七日之運價以七日除之得八錢即乙車每日之運價也此法因有里數運價二種或名疊脚然不過除両次耳若里數為較運價為和難以分列正負者則分両法算之設如甲乙丙三人有銀各不知數只云甲得乙銀二分之一乙得丙銀三分之一丙得甲銀四分之一則各得七百两問三人原銀各幾何法先以甲三分乙一分共七百両列於上(甲原銀四分丙得去一分餘三分又得乙一分故為甲三分乙一分共七)(百両丙無數作空位以足其分)又以甲一分丙二分共七百両列於下(丙原銀三分乙得去一分餘二分又得甲一分)(故為甲一分丙二分共七百両乙無數亦作空位以足其分)乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原數於是以下層為主両下相較則甲各三分彼此減盡乙一分無可減仍為一分依本層為正丙六分無可減仍為六分本層無數則為負銀両下相減餘一千四百両本層少爲負即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分為正丙六分為負少一千四百両為負列於上又以乙一分丙一分共七百兩列於下(乙原銀二分甲得去一分餘一分又)(得丙一分故為乙一分丙一分共七百両因為和數故不用號)因首色皆為一故省互乘両下相較則乙各一分彼此減盡丙六與丙一相加得七分銀一千四百與七百相加得二千一百両即為丙七分之共數以七除之得三百両為丙一分之數以丙原銀三分乘之得九百両為丙之銀數以乙一分丙一分共七百両計之則於七百両内減去丙一分三百両餘四百両即乙一分之數以乙原銀二分乘之得八百両為乙之銀數以甲三分乙一分共七百両計之則於七百両内減去乙一分四百両餘三百両三歸之得一百両即甲一分之數以甲原銀四分乘之得四百両為甲之銀數也設如有長方面積八百六十四歩一長二闊三和四較共三百一十二歩問長闊各幾何法以積數八因之得六千九百一十二歩為大長方形積乃以長闊和較共數三百一十二歩為長闊和折半得一百五十六歩為半和自乘得二萬四千三百三十六歩與六千九百一十二歩相減餘一萬七千四百二十四歩開平方得一百三十二歩為半較與半和一百五十六歩相減得二十四歩為原闊數以闊除原積八百六十四歩得三十六歩為原長數也此法葢因三和内有三長三闊加一長二闊共四長五闊如以四較加於四闊則又成四長是共得八長一闊此三百一十二歩即八長一闊之共數今將原積八倍之成一大長方形其闊即原闊其長為原長之八倍故以三百一十二為長闊和求得闊即為原闊以原闊除原積即得原長也設如買果木樹不知樹數亦不知樹價但知樹每株之價為樹共數之六倍而每株脚錢六文其脚錢并樹價共三千六百文問樹每株價及樹數各幾何法先以共錢三千六百文六因之得二萬一千六百文為長方積脚錢六文為縱多爰以縱多六文折半得三文為半較自乘得九文與二萬一千六百文相加得二萬一千六百零九文開平方得一百四十七文為半和内減半較三文得一百四十四文為樹每株之價六歸之得二十四為樹之共數也此法以樹數為闊樹價併脚錢為長成長方形因每株之價為樹數之六倍是長為闊之六倍又多六文故六倍其積則長比闊多六文故以帶縱開方法算之得闊為樹價六歸之得樹數也設如一河寛一丈二尺中間生一蒲草出水面三尺斜引蒲稍至岸適與岸齊問蒲長水深各幾何法以河寛一丈二尺折半得六尺為勾以蒲稍出水三尺為股弦較乃以勾六尺自乘得三十六尺以股弦較三尺除之得一十二尺為股弦和加股弦較三尺得一十五尺折半得七尺五寸為弦即蒲之長内減股弦較三尺餘四尺五寸為股即水之深也如圖甲乙為河寛丙丁為蒲長與甲丁等戊丁為水深丙戊為蒲稍出水三尺故戊丁為股甲戊為勾甲丁為弦丙戊為股弦較用有勾有股弦較之法求得股為水深得弦為蒲之長也設如圓柱髙二十一尺周四尺以繩自底至末繞柱七周與柱適齊問繩長幾何法以柱周四尺七因之得二十八尺為股柱髙二十一尺為勾求得弦三十五尺即繩之長也此法葢合七勾股為一勾股算也如圖甲乙為柱髙二十一尺甲丙為七分之一若將柱面平鋪之成一平面則丙丁即柱周四尺甲丁即繩繞柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙為甲丙之七倍繩長為甲丁之七倍故將柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲乙為勾乙戊為股求得甲戊弦即繩長也設如一方匣内對角斜容一比例尺長一尺一寸寛三寸問匣方邊幾何法以比例尺寛三寸與長一尺一寸相加得一尺四寸自乘折半開方得九寸八分九釐九豪即方匣之邊數也如圗甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺丁乙為對角斜線癸壬為比例尺之長壬乙與丁癸二叚與己庚寛度等葢以己庚度作己子丑庚正方形則乙為方之中心壬乙為己庚方邊之一半與壬庚等而壬乙與丁癸両段即與己庚等故以比例尺之長闊相加即為丁乙對角斜線用斜求方之法自乘折半開方即得方邊也設如三角形底二丈八尺小腰與中垂線之較二尺大腰與中垂線之較六尺問両腰各幾何法借一衰為中垂線則小腰為一衰多二尺小腰與中垂線之和為二衰多二尺與小腰較二尺相乗得四衰多四尺為小分底自乘方積大腰為一衰多六尺大腰與中垂線之和為二衰多六尺與大腰較六尺相乘得十二衰多三十六尺為大分底自乘方積以両方積相較則大分底方為小分底方之三倍多二十四尺(大分底方十二衰為小分底方四衰之三倍即將小分底)(方四衰多四尺以三因之得十二衰多十二尺與大分底方十二衰多三十六)(尺相減仍餘二十四尺)乃以底二十八尺自乘得七百八十四尺内減去所多之二十四尺餘七百六十尺為小分底自乘四正方小分底乘大分底二長方積折半得三百八十尺為小分底自乘二正方小分底乘大分底一長方積共成一大長方底二十八尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十尺為小分底自乘得一百尺以小腰較二尺除之得五十尺為小腰與中垂線之和内加小腰較二尺得五十二尺折半得二十六尺即小腰又以小腰較二尺與大腰較六尺相減餘四尺即大腰與小腰之較與小腰二十六尺相加得三十尺即大腰也如圗甲乙丙三角形甲乙為小腰甲丙為大腰乙丙為底自甲角作甲丁垂線則分為甲丁乙甲丁丙両勾股形以甲乙甲丁股弦和與甲乙甲丁股弦較相乘則得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形(見勾股法)以甲丁甲丙股弦和與甲丁甲丙股弦較相乘則得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形既為乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺故於乙壬癸丙大正方形内減去二十四尺餘者即與乙戊己丁三正方等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己庚子癸辛為大分底乘小分底二長方共成丑寅卯丙一長方形折半得丑辰己丙長方形乙丙即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得闊為乙丁小勾自乘以股弦較除之得股弦和故加股弦較折半即得甲乙為弦也或求得甲丙邊亦同設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一丈二尺二寸甲乙甲丙両邊較三尺八寸求乙角丙角度幾何法依甲丙邊度截甲乙邊於丁餘乙丁即両邊較自丙至丁作丙丁線成乙丁丙鈍角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸為一率乙丁邊三尺八寸為二率甲角五十三度八分與一百八十度相減餘一百二十六度五十二分折半得六十三度二十六分即丁鈍角之外角(與丁丙甲)(角等)其正弦八萬九千四百四十一為三率求得四率二萬七千八百五十八為丙分角正弦撿表得十六度十分為丙分角與丁丙甲角六十三度二十六分相加得七十九度三十六分即丙角度以丙分角與丁外角相減餘四十七度十六分即乙角度也設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙邊一丈一尺二寸甲乙乙丙両邊較二尺八寸求乙角丙角度各幾何法依乙丙邊度截甲乙邊於丁餘甲丁即両邊較自丙至丁作丙丁線成甲丁丙鈍角形乃以甲丁邊二尺八寸與甲丙邊一丈一尺二寸相加得一丈四尺為一率甲丁與甲丙相減餘八尺四寸為二率甲角半外角六十三度二十六分之正切線一十九萬九千九百八十六為三率求得四率一十一萬九千九百九十一為半較角切線撿表得五十度十二分為半較角度與半外角相減餘十三度十四分為丙分角倍之與甲角相加得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂與半周相減餘四十七度十六分即乙角度也葢以丙分角與甲角相加則得丙丁乙角與丙大分角等是丙大分角與一丙小分角一甲角之度等故倍小分角與甲角相加得丙全角也設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一丈二尺二寸甲乙甲丙両邊和二丈六尺二寸求丙角乙角度各幾何法以甲乙與甲丙相加得丙丁自乙至丁作乙丁線成丁乙丙三角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸為一率丙丁邊二丈六尺二寸為二率甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分即丁角(與甲乙丁角等)其正弦四萬四千七百二十四為三率求得四率九萬六千零四十六為丙乙丁角正弦撿表得七十三度五十分為丙乙丁角内減半甲角二十六度三十四分(即甲乙丁角)餘四十七度十六分即乙角度以甲角乙角相併與半周相減餘七十九度三十六分即丙角度也設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙邊一丈五尺甲丙乙丙両邊和二丈三尺四寸求乙角丙角度幾何法以甲丙與乙丙相加得甲丁自乙至丁作乙丁線成甲乙丁三角形乃以甲丁邊二丈三尺四寸與甲乙邊一丈五尺相加得三丈八尺四寸為一率甲丁邊與甲乙邊相減餘八尺四寸為二率甲角五十三度八分與半周相減折半得半外角六十三度二十六分其正切線一十九萬九千九百八十六為三率求得四率四萬三千七百四十七為半較角切線撿表得二十三度三十八分為半較角與半外角相減餘三十九度四十八分為丁角度倍之得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂與半周相減餘四十七度十六分即乙角度也設如有一旗杆不知其髙用日影測之問髙幾何法先立一表長五尺看影長幾尺如得四尺同時看旗杆影為幾尺如得二丈四尺乃以表影長四尺為一率表髙五尺為二率旗杆影長二丈四尺為三率求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲乙為旗杆乙丙為旗杆影丁戊為表髙戊己為表影甲乙丙與丁戊己為同式勾股形故己戊與丁戊之比同於乙丙與甲乙之比也設如有塔一座不知其髙亦不知其逺用日影測之問塔髙幾何法先立一表長六尺影長四尺同時看塔影所至記之閲時看表影長五尺塔影比先所記之處長幾尺如得八尺乃以表影差一尺為一率表髙六尺為二率影差八尺為三率求得四率四丈八尺即塔之髙也如圗甲乙為塔髙乙丙為先所記塔影乙丁為後所記塔影戊己為表髙己庚為先所記表影己辛為後所記表影戊庚辛與甲丙丁戊己庚與甲乙丙皆為同式形故庚辛與戊己之比同於丙丁與甲乙之比也設如逺望一村欲知其逺用放鎗騐時儀墜子候之問逺幾何法令一人在村邊放鎗一見烟出即用騐時儀墜子候之一聞鎗響即止計自見烟至聞響得幾秒如得三秒即以一秒為一率一百二十八丈五尺七寸為二率三秒為三率求得四率三百八十五丈七尺一寸即距村之逺也葢響與烟一時並出其見烟而未聞響者聲未至也故自見烟至聞響之分即路逺之分嘗以其分較之路逺五里得七秒以七歸之每秒得一百二十八丈五尺七寸聞雷亦然自一見電光至聞雷響候其秒數即得里數也設如梭形闊四尺中長九尺求積幾何法以中長九尺與闊四尺相乘得三十六尺折半得十八尺即梭形積也如圗甲乙丙丁梭形以乙丁與甲丙相乘則成戊己庚辛長方形其積比梭形多一倍故半之為梭形積也此法必甲乙與乙丙等甲丁與丁丙等或甲乙與甲丁等乙丙與丁丙等則其中長適為両三角形之垂線故長闊相乘折半而得積也若中長不得為垂線則湏先量得四邊數及長數或闊數用三角形求中垂線法算之設如三廣形上闊三尺中闊五尺下闊四尺上截長六尺下截長四尺求積幾何法以中闊五尺與上闊三尺相加折半得四尺與上截長六尺相乘得二十四尺又以中闊五尺與下闊四尺相加折半得四尺五寸與下截長四尺相乘得十八尺両數相併得四十二尺即三廣形積也如圗甲乙丙丁戊己三廣形以乙戊線分之則成甲乙戊己乙丙丁戊両梯形故用梯形求積之法(見第十九卷直線形)求得両梯形之積而併之即為三廣形積也舊術以上下闊相加折半加中闊與長相乘得積此必上下両截長數相等者然後可算若上下不相等湏用両梯形算之設如眉形両尖相距弦長二十四尺外弧距弦九尺内弧距弦四尺求積幾何法以両尖相距二十四尺為弦外弧距弦九尺為矢用弧矢求積法以矢九尺為首率弦二十四尺折半得十二尺為中率求得末率十六尺加矢九尺得二十五尺為圜徑折半得半徑十二尺五寸為一率半弦十二尺為二率半徑十萬為三率求得四率九萬六千為半外弧之正弦撿八線表得七十三度四十五分為半外弧之度分倍之得一百四十七度三十分為外弧之度分乃以三百六十度為一率外弧一百四十七度半為二率全徑二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九釐八豪為三率求得四率三十二尺一寸七分九釐五豪為外弧之數與半徑十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分為自圜心所分弧背三角形積又以矢九尺與半徑十二尺五寸相減餘三尺五寸與弦二十四尺相乘折半得四十二尺為自圜心至弦所分直線三角形積與弧背三角形積相減餘一百五十九尺一十二寸一十八分為外弧矢全積(見第二十卷曲線形)又以両尖相距二十四尺為弦内弧距弦四尺為矢亦用弧矢求積法求得内弧矢虚積六十五尺三十七寸六十分與外弧矢積相減餘九十三尺七十四寸五十八分即眉形積也如圗甲乙丙丁眉形甲丙為弦乙戊為外弧矢丁戊為内弧矢成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧矢形積又求得甲丁丙戊弧矢形積相減即得甲乙丙丁眉形積也設如橄㰖形長二尺四寸闊八寸求積幾何法以長二尺四寸為弦闊八寸折半得四寸為矢用弧矢求積法求得弧矢積六十五尺三十七寸六十分倍之得一百三十尺七十五寸二十分即橄㰖形積也如圗甲乙丙丁橄㰖形自甲至丙作甲丙線平分乙丁於戊則成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形積倍之即橄㰖形積也設如錢形徑一尺二寸求積幾何法以錢形徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐又求得内容方積七十二寸相減餘四十一寸零九分七十三釐倍之得八十二寸一十九分四十六釐即錢形積也如圖甲乙丙丁錢形作戊己己庚庚辛辛戊四線則分為壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢形故先求得圜形積又求得戊己庚辛内方積相減餘壬癸子丑四弧矢形倍之即得錢形積也設如銀錠形徑一尺二寸求積幾何法以銀錠形徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸即銀錠形積也如圖甲乙丙丁戊己銀錠形以甲丁徑自乘折半則得乙丙戊己正方其所虚庚辛二弧矢形與所盈壬癸二弧矢形之積等故乙丙戊己正方積即與銀錠形之積等也設如甲乙丙丁四平圜共積二百一十七尺五十五寸五十三分一十釐甲圜徑比乙圜徑多三尺乙圜徑比丙圜徑多三尺丙圜徑比丁圜徑多二尺問四圜徑各幾何法用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率四平圜共積二百一十七尺五十五寸五十三分一十釐為三率求得四率二百七十七尺為四平方共積乃以丙圜徑比丁圜徑所多之二尺自乘得四尺又以乙圜徑比丁圜徑所多之五尺(丙比丁多二尺乙又比丙多三尺故)(乙比丁多五尺)自乘得二十五尺又以甲圜徑比丁圜徑所多之八尺(乙比丁多五尺甲又比乙多三)(尺故甲比丁多八尺)自乘得六十四尺三數相併得九十三尺與四平方共積二百七十七尺相減餘一百八十四尺為長方積以丙圜徑比丁圜徑多二尺乙圜徑比丁圜徑多五尺甲圜徑比丁圜徑多八尺相加得十五尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八尺二歸之得四尺即丁圜徑加二尺得六尺即丙圜徑再加三尺得九尺即乙圜徑再加三尺得十二尺即甲圜徑也如圖甲乙丙丁四平圜形變為甲乙丙丁四平方形則四圜徑之較即四方邊之較故於四方形内減去壬癸子三較方餘戊己庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六長方共成未申酉戌一長方戌亥為長闊之較即三邊較之共數故用帶縱較數開平方法算之得闊折半而得丁方邊即丁圜徑遞加之即得甲乙丙各圜徑也設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方邊離圜界五丈方内圜外積三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分問方邊圜徑各幾何法以方邊離圜界五丈自乘得二十五丈四因之得一百丈與方内圜外積三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相減餘二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分乃以圜積定率七八五三九八一六與方積定率一○○○○○○○○相減餘二一四六○一八四為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分為三率求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分為長方積又以二一四六○一八四為一率一○○○○○○○○為二率以方邊離圜界五丈四因之得二十丈為三率求得四率九十三丈一尺九寸五分為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十丈即内圜徑加方邊離圜界共十丈得二十丈即外方邊也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形以方邊離圜界五丈自乘四因與積相減則減去己庚辛壬四小方形餘癸子丑寅四長方形及卯辰巳午四隅積今欲以卯辰巳午四隅積補足戊圜虚積共成未申酉戌長方形應以定率之方積圜積相減餘方内圜外積為一率方積為二率今所餘之卯辰巳午方内圜外積為三率則得四率為未亥方積而戊圜虚積即補足在其中然今乃以卯辰巳午四隅積并癸子丑寅四長方積共為三率則戊圜虚積固已補足而癸子丑寅四長方積必多補出之分是知癸子丑寅四長方形其寛仍為戌酉而亥酉之長必亦多補出之分矣(癸子丑寅四長)(方形為二平行線内直角方形其面之互相為比同於其底之互相為比見幾)(何原本八卷第七節)故又以定率之方積圜積相減餘方内圜外積為一率方積為二率以方邊離圜界五丈四因之得亥酉之長為三率求得四率即將亥酉之長亦増補出之分乃以此為長闊之較求得未申闊即為内圜徑也設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方角離圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外積一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分問方邊圜徑各幾何法以方角離圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈與方内圜外積一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相減餘五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢積二八五三九八一六為一率(方積一○○○○○○○○方内容圜積七八五三九八)(一六圜内容方積五○○○○○○○相減餘二八五三九八一六為弧矢積)圜内容方積五○○○○○○○為二率今減餘積五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分為三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分為長方積又以二八五三九八一六為一率五○○○○○○○為二率以方角離圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方邊十五丈四因之得六十丈為三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十丈即内圜所容方邊以四隅方邊十五丈倍之得三十丈與内圜所容方邊十丈相加得四十丈即外方邊以内圜所容方邊十丈求得對角斜線十四丈一尺四寸二分即内圜徑加方角離圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方對角斜線也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角離圜界甲卯自乘倍之與積相減則減去己庚辛壬四小正方形(以甲卯自乘折半得己正方形積故甲卯)(自乘倍之即得四正方形積也)餘癸子丑寅四長方形而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所虚之未申酉戌四弧矢形變為卯辰巳午一正方形應以定率弧矢積為一率方積為二率未申酉戌四弧矢虚積為三率則得四率為卯辰巳午虚方積然今無未申酉戌四弧矢虚積而以癸子丑寅四長方形内虚未申酉戌四弧矢形之餘積為三率實積既變則虚積亦變故求得四率為卯辰亥乾長方形而内虚卯辰巳午正方形葢癸子丑寅四長方實積與午巳亥乾長方積之比同於弧矢積與方積之比則其所虚之未申酉戌四弧矢形與卯辰巳午正方形之比亦同於弧矢積與方積之比而癸子丑寅之共長與長亥之比亦必同於弧矢積與方積之比矣故以四長方之共邊比例得辰亥邊為長闊和求得卯辰闊為内圜所容正方形之每一邊也設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離方角五丈圜内方外積二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分問圜徑方邊各幾何法以圜界離方角五丈自乗得二十五丈四因之得一百丈又以圜積定率七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率今圜内方外積二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分為三率求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分内減所得一百丈餘二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分乃以定率弧矢積二八五三九八一六(方積一○○○○○○○○内容圜積七八五)(三九八一六圜内容方積五○○○○○○○相減餘二八五三九八一六)用圜積變方積法通之得三六三三八○二三為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分為三率求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸為長方積又以三六三三八○二三為一率一○○○○○○○○為二率以圜界離方角五丈四因之得二十丈為三率求得四率五十五丈零三寸八分七釐四豪為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十丈即内方對角斜線用斜求方法算之得七丈零七寸一分即内方邊以内方對角斜線十丈加圜界離方角共十丈得二十丈即外圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方環形而多丑寅卯辰四弧矢形所變之積葢圜環變為方環今圜内方外積比圜環積多丑寅卯辰四弧矢形故所變之方環亦多丑寅卯辰四弧矢形所變之積也以圜界離方角五丈自乘四因與積相減則減去巳午未申四小方形餘酉戌亥乾四長方形及丑寅卯辰四弧矢形所變之積今欲以丑寅卯辰四弧矢形所變之積補成辛壬癸子正方形共成辛壬坎艮長方形應以定率四弧矢形已變之積為一率方積為二率(設方積為一○○○○○○○○方内容圜積為七)(八五三九八一六圜内容方積為五○○○○○○○内圜積與内方積相減)(餘二八五三九八一六是二八五三九八一六與一○○○○○○○○相比)(為弧矢積與外方積之定率也然今所多之四弧矢積先已用圜率變為方率)(故又以圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率)(弧矢積二八五三九八一六為三率得四率三六三三八○二三是三六三三)(八○二三與一○○○○○○○○相比為已變之弧矢積與外方積之定率)(也)今所多之丑寅卯辰四弧矢形已變之積為三率則得四率為辛壬癸子正方積然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已變之積并酉戌亥乾四長方積共為三率則辛壬癸子正方積固已補足而酉戌亥乾四長方必多補出之分是知酉戌亥乾四長方其寛仍為子癸而癸坎之長必亦多補出之分矣故又以四弧矢形已變之積為一率方積為二率以圜界離方邊五丈四因之得癸坎之長為三率求得四率即將癸坎之長亦増補出之分乃以此為長闊之較求得辛壬闊即内方對角斜線也設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離方邊十五丈圜内方外積一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分問圜徑方邊各幾何法以圜界離方邊十五丈自乘得二百二十五丈四因之得九百丈又以圜積方積定率比例圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率今圜内方外積一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分為三率求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分内減所得九百丈餘五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分乃以方内圜外積二一四六○一八四(方積一○○○○○○○○内容圜積七八五三九八一六相)(減餘二一四六○一八四)用圜積變方積法通之得二七三二三九五五為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分為三率求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分為長方積又以二七三二三九五五為一率一○○○○○○○○為二率以圜界離方邊十五丈四因之得六十丈為三率求得四率二百一十九丈五尺八寸八分為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十丈即内方邊加圜界離方邊共三十丈得四十丈即外圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方環形而少丑寅卯辰四隅所變之積葢圜環變為方環今圜内方外積比圜環積少丑寅卯辰四隅故所變之方環亦少丑寅卯辰四隅所變之積也以圜界離方邊十五丈自乘四因與積相減則減去巳午未申四小正方形餘酉戌亥乾四長方形而内少丑寅卯辰四隅所變之積今欲以所虚之丑寅卯辰四隅形所變之積作為辛壬癸子正方形應以定率四隅形已變之積為一率方積為二率(設方積為一○○○○○○○○方内容圜積為七八五三九)(八一六相減餘二一四六○一八四是三一四六○一八四與一○○○○○)(○口○相比為圜外四隅積與外方積之定率也然今所少者乃圜外四隅積)(用圜積方積比例之數故又以圜積七八五三九八一六為一率方積一○○)(○○○○○○為二率圜外四隅積二一四六○一八四為三率求得四率二)(七三二三九五五是二七三二三九五五與一○○○○○○○○相比為已)(變之四隅積與外方積之定率也)丑寅卯辰四隅形已變之虚積為三率則得四率為辛壬癸子虚方積然今無辛壬癸子四隅形已變之虚積而以酉戌亥乾四長方内虚丑寅卯辰四隅形之餘積為三率實積既變則虚積亦變故求得四率為辛壬坎艮長方形而内虚辛壬癸子正方形葢酉戌亥乾四長方實積與子癸坎艮長方形之比同於己變之四隅積與方積之比則其所虚之丑寅卯辰四隅已變之積與辛壬癸子正方形之比亦同於己變之四隅積與方積之比而酉戌亥乾之共長與壬坎之比亦少同於己變之四隅積與方積之比矣故以四長方之共邊比例而得壬坎邊為長闊和求得辛壬闊為内方邊也設如有一大球體内容四小球體大球徑一尺二寸求小球徑幾何法以大球徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二百八十八寸為長方積以大球徑一尺二寸四因之得四尺八寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊五寸三分九釐三豪即内容四小球之徑也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己四小球體試自四小球之中心俱各作線聮之則成一四等面體又以甲乙大球心為心丙丁戊己小球心為界作一虚圓則成四等面體外切圓球體其四面體之一邊即小球徑以四面體外切丁庚虚球徑加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙辛壬正方形内甲癸丁子為小球徑自乘方(即四面體每邊自乘方)丁庚辛丑為四面體外切圓球徑自乘方癸乙庚丁子丁丑壬為四面體之每邊與外切圓球徑相乘二長方凡四面體每邊自乘方為外切圓球徑自乘方三分之二(見第二十八卷球内容四)(面體法)故甲癸丁子正方形為丁庚辛丑正方形三分之二將甲乙辛壬正方形倍之則得甲癸丁子二正方丁庚辛丑二正方癸乙庚丁四長方而丁庚辛丑二正方為甲癸丁子正方形之三倍是共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四長方即與寅卯辰巳長方積等其巳午長闊之較為甲乙球徑之四倍故四因大球徑為較縱求得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為四面體之一邊自乘二歸三因開平方得四面體外切圓球徑再加一小球徑即大球徑也設如有一大球體内容六小球體大球徑一尺二寸求小球徑幾何法以大球徑一尺三寸自乘得一尺四十四寸為長方積以大球徑一尺二寸倍之得二尺四寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸九分七釐即内容六小球之徑數也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己庚辛六小球體試自六小球之中心俱各作線聮之則成一八等面體其八面體之一邊即小球徑以八面體之對角線加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙壬癸正方形内甲子丙丑為小球徑自乘方(即八面體每邊自乘方)丙戌壬寅為八面體對角線自乘方子乙戊丙丑丙寅癸為八面體之每邊與對角線相乘二長方凡八面體每邊自乘方為對角線自乘方之一半(見第二十七卷八面體法)故丙戊壬寅一正方與甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸一正方共為甲子丙丑三正方子乙戊丙二長方與卯辰巳午長方積等其午未長闊之較為甲乙球徑之二倍故倍大球徑為較縱求得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為八面體之一邊自乘加倍開方得對角線再加一小球徑即大球徑也設如一大球體内容八小球體大球徑一尺二寸求小球徑幾何法以大球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸為長方積以大球徑一尺二寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸三分九釐二豪即内容八小球之徑數也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己庚辛壬癸八小球體試自八小球之中心俱各作線聮之則成一正方體其正方體之一邊即小球徑以正方體之丙壬對角斜線加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙子丑正方形内甲寅卯辰為小球徑自乘方卯巳子午為正方體對角斜線自乘方寅乙巳卯辰卯午丑為小球徑乘正方體對角斜線二長方凡正方對角斜線自乘方為每邊自乘方之三倍(見第二十八卷球内容正方體法)故卯巳子午正方形為甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一長方共成未乙巳申一長方甲乙球徑即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為正方體之一邊自乘三因之開平方得正方體對角斜線再加一小球徑即大球徑也設如有三角形底十四尺中埀線十二尺大腰與小腰之較二尺求両腰各幾何法借一根為小腰則大腰為一根多二尺以一根自乗得一平方為小腰之面積内減中垂線十二尺自乗之一百四十四尺餘一平方少一百四十四尺為小分底之面積以一根多二尺自乘得一平方多四根多四尺為大腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方多四根少一百四十尺為大分底之面積又以底十四尺自乘得一百九十六尺内減去大小両分底之共面積二平方多四根少二百八十四尺餘四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為連比例三率葢大分底之面積為首率而小分底乘大分底之面積為中率小分底之積為末率也乃以首率大分底之面積一平方多四根少一百四十尺與末率小分底之面積一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二萬零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面積二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五萬七千六百尺此二數為相等両邊各減一三乘方四立方二萬零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根與三萬七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既與三萬七千四百四十尺相等則一平方多二根必與一百九十五尺相等乃以一百九十五尺為長方積以多二根作二尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十三尺為一根之數即小腰加二尺得十五尺即大腰也設如有三角形底十四尺中垂線十二尺大腰與小腰之和二十八尺求大小腰各幾何法借一根為小腰則二十八尺少一根為大腰以一根自乘得一平方為小腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方少一百四十四尺為小分底之面積以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方為大腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方少五十六根多六百四十尺為大分底之而積又以底四十尺自乘得一百九十六尺内減去大小両分底之共面積二平方少五十六根多四百九十六尺餘五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為連比例三率葢大分底之面積為首率而大分底乗小分底之而積為中率小分底之而積為末率也乃以首率大分底之面積一平方少五十六根多六百四十尺與末率小分底之面積一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九萬二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面積二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二萬二千五百尺此二數為相等両邊各減一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九萬二千一百六十尺與一千零八十四平方少八千四百根多二萬二千五百尺相等両邊各減四百九十六平方各加八千四百根又各加九萬二千一百六十尺得一萬六千四百六十四根與五百八十八平方多一十一萬四千六百六十尺相等一萬六千四百六十四根既與五百八十八平方多一十一萬四千六百六十尺相等則二十八根必與一平方多一百九十五尺相等故以一百九十五尺為長方積以二十八根作二十八尺為長闊和求得闊十三尺為一根之數即小腰也御製數理精藴下編巻三十七
## 下編卷三十八
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十八末部八對數比例對數比例對數比例乃西士若往訥白爾所作以借數與眞數對列成表故名對數表又有恩利格巴理知斯者復加增修行之數十年始至中國其法以加代乘以減代除以加倍代自乘故折半即開平方以三因代再乘故三歸即開立方推之至於諸乘方莫不皆以假數相求而得眞數葢為乘除之數甚繁而以假數代之甚易也其立數之原起於連比例葢比例四率二率與三率相乘一率除之得四率而遞加遞減之四數第二數第三數相加減第一數則得第四數作者有見於此故設假數以加減代乘除之用此表之所以立也然連比例之大者莫如十百千萬葢一與十十與百百與千千與萬萬與十萬其數皆為一而遞進一位取其整齊而無竒零也一為數之始以之乘除數皆不變故一之假數定為○而十之假數定為一百之假數定為二千之假數定為三萬之假數定為四十萬之假數定為五推之百千萬億皆遞加一數此對數之大綱也其間之零數則用中比例累求而得以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數又法用遞乘而得以眞數遞次相乘其乘得之位數即所得之假數此二法者理雖易明而數則甚繁也又有遞次開方一法以眞數遞次開方假數遞次折半至於數十次使彼此皆可為比例而假數由之而生又有相較之一法省開方之多次尤為甚㨗至於他數之可以乘除得者如二與三相乘而得六則以二之假數與三之假數相加即為六之假數又以二除十而得五則以二之假數與十之假數相減即為五之假數之類其不由乘除而得者則又以累乘累除之法求之此對數之細目也今為推其理考其數先詳作表之原次明用表之法使學者知作者之難而用之甚易甚勿以易而忘其難也明對數之原之一凡眞數連比例四率任對設遞加遞減之較相等之四假數其第二率相對之假數與第三率相對之假數相加内減第一率相對之假數即得第四率相對之假數若減第四率相對之假數即得第一率相對之假數如二四八十六連比例四率任對設二之假數為一四之假數為二八之假數為三十六之假數為四其遞加遞減之數皆為一以二率四相對之假數二與三率八相對之假數三相加得五内減一率二相對之假數一即得四率十六相對之假數四若減四率十六相對之假數四即得一率二相對之假數一或以二之假數為三四之假數為五八之假數為七十六之假數為九其遞加遞減之數皆為二以二率四相對之假數五與三率八相對之假數七相加内減一率二相對之假數三即得四率十六相對之假數九若減四率十六相對之假數九即得一率二相對之假數三明對數之原之二凡眞數連比例三率任對設遞加遞減之較相等之三假數其中率相對之假數倍之内減首率相對之假數即得末率相對之假數若減末率相對之假數即得首率相對之假數如一三九連比例三率任對設一之假數為四三之假數為五九之假數為六其遞加遞減之數皆為一以中率三相對之假數五倍之得十内減首率一相對之假數四即得末率九相對之假數六若減末率九相對之假數六即得首率一相對之假數四或以一之假數為八三之假數為五九之假數為二其遞加遞減之數皆為三以中率三相對之假數五倍之内減首率一相對之假數八即得末率九相對之假數二若減末率九相對之假數二即得首率一相對之假數八明對數之原之三凡眞數連比例幾率任對設遞加遞減之較相等之假數其中隔位取比例四率其第二率相對之假數與第三率相對之假數相加内減第一率相對之假數亦得第四率相對之假數若減第四率相對之假數亦得第一率相對之假數如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六連比例幾率任對設二之假數為一四之假數為二八之假數為三十六之假數為四三十二之假數為五六十四之假數為六一百二十八之假數為七二百五十六之假數為八其遞加遞減之數皆為一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相對之假數三與三率六十四相對之假數六相加得九内減一率四相對之假數二即得四率一百二十八相對之假數七若減四率一百二十八相對之假數七即得一率四相對之假數二明對數之綱之一凡假數皆可隨意而定然一之假數必定為○方與眞數相應而眞數連比例率十百千萬皆為一但遞進一位則其假數亦皆遞加一數葢乘除之數始於一故一不用乘亦不用除而加減之數始於○故○無可加亦無可減也假數旣以加減代乘除故一之假數必定為○而一與十十與百百與千千與萬萬與十萬皆為加十倍之相連比例率然其數皆為一但遞進一位故一之假數定為○者十之假數即定為一百之假數即定為二千之假數即定為三萬之假數即定為四十萬之假數即定為五百萬之假數即定為六千萬之假數即定為七億之假數即定為八亦皆遞加一數而假數即與位數相同試以一百與一千相乘得十萬為進二位以一百相對之假數二與一千相對之假數三相加即得十萬相對之假數五亦為加二數也以一十除一千得一百為退一位以一十相對之假數一與一千相對之假數三相減即得一百相對之假數二亦為減一數也如或以十之假數定為二百之假數定為四千之假數定為六是為遞加二數未甞不可然眞數進一位者假數則加二數即不得與位數相同矣明對數之綱之二凡眞數不同而位數同者其假數雖不同而首位必同眞數相同而遞進幾位者其假數首位必遞加幾數而次位以後却相同如自一至九眞數皆為單位則假數首位皆為○故二之假數為○三○一○二九九九五七三之假數為○四七七一二一二五四七四之假數為○六○二○五九九九一三五之假數為○六九八九七○○○四三六之假數為○七七八一五一二五○四首位以後零數遞增至十則首位皆為一至百則首位皆為二至千則首位皆為三至萬則首位皆為四至十萬則首位皆為五如一十一一百一十一千一百一萬一千一十一萬雖遞進一位而其數皆為一一故其假數首位雖遞加一數而次位以後皆同為○四一三九二六八五二明對數之目用中比例求假數法之一凡連比例率以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數如一十為首率一百為中率一千為末率以首率一十與末率一千相乘開平方得一百為中率以首率一十之假數一○○○○○○○○○○與末率一千之假數三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假數葢首率末率相乘與中率自乘之數等以首率末率兩假數相加即與中率之假數加倍之數等故折半為中率之假數也明對數之目用中比例求假數法之二凡十百千萬之假數既定而欲求其間零數之假數則以前後相近之兩數一為首率一為末率求得中率之眞數並求得中率之假數累次比例使中率恰得所求之眞數其假數即為所求之假數如求九之假數因九在一與十之間則以一為首率十為末率相乘開方得三一六二二七七七為第一次之中率即以首率一之假數○○○○○○○○○○○與末率十之假數一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○為第一次中率之假數此所得之中率較之首率去九為近故以所得之中率復為首率十為末率相乘開方得五六二三四一三二為第二次之中率即以第二次之首率末率兩假數相加折半得○七五○○○○○○○○為第二次中率之假數又以第二次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得七四九八九四二一為第三次之中率即以第三次之首率末率兩假數相加折半得○八七五○○○○○○○為第三次中率之假數又以第三次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得八六五九六四三二為第四次之中率即以第四次之首率末率兩假數相加折半得○九三七五○○○○○○為第四次中率之假數又以第四次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得九三○五七二○四為第五次之中率即以第五次之首率末率兩假數相加折半得○九六八七五○○○○○為第五次中率之假數此所得之中率較之末率去九為近故以第五次所得之中率復為末率仍以第五次之首率為首率相乘開方得八九七六八七一三為第六次之中率即以第六次首率末率兩假數相加折半得○九五三一二五○○○○為第六次中率之假數由此遞推去九漸近而即以相近之兩率比例相求得第七次之中率為九一三九八一七○其假數為○九六○九三七五○○○第八次之中率為九○一七九七七七其假數為○九五七○三一二五○○第九次之中率為九○一七三三三三其假數為○九五五○七八一二五○第十次之中率為八九九七○七九六其假數為○九五四一○一五六二五第十一次之中率為九○○七二○○八其假數為○九五四五八九八四三七第十二次之中率為九○○二一三八八其假數為○九五四三四五七○三一第十三次之中率為八九九九六○八八其假數為○九五四二二三六三二八第十四次之中率為九○○○八七三七其假數為○九五四二八四六六七九第十五次之中率為九○○○二四一二其假數為○九五四二五四一五○三第十六次之中率為八九九九九二五○其假數為○九五四二三八八九一五第十六次之中率為九○○○○八二一其假數為○九五四二四六五二○九第十八次之中率為九○○○○○四一其假數為○九五四二四二七○六二第十九次之中率為八九九九九六五○其假數為○九五四二四○七九八九第二十次之中率為八九九九九八四五其假數為○九五四二四一七五二六第二十一次之中率為八九九九九九四三其假數為○九五四二四二二二九四第二十二次之中率為八九九九九九九二其假數為○九五四二四二四六七八第二十三次之中率為九○○○○○一六其假數為○九五四二四二五八七○第二十四次之中率為九○○○○○○四其假數為○九五四二四二五二七四第二十五次之中率為八九九九九九九八其假數為○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率則恰得九○○○○○○○其假數為○九五四二四二五一二五即所求之假數也然所得中率雖爲九而七空位之後尚有竒零故所得之假數猶為稍大故開方之位數愈多則所得之假數愈密也明對數之目用遞次自乘求假數法之一凡連比例率之自小而大者以第一率之眞數遞次自乘即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞次加倍即得加倍各率之假數而以各率之假數按率除之即得第一率之假數如以二為連比例第一率其假數為○三○一○二九九九五七以第一率之眞數二自乘得四為第二率之眞數以第一率之假數○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三為第二率之假數而以第二率之假數用二除之即得第一率之假數又以第二率之眞數四自乘得十六為第四率之眞數以第二率之假數○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六為第四率之假數而以第四率之假數用四除之即得第一率之假數也明對數之目用遞次自乘求假數法之二凡連比例率自小而大者其假數之首位旣因眞數之位數而遞加故求假數者以所求之眞數為連比例第一率遞次自乘即得加倍各率之眞數以第一率假數之首位遞次加倍即得加倍各率之假數而眞數自乘又進一位者則假數加倍後又加一數而以各率之假數按次除之即得所求第一率之假數如求二之假數則以二為連比例第一率是為單位故傍紀○即第二率之假數首位為○也又以第一率之眞數二自乘得四為第二率之眞數仍為單位故傍亦紀○卽第二率之假數首位亦為○也又以第二率之眞數四自乘得十六為第四率之眞數是為進前一位故傍紀一即第四率之假數首位為一也又以第四率之眞數十六自乘得二百五十六為第八率之眞數以第四率之假數一倍之得二是為進前二位故傍紀二即第八率之假數首位為二也又以第八率之眞數二百五十六自乘得六萬五千五百三十六為第十六率之眞數以第八率之假數二倍之得四是為進前四位故傍紀四即第十六率之假數首位為四也又以第十六率之眞數六萬五千五百三十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六為第三十二率之眞數以第十六率之假數四倍之得八又因第十六率眞數自乘所得首位乃逢十又進一位之數故將假數加倍所得之八又加一得九是為進前九位故傍紀九即第三十二率之假數首位為九也由此遞乘至第一萬六千三百八十四率之眞數則自單位以前共得四千九百三十二位故傍紀四九三二為第一萬六千三百八十四率之假數以一萬六千三百八十四除之得○三○一○即為第一率二之假數葢以一萬除四千為實不足法一倍則其首位必為○也然其位數尚少故僅得五位若再遞乘至第一千三百七十四億四千六百九十五萬三千四百七十二率之眞數則自單位以前共得四百一十三億七千五百六十五萬五千三百零七位即其假數為四一三七五六五五三○七以率數除之得○三○一○二九九九五六六即為第一率二之假數也此法葢因眞數進一位則假數首位加一數今遞乘所得之眞數既得若干位則其假數首位必加若干數乃以首位為單位遞進向前者也而連比例各率之假數以率數除之即得第一率之假數故以率數除之所得第一率之假數為首位以後之零數也明對數之目用遞次開方求假數法之一凡連比例率之自大而小者以第一率之眞數遞次開方即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞次折半即得加倍各率之假數而以各率之假數按率乘之即得第一率之假數如以二百五十六為連比例第一率其假數為二四○八二三九九六五三以第一率之眞數二百五十六開方得十六為第二率之眞數以第一率之假數二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六為第二率之假數而以第二率之假數用二乘之即得第一率之假數又以第二率之眞數十六開方得四為第四率之眞數以第二率之假數一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三為第四率之假數而以第四率之假數用四乘之即得第一率之假數明對數之目用遞次開方求假數法之二凡遞次開方率皆用二倍葢眞數開方假數折半而折半即二歸故遞次折半之假數以遞次加倍之率數乘之即得第一率之假數如原數為第一率加倍得二為第一次開方之率數(葢折半即二歸以二歸者復用二乘必仍得原數也)又加倍得四為第二次開方之率數(葢折)(半二次即四歸以四歸者復用四乘必亦得原數也)遞次加倍則第三次之率為八第四次之率為十六第五次之率為三十二第六次之率為六十四第七次之率為一百二十八第八次之率為二百五十六第九次之率為五百一十二第十次之率為一千零二十四第二十次之率為一百零四萬八千五百七十六第三十次之率為十億七千三百七十四萬一千八百二十四第四十次之率為一兆零九百九十五億一千一百六十二萬七千七百七十六第五十次之率為一千一百二十五兆八千九百九十九億零六百八十四萬二千六百二十四凡有眞數求假數皆以所求之數為第一率眞數開方幾次則假數必折半幾次今雖無第一率之假數而苟得其折半第幾次之假數則加倍幾次必得第一率之假數故以加倍第幾次之率數與折半第幾次之假數相乘即得第一率之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之三凡眞數不可與假數為比例者因眞數開方假數折半其相比之分數不同若開方至於數十次則開方之數即與折半之數相同故假數即可用眞數比例而得是以凡求假數者皆以其眞數開方至幾十次與此所得之假數相比即得其開方第幾十次之假數按前率數乘之即得所求之假數如眞數為一十假數為一○以眞數一十開方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次開方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次開方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次開方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次開方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八第六次開方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一第七次開方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四如此遞次開方至第五十四次則得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五而與第五十三次開方所得折半之數同是故眞數即可與假數為比例矣乃以一十之假數一○折半得○五第二次折半得○二五第三次折半得○一二五第四次折半得○○六二五第五次折半得○○三一二五第六次折半得○○一五六二五第七次折半得○○○七八一二五如此遞次折半亦至第五十四次則得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○即為第五十四次開方之假數於是以眞數之零數一二七八一九一四九三二○○三二三五為一率假數之零數五五五一一一五一二三一二五七八二七○為二率眞數之零數一為三率(一率為十)(七位則三率亦加十六空位以足其分)得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四即為一○○○○○○○○○○○○○○○一之假數前亦仍得十七空位蓋真數為一則假數為○今真數之零數即比一多之較假數之零數即比○多之較故以真數之較與假數之較為比例也凡求假數者皆以真數開方至幾十次首位得一又得十五空位則以其後之零數與此所得之假數為比例即得其開方第幾十次之假數按前率數乘之即得第一率之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之四凡真數首位為一者則開方首位必得一若首位非一者則以真數遞乘幾次使首位得一即以遞乘所得之真數遞次開方至得十五空位乃以其後之零數與前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假數相比例即得開方第幾次之假數按前率數乘之即得遞乘所得真數之假數再看遞乘所得真數為連比例第幾率則以第幾率之數除之即得所求之假數如求二之假數則以二為連比例第一率遞次乘之第二率得四第三率得八第四率得十六第五率得三十二第六率得六十四第七率得一百二十八第八率得二百五十六第九率得五百一十二第十率得一千零二十四是首位既得一又得一空位乃以此數命為第一率其首位之一千命為單位開方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七第二次開方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四第三次開方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八第四次開方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八第五次開方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六第六次開方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五第七次開方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七如此遞次開方至第十七次則得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四第二十七次則得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二第三十七次則得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七第四十七次則得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七是已得十五空位矣乃以前法所得眞數之零數一為一率(三率有十七位則一率亦加十六空位以足其)(分)其假數十七空位後之零數四三四二九四四八一九○三二五一八○四為二率今所得眞數之零數一六八五一六○五七○五三九四九七七為三率得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即為開方第四十七次之假數前亦仍為十七空位以加倍四十七次之率數一四○七三七四八八三五五三二八乘之得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即為第一率一○二四之假數(葢開方第)(四十七次之假數為十八位前十七空位共三十五位今相乘得三十三位故)(前止有二空位亦共三十五位也此截用二十一位)然一○二四首位之一開方雖命為單位而其實則為千位千之假數首位應為三故首位加三得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五是為一千零二十四之假數又因一千零二十四為二之連比例第十率故以十歸之得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即為所求之連比例第一率二之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之五凡求假數眞數開方之次數愈多則所得之假數愈密然用假數不過至十二位觀前遞次開方表内至九空位以後其開方之數與折半之數已同七位其零數所差甚微故眞數開方至二十七次即可以立率如求二之假數按前法遞次乘之至第十率得一○二四開方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二是已得九空位矣於是察前眞數一○遞次開方表内第三十四次數得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七亦為九空位即以其眞數之零數一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七為一率其假數十一空位後之零數五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五為二率眞數之零數一為三率(一率為二十一位則三率)(亦加二十空位以足其分)得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五即為一○○○○○○○○○一之假數前亦仍為十一空位乃即用此數為比例以眞數之零數一為一率(三率)(為二十二位則一率亦加二十一空位以足其分)其假數十一空位後之零數四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五為二率今以一○二四開方二十七次所得之零數一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二為三率得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九即為一○二四開方第二十七次之假數前亦仍為十一空位以加倍二十七次之率數一三四二一七七二八乘之得○○一○二九九九五六六四○○即為第一率一○二四之假數與前法所得之數同(前法得三九八収之亦為四○○以後竒零㣲有不合止截用十二)(位)再按前法首位加三而以率數十歸之即得○三○一○二九九九五六六四○為二之假數也此法較之前法開方省二十次而所得之數同故求假數者用此法亦便也明對數之目用遞次開方求假數法之六凡開方之數與折半之數雖不同然而不同之較遞次漸少故又有相較之法至開方第十次以後則以較數相減即得開方之數如求六之假數以六為連比例第一率遞次乘之得連比例第九率為一千零七萬七千六百九十六乃以此數命為第一率其首位之一千萬命為單位開方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三八四六五五一第二次開方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九第三次開方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○第四次開方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五第五次開方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七與第四次開方所得折半之數漸近乃以第四次開方所得數折半(首位之一不折半葢首位之一諸次開方)(皆同其數不變也)得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七與第五次開方所得數相減餘二九二五五五九八六二九二八九三七五四○為第五次之較設使有第五次之較則將第四次開方所得數折半内減第五次之較即第五次開方所得數然第五次之較乃與第五次開方數相減而得故第五次猶必用開方也第六次開方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四又以第五次開方所得數折半得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三與第六次開方所得數相減餘七三一三○一五二○八二二四六五一六九為第六次之第一較又將第五次之較四歸之得七三一三八九九六五七三二二三四三八五與第六次之第一較相減餘八八四四四九○九七六九二一五為第六次之第二較設使有第二較則將第五次之較四歸之内減第六次之第二較即為第六次之第一較將第五次開方所得數折半内減第六次之第一較即第六次開方所得數然第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第六次開方數相減而得故第六次猶必用開方也第七次開方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五又以第六次開方所得數折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七與第七次開方所得數相減餘一八二八一四三二五七六一七○三五九二為第七次之第一較又將第六次之第一較四歸之得一八二八二五三八○二○五六一六二九二與第七次之第一較相減餘一一○五四四四三九一二七○○為第七次之第二較又將第六次之第二較八歸之得一一○五五六一三七二一一五二與第七次之第二較相減餘一一六九八○八四五二為第七次之第三較設使有第三較則將第六次之第二較八歸之内減第七次之第三較即為第七次之第二較將第六次之第一較四歸之内減第七次之第二較即為第七次之第一較將第六次開方所得數折半内減第七次之第一較即第七次開方所得數然第三較乃與第二較相減而得第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第七次開方數相減而得故第七次猶必用開方也第八次開方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四又以第七次開方所得數折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二與第八次開方所得數相減餘四五七○二一九九七○八○四三二○八為第八次之第一較又將第七次之第一較四歸之得四五七○三五八一四四○四二五八九八與第八次之第一較相減餘一三八一七三二三八二六九○為第八次之第二較又將第七次之第二較八歸之得一三八一八○五四八九○八七與第八次之第二較相減餘七三一○六三九七為第八次之第三較又將第七次之第三較十六歸之得七三一一三○二八與第八次之第三較相減餘六六三一為第八次之第四較設使有第四較則將第七次之第三較十六歸之内減第八次之第四較即為第八次之第三較將第七次之第二較八歸之内減第八次之第三較即為第八次之第二較將第七次之第一較四歸之内減第八次之第二較即為第八次之第一較將第七次之開方數折半内減第八次之第一較即第八次開方數然第四較乃與第三較相減而得第三較乃與第二較相減而得第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第八次開方數相減而得故第八次猶必用開方也至第九次開方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八又以第八次開方數折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七與第九次開方數相減餘一一四二五三七七二一五○三一九○九為第九次之第一較又將第八次之第一較四歸之得一一四二五五四九九二七○一○八○二與第九次之第一較相減餘一七二七一一九七八八九三為第九次之第二較又將第八次之第二較八歸之得一七二七一六五四七八三六與第九次之第二較相減餘四五六八九四三為第九次之第三較又將第八次之第三較十六歸之得四五六九一五○與第九次之第三較相減餘二○七為第九次之第四較又將第八次之第四較三十二除之亦得二○七與第九次之第四較同故自第十次以後則不用開方(若間方止用二十二位則第八次之第三較已同至第九次即不用)(開方亦不用第四較)即以第九次之第四較三十二除之得六為第十次之第四較將第九次之第三較十六除之得二八五五五八内減第十次之第四較餘二八五五五二即為第十次之第三較將第九次之第二較八歸之得二一五八八九九七三六一内減第十次之第三較餘二一五八八七一一八○九即為第十次之第二較將第九次之第一較四歸之得二八五六三四四三○三七五七九七七内減第十次之第二較餘二八五六三二二七一五○四六一六八即為第十次之第一較將第九次開方所得數折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四内減第十次之第一較又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即為第十次開方所得數也至第十一次則將第十次之第四較三十二除之不足一倍故無第四較而以第十次之第三較十六除之得一七八四七即為第十一次之第三較將第十次之第三較八歸之得二六九八五八八九七六内減第十一次之第三較餘二六九八五七一一二九即為第十一次之第二較將第十次之第一較四歸之得七一四○八○六七八七六一五四二内減第十一次之第二較餘七一四○七七九八○一九○四一三即為第十一次之第一較將第十次開方所得數折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八内減第十一次之第一較又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即為第十一次開方所得數也由此遞推至第二十三次開方數得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣乃以前法所得眞數之零數一為一率(三率截用十四位則一率亦加十三空位以足其分)其假數十一空位後之零數四三四二九四四八一八七四一四為二率(截用十四位以從簡易)今開方二十三次所得之零數九二二六二八八九一○四三○七為三率得四率四○○六九二六三六一九七六五二即為開方第二十三次之假數前則為十空位(二率有十四位而其前為十一空位今四率得十五位故前為)(十空位)以加倍二十三次之率數八三八八六○八乘之得○○○三三六一二五三四五(葢開方第二十三次之假數為十五位并前十空位共二)(十五位今相乘得二十二位故前止有三空位亦共為二十五位也此截用十)(二位)即為第一率一○○七七六九六之假數然首位之一開方雖命為單位其實則為千萬千萬之假數首位應為七故首位為七得七○○三三六一二五三四五是為一千零七萬七千六百九十六之假數又因其為連比例第九率故用九歸之得○七七八一五一二五○三八即為連比例第一率六之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之七凡求假數先求得一至九一一至一九一○一至一○九一○○一至一○○九以及三○位零一至九四空位零一至九五空位零一至九六空位零一至九七空位零一至九八空位零一至九九空位零一至九之九十九數而他數皆由此生然此九十九數内有以兩數相乘除而得者則以兩假數相加減即為所求眞數之假數至五空位以後則又可以比例而得不必逐一而求也如一至九之九數惟二三七之三數用前遞次開方求假數法求之至於四則係二與二相乘所得之數故以二之假數○三○一○二九九九五六六倍之得○六○二○五九九九一三三即為四之假數至於五係以二除十所得之數故以二之假數與十之假數相減餘○六九八九七○○○四三四即為五之假數至於六係二與三相乘所得之數故以二之假數與三之假數相加得○七七八一五一二五○三八即為六之假數(或先得六之假數内減二之假數即得三之假數)至於八係二與四相乘所得之數故以二之假數與四之假數相加得○九○三○八九九八六九九即為八之假數至於九係三與三相乘所得之數故以三之假數○四七七一二一二五四七二倍之得○九五四二四二五○九四四即為九之假數(或先得九之假數折半即得三十假數)如一一至一九之九數惟一一一三一七一九之四數用前遞次開方求假數法求之至於一二係二與六相乘所得之數故以二之假數與六之假數相加得一○七九一八一二四六○四為一十二之假數内減首位之一餘○○七九一八一二四六○四即為一二之假數(葢自)(一一至九空位零九其首位之一皆為單位首位以下為小餘試将一十二以)(十除之仍得一二則其首位之一即為單位二為小餘故於十二之假數内減)(首位之一即減去十之假數而所餘為一二之假數也)至於一四乃二與七相乘所得之數故以二之假數與七之假數相加得一一四六一二八○三五六七為一十四之假數内減首位之一餘○一四六一二八○三五六七即為一四之假數至於一五乃三與五相乘所得之數故以三之假數與五之假數相加得一一七六○九一二五九○六為一十五之假數内減首位之一餘○一七六○九一二五九○六即為一五之假數餘皆倣此(詳見對數闡㣲)至於一○○○○○一以後之假數則即可用前遞次開方表内相近數比例而得之如求一○○○○○一之假數則以前表内開方第二十一次眞數五空位後之零數一○九七九五八七三五為一率(截用十位以從簡便)其假數七空位後之零數四七六八三七一五八二為二率(亦截用十位)今眞數之零數一為一率(添九空位)(以足其分)得四率四三四二九四三有餘前亦仍為七空位(因假數止用十二位故四率止求七位并七空)(位為十四位已為足用)截前十二位得○○○○○○○四三四二九即為一○○○○○一之假數二因之得○○○○○○○八六八五九(第十三位滿五則進一數餘倣此)即為一○○○○○二之假數三因之得○○○○○○一三○二八八即為一○○○○○三之假數又以前表内開方第十九次眞數五空位後之零數四三九一八四二一七三為一率其假數六空位後之零數一九○七三四八六三二為二率今眞數之零數四為三率(添九)(空位以足其分)得四率一七三七一七四○前亦仍為六空位截前十二位得○○○○○○一七三七一七即為一○○○○○四之假數(不以前所得四率四因之者因前所得一○○)(○○○一之假數四因之則㣲小且表内第十九次開方數與此所求眞數相)(近故又用比例以求其準)將所得一○○○○○四之假數四歸五因(將一○○○○○四之假數四歸五因者)(因欲得一○○○○○一之假數而以五因之也)得○○○○○○二一七一四七即為一○○○○○五之假數將所得一○○○○○四之假數四歸六因得○○○○○○二六○五七六即為一○○○○○六之假數又以前表内開方第十八次眞數五空位後之零數八七八三七○三六三四為一率其假數六空位後之零數三八一四六九七二六五為二率今眞數之零數七為三率得四率三○四○○四八○前亦仍為六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即為一○○○○○七之假數(不以前所得四率四)(歸七因者因前所得一○○○○○四之假數四歸七因之則㣲小且表内第)(十八次開方數與此所求眞數相近故又用比例以求其準)將所得一○○○○○七之假數七歸八因得一○○○○○三四七四三四即為一○○○○○八之假數又將所得一○○○○○七之假數七歸九因得○○○○○○三九○八六三即為一○○○○○九之假數至於一○○○○○○一以後之假數則并不用比例葢五空位零一之假數為四三四二九而前所得十五空位零一之假數亦為四三四二九其假數皆相同但遞退一位故以五空位零一至九之假數從未截去一位(末位滿五以上則進一數)前添一空位即得六空位零一至九之假數以六空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假數以七空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假數以八空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假數明對數之目用前所得九十九數求他假數法之一凡求假數既得前九十九數而他數有由此乘除而得者則以假數相加減即得所求之假數其不由乘除而得者謂之數根(因無他數可以度盡即算法原本所謂連比例之至)(小數)則其假數亦不可以加減而得然有雖為數根而前九十九數中有為其根所生者則逆求之即得原根之假數如前九十九數首位既皆為單位則以十乘之即為十以百乘之即為百以千乘之即為千以萬乘之即為萬故以二之假數與一十之假數相加即為二十之假數與一百之假數相加即為二百之假數與一千之假數相加即為二千之假數與一萬之假數相加即為二萬之假數又如十一之假數與一十之假數相加即為一百一十之假數以一○五之假數與一百之假數相加即為一百零五之假數與一千之假數相加即為一千零五十之假數眞數同則假數亦同但眞數進一位則假數首位加一數耳又如三與七相乘得二十一則以三之假數與七之假數相加即為二十一之假數二與十一相乘得二十二則以二之假數與十一之假數相加即為二十二之假數至於二十三二十九之類則不以乘除而得是為數根若夫五十三雖亦為數根然以五十三與二相乘則得一百零六前既得一○六之假數則與一百之假數相加即為一百零六之假數内減二之假數即為五十三之假數由此類推數自繁衍而其不可以乘除而得者則又以累乘累除之法而得之(詳見後)要未有出於前九十九數之外者也明對數之目用前所得九十九數求他假數法之二凡求假數其眞數有以累乘而得者則以假數累加之即得所求之假數如二萬零七百零三為二萬與一○三及一○○五累乘所得之數則以二萬之假數四三○一○二九九九五六六與一○三之假數○○一二八三七二二四七一及一○○五之假數○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即為二萬零七百零三之假數若先有假數四三一六○三三二八二一三求眞數則視假數内足減二萬之假數即以二萬之假數書於原假數下相減餘○○一五○○三二八六四七足減一○三之假數即以一○三之假數書於減餘之下相減餘○○○二一六六○六一七六與一○○五之假數恰合是知其假數為二萬與一○三及一○○五之三假數相加所得之數則其眞數即知為三眞數累乘所得之數矣乃以二萬與一○三相乘得二萬零六百再以一○○五乘之得二萬零七百零三即為所求之眞數也明對數之目用前所得九十九數求他假數法之三凡求假數而不知其眞數為何數累乘而得者則以所知前位之整數累除之除得累乘之眞數則以其假數累加之即得所求之假數如求二十三之假數而不知其為何數累乘而得但知二十之假數為一三○一○二九九九五六六則以二十三為實以二十為法除之得一一又以兩層所減數按位相加得二二即二十與一一相乘之數以之為法除原實二十三得一○四又以兩層所減數按位相加得二二八八即二二與一○四相乘之數以之爲法除原實二十三得一○○五又以兩層所減數按位相加得二二九九四四即二二八八與一○○五相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○二又以兩層所減數按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四與一○○○二相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○四又以兩層所減數按位相加得二二九九九九一八八四(法止用十位故第十一位滿五以上者進)(一數用若不滿五則去之)即二二九九八九九八八八與一○○○○四相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○三又以兩層所减數相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四與一○○○○○三相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○五又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四與一○○○○○○五相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○二又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四與一○○○○○○○二相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○○八又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○與一○○○○○○○○八相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三係二十與一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之數乃以其各假數累加之得一三六一七二七八三六○六即為二十三之假數也若先有假數一三六一七二七八三六○六求眞數則視假數内足減二十之假數即以二十之假數書於原假數之下相減餘○○六○六九七八四○四○足減一一之假數即以一一之假數書於減餘之下相減餘○○一九三○五一五五二四足減一○四之假數即以一○四之假數書於減餘之下相減餘○○○二二七一八一五九四足減一○○五之假數即以一○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○一○五七五四一八足減一○○○二之假數即以一○○○二之假數書於減餘之下相減餘○○○○○一八九○三九七足減一○○○○四之假數即以一○○○○四之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○一五三二五四足減一○○○○○三之假數即以一○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○二二九六六足減一○○○○○○五之假數即以一○○○○○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○一二五一足減一○○○○○○○二之假數即以一○○○○○○○二之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○三八二足減一○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○○三五足減一○○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減恰盡是知其假數為此十一假數累加所得之數而眞數即為此十一眞數累乘所得之數乃以此十一眞數累乘之得二十三即為所求之眞數也又如求五千六百八十九之假數而不知其為何數累乘而得但知五千六百之假數為三七四八一八八○二七○○則以五千六百八十九為實以五千六百為法除之得一○一又以兩層所減數按位相加得五六五六即五千六百與一○一相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○五又以兩層所減數按位相加得五六八四二八即五六五六與一○○五相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○八又以兩層所減數按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八與一○○○八相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四與一○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九與一○○○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六與一○○○○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七與一○○○○○○○○五相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九係五千六百與一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之數乃以其各假數累加之得三七五五○三五九三三七一即為五千六百八十九之假數也若先有假數三七五五○三五九三三七一求眞數則視假數内足減五千六百之假數即以五千六百之假數書於原假數之下相減餘○○○六八四七九○六七一足減一○一之假數即以一○一之假數書於減餘之下相減餘○○○二五二六五三二九三足減一○○五之假數即以一○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○三六○四七一一七足減一○○○八之假數即以一○○○八之假數書於減餘之下相減餘○○○○○一三一七四四八足減一○○○○三之假數即以一○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○一四五八四足減一○○○○○○三之假數即以一○○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○一五五五足減一○○○○○○○三之假數即以一○○○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○二五二足減一○○○○○○○○五之假數即以一○○○○○○○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○○三五足減一○○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減恰盡是知其假數為此九假數累加所得之數而眞數即為此九眞數累乘所得之數乃以此九眞數累乘之得五千六百八十九即為所求之眞數也求八線對數凡求八線之假數定半徑為一百億位數既多為用愈密且眞數十一位則假數首位為一○又取其便於用也先以正弦餘弦之眞數求得假數復以正弦餘弦之假數加減之即得切線割線之假數如一分之正弦為二九○八八八二求其假數得六四六三七二六一一○九又如六十度之正弦為八六六○二五四○三八求其假數得九九三七五三○六三一七如求六十度切線之假數則以六十度正弦之假數九九三七五三○六三一七為二率半徑之假數一○○○○○○○○○○○為三率六十度餘弦之假數九六九八九七○○○四三為一率二三率相加内減一率餘一○二三八五六○六二七四即六十度正切線之假數如求六十度割線之假數則以半徑之假數一○○○○○○○○○○○為二率又為三率六十度餘弦之假數九六九八九七○○○四三為一率二率倍之内減一率餘一○三○一○二九九九五七即六十度正割線之假數也對數用法設如一百二十三與四百五十六相乘問得幾何法以對數表之一二三之假數二○八九九○五一一一四與四五六之假數二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假數四七四八八六九九五四一所對之眞數得五六○八八即五萬六千零八十八為相乘所得之數也設如三千四百五十六與二千六百七十九相乘問得幾何法以對數表之三四五六之假數三五三八五七三七三三八與二六七九之假數三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因對數表假數首位止於四眞數止於五位故將相加所得假數首位之六暫當四查假數四九六六五四六四四七四相近畧少者為四九六六五四五三二一六其相對之眞數得九二五八六即為九二五八六○○(因假數首位多二數則眞數必多二位)又以九二五八六○○之假數與九二五八七○○之假數相減餘四六九○七為一率以九二五八六○○與九二五八七○○相減餘一○○為二率今相加所得之假數與九二五八六○○之假數相減餘一一二五八為三率得四率二四即眞數九二五八六之後二位之數葢假數多四六九○七則眞數多一百今假數多一一二五八則眞數應多二十四為比例四率也乃以所得二四與九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五萬八千六百二十四為相乘所得之數也大凡眞數二四位以後其假數之較相差無多故眞數即可與假數為比例若用前累乘累除之法固為甚密然較之比例則難而得數則同此對數表所以止於五位也設如三千七百四十四以十六除之問得幾何法以對數表之三七四四之假數三五七三三三五八四○一内減一六之假數一二○四一一九九八二七餘二三六九二一五八五七四乃查假數二三六九二一五八五七四所對之眞數得三三四即二百三十四為歸除所得之數也設有米三十二石令一千零二十四人分之問毎一人應得幾何法以對數表之三二之假數首位加二為三五○五一四九九七八三(因法之假數大)(於實之假數故以實之假數加二即如以實之眞數加兩空位也)内減一○二四之假數三○一○二九九九五六六餘○四九四八五○○二一七因假數首位為○卽知眞數應得單位其得數首位為升仍以假數首位加三查三四九四八五○○二一七所對之眞數得三一七五(因眞數得四位故將假數首位作三查表)(若眞數求五位則將假數首位作四查表或五位後仍有餘數則用比例求之)即三升一合二勺五撮為毎人所應得之數也設如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙邊十二丈求丙乙邊丙甲邊各幾何法以甲角五十度之正弦假數九八八四二五三九六六五與甲乙邊十二丈(作一二○○○)之假數四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内減丙角四十度之正弦假數九八○八○六七四九六七餘四一五五三六七七一五八為丙乙邊之假數查假數相近所對之眞數得一四三○一即一十四丈三尺零一分為丙乙邊也求丙甲邊則以乙角九十度之正弦假數一○○○○○○○○○○○(即半徑之)(數)與甲乙邊十二丈之假數四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内減丙角四十度之正弦假數九八○八○六七四九六七餘四二七一一一三七四九三為丙甲邊之假數查假數相近所對之眞數得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分為丙甲邊也設如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙邊十六丈甲丙邊十二丈問丙角乙角及乙丙邊各若干法以甲乙邊十六丈與甲丙邊十二丈相加得二十八丈為邊總甲乙邊與甲丙邊相減餘四丈為邊較甲角五十度與一百八十度相減餘一百三十度折半為六十五度為半外角乃以邊較四丈(作四○○○)之假數三六○二○五九九九一三與半外角六十五度之正切假數一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内減邊總二十八丈(作二八○○○)之假數四四四七一五八○三一三餘九四八六二二九四一二二爲半較角正切之假數查正切假數相近所對之眞數得十七度二分為半較角與半外角相加得八十二度二分為對甲乙大邊之丙角與半外角六十五度相減餘四十七度五十八分為對甲丙小邊之乙角也又求丙乙邊則以五十度之正弦假數九八八四二五三九六六五與十六丈(作一六○○○)之假數四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内減丙角八十二度二分之正弦假數九九九五七八八二○九八餘四○九二五八五七三九四為丙乙邊之假數查假數相近所對之眞數得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分為丙乙邊也凡眞數用加減然後比例者須以眞數加減得數再查假數依法算之餘皆倣此設如六十四自乘問得幾何法以對數表之六四之假數一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假數所對之眞數得四○九六即四千零九十六為自乘所得之數也葢自乘兩數相同則其兩假數亦相同故二因之即如二假數相加也設如正方面積三百六十一尺開平方問毎一邊數幾何法以對數表之三六一之假數二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假數所對之眞數得一九即一十九尺為開平方所得毎邊之數也葢正方面積之假數乃以毎邊之假數加倍所得之數故折半即得毎邊之假數對其眞數即得毎邊之數也設如正方面積一百五十二萬二千七百五十六尺開平方問毎一邊數幾何法先以方積前五位一五二二七查得假數為四一八二六一四三四七七因方積係七位今止查得五位仍餘二位故將假數首位之四加二得六一八二六一四三四七七即為一五二二七○○之假數又以一五二二七○○與一五二二八○○相減餘一○○為一率以一五二二七○○之假數與一五二二八○○之假數相減餘二八五二○四為二率方積之後二位數五六為三率得四率一五九七○四葢眞數多一百則假數多二八五二○四今眞數多五十六則假數應多一五九七一四為比例四率也乃以所得四率與一五二二七○○之假數相加得六一八二六三○三一九一即為一五二二七五六之假數折半得三○九一三一五一五九六仍查假數所對之眞數得一二三四即一千二百三十四尺為開平方所得毎邊之數也又㨗法以一五二二七之假數首位加二得六一八二六一四三四七七即為一五二二七○○之假數折半得三○九一三○七一七三八查假數相近畧大者(葢一五二二七○○之假數畧少於一五二二七五六之假數則其)(折半之假數亦必畧少於一二三四之假數亦取畧大者用之)對其眞數得一二三四即為毎邊之數也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方積前五位查表後有幾位則假數首位加幾數折半查假數相近者即可得之若方根過五位以上者須用比例則以方積查假數亦須用比例方得密合設如正方面積一百五十二兆四千一百五十七億六千五百二十七萬九千三百八十四尺問毎一邊數幾何法以方積前五位一五二四一查得假數為四一八三○一三四六三一因方積係十五位今止查得五位仍餘十位故將假數首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即為一五二四一○○○○○○○○○○之假數又以一五二四一○○○○○○○○○○與一五二四二○○○○○○○○○○相減截用六空位得一○○○○○○為一率以一五二四一之假數與一五二四二之假數相減餘二八四九四二為二率方積後十位數截用前六位得五七六五二七為三率(因表中假數止於十一位)(則眞數亦止須用十一位雖眞數後再多幾位其假數前十一位亦相同故查)(表用五位比例用六位共為十一位)得四率一六四二七七與一五二四一○○○○○○○○○○之假數相加得一四一八三○二九八九○八即為一五二四一五七六五二七○○○○之假數亦即同於一五二四一五七六五二七九三八四之假數折半得七○九一五一四九四五四因假數首位為七即知眞數應得八位今對數表假數首位止於四眞數止於五位故將折半所得假數首位之七減去三得四○九一五一四九四五四查假數相近畧少者為四○九一四九一○九四三對其眞數得一二三四五即為一二三四五○○○(因假數首位多三數則眞)(數進三位)又以一二三四五○○○之假數與一二三四六○○○之假數相減餘三五一七八三為一率以一二三四五○○○與一二三四六○○○相減餘一○○○為二率今折半所餘之假數與一二三四五○○○之假數相減餘二三八五一一為三率得四率六七八與一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四萬五千六百七十八尺為開平方所得毎一邊之數也設如勾二十七尺股三十六尺求弦若干法以對數表之二七之假數一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四為勾自乘之假數仍查假數所對之眞數得七二九為勾自乘之眞數又以三六之假數一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六為股自乘之假數仍查假數所對之眞數得一二九六為股自乘之眞數兩自乘之眞數相加(不以兩自乘之假數)(相加者葢假數相加則是相乘故必對其眞數然後相加也)得二○二五為弦自乘之眞數查其假數得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假數所對之眞數得四五即四十五尺為開方所得之弦數也設如三十六自乘再乘問得幾何法以對數表之三六之假數一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假數所對之眞數得四六六五六即四萬六千六百五十六為自乘再乘所得之數也葢自乘再乘係以方根乘二次則假數亦加二次故以方根之假數三因之即如以方根之假數加二次也其或位數多者依乘法之例推之設如正方體積一萬三千八百二十四尺開立方問毎一邊數幾何法以對數表之一三八二四之假數四一四○六三三七二五一用三歸之得一三八○二一一二四一七仍查假數所對之眞數得二四即二十四尺為開立方所得每邊之數也葢正方體積之假數乃以毎邊之假數三因所得之數故三歸之即得每邊之假數對其眞數即得毎邊之數也其或位數多者依平方之例推之設如方根一十六尺問三乘方積幾何法以對數表之一六之假數一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假數所對之眞數得六五五三六即六萬五千五百三十六尺為三乘方之積數也葢三乘方係以方根乘三次則其假數亦加三次故以方根之假數四因之即如以方根之假數加三次也其或位數多者亦依乘法之例推之設如三乘方積二萬零七百三十六尺問方根幾何法以對數表之二○七三六之假數四三一六七二四九八四二用四歸之得一○七九一八一二四六○仍查假數所對之眞數得一二即一十二尺為開三乘方所得方根之數也葢三乘方積之假數乃以方根之假數四因所得之數故四歸之即得方根之假數對其眞數即得方根之數也其或位數多者亦依平方之例推之大凡開諸乘方之理亦皆由於連比例葢方根為連比例第一率平方積為第二率立方積為第三率三乘方積為第四率四乘方積為第五率五乘方積為第六率六乘方積為第七率七乘方積為第八率八乘方積為第九率九乘方積為第十率(與借根方比例)(定位表同)以第一率方根之假數各以率數乘之即得各乘方積之假數而以各乘方積之假數各以率數除之亦即得第一率方根之假數故由三乘方而進之四乘方求積則用五因求根則用五歸五乘方求積則用六因求根則用六歸推之至於九乘方求積則用十因求根則用十歸即至於一百乘方則以方根之假數用一百零一乘之即得方積之假數以方積之假數用一百零一除之即得方根之假數乘除之數愈繁愈見對數之易此對數之大用也御製數理精藴下編卷三十八
## 下編卷三十九
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十九末部九比例規解(平分線分體線) (分面線更體線) (更面線五金線)比例規解比例尺代算凡㸃線面體乘除開方皆可以規度而得然於畫圖製器尤所必需誠算器之至善者焉究其立法之原總不越乎同式三角形之比例葢同式三角形其各角各邊皆為相當之率今張尺之兩股為三角形之兩腰其尺末相距即三角形之底遂成兩邊相等之三角形於中任截兩邊相等之各三角形則其各腰之比例必與各底之比例相當也一曰平分線以御三率一曰分面線一曰更面線以御面羃一曰分體線一曰更體線以御體積一曰五金線以御輕重一曰分圓線一曰正弦線一曰正切線一曰正割線以御測量併製平儀諸器凡此十線或總歸一器或分為數體任意為之無所不可今將各線之分法及用法併著於篇此外又有假數尺即用對數及正弦割切諸線之對數為之用於三率比例測量尤為簡捷亦詳其法於後平分線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷十九節之法將甲乙甲丙二線俱平分為二百分即為平分線也尺之長短任意為之尺短則平分一百分尺長則平分四五百分或一千分亦可分愈多而用愈便也設如一丁戊線欲加五倍問得幾何法以比例尺平分線第十分之己庚二㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第五十分之辛壬二㸃相離之度作丁癸線即丁戊線之五倍也葢十分之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底又五十分之㸃為辛與壬而甲辛壬為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰辛壬相距為底此兩三角形為同式形故甲庚與己庚之比同於甲壬與辛壬之比而甲庚與甲壬之比亦同於己庚與辛壬之比甲壬既為甲庚之五倍則辛壬必為己庚之五倍而丁癸亦為丁戊之五倍可知矣若欲將丁戊線加十五倍則仍以丁戊線度於十分上定尺取平分線第一百五十分之子丑二㸃相離之度作寅卯線即為丁戊線之十五倍也若欲將丁戊線加三分之二則將平分線第三十分之辰巳二㸃依丁戊線度展開勿令移動而取平分線第五十分之午未二㸃相離之度作申酉線即為丁戊線加三分之二也(以丁戊線為三)(分而加二分共得五分因三與五之㸃近樞難用故用三十與五十其比例同)(也)若有丁癸丁戊二線欲定其比例之分數則將平分線第一百分之戌亥二㸃依丁癸線度展開勿令移動次取丁戊線度尋至平分線第二十分之乾坎二㸃其相離之度恰符即定為一百分之二十約為五分之一即丁癸丁戊兩線之比例也要之用尺之法不外於三率求四率如以一率為腰二率為底而定尺則三率復為腰而其底即四率也以一率為腰三率為底而定尺則二率復為腰而其底亦即四率也若以一率為底二率為腰而定尺則三率復為底而其腰則四率也諸線之用雖各不同其比例之理則一也設如一丁戊線欲分為六分問每分幾何法以比例尺平分線第六十分之己庚二㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第十分之辛壬二㸃相離之度截丁戊線於癸則丁癸即丁戊線六分之一也葢六十分之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底又十分之㸃為辛與壬而甲辛壬亦為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰辛壬相距為底此兩三角形為同式形則甲庚與甲壬之比同於己庚與辛壬之比甲壬既為甲庚六分之一則辛壬必為己庚六分之一而丁癸亦為丁戊線六分之一可知矣若欲分丁戊線為七分則將平分線第七十分之子丑二㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第十分之辛壬二㸃相離之度截丁戊線於寅則丁寅即丁戊線七分之一也又若丁戊線欲取七分之三則仍以丁戊線度於七十分上定尺而取平分線第三十分之卯辰二㸃相離之度截丁戊線於己則丁己即丁戊線七分之三也設如有十三人每人給銀七兩問其銀幾何法以比例尺平分線第十分之丁戊二㸃依分釐尺七釐之度展開勿令移動次取平分線第一百三十分之己庚二㸃相離之度於分釐尺上量之得九分一釐即得共銀為九十一兩也葢十分之㸃為丁與戊而甲丁戊為兩邊相等之三角形甲丁甲戊為腰丁戊相距為底又一百三十分之㸃為己與庚而甲己庚亦為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底此兩三角形為同式形故甲戊十分與甲庚一百三十分之比同於丁戊七釐與己庚九分一釐之比也又以十分當一人故以一百三十分當十三人以七釐當七兩故九分一釐即為九十一兩葢十分與一人之比同於一百三十分與十三人之比而七釐與七兩之比亦同於九分一釐與九十一兩之比也設如每官一員每月給公費錢二千二百文共給錢八千八百文問官員幾何法以比例尺平分線第二十二分之丁戊二㸃依分釐尺一分之度展開勿令移動次取平分線第八十八分之己庚二㸃相離之度於分釐尺上量之得四分即得官四員也葢二十二分之㸃為丁與戊而甲丁戊為兩邊相等之三角形甲丁甲戊為腰丁戊相距為底又八十八分之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底此兩三角形為同式形故甲戊二十二分與甲庚八十八分之比同於丁戊一分與己庚四分之比也又以二十二分當錢二千二百故以八十八分當錢八千八百以一分當官一員故四分即為官四員葢二十二分與二千二百之比同於八十八分與八千八百之比而一分與一員之比亦同於四分與四員之比也設如原有粟五斗易布二疋今有粟三石問易布幾何法以比例尺平分線第二十分之丁戊二㸃(四倍五斗之數因五分近樞難用故用四倍之數也)依分釐尺二分之度展開勿令移動次取平分線第一百二十分之己庚二㸃相離之度(四倍三石之數三石為三十斗故四倍之得一百二十也)於分釐尺上量之得一寸二分即得布十二疋也葢二十分之㸃為丁與戊一百二十分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式兩三角形故甲戊二十分與甲庚一百二十分之比同於丁戊二分與己庚一寸二分之比也又以二十分當五斗為四倍之數故以一百二十分當三石亦為四倍之數以二分當二疋故一寸二分即為十二疋葢二十分與五斗之比同於一百二十分與三石之比而二分與二疋之比亦同於一寸二分與十二疋之比也設如有二十七及十八之兩數問其相連比例之三數幾何法以比例尺平分線第二十七分之丁戊二㸃依分釐尺一分八釐之度展開勿令移動次取平分線第十八分之己庚二㸃相離之度於分釐尺上量之得一分二釐即相連比例之第三數為十二也葢二十七分之㸃為丁與戊十八分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式三角形故甲戊二十七與甲庚十八之比同於丁戊十八與己庚十二之比也丁戊與甲庚既同為十八即連比例之中率則己庚十二為連比例之第三率無疑矣設如有勾五尺股十二尺問弦幾何法以比例尺平分線甲丁四十分甲戊三十分之丁戊二㸃依本線五十分之度展開勿令移動次取平分線甲庚五十分(當勾數)甲己一百二十分(當股數)之己庚二㸃相離之度於本線上量之為一百三十分即得弦十三尺也葢勾三股四弦五為勾股弦之定數今以甲戊三十甲丁四十為兩腰而丁戊五十為底則其兩腰相交之甲角必為直角故以今有之勾股數為兩腰而取其底即為所求之弦數也若有勾五尺有弦十三尺而求股則取本線一百三十分之度自五十分之庚㸃尋至一百二十分之己㸃其相離之度恰符即得股十二尺矣設如有圓徑三十五寸問圓周幾何法以比例尺平分線第二十一分之丁戊二㸃(徑率七之三倍也因七分近樞故用三倍之數)依分釐尺三分五釐之度展開勿令移動次取平分線第六十六分之己庚二㸃相離之度(周率二十二之三倍也因徑率用三倍故周率亦三倍之)於分釐尺上量之得一寸一分即一百一十寸為所求之圓周也葢二十一分之㸃為丁與戊六十六分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式三角形故甲戊二十一與丁戊三分五釐之比同於甲庚六十六與己庚一寸一分之比而甲戊與甲庚既為徑與周之比例則丁戊與己庚亦必為徑與周之比例矣又甲戊為徑率之三倍故甲庚亦用周率之三倍而丁戊以一釐當一寸故己庚亦以一釐當一寸其比例俱相當也分面線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷二十一節之法分之即為分面線也或設正方面界一百釐其積數一萬釐以二因之得二萬釐開平方得一百四十一釐為積二萬釐之根又以三因之得三萬釐開平方得一百七十三釐為積三萬釐之根照此屢倍積數開平方將所得之數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分面線也設如有甲乙丙三正方形甲形每邊一寸其積數之比例甲為一分乙為六分丙為九分今欲作一大正方形與甲乙丙三正方形之積等問其邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩㸃(因甲)(方之積為一分故用一分也)依甲正方形每邊一寸之度展開勿令移動乃併三正方面積共十六分即取分面線第十六分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸即所求大正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲乙丙三正方形之共積等也葢十六分所作正方形原比一分所作正方形大十六倍則十六分相距之度所作正方形亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣一分相距之度即甲正方形之一邊其積為一分則以十六分相距之度所作正方形其積必為十六分與三正方形之共積相等也設如有大小等邊三角形小形每邊一寸大形每邊四寸今欲將兩面積相減取其餘積作同式等邊三角形問其邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩㸃依小形每邊一寸之度展開勿令移動次以大形每邊四寸之度於分面線上尋至第十六分之兩㸃其相距之度恰合即大形與小形之比例為十六與一相減餘十五為較積即取分面線第十五分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸八分七釐即較形之每一邊也葢大小同式多邊形之比例同於相當界所作正方形之比例(見幾何原本八卷第九節)今十六分所作正方形與一分所作正方形之比例為十六與一則十六分相距之度所作正方形與一分相距之度所作正方形之比例亦為十六與一矣夫大小兩距度即大小兩三角形之相當界其所作兩正方形之比例既為十六與一則大小兩三角形之比例亦必為十六與一矣既得兩形之比例乃相減以得較既得較積之比例復用積以求邊即得所求之邊數也設如有五等邊形每邊二尺欲三倍其積作同式五等邊形問其每邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取第三分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸四分五釐即三尺四寸五分為所求大形之每一邊用其度作五等邊形其積與原形之三倍等也葢大小同式形之比例同於相當界所作正方形之比例(見幾何原本八巻第九節)今一分所作正方形與三分所作正方形之比例為一與三則一分相距之度所作正方形與三分相距之度所作正方形之比例亦必為一與三矣夫一分相距之度即原形之界則以三分相距之度為大形之界其積為原形之三倍可知矣又以二寸當原形之邊二尺故三寸四分五釐即為三尺四寸五分也設如有六等邊形每邊三尺欲取其積四分之三作同式六等邊形問其每邊幾何法以比例尺分面線第四分之兩㸃依分釐尺三寸之度展開勿令移動次取分面線第三分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸六分即二尺六寸為所求小形之每一邊用其度作六邊形其積即為原形四分之三也葢大小同式形之比例同於相當界所作正方形之比例今四分所作正方形與三分所作正方形之比例為四與三則四分相距之度所作正方形與三分相距之度所作正方形之比例亦必為四與三矣夫四分相距之度即原形之界則以三分相距之度為小形之界其積為原形四分之三可知矣又以三寸當原形之邊三尺故二寸六分即為二尺六寸也設如有三率相連比例數首率二尺末率八尺問中率幾何法以比例尺分面線第二分之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取分面線第八分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸即四尺為相連比例之中率也葢相連比例三率其首率所作正方形與中率所作正方形之比同於首率與末率之比今首率為二尺末率為八尺則首率所作正方形與中率所作正方形之比例即如二與八之比例故以二分相距之度為首率之數則八分相距之度必為中率之數可知矣又首率用二寸當二尺故中率四寸即為四尺也設如有正方面積一千六百尺問每一邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺與積數一千六百尺相較其比例如一與十六即取分面線第十六分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸即四十尺為所求正方之每一邊也葢一分之積既為一百尺則十六分之積必為一千六百尺而一分相距之度既為方積一百尺之每一邊則十六分相距之度必為方積一千六百尺之每一邊矣又以一寸當十尺故四寸即為四十尺也設如有正方面積九千零二十五尺問每一邊幾何法以比例尺分面線第一百分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之一百釐作一百尺自乘得一萬尺與積數九千零二十五尺相較其比例如一百與九十有餘即取分面線第九十分有餘相距之度於分釐尺上量之得九分五釐即九十五尺為所求正方之每一邊也葢一百分之積既為一萬尺則九十分有餘之積必為九千餘尺而一百分相距之度既為方積一萬尺之每一邊則九十分有餘相距之度必為方積九千餘尺之每一邊矣又以一寸當一百尺故九分五釐即為九十五尺也更面線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線設積數一億用面部内面積相等邊線不同之定率比例得各形之邊線其方邊一萬圜徑一萬一千二百八十四三等邊一萬五千一百九十七五等邊七千六百二十四六等邊六千二百零四七等邊五千二百四十六八等邊四千五百五十一九等邊四千零二十二十等邊三千六百零五將各形邊數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成更面線也設如有甲圓形徑一尺二寸欲作一正方形其積與圓積等問每邊幾何法以比例尺更面線圓號之兩㸃依分釐尺一寸二分之度展開勿令移動次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸零六釐即一尺零六分為正方形之每一邊用其度作正方形其積與圜積等也葢圓號與方號之比例原為同積之圓徑與方邊之比例則其兩距度之比例亦必為圓徑與方邊之比例今圓號相距之度既為圓徑則方號相距之度必為方邊無疑矣又以一寸二分當圓徑一尺二寸故一寸零六釐即為方邊一尺零六分也設如有甲三邊形每邊一十五尺又有乙五邊形每邊十尺欲併作一正方形問每邊幾何法以比例尺更面線三邊號之兩㸃依分釐尺一寸五分之度展開勿令移動次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得九分八釐七豪即九尺八寸七分為正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲三邊形積等也又以五邊號之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸三分一釐即十三尺一寸為方正形之每一邊用其度作正方形其積與乙五邊形積等也乃將兩正方形用分面線求其積之比例以分面線第十分之兩㸃依小方邊九分八釐七豪之度展開勿令移動復以大方邊一寸三分一釐之度於分面線上尋至第十七分六釐之處其相距之度恰合即兩方形之比例為十分與十七分六釐併之得二十七分六釐即取分面線第二十七分六釐相距之度於分釐尺上量之得一寸六分四釐即十六尺四寸為正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲乙兩形之積等也葢甲乙兩形不同類不能得其比例即不能相加故先用更面線將甲乙兩形俱變為正方形復用分面線求其比例而併之即得所求大正方形之一邊也設如有甲八邊形每邊十二尺又有乙六邊形每邊六尺今將兩面積相減用其餘積作一七邊形問其邊幾何法以比例尺更面線八邊號之兩㸃依分釐尺一寸二分之度展開勿令移動次取七邊號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸三分八釐即十三尺八寸為七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與甲八邊形積等也又以六邊號之兩㸃依分釐尺六分之度展開勿令移動次取七邊號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得五分零七豪即五尺零七分為七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與乙六邊形積等也乃將兩七邊形用分面線求其比例以分面線第十分之兩㸃依小七邊形之邊五分零七豪之度展開勿令移動復以大七邊形之邊一寸三分八釐之度於分面線上尋至第七十八分之處其相距之度恰合即兩七邊形之比例為十分與七十八分相減餘六十八分即取分面線第六十八分相距之度於分釐尺上量之得一寸三分即十三尺為所求七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與甲乙兩形相減之餘積等也葢甲乙兩形不同類不能得其比例即不能相減故先用更面線將甲乙兩形俱變為七邊形復用分面線求其比例而後相減即得所求七邊形之一邊也設如有十等邊形積四千四百四十五尺問每一邊幾何法先以比例尺分面線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺與積四千四百四十五尺相較其比例如一與四十四又九之五即取分面線第四十四分又九之五相距之度於分釐尺上量之得六寸六分又三之二即六十六尺又三分尺之二為方形之一邊用其度作正方形其積與十邊形積等也乃以更面線方號之兩㸃依方形每邊六寸六分又三分之二之度展開勿令移動次取十邊號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸四分即二十四尺為所求十邊形之每一邊也葢正方形為各面形比例之宗故凡有積求邊者必先用分面線求得方形之邊然後用更面線使方號兩㸃相距之度與方邊等而取所求形之號兩㸃相距之度即所求形之一邊自圓形三邊形以至九邊形皆同一法也分體線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷二十二節之法分之即為分體線也或設正方體界一百釐其積數一百萬釐以二因之得二百萬釐開立方得一百二十六釐為積二百萬釐之根又以三因之得三百萬釐開立方得一百四十四釐為積三百萬釐之根照此屢倍積數開立方將所得之數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分體線也設如有甲乙丙三正方體甲形每邊二寸其積數之比例甲為一分乙為三分丙為四分今欲作一大正方體與甲乙丙三正方體之積等問其邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩㸃依甲正方體每邊二寸之度展開勿令移動乃併三正方體積共八分即取八分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸即所求大正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲乙丙三正方體之共積等也葢八分所作正方體原比一分所作正方體大八倍則八分相距之度所作正方體亦必比一分相距之度所作正方體大八倍矣一分相距之度即甲正方體之一邊其積為一分則以八分相距之度所作正方體其積必為八分與三正方體之共積相等也設如有大小兩四等面體小體每邊一寸大體每邊三寸今將兩體積相減取其餘積作同式四面體問其邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩㸃依小體每邊一寸之度展開勿令移動次以大體每邊三寸之度於分體線尋至第二十七分之兩㸃其相距之度恰合即大形與小形之比例為二十七與一相減餘二十六為較積即取分體線第二十六分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸九分六釐即較體之每一邊也葢大小同式體之比例同於相當界所作正方體之比例(見幾何原本十卷第七節)今二十七分所作正方體與一分所作正方體之比例為二十七與一則二十七分相距之度所作正方體與一分相距之度所作正方體之比例亦必為二十七與一矣夫大小兩距度即大小兩體之相當界其所作兩正方體之比例既為二十七與一則大小兩四面體之比例亦必為二十七與一矣既得兩體之比例乃相減以得較既得較積之比例復用積以求邊即得所求之邊數也設如有八等面體每邊一尺欲四倍其積作同式八等面體問其每邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動次取第四分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分九釐即一尺五寸九分為所求體之一邊用其度作八等面體其積與原體之四倍等也葢大小同式體之比例同於相當界所作正方體之比例今一分所作正方體與四分所作正方體之比例為一與四則一分相距之度所作正方體與四分相距之度所作正方體之比例亦必為一與四矣夫一分相距之度即原體之界則以四分相距之度為大體之界其積為原體之四倍可知矣又以一寸當原形邊一尺故一寸五分九釐即為一尺五寸九分也設如有圓球徑三尺欲取其積五分之二作同式圓球體問其徑幾何法以比例尺分體線第五分之兩㸃依分釐尺三寸之度展開勿令移動次取分體線第二分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸二分一釐即二尺二寸一分為所求小體之一邊用其度為徑作圓球體其積為原體五分之二也葢大小同式體之比例同於相當界所作正方體之比例今五分所作正方體與二分所作正方體之比例為五與二則五分相距之度所作正方體與二分相距之度所作正方體之比例亦必為五與二矣夫五分相距之度即原體之徑則以二分相距之度為小體之徑其積為原體五分之二可知矣又以三寸當原體之徑三尺故二寸二分一釐即為二尺二寸一分也設如有四率相連比例數一率八尺四率二十七尺求二率三率各幾何法以比例尺分體線第八分之兩㸃依分釐尺八分之度展開勿令移動次取分體線第二十七分之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸二分即十二尺為連比例四率之第二率既得二率乃用平分線有一率二率求連比例第三率之法以平分線第八分之兩㸃依分釐尺一寸二分之度展開勿令移動次取平分線第十二分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸八分即十八尺為連比例四率之第三率也葢相連比例四率其一率所作正方體與二率所作正方體之比例同於一率與四率之比例今一率為八尺四率為二十七尺則一率所作正方體與二率所作正方體之比例即如八與二十七之比例故以八分相距之度為一率之數則二十七分相距之度必為二率之數可知矣又一率用八分當八尺故二率一寸二分即為十二尺至於求第三率之法即平分線求連比例三率之理也設如有正方體積二萬七千尺問每一邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺與積數二萬七千尺相較其比例如一與二十七即取分體線第二十七分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸即三十尺為所求正方體之每一邊也葢一分之積既為一千尺則二十七分之積必為二萬七千尺而一分相距之度既為方積一千尺之每一邊則二十七分相距之度必為方積二萬七千尺之每一邊矣又以一寸當十尺故三寸即為三十尺也設如有正方體積八十三萬零五百八十四尺問每一邊幾何法以比例尺分體線第一百分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之一百釐作一百尺自乘再乘得一百萬尺與積數八十三萬零五百八十四尺相較其比例如一百與八十三有餘即取分體線第八十三分有餘相距之度於分釐尺上量之得九分四釐即九十四尺為所求正方體之每一邊也葢一百分之積既為一百萬尺則八十三分有餘之積必為八十三萬餘尺而一百分相距之度既為方積一百萬尺之每一邊則八十三分有餘相距之度必為方積八十三萬餘尺之每一邊矣又以一寸當一百尺故九分四釐即為九十四尺也設如有銀正方體每邊二寸問重幾何法以比例尺分體線第九分之兩㸃(銀正)(方一寸之定率為九兩故用九分度)依分釐尺一寸之度展開勿令移動次取分釐尺二寸之度於分體線上尋至第七十二分之兩㸃其相距之度恰合即七十二兩為銀正方體之重數也葢各體重數之比例與積數之比例等相距之度一寸其積為九分相距之度二寸其積則為七十二分今相距一寸之九分既為正方一寸銀體之重數則相距二寸之七十二分必為正方二寸銀體之重數矣又以九分當九兩故七十二分為七十二兩也設如有大銅球體徑二寸重三十一兩四錢一分今有小銅球體徑一寸二分問重幾何法以比例尺分體線第三十一分四釐之處依大球徑二寸之度展開勿令移動次取小球徑一寸二分之度於分體線上尋至第六分七釐有餘之處其相距之度恰合即六兩七錢有餘為小銅球體之重數也葢各體重數之比例與積數之比例等相距之度二寸其積為三十一分四釐相距之度一寸二分其積則為六分七釐今相距一寸之三十一分四釐既為徑二寸大銅球體之重數則相距一寸二分之六分七釐必為徑一寸二分小銅球體之重數矣又以三十一分四釐當三十一兩四錢故六分七釐即為六兩七錢也更體線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線設積數一兆用體部内體積相等邊線不同之定率比例得各體之邊線其立方邊一萬球徑一萬二千四百零七四面體邊二萬零三百九十七八面體邊一萬二千八百四十九十二面體邊五千零七十二二十面體邊七千七百一十將各體邊線數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成更體線也設如有甲球體徑二尺欲作一正方體其積與球積等問每邊幾何法以比例尺更體線球號之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸六分一釐即一尺六寸一分為正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲球積等也葢球號與方號之比例原為同積之球徑與立方邊之比例則其兩距度之比例亦必為球徑與立方邊之比例今球號相距之度既為球徑則方號相距之度必為方邊無疑矣又以二寸當球徑二尺故一寸六分一釐即為一尺六寸一分也設如有甲四面體每邊三尺又有乙八面體每邊四尺欲併作一正方體問每邊幾何法以比例尺更體線四面號之兩㸃依分釐尺三寸之度展開勿令移動次取方號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸四分六釐即一尺四寸六分為正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲四面體積等也又以八面號之兩㸃依分釐尺四寸之度展開勿令移動次取方號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸一分一釐即三尺一寸一分為正方體之每一邊用其度作正方體其積與乙八面體積等也乃將兩正方體用分體線求其積之比例以分體線第一分之兩㸃依小方體每邊一寸四分六釐之度展開勿令移動復以大方體每邊三寸一分一釐之度於分體線上尋至第九分五釐之處其相距之度恰合即兩方體之比例為一與九分五釐併之得十分五釐即取分體線第十分五釐相距之度於分釐尺上量之得三寸二分即三尺二寸為正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲乙兩體之積等也葢甲乙兩體不同類不能得其比例即不能相加故先用更體線將甲乙兩體俱變為正方體復用分體線求其比例而併之即得所求大方體之一邊也設如有甲正方體每邊二尺又有乙球體徑亦二尺今將兩體積相減用其餘積作十二面體問其邊幾何法以比例尺更體線方號之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取十二面號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸零一釐四豪即一尺零一分四釐為十二面體之每一邊用其度作十二面體其積與甲正方體積等也又以球號之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取十二面號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得八分一釐七豪即八寸一分七釐為十二面體之每一邊用其度作十二面體其積與乙球體積等也乃將兩十二面體用分體線求其比例以分體線第十分之兩㸃依小十二面體每邊八分一釐七豪之度展開勿令移動復以大十二面體每邊一寸零一釐四豪之度於分體線上尋至第十九分其相距之度恰合即兩十二面體之比例為十分與十九分相減餘九分即取分體線第九分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得七分九釐即七寸九分為所求十二面體之每一邊用其度作十二面體與甲乙兩體相減之餘積等也葢甲乙兩體不同類不能得其比例即不能相減故先用更體線將甲乙兩體俱變為十二面體復用分體線求其比例而後相減即得所求十二面體之一邊也設如有二十面體積一萬七千四百五十五尺問每一邊幾何法先以比例尺分體線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺與積數一萬七千四百五十五尺相較其比例如一與十七又九之五即取分體線第十七分又九之五相距之度於分釐尺上量之得二寸五分九釐即二十五尺九寸為正方體之一邊用其度作正方體其積與二十面體積等也乃以更體線方號之兩㸃依正方體每邊二寸五分九釐之度展開勿令移動次取二十面號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸即二十尺為所求二十面體之每一邊也葢正方體為各體形比例之宗故凡有積求邊者必先用分體線求得方體之邊然後用更體線使方號兩㸃相距之度與方邊等而取所求體之號兩㸃相距之度即所求體之一邊自球體四面體至二十面體皆同一法也五金線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線用各體權度比例定率數金重十六兩八錢水銀重十二兩二錢八分鉛重九兩九錢三分銀重九兩銅重七兩五錢鐵重六兩七錢錫重六兩三錢為各體正方一寸輕重之比例(定率數有三十)(餘種尺不能盡載惟此數者其用為多故止載此)若重數相等則其積數必不同故又用轉比例之法求其體積之比例命金之積為十億則與金同重之水銀積為十三億六千八百零七萬八千一百七十五(水銀重十二兩二錢)(八分為一率金重十六兩八錢為二率金積十億為三率得四率即水銀積餘)(倣此)鉛之積為十六億九千一百八十四萬二千九百銀之積為十八億六千六百六十六萬六千六百六十六銅之積為二十二億四千萬鐵之積為二十五億零七百四十六萬二千六百八十六錫之積為二十六億六千六百六十六萬六千六百六十六既得各體之積數乃開立方求其方根則金之數為一千水銀之數為一千一百一十鉛之數為一千一百九十一銀之數為一千二百三十一銅之數為一千三百零八鐵之數為一千三百五十八錫之數為一千三百八十六爰將各根數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成五金線也設如有金球徑二尺欲作一銀球其重與金球等問徑幾何法以比例尺五金線金號之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取銀號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸四分六釐即二尺四寸六分為銀球徑用其度作銀球即與金球重等也葢金號與銀號之比例原為同重之金體邊與銀體邊之比例則金號與銀號兩距度之比例亦必為同重之金體邊與銀體邊之比例今金號相距之度既為金球徑則銀號相距之度必為銀球徑可知矣又以二寸當金球徑二尺故二寸四分六釐即為二尺四寸六分也設如有金正方體每邊一寸重十六兩八錢今欲作銀八面體其重與金正方體等問每一邊幾何法先以比例尺更體線正方體之兩㸃依正方每邊一寸之度展開勿令移動次取八面體兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸二分八釐有餘即為金正方體等重之金八面體之每一邊數乃以五金線金號之兩㸃依金八面體每邊一寸二分八釐之度展開勿令移動次取銀號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分八釐有餘即為銀八面體之每一邊用其度作八面體其重與金正方體等也葢兩體不同類不能得其比例故先用更體線變正方體為八面體而後用五金線比例之其法與前同也設如有銅正方體每邊二寸重六十兩今有鉛一百兩欲鑄為球體問徑幾何法先以分體線第六十分之兩㸃(原重六十)(兩故取六十分)依銅正方體每邊二寸之度展開勿令移動次取分體線第一百分兩㸃相距之度(今重一百兩故取一百分)於分釐尺上量之得二寸三分七釐即重一百兩之銅正方體之每一邊又以更體線正方號之兩㸃依正方每邊二寸三分七釐之度展開勿令移動次取球號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸九分四釐即重一百兩之銅球徑復以五金線銅號之兩㸃依銅球徑二寸九分四釐之度展開勿令移動次取鉛號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸六分八釐即重一百兩之鉛球徑也葢兩重數不同而兩體又不同不能得其比例故先用分體線變為同重之銅正方體又用更體線變為同重之銅球體乃用五金線銅與鉛之邊線以比例之而後得其徑數也設如銀正方一寸重九兩問銅正方一寸重幾何法以五金線銀號之兩㸃依正方一寸之度展開勿令移動次取銅號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸零五釐二豪即為重九兩之銅正方邊數乃以分體線九十分之兩㸃依一寸零五釐二豪之度展開勿令移動而以今銅正方一寸之度於分體線上尋至七十五分之兩㸃其相距之度恰合即七兩五錢為銅正方一寸重數也葢銀重九兩其方邊一寸則銅重九兩其方邊必為一寸零五釐二豪又銅方邊一寸零五釐二豪其重九兩則銅方邊一寸其重即為七兩五錢也設如有銀正方體每邊二寸重七十二兩今欲作一銅二十面體其邊與正方體等問重幾何法先以比例尺更體線正方體之兩㸃依正方每邊二寸之度展開勿令移動次取二十面體兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分四釐有餘即為銀正方體等重之銀二十面體之每一邊乃以五金線銀號之兩㸃依銀二十面體每邊一寸五分四釐之度展開勿令移動次取銅號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸六分三釐有餘即為銀二十面體同重之銅二十面體之每一邊復以分體線第七十二分之兩㸃依銅二十面體每邊一寸六分三釐之度展開勿令移動而以今所作銅二十面體每邊二寸之度於分體線上尋至第一百三十分有餘之處其相距之度恰合即一百三十兩有餘為銅二十面體之重數也葢兩體不同類不能得其比例故先用更體線變正方體為二十面體又用五金線變銀二十面體為銅二十面體復用分體線有邊求重之法比例之然後得其重數也御製數理精藴下編卷三十九
## 下編卷四十
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷四十末部十比例規解(分圓線假數尺) (正弦線數尺正切線線假正割線割盡日晷法正弦假 切 數尺 線假數尺)分圓線(即圓内之通弦線)自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷二十節之法分之即為分圓線也或用八線表三十分之正弦倍之即一度之通弦一度之正弦倍之即二度之通弦一度三十分之正弦倍之即三度之通弦至於九十度之正弦倍之即一百八十度之通弦以所得通弦之數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分圓線也設如甲乙半徑六寸丙乙弧二十九度問丙乙通弦幾何法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取分圓線二十九度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸即丙乙通弦之數也葢圓之半徑與六十度之通弦等六十度之通弦既為六寸則二十九度相距之三寸即為二十九度之通弦可知矣設如甲乙半徑六寸丙乙通弦三寸問丙乙弧度幾何法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取通弦三寸之度於分圓線上尋至二十九度之兩㸃其相距之度恰合即丙乙弧為二十九度也葢圓之半徑與六十度之通弦等通弦六寸相當之度為六十度則丙乙通弦三寸相當之二十九度即為丙乙弧之度可知矣設如丙乙弧三十一度丙乙通弦一寸零三釐問甲乙半徑幾何法以比例尺分圓線三十一度之兩㸃依通弦一寸零三釐之度展開勿令移動次取六十度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸即甲乙半徑也葢六十度之通弦與圓之半徑等三十一度之通弦為一寸零三釐則六十度之通弦二寸即為圓之半徑可知矣設如圓徑六寸内容五等邊形問每一邊幾何法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依半徑三寸之度展開勿令移動次以圓周三百六十度用五歸之得七十二度即五等邊形每邊相當之弧乃取分圓線七十二度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸五分有餘即圓内五等邊形之一邊也葢圓内容五邊形之每一邊即七十二度之通弦而半徑又即六十度之通弦六十度之通弦為三寸則七十二度之通弦三寸五分有餘即為圓内容五等邊形之一邊可知矣設如有甲乙丙三角形問乙角之度幾何法以乙角為心任以一處為界作丁戊弧則乙丁乙戊皆為圓之半徑丁己戊爲乙角之通弦乃以比例尺分圓線六十度之兩㸃依乙丁半徑之度展開勿令移動次取丁己戊通弦之度於分圓線上尋至三十度之兩㸃其相距之度恰合即乙角為三十度也正弦線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線用八線表正弦線自一度至九十度之數(自八十度至九十度正弦每度之較甚㣲若尺小不能分)(或隔一度而作一㸃或隔五度而作一㸃)於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成正弦線也設如甲乙半徑六寸丙乙弧二十一度問丙丁正弦幾何法以比例尺正弦線九十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取正弦線二十一度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸一分五釐即丙丁正弦之數也葢圓之半徑與九十度之正弦等九十度之正弦既為六寸則二十一度相距之二寸一分五釐即為二十一度之正弦可知矣若用分圓線則以分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度即取分圓線四十二度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸三分為四十二度之通弦折半得二寸一分五釐即丙丁正弦之數也葢正弦之弧為弧背之一半正弦為通弦之一半故求得倍弧之通弦折半即半弧之正弦此分圓線與正弦線可以互相為用也設如甲乙半徑六寸乙丁正弦三寸問乙丙弧之度幾何法以比例尺正弦線九十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取正弦三寸之度於正弦線上尋至三十度之兩㸃其相距之度恰合即乙丙弧為三十度也葢圓之半徑與九十度之正弦等正弦六寸相當之度為九十度則正弦三寸相當之三十度為丙乙弧之度可知矣若用分圓線則以分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次以正弦三寸倍之得六寸於分圓線上尋之得六十度折半得三十度亦即乙丙弧之度也設如甲乙弧三十二度甲丙正弦一寸零六釐問乙丁半徑幾何法以比例尺正弦線三十二度之兩㸃依正弦一寸零六釐之度展開勿令移動次取九十度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸即乙丁半徑也盖九十度之正弦與圓之半徑等三十二度之正弦為一寸零六釐則九十度之正弦二寸即為圓之半徑可知矣若用分圓線則以三十二度倍之得六十四度以正弦一寸零六釐倍之得通弦二寸一分二釐乃以分圓線六十四度之兩㸃依通弦二寸一分二釐之度展開勿令移動次取分圓線六十度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸即乙丁半徑也設如簡平儀下盤作節氣線問其法若何法自甲圓心作乙丙徑線又自甲平分作赤道線即為春分秋分線乃以比例尺正弦線九十度之兩㸃依甲乙半徑之度展開勿令移動次取二十三度半兩㸃相距之度(二至黄赤道大距度)於赤道線左右丙乙徑上作識如丁戊依識與赤道平行作線即為夏至冬至線(丁為夏至戊為冬至)復以正弦線九十度之兩㸃依甲戊二十三度半之正弦線度展開勿令移動而取十五度三十度四十五度六十度七十五度之各兩㸃相距之度於赤道左右作識悉與赤道平行作線即成二十四節氣線也葢赤道即春分秋分距二分十五度之線左為驚蟄寒露右為清明白露距二分三十度之線左為雨水霜降右為穀雨處暑距二分四十五度之線左為立春立冬右為立夏立秋距二分六十度之線左為大寒小雪右為小滿大暑距二分七十五度之線左為小寒大雪右為芒種小暑距二分九十度之線左即冬至右即夏至也設如簡平儀下盤欲作時刻線問其法若何法如前作徑線及赤道二至線乃以比例尺正弦線九十度之兩㸃依半徑(即春)(秋分線之半)之度展開勿令移動次取十五度三十度及四十五度六十度七十五度之各兩㸃相距之度自圓心於赤道線上下作識即春秋分時之二十四時刻也又以比例尺正弦線九十度之兩㸃依冬夏至線之半展開勿令移動取十五度三十度四十五度六十度七十五度之各兩㸃相距之度自圓徑與二至線相交之處於二至線上下作識即二至時之二十四時刻也乃用三㸃串圓之法將二至及二分之㸃連為一線即成時刻線矣葢中心横線為卯正酉正距中心十五度之線上為辰初酉初下為卯初戌初距中心三十度之線上為辰正申正下為寅正戌正距中心四十五度之線上為巳初申初下為寅初亥初距中心六十度之線上為巳正未正下為丑正亥正距中心七十五度之線上為午初未初下為丑初子初距中心九十度之線即圓周上為午正下為子正也正切線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線用八線表正切線自一度至四十五度之數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成正切線也至於四十五度以後則與四十五度以前相為正餘葢四十五度之正切線與半徑等四十五度以前之正切線即四十五度以後之餘切線而半徑與正切之比同於餘切與半徑之比故切線止用四十五度即足九十度之用也設如甲乙半徑六寸乙丙弧三十五度問丁乙切線幾何法以比例尺正切線四十五度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取正切線三十五度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸二分即丁乙切線之數也葢圓之半徑與四十五度之切線等四十五度之切線既為六寸則三十五度相距之四寸二分即為三十五度之切線可知矣設如甲乙半徑六寸乙丙弧五十八度問丁乙切線幾何法以五十八度與九十度相減餘三十二度為餘弧乃以比例尺正切線三十二度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取四十五度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得九寸六分即丁乙切線之數也葢圓之半徑與四十五度之切線等而三十二度之正切即為五十八度之餘切夫半徑與正切之比既同於餘切與半徑之比故以三十二度相距之六寸當半徑而四十五度相距之九寸六分即為五十八度之切線也凡過四十五度者皆倣此設如甲乙半徑六寸丙乙切線四寸二分問丁乙弧之度幾何法以比例尺正切線四十五度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取切線四寸二分之度於正切線上尋至三十五度之兩㸃其相距之度恰合即丁乙弧為三十五度也葢圓之半徑與四十五度之切線等切線六寸相當之度為四十五度則切線四寸二分相當之三十五度即為乙丁弧之度可知矣設如甲乙弧三十五度丙乙切線一寸零五釐問丁乙半徑幾何法以比例尺正切線三十五度之兩㸃依切線一寸零五釐之度展開勿令移動次取正切線四十五度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分即丁乙半徑也葢四十五度之切線與圓之半徑等三十五度之切線為一寸零五釐則四十五度之切線一寸五分即為丁乙半徑可知矣設如地平上立表髙四尺日中影長三尺六寸零二釐問日髙度幾何法以比例尺正切線四十五度之兩㸃依分釐尺四寸之度展開勿令移動次取分釐尺三寸六分零二豪之度於正切線上尋至四十二度之兩㸃其相距之度恰合乃以四十二度與九十度相減得四十八度為日距地平之髙度也蓋地平上立表取影以表為半徑則影為日距地平之餘切線如甲乙表髙為半徑乙丙影長為切線求得乙丁弧為甲角之度故與九十度相減得丙角始為日距地平之度也設如壁上立横表四尺日中影長二尺四寸零三釐問日髙度幾何法以比例尺正切線四十五度之兩㸃依分釐尺四寸之度展開勿令移動次取分釐尺二寸四分零三豪之度於正切線上尋至三十一度之兩㸃其相距之度恰合即日距地平之髙為三十一度也葢壁上立横表取影以表為半徑則影即日距地平之正切線如甲乙横表為半徑甲丙影長為切線求得甲丁弧為乙角之度與乙丙戊角之度等故即為日距地平之髙度也正割線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線用八線表正割線自初度至七十度之數(初度割線即圓之半徑自一度至十度其每度之較甚㣲)(若尺小不能分或隔五度作一㸃自七十度以上漸與切線平行其數甚大尺)(上不能容故止取七十度也)於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成正割線也設如甲乙半徑六寸乙丙弧四十一度問甲丁割線幾何法以比例尺正割線初度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取正割線四十一度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得七寸九分五釐即甲丁割線之數也葢初度尚無切線故其割線即圓之半徑初度之割線既為六寸則四十一度相距之七寸九分五釐即為四十一度之割線可知矣設如甲乙半徑六寸甲丙割線一尺二寸問丁乙弧之度幾何法以比例尺正割線初度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取割線一尺二寸之度於正割線上尋至六十度之兩㸃其相距之度恰合即丁乙弧為六十度也葢初度之割線即圓之半徑割線六寸相當之度為初度則割線一尺二寸相當之六十度即為丁乙弧之度可知矣設如甲乙弧四十四度半丙丁割線二寸一分零三豪問丁乙半徑幾何法以比例尺正割線四十四度半之兩㸃依割線二寸一分零三豪之度展開勿令移動次取初度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分即丁乙半徑之數也葢初度之割線即圓之半徑四十四度半之割線為二寸一分零三豪則初度之割線一寸五分即為丁乙半徑可知矣作地平日晷法(以北極出地四十度為準)法先作南北東西線相交於甲各成直角次作甲乙丙晷表取甲角五十度為赤道髙丙角四十度為北極高而乙角為直角次取晷表之甲乙度截南北線於丁為半徑作圜用比例尺分圓線比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各分分圜界作識乃自丁圜心引出各界作線至東西線上即得午正前後各初正時刻或以甲乙為半徑用比例尺正切線比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各切線自甲左右作識於東西線上亦即午正前後各初正時刻(甲為午正距甲)(十五度前為午初後為未初距甲三十度前為巳正)(後為未正距甲四十五度前為巳初後為申初距甲)(六十度前為辰正後為申正距甲七十五度前為辰)(初後為酉初也)乃以晷表之丙為晷心至各㸃作線即時刻線也卯正酉正各距午正前後九十度故自丙晷心與東西線平行作線即卯正酉正線卯正以前酉正以後則日轉在北影轉在南故與辰初酉初反對作線即卯初戌初線也次按刻細分則自午正甲㸃每加三度四十五分而得一刻葢十五度當四刻而三度四十五分則當一刻也此法葢因北極為天之樞赤道為天之帶太陽雖由黄道而行時刻皆以赤道而定故以晷表之甲乙指赤道丙乙指北極而東西線即為赤道線丙乙即為過極經圈甲乙即為半徑午正太陽在正南則影在正北若偏東偏西若干度則其切線即其影之長故以甲乙為半徑作圜而分圜界者即所以求切線至於用比例尺正切線者正以切線分時刻也地平日晷作節氣線法法以甲乙丙晷表之甲角與丙乙平行作戊己線而以甲乙為半徑用比例尺正切線比得二十三度三十分二十二度四十分二十度十二分十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切線自甲左右作識於戊己線上即得各節氣日影界(春秋分為赤道)(冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分)(小寒大雪距赤道南芒種小暑距赤道北各二十二)(度四十分大寒小雪距赤道南小滿大暑距赤道北)(各二十度十二分立春立冬距赤道南立夏立秋距)(赤道北各十六度二十三分雨水霜降距赤道南穀)(雨處暑距赤道北各十一度三十分驚蟄寒露距赤)(道南清明白露距赤道北各五度五十五度)或以二十三度三十分之正切線甲戊為半徑作圜將甲乙線引長平分為四象限用比例尺分圓線比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各圜界又以乙戊為半徑作戊己弧而依所分甲戊小圜界各與甲乙平行作線截戊己弧界又自乙至戊己各弧界作線截戊甲己線亦即得各節氣日影界(甲為)(春秋分距甲十五度左為驚蟄寒露右為清明白露)(距甲三十度左為雨水霜降右為穀雨處暑距甲四)(十五度左為立春立冬右為立夏立秋距甲六十度)(左為大寒小雪右為小滿大暑距甲七十五度左為)(小寒大雪右為芒種小暑)乃自乙至各㸃作線與午正時刻線相交其相交之㸃即午正各節氣日影界也若求未初節氣線則先以丙乙為半徑作圜又依甲乙度截午正線於庚而以未初線與赤道相交之辛㸃至庚相距之度截圜界於壬作壬辛線乃與壬辛取直角作癸子十字線以壬辛為半徑如前法比得二十三度三十分等距緯之各切線於辛左右作識於癸子線乃自壬至各㸃作線與未初時刻線相交其相交之㸃即未初各節氣日影界也倣此類推則得各時刻之各節氣日影界或用捷法另取一紙畫甲乙丙表式將乙甲乙戊乙己類各節氣線俱畫長些如求未初節氣線則以丙合於晷心丙而以甲乙春秋分線合於未初時刻線與赤道相交之辛㸃乃於各節氣線與未初時刻線相交之處俱作㸃識之即得未初各節氣之日影界餘倣此乃將各時刻線與莭氣線相交之㸃作線聫之即成節氣線也葢春秋分日行赤道而晷表之甲乙指赤道故赤道線即為春秋分線春秋分時日在赤道則午正日影在甲春分以後秋分以前日在赤道北夏至而極北則影在南春分以前秋分以後日在赤道南冬至而極南則影在北故以甲乙為半徑而取各距度之切線為各節氣之影界且切線與半徑成直角故先與甲乙取直角作十字線而後得其切線也(甲乙本直立之線與之取直角則戊端應在晷面下)(己端應在空中出晷面上而其距午正線之逺近與)(平面斜線之度同葢平與立之理一也)其以冬夏至之影界為半徑作圜用分圓線求之者葢半徑與冬夏至距緯正弦之比同於各節氣距二分度之正弦與各節氣距緯正弦之比故以甲戊為半徑作圜為一率又以乙戊為半徑作戊己弧則甲戊切線即變為冬夏至距緯之正弦為二率而用分圓線所分各圜界即得各節氣距二分度之正弦為三率其自圜界作線截戊己弧即得各節氣距緯之正弦為四率既得各節氣之距緯度又自乙至各弧界作線截戊甲己線則戊甲己線仍為各節氣距緯之切線故用正弦即如用切線也然雖得各節氣之影界而猶不在午正線之上故自乙至各節氣㸃作線交於午正線乃自乙表端照至各節氣㸃所必經之處故為午正節氣日影界也至於未初春秋分時則日影至辛乙辛為影線成乙甲辛勾股形甲乙為股(甲乙)(表直立故為股)甲辛為勾乙辛為弦故以甲乙度截午正線於庚而取庚辛之度即與乙辛影線之度等又乙辛線與丙乙為直角成丙乙辛立勾股形丙乙為勾乙辛影線為股丙辛時刻線為弦(葢丙乙為過極經圈乙辛為赤道影線經)(圈與赤道無在而非直角故乙辛與影線亦無在而)(非直角也)故以丙乙為半徑作圜而取庚辛度截圜界於壬成丙壬辛平勾股形即與丙乙辛立勾股形相等(丙壬與丙乙等壬辛與乙辛等丙辛仍為弦線故成)(相等勾股形)爰以壬辛影線為半徑與壬辛作直角取各節氣之切線為各節氣日影界皆與午正取節氣線之法同至其捷法乃以已成之勾股已分之切線轉移用之尤為便捷也向南壁上畫立面日晷法(以北極出地四十度為準)法先作直線及東西横線相交於甲各成直角次作甲乙丙晷表取甲角四十度丙角五十度而乙為直角乃依地平日晷作時刻線法求之即得各時刻線葢晷表之甲丙指天頂甲乙指赤道故丙甲乙角定為四十度則乙甲丁外角為五十度即赤道之髙度也丙乙指南極丙戊指地平故甲丙乙角定為五十度則乙丙戊外角為四十度乃南極入地之度即北極出地之度也甲乙既指赤道丙乙既指南極則丙乙即為過極經圈甲乙即為半徑午正太陽在正南則影在正北若偏東偏西若干度則其切線即其影之長皆與地平日晷之法同至於作節氣線之法亦與地平日晷同但赤道線以上為春分前秋分後至冬至之節氣線赤道線以下為春分後秋分前至夏至之節氣線葢春分以後秋分以前日行赤道北夏至而極北其度髙故其影在下也秋分以後春分以前日行赤道南冬至而極南其度卑故其影在上也向東壁上畫立面日晷法(以北極出地四十度為準)法先安甲乙直表與壁面成直角(甲乙表不拘尺寸)次作甲丙垂線及甲丁横線各成直角次以甲為心作甲丙丁象限弧用比例尺分圓線比得赤道髙五十度之弧為丁戊自甲至戊作甲戊赤道線乃以甲乙表長為半徑用比例尺正切線比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各切線於赤道線上作識按識作十字線即成時刻線也(甲㸃為卯正距甲十五度前為卯初後為)(辰初距甲三十度為辰正距甲四十五度為巳初距)(甲六十度為巳正距甲七十五度為午初)葢時刻生於赤道春秋分時卯正日出正東與表對射故無影若向南若干度則其切線即其影之長至於午正則距卯正九十度切線與割線平行故無切線而日影即與壁面平行故亦無影也若於向西壁上畫晷則以午初為未初巳正為未正巳初為申初辰正為申正辰初為酉初卯正為酉正卯初為戌初餘俱與向東壁上畫晷法同向東壁上立面日晷畫節氣線法法以乙表端至卯初㸃相距之度為半徑用比例尺正切線比得二十三度三十分二十二度四十分二十度十二分十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切線於卯初線左右作識即得各節氣日影界(春秋分為赤道冬至距赤道南)(夏至距赤道北各二十三度三十分小寒大雪距赤)(道南芒種小暑距赤道北各二十二度四十分大寒)(小雪距赤道南小滿大暑距赤道北各二十度十二)(分立春立冬距赤道南立夏立秋距赤道北各十六)(度二十三分雨水霜降距赤道南穀雨處暑距赤道)(北各十一度三十分驚蟄寒露距赤道南清明白露)(距赤道北各五度五十五分)又以乙表端至卯正㸃相距之度(即甲)(乙表長)為半徑比得各節氣距緯度之切線於卯正線左右作識即為卯正各節氣日影界凡各時刻節氣俱以乙表端至各時刻㸃相距之度為半徑比得各節氣距緯度之切線於各時刻線左右作識即得各時刻各節氣之日影界將各㸃作線聨之即成節氣線也葢春秋分時日在赤道故其影界即在赤道線之上其自表端至各時刻㸃相距之度即春秋分各時刻之影線也若春分以後秋分以前日在赤道北夏至而極北則影在南春分以前秋分以後日在赤道南冬至而極南則影在北故以表端至各時刻㸃相距之度為半徑而取各節氣距緯度之切線即為各時刻各節氣之日影界聨之即成節氣線也向西壁法同假數尺法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取假數表内自一至一百所對之假數於分釐尺上取其度(如二之假數為○三○一)(則為三寸零一釐)截甲丁乙丙二邊依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二邊各平分為十分作線與甲丁平行自一十以上又依分釐尺法於各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間零數之度如一○至一一之斜線其與第一直線相交之處即一○一也故假數雖止於一百而可以當一千之用若尺止長一尺則如上圖截去自一至九之數從一十起至一百止葢十之假數為一而百之假數為二今既截去一尺則假數即減去首位之一取其零數作寸分釐豪用時則以十為單總之假數尺雖始於一十終於一百小之則可以為單為零大之則可以為千為萬皆因假數之首位雖遞加一數而其後之零數皆同故可以進退為用惟在比例分明加減詳審則其用自無窮也設如有十二人每人給銀四兩五錢問共銀幾何法以假數尺之四分五釐(即從一十至四十五之度)與一十二分相加得五十四分即五十四兩為共銀數也葢一人與四兩五錢之比同於一十二人與五十四兩之比而真數以乘得者假數以加得之故以四分五釐當四兩五錢以十二分當十二人兩線相加即得五十四兩為共銀數也設如有米四百八十石每石價銀七錢五分問共價銀幾何法以假數尺之七分五釐(即自一十至七十五之度)與四十八分相加過於一百分之度乃以其過於一百分之餘度自假數尺十分以上量之得三十六分即三百六十兩為共價銀數也葢以四十八分當四百八十石是以單當十則相加過於一百分即為過於一千分矣而以其過於一千分之餘度自十分以上量之是以十分當千分則三十六分即為三千六百分既以七分五釐當七錢五分故三千六百分即為三百六十兩也設如有銀五百一十二兩令三十二人分之問每人幾何法以假數尺之五十一分二釐内減去三十二分以其餘度自假數尺十分以上量之得十六分即十六兩為每人之銀數也葢三十二人與五百一十二兩之比同於一人與十六兩之比而真數以除得者假數以減得之故以五十一分二釐當五百一十二兩以三十二分當三十二人相減用其餘度自十分以上量之是以十分當一分故十六分即為一分六釐既以五十一分二釐當五百一十二兩則一分六釐即為十六兩也設如有米四十二石令六十人分之問每人幾何法以假數尺之四十二分内減去六分(即自一十至六十之度)不足於一十之分乃以其不足於一十之度自假數尺一百以下減之餘七十分即七斗為每人之米數也葢以四十二分當四十二石以六分當六十人而以相減不足於一十之分自一百以下減之是以百分當十分則所餘之七十分即為七分矣且以六分當六十人是所減之數以單當十則減餘之數即以十為單而單即為零故所餘之七分即為七釐既以四十二分當四十二石故七釐即為七斗也設如每銀二兩五錢兑錢四千七百五十文今有銀八兩問兑錢幾何法以假數尺之二十五分與四十七分五釐相減餘度與八十分相加過於一百分乃以其過於一百分之餘度自假數尺十分以上量之得十五分二釐即一萬五千二百為共錢數也葢二兩五錢與四千七百五十文之比同於八兩與一萬五千二百文之比故以二兩五錢為一率四千七百五十為二率八兩為三率得一萬五千二百為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先於二率内減去一率以其餘度與三率相加而得四率其理同也又四率既過於一百分而以其過於一百分之餘度自十分上量之是以十分當百分故十五分二釐即為一百五十二分既以四十七分半當四千七百五十則一百五十二分即為一萬五千二百也設如有銀六兩買米五石今有銀四兩八錢問買米幾何法以假數尺之六十分内減去五十分餘度與四十八分相減得四十分即四石為米數也葢六兩與五石之比同於四兩八錢與四石之比故以六兩為一率五石為二率四兩八錢為三率得四石為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先於一率内減去二率以其餘度與三率相減而得四率其理同也總之二率大於一率者則四率亦大於三率故以二率多於一率之分與三率相加而得四率若二率小於一率者則四率亦小於三率故以二率小於一率之分與三率相減而得四率用雖不同而理實一也正弦假數尺法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至九十度之正弦假數減去首位之八於分釐尺上取其度(如一度之正弦假數為八二四一八減去首位之八)(餘二四一八即為二寸四分一釐八豪)截甲丁乙丙二邊依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分釐尺法於各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數如自一度至二度之斜線其與第一直線相交之處即一度五分其與第二直線相交之處即一度十分葢一度有六十分故直線分為十二每一直線當五分若於直線之間酌量取之則五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分則截去自一度至五度之數從六度起至九十度止葢九十度之正弦假數首位為一○一度之正弦假數首位為八相減餘二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺則假數首位須再減去一數故從六度起六度之正弦假數首位為九減去首位之九取其零數作寸分釐豪至九十度則恰得一尺之分也設如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙邊五尺三寸七分問甲乙邊幾何法以正弦假數尺之四十四度三十分與五十三度相減用其餘度與假數尺之五十三分七釐相加得六丁一分一釐即六尺一寸一分為甲乙邊也葢甲角正弦與丙角正弦之比同於乙丙邊與甲乙邊之比故以四十四度三十分之正弦為一率五十三度之正弦為二率假數尺之五十三分七釐當乙丙邊為三率得六十一分一釐當甲乙邊為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先於二率内減去一率以其餘度與三率相加而得四率其理同也設如甲乙丙三角形甲乙邊六尺一寸一分甲丙邊七尺五寸九分乙角八十二度三十分問丙角幾何法以假數尺之六十一分一釐與七十五分九釐相減用其餘度與正弦假數尺之八十二度三十分相減得五十三度為丙角度也葢甲丙邊與甲乙邊之比同於乙角正弦與丙角正弦之比故以七十五分九釐當甲丙邊為一率六十一分一釐當甲乙邊為二率八十二度三十分之正弦為三率得乙角五十三度為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先於一率内減去二率餘度與三率相減而得四率其理同也切線假數尺法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至四十五度之切線假數減去首位之八於分釐尺上取其度截甲丁乙丙二邊依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分釐尺法於各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數皆與正弦假數尺同至於四十五度以後則與四十五度以前相為正餘葢四十五度之正切線與半徑等四十五度以前之正切線即四十五度以後之餘切線而半徑與正切之比同於餘切與半徑之比故切線尺止用四十五度正餘相對即足八十九度之用若尺小止用一百分則截去自一度至五度之數從六度起至四十五度止其餘度則至八十四度止亦與正弦假數尺同也設如甲乙丙直角三角形甲丙邊四尺三寸六分乙丙邊四尺二寸九分問甲角幾何法以假數尺之四十三分六釐與四十二分九釐相減用其餘度與切線假數尺之四十五度相減得四十四度三十分為甲角度也葢甲丙邊與乙丙邊之比同於半徑與甲角切線之比故以四十三分六釐當甲丙邊為一率四十二分九釐當乙丙邊為二率四十五度之切線當半徑為三率得甲角四十四度三十分為四率也因二率小於一率故於一率内減去二率餘數於三率内減之即得四率也設如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙邊三十二尺三寸問乙丙邊幾何法以切線假數尺之五十三度與半徑相減用其餘度與假數尺之三十二分三釐相加得四十二分九釐即四十二尺九寸為乙丙邊也蓋半徑與甲角正切線之比同於甲丙邊與乙丙邊之比而甲角餘切線與半徑之比亦同於甲丙邊與乙丙邊之比故以五十三度之餘切線為一率四十五度之切線當半徑為二率三十二分三釐當甲丙邊為三率得四十二分九釐當乙丙邊為四率因五十三度切線自四十五度起是已減去半徑矣故以二率與三率相加即得四率不必更減一率也割線假數尺法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至八十九度之割線假數減去首位之一於分釐尺上取其度截甲丁乙丙二邊依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分釐尺法於各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數皆與正弦假數尺同若尺小止用一百分則截去自八十五度至八十九度之數從○度起至八十四度止葢○度之割線即半徑其假數為一○今從○度起即減去半徑之數至八十四度以後則假數甚大一尺之内不能容故止八十四度止也設如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙邊四十二尺九寸問甲乙邊幾何法以割線假數尺之四十五度三十分與假數尺之四十二分九釐相加得六十一分一釐即六十一尺一寸為甲乙邊也葢半徑與甲角割線之比同於甲丙邊與甲乙邊之比故以半徑為一率四十五度三十分之割線為二率四十二分九釐當甲丙邊為三率得六十一分一釐當甲乙邊為四率因割線先巳減去半徑之數故二率與三率相加即得四率不必更減半徑也設如甲乙丙直角三角形甲丙邊四十二尺九寸甲乙邊五十三尺七寸問甲角幾何法以假數尺之四十二分九釐與五十三分七釐相減用其餘度自割線假數尺○度以上量之得三十七度為甲角度也葢甲丙邊與甲乙邊之比同於半徑與甲角割線之比故以四十二分九釐當甲丙邊為一率五十三分七釐當甲乙邊為二率半徑為三率得三十七度當甲角為四率因○度之割線即半徑故以一率二率相減之餘度自○度以上量之即如與半徑相加也御製數理精藴下編卷四十
## 表卷一上
欽定四庫全書御製數理精藴表卷一上八線表八線表説八線之用關於數理者甚大立表愈宻則為用愈精西洋舊表設半徑為十萬用以推測步算秒微或有不合既而又有新表設半徑為一千萬取數較精但逐分列表用中比例以求秒數止可用於正弦餘弦若切線割線至六十度以後其遞増之數不均用中比例尚不能宻合兹又用本法細推(法見割圜)每十秒遞折求零秒則用比例所差無多檢用亦便用表之法並列如左列表之法○度至四十四度列於右方之上其分秒順列右行自上而下檢得某度某分秒對上層各線之數用之若有各線之數求度分秒者則對上層各線行内檢得某數橫對至右行即得某度分秒 四十五度至八十九度列於左方之下其分秒逆列左行自下而上檢得某度某分秒對下層各線之數用之若有各線之數求度分秒者則對下層各線行内檢得某數橫對至左行即得某度分秒凡查零秒用中比例如檢一度三分十三秒之正弦則以一度三分十秒與一度三分二十秒相減餘十秒為一率一度三分十秒之正弦一八三七三四與一度三分二十秒之正弦一八四二一九相減餘四八五為二率三秒為三率求得四率一四五與一度三分十秒之正弦相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正弦蓋多十秒則正弦多四八五今多三秒則正弦應多一四五為比例四率也如檢一度三分十三秒之餘弦則仍以十秒為一率一度三分十秒之餘弦九九九八三一二内減一度三分二十秒之餘弦九九九八三○三餘九為二率三秒為三率求得四率三與一度三分十秒之餘弦相減餘九九九八三○九即一度三分十三秒之餘弦蓋多十秒則餘弦少九今多三秒則餘弦應少三為比例四率也 如有正弦一八三八七九求度分秒與一度三分十秒之正弦相較則多與一度三分二十秒之正弦相較則少即知在十秒二十秒之間乃以一度三分十秒與一度三分二十秒之正弦相減餘四八五為一率十秒為二率今有之正弦内減一度三分十秒之正弦餘一四五為三率求得四率三秒與一度三分十秒相加即得一度三分十三秒蓋多四八五則多十秒今多一四五則應多三秒為比例四率也如有餘弦九九九八三○九求度分秒則以一度三分十秒之餘弦内減一度三分二十秒之餘弦餘九為一率十秒為二率一度三分十秒之餘弦内減今有之餘弦餘三為三率求得四率三秒與一度三分十秒相加即得一度三分十三秒蓋少九則多十秒今少三則應多三秒為比例四率也八線内有正矢餘矢二線正矢即半徑減餘弦之數餘矢即半徑減正弦之數故表内雖不列正矢餘矢而其數已寓矣